08.冲刺满分10套卷精讲7-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:18:06

好同学们，行，那么接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们准备开始了。呃，那么今天啊，我们就重点来精讲一下我们这个呃，今天上午模考的这个第七套卷子，那这套卷子模考完了之后啊呃，后面还剩下一套模拟卷。

那这套模拟卷模完了之后，我们就基本上所有的这个模考部分内容啊，就全部结束了呃，首先还是正式上课之前呢呃，对这套卷子啊，稍微的来点评一下啊。这道卷子啊，可能相对于这个前几道卷子啊，难度系数可能会大一点啊，尤其是里面当中啊，出现了一些比较新颖的一些题。那这里面当中，如果说具有区分度一点的题，比如说这里面当中的第三题。对吧，

这个题目，然后紧接着是下面当中的这个。第九题。还有这个第十题，第十题其实还好，对吧？考了一个参数方程，求导那这个题我们只用考了这个一阶导数计算。一到一阶导数计算呢啊，做起来还可以。好了，我们再看看下面。12题对吧？12题还有13题。13题可能很多同学把它做错了啊，

这个题啊，你见到这个样子，你不要害怕对吧？你反正怼他就行了。你把这个东西做完了之后，你再进行去分析每一个部分啊，问题点不大，然后这是第13题。呃，再往下面走就是这个。啊，可能很多同学把经济学应用的问题啊，把它给忘了，就是经济学名词儿，如果这个经济学名词儿忘了，

你做这个题就很麻烦了。然后再往下走21题，这次的21题啊，比较难啊，这个题难度系数。比较大一点呃，很多人把它做对了，其实你发现你是没有做对，你瞎碰碰对了，这里面当中做题啊，它是有一定的这个巧度在这里面的。尤其你要注意这个范围，这个范围是s不为0y也不为零。要注意x不为0y也不为零。但是如果是xy趋向于零零x和y啊，

可以有一个等于零。不同时为零就行，所以很多同学可能把这个答案选对了啊，凭借着一直做题的这个经验或者做题的这个操作。把它选对了，但是有些同学可能没有把它分析到位啊，这是这个题。再往下走的话，可能是下面当中的27题。这个题啊，有点意思啊，硬着做，那就废完了。巧着做这题就结束了，好27题。

然后再往下走。是这里面当中的这个。31题泊松分布的叠加性对吧？也就是泊松分布的可加性，还有这个正态分布的啊，这个线性关系的这个性质。很多同学把它给忘掉了，然后做这个东西啊，做的不好，然后再往下走。啊，没有。好，这个题啊，我们就说到这。

现代第一个题思考了有十分钟。好了，这个题啊，我们就说到这，你有这个上次做题的这个经验呢，你做这个题就还好了，所以这套卷子相对于前几套卷子难度系数比较大。啊，说实话，比前几套卷子大部分的卷子难度系数要大了很多，尤其是里面当中啊，要注意有几个区分度一点的题。那这几个有区分度的题啊，可能在做题的过程当中，如果你稍微的不注意你做题的时间就卡不住。

所以这个做题啊，这个时间还有在这个做题上面的一些的这个技巧性，包括常规问题当中的一个把握，你都要把它做好。好，这是我想说的，这个第一个事情，然后第二事儿就是常规题型，常规题型必须要熟悉，不能说我在这块儿模棱两可。对吧，知道知道也不行，必须要熟练，所以已经做了这么久了啊。你觉得简单，

可能你变强了，对吧啊？磨了这么多次了，其实一次会比一次好的。磨了这么多次，已经做了这个接近十几套卷子，十几套卷子已经做了这个十套卷子，就是350个题了。啊，这个题量当中啊，已经做的很大了，如果当中啊出现问题，你就提及时进行改一次比一次好啊。好了，所以说这块内容我们就说到这，

然后后面的一些问题啊，都是我想重点以前都给你进行重点提到这个事，每次考完了之后啊，不要特别在意这个成绩。成绩都是次要的，最重要问题就是这套试卷帮你找到几个盲点，然后把这些盲点有没有把它改清楚？把它整理到位，你下次过程当中啊，不能再出错啊，这才是最重要的，好了，那么接下来我们就继续吧，我们来开始看一下这套卷子。啊，

从第一个题啊，我们一起来看。好，先来看看第一个题。呃，这个题啊，难度系数不大啊。他的这个题目核心重点考了什么？考了函数极限计算当中，如果含有幂值函数，立即幂值转换。所以说这个部分是ln幂值转换就变成了e的s倍的lns- 1，那大家看还记得这个极限吗？当s趋向零正的时候，x倍的lns这个极限啊，

记得吧，常规题型这个结果等于几啊？这个结果等于零啊，等于零啊，经常做考了非常多的这个极限了，不光说这个极限等于零。只要你打了个次方数，然后这个p次方这个q次方大于零，它都是零好，这个结果，所以说上面这个部分呢，它这个部分就趋向于零。那既然趋向零，就是框e的框减一啊，立即等价无穷，

小框所以趋向零阵，然后这是等价无穷小于框，这是l。两个东西约掉这个极限，结果是零正确答案选几啊选一。好，这个题啊，不是特别难，应该是在一分钟内啊，就能把它解决清楚好，再来看看这个第二题，第二题说这两个东西啊，互为等价无穷小。等价无穷小，其实你就找取呗，

当x趋向零的时候，零正然后先看第一个，第一个应该写成一+-2x。然后它的二分之一次方减一，所以说这个东西东西啊，等价无穷小多少二分之一倍的负的二s，然后这是负s。这第一个，然后再来看第二个a倍的sin cosine，你可以利用二倍角公式啊，把它写成二分之一s in二s。可以啊，一样的，或者而言，直接做那在这个部分当中啊，

你发现第一个就进行去等价乘s，然后第二个呢，非零因子可以淡化淡化成一所以。所以这是as那既然这个部分东西啊，互为等价无穷小，既然互为等价无穷小，那这个a就是负一呀。所以这个结果也出来了，正确答案选b好，这是这个，然后接下来继续我们再来看看下面啊第三个题。第三个题啊，考了一个什么呢？就好多个乡城。好多个相乘呢，

然后去求一个点处的导函数。这个方法叫分加法，还记得吗？分加法那好多个相乘，我去求一个点处的导函数，把这个点给带进去，哎，一发现。这里面当中的这一项，它等于零。这一项等于零，它就是一项，然后剩下的部分呢？它是一项，所以这个方法叫分加法就是is- 2的这个平方。

剩下的部分呢，另成gs，所以接下来我们就可以进行求导了，你先求这个一阶导两倍的s- 2，然后这个后面不导。再加上前面这个东西不导，后面来导，后面来导就是机导。然后接下来继续再求两阶导。然后是前导前导，后面不导，然后再加上前面这个部分不导，后面来导，这是基导。再加上两倍的s- 2，

