05.题型多元函数连续、偏导数、全微分的概念及其之间的关系

罗泽兵 · 发表于 2024-4-4 09:19:19

那么下面呢？我们再举些例子啊。那这个地方的题目你看一般主要是围绕谁啊？就是围绕连续偏导全微分。这些概念就是用定义来判定，以及这些概念之间的关系来考我们。那么下面呢？我们也举一些非常经典的例子，比如说。这是过去数学一的考题。它说f呢，是这样一个分段零零点等于零。那么非零零点是等于它在零零点连续偏导，不存在连续偏导。偏导存在连续偏导，

不存在实际上这就是问这个函数在零零点连续不连续偏导数存在。不存在，那我们拿来以后连续不连续，那这个时候我们知道，那就是看零零点的极限是不是等于零零点的函数值？那么，它在零零点的极限是不是等于零零点的函数值啊？x趋向0y趋向零。然后这个上面是xy，下面是x方加y方。实际上，这个我们在前面例题里边已经讲了，你看上面是二次，下面是二次，上下方次一样，

一般是不存在。当然，我们最后呢，是利用谁啊？过原点的直线y=kx代进去。最后说明了这个极限怎么样？不存在，因为y=kx代进去算出的极限值和k是有关系，它随着不同的直线。它这个极限值不一样，所以说明这个不存在。那么，这个既然不存在，立马就推出怎么样不连续？好，

然后呢？零零点的偏导数是否存在？因为这xy是个对称的形式，我们只要看一个。那么，那比如说我们来看零零点对x的偏导数。当然，这个地方要不要写一撇可以写一撇也可以不写一撇好零零点对x偏导数，那我们按照定义也可以这样写，就是x趋向零。啊，那么这儿呢？就是f0，然后这儿是谁？然后这个啊对x撇倒数。

就是如果这实际上有两种写法，就是这个呢，我们希望大家一点点习惯起来哈。那么一种写法，就像我们刚才写的那个，那这就是零加德尔塔x。这是零，然后减去谁呀f的零零除以谁呀？德尔塔的x。那么这个呢？写出来它应该是谁？那就是德尔塔x趋向零，那么下面呢？是德尔塔x。你注意这个是要把y用零代进去x用德尔塔x代，

你y用零一代，那这个地方分子等于零。form呢？那这个时候y=0，这底下是德尔塔x方那，所以这个第一个是零。f零零那f零零是定义在这可不是上面也是零，那注意上面恒等于零，底下趋向零。这个当然是的。当然注意这个呢，也可以这样写，就是f1撇x零零也可以，怎么样也可以写这个形式？就是x趋向点，

那么这儿呢？就是x这就是fx 0。减去谁呀f零零？啊，这两种形式都可以，就相当于我们一元导数定义里边，你看f1撇x0。可以写成这个形式，就是德尔塔x曲线零，那这是谁fx 0加德尔塔x？jfx 0对象就是德尔塔x。当然，这个呢，也可以写成谁x趋向于x0。那上面就是fx减谁呀？

fx 0 x-x零。就这儿有两种形式，这儿呢，也有两种形式。那么这个呢？具体呢就可以写成x趋向零，下面是x。上面呢x因为x带y有零带那一带分子等于零分母是x方，那这个就是零。这个也是零零减零，上面横等于零，底下是趋向零极限，当然是零。那么另外呢，它那个是个对称形式，

那这个就不用定义写了fy零零。它肯定也等于零。那么所以呢，我们最后的结论是不连续。但是它的偏导数怎么样是存在的？不连续偏导数存在，那就是它。那这里这个呢，也给出了一个可导而不连续的例子，这也是非常经典，在这你看在音乐里边的话。当可导必连续，当然呢，可导不一定连续，这就是非常经典的一个例子。

当然，在这个地方，说明这个偏导数的时候，因为分段函数分界点，我们用的是定义，这是一种传统。也是一种习惯的用法。但是实际上呢，注意我们也可以用谁呀，也可以用我们讲的一点上那种先代后。后求啊，你比如说你对x的偏导数，实际上应该是这个一元函数。哪个一元函数啊？fx 0这个一元函数的导数。

但是这个一元函数等于谁呀？我们得看我们这个式子。那么大家注意啊，你现在y已经等于零了。那你这个地方得分，如果你x也等于零。这样子，你俩都等于零，你只能带这儿，那这儿是零。如果你的x不等于零。那注意这个xy就属于上面。就两个不同思维的，你得带这儿。在这儿大家注意，

