07.2023年经综数学真题卷解析课-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:14:19

可以听到声音吗？可以的话给我回复一。啊，我们就准备开始了。可以的是吧？好了，那么接下来我们对于这个去年的这套真题啊，我们给同学们做一个简评呃，因为这套试卷的出现呢。然后影响了很多同学在这一年过程当中的一些复习，但我觉得其实原因点非常简单啊，更多的原因就是以前考研数学的难度系数。就是三九六考研数学的难度系数，没有说想象那么大。但是去年过程当中稍微的增加了一些难度啊，

导致了很多同学啊，最后啊，有点措手不及，所以在这里面当中啊，我们简单对这个去年的一套试卷呢，我们做一个简评。我们做一个剖析，然后这里面也跟同学们的最后一段时间的复习啊，提出一些建议，你可以看得到。等你把这套试卷做完了之后，你再进去去看一些模拟卷，你就会发现一个事情，这个出题啊，你简直胡来。

啊，这个跟我这个去年。呃，去年过程当中这个考试结束啊，我刚当然的话跟那个呃，去年考完研的同学做了一场直播，也聊了这个事情。因为为什么这个难度系数增长特别大？你增长特别大了之后导致的这个很多同学感觉说这个东西是不是应该按照数一数二数三的一个同学复习来呀？其实你发现这个方向是不一样的，那么首先我们先来看看第一个事情，就这套试卷啊，总的来说难度系数比较大。啊，确实比较大，

那么相比于我们这个二一年的卷子，相比这个二二年卷子难度系数确实很大。但是一旦考到一个难一点的这个试卷，或者是这里面当中个别题目的难度系数比较大的试卷，我们在这个复习过程当中怎么在考试当中做调整？这也是种能力。那比如说我们在这个复习过程当中，你做着做着对吧？你做着做着，但是这个远达不到数学三的难度系数。你可能没有复习数学在。你就会觉得哎呀，我们这个考的是不是过于的特别的难，你去做一下那个模拟卷，或者做一下这个真题啊，

你就知道了。啊，这个感觉是不一样的。所以说这个总的来说，这个难度系数有点大。但是这里面当中，你要注意几个问题，一个事情，它更多的是增加了处理问题的巧度。你比如说有些题目，它应该这个你可以做的更快一点，结果在这里面当中浪费了大量的时间，它是增加了这个题目的巧度。不是在这疯狂的叠加这个计算量。或者是这里面当中的难度系数。

它不是这样子的，你去看看，有些个别难一点的题，那不是说难？一有可能在复习过程当中没有复习到另外一件事情，就是你在做题的处理性的手法上太过僵硬。硬着钢塔，如果你稍微的进行去分析一下这个题目，到最后啊，难度系数也还好，这是第一个点，然后第二事情运算量是可控的。但远没有达到数一数二数三同学的大题的运算量，如果你进行去跟那个比呀，根本没法比，

我们可能三四道题比不上一道，这可能是这样。因为的话，这个。我不光讲这个三九六，因为这个数一数二数三呢呃，可能我讲的时间更长一点，包括到了后续编这个模拟卷。包括的话，这个今年的话呃，他们也有个何止十年真题，你可以去看看里面当中啊，难度系数不是这样，如果仅仅是把数一数二数三同学的大题。改成小题，

然后放给我们进去考，这是个非常不负责任的表现。这就不一样，感觉都不一样。所以这个点呢，你一定注意一个事情，这是我们在做模拟阶阶段呃，模拟度这个什么模拟阶段，大家一定要稍微的进行注意这个问题。你如果呃，看到很多题啊，你做到最后做的非常的崩溃，影响了自己的复习心情，我觉得到了这个最后一个阶段，那么还有30多天时间。

这30多天时间是非常非常珍贵的，对我们三九六同学，你还有逻辑，你还有写作，还有你这里面当中还有英语政治专业课，你有好多门的课程。有些同学坐在这个数学里面，浪费了大量的时间，你在那个复习上，你做的一些题已经跟我们的考题的风格相去甚远。那为什么这个今天的时候我重点谈这个事情呢？而不是在二一年试卷，二二年试卷，然后重点谈这个问题呢？很明显。

因为去年这套试卷的出现，才影响了今年的一些复习的考情。才会影响到这个今年很多同学在复习过程当中走了大量的弯路，然后数学投入了大量的时间，最后你发现这个效果非常的差。原因点就在这，你发现常规题对吧？常规题中档题拿不到分，难题做不下来，最后整套试卷做到啊，你发现头皮发麻。最后结果又非常的差。这其实就是很多同学的复习现象，一会我们讲这个试卷呢，我觉得今天不光是讲这个试卷，

我更是在给你讲后续还有30多天怎么去复习？你一定要好好进行调整下来，你不然的话，你发现你在这里面当中投入了大量时间，你最后效果还不好，这是很避免这个事情的。好了，所以说我想要说一下这个第三个点，你注意为什么这个去年？这个题啊，最后做下来的效果不是说特别好的，我觉得有两个现象。一个现象。因为。是这件事儿。

还有一件事情呢，是因为这个事情。因为的话，你发现二零二三年的考试结果，那更多的是题目的突增。但是这个突增啊，也没有说达到这个数一数二数三同学的这样的一个难度系数。哎，突增。那因为二一年二二年，我觉得都还好，突然间进行增加很多同学的复习啊，有点措手不及。你坐下来之后的话，这个感觉。

非常不好，然后另外一个点，你要注意，还有一个事情就是因为个别题目的难度。增加了这个整张试卷，很多同学的做题的感觉。这就是我当时跟你说的这套试卷，就是你做两道简单的，突然增加一个难的。不是又简单了，他又再难一下，对吧？你做着做着突然难一下，突然难一下啊，就这个情况。

所以说在这里面个别题目的难度系数增加，导致了整张试卷做题的，这感觉非常不好。这就是去年这套试卷的一个特点。所以导致了一个什么情况呢？呃，今年的话，这个三九六的复习现象其实稍微的有点儿偏激了，等你们今年的话考完了之后，你再回头看。你发现做了很多这个事情，你发现跟我们这个复习方向相去甚远，我觉得要如果进行去考这个，你得进行去钻研，我们三九六同学，

我们的考研数学的一些。出题风格，这是很重要的。所以个别题目的难度增加呀，导致你发现一个事情这个起伏较大。啊，一会儿简单，一会儿难，一会儿简单，一会儿难。但是我们的思维方式呢，你都知道更多会关注在这个难题上，更多会关注自己做错了多少道。没有做对多少道，没有做那些道，

你更多会关注这些事情，但是你发现有些简单题，你不觉得不应该出错吗？所以我觉得这个谈谈这个今年的复习的考情吧。因为这个三九六的命题啊，我觉得应该有三九六命题的一个特色。你发现它更多的是巧读，有些题比较巧。你像这个整张试卷当中啊，我们来稍微捋一下啊，这个试卷。如果这是试卷当中啊，你从这个前面开始看，我们来看看这套试卷。那比如说我们这里面当中的第二题。

啊，去年很多同学做的非常不好。这题做的非常差。但是这件事情对于我们今年的话，你在复习过程当中，如果这个题做的不好，你应该对自己的复习啊，提出一些。我觉得应该提出一些部分问题啊，你有没有复习到位，你得打个问号好，这是这个题，然后是第三题。啊，第三题做的很不好，

连续两道做的不好，有些同学就要崩溃了。因为从来我们三九六的试卷没有出现过这种现象。两个题都做不下去的，不想做了。你要注意，如果今年在考场当中，你是这种现象，那非常不好，你要对得起自己这一年的复习啊。你就算两个题，你把下面的东西要做到位，你看第四个题开始简单了吧，第五题简单了吧，第六题简单了吧？

那可能去年当中的第七题，有些同学又做的不好，然后第八题非常难，哎，这是整张试卷的。嗯，第二难度系数的题吧。这是第二难度系数题，你看又来两道。来两道了之后，我们再来看第九题，常规题，第十题，常规题，11题，

常规题不11题，去年其实也做的不好。因为很多同学在这个复习过程当中，你发现他这个有理分式的拆分呐，他给忘了，不是说这个题不会。而是这个知识点呢，一点都不记得了。然后11题，然后再来看看下面常规题，14题简单题，15题做的也不好。那去年15题做的不好的原因呢？是因为知识点没有复习到位。啊，

