23机械基础24.21第五章机械的平衡（1）

罗泽兵 · 发表于 2024-5-9 01:18:27

好，欢迎来到启航考研教育，我是你们的专业课辅导老师，石老师，这节课咱们讲解第五章。这句话说的我都不想说了，对不对？一每每每次我讲那个面授的时候，哎，我在上课之前，他们同学们先把这一句话给说了。好来，咱们来看第五章叫机械的平衡学完了，上边前四章的内容啊，第五章我们就可以放轻松的。

心情去学习了。这章啊，内容不是很多，而且还比较简单。尤其是净平衡。像这种净平衡呃，太简单了，对不对？除了在某个方向上挖洞，要么就是添加质量，对吧？然后动平衡的话，有点。有点困难是吧？动平衡有点困难。

动平衡难。呃，不在于它的理论有多难，而是有一些细节儿上的计算需要注意一下。就比如说这两点支撑。如果一个偏心质量在这个两个点之外。哎，这个这个计算就不太容易了，所以说接下来咱们针对这两块儿内容给大家讲解一下。当然了，还有一个就是。平面的。机构屏也就是说。给你一个连杆机构。给你一个连杆儿机构。

那么，它的平衡，比如说我在这边加一个质量对吧？平衡到这有个质量，平衡到这有个质量。我在这儿加多多大的质量，然后比如说这是100距离100加多大的质量，能够使它平衡了，对吧？平衡了不就置心不动吗？呃，这也是一类的考题，也有也有考研的学校在考，但是相对来说。这两块内容，

那这个就是次重点，这个是主主要的。这个就是次要的。好吧，主要是静平衡和动平衡这两个章节。本章节重点掌握的知识点，一个是就是静平衡了动平衡了这两个对不对？第二个就是咱们机构的一个平衡。好吧，这是两个大内容，难点就是动平衡计算。利用投影法投影到两个平面上，到底它的方向是是多少？它的直径积是多少？这个是一个难点。

接下来咱们来讲一下。首先来讲，一个平衡的目的，非重点内容就是一些定义观点。希望同学们读一下就可以。比如说机械的不平衡，不平衡有什么危害啊？在转动的时候是不是比如说？这是旋转中心质质量，在这有一块对吧？在这有一块质量。在这有块质量，你高速旋转起来，是不是它有一个震动啊？或者是再说白了就有一个离心力啊，

对吧？有一个离心力来回的。如果离心力上下这样波动的话，那就会造成整个机构来回的颤动，对不对？来回的颤动。所以说降低了咱们的机械效率和使用寿命。这段话在讲义上自己读一读，自己读一读不是重点内容，凡是定义啊在。机械原理里边儿呃出填空，选择考察定义的分数占的还是比较少的，所以说这种定义。希望同学们自己去看。我再呃，

要不这样，我带着大家去读读一遍，或者是说一遍吧。因为一一旦让你们自己去看，我估计就够呛了。为了完完全或部分的消除惯性力的不良影响，这个不良影响在哪呢？就这个危害里边说的。借助于选择构件质量将不平衡，惯性力和惯性力矩加以消除或者。或者减小。要么给它消除了，要实在消除不了，我减少一点也是好的，对不对？

也是好的。这就是咱们做平衡的一个目的。首先上来考点一重点内容净平衡。静平衡。了解平衡之前啊，咱们先了解几个概念就什么叫静平衡，什么叫做静不平衡。首先，我们先看一下对象，也就说这个净平衡适合什么对象，或者是适合什么样的物体来用，这个净平衡。一个是轴向尺寸较小的盘内零件。说白了就是这种的。如果从侧面看的话，

非常小。是吧，比如说宽度比上直径，比如说或者是。就这个小宽度。小b比上这个直径d。b比d。小于02时。也就是说，这个直径是宽度的5倍。大于它的5倍的时候，那我们就可以把它看作成弹类零件。盘类零件就可以用净平衡计算。就可以把它看作一个凸轮凸轮盘。看到一个平面的凸轮盘。