这个时候看这个x不等于0y是等于零。x不等于零，y=0，分子就等于零，分母不等于零，这还是零啊。所以你看它作为一个一元函数，它就恒等于零。那一个恒等于零的函数，在所有点导数都等于零，那我立马就知道f1撇x零零。就等于零。这就是先代后求。实际上，对这种分段函数在分界点也可以用这个思想。

所以数学你只要学懂了，那这个时候你就运用方法非常自如，如果仅仅是靠背的，那这个用的是做的是题目的时候啊。就比较死板，那上了考场就比较慢，所以分段还是分界点也可以用先代后求这个思想去判断。好，这是我们要看的第一个例子。下面呢，我们再来看，这是一九九四年数一和数二的考题，二元函数在这点两个偏导数存在。实际上就是可偏导是这个函数，在这一点连续的什么条件？

那实际上也就是说，对于这个二元函数来讲。连续和可导。到底是什么关系？实际上，我们刚才已经梳理过了，连续能不能推蝌蚪？不能蝌蚪能不能推谁呀？能不能推连续也不能。这就说明什么？在这一点，两个偏导数存在。那么，推不出连续连续推不出两个偏导数存在，那这说明它既非充分条件，

又非必要条件。所以这个立马就选它，那么这种题目实际上你只要把我们刚才讲的那个多元连续课导可谓之间关系，那个关系从那个结论记住上了考场，你分数就拿到了。当然，这是早年的比较简单的考题，这个比较低的一个要求。那么，这些反例我们一会儿都会举，但是你知道这个结论，那这个题目立马就做完了，就是这个多元函数连续性跟可导性没关系。谁都推不出来谁？这就考的这些概念之间的关系。

好，那么下面呢？我们再来看二零一二年这个数学三的一个考题。他说，这个连续函数z等于它满足这个条件。那这一点的微分等于什么？你看函数没告诉我们，只告诉这个极限求微分。那实际上，这第一个问题微分有没有？如果有的话，等于谁微分有没有f都不知道，只给了这个极限。那这个严格讲，应该从定义去看。

那有同学说我从定义我怎么看呢？唉，我们把它改写啊，首先注意看。商存在。因为它是零一级的微分，它跟那零一级的函数值有关，零一级的函数值怎么知道？那大家注意看。商存在分母又趋向零。一元里边有个结论，分子一定趋向于零。但是呢，它为什么告诉你连续啊？你这个时候这一点的极限就等于这点函数值，

那所以就知道f零一。然后注意x趋向零y趋向一，这个是零，这个是一一减一减二，那就是减一。这就是分子极限，这个要等于零那，所以可以得到这一点的值等于一。然后完了以后呢，注意把这个呢改写。因为这个时候你注意这个下面这个实际上就是我们这个地方的入。那么上面呢？我把它写成看临近点减这一点，这实际上就德尔塔z。那么后面呢，

能够写成这样一个式子。这个等于零。那大家注意，有同学说这个单元一定能知道什么啊，你注意这两个相减就是德尔塔z。那么，这样的话，不是就是德尔塔z减它除入等于零，那实际上就这个等于小o的入。那么，这个东西小入不是把这个可以移过来写成这个式子？那么，这个式子就能得到谁呀？就能得到这一点的微分，就等于它。

还有同学说老师，你这个怎么看出这个呢？哎，这个时候注意我们原来微分定义的时候是这样子定义的看。这个德尔塔z那么是fx 0加德尔塔x。然后呢y0加德尔塔y就这个呢，一点一点，我们要熟悉起来啊，但是这个地方呢，实际上是有两种形式。那么过去呢，写的是这种形式，就是y0加德尔塔y-fx 0y零。那么，它呢？

如果能写成a德尔塔x+b德尔塔y？加小额入，我们就称它可微，那么把这个呢，就定义为微分。这个地方的入等于谁？等于根号的德尔塔x平方加上谁？德尔塔y的平方。但是呢，它还有一种等价的形式。等价的形式是什么呢？是这样写，就是这个德尔塔z等于谁啊？那我把这个记作x把这个记作y那，所以这就是fx y减谁呀？

fx 0y0啊。fx 0y0。那么，能够写成谁啊？fx=y零。这个呢，能够写成谁a贝塔？大家注意x等于加德尔塔x记住I记住x的话，那这个德尔塔x是不是就是x-x等于？所以就是a倍的x-x零。然后再加上谁必备的y-y零。然后再加小o。但是这个时候r等于谁？r就等于根号底下德尔塔x就变成x-x零的平方。那么，

