03.冲刺满分10套卷精讲3-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:16:31

好同学们，行，那么接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测点声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们准备开始了。那么，接下来我们就准备开始呃，讲解一下这个今天上午啊模考的这个第三套卷子，那么这套卷子啊呃，首先我们在讲之前呢，先对这套卷子，

我们先做个简单的一个呃点评。可能这套卷子做完了之后，相对于前两套卷子可能难度系数上涨的有点厉害，那么这套卷子呃，不光是。你看起来觉得这个题简单，它真的叫简单，那真不是有些题你看起来哎，常规题你看起来这个题难度其实也不大。但是这里面当中啊，创新性还是很多，所以原来我在进行去编撰这套卷子的时候，你可以看得出来里面当中啊，很多这个角度出题的，这样的一个方式啊，

可能会比较新颖一点。但是基本上都是按照我们三九六同学的要求啊，然后进行出的，没有再给你进行去故意的进行去铺垫，这个运算量。没有给你进行去故意的进行去加大这个题目的难度系数啊，把这个事情超过了，我们在两到三分钟内够进行去处理的，这样的一个问题。所以你可以进去去看看，尤其这里面当中这个卷子。呃，大致给你看一下。呃，比如说这里面当中的这个。

前几个题都还好了，比如说第六题。对吧，第六题对吧？这个题目当中的话，这种感觉嗯，其实你如果看出来之后啊，你会非常简单。如果在这里面当中没有看出来做半天这个题目就会非常恶心了，还有这个第七题对吧？第八题。尤其是第十题啊，第十题啊，这个题的话还是诶不是第十题11题啊，这个题还是挺新颖的一个题。

然后紧接着到后面你看13题，其实很简单，不要看这个题目叙述了这么长，这绝对是一两分钟内啊，能够进行处理掉的一个题啊。啊13题，然后接下来是。你看14题，14题看起来复杂，就稍微的进行化简，这个题目非常简单。所以这套卷子啊，它的巧度是比较高的。就有些题，你把这个东西看出来，

它就会非常快，如果在这里面当中啊，非常墨迹，然后做这个题啊，你就会发现浪费了大量的这个时间，你可能在这个。90分钟内啊，你未必能把它做完啊。然后紧接着是这个第17题啊，17题啊，非常有意思。很好的一个题。你看这个题，一会我们讲的时候，我们再来看看对吧？

这个第17题。然后紧接着是这个呃20题老朋友了。22题对吧？这个题我们上课讲过类似的题，所以我觉得你做起来问题点不大，然后紧接着是。24题啊，找吉大无关组，如果你找吉大无关组的水平点不够高啊，你找这个题啊。我觉得做起来你就会稍微的会麻烦一点点，对吧？找这个极大无关组，然后紧接着是这个26题。这个题啊，

我自认为这个题呃出的很好啊，很好的一个题，因为这里面当中把一些关键点的东西啊，我们都考察进来了，也不难。也不偏。考了这里面当中，范德蒙行列式，然后考了这个方程组的求解问题啊，这个题很有意思啊，你自己下去看看。然后紧接着到了后面还有个28题，我们经常讨论公共解，我们经常讨论同解，那如果我这个方程组的解都是你的解，

那怎么处理呢？好了，这是这个题啊。呃，后面都还好，对吧？概率的话，我觉得相对而言还会中规中矩一点好了，那么接下来我们就继续吧，我们来开始看一下这套卷子里面题。所以说这道题啊啊，这道题第一个点呢，就是运算量较大。啊，有些题啊，

还是要算。那基本上应该是跟这个去年二零二三年，二零二三年那套卷子跟这套卷子相比啊，去年那套卷子里面当中有三四个题。它是题目的难度系数比较大。然后剩下的题啊，应该就跟这套卷子剩下的部分的题目应该是差不多的，我说剩下你去年有三四个题啊，可能那个题目比较难。比如说去年当中，我们那个二阶导数大于零，对吧？那个凹凸性那个题那个题那个题的话，你不知道定理，你根本做不动。

然后紧接着是去年当中的话，那个无条件极值的题那个题啊，非常的难啊，难度系数非常大，然后还有一个是去年当中啊，我们进行去做的那个。呃，比如说去年二三年呢，我们去做，中间还有一个呃，它那个连续可倒可危的那个题啊，可能会稍微的难一点。好了，这个部分的这套卷子啊，运算量可能会稍微的会大一点，

然后新运题目也比较多，所以我觉得这套卷子啊，你好好进行去吃透它啊。然后另外一方面。心情的起伏不要太大。能想清楚吧。很多同学都是这样啊，做的一套这个做的好，然后一整天都贼开心，一套做的不好，两三天都非常难受。两三天内都因为这套卷子啊，导致了自己的复习效率非常的低，不要这样。心情起伏不要太大啊，

都到了这个阶段，明天是倒计时30天啊，这样的一个比较关键的一个时间，心情起伏不要太大。如果这套卷子里面当中你出现的问题，你就好好进行，找到这个问题，把这个东西进行解决，我一直给你讲，你看这每套卷子我都把这个放在这儿。对吧，刻意练习，那么如果错题找到这个问题补助，这个问题，然后进行刻意练习。

所以这非常关键，然后另外一件事情，有些同学可能这个。根本就没有走过一遍，然后做这个卷子啊，做的稀里糊涂的，今天的话，我觉得你是跟我开玩笑，对吧？有同学的话，这个。什么东西都不会做，你做这套卷子干嘛呢？就不用做卷子，你应该进行去系统的进行复习一下，

当然的话，我相信今天来听课的同学，我相信你不会是这样。啊，不会是这样情况，至少走过一遍啊，基础强化或者冲刺，你肯定是走过了一遍，你都到了这个阶段，你什么东西都没复习你。你想你以为这个三九六数学，它就算简单，你就算二一年之前的简单，你不复习你什么东西都不会呀。凭借着大学那一点水平呢，

你进行考这个压力还是很大。所以说呃，第一个问题啊，一定注意就是心情的起伏不要太大，然后另外一个方面，你注意这个模考，我觉得非常要注重这个错题。然后进行去尊重这个模考，有些同学考完了之后说啊，考不上了，我该怎么办？我该怎么办？你看每天呢？呃，只要有模考，

你像我们，我基本上会等在这个。十点钟，然后数一数二数三同学的话，我基本上在等着十点钟到11点半。这个时间那这个时间呢，私量私信量非常大，那主要的一个情况都是什么呢？都是针对于哎呀，我考的不好，老师该怎么办？老师，我这个考的不好，我以为你考不上了吧，怎么办？

对吧？每天都想这个，当然还有大批的同学考的好的，考的好的同学，我希望同学们再接再厉，对吧？把这30天呢，好好继续努力。而针对于有些同学的话，这个呃，你自己考的不是特别好的同学。你每天的话都沉溺于这种心态，你会发现你的效率会更加的低，比如考了一套模拟卷。那如果出错了，

按理说我应该要进行去分析我哪些题是出错了，而这些题出错的原因是什么？我应该找到我的啊，讲义当中的内容是把它补上呢，还是我进去去看看习题当中有没有做过相似的题呢？把这个部分进行补上。这个点非常重要，然后有些人考完了之后，啊呀，完蛋了，怎么怎么办？该怎么办？一天都是这样。那一天是这样，你还不如不考，

你不考这一天你还能干很多事情，你能记很多政治的内容，你记很多专业课内容，你还能记很多英语的东西。你还能把数学的东西啊，再复习一下，那么我觉得你这一天还能复习很多东西，你还不如不考，你考它干嘛？你一考两天都缓不过来。你这这心里的承受能力有点不太好，对吧？你你考一次考的不好，两天都缓不过来。所以我觉得这个根本的问题啊，

你自己要想清楚。而且这个新颖的题目也是相对新颖啊，内核都是一样，所以考的这个考点部分东西啊，其实就这样啊。好了，那么这个部分呢？我们就说到这，所以说准确率啊，比这个控制时间更重要。先控制准确率，然后再去控制时间，最后达到这个准确率和时间呢，都能把它做得很好。好了，

我们就继续吧，我们来开始看一下这套卷子，所以说一个题目啊，不要仅仅是看起来简单。所以你看过呃，当然我们班同学因为今年嗯，很多同学复习的非常的好啊，所以我觉得呃，很多同学的话，你把呃模考的不好的同学把下去一些问题啊。好好进行去把它看一看，每次考完了之后都有很多同学给我发私信啊，我觉得咱们班同学大量同学做的还是很到位的，把这些问题啊都处理的很好。如果你做的不好，

一定要找到问题，及时的查漏补缺，这个才是最重要的。下去好好看，对吧？所以一些题目啊，不要仅仅看起来简单，看起来简单，那不叫真简单，你要动手。对吧，你把这东西做到位，把它做对，这才叫真正的比较重要的事情。好了，

那么这些事儿我们就不讲了，对吧？我一直给你讲每套卷子啊，你看我在之前我都会给你讲这个问题，不要太关注自己的模考成绩。查漏补缺最重要。对吧，查漏补缺，你自己看看这套卷子吧，这套卷子没有说哪个题特别偏的，不像我们三九六同学的考题。你做这个三套卷子呢，没有说哪个题啊，非常的偏，你自己看看这里面当中基本上每个题我都是基本呃，

