07.冲刺满分10套卷精讲6-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:17:42

首先，那么接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们准备开始了。那么今天啊，我们就继续精讲一下这个第六套卷子呃，后面也不多了，还有这个第七套和第八套，还有两次考试啊，我们所有的这个模考班呢，就正式的结束了。

呃模考的时间呀，也比较长一点了，做的这个卷子啊，也比较多了，那么这么多卷子里面当中你错的题。你出错的问题，包括我们在这个里面当中进行去查漏补缺的一些知识点，还有一些遗忘的公式，那这些东西啊，你都需要做这个重点的进行去复习。对吧，每天的过程当中，一些遗忘的公式啊，都看一看，对吧，

比如说不熟悉的这些题型，多进行瞅一瞅，把这些相关性问题啊，一定要做到位。呃，其实模考是一个方面，有些同学可能做的这个卷子啊，比较多一点，有些同学觉得说啊，我卷子没有说做那么的多，那这个质量怎么样？对吧，效果怎么样？那在这里面就看看你每套卷子，你最后完成的这些事情有没有对你原来的这个学习啊？

做好一定的补充啊，这个非常重要。好了，不多说了，那么接下来我们就正式开始吧呃，还是在这个正式上课之前呢，对这个第六套卷子啊，我们简单的说一下啊，这个问题。你会发现。有些同学在慢慢的发生这个质变呢。这个卷子做的已经非常多，有三套真题，四套内部卷，然后这是六套啊，

做了十几套卷子，有些同学可能每次做完。啊，我就去复盘，每次做完我进去去看看我里面当中哪些点掌握的不好，然后进行查漏补缺啊，正在慢慢的进行去产生质变。然后有些同学可能这个每次错的这个感觉啊，都不是一样，那你就做好相对应的这个补充，那么接下来我们就正式开始吧，我们再看一下这套卷子。呃，第六号卷子还是这个常规问题，你去做的一些题型呢，

基本上都是常规题型。你做了那么多，但其实发现，比如说函数极限呐，对吧？无穷小比积啊，比如说这个导数计算呐，导数定义呀，微分定义呀，定积分计算。都是一些常规问题，所以说这些题啊，一遍两遍的应该是非常熟悉了啊，这第一个事儿，然后第二个事情呢，

计算能力仍然是很重要。那么，这个计算能力还有这个考试时间的分配啊，是我们在每次模考的过程当中都需要进行去把相关性的这个能力啊，你得提升上来的。好了，这块内容我们就简单说到这，你发现每次都说这个问题，其实没什么意思，但是我觉得这一次啊，我其实想重点说这个问题。就这个声儿。有些同学不长记性。你那样进行去做，无论你做了多少模拟卷，

我觉得效果最后啊，都不会特别好的。就是你一定保证一个事儿，你上次过程当中出错的题，你下次过程当中能不能够进行去独立的处理？这件事情肯定是要把它做到位的，你一而再再而三的错，你今天错，明天错，你下次还是错，你再考还是错，那这样的话，一是做模拟卷也没有什么意思。所以说这个比较重要的就是里面当中出错的问题，你要保证下次过程当中一定会处理。

而且要反应的非常迅速，我见到这个题型，我立即把它反映出来，好，这是第一个事，然后还有一件事情，我上次就跟你讲过。你要找一本全题型的讲义。可以是你的强化讲义，可以是你的冲刺讲义，可以是你的基础讲义，然后这些部分的内容每天都要进行去翻一翻。捡着自己的痛点嗯，多进行去看一看，你这都要进行去啊，

复习的可能很多人觉得说这个复盘是不是浪费时间？那还真不浪费时间，你复盘呢，提高速度才是最快的，所以我觉得这个第二条。你得做起来啊，我觉得得行动起来，有些同学可能之前就开始了。有些同学就是我每次这个模考，我稍微推一下，做两三天，然后这个没有模考的话又又不行了，对吧？又不干了。然后再模考的话，

再推两天，再推两天，你这可不行，这个周我们的模考就结束了，今天是这个周一。呃，下次考应该是周四还是周几啊？你去看看那个时间。然后的话是呃，周一一次，周四一次吧，然后是周日一次，我们还有最后的话，这个两次模考，那模考完了之后，

我们这个核心部分的课程呢，基本上就结束了。所以希望大家把这个相关性问题啊，好好再做做，还有一个事情就是这个易错的公式。对吧，经常容易出错的公式，你得进行记呀。你这一次见到这个问题，你感觉不是特别的深刻，你下次见到这个东西还不深刻，你下下次见到这个东西，你还不深刻，那可不行。好了，

这是这个问题。呃，还有一些事，我说一个问题点。有些同学对一些知识点呢，你自己去可以看看，有些复习的很好的同学。很多部分的题型是换汤不换药的。呃，总有一些同学会发现说哎，我做了这个，我感觉不好做，那个感觉不好，对吧？我做这个我很合适，

不是这样子的。那就看你有没有把它梳理透知识的内核都差不多。知识的内核它都不会发生改变，就考大纲那么多内容，而且你发现我们考的还不难。只不过但是对我们的要求比较高一点，虽然这个单个题目不难呐，从这个呃一个小时20分钟到一个小时30分钟内，把这个所有题目进行完成。这个压力很大，但是从单个的部分的题啊，它没有说考的那么的难，你相对这个。呃数一数二数三呢，考的这个模拟卷呃，

昨天有些同学可能看到了，对吧？昨天是这个，他们模拟的这个第一次啊，终极预测四套卷，然后呢，这个第一次模考。每次这个模考都是这样，其实我在这个呃之前的话，去年前年啊，每年都是这样，凡是这种大模考。模考完了之后，我立即就会发条微博。赶紧对很多同学，

然后呢，稍微的进行去安慰一下。不是说我们一定要进行去呃，其实我一直跟你们讲的一个问题，跟大家是一样的，我们其实做了很多这种事情了，心理建设很重要。别有些同学在这个。考的难，然后考崩溃了，对吧？然后就开始这个什么要不共情，要不然怎么就沮丧？你这都没有任何的意义。如果这个卷子能帮助你发现问题，

你及时的进行解决，那就非常好了。所以把这个相关性的问题啊，一定要做到位，还有一些事情你不要觉得说有些东西可能练题啊，那还是没有练到这个精髓。你今天的话，你会做这个题，明天稍微的改一个样子都不会了啊，这还不行？把这个东西啊，一定要多做一做好了，不多说了吧，希望同学们下去好好进行去完成，然后后面的话，

这些事情都是我每次强调的，我们就不多说了。我们先来看看这个第六套卷子，然后再讲这个卷子题目当中啊，然后我们再来跟大家讲好了，那么接下来继续我们来看看下一个问题。你要是觉得这个你觉得这些事情，我每次谈这些事儿，你要不想听你就去听回放，对吧？没有那么多事情啊。好了，那么接下来我们就继续，我们来看看这个第一点，那所以每次我们上课都有自己的节奏，

你不要紧，你如果觉得这块你不想听这个部分，那你就听回放就行了。好了，那么接下来继续，我们来开始看一下这个第一个题。呃，这个题啊，其实没有多绕啊，这个题。有些同学把这个题做的非常的麻烦。其实这个题啊，考的非常的简单，我们来看看这个题当s进行去趋向零，你求一下这个极限，

这是s。那这个s这个极限呢？哎，你看这个部分是不是可以剥离出来啊？所以说这块东西它就变成了零到s，然后的话，这是二+t^2，然后这部分是一的t方。然后这是e的负x方，那这个部分呢？你再来dt。对吧，就变成这个部分哎，这个部分的话，对t积分，