加上谁y-y零的平方？那么，如果它这个函数改变量，这点改变量能写成这个形式，它就可v，并且微分就等于它。而那么这个时候呢，这个a和b就是两个偏导数。以至于我们现在写成这个，这就是x0，这就是y0。这不就是fx y-fx=y零。那么这个时候呢，它的x-x零是谁啊？因为它的x0=0，

所以这儿就是谁x-x零。那么这个东西就是谁y-y等于？那所以它的a就等于谁呀二呀，它的b就等于谁负一呀？那微分就等于谁微分不是就是dz就等于adx加。加BD y吗？那么，所以微分就等于它？那么，大家注意，这就是用定义把它写出来，写成这个形式。我们熟悉的形式，我们就知道它可v变成v方，等于谁就等于adx+BD y，

所以就是2 dx加上这个dy。但是这个呢，这样做对我们同学要求还是蛮高的，就是你对这个微分的定义一定要非常熟悉。但这种题有没有其他的方法呢？你注意，这是个填空题。如果这种题是解答题，证明题，你也真能这样做，没有其他选择，但是只要答案的题目。那我就可以用简单的方法。那么，大家想符合。

这个条件的函数。那么，最后做出来结果肯定都是一样的。所以我就怎么样找一个。符合这个条件的具体函数一个就是连续一个这个极限等于零。那有同学说老师找谁呢？那你这样想。如果这个分子就等于零了。那这个极限是不是就一定等于零哎？那这个分子等于零，我只要写f等于谁啊？那fx y1项呀？就等于c2 x-y+2，你看如果f选这个，它是符合连续这个条件。

也符合这个极限等于零。那这个时候它的在这点微分，肯定跟这个算出来是一样的。但是大家注意，这个函数在所有点的微分，因为它对x偏导数就是二。dx它的y的偏导数就负一，它的所有点微分都等于这个，那在这一点微分肯定是这个。这就叫巧做。但是注意这个解法二。只能用在只认答案的题目，就这种填空题或者说种选择题，你可以这样做。但是如果出成解答题证明题，

那你这就是经典的错误标准的零分，但是作为指正答案的题目，它又是好方法。所以同样一个题目，促成不同的题型。那这个地方看到有不同的方法和技巧，这个就要一点点积累。那这个题就考的是全微分的概念。好，那么下面呢？我们来看证明，以下几个经典的范例。那你看这个呢，是在零零点是连续，但不可导，

那也不可为。这个呢，是可导不连续。那么这个呢是可导，但是不可微。这个呢，是可微偏导数不连续，这就是我们在前面总结的连续可导可微关系里边。是不是有好几个都退不出来？那么推不出来一些经典的反例，我们要积累。所以我们通过这些呢，一个是希望大家熟悉这些经典的反例，那么另外呢，也是通过这些经典的反例，

在这个地方，大家熟悉一下。如何用定义判定连续性，判定可导性，判定可维性，这也是个基本要求。好，那么下面呢？我们一个一个来。这个在零点连续不可为，那连续这个是很显然，大家看你x趋向于0y，趋向于零的时候。那你注意你的x绝对值加y的绝对值取极限等于零，这个零就是f零零。

那显然是连续。那不可导也是显然的，我们在前面讲过，就是你要看对x偏导数，先带后求。那么，这个呢？一代就是x绝对值，那么大家都知道这个呢？在零点就不可导这个，在零点不可导那就说明。这个二元函数在零点对x偏导数怎么样？不存在。好，那这就是一个连续不可导的一个非常经典的范例。

然后呢？我们再来看它，说它呢是可导不连续，这个实际上我们在前面都讲过了。啊，这个可导，你可以用定义也可以用先代后求啊，那么它不连续呢，我们在前面也讲过了，过原点的直线。y=kx一代进去，那么立马得到这个极限与k有关，从而说明这个极限不存在极限，不存在那肯定就不连续。所以这是一个可导不连续，

非常经典的反例。啊，那么再下来呢？我们来看这个，它说它在零零点是可导，但是不可为。那么零零点可导，注意这是分段还是分界点？那一般方法适用谁啊？适用定义。那所以我们先来看fx零零。那么，按照定义的话，应该看这个极限，那就是x趋向零的时候。