然后是前倒后不倒，再加上前面不倒，后面来倒。好，这个结果。那结果你发现。这个积进行求导非常难求啊，但没有关系，你发现一带零呐啊带入二，这就是零带入二，这是零。代入二，这是零，所以说这个结果其实就是二阶导数啊，它就等于两倍的，

在这个二处的值。然后我们来看看这个结果是几呢？这个在二处值，这是一这个在二处值呢？那这个是负一。然后这个在二处值呢啊，其实是16。所以说这个结果这是16。本题结束负的32正确答案选d。好了，这是我们讲的这个第三题，那么接下来继续我们再来看看这里面当中的第四个题。啊，这个题这个题要做的巧一点点。嗯，

做的巧，这个题就非常简单，有些东西把这个题做的非常的麻烦啊。那么，让我们去求这个极限，其实你可以把这个部分给幻想。对吧，你把这个什么连续化处理一下，把这个n改成正无穷。n改成s，然后的话，这个无穷大改成正无穷，所以说这个部分的东西就变成了s分之一，然后再减去s分之二。好，

这个部分做成这样了之后，然后再进行一个倒代换倒代，换了之后令s等于t分之一。这个时候啊，这个部分内容就变成了趋向零帧。趋向零正，然后这个部分是t，那这个部分就是ft-f多少2t本题结束了？你看这个结果，那我们之前讲过这个结论，如果已经知道可导。已经知道可导可以进行去直接用结论进行计算，双动减点的问题。但是如果是双动点极限存在，能不能推出导数存在呢？

这个事情是不行的，所以在这块当中啊，我们就可以使用一下啊，这个结论。这个结论就是里面做差刚好是负t补一个负号，所以说这个结果刚好等于零处的这个导函数。其实是诱导数，但没关系，就是零处导函数，所以这个结果它等于一，因此在零处的导函数啊，就等于负一。这个部分。好了，这是我们讲的这个第四个题，

那正确答案选几选d好，这是我们讲的第四个不难吧？啊，要注意这个问题，就是如果是双动点，能不能推出导函数存在呢？是不行的，但是如果导函数存在，能不能通过这个经验性结论去？去求解一下双动点的问题呢啊，这是可以的，所以下去好好梳理一下好，这是第四题，那么接下来我们再来看看第五题。好，

继续。再看这个题。那这个题啊，他又给了一个，给了一个什么呢？给了一个变现函数，然后说这个函数在零处连续，而且满足这个结果。这啥玩意儿？满足这个东西，然后又告诉了一个复合函数，然后让我们去求解在邻处的导函数，这啥东西啊？你发现这个函数是连续的呀。我看到这个东西，

想到什么？哎，我会想到零处的微分的定义像不像？临处的微分定义。其实呃，刚才这个题啊，你也可以进行去举例子啊，我不知道例子的话，你要半天没举出来就算了。这个题的话怎么办呢？其实就是大骗子题，你可以直接用这个什么用导数定义用微分定义都行，两个方向都行。首先第一个事，你发现这个点处的函数值。

就等于这个部分的极限。因为连续嘛。求这个极限的话，这个极限是零，这个极限是零，那这就是一。零处就是一。那可能很多同学看的非常准。那这个是一的话，就是gs-g零。那这是不是德尔塔y呀？这不就是德尔塔y吗？然后就等于两倍的这个s，再加上高阶无穷小。那其实这个题最好是凑导数定义是看的最准的啊，

直接来的，所以说这个g撇零呢，它就出来了，就是limits趋向零。然后这是7s减去七零。比上s- 0。那就是这后面这个部分比上这个s当s趋向零，那是2s加上高阶无穷小比上这个s，这个结果是二啊。那所以说零处的函数值是一。零处的导函数值是二。所以这个结果第一下就出来了。好，这是第一个，所以这个函数当中啊，

一些初值条件就出来了，然后又给了一个复合函数，然后我们去求零处的导函数，那算呗。来走它对s进行求导，就是先对中间变量求导，中间变量再来进行求导，那就是g撇s。然后我们要进行算零处，结果那往里面带。那g0是几啊？g0是一，然后这是g撇零。那所以说这个结果我们就可以进行去计算这个。这两边同时求导的同学肯定是做错了。

因为这是趋向零的时候。那还没有道理呢。在临处的结果不满足这个式子，直接求导同学肯定是做错了啊，这个知识体系，你得把它搭建起来。好了，那么接下来我们来计算一下这个导函数，那计算谁呢？计算这个ifs导函数。fs这个导函数是多少呢？那就是变上线移上线。上限再求导2s，然后这个部分在一处的导函数，一处的导函数等于两倍的一。

那因此这个结果等于两倍的一，然后这是二，然后结果等于四一，正确答案选d。好，这是我们讲的第五题，你下去好好想想啊，基本问题。这个题还可以啊。这个题的话，考了复合函数，求导考了导数定义的这种包装，或者是考了微分的定义都是可以的，然后考了变现函数，求导。

然后再来看看第六题。好，继续走。一个函数由方程确定。一个函数由方程去定隐函数，然后让我们去求这个导函数，那两边同时求呗，两边同时求的话就是cost。然后继续就是上限移进去，那就是fxt。上限再求导，这是f撇t。好了，这是上限，移进去上限求，

然后再减去下限，移进去下限，求导是一，然后这个整体是减法。所以说是负负得正，这块是加法等于零。没问题啊，想清楚这个事儿，然后我们要进行求这个零处结果，所以在这块儿直接令这个t等减等于零。t=0的时候cosine 0是一，然后接下来这个结果。那这里面当中x0是多少呢？就关键要知道这个当t=0的时候s是多少？那现在我们来看，

当这个t=0的时候。那此时的话，这个t然后这是x0啊t是0s零，然后这是fudu。那这个结果等于零负的它等于零它也等于零。哦，这是等于零。然后这个里面永远是正的，永远是正的，相等于零，只能是上下限相等，所以s0呢，它就等于零。那因此我们就代进去，那这就是f0，

然后这是s撇零，你再加上这里面当中的f0=0。把这个结果一带这个结果是一，这个结果是一，立即出来了，好这个结果不是特别难啊，你想清楚。其实这个题有点。有点骗人的感觉。就这个题，有些同学不喜欢做。你要是把这个题写成什么呢？你写成sin x。然后再减去多少呢？再减去x道道上的到yx，

然后这是ftd t。等于零，你看你一下就舒服了。因为我们喜欢的隐函数啊，自变量都喜欢x因变量都喜欢y。然后这个时候你求导非常舒服，导一下，然后再看s=0式的，这个初值条件等于多少啊？这种情况有同学就舒服了。只不过这个题的话，你看自变量选做成t，然后这个呃因变量选做成x，那就不喜欢做了。把它调整一下好，