它就是个常数啊，你就可以把它剥离出去，剥离出去的话就变成了s趋向零。然后这个部分是e的负s方，那这是零到s2，加上这个t方，然后是e的t方dt比上s。你把它写成这样，然后这个部分不就是个非零因子吗？非零因子可以淡化一淡化这个题就结束了。当s趋向零，然后这是s0到s，这是二+t^2，那这个部分是e的t方dt，这是个大骗子t。

所以现在就是一个零比零型微粒时，你就可以落笔打浪，当s趋向零，然后落下一落的话，这是下面就没了二，加上s方一的s方。啊，直接带一的零是一，然后前面这个部分是二，所以结果是二。好了，这个题啊，我们就讲完了，正确答案选a哦。像这种变现函数的极限题啊，

能提出就提出，提不出去就换元，所以像这个问题难度系数不大，在这套卷子里面我出了好多道变现函数的问题。可能有些同学已经感受出来了啊，里面当中啊，有好多道这种变现函数的题，变现函数每年的考研重点。来那么接下来我们再看第二题这个题啊，函数的这个极限概念问题。这个极限概念问题啊，也不是特别难。考的是一个保护性问题，你先看第一个。当s趋向零，

它说一定不正确，我们先看第一个吧。你发现当s趋向零，我的极限是负二。我的极限是负二，我的极限不就小于负一吗？如果你的极限是小于负一，那在趋向过程当中啊，它肯定小于负一，在这个去心领域内啊，肯定是小于负一，那这个肯定对呀。然后再看当s进行去趋向零，然后这是fs。这是负二那负二这个部分也是小于负二分之三的，

那所以这个也对，如果你极限小于这个数，在趋向过程当中就是去心领域内。他都比他小好了，我们再来看看这个c和这个d那c和这个d啊，考了一个绝对值的问题，绝对值还记得吗？如果你的极限是a绝对值的极限，是a的绝对值，不能回推。哎，不能回推，只有一种情况可以回推，就是这个等于零的时候可以回推，所以我们现在就可以把它这个做完。

当s趋向零，然后这个绝对值的这个极限，结果它就是多少就是二。那既然是二的话，那这个部分大于一啊？如果你的极限大于一，在这个去心领域当中，我肯定比一大，那所以这个部分肯定是对的，但是这个部分是比三小。所以在去薪领域当中，它一定是怎么办？比三小这个不对。然后再来看看e选项，他说这个函数在零处没有定义。

人家说的是一定不正确，这个东西是可能正确吧。极限跟那个点处的函数值有没有关系啊？没有关系。我在那个点处的极限，我等于负二，我那个点处的函数值可以等于负二，我也可以不等于负二，我也可以没有定义。那所以这个部分呢，是可能成立的，人家让你去选，一定不成立的，这是可能的。可以的，

所以正确答案选几选d。好了，这是这个题，那么接下来我们再来看看这里面当中的第三个题。好，继续看。这个题那这个变线函数呢？这个无穷小的定阶的问题，那就非常简单了。那对于变线函数的定阶问题，我们原来怎么讲呢？那第一种方法，那其实就是导数定阶法。好，我们先来看第一种，

那导数定解法的话，你就可以求导呗，一求导的话，这个部分是e的x方再减一。立即进行去等价，无穷小x方等价，无穷小x方的话，这个a就立即等价无穷小，这个积分三分之s三次方，这不陌生吧？所以这个部分呢，是个三阶无穷小。然后接下来我们再来看看第二个，第二个进行求导的话，就是ln一，

加上这个是多少x，它的二分之三次方。这个等价无穷小于x的二分之三次方就这个，那因此我们这个b啊，它就等价无穷小这个积分。其实你知道这个东西深一级就行了。你积也行，那is的二分之五次方，然后是五分之二，因此这个二分之五减那二分之五减肯定不选呐。因为我要选最高级，你已经比不上a了，所以说你不是最高级，然后再来看看c选项，那c选项一求导的话是一减cos。

等价无穷，二分之x方一个积分呢，所以这个是三解，那立即都不选了。因为这个考题啊，是个单选题，你选a了，你是三级，那我这个也要选啊，所以这两个东西啊，不会共存，然后再来看d选项。d选项的话，这是三。把它移进去x方这个部分的平方上限再求导，

这是2s立即等价无穷小于四次方，然后这是2s。所以说这是几次方五次方五次方的话，这块就是六解。你看这个，你要升一级，你是六级，然后再来看看e选项e选项求导的话就是根号下一，加上x方，你再减去一。这个上限在求导，这是二s前面等价无穷二分之s方，那这是二s，所以说这是三次方，因此它是四解它不对。

那正确答案选几啊？你选d啊就出来了。但这个速度啊，不是特别高，我们讲过这种类型问题啊，有一个非常快的一个方法。那我们在这个无论是强化班呢，还是这个冲刺班，我们已经讲烂了。就非常简单一个问题，就这个事儿。这是一个变上限函数，假设这是ifs，这是个gt，然后dt。

有一个这样的一个结论就是，如果在趋向零的时候。趋向零，你这个部分是个m级，你这是个n级。你是个m阶无穷小，你是个n阶无穷小，那这个结果就是m倍的n+1阶无穷小。对吧m倍的n+1解无穷小，我们来看，这是个一解，这是个二解，所以说就是一乘上二+1=3解。啊，这是三节，

然后再看这是个一节。然后这块等价多少？等价无穷小于t的，它的二分之三次方因此是二分之三减你加个一，这是二分之五减。那所以这个就不选了。然后再看这个是二解，上面是一解一乘上二+1，它又是三解，然后上面是二解，然后这也是二解二+1，这块是六解。然后上面这个部分是二减这个等价多少二分之一t的一次方，所以这是一减，因此这个结果是四减，

所以正确答案选几选d这个非常快。好了，这是我们讲的这个第三题，你用这个经验性结论呢，你做起来会非常非常的顺手，我们答案当中都有好了，我们继续，我们再来看看第四个题。好，再看第四题。那第四题啊，就是个常规问题。那首先我们看，然后让我们去求解这个什么，然后让我们去求解这个g等g撇s，

那g撇s就是先对中间变量求导2 s- 1。比上s+1。然后这个中间变量要再求导2 s- 1 s+1，你再求导。那所以说我们把这个部分我们算算一下，这是2 s- 1，然后这是s+1，那后面这个部分呢？来继续。那这是is+1这个部分的平方，那上面进行求导乘以下面减去下面求导你再乘以上面好这个结果。那现在怎么办？你就直接把这个零带进去，零带进去的话，这是f撇几？

那上面是负一，下面是一，那就是负一，然后把零带进去的话，下面这个结果是几下面这个结果是一。然后上面这个部分两个一减没了，那这是二，然后再加上一，那这是三，所以说等于三倍的f撇负一。那f撇负一等于多少呢？把负一带去，那这个结果它就刚好等于ln 2，所以等于三倍的ln 2。所以，

正确答案选几啊选一。好了，这是我们讲的这个第四个题啊，这个不难，然后再来看看这个第五题，那第五题考什么？考了一个隐函数，求导。一个一元函数由一个方程确定，那一元隐函数那一元隐函数让我们去求二阶导数方程，两边同时求来先求吧。这里面当中没有自变量s，可以直接求那前导的话，这是2s来走，先对中间变量啊，