这呢是fx0-f零零除以谁x？好，那我们具体写出来，这就是x趋向零那分母呢是x。这要把y=0带进去。y=0在上面，零底下是根号x方，所以这是零那么f等于零零。上面是恒等于零，下面才趋向零，而不等于零，那这个当然等于零。那同理，这个就不用再去算了，因为是对称形式fy零零也等于零。

这就证明了可导。那证明不可为。啊，那分段还是分界点可微性的判定，那这个时候一般都得用定义。那这个地方呢，用定义判定，那我们说直接用定义不方便，我们给大家总结了两步曲。那么，两步棋第一步是谁啊？就看两个一阶偏导是否存在，这刚才已经验证了两个一阶偏导数存在。但是偏导存在只是可为的必要条件，你不能断定它可为。

那么可为不可为，这个时候就要看谁呢？啊，就要看这样一个冲击线啊，那么就要看谁就看这个冲击线，当然如果按照我们原来写的话，这应该写德尔塔x趋向零。德尔塔y趋向零，那么底下是谁呀？底下就是根号的。然后这就是德尔塔x平方加德尔塔y的平方上面呢？德尔塔z。德尔塔z是什么？就是f德尔塔x德尔塔y-f零零那所以这个地方写出来应该是德尔塔x德尔塔y。根号的，

然后是德尔塔x平方加德尔塔y平方。这是f德尔塔x德尔塔y减去谁f=0。f零零=0。然后呢？再减去谁啊？再减去a德尔塔xa是谁a是零啊？所以这就是零乘德尔塔x。然后呢？再加上b。德尔塔yb也等于零啊零乘德尔塔y。然后就是看这个极限是否为零。如果这个重极限存在变量等于零。可为否则就不可为，否则是指两种情况。一种是存在非零。

一种呢，是不存在。那么大家看一下分子上实际上最后只剩下这一项。那么这个再跟下面一除呢，就变成这个极限，你看就变成德尔塔x趋向零。德尔塔y趋向零。然后上面呢，就是德尔塔x德尔塔的y底下是谁？德尔塔x平方加。德尔塔y的平方。今天我们多次碰到这个极限。那么，这个从极限我们知道就不存在。那这个就是它是否等于零，

如果等于零就可为，否则就不可为，否则里边包含两种情况。一种就是这个极限存在非零，一种是不存在，既然这个不存在，立马就推出。这个二元函数在内的怎么样？在内的就不可谓。所以这就是一个可导但不可微的一个经典的反例。那么，通过这个题目呢？我们也进一步希望大家熟悉如何用定义判定一个分段函数，在一个分界点上的可导性。靠微信靠微信使用定义就是两步曲，

你看这个做起来就比较方便。好，下面呢？我们来看这个用，你看刚才我们用这个定义判定可能性，这个看第一步是看。这两个是不是存在我们这已经看过了，那么第二步呢？这个式子就是这样写出来的，你看这是德尔塔z-fx这个。fy，那这个是否等于零？这就是我们刚才写的这个式子。好，下面呢？

我们再来看这个也是一个非常经典的一个例子。你看它来证明它在零零点可v，但是偏导函数不连续。那在这呢，我们一步一步来啊，证明这个。可维性。分段还是分界点，要占可微性，我们这个时候用定义定义就得分两步，首先看谁呀f在这点两个一阶偏导。那么这个呢？我们就这个写的时候就可以写的快一点啊，德尔塔x趋向于零。那么大家看下面呢，

是德尔塔x。上面呢，就是把x用德尔塔x代y用谁呀？零代进去，这应该就是德尔塔x平方。s in谁啊？这应该是德尔塔x括号平方减去f零零f零零=0啊。但是这个时候大家注意，你看前面是平方。消掉一个德尔塔x，还留一个德尔塔x。但是后面这个呢？里边的德尔塔x分之一去向无穷s in，无穷不存在，但它有界呀，

前面还留一个德尔塔x无穷小。无穷小乘以有机，变量无穷小，所以这个等于零。根据对称性，我们知道它在零零点对外的偏导数也等于零。那这才说明可导可导，不一定可为啊，那么第二步呢，就得看谁啊，这样一个极限。就是德尔塔x趋向零，德尔塔y趋向零。然后底下是谁？底下就是根号的。