都是从头开始到尾的话进行重新编。你编的话，你得控制一些题目的难度，如果一个题目太复杂，你就得控制这个运算量，如果一个题目太简单，你就得进行加大运算量。然后把这个时间控制在一个有效时间范围内，其实还挺麻烦的，但是我所以我希望同学们下去能好好完成，好了，我们不多说了，我们在讲这个卷子中间呢，我们再来唠。好，

我们先来看看第一个题。那这个题啊，就是一个常规的一个极限问题了，你看当s趋向正无穷六的正无穷正无穷正无穷加一正无穷罗音正无穷呢，这是无穷大。然后无穷大分之三呢，这是0l一呢，这就是零，所以这是零乘无穷大的位列式，那零乘无穷大位列式有同学选一了。那这跟没有学是一样的。对吧，你这跟没有学是一样的，零乘无穷，大是零零乘无穷，

大是未定式，那这题怎么办呢？那首先我们来看看。这是limits趋向于正无穷。你发现当x趋向多少呢？x趋向于正无穷的时候，你x分之三呢？你是趋向零的。对吧，这个部分是趋向零，那趋向零的话，我们首先你可以把这个部分进行等价一下，立即等价无效多少x分之三？这个没问题吧，所以说这个结果就变成了s分之三倍的ln多少一加上六的s。

好了，那么这个题就变成了一道无穷大比无穷大的未定式，如果它是无穷大比无穷大的未定式，而且是lo en，你在里面可以抓大头。所以水平高一点的同学啊，一抓就行了，你看是无穷大比无穷大的，未定式是l里面有远远大的关系。所以说在这里面当中啊，你就可以抓了，那因此这个部分的话就变成了is趋向正无穷，然后这是s，你就把这个部分一抓抓多少六的s。因此，

这个结果的话就是limits趋向正无穷，你把这个部分写一下，那这个结果的话就是3s倍的ln 6，因此这个结果等于三倍的ln 6。好这题啊，立即出来了，好这第一种方法，有人说我没有看出来，没有看出来这题也很简单，你就洛必达就行了，一落的话，下面秋刀没了。然后上面求导是多少一+6的s，然后这是六的s倍的lin 6，前面还有个三，

你现在的话，这个部分可以抓了吧？你现在是无穷大比无穷大无穷大比，这个什么一远远大，所以说这是六的s落引流，因此这个结果三倍的落引流。所以怎么做都行，所以正确答案选几选d。好，这个题啊，正确答案选d对吧？把这个东西啊，你操作清楚。一定注意通过这个卷子啊，把这一年当中遗忘的知识点再捡回来，

会非常快的。心态太重要了。啊，心态太重要了，一个良好的心态，最后一个阶段，你能提高非常快，你想想我又不是没有走过一遍，我只不过在做题的时候，有些部分的东西把它给遗忘了。把它捡回来不就行了，只要最后一场考试，把它做对不就行，所以我觉得这个良好的，这个心态非常重要。

好了，这是第一个题，然后接下来我们再来看第二题，第二题叫什么考点？那这个题啊，叫做已知极限，求解其中待定参数的问题，已知极限，求解其中待定参数的问题，我们来看。当s趋向零，这是e的s-bs+a已知极限，求解其中待定参数的问题第一步干嘛？第一步还是来先定型，对吧？

本质还是求极限，我们先来定型，一定的话，你又会发现上面是零。然后一定的话，这是一+a，我们说了，如果它是未定式按未定式做，如果不是未定式，那这个部分一定是零。所以说这个a1定是几a，一定是负一。好了，这个a1定是负一，现在这个题就变成了一个零比零型，

未定式零比零型，未定式啊，你就落笔答案，有些同学我知道。他也没有进行去判定，反正就洛必达了，行吧，那也可以好了，那么接下来我们继续，我们就直接录一落的话，这是e的s-b。然后上面这个部分是sin x比上一个根号下多少，这是x+c好这个结果，它就等于一。那么，

接下来我们就继续，我们再来看你，发现这个部分的东西是不是一个非磷因子啊？你看这个板块。那这个部分的极限等于根号c，那等于根号c的话，它就等于非零因子就把它淡化出去了，那淡化出去了之后就变成了s趋向零。然后这是sin x比上多少e的x-b，它就等于几等于一。那这个题就很简单了。你如果扎扎实实做，你就应该是这样做，上面是零，下面是一减b，

所以说这个b是几啊b是一？所以很多同学可能就直接来了这等价，它b是一等价乘s，所以说这个结果是多少？这个结果是根c分之一等于一。因此，这样根c就等于一，所以说这个c就等于几等于一。好了，这个结果我们就出来了。能理解吧，把这个相关性的内容把它想清楚。好了，这是我们讲的这个类型问题，你可以分析呀，

对吧？你可以分析。如果的话，你觉得这个部分呢？它不像是这样，你就把这个部分放下来，对吧？你放下来看。好了，这个题啊，我们就讲到这，这是第二题，然后接下来我们再来看看第三题，第三题啊，我知道有些同学做对了。

纯属胡作啊，运气比较好，有些同学是这样做的。说这个是一加上sin x减去sx分之一次方减一。他说什么问题呢？他说这样，他说当x趋向零的时候，这不是零吗？所以说这个部分就立即等价无穷，小于他说这个部分是谁，他说是一加框的阿尔法次方减一。立即等价无穷，小于阿尔法框。好了，这种同学把这个题答案做对了，

但是运气成分非常好，那么一类同学是他知道这个定理。一个同学的话，一类同学是瞎作，纯属胡作，然后把它碰对了，那么接下来我们来看看这个题目，这样做到底对不对呢？我来讲讲这个事情，其实可以。但是你得进去去看条件，我上课的时候是不是讲过这个问题来，大家来看看。你发现。我们在这块，

如果是个一加上阿尔法x。然后这是个个大S，再来减一。你看这个部分，它像不像我们的一加上框的阿尔法次方呢减一呢？像不像呢？那到底能不能等价无穷，小于阿尔法s乘上贝塔s呢？能不能你都知道，如果用这个公式，上面是个常数，但是下面这上面这个东西是个函数。所以到底能不能用呢？它有个前提，它的前提条件是这样。

如果在这个趋向下。啊，在这个趋向下。我们就不写这个趋向了，如果在这个趋向下，这个阿尔法的极限是零，我看同学们知不知道？这个部分的极限是零，而且还得保证什么哎？你发现你看咱们同学有些同学非常好啊，水平也真可以。有的给忘晚了，没讲的东西啊，只不过我一提示哦，老师曾经讲过一提示，

曾经讲过啊，这可不行，对吧？还有一个事情的话，就是俩人相乘的极限，结果失灵。如果这个时候它就可以吊座。大家注意两个要求。一个要求的话是这个部分的极限是零，另外一个要求是两个相乘呢，这个结果它也是零。两个人相乘的这个结果极限结果也是零是极限是零，那么接下来我们可以进行证明一下，那为什么这样就可以呢？你发现我见到幂值函数是幂值转换，

所以说是贝塔s。再乘上ln多少一加上多少阿尔法s。你再减一。好，这个部分呢？就写成这样，你写成这样的话，是不是得保证这个部分的极限是零呢？然后我们来看看其中。其中看看这个头顶上的极限，头顶上的这个极限是贝塔，然后这是ln 1，加上阿尔法s。然后这个时候的话，它就变成什么俩人相乘，

俩人相乘的话，这是趋向于零的lu in 1加框，立即等价无穷框。而我们题目当中告诉你了，这俩人相乘的极限是零，那既然这俩人相乘的极限是零，所以说这个人就可以去向零就可以等价。立即等价无穷，小于这个人。对吧e的框减一立即等价无效框，所以说这是趋向零，它就等价无效塔。所以一定要保证一个事情，一个事情是什么呢？一个事情的话，

这得是个框，它就趋向于零，另外事情俩人相乘的极限必须是零。两个相乘的极限必须是零，所以说我们接下来看看这个题，有人可能做的非常快，我们来看看方法一。你就写由于什么东西呢？你漂一下这个里面这个极限是不是零？里面极限当然是零了，然后俩人相乘呢，俩人相乘的之后当s趋向零，两人相乘头顶上是它，然后这个相乘。这是不零，

上面是三阶，下面是一阶就是零。所以既然是零的话，它就可以立即等价无穷，阿尔法你再乘上这个s in，减去这个s，所以说就立即等价无穷，小多少s再乘上负的六分之一x三次方。就等于负六分之一x方。好了，这是这个结果，你就做完了，那它跟几次方是同阶无穷小，它当然是跟二次方是同阶无穷小，所以答案选几啊选b。

你可以这样做。对吧，这样做是没有任何问题的。好了，把这个事情操作清楚。这是第一件事，其实有些同学说那老师我我不想背这个，我不想记那不想记的话，这个题也能做，我觉得按照常规方法，你要慢慢进行处理。来那么接下来我们看看方法二慢慢做，大家告诉我，只要在考研当中见到密制函数，那见到密制函数立即干嘛？