再来看看下一个题。第七题来看这个题。这个题可以秒了吧？它在x处x处的，因变量增量等于什么东西呢？一个东西乘上德尔塔x。那这个部分立即就是什么立即，其实就是s处的导函数，因为后面是个高阶无穷小嘛。所以说这个部分东西啊，你就立即可以瞅一下，马上可以瞅出来，所以说ys这个导函数啊，它就等于一加上一s分之一。又考了这个经典的不定积分，

这个不定积分呢，就是一加上es分之一对它积分，这个积分怎么做呢？方法太多了。上下同乘，上下同同，除都是可以的啊，其实你发现这个最好的方法就是加一个减一个老朋友了，已经做了无数都变得。不定积分，然后我们继续。你再来往下除一除，这是一，然后这是一加上一s分之一s，然后ds那么就像我说这个积分结果是s。

然后往后面凑，这是l 1+es不定积分加上c。是不是这个结果，然后再把零带进去，把这个y0往里面一带一带的话，这个结果是零，所以说这是负的录音二+c。那这个结果等于几呢？等于负的ln 2再减去个一，所以说这个c啊就等于负一。好，这是这个那因此这个函数就出来了ys这个部分呢，就等于is-ln一+es。然后再减去几减去一。把这个出来之后，

再把这个一带去一往里面带一减一就没了，负的ln多少一加上一。好，这个题的正确答案就选择d选项这个结果。没问题吧？好了，我们继续吧。啊，没事儿，没事儿啊。啊，好好最后阶段呢，你们会比较辛苦一点啊，最后阶段好好再坚持一把。好了，

我们再来看看这个第八题来继续吧，再看这个。那这个题啊呃，就稍微有点儿创新性，其实难度系数也不大，他让我们去求解什么呢？他们在这个焦点处的切线。的夹角。那首先我们先看看这个焦点是多少呢？焦点的话，就把这两个部分呢。让它两个东西相等。直接让它相等e相等的话，这个结果约掉一个es，其实就是一+es等于几等于一，

那s就是几就是零。啊，这题是个骗子题。然后接下来我们就来看看。你随便的画一条线啊。这个另外一条线呢，你都不用画了，那这就是es，反正这个es在零处啊，它的切线结果是多少？那其实就是求的是y对s进行求导在零处，那其实就是es它在这个s=0处，那这是几啊？这是一。所以说在这一块当中，

它的这个切线斜率啊是几啊？切线斜率是一，那既然是一的话，这个夹角是多少呢？这个夹角其实就是45度。对吧，45度，所以正确答案选几啊，选c这个题。好了，这是我们讲的第八题啊，其实不难啊，这个题比较简单。求谁的切线都一样。曲线和它在这个交点处的切线。

在其焦点处的切线的夹角。这个题啊嗯，你走琢磨琢磨啊。好了，我们继续吧，我们再来看。然后再来看看这个第九题。所以这个题嗯。你去算一下那个导函数，那个导函数是不是也是一呀？焦点处。啊切线。的夹角啊。不对不对不对。这个题我没读好，

我没读好，不是这个意思。是不我这个题没有写清楚啊，对吧？这上次写这个题的时候，我感觉还挺好啊，这个题。在焦点处。切线的夹角啊的意思就是第一个人的切线和第二个切线啊，就第一个。这个的切线的话是这个。啊，这个的切线是这个，这叫切一。然后还有第二个的切线就是两个人的切线的夹角啊哈，

万一第二个切线是在这儿。人家求的是这个夹角。万一这个夹角是在这儿求的，是这个切角，所以说就要求两个这个切线方程了，好再来看第二个。你还要计算一下什么，这是第一个。呃，把这个记作成fx吧，把这个时候记作成gs吧。然后再来算一下这个gs导函数，导函数等于一+x这个平方，上面求导乘下面。减去下面求导乘上面。

下面修到11。乘以上面，然后再把这个零带进去，零带进去了之后的话，下面是1e的，零是一，这是一。然后e的零是一，这是零。好，那这个函数它在这个点处的切线斜率是多少呢？你切线斜率是零，所以说这个切线呢，它应该是这样。啊七二所以说这个这题我没有出好。

要不然可以出一个特别漂亮的题，你看上面这个夹角是45度，这个夹角是多少0度？所以说这块刚好是45度，那有点碰巧，所以有些同学是不是有点把这个题做完了之后啊？嗯，有点蒙对了啊。我觉得下次可以进行出一个45度，再出一个30度。所以两者之间的这个夹角刚好15度啊，这个才是最好啊，第二个的话刚好夹角是一个夹角，是这么大一个夹角是这个。30度，

然后夹角是45度。好了，这是这个嗯，所以想清楚就是你的切线和你的切线在这个交点处啊，它这个夹角是多少？好了，我们再来看看19题这个题啊，其实考了常见的构造方法。常见函数的构造方法。常见函数的构造方法，我们来瞅瞅这个。这个题有点难的啊。那这里面当中给的这个部分。你看给的这个。给了这个的话，

你想想一个事。这是个什么东西啊？你倒我不倒，减去我不倒，你来倒。这什么东西啊？我们说过这样的一个问题就是。常见的构造函数，如果是导函数跟它相碰的时候，我们进行构造的是什么？是二分之一。秦方的导函数。然后再来看第二个，如果是你的导函数除以我呢，然后进行去导函数啊，

这个构造函数呢？这个构造函数是l。那是l nfs，其实绝对值啊，因为ln绝对值是一样的，你在这块加个绝对值是一样的啊。螺纹绝对值导函数仍然是它们，然后第三个就是你导我不导。然后再加上你不倒，我来倒。这个部分的构造函数是多少呢？这个构造函数是乘法求导。如果是你导我不导你不导我来导呢？你倒，然后我不倒再减去，

你不倒我来倒，这常见的一定要把它记住了，那这是谁？这些是除法的导函数。那因为分母部分是平方嘛，所以它不会影响的好，这是第四个再来看第五个。那第五个的话，其实就是如果你的导函数再加上k倍的，它的导函数，那这个时候怎么办？这个时候的话，它其实就是e的ks。afs的导函数。最特殊的其实就是这个k啊，

这个k=1的时候。等于一的时候的话，这个构造函数其实就是e的sfs的导函数。然后接下来的话就是ifs的话，这个再减去fs，这是负一最特殊的话e的负s导函数。好，这个结果，所以像这种常见的函数的构造方法，你必须要熟悉啊，一定要非常非常的熟悉。那接下来我们就来看看这个事。啊，琢磨一下这个问题。呃，

