06.2022年经综数学真题卷解析课-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:13:37

接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，请过回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们准备开始了。呃，那么今天啊，我们就针对于这个呃，今天上午啊，我们做的这套真题试卷呢，我们做一个主题的讲评呃，这个二零二二年的考研真题试卷呢。呃，

其实在我们最近三年的考研真题试卷当中是比较重要的一套，那么可能二零二一年那一套难度系数稍微的会低一点点。但是你发现这个今年过程当中，我们呃在这个学习过程当中，我一直强调这个问题，二二年。二三年这两套真题卷呢，应该是作为我们三九六同学这一年复习过程当中非常重要的一些啊，这个。所以最后模考吧啊，比较非常贴近最近几年考研的话，这种趋势类型的考题，所以接下来我们来简单的话，把这个里面当做。呃，

一些点我们还是强调一下，因为这套卷子啊，可能这个今天中午做了啊，我看到大部分同学做的还是比较好啊。啊，我觉得还是比较开心的一个事情，但是如果你是套卷子，你做的不是说特别好，你这里面当中啊，我觉得还是要做好一定的啊。查漏补缺啊，这个事情才最重要。呃，简单讲讲吧，第一个事情呢，

其实就是这个难度系数问题，对吧？这是很多同学非常啊在意的一个事情。其实啊，你等你后天把二零二三年的真题套卷，你模考完了之后你就知道了。你就会发现你现在做的很多一些那种题啊，有点儿浪费时间。他很明显没有我们三九六同学的这种出题的风格。哪怕是去年的话，那个二零二三年的考研的话，这个卷子啊，难度系数比较高，但是你其实你会发现一个事儿。它是有三九六出题的，

这种风格在这里面的啊，后面我们再讲吧，这个问题。呃，稍等一下啊。好了，那么接下来我们就继续吧，我们来看看这个今天的这些问题呃，但是我觉得如果你这些问题啊，你做的不是说特别好。我还是建议同学们把这个里面当中一些自己的问题啊，然后做刻意练习，你比如说我们，比如说举举个例子。你比如我第五题出错了，

但是这个第五题考的是什么知识点呢？把它找到，然后再把这种类型问题的这个题型方法把它复习到位。然后再做几个题啊，然后刻意练习一下你这个水平点，立即过去了。呃，这套卷子啊，其实在当年的时候出错吧，考满分的同学其实不是说特别多。一般情况下就是复习的非常好的同学，他最后都错了一道到两道原因点在何处呢？就这套卷子的话。我简单说一下，这套卷子。

就这里面当中的话，这个求弧长这道题。里面当中的这道题对吧？这个第五题这个题。呃，大部分同学这个出错的这个题啊，都在于这个题也就这个题做错了，他其实不是说不会，而是什么东西呢？在这个复习过程当中没有复习到这个知识点。因为一直而言的话，他们按照这个数学三同学的考纲进行复习，但是数学三同学是不要求这个弧长的。我们三九六同学的话，你发现而且还是要求这个问题。

因为我们大纲当中啊呃写的非常含糊，我们写的是一元函数的积分学，那至于一元函数积分学里面当中多少东西呢？你像定积分第一。对吧，定积分性质定积分计算变现函数反常积分定积分应用哎，这块儿东西啊，都属于这个一元函数积分学的内容。所以说这个题当中啊，我们的考纲。你自己复习了，你到今天你问我这个问题。哪句话你在你考纲里面能找到呢？你还不知道你们的考纲吗？呃，

声音有点小吗？等一下啊。好，可以了吗？呃，看一下你们的考纲啊，这这到了这个，今天你给我来了句这句话，你还不知道你们的考纲吗？好，你们考纲。你们的考纲就是这些。你看里面当中说的这什么问题呢？一元函数微分学。一元函数积分学，

多元函数偏导数，哎，这句话说的倒比较清楚，然后多元函数的机制，你看这个问题，这就是我们的考纲。所以在这里面呃，下去的时候把这个相对应的这个问题啊，好好梳理一下啊。所以我觉得这个拿住常规题啊，这才是取得高分之道。你先把这些常规题啊，你都拿下来，然后个别当中的一些有难度系数的题啊，然后你再把它攻克一下。

所以你去看看这个二零二三年的真题啊，我们后面就要测，后天就开始测，后天继续去测，二零二三年的考点。那二零二三年的考点，你就会发现一个事儿，我们考的大部分的内容都是常规性问题。但是它里面当中啊，有个别的题可能考的难。但是他不会说每个题都考的非常难。你就会发现一个事情，因为我们这个这个大部分同学这一年的复习啊，都是按照三九六同学来复习的，你们也不进行去接触，

这个数一数二数三的一些题。但是呃，我可是两边都讲数一数二数三，我们这边的我也讲，然后三九六的话我也讲，然后两边的模拟卷我都会出。都是在这个高等教育出版社出版的，然后这个。问题点就在这。你就会发现有些出的这个题啊，你放到数一数二数三里面都是难题。你更不要说给给我们这个进行去抖音啊，所以说这个对你们有点摧残啊，然后有些题啊，你说实话做。

你做到最后的话，其实很影响你的复习，一个是影响复习心态，另外一个事情影响复习方向，然后第三个事情影响复习时间。你们的复习时间呢，是非常珍贵的。呃，然后这个十套卷呢？明天就会开始寄送。今天已经到仓库了啊，这个。因为这个下午啊。啊，然后他们已经开始打包了啊，

然后的话，这个基本上已经都印出来了，然后这个明天就开始寄送了，你们这两天的话就可以。啊，可以收到这个卷子，我们也是收到这个最快的一批，因为我们基本上的话都是呃，从高等教育出版社，他们的印厂直接印到我们的仓库。啊，送到我们仓库了之后啊，然后啊，直接给大家寄送，可能比这个市面当中啊，

你们去他们有些可能在这个电商平台进行去买的。可能速度更快一点啊。好了，那么接下来继续吧，我们来不多说了，我们来看看这套卷子，因为这套卷子啊，里面当中一些题啊，我们还需要做这个重点的一些讲解。好了，那么接下来我们来看看这套卷子，其实这套卷子它算一个。中轴线吧。啊，怎么叫中轴线呢？

二一年太简单。二三年太难。这套卷子呢？就刚刚好啊，就是这种感觉，所以你今年的话，你这个复习啊，你好好复习，我先不说这个问题。等到我们最后一节课，我们再谈，你放心，等你到了今年拿到这套试卷当中，你一定会比你现在这个暮期的这些玉标啊，这个。

