01.冲刺满分10套卷精讲1-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:16:01

那么，接下来我们就准备开始今天的课程了。首先，我们先测一下声音啊，能听见声音，而且画面没问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们。我们准备开始了。呃，那么这个今天啊呃，应该是从今天的话，我们这次模考开始，我们应该是进入到这个冲刺满分十套卷的这个模考班。

然后这套卷子呃，我找一下这个书。你们应该是都收到这个书了吧啊，我们使用到是这本儿教材呃，然后有些同学跟我提的这个建议啊，当时的话，这个今年我原本是这样想的。我说希望的话，你把这个十套卷子，因为这十套卷子非常的重要呃，可能是这样里面当中啊，前面八套模拟卷。还有后面两套真题卷子，那这里面当中基本上是对我们三九六啊，所有的考研当中的核心题型啊，

应该是全覆盖的。所以我希望大家把这个这个卷子啊，你能订到一起，因为以前的话，我们也这个做过这种活页的这种。呃，这种卷子最后有些同学把这套卷子扔了，那套卷子给丢了啊，这样很不好，希望大家把这个卷子你都合到一起。合到一起的话，每套卷子当中能够帮助你进行去找到的问题啊，你进行去重点解决一下，那我相信把这个十套卷子做完了之后。呃，

应该是对我们之前所有的这个问题啊，做好了最后一个阶段的查漏补缺好了吧？这是这个事情。呃，有同学第一次听课是吧？你这个点开就行了啊，这个横屏那个那我我倒不太清楚。好了，所以说这里面当中啊，这是我想简单强调这个事情哎，把这个卷子啊保留好，因为这个到时候你如果丢了之后你再买一本儿的话，其实也行。但是我觉得这样效率很低，因为的话，

这个每套卷子你做题的这个痕迹啊，留下来了，你上面做错的东西啊，你标注出来了。你一本新的，这样题题是有了，但这里面当中没有你做题的痕迹啊，所以说一定注意把这套卷子保留好。然后这套卷子搭配着我们之前的这个讲义，每次过程当中啊，做好这个最后一个阶段，我们最后一个阶段就是这个事情。返璞归真，查漏补缺啊，就这两件事情，

所以有的时候有些同学可能呃，现在这个状态非常的起伏。呃，至于这十套卷子里面当中有卷子比较难一点的，有卷子有点中等的，但是基本上没有说过于的特别特别简单的。所以你在做的过程当中啊，把这里面当中自己的问题啊，你找到那这是最好的，所以一定注意模考。这个分数吧。哎，这个分数啊。你不要过分的关注，你不关注也不行，

你要是一套卷子里面每次过程当中都错到这个15个以上。那这就有点儿离谱了，那如果是这样的一个情况，我建议你，你要不然的话，把这个冲刺部分的这个课程呢，你自己再梳理一遍。你未必是听课，但是你去把我们那个讲义上的东西，或者是我们那个呃，每次过程当中发的那个上课过程当中的那个笔记。把它过一遍，所有的东西都过了一遍，然后再进行模考，你不要脑子里面空空如也，

你去模考，你效率也不高。所以模考过程当中能够帮助同学们提高的，我觉得最重要的是一个事情考试能力，另外事情找到自己的问题，你不要全部都是问题，那这就非常麻烦了。好了，这是这个，你早上太困了，你如果是五六月份跟我说这件事情，我觉得我们就没关系啊。你晚上状态好，就晚上状态好，你上午状态好，

就上午状态好，对吧？你下午状态好，就下午状态好，但是你注意还有一个多月就考研了。你不要说晚上的时候你非常兴奋，然后一早过程当中考试的时候你非常不适，那拉倒。啊，那就非常崩溃。所以说这个这个阶段呢，你一定要调整过来，对吧？上午的时候状态一定要非常好，有些同学五六五六点有点夸张。

六七点六七点的时候状态就非常好，你想想到时候考试的时候，你早晨的时候你还能比别的同学多进去去看好几个知识点呢。所以说最后一个阶段调整一下这个作息，对吧？一定要调整好作息，我们基本上是从八点半。我们开始考，连着考三个小时，所以说你连三个小时的那个耐力也没有，那这也不行，所以最后一个阶段呢？调整好自己的作息，把作息调整过来，然后这个上午的这个状态也要非常棒。

能理解吧呃，我们这个卷子啊，我们只有这个数学原本这个。呃，确实联系过一个，你们估计很多同学都在听他的课啊，联系过这个之前的话，因为我们在那个新东方在线认识的一些个。他们是教逻辑和写作的啊。几个朋友说这个那一起合，但是卷子没法儿讲，所以说你自己的话就是呃你进行去。你做你们自己的那个，如果想搭配着逻辑和写作，那你就自己搭配你自己的就行好了，

这是讲我们就讲到这儿，那么首先第一件事儿，我们先对这个第一套卷子，我们做一个分析。因为这个每次卷子我们都会跟同学们去讲这个事情，我觉得一个方面考试是一个问题，有些同学就喜欢刷卷子。刷卷子结束了之后，没有任何的提高。那这样是非常不行的，所以这里面当中我想强调一个重点的事情，你要注意做好这个。查漏补缺工作，这是最重要的，所以在这里面当中啊，

我强调几个点，那第一个事情呃，这套卷子呃，上午考过。很多同学可能考的好一点，很多人可能在这里面当中啊，做的差一点，这有些同学可能是做的第一套卷子。我觉得问题点也不大，不是说你现在错十个，你最终就错十个，如果你错了十个。你就能找到十个问题，然后这十个问题啊，有可能是大问题，

也有可能是小问题，那大问题啊。我觉得在这里面当中，你就需要不光是要把这个题给灭掉，然后你要在这个类型问题上，你要做精准打击。对吧，要做刻意练习，所以这里面我简单提示几个事情啊，跟同学们多讲讲。那么，这个我们总共是八套模拟卷，两套真题卷。我前两天看了一个同学啊。我见到这种同学，

我就无语，对吧？我们这里面当中有两套真题卷。这个里面当中是八+2，我之前我记得跟同学们去讲，原来是七+3，但是我觉得二一年的话，那个那个真题卷呢，实在是。忒简单了，所以我们就把那年的那个真题卷呢给去掉了，然后在这里面当中啊，我们多增加了一套这个模拟卷。也就说在这里面当中有八套卷，然后有人说我们在里面当中水的两套卷子。

我都无语了，对吧？你自己下去进去去看看里面当中的话，这两套真题卷我写这个答案解析，不要时间吗？你自己可以在后面翻一下。呃，这套卷子你今天上午考的第一套卷子里面当中的里面呃，这个答案解析我基本上我尽可能在这里面当中给你写。里面当中需要做标注的东西，我全部在这里面当中给你标注，所以这种人简直就无语，你就没办法做什么事情？你稍微这个东西一做，他又会挑这个事儿，

一会儿挑那个事情啊。好了，这个点呢，我们就讲到这。呃，所以说这八套模拟卷加上这两套真题卷，总共是十套卷子，这十套卷子里面当中啊，我希望同学们注意。这应该是全考点。所以只要出现问题，你要找准这个问题，把这个东西要做精准的打击，所以这里面当中我想强调几个事情。第一个事情，

你要尊重你的错题。我写这句话，我想了好多词儿，我们说消灭错题对吧？搞定错题，但是我想讲一个事情，我们要尊重这个错题。还有一个事情，你要尊重这个模考。不要在那瞎模考，有些同学可能这个昨天晚上就做了，你只要是准时准点做都没有问题。对吧，你这个白天做晚上做都是可以的，无所谓，

但是一定要准时准点的做，你不要上午做五道，一会儿做五道，一会儿做五道，根本没有效果。所以这里面当中一定要注意这个问题，你要尊重这个错题，就是这个题，如果错了，你想清楚，比如说有些同学丢了一个负号。尤其是今天的话，这个很多同学跟我进行发那个私信，说那个什么说那个二元隐函数，你求导的时候还在那里面当中，

错了一个符号。丢那个符号那，所以这个点呢，我觉得其实呃，这种问题你得标注出来，你不要一次错两次错三次都错，这种是小问题。你下次记住了哎，这里面当中有个负号，下次不要再错了，你就提高了。对吧，这是第一件事情，然后的话，比如说有些同学那个复合函数，

那个偏导数计算。那个点的话，里面当中把那个初始条件找到，他根本找不到你，所以把这个知识点想清楚，那就过关过关了。还有一些问题，同学们注意有些点呢，是大问题。小问题的话，你在这里面当中注意一下就行了，就是这个点出错了，你一定注意。呃，你可以这样。

但是我们这个书啊，后面只有两三页空白，还有前面的空白。我给你教一个方法，你比如说举个例子，那个二元隐函数丢了一个符号，你就在这上面写一下，写个一。二元隐函数的那个公式法，前面有个符号，你把它给我标到这儿对吧？还有根号s方有个绝对值，把它给我标到这儿。这小知识点老师出错的小问题，你要多看一看，

你多看的话，这种点你自然就提高了，你把它给我标到这儿。好了，这是第一个事情，然后第二个事情有些大问题，比如说有些同学的旋转体体积公式还是记不住。旋转体体积的问题还是做不好，你这种大问题你要注意，这个题错了，你要找准这个问题，你干嘛呢？我们之前你至少上过冲刺吧，你没有上过冲刺，你也上过强化吧，