这个什么你先把它移进去。上限移进去，其实就是中间变量求导，然后上限再求导的话，这是一你再加上y导这个结果等于零好了一是。然后怎么办呢？两边再来求。两边再来求的话，这一求导是二，那么先看前导那前面进行求导的话，就是先对中间变量进行求导。中间变量再求导是二倍的x+y，然后x+y再求导的话就是一+y撇，然后后面不导的话，这是平方。

然后再来前面这个部分不等。然后后面来导，那就是y两撇，这个结果等于零，这是20。那做成这样了之后就来继续去待，对吧？叨叨叨待待待当s=0的时候。往上带一带的话，往这来。哎，这块有个负号是吧？这是负的它啊，所以说这块是个加号。对吧，

这个符号。啊，注意一下那所以说接下来我们把它带进去，带进去了之后的话，你一看，哎，你发现这个前面是零，你前面是零的话就是负的，然后是一+y。一亿的负t方dt，它等于零里面永远是正的，你要想等于零只能上下限相等y=1。然后再来看当x=0，然后这个y=1的时候，你往哪带往这带往这一带的话，

这个前面是零。然后这个部分的话，你看这块是零就不管了，那所以说这块啊就不管人家y导这个结果就等于负一。那所以我们接下来再来看第三个当x=0，然后这个y=1 y撇等于负一的时候来继续。那继续往里面带的话，你看这个结果。好，再来看第三行。那第三行这一带的话，这是二。那这个部分呢？眼睛瞅一下的话，这是x+yx+y的话，

这个是x+y这是一一的话，就是e的负一次方。两倍的，然后这是一那然后就是一+y撇，一+y撇这块是零不算了。所以这块是零不用算，然后再加上这是减去个一的。负一次方y的撇撇等于零，所以y撇撇这个结果等于二一。那因此这个题的正确答案选c。好了，这是这个题，不是特别难，对吧？把相关性问题啊，

你好好看看。来，我们继续吧，我们再来看看下一个题。再来看第六题。呃，这个题算不算的话就这个式子算不算你得继续去先看看那个y撇是不是零呃，是不是负一？你如果是先算了这个一+y撇等于零，你当然可以不用算了，但是如果的话，你在最最后啊，你才发现诶，这块等于零，那就白搭了。

好，不用管，不会影响我怎么样，然后再来看看第六题。那第六题让我们去求解这个函数，这是y跟s的函数n是一个参数。那这个时候的话，我们要在这个点处的切线，那切线与x轴的交点，那接下来我们看这题非常简单，他说什么你就干什么就行。大家想想你在这个点处的切线，那我们就要继续去求一下切线，那切线方程的话就是y等于二分之一，然后再加上什么？

再加上y在一处的导函数，你再乘上一个x- 1。所以核心重点其实就是求这个导函数，那算呗，来求一下y导n是个常数，那这个部分求导的话其实就是负的。然后就是五减xn的这个部分的平方分之一啊，它上面是二。好，这第一个部分也就说我们先对这个中间变量求导负的，它平方分之一，然后这个部分再求那这个部分再求的话就是负的n倍的s的n- 1次方。好了，这个结果，然后接下来把这个一啊带进去。

一代的话，这是负负得正就不用管了。然后这块一代一一代的话，一的这个N次方是一五减它五减的话是四四的话，这是八分之一。八分之一的话，这块是n，然后这个一那就没了。好了，这是这个结果，把它算完了，所以说这个部分的切线呢，切线方程就出来，那其实就是二分之一，再加上八分之一m。

我们再乘上x- 1。你要进行求x轴交点，你就继续吧，你就令y等于零，令y等于零了之后的话就是八分之一n，你再乘上x减一。那这个结果它就等于负二分之一，那所以说这个is减一，这个结果它就等于多少，它就以乘过去，那就是n分之四。所以说这个s结果等于一减n分之四好了，这其实就是s你求这个交点嘛，令y等于零求出的这个部分就是它的交点。然后最后我们去求这个极限，

那求这个极限的话，那就往里面带呗n趋向无穷大，然后是n倍的lnsn这个极限。那求呗n趋向无穷大，这是n那其实就是求ln一减n分之四的极限，一减n分之四的极限，当n趋向无穷大的时候，这是n。那后面等价无穷小多少n分之负四，所以结果等于负四，正确答案选c。好这个题，所以这种题嘛，难度系数不大，就说什么就干什么就行，

他说切线你得去求切线，他说焦点你让y=0求焦点，你焦点求出来之后啊，你求极限啊。啊，这个题难度不大，第六题来我们继续吧，我们再来看第七题。那第七题说这个函数啊，经过零零点啊，我们肯定经过零零点的话，那就是f0就等于零。他说在零处，它的增量是德尔塔，然后当德尔塔s趋向零的时候，

相对应的函数的增量，你看看。大家想想我在零处的这个部分，它将会等于二倍的。德尔塔s再加上德尔塔s的高级无穷小，在德尔塔s趋向零成立。那你想这个部分的东西不就是零处的什么微分吗？那既然是零处的微分，那这块东西不就是零处的导函数吗？所以零处的导函数就等于二。那零除导函数等于二，让我们去求这个极限，你琢磨一下。当n趋向无穷大，那这块是？

这块是零。f0呢f0是零，我们刚才说了f0，这个结果是零。那所以这个结果是零一一的无穷大为零是。那一的无穷大未定式，你就可以做答案，就等于一亿的这个极限符号照抄，然后是头顶部分照写d- 1。d减一的话，其实就是fn分之一，你再怎么办？你加上个一加上个一减就变成这个。所以这个题就做成这样。那做成这样了之后，

我们怎么办呢？你再来抽这个题啊呃，它只告诉可导性，而且数列极限，你不能落笔答案。那我们根据导函数给了导数，求极限给了极限，求导数可以凑导数定义啊，所以说这块就是零加n分之一。f零是零，然后把这个n除下去，那就n分之一对吧？我凑了一下导数零。那凑了下导数定一下，我增量是这个部分，

你趋向于正无穷，那这就是零帧，因此啊，这其实就是零处的诱导数。要注意啊，这数列极限数列极限的n1定是趋向于正无穷的，所以这个板块只能是零帧。那既然是诱导数，诱导数这个部分呢？马上看。它是个诱导数，所以说它这个部分呢，它就是等于二一到二次方。好了，这是这个部分。

可以了吗？把它想清楚，原函数不是2s，那叫举例式2s。原函数未必是2s，它只能告诉我们在零处的导函数是二，它不是说导函数永远都是二好了，这是第一种方法。那么像这种抽象函数机械呢？抽象函数的问题，你可以举反例举例子啊，是举反例。因为我们知道f0是零。f撇零是二。那我在这一块当中取，

我取的越简单越好，我就举个例子，我举例子是多少呢？是2s，那既然是2s的话，当n趋向无穷大。然后这个部分是一加上，那这是二倍的。对吧n分之一那是n分之二，然后这个N次方一的无穷大，所以说这个结果等于e的这个极限符号照抄头顶照写d减一。所以这个结果e的平方举了这个例子之后，你发现这些东西都不对，这些东西都不对，答案选几选c。

好了，这是我们讲的这个第七题。呃，这个题目我们就说到这。第七题来继续吧，我们再来看看第八题。好了，继续。第八题，这题不难吧，给了这个微分的定义，立即看出这个条件啊，这个很简单，好再来看看第八题。呃，