给它在某个点上挖质量，在某个点上加质量，对吧？净平衡，净平衡的概念就是各离心惯，性力平衡g。在这个盘盘子上边对旋转中心，各个是各个离心力。之和为零注意，这是离心力。各离心惯性率为零，也就是说。比如说这有一个质量m1。这有个质量m2。这有个质量m3，

当它转起来啊，这整个的这个盘子呢，它的质心呢，仍然在中心。各个方向上的离心惯性力为零，这就叫平衡了，对吧？静不平衡呢？静不平衡就简单了，对吧？在静止状态下，可以表现出来的就是静不平衡，这个静静。静的意思是什么意思？就是你在静止的状态下就能够表现出来。

什么意思？比如说这是旋转中心。这是一个质量块儿，对吧？假设它是偏心的。我这一拨这个圈的转，最终停下来了，对吧？最终停下来了。始终是某个方向朝下，对吧？也就说静止状态下就可以表现出来，无论我怎么拨。初始力是多大？最终停止下来，

每次停止下来都是停止在固定位置上。是吧，因为他偏心嘛。偏心，所以说每次停在停停的位置都是固定的。偏心指向下，对吧？偏心的指向下。这就叫做静步屏。什么叫净平衡了呢？虽说这个定义。是这个样子，但是如果实际操作的话，就是你一拨这个它停在任意位置，对吧？

它停在任意位置，随着你的输入的力的不同。它停的位置也不与不相同，这就叫平衡，对吧？说到静平衡。有两种表达形式，第一种就是用离心惯性力之和为零。它是不是就净平衡了，叫离心惯性力？注意这个公式叫m乘上欧米伽r，这个MI看了没有？这都是I，比如说有m1。r1，

再乘上一个欧米伽平方，欧米伽的平方对吧？就得到了离心力f。离心力f。在这种。惯性力求解的前提下，我们引入了一个直径机。指定机的求解方式就是把欧米伽给它去掉了，换成一个盘类零件。对于一个盘类零件来说，盘子上边任意一个角，速度都是相同的，对不对？我们现在只关心的是我要平衡这个盘子，对吧？

在某个方向上加多少质量？我只需要了解这个就可以了。并不需要求。比如说支撑这个盘子的时候的两端的。这个支反力。并不需要求解这两端的支反力，如果我只想让这个盘内零件平衡的话。那就没必要用。惯性力求解，如果我说如果如果让你求这个值。这个惯性力的支反力，当它运转起来，那么对这个支座a，它的力是多大？对这个支座b，

它的力是多大？对不起。一旦求力了，那你就只能用这个公式把欧米伽算上。把欧米伽算上，我说清楚了没有？也就说，如果让你求两个支撑的，具体的求哪个力去了？你就要用惯性力的求解，把欧米伽乘上，才能求出具体的力来。如果只只问。你的盘里零件在某个方向上，或者在某个区域内挖多大的挖多大质量的？

这个小块能够让它。能够让它哎平衡下来，那么只需要求m，我们只关心m嘛，对吧？挖多大的质量去多大的质量这时候？欧米伽就不需要了吧？我只需要。m了吧，这时候就把所有的m把所有的欧米伽都去掉。原先你看这个是个累加和吧。我们如果把。个惯性力。累加起来，如果咱们就假设把这个写成惯性力的形式，

怎么写m1？欧米伽方r1对吧？加上一个m2欧米伽方2r2，然后加MB。要求的是吧rb欧米伽方对吧？等于零，你看把欧米伽方一消掉，是不是它还是得零？对吧，所以说我们只关心m的话，我们只关心m的话，我们就没必要求欧米伽了，对吧，或者是就没必要带入欧米伽去求。惯性力了，

对吧？我们只关心m嘛，所以说就有了咱们的直径g的方法。叫止。径g啥意思？什么叫直径g呀？质没没问题吧？叫质量。径就是。这个径是多大径是？这个质量到旋转中心的距离。这个质量到旋转中心的距离，这就叫做近。把它的乘积乘起来，让它等于零，

