09.冲刺满分10套卷精讲8-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:18:31

好同学们，行，那么接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测点声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们准备开始了。呃，那么今天啊，我们就继续精讲一下这个，今天上午啊模考的这套试卷呃，这应该是我们这个冲刺满分十套卷的最后一套卷子。那么后面两套呃，

一套是这个二零二二年的考研真题，一套是这个二零二三年的考研真题，那这两套真题啊，我们已经讲过了。但是如果你没有做的同学啊，我建议还是要把那两道真题啊，认认真真的把它完成到位，那么接下来我们就继续开始吧啊，这个今天呢？呃，最后一套卷子了，里面当中啊，可能打到了很多同学的一些痛点，我们都说过了，这个卷子呃，

综合下来，你做完了之后全部的考点呢，基本上是能涵盖到位的。那关键点一个问题就是每个部分的东西啊，出错了之后有没有把它进行去核心重点的改正过来，尤其是自己薄弱的部分的内容，有没有在平时过程当中做好最后的一个步枪？呃，这个事情非常的重要，那么最后一个阶段了，所以希望同学们好好再坚持一下，还有这个。今天是周日。嗯，下下周的这个时候我们已经考完了。

呃，还没有对吧？再过一会儿我们就考完了，所以说还有最后的这一点儿时间呢，希望同学们再好好坚持一下啊，这个今天是周日嘛？下下个周的，这个周日对吧？差不多了，还有一个多小时，我们就基本上都考完了。所以希望同学们好好加油啊，最后一段了呃，已经努力了这么久，不要到了这个最后一个阶段呢，

说这个临考之前呢，有点懈怠。千万不要这样，越到临考之前，希望大家的话，这个状态更好一点，不然的话，很多同学都是这样，等他走出考场了之后啊，他有点悔恨了。啊，千万不要这样，这段时间我们还没有走入考场，所有的问题啊，只要出现问题都有这个补救的可能性，

已经努力了这么久，再坚持一把啊。好了，那么接下来我们就继续吧，我们来开始看一下这个今天的重点内容呃，还是对这个第八套卷子啊，做一个点评。因为毕竟是最后套卷子呃，可能做起来有的人说这个。我怎么感觉做了这么多卷子，有些同学一直在提高，有些同学可能这个分数也不是特别稳定啊，也很正常。因为我们在这个题目当中啊。每一套卷子里面。

打的这个点呢，有点不一样，对吧？总会有一些新颖的一些题出现，比如说这套试卷当中我们。呃，里面当中啊一些题目可能有些同学做的不好，比如说这里面当中的第一题。有些同学就给忘了，有界限是怎么判定的？对吧，至于这个变上线函数的这个奇偶性的问题倒没问题，但是这个有界性，怎么判定？有些同学把它给忘了。

然后这个第二题你要放到基础班，这就是砍瓜切菜的题。但是现变成了这个今天的模拟卷进行考试啊，有的又做的不好，又进行跳坑了，这是is趋向于负无穷。大家注意，我没有挖坑，这不算坑。人一做错就说我在挖坑，我可没有挖坑。正常的题都是这样出的，如果趋向于正无穷，非常的简单。但是如果是趋向于负无穷，

有点坑，但是到了现在，这不算坑你，首先第一个立即做一个负带宽，把它变成正无穷。那这个根就没有了，所以立即出来了，然后第三题。估计很多同学等了好久这个题了，对吧？我们终于也是啊，千呼万唤始出来啊，好久了。啊，这个题目应该是老朋友了，

像这样的一个，如果把这个x啊看作成一个常数就是指数。这个数列在正无穷方向上何去何从的问题，有的人把它给忘了，对吧？不是说这个题不会原来过程当中啊，我们就做过这种问题。呃，第四题就不说了。然后继续第九题。虽然很多同学做这个第九题啊，做的非常麻烦，你没有看出来这是一阶二阶，这眼睛一漂就出来了，何取第一阶应该等价无穷第一个呀。

那所以这是这个题。然后是第11题做的不好啊，这个题啊，稍微有点难度系数，但是我觉得这个难度系数啊，也是在可控范围内，也不是说想象那么难。你看这里面当中出现了负s，又出现了这个f撇s，你怎么去处理呢？你可以把这个负s用s替换一下，你再写一个式子，你就可以把这个导函数啊，给这个负s给约掉。你看这个题，

这个题可能有点儿新颖啊。好了，这是这个，然后接下来我们继续，我们再来看，还有第15题。15题就是个骗子题，那按理说这个题应该非常非常的简单。有的看到说啊，老师，这是个数列数列咋了？这还不是积分线相同，被积分函数不同的定积分比较吗？比较定理呀。你看这个题。

13题不会。13题不会你的问题非常大。啊13题你记不出来，这问题非常大啊，这拦不住我。你对准这个答案，看你都知道怎么做啊，这个我觉得没有办法。好了，那么接下来我们继续吧，我们再来看看这个下一个。然后紧接着是第19题。有些脑脑子里面就没有隐函数存在定理的概念。如果你有隐函数存在定理的这个概念呢，你做这个题会比较简单好了，

这是第19题。然后接下来我们再来看看这个下一个题。嗯，这个题都还好。公共解还好好30题啊，这个题这个题啊，有些人做起来有点麻烦，没有把这个题做好。啊，这个题啊，一会我们再说一下好，这是30题，然后再来看看这个下一个。31题也是概念的问题，如果概念没有问题啊，

应该还好。然后再来看看这个，下一个35题，这个部分考了泊松分布的叠加性，泊松分布的可加性啊。无论你怎么说都行，反正这是这个题好了，我们不说了，那么接下来我们就正式开始吧，我们来看看这套卷子。呃，总的说这套卷子就是难的，稍微的会难一点啊，简单的也非常非常的简单，就跟有些这个我们在这个前两年考的这个试卷当中的一些题一样。

就是简单的贼简单，难一点的还是有点难度系数，然后另外一个方面就是打了一些痛点。就是我们复习这个三九六啊，我们的考纲内容不是说特别多，但是一定要复习的全一点啊，不能用盲点。一用盲点的话，就算考的简单，你没有把它做出来，这问题点就非常大了好了，那么接下来我们就正式开始吧，我们来开始看一下这套卷子。来做一下这个前几个题。先来看看第一个题，

那么在讲第一个题之前呢？我们来复习一下这个事情，考点的内容是什么呢？叫做函数的。初等函数。有界性的判定。啊，有界线的判定啊，这个问题如果给你一个初等函数，它的有界线怎么判定？或者是有界区间的求解。有界。区间的求解。啊，这个问题。

那么，首先我们就得进行去复习一下第一个知识点啊，叫做扯面定理，你先把这个知识点复习到扯面定理。那这个扯面定理，你得复习到位啊，他怎么说的呢？他这样说的，如果我们在这个。开区间内连续。就说如果这个函数。我在一个开区间上是连续的。这样的一个问题，然后再保证一个什么呢？保证这个端点处的这个极限呢？

是存在a处的这个什么右极限？还有什么呢b处的这个左极限？如果这个极限呢，它都是存在的。那这个时候我们就可以说明了这个函数啊，在这个开区间内啊，是有界的。就这样的一个问题。所以说在这个板块当中啊，你把这个知识点先温习一下，开区间上是连续的端点处的极限是存在。那我在这个区间内啊，它就是有界的，所以这是我们讲的这个第一个问题，那么接下来我们看看初等函数有界区间怎么进行去求解呢？

来看看这个问题。这是第一波知识点，不能有问题，这个知识点出现问题了，你肯定做不出来了，那么接下来我们再来看看第二个问题。嗯，我再强调一遍，你像很多同学的话，这个简单的不定积分都算不出来。你说实话，这么长时间呢，你还没有把它补起来，你这问题点非常大，而且你还天天在做模拟卷，

一个非常简单的不定积分都算不出来。你这个问题非常大。呃，但是我觉得还是能补一补，你如果再不按照科学的这个方式进行处理啊，那这个问题点非常大。因为那是一个非常基础的内容，那按理说我觉得之前呢，我就跟同学们提示过，你可以把这个不定积分的运算方法先稍微的复习一下。你脑子里面知道凑微分哪些常见的，还有这个三角函数呃，这个三角代换怎么去处理对吧？就是第二类换元法。分步积分法怎么处理？

尤里分式积分怎么拆分？你看很多同学人家出错一个，立即把它改正过来。有些东西出错了之后啊，不管不顾，下次照样错。再下次还是错啊，没有任何的办法，你这其实对自己的这个非常不负责任表现，而且我之前。无论是在这个冲刺，还是在强化，我一直给你提示就是我们之前不是有100道不定积分打卡题吗？那个题啊，你可以摘抄50多个。