第八题啊，是有点骗子的题。就这个第八题。你发现第八题这个函数，它其实不长这样。你小于等于零的时候，绝对值不就等于相反数吗？我再说一遍。呃，有同学这个。这个这个问题很大。人家只告诉了你的零处的导函数是二。你不要就不定积分，它就等于2 s+c了，这胡扯对吧？

你别乱来啊。这是零处的导函数是二，不是说它的导函数永远都是二，这不一样，导函数永远是二的话，你可以做不定积分，积分是这样。他只告诉林处的导函数是二，你哪知道那个函数是谁呀？说不清楚的。好了，我们来看看这个第八题，第八题是个大片子。那在这块当中，它是小于零，

绝对值等于相反数负的s方s，大于零的时候，这是s倍的lns这个结果。那么，现在让我们去问临处是不是驻点？什么叫驻点呢啊？驻点这个部分呢？它是一个。那注点那注点其实就是导数为零的点，那么接下来我们来看看是不是导数为零，那叫求分段函数，在分段点处的导数呗。好，我们先来进行求诱导数。诱导数的话就是s趋向零正fs，

是它请记住f0只有一个结果，零处在哪零处在这f0是零？ifs-f零比上s- 0，所以说就变成了is趋向零针lns极限，那这块是无穷大。哦，这个部分的极限结果都是无穷大，这一侧的导函数都是无穷大，这一侧导数都不存在零处的导数，一定是不存在。因此啊，它不会是重点，它也不会是可导点，它一定是不可导点，有些东西就想那不可导点肯定是非极值点的。

那不一定，大家想想，原来我们就讲过能取极值的。能取极值的人有两个，一个是注点。一个事情是不可导点。这俩是可疑点吧，注点是有资格去机制的，不可导点也是有资格去机制的。所以我们现在想判零这个点是不是取积值，你怎么判断呢？怎么判断这个问题？大家想想你这个点处导函数不为零，第二，充分条件就用不了。

所以我们只能用这个第一充分条件。那第一，充分条件的话就是小于零的时候的导函数是这一块。大于零的时候的导函数就等于lns加个一。大家想想。我们可以进行去瞅一瞅。这才是常规的方向。然后这块是零把这点给挖掉。我们来看去心领域。那在这个小v0的时候比零小一点点。小一点点的时候，这个部分肯定是正的呀。然后比零大一点点，这块是负无穷，你负无穷加个一还是负无穷啊？

那所以这块是负的一阶导数，在这个点左右两侧一号，而且这个函数在零处啊，它是连续的。没问题吧？那所以说这个点处是什么值啊？它是个极值，而且是个极大值答案选b。这是这个题目。能想清楚吗？这才是常规方向，按理说大部分同学应该都是想的这个方向。按照这个方向来做。那么其实这个题啊，还可以怎么办？

你还可以用定义法。那方法二。你还可以走订衣坊。其实我们很喜欢烤。相极值的一个判定。无论是一元函数基制。还是多元函数的极值。极值的问题一定是这个点和它去心领域内的函数值之间的大小关系，如果这个点比四周的函数值都要大，我是个极大值。比四周的函数值都要小，我是个极小值。所以说这块当中，我们的核心重点就是来判断这个淋域。好了，

我们先来看看函数，不是导函数哦，来看这个点。请问零处的函数值是什么？零处的函数值是零？好，这个点是零。那么，接下来我们再来看看这个，是先看左边曲形领域。左边去心领域就是左边一点点。左边一点点的话，这块应该是小于零。哦，原来如此，

在这个部分的时候，这个函数是小于零左曲形零，然后再看右曲形零。右曲线领域右边一点点，右边一点点，右边一点点，这是正的LES，是趋向负无穷，那这块还是小于零。明白了，原来在淋浴当中，我这个点是等于零，而我两边都是小于零，我是最大的，我在淋浴当中是最大的，

我当然是个极大值。极大值，所以这块东西啊，你要想想，比如说今年考题当中啊，也要进行琢磨。如果出了一道极值的题，你先看定义法能不能做，就是比较这个点处的值，跟附近的函数值之间的大小，哎，我这个点比两边都大，我记大值。比两边都小，我极小值，

那么这样就出来了。那二元函数也是一样，我就要看这个点跟四周的函数之间的大小关系好，这题啊，正确答案选b。好了，这是我们讲的这个第八题，你再来看第九题，第九题啊，虐菜题吧，怎么做最好是分离参数法。把这个k分离过来，分离过来就是5 s- 5次方，那就研究这个图像，研究这个图像跟它的交点。

所以我们就来令令这个函数等于多少呢？就等于五倍的s-s五次方，然后这个s是属于r。那然后研究这个图像，研究这个图像就求导呗，一求导的话，这是五减去五倍的s四次方把这个五提出来。提出来就是一减s四次方，一减s四次方就是一减s方，一减s方就是一减s一加s。然后再是一+x^2。好，这个出来了，那这个出来之后我们进行怎么办？我们找注点和不可导点，

没有不可导点，只有注点。那只有注解的话，我们就解得解得s=1还有负一。那这个时候就出来了呀，那因此你就画个表s，然后这是负无穷到多少负一，然后这是负一。负一到几呢？到一一一到正无穷。然后再来看看这个导函数，再来看这个y。那你也看看这个事儿，这个部分。它永远是正的。

就重点看这个部分，这个部分的话，它是一个倒扣的抛物线，这是负一，这是一那，所以这块是正的，这块是负的，这块是负的，这是零，这是零。是减，这是增，然后这是减，那这是极小值，然后这是极大值。

那明白了，所以说这个情况马上出来。诶，这个部分的东西，它是个极小值，那极小值我们就可以写了，我们先算一下f负一等于多少？那f负一这个部分，它是等于多少呢？好了，别再说那个。画图呢，就直接画这个部分还是不好看啊。因为你盯不住它，在哪个点处取最大值，

你只能意思一下图像你，比如说我们呃，直接进行画图的话，我我举个例子啊。那你这这个点在哪个点处取最大呀？它不一定是中轴线。不一定是中轴线，你就是运气好。你运气好的话，在这里面当中刚好碰对了。你比如说这个，有的时候它这个穿。哎，你在哪个点处取最大值？你在哪个点处取最小值啊？

你不知道的，他说那肯定是终点呐，那VB。你研究过吗？所以运气太好。你说下次的话，如果碰到不是这种问题啊，运气就不咋样了。好了，这块是负五，然后再加上那这是负四。好，再看一。一这个结果的话，你再往里面带一减，

这是四。好了，我们再来看看这个正无穷。f正无穷。正无穷的话，大家想想我们在这块当中核心重点的正负性是不是依靠于它呀？一赖有五次，方正无穷的时候，这是正无穷，然后加个负号，这是负无穷。然后再来看负无穷。负无穷，负无穷，加个符号，

这是正无穷。所以说这个大致的图形呢，就出来了，我们来看看这个大致图形。来画一下，那这块当中这是y这是零这是s这是负一，然后这是一，然后这是多少这是四，然后这是负四。那走一下吧，它就是从负无穷，是正无穷，然后怎么办？先减减到负一处是负四好，我们先减到这儿。

啊建到这儿，然后再增上去。啊，增上去。我先看看吧，因为一会儿有同学轴一点啊，零处是零行行行零。这无所谓了。好到这儿，然后又讲下去。这个问题他说有几个焦点呢？有三个焦点，有三个焦点的话，我们来进行去穿一下，你肯定在这儿。

对吧，就在这那，所以说这个k是什么k是大于负四小于四？这个结果好，这是我们讲的这个第九题，那因此正确答案选几啊，选d这个肯定不对。啊，空集也不对c选项什么意思啊？c选项这个意思就是你要不然是负四，要不然是四，你只能取这两个结果啊，只能取这两个结果。好了，这是第九题，