德尔塔x平方加德尔塔y的平方。上面呢，首先写谁写这个f德尔塔xy德尔塔x德尔塔y-f=0。那么，这写出来就是谁？这写出来应该是这个看这应该是德尔塔x平方。加德尔塔y的平方。然后再乘谁呀s in上面是一，底下是德尔塔x平方加德尔塔y的平方。这就是f德尔塔。x德尔塔y减去谁f=0？然后再减谁再减去。x的偏导数乘德尔塔x。x偏导数是零，所以是零。

乘德尔塔x再加y的偏导数零乘上谁？但是塔外。那现在呢？就要看这个极限是否等于零？但是呢，这实际上呢，你看这一改写的话，最后剩下的是谁那么剩下呢？你看这是个根号，它没有根号，这两个一消，这前面还有个根号。但是前面这个根号是趋向零，后面虽然这个s in这个里边趋向无穷，不存在，

但它有渐变的呀。所以立马知道这个是等于零。那么，从而就推出它在零零点怎么样可为？这就是用定义两步曲就可以判定可微性。那么下面呢？他要说偏导数不连续。那么，首先我们因为这是个对称形式，我们来看这个就是对x偏导数。不连续，但是你首先得知道它在这点连续是指的什么，连续是指的它在这一点就是x趋向零。y趋向零的时候。这个偏导函数的极限等于谁呀？

这一点的偏导。这就是连续就应该满足这个式子。你要说明不连续，那就这个式子不成立。那么，如何说明这个式子不成立呢？你现在求出这个，现在求出这个，这个我们已经求出来零。关键你得求这个。注意这个x趋向0y趋向零，那就是非零零点上的它，那么所以呢，你这个得写一下xy。不等于零零。

非零点上，这个是什么啊哈？你把这个先得求出来。那么，在非零点上，这个我就直接让这个求啊，它是两个相乘，它求到它不动，所以这应该有个2x。然后s in这个上面，这是一这是x平方加y平方。它求导它不动，还有一项，那就是加上这个前面不动，就是x平方加y平方后面求导。

sine求导是cosine x方加y方分之一。然后再乘上它求导，那么它求导呢？我们知道这等于负的谁？负的分母平方x平方加y平方的平方，然后这个再求导这个2x。好了，那么这个时候呢，你要看这个极限，大家注意，那这个极限有两个部分。这一部分。前面无穷小，后面有界，所以这一部分极限存在等于零。

那这个极限呢？等于不等于fx零零，关键是看这一项的极限。但是这一项等于谁呢？你看你把它整理一下，那么整理一下这个，最后是等于谁？你看消掉一个底下x方加y方，它等于负的。x方加y方分之2x。然后这儿呢是cos。x方加y方分之一。在零零点的极限。那我们知道它在零零点极限存在，是指的什么？

是要指这个动点，以任意方式趋向零零。它都要存在，并且要相等。但是我要否定它。好，如果取某一个特殊方向，它就不存在足以说明它就不存在。那我们取谁呢啊？为了简单起见，我们取这个x轴。x轴上实际上是y=0。那么就是y=0代进去，让x取向零。大家注意y等于零一代进去，

你看它变成谁了？你看y等于零一代这个地方就是负的x分之二。然后呢y等于零一代，这后面就是cosine x方分之一。但是x趋向零的时候，那么大家注意这个前面是趋向于无穷。而后面呢，是在负一正一之间。那么，所以等x趋向零的时候，这个是不存在。那这说明什么？这说明它的极限。那么在这一点肯定零零点不存在，因为在零零点沿着x轴方向取向它，

它都不存在。那这说明这一项，它在零零点的极限就怎么样不存在？那么，大家可注意啊，第一项极限存在变成等于零，我们在一元里边讲过存在加不存在。一定是谁啊？不存在。那么，所以这说明什么？这说明它的一阶导对x偏导函数在零零点这个极限都不存在。那更谈不上它等于这个了。那这就说明谁啊，它的偏导数是不连续的。

那也就是说。这个地方呢，这个偏导连续是可谓的充分条件，但非必要条件。你看它在这点是可为的，但是偏导数并不一定要求连续。所以注意我们刚才举的这四个例子，就是那个可导可为连续。然后这个关系里边这种推不出来的时候，常用的一些经典反例。那么，我们希望大家一点点要熟悉这些经典范例，因为上了考场，有时候会用到它，有时候有些题目里面考，