知识点没有复习到位，有些人就不知道这个知识点，所以说这个题就做不下来了。16题有点难。啊，这是整张试卷第三位难度系数的题。排在第三。最难的题啊，不是这道，这是老三。然后再来看17题简单题，18题有些同学估计去年过程当中啊，这个套娃的题啊做的不好，但是我觉得今年做你应该是非常顺手的。然后19题简单题本章试卷当中最难的一个题啊，

应该是这个题。这个题目这个题目的难度系数啊，应该是整张试卷当中最难的。啊，就这个题。这个题的话，你看很多同学连这个题目当中的一些根本的点呢，你就没有做好。这是最难的一个题。那么这个题考了什么？考了一个定义法。就像我给你讲的这个事情，如果你拿到这个题的时候，你稍不进去，去品一下定义法，

这题就很简单了。你看吧，它答案是选d吧？因为你发现y=0的时候是零，它在这个点处的函数值是零。然后你发现这个部分如果是趋向这个点，那这个部分是正的。那这个部分是正的啊，这个部分这个部分是呃y这个人是几y是零两边有可能是正有可能负。你发现这个人永远是朕的。如果你这块永远是正的，我就大于零，如果小于零，我就是什么？选e是吧啊，

选e。行吧，我们一会儿再讲吧，所以这个题就是考了定义法，你看这个点不是，那如果这个是s是零，然后这个是永远是正的。你看这个人，他就可以用定义法进行判定，一会我们来讲讲，就这个题，有些同学可能算你算了，这个ABC呀。反而这个题的难度系数非常大。啊，

就这个题，你硬着做ABC的时候就非常恶心。那像这个题，用定义法就非常快，所以这是题目的一个巧读的问题，不是一个题目当中的一个难度。你注意啊，这是20题。然后再来看看21题也做的不好，然后紧接着我们下来看看这个是25题，有些同学知识点没复习到。这题不是特别难。啊，不难，然后这题啊做的不好，

26题也做的不好。好了，这就是这张试卷。那剩下的题目我觉得都还好。你去年试卷当中比较具有巧度的一些题啊，就这些，然后接下来我们把这套试卷呢，跟同学们做一个主体的讲评。把这东西去讲一讲，讲完了之后啊，你再回头进去去看看这套试卷，然后你再进去去对照一下你所做的一些模拟卷。你看看是一种风格吗？再怎么变呢？它也不会是像那样变的。

好了，这件事情我们就讲到这可以了吧？来那么接下来我们一起来看看这里面当中的第一个题。第一题啊，应该是这套试卷当中非常简单的题，拿到这个题啊，首先我们一看你发现就考了两个事情。考了两个等价，无效公式。一个事情是什么？一个事情是一+x的阿尔法次方减一立即等价无穷多少？阿尔法x。然后这个部分的东西你就可以写，这是一你要加上多少负二x，然后这人到二分之一次方，

你再减一。是吧，那这人就等价无穷小多少阿尔法这个框，所以说这是负s。然后再来看看下面的事情，那这个e的x- 1啊，我们就立即等价无穷小多少x，所以e的阿尔法x- 1。离子积等价无穷，小多少阿尔法x。那所以说这个部分，它就立即等价无穷到负s，立即等价无穷到阿尔法x，所以说这样一比啊，就是负的阿尔法分之一等于贝塔。

那就是阿尔法乘上贝塔，就等于负一。好了，这个结果我们就选择b选项，这个结果。可以了吧？哎，第一题啊。那么，这是我们讲的这个题目，那么接下来我们再来看看这个里面当中的第二题。这个题啊，为了讲这个题目，我们在这里面当中复习几个重要知识点。那这里面当中总结一下的话，

其实你发现就这四个问题啊，我们稍微进行回顾一下好，先看第一个问题，如果这个函数在这个点处连续。连续什么意思？连续就是极限等于函数值。对吧，极限是存在的。函数值是存在的。极限等于函数值。那你想第一个问题。它在这个点处的函数值存不存在？它在这个点处的函数值肯定存在呀。连续网。那如果这个极限存在，

如果一个人的极限存在在趋向过程当中处处存在。那你想你在这个去新领域存在这个点也存在，那不就说明在这个领域当中都存在吗？所以就这样说，如果这个函数在这个点处是连续的，不光在这个点处有定义，在这个点的附近都有定义。邻域内都有定义。邻域是包括这个点，就是在这个点的邻域内都有邻。然后接下来我们再来看看第二件事情，说如果这个函数在这个点处有定义，能推出这个函数在这个点处连续吗？你告诉我行不行？当然不行，

什么东西叫连续呢？连续就是图像不断。你的图像不能断，但是有定义，你发现看我这个点是有定义，但是我们图像是这样的。那如果图像是这样有定义，不等于连续吧，所以这件事情绝对不能。哎，退不了，所以想清楚，如果在这点处连续肯定能推出这个点处有定义，而且能推出附近也有定义。邻域内都有定义，

但是有定义推不出来，连续然后再来看看比值极限的存在性质。比值极限存在性质是比值极限是存在的，分母极限是零分子极限一定是零。比值极限是存在的。如果分子极限是零，结果不为零，分母极限是零。好了，这些知识点呢？你不能有问题，对吧？这是最起码的。你把这些知识点记住了之后，我们再来看这个题。

那这个题啊，首先第一件事儿，你需要对这个东西啊，你做一个转换，那这个人I趋向零的时候，这是fs。下面这人不就等价无穷，二分之x方吗？这是一呀。所以说这个结果就是limits趋向零，然后这是fs比上这个平方。你得把这个二分之一，你是不是乘过去把这个二分之一乘过去，那不就二分之一吗？那所以说这个四啊，

这就是个大骗子。啊，这是个障眼法，对吧？很多同学把这个四选了啊，不是二是二分之一。那么再来看下一个问题，它说这个f0是零。你注意了。很多同学这样做。你要注意人家这个人只说了是有定义。有定义是连续吗？有定义，不是连续。你仅仅是有定义啊。

你无法推出连续，所以在临处不知道连续性，那么首先我们先来看看这里面当中的第一个人。那第一个人，我们想想比值极限是存在。分母极限是零，那分子的极限不就是零吗？好，这个分子的极限。就是零那你想只有连续的时候极限才会等于函数值啊。但是我现在在临处，我不知道连续性。不知道连续性，那你这个极限还会等于函数值吗？就不知道了，

所以第一个选项不知道。f0不一定，这是要注意的。所以很多同学可能把这个一选项选了，他说诶，极限不就等于函数值吗？注意只有连续的时候，极限才会等于函数值。一不一定，然后我们再来看看这里面当中的二，还有这个三，那我们先做三吧。三这个人就可以秒了。你想想一个问题。比值极限是存在。

你下面极限是零。你上面极限就是零上下都是无穷小。然后眼睛一瞅，发现下面这个人是二阶无穷小。两个之比是一个常数，那说明是同阶无穷小也是二阶。那你这个人是二阶无穷小，你这个人是一阶无穷小高阶比低阶不就是零吗？所以它对呀。所以这样做非常快。那可能很多同学是这样凑的。说is趋向零的时候，你这是ifs比上s你这个速度可能稍微会慢一点点，但也不影响用已知。对吧，

你凑位置，你除一个，你再乘一个，然后第一个极限是二分之一，第二极限是零，所以它是零。你这样做也可以，但是用阶最快比值极限是存在下面是二阶，上面是二阶，高阶比低阶是零。好，立即出来了。然后我们再来看看第二个选项，第二选项的话，让我们去求该点导函数，

那该点导函数是多少？该点导函数是。fx-f零比上s- 0。而你想想fs比上s这个极限，结果才是零。根据三这个人，我们知道是fs比s，这个结果是零，那你想想这两东西相等吗？相不相等不一定只有这个f0=0的时候，他们才会相等，但是这个题的f0未必是零呐。那所以说这两个东西啊，未必相等，那二就不对了，

因此这个题的正确答案只有几个是对的，只有一个是对的。选b这个题其实挺难的。它的难度系数大在哪呢？它选有几个是正确的。你只要判错一个，这题就做错了。你看这个题啊，你只要判错一个，这题就不对，这题比较狠一点，那这里面当中我们再来跟同学们去说一下这个问题。因为这个板块的答案呢呃，写的还是比较详细，你们很快应该是。

呃，很快应该能收到这个书了啊，对吧？这个昨天的时候已经给大家寄过去了，然后等你收到这个书了之后。你自己可以把这个后面再看看。那这里面当中的这个啊，答案当中啊，我专门写了这个事情，你要注意这里面当中啊，非常容易错判。一和二，一和二非常容易错盘，因为你要注意人家说的是fsx在这个点处连续。你说的是有定义，