立即密制状况，这是常规操作，学了一年了来。幂值转换x分之一ln多少？一加上s in，然后再减去x，你再来减一。那么，接下来我们来看看，你告诉我见到一什么减一，是不是想看看这个部分是不是零啊？有些同学又做对了。对吧，但是他也没有判胡做啊，拿到题，

反正你发现做题也不判了，说什么sins等价无穷stans等价无穷s一键cosine等价无穷二分之x方。推广成框，现在也不看这个框为不为零了，反正你发现没有基础班做的扎实了。对吧，做着做着的话一点都不扎实了，然后有同学说一的无穷大，这就不是一的无穷大，不一定是没有让你去求极限，人家再让你找等价，这是两种问题。这是两种问题，你分析清楚啊，找等加求极先啊好了，

这是这个，所以说我们来看看这个其中。你看这个极限，那这是多少呢？limits趋向零，然后这个部分是x，这是ln多少？一+sins-s。好，这个结果你做成这样了，之后的话我们来看，当s趋向零上面这个人呢？当s趋向零的话，这个部分就趋向零。那这个部分是不是框啊？

这部分是框路印，一加框立即等价无穷，小框三阶比上一阶，这是零。所以说，既然头顶部分极限是零，它就可以等价了，等价无穷小于这个部分，所以说大家注意一定要判好了。看好了再动手，ln多少一加上sins减s，然后继续我们再看，这是s分之一。那你想当s趋向零这个部分又趋向零，那趋向零就是框罗印一加框，

立即等价无穷小于框。然后再来看这个部分又等价多少负六分之s三次方，所以说这个结果是负六分之一x的平方好了，这个结果答案选几啊？选b。好，这是这个题目啊，下去把这个相关性的问题啊，一定要吃透了，你看这种题也不是特别难，它完全就是我们三九六同学的出题的风格的题啊。没有特别偏吧。对吧，你在做题的时候一定扣着核心部分内容来，你看这是极限考了三个题了，

一个题我们考了一个函数极限计算。考一个已知极限，求解其中待定参数。考一道无穷小比阶的题，这个很正常，你去看看你像二一年卷子，二二年卷子。经常会出现这种问题，我在同一套卷子里面出一道极限计算题，出一道无穷小比阶体，出一道已知极限，求解其中待定参数的题，没有任何问题。所以说这三个题啊，它互相考了不同的知识点，

然后接下来我们再来看看第四个题。那么，接下来看看这个题目，那这里面当中给了一个复合函数，然后说这个导函数等于它，然后让我们继续去求解这个导函数。那么，首先你要想清楚一个问题，你看。你这个导函数。其实就是这个因变量的y对这个自变量求导。对吧，因变量y我对这个自变量求导。那所以说这个部分求导就是先对这个中间变量求导。啊，

中间变量，然后这个中间变量再求导。那中间变量再求导的话，就是下面部分的平方。上面求导乘以下面减去，下面求导乘以上面。好，这个部分。然后再来看你发现。这个导函数。三分之一次方就是开三次方，开三次方的话是不会影响这个人的正负性，说明这个s是大于零的。因此，我们就把这个三分之一啊直接挪出去，

大家想想f撇s是这样，那f撇框。其实就是三分之一倍的ln框，那因此这个前面这个结果就是多少前面这个结果就是三分之一倍的ln多少呢？2 x- 1 x+1。好，这个结果，然后这个部分是x+1^2，然后前面一减呢，这是二+1，这是三。好了没啊？好，我们继续这个部分是几啊？这个部分刚好是三，

所以我们把这个一代进去，一代进去的话就是三分之一倍的lone多少？这是二分之一，然后再乘上的话，这个一旦去，这是几啊？这是四分之三。所以说这个结果是四分之一倍的，ln二分之一把这个二的负一次方负号出去是这样的一个部分。所以说这个结果正确答案是几啊啊，正确答案是选b啊这个题目。好，这前几个题啊，都还好，然后我们再来看看这个第五题。

啊，这个题。呃，这个题啊，你就照常做就行了啊，这个题可能。你把这两个带进去啊。满满足。呃，不用管啊，你这个题照常做，你知道这个考点部分内容就行，那么接下来看我给了一个方程，然后去求切线方程。那求切线方程的话，

大家想想。求切线方程。那切线方程的话，其实就是y等于这个y，然后再加上什么，再加上二分之派除的导函数。我们再乘上多少呢？s- 2分之派。啊做就行呃，那可能是我出题的问题，你把这个操作性想清楚就行好吧，来那么接下来我们继续，我们再来看你要求这个导函数。求这个导函数的话就是二，然后再减去一个second x-y的这个平方，

把知识点复习到位。然后这个中间变道再求导就是一一减去y导。好了，然后这个变性函数求导啊，这个比较容易，那不就是second，然后是x-y的这个人的什么平方？然后这个中间变量，你看上限移进去，上限再求导，那这个部分是一减去y导。好了没？可以啊，把它想清楚。所以说这其实就是个隐函数求导方程，

两边同时对s嘛，这变线函数就是上限移进去上限再求导。好，这样的一个问题，那么接下来我们就要把二分之派和四分之派带进去，所以当什么东西啊？当s=2分之派。然后y=4分之派的时候，你把这个代进去。你带进去了，这个带值啊，有的人可能这个卡在这个问题上。你s这是四分之派。对吧，四分之派你像second。

四分之派，它就是等于cosine。四分之派，分之一cosine。四分之派，是二分之根号。二分之一。所以这个结果是根号二。那根号二的话，这个平方这是二，然后这是一减y一撇。好，这个结果，然后这个部分呢，也是两倍的，

一减y一撇。好，这个结果，所以说这个约掉一下，一减y一撇，它就刚好等于几刚好等于二分之一。所以说这个y一撇就等于几等于二分之一。好，这个结果把这个结果算出来之后，你来看看这个，那其实就是y就等于四分之派，然后再加上二分之一倍的x减二分之派。好，你把它整理一下就行了，那这题结束了。

就讲到这可以吧，你自己整理把这一整理就行好了，这是第五题，然后我们再来看看第六题。第六题，这个题啊。得分率不好啊，我看了一下，很多同学出错啊，你包括的话，我看有些同学发的这个自媒体上出错啊，这个第六题啊。就出错的同学还挺多。那么，首先我们先看看这个。

那首先我们来看看大致的样子，你不画图也行。他说这个曲线。什么曲线呢？他说这个曲线。对吧，这个曲线。那这个曲线怎么了呢？好比如说我们一个曲线，它要经过这个什么经过这个二分之一四。所以说他要经过这个点。啊，经过这个点，这是二分之一四。他说，

在该点处的切线呢，要经过原点。那也就说你在这个点处的切线，刚好经过它。好，这是它的切线，那所以说我立即就能得到这个点处的切线斜率吧。这个点处切线斜率是多少？这是二分之一四吗？两点之间的斜率公式，你肯定会想。对吧y二减y一比上这个什么y二减y一s二减x一，所以等于八呀。那因此我们就知道它就在这个点处的导函数刚好等于八。那这一点出的导函数等于八，

你就求这个函数导函数呗，那这个函数导函数是多少？先对中间变量求导。中间变量再求。一求的话，这是x- 1^2，上面求导乘，下面减去，下面求导乘上面。然后你把这个二分之一啊，你带进去，带进去的话之后就得到了f一撇，那这是二分之一的话，这是多少？那这是二分之三。

对吧，这是二分之三，那这个部分是二分之三，然后的话，这是负二分之一，那所以说这个结果是负三，那负三的话，我们再来看看这个部分。那这个部分是四分之一，那四分之一的之后，这两个一减，那这就是多少？这是负二，所以说这个结果刚好是负八。啊，

然后的话，这个斜率刚好等于八，所以说f撇负三，它就刚好等于几负一好了，这个结果我们就说到这。好了，这是这样的一个问题。啊，你为什么能问出这句话呢？你问出这句话的话，我就说明有有点诧异了。好了，这是这个问题，所以说这个时候我们就得到了f撇负三呢，等于负一。

那么，现在我们要看重点的话，哪个函数？这个函数。这个函数怎么了？这个函数在u=- 3处取得增量的，这个什么函数值增量的线性主播，这什么鬼意思啊？你告诉我是哪个函数？哪一个函数是fu这个函数？它在u=- 3。然后的话再取增量是它它的一个线性主步，你告诉我线性主步什么？线性主波是不是就是微分呐？所以它的线性主步其实就是它的微分。

谁的微分？这个人的微分哎，这个人的微分就df这个微分。那这个微分的话，不就等于它的导函数再乘上德尔塔u吗？是不是这个问题？那么现在我们都知道它要取负三，那你负三处的这个导函数不就是f撇负三？你取得增量是负的零点一。然后这个部分是负一，这是负的零点一，那这个结果不就零点一吗？答案选d呀。好了，这个结果它的线性主波就是它的微分，