你实际上就是考这些经典范例。那么，另外呢，通过这些经典反例，也是让大家熟悉。可导性的判定，连续性判定，可谓性的判定，那么这种用定义判定这些东西。这个时候的方法不但要知道，而且要比较收敛。好，那下面呢？我们再看一个例子。这是。

二零一七年，数学二的考题。f具有一阶偏导数。并且对任意的x和y对x偏导数大于零，对y的偏导数小于零。则我这些两个点上函数值的大小关系。那么，这种题考什么？那实际上是考偏导数它的意义。对x偏导数我们讲过，它实际上是个一元函数导数。它反映谁这个二元函数沿x轴方向的变化率。而对外的偏导数，那它怎么样？它是反应它是个异元函数导数，

但是是对外的导数。它所以它是反映沿y轴方向的变化率。那么，所以这个时候我们就想了一元函数，导数大于零，函数就单调增，但是对x的偏导数大于零，所以。那这个二维函数就是x的增函数。那么是x增函数，那就是说它呢，沿着x轴方向应该是增的。但是呢，这个对外的偏导数小于零。那就是这个应该是沿着y轴的正向，

应该是减的。沿着y轴的正向是减的，那沿着y轴的负向。就应该是真的。这就是从它这个偏导数的意义上，我们能得到啊，这两个条件能得到，那就是它沿着x轴方向增。沿着y轴的正向是减，但是负向是增。啊，所以这个时候我们来看如何用这个来得到我们正确的答案。那么大家注意，你看它猜测到几个点，猜测到这样几个点，

看一个呢是零零点啊，假如说这儿是零零点。然后呢？还有一个呢？是一一这个点啊？那在这呢，比如说我们这个点就是我们画在这啊，这个点。是一一这个点。那它到现在呢，要看这两个点上的大小那么直接，要从这到这，这xy都发生变化了。那这个时候呢，我们不好用这个片段，

我们只知道这两个方向。那所以那我们这个时候呢，可以走怎么样？可以走折线？比如说我们这样来走这个折线，你看这是零零这个点。那好，这样过来，然后这样上去。那这个时候大家注意你看。从这往这走，那是沿着x轴正向，这是增的。但是从这往上走。那是这个是个减的一增一减，

但是这两个你能断定这点一定小吗？那这个断定不了。所以这个不能断定。那这个呢？说哦，它后面这个一定比它大，你重整过来是一增一减，那你说后面这点是比这个大还是比这个？比这个小，你断定不了那主要牵扯牵扯增和减它那个速率的快慢。所以实际上这两个你立马就知道你断定不了这个。然后呢，是f零一和f一零。那这时候我们知道零一就x=0 y=1，这是是零一。

那么另外一个呢？是一零一零是谁啊？一零实际上是这个点。那好了，你从这个点到这个点。当然，你可以这样走，也可以那样走，但实际上是一回事儿，那我们也可以看一下哈，比如说。你看你这样走，那这个零一到一零零一到一零，那这个时候我们来看。如果你这样走。

好，那你零一的时候这是增的。那这个时候呢，往这边走的时候呢，实际上也是增的，你看零一从上往下，这是增的，那么从这儿往这儿也是增，那应该是增大了。那么增大了，那就这一点值应该大于这点值，它怎么说这点值小于这，这明显就错了。那这个呢？你看如果我们这样子，

按照刚才这个折线的话，你看往下走是增往右走也是增，那这点当然大于这个，这个肯定是对的。那有同学说你咋不走这个那一样的道理啊，你看如果你从这儿往这儿走，这一回事儿。你看这个增的这个也是增那，所以这一点的值，这是一个谁一零这点值一零这点值肯定大于这点值。这立马就可以做出判断，这个是正确的。当然，数学上的严格的表述那是什么？但实际上就是我们讲义上给的这个。

那就是我们要看这两点的大小，那我们就用f一零。减去谁呀f零一。那这个时候注意这呢x变了y也变了，这个偏导是不好判断。那所以这个地方必须写成只有一个边啊，那比如说我们这个地方看只有一个边。那么，只有一个变，比如说那我们这地方让x变y不要变那x变，那因为你这是零那，所以x是零。那y呢？不变啊，首先写这个。

就是这一项，先不要动啊。这就是f一零。那在这儿呢，解一项。那我们来这儿呢，我们让x变那么让x变，你看这是一呃，这是零，这是一。那所以呢，这一这是0x变，但是我们让y不要变y，你这是零，我这也就是零。