无法推出这个人连续。这是要注意的，你是没办法推出，在这个点处连续的，因此你下去稍微的进去去看看这个板块内容。好了，这个东西我们就讲到这，然后我们再来看看第三个题。好，再来瞅一下第三个题。第三个题啊，做的很不好呃，这个题。我们来大致看看。它说的是a到b上单调增加。

啊，这个是单调，没有说单调，增加单调。然后的话，这个a到b内是什么情况？然后让我去看看这个函数比上s-a，同学们想想在你的大脑里面。有没有一些在a到b上就单调的一些函数啊？你能不能举些例子？因为这个题是个抽象函数。对吧，它是抽象函数，这是y这是零，然后这是x。

有没有呢？它要看的是a到b。那a到b的话，你想想你这是a你这是b。如果是a到b，我就不会取s，我会取多少？我会取s+a。对吧，或者是x-a。我会取这些东西，或者是什么东西，或者是这个啊，这是a-s。好，

这样的情况。对吧，你能举出这些函数，你这个函数是单调的，你这个函数单调的，那还有没有？有啊，你还可以取平方，你还取三次方平方也单调。平方的话，这是x-a^2，是不是这样？s-a^2是这样，它也是单调的呀。所以说我们就会往这上面想，

你看有些人想的太远了。为什么想太远呢？你不扣题。你看看它的分母都是x-a。你分母都是s- 1，你想这些es这些东西啊，你都没法做题了。所以想例子举例子的时候不要瞎举，你要大致的进去去看看题目，你看这里面当中说的是s-a。s-a你要尽量往这上面想。那这里面当中，我们就可以看看它。那你比如说我们首先来看，如果我进行去取什么东西呢？

我去取fx=x-a^2行不行？平方这个人在a到b上是单调的呀，然后这个fs比上一个x-a也是个s-a。那我也是个单调的呀。对吧，这个人也单调，而且你这个人，你在a到b上单调增加，我也是单调增加。所以说立即把这个c选项和a选项排除到位了。好了，这是这个，然后我们再来看看b选项，它说单调性相同，你单调性相同，

非常简单，你可以怎么办？我就在这里面当中举一个s-a。那取减a的之后的话，你看我这个人是单调的呀，满足题，但是这个人比上s-a是一不单调了。你单调增加，我不单调，那这个东西单调性不是相同的，你看又不对。好了，这里面立即把ABC就排除了。可能这里面当中比较难的，应该是e选项。

c选项比较好做，因为你想想，如果是c选项。它说什么问题呢？a到b。单调增加，那你可以是这样，比如说我们呃，增加了一段。然后这个时候再增加一段。行不行？这算不算单调增加？也算呀，我在a到b上单调，增加我这块是不是有跳跃间断点，

我有可能有第一类间断点我。我立即就把它选了。但是为什么他说可能有第二类间断点？tangent不对。tan不对而说tan是你要注意人家说是a到b。整个区间当中都是增加的。那么在这里面，我们来看看这个事情为什么不能有第二类间断点呢？你想想这个问题。比如说这是a点，这是b点。如果你在这里面。比如说我举个例子，你在这个点。你这个点是。

震荡间断点。你震荡间断点的话，你就会在这个点的左右两边是震荡的。你左右两边是震荡的，你这个单调性肯定会发生改变。你这都不用去想这个非常简单，它不可能是震荡间断点。你震荡间断点在这左右两边就会震荡。你这肯定不对呀。那么，再来看，很多人说那无穷间断点呢？那说那无穷间断点可以啊，你比如说我是这样。啊，

有的可能会想到tangent这样的图像，比如说我是这样。我暂时这样。那这个东西叫a到b单调增加吗？你想想这叫a到b单调增加吗？这不叫。你想想原来写单调区间应该写这一段和这一段。和这一段你在这个点到这个点是单调递减的，你是吧？你看你掉下来了。什么叫单调增加？我一直往上跑。你这一块儿东西很明显，比这块儿要大，你这不叫，

所以说它不会有这样的一个。就无穷间断点，这个人不行啊，无穷间断点。就你在这一块儿，如果有无穷间断点，我在这个点跑到正无穷，或者跑到负穷，你想想一个事情。我跑到真无穷了。你琢磨啊，你这一块儿跑到正无穷了，你这半边儿肯定要比正无穷要小。你谁还能比正无穷大呢？你这半边儿跑到负无穷了，

你的那半边儿你就会比它大。所以说这里面它不会拥有第二类间断点的。好，这个题啊，我就讲到这儿，你自己下去看看啊，这个题有些人做的不好。啊，这个题来我们再来看看下一个题啊，第四题就简单了。那再来看它说在这个点处的切线方程，把它给我改一下呗，那这里面就是y等于多少2 s- 1？你要把它写成多少？写成负一+2倍的s- 0。

那所以说这个题目是这里面当中告诉我们这个点就是负一初值。然后这个系数呢，就是零处的导函数值。没问题吧，然后接下来我们去写这个点，那这个题一看的话不就是二处的导数，零处的导数定义吗？零处导数定义其实就是s趋向零，然后这是fs-f零，其实就是加一比上s- 0。那这人等于二啊。所以说这个结果就是fs+1比上s=2，所以正确答案选几选b这个题比较简单。你知道切线方程，你就把这个人写成切线方程，

知道这个点值导函数值，然后一凑就出来了。然后接下继续，我们再来看看下一题，再看第五题。第五题也不难，对吧？这个题考了一个复合函数，求导你就直接导呗。那我进行求导的时候，就是先对这个中间变量求导。然后这个中间变量再来求导，哎，这个结果，然后我们把这个什么它告诉了一个f撇2f撇二的话，

我们带进去。那就是h2h2是二好，这个结果，然后这是h撇儿。然后一看的话，你这个人是几这是二，然后这是七撇二，这是二，然后这是几，这是一，所以答案选几选c。好了，这是我们讲的第五题啊，这个题也比较简单，然后再来看看第六题。

大家看出来没？你做几个题感受一下。你就会发现我们的试卷的一些特点。简单真简单。个别题难呢，它有可能增加难度系数。它只能是个别题，要是每个题都这么狠，那没法考了。那真没法考了，你考这个三九六压力太大，不是说不会做，是没有时间，我们根本没有时间算，每个题都等于那么狠。

就像你自己做了一些这个题，一个题，恨不得把这个数一数二数三的好几道大题给你揉到一起来考。那没法来了，你后续哪有那样的时间，而且自己做的还挺崩溃的。好了，那么接下来我们再来看看这个第六题，你看这个题，他说这个函数由什么东西呢？一个函数由这个方程确定，然后让我们去求解这个二阶导数。隐函数呗，那隐函数我们来做，那就两边同时求e的YY导前导后不导，

前面不导，后来导。然后这边是零，然后要求二阶导，你继续对吧？你继续往下来，那就是前导中间变量再导。后面不导，然后是前面不导，后面来导，然后加上y1接导y1接导x倍的y两接导等于零。那就是导导导，然后在这里面当中带带带，然后接下来去带你发现这个人当第一个事情当s=1的时候。一的时候你往上带的话，

真就是e的y+y=1+1，所以说这个y也等于几y也是一。一刚刚好，然后再来看，把这个x等于几x=1 y=1带进去。你代到里面，一代到里面是一倍的y撇儿，然后再加上一。然后再加上y1撇等于零。所以说这个y1撇，这个结果它就等于负的一比上一+1。好，这是他，然后再带到第三个人，那第三个人当中，

这是多少？这个部分是。一是吧，然后YY是减y是一嘛，然后这是一+1的，这个平方分之一。然后再加上这个是e两个倒，然后这个部分是两个，两个的话就是减去。减去一个一+1得二，然后再来加上y的两阶导等于零。所以这个结果就做成这样，你做成这样了之后，稍微的整理一下，所以说这个y的两阶导你解一下，

解一下这个结果的话，把它移过去。这是一加一倍的，然后这是一加一分之二，然后再减去多少一加一的这个平方分之一？所以说这个结果你把它写成这样呃，就慢慢算呗，所以这个这个题啊，它不是特别难的，这种运算题。还是在我们的可控范围内。然后这个部分的话就是e+e的这个人的平方，然后这是二倍的一，你再加上二，你减去个一，