预期的这个目标要考的更好一点，好了，那么接下来我们就继续吧，我们来看看这个今天部分内容，我们先来看看这个第一个题。啊，这个题啊，比较简单一点啊，这个题啊，难度系数不大，你发现一个事儿，这个当x怎么办？你趋向于这个负无穷。那很明显，这个rs二分之二啊，

它就趋向零，那趋向零的话，这个部分的话，它不就等价无穷，小S分之二吗？那所以说这里面当中这个极限题啊，你就立即秒了，当s趋向负无穷，这是s立即等价无穷s分之二，然后这个结果出来了。所以，正确答案选几啊选一。呃，这个题啊，难度系数不大，

然后接下来我们继续，我们再来看看这里面当中的第二题。再来看看这个人。那这个题也是我们的一个常规题，那这种题叫什么东西呢？它叫做已知极限，求解其中的待定参数的问题。对吧，已知极限，求解其中，待定参数。已知极限，求解其中，待定参数的题，我们讲过第一步干嘛？

你先定型。一定的话，你发现这是零，然后再一定的话，这个部分是三减去a，加上b，我们讲过这个事情，如果这个东西是未定式，它就是未定式。如果这东西不是未定式不，它一定是未定式，所以这块一定是零。能理解吧，哎，这个结果一定是零，

然后接下来的话，你发现当x趋向负一的时候，这个部分是零。那上面部分也是零，那我这可以怎么做啊？我可以洛必达呀，你下面一落没了，然后这个部分是6a啊，这个什么6 s+a。啊，加上a，然后这个极限，结果它等于四。那么然后把这个东西啊，我们带进去负六+a，

然后结果等于四，所以这个a等于几啊，等于10a出来之后的话，这个b就出来了。所以等于a- 3就等于七，所以正确答案选几啊选b。好这个题，然后接下来我们再来看看这里面当中的第三个题啊，前几个题啊都比较容易啊，好再来看这个题。那这个题考了一个概念，考了一个连续的概念，连续什么东西呢？连续就是极限等于函数值，连续就是极限等于函数值，

你发现大于零和小于零不一样，你就要分。所以说这里面当中就要进行去求它的什么求解这个零处的，这个右极限那右极限对谁求极限啊，其实就是对这个人进行求。而上面这个部分呢，我立即可以做一个等价无穷小代换一代换这个部分是负s，所以说等于负的a分之一。然后接下来我们再来看看，当s趋向有多少零零负零负的话，就对b进行求极限，结果是b，然后这里面当中的该点值是谁？该点值也是b。所以综合下来就是负的a分之一等b，

因此啊，这个AB等于多少等于负一，因此这个题的正确答案选几啊选一。好了，这是第三题，然后接下来我们再来看看第四题，第四题啊呃，还是一个常规题。那这个题说什么找等价无穷小，谁跟s是互为等价无穷小的，那么先来看看这个第一个人，那第一个人的话，这个部分不就是。一加上s的二分之一次方减一等价无穷阿尔法s。那这样不对，

因为我怎么办？我要找跟x等价的，不是找x同阶的，如果是同阶它就对了，但是等价它不对。好了，这是第一个人哎，他不对，然后再来看看第二个人，第二个人秒了吧，你看这个gs你怎么做？你可以这样做。这是ln多少一+s，你减去多少呢？ln1-s^2，

然后眼睛漂一下，你就知道哎，这个人是几阶无穷小。来眼睛飘下是二阶，这是一阶何取什么阶何取低阶老喜欢玩儿这个事儿这个东西啊，已经不新鲜了。等价无穷多少s，它是对的，然后再来看看hs hs这个人呢，就考了一个事情，考了一个当x趋向零的东西。a的s- 1立即等价无穷s倍的lov。好，这个那x倍lna的话，这个结果是二的x- 1等价无效多少x倍的ln 2？

前面没有这个系数，它不对好这俩人，然后再来看看最后一个人，这是ws ws等价无效多少？上面等价无穷s方，这是s这个结果是s它是对的，所以这题的正确答案是什么？gs和ws。gsw s正确答案选几啊选a。当然，这里面当中的这个gs这个选项你还可以这样做。那我们都知道，如果这个函数趋向于。l这个函数立即会等价无穷，小于这个函数减一没问题吧？

所以说这个gs这个部分的话，它就这样。这是ln多少呢？一加s一减s方，你就会发现看这个部分。那这个部分趋向多少呢？它不就趋向一吗？你s这个部分是趋向零的，你趋向零，这不就趋向一吗？立即等价无效多少？等价无穷小于这个函数，再来减一等价无效这个函数减一的话，其实就一减s方上面减下面。上面减下面就是x，

再加上个平方。好，这个东西啊，你做成这样。那做成这样了之后，我们来看看你，发现这个人的极限，结果是几啊？这个极限结果是一非磷因子可以淡化。一阶和二阶立即合取一阶，所以这个东西啊出来了，所以正确答案，这个人呢，依然是对的。能想清楚吧，

两个方法都行，所以这个题是个常规题，你看前四个题。前四个题啊，做起来非常的顺畅啊，相当的顺畅。这做起来感觉也非常的好。然后再来看看第五题。啊，第五题呃，第五题啊，其实我非常想讲一个事儿啊。其实当年的话，这个二二年考完了之后啊，你就会发现这个。

现在这个自媒体有多么的发达。啊，什么妖魔鬼怪都出来了。什么样情况呢？就是当年这个题考完了之后。有这个。跟那些学生怎么讲呢？说我们三九六同学要复习数一专题的第一型曲线积分，我当时一听我就觉得懵了。你是对这些考点的话，是有多么的不熟悉这个求弧长的问题，它本来就是一个定积分应用的部分内容。我们要进行学第一型曲线积分，我们要学习数据专项三重积分线面积分，那考什么三九六啊？

你考数三都觉得简单。所以我觉得这个。有有些点呢，这这这那太离谱了，你现在都能在网上当中，还能找到这些啊。好了，那么接下来我们就继续求弧长第一型曲线积分，对一积分就是弧长。所以这个题肯定能用第一型曲线积分做，但是这里面当中你别乱来啊，你千万不要乱搞。那么，这个求弧长这个问题啊，我们稍微把这个知识点来跟同学们复习一下啊，