我们再来看第十题。继续那让我们去求斜渐近线，你斜近线的话，核心重点不就是求AB吗？你求AB的话，我们先继续去看。当s趋向无穷大球极限。然后这是fs。用这个ifs比上这个s。那这块当中眼睛一瞅。当s趋向无穷大的时候，你回答我这是多少？趋向无穷大无穷，大分之一是0e的，零是一非零因子，

可以淡化，所以说这是3 x+4极限就是三。然后再来看看这个BB的话，其实就是s趋向无穷大，你再来看。fx是三x加上四，然后这块是e的负x分之一，你再减去ax减去这个。那减去这个了之后，我们来看把这东西啊，你可以抛开打开三s倍的e的s分之一，加上四倍的e的负s分之一，减去三s。好，继续冲当s，

趋向无穷大无穷大二分之一是零e的零是一，这是四。这是无穷大。然后是e的零，这是一一乘无穷大，这是无穷大。所以我眼睛一瞅，发现哦这一项极限是存在呀，加减法当中见到存在就拆开，所以拆开了之后啊，就是把这个3s。一亿的负s分之一减去三s，把这个提出来。然后再加上limits趋向于无穷，大是四倍的e的负s分之一，

这个极限那么来看当s进行趋向无穷大，那这是三s。趋向无穷，大一的框，你看这个部分就趋向零一的框减一，立即等价无穷小框。然后这个部分极限呢，这是e的零是一，那就是四，所以说这个结果刚好是负三+4就等于一。那综合下来，其实就是3 x+1。好正确答案选择几啊选a啊。这个题呃，这个极限不难。

还是这个问题，先定型后定法，定法之前先四化，你在这里面当中瞅呗，我打开了之后无穷大无穷大诶，加减法当中见到存在抛出去。啊，这个思路点是非常顺的，好了，第十题继续，我们再来看第11题。呃，11题这个题啊，有点大骗子的感觉。有点骗人啊。

那这块当中只是n趋向无穷大。这是k从多少呢？一到2n。大家首先看你这个部分是不是2 n+1啊？你这个部分是不是有个n呐？然后这是n+k吧？大家想想你对k进行去求极限。k呃，这个求和对k进行求和，那这个n是个什么数n是个常数，所以说你先把这个部分给我抛出去。然后这是k从一到二n，然后这是n加k分之一。然后眼睛稍微的瞅一下，你发现这个部分的极限是几是二非零因子可以淡化，

因此的话，这个是n趋向无穷大。然后试试。k从一到二nn加k分之一，把这个先算出来。啊，做出这个部分。那这个时候其实就变成了n项和是几减一和？合了，然后再提提出一个n分之一。提出一个n分之一了之后，它这个结果就变成了一，加上n分之k分之一哦，没有问题，眼睛丑。

那这块当中有一个数列极限，有一个n分之一，有一个求和后面是n分之k的函数。所以说这个部分肯定是定积分第一。但是这里面你稍微要小心一点，人家这块是2n，我讲了好多遍啊，大家可以进行去复习这个冲刺或者复习这个强化。只要这个结构是一致的，你这是二n，我就是零到二，你是三n，我是零到三，所以这个结果其实就是零到二一加s分之一ds。所以这个结果等于二倍的ln 1+s零和二代进去，

因此这个结果等于二倍的ln 3。零带进去是l1，那就是零，所以这个结果正确答案选d。好，这是我们讲的11题，我们再来看看这个下一个题，12题这题有些同学做的不好。啊，这个题。那首先我们看看这个题目。这题让我们积分这个arccos in。直接做会做吗？直接做不好做。非常不好做。

那么，在这一块当中，你可以这样摆。你还记得我们原来做这个什么呢？嗯，你还是好好补一补，我觉得这这这已经不是第一次出现了。对k求和n是常数。在这个求和里面，它是个常数，把它抛出来了，对n求极限，你自己再看看啊。好了，我们看看这个题。

你遗忘掉了，这个我不知道，同学们还记不记得？我们原来在基础班的时候做过这个补丁积分。这个补丁积分，他是怎么做的？你看这个部分。那这个不定积分的话，就是直接分布积分法。你还记得吗？你像arccos in。直接分布基本法。但是我想了想，你要是直接分布积分法。直接分布积分法这个。

这一头进行求导，也忒恶心了吧。因为分布积分法，它就会跑到后面去求导你，一求导的话，这个这个部分内容就非常恶心了。所以说这块东西啊，我就不会这么办。不会这么办，那怎么办呢？我说是不是也还行？这还也还行。你得尽心去操作啊。那这个部分就不好来。那我想想呢。

那我觉得这一头非常恶心。那我就试呗。试得出来，试得不出来，我也不知道，反正这个题啊，我也我也是现在在做。那考场当中，我们就这样想呗，那如果我就把这个部分换成t行不行呢？那不失为一种思路啊。那所以说这个结果它不就变成多少？你把它移过去，就是t方分之一，然后的话，

这是一+s。那所以说这个结果的话x就等于t方分之一再减一。是不是这个事你做成这样？那做成这样了之后，我们就换元教换仙。你来看x是零的时候，它是一。s是一的时候，它是根二分之一。然后这是arccos int。然后在d多少呢d这个t方减一。啊，就这个结果。那这个结果怎么办呢？我不可能把它导出去的。

导出去了之后的话，我还是进行凑过来。我不可能倒过去的。不可能倒过去，我们就直接分布积分法。对吧，我们就直接分布那直接分布积分法的话，其实就是arc quasi t。还有这个一。这个一我放到这简单还是一不要了，简单呢，因为d后面跟一个一这可以不要的。我也不知道。那我们写一下看看呗。你要注意这两个东西相乘了之后还要调换位置。

调换位置，它跑前这个跑后是根号下一减t方，然后这个部分呢，你再来负一。那我们就觉得你这个还是越少越好。对吧，越少越好。你或者的话，这是t方一减t方。一减t方你你可以摆在这，我们可以看看。那这个结果的话是t方一减t方哎，是不是能约一下啊？约一下那可以，那我就这样做。

那我觉得一减梯房摆在这好。那就是呗。那如果只是一个t方分之一的话，这块可能不好好第七，那所以我就喜欢这个。一到根号二分之一，所以现在我们就带。那根号二分之一往里面带。根号二分之一二分之根号二那cos 4分之派等于它。然后这个部分呢，只是二分之一，那这是一，所以这个结果就是它一旦去是零不管了。然后后面的话，这是一到根二分之一。

那这个对角线约掉一下，那刚好是负号出去变成正的根号，下一减t方，然后这是t方，这是dt。好，我们做成这样了。哎，做成这样了之后还有意见。t方那所以我们就可以写令t等于多少sinu做一个三角带宽，这开方就出来了四分之派。那这个sinu那s in多少等于一呢？s in 2分之派。三多少的二分之根号，二呢四分之派。

所以说这个部分呢，是三u的平方一减三uu方，那cos u。开个方那dt呢，那dt这个部分的话，它又是个求导，又来了一个，这是理由。那所以说这是四分之派，那就是二分之派，然后这是四分之派，那这样一除，这是库腾体u的方du。那括号里的方怎么积分呢？括号里的方我不喜欢，