所以说这个结果就是这样。你把这个人除过来，刚好是多少？刚好其实就是三次方，所以说这个人就是一+1的三次方分之一+2。好了，这是这个题目吧啊，这是上面是一+2，然后这是三次方答案选几选e。好了，这是第六个题呃，所以说这个部分的做题啊，还是稳一点。就是自己学过的东西，会做的题不要丢分。

难一点的题啊，多抢一点分，那这样的话你才能考好。而且在有的时候你一个题目当中花费了大量的时间，你要尽早把它跳过去啊。然后再来看看第七题啊，第七题这个题啊呃，还好一点。就这个题的话，应该是一个比较常规的问题了，考察这个函数的零点问题，研究这个函数零点问题。核心重点研究什么？就是研究这个人的单调区间，你先看这个人地域地域是多少r，

然后接下来求导呗。那求导的话，前面就是2 x- 3，前导后不导，然后再加上一个x方减去3x，加上三。啊，前面不导，然后后面来导，然后再减去x方，然后再加上x。对吧，这个人做成这样，你做成这样，稍微整理一下，

你尽量整理的话，这是s方，你刚好这个部分是多少？三就约掉了，然后再减去个s，然后再减去个x方，再减x。诶，这个东西是刚刚好，然后就是es- 1。es- 1提出来之后是s倍的s- 1。是不是这个结果？你要注意这个做题啊，稳一点，然后找到注点和不考点没有，

那只有注点那因此这个s就是零。还有这个s是减s是一，你就找到这两个点，找到这两个点呢，然后我们在这里面把这个人的单调区间呢，你进行构建出来。然后这个部分就是负无穷到零，然后这是零零到几零到一一一到多少正无穷。好，这个情况写成这样了之后来判断一下，你发现。小于零的时候，这是负的。那么，这个x- 1的话，

你发现在一之前都是负的。啊，都是负的。然后是es- 1。你比零小就比一小，那这是负的。三个都是负的，那这个是负的。然后再看零到一。零到一大于零的时候大于一，这是正的，然后这也是正的，这是负的，所以说这个结果还是一个负的。你再来看一你大于一一的时候的话，

这是正的，这是正的，这是正的，所以它是正的，所以因此啊，这是减这是减，然后这是增。然后这是什么零这是零这个部分呢？它不取别管了，这是极小值。好，这个方向，然后接下来我们怎么办？我们来研究一下这个人图像，把这个人的大致图像你来看看就行。

然后这个部分是y这是零，然后这是s。也就说，它要从负无穷，直接减到一。零是不动的减到一，你减到一的话，我们要看几个人呢？我们要看以下几个事情，第一个事情f1。那f1的话，我们来算一下这个部分的话就是一。减三分之一加二分之一，就是加上六分之一，加上阿尔法。

那还有一个事情，我们要看看这个limits趋向于负无穷。哎负无穷极限，那负无穷的极限是多少呢？如果趋向于负无穷，你要这样看。你把这个e的这个东西写下去，这上面是幂函数。那上面这个东西是正无穷。e的这个负负得正，这是正无穷指数函数远远比它大，那这个板块是几这个板块要趋向于零。好，这个趋向零，那就是说第一项趋向零了之后，

这个人何去何从？是不是看第二项？那这是三次方，这是最大的了呀。你负无穷三次方啊，这是多少是负无穷负负得正，那这是正无穷，所以这个人呢？极限是正无穷。然后我们再来看看第二件事情，当s趋向正无穷的时候。我们做了很多这种题了。当x趋向正无穷，一亿的正无穷当然是老大呀。你这项正无穷一亿的正无穷老大，

所以说现在的正负性由它来决定。哎，大小由它决定，然后这是正无穷正无穷，所以这个结果它就是个正无穷。那这题就可以出来了。我们来看，也就说它在这个点处是多少呢？它是一加上六分之一加阿尔法。我一直往下减。我剪到这儿。然后这样那么它这个东西啊，有什么呢？它说要有两个零点，有两个零点，

你就要保证什么情况？你就保证这个点处的函数值是什么？小于零就行。你这个点函数值大于零，那肯定不行，你等于零肯定也不行，你只能怎么办小于零，所以说这个时候马上就得到。我们这个是一加上六分之一，加上阿尔法，你就要小于零，阿尔法怎怎么办？你小于负的多少？我看一下答案。答案是阿尔法加一。

那阿尔法加e啊，小于负的六分之一。好，这个结果所以正确答案选几啊，你就选a。好，这个题也还好。那么，接下来我们再来看看这个下面一个问题啊，第八题我们把这个知识点呢，稍微回顾一下吧，你像确定这个方程根和函数零点问题。第一件事情设出函数研究，函数定义域，然后求导找到驻点和不可导点，

然后根据这个东西划分若干个子区间段得到单调区间。然后再来判断这个人的端点，值你画出草图就能确定结果。能想清楚吧，好了，这个问题啊，不是说特别难了啊，来再来看看第八题。这个题啊，我上课讲过。所以说你可能做的时候嗯。觉得也应该没有什么了。但这个题非常难。这应该是去年试卷当中啊，排名第二的。

有的可能把它划分成第一个类型，难度系数比较大。因为这个题首先我们看过去啊，你发现一点信息点都没有。我也不知道这个题考什么。如果在这个题目当中能稍微看出一点信息的。那可能就是c选项了。终点值。和端点的平均值。我只能稍微的会看出来这个人。因为这个人是凹凸性的第一。我可能会往这上面想。那么在这里面，我们把这些知识点呢？我们稍微回顾一下。

啊，这个题目。那对于这个题啊，那首先会考到第一个事情就是凹凸性，它的定义。凹凸性定义那凹凸性定义的话，它什么样情况？比如说如果这个曲线二阶导数大于零。它是个old。你二阶导数大于零，它就是个o曲线。o曲线的话，然后这是a点。然后这是b点。好，

这个情况那么然后呢？我们再来看我们要比较的是什么？比较的是终点值，你把这两个点。连起来啊，连起来连起来之后我们再来去看看终点。很明显，它的中点的函数值。是比这个点的函数值要小的。那这个值啊，它就等于中位线嘛。等于二分之多少，它就等于啊，这写的是x1x2。所以马上得到，

如果这个曲线是凹的。它的中位线的函数值应该比中点的函数值要大。能想清楚吧，如果是凸的呢？哎凸的话，你发现这个曲线就是这样。那中点处的函数值比中位线的函数值要大。所以这是它的定义。想得清楚吗？好，第一个问题，所以我可能看到这个c选项了之后能给我一点信息啊，让我去干嘛呢？让我去把这个题啊，我用凹凸性来处理一下。

而且这个题我不知道你在考场当中试了没有？对吧，不知道你试了没有，有些同学可能在这复制。不要干说话，干说话都没有用，你付一下有没有付出来？你想想一个事情，比如说你是在考场当中，今天上午我们就考了一下这个事情。如果你在去年的考场当中。你觉得你带职能带的出来吗？你带啊，你带半天都带不出来。所以有些同学就喜欢这种马后炮，

说带纸啊，可以带纸啊，你带啊，你把它带出来再说。所以在这里面，你看你付你付半天你都付不出来。所以有些选项不好看，你就不要看。你不要想清楚这个问题。在我们做的这种选择题，你有些题目未必说，我要把每个选项都要把它破题出来。有的学校你看半天都看不出来。你可能取一些特殊数，我能把它排除。

你要注意啊，你证明一个人是错的，这是没法证的。怎么进行去证明一个人是错的呢？你只能举出一个例子，说他错他就错了。所以像这个题。你看多少同学拿着这题啊，不难扔给一个数学数数一数二数三同学，你让他做也有挺有压力的。这个题为什么很多人做不出来呢？是因为知识点的问题。那么来看我们，首先可以把这个函数啊，我们去求到二级导看看。

那这里面的AB都是大于零，我们只用看大于零来前导，后面不导。然后再加上前面不导，后面来导。然后再来看看两阶段。两极导就是前导，然后这个后面不导。然后再加上前面不导。后面来导继续，前导后不导。然后再加上前面不等后面来等，这是一+s^2分之负一。那然后把它整理一下，一整理的话，

这是es，然后这是ln多少一+s？然后你看看这个把es提出去，这一+s这个人平方，那前面是几倍，前面是二倍二倍的一+s。然后再来减一。所以说这个结果马上就可以往下写了。它就等于1s，你再乘以一+s这个人的平方，然后是多少一+2s？哎，这个人那么现在我们来看看吧，这个结果我们研究的是a和b这个函数值都是大于零，很多人说那减法未必大于零。