回顾一下这个知识点。那么求弧长呃，我就直接看这个考前21计对吧？这样方便一点。好，我们来看看呃，这个求弧长这个问题啊，它的核心重点就是套公式了，对吧？你就套弧长公式。那套弧长公式最重要问题就是要记住三种弧微分的形式，直角坐标，极坐标，参数方程。然后接下来我们来看看这个公式，

你稍微注意。那在这里面当中啊，我们看看这个第一个点啊。那在这里面当中求弧长。你要记住三种胡微分。这三种弧微分分别是什么？直角坐标系下的弧微分。直角坐标系下的弧微分等于根号下一，加上y对s求导的平方ds。然后是参数方程条件下的互余分，它等于根号下x对t求导的平方，再加上y对t求导的平方。然后dt这能记得吧啊，这个这个不好写啊，然后这是极坐标，

极坐标的话，这个弧余分等于根号下r方r对西塔求导的平方，然后DC塔。好了，这是这个问题，那么在这里面当中啊，我想讲一下这个事情，你注意了。我们在这里面当中，只要给你一个方程，你看。如果给的直角坐标。你就直接对这个弧微分进行积分，你后面是x上下限就写x范围。如果这是极坐标，

你就对这个弧微分进行积分，后面是DC塔，你上下限就写c塔范围。如果给了一个参数方程，你这个东西就对弧微分进行积分，你后面是t上下线线就写t的范围就行。所以非常简单，然后另外一件事情，我想强调一下，你注意了请告诉我，弧长一定是正的，对不对？弧长一定是正的，对不对？那当然对呀。

那么在这里面，我们看你看这个被积分函数永远是正的，这个被积分函数永远是正的。这个被积分函数永远是正的，所以同学们，你想想一个问题，这个积分线必须是正的积分线吗？所以说它的下限。一定要比上限小。你都不用去想这个套公式非常简单，公式一套从小写到大公式一套，从小写到大这个东西啊，非常的简单。注意啊，这个东西不要跟那个前面求面积混淆了，

前面求面积是换元要换线啊，这个东西是直接套公式了。把它想清楚，那么所以说这个题啊啊，其实是一个送分题来看看吧，来解。我们要进行求解，这个弧长，那这个弧长是什么坐标？直角坐标来吧，一+y对s进行求导的这个平方。然后ds上下限写s范围，从小写到大。好，这个范围，

然后接下来我们来看看这个人，那这个人的这个y啊是多少呢？他是等于根三分之一。然后这是x多少二分之三次方？那么，接下来套公式。零到四根号下一加上那这个导函数等于多少导函数等于根三分之一二分之三？然后这是二分之一次方，所以这个人那这个人的话，我们再平方下，你给这个人平方一下的话，之后的结果就是。三分之一。四分之九，然后这是s。

所以说这是一加上多少呢？一加上四分之几四分之三倍的sds。好，这个东西啊，就做成这样了，那做成这样了之后，我们怎么积这个分呢？你换个圆就行。对吧，你在这里面当中换个圆，你或者怎么办？这是一次项式换元，其实变麻烦了，你直接在这补个四分之三就出来了。哎，

你要想清楚啊，如果这个东西是一个二次项式，你可以想着还原。但这个东西是一次样式，你其实可以把这个东西当做成s处理，你直接来就行好了，那么接下来我们就看那这就是零到四。然后根号下一加上四分之三s，然后d多少四分之三s加上一，然后这个东西就补成三分之四。那所以说这个结果是三分之四，然后这是二分之一啊，这是二分之一，二分之三，然后前面是三分之二。

把这个东西啊零和四带进去。好，我们来看看这个结果，这是九分之八。把四带进去，四带进去的话，这个结果就是四。四开方是二二的话，这是八零代进去是一，所以说这是九七八五十六这个结果。所以说是九分之五十六答案选d。好了，这个题你发现没？这个题不是说不会。谁能不会呢？

谁不会套公式呢？谁能不会记这个分呢？那重点是什么？有些同学没有复习到。没复习到啊，那年就亏大了。所以很多这个当时啊，是从数三转过来的同学都吃大亏了，都都吃吃非常大的亏。那原因是什么呢？因为数学三的考纲当中明确的说明了，不要求这个知识点。啊，这是非常直接的呃，只有数一数二同学，

我们才需要进行学求弧长求这个旋转表面积求。求这个什么呢啊，这个行星的问题，质心的问题，还有这个压力的问题，功的问题啊等等，这些物理学应用。好了，这个考点呢？我们讲到这，然后接下来我们继续，我们再来看看第六题。好看一下这个题。这个题啊，大骗子。

啊，其实我在那个前面四套卷里面也骗过你。你发现这个东西有没有用啊？这东西没有什么用。这个三的零就是一，它就是个非零因子，所以说在这里面当中直接把它变成一就行了，然后这是x。你把这个人写成fs- 1，然后来个负号。那这个时候的f0其实就是一，你就把这个一就写成了f0。所以说这不就是负的f撇d吗？所以这个结果是一你哪怕多写一步，你都觉得这个挺麻烦啊，

所以说这题正确答案选几选b。这个题当然也可以举例子，举例子都不用直接算简单啊，你可以举例子。这你稍微多算一步。你其实你都会发现，都是对这个题的不尊重啊。好了，这个题啊，我们就讲到这儿，然后我们再来看看这个第七题。那第七题考什么呢？你来看那在这块给了一个分段函数。然后眼睛一瞅，你发现这是分段点伤。

这是分段点y。分段点外直接求分段点上用第一，所以这里面当中我们来先看看这个分段点。分段电商用导数第1 limits趋向零，然后这是fs。减去f0比上s- 0，所以说然后的话，这是limits趋向零。你就直接操作，那这是sins减去一个s比上这个平方，上面等价无穷小负的六分之s，三次方还记得吗？这是零。你上面是三阶，你下面是二阶，

高阶比低阶是零，然后接下来我们再看当x，如果不为零的时候。你就可以直接导。你直接进行去导的话，你发现这是if撇s来吧，直接对这个外面求导，下面平方上面求导乘，下面减去下面求导乘上面。然后我们就把这个什么把这个一带去一带去的话，这是一。呃，你发现这个部分是一，这个是cos 1。然后再减去三一。