我喜欢的是括号来来一个负号负号用来变换上下限。那写个人cool second，然后这个u的方，你再减个1d。所以说这个结果就出来了。先来看第一个。第一个积分的话是负的q体负负得正，那就是q体用。把四分之派和二分之派带进去，然后再加上一个四分之派，那所以说这个结果是二分之派再来。cortane的二分之派值是0 cortane的，四分之派值是一，所以说就等于二分之派减一。好，

这个题啊，你可以这样做，二分之派减一选b。呃，这样做有一点挑战性。这个计算量还是挺大的，如果在这个两到三分钟内进行完成的，有些同学的这个计算能力啊，就提出了一个非常高的一个要求了。对很多人这个计算呢，就要提出很高的要求，你就要进行算。你一步做一步做，你就要进行去试，你这样做可以。

因为我们在原来做的过程当中。好了，你放弃就放弃，对吧？以后说这种话，你在后面加一句话，你觉得我可以放弃？你放心吧，所有的题目都会有人做出来的。而且像这种破题。这种题啊，如果回到不定积分的百题代刷，它不算什么问题。你回想想。你回到基础班，

你做这些不定积分的都没有什么问题。然后回到这个今天。回到今天的话，上来就是哎呀，算了，不做了算了，不做了，那我不知道你原来练那个不定积分练它干嘛，对吧？好了，这是这个，我们就说到这。所以其实就是稳稳当当做，有时候心情太浮躁了。你这样的一个浮躁的心态。

你这个提高度，我不知道有多少。好了，我们继续吧。那跟有没有时间限制？有个半毛钱关系。时间限不限制，跟你做得出来，做不出来有什么关系吗？时间限制就做不出来了。而且你说你都你都不想算呢，对吧？你都不想做。弹跳法用的太好了，对吧啊？

我觉得这个就就会弹跳法啊。碰到一个题，不思考跳。还没思考跳，还没思考跳，你到底是准确率重要还是时间限制很重要？你自己好好思考那个问题。那虽然60分钟就把它做完了。结果你发现错一堆，你看最后你能考上吗？所以自己好好进行去比较这个问题。好了，我们再来看12题。这题还有一个方法。那么就是在答案当中，

我写的那个方法。那么，其实这个arc corson也非常的恶心。我怎么办呢？我直接把你换了。对吧，我就直接把你换了。那也就说我在这块当中的arccos in，然后是根号下一+s，我直接把你换成t。为什么这样做呢？可能这个操作性，有的同学可能陌生一点。因为这一坨本来就很恶心。你这个很恶心。

你换完之后呢，一会儿还得做，我直接把你给换了。因为arc cos ion换成t一会儿就是casing casing，我是喜欢的，我不喜欢arccos ing，所以说这里面你就可以做了。那因此根号下一+s，它就等于cost。cost的话，那其实就除过来一减cost的方等于一加s。那所以我们继续看那x这个部分就等于second方减去个一，所以x就等于tant的平方。好，这个结果因此接下来我们继续。

往下来过。原始等于。那所以现在我们进行去操作呗，如果这个s是零。零的数，这是1 cosine多少等于一啊？cosine 0=1。如果一的话，这是二分之根号2 cosine多少cosine 4分之派，然后这个部分变成了t。那ds就变成了d tangent t的平方哇，这个太简单了。这个时候就直接一次分布积分法，它就结束了tan的方零到四分之派。然后接下来再减去零到四分之派tant t的平方dt。

原来我们讲过。你像second的积分，什么second的一次方和二次方积分表里面有second的三次方和四次方？积分特点都是拿出一个平方，凑到后面去。t an ENT的积分的特点t an ENT的积分都是永远把t an ENT变成second。所以后面这个部分的积分，它其实就可以把它写成second t的方减个一。对吧，这是常规操作，我们原来在这个基础班练练这个东西练的特别的多了。然后再看四分之派。tan 4分之派，这是一。啊零是零好，

这个结果。因此，这个结果是四分之一。然后接下来看看这个第一个，第一个是tant t把零和四分之派带进去，然后再加上个四分之派。这是四分之派。然后再加上个四分之派，所以说这是四分之派再减去多少呢？再减去个一。好了，这是这个部分问题吧，我们就讲到这。那这是我们讲的这个12题啊，12题你要会操作，

把这个相关性的东西啊，把它梳理梳理。好，这是我们讲的12题，你再来看下面吧，所以正确答案诶，这四分之派，这是二分之派。两个选b。好了，这12题我们继续，我们再来看13题。13题，这个题考什么？考对称区间。

对称区间的定积分计算，对称区间的定积分计算，先想奇偶性呗，这三次方cos二分之x。根号下四减x方。然后再加上二分之一倍的根号下四减x方怎么进行判断奇偶性呢？非常容易。塞进去一个负s。塞进去负s多一个符号，不动不动，整体多了一个符号，整体多了一个符号，第一个板块就是个奇函数。然后这个部分塞一个符号进去不动，偶函数。

那偶函数就是二倍二倍，跟这个东西约掉零到二根号下四减s方ds。然后怎么做呢？圆吧。这个部分东西明显就是个圆y，等于根号下四减x方，它其实就是圆心，在原点半径为二的这个圆。那现在零积到二的话，就是这个圆的面积，所以等于四分之一派，然后这个平方是四等于派。好，这个结果13题再来看第14题。呃，

14题啊，很多人可能做的很多了啊。其实做的很多了。你想想。这个题让我们进行去比较的是零到二分之派e的s- 1 BS。让我们继续去比较，零到二分之派sins比上s。让我们比较这个一一是谁呢？一就是零到二分之派，派分之二的几分？因为派分之二，然后再是二分之派，那这就是一，但是我们都是喜欢x，所以说这块当中啊，

你就给它来一个x。所以这块内容就考这个事情哎，那这题考的是什么？其实就考了这个这个和这个三者之间的大小关系。那这三者之间的大小关系啊，那太简单了，来我们继续看我们原本的话，在这个讲的这个基本的一个不等式。那这块这是x。然后这个es- 1在上面。ess- 1。在上面，然后这个sins在下面。这个点刚好是二分之派。把这两个点连起来。

刚好就是派分之2s，所以我们就有一的s- 1。大于多少呢？大于sin x，大于派分之2x，因为我们这个定积分的比较只需要比较什么区间？只需要比较开区间在零到二分之派的范围内。这三个大小，那这三个大小是这样，那你除个s就大于sins除以个s大于多少2%？那所以就出来了呀，因此你的积分是谁呀？你的积分是I大于这个j，你的积分是一呀。所以I大于j，

大于一，大于选a。这个题好了，14题啊，这个题不是特别难。你下去好好想想这个问题，14题我们再来看看第15题。好，再来看下一个题。这种题都考烂了啊。对吧，做烂了的题下去要会处理，然后再来看看15题。15题，这里面考了一个事，

说这个函数在什么在这个区间上单调可导，然后这是反函数。啊，反函数。我来看看一个问题。你想想这里面当中有个x方x方，加上fx。然后的话，这个部分你别管。你就告诉我事情，这是不是一个变现函数？变线函数里面当中缺。还有x非标准型。那非标准型怎么办呢？非标准型我们就换令t-s^2就等于u。

我就换我一换的话，你发现s是这个什么？这是dt。然后发现如果这个t是s方t是s方的话，这个u是几u是零。t是s方加上这个，那这就是fs。所以说这是f负的udt=du。那因此这个结果马上就变成了零到fs，这是f负的，这是udu。那这个结果等于几等于x方倍的一的x。那见到变线函数，想求导呗，你想求这个fs，