我们觉得这个题啊，应该是分成很几个好几个水平。那我们先看第一个水平吧。有些同学一眼就能瞅过去，这是谁？这不就是除法的导函数吗？一阶导数的导函数是它。它不导，然后的话是它再来导，又是一阶导数的平方，所以有些同学可能会想到说诶，那这个东西我就会立即想到什么？你导我不导你不导我来导这个东西的导函数。就是常见的构造方法，那常见构造方法教给我们，

我就立即会想到这哦，这个部分它是大于零。对吧，它是大于零，那它是大于零，我就立即会想到你这个部分比上fs，它是单调递增的。那单调递增的话，我们就知道那在a处置呢，那f撇a比上一个fa。它就应该大于f撇儿b比上多少FB？你看这个题没跟你玩幺蛾子对吧啊，是什么样的东西啊？就是什么东西是什么样子？就是什么样子？

所以立即就把它选出来了d和e啊，把它排除了。好了，这是第一种同学的水平，第一种同学的水平呢很高，就是我们见到这个样子，我立即能反映这个东西的导函数。好了，这是第一种同学的水平。但是有些同学可能看到这个式子，他没有什么感觉，他就没有想到。没有想到，那我也可以进行去观察d和e啊。d和e的话就说你比我大，

你的函数值跟我相等，你比我大，你的函数值比我小。那其实这个题在研究什么？不就是在研究这个函数的单调性吗？在研究这个函数单调性研究，这个函数的单调性，我们就给它进行去求一下一阶导数fx的平方。上面求导乘，下面减去，下面求导乘上面。好了，这个部分平方结果发现诶，这不就是题目当中给的这个吗？大于零呢哦，

原来如此，它是单调递增的。那单调递增自变量越大越大，那不可能是相等。也不可能是小，一定是比它大，所以说这个d选项和e选项它都不对啊，立即排除，所以。操作性的思路啊，就有这两种同学。有些同学是高手，一看到这个东西就反应出来，有的同学半天没有反应出来，但是我可以通过选项当中你进行思考。

好了，这是第一项，然后接下来我们再来看看这个ABC选项。你继续看，然后这个ABC选项，你怎么去想呢？两个东西相乘。然后这是终点。两个东西相乘，然后它是个终点。我是不是会想到一个两个点终点，我是不是会想到凹凸性，因为凹凸性的定义在我们考研当中非常重要。a点b点中点。我想到凹凸性，

但是这不对呀。想到凹凸性这两个东西应该是什么法？应该是乘法呀。哦，应该是乘法那比较这个部分，我可以两边同时啊，两应该是加法呀，但是你现在是乘法。我可以给两边同时取个对数。比较这个大小，其实就比较取个对数的话就是二倍的lnf这个大小。是不是这个情况？所以说这个时候我就把它变成这样，那比较这个大小，我们其实就在比较这个大小哦，

漂亮。这不就出来了吗？所以说这样一下，我们就把这个水平点拉上来了。你注意一下这个事情。就是你能想到凹凸性，这是非常重要的。因为我们在考点当中，其实你做了这么多套卷子了，你还打不中重点吗？他喜欢考。所以你进行去，这是乘法，我不喜欢我们想要加法比较这两个，你就比较这两个，

那这不就出来了吗？那这是谁啊？你发现这不就是这个函数在a处的值，这不是这个函数在b处的值，它的终点，这不是这个函数在二分之a加b处的值。所以说这个部分东西啊，就是在研究这个函数的凹凸性，那因此我在这里面当中，我们就记一下。来记一下这个函数。这个函数是多少呢？是l nfs。凹凸性，我们就求两阶导，

那一阶导的话就是fs 1阶导，然后再来进行求两阶导诶，两阶导不就是刚才那个部分吗？你的平方上面求导乘，下面再减去，下面求导乘上面，然后这个部分的平方，这什么零？大于零哦，这个曲线原来是一个o曲线。o曲线我们都知道，中点处的函数值啊，应该比中位线的这个高度值啊。对吧，要小。

因为o曲线嘛。你这个中位线的话，在这儿中点，在这儿要小，所以说应该是它大那它大的话，其实就是fa。乘以FB这个答，所以正确答案选几啊选a哦这个。呃，这个题啊，还是最重要问题就是对考点的把握。你像这个题的话，在考场当中，如果是一到两分钟内进行去想压力有点大，那所以说这种题你可以放到最后，

然后我们再来慢慢想。你先想你做个三四分钟啊，你发现你还没有做出来，你先挺一下。对吧，先跳过去，回头再来看。包括我们在此所有的考点当中呃，做到最后啊，我觉得模拟卷练到最后的一个至高境界是什么呢？就做到最后你就知道了，在哪个板块当中，它是重点出题的，在哪个部分当中会出哪些核心重点的问题，把这些东西都想清楚。

所以这个题是一道非常好的题，你下去好好琢磨琢磨。好，这个题就讲到这儿，其实有些同学一两分钟就也能想得出来。啊，有些东西一两分钟也能想出来。见到这个东西，立即想到除法求导。de选项就干掉了。然后在这一块当中看到这些选项诶AB二分之a加b，我们就能想到什么？我们就能想到这个凹凸性的定义。那凹凸性的定义，但是这块是加法呀，

你琢磨琢磨好这个题非常重要。来继续吧，再往下看。11题，第十题。第十题呃，第十题是有创新性的一道题。你看这是个参数方程。参数方程的话，上面这个部分是t方减t，这是个显函数。它是个显函数，然后这个t倍的e的y，再加上y+1=0，这是个什么？

这是个隐函数。一选一。以一显一隐的这种参数方程。但没有关系，你做题套路都不会变的，反正考一级导非常的简单，直接来呗，反正一级导数计算它变了嘛，它没有变它。它不就是y对t比上s对t吗？那所以我们首先看看上面这个y对齐，那在最后一代进去的结果代进去的结果不就是y对s进行求导？t=0吧。这不是特别难的y对t求导，在零处x对t求导，

在零处。那所以说上面这个部分s对t进行求导时，2 t- 1，它在零处等于几啊，它在零处就等于负一啊。所以上面这个下面这个部分就出来了，然后进行去求这个部分在零处的导函数，那隐函数去导方程两边同时求呗。e的y+t倍的e的y，然后再加上y导，然后等于零。当什么呢？来继续当t=0的时候。带上去零的时候的话，这个y是负一，

然后紧接着继续当t=0 y=- 1的时候，你看这是不是套路？跟我们隐函数求导套路是一模一样，然后是e的负一次方，然后再加上y导等于零，所以说这块当中y对t的这个导函数等于负的e的负一次方。所以说这个结果负的一的负一次方。诶，这个还有个歪道。一的YY等。好，这个结果那所以说这个结果就立即出来了，一的负一次方，你看这个操作性方式啊，它是不会变的。