所以这两个一加呀，那其实就cosine再减去三一当然选a。好了，这是这个题吧，我们就讲到这，然后接下来我们再来看看第九题。啊，这个题目那这个题啊？他说这个函数由这个方程确定，隐函数隐函数在这个曲线上的点的这个切线方程。那这个切线方程怎么写呢？你看这个切线方程，那切线方程的话不就是y=f零，然后再加上f撇零。你再乘上一个s- 0是不这个事情？

少了第几题啊？等会我们再说吧，先我把这个题讲了。那然后的话，这个部分我们来做，你看你的重点是什么？你的重点有两个事情f0求像f撇零求像。你得把这两个东西啊，都求一下，那么首先我们先继续去求f0吧，你怎么求啊？你f0的话就是直接是当s=0的时候带回去。带回去了之后的话y就是一。那其实就是f0不就是一吗？好了，

这是第一个人，然后接下来我们要求导函数，导函数就是给这个方程两边同时求你发现前导后不导。然后再加上什么啊，这个什么你导，然后是前导后不导，然后再加上前面不导，你发现后面导函数是不是非常恶心啊？不要算了哎，千万不要算，你发现一个事情，你这个算呢，你就非常麻烦，其实也能算也很简单了ve的xy的话，然后的话前导后不导前不导，

后来导。不要算为什么一会儿我要带零零一代的话，这一项都是零，你不要算了，所以这个结果是零，你巧算。所以说这个时候我把它带进去。s是零对吧？y是一，然后这是e的零是一，那等于它所以在这里面当中y撇零，这个人等于几负一？那因此这个结果就出来了，那y就会等于多少f0？这个结果是几f0是一，

然后再加上负一倍的s。其实就是y=-s+1。好，这个结果就是y+s=1。好正确答案选几。选a吧好了，这是这个问题吧，所以说你在做的过程当中，你稍微注意一下这个事儿。呃，第几题啊？第七题什么？来再来看看这个题。好第七题。那第七题啊，

其实考了一个是微分啊，这个骗不了我们。因为你发现一个事儿，这个。考这个微分呢，因为我们是选择题，你不会漏掉ds。要是个填空题，很多同学会漏掉ds，那我们不会漏啊，对吧？那选择题嘛，那直接来呗，来求导导函数就等于。先对这个中间变量求导四倍s方，

加上2s中间变量，再求导是8 s+2，然后接下来就把这个零带去。零代进去的话就是af撇零，然后再乘上二。能理解吧，那所以说这个结果是六那所以这个微分等于六倍的ds答案选几啊选一。好了，这是这个题，你看前面做到这儿都没有什么难题。啊，都没有什么过多的难题，然后再看第十题，看到第十题，我哈哈大笑。

因为这题考什么？然后我们继续去考单调区间和凹凸区间，这个事情非常简单。那考单调区间和凹凸区间呢，你会发现我们这里面当中，尤其是21g，我又给你总结一遍，你再把它做错了，你有点对不起人了啊。你来看看这个部分。我们来看看这个点，如果在这里面当中，让我们去求解什么，求解单调区间的问题。你求解单调区间的问题的话，

你就想我们第一步先找到导数为零的点，导数不存在的点，然后根据把它画成若干段。然后并行画表，然后进行确定正负心是不是这个事情，如果确定凹凸曲线呢？找二阶导数为零的点，二阶导数不存在的点，然后进行去划分区间段。然后再来进行去判断它是不是这个事情是非常简单。啊，这块内容啊，我给你还总结了，你再把它做错，有点不好意思了，

那我们接下来我们就继续，我们来看看。那你先做呗，那这里面当中还有最值的问题，你最值问题怎么办？你最值问题就是先求极值再判端点，然后进行比较呗。是不是这个问题好了，那么接下来我们先来看第一个事情。那么，既然这个题啊，让我们继续去做什么呢？让我们继续去做这个单调区间，我们就要来求导那导函数的话就出来了。那前导是多少2s，

后面这个人呢？不倒，然后再加上前面这人不倒，后面来倒变成它。所以说这个结果的话就是s方，再加上多少加上2 s- 3，然后倍的es。那么来看看吧，把这个东西可以整理一下，一三得三+3，然后s- 1，这个人变成他。那么来看看这个人吧。这里面当中有没有不可导点没有，只有导数为零的点，

导数为零的点，一个是一，一个是多少负三？好了，这个情况那没有这个不可导点，那只有这个人，那么这个人的定义域是r，我们就来划分区间段了。来走负无穷，到多少到负三，然后这是负三。再从负三到多少到一，然后这是一一到多少正无穷。那然后接下来我们来看看这个一级岛，还有二级岛，

大家注意你这里面当中啊，就这个板块。是吧，你这永远是正的呀。那所以我们在这里面当中，我们去看看这个事情，你这是负三，然后这是一那所以它的这样的一个图像就是这样，对吧？你这块是负的，你这两边都是正的。那因此我们这个东西就出来了呃，这是。一阶段y。然后这个部分是增，

然后这是减，然后这个部分是增，那这个部分是零，所以说这是极大值，这是极小值。所以我们来看看这个单调递减区间，那递减区间明显不对呀。你这个递减区间的话，是负三到几啊？负三到一，你说错了。然后这个递增区间，你说的也不对呀。所以在这里面当中，把这两个排除，

然后我们就来看看这个人的最大值和最小值，你要注意，这是个极大值吧。这是个极小值吧。你把这个极大值带回去，然后这个负三带进去的话就是三倍的多少呢？这是三三得九，那是六倍的e的负三次方。然后接下来我们再来看看，把这个一带进去，一带进去的话，其实就是负二倍的一。好了，这是极小值，有些同学就这样做完了。

你这就有点莽撞了，你到底选a还是选b啊？一定注意，还要进行去判断端点值。那有同学说老师这个东西没有断点啊。对吧，我这个人没有断点啊。怎么可能没有端点呢？你还要继续去求这个正负无穷吧。因为它现在的话，大致的这样的一个曲线是这样。你这是y你这是零，然后这是s。那么，在这里面当中啊，

给了一个什么，给了一个负三，然后又给了一个一。那这块当中，我们来看看这个问题。就是你在这里面当中求一下，正无穷极限。正无穷，正无穷的话之后，你这个部分是正无穷，你这正无穷，那这肯定正无穷啊。然后我们再来看看down OS趋向负无穷。负无穷的话，这个是正无穷，