每天做上个五个，然后十天就能做50道，这个感觉马上就上来了，这是一个非常基础能力。而且那个东西啊。无法速成。你这是要注意的。它必须得保证你这个最起码得做个七八天时间。你要是还有一个周的这个时间呢，那根本来不及。它是无法速成的，运算的能力，它是需要慢慢儿进行培养的，你一两天把运算能力上来，那我我觉得不太可能。

就是如果一个知识点出现漏洞了，我十来分钟就补了。如果一个知识点出现问题了，我们也是十来分钟就把它补了，但是你会发现这个。稍微的在这个里面当中啊，补一点点啊，问题点就很麻烦了。好了，我们就不说了。不要再说有创新性，没有什么创新性啊，还是一个本质问题，不要老是说新题。那跟星体没什么关系，

我记得我在这个。讲那个数一数二数三的话，那个模拟卷的前两套的时候我还讲过这个事儿，你看这个。我当时讲这套卷子就是那个第三套模拟卷啊，什么新题？一见到的话，这个呃文字量非常大的，不不想做了，一见到这个东西，我没有见过原题的，不想做了，那没法考。你注意，这都没法考了，

所以一定要注意它的内核，其实都是一样，你要注意拿到一个题，你先试，你先动。在行动的过程当中，在调整你不能说我半天不不行动，就是我一直跟你讲的，一直在审题，对吧？半天过程当中还是在审题，过了好久还是在审题。所以这个敏感程度要高，所以接下来我们来看看下一个问题，初等函数。

有些区间的求解问题啊，这个问题啊，我们讲了很多遍了，这题没有同学出错吧？我们先来看看第一个事。一个初等函数。对吧，一个初等函数，它在什么？它在它的定义区间内都是连续的先进行，求什么？先进行求定义区间，找无定义点。求函数的定义区间。定义区间，

然后第二件事情用扯面定理。啊，用侧面镜。那所以说它的一个操作性方式啊，它就是这样。就是我第一步，我先使用无定义点。对吧，然后再进行去求解这个东西的定义区间，那这个时候再用扯面定理就行了。那么，在这块看，比如说我举个例子，我们原来做过这种题，你看我找无定义点。

结果一找我发现这个点没有定义啊，比如说a点没有定义b点没有定义c点没有定义。我想再看这个东西的呃，有界区间怎么去求解呢？那首先我们来把这三个点就挖掉，那这个时候我们都知道初等函数在定义区间上都连续那负无穷，到a上是连续。a到b上是连续b到c上。连续c到正无穷上连续，那所以我就要求解啊，我就要求a处的左极限，你先看这个第一个区间段。a处的左极限负无穷的极限a处的右极限b处的左极限a处b处的右极限c处左极限。c处的这个右极限正无穷处极限，你必须要保证两侧的极限都存在，

都存在它才会是有界的。好了，那么接下来我们来看看我们这个题，你操作一下。好，这个题目那这个题目我们要看看这个有戒心，那么先来看看这个定义区间吧，它定义区间是多少？有没有无定义点？没有，无定点，所以说这个函数怎么？这个函数在负无穷到正无穷上都是连续，那所以看看这个有没有界，其实就要看什么就要看正无穷和负无穷处的极限的存在性。

所以说在这块当中啊，我们就来求一下无穷大的方向的极限，那求这个极限的话，这是一+x^2分之x，然后这是三一。那这时候你稍微看看诶，这不是无穷小吗？这不是有界吗？无穷小乘有界是无穷小无穷小的极限是零。那所以说这个极限存不存在？存在的两侧的极限都是存在的，你来看在这个负无穷到正无穷上都是连续。端点处的这个极限都是存在的，所以说有没有界呢？当然是有界把没有界的排除掉。

然后再来看看这个奇偶性，你还记得这个从零开始的这个变上限函数的奇偶性的问题吗？好，再来讲一讲。里面是奇，外面是偶，里面是偶，外面是奇，里面是周期函数，保证一个周期内的积分为零，它就是周期函数。怎么判断奇偶性呢？你塞一个负s进去就行，你发现这块不动多一个符号，多一个符号，

两个都多了一个符号不动，那说明里面这个部分是个偶函数。那从零开始，这个部分就是个什么函数奇函数正确答案选几选b。呃，这个题啊，如果是后半程都没做出来，你一定不要原谅自己。这原谅不了你，这要原谅自己啊，你这太太对自己这个太温柔了，对吧？你这个复习过程当中。你这已经复习了很多遍的内容，不要再出错了，

你像一个奇偶性的判定对吧？你判定完了，这个变上线函数的这个啊。啊奇偶性的问题，你得把它处理到位好，这个第一个事儿我们就讲到这儿。来继续吧，我们再来看第二题。好继续那原来我们都知道，如果你按照负无穷做，那负无穷是有坑的。因为你要知道根号x方，它不会等于s根号x方是等于s绝对值的。如果这个s大于零，它就会等于s，

如果s小于零，它就等于负s啊，等于零无所谓。所以接下来我们就来继续，我们来看看这个题。那这一题怎么做呢？如果你是稍微进行复习的同学，对吧？水平点稍微高一点的同学，那在这个题当中，如果看到s趋向负无穷。立即干嘛？立即做一步附带化，这是我们零基础学的内容。所以说这样的一个基本操作啊，

一定要把它复习到位，当这个t就趋向于正无穷。那趋向于正无穷的话，这是根号下多少，然后这是t方减去t+1再减去一个多少t方加上t减去个一。对吧，这样做，然后接下来我们来看看这个题。呃，体貌都非常麻烦了。题貌都非常麻烦，不要去拥有那些创新性啊，也不需要你题貌绝对没有有理化来的简单。那么，在这个题当中，

我还没给你挖坑呢。我要真挖坑，这个选项当中就有一个零。你想是不是？有没有同学这样做？他说那我抓我一抓的话就抓他，我一抓抓他，然后一抓的话，这个结果等于零。我要是真挖坑的话，我在这个结果当中就有个零。这题我一点坑都没给你挖。对吧，普普通通非常正常的一个题，题目就是这样出的。

那在这一块当中，为什么不能抓大头呢？我们都知道抓大头，它有条件的一定是无穷大比无穷大的未定式。你这是无穷大减，无穷大为零式，不要这样做，所以在这一块当中啊，我们就来看看应该怎么处理呢？两根号做差有理化。上下同时乘上这个，加上这个部分，然后这个第一个平方减去第二平方，它就等于负2t，然后再加上个二。

好，这个结果那做成这样了之后，然后再看你发现这是无穷大诶，这也是无穷大，它就变成了无穷大比无穷大的不定式。比上无穷大的未定式能不能抓了？哎，可以抓了抓他，抓他，抓他，所以说这个时候啊，因为这个t是趋向于正无穷的。没有坑了，所以这是负2t根号t方，然后这是根号t方t大于零，

那这就是t，然后这就是t。所以说这个结果等于负一。你看这个题正确答案就出来了，答案选b。好了，这是我们讲的第二题，这题不能错啊，绝对不能出错，好了，我们再来看看这个下一个题第三题。好，再看这个题，那这个题啊呃，它的操作啊，

已经非常的简单了，这题考了什么呢？其实我们在那个21计里面。21计里面当中啊，我还专门写了这一段。你看就这个部分。我还让你去做一下。你其实就是n趋向无穷大，然后这个SN次方n趋向无穷大的话，对n求极限s看成一个常数和。何去何从的问题，如果这个绝对值大于一，它是无穷大绝对值小于一，这是零=1，然后进行讨论，

我让你去把这个题做一下。把这个题做一下，我不知道有没有做，对吧啊？这已经发了好久好久了。啊，这已经发了好久好久了，我前前两天的话，我上那个。呃数一数二数三同学那个模拟课啊，然后的话好多人说啊，老师这个东西在哪儿？我当时一听我就愣了。在往年的时候啊，我就基本上会提前一个月发。

今年我们基本上提前了四五十天法。这么长时间了，你都不知道有这个资料啊？人家都背了好几遍了。来继续吧，我们看这个问题。所以在这块当中一定注意我是对谁求极限，我们在这块当中啊，我们是对n求极限。对于n求极限把s看作成常数。把s看作成常数的话，它是这样，这是s平方的N次方，一+s平方的N次方。然后这是s。

那所以说接下来我们就来进行去判断了，来走一下吧，第一个事儿。重点看这个N次方，这个部分当这个x方，这个绝对值如果大于一。也就说什么呢？这个时候。如果你大于一，其实就是s方大于一。啊，我们就直接写，如果这个底部分呢，大于一的时候。那此时x平方的N次方往哪跑？

往无穷大跑，往无穷大跑的时候，这个函数等于多少？你就可以抓大头了，你一抓的话就抓这个部分，那这个极限结果的话就是负一那，所以就等于负x啊。s看作成常数，对n求极限嘛，如果这个s方等于啊，它的绝对值小于一小于一的时候的话，这个s平方的N次方就会趋向于零。那如果趋向零的时候，这个函数呢？你看趋向零的话，