这就叫做直径积的方法。听懂了没有？就指定基的方法由惯性力而来，由惯性力而来。那么m。只不过是。如果假设咱们在这里，它形成的惯性力有多大呀？是不是咱们可以写一个就是f？一的假假设这个吧f1吧，对吧f1？就等于一个m1r1欧米伽方，对吧？这个有的同学说哎，这为什么是惯性力呢？

你就把它记住行吗？这就是一个基础的公式。就像1+1=21对吧，这个基础公式你就不要问了，人家都推导过了，对吧？好吧，把这个力。给它算出来。那么，把这个力欧米伽给它去掉，因为这一个盘子上面，它的欧米伽是不是都一样的？所以说就有了咱们指定积的方法。如果你是第一次听机械原理的话，

那我给大家解释的就相对来说比较慢一点是吧？这就是指定机的由来。把欧米伽去掉。欧米伽去掉注意，这是矢量。这都矢量。矢量都是可以画画图的，对不对？怎么样就平衡了？叫首尾相接啊，对不对？首尾相接就平衡了，没问题吧？一点问题都没有吧，对吧？

首尾相接就平衡了。给大家介绍了这样的一个。方法这个方法考研的时候怎么考呢？比如说考研的时候这个一般MB和rb啊，是要求的，比如说它告诉了你。在某个方向上，比如说夹角为45度的时候，距离旋转中心200的时候有一个质量m=2000克的一个东西，在这多出来了，对吧？然后这个呢是呃m1=5000克，然后距中心旋转中心是三百三百毫米，然后这个角度是30度。问你在在么？

在哪个方向上？在哪个方向上？比如说它告诉你在500在500直径为500的圆圆上某个方位。加上一个质量。请问加的这个质量是多大？是吧？就考察这一个就在500的直径上。然后告诉你了。是吧，把把方位限制住了500这么长。的上边这一个圆上那在哪个方位上去加多大的质量啊？这个需要你你去求的。咱们来看一下真正的习题。其实解这一类的习题啊，既然它是矢量的话，

我们可以通过矢量作图把它求解出来，也可以通过。真正的呃解析计算给它解析出来。咱们就用两种方法。先用作图是吧？先用我看一下啊，先用作图，先用图解法。然后再用。再用解析法就纯给它解出来。就是按照几何关系给它解出来，对吧？来，咱们来看一下。比如说如图所示，

一个回弹形的回软体。圆心在这儿对吧？圆心在这儿上面有四个不不平衡质量，上面有四个不平衡质量m1m2m3m4对吧？其大量。其大小和质心到回转中心的距离分别为。m1是十千克，一个十千克。14千克，16千克，20千克。到旋转中心的分别是呃400300140。啊，这个没说。140啊，

这个说了140这个是300对吧？这个是300这个是400那这还有个200啊，都告诉你了。都告诉你了，现在让你去求在。平衡。在这个轮盘上要加要要想使这个轮盘满足净平衡条件，我需要加多大的直径机？直升机是多大？而且方位在哪？而且方位在呢。需要我们去计算。我们先把m1m2m3m4的大小。方向确定下来，对吧？

大小和方向，因为是矢量嘛，肯定有大小和方向，先确定下来这个两千克。二十十×0点20×0点二。十千克乘以02，然后方向朝哪呢？m1方向是不是朝上的对吧？这个方向m2的方向看，是不是朝右的m3的方向？是不是朝朝下的这个朝左的哎？你看。方方正正非常利于计算，非常利于计算。那这个指定集怎么求呢？

我们就列这个式子，是不是前边咱们列了一个式子，比如说它告诉了你一二，然后让你。嗯，求这个未知未知量去是不列这个一个方程，现在只不过是多了一多了几行了，就是用m1r1+1个m2。r22等等的m3r3m4r4再加上一个你要求的叫MB。rb，让它等于零对吧？让它等于零。让它等于零之后诶，你会发现。这这是一个矢量啊，

你们在写的时候不要加粗的那种写法对吧？你要把矢量给人家画上。对吧，把矢量给它画上。搞定了之后，我们求呗。作图法吗？首先是作图法哎，从上边是不是作图法，你又又要涉及到什么了？比例尺了？比例尺自己确定，也就说第一个我们已知的m1r1，比如说是两千克。每米两千克，