然后这个部分呢是零。呃，这个部分是零，你怎么做呢？你应该这样摆。把这个x趋向于多少呢？这个负无穷。把这个e的s啊，我们做了好多遍这个人了，把这个e的s啊放下面去好，这个结果，所以下面这个人远远比他大。对吧，这个正无穷，比它大，

那这是零。所以我们现在看图像应该是这样。你应该是从哪开始走呢？你这个部分是正的，你从零开始走到这儿。对吧，然后这个部分是负的，你又减到负的。然后又到正无穷。那你告诉我。这个东西当中有没有最大值？没有最大值。没有最大值，这个题是无最大值的，你最大值是什么？

无穷大。这没有最大值。然后再来看看有没有最小值呢？有最小值就是这个人，所以正确答案选几选b。你像这个题做到这儿啊，其实就基本差不多了啊，做题的套路就是这样。就是求导找到注点和不可导点，然后进行划分区间段，划分区间段了之后的话就知道了，单调区间知道单调区间再判断端点，这个最大最小值就出来了。好，这个问题，

然后这个题啊，来了一个炮灰，这个炮灰啊，完全是影响你的。如果你这个提示是把凹凸性凹凸区间和单调区间一起做做，麻烦了。它影响你的。你就先做前面那已经做完了，就不要看它了，我说那我还想看一下，那我们来一下吧。那在这里面当中，把这个什么一阶导数算完了。好看看这个人，这是一级老鼠。

那么，一级导数算完了之后，我们再来看看这个二级导数，那二级导数的话就是前导呃2x，加上二后面这人不导。然后再加上前面这人扑倒。啊，后面来导是这个结果。所以说这个时候的话就把它操作一下，这是I次方，你再加上多少，你再加上4s，然后再减去几，你再减去1 es。好，

这个问题，然后接下来我们继续去找这个人v0的点。你这不会为零的，你这个为零的点，它还不好算呢。你这这个这个怎么算呢？这is方加上4s那么移过去，你需要加个四，那这边是五。所以说这是s+2^2，等于多少等于的话，这个数。所以说这个x它应该等于多少呢？它等于这样。它等于。

负二加减上根号五，所以说你一看的话，这个人跟零就没有什么关系，跟零没有关系的话，这个人就不管了。所以选几选b。好了，这是这个问题吧，我们就讲到这。你在搞啥呢？看哪个区间？看哪个图像？这我随便画的。你你别胡来哦。不不，

这搞啥呢？对吧？你别胡来哦，我是随便画的。嗯，怎么样？来咋看啊？啊，怎么看？草图案。你哪知道怎么样？你看吧，所以别别别乱来啊，不要凭你的感觉来。好，

这个问题那么这个点呢，我们就讲到这。稍等一下。好了，这是这个问题吧，那么接下来我们就继续，我们再来看看这个下一个题。呃，这个东西啊，它跟那个磷就没有关系了，你就不用管了。行，你继续吧。我们来看看这个第11题，11题，

这个题考了个变现函数，那见到变现函数想求导，见到变现函数想上下限相等的初值条件，还记得吗？我再说一遍，见到变现函数，想求导见到变现函数，想上下限相等的初始条件，讲了一年了啊，来我们来做。那这个人的话就是变上线移上线上线再求导，然后这半边一求导是他。那让我们去求f一啊，这个题我们上下限相等的初值条件都不用找，你要是一的话，

你就另零s等于多少零s等于二分之一？零s等于二分之一的话，这人是一，这是二，然后这是多少？这根号一，所以说等于二分之根号一选几啊？啊，这个破题啊，也不难，那么从第一个题，如果有些同学可能稍微的会停滞一下的是这个12题。这个12题啊，我先来讲。我们讲讲理解的方式。

然后接下来我们再来给你讲精确的做题方法。来看看这个题吧。这个题不是说特别难。我原来是讲过这个问题的。大家琢磨一下。这是cosines的方。哎，扩散的方。你看cos in的图形呢？它大致是这样。对吧cos的图形大致是这样。然后的话，你会发现cos的方的图形呢？它大致是这样。大致是这样。

注意啊，大致是这样。因为你发现cos x方。这个巅峰不会变。但是中间的这些部分要矮一点，你你比如说这是二分之一，你平方下就变成四分之一了，你要中间会变得矮一点点。你巅峰是一平方还是一？就你巅峰不会变，但是你一般的话，你看你这是零。零零的话，它的平方还是零。这没问题吧，

零的平方还是零？一的平方还是一，就说你那个x轴的交点不会变。你的那个什么上风不会变，但是你中间的这些人呢？要矮一点点。那想清楚吧，哎，要矮一点点。然后接下来我们再来看看三次方。那三次方会是什么样子呢？你cos x三次方那三次方的话还是这个样子？啊，还是这个样子。能想清楚吗？

我们讲了好多遍了啊，哎，这种问题这不是说特别难，三次方的话，你看你这个人还是有这个。想不清楚吧。好听明白的给我回复一。啊，听懂了给我回复一。就这些图像上的这些东西啊，你你肯定要把这个基本的这样的一个问题啊，你稍微的了解啊，你再进行处理。那么，然后接下来我们看。

这考题考什么？考了七分线是相同的。积分线相同，被积分函数不同，考什么东西考比较定理？考比焦定理，我们来看看一个事情。哎，你发现。我这里面当中的这个。e的这个人永远是朕的吧。哎，永远是真。永远是真的的话，而且。

你这个部分也是正的呀。你这个部分也是正的呀。但是这个东西有正有负。它是不是有正的，也有负的？有正的也有负的。所以说这个部分的东西啊啊。就是这个人，他有正也有负。所以说这个部分它应该比它们小。你可以理解一下，你理解不了的话，我们还会再谈。那么，接下来我们看看，

首先我进行去比较谁呢？我先比较这俩人。因为这俩人的被积分函数都是正的。是吧，被积分函数是正的。而且你会发现。coss的这个绝对值啊。它这个人是小于等于一的，有没有问题？你不要跟我说这个东西，你都想不起来啊。你这想不起来的话，有点问题哦。你这肯定得想得起来。那你是这样子的话，

我们来看看你coss方，你平方下。你是大于零。还有cosine四次方，你觉得谁大？它比一小的时候次方数越高反而越小，因此啊，是你搭。你不要大一点，然后这个部分呢？比零大。能想清楚吧，我知道有个别的点，它可能会相等，但是最后的话，