这个部分就是一那所以说这块是x。能理解吧，然后再看第三个，如果这个平方的绝对值它等于。等于一的时候等于一的时候，你发现下面就是一一的任何次方数都是一，这不是一的无穷大未定式，下面是等于一。那所以说这个函数等于多少呢？我们来看看。你下面这个结果。那这个结果就是二。然后上面是一减一，那一减一这个结果就是零呐。所以我们知道了，

平方等于一的时候啊，其实有两个值，一个是f1，一个是f负一，它都是零。好，这个结果那接下来我们就来看那则这个函数的第一类间断点。对吧，判断这个第一类间断点，我们就可以把这个函数的图像大致画一下，只要你画出这个图像，那就非常简单了。所以说这是y这是零，然后这是s这是负一，然后这是一。

那在这一块当中的话，如果这个绝对值小于它是x，它的图像是这样的一条线。好，挖掉它。然后再来看，然后如果是这个平方大于一，就是绝对值大于一，它是负x那负x的话就是这样一条线。啊，是这样一条线，然后把这个挖掉。然后再来看看这个负一和一处啊，它就等于零，它就在这。

那所以说这个题啊，它的第一类间断点，你看这是个跳跃间断点，你这也是个跳跃间断点，所以有几个跳跃间断点有两个答案选c。你看这个题，第三题。为什么会看不到呢？为什么会看不到呢？这这已经好久了，每每次考试都会出现这种问题，就读着读着那个那个字儿都看不懂。有的时候汉字儿看不到，有的时候这个字母也看不到。啊来再来看看这个第四题。

因为考试考的特别的急。你自己完完整整的测一套卷子，你就知道了，你每个板块到底应该花费多长时间？你不要老是去听别人的。啊，我们给你了一个建议的时间。然后你去看了一些的话，这个有些自媒体上的一些同学非常的离谱，让你在70分钟内完成，你发现70分钟内你又做不完。你一直那么着急着做，结果一发现能做对的都做错了。你确实是把时间赶上去了，然后错误量啊，

这个也错误率也非常的高，你这可怎么办呢？所以自己完完整整测一套，什么事情都出来了。来继续，我们来看这个。当s趋向零帧，与s互为等价无穷小。那首先我们先看第一个啊，第一个这个你要稍微注意，它是一加上多少负二s的二分之一次方再减个一。等价无穷小多少阿尔法框。所以说这是负s。那这个部分就不是跟x互为等价，是跟负s，

所以第一个不对。然后再来看第二个啊，第二个就太简单了。当s趋向零的时候，ln x加上个根号下一+s^2啊，其实大家都知道这个就等价无穷s。这本来就等价无穷s是经典的，这个函数反双曲正弦函数嘛，那讲了好多遍了，等价无穷s奇函数。而且导函数等于后面分之一。你要想推荐非常简单。你来看当s趋向零的时候，这个部分是1l一个函数趋向一，立即等价无穷，

小于这个函数解一。然后这是一阶，这是二阶，那何取第一阶等价无穷大？所以说这个时候它其实就是等价无穷s，然后再来看看这个第三题。第三个当s趋向零正的时候，那这个部分怎么办呢？你就提一下呗。你可以提出。e的负三。然后这个上面就变成多少e的s+s in。你减个一比上杆当x趋向零的时候，你发现。趋向于零的时候，

这个e的零这个是一非零因子，可以淡化，所以说这个第一个淡化了。然后当s趋向零的时候，这是0e的框减一，立即等价无穷框好了，同学们，你告诉我这个东西能不能等价？当然可以，等中间用加法前后作比的极限不是负一完全的，可以等价或者是等价的最简形式不可相交，加减法也可以等价。等一下，我去s这讲了好多遍了啊，这是对的，

然后再来看看第四个当s趋向零正的时候。你发现这是二分之一次方里面等价多少呢？何取低阶等价无穷大那开个方呢？开个方就等价无穷大。所以说它是等价无穷根号s的，不是s所以正确的个数有几个有两个。好了，这是我们讲的第四题啊，不是特别难哦，再来看看第五题。来出一下这个题。眼睛一看n项和是极限n项和是极限呢，我们可能会想到定积分低n趋向无穷大。提一个n啊，这个什么你先把它写成求和。

那这个时候的话，一做的话，这k从一到n，然后这是n加上根号k分之一。但是接下来我们来看看当n去向无穷大的提了一个n分之一了之后，这k从一到n那这个部分呢？是n分之根号k。哎，你这个后面这个部分东西啊，它就不是n分之k的函数，所以说这个题啊，定积分定义是失效的。其实这个题可以眼睛瞅你眼睛漂一下，上面如果一加是n，然后这个最大次幂也是n。

而且这个加b的这个放缩项在这个一处，对吧？就在这个位置是次要项，所以说在这个板块当中啊，我肯定会选什么会选加b准则。我刚刚为什么跟你谈这个事儿呢？我是希望同学们要有体系感。如果在考研当中定积分定义和加倍准则，哪个更考的重要呢？当然是定积分定义。定期分定义更重要。所以这个题啊，你思路感要有，其实这个这个题眼睛瞅啊也能瞅出来是嘉宾，因为上面加是n最大次方是n。

放错的位置在这个一处，那接下来我们就来看看吧，这个尤文。那首先第一个我们先来放。把这个下面变小一点，下面变小一点，结果就变大了，把它都变成一，然后上面就是一+1，一直加到一。所以就等于多少n加一分之n，那这个极限是几一那这个时候你还要缩小，那缩小的话，你看把下面变大一点。变成根号n那根号n的话，

这个部分也是一加一加一，所以这个结果的话等于n加上根号n分之n这个极限也是一。那放大极限是一那缩小极限是一它极限，结果就是一样，答案选b+b准则，我们还没考过加b准则呢。那这是要注意的问题，来再来看看第六个点。那接下来这个题，这题就是送分题了。那么，接下来的连续的几个题啊，难度系数都不大了，那这个题完全的话就进行考这个函数导函数，那作为先对这个中间变量进行求导。

中间变量再求导的话，就是一再加上g到s。然后接下来我们把这个零带进去。零氮气的话，这是七瓶。而g0是零，那这块就是零。然后这是一加上这个g撇零。那所以说这个结果g撇零的话，这是二二的话，这是一+2，所以这个结果等于六答案选d。好了，这是这个题来继续吧，我们再来看看下一个题。

啊，那个题不难。然后再来看这个题，它说在零处是可导的，而且导函数等于三分之一，那么在对于任意的s啊，有这个结果。它在三处的导函数等于多少？那这个题其实也很好做。我眼睛一瞅，发现这不是三处增量吗？那三处的增量我立即会想到，三处的导数定义。那就是s趋向零，我用增量定义，

因为它给的是增量三，加上s-f三，比上一个s。你求这个极限。求这个极限的话，当x趋向零马上出来。诶三加上它等于三倍的fs，减去个f3。那f3呢？你要会做那f3的话，你也把它写成三+0=3倍的f0。那所以说这个结果它就等于三倍的f0。哦，这是s把三提出去，它不就是零处的导函数吗？

所以这个结果就等于一正确答案选a。你看这个题。所以这个题的操作，它就是这样，我要求三处导函数又给了三处的这个增量，你就这么办？那其实如果举例子啊，不是说特别好举。你要举一个三+s还等于三倍的fs的例子，说实话不是特别好举好，这是这个问题呃，其实这个题啊，有bug。有些同学是这样做的，他是两边同时求导你的运气很好啊，

但水平点不咋样。水平点不咋样。这个题只告诉了在零处可导。它没有告诉你在任意点处可导。一个点处可导它跟任意点处可导不一样。都不说别的，一点可导跟淋浴当中可导都不一样。你想想你这个点处可导，你都推不出来，淋域内可导，你更不要说推另任意点处可导，那你可太牛逼了。一点可导，任意一点都可导，这叫什么？

这叫连锁效应，它没有这样的一个效应。别乱来，这样做啊，不是不对。但是你在这块儿，你一定要把这个知识点复习到位，我再说一遍啊。你做模拟卷的。你的目的是什么？你的目的是把知识点复习到位。找到漏洞，把它补上来。你不是为了那个分数。你蒙对了，

有些人贼开心啊，你这有啥好开心的，你要是最后套套卷子蒙对了，那确实开心。你要最后一套卷子蒙对了，你确实开心。你要是实在不爽，你就写呗。70分70后面写多少30分钟啊？这多爽啊。你为了那个那个题对有什么用呢？它又不是你最后一场考试，你要实在是想爽一下，你就这样写对吧啊？这多爽啊。