那我们就做变上线，别管它，先把它给我移进去。上限再求，导f撇s。那这个前导是2s，后面不导，加上前面不导，后面来导好做成这样。那这里面当中比较关键的其实是这个部分有一个知识点，我来讲讲。那这个知识点呢？是这样。就是你是反函数。被原来函数复合，

它就是s。原来函数被反函数进行复合，这两个符号可以约掉等于s。就这两符号可以约掉，约掉了之后直接是s。所以说这个部分直接留下了xf撇s，这是2s倍的e的s，加上个s方倍的es。那所以说怎么办？我就可以把它除过去了。那这个部分你要注意，你要是做的详细一点。你做的细致一点，你细致一点应该是这样。当什么呢？

当x不为零的时候，你才能把它除过去，除过去是二倍的es，然后再加上x倍es。这是这个部分。然后此时你就可以进行求出这个原函数，原函数就是这个积分，我们教个快一点的，你看你把这个写成x。然后来一个es，这个es就和这个部分进行去整理。那所以这就是es，这就是s倍的es的导函数能听懂吧？那这个时候你眼神漂下来之后的话就是ses。加上c好这个部分。

又因为什么情况呢？你琢磨一下他说什么，他说在林的这块可导。零的这块可导零处肯定连续。临处连续，大家想想。这个函数本来就在零处连续吧。啊，能听懂吧，本来就在零处连续，所以说我们就可以把它怎么办？直接来了，又因为。fs.在什么呢？

在s=0处。连续初等函数有定义，本来就连续，所以说这个fs我就直接写成了这个部分。然后把这个零带进去。那这个零处等于几呢？零处等于一零处等于一的话，只是一+c=1，所以c=0。所以有些东西也没有注意这些细节，也把这题做对了啊。这个结果好正确，答案选几？选这个x+1选c。行吧，

那这个题啊，我们就讲到这。不为零的数是它。而这个函数本来就能连到零，能理解吗？你就是也就说。你不为零的时候是这样的一个函数，结果你刚好能连到零，那你就把零挂上呗。你刚好能连到零，你就把零挂上。其实有些同学也没有注意，反正就直接除了也直接积分了，也把这题给做出来了啊。好了，

这个题我们就讲到这是15题，然后再来看看这个第16题。呃，这个题啊，没有特别的难，这个题有一个重点的问题是什么呢？能把弧长公式给忘了。我们来看看这个弧长。这个弧长的话就等于。零到你看夹角，零到拉姆达，然后根号下r方，加上r对西塔求导的平方DC塔。所以说这是领导来的根号下。那这个r是多少呢？

是theta方。西塔这个r对西塔求导是1d西塔。好，这个公式就是r方加上r对西塔求导的平方d西塔好，这个出来了。那这个出来之后，然后我们看当这个拉姆达趋向于正无穷。这是拉姆达风。然后这个部分是零到兰姆达根号下多少c塔方加1 DC塔。有同学这个看的非常不顺眼，你把这个兰布达改成x，你试一下。舒服了吗？舒服多了吧？啊，

不舒服吗？s趋向正无穷，下面是无穷大。那上面的话，这个越来越大无穷大。那这个一落，这是2s，然后这是根号下多少s方加上一？你看这个，所以现在怎么办？无穷大比无穷大，是不是可以抓大头？无穷大比无穷，大抓大头抓沈堂。所以说这个结果是多少根号x方的话，

就等于绝对值。又因为s是大于零。s大于零的话，之后的话，这个结果是s趋向正无穷。然后这是二s，这是s，这是二分之一，所以答案选d。好了，这是我们讲的这个结果。可以了吧，16题。所以你这个操作的时候啊，一定要灵活啊，

反正他怎么进行，看你想清楚就行，好这17题16题，我们再看17题。好，继续看这个题。那这块当中，他给这个。过原点的一个切线。然后由这个曲线，这个切线。啊，这个切线很简单。因为我们都知道三一这个期期限啊，是谁呢？

它就这个部分，还有s等于派。它要到派。啊，是这样，然后这个切线就是x。我们先画切线吧。切线就是x。好了，这个部分。那这个部分切线出来之后，我们来看看这个。曲线，切线和s等派围成的这个区域就是这个区域。这个区域绕着s轴转来走吧。

直接写公式吧，大的减小的。其实这个小的的话，有的说是圆，那不是圆的哦，那真不是圆这条线是什么？这条线是s in。这条线是x用大的减小的，所以我们走零到派。派倍的。大的这条线的平方。就是大的这条线转一转，其实大的这条线你是能算的，它不就是一个什么，它就是个圆锥。

它就是个圆锥。大的这条线，它转的是圆锥，所以我们就不管了。然后接下来我们就你就直接算吧，对吧，然后是零到派派。下面这条线的平方。所以其实就是上面那条线算。上面那条线算就是上面那个人是跟x轴所围成的区域转轴。下面这条线算就是红色线跟x轴转轴轴。围城的区域转一转。所以说这是派，因此是三分之一派的三次方。然后这个派出去。

告诉我怎么做点火工，是一家人吧？零到派等于二倍的，零到二分之派再不会啊，你都有点对不起人了哦。好了，这是三分之一派的四次方减去派，这是二然后怎么办？二一二分之派。那这个结果的话就是三分之一派的四次方。然后再减去二分之一派的平方。这个结果，然后我们再来进行去看，绕着y轴。歪轴呢，

你就转。绕着y轴转，先用这个绿色线。绿色线套内公式就是二派s绿色线ds。就是绿色线跟x轴所围成的区域转一周。然后再减去零到派你注意这个公式啊，这个公式是跟s轴所围成的区域，然后再用红色线算。二派s乘上s in ds就这个区域绕着y轴转一圈。那这个又很巧了呀，那这是二派。那就是三分之一三次方派的三次方。那这个部分呢？只是二派零到派s乘上s in怎么做？不要硬着算哦，

你要巧一点。三分之二派的四次方。然后怎么做？把这个s抽出去二分之派。抽出去二分之派零到派的这个三。三你都知道这个面积是一，这是一，那这是二。所以说这是三分之二倍的派的四次方，然后这是二约掉了之后，其实就是二倍的派方。好了没？那因此的话，这两个东西一加VS加上vy两个一加的话，其实就是三分之几三分之三，

那就是派的四次方。然后再减去二分之五倍的派的平方。四次方，然后再减去二分之五选d。呃，这个题啊。你算的特别的墨迹，你肯定时间不够。就这个部分呢，一你对公式要足够的熟，第二事情你要对你的运算能力要非常的果敢。包括常规的这种技巧性，把握住硬着算也很麻烦。好了，这是我们讲的17题，

你再来看18题。18题就送分题了。你看这个题。偏油偏白。那偏u偏y就是先对第一个中间变量求导，对y求s是个常数。s是个常数的话，就是y方分之负一。再加上对第二个中间变量，求这个部分对y求对y求的话，下面是个常数。上面是函数指数吧，指数的话就是a的sl na。然后再来看看第三个。第三个部分的话叫对这个求导。

这时a的y分之一次方怎么求你？是这样求a的s。lna.的linga。然后这个上面这个部分再求导就是y方分之负一。好了，这个结果。所以就把它做出来了。有啥区别呢？没啥区别，你先代后求就先代后求呗，一样的，然后做完了之后你就把它怎么办？就把它带进去s是1y是一。那这一块当中啊，

你就直接算。你算了之后的话，这个是你把一带进去的话，这是一这是一这是一，所以说f1撇幺幺幺。配负号，然后继续。然后ln 1是零不管了，ln 1是零不管了，就这个结果，所以正确答案选几选a。这个很简单。呃，这种题啊，都没有什么特别大的，