你没有上过强化，你也上过基础吧，如果都没有上过，你为什么在这儿？我觉得你不应该在这儿，你至少上过，对吧？这三者之其一，你肯定做过，然后怎么办呢？你就把这里面当中这个题对应的这个板块内容。你就找到你找到这个冲刺，你或者找到这个强化对吧？你就找到这个问题，比如说我们找到这个。

呃，强化部分的旋转梯体积，我们上课过程当中是怎么总结的？把这块知识点自己从头到尾的，不是说把课再听一遍？是你把那个知识点自己再过一遍，哎，我就发现这个知识点我还是想不通，你想不通怎么办？你就进行找到那个视频看对应部分内容。想清楚了吧，所以说大家一定注意你找到这个问题，然后再怎么办，你再刻意练习几道。狂刷个一般是三到五道题就行。

对吧，狂刷个三到五道题，那这样的话，你的提高会非常非常快。你一定要这样做，你你保准的话，这个几套卷子做下去，你第一次可能错十个，后面错八个。对吧呃，但是我们这几套卷子啊，有些部分的话是呃互补的，对吧？互补的你可能这套卷子错十个，然后那套卷子错了八个，

然后错了七个。错了五个，错了六个，你错了几个无所谓，对吧？最后而言的话，我们就把这些东西啊，漏洞全部补上。我相信最后一场考试一定能考到非常好的。所以目前而言，有些同学这个一考垮。啊，一天的话没有精神，那你还不如不考，你不考的话，

你至少这一天你能复习好多内容。所以一定注意，如果这个东西出错了，找到这个问题，把这个问题给解决掉，然后进行查漏补缺，你就提高了。好，这个事情我们就讲到这儿。还有一个事情就是这个呃，做题时间的问题，这也是一个非常重要的要素啊，做题时间我们基本上数学上。一个小时30分钟。你能做到80到90分钟，

这是非常好的。就这个时间是非常合理的。当然，有些同学逻辑啊，学的非常好。你写作啊，也能写的非常快，那这样的话，你的数学时间你可以长一点，这是没有关系的，但是有些同学呃，你就是一个基本的一个水平。那这样的话，你得控制这个时间。对吧，

控制一下这个时间，你做到这个100分钟啊，你只要别的逻辑和写作你能做得完，那也可以。对吧，所以说这个做题的这个呃，尤其是考试啊，我觉得要会考试你比如说一个题，但是你注意千万不要这样，有些人说弹跳法。弹跳法弹的也太快了，这个题都没有思考，哎呀，我不会跳过去，我都没有思考弹跳过去。

你这样也不行，然后一个题的话，你发现做题的这个时间太长了，也不太行。好了，这是这个问题，你不要听有人说。你觉得是我比他专业，还是他比我专业呢？所以我觉得这个75分钟你咋样？75分钟做完呢？你去算一下吧。有些卷子75分钟能做完，当然一个小时内做完也行，我不就是建一个时间嘛。

对吧，我给你个建议时间，你说那我70分钟做完，那70分钟做完很牛逼啊，对吧？那如果是70分钟，70分钟，35个题，每个题都得两分钟，你想想这个事情啊。好了，这是这个点吧，我们就说到这儿，所以下去把这个相关的这样的一个问题点呢，把它做清楚。

可以了吧？好了，这是这个点。呃，这是我们讲的这个第一个问题，所以下去啊，把这个相关的这个点呢，你好好做到位，我觉得最后一个事情，这个刻意练习啊。把这个相关性的问题做清楚，这是非常重要的，然后另外一个点，如果你这套卷子一点问题都没有，这个课程呢？

你当次的课程呢？也可以不用听。听清楚我的意思吗？啊，你也可以不用听，但是你发现你这个卷子做的磕磕绊绊的，那这套卷子你一定得听。如果你个别的题，比如说就那两三个题，我想听你就听那两三个题就行，那这样的话，你也可以节省很多时间。我们在这个三九六啊，我们后续还有这八次模考。对吧，

八次八次的模考，然后后面还有四个小时的点睛课程，这就是我们今年的最最后的这个阶段呢。我们这个一个月啊，还有这么长时间的课程，比如说16个小时，还有四个小时的点睛课程，点睛课程，我会把这一年所学习的所有问题啊，再给你串一遍。这一次啊，是快速的一个串讲，把这个重要的考点，重要的知识点，你还能串一遍，

那这个课程呢？很重要，那当然的话，我们每个同学你最后。呃，最后四个小时，你还是要听一下的，对吧？我们都跟了一年的课程了，然后这里面当中的这个呃八次课程。对吧，这个八次八次课程的话，我们重点是讲这个卷子。好了，那么接下来我们就正式开始吧，

不多讲了，我们来看看这套卷子，我们从第一个题啊，一个一个来。呃，我相信这套卷子为什么放到第一套卷子呢？我有我的理由。你发现这套卷子啊，很多东西都非常的熟悉。很多东西你在真题卷子里面做过，你在平时的训练里面做过，你基本上都非常非常的熟悉，我就希望同学们看到一个事情。你发现这些常规的题型，能不能把这些该拿的分拿到位，

对吧？你就这个东西，你该拿到的分一定要拿到位。而且里面当中啊好几个题应该是类似于真题的进行考点，你看这个题是不是像真题那考题？对吧，把这个东西稍微的改变一点。呃，然后这里面当中这个题也像那个考研真题。这第一套卷子，然后这个下去，我们再来看。这是第六个题。然后我们再看，还有。

你像这个题啊，非常熟悉，所以这里面当中啊一些点把它做到位，我们从头开始讲吧，我们一个个来。我们先看第一个题啊，第一个题啊，有的人非常遗憾啊。第一题，第一题遗憾在哪儿呢？就这里面当中，眼睛一瞅一减cos二分之x方废掉了。那就废完了。你注意它不是的。你会发现这个人是谁啊？

当s趋向零的时候，然后这个cosine零是一一减二是负一，这个东西是个非零因子啊。对吧，它是个非零因子，你要把这个人等价了，你这题废完了，你肯定会选择e上的。所以接下来我们来看看这个题来解。我们先来看看这个分子，我们只要见到变现函数，立即把它什么东西啊，如果是一个非标准型，立即把它变成标准型，这没有任何问题吧？

那我们走0 s-t，立即变成u。把这东西变成u变成u了之后，我们来看看，如果这个t是零呢，那这个u就是ST是s啊u就是零。然后这是3u，你注意我是把t换成了US，是个常数，所以说在这里面当中的这个dt啊，它就等于多少dx-us是个常数等于负的du。所以说这个东西啊，等于负的理由负号用来变换上下限，然后这是3u理由。好，

这是第一个事情，然后接下来我们就来看。所以说这个原式这个结果你就出来了，当x趋向零的时候，你发现非零因子，立即把它淡化了。因为是非零因子乘除法中的非零项，然后这里面当中啊，等价无穷x方上面这个部分是零到x，然后这是sinu do。那这个东西是个标准型，那标准型的话，我们就能做了，当s趋向零的时候，然后这是负2s洛必达嘛，

然后这是sins。等价无穷s负二分之一。好了，这个题啊，正确答案选c。就这个题呃，最根本的一个问题啊，就是很多同学在这个绿色部分呢，也稍微有点儿犯问题了。呃，我写这个答案的时候啊，里面当中我已经写了，估计很多人看到答案了之后啊，恍然大悟啊，这里面当中这个东西是一个非零因子。

并非无穷小量，切忌错用了等价无穷小公式的替换好了，注意一下这个问题。好，这是我们讲的第一个题，那么接下来我们再来看看第二题，第二题的核心考点是什么啊？叫做无穷小比阶的问题。那这个无穷小比积啊，其实就是套等价无穷小替换公式呗，那么接下来我们来看看来请。你先看，当I次趋向临阵的时候。那趋向零正的时候，我们先看第一个人，

那第一个人是fs。然后这个东西写成了一加上多少负的根号s，然后它的二分之一次方减一。是不这个问题。啊，这个结果那么所以说这个东西套的是什么呢？呃，如果你这块内容只想听个别题啊，你可以看回放。能想清楚吧啊，这无所谓。好了，这是这个点，那么接下来我们就继续。当我讲的时候，

我只能全部讲，因为我得呃保证的话，这个完整性好吧？那么，接下来我们看看这个人，那这人套的是谁呢？他就套了这个公式，当I趋向零的时候，对吧？这个框趋向零。一加框的阿尔法，次方等价无穷。阿尔法框。所以说这个结果就立即等价无穷，阿尔法倍的这个人，

所以说是负的二分之一倍它，但是人家说跟这个人互为同阶无穷小。那告诉我一件事情，它是不是同界无穷小，它当然是因为跟这个人是同界嘛，你这个接触重点是看它这个次方数，不是这个系数。好了，那么接下来我们再看第二个人gs，那gs这个人的话就是三的根号s- 1，那这人等价多少？那这个结果的话，其实就是a的x- 1立即等价无效s倍的lna。所以说这个结果就等价无穷，根号x倍的ln 3。