它的微分就是它的导函数，然后在d这个什么d自变量跟德尔塔自变量不是一样吗？对吧，德尔塔自变量跟d自变量是一样。好了，这是第六题。你看这个题啊，这个题就很有新颖度了，我们既考了复合函数求导，我们又考了微分的定义，对吧？把这两个知识点呢联系起来了。好了，这个问题我们就讲到这，然后接下来继续，

我们再来看第七题嗯，第七题。也做的不好。那看到绝对值。那你发现我们以前做的是方程根的问题啊，练得已经非常娴熟了。对吧，我们做了非常多的方程根的问题，做的相当的娴熟了。做到如此之娴熟了，但是你发现这个画图啊，等会我们再说，等会我们再说。你做的这么的娴熟了，但是今天的话，

我们出现了一个什么？我们出现了一个这个绝对值。然后有些同学感觉到很诧异了。那这题怎么办呢？那其实稍微的改一下不就行了。那其实就是研究这个函数与x轴的交点，这件事情永远不变吧？所以我们令的这个函数是什么呢？你别胡来哦，你这别你平方一下更麻烦了。好了，不多说了，那所以说在这里面当中研究的还是这个函数，只不过这个函数是什么是？减去s，

减去二，当s大于负二的时候。如果s小于负二的时候，那这是1s啊，那是相反数就是加s+2。还是在研究研究这个函数，那大家告诉我，我们研究的方向一样不一样。一样的呀，这是属于r的。好了，不用再发表你的意见了，你听课好不好？听就行了啊，认真听，

如果你在这块做的不好，你就认真听啊。好了，那么接下来我们继续，我们再看。所以说这块东西啊，我们就得到这个函数。那这个函数的话，我还是要研究它的图像啊。那还不是进行去求导，找到注点不可导点，然后再怎么办啊？然后再划分区间段研究这个人的单调性，那不是一样的吗？所以说接下来我们要进行求导。

那求导的话，你发现上面这块求导的话就是e的s- 1s大于负二，下面的话，这个部分是e的s加个一。你就写成这样，然后这个分段点上呢，你得用一下导数定义啊，其实有些同学导数极限定理会呀，你可以看得出来。对吧，这个连续，然后这半边的话是一的负二减一，一的负二加一不相等，肯定不可导。但是我们在这一块，

有些同学不知道，那就用导数定义。导数定义的话，你就要用一下这个诱导数，诱导数的话就是limits趋向于负二。那趋向于这个是呃，趋向于负二，那么首先是负二正，那负二正的话，其实就是e的s-s- 2。然后把这个负二代进去。啊，这个负二。那负二代进去的话就是e的负二。e的负二，

然后再加上个二，你减去个二，这个就没了，所以我们就留下了这个部分比上一个x+2。好了，这是这半边，然后再来看看左半边。左半边的话就是limits趋向于负二。负，然后这是e的s+s+2，然后再减去e的负s比上s+2。好了，这是这个结果哎，把这个负二这e的负二。好了，

这个结果我们就送到这，你送到这了之后，我们来看看吧，你定一下型，那这个东西就是个零比零型。零比零型的话，这块是零对吧？呃，这个负二这块是零，然后这块是零，所以说一个洛必达就出来了。那所以说就是limits趋向于负二帧，然后这个求导的话就是e的s减一，所以等于e的负二减一。然后接下来我们就继续，

我们再看。你再看这半边，这是limits趋向于多少负二负，然后这是e的s加个一，然后等于e的负二，你再加个一。好了，这个部分呢，很明显它不相等，如果你用导数极限定理眼睛瞅着做就行了。对吧，这个函数是连续的，这半边的右极限等于e的负二减一，左极限等于e的负二加一。不相等肯定不可导。

所以说这个负二是一个不可导点，那么接下来我们怎么办？我就要另了。来令令这个导函数等于零。等于零的时候，你发现这一段，那这一段等于0s等于几啊等于零。然后这一段等于零时e的负IE的s等于多少e的s=- 1。那一的x怎么可能会等于负一啊，所以说这个结果肯定不行，那因此在这块我们就解出来一个x等于几等于零。还有一个负二为不可导点。对吧，负二为不可导点，所以现在我们就可以进行去画个表，

那画表的话，这是s，然后这是负无穷到多少？到这个零。啊到负二，然后是负二。然后是负二到零，然后是零零到正无穷。好，这个问题那么接下来我们就来看看这个导函数。啊，这是fs。那么，先来进行去看看，比它小，

比它小的这个部分，这块永远是正的。对吧，比它小，这块永远是正的，然后这个部分呢，它是往上增，在这之前呢，是负的，在这之后是正的。然后这个部分是零啊，这是不存在。然后接下来我们就来看看，然后这个部分呢是零，所以说这块是增，

然后这是减，这是增。啊，这是一个极大值，然后这是个极小值，所以说这个时候啊，它的图像就出来了。如果这个图像出来了之后，你就大致的进行去研究一下端点，所以意思就出来了，所以我写的呃多一点呢，你在做题的时候个别步骤啊，你可以稍微的省略一下。好了，这是负二，

然后这是零。你先进去去看看，负二处。那么，先看看负无穷吧。当s趋向负无穷的时候，你肯定是对这个人求极限。负无穷，求极限的话e的负无穷是零。然而，这是负无穷，所以从负无穷开始走。然后紧接着还有一个问题，那就是负二。我在负二处的值这个结果等于多少？

那么，在负二处的值啊，它刚好等于这是负二代进去，所以等于e的负二次方。然后还要算下零处值。零处值等于多少呢？零处值的话，这是一一减它的话，这是负一。然后再来算一下，正无穷。那正无穷对谁求极限呢？正无穷对这个求极限e的正无穷正无穷，所以说这块是正无穷。那么所以说这个大致的图像就出来了，

来我们增到多少，我们先增增到这个e的负二次方，然后再减到这个负一。然后这个人再增上去，好这个情况，因此这个函数图像与x轴有几个交点，总共有三个交点。答案选，几选d好了，这是我们讲的这个第一个部分。可以了吧啊，第一个点你下去好好看看，那么研究方程根的问题啊，核心重点还是在研究函数图像问题。就是求导找到注点和不可导点画表，

对吧？找到注点和不可导点，然后再进行画表，画了一个表了之后再研究这个端点，那这个题就出来了。有人觉得这个题特别麻烦，你学了一年不就是这个思路吗？你只不过我写的多。啊，只不过我写的多，那么在这里面，我来给你教一个事情。如果你实在不想进行去求这个分段点导数，好好好听课对吧，不要再发挥你的这个意见了，

一会我再来讲。如果在这里面，你不想研究这个分段点处，它是不是可导？你就把它当做成一个可疑点做。什么意思呢？也就说这个点，它有可能是可疑点，也有可能不是可疑点。对吧，有可能是可不可导点，也有可能不是不可导点，你先把它怎么办当做成最恶劣的情况去看。当做成最恶劣的情况去看，结果你发现这两侧就是异号的，

哎，那这个点它不就是极值点吗？能想清楚吗？你要听清楚我的意思，你看我也不知道这个负二是不是，反正注点是零负二，这个不可导点，我觉得非常难求，我们在这个点我就先不管。对吧，我先不看，我先不看的话，结果我发现这个负二的这个两侧就是变号，那不就是个极值点吗？想清楚这个问题。

好了，这是我们常规的操作。但是你核心思路不要变，不要动摇短做题的核心思路都是一样的。好了，这是我们讲的这个第七个题。不需要带植，再看一号，你眼睛漂漂不出来是一号吗？你有些人判断这个人的正是负，还要把一个点带进去看一下，这个正是还是负？那这太慢了啊。你小于负二的时候明显是正吗？然后这个人呢？

这个人是往上增的。对吧，往上增的，你从零零是等于零，那前面不是负后面是正嘛？你不要带一个点，这这速度太慢了好了，这是这个，然后有些同学可能近期就画这两个图像。嗯，有点碰运气啊，说实话，有点碰运气，那么来看看吧，大致来瞅瞅。

那么可能在这里面有同学进行去研究一下。这两个函数的啊，图像的交点，那这个交点的话，一个是v字辈。好，我们来看看这个v那这个v字的话是这样。好，这个点是负二。然后接下来我们来看看。你注意啊，你这有点运气成分。那在这里面。我们要继续去增一下。啊，

很多人一一取三个。你这你这题做的有点少啊。有点少。它有可能就是这半边这条线呢。就是你要注意它，有可能是这这这边是几个啊？其实这个。你这有点运气成分啊。反正你就这样切上去了啊。你你最好别这样啊，我我不希望同学们在这堵啊。然后更有同学。说我在这里面带了几个特殊点。带了几个特殊点，还有一个问题啊，

就是。你看我在这块嗯，这边教一个。呃，反正这个这个图像吧，有些有些不好画啊，这是运气成分好了，我不多说了。不要带点，带点还不如画图呢。你代点的运气成分，你还没有这个运气成分更高。好了，这个吧，我们就说到这，