每米这个指定机求出来是这么大。那我需要画多大呢？这个高度需要你自己确定，这高度需要你自己确定好吧？然后画上去了，然后向右的再画一个m2r2，再再再画一个向下的，为什么它是？首尾相接。原因就是。加加矢量相加就是首尾相接，首先你看这个题怎么做啊？你在草稿纸上假设没有看到这个图的话。你自己第一步上来，是不是确定一个点走你？

画出来m1r1也就说两千克每米，你打算画多少毫米？比如说我假设我想画50毫米五厘米嘛，是吧？五厘米。我打算画50毫米，那么每毫米代表的是多少？那就拿2÷50对吧？2÷50。2÷50得多少00，四吧是004吧，对吧？也就说004千克每。没写完对吧04千克。米每毫米也就说一毫米啊，

代表的是004千克哎，我就画了50毫米对吧？上来了画了50毫米，假设我就诶画了50毫米m1。r1r1.画完了m1r1了，对不对？我们标在这。第二个画m2r2。你是在在这画，还是在这画？是不是在这画？因为它是加嘛，对吧？加嘛加好了。

加的话，水平向哪的m2那水平向右的嘛，对吧m2这不水平向右的嘛，对吧？离惯性力嘛惯性力。惯性力，如果是向向大的，对吧？好了就开始从这晃哎往这来，同理m3是不是朝下的？m4朝这的。这是m3。r3这是m2r2这是m4r4对吧？画到这完了。对吧，

现在这是整个的，我们现有的这个盘类零件上，它的直径机的分布，如果我想让它平衡的话，要干什么？是不是？是不首尾相接，要把它自己接起来啊，对不对？如果我想要平衡的话，这个力说我要回回到。回到起点了，对不对？回到起点了，也就说首尾让它碰到面儿就平衡了，

也就说你画一个无论。你在平面上怎么怎么移这个力对吧？最后哎，首尾相接了，那么这个力就平衡了，对吧？这个力就平衡了。所以说要首尾相接。这是力学的一个简单的应用，对吧？然后你就开始测量了，对不对？一测量出来哎，这个多长，然后乘上刚才的呃比例尺。

对吧，你就能得到mbrb是多大了？然后你再测量出这个角度来，你再测量出这个角度来，哎，一发现是45度假设你一量是45度对吧？也就说我们。量出来啊mbrb就等于缪，这不是这不是比例尺吗？乘上这个l这一块对吧？l这一块。这块是l，然后就得出来了，然后。方向与水平，

夹角即与m4r4。就与这个的夹角是45度，这是你自己测量出来的。对吧，有误差没关系，就是作图法有误差没关系。这是第一类，第二个我们可不可以？用解析法把它做出来呢。解析法把它做出来。规定向右为正。向这，向右为正。向下为正。右下为正。

那么就有了m1。m1r1=1个负的。m4.r4+1个m2r，这个是什么意思？也就是说，首先如果我想用解析法的话。首先我先把这两个。也就说你看你这不是m2r2吗？这不是m4r4吗？先让它俩做一个差。先让它俩做一个差，你看就相当于是这边往这的这个往这的那最后总体表现出来往哪的，对吧？是它俩做一个差。

然后上下再做一个叉，上下再做一个叉。最后得到两个，最后得到两个方向上的。方向上的指定基对吧？水平方向上一个呃竖直方向上一个。得到了那么得到这一个28，这个也是28，我们规定的是，向下为+28，那么最终表现出来竖直方向是不是向下的28，这个呢，我们向右为正，那最终表现出来的是向右对不对？向右。

也就说向右向下，向右向下。就得到了哎，如果是首尾相接的话，你看最后你是不是要列一个mbrb+1个m？ir或者是一是吧，加上一个m2。r2是吧，等于零吧，你看这俩一加是不是又是首尾相接？这个首尾是2828，如果让它平衡的话，对吧？首尾相接嘛？你一测算二点8×2点八。