那个积分一个点不会影响的。能理解吧，你一个点相等，但是我比较的是面积啊。所以我们就直接用大于号就行。跟得上吧好，这是这个人那所以我们马上就知道。你给它乘上一个多少呢e的这个三？你给它乘上个e的，这个三。那所以说这个部分呢，它肯定比零大。比零大的话，立即可以选。那这个时候我们这个I就会大于k。

啊，这个人大于零没问题吧？倍积分还是大于零，那个积分肯定大于零。好了，这个方向写能想清楚吧？所以说你把这个东西做对。有些同学可以可能凭着这个做题的，这个经验的感觉，这个感觉非常好。比这个j大。那么，这个j是j不一定是负的。这不一定是负的。它有正的，

也有负的。它既有正的，也有负的。那既有正的，也有负的的话，他这个东西怎么办？他这个人就会。啊，这个其实就会更小一点。抵消一个部分嘛。那所以说这件事情呢？它肯定最小。所以我们把这个方法认为成方法一。就是你凭着你的这个经验做，你也能把它做出来。

然后接下来我们再来看。我还是希望把刚才那个图像再深层次的讲讲啊，我觉得。刚才那样讲，有些人理解了，有些同学啊，这个。我感觉还是比较慌。来那么接下来我们看看。那在这里面当中，这个y这是零，这是x。我们先来画一下谁呢？我先来画一下c。好，

这是c图像。这是二分之派。然后这是二分之三派。啊，这是派那么同学们注意。这个人是cos的图像。然后接下来我要进行去画cos方的图像，大家好好品啊。认真的进行品相。你发现。你在零这个点。这个点辨别。不变一的平方还是一。然后这个零还是零？是吧，

然后这个是负一的平方呢，反而变成了一。然后这个二分之三派呢，这块还是零。这块不变。但是你看你这块儿是大于零，小于一平方下应该变小了，它其实图像的话，它就变成了这样子。就相当于翻上去了。哎，翻上去了。能想清楚吧，哎，它周期当然是变成派了呀。

这是拍，这是二二分之派。但是我想问你个事情。你看这个高度。对吧，第一个绿色高度。和这个。下面这个绿色高度。你觉得谁高？上面这人高四方数大了，它反而中间部分是变矮了。变矮了啊，想清楚这个问题，然后再来看看cosines三次方。那三次方的话，

我们继续看。你稍微瞅一下。你这个点是一我三次方还是一？你这个点是零，我三次方还是零，你这是负一，我三次方照样是负一，你这是零，我三次方照样是零。所以说它的这样的一个图像，它其实依然是这样子。啊，依然是这样，那这是二拍，然后这是派，

这是二分之派。图像依然是这样。但是他有正也有负，而且你会发现这个高哎，这三个人谁最高啊？谁最矮呀？上面最高吧？你四方树越大哎，你这个那个那个拱是变小了。变得更矮了，那四次方呢？四次方就会变得更小。那四次方变得更小，那么接下来我们来看看这个题，我原来讲过这个方法。

给这个三角函数前面乘上一个函数，那个前面那个东西是什么呀？我相信你记得。我原来不是讲过这个事。我讲过这个函数图像吗？你前面这个s是什么？你前面这个s是振幅啊。是不是振幅啊？我巅峰直到你低谷达到负的，你是不是这个情况这振幅啊？所以现在我们来看看这样的一个呃，其实非常好看，你先来看看这个第一个人。大家来给我瞅一下，这是y这是零这是s。

我要讨论这个灵道派。零到派其实这个三音是多少呢？三音其实是零到一。零到一的话e的s这个人零到一的时候。它是这样一段，反正的话，你发现你看它的振幅就是这样。啊，这是正负巅峰，值达到它低谷，达到负的它。好，这是政府。那么，我们来看看这个第一个人。

你cos方和cos四次方这块儿的图像一样不一样。一样不一样，形状是一样的吧？你cos这个这个是一嘛？它都是下来。然后再呃，这个什么下来，然后再上去。是吧，你下来再上去。都是这个样子，都是下来再上去。你下来再上去的话，你就会发现一个声儿。我说的是零到一嘛。

你别管它，这个图像到底是什么样子？你这个。很多说那他不应该是先涨上去。涨上去再下来嘛，你别管，你没发现这三个人的这个振幅都是一个人吗？你又把这个事情想复杂了。你三个振幅都是一样，你就这样画，反正三个人都是这样子。你能听得懂我的意思吗？你是这样画，我也是这样画，我们就看它下面这个变化就行了。

你们三个人的话，这个你三个人的话，这个系数是一样的嘛？你要比较的是后面对这句话说的很好。你看前面干嘛？你就是前面给了一个振幅，随便给了一个振幅。然后我们来看你cos平方这个人是是这样子。你cos四次方的图像的样子，还是这个样子，你告诉我个事情，谁高一点？平方高一点。平方更高一些。平方是不是更高一些啊？

平方是更高一些啊。所以说这个时候我马上就知道I这个人肯定比j大。好，这是这个事情，然后接下来我们就继续，我们再来看。然后的话，这是JJ这个人是什么呢？你这个人的话，你看你看他下来。当然，你要下来。你要下来的话，你发现会抵消一个部分，那这个人肯定啊，

这个是k我比你更大。是不是这个新引框？所以说你把这个事情你就想清楚了。听明白我的意思吗？你要想清楚这个事。那么其实啊，我们想画的更严谨一点。更严谨一点，我给你这样看。能学会吗？好了，我给你画更严谨一点。你来看看这个赛，因这个人。s in这个人。

在零到二分之派。零到二分之派的时候，它是一个增的，从零增到一。对吧，从零增到一，那这个一的这个三。就是从零增到一的这一端。是吧，从零增到一的这一段，然后这半边呢，就是从一到零。所以其实它的这个振幅应该是。上去。再下来。

哎，这是它的振幅。两边是对称的。两边是对称的，你想想一个问题。我问你个事儿，你好好琢磨琢磨啊。你看第一个人的图像是。这个样子。这个样子，这是cos方的，然后的话，这个四次方的话要比它矮一点。它是这样子。没问题吧？

哎，四次方要更矮一点，它是这样子。所以说这个时候I肯定比k大。然后这个里面当中的这个j呢，我看你水平怎么样，你觉得等于几啊？等于几两边是对称的呀，振幅是对称的。等于几，等于零。你猜一下啊。这水平点非常的高，它是零。因为你两边是对称的。