不想说这个问题了，我再强调一个问题，你为啥做模拟卷？你做模拟卷的意义是什么？你的目的是要进行去复习这个核心。高频重点的核心内容。所以说大家想想我们为什么要进行在这里面继续去做这个模拟题呢？比如说我做到这个题。我就要进行去复习这个方程根的这个类型问题的处理性方法。我们在今年的时候，如果处理出现方程根的问题，我做题哎，无论是那个原来的那一般的函数，还是它是一个分段函数，我做题的思维方式都不变，

我第一步干嘛，第二步干嘛，第三步干嘛？我做题思维方式是一样的，而且我还长了经验，你看有的都特别会学，有的一直在这较真，你看我画图可以啊，我这怎么行？那你打对不就行？我觉得核心重点，你要想清楚，你为什么要做这套模拟题？你看刚才在你在这敲着字，在那翻轴的这件事情，

然后有些同学又增加了一个经验。哦，以后这个分段函数在分段点，假设这个点非常不好，求导，我也不想求，我想节约点时间，我就把它当做成可疑点来做。如果这个点两侧变号了，哎，它就是如果两侧不变号，它就不是，你看这不就提高了，你半天在那犯轴。我都不知道你画图，

下次考试它还能出现这种画图的题吗？那都未必了，所以思维方式先把它拓宽一下。好不想讲了，来继续我们再来看看第八题。来看这个题。那这个题考的什么？那这个题啊，我们考的是这个参数方程，求导。对吧，参数方程。那这个题目当中的x是等于t方，然后这是y等于多少3 t+t的三次方？好了，

参数方程，然后让我们进行去求拐点，拐点怎么做？第一步找到二阶导数为零的点。还有二阶导数不存在的点，所以我们现在要进行求导来一阶导。一阶道就是y对t比上s对t非常普通。那么所以说y对t的话是三+3倍的t方，然后这是2t。好了，把这个求一下。那么，这个求完了之后，我们继续，我们还要再进行去求一下二级导图。

y对x的两极导数。算下两阶的。那这两条两极导，我们把它除下去，这是二分之三倍的t分之一，然后再加上二分之三倍的多少呢？嗯，其实你把三提出去吧。三提出去了之后的话是除一下的话，这是二t分之一。t二分之三不行t加二分之三，然后这是t分之一，然后再加上个t，所以说我们再来求导。那二级导数呢，

是它对t进行求导。然后注意要补。后面一定要补补上s对t，求导分之一，这块还有一个二t分之一呢，不要把它忘了，你忘了这个题，你就没有分了。当然的话，这个题忘了，好像也能做这，这就运气比较好了，这运气成分太高了，好了，这个结果我们来继续。

所以说这个结果的话就是四分之几四分之三，然后这是t的几次方三次方。那t的三次方的话，我们就继续，你发现这个部分是负一啊，这是负一，然后再加上一个t方。啊，这个结果，所以说这个部分呢，你就写成这样，然后接下来我们干嘛？我要找这个二阶导数为零的点。有没有不存在的点呢？你发现处处有对吧？

处处有定义，因为t大于零的话，你处处有定义。那我们就只需要找到为零的点，为零的点的话，其实t只要为一就行了，因为我t大于零。然后再来看你下面这个部分永远是正的。而你看上面这个部分呢，你上面这个部分的话是这样的一条抛物线，你在一的这个左右两侧是变号的。所以说二级导数在t=1的两侧变号，所以说这个人对应的什么对应的那个点肯定是拐点。但是这个拐点不是一有同学把这个写的一了，选到a或者c了，

那这题就出错完了。哎，也没有出错，哎呀，这题没有出好，没有出好。这当时应该出一个负的啊，我当时应该在这出一个负号嗯。这题没有挖坑，有的运气太好了。好了，这个是x就等于几1y等于几y=4这题啊，吓出亲了。所以答案选，几选c呃，

下次我应该把这改成负t方。负t方的有同学就选一了啊，你们结果这个t跟s是一样，注意这个拐点，这个拐点是xy的坐标。啊，人家求的是这个函数的拐点是xy坐标。好，这个题啊，我们就讲到这。来，继续吧。知道拐点吗？拐点要求二级导数为零的点和二级导数不存在的点，判断二级导数两侧异号。

或者进行去求三极导数值都是可以的。然后再来看看这里面当中的第九题。这一题考察的知识点是什么？考了个牛逼爸爸。我们在这个后面方当中啊，把这个部分的知识点呢，我都给你写到这儿，我们稍微的进去就回顾复习一下。把这个部分内容稍微进行复习一下。来看看这个部分。那这个知识点是什么呢？我们先看导函数，如果这人是偶函数，导函数是奇函数，如果是奇函数，

导函数是偶函数。如果是周期函数，导函数为与它同周期的周期函数好这个部分。然后接下来我们再来看看，从零开始啊，从零开始，这个人叫牛逼吧，一定注意，他是从零开始。如果从零开始，里面是奇函数，这个里面是奇，外面是偶，里面是偶，外面是奇。

啊，如果这个里面是周期函数，你要保证一个周期内的积分为零，它就是个周期函数。所以说这个从零开始，这个部分呢，它叫牛逼吧？那如果考试当中考什么呢？它考的是从a开始怎么办？从a开始把它写成从零开始，然后是a到零，那这个部分是牛逼吧，然后这个部分是什么？这个部分是个数。那么也就说，

我们再加上一个数。你比如说你这是个偶函数，你偶函数加个数呢，你把偶函数上下平移，还是个偶函数，它依然是偶函数。那如果这是奇函数呢？奇函数再加个数上下平移呢？这个东西啊，未必是奇函数，除非这个数是零。奇函数关于原点对称，上下平移一下就未必是了。好了，那么接下来我们看看这个题，

所以说你把知识点会了，你做这个题就非常简单，另外一件事情我再多说一嘴啊。如何判断奇偶性啊？如果长得非常的繁杂，比如说我们后面对称区间也要看，如果你再不会，你就给它扔一个负s进去，你看它动还是不动？多了一个符号奇函数不动，哎，这个人是个什么不动，这是偶函数，你作为一个这个呃，到了这个阶段，

同学我相信问题点不大。然后看你是奇，这就是偶。你是偶的话，我扔一个负s进去，这个不动整体不动，所以说这个函数是个偶函数，你不对。然后接下来我们继续，我们再看等价无穷小。哪里等价无穷小。哪里是无穷小。我这知识点飘飘然呐啊，这知识点在在大脑里面胡乱蹦啊，反正蹦出来一个名词，

想一个蹦出来一个名词，在这胡乱说。你别胡乱说话啊，对吧？然后接下来我们继续，我们再看扔一个负s进去，这不动那整体不动，这是个偶函数。好，这个部分。然后接下来继续，我们再来看。扔一个负s进去多了一个符号，多了一个符号，整体怎么办？

那就不动奇函数，乘奇函数是偶函数。里面是偶，外面是奇，所以它是对的。好，这个部分，然后我们再看这个。如果这个部分的话，是个奇函数。然后这个部分呢，它也是个奇函数。那奇函数加上个奇函数什么你奇函数加上个奇函数还是个奇函数，里面是奇，那这个外面是个偶函数。

所以说这个不对。然后再来看看这个，你塞一个负t进去，你发现这多了一个负号，然后这个f是个奇函数，这个负号是不是多出去了？整体多了一个符号，整体多了一个符号，那说明这个里面是什么函数？里面是奇函数从零开始，这个结果就是从偶函数。所以这个也不对，选b啊。好了，这是这个问题，

我们就讲到这。可以了吧，咋扔看零基础，提前学第一次课程。啊，看零基础，不要看基础，基础也没有讲啊，要看零基础啊。好了，那么接下来我们再来看看这个第十题。啊，看第十题。那这个题目当中，我们继续看，

他说这个人是他的一个原函数。啊，你是它的一个原函数，那说明它的导函数是它。那么然后我们在这里面当中啊诶，这个上限呢？这上限是多少？再看第十题。第十题上限是一是吧啊？这个结果它是它的一个原函数，然后让我们去求这个积分。这个题我不知道你们还有没有印象？我原来答应过你们出一个这个题。这是原来往年的一道真题的一道改编题吧。啊，

这个题目，然后接下来我们看看你怎么做呢？你先把它换了。啊，你换一下的话，令这个as=t。一换了之后的话，这是零是零，然后这个是一的话，这就是多少？如果x是一的话，这就是a，然后这是ft。这是a分之一dt。所以说这个结果就做成这样a分之一，

但这个题很简单哦，零到aft dt。然后接下来我们再来看看这个部分。你发现。这个结果是什么呢？你积分嘛，它的原函数是大fx，所以说这是大ft。把这个零和a带进去，所以说结果就等于a分之一fa减去f零。好，这个结果，所以a分之一fa减f零选c这个题很简单啊。好，我们来看看第11题啊，

这个题啊。非常有创新性。因为这个题的话，我们从来也没有这样考过。我们好像考过这个定期分是个书，但是你会发现我们又没有这样继续去考这个事，哎，直接凑就直接凑了，这有啥区别嘛？一点区别都没有啊。你想怎么怎么做就怎么做，就跟我一直给你讲的，我们现在进去就算一+2，然后一个一年级同学说啊，直接等于三。