啊乘上罗隐三，那这个人是不是呢？哎，这个人也是同界无穷小，你看这个人就行，不要看系数，然后我们再来看看第三个人。第三个人是这个ws。那ws比较简单，那这是一减去cos根号s。那这人是谁呢？那这个结果的话，刚好就是一减cos框，立即等价无穷，二分之一框的平方。

那所以说这个结果等价无穷，二分之一这个平方是s，那这你就不是啊。然后再来看看最后一个人诶，就这几个了诶hs。还有一个在这儿。那hs的话，这个结果是多少hs是ling？一减s比上一减根号s。那这个结果的话，怎么做呢？我们有两种方法，我们先看第一种方法，那第一种方法的话就是你把这个人就写成什么？你写成一减s，

你再减去l多少一减根号s？是不是这个问题？那大家想想一个事儿，当s进行趋向零的时候，这个ln1-s，它是不是等价无穷负s啊？然后的话，这是ln多少一减根号s，这是不是等价无穷负的根号s？好，这个情况哎，那你想想一个事情，你这个人是几阶无穷小，你这是一阶无穷小，你这是二分之一阶无穷小。

对吧，所以说和取DJ那和取DJ就等价多少等价无穷负的ln 1减根号s。那就等价多少根号s？那这个题能想清楚吧好，这是第一种方法，那这个方法它是没有任何问题的。那么，这里面当中还有第二种方法，我们再来看看方法二。那第二个方法你还可以这样做，这是ln多少呢？一减s，然后这是一减根号s。大家想想，我们可以这样摆平方差非常low了，

对吧？那个方法不是特别好，那这里面我们一看诶，这个东西趋向几啊？这东西趋向于。那这个趋向仪l一个函数趋向仪立即等价无穷，小于这个函数减一经常考吧。lone一个函数趋向于一，立即等价无效。这个函数减一，我们21g里面当中都有啊，你自己去记就行。然后这个结果的话就变成了一减根号s，上面减下面，上面减下面就是根号s-s。

然后我们再来抽，你就会发现当x趋向零的时候，这块东西是几啊一非磷因子是不是就可以淡化了？就成这样，然后这是二分之一节，这是一节河曲d阶，是不是它？所以你看二分之一解一解，何取递减好这个题啊，你可以这样做。那所以说这个人也是那最后的正确答案有几个啊？正确答案有三个答案选d。好了，这是我们讲的这个第二个题，过去了可以吗？

好下去好懒哟。再来看第三个题。呃，第三个题啊，稍微的话跟那个原来我们这个最近做的这几道真题，里面就二二年这道真题啊啊，非常的相近。好了，那么接下来我们就继续吧，我们来看看这个第三题，他说什么，他说这个人在这个一处是连续的。那连续什么意思？连续就是极限等于函数值，所以说趋向于一这个极限，

它就会等于什么一处的函数值是二？那所以说这个结果就等于多少s趋向一，然后这是I四次方，加上as+b比上s- 1。那同学们想这个考题是什么呀？那这一里面当中的这个考题啊，叫做已知极限，求解其中的待定参数。已知极限，求解其中的待定参数。那你告诉我第一步干嘛？第一步当然是来定型啊。我就定型，我一定型的话，你发现下面是零，

我一定这是一+a+b。所以我们讲过，如果是未定式就是未定式，如果不是未定式，它一定是未定式，所以一+a+b必须是零。没有任何问题，那这个时候它就是个零比零型未定式零比零型，我们就可以洛必达。想清楚吧，来落一下，在这四倍的I三次方加上a这个结果等于二。那这个结果做完了之后，我们就来看你把这个一带去的话，就是四+a它这个结果就等于二。

那所以说a等于几a=- 2，然后往这儿带呢，往这儿带的话，你这个结果的话就是负一那b这个结果就刚好是一。所以这个题啊，就立即出来了，你看叫做已知这个极限结果，求解其中的带零参数的题。好了，这是我们讲的这个第三题，来继续吧，我们再看第四题。好来看这个题。那这个题啊，首先我们看结果。

它这个题考的是这个人呢，在这个点处的一个切线方程，那首先我们先把这个切线方程呢，它的一个内容写出来。它其实就是f1，然后再加上f撇一，你再乘上个s- 1。对吧，就这个结果。所以这里面当中，我的核心重点是什么？我的重点要进行去求出，这个人和这个人。你要求f1，你还要求f撇儿一。

所以说这个题就是利用这个极限进去去求f1和f撇一。那怎么去求解呢？我们来盯住这个极限。当s趋向一的时候，你就会发现这是s- 1，这是fs吧，然后这是lns诶，同学们，你想想。当s趋向一的时候lns如果能等价。如果能等价，是不是就等价无穷小于这个函数减一呀？我刚才讲了好几遍了。l一个函数去向一立即等价无穷，这个函数减一。

那如果能等价，就是s- 1，那这个东西一除不就是存在吗？那所以说我眼神稍微的漂一眼。这东西是存在，有的人我瞅不出来，瞅不出来给我练，对吧？这这没有什么可找理由的，不要这个阶段老找自己理由。所以这里面当中，我们来看看那这个东西，眼睛一瞅的话，这人存在s趋向于那fs比上s- 1，你就加上个limits趋向于。

然后这是lnss- 1等于。好了，加减法当中见到存在就拆开那，所以说这个结果的话就是is趋向于，然后这是ifs比上s- 1。然后再加上多少，你看这个结果，这个结果的话就是除法了s取向一立即等价无穷小，这个函数减一等于它。那所以说这个结果最后一个事儿就出来了，is趋向于ifs比上is- 1啊，它就等于几等于负一。好了，这是这个结果，你把这一步做出来了，

本题就结束了。然后他说在一处是连续，你告诉我，如果在这里面。我写到这儿，那么接下来我们就继续，你如果知道这个极限结果是一，那这题啊。直接落的同学，虽然你做对了，但这个水平点有点儿差，对吧？啊，有点儿差。这题能不能洛必达人家只告诉我连续啊？

落笔达要落到那个啊？就是落到连续那节一落不就出现导函数吗？嗯，虽然落落了这个题也做对了啊。好了，我们来看看这个题，这就叫什么？当s趋向一，然后这是fs比上s- 1=-1。好，我们看这个题，那这个题啊，叫做比值极限存在啊，切连续吧来首先看第一个事儿定型。下面极限是零则什么东西啊？

上面这个极限也是零，而连续极限等于函数值。所以f1是零，然后第二件事情我们再来看你就可以凑导数定义了，你既然f1是零，你就在这儿减个零。比上它，那这是不是f撇儿零啊？这f撇儿1f撇儿一是几啊？f撇儿一就是负一。所以这个结果就出来了。你想清楚了吧？好，这个问题你要知道怎么做，那么这个基本问题，

当然的话，这个里面当中啊，这是方法一。你还可以走方法二。方法二，在这里面当中啊，你可以取特例。你想两个一比的话，等于负一你就取多少，你就取fs=1-s呗，那所以说这里面当中的f1就是几f1就是零啊。l撇一是几负一啊，你就直接做。所以这个结果也是可以的。那或者而言，

有些同学特别狠，狠到什么程度呢？他就。非常非常狠，我直接在这里面当中去取，你这个人等于负的loins。我直接这样一取的话，你发现你负的lns加上它，那直接是零了，那这题太棒了。所以说这个题的f1就是几f1就是一啊，这是0f撇一是几f撇一是负一。好了，这是这个结果。把选项往上带，

那非选项怎么能往上带呢？你好好捋捋。这是切线，又不是它，你这一带的话，这肯定有问题啊。你把这个往上带，那肯定不行。所以啊，这个题啊，你怎么样来就行？能想清楚吧啊，特例法我们讲过吗？选择题做题的一个高手方法，尤其是抽象函数。

对吧，抽象树列。抽象矩阵还有这个抽象分布，我都可以举例子举出特例啊，你就把它初写清楚了。好了，这是这个事儿，所以说最后的这个结果马上一起。一减的话，这个y就等于多少y就等于零，然后减去一倍的多少s减一，所以说这个y就等于多少一减s？好，这个题目好，这个题啊，

我们就讲到这儿，因为你发现你看我举出了一个例子之后是一减s，你看你不是你不是。你不是。你也不是把这些不是都排除了，我当然是对的呀。好了，这个结果我们就讲到这。呃，这是我们讲的这个第四题。过去了，可以吗啊？你有很多种方法做，但是我觉得啊，还是要训练水平，

不是说我把这个题做完了。我做对了，你虽然是做错了，做对了，我就过去了，我觉得应该稍微的话，把这个知识点你要抠通。对吧，比如说这个题到底能落到哪一阶呢？把这个知识点复习一下，然后这个东西为什么可以拆呢？把这个东西啊复习一下。然后这里面当特例法，你自己去想想，总结一下啊。

好了，这个题啊，我们就讲到这儿，然后我们再看第五题啊，第五题是个简单题。对吧，这个题目。那么，首先我们先看第一个问题。啊，这个题目那这个题的话，我们怎么去做呢？好，我们先看看。那这个题的话，

你发现这这这个式子什么意思？那么，首先我们先要把这个fs求出来。你怎么去求这个fs？你fs的话，你看这是x分之一呀？对吧，你这是s分之一啊，那s分之一我也要s分之一，我就把这个s除下去，你这不是s分之一加上一嘛？所以说你把s分之一啊，你换成t你t的话就是t加一分之一，所以说这个fs就是多少fs就是s加一分之一。好，