你从这边滑过来，这个滑过去两边是对称的。它是零能想清楚吧，这个图像的方法是最快的。比较简单的话就是首先我们前面都是正的，我不管，然后我一看到cosine方是正cosine三次方有正有负cosine四次方永远是正。我知道这个会抵消一个部分，所以说这个部分呢，会更小一点，对吧？更小一点，那所以说然后。次方数越大，你这个人反而越小，

那所以说I最大大于k大于d一下就出来了。如果你想想的更详细一点，你就看图。你看图的话，你会发现你看我这个部分是正的。我这个部分是正的。啊，这个部分有正有负。是吧哎，你看这个部分有正有负，你从图像上进行看的话，而这个部分的话会更矮一点，所以你更小一点。对吧，更小一些，

然后这个部分呢？你这个板块的东西啊，它这两边是对称的。有些同学尝试着积分，你一看都没有摸清楚考研的方向。你就使劲击吧。你就使劲吸吧。你要摸清楚这个东西的方向，这个很重要。哪来的火呀？不是点火方法不对，哪来的火？心中一把火啊，那是胡乱用题。就知道一个东西的话，

胡乱怼啥都往上怼，哪来的火？火在哪儿？把这些东西给分离出去了，非离因子啊。你穿越了啊，你别别胡来。好了，那么接下来我来给你进行去呃，严格的进行去证明。好了，那么接下来这个题啊，我要严格去做一下，我们先来看看方法一这个题。那么，

首先我们知道，因为这个部分的东西啊，我们一看它是大于零的。这个部分东西啊，我一看是大于零的。所以说这个时候你就知道e的这个s in这个cos方啊。它是比这个e的，这个s in的cos四次方大，而且大于零。所以说这个I是比这个k大，而且大于零。那么，接下来我们来进行去做一下这个j。没有火，你是胡扯胡乱做的，

你把它做对了，别别别乱来啊。那不是凑巧，没有点火。它就不叫点火公式，你别别乱来啊。然后我们再来看看这个j。j等于多少呢？这是林道派。e的这个sincoss三次方ds。同学们，想想我刚才给你讲过。其实这个人呐，你看这个人零到二分之派和二分之派到派是对称的。而这个部分是它的振幅。

但是我们一般对称，我喜欢按照零对称。我不喜欢二分之派对称，那我怎么办呢？我把这个人往过平移一下。能相清楚吧，评一下，你要注意啊，有些人看到一些答案诶，答案当中换元了，这我怎么想不到，你一定得想得到。所以你上课听啊，要听思路。你这个人哎，

中轴线是二分之派零到二分之派，二分之派下去哦，这两边对称。那在这里面当中，我们想想一个事情。那这个我不喜欢二分之派对称，我喜欢多少呢？我喜欢这里面当中的啊，这个零对称我就给你往回推一下。我换个圆。我一换原来之后的话，这是负二分之派，然后这是二分之派。e的多少呢？然后这是s in这是多少二分之派？

再加个几加个t，然后这是cos多少？二分之派加个t，然后这个部分的几次方三次方，然后这是dt那，所以说这是负二分之派到二分之派。一亿得多少来？积变要变，然后第二象限是正的，然后这个部分呢也要变。也要变的话，就要变成三。变成三音的话cos第二象限是负的，所以前面有个负号，然后这个人的三次方dt，

那这时候再看对称区间。然后这个部分是个偶函数。然后这个部分是个奇函数，整体就是个奇函数。所以说这个奇函数等于几等于零。我们通过严格的证明都知道这个结果等于零，你看这个人比他大是大于零，然后这个东西是等于零。把它好好看看，所以正确答案，我讲了好几种方法，你自己好好品品。好了，这是这个问题吧，我们就讲到这。

别胡扯，我再说一遍，你点火公式就胡乱来。对吧，点火锅是胡乱来。纯属胡来的。而且你你知识点也不太巩固。乱用东西，你这可不太行啊。好了，这个点呢，我们就讲到这。所以说你可以通过图像。图像的话，你就会发现哎，

这个人是个振幅。这我总知道吧。振幅e到s in，然后这半边儿两边是对称的，然后它是下来再上去。然后这个人更矮一点，然后这个人有上有下，这一纠结出来了。好了，这点呢，我们就讲到这儿，然后接下来我们再来看看13题，这个题我讲的时间比较长了，我讲了好几种方法。一下就好好品品啊。

然后再来看看第13题。那么，13题的这个题啊，那我们再操作。不对，要我想想。把cosine放到不对不对不对。你要是这样继续去做。这个这功力又不好了。那我们来看看吧。有同学这样做的。你这得经常复习，我上课经常说这个事儿。然后呢，他说令sin EX=t对不对？

对还是不对啊？对不对？能不能还原？对你看非常好，不单调吧，我上课讲没讲过这个事情。你这样，你是在领导派上，这样你不能换员的。不单调的。不对啊。你这个做做做对了也不对。听懂我的意思吗？说对了也不对。好下来好好想想啊，

你看，但是我觉得有提高啊，每个题你有提高就行，然后接下来继续，我们再来看看这个第13题。那这个题啊，我们怎么做呢？我一看的话，你就发现这是一。然后这个部分的话是啊，你看s分之一s分之一s分之一，我为什么把平方分出去呢？因为负的这个平方分之一凑就是s分之一。说二分之一到一s分之一e的s分之一ds分之一。好，

这个情况那怎么办呢？你可以换个圆零s分之一等于t。一换掉之后的话，这个结果是几是二，一是te的tdt。好，做成这样，因此这个人的话就是多少一到2t倍的e的tdt？然后接下来我们就继续，我们再来看。你没复习吧啊？你是从哪节课开始听的？你应该没有复习吧，你这样复习可不太行啊，我给你提示一下。

你从哪节课开始听的基础班，强化班还是冲刺班？无论哪个班我都讲。有些同学人家是提示到这个时候哦，恍然大悟，我想起来了，上课过程当中，老师讲过这个事情。恍然大悟，我我知道诶，原来原来过程当中，我知道这个事情。结果你发现的话，提示到到了这个阶段的话，提示到这个啊，

有这个东西吗？太可怕了，这这种现象是最可怕的。因为你毫不知道这个东西，我曾经学过啊。那再者而言，如果今年的话，就算考到了你，你好像也感觉说诶，是不是我们没有讲过？你自己下去复习啊，我不讲了，这个第二类换元法必须要要求这个单调，这是个最起码的要求，你去复习。