这个运算量。把这个基本问题把它梳理清楚，当然是说那老师我先带后求，那你带呗，那首先第一个事先把这个x=1带去。一旦去了之后的话，其实就是f都省了。fy分之一，然后一带去的话，这是一，然后一带去的话，这是一啊，这也可以，所以说这个部分呢？偏u偏y这个部分在一一处置时。

一一处的值就等于这个部分求导，那么求。这个部分求的话，就是先对第一个中间变量求导y方分之负一。再对第二中间变量求导是零，再对第三个中间变量求导是零，然后再把这个y=1代去一代去的话就是f1撇。幺幺幺，然后这配符号。好了，这是我们讲的这个题，可以吧？你可以先带你带完的是这个，这个再对y求导，这个再对y求导，

在y=1处值你带就行。好，18题。那再来看19题，19题送分题吧。那这个题的话就是二元函数，由方程序定义。我们在这块直接来。公式法等于负的，那首先第一步先把三元函数找到。找到之后的话就是lui nz+e的z- 1。然后再减去xy。那就等于负的，你先对s，你对s的话，

其实只有多少多少负y，你再对zz分之一e的z减一次方。中间变量再求导是一。是不直接做，然后再看当x等于二y等于二分之一的时候往里面塞。那这个部分是l nz+e的z- 1。然后这两个东西一乘，这是一你告诉我z等于几啊？那z肯定是一啊。如果z是一ln一是零，一的零是一刚刚好，所以这个时候z是一直接往里面一塞一塞，负负得正，那这是二分之一。然后这是一一的零是一，

所以说这个结果等于四分之一答案选d。呃，这个题啊呃，非常的简单对吧？你看起来的话非常非常容易19题。毫无运算能力。对吧，基本操作题这种题在考试当中绝对是简单题。好，再来看20题。那多元函数即值呗，无条件你一看非常好酸，你就试呗。那么，先做那对is求的话，

这是2s对is求，这是y，然后加上一，然后再对y求y求的话，这个部分是x。对y求的话只是2y，然后减b。然后你进行去验一下。一负一。如果这是一。这是负一哎，你发现这不会为零的呀。所以你不对。然后这个负一一呢？哎，

负一一可以。所以这是可以的。那然后我们要算s两阶s两阶的话，这个部分是多少是2 sy的混合是多少是一，然后y的这个两阶是几？y的两阶值是二，所以说这是a这是b这是CA=2 b=1 c=2。因此，这块b方减AC是小于0a是什么？零大于零那极什么值极小值，所以答案选几选c。你如果连注点和不可导点都不是，你肯定不取啊，这是一定的。你既你是注点，

我们再看ABC，你都不是注点停止了，你就没有下一步了，你都不是注点，你就不要算下一步。好了，20题再来看21题。常规题吧。这个题目那这个题目x方加上y方不为0x方加上y方不为零。那其实就是x和y。不同时为零。然后这个题的话，第一问让我们去判断连续性。连续性的话，其实就是求极限。

你对sy求极限，你对谁求呢？其实就是is趋向0y趋向零。然后这是is方加上y方s in多少呢？is方加上y方无穷小乘有界无穷小无穷小极限是零这无穷小这是有界吗？这是零而该点处的函数值啊，它也是零极限等于函数值，当然是连续一是对的。然后分段函数在分段点，那肯定用定义啊零零处，那其实就是limits趋向零把y=0带去。fs0-f零零比上s-0，然后往里面算当s-0去向零啊。s趋向零。有如果y=0呢？

y=0 s不为零不同时为零往这儿。往这一带的话，其实就是把y=0带进去，就是s方s in根号s方分之一。那所以说这个结果马上出来，那就是limits趋向0s倍的三根号下s方分之一无穷小乘有界无穷小。无穷小极限是零。好了，这是这个部分。可以了吧，把这个关系想清楚就行。那所以说这个部分是零，而且s和y具有什么性sy具有对称性？sy进行去调换了之后，他不动。

对吧哎，调换了之后它不动。那调换了之后，不动y的偏导数也是零，所以这个也对它不对。那最后一件事情，我们要判断可微信吗？只有可微的时候，它才成立，来吧，赶紧写做差式定义s趋向零。y趋向0s of xy-f零零是零再减去x偏导数。这是0y的偏导数，这一项是零，然后再比上根号下x方，

加上y方，而这一项也是零。那就用f sy。啊f sy就是这个部分。这个部分除下去，那这个部分除下去，你就可以约掉一个了。约掉了之后的话，就变成了根号下s方加y方s in，然后这是根号下s方加y方分之一，无穷小有阶。无穷小臣，有界无穷小无穷。小极限是零。那既然做差式的定义极限，

结果是零，那就说明是可为呀，那既然是可为它的全微分，就等于is偏导数d sy的偏导数dy。就是零，所以正确选项有几个有三个。好，这个题呃，这次考的这个题啊，相对比前几套考的这种题考的要简单的多啊。这套卷子如果从高等数学的角度上。对比上一套卷子里面当中可能。第一题不难哦。可能在这块当中。都是一些常规问题，

也没有遇到一些非常恶心的，可能是第六题。对吧，第六题有些同学浪费了一些时间。然后是这块当中的第八题。啊，浪费这些时间。然后再来看看这个。11题对吧？11题12题。12题那么再来看看这个就是。我们的15题。可能这几个题啊，浪费了一些时间，别的题目都还好。

你别的题目说实话，中间这些题啊，你做起来压力一点都不大。行吧，我们稍微休息会，一会我们继续，一会我们再来看看这个现代，还有这个盖头。所以尤其是自己啊呃，出现问题的点好好进行去把它补一补。然后这个线性代数和概率论呢？线性代数和概率论当中。24题。27题。然后28题出错了，

有点不应该，因为这个题是个原题。这题是个原题。啊，两刀。然后是概率论当中的，可能是30题。30题31题。没有读懂什么叫做第三次观察时候。他是第二次出现。什么叫做第三次观察的时候，第二次出现这个部分呢？我们也来做过这个问题。然后是。32题。

有的可能没有看懂什么叫有助点。这个部分后面还好。行吧，我们休息会儿吧，那跟贝叶斯没有半毛钱关系。哎呀，那都是做过的题，原模原样的题。你没做过吗？你曾经做过一个题，什么叫做第四次是第二次出现，你忘了？第四次是第二次出现，你忘了？什么叫做第四次？

是第二次出现一二三四，这是第二次出现，说明前三次出现几次？前三次出现一次吗？这做过的题啊。然后的话，这是p的一次方一减p的二次方，而且还得保证最后一次要出先。这是做过的题啊。你下去好好想想。这每次老忘，这可不行。不要这个。考试当中啊，见到这种题，

那也不是数三同学的题，那个我们考过。我们的真题里面出现过这种题。所以你就会发现这个。呃，你不要每次的话，考试考了之后的话，我我好像见过这都没有什么用啊。好了，我们稍微休息会，一会我们继续吧，我们再来看看这个下一个。不用继续去问难度系数怎么样，你就扎实复习吧。你敢掉以轻心吗？

你其实也不敢。你要是如果平时的复习没有达标。考难了，你有点崩溃。考检了呢，你会很爽。尤其是这种重要性的，这种考试啊，我觉得还是要把这个该复习的东西啊，把它做到位啊，所以你不用呃，天天继续去想这个事。好，我们稍后休息会吧，一会我们继续。

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