你别管变成什么样子，它这个隐函数就按照隐函数求导来做呗，你显函数就显函数求导来做呗，一代就出来了。好，这个题啊，正确答案选几选c？好，这是我们讲的第十题，再来看11题，11题考了一个东西啊，就是曲率公式啊，这是边角知识点。边边角角的内容，所以说最后这个。

两套卷子，最后这两套卷子的话，里面当中啊，会有一些边角知识点，比如说像这个什么呃。曲率的问题了，参数方程求导的问题了，比如说我们考的这个什么经济学应用了，你基本基本上都能碰到。像这些点呢，我们都能打到好了，我们再来看看这个部分，你求导呗。一阶导数的话就是2 s+1，然后接下来再来求两阶导，

两阶导数刚好是二，那所以说接下来我们来看看这个曲率。那这个曲率的话就是二阶导数的绝对值，然后继续是一+1阶导数。它的平方的二分之三次方，它要等于二分之根号二。有些人这个东西啊，他解不出来。第九题。构造函数的第五个。你能那你告诉我这这是这是什么东西呢？就这个。嗯，你觉得是哪个呀？就是第五个呀。

啊，哪个东西啊？哦，这是哦，这是f。那不好意思，我没看清楚。去领个必胜套装吧。哎呀，这个操作居然能在最后两次这个卷子当中出现这种问题啊，来我们继续吧，我们再看。你看我写的那个那个之后啊，你就跟我说一下这个问题。然后再接下来，

我们来继续吧，我们来解一下。来看看这个。那接下来我们进行去求解一下。那这个部分的解法呀呃，可能很多同学的一些需要注意一下，那这个东西怎么做呢？你把它进行去呃，你可以这这是根号二嘛，你或者二研究的话，你就直接干也行，两边同时先平个方。对吧，两边平方一下，两边平方一下，

这是四或者而言的话，这是多少呢？这是根号二分之一。根号二分之一，那根号二分之一就是二倍的根号二，然后就等于一加上多少，这是二x加一的这个部分的平方。然后这是二分之三次方。那这个部分的话，两个部分平方一下平方一下，它就变成八，你再开个三次方，那这边就是二。所以就等于一+2 s+1的这个部分的平方，所以2 s+1这个部分的平方，

它就等于一。啊，就等于一那接下来我们继续s是小于零的，那所以说2 s+1啊，它就等于正负一正负一的话一的时候s是零。负一的话呃，如果是负一的话，就是负一。那是多少呢？它是小于零，不是零，那这就不对，那因此就是负一那负一的话，正确答案选一。好，

这是这个题。继续吧，我们再来看看下一个问题。啊，好了没？啊，这是这个。来那接下来我们继续吧，我们再来看看12题呃，这个题啊，不是特别难。考了好多次了。呃，考了一个部分的知识点的，把这个东西稍微的进行回顾复习一下啊。

在这个敲重点里面当中是有的。那接下来我们来看看这个部分。原来就讲过。极限连续。可导极限连续可导极限定义了连续极限定义了导数，它们的性质都是跟着这个极限的存在性来走的。对吧，都是在极限的这个存在性的这个基础上，然后来的你像存在加减存在是存在存在加减不存在是不存在。不存在加减，不存在是未知存在，乘存在是存在存在，乘不存在是未知，不存在乘不存在也是未知。那后面的东西都是一样，

你看连续连续加减，连续是连续连续加减，不连续就是间断就是间断。间断加减间断是未知，所以说这后面这两波内容不要直接背，记住这个东西它就可以了，所以这两波东西啊，都是一样，那我们先看第一条。那如果在这块当中啊，你是连续他是连续乘起来，也连续没有问题啊。连续成连续是连续间断间断成间断，不知道。然后再看可导不可导成不可导，

不知道。然后可导成可导是可导，所以说这个题啊，正确答案选几啊选c。好，这个题啊，不是说特别难。过去了，可以吗？就是你记住内容啊，就做起来就非常的通畅了，来我们再来看看第13题。呃，13题啊，是很多同学的八个点。

你先来看看这个函数的定义域吧。你要继续去判断这个什么驻点单调区间极值的这种问题啊，那在这一块当中先看这个定域，那看一下呗。这定义域是多少？定义域是r。然后接下来我们去求一下导。那求导了之后，你可能被吓住了啊，这题非常的容易，是一+s，然后这是二的阶乘平方。然后是一直加到多少呢？一直加到四的阶乘四次方。五的阶乘得多少五次方？

这是e的负s。那这个部分后面进行求导呢？那就是负的。然后再接下来加上啊，继续。那就是后面求导，前面不导，然后再加上前面来导，这就一这就没了，这是一然后这是s。然后这个三次方进行求导的话，约掉一个三就是二的阶乘平方。然后四求导的话，三的阶乘三次方，然后这是四的阶乘四次方，

然后这是e的负x好这个结果。把这个e的负s啊提出来。那提出来其实就是这个部分减去这个前面减去这个前面只留下了这个部分。所以说这个最后的这个结果是多少呢？最后这个结果是等于负的五的阶乘五次方，然后e的负x。好，这个题啊，是非常非常简单的。啊你你在说什么？你是不是原来那个题做错？哎呀，你其实还不如不做原来那个题。原来那个题人家说求解这个零点的问题。零点的问题，

当然可以呀，零点就是等于零的点，你就只用做前面就行。但是如果进行求助点，也能这样做吗？你不胡来啊，那这那这就明显的话，那那就是这种题，做了题题就没有进行去理解深刻。你下次再换一下，稍微改一下啊，满盘皆输。你可不能这样。好了，这块内容我们就不说了，

前面不是演示它的，展开它的，展开后面还要加高阶项。注意下来，继续吧，我们再来看看下一个。所以说这个结果就做成这样。那做成这样了之后，我们先来看看这个零是不是注点零，当然是注点。因为你发现它在零处的导函数，它就是零。零当然是重点。然后接下来再看。研究一下这个单调区间，

那让它等于零，让它等于零，只有一个结果，让它等于零，其实只有一个x=0，这个点。那么，现在我们要进行去研究这个机制，你就稍微的进行画个表就负无穷到零，然后这是零。零到正无穷，然后这是y到这是y。你发现这个部分是正的。如果这是负的，它就是负的负，

负得正。如果这是正的的话，那这是负的，所以说这是增这是减这是零，这是极大值。那所以说它的一个单调区间呢？增区间是多少？这不是增区间，这是减区间，然后极大值。先增后减，即大值零，是个极大值，然后再来看零点的问题，零点的问题单调区间都出来了，

那就非常的简单。来吧，看一下这个事，这是x。那在这一块当中，你就要看看这个函数在零处等级。那这个函数在零处呢，零处的话，呃是一因为这一块都是零，这是一它等于一好，它在零处是一。然后再来看看它在正无穷处等于多少呢？如果s趋向正无穷，你注意了。x趋向正无穷，