我们看看这些。对吧，尤其是看c选项，那这个a和b都是大于零，我们研究大于零，如果大于零的时候，你发现你是正的。你这个人是正的，你是正的，你是正的，你大于零。当x大于零的时候。你大于零的时候，你的曲线是什么o曲线？那o曲线什么情况？

o曲线中点的函数值。那刚才讲了你all曲线中点的函数值，应该比中位线的函数值要小c不对。崩溃了啊，这个题。所以这其实就是当年的考题。你考到这个c选项了之后，哎，我稍微能看出来哎，可能会考这个东西。可能在这里面当中会考c选项，结果你发现c考的不对。那这怎么办？当然这个题啊，如果你不知道一些知识点，

你在考场当中硬做压力很大。那么这里面我们可以大致的看看。我们现在而且再来看看a选项，有a+b有a有b，那这个题怎么办呢？我稍微的进行去看看这个函数。这是fs这个函数，这是零，然后这是x。那这个题的零出的结果是零啊？所以我们来看看它的曲线，应该是这样。这里面当中的这是a点，这是b点，然后这是a+b这个点。

你看这个曲线。是这个情况，然后你再来瞅一瞅这个长度是a这个长度是a。那所以我们在这里面，你看这个人。你再看这个点，你和这个点。这个情况，这个下面的长度也一样。而且我们都知道凹曲线，它的斜率会越来越大。你看这个题。这个题比我们内部卷当中呃，有一套卷子里面出了一个题，比那个题出的狠。

你还记得我当时一套卷子里面也出了个这个题吗？但比我们这个狠。a比b大是吧？呃，那这叫幻想。好这个那所以这里面我们来看看这个斜率，那第一个斜率的话，它就这样，那就是a+b的斜率。然后再什么fa+b-fa，你除以多少你除以这个b，他这个人是谁呀？他这个是fb-f零。比上这个b，它有大的，

所以说这是fa+b-fa，它应该大于多少？那所以说这个结果它就是fa+b大于多少fa+FB？这个题那所以说这个结果你发现正确答案选几。选a说实话b选项d选项e选项不好做吧？这几个现象应该怎么做呢？应该要进行去举例子。举出这个例子，然后把这个东西啊，你给排除掉，但说实话，这个东西很难排除，很难排除。非常难，那么在这里面，

我们把这个知识点呢，我们再做一波总结。他就考了这样的一个知识点，不是说不会。是这个，你在复习的时候啊，你不会注意到他会怎么办？他会把这个东西啊给硬出出来。这考过的这个点。只不过是我们没有考过。那我们那个考的这个东西就考了一个结论，这个结论是凹凸性里面当中比较重要的结论。你要一定要好好看那个考前21计。凹凸性的三大核心考点。凹凸性的定义。

阿达玛不等式，然后这里面又考了这个事情，我都给你总结到这儿了，你看这个老头子很喜欢考，对吧？凹凸性定义。阿达玛不等式，还有这里面当中的这个人，我把这个东西啊给你稍微看看。呃，考前21节当中应该是多少页？你自己去翻吧啊，这块内容我都给你放在这上面了。一个事情是凹凸性定义。然后还有个阿达玛不等式，

还有这个东西啊，考了这个二零二三年的这个题。就几何意义。那么在这里面，我们来看看这个问题。那像这个点的证明呢呃，就像我们刚才一样证你不需要进行去。详细的这。你不用详细的整。但是我在给你写的这个十套卷里面，我给你想写了一下这个详细的证明。等你收到这个十套卷。十套卷的最后一套卷子是二零二三年的真题。这个解析里面当中啊，我给你写的这个。

这个在哪里？21期。你是多久没有听过课了吗？人家都用了两个周了。都背了五六天了。这可不太好啊，这个。你不要对这些东西老是后知后觉的啊。呃，好了，那么然后的话，这个板块的东西。这个第二个啊，详细的证明我给你写了，但是我们不需要会这种证明。

这种证明呢，是这个数一数二数三，可能会考一个啊，现在不可能，现在考也很简单，它也不会考到这种证明题。这太low了。所以说这个内容点呢，考了一个这个事情，你不用会证明，你只用知道这个几何意义就行。你只要通过这个几何意义啊，你知道这个问题就行。那么在这里面，我们来稍微的进行去看一看。

好，稍微的走一下，这是s，然后这是零，这是y。那么，这种题目当中啊，一定会要求一个事情，这是一个非常重要的要求。没有这个要求都不行。就f零一定要是零。如果f0是零的话，你发现这个曲线是o的，你在这上面随便取个x1。你再取个s2，

然后这是s 1+s二。好，这个情况，那这里面当中的这个曲线。你这块你看这个点。你看这个点，你看这个点。它这两个点之间的这个斜率。和这两个点之间的斜率啊，它肯定没有后来的大。那所以说其实就是fx 1+s二，然后再减去fs 2。这个人比上谁呀？这人比上s1，他这个人要比谁大？

他要比x1，这人减去f0。比上这个s1啊，要大。然后你把这个分母东西约掉，你f0这个人是零一下就证明完了。如果这个人是个凸曲线，那这个人呢？就刚好相反。好了，我相信下次再进行出现这种问题啊，应该不是个难点了，好了，凹凸性这个问题啊，我就讲到这儿。

行吧，同学们，你下去好好看看啊，这题有点难。说实话，第八题啊是这张试卷当中比较难的一些题。好了，掌握清楚给我回复一吧。好继续啊，我们再来看看下一个题。那第九题啊，这就还好了。来看看老朋友吧。那这题他说它的原函数是它原函数是它，这是老爹。

所以原函数的导函数是你。那像这个问题怎么做呢？它是零到派x三次方。你就把这个人换成谁呀？你就换成这个人导函数不要算出来哦。你千万不要算，你算了，就算麻烦了，把它换出来，你换出来之后，我遇见导函数，我是不是就把它凑到后面去了？遇到导函数凑到后面去，凑到后面去，分步计分法，

所以说这是三次方x分之这个三把零和派代去。然后接下来的话就变成了减法。s倍的这个s in跑前。然后这个三次方跑后三次方跑后就求导三倍的x方塔。然后这个前面零这个约掉了之后的话，就是x方再乘上cos，把零和派带进去。然后再减去三倍的零到派x倍的，这个s in ds。你看吧，把零带进去，这是零把派带进去，这是零，所以说这个结果又考到了这个人。x倍的这个s in这个结果。

你注意一下，你算这个东西啊，有些人算的非常快，有些人又在分步计分法，你这就做麻了，对吧？他考了这个人。零到派x倍的这个s in ds。考前21期里面重点给你写了。抽出去二分之派零到派，然后这是s in的这个人的积分，考过好几次吧，然后接下来还有一个。你像零到派嗯s in这个积分，不要点火了，

因为这个部分考了一个什么考了s in这个人这半公的面积，这是一这是一这是二啊。好注意这个做题速度。那所以说这个结果就是负三，你抽出去是二分之派，然后这是二，所以等于负三派。好，这个结果正确，答案选几选一。到时候拿到这个卷子里面当中。我应该是写了好多这个呃，这是直接算的。这直接算的话就麻烦。我记得前面的卷子当中，

我都写了这个事情，你下去把它看看，就这个经验。啊，都给你列这个。然后接下来我们再来看看这个第十题。继续吧，再看这个题目。那这个题啊，他给了一个这个事情，他说这个区域是由这条线和这条线所围成。大家想想第一条线什么？第一条线是抛物线吧。第二条线呢，是is方加上y方等于二的这个圆。

而且y是大于等于零上半圆。所以它围城的这个区域应该就是这个区域。这是它围城的区域，所以我们首先第一个事情，你先把这个区域画出来。啊，这个区域你把这个区域画出来之后，然后让我们去求解这个区域啊，绕着x轴旋转一周的旋转体体积。好做吧，能不能算一半儿啊？对吧，我们就做一半，你做一半的话就是二倍的一半。那绕着x轴旋转一周的旋转体体积是多少？

那首先我们先算。上面这条线没？那这条线围成的，再减去小的不就行了，所以就是派倍的零到一。s方就是这里面当中上面这条线的平方是多少？上面这条线的平方是二减s方ds。然后再来进行去减去派倍的零到一。零到一的话，然后是下面这条线。你下面这条线的平方是多少？是四次方ds能跟上吗？用上面这条线算，就是上面这条线围成的这个区域转一周用下面这条线算，下面这条线算一下，