加上二点8×2点八开根号嘛，求斜边嘛。把它求出来不就完了吗？对吧？把它求出来就完了吗？注意，这不是就就求这个斜边，这现在作图。你做出来的这个就是纯几何关系，对吧？它没有说呃画，按照按照那个图按照那个比例尺去画去，你再测量什么的。这个就是纯几何关系，把它算出来。

282点八是396与水平是45度或者是与x轴成135度。都行，对吧？这就是。平面静平衡的两种解题方法。两种解题方法。净平衡的两种解题方法，哪两种一个是解析法，另一个是图解法，对吧？都可以都可以。具体用哪一种？看看你们考考研的时候，历年的真题，他们用的是哪哪一哪一种？

如果他们比如说官方给出的答案，他就用的是图解法，那你就。毋庸置疑了，你就用图解法，下一次你考试的时候你也用图解法，比如说你官方网站上历年真题都是给的解析法。就纯计算去根据几何关系，比如说根据余弦定理啊，正弦定理啊等等的这些定理去跟通过几何关系把它求出来一个精确的值的时候。那对不起，你也得按解析法去做去，所以说一定要回去看真题，一定要回去看真题好吧？那么讲完了，

净平衡，我们再来看考点二的动平衡。动平衡计算顾名思义。只有动起来哎，动起来你比如说你静止状态下有可能平衡了，但是动起来啊，它就不平衡了，怎么造成的比如说？经常举的一个例子，这是m2。这呢m1。它这个距离呀，都是一样的200，这个也是200。质量呢，

也是一样的m 1=m 2。等于一个十千克。十千克对吧？如果当我这个一旋转的时候，我这个旋转的时候，如果它开始旋转旋转旋转。平平。它可以停在任意位置，也就说净平衡它满足。但是一动起来，那就不满足了，为什么一动起来，它的离心力向上，它的离心力有可能向下，对不对？

就产生了一个六。作用在我的支撑点上，这是a点吧，这是b点。这是b点对吧？只有动起来才能表现出来的。就动起来，表现出来。哎，你不动的时候。它仍然满足净平衡，也就是说，动平衡，如果满足动平衡的话，它一定满足净平衡，

但如果满足净平衡了。有有可能它动起来之后诶发现。有力矩对不对？也就是说，满足动平衡的一定满足，静平衡满足静平衡的不一定满足动平衡。也就说，动平衡满足条件更苛刻，两个条件，一个是惯性力，还有一个惯性力矩。一个力矩都要平衡，它才能够平衡是吧？那动不平衡就简单了，动不平衡之后再。

只有在动起来的时候，才能表现出来，静止状态下表现不出来，对不对？也就说我一拨这个准子的时候一拨这个。滚动体的时候哎，有可能。我是说有可能啊，哎，它在任意位置停下来，也就说静态啊，它它满足静平衡，有的有的压根儿连静平衡都不满足。对吧，一根长轴连净平衡都不满足。

质量在这儿，质量在这儿，质量在这儿，那就更谈不上动平衡了，对不对？那就更谈不上动。动平衡也就说动不平衡。动不平衡，为什么它起的是动不平衡？刚才我说的连静平衡都不满足的那个，就就谈不到了，对不对？动不平衡说的只有在动的时候。才表现出来，你像那种不动就能表现出来，

它始终一个位，那那不叫动不平衡，对吧？动不平衡就是满足了静平衡。但是一动起来又有力偶。是吧，这叫动不平。动平衡的措施，那怎么改善呢？也就说考研的时候怎么考察呢？如何考察大家呢？就是说的这个意思，如何考察下面这个才是重力？动平衡才是重点。当转子各偏心质量引起的惯性力和惯性力偶还有力，

都是均为零。惯性力和力。均为零，这两个公式一定要记住。也就说当当。当转子各偏心质量引起的惯性力，惯性力偶呃，这个多了多了俩字，惯性力偶都为零的时候。则达到了动平衡，达到了动平动平衡有两个条件，第一个就是首先是惯性力。为零对吧？惯性力为零，惯性力矩为零，