这个结果，然后接下来你看这人导函数等于多少？这个人导函数刚好等于负的x+1^2分之一。好，这个结果那然后关键点是这个题啊，有些人没有看懂这个题什么意思？然后再来看看这个机导。这个导函数等于x分之一。这个式子什么意思呢？这个式子的意思啊，就是你要求的是f1撇儿g撇儿s。就是把f撇儿s作为一个整体，你进行去替换。对吧，你又作为一个整体去替换这里面。

替换这里面当中的s，你替换一下就是is分之一，加上一这个人的平方。所以说这个结果立即出来。那这个人的话就变成多少你上下同时乘上x方x方的话，这是x方，然后这是一+x^2。好，这个事情我们就讲到这可以了吧？这个题。呃，这个题啊，最重要问题就是你要辨认清楚这个这个东西啥意思？对吧，这什么意思？

好了，这是这个点吧，我们就讲到这。嗯，来晚了吧？好了，这是这个结果。想清楚了，你对这个人求导他不对。你如果是什么东西呢？你是f撇儿这个人，求导它求导，应该是f撇儿g撇儿s里面当中再求导。中间变量还要再求导，这不行啊，

就是这个题嗯，有点儿骗子吧，就是就是你要想清楚这个东西长什么样子？对吧，什么意思？你先把这个符合函数找到，你符合函数找到之后，然后这个人的意思就是g撇s。替换了f撇s里面的s。不要想差了啊。好了，这是这个问题吧，我们就讲到这啊，第五题。注意一下这事儿，

你用这个整体替换了导函数里面的s。好了，这个题目我们就讲到这。可以了吧，这这个题。呃，另外事情你们你们自己注意啊，因为这个课啊，有些同学这个直拼的那个课的话应该是。零点一元吧。发现这个今年不知道咋回事儿，这个有些这都咋回它拼了之后零点一元。呃，刷出去一卖卖卖个这个什么卖个这个五六块钱十块钱，你这是你不要不要吃大亏了啊。

基本上没有怎么收钱？啊，这个卷子，然后的话，有些人可能是买的书。你买因为这个书，这是正式出版物，你去网上买买这个书就是这个价。啊，因为我们拿这个书就是这个价。就是我在高教社那边儿把这个书买过来，就是这个价，所以说你买的那个花那个24块九吧，那就是那个书的钱。呃，

好了，这是这个吧？我们就说到这儿。可以了吗？来继续吧，我们再来看看这个第六题。你那个书的钱，所以说这个课里面就没有啊。所以你自己下去把那个。自己去看看那个事儿，我我前两天有同学给我发这个事情啊。好了，那么接下来我们继续吧，我们再来看看这个下一个问题。啊，

再看这个题。那这个题啊，他说这个人由这个方程去定。一个函数由方程确定，一元一函数。对吧，一元隐函数。然后的话，让我们继续去求解这样的一个啊，求这个极限那求这个极限的话，我们就继续，我们来看看下一个问题。好了，这是这个。啊，

九块九那个是数一数二数三的。因为那个它那个里面就就基本因为它只有四套卷子呃，非常薄啊，那个成本价就那样。好了，那么接下来我们就继续吧，我们来看看这个。来再来看第六。那然后的话说这个函数由这个方程去定，一元一函数。然后接下来让我们去求解这个极限。对吧，你求这个人那怎么做呢？那首先这个极限呢？你要知道在考什么？

那考这个极限的话，你想想你在这里面当中给这个。隐函数求出来是导函数，给了导数求极限，那肯定凑导数定义啊，你记住，如果括号里面不是一个x。就这些人凑推广的。但这个人凑谁的推广第一啊？你可以稍微的猜一下，你都知道那这个人你稍微进行转，你做了这么久的题了，你觉得这是谁的增量，这不是零的增量吗？没问题吧？

零加上它零加上它，但是你要注意你后面是不是要减f0？你还要减这个人。所以你要减这个人的话，你要看看零处的函数值是不是零，所以我现在把这个s=0带进去。is=0代进去了之后，你发现这个前面是零，你后面是多少呢？lny+1这个人等于几等于零？所以说这个y就是零诶，刚刚好哦，原来如此，你这个f0就是零。那你是零的话，

我们加上这个人，我就要除以这个人。你除以这个人，就要乘以这个人。然后你前面刚好还有个s，那这件事情刚刚好。那做成这样了之后，我们来看看下面一个问题，你看这个极限，这个极限等于几？这个极限等于四分之一。对吧，四分之一当s进行去趋向于正无穷的时候。那四分之一我们来看看这个这个人。把这个东西操作进去。

好看看这个。那这个结果它是不是零处导数的？那你就会发现，你看你这个东西当x趋向无穷大，这个人不就趋向于零吗？所以说这东西其实就是零处的导数。所以我们只用进行做零处导数就行，而且你发现你去向正无穷，这个人应该是零正的，应该这个东西啊，是诱导数。严谨一点诱导数。那所以说这个题我们就要进行求导，那求导呢？隐函数求导呗，

给这个方程两边同时对s求导，你求一下吧。你求一下的话，就是cos xy，然后中间变量的话，就是你导我不导，我不导你来导，跟得上吗？然后这个部分的话就是y减s加一分之一，然后中间变量求导的话就是y导减个一真等于一。好了，这是这个，然后接下来我们就把它带进去，当什么情况当s等于零五派a=0。喜欢人家这个越学越倒退，

对吧啊？这肯定连续你导数都算出来了，那肯定连续啊。你想想隐函数，你一直导一直导一直导都行。都没有任何问题，你怎么能想到这些事情呢？好了，这是这个点来，我们继续。所以接下来我们把它进行去送进去，你送进去了cos 0是一，这是零，这是零。然后这个是y撇儿减个一，

你下面是一对吧？然后这个结果刚好是几刚好是它，所以y撇儿零等于几啊等于二。导函数等于二，诱导数肯定也是二，所以说这个结果就等于二分之一。好，这个题啊，我们就讲到这。对吧，你看看这个题，这是我讲的这个第一个方法。那么这个题你还可以速算。那关键点是很多同学能不能看得出来？对吧，

你一定要看得出来。把s放下去，然后上下求导。可以啊，可以。你放下去了之后，这个人是零比零，你可以罗比达。但是我觉得你学到今天的话，你这个这个意识应该有吧？不要乱想。不要呃，这我我还是这一句话。就是你做这套卷子，你最终的问题是把这个知识点学会了。

不要在那固执己见，有的时候你发现剑走偏锋了啊。好了，我们来看看这个题。所以说给了隐函数，肯定求出导数，给了导数求极限，那肯定凑导数定义。对吧，凑导数定义，有的人可能做的非常快，眼睛一瞅就是零处导数。对吧，零处的增量嘛。你只要这个括号里面不是一个s就进行去凑推广定义就行。

你养成这个情况，你就是s0加上个框减去fs 0闭上框，在这个极限下，这个框要趋向零。零正右导数，零负左导数，既是零正，也是零负，那就是导数。你这就非常棒了。好了，这是我想说的第一个事情。第二件事情你得进行去，如果你能看出来导数，你还可以这样做。

因为你发现刚才我往这里面当中一算呢，它在零处，结果等于零。我刚才这一算呢，它在这导函数等于几导函数等于二。没问题吧，零处是零导函数等于二。你还可以在这里面当中，既然是个抽象的，你还可以进行去取特例，你取多少不要给我取非常繁杂的函数。不要举举越简单，做题越简单，你为什么要做？为什么举例子？

你想把这题做简单，然后有些人举的那个例子，你这个。这个东西你都算不出来，你在那恶心自己干嘛？你就举多少2s。那所以说这个极限就变成多少当s趋向正无穷s，然后这是二倍的它，那这里是二，所以说抓个大头，结果是几二分之一。出来了哎，我明白了。我举这个例子，符合这两个条件，

结果算出来是二分之一，你是四分之三不对，你看你不对，你不对，你不对。它是这样的一个逻辑，我排除了四个人，那a是对的。对吧，这个方向你就要想清楚。好，这个题啊，我们就讲到这，然后再来看看下一个题。这粘错了是吧？

好了，我们继续啊，等会儿我找一下第七题。好，我们继续，我们再来看看第七题。第七题啊，有同学可能丢分了。这个题呃，控制了一下，没有出的那么难。但是这里面当中的这个第一个事情，有些同学这个n阶导数的这个计算呢，把它给忘了。对吧n阶导数的计算把它给忘了。

那么，接下来我们来看看这个。那这个n阶导数的计算呢？高阶导。那考了什么东西呢？考了这个，这不叫牛来公式，人家叫莱布尼茨公式。人家叫莱布尼茨，公式没有牛顿啊，那这里面当中我们来看看这个n极导数。那这个n阶导数的话，其实就是x倍的es进行去求n阶导。好这个人，然后这个结果是多少CN 0？