另外一个同学说，那我一+1再加一=3行不行？可以啊，有人说那我一+3再减一=3行不行？可以啊。这有什么好，这是进行去范畴的，这没有任何的问题，来我们再来看看第11题。那这个题啊，我们来操作一下来解。那这个题目当中啊呃，你要举例子啊，你得举稳啊。你得取稳。

你把它取出来也很好。可以啊，你举例子举出来就出来了呀。然后接下来我们就继续我们来看。你在啊，有同学举的例子，你举例子举出来就出来了，出来非常好，你就举2s是吧？你可以举个2s的话，这个人就出来了，那也行啊，也非常好，非常好。能取出来很好，

然后我们来看这个题考的什么呢？考的定积分是个数吧，你就把它设出来，设这个零到2 fxds这个结果。它就是个数设成a这做过吧，所以说这是a倍的f撇s就等于几就等于八，你看我们的考题难度系数。没有像这个数一数二数三这样，那么在这里面当中再稍微积个分，一个积分的话，之后的话就是八倍的s加上个c。然后题目又告诉我f0是0f零是零的话，你把这个零带进去，然后这是c，所以说这个c就等于几c就是零。

那所以我们在这块就可以写了a倍的fs，就可以等于多少就等于8s。但是没有结束啊。我这个题求的是这个定积分呐。那么我们又知道零到二的积分是a那，所以我们给它两边同时积分a是个常数抽出去了。两边同时积分零到二八sds，所以说这是a，这也是a，然后这个积分呢？你这个积分的话，不就是四倍的x方把零和二带进去吗？所以等于多少16，因此这个a等于多少我们来看。因为你想想我的被积分函数是正的，

所以说这个人是大于零，因此这个结果只能是四答案选几选c。好了，这是这个题目啊，怎么操作都行。可以了吧，把这个常规性问题啊，把它想清楚。那这个题考的就是一个定积分，这个数。当这个题。呃，你得继续去慢慢尝试，有的人可能在尝试了之后的话说这个fs我可以取多少呢？那我取2s的之后，

这个部分是二。然后这个也出来了，那你取2s也行，你取了个2s之后，这个你就出来了。这种题做过吧？有没有做过呀？我想问一下，有没有做过这种类似的题？当然做过呀，考过定积分是个数啊。定积分是个数，不就是重点内容吗？只不过在这里面当中，稍微的创新了一点，

你就在这里面当中多积一次分。然后再来操作这常规问题啊，然后接下来我们继续，我们再来看看第12题。再看这个题目。那这个题考什么？那很明显是n项和是极限。那碰到n项和是极限，你如何处理啊？你碰到n项和是极限，先想定几分定义吧。所以首先第一件事，我们先来进行去一和n趋向无穷大，这是n分之一，然后接下来进行去写求和。

那这个求和的话是一的根号下，你看n分之一n分之二n分之三，这个部分是不是n分之n呐？所以说这个部分就是n分之kk从几呢k从一到n。好了，现在这个三剑客直接出来了，一剑客两剑客三剑客后面是n分之k的函数，就是零到一。然后这是e的多少呢？根号xds的积分。好，就做成这样。那么做成这样了之后，你不要胡思乱想行不行？我都不知道你为什么会想这些东西，

你这常规方法见到这个东西，想它就是一积分就出来了，你有那个想法，你考场当中做三四个题呢？我不是说你不让你发散，你胡乱发散，那这就没没有任何问题了。然后接下来我们来看这个部分呢，它等于t。换圆那所以说这个s就等于t方。积分终值，那你进去了一个终值，那个终值点是多少？那肯定不行的，绝对做不出来。

那就胡做起了啊。好了，这是这个部分。分布积分法，能出来就出来了呗。那遇到根式的话。我再强调一遍，这个至于怎么进行积分呢？我们不要在上课的过程当中讨论这个问题了。对吧，你积这个分，你说分部积分法能出来，那就出来了。出来就出来了。但是按照常规问题的话，

如果遇到根式，是不是想这个无力根式换元呢？所以接下来我们就继续，我们再来看。那这里面当中啊，这个问题就变成了你是零就是零，你是一就是一，然后这个部分是e的题，那出不来，不就是说明这个方法不行吗？嗯，好了，那么接下来继续。我怕了我点，我停一会儿，

停一会儿，停一会儿。然后这个部分的话，这个s是多少d它那这部分是2 tdt？是吧，那这个积分就出来了，你怎么办呢？零到一这是TD多少e的t，然后这个部分是两项相乘。然后再减去两项调换位置，零到一一的tdt好自己算。好了，这是我们讲的这个第12题啊，自己下去把它看一看。好了没？

12题我们继续啊，我们再来看13题。呃，13题很有意思，但是没有那么的难啊，这个题目。那这个题目我们来看看，他说这个函数和这个函数啊，分别在这个区间当中，二阶导数一个大于零。一个大于零的话，这是o的。然后这个部分呢，一个是凸的。然后这两人的f0和g0都是0f一和g1都是二。

那所以我们在这块当中啊，你稍微进行去瞅一下。这是多少呢？零处都是零。一处都是二。对吧，一处都是二，这还要举例子。你们少看点，评论区有同学都不知道咋回事了。哎呀，这跟做题根本扣不住这个问题的本质。别胡来啊，所以说这个部分就做成这样，那这个线是什么线？

这条线是割线吧？好，这条线是条割线。然后这条线是割线，我们来看一个人是凹的，那凹的话，这个fs就是这样，这是fs。然后另外一条线的话，这是什么？这是个gs。这是这条线。然后再看这条虚线是什么？这条虚线刚好是2s，所以这条虚线刚好就是2s，

所以现在我们要进行去看零到一上的定积分。零到一上定积分很明显是I2最大大于这个I3大于这个I1，所以说是二三一答案选c啊。好，这是这个题，你看这个题啊呃，你说玩个创新性吗？也有一点点，但是也不是特别难，完全考了一个几何意义的问题。然后接下来继续，我们再来看14题。来看这个题。那这个题是什么区间对称区间那对称区间的考题，我们见到对称区间是不是先想奇偶性啊？

所以先把什么呢？把这里面当中的东西啊，你先打开。那这个部分是s方，加上cos方，然后上面部分刚好有s方，加上cos方减去2s倍的cos。然后呃，这个整体外面部分呢，你还要继续去乘上一个cos。ds是不是做成这样？那做成这样了之后，这是负的四分之派，然后到四分之派，我们就把它除下去。

除下去，这是一那就留了一个cos in，然后再减去一个x方，加上一个cos in方，然后这是2x倍的cos in方。coss的平方好了，这个积分。那么然后这个结果你稍微眼睛瞅一下，对吧？你扔一个负s进去，你看看。扔一个负s进去，这是一个不动的，把负s替换这个s负s替换这个s的话，不动不动。

这多了一个符号，这普通。所以说这个整体多了一个符号，那因此这个函数什么函数，这是个奇函数，眼神漂艳就出来了，这个非常好看的。所以说这是个奇函数，那么前面是偶函数，偶函数等于二倍的2倍的零到四分之派cosines ds。所以说等于二倍的这个三把这个零和四分之派带进去，因此这个结果是二分之根号二，因此结果是根号二。好了，这个题啊，

正确答案选几选c你看也不是特别难吧，所以说在这个题目当中有难题啊，有简单题，有些题的话，你稍微的话需要动动脑筋。对吧，得多做一做，你比如说刚才那个绝对值那个题，你多浪费点时间，没有关系，然后后面的题啊，你就能把这个时间抢一下。所以说这样一套卷子，我们三九六同学的卷子就这样，他不能说每道题我都是一两分钟。

其实很难，每个题都是一两分钟啊，确实有点难，有些题你的时间可能长一点，但有些题的话，它这个时间就会少很多。好了，我们继续吧，我们再来看。然后再看15题，你比如说这个题，那这个题就会稍微的浪费一点时间。来看看那这个题叫什么有理分式的积分吧，那有理分式的积分，我们核心重点不就是拆分吗？

所以我们先把这个部分你先弄出来。啊，最终问题就是这个拆分，所以先来看看来解。那么来进行去拆分一下，那这是x减一分之a，然后这是多少x方加一分之多少？分之BS+d。好，这个结果那这个结果的话，做完了之后我们继续，这是s- 1，这是s方加一，那这个时候对应相乘的话就是a倍的s方加一。然后再加上x- 1倍的BS+d。

好了，这个部分那因此我们看看这个头顶部分是不相等我写啊，你可以不写，因为你要节省时间呐，你看出来就行了。所以说这个部分的话就刚好是2 x+2，然后等于它，所以就得到这个部分。那么，因此我们来看看，把这个东西确定一下，你怎么做负值法吧？朝着分母为零的点进行负，那先进去负几，你先负一。

负一的时候的话，这半边是四呃，非常快，这没了，然后这个部分是2a，你看a立即出来了，就等于二。好，现在没有负的了，没有分母为零的点了，那就负零。那负零的话，左半边刚好是二那二的话，这半边是多少？这是2a呃，