它这个部分应该写成一+es。趋向于正无穷，下面这个部分比上面远远大，那这块是零。然后再来看看负无穷等于多少呢？如果这个负无穷的话，那这是无穷大。对吧，然后这个部分呢？你现在看这个部分，这个部分是正无穷。你想清楚啊，如果limit x趋向于负无穷。那负无穷，前面这仨。

前面这个东西往哪跑是由他来说的算的。它是负无穷。而e的负无穷呃，负负得正一的正无穷，这是正无穷。所以说这个结果是负无穷。能看得懂吗？哎，所以说这个结果是负无穷，因此就是从负无穷增到一。然后再减到什么？这个增到一，然后再减下去。因此这个题啊，它只有几个零点，

只有一个零点。啊，这个题这个题很有意思啊，它这个很有很像去年的，但是又跟去年那个东西不一样，好这个题正确答案是。质注点极大值正确答案选。几选d这个题的质量还是很好，所以你在做的时候你稍微的小心一点啊，骗子题。跟去年的很像，去年那个题就是。你直接画图。你怎么画的图？嗯，

不是你别别胡做题啊，我这是发现你就算把它做对了又怎么样，他也不代表那如果最后的话，考那个题你肯定能把它做错啊。你能告诉怎么做了吗？就图也不画啊，导也不穷，反正单调性的话，凭感觉来。你觉得它是增的。然后这是减的。你这是个增函数，你这是个减函数，你到底到底是个什么函数啊？我知道描出两边极限，

怎么了？啊，这胡来吗？你这你这开创了微积分呐，新一门学科嘛。瞄住了端点，怎么了？这这这往这跑，然后怎么做呢？这胡来的吧？那还有这样的这样做法，描述了端点，那中间怎么变？中间有无数无数多种变换变换方法。你你你要这样继续去学习啊，

我觉得你的模考没达标。我不知道有些同学你你是怎么信心想的，模考真正的意义在何处呢？模考真正的意识，把常规的题型练到足够的熟练，模考的意义在于把常规题型当中的漏洞找到。如果在这块当中有问题，把它解决问题。不是让你在这里面当中开创各种乱七八糟的方法的。你有些方法，你最后就用不到，你用不出来，你说怎么办呢？呃，不不是这样来的，

别别别这样，你这样的话达不到这个模考的效果。好了，不多讲了，再来看第14题。这个题啊，有点骗子啊。大骗子题。骗子在哪呢？但是他就是能骗着。那这是什么呢？n趋向无穷，大这块就趋向零，那趋向于零，怎么了？

趋向于零，前面这个部分就可以等价了。所以立即把它等价成n分之派。啊，这个然后再来看后面n项和是几线，看到n项和是几线立起来先写成啊，这个什么把它写成求和。n分之一n分之二，那就n分之k cosine多少？n分之kk从几啊？k从一到n？之前的话，这个很很多，这个呃，就是当时我让让编辑进行看这个，

他看这套题的时候。他对准这个东西看了那个答案，说哎，这三三亿是不是多敲了没有啊？这是我故意来的，故意写的。那说那对答案，答案当中没有这个s in是等价了。答案是进行了一步等价。你不要说了啊，那个答案是不是把这个三给敲错了啊？不是这样。好这个，然后接下来我们继续把这个派出去。派出去了之后的话，

这是limit n趋向无穷大，这是n分之一，然后k从一到n，然后这是n分之k，然后这是cosine多少n分之k？来先看看，这是第一个一剑客，两剑客，三剑客n分之k的函数，所以说这个结果它就是多少是派位的。那是多少零到一改成s倍的cossss？好自己算啊，把这个把这cos in往后面一放分布及分法一下就出来了，好这题不讲这题当中啊，比较重要的就是在这儿。

分步积分法自己算。然后再来看看第15题。15题啊，老朋友了，这个题。那这个题的话，就是下面是二次，上面是几次，上面是一次。那上面这个东西是一次的话，这个二次这个部分的导函数是多少呢？这个导函数就等于2 x+2。那所以我们就来看你下面是x方，加上2 x+5。你就要把上面这东西写成2s，

加上二。你加个二就要减个二减去五，然后ds。所以说这个结果的话就是is方加上2 s+5。然后这是2 s+2 ds。那写成这样了之后，后面这个部分是五倍的。然后这个不定积分是s方，加上二s加上五分之一ds。好，这个结果那做成这个部分了之后，然后继续看那上面这个部分的话x方加上2 x+5，它的导函数。s方加上2 s+5，然后ds。

那然后接下来继续，我们再来抽。那这个部分后面是二次，这是常数啊？我们讲过，如果下面是二次，上面是常数，直接使用配方，配方是万能方法，把它写成x+1^2+4。四写成二的平方，然后ds+1，所以说第一个结果就是ln多少s方加上2 s+5。好，这个结果，

然后就是a分之一。阿尔克t an ENT，然后这是a分之s，最后加个c。好，这是这个题，那这个题的话，后面是。没有，这没有二分之一，没有二分之一，然后这是二分之五arctangent x加一正确答案选e。啊，这个题。呃，

这个题啊，其实就是一个基本的一道不定积分的计算题了啊，这个比较常规，把它想清楚就行来再来看看第16题。啊16题16题啊，让我们考察这几条线，在第一象限内围成的这个面积。其实这种题就是还是画图的问题，把图画对了，那就可以了。来瞅一下吧，这是y这是零，然后这是x。然后这是s分之四啊，就这样，

然后接下来的话，这是y等于sy等于四s，他们在第一象限围成的这个区域啊，是这个区域。就这个部分呃，围城这个部分呢，你想怎么做怎么做，这个做法非常的多。你想想你要进行去求这个中间这个部分的面积，你先求一下这个点吧。你看看这个s分之四。跟这个4s进行交点。那所以说就是x方等于一，那这就是一。这个焦点是一。

然后这个高度是几呢？高度是四。好，这是这个，然后接下来继续，我们再看这是s分之几分之四跟这个s的交点s方等于四。x方等于四的话x=2。所以接下来我们继续再看。嗯哪个？等腰直角三角形。你别胡来啊。好，这个问题。那就写成这样。对吧，

立即就做成这样，那做成这样了之后，求这个中间的面积怎么算呢？你这个算法太多了。你看看这个前面这个三角形很好算。啊，这个三角形这个三角形的话就是。这是一几点呐？这是一一点。那这个三角形的话，就是二分之一。底是多少呢？这个底是三。高是一。啊，