然后x求邻阶导，然后这个人求n阶导还是它CN 1，你这人求一阶导变成一，我这人求多少？n- 1知道还是它，然后后面就没了，你再求导，这就是零了，所以说这个结果就是多少是s倍的es，然后是。n倍的多少es？好了，这是这个结果，然后接下来干嘛？然后我们去求极值求极值的问题，

首先第一件事儿，你要对这个人求导，你可以把这个函数另一下。令这个函数是多少？令这个函数是s+n倍的，这个es，然后接下来我们就要进行求个导，一求导的话就是。前倒后不倒，然后是前面不倒，后面来倒。所以说这个结果就变成了x+n+1，然后这个es。好了，这个结果，

然后要找到注点，还有这个book导点，那这里面当中没有book导点，你只有注点，你注点的话要s等于多少？负n减个一。好了，这是这个结果，然后怎么办？你就直接判断正负性就行，因为你发现你这个人永远是正的呀。那它的这个正负性依赖于它呀，而你会发现这个人的图像是什么？这个人的图像，他这个部分的焦点刚好是多少？

他是往上跑的，他这个焦点刚好是负n- 1。那一说左边是负的，右边是正的，左边负右边正先减后增，先减后增，这个人是急什么职？那真是个极小值。啊极小值，所以说这个东西的极小值是多少负n- 1？那负n- 1往里面代一代的话，这个结果刚好负一就是负的一得多少负n- 1？好了，这个极小值。负的负n- 1，

所以正确答案选几啊？这个题。呃，这个题的正确答案选b。好了，这是我们讲的这个题。来继续吧，我们再来看看第八题。好了，这是这个呃，基本这套卷子你自己去看看，应该从头到尾基本上没有没有多少审，这个是审了很。好几遍的。所以你们自己进去去对答案的时候，

你就尽可能对就行了。好了，那么接下来我们就继续吧，我们再来看看这个第八题。那第八题啊，那这里面当中它说这个事情。他说这个人的零点的个数。这个题其实我们原来做那个四套卷里面是不是出过一个题啊？这题其实是个骗子题啊。所以这个第一套卷子呃，控制了一下，你慢慢做，不要着急。这是个骗子题。你当然在这里面当中，

可以直接做，我们就直接把这个函数来。来对这个函数求导。对这个函数进行求导了之后，你怎么办呢？你就前导后不导前不导，后来导。是不是啊？你就直接做。那这里面我把这个直接做的这个操作，我大致的给你看看。啊，因为求这个零点的这个问题啊，它比较简单零点的问题，就是先判断单调性。

然后再来进行判断端点第一步干嘛呢？第一步进行去看定域，第二步求导找到驻点和不可导点。然后划分区间段，单调区间就出来了。单调区间出来之后，然后怎么办？然后最后一个事情。最后，事情再来判断端点值啊，这个情况就出来了。所以这里面我们来算了，我来求吧。好，我们先来看看方法一。

那这个方法一啊，首先你就可以直接做。对吧，这是fs。那这个定义域是r呗，那前导的话是es啊，前导后面不导这as+a+e。然后再加上前面不导，后面来导，这是2 s+a。然后这个时候这个结果就变成多少e的s，然后这是is方加上as你，再加上2s，然后再加上多少，再加上2a加上。

加上个一好了，这是我们的导函数。那这个导函数算完了之后，我们再来看。那这里面当中有没有注点和不可导点呢？你先看看，不可导点肯定没有，所以这里面当中我们就要重点看看什么东西呢，你要看这个人的。注点而注点的话，你的核心重点是不是要写这个部分？哎，你的重点要解这个部分。而你解这个部分，我们来看看德尔塔它到底有没有根？

这个德尔塔的话，它是等于a+2^2，这b方减去四倍的AC 2 a+1。然后这个结果的话，就刚好是a方，然后这是4a，你减去8a，也就是减去个4a。好，这个部分你加上个四加上个四，然后再减去个四，这个没了。然后这个部分是多少a倍的a- 4？那a倍的a- 4的话，它是经过零经过四，

它是这样经过零经过四，而它这个a的范围就是零到四。所以说这个人呢，他是个小于零的人。诶，小于零的人，那就说明这个东西没有根呐。那没有根的话，我们再看它的开口朝什么，它的开口朝上开口朝上，而这个东西没有根就是这样。那所以说这个部分我立即就可以得出什么，则这个导函数永远都是什么零大于零。永远都是大于零，我就知道这个函数永远单调递增。

那说明这个人的这个单调性就出来了，永远单调递增，大家想想。永远单调递增，有可能是这样，有可能是这样。对吧，也有可能是这样，它最多只有一个零点，所以这里面赶紧把这些东西啊给排除了。对吧，最多只有一个。那这个时候我们要进行，还要看什么？你还要进行去看看这个端点，

那端点的话，我们就要进行求极限。那求极限的话，我们首先看limits趋向于多少正无穷。那正无穷衍生漂啊，这个我们看的好多了，你这是正无穷，这是正无穷，所以说正无穷乘正无穷，就是正无穷。然后再看第二层，当s趋向负无穷。趋向于负无穷的话，你想想趋向负无穷，你这个求极限，

你可以这样摆。这跟那个去年的考研真题啊，很像你把它写下来，然后上面部分呢是x方，加上ax+a+1。那负无穷，加个负号就是正无穷指数函数比上面远远大，那这就是零。那所以这个结果马上出来了。我们来看看这个事。所以我们来看看这个函数的图形。零这啥意思？那它在什么东西呢？这个负无穷，是接近于零正无穷，

是正无穷，他这样那这样的话，有没有零点嗯？没有零点你就选a了。好了，这是我们讲的这个方法，能听懂吗？你就判断呗。反正要求导，然后解出这个人的重点和不可导力。你结果发现没有，没有的话，这个人就严格到单调，结果他的单调递增，我再判断端点。

好了，这是我们讲的这个第一个方法，其实这个题啊，可以做的更简单一点。因为你想想一个事儿，你求解这个零点。这个人的零点。其实就是这个东西等于零的点。对吧，就等于零的点。那你也等于零的点跟这个es es永远是正的，其实求的就是这个人的零点。是吧，那这个零点呢？我们就可以怎么办？

令这个gs是多少呢？是s方加上as+a+1。你就求这个部分。那求这个部分的话，之后我们进行求导一求导，这是2s，然后加上a。那2s加上个a，我们来判断一下。对吧，你要进行解。你求个导呗。你求不倒了之后，就是这个人。你求导了之后变成这个人。

我们来操作一下。你求导了之后是这个人，我们接下来怎么办？我就让他等于零。嗯，不要没想到这上次考过的原题啊。然后让它等于零等于零了之后没有不可导点，只有这个注点，所以s等于负的多少二分之一？对吧，负的二分之a那负的二分之a，我们就来看看这个事儿。那负的二分之a这个人的单调性就出来了。所以我们来看看这个部分，这是s，

然后这是负无穷到多少负的二分之一，然后这是负二分之一。然后接下来是负的二分之一到正无穷。好，这个版块那所以说接下来我们来看看这个导函数，然后来判断这个gs，因为你发现这个2 s+1是这样。你上去的。对吧，你上去那上去了之后的话，这边儿是负的，这边儿是正的，这是零，然后先减后增，然后这个是什么极小值？

那这个情况我们就出来了。所以接下来我们就来判断一下来画出一下这个人的大致图像。gs 0这是它。然后这是负的二分之一。啊，就在这儿那么首先看limits趋向于正无穷和负无穷。正负无穷的时候，它都是这样，无论是正无穷还是负无穷，它都是正无穷。所以都是正无穷。然后接下来我们要进行去求一下负的二分之一。那负的二分之一处函数值merged a。四分之一a方，然后再减去一个二分之a方，

然后再加上个a，再加上一。所以说结果就等于负的多少呢？四分之一倍的a方加上a加上一。你要看这个人，你是大于零还是小于零？对吧，我们这个人已经有范围，我的范围是多少零到四，你要看这个人。你看这个人怎么办？你发现看德尔塔，德尔塔这个板块儿是多少？呃b平方减CC，这是大于零。

对吧，这是大于零。所以我就要进行去看一下这个。这个函数值是正的还是负的？函数值是正的，负的的话，你就要进行算一下，那你可以把它配一下，这是负的四分之一，然后这是a方。你减去个四a，然后后面是加上个一，所以这是负的四分之一，然后是a减二的平方，你后面加个四。

对吧，你加个四，你再减个四，你减个四的话，这个人刚好没了。是吧，你这个东西刚好没了。所以说这里面当中啊，你就加个四呃，加个四减个四诶，这是二。对吧，是这个结果，所以现在我们就来看看。你就会发现这个人的对称轴刚好是二。

然后你是零到四。零到四的话，然后是开口朝下，那在二处是节，那二处刚好是二，然后这个人是林处是节。临处是。零的时候刚好是一。然后四处的话，刚好是几四处，刚好是四四一十六，那这也是一。它就是这样对吧？哎，这个情况。

想清楚了哎，这个问题。所以我的终点而言的话，就想看看这个人是正的还是负的。嗯，提一个。你加个四，你减个四嘛，你减个四的话之后，这是正的嘛，那就是加二没有问题了。好了，这是这个结果，所以说我们一看诶，这个人永远什么零永远大于零。