就是下面这条线与x轴围成的区域转一周。有大的掏空一点东西就行。所以说这个部分内容我们就做成这样，因此这个人整理一下，这是二拍把零和一带进去，带进去了之后的话就是二减s方，你再减去s四次方。ds，所以说这是二派。第一个积分是多少？是二，然后这是三分之一，这是五分之一。好了，这是这个结果，

那因此的话，这个答案你一算就行了，15分之几15分之，这是15分之，这是五，这是它。十五分之二，这这这十五分之几？这是五，这是三，这是八。十五分之三十。等于15分之多少22。啊，这个结果那么所以说一乘的话就是15分之多少？

十五分之四十四啊，这个派。好了，这个点呢，我们就讲到这。发现有些呢这个。你这都绕不清楚，我都没有办法了。人家说绕着x轴转，你告诉我怎么重合呀？对吧，咱就不谈数学，咱谈语文，咱谈实际问题行不行？咱谈实际生活，

你说这怎么可能会重合？你这一半儿。你绕着它转，你这边儿咋可能会重合，对吧？他也没说绕着y轴转。你脑子里面就留下你曾经会做那个东西，但是那个东西的本质一点都没有掌握清楚，你这怎么行？好了，这个人如果绕着y轴就重合了。y轴重合，不会重合啊，不会重合，不会重合。

y轴重合。y轴的话就算一半。就像我们应该是前些道卷子了，考了一个题，那个题还挺贱的，对吧？结果你发现转一周了之后，有一个部分是重合。那个题挺恶心的。好了，这是第十题，那么接下来我们继续吧，我们再来看看下一个题，11题。11题当年的话，

你发现得分率也不高。这个题的话，你来看看这个事。他就考了一个游离分式积分。那尤里分式积分的话，首先第一个点，你先要把下面这人给我因式分解了。你下面因式分解，其实对很多同学就是一个难度。你发现你把这个二提出来，这是2 s+1。你把这个s方提出去，这是2 x+1，有没有发现老头子想狠，但他没有那么的狠。

他在控制这个题目的难度系数。这其实就是我们金钟数学的一些特点，你去稍微进去去品品，人家在那个出题，人家是在控制的。它没有进行发散。要不然你自己给我整理啊，这都放在一起，放在一起一推就出来了。然后这个办公那把这个2 s+1出去。s方向上。这是这个点，然后这是四减s。yes，对吧？

你做这个人那么这种题最重要的问题就是拆分。所以下去第一件事情拆分方法，你得会。好，我们看其中。那这个人拆分的话，我们来看括号外决定项数。那这人其实就是遗像。分之一括号外决定项数。对吧，这是移项是BS+t。括号外决定项数，括号内决定次方数。那这个情况的话，我们就把它拆成这样，

你拆成这样了之后，我们再来合。一和的话，这是2 s+1。然后这是I次方加上二。那这个部分是a倍的x方，然后再加上2a。你再加上一个呃，可以。算了吧，就是a倍的x方加上2a。这是多少2 s+1，你再乘上BS+d。哎，这个结果那么做成这样了之后你去看。

这个人和这个人要相等。好，这两个相等，那这两个相等我怎么办？我用赋值法呀。那赋值法的话，我们先定什么，一定要瞅着分母为零的点进行去赋。好，这个问题。这一副的话就是二分之几二分之九，这一副这是零。然后的话，这是。x方加二，

这是四分之一。四分之九啊，四分之九a。所以说这个a等于几a=2。这它，然后再来看看这个x等又来了流数法。你知道刘树发到底在讲什么吗？流数法最后的本质就是这个。流数法是复变函数里面当中知识点，不要听那个名字，就在那装逼对吧？也不要听那个名字，看到别人装逼。你想清楚这个问题，就这样做，

这非常快啊。好了，那么接下来我们继续，我们再来看。然后继续走。你不要被别人拖着走啊。一定被别人拖着走。好像这个问题，我们来继续，然后接下来再负几呢？没有别的负了，没有别的负的话，你就负零。就负零也很简单。然后这半边是四。

然后这半边是多少？这是2a，然后这是零。零的话，这是一，这是d，然后加上个d，所以立即推出来d是零。好，这个情况，然后再来看第三个事情，我们0s等于几0s等于一一的时候，这边都是三。三的时候的话，你来看看这个人。

那这个a是多少呢？这就是三。对吧，这是三，然后这是六。六的话，这个部分是几？这是三。然后d是零，这是b。所以说这个b是多少负一？好了，这个结果做成这样。等你做成这样了之后，我们来看看这个上面一些题。

来操作吧，那这个结果就变成多少？直接拆那它就拆成了零到一。二x加一分之AA是几a是二，然后再加上零到几一？然后是s方加上二，然后多少负s，这是ds。那么所以说这个结果的第一个人呢？他这个人往后面凑就是ln多少2 s+1不用加绝对值，这是正的。然后这个人呢？你这个人的话，往后面凑至负二分之一零到1s方加二分之多少ds方加个二。那其实ln多少呢lns方加二。

好把零和一带去。这这个题这题啊，运算量大。两分钟做下来不太可能。你做这个题，起码得花到四五分钟。所以说这个时间怎么来呢？你就得靠前面一些题啊，你可能得富裕一点儿时间，然后这个题得浪费一点儿时间。这这个结果，然后我们再看这是loing loin G3。啊，这l三然后再减去二分之一。那这是多少ling 3？

你把这个零带去啊，这是ling 2。所以说这个结果等于二分之一倍的ln三，然后再加上一个多少二分之一倍的ln二等于二分之一。那这样东西一加就是loe 6。所以说这个结果等于二分之一倍的ln六答案选b。好了，这是我们讲的11题啊，11题这个题啊，有点浪费时间。所以在这个综合下来嗯，没有没有，不是说整张试卷的运算量大。最大的其实是不是这个题，最大的是那个多元函数，

那个求极值那个题。那个题有点儿，这个题没办法，那个题有点儿巧读，这个题就硬着算，所以你注意一下这个问题。然后再来看12题啊，12题就是个简单题了。来看一下这个人吧。这个人呢？硬着坐的同学那就疯了啊。es方ds，然后这是零到1e的s方ds。首先第一件事情，你要知道这个人是急不出来的。

对吧，这记不出来。如果在这里面当中，你要激他，你就不要做了。你激出来了，你也别考了。你提出来之后，你会被破格录取的。你可太牛逼了。你这个发多少篇论文呢？对吧？那下个非要思想，那还能等谁呢？那必然是你呀。

是记不出来的，不要乱来啊。那所以说记不出来，我讲过。一个击不出叫击不出。两个记不出就记得住了，所以我们再看，那你只能从前面做哎，我看到我把一个s。我把这个2s拿出来，你往后面一凑。你行不行？你把这个凑一下。把这个凑一下了之后，我觉得还不舒服，

我们继续你这是平方了之后，我是不是可以把这个e这个东西再往后面凑？好这个人呢，就做成这样。那做成这样了之后，它就变成多少就变成。你俩相乘。对吧，你俩相乘，你俩相乘减去你俩调换位置es方ds，然后再加上零到一。e的x次方dx。那这两个东西是不是约掉了？同学们告诉我这个知识点考了，我们上课讲的哪个知识点？

循环相消法吧。是不是循环相交？如果你是个高手。用你的眼神去漂。都让你去嫖。这是一个e的x方。是一前导后不导，那应该是x。那前倒后不倒，它就会是第二项。前面不导，后面来导多一个2x方哦，原来你就是我的导函数啊，漂亮，那这个结果不就是它吗？

没有马后炮，所以说这个积分结果不就是这个人吗？眼神嫖了他一眼，本题结束一减几就是一答案，选几选d。所以说在这里面，你用眼神漂他一眼。你能看出来它是a×a导b不导a不导b代导，那这个情况其实就是a×b的导函数。这上课我讲过这种问题哦。您还记得吗？你在这个思维方式当中，能想清楚吗？这就是顶尖的高手。用你的眼神稍微漂一下诶，

这是es方记不出来。你这是一那x求导是一那前导后不导前不导，后来导就是它。一下出来了，你这样做速度会极快啊，这个点。十几秒钟肯定能做出来。就这个题来继续，我们再来看13题。看一下这个题目。那这个题啊，它说。平面有界区有这个人。和这个人和s组所对称。那这里面当中，