这看着也很开心啊。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看。那在这个板块当中啊，它给了一个什么一个函数由方程制定。隐函数，然后让我们去求二阶导函数，那怎么办？两边同时求那前导是多少呢？前导后不导。然后再加上前面不倒，后面来倒，然后这是y倒那再减去个一再加上y倒等于零呃，这个东西啊，

可以稍微整理一下。lny再加上y导呃跟后面两倍的y导减去一=0。好了，这是这个，你把这个一阶导数，你就算出来了，然后再来算两节两边再投入球，那前导后面不导。再加上前面不倒，后面来倒，然后y倒，再加上二倍的y倒倒，它结果等于零好了，这是20。那接下来我们就继续，

我们要进行求一处的这个，那导导代代代位当什么呢？x=1的时候。等于一的时候就是y倍的lny，加上y=0，那你告诉我y等于几？y不能为零啊。这里面当中都lny了y，肯定是大于零。所以说其实就是lny+1=0。所以说这个y就等于多少y就等于e的负一次方。要注意这个结果。哦y。哦x=1嘿。不是等于零。

等于一的时候是吧？y倍的lny- 1+y=0。那来看看这个y等于几？y反正不能为零啊，然后为一的时候刚刚好，所以这个时候y=1啊y=1刚刚好。然后吉祥，我们再往这儿。往这带的话就是s等于一y等于一一等于零二倍的y撇减一等于零，所以说这个y撇它就等于二分之一。你再往下载，那这是ln一是零，然后这个y撇的话，这是二分之一，这是一，

然后这是二分之一。加上二倍的y撇撇等于零，所以说y撇撇在一处的结果等于几啊，就等于负的八分之一，所以正确答案选e。好了，这是这个题啊，我们就讲到这，然后接下来我们再来看看这个里面当中的第九题。刚才那个题不难来，再看这个题。呃，这个题啊，就骗了一点点。这个曲线在这个点处的切线方程呢，

它是y=f零，你再加上一个f撇零，你要乘上个s- 0。所以你的重心是求f0和f撇零。对吧，求这两个那这一块当中啊，给了一个极限，给了一个极限，当is趋向零的时候，你要注意这里面当中啊，稍微的包装了一下。当s趋向零的时候，这是个一阶，这是个二阶和取第一阶，取了一阶，

然后再等价无穷，小S这是一。呃，最好的方式啊，当然是举例子。对吧，你可以举例子，那方法一的话，你就直接做，直接做的话就是分母极限是零则分子的极限就是零。分子极限是零，我们再来看，因为的话可导函数，可导函数必连续，那连续的话，

这个一求的话是多少？极限的话是f0加个二=0，所以说这个结果就等于负二。那这个结果等于负二的话，你发现当s趋向零，这是fs这个是这是减去个f0。对吧，因为f0=-2嘛，然后比上s，所以说这是f撇零=1，那这个时候也出来了y就等于多少呢？等于负二倍的是一倍的s。当然的话，你可以走这个第二条方向，你可以怎么办？

举例子你举多少呢？你给这个fs就取你，首先你肯定要来一个负二。来一个负二的话，你就可以把这个二干掉，然后直接加个x就行。啊，这个例子，那这个时候的话就直接出来了啊f0就是多少，这是f0就是负2f撇零就是一。或者而言的话，你一看这是直线，这条直线在这个点处的切线呢，本来就是它，你都不用做了，

对吧？你想怎么做怎么做？所以说这题的正确答案选一。好了没啊？基本的这个问题啊，把它梳理清楚。好，继续，我们再来看看下一个问题。其实洛必达也做错了啊，但是你答案肯定选对了，可导嘛，可导是他的延续，你一洛必达的话就出现了一阶导。必须要拥有一级导数的连续性，

他才是这样办的。好，那么接下来我们继续，我们再来看看下一个题。但是你可能运气好，你做对了。啊，是你，但是你要保证你知识体系的问题。好了，再看这个。你要去求这个，你首先要知道它，你知道它的话，我们就可以秒了。

啊，就这个部分对它进行求导，就是它来求导吧e的s+s。好了，这个部分呢，我觉得应该没有问题啊，你这这这个不可能有问题的。然后的话，接下来我们就来看你21g里面当中我们写过，然后的话把这个flo in你把这个loins带进去。lns代进去的话e的ln，那这就是s+lns。所以说这个结果就是s+ln sds好，这也非常好算，然后这是一到一这是一倍的ds。

然后这是一到一s分之一倍的ln sds。然后接下来的话，这是e减一，你再加上多少二分之一倍的lns方，把一和e带去e减一。你再加上一个二分之一。这lne是多少呢？是一lne是几呢？零所以说这个结果它等于减去二分之一，那正确答案选几啊选c。好了，这是我们讲的第十题啊，你爱怎么做怎么做这个题啊，这样做已经非常的简单了。啊，

很多时候我把los分之一凑到后面去换原型，不行也可以，你想怎么做怎么做好了，这是这个题可以吧，你能做对就行，可以可以。可以可以可以。咱不要在这上面进行去较真了。条条大路通罗马，你能把它做出来就行。你把这个凑到后面去，然后令多音s换个圆诶咔的一下也出来了，莱布尼茨公式一下做也出来了都可以。你想怎么做怎么做？那我们继续，

我们再来看看第11题。那这个第11题啊，它在这个板块当中啊。给了这个式子。给了这个式子怎么做呢？那在这个板块当中，我们来看看。这是一个x倍的f撇s。再减个一。你在这里面当中要进行求极值。第一步就要找到导数为零的点和导数不存在的点，然后再来判定。所以我要进行求导哎，这不就是个导函数吗？哎，

你可以这样啊。拟定负s进行替换一下。你负s进行替换了一下之后，它就变成了这样。变成这样了之后，你就可以把这个导函数解出来了。我上下把它削下。对吧，你上下消息了，那这个FPS把上面导函数带下来。你带下来之后的话，这是x倍的f撇s-s，然后带进去，那就是负的x方倍的f撇s。然后再加上个x方，

然后再加上个x。是吧，你就这样做，那这样做完了之后你就可以把这个导函数给解出来了。导函数等于x倍的x+1比上一+x^2，你看导函数出来了。那导函数出来之后，我们就继续看。诶，这里面当中有没有不可导点没有，只有注点那这个注点是一个点是零一个点是负一。而且你发现下面永远是正的，它只用看上面这个部分。上面这个部分是抛物线，它是这样。

那所以说在这个板块当中，它就出来了，你可以稍微的进去就画个表，大致的看看。你这是负无穷到几呢？到负一负一负一到几零零零到一啊？这个什么零到正无穷？那这个部分是正的，这是负的，这是正的，这是增，这是减，这是增，这是零，这是极大值零极小值。

你可以不用画，你大致瞅瞅也行，你看这边是正这边负这其大值，这边负这边正其小值，我是给你画了给你看的。你要从图像上就能看到，你就不要画了，对吧？珍惜时间嘛，所以负一处取这个极大值零处取极小值，所以正确答案选c啊。好这个题，所以这个题目当中你要把握住你的方向，对吧？我们一定要进行求出导函数，

那求出导函数的话，你进去去换一下，你把这个约一下。导函数出来了，找到注点不可导点，然后再判断嘛，所以我们的思维方式是永远不变的。这就是很多人说的新题。你无论这个题目，它怎么编啊？怎么来？它的核心方向都是一样。它的方向感都是一样。好了，这个题啊，

不说了，再来看下一个题，下面这个题啊，非常非常的简单。来走吧，方程跟问题你就另一下。fs这是三次方，加上as+b。那这时候的话，我们就要进行定义域是r求导位三倍x方，加上AA是大于零，那这个肯定大于零，那说明这个函数单增倍。那这个函数是在负无穷到正无穷上单调递增。那负无穷，

到正无穷。上是单调递增，那在这块看我就要看负无穷，负无穷，你说的算，那负无穷。正无穷，正无穷，你说的算，正无穷。那所以说就从负无穷增到正无穷那几个一个呗，但有一个问题，你到底是一个正根还是负根呢？我们还要进行看看零把零处的值进行求一下，零处值是BB大于零哦在这儿，

所以说它增啊，它肯定是这样。那这个根是什么？这根是负根。所以这个题的正确答案选b。好了，这是我们讲的12题，那么接下来我们继续吧，我们再来看看这个下一个题13题。来看一下计算。呃，这个计算呢？两类不同函数相碰，那必考分布及分法呗啊，这个题比较容易的，

那首先第一件事你先把什么呢？你先把这个cos呢，你凑到后面去。那然后再怎么办？把这个三次方凑到后面去嗯，三次方凑到后面去，要进行积分。那这个三次方往后面凑积分的话，这是多少呢？那就是负的二分之一，然后再是多少sin x平方？你往后面凑，就是往后面积嘛，就这个结果。所以说这个时候它就出来了，