这是这个部分，我就立即把这个部分给算完。然后这个部分算完了之后再算这个，这个小的这个部分。小到这个部分的话，但是这个这是这样的一个边的，所以可以用这个这个部分再减去一个什么你再减去这个小梯形。那这个部分是一到二x分之四的定积分，你再减去下面这个梯形，就这个部分。这个部分的话就是二分之一，上底是一。下底是二。乘以高是，一÷2。

好，一做就出来了。好，这个题啊，我们就讲到这儿啊，你爱用什么方法用什么方法，我们不在这上面纠结了，就这个题啊，你怎么做都行。你想怎么做就怎么做，所以这个做题啊，最最后而言还是回到我们最基本的这样的一个问题上，这应该是个小学问题吧，除了这个曲编。除了这个曲边曲边的话，

我们需要用到一下定几分是大学那种剩下的东西都是小学那种，你小学当中喜欢玩儿，哎呀，这个三角形那个三角形。怎么做都行。好，这是这个题，继续吧，再来看。嗯，题呢？好，再看17题。那这个题啊，考了一个旋转测表面积。

旋转侧表面积又打出了很多同学的痛点呢。复习一下吧，旋转侧表面积啊，是这样，这是y这是零，然后这是x。然后在这块当中是这个部分。a点，然后这个点是b点。那接下来就继续，我们看当时做的时候啊，我们说是这样。让你在这块当中啊，取一个微圆。取个v圆，

在x处长度为ds这个v圆。你要想清楚一个问题。就是如果这是这个威远呐。怎么了？我这个题干不一样吗？等我一下，那可能是应该是这个卷子。是这个吗？哎，一样的。好了好了啊，这这这个东西来继续吧。就旋转那个曲面的面积跟侧表面积有啥区别啊？清醒一点啊嗯，这个这个最近复习压力比较大啊，

稍微稍微灵活一点，灵活一点点。然后我们再来看。这个部分呢，如果算这个曲面，这个什么测表面积的时候，这个部分不能看成什么平的。啊，这是弧微分，你还记得吗？所以说它这个部分的面积。是这样，所以说最后而言算出的这个结果是这个样子。这个部分是y。这是ds我上课给你讲过。

所以说这个表面积啊的v元是二派yds。记住这个就行。你记住二拍yds，你不如记住这个图，你记住这个图，不如脑子转一下啊，二拍yds，二拍yds。所以说现在而言，如果他经常考，他要考肯定考直角，如果考的是直角，你就写二派y就是fs。ds的话弧微分就是一+f对s求导的这个平方ds。然后既然是ds上下限，

写s范围从a写到b。是不是就出来了？这很简单，然后如果考的是什么呢？考的是参数方程y就写成t的函数。那这个d这个部分的话ds就是s对t求导的平方，加上y对t求导的平方，然后这是dt dt的话，这个t是从阿尔法到贝塔。从阿尔法到贝塔，哎，这个结果。所以很快就出来了，你只要记住是二派yds一下就出来了。那接下来我们看这个题来做吧解。

这个测表面积的话就是。走二派YY是二倍的根号s，然后的话是根号下。ds一加上y对s进行求导，那二二倍的根号s分之一。那求导的话，刚好是根号s分之一的平方ds，然后从几呢从零到三。所以说这个结果刚好是四倍的派零到三。然后这是根号s。那这个部分的话，刚好就变成了根号下，这是x分之一加上x这是根号。这ds，所以说这个结果是四派零到三根号下s+1 ds，

然后补一个加一。那这块就出来了，这四拍。二分之一次方，二分之三，三分之二，三分之二的话x加一的二分之三次方把零和三带进去。所以说这是三分之八派。三分之八派的话，我们先带一一的话，这开方这个是二，这是八八减一。所以等于三分之七八五十六派。啊，这个题所以正确答案选几选c。

呃，这个题啊，它很像那个二二年那个题。二二年那个题啊，在创新心上，他考了一道那个求弧长的题。然后在这块当中，我们出了一个求这个测表面积的题，反正的话都是知识点的问题。知识点知道了，那肯定做的非常简单，知识点不知道，那可能做起来稍微的麻烦一点好再来看18题18题也是这样。那首先我们看看收益函数。收益函数是什么？

收益它就等于价格再乘上需求量。单价在车上卖了多少？就是收益函数。那收益函数你要注意，这里面当中最重要问题就是边际收益。边际收益是收益函数对谁求导？你说对钱求导不是的，是对q求导对这个框圈提求导对吧？不要对那个价格求导，要对这个数量求导，你把它求错了，那肯定没法了，所以一定注意。啊，一定是对谁呀？

一定是对q求导，把这个部分一定要写成q的函数，不要写成p的函数。所以说这个p就等于多少p就等于四十减去q除以二再乘上q，所以等于负二分之一倍的q方。再加上20倍的q。所以说这个结果是r对q进行求导，因此等于负q，再加上20。当q=10的时候，它刚好等于几，它刚好等于十，所以正确答案选a哦。这个问题，所以像这个题的话，

其实。啊，这题看来我没有出好，对吧？这个对p求导一看答案没有是吗？这次出失误了啊，早知道的话，这个稍微把这个答案再再再慎重一下啊。好，18题一定注意边际收益，边际收益，边际利润的收益，利润对谁求导对q求导不是对p求导。啊，这个题好继续再来看看第19题。

19题就非常简单了。你看这个题，这是老朋友了，一个函数由方程决定，隐函数隐函数先设这个三元函数。fxyz那是多少呢？y倍的fx方减z方，然后减s-z。好，我们看看偏z偏s。等于负的那负的话，对s偏导数是多少y是个常数，然后是f对这个中间变量求导。啊，你就求导就f1撇儿中间边的对s求导是2s。

然后接下来再减去个一。再来进行去对z求导y就是个常数，先对这个中间变量求导，你可以缩写成这样f撇没有角标。然后这个部分再求导是负2z，你再减去个一，所以说这个结果它就变成了y倍的f1撇。然后这是。啊，这个结果写成二倍的yzf 1撇，加上个一。然后这是y倍的，这是2 sy。2 sy倍的f1撇减个一。然后继续再来看看偏z偏y偏z偏y下面这部分是不变的f1撇负2z减去个一。

然后再对这个y进行求对y求的话，就是这个f。啊，就是f。你就缩写成这样，然后再对y，那就没有了。那所以说这个结果的话就是2 yzf 1撇，加上个一，然后这就是f。那现在我们要进行去看一下这两个东西，你算一下。这下面的话都是2 yzf 1撇，加上个一。上面这个部分要乘上多少呢？

上面这个部分要乘上z，乘上z的话就是二倍的xyz f1撇。然后再减去个z。减去一个z了之后，再加上y倍的它啊，再加上y倍的f。呃，y倍的f。所以这个结果就变成这样，而你看看你把这个负z移过去x就等于y倍的f-z。所以说这个时候你其实就可以看出来这个部分的东西就是谁呀。这部分东西不就是x吗？你把上面这个x提出来，不就是二倍的yzf 1撇加上个一嘛，跟下面就可以约掉嘛。