我稍微进行去讲讲这个事儿，因为它的s是大于等于一。我们看看这个问题。有人说，老师，这图我不会画呀，你不需要会画。我原来讲过求面积这个事情，你只需要在意这个图像在x轴上方还是永远在下方，还是有上方也有下方？你在乎这个问题就行。当x大于一的时候，这都是正的。都是正的的话，你就发现你随便画呗，

然后这个部分是一。你围成的面积就是它。好，这是它的面积，你随便来，他说老师为什么是这样扭，你管我咋扭呢？我想怎么扭怎么扭，无所谓来求这个面积。这个面积是多少？一到一，然后对这个人积分。剩下的就是积分运算。两类不同函数相碰必考分步积分法对数函数非常稳定，凑别人。

凑到后面去一凑的话，这是二分之一。两项相乘。然后再减去两项调换位置。e1到一。你跑前我跑后，跑后是二倍lns，然后再来求导，这是它。所以说我们来算一下。这1e带这就没了le是一，然后这是e的平方，然后这个二跟这个人就约掉了，所以再减去一到一。然后这是x倍的ln sds。

哎，这个情况，然后再算一下二分之一方。把这个什么s凑到后面去，一凑的话，这是二分之一。呃，这是平方，然后这是二分之一方，你再减去两项相乘。把一和e带去，再加上两项调换位置，调换位置平方跑前，他跑后变成这个人，所以说这个结果是二分之一方。

我们来瞅，把一带进去啊，那这是零。然后这是二分之一，这个是一分诶，这俩人没了。然后后面这个人呢？你加上二分之一，还有一个ss积分是二分之x方，把一和e带去，所以就是四分之一e方减一。所以这个题啊，正确答案选一。好，这个题呃说像我们的这种题啊，

你不能算好多遍。啊，不能算好多遍。你考场当中没有那么多时间一遍过去，文种狠。如果错了，大家一定这样。你每做一个题，你不要心里说啊，是不是我算错了？怎么样算错了？怎么样？如果你心里不放心，你就在前面标注一下。等你最后再做完了之后再回来再看。

你不能说这个题做完了，哎，我不放心，我再做一遍，那这这这呃没有时间啊。好注意注意注意这个题。13题再来看，14题14题是简单题吧？这套卷子里面当中啊，非常简单的一个题。你看这个人，那这是cos in这s in比s sin比上这个人。而且积分线相同，被积分函数不同，积分线相同，

被积分函数不同，考什么东西考表定理。那考比奥定理的话，我们只需要知道当s大于零小于一的时候，这三个被积分函数大小。结果你发现你这俩人好不一样。你这个人不好比呀，非常简单，把第一个人写成多少？上下同时来。你把这个上面同时乘上个三音。你下面再同时乘个三一，把那个cosine除下去，cosine除下去不就是个tangent题吗？是不这个情况，

然后这个人是变成了这样。然后这个人是变成了什么？变成这个l 1+s。而非常显然的，这个事情因为零到一的范围。零到一其实就是零到二分之派的范围。零到二分之派tant比s大，而s比ln大，只要s大于零，都会比它大。这不等式知道吧，你去看那个，无论是基础班，强化班，还是冲刺班，

还是你要记得考前21计，这里面当中都有。那所以说这个部分呢，你就翻转一下。那你比我大，你的积分比我大I要小于j小于k好，这个题比较简单，答案选几选a？好，这14题。那么再来看看这个第15题，15题这个题啊，你做的非常不好。啊，这个卷子里面当中做的很不好。

不是说这个题不会，而是因为这个部分的知识点呢，有些同学就不记得了。如果这个知识点忘了，你可以去复习基础班，强化班或者冲刺班都是可以的，那这题考了什么呢？如果我们来稍微梳理一下，如果见到n项合适极限。先想定积分定义，定积分定义能做，你就做定积分定义不做，对吧？定积分定义这个东西不能做。如果不能做呢？

不能做这个题啊，我们再用加比准则。那这个题考了个什么知识点呢？我们来复习一下。其实就是考了我们的终点。的定期分离。好，就这个部分终点。那这个人啊，三剑客。把这三剑客找到。好有一个极限，有一个n分之一，有一个求和。对吧，

加上这个求和三剑客，如果后面是n分之I的函数n分之I减一的函数。或者是什么？或者是二n分之二I减一的函数，这是终点啊，我不会详细的讲了。因为这个内容讲了好多遍。所以说这件事情怎么办呢？我们先进行去凑这个三剑客。这是limit n趋向无穷大，你一看这个部分是谁的函数？这个部分是二n分之二k减一的函数。是的吧，二n分之二k减一的函数。所以首先第一事儿，

你前面这个东西不要了，你这是多余的，把它给我移出去。移出去，这是k从一到n，然后这是三。这是二n分之二k减一，再乘上派。我怎么办呢？那首先第一件事儿，我缺了n分之一啊，你这再来个n。你来了个n了之后，这个极限是多少？这个极限就是二分之一非零因子抛出去来一起看，

第一节课有了，第二节课有了。第三剑客也有了。一有了，二有了，三有了。然后后面这个部分是谁呀？后面这个部分是二n分之二k减一这个函数。好，这个题这一题没做出来的同学，如果你是听过基础班强化班或者冲刺班同学，你要好好自学。你说明大量的知识点都忘了，你连这个知识点都能忘。因为这是重点内容，

讲了很多遍了，然后接下来我们把它进行往下来。所以说这个结果等于几。出来了，那就是零到一把这个人改成多少改成s sin派s。ds好来看，补一个派，前面乘上派分之一，所以这是负的cos派s。把零和一代去，所以等于负的二派分之1 cos派是负1 cosine 0是一，所以说这个结果就等于派分之一。答案选，几选a哦？好，

这个题啊，立即出来了。你看这个题目。那所以像这个部分的知识点，一定要进行看你都学过的知识点，你不能忘了。然后我们再来看看这里面当中的第16题。这个题啊，算整套试卷当中的第三难。啊，这个卷子。那这个题目当中有些这个基本知识点呢，我们先讲讲。你还记得这个题吗？is趋向零正。

这个极限等级。这个极限，这个极限等于零吧。这还记得吗？然后在这里面。如果写成s趋向零。s倍的luins绝对值极限是几？这都讲过吧。这是重点想过的。这都是零。不仅仅如此。而且你来个p次方q次方。你只要这个p和q都是大于零。它也是零啊，然后这是I趋向零。

p次方lns绝对值的q次方。你只要都大于零，这也是大于零。等于零就是我都加上大于零次方数，这个结果也是零。你看这个结果。所以像这个问题一定要会。对吧，这个最起码的。你怎么证明的呢？证明的话，这是零路易，零是无穷大，零乘无穷大的未定式。零乘无穷大的未定式怎么做？

把一个人放下去。把这个x放下去。放下去了之后就变成了无穷比无穷。然后直接使用洛必达法则。洛比达法则了之后的话，这个应求导是负的x方分之1 lo es绝对值的导函数就是它分之一，不要这个知识点也忘了。这要记得的，然后这是limits趋向零。那这是负s，这是零。好，自己算吧。那么，这是我们的基础，

然后我们再来看看第二个问题。极值怎么做？这不就是一个分段函数求极值吗？求极值的问题第一步，找到重点和不可导点。反正你要进行求导，求导找到注点和不可导点，然后再来看是好判一阶导数正负性，还是去求二阶导数值？别管怎么样，这个题一定要求到。那么，首先求导的话就是分段点外直接求。当s不为零的时候的话，这个人导函数等于多少？

你算一下这个导函数就是变现函数，求导根号s方，然后这个部分是二减去lns平方。然后上限再来求导。这一导变成这样。我们稍微整理一下，把后面的2s写到这儿。然后这个部分是绝对值吧？然后这是二进去，你把二抛出去就变成这样，是不是啊？那就凑完了。你上面这个s可以是负的呀，因此这块有个绝对值。要注意啊，

你这个二抛出去，你这块一定要是正的，有个绝对值。所以说这个结果就是四s倍的这个绝对值，然后是一减去lns绝对值。这个结果这是不为零，然后我们再来看看等于零。当x=0的时候，我们就要用导数定义。那f撇零。导数定义的话，就是is趋向零。继续那继续来做的话，你发现。这是fs是零到s方根号t，

然后这是二减去lnt，这是dt。比上期的s- 1。减龄了之后的话，我们来稍微操作一下，你就会发现，当I趋向多少零的时候，落必达一落的话，下面求导是一，其实就是上面求导。上面求导刚做过呀。那不就是这个人吗？上面求导不就是上面这个人吗？好了，那这个结果做成这样了之后，