那永远大于零的话，你发现你减到这儿，你又从这儿增上去，所以说这个结果它是不会有交点的。好，这个题啊，我们就讲到这儿。德尔塔判不出来呀。你德尔塔是大于零吗？你德尔塔大于零的话，这个人永远有根呐。你不就想看看这个人是正的还是负的吗？你的范围是零到四吗？你想知道零到四的范围内是正的还是负的呗？你就这样的一个情况。

抛物线呗。好了，这是这个题。想清楚了。你要知道怎么做，我们做题风格就是我要判断这个人，我要求注点和不可导点，结果我解出了注点，没有不可导点。然后就划分区间段，划分区间段了之后的话，这是减减到这儿，然后增从正无穷减到这儿，然后从这儿哎，增到正无穷。

我们就要进行看看这个点处的值，你就把这个点处的值求一下呗。好，这个题我们就讲到这儿，另外一件事情你要如果觉得这种题都绕。我觉得下去啊，你得多看看这种题。好了，这是我们讲的这样的一个问题，点了。你们问的这个问题没有听懂是吗？你再你再串一串吧，问的问的有些很离谱的问题哦。好了，这是这个问题吧，

我们就讲到这。你直接判断这个人也行。但是其实你这个就有点儿。你可以。我来说一下。这不就是你做完了之后，你看到的事儿吗？来我们再看。那这里面我们来看你，就在这里面当中另出的这个函数是x方，加上as+a+1嘛。是不是这个事儿，你就想看看这个人的图像嘛，这是个二次函数嘛，那二次函数结果我们就直接判断德尔塔。

它就等于b方a方，然后再减去4 ACA+1，所以说这个结果等于a方减去4a，然后再怎么办？减去个四，你把这个人配一下，就是a- 2^2，然后再怎么办？你加个四，再减个四，减去个八。是不这个情况，然后接下来我们一看。这个delta什么情况呢？那这是零。

这是一个aa- 2。a- 2的话，我们要看看零处。对吧，它的对称轴是。对称轴是二，然后它在零处是几呢？零处是？零处是负的。对吧，因为它在零处，刚好是负四零处是负四。然后负二处是负八。你这个点处是负四，然后这个点处是负八，

所以说你在这一块的图像就是这样。好了没？那就说明这个东西永远是小于零德尔塔，小于零就没有根本。没有根的话，我们都知道二次函数没有根，它这样开口朝上，那不就没有顶点，这样这样做的话是不是？也可以啊，也可以，但是你这样想的话，可能是这个题做完了之后啊，你回头这样想。对吧，

但是一般情况下，我们继续去判断方程根，你就去死。方程根的做题就是第一步，先进行去看看定域第二步，然后再进行去看到什么，看这个人的注点和不可导点。第三步，划分区间段得到单调区间，然后再进行去判断端点就行了。好，这个问题啊，我们就讲到这。好了，这是我们讲的这个第八题。

听懂我的意思吗？呃，这是这个。真题不会这么你不要钻到自己的世界里面。那去年那个考题不就是这样吗？好了，这个点呢，我们就讲到这儿，我们再来看第九题。呃，这个题啊，我觉得最根本的一个问题啊，还是这个计算性问题？对吧，就是计算，

他说这个人有一个原函数是他。如果这是原函数，这就是d呀。那所以说我们这个fs这个结果，它不就这个人导函数吗？等于一+s^2啊。然后接下来我们来看看这个定几分。你这个定积分怎么做？这是零到一。你把这个人带进去。呃，你先不用待对吧？你先不用待，你直接算那这个部分是f多少一减s方，你前面一个s凑到后面去一减s方。

然后这个部分呢，你要补一个多少，你要补一个负二分之一。所以说这个结果就变成这样，然后你最好换一个圆，你令多少呢？你令一减x方啊，你就等于t。你换个圆了之后的话，我们来看看零的时候代进去是多少一？一的时候带进去多少零，然后这是fttt你负号用来变换上下限零到1 fttt。哎，这个结果那这个结果结果发现你看我就是要求解这个分呐，这个人原函数是多少，

这原函数就是arctangent多少？r tangent把零和一带去零带去零一带去多少四分之派，所以说结果等于八分之派，这是个简单题。好了，这是这个结果，所以说你看这个东西啊。嗯，不用算对吧？你这个算了，怎么算就算了呗。好，这是这个问题，我们就讲到这儿。所以你想清楚把这东西啊，

你往后面凑，你凑出个二次，然后就出来了。好了，这是这个点吧，我们就讲到这儿。啊，这种题啊，你怎么做都行。好了，我们再来看看这个第二题。呃，第二题啊，比较关键的一个问题就是你要判断出来这个人是个奇函数。啊，

这个很重要。你要判断出来，这个人是个奇函数。就lin多少呢？e+se-s是个奇函数，它当然了，因为这个结果是多少？哦，这节课我们不会再发笔记了。我说清楚了吧啊，之前的话那个没有发是吧啊，之前那个我会给你发一下，就是前三套真题是会给你发。这个没有笔记哦。能理解吧，

就讲这个十套卷的话，这个上课的这个笔记啊呃，就不用了，因为的话，这个后面的答案是非常清晰的，你就在上面当中啊，你进行去标就行。好了，我们来看看这个人，这个人为什么是个奇函数呢？它其实就是e+s减去个多少e-s。不就是这个人吗？那这个人是谁呢？我们原来讲过，如果一个人写成了fs-f负s形式。

那这个人不就是个奇函数吗？啊，还记得吗？你fs+1个f负s，这是个偶函数啊。fs怎么办？减去个f负s，这是个奇函数。所以这个结果它是个奇函数。那既然是个奇函数，我们就来看你，就把这个东西拆分成两个负一到1x方e=3次方。s方ln多少呢？e+se-s，然后这个部分呢？

你再来ds。那然后接下来我们就继续，我们再来看。你发现这个人判断不出来，没有关系，这是个偶函数，这是个奇函数。整体是个什么函数？整体是个奇函数，所以说这个结果奇函数等于零，那就等于负一到一。s方e的s三次方ds。那然后这个结果的话，我们就把它记一下，往后面凑三分之一e的三次方负一到一。

所以说这是三分之一一，然后减去一的负一次方。好了，这个结果就是三分之一倍的e减e的负一次方答案选几选b。好第十题。我们再来看看下一题，我们再来看看第11题。11题啊，完全考了这个定积分定义。你们还记得吗？如果碰到n项合适期间。如果碰到n项合适极限第一步，先想定积分第一。一和二题三找项，先凑那三剑客，

然后再看后面对吧，一和二题三找项。这是我们首先想的，如果这个题能用定积分定义，用定积分定义，如果用不了定积分定义，你选加b准则，所以有些同学看到这个题加b准则，你一看就没有考试思维。你也没有考试方向，你在这里面当中想半天的话，哎，这个点肯定不行。好了，那么接下来我们来看，

首先第一个点。你把这个东西怎么办？来我们第一步叫什么？第一步叫做一和。移和的话，你就要把这个人写成求和形式，我们看这是n加k分之一。然后这个k从几呢k就从一，然后这个人不是k你写k不行，一三你要写成。2 k- 1。然后这时候k从一到几就到n。好了，这是这个点。啊，

能想清楚吗？好，这是第一个问题，第一个问题出来之后第二步，我们要提要提一个n分之一出出来之后。这里面当中就凑出了这三剑客。还记得吧，然后这提出来之后就变成多少？一然后是n分之二k减一。二题有的同学非常可惜啊。记错公式了，它直接说是零到一一加s分之一的定积分，非常可惜。不要记错了。人家定积分定义是这样。

使n趋向无穷大。这有一个n分之一，然后k从一到n。你要想清楚。你首先第一个事儿，你至少记住左右端点吧。你看右端点是n分之k。左端点是n分之k减一。那然后这个终点是什么？终点就是这两个东西相加除以二啊。对吧，就这个人，加上这个人除以二你相加除以二的话，刚好是二n分之二k减一。不要背差了。

是吧，你这样的话，你就避免了这个啊，基本问题。这都等于这个人。fs ds.那所以说这个结果你要这样办，你在这儿补一个二，你这来个二。所以说最后的这个结果就变成多少零到一，然后是一加上二s分之一ds。就这小小的一步。对吧，这也是去年过程当中考的这个点。呵，

你也忒可怕了啊。你你哪是是今天这种同学的水平呢啊？这跟一个一个的，这个点有什么关系啊？那这这这说什么呢啊？你学到今天，你连定积分定义都不知道啊。好d多少二s加上一这二分之一，然后这是结果是二分之一倍的l一加上二s。把零和一带去，把一带去多少l3？好，这个结果我们就出来了，等于二分之一倍的ln三，你如果定积分定义就不会。

你去看看基础班，找到定积分定义的那一节，也就是半个小时的课程，你将来碰到这种问题，绝对不会有问题。另外一件事情，你在这当中想什么？连续化处理。你这个考说明这个考点就根本不会，那我觉得这个部分的题你能做到，那对你而言太棒了。你下次绝对不会再错了。你今年考研当中，这是重点题啊。好了，

这个问题我们就讲到这。我们学的微积分，微分，积分，积分篇当中的不定积分定积分，定积分更重要，那定积分定义考不考？当然考啊，定义积分定义是重点。好了，那么接下来我们继续，我们再来看看这个。第12题，那这个题考什么呢？有同学这个。