立即变成负二分之一两项相乘。然后减去变成加上两项调换位置。这ds那么其实都知道，如果这是一个部分的平方啊，我是不会喜欢这个的，那这是多少呢？这不是cos second的方吗？ds细分表里面的内容，这非常容易啊sins方你再加上二分之一。那然后这个结果呢？它的积分是负的quantity。负负得正，负正得负，这是个结果，所以说这个题啊，

正确答案就出来了，所以是负二分之一s除以它。然后再减去二分之一倍的quantity，那正确答案选几啊选一。其实这个题啊，出的比较简单。为什么？因为这个题啊。它是一道不定积分的题。有些东西其实不会做。但是他看了一下选项，他反而会会做到。就算有些同学实那求导的同学那太疯狂，我不赞成，我说那我们从这个选项当中求个导，

我看哪个导函数是它？你试一下，你看你五分钟能做出来吗？来你下课求啊，你一定要把这五个给我求完你，求你求一下试一下啊，那那我求导你五分钟，绝对下不来。你求导完了之后的话，你不一定能整理出它。所以不要老是这个这种马后炮，这是没有什么用的。你会求导，你也未必会整理，你也未必能整理出来。

所以就慢慢积练了一年的不定积分能力了，你肯定要把它拿出来，所以这个题出的不是特别难，你可以盯正选项，但是。盯正选项，我也不建议，我们就希望同学们锻炼一下，你一定要慢慢做，对吧？好了，我们继续再往下走。我再说一遍，你考模拟卷的目的是在何处呢？对吧，

目的是在何处呢？好，不要犯轴来继续看这个题。那这个题考什么？这老朋友了，考了定积分是个数呗。所以说这个结果的话就是一加上s方，然后这是根号下一减s方，把它设成一个数。设这个定积分为一个数。零到一定积分是个数，然后两边再积分，那这就是个数，两边再积分的话，这是一+s^2 ds。

然后的话，这个a抛出去零到一根号下多少一减s方ds？然后继续你再看这个，这是arctangent题吧？把零和一带去，这是a那这个部分考了这个面积。面积的话，其实是负一到一，然后这个四分之一面积四分之一派，然后接下来这是a。这是一然于四分之派，然后这是四分之派a那，所以说接下来我们就把这个a呀啊。写出来四分之派，然后这是多少呢？

这是一减去四分之派。然后上下同时乘个四四减派。好，这是这个。但这个题的话还没结束呢，它这是fx等于多少呢？就是一加上x方，再加上个根号，下一减x方。再乘个a派，比上四减派。那所以现在我们要算这个f0。那这个f0的话，这个部分是一。零的时候的话，

这是派比上四减派。那所以说这是四减派，那四减派分之几啊？分之四。所以说这个题的结果啊，这个不用真理了是吧？一+4减派分之派选a有。好，这个题的结果。能理解吗？人家让你去求的是f0。老是没有看到题。那么大了，字儿呢？好了，

继续吧，我们再来看看下一个。啊15题呃，这个题是比较简单的。我先来问一下。你能看出来这是个数列吗？能不能你没有看出来对这个题也不影响？我们讲过对谁定积分，结果就没有谁。你对x进行定积分，结果就没有x。你对s定积分，结果就没有s留下了n不就是n的数列吗？所以说在这个问题当中，我们讲过很多遍。

这是原来我们就讲过的。我不希望你看半天，看出来半天，看出来也没有水平。应该是眼神漂的一眼就能看出来，我有没有说过这个问题啊？你对谁定积分，结果就没有谁留下了n不就n的数列吗？我对x进行求极限，结果没有s留下了t不就t的函数吗？我对n进行求极限，结果没有n留下了s不就是s函数吗？我对s求极限n是个常数，留下了n不就n的数列吗？这我没有讲过吗？

这讲了好多遍了吧？然后接下来我们来看看这道题。但是这也不是你没有做出来这个题的原因。这不是的。这一题考了什么？这不就是七分线相同吗？积分线相同，被积分函数不同，考什么不就考比较定理吗？那考比较定理，不就是来考什么考这个的。一+s的N次方，你大还是lns绝对值xn次方大谁大？你大还是他大，但是我们都知道两边同时乘上一个正数，

这是不会影响的，那其实就比较他大。而N次方只需要比较里面大谁大呢？那其实大家都知道，在零到一的这个范围内x更大。这不就结束了吗？那就是x大呀，所以说这里面当中BN要比an大。然后再来看你，再来看看an你，这是个正的吧？你这是个镇的吧？对吧，你这个N次方的话，它肯定是正的幂函数。

幂函数，幂函数当x大于零的时候，图像只能在这儿，它是正的呀，那定积分肯定大于零呀。那所以说这个结果就是BN大于an，然后怎么办大于零这句答案选几啊？选d这丝毫不会有难度系数的。你这脑子一转不就出来了。有人说，老师，这个题是数列数列咋了？你管他啥数列呢？那不就是积分线相同，倍积法是不同的，

定积分比较的题吗？比较定理啊。好了，不说到这了，然后继续你看这个同学说老师这是新题，是新个鬼，这哪是新题呀？内核一样的，考的知识点一样的，我们不可能说我们现在的考研真题当中给你完全进行去考这个原模原样的题啊。这题想到一个重要极限。这哪有极限呐，重要极限。我都不知道你在说你在说什么呢？这里面当中哪有极限，

你告诉我哪来哪来的极限？好家伙。重要极限就两个，一个是s趋向零s分之三一，一个是s趋向零一加ss分之一次方等于一呢，那就重要极限，这哪来的极这有极限吗？好了，我们再来看看下一个问题。你不要胡来啊。来继续，我们再来看看第16题。那这个题啊，也能做到。不好的点在何处呢？

其实这个图很好画。啊图是非常好画的。因为你看看这个这个题目。再这是y这是零，然后这是x。然后这是e的x啊，这刚好是一。然后的话，这是s in它的二分之派，刚好是它。你看二分之派。好，就这个区域。所以说就是这个区域啊，绕着这个x轴旋转一周。

那就直接套公式呗走那就是。零到二分之派，先算上面这个底线。那就是派倍的上面这条线是es的平方。ds再来算下面零到二分之派派下面这个。sins的平方ds。那所以说这个结果就立即出来了，零到二分之派派e到2s啊ds。然后接下来的话，这是零到二分之派派倍的sin x方ds。好了，这个结果那所以说这个部分呢，你在后面补一个多少补一个二前面乘二分之一e到二s零和二分之派代取。然后把这个派带去点火，二一二分之派就出来了。

那所以说这个结果这是二分之派，请注意了，这是e的派e的零是一，然后这个结果是四分之派方。好，这个题啊，正确结果就出来了。16题可以了吧？啊，这题不难。再来看看下面一个题。17题呃，这个题啊，你就直接算就行了，比如说在这块当中啊，

我们怎么了？我们是先带后求。哎，可以，你也可以先贷后求，其实你这算不影响的。嗯，有些同学就要问了老师，我怎么知道什么时候先代后求？什么时候就直接算呢？你先带进去了之后你看看。如果它能变得非常的简单，你就先代后求。如果你带进去了，其实也没有说特别的简单，

你跟正常算也没多少区别，你就正常算，不要轴啊。然后我们来看看对s求，那其实就是is-y的这个部分平方上面求导乘下面。减去下面求导程上面，然后再对y求对y求的话，这个部分es是个常数。你先对下面这个求导，那就是负的这个部分平方分之一，然后下面再求导呢，这是负一。你再把这个什么x=2 y=1啊，你代入就行。好，

自己带吧，好这个问题。那接下来我们就继续，我们再来看看这个下面。好了，不要再跟我说那个答案了。我再强调一遍，我再说最后一遍，你做模拟卷最大的作用在何处？你是为了盯住那个答案哦，我看到这个答案，我把它做出来了，我心中内心非常的窃喜。还是你是希望通过这个题，我把这个知识点给复习到位了，

稳扎稳打的，见到这个东西都能把它做出来。我不知道你是哪类同学。所以你你要注意这个模拟卷，我们已经这是最后一套卷子了。你做了这么长时间了，按理说。通过这个。三套真题，八套卷子，前面还有四套啊，内部卷那这一块当中啊，总共是15套卷子。那这么多的卷子啊，我觉得呃，

基本上按理说你要找到漏洞，漏洞早都找到了，哪块出现问题早都把它补过来了。所以说如果出现问题，你看这种题，你见到这个呢，早就刚出来了。都不说别的，你就见到这个东西，你早都把它刚出来，图与画直接出来了。你现在这个东西早就出来了。所以啊，你要慢慢提高，还有十来天时间，