也就说在这个面上，你看不是分解两面吗？在这个面上。达到净平衡了，在这个面儿上达到净平衡了，是不是这一下在任意两个面儿上都净平衡了，那就没有理由了。对吧，也就是说咱们后边要说的。两个面。我们选动平衡的时候，在机械原理里边，我们选两个面。你看这个思路是怎么来的？如果你是第一次听机械原理的话，

可能听的不太懂了。动平衡，怎么让它动平衡了？原先这是一个轴。这儿有一个不平衡质量，这儿有个不平衡质量，首先我要让它满足动平衡的，是不是静平衡得先满足啊？对吧？我选两个面儿。我选两个面。我只要在这两个面上达到了平衡，比如说在这个面上满足了净平衡是吧？它表现不出来了。一旋转，

它的质心就在就在旋转中心，那么在这个面儿上，一旋转，它的旋转中心也在这个质心上。对不对？那就是不是就平衡了，就没有产生力偶了，对不对？我们把所有的偏心质量都往这两个面上去投影。把所有的偏心质量都往这两个面上去投影。我们的方法，你看是怎么来的？也就说我们是如何平衡平衡力，咱们都都知道很简单，在一个平面上是不是把力给平衡了就完了，

那么怎么平衡力偶的呢？力有是不是得有两个力呀？你所以说我们得选两个面。我们得选两个面。我们把所有的偏心质量注意啊，是所有的偏心质量都要投影到，就是把它拆分开来哎。在这个投影到这个面儿上，占多多大的比例投影到这个面儿上，占多大的比例？什么叫投影？就是呃，怎么解释呢来？分摊多大的力嘛，就这是一个支撑点，

这是一个支撑点，假设一个五牛的一个力，五牛的力作用在上边。距这边是13距这边是23，我我们要把力分解开，分解到这两个支撑点上，也就说相当于是把这这个质量分解开。投影到这个面上，这个占比是多少？投影到这个面上，这个占比是多少？是吧？就是分把质量分开放在这放在这，就你就你就没了，对吧？

对吧，也就说如果你这有个质量，相当于是在这个面儿上有多少质量，相当于是在这个面儿上有多少质量，对吧？就这个意思，把五牛的力给它，比如说咱们再接着说，把五牛的力分解到这两个支撑点上，那么它的力是多少呢？是距离的反比是哪个什么的？距离的反比。咱们咱们还要。这个是五牛。这个是13距离l。

这个是2l3。2m3，那么这边分得的力是多大？也就说是23的。五牛103，这边呢，是131353，五的13对吧？哎，有的同学纳闷了，该这是怎么来的呢？对吧？上上节上节课咱们说过没有说过了好了。咱们给大家说一说，首先先从最基础的那个挑水的那个例子，

是不是挑水那个例子先从最简单的入手？咱们先给大家引入一下。就比如说你在抬东西的时候，挑水的时候，小时候。这是家长对不对？拿着抬着这个哎，这是大人。这是那个水桶吧？挂在上边，嘿。画在上边，这是个水桶。这里边盛满了水，对吧？

这是个水桶。你呢？站在这。对吧，你站在这抬水。大人抬的水，大人抬的水，是不是要靠近小时候怕你累着，然后把把东西诶往自己这边挪？是不是沉了？或者是如果你现在还感觉不到，就拿个棍杵杵到搭到一个搭到一个桌子上，然后你拉一个东西。提出一个东西来，对不对？

你是不是你试一下，往往你这靠近是不是你的，你分得分得的力就很大呀？对吧，你分得的力就很大。那这个这个。感性的认识，这是感性的认识，对吧？那怎么理性的去判断呢？或者是叫量化去去搞呢？就是我虽然感觉沉了，但沉了多少呢？我俩我俩分的这个力到底是多大呢？这叫量化计算呢，

对不对？叫量化。那怎么去算呢？咱们就接下来去分解，把这个力的模型给它建立起来，对吧？首先先知道了哦，原来是靠近我的沉，但是沉了多少我们不知道，现在我们就来说这个事。首先，我们对a点。和b点。对a点取距。这是一个力f。