嗅觉非常的准啊。现在一看的话，课程听的非常的好，知识点消化的非常棒，那我们来看看这个部分。那这里面当中考了一个什么？二级导数大于零。然后是负一一。零负一这个点一这个点零是终点，所以说这里面当中我就会立即想到什么。有的人立即会想到，阿达玛不等式。当然了，对于我们三九六同学，你不用阿达玛不等式也行，

你只要会画图就行，我就知道它的图像是这样。他说老师那图像未必是这样。那图像也有可能是这样啊。那是随便随便好，就这样吧。那然后怎么办呢？我们就把这几个点啊，你点出来，然后这个点是对应的是多少？这是负一这个点。然后这个点是谁一这个点？好了，然后接下来我们就把这个连起来，连起来的话你发现。

就这个部分好了，那么首先我们先来看看这个几个问题。第一个事情就是这个大的梯形，这个图画的很丑。看不出来是梯形的感觉。你等我一下，好这样。所以接下来我们来看看这个。首先，我们把这个连起来。呃大的提醒。那这个大的梯形是多少呢？这个大的梯形其实就是。二分之。上底加下底。

乘以高除，以二高12。然后这个部分就比这个负一到一的，这个定积分。它又大，然后它比谁大呢？这里面当中还有这个部分。注意比这个小提醒大。这个小梯形的话，你想想这小梯形，它的上底加下底。上底加下底，刚好是这个人的2倍。所以上底加下底，除以个二刚好是零处函数值。

刚好是零除函数值，你再乘上二高，这是这个。就出来了，听明白了吧？掌握清楚给我回复一。好了，没想清楚给我回复一。呃，这个这个很简单。所以接下来你就选就行了啊，这里面当中得到什么f 1+f负一。它就大于多少负一到1 fs ds。然后大于多少二倍的f0，你就可以秒选。

那么这个结果你选几呀？f加上它，然后是大于这个什么？大于呃选d，你自己选吧呃。好了，这是我们讲的12题，然后接下来我们就继续，我们再来看看第13题。好，再来瞅这个人，那这个题啊，叫做积分线是相同的。对吧，积分线相同。

积分线相同，被积分函数不同。积分线相同，被积分函数不同，那考比较定理啊。那考比较定理，我们的核心重点只需要比较什么？比较s在零到二分之派的时候。你这个人答还是这个人答，还是这个人答？你比较这三个人的大小，那么其实都是cos，我只需要比较这个人大小。对吧，我来比较这三个人。

那这三个人，一个是三。一个是s in。一个是x，一个是一减cos in。而我们其实都非常明显，你知道的一个问题。我们来看看图像。而且这个图像是非常基础的一个图像。来看这个图像，那这个部分是y这是零，然后这是s0到二分之派。我们的s in的图像是这样。这没问题吧？s in这个图像是这样。

而对于我们的x是谁？x就是在这个点处的切线。好注意这个部分是x，这个部分是c。那就说x肯定比s in大，但还有一个一减cos in呀。一减cos是谁呢？你cos是这样，那负cos就是这样，你往上一减哎，它刚好是这样。所以一键cos的时候，它的图像刚好在这儿。好了，这是这个，

这就刚好就是一减cos in。刚刚好。我们这几年当中啊，非常喜欢考这种题。然后你这个巅峰值是多少二分之派？所以说这个时候我们就立即可以写了。得到什么情况？得到这里面当中的一减cos in是小于这个s in，而小于这个s。而这个人是大于零，小于二分之派。但是你要注意一个问题，这还没做完呢，我们这个东西当中啊，有一个陷阱。

人家这外面还有个cos in呢。你要想清楚cos这个人在零到二分之派的时候是减函数。那所以说这里面当中的cos1-cos，然后的话怎么办？你要大于cos。然后这是s in。你要大于多少coss？所以说这个结果就做成这样。你做成这样的一个问题的话，马上来看。这是第一个是I。对吧，这是I。然后这个cos的话，这是j。

然后这是k得到这个结果。好，这个题啊，我们就说到这。可以了吗？把这个点想清楚。积分线相同，被积分函数不同的考点，这种定积分的比较是考研中的黄金重点。黄金重点，所以一定要把它想清楚啊，这个操作。行吧，好好做。呃，

这题。慢慢做，你别着急对吧啊，第一套。这个长路漫漫的，对吧？后面还有好几套。有些同学看这些题啊。啊，眼睛一瞅好简单，眼睛一瞅就好简单。就恨不得的话，来一个那种非常复杂的题。我要是想跟你那样对呀，我这题可太多了。

你要是想让我进行去给你怼这个数一数二数三的，我这题可太多了。我要给你这样改呀，我出一套卷子的时间会非常短。啊，相当短。我这里面当中的这个卷子，每年的话，包括的话，这些卷子我都会更新的。你像这些就等于这些题，那也很容易啊，有这些一算算一堆呗。那也很容易，所以但是每年的话，

我们出这个三九六的题，一道一道的话，得重新出，其实这个。这个压力很大，他比我出一道出一些，这个数一数二数三的这些题啊，我觉得还呃压力还更大，因为。你太难，你不可能是每道题都非常难，你这不合理呀，你这就不像一套金综数学的这个一个考试试卷。你要是每一个部分的东西，你都非常简单。

那这两年的话，我们模拟卷就起不到这个效果呀。而且里面当中有些这个。难的简单的，你得还得搭配着来啊，那有的有些东西你还得设计好了，这个点吧，我们就讲到这儿来继续吧，我们再来看第14题。那么，接下来我们来看看这个题呃，这个题啊，我觉得。是一个非常棒的考点，以前我们出过，

但是这两年的过程当中没有怎么出过这种题，这今年的一个热点。那么，首先我们先来看看第一个问题。那在这里面当中给了一个变上限函数，变现函数。那么，考察一个变现函数的定积分计算。大家想想变线函数，喜欢干嘛？因为我们都不不用去想这个，这个题非常好做，你想变现函数，它在这儿，我们要进行去积分。

变线函数是不是喜欢求导？所以变线函数这个人特别想在这儿。你想在这儿的时候，它就可以求导。那么所以说怎么办？分步积分法。但是直接分布积分法吧，直接分布积分法，这俩人都一起跑到后面去求导了，那更恶心，所以这个时候啊，我上课讲过。他这个人这个时候非常的自私。所以我们首先第一件事把这个什么把这个平方你先给我塞到后面去。你塞到后面去的话，

就是零到一，这是if SD多少？这是个s三次方。啊，这个结果三分之一。然后接下来我们就继续三分之一倍的ifs乘上一个三次方零和一代进去，然后这是三分之一。零到一三次方跑前。那三次方跑前fs跑后，那跑后的话，这个部分就要进行去求导了。dfs那所以说我们来算吧，把零带去就是零。然后把一带进去。一代进去了之后的话，

有一个f1f1上下限相等，刚好是零。那所以说这个结果就没了，然后前面有个负的三分之一零和一，这是三次方，这块儿是不是有个求导？那求导的话就是这个变上限。对吧，函数进行求导，一求导的话，这是根号下的一+s四次方。然后这个部分是ds。啊，这个结果那这样一做，你看这个题出来了吧，

然后这是三分之一零到一，你就把这个三次方凑到后面去。刚好这个人数是四次方，你加个一，但前面得来四分之一，所以这个结果。所以说这个结果等于负的十二分之一继续。你这个人是二分之一次方二分之三三分之二一加s四次方的二分之三次方。然后把这个零和一带去。然后一代的话，这个结果刚好预约，预约的话，这人是三八二十四二十四分之一，然后这个结果把一带进去。一代进去的话，

这刚好是一一是八八的话，开方二倍的根号二，然后把零代去，这是一。好，这个结果就是这样，所以说这个结果是二十四分之一。诶哦，十八分之一哦，不好意思。十八分之一。所以说这个结果就是十八分之一，然后是一减这个人，所以答案选几选a。好了，

这是这个问题啊，我们就出来了。所以这个考点的话，我觉得在。呃，考研当中还比较关键，这几年没有怎么出过，而且它是热门考点。你注意放到数一数二数三，里面也是热门考点，这黄金重点的考点部分内容。行吧，那么接下来我们继续，我们再来看。呃，

这是我们讲的这个第14题。然后接下来我们就继续，我们再来看看第15题。你看一下这个人。那这个题我们继续看，它说有一个平面有界区，由这个曲线。还有在这个点处的法线和s中，你所围成。所以我们在这里面把这个基本的这个图像，你大致的画一下啊，稍等会儿，我们我讲两再讲两道，然后的话我们再休息。好，

这个s，然后这是一+s，这个分之一。对吧，这个人那这个人的话就是左加右减。把这个人向左移动一个单位，他就这个人。然后这个人在一处，他他的一个法先。啊，它的法线，它的法线的话应该是这样。还有is轴所围成的这样的一个区域。好，我们要求这个人那么求这个人的话，

首先要求法线，你就要先求导函数呗，导函数等于一加s分之一。然后把一带进去的话，二分之一。所以说这个人的法线方程。但是多少呢y就等于ln 2，然后再减去。呃，这个东西啊，你加上你加上这个东西的负一次方，那其实就是呃，减去一个二倍。对吧，然后这是x- 1。