这是a，然后再来看。那这是减去减去个什么呢？减去个减去个d。所以说这个d也出来了，那d是几d是零？好，这是这个结果。会做吧，你先把它拆啊，你先进行复制一个，然后这个还没有呢，你再来你再分负一。负负一的话，这边是零。

然后这是二倍的这个a，然后再来减去个二倍的d-b，所以告诉我这个b是多少？你这个d是零吗？你d是零的话，这个部分它就变成了加移过去，它俩刚好相反数，那是负二吧？是吧，这个结果。所以我就把这三个你就可以进行去操作出来了，因此原式这个积分呢，它就出来。原式这个积分，它其实就是从零积到几，

我们看看从二积到三。从二到三，然后第一个部分是多少呢？第一个部分是x减一分之a的几分，然后第二个的话是从二到三。x方加上一分之多少？这是b，那就是负2x它的积分。好了，这个积分结果直接出来了。你看第一个是二倍的ln，不用加绝对值，因为这是二到三，它是正的。然后把这个平方凑到后面去，

刚好是ln x方加上一把这个二和三带进去，所以说这个二倍的结果。那第一个呢，就是ln二一呃，这个二代进去没有了，然后这个部分呢是ln 10。然后这个是lu in10，然后这是多少lu in5-lu in5？所以这个结果那因此等于二倍的洛因二，然后这量一减呢，其实就是里面的除法，所以这个结果洛因二。对数的减法里面的除法就是它一下出来了，所以这个结果等于多音二选d。好，

这个题啊，我们讲到这，然后再来看看第16题。来吧，那如果一套卷子里面当中连旋转体体积都没有，那这样非常的不完整，总会觉得缺一点什么东西。那么，这个题当中啊，它给的这条曲线，然后这个曲线，然后我们继续去绕着s轴旋转，一周的体积。那么，首先我们先来看看第一条曲线是什么？

你看这条曲线，这条曲线的话是多少呢？是y- 1。y- 1的这个平方，然后再加上个x方等于一。对吧，你减过去平方一下，然后把s方移过去哦，这个人是个圆，然后所以说我们接下来画一下这个图。好，这个图。那这其实就是一个。在哪的圆呢？它就是圆心在零一处半径为一的圆，

所以我们在这块当中啊，把这个圆我们来画一下。是这样的，一个圆好这个圆。那这个圆就出来了，然后它是什么圆呢？你发现它这个圆是比一小的。所以说这个圆应该是这个圆的下半圆。啊，下半月。因为你要知道，有的人可能上半年上半年就做错了。你可能就转错了，你在这里面当中多转了一个，这个什么呃，

一个一个部分的系数。你要注意，这是一减，不是一加。啊，这是一减。那这样的一个圆呢？之后我们再来看，这是y=s它刚好经过这条。所以他们围城的区域是这个区。好了，这是这样的一个结果，那么现在我们就来做了。好，基本部分内容，

然后接下来我们来看看，绕着s轴旋转一周的旋转体体积。那这个旋转体体积怎么做？你旋转体体积，我们先用这条线。反之，这是一。你用这个上面这条线进行做，你就会发现。不需要用一个点定一下，你用一个点定一下了之后就显得特别的low了。我不知道为什么特别喜欢这种方法。你这个圆都不会画吗？你定一下，人家都做两个题了啊。

然后接下来我们看你这块用这个这条线，你转一轴。那这是一这是一，你就转出了一个什么，转出了一个圆锥。啊，转出了圆锥，所以我们就用这个圆锥，然后再怎么办？减去这个绿色线转一轴的。那所以我们在这块当中的内容马上出来，这个体积。这个体积的话，就是这个圆锥三分之一底面积派一的方再乘上高。然后再减去这个，

下面有个绿色，绿色就是零到一，然后派倍的这条绿色线的平方，绿色线平方就是一一减去。这个部分的平方ds。没问题吧？好了，这个结果这个结果的话是三分之派，然后这是零到一，这是派。那把这个部分打开一下，一打开的话就是一减去二倍的根号，下一减x方。加上一减去x方好了，得到这个结果。

那得到这个结果的话就好做了，这是三分之派，然后减去派。那现在的话，我们来看看这个零到一，这是二减去个s方，然后再减去二倍的根号，下一减s方。来告诉我这几个分怎么做？来先看三分之派，减去派第一个积分就是二，第二积分是三分之一，然后这个积分呢？那么，这个积分的话，

零到一的积分。你发现零到一根号下一减x方是圆吧？是不是圆那？所以说圆心在圆点半径为一的圆，你这个部分的话积到这那这块就是四分之派。好，这个结果。那行吧，那么这个题我们就做到这啊，四分之一圆的面积，你做多了吧，你看一个知识点，我们做一套卷子，两套卷子，有些知识点反反复复出现。

一次性很陌生，第二次要看得到，第三次要把它做出来，你这样的话，你时间长的话，把这个问题就写清楚了，好这个整理啊。那么，接下来我们再来看看第17题。好，再看这个题。估计很多同学这个题啊啊出错了。这个题。很有意思是吧？有创新性。

那这个部分的内容，他写成这样，你看这是x，然后这是一+y，然后怎么样？那这个部分的东西考的是什么呢？首先这个前面应该是一个可危的定义。对吧，前面就是个可微的定义。那可谓的，定义的话，我们来看看。啊，我们来做一下，可谓定义那么前面的话，

这个第一个。可微的定义。你可以用增量的形式写。你可以这样写啊，就是x0，我有一个增量。对吧，然后的话，这个y0我有个增量。再减去fx 0，大家告诉我这是什么？这个东西叫德尔塔z吧。然后这个德尔塔z它就会等于x的偏导数，再乘上德尔塔x，然后是y的这个偏导数。

再乘上这个德尔塔y。是不是这个情况好了，这是在后面还要进行去加上一个高阶无穷小。德尔塔x方加上个德尔塔y方的高阶无穷小。是不是这样的一个问题？好了，这就是我们的可为的你。那可谓的定义就是这样写，前面是德尔塔z就会等于dz，然后再加上这个高级无穷小。只不过这个题怎么办呢？这个题啊，他选了一下呃，要注意这个东西在什么时候成立，在德尔塔s。

在德尔塔s和德尔塔y，趋向于零零的时候成立。啊，严谨一点。那只不过这个题他稍微的进去就换了一下。它不选这个增量，它把这个部分这个增呃，不是不选增量，把这个增量用x，把这个增量用y。然后就减去了一个多少fs 0y0。然后这个部分呢，照样写成多少x偏导数x0y0，这个增量是它I这个是y0x0y0，这个增量是它。

然后接下来我们又加上那个什么根号下x方，加上y方这个人。就是我把这个部分的增量用什么呢？那就在这里面当中，我们把这个增量用这个呃x和y进行表示了啊，这个可为的定义。而我们经常有的时候还会用什么呢？用做差式定义。做差式定义的话，就是末点值，不是这种增量式的末点，减去起点，这是德尔塔z。德尔塔z就会等于x的偏导数。再乘上德尔塔s是s-s零，

然后再加上y的偏导数。然后再乘上y-y零，你最后再加上这个部分的高阶无穷小。好，这个部分。那所以说这个结果我们经常会写，可谓定义啊，你都会这样来。对吧，一种是增量形式的定义，一种是这种做差式的定义，好了，这些东西啊，看得明白给我回复一讲了好多遍了啊。这个部分内容。

讲了太多遍了。所以像这个题。呃，要一眼瞅过去这个东西就要抽出来。这才可以。所以我们一眼瞅过去，你现在就缺这个点处的值啊，它又是个连续函数。连续函数，我们想求零一处的值呢，你就让x趋向零，你让y趋向零。你让这个部分趋向零了之后，这是y+1趋向零连续函数嘛，连续函数等于函数值。

而你趋向零的话，这都是零，那就是一，所以f零一就是一，那f零一是一的话，我们就可以解了。f0加上它，一加上它再减去把那个一移过来就是f零一。减过去，它就等于二倍的s3倍的这个y。然后再加上这个高阶无穷小，大家告诉我这是什么定义啊？那么，对于这个部分，它是什么样的定义啊？

什么定义？这个定义是什么定义啊？这个定义对这是个增量定义啊。增量定义。对吧，增量第一。那么所以我们就可以看得出来哦，这个部分是谁呢？这个部分就是s偏导数在零一处置。这是谁呢？这是y的偏导数，在零一处置。好了，这是这个结果。当然，

像这个部分呢，你也可以通过这个东西进去去凑导数定义组，那也可以。你把这个式子啊，继续去凑导数定义，得到两个偏导数，但有点慢。你根据可归定义一下就出来了。好，我们现在要重点来看看这个极限。那这个极限怎么做？来看一下这个题。那可能有些同学把这个东西给带进去了，对吧啊？带进去做也是可以的。

我觉得对于这个题而言，做题方法比较多。你可以不用这样做。你直接把fs 1带进去，能不能出来？可以出来把f零一减y带进去，能不能出来也能出来？就直接带也行。你就直接把这个东西，因为它这个部分是成立的。你就把这个fx 1带进去f0，这个东西带进去，带进去也能出来。啊，也是可以的，