你发现当x趋向零，其实可以丑啊。把它给我分开。4s倍的lns的这个什么？四倍的s绝对值s倍的lns绝对值。好看，这个人。那这个极限是几？零然后这个人呢？这个人的话也是零，因为你发现你看你这个人的极限是零啊。你这也是零啊，所以这是零，因此这个结果就是零。你看这个题，

所以把这个操作性啊，你想清楚。当然，有些同学可能看出来这个导函数是具有奇偶性的。因为这块儿都是偶函数，这是个奇函数，所以说这个整体是个奇函数，奇函数做一半儿就行了，我只用看大于零，就把这个绝对值去掉。其实也行吧，无所谓。好了，那么这个人我们就把这个导函数算出来。所以说这个题当中的导函数啊，

速战速决，你把这个人的话就写成。四s倍的s绝对值一减去lns绝对值。然后这是s不为0 s=0的时候，真是零。那么，现在我们要干嘛呢？我们要找驻点，不可导点。那没有不可导点这个人的无定义点是不为零，本来就不为零。所以我们怎么办？我就来进行找注点。令这个一级导数等于零。找到这个助理。

首先，零就是个主题。因为零处的导函数就是零零处就是个主题。然后再来看这个人。当s不为零的时候，这块不为零。因此，其实就是lns绝对值这个人等于一。那s这个人呢，就等于正负一。好了，我就找到三个人，找到三个人的话，我判断正负性就行，那这是s这导函数，

这是fs。那这一块就是负无穷到负一。然后这是负一。负一到几呢？到零零零到一一e到正无穷。好，这几个人，你把这个表画出来，然后再来判断，你先来看看小于负一。小于负一的话，这是负的。那么这是负的。然后这个。一，

减l。loun的话，它应该是这样往负的lou NG往下减，它这样那是这样，这是负一。所以说负一之前呢，它应该是负的。你看这是负的，这也是负的，负负得正。然后再看负一到零，那这个部分就是正的。那这是正的，然后这是负的。然后再看零到一零到一，

这是正的。然后这是正的正的，所以这是正的。然后最后一个负的，那前面正的这是负的。所以这个结果它就出来了。好了，这是零，这是零，这是零，增减增减，那这题是极大值。极小值，极大值。所以说这个题的最后的这个结果，

它有几个极值点呢？应该有三个极值点答案选d。这个题可能很多同学用第二充分条件来判。非常麻烦，第二，充分条件还要进行求导，就非常恶心了。所以这个题啊，我们就来进行去利用第一充分条件。它这个函数在这个点处是连续。一级导数在这个点左右两侧正负性变化。好，这个情况16题下去好好把这个题啊，你再看看这去年考的一道非常非常有意思的一个题。啊，

很有意思的一个题，里面当中啊呃出现的这些东西啊，考量了你做题的这个基本能力。这个很难，这个题。好了，我们继续吧，我们再来看看下面一题。你看吧，有人说坐到这儿基本上已经炸完了。你这个时候就要想你都是这样，很多人也都是这样。你想是吧，你是这样，很多人都是这样。

所以说这个时候你如果把它做下去，你就考上了。所以在这种情况下，你就看看谁的这个水平点那更高了。有些同学就不太行了。不太行呢，你就把这个点好好迈过去，难都难，不是说你一个人难。好了，我们再看17题，你看这不就简单了吗？简单起来了。那这个分段函数在分段点。那分段函数在分段点，

我就利用这个偏导数定义。那偏导数定义，我们去用一下呗。那其实就是is趋向零。fs 0。减去f零零。比上s- 1。所以说这就是is趋向零。把它做一下f零零是零。然后你要把这个什么y=0带进去。那y=0代进去的话，下面这个人是根号，这个人是绝对值。上面这个部分是sin x方。上面这人等价无穷。

x方约掉了之后，其实就是绝对值比上它。你看这个人。趋向于零阵的时候，这是s这就是一。趋向零负的时候，这是负s，那是负一。一边儿是一，一边儿是负一，这是不存在的。好，这是这个。然后我们再来看看下一个人y的偏导数。y的偏导数就是把s先代成零。

fy.减去f零零比上y- 0y趋向零，你这些东西没问题吧？你写这个偏导数定义，这是一些非常基础内容。好y趋向零，然后这个人。那这个人做完了之后，我们再来看你，就要把什么呢？把这个s=0带到这儿。你带到这里面当中是谁呀？就是零。所以说这个结果它肯定是零。所以首先第一个人x偏导数不存在y的偏导数就是零答案选c。

好，17题。然后再来看18题，18题非常简单。你再看这个。那这个题啊呃，其实啊，也没有说那么的简单。期考的。这些题啊，考的就挺贱的啊，这个这个出出题啊，你看起来挺简单，理论当中还要算一下啊。你注意这个词儿，

非负函数，把它勾起来。非负函数啊，这个题。啊18题，等会吧啊。标出来，你看这东西又来了，利用全杯分算，哎呀。我我我对这种同学，我简直没有没有任何话说。我一句话都不想说。你们就好好听就行。对吧，

那平时的话，我们这样练那样练这样练那样练到最后，哎，我权威分损。我我都有，有时候真的没没话说啊。来吧，来，继续吧。那么，在这里面二元隐函数。然后求一级偏导数公式法，那公式法的话，我们就另三元函数直接出来。is方。

z方减去一+2倍的y方加上四倍的xyz，你再来减去个一。好，这个情况那么，然后我们进行去计算一下，这个is偏导数。这是负的，然后对s进行求的话，这人就是2s，然后这是z方减一。然后对外s求的话，这是4 yz。然后再对zis方是个常数，这是2z，然后对z的话，

这是四倍的sy。然后接下来我们再来看看偏z偏y这个人又是负的，然后这是is方再乘上2z，再加上四倍的sy。你对y求对y求这没了，然后这是4 y+4倍的sy。这个速度你才是最快的，然后接下来我们就继续把它带进去，这里面当中有一个小问题啊，这这这考的稍微有点小尖啊。你发现当x=1，然后这个y=1的时候你往上带。你带进去了之后的话，其实就是z方减一。然后再加上个二，

再加上个4z，它等于一。是不这个情况？就是这个z方啊，你看这个人减去个一，然后加上二啊，加上这个四倍的等于一，所以就是z方加上4z。然后移过来，移过来了之后。那这是一移过来的话，这是零。所以说这个z啊，它等于零或者负四。是不这个情况，

然后这个结果。没问题啊，就做到这。然后人家这个题啊，说的非常好。人家都说的是非负函数。所以有些同学就没有看到这个题。反正读读到这儿的时候啊，你发现这个东这个几个字儿就没有看到啊，人家是取几取零啊？恢复，所以现在把它带进去。带进去z是零四sy的话，这是4z是零啊，这是负一。

然后上面的话，这个人是负二，所以这个结果是二分之一。好，继续，你再看，这是四。然后这个这是几呢？这是四，然后这一四这是八，所以这个结果是负二。因此，这二分之一。呃，这是二分之一。

s白板。负二。嗯，对z求的话，这是s方，这是2z。xz.哦诶。这是对哦，这是IC哦，不好意思。这z那所以说这个部分是几这个部分是四。是吧，这是负一。所以说这个结果等于二分之一倍的ds减去dy，

所以答案选几啊选c。好了，这是这个问题吧？你下午好好看看啊，19题。对吧，你要知道怎么去操作，对吧？好，再来一个。要不休息会儿？休息完了之后，我们再看这个题吧。因为这个题啊，考的非常的。

呃，从操作性上，从这个题目当中的这个出题点上，这题出的有点狠。啊，有一点狠，而且突然间进行考的这个定义法。突然进行考这个东西啊，有时候有点措手不及。然后另外一件事情，你下课的时候想想。注点是零零。其实我觉得出的不好啊，这句话说实话出的不好。注点是零零跟零零是注点一样不一样。

你自己好好看看，就是这句话出出的不不太行啊，你这有点儿有点儿这这个这句话出的让人感觉有点儿奇。零零是这个题的重点。啊零零式这个题注点。但是琳琳不仅仅是他的助理，她还有别的助理。它还有别的，就是你零零当然是一个助理，你算一下吧。它还有别的驻点。他不仅仅是所以我觉得这这个题的AB选项出的非常差劲。你自己先想想吧，所以说这个它不仅仅是我的主题，那还有别的呢？

琢磨琢磨吧，好稍微休息会儿，一会儿我们继续。

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