好，这个结果是这样，然后你怎么办呢？你就令这个y=0。利用y=0的话，我们去解这个s。你解这个s的话，刚好就是ln二减去个二s，你加上二等于零，所以说这个s啊，它就刚好其实就是二分之一被ln二，加上个一。所以这个结果做成这样。好了，这是我们讲的js，

然后去求这个面积。那这个面积的话，你求的时候啊，你稍微的进去去想想。你可以这样来，你这是二分之一倍的卢云二，加上个一。然后这个部分呢，它这是一。对吧，那所以说在这里面，我们来计算一下，你就计算一下这个小三角形，你再计算一下这个部分的面积不就可以了吗？那所以说这个面积最后而言就是多少？

零到1 ln多少一+sds。然后再加上这个面积是二分之一，底是多少底是二分之一倍ln二？然后这个高是高是多少呢？高是这个录音二。好，这个结果那最重要问题就是前面这个定积分。前面这个定积分呢，有些东西在这个计算的时候算的非常麻烦。我教过这个问题的小技巧型。你要直接算的话，两项相乘调换位置了之后会有个一加s分之s。一加s分之s非常麻烦，如果你稍微的巧妙一点，你就在这里面当中轻轻的加上一个什么。

我只需要在这轻轻的加上个一。我只要加上这个一了之后，这个东西就变得非常的简单。ln一加s零到一，然后这是多少四分之一倍的ln二，这个人的平方。好，这个结果，然后诶，这个后面还有解。所以说然后的话再减去零到一，然后这个人就是一倍的ds那，所以代进去的话就是二倍的罗音二。零就是零，然后减去个一，

再加上四分之一倍的ln二，这个人的平方。好了，这是这个结果吧，我们就做完了，所以四分之这个人平方加上二倍他，然后再减个一，所以正确答案选几啊选d啊？好，这个题好像这个类型问题啊，你下去再看看好，我们再来看看第16题。来继续，我们再看这个题。那这个题让我们去求这个旋转体体积，

那这就非常的简单了。那么，像这个旋转梯体积啊，我原来讲过这个事儿。你绕着x轴旋转一周的问题啊。你在这里面当中，你想清楚，这是y这是零这是x。他让我们考察这个人在零到一，我只在乎这个人在x轴上方还是下方。对吧，上方还是下方，你大致看一下。你零到一的时候，这是正的，

而且零都是零。然后的话，这个人呢？这个人在临道派的时候是正的，所以你不用管，你随便画就行了，他说老师未必是这样，你管我呢，对吧？你大致换换，就这个区这个区域绕着x轴旋转一周来走吧，派倍的零到一，然后这人平方，这就是s。然后这是s in派s这个平方，

然后ds这个结果。然后怎么做呢？你注意这个s in派s，麻烦你就把这个东西啊，你稍微的换个圆。能想清楚吧，派倍的这个人的平方ds。你就在这里面当中，把这个PS啊，你换个圆。你换过原来之后的话，这个结果的话就是拍零是零，这是拍，然后这个部分的话就是。派分之一倍的多少？

t然后这是sint的平方，然后这是多少s？这就是派分之1 dt，你连这个分都算不出来。这一年的话，这个积分怎么做的呢啊？好了，我们继续吧，我们再看。然后这两个东西就约掉了，约掉了之后把这个派分之一移出去，积分与变量字母选取无关，我再换成s行不行？可以好，这个结果。

你可以这样做。第一种方法，你把这个人降密了。我们想过吧。你这个分布积分法的时候，你只能把这个人给降密。把这个东西给降密。你降密了之后的话，然后再分步积分法是可以的，大家听懂了吗？这是第一种方法。我再不济，我这种也会做。那这就是常规的一个操作方法。但这件事情我相信不陌生吧，

你做了好几套卷子了。那好几套卷子不就考重点这个人。s倍的这个三。s乘上s in的函数，然后这个s不要了，补上二分之派，然后这是s in sds。还记得吧N多次了啊，好这个人，所以说把这个东西啊，你就补出去，补出去变成二分之派。林道派的这个三方好了，同学们告诉我这人怎么办？点火公式一家人吧，

点火公式的一家人当中，如果是林道派这个人呢？它就直接等于二倍的零到二分之派。s in这个人那cos要分类对吧？零到二派的时候s in和cos都要分类。好，这个结果，所以说这个部分约掉，这是二分之一二倍的零到二分之派，然后这个结果。所以说这个人就是二分之一二分之派，所以等于四分之派。好了，像这个题啊，正确答案选几啊选a哟这个题。

所以你看这些呃题目当中的一些计算呢，它非常的巧，对吧？它不是硬着搞，你要是累着进去去铺这个运算量它。它也能出。但这不是我们的这个出题的，这个意思对吧？我们要起到这个模拟的效果。去模拟的效果，因为你们其实压力很大。你专业课也那么多。然后的话，你这个还有这个逻辑，还有写作，

你英语要背，你政治要背，你每天过程当中做的这些东西，你要发力得用到这个刀刃儿上。那么每天的话，我们进行去学习这个东西啊，你最起码而言的话，你做的这个东西是相互对应的。一般你你提示做不完的。题真做不完。你像我们这上面有这个数一数二数三这么多年的题数一数二数三，上面还有数学竞赛，还有这个大学呃，这个什么这个数学专业的那个数学分析的一些啊。考试题题非常多，

你做不完的，所以我们做的这个东西啊，你最终问题你做这套卷子，你要知道这个考点是什么？把这个考点当做成痛点，把它打通，我们就考好了。你要想在这个呃考数学方面，你要有兴趣，要有兴趣，等你考完了之后你再增加这个兴趣不就行。好了，这个问问题啊，把方向性想清楚。好了，

那么接下来我们再来看看第17题啊，再看这个题。那这个题啊，我们继续。他这个题目当中给的这个人。然后进去去求一下这个偏导数在零零处的值。你就像去年的考题考的如此之难，偏导数的定义还会出一道。而那道偏导数的定义，也不是说特别难。你看这个题，有些同学就直接算了，你注意啊，你直接算，这是非常疯狂的一个表现。

好这一堆，我不管了。如果直接求就是二倍的根号分之多少？你把这个零带进去，这这就是零。这不叫无穷大，很多人说下面去向零，这不是无穷大，不是的，这叫什么？这叫没有定义。这叫不能这样酸。所以这个题就不能直接求导，那不能直接求导怎么办？有同学说就选不存在了。

那么，由零一求导a下面一带是零不存在。别乱来啊，那是你做的，不存在不是人家真的不存在啊，所以这个题我们怎么办？我们就直接用偏导数定义就行。所以s这个偏导数零零这个结果你就直接看这limits趋向零。然后这是多少fs 0减去多少f零零比上s- 0？所以接下来我们来看看，这是limits趋向零直接算。那这一算的话，你把这个y代成零了之后，那这个前面就是sins的一个绝对值。然后这个部分是x。

你求这个极限。那这个极限呢？这个极极限你得分吧？你得分类，你得分类的话，你想想它是这样。就是如果我做的是x趋向于零正。临阵的时候嗯，三一你想想。三这个人在临阵的时候，你是大于零。所以这是一，然后如果我做的是零负。零负的话，你看你s in在这边儿，

这边儿小于零的，所以等于负的这个s in。所以等于负一。那所以这个部分呢，它不存在。好了，这是这个事情，你看又有同学犯问题了，根号一个人的平方，不是这个人，是这个人绝对值，你看出错了好多好多次了。好了，我们再来看下一个。如果f都有这个y的偏导数，

把这个零零带进去，那其实就是limit y趋向零。然后这是多少f0y，然后再减去f零零比上这个y- 1。那然后这个结果的话就是y趋向零。来做把这个s=0代进去四次方进行去开方，永远都是平方f零零是零。所以这个结果是零吗？你看这人出来了，因此其实x这人不存在。然后这人存在是零。不是一所以正确答案选几选c哦，这个题。当然这个题啊，你还可以做的更快一点。

就是回到这个偏导数的根本意义上，你做更更快。分段函数在分段点，那必须要用定义。那这个人呢？也未必无敌。你可以怎么做？你可以这样做。你首先要进行去看s偏导数。你先把这个y=0代进去。那所以说这个东西带进去的话，之后就是sins绝对值。那这个绝对值了，之后我们来看看这个图像。s in的图像。

那你三一的图像的话，这半边是这样。然后你加个绝对值之后是这样。大家告诉我。你在这一块儿。的切线斜率是多少？这一块儿切线斜率是一吧？这一块的切线斜率是负一。两边儿切线斜率不相等，肯定不可导，而且扎手。所以说这个人在零处不可导s，偏导数不存在。然后你也可以把这个s=0代去，然后这是y方。

那这个y方在零处的导函数就是零呐。对吧，你在零处导函数是零，那你导函数就是零呗，偏导数是零，所以答案选几你选c。你可以这样做，你这样做的话，你可能做的更快。好了，这17题行吧，我们稍微休息会儿，一会儿我们再来看看后面的一些题。可以吗？好，

稍微休息会儿吧，一会儿我们再继续。好，停会儿吧呃，稍微缓冲一下，一会儿我们再继续。

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