五牛13对吧？这个是2l3，我们对a点取距。对a点取距。对a点取距。是不是以这一点对a点取距的意思就是什么？就是相当于是我绕着a点这杆儿可以绕着a点转动啊，就那个意思吧，对吧？把a看作一个支撑点了。把b看作一个受力了，也就说现在。f有一有这样一个力f下来，对吧？f下来。

乘上这个f。乘以乘以多少呢？乘以23，等于是吧，这不是这个f到a点的这个距。有有有多能够形成多大的力矩吗？或者是能够形成多大的力偶吗？对吧？那么和谁相等呢？现在这个杆儿是不是平衡到这了？和谁相等呢？和这个支撑点b点的支撑有一个向上的支撑力，对吧？和这个支撑力FB。乘以乘以多少呢？

乘以整个l你看是吧？b点到a点的距离是不是整个l？现在把le消掉，也就说b点承受的力是。是23的。23的f。是吧，是23的f吧？是23的f吗？对吧？没问题吧？FB是23的f也就说越靠近b点b点承受的越多，承受了多少呢是？是距离的反比，什么距离的反比，

是这个力到a点的距离。也就说，如果你想求b点承受多大力，是用f点到a点的距离比上总距离。并不是说到b点的距离，你到你得到b点的距离，那就那就没意思了，对吧？那就求反了。你看这个力。这个力是不是23这23怎么来的？也就说我们把它我们把刚才的这个求解过程。我们总结出一个规律来。总结出一个规律来。就是要求b点的分得的多大的力，

就是这个力到a点的距离比上总距离。比上谁的总距离是a点和b点的总距离。对吧a点和b点的总距离。那理解了这个事情之后好了。再来回来再回来看。这个是再回来看这个式。MR.mrm.MR也就说直径g。和那个力是一模一样，和那个力是一模一样的，也就是说我到这不先建立两个平面吗？你看我的方法是怎么样让它的距离？让它的距平衡的，让它们的距平衡的就是力偶，

惯性力偶怎么平衡的？选俩面对不对？把所有的质量离心的质量注意啊，是所有的你不能漏两个。对吧，你不能说我投影完了之后平衡完了之后发现耶，这还有一个。那不行，那不行，有的同学说，哎，为啥平衡完了之后就达到了动平衡呢？就是因为你把所有的质量都分了，你不要说偷偷摸摸的自己在这哎，再来一个。

发现它依然不平衡，那不行，你得把所有的这个都往这两个分解分解就有就有规律了，对不对分解？假设这个质量。距这里13，距这里是23，那MR。MR它往这两个面上，这是一面，这是二面。投影的时候就有了MR往一面上投影占了多少呢？占了MR×1个三分之。一也就是说，在一面上分得了这个直径积的13，

你说离它远吗？离它远，它分的少，分的少多少呢？是到对面的距离，是到对面的距离。也就是说，到对面的距离比上你看这个就是这个公式里边。到二面上这个是不是到二面上的？这是不是到二面上的距离？你看到二面上的距离是是fi？fi×1个il- 1个。这种小l。你看到二面上的距离，是不是到你看这l大l1减小l是不是到对面的距离了？

是不是到对面的距离？也就是说到二面上的投影是这个质量，到一面的距离比上总距离，到一面的距离比上总距离，一定要理解。这个事情一定要理解这个事情。最重要的，最重要的分解两个易错点。就是占比问题。明不明白？这儿往这个面上占占比多少，假设它是MR，把它投影到二面上。这是13的话l。它占多少？

有的同学张口就来13是不是错了？是用。大l这个是大l。也说是整整体的一个ll减去多少13，也说l- 1l3，括起来是不是就是23比上一个总体的l对吧？比上一个总体l才是到二面上的。投影对吧？才是到二面上的投影，也就说到哪一个面上的投影占比是多多少的指定机占比是多少，就是到对面的距离比上总距离。我们一定要理解这个事情。只要你理解了这个事情，就占比是对面对侧的距离。是到对侧的距离比上总距离一定是对侧的距离。