珍惜最后一段时间，越到最后越重要。你就想一想。你期末考试前的那两周。你想想有多么的啊，就是我们在这个就是你期末考试的前两周。你看你看看那两周在你最后那场考试发挥了多少的重要性啊，你就好好想想。所以有些同学到了最后啊，崩盘，这是我不建议的。我觉得非常划不来的啊，非常窃喜，那这不是不是窃喜的，你对对手是窃喜的啊。

我觉得这也是非常不应该。来继续吧，期末考试。期末考试，有些同学的复习时间就是两个钟啊。来，继续吧。再来看18题。18题没有同学出错吧？18题18题套娃的题。啊套马。套娃不要缩写就行。dyds.那在这个板块当中，首先你要注意会换。

f对u求导，其实就是f对第一个中间变量求导。它是0f对这个v求导，就是f对这一坨求导，在零零处等于二。是吧，然后的话，这是f对第二个中间变量，求导在零一处，它等于三来套娃。不要缩写，那就是先对第一个中间变量求导，把这个抄一下xe的负x。然后这是fx方。e的负2s。

对第一个中间变量，中间变量再求导，第一个中间变量再求导的话就是f1x倍的e的负s。中间变量求导是1f对第二个中间变量求导是e的负s，然后这是负的e的负s好这个结果。那接下来我们继续，我们再看你再算这个，再对第二个中间变量求导s倍的e的负s。然后的话，这是s方e的负2s。那接下来我们就继续，我们再看，那就是后面这个部分再求导，那是f对第一个中间变量，求导s方e的负2s。

这是2s，然后这是f2撇s方e的负2s，然后这是多少负的e的负2s？这个结果，所以只要你这种问题啊，你不缩写，你就能做的非常非常的好。来吧，带进去。那就是y对s进行求导，在s等于几啊零处。零处的话，这就是f零一f零一就是零。然后在这个板块的话，又是f零一f零一又是零。

然后这个后面部分的话就是f1撇，这是零一。你再减去一个多少呢f2撇，这是零一。啊，这个结果，然后再加上一个f二一撇，这是零啊，这是零零。你再乘上那这个部分就是零。再减去一个二倍的f二一撇，这是零一。所以这个结果那因此把它算进去带进去就行，那f1撇的话，这是零它就不算了。

f二一撇的话，这是几这是二，然后再乘上一个负二倍的乘上多少呢？乘上一个三。所以说这个结果等于负12。好，这个题啊，正确答案就出来了，答案选d。好了，这是我们讲的这个问题啊，18题。二级导怎么了？二级导继续刚背不缩写就行了嘛。那我们强化班不是做过那个二级导数的题吗？

不是你不用担心这个问题，你这些担心都是无效，都没有什么用。你说啊，会不会出现出现了？怎么出现我照样刚谈，你说能怎么办呢？你出现了，我哈哈大笑，我照样把它做出来，这就是魄力呀。你天天在那啊，万一出现那个你细致的想一下，就算出又怎么样呢？那所以每天的话都沉溺于这种状态下啊。

生活还是要积极一点。自信一点来，继续吧。然后再来看看这个第19题。好，再往下走。那这个题啊呃，其实重点问题啊，就考了一个隐函数存在定理的问题。隐函数存在定理。就是能不能确定一个什么具有连续偏导数的函数这个题，你只要知道隐函数存在地理，那就可以了。那比如说我们在这块当中。比如说它给了一个三元方程。

这个方程那这个方程如果它能确定一个这个函数。z的函数。大家注意，如果确定z的函数，那都能确定z解出来不就z的函数y作为因变量y的函数s作为因变量s函数。不是这样子的。人家一定要确定这样的一个函数，而且可导。对吧，而且是可导的。所以说这个时候如果你可导的话，你想想你的偏z偏s是等于多少等于负的fx撇fz 1撇？偏z偏y的话，这个部分就等于负的fy 1撇，比上fz 1撇。

所以你要想确定z的函数，一定是z1撇不为零。只要这个f对z1撇不为零，它就能确定一个z的函数。那就这么简单，对x1撇儿不为0x函数，对y撇儿不为0y的函数，你对谁的一撇儿不为零谁的函数？就这么简单，对，就是我在那个21季里面当中写的。我写了那句话。我说这是什么呢？你看看这个。我说这个板块。

隐函数存在定理。对吧，不要想太难，一点都不牛逼，只用去看哪个做分母导函数不为零就行了。如果这个不为零，确定它的y不为零，确定y的z不为零，确定z的你在这个板块当中不要浪费时间。你在那墨迹一会儿，我们早都做了两道题了，你说速度方面非常重要，那做呗，那先来进行看零。那你想这种题难，

还是隐函数求导难？隐函数求导难这种题简单。因为这种题的话，只用进行去判断它为不为零就行了，这种简单，所以我们来看看这个三元函数。这个三元函数就是一亿的sy，然后再加上yz，再加上ln倍的多少，一+s^2，再加上y方。你再减去个cos贝塔多少z- 1好这个部分？那接下来我们就继续，我们再看。那这个部分呃，

要简单读。时间也不短，你加上一句话，你觉得对你的时间不短那。啊来那接下来我们看e的s反应。然后再是这是y你再加上的话，这是多少一+x^2加上y方你分之2s。然后再对y进行求导e的sy，你再乘上个x对y的话，这是z，然后再加上多少e+x^2加上y方。然后分之2y你再对z进行求z求的话，这个部分是y，然后后面的话是负的变成加号s in多少z？z- 1那接下来我们就继续把它带进去，

带进去了之后你发现零零一倍。然后y是零这没了，这是零这是零。对吧，然后再来看看这个s是零，这是0z是这是一。然后再来看看这个y这是几，这是零一减一，这是零，所以这个时候我们一看，哎呀，原来只有谁不为零，只有y不为零。只有y不为零，只能确定y的呀，

别人都不能确定答案选b。好了，这是这个题啊，这个题非常容易的一个题，没有丝毫难度系数，其实就考了一个知识点。好了，继续吧。我其实挺担心你的复习的，你学到今天居然能问出这种话啊。你哪像是做了八套模拟卷的同学。你说你做了八套模拟卷，你能问出这种话？你让别的同学都感觉到不好，不可思议啊。

好了，不多说了。来继续，我们再来看看下一个题，20题。来再来看看下一个问题。20题那这个题啊，它让我们去看看，在这个点处啊，取什么值？我刚不是讲了隐函数存在定理的原理了吗？你你去你去看看那个冲刺课吧。我我刚刚还复习了一遍。这其实就是它的原，那我在干嘛呢？

哎呀，你这是。不是，我在干嘛呀？你分母不为零，这个导函数不就存在吗？我又不是没有，我又不是直接去讲题，那我我在这写这个东西干嘛呢？你分母为零，不为零不就可导吗？你能确定这个函数切可导吗？哎呀，来来来，继续吧啊。

你再来看20题，那20题这个题啊，你就直接求就行了。你做一下呗，来对x进行求对x求的话，这是2x倍的二+y^2，然后再对y进行求。y进行球的话，这个前面部分是多少是二倍的s方白，再加上前倒后不倒前不倒，后来倒。那接下来我们就来做了。如果s是零，那这个部分是零。然后的话，

这个s是零。只有负一的时候可以。所以x是0 y=e的负一次方，它是主点e，它就不是主点了。啊，这不是了，所以说这块当中啊，它的注点是零一的负一次方。然后接下来我们再来看看x的两阶x两阶的话，继续对s2倍的二+y^2。然后接下来再来对sy那这个部分就是四倍的sy，然后再对YY求YY求的话就二倍的x方，加上y分之一。然后带到这里面当中a是多少a就是二倍的二+e的负二次方，

然后b是零，然后这个c是几啊？c是一。所以说这个b方减ac啊，它就小于零，而且a大于零极，什么值极小值答案选c。你看这个题啊，不是特别难。要抓住这个问题。然后再来看看第20题，21题这种题。那这种题目在做的过程当中啊，不是算特别难对吧？21题那么说，

这个连续函数啊，满足这个极限。然后则下面四条当中哪个是正确的？那我们来操作一下吧。这个题啊，它其实是limits趋向零。然后y趋向零。然后这是fx y。你想下面部分就等价无穷，小x方加上y方等于负一。然后我们继续去算这个偏导数，而且要算这个全微分。那所以接下来我们就来看看下一个问题。好了，那接下来我们就继续，

我们再来抽。你发现我们要继续去求这个s偏导数。那这个x偏导数和y的偏导数怎么求呢？那这个题的s偏导数肯定要用定义。好，我们来看对s对s进行去求偏导数的话，它的这个定义其实是这样。叫做fx 0。减去f零点比上s- 0，你求这个极限。但是这个题现在目前而言f零零都不知道，没有关系，来一步因为分母极限是零。所以说这个分子的极限一定是零。分子极限是零，