所以我就减一个f零零+1个f零零。因为这样的话，你这个y没有变，只有x变，那我这呢，再加一个谁f零零？然后再减一个f零一。就是减个f=0，加个f=0，大家注意这个呢，谁变了这个是x变y没有变？它是个一元改变量，那可以跟偏导数联系起来。那么这个呢？谁变了y变了？

但是x没有变，它也是个一元改变量。那么，怎么把一元改变量跟偏导联系？偏导就是导数啊，那怎么把函数的改变量跟导数联系起来？微分终值定理啊。所以这地方用一下拉格朗日终值定理。那么，拉格朗日终止电离应用，那这个就是导数，就是偏导数哪一点呢？这两个之间我把这个记做cos CC，应该介于零一之间。这应该是零b减AB减a就是一减零。

这就是用一元的拉格朗日终值定理。那么这儿呢，注意实际上是谁变了y变了，这也是个一元改变量，所以根据拉格朗日中值定，这是谁变了y变了？f1撇y零一塔。这个一塔应该介于零一之间，然后b减AB减a是谁？这就是零减一。那么，大家注意，这个时候这个条件就用得上对x偏导数，这个是正的。那么，

对外的偏导数这个是负的。那么大家看这个正数，乘上一个正一，那实际上这个距离写出来就是这就是f1撇x。可c0。那么后面呢，就减去f1撇的y，然后这就是零一它。这个是正的，这个是负的，但是前面加符号，那这个肯定大于零，那这个大于等于不是就这点函数值大于这点的函数值吗？那所以我们这个就证明了，就是严格的数学表述，

就是如果是证明题解答题，你应该这样写。但是呢，作为这种选择题，那我们刚才那个方法就更快捷。就是两个偏导数，分别反映什么对x偏导数反映这个沿x轴方向的变化率？对y的变导数一反应沿y轴方向变化率，所以这个大于零就意味着x轴方向增。那么，这个对y的偏导数小于零，沿着y轴正向是减，但是沿着y轴的负向就是增。那这样子，我们立马就可以判断出两点之间的大小。

这是一般方法。但是这是个选择题，只要答案。那可以有更简单的方法。更简单的方法是什么？就是排除法。那怎么用排除法找一个符合题目条件的具体函数？找谁呀？对x偏导数大于零，对y的偏导数小于零，你说找谁？是不是就找这样的非常简单的函数，你看fx y。等于谁x-y。那么大家注意，

你看这个时候你对x的偏导数正一当然大于零，那你对y的偏导数就等于负一当然小于零。这是不是就符合题目条件的一个具体的一个函数？好了，那这个时候呢，我就可以直接带进去看呀。那么大家注意，你看f零零对这个函数来讲，这就是零啊。然后呢f一一一减一也是零。那零怎么能大于零呢？这个就错了啊哈，然后这个呢也是左边是零，右边是零零，怎么能小于零呢？

这个也错了。然后这个带进去。所以零一。这等于谁负一。然后呢？一零x用1 y=0代，这是谁一？负一怎么能大于正一那那这个肯定错了，三个都错了，我们又是单项选择题对吗？就断定这个对。所以这个具体函数法也就是排除法。那排除法我们在前面讲什么时候用，出现一般函数，你看它只告诉这个函数有一阶偏导。

一个偏到大于零，一个偏到小于零，函数是谁不知道，这就出现了一般函数就适合用派除法。然后呢，找一个符合题目条件的具体函数，根据一个大于零，一个小于零，这是不是符合题目条件非常简单的函数立马做出来？所以就这个题而言。那当然，解法二是最好的方法。但是如果这个题出成解答题证明题，你这个解法二就用不成这种解法一。也得学会。

那么，解法一呢？这个就是一种数学上的严格的表述。当然，如果从数学上来理解，就刚才几何这样理解。更方便。好，这就是关于这道题，它主要考到了偏导数的意义啊。好，那这是关于例八。那今天的主要内容就是关于多元函数里边的重极限连续偏导数全微分。这四大概念以及如何用这些概念来判定函数的连续性，可导性，

可微性？同时，还有连续可导可微。这之间的关系，一元和多元哪里相同，哪里不相同，不相同是由谁导致的？那么另外呢，就多元函数连续可导，可位性之间的关系里边，一些经典的反例。大家通过这次课，一点一点要熟悉起来。这就是我们这次课的全部的内容。

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