你可以去试。那么，所以我们现在来看看，我们知道了x偏导数和y的偏导数。哎，大家想想。那这个x偏导数和这个y的偏导数，这个情况。你发现。我把歪带一夜。把y代成一那这个部分不就是s偏导数吗？它差了一个零一。你给它减一个。你减一个就要加一个，你加一个不妨怎么办？

不妨在后面这个部分，你再减一个。平衡的吧。好，这是平衡的，然后比上一个五倍的x。那么，现在这个结果的话，我们就可以写了。首先先看第一个部分。第一个部分是多少？你把y进行固定fs。减去f0。比上s- 0s偏导数。然后再看后面。

后面把y进行固定。那y固定的话，这是增量定义。一增量是负x。增量是负x。呃，这五分之一。那增量是负s。那么现在我们这个部分，你看从这个一。一进行去增量的一个负s-f一，你是不是要比上一个负s，所以这块来一个负号变成加上它。好了，现在这个结果就出来了，

你告诉我第一个部分把y固定s偏导数s偏呃，这个什么s导函数s偏导数？然后是把s固定一，加上这个人减去一比上这个人，然后这人去向零，所以说这是y的偏导数。零一处结果，所以说这是五分之一，然后这个结果是多少？一个是二，一个是三，所以结果等于一。呃，这个题很有意思哦，对吧？

你下去得进行去多磨。我相信你下次再碰到这个题啊，你会做的非常快，我眼睛一瞅我就能瞅出来哦，这是可为定义赶紧缺掉函数值，然后这个偏导数就出来了。然后接下来一操作就出来了。好，这个题啊，是一道很有意思的一个题，对吧？你看他在这个操作的时候，我们进行凑偏导数的定义，我们可能还没遇过这个事情。你注意啊，

这套卷子啊，没有给你一味的进行求难，你看这就是我们三九六同学考题的这种特色。他有点巧度在这里面。也没有在这里面当中说给你啊，叠运算量疯狂的进行计算，没有这样来啊。好了，这是这个问题，可以过去了吗？我们就说到这。自己下去好好看看。嗯。高级哦，这是s-s零。

好，这个部分啊。根号下。x-x零的方，加上y-y零的方，这个结果。好了，这个部分自己下去好好看看，把这个相关性的内容处理一下。好了，这是我们讲的这个第一个问题，然后接下来我们再来看看18题。啊，再看这个题。那么这个题啊，

它给的这个偏导数。给了这个偏导数啊，我们进行计算，那就直接来呗，算一下偏z偏s。然后的话，这是呃。三分之y方。然后这是x方分之负一。然后接下来我们就继续f1撇xy，然后再来乘上y，你们很累吗？这题你都做过了。累的是我吧，这题我再给你讲，

你上午都全部都做过了，你听就能听思路就行了。好了，这个部分啊，可以了吧？用耳听啊。晚上的时候我们进行讲那个真题卷子，有的时候讲的数一数二数三的真题卷子，一讲的话，晚上得等于三个多点。这个这上面的东西，那不是上午都做过了，你就听思路就行了。又没说就像强化一样，听课基基础一样听课，

你每个题的话，你要跟着写啊。好了，我们继续吧，我们再来看偏z偏y。然后继续那这个部分的话是三x分之二y，然后再加上f一撇sy，你再乘上多少乘上s？好了，这个结果我们就讲到这。可以了吗？把这个算一下，然后啊，你自己跟着这个选项，把它做一做呃，

给这个部分乘个s方，给这个部分乘个sy，然后你继续去结合一下。就出来了，好了没？可以了吧呃，这个题不讲了行不行？这个题，然后再来看看第19题，稍等一下，我把高数讲完了。然后再来看看这个题。啊，继续一个函数由方程确定隐函数。所以大家想想，

这就是我要找的三元函数吧。你都不用去写了，这就是我要找的三元函数，所以说偏z偏s这个人就等于负的。这个三元函数对s是多少？先对第一个中间变量求导，它是一没了，然后对z就是对第一个中间变量求导，这是负二。然后再加上对第二个中间变量求导，那这是负三，所以说这个结果是再减去个三倍。然后再是偏z偏y这个部分，这是负的，然后下面是负二倍的f1撇减去三倍的f2撇，

你对y那就是对第二个中间变量求导是一。所以说这个结果它就等于两倍的f1撇，加上三倍的f2撇，这次没有同学出错吧？啊，有同学做错吗？有没有呃，做错了给我回复一下呢？就看看有没有同学做错呀？啊。啊，有没有同学做错？你还真敢说呀，对吧，这破题都能做错。

每套卷子都考。又做了十几道这张题，再再做错的话，有点不好意思的吧啊。然后我们再来看。你这个部分乘谁啊？那一这个人肯定乘二啊二这个人肯定乘三呐，两个一加就是一呀，所以答案选几啊二。二倍的3倍的，这是一选a啊。好了，这个题我们就讲到这，你这个这不要做错，你你这样复习怎么行？

一个题来回的来啊。好了，这19题。20题。好，这个题目。呃，这个题啊，我们稍微休息会儿吧，可以吧？这个题一会儿我们再来讲这题不难哦。就这个题呃，不要老是这种题啊，一直错一直错，每次都错，

你发现这种套路题都考了好多个了。啊，这个题还有另外一件事，这个下面这个题啊，这也不难啊。也不难。我们在这块出的时候，你像这个。二元函数求极值啊，当然有可能会考到二元隐函数求极值，但这个几率不大。啊，几率不大，那个运算量就非常大了。如果放到数一数二数三同学的卷子上，

那其实就是一道啊，12分的一道大题。我上次给你继续去看过这个事情。对吧，比如说这样的题，那这个题是两千一六年的考研真题。对吧，这个题那这个题的话说这个二元函数由这个方程确定，让你去求这个二元函数极值。那还是得先进去去求这个偏导数。把这个偏导数都算了，之后然后进行找到这个注点。然后解出这个注点，然后进行去求这个二阶偏导数，这也是无条件机制啊。

就是这个二，这是我们通常求无条件极值的话，就是求出重点，然后再进去去求二阶偏导数嘛。再求二阶偏导数，那二阶偏导数的话，你再算就行了，这个几率不大。啊，你注意一下就行了，因为这种题的话，一旦出，我们就在考研真题当中呃，一出的话，这是12分的大题，

我给你大致的进行看看。好，我们来看看这个问题。所以说这个题目的话，出过几次呢？你看在这个往年的考研真题当中，他出过一道题的话是这儿。对吧，二零一六年的数二对吧，这十分题。然后还有一次的话，考的这个。时间比较近一点。啊，在这。

呃，这都是大题，我见过。我上次还跟班级同学说过这个问题。原模原样的题，把这题改成选择题，两分钟，你往什么时候做？你能做得完啊？就是你要这样进行去呃模考的话，我觉得这个意义就不大了，这叫啥模考呢？你还不如去考数三。因为数三的话，这样一道题也有十分钟来做呀。

对吧，也有十分钟来时间来做。两分钟时间来做，那你不如考数三，你考什么三九六啊，你还有逻辑和写作，那折腾自己干嘛呢？所以说这个该模考的东西啊，你要把自己的东西啊做到位，对吧？就是我们常规性的问题啊，其实我们考的这些啊。呃，难度系数。你相对于数一数二数三同学的这个卷子还是比较啊，

比较简简单很多。我可以大致给你看看，因为我这个。这个昨天这这是因为昨天下映啊。我给你大致看看。呃，这是数学三的这个终极预测卷，我给你看看这个问题，我基本上出题的这个点呢，跟这个东西它不一样啊。你比如说我稍微给你看看。你看这几个题，所以说这个操作性的方式是不一样的，你比如说像这种题，它挺麻烦的。

你像我们其实就考不到这样。啊，考不到这样，所以这个难度系数不是一样，也不是一个档次的，所以把我们这个该做的东西啊，你把它做到位。所以有一些呃考的一些题啊，就是考的都比较难一点啊。都考到这个确实比较难一些，所以这个三九六我们考的这个题目，其实从某种意义上相对温柔很多很多很多。这这香的温柔很多。所以我们把自己该做的这些东西啊，能做到位，

你不用去想这个别的一些事情，但是我们尽可能把我们需要进行掌握的这些题型。你要处理清楚。你做了这个好多套卷子了，你自己会发现，你看我们经常考的这个极限题对吧？我们经常还会考到这个。导数的这个计算题，所以你把这些题目的话就是这几套卷子，因为我们今天是第几套第三套了。你慢慢做，要慢慢进行去感受哪些部分的东西是重点题，而且你把这几套卷子当中，第一套卷子错的。第二套卷子错的，

第三套卷子错的。肯定有些共性的题。那老是这种题出错。我上次给你讲过，你不要老是这种题。把这种题知识点复习一下，然后再把这种题啊，你消化到位。好，我们稍微休息会吧，一会我们继续把这个相关性问题啊，一会我们再来处理好休息会吧。

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