那所以说这个题啊，它就是f零零。对吧f零零因为它连续嘛连续极限等于函数值，所以说这块东西啊，哎，我就知道了，原来这个偏导数就是这个极限。好，这个极限。那这个极限的话，我怎么做呢？我发现了。就是上面这个极限呢，把y代成零。对吧，

把y代成零。那我们想想一个问题。你琢磨一下。你任何方向都是什么呢？你任何方向都是负一。你把y=0带进去的这个方向，它是不是也是负一呀？那当然是啊。把y=0带进去。它这个方向。也是负一。对吧，它就是负一，所以我求的时候怎么办呢？我就用已知凑位置。

那所以说这是fs 0比上一个s方，在这乘个s这是负一这是零，所以等于零。太慢怎么做才能更快呢？我们来瞅一下。因为分母的极限是零分子，极限也是零两个东西都是无穷小无穷，小做比是负一同阶无穷小。同阶无穷小说明它是个二阶无穷小，二阶无穷小，比上一阶无穷小，在一重极限当中肯定是零。所以这个偏导数一定是零。你看这种方法，我就可以把它做出来。

好，这第一种。那还有没有方法呢？我们觉得还有。我把这个擦掉了，能记完了吧？好，我们再来看看第二个。可能还能这样做。我们可以怎么办呢？反解出来。因为你这个极限等于负一。你极限等于负一，我就可以反解了。在sy趋向于零点的时候。

我这个fx y。比上一个x方，加上y方就等于负一，再加上个无穷小。那所以说此时的fs就等于负的x方，加上y方。无穷小再乘上它，那就是它的高阶无穷小。好，这个结果那这个高阶无穷小，我们继续。你别扯了，你这就是没有复习到位，啥不敢看鸡呀？人家这是一重极限，

你这个本领。你好好练一下，你这这有点差的，你这都没有把这个东西的实质的东西搞清楚。二重极限不能看极限，这一重极限。哎，你不要找理由，我说这真是怕了，对吧？好，这个结果你差的就是这个问题，你别别别乱来哦。动不动找理由这一重极限，这不是二重极限。

好了，我们继续吧，我们再来看。那所以说记下来继续哎，你就可以把这个y=0带进去。那这就是负x方，直接加上这个高级无穷小那，所以右半边的这个极限就变成多少就变成了负x方加。加上平方的高界无穷小，然后求这个极限。对吧，这样做也是可以的。就是你无论是走第一个方向。你任何方向都等于它，你把这个东西带成零也是它。

也是对的啊，这样做可以，或者而言的话，你把它解出来也是可以的。那再或者呢，我们还可以用第三种方法。方法三，反正是选择题。呃，其实有点危险。啊，说实话，有点危险，我们看看吧，你可以在这块当中啊，

取一下。取多少呢？取负的x方加上y方。那这个时候我们就来看诶，那它对x的偏导数其实就等于负2x。它对s这个偏导数，它就是零。但是这样做有风险的。你这个肯定不对。我举了一个例子，我是零，你是负一，说明你不对。但是你举了一个例子，你说零你说这个结果就是零吗？

他有点不靠谱。因为他说有几个是正确的，他有可能是错的。它就它就不像我们那个abcde的那种选项，那我取了一个东西，你都错了，我肯定对呀。这其实就是这有点风险啊，这是你要注意的。啊，就直接做了是吧？那行行行。好了，这是这个。而且sy具有对称性。

xy这个具有对称性了之后啊，那这个板块东西啊，我们就不管了。那y的偏导数，它也是零。好了，这就不管了。来那么接下来继续，我们再来看下一个问题。所以直接就把这个排除了。直接把这个排除。那么，现在最重要问题就是三道理，对不对？你三到底对不对的话，

我们来看，那其实就是limits趋向0y趋向零。然后这是fx y，这是x方，加上y方，它就等于负一。那我是不是还要看可微信呢？可微信的判定的话就是s趋向0y趋向零。然后在这个板块当中，这是fx y。减去f零零，再减去偏导数零，偏导数是零比上根号下x方加上y方。那然后接下来我们就要求一下这个极限，这是limits趋向0y趋向零。

然后这是fx y比上一个根号，下x方加上y方极限。那这个极限怎么做呢？你可以用第一种方法，你去凑题目当中告诉什么？题目当中告诉的是fx y比上一个x方，加上y方。你除一个就要乘一个，你在这块乘一个它。然后第一个部分的极限是负一，第二极限是零，所以这几个我就是零。你这样做可以，那或者怎么办？你就刚才用我们那个关系定理，

还记得吗？在趋向于零的时候，这个函数等于负的x方，加上y方。再加上一个平方，加上y方的高阶无穷小，比上这个部分。那第一个一比结果是零，第二一比这个结果是零。你这样做也行，对吧？这是方法二。当然，你取的那个例子啊，结果是零。

那总有一点风险，你举的那个例子是可为的，你能证明所有的它都是可为的吗？你也说不清楚，所以说这个题啊。啊，就跟刚才一个同学说的富贵险中求，是不是啊？反正我默认的还是对的。哈哈哈，说实话吧，要有有有点儿有点儿风险，这有问题的。有点问题。有点问题的，

你这样做。那其其实。这不太符合逻辑性啊。能理解吧啊，这个结果，所以最后正确答案选几啊一三。所以这个题的答案是几是c。呃，其实原本这个题啊是没有四这个选项的。我们多讲一嘴。其实原本这个题的话是这样。四，这个选项是什么呢？四，这个选项时。

fx y.它在临临处。取极大值。啊，原来是这样。这原来就不是这样的一个选项，这那个选项就是送分的。为了控制一下整张试卷的平衡的难度，我就把它给改了。啊，原本应该是这样的一个问题。那这样的一个问题怎么做呢？你发现就要考极值了。这是f sy。比上x方，

加上y方等于负一。啊，截止了。那其实这个问题的话，你看这个题啊，它也不能直接求导。而且我相信啊呃，大部分同学应该眼睛一漂就出来了。万能公式看图解释什么万能公式。我发现你怎么天天说的一些话我都听不懂啊？你在说什么什么万能公式啊？你们少听一下他的，他的一些评论，你们少看哦，少看少看，

影响这影影响判断的，对吧？那说些什么话呢？对吧啊？好了，这个定义法你要注意，比如说充分条件失效了，想定义法。然后的话，如果是一阶导数偏导数不存在的点，我们都知道能取极值的点，有注点和不可导点。充分条件ABC判别法只能判重点，不可导点，他判不了用定义法，

如果结果极限当中啊，它给的这个你也用它。所以接下来我们来看看这个定义法。定义法的核心在干嘛呢？其实就是这样。定义法的核心在于判断这个点处的值跟去心领域内函数值之间的大小关系。那在这一块当中，我就来画一个去心领域。趋近于零，而你想想我们在这个板块当中啊，这是f零零，这个结果是零。对吧，这是零。那这是零的话，

你发现你这个极限是小于零。我在这个趋向过程当中，就是这个去心邻域内是不是小于零？去心邻域，内小于零。你这个分母有大于零，你这个分子部分不就是小于零吗？那因此大家想想，这个点等于零。四周都小于零，它就是个极大值。啊，因此啊f零零。是一个极大值。啊，

极大值，所以这个题啊，正确答案选几啊，这呃，如果是这样，它就选d了。能想清楚吗？呃，不然的话，这样一出啊，这个。内容点就太多，所以我们稍微的控制了一下。行吧，自己下去看看。

好了，我们继续。再讲两个，稍等一下。那么，这个其次线性方程组有非零解。有非零解的话，它的系数矩阵的质啊。它就会小于它的列数。或者说这个行列式就会等于零。所以在这个题当中啊，马上就出来了。我们就直接看，所以说这个系数矩阵的行列式啊，就等于零。

那是个航河相等琴吧。哎，大致的瞅瞅就行。那所以行列式等于零。只要是行列式等于零，我再问一下。你要注意你这个东西有非零解。你的充要条件是你的系数的矩阵的值小于列数，你的充要条件是行列式等于零。所以，满足行列式等于零的是不都是满足的，需不需要检验？不用检验的。因为这是个充要条件，不需要检验的。

所以说在这块当中啊，这是x3是吧？所以接下来我们来看看这个问题，你就走呃一一拉姆达，一拉姆达一都把它加到第一列。都加到第一列就是拉姆达加二把公因子提出去就变成了一一一。一一一了之后的话，我们再去减减去上面减去上面，所以说它的行列式就是这样。对吧，行列式这样那等于零的话就是一负二这个题不难。好了，这个结果我们就讲到这。所以这个题的话啊，难度系数不是说特别大。