一定到对侧的距离。咱们在这里稍微的花的时间比较长一点，因为如果你一旦不理解这个事情的话，后面所有的知识点。都搞不定，都搞不定。理没理解。一定要理解啊，一定要理解。还有一个事儿。非常重要的，易错的。第一个事儿，还有第二个事儿。假设偏心质量在这。

偏心质量在这让你分解的这两面啊，一个是一面在这二面在这。在这两个面之外，有一个质量。有一个质量m偏心的质量。那这个怎么分解呢？分解到这个面上分解到这个面上。其实是一样的。也就说m到二面的距离比上总距离，这个总距离是谁的总距离？还是一面和二面的总距离不是？不是这个质量到这个的，总的这个最长的这个距离不是啊，还是这个两个面的距离，假设是l。

然后到这个的距离，假设这个这两个距离啊，距离了1l3，那么，到二面上的分分得的质量是多少呢？就是用到一面的距离是不是到二面上分得多少多少质量？这是二面，那么就到一面的距离是谁？到一面的距离是这。这个质量块到一面的距离是多少？是l+13吧？对吧？也就说4l3，比上总距离l乘上一个f，也就说乘上一个MR。

MR也就说。二面上分得的这个直径积的话是43的MR。这是第一个易错点。第二个易错点。还有方向问题，方向问题，也就是说MR现在是是不是竖直向下的？在二面上形成的MR也是竖直向下的。那么，在一在一上的呢？形成的对不起是向上的，有80%的同学。80%的同学认为它是向下的，你想想如果把这边这个东西给它拿掉，没有约束了。

我一压这个东西，它怎么办诶？是不是翘起来了？是不是翘起来了？对吧？是不是翘起来了？所以说它受到了一个有一个向上的一个分分量吧，对不对？有一个向上的分量吧。有的同学说，这不向上的分量，那正好挡着它呢，它是不是受到一个向下的力吗？你是不是把问题搞错了？你把问题搞错了。

你说的那个是支座给它的一个支反力朝下的。为什么有一个向下的支反力呢？还不是你杆儿本身有一个向上的倾斜嘛，也就说现在咱们只看这个MR产生的效果。并不是说看你这个支返力，对吧？也就说MR现在给它分解开，它会产生一个这样的一个循环。旋转动作对不对，并不是说你的支反力，听懂我说意思吗？刚才有的同学非较劲，说我这一挡，你看这个支反力，这不向下的吗？

咱们咱没谈论制反力是吧？咱还还是谈论这个杆儿上产生的这个效果，它向上的对不对？也就说你再问自己一步，为什么这个制反力有向下的制反力还不是你？向上自身有个向上的这么力嘛，对吧？所以说它会产生一个向上的这么一个效果。理没理解。哎，现在不涉及制反力的事儿啊，现在不涉及制反力的事儿，就涉及它本身，把它拆分出来，它有一个什么效果，

因为你做平衡的时候也是。平衡的是它内部的，自身的这个这个内力对不对？和这个制反力现在还没有关系呢，如果让你求制反力的话，你再把制反力加进去。对吧，而且求支反力的话，也是你把这个杆内部的力都平衡干净之后都平衡好之后，然后算出来这个构件啊，有一个整体向上的这么一个力。那我的支反力就是向下的，而是把内部力都平衡好了都。都平平复了，对不对？

也就是说你想对外。想想求这个外载荷，或者是想求这个外部的这个支反力的时候，你首先先把内部给平定了是吧？嚷外必先平内嘛，对不对？壤外必先平内嘛，是不是有有这么个词？壤外必先平内。理没理解，是不是很易错？这个东西是不是很易错，你看。给大家三分钟的时间，我再把这个图画这啊。

两个易错点，一个是距离上易错。一个是它是产生一个向上的，这个产生的临近这个面，它是一个向下的，对不对？也就说这个MR始终产生了一个这个。这样的一个。六对吧？如果把这个支支支座拿走，我一压这边喂翘起来了，是不是翘起来了？给大家三分钟的时间是五分钟到三分钟，摁个暂停。对吧，

没问题了吧？假设你摁了暂停已经，哎，觉得可以了OK了。

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23机械基础24.21第五章机械的平衡（1）

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