所以说这个结果马上出来，那这个题答案选选几选a。好了没？这是这个题。呃，你要品好好品，这个题做过。不要感觉做过就是做过。啊，做过这在那个内部卷的那个四套卷子里面当中，我们出过这个题啊，内部卷。好了，那么接下来继续，我们再来看看这个下一个题。

好再来，因为上面这个题啊，还牵扯到了这个复合函数求导，所以下面的话，这道又考了一道纯的这个什么？隐函数求导问题。一个函数由方程确定。那你走呗，先来进行设一下这个三元函数。那这个部分的东西就变成了e的x倍的ln多少z+y再减去xy？它直接进去就出的是偏z偏s。pnc偏s的话就等于负的。来我们现在要对谁呢？我们现在要对s先对中间变量进行求导。然后中间变量，

这不是先代后求的问题。不是先代后修。这隐函数怎么先代后求？我我记得我曾经就好像这句话，我说过了一遍，我发现今年今年一些话呀，我反反复复每节课都说老是说总有同学这样。难道接下来继续再来看对s？这是ln多少z+y？然后再减去多少，这是y。然后对z求导的话，就是先对中间变量求导。然后这个中间变量再求导的话，这个对z对z的话s是个常数z，

加上y分之一。好，这个部分那现在的话，这个x等于几呢？一然后这个y就等于二。那其实就是z加上这个二它的一次方等于2z就等于零。z就等于零的话，我们就把它带进去。带进去了之后的话，你看看。那现在的话，这个z是0y是二，那这是多少？e的录音二。一的录音二，

这就是二。然后x又是一。z加y的话只是二分之一。然后再看看上面上面这个部分是二。z+yz+y的话，这是lone 2。然后y的话，这是二，所以这个结果等于二倍的ln 2减二二倍的ln 2。减二。哦，这前面还有一个负的。等于二减二倍的ln二答案选d。好了，这是这个部分吧，

我们就说到这儿啊，所以这前面还有一个负号，对吧？来，我们接下来看看21题，这个题啊，我要重点讲讲。啊，我要重点讲讲。那接下来我们来看看这个类型问题。来继续做。大家给我思考一个问题。你好好思考一下。这个很重要。那请问。

xy.趋向于领地。的时候x是否能等于零？y是否能等于。能不能你思考一下这个问题？sy趋向于零点的时候，能不能等于零？能不能当然可以？你看吧，所以说说不能的同学二重极限呢。学了半天，学到最后是这样的一个效果。能不能可以的？啊，可以的。

因为你看看。趋向于零点，我可以沿着这条线趋向。沿着这条线去向的话，你发现我的y不就是零吗？我的y永远等于零。x是趋向零的。如果沿着这条线去想。我的x就等于零，我的y是趋向于零的。什么叫做sy趋向于理呢？四面八方往这个点跑。只要不同时为定就行。不同时为零。哎，

不同时为零。不同时为零。所以在这一块当中啊，一定注意sy趋向于零，在我们这个题当中。人家这个题当中说的xyx×y不为零。x×y不为零的是的意思就是x不为0y也不为零。x和y都不为零，这跟我们以前给的条件是不一样的，以前给的条件是什么？以前给的条件是xy不等于零零。sy不等于零零，就是意思就是不同时为零。同时为零的时候等于零，不同时为零的时候等于它。

但是现在给的条件是什么？都不为零的时候才是他，只要有一个人等于零的时候，我就是零你品你好好品品这句话。是不是这个事情，他现在给的条件是你不能为零，我也不能为零，因为只要有一个人等于零，我们就是零。他现在给的条件是。我们俩人都不能为力。听懂吗？只要有一个人等于零，他就归于第二类。你下课的时候好好品品。

我们平时给的这个条件。跟我们这个条件之间的区别。一样的，平时给的条件是xy不为零。不同时为零。同时为零的时候等于零。你好好品，所以说我说这个题啊，有的可能选对了，但没有做到这个。根本上下课的时候，我马上要休息，下课休息的时候把这个东西给我思考一下，想一想一样不一样。那么，

所以在这个题目当中。在这个题目当中xy。趋向于零点，它就会包括有两个。第一个什么当xy都不为零的时候。还有第二个当什么x=0或者y=0的时候。你想想是不是？都不为零的时候，它其实是在走的，是这条线就是这个紫色的这些线。只要有一个等于零的时候就走的是红色这条线，这两个部分的东西才把什么才把sy趋向于零零给研究透了。你好好想想，下课的时候思考一下这个问题。把这个问题思考清楚，

我觉得这个题接下来的解决就会变得非常的简单了。好，我们休息会吧。下课好好品品理解啊，理解最重要。对吧x×y不为零就的意思就是你不为零。你不为零，且我也不为零。我俩都不为零都不为零的时候走的，其实是紫色这条线。只要有一个人等于零，你等于零，或者我等于零，但不同时为零。啊，

你等于零或者我等于零，但不同时被零走的是x轴和y轴这些线，它的时候。你想想这个事。所以你下课仔细思考一下这个问题，把这个东西啊，你想清楚。我问一个事情。大家听好。如果。你不为零，且我不为零的时候，我的极限是三。然后的话，你发现如果是你等于零，

或者我等于零的时候，这个极限是四，请告诉我这个二重极限是个什么情况？或者说这个极限是零，这个二重极限结果是什么？这个极限结果是不存在的。因为一个二重极限，如果存在它的任何方向的极限都是存在且相等的，你只说了这些当x不为零且y不为零的时候，你是等于零。但是沿着x轴和y轴走的时候，你是四，你肯定是不存在的呀。你注意这个问题，因为很多同学你只做了这个方向，

你说它等于零，最后你就下结论说这个东西等于零。你是不是只做了这一段呢？你去看看参考答案，我写的是非常详细的，就是那个答案。我把里面当中很多东西我都全写了。你没发现那个答案，后面还有半成吗？你琢磨琢磨。想清楚好了，我们稍微休息会儿，一会儿继续。下课品一下，这两个东西的区别。

好了，稍微休息会吧，一会我们继续。你可以做得出来。我觉得有的时候。呃，这个阶段呢，你自嘲一下，我觉得没有任何关系。但是老是自嘲丢失了前进的方向，那我觉得就有点划不来了。因为这些东西我们全部都会都点到这儿了，应该是能把它想透的。好了，我们稍微休息会儿，

你在课间的时候把这个东西好好琢磨琢磨，那思考一下这个问题点怎么去想好稍微休息会儿吧，一会儿继续。

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