可以的吗？在说啥呀啊？我还没有讲下面的题嗯嗯，哎呀，你这个。你别急对吧？我知道你很急，但你请你别急啊，不是还没有讲下面这个题吗？来再来看看下一个题。那在这里面当中啊，他说能跟这个行列式相等的行列式。那来继续吧。来继续，我们再来看。

那这个行列式那这个行列式的话，我们先看看a。那a这个行列式呢？你发现这是有负号。单列有符号提出去。第一个提出去有个负号，再提出去负号，那就变成正号。然后这两个东西进行去调换一下。那这个东西进行去调换了一下，我们继续。那所以说这两个东西进行去调换，调换两列要加负号，这是负的，它不对。

然后再来看第二个。你这两个东西调调换，你要加符号不对的。然后再来看看第。d选项吧，你再看d选项d选项的话，这有个负号提出去，这是阿尔法三阿尔法一这个提出去了之后是负的。单列有功因子提出去是负的，然后再怎么办？你进行进行交换，你交换了之后，你看你这一块要进行去交换一下。呃，这个答案是不是？

我们书上没问题吧？我们书上没问题，你别管。因为我这个是校正之前的。好了好了，我知道，因为我这是较真之前的，你就别管了。就看看书，刚才的。因为我拿那个电子版是之前的，你就别管了。嗯，行吧。好了，

我们继续。然后在这个部分当中啊，有个这样，你看调换依次。把阿尔法一调换前再调换，调换了两次，调换两次，负负得正一二三。所以说这块是负的，也不对。那么再来看看c选项。那c选项的话，你发现这是阿尔法一加阿尔法二。阿尔法二加上阿尔法三。阿尔法三加上阿尔法一。

那把这个部分的负一倍加过去。负一被加过去了之后的话，其实就变成了阿尔法三减。阿尔法一。然后再把这个东西的1倍加过去，那然后这个部分就变成了二倍。二倍的话，这个单列有公因子可以提出去，这是它。负一倍加过来，它就没有了。然后一倍加过来，它就没有了。然后这个负一移出去负号就出去了。交换两下了之后再来个符号，

所以等于两倍的多少呢？两倍的一二三。那所以说这个c选项也不对。然后再来看看e选项。e选项的话，第一列负一被加过去是它。第一列的负一倍加到第三列是它。第二列的负一倍，再加过来就是它，那就是一二三，所以选一。好，这个题啊，不是特别难。来，

继续吧。再来看看下一个题。24题。那考的是第一行第一列。第一行第二列。第一行第三列。所以考的是二倍的一一，加上a一二减去a一三，然后再加上零倍的a一四。这个题非常的简单，那所以说结果就换成系数二一负一零。然后这是四三二一二负一一零。零零二一。你求这个行列式，你看这块已经出现了两个零。

我只需要把这个元素在钢程里，它就行了。来减去这一列的2倍零。减去二倍的话，这变成零那这是负一。所以然后怎么办？你就可以按照这个一继续去展开了。然后我们就按照这个继续去展开。展开了之后啊，其实就得到了这个。而上面这个部分行列式二一负一。四三零二负一。然后又出现一个零，你加上去，你加上去，

这是零，你加上去，这是零，你加上去，这是四。那所以说这个部分就等于12。好，这个题啊，就结束了。呃，好了，这个题的正确答案选一。24题。我们再来看看下一个题。下一个题啊，

也比较简单。考了一个什么呢？伴随矩阵。那首先这个题啊，它考了这样一个问题。k倍的a的伴随，有些东西把它背过。那k倍的a的伴随它是这样。ka然后再乘上ka的这个伴随。就等于ka的行列式乘上一。那么所以说这是ka，然后这是ka的，这个伴随等于k的N次方a的行列式乘上一。那所以这是ka的，这个伴随等于k的n- 1次方。

你把它逆过去，这又是一个伴随。所以有些同学可能把这个东西背过了，等于k的n- 1次方a的伴随。就这个问题考点。因此，在这个板块当中啊，你就把这个东西啊，有没有可能把它记过了？啊，记过的也可以。那接下来我们来做一下这个题。那你发现让我们去求的是这个，那二分之一呢？那二分之一出去就变成了二分之一的几次方？

那二分之一的啊，三减一次方的话就二次方，然后这是a的伴随。行列式那所以说这块是四分之一。一个k倍的它，那这个k就出去变成了N次方三次方a的伴随的行列式，所以说这就是多少？四分之一的三次方a的行列式的n减一次方就是二次方。你看一下这个a的行列式，用它进行展。负一，然后这是一五得五。然后这是三三得九，所以这个结果是四，那因此这个结果是四分之一的三次方再乘上四的平方就等于四分之一。

答案选，几选c。就这个知识点的话呃，如果你不想记啊，考场啊，迅速就能出来，如果你想记，你就把它记住，这个不影响，因为这个考的还挺多。能把它记住也可以。好了，这是这个，然后再说一道题，再看一下这个题。

那这个题考了什么呢？这个题其实考了n次幂的问题。然后我们来看看这种结构。我们之前其实讲过这个问题。呃，这个问题啊，你得把它记住。因为我们不学相似，但是你要知道它是这种结构。这个问题啊。其实，在线性代数当中叫做两个矩阵相似。p逆AP=b相似，那相似的话你来看看。如果两边。

你看这个b。如果这个b打了N次方就是p逆AP。然后接下来继续。p逆AP。继续一直都是p逆AP，大家发现没？你看你这两个东西约掉约掉。所以说最后而言，留下的是多少是p逆，多少个an个AP。所以你要想清楚他这个问题就是这样。就是如果这是这样的一个结构，这个结构它打n次幂的时候，它的结构是没有变的，它就给这里面这个部分呢。

来个n次幂。好了，这是这个问题。那同理而言，如果它不是这样。它就是a=p逆b。BP这也行，反正你无论怎么样或者是什么呢？是pbp逆。哎，别管，就这样，反正只要是这种结构，他这个人的恩斯密一定是主体结构不变。内部答案是。

好，这个问题把它想清楚。相似问题。那么，接下来我们来看看这个题。你看这个BB的矩阵很明显不为零，行列式不为零，那就可逆，那之所以说因为PA=BP。把这个p啊，你就逆过去，当然我们考的是a耶，你就把这个p啊逆过去，那就是p逆。BP，

那这个时候我们都知道这是二零二四次方，它就等于p逆给这个b打二零二四次方这个p。那所以接下来我们来看。现在的关注点的话，其实就是这个p逆。我们要进行去求的是一负一负一一，它的二零二四次方这个p。那同学们告诉我，这是什么呀？这个矩阵是个质为一的矩阵吧。质为一的矩阵。制唯一的矩阵的话，你就要注意了。嗯，把它记记成c矩阵。

这个矩阵是质为一的矩阵。好了，我们再来看下一步知识点。那么，赤唯一的矩阵。如果这个矩阵值为一。这个时候，它的这个部分的n次幂就等于它的g的n- 1次方再乘上a。好，这个问题。它的g的n- 1次方再乘上a。那所以我们就可以写了。那它的是多少呢？它的g是二二的n- 1次方就是二零二三次方，你再进行去乘啥呢？

一负一负一。你再乘上p。好了，这个结果我们就做成这样。那做成这样了之后啊，你发现。这题还没有结束。这个题就变成了二的二零二三次方这p逆，然后是一负一负一一再乘上p。是不是做成这样了？你其实你会发现p这个是什么？p是一个初等真。p是一个初等证，二零二三，它其实是一一二了。

然后的话，这是e负一负一一，然后这是e一二e2的逆矩阵还是e一二？所以说这是二零二三。先给它左行交换一二行。然后再交换一二d。一负一。负一那所以说这个结果就是二零二三。二零二四的不对，二零二四的不对。二零二三，然后答案选一。呃，这个题啊，其实对大家的话，

这个基本的知识点呢，把握程度要求很高。你缺东西，这个题肯定做不出来。这题其实考的就是一个矩阵的n次幂的问题。一个矩阵的n次幂呀。经常会考的是质唯一的矩阵。还有对角线及其以下全为零的情况。还有这种相似结构的这种问题。那如果是相似结构，你不知道今天知道了也没关系，对吧？我们只要在考前会做了就行了，你相似结构，你就记住这个n次幂，

它结构是不变，只需要给里面打n次幂。所以对于这个题而言呢，灵活度稍微的高一点。那么稍微的话，比较简单的点的话，当然是在这里面当中出的，是一个二阶啊，很温柔的一个题。对吧，比较适合我们考，如果打一个三阶呢，那其实就不太像我们的题了，因为在这里面当中融的东西比较多。所以，

出于一个二阶的问题啊，我觉得做起来还挺好。行，那么这个题啊，就说到这。休息会吧，可以了吧啊，我们休息会，一会我们再继续，一会我们再来看看后面几个题。好，休息会吧。

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