那个课程当中讲了。你这样的话，我敢我敢猜测一下，你是不是很多知识点都这样啊？有好多知识点都这样，那个很麻烦，得好好补啊，对吧？你要复盘了一遍，再进行去模考啊。好了，那么接下来我们继续吧，我们再来看。那这个题的话，我们就把它进行去放到后面去。

t倍的de的t，然后的话，这是两项相乘。然后再接下来的话就是两项调换位置e的tdt。那么所以说这个结果的话就是二倍的e的二次方减去e，然后再减去e的二次方。再减去个几，再减去个一。那所以说这个部分就约掉了，等于e的二次方。所以，正确答案选几啊，你选a啊，自己去做。然后接下来我们再来看看这个第14题。

好，继续再看这个题，那这个题。啊，常规题考了非常多，原函数是它。da就是它，所以说你发现这是原函数。那fs就等于多少原函数的导函数？你可以先不算。对吧，你先不用算出来，然后这个部分的话，你就怎么办呢？不要酸，

你把这个人直接换成了这个人的导函数。直接换成这个导函数，碰到导函数立即凑到后面去。立即凑到后面去，分步计分法两项相乘。是吧，然后再减去两项调换位置x倍的s in ds好了，巧读。那这里面当中，前面这个人的话是派方s in派是几s in派是零零代去是零，前面就没有了，我就问你个事情。后面这个结果是多少？怎么算呀？有些东西算的贼慢。

算的贼慢。这里面当中，你要硬着做，你又把这个东西忘了。我们这个东西，你把它给我标出来。如果没有想起来的同学给我标出来，考的贼重要。把这个s抛出去。对吧，立即补上二分之派。好，这个结果，然后接下来还有一个事情，那我们先抛吧，

把那个抛出去，变成二分之派。零到派，然后s in的积分。那么s in积分是多少呢？s in积分是这个汞的面积，这是一这是一，所以这是二，因此结果等于负派。好了，这是这个问题啊，我们正确答案选几啊选c。这个题能想清楚不？好，这个问题点那么另外而言，

你就算这个东西不是三音。你是三亿的平方呢？我们也能算的。s in的N次方零到派告诉我一件事情等于多少？有人愣住了啊，等于多少？等于几等于两倍的多少零到二分之派点火公式，一家人还记得吗？那一家人还记得吗？我教过你速算的这个方法，而且脑子一转就出来了。不需要硬着来，脑子转一转就出来了，点火工是一家人，你看在这儿。

这简直就是必考知识点。所以说像这个问题啊，把它想清楚。啊，你看零到二分之派都会。如果是零到派这个s in=2倍的。零到派的这个cos这个人怎么算？然后是零到二派，这个人怎么算哎，这里面当住好，你要注意，你看还有这个人，我是不是在这个考前21期里面当中给你继续去？标注了呀。啊，

给你标注了吧？我还给你标注了一个这个东西啊。一下就好好做这些点。好了，这是这些问题啊，我们就讲到这儿，然后接下来继续再来看。15题说y对s的变化率什么意思啊？y对s变化率其实就是y对s的导函数等于x+1的这个平方分之十。然后让我们去求解什么x从一变到九的时候，这个y的增量是多少？那其实就是y9-y一呗。是不是这个问题？我讲过这个事，它可以有个速算方法。

那速算方法是什么呢？就直接写成一到九歪倒的这个人的积分。是不是这个事情，你看有的同学这个水平点越来越好。通过这个模拟啊呃，这个水平点增进的非常高。然后这是is+1^2分之10 ds。那么，在这里面当中，后面补一个它，补一个它就等于多少负10x加一分之一一到九？所以说这是负十。把这东西一带这十分之一把一带，这是二分之一自己算。哦，

这后面还有个一是吧？哎，不好意思。看漏了那所以说这个部分的话还要进行去加个一。啊，加个一加个一的积分的话，这个人的话，再加上个八。然后在后面当中啊，你再加个八。好了，这是这个题不难吧，你最后算出的这个结果，你应该对了答案吧。这个答案选几啊？

呃，这是十分之几呢？十分呃，十分之五，十分之负，四十分之四啊，这个是十二答案选c。好了，这是我们讲的15题，我们再来看看这里面当中的第16题。你来看这个。那这个人的话，让我们去求解什么？这个有界区。然后它怎么办？

与x轴所围成的这个区域。这是y，这是零，这是s，你看这是零到派啊，这是二派。那么然后怎么办呢？呃，这个人与x轴所围成绕着x轴旋转一周。绕着x轴旋转一周，应该是这个部分的2倍吧？你这两个转一周的话是一样的嘛？那所以说这个v就等于二倍的。一半儿啊，一半儿，

然后这里面当中怎么算呢？直接套公式零到派。派倍的这条线。sin x的什么东西呢？平方点s怎么做哎？点火。点火零到派等于二倍的零到二分之派。然后这个时候就是四派，然后是二一二分之派，这个结果一约派方答案选几选d。好了，这是第16题，这不难哦，这考的这些点呢，考的还是一些常规问题。

然后再来看第17题。呃，17题是当年的过程当中啊，很多同学呃做的不是特别好的题。就这个点，其实从这个前17个题啊，容易出错的一些点，就是刚才那个。比较定理的那个题。啊，比较定理，然后还有一个是这个题。那这个题考的是什么呢？在这里面当中给了一个二级导数大于零。定积分。

零+2。f1。这东西叫什么呀？谁能告诉我这个东西的名字？非常好，考了就是考了阿达玛不等式。阿达玛不等式。你要注意一个事情，这个阿达玛不等式。你可以不用背。我觉得作为三九六同学，我在那个上面还给你专门进行去写了。你看这个烤箱21g里面当中是有。我专门给你写了。你看这个问题，

就这个。啊打马不等式。你们不用不用进行去背这个公式。而对于我们而言，应该是在考题当中，如果出现了这个东西，我能知道用几何意义来破题。对吧，用几何意义来破题。什么意思呢？我们来看看这个人。去想图像就行。这是我们三九六同学的目标。啊，对于数一数二数三同学，

可不拘泥于此，要会证明。这东西得用中点处的泰勒定理证明来做，这二零二二年的考研真题。然后接下来你看这a点，这是b点。所以你会发现这个老头子出题啊，有一点贯通性。二零二二年数一数二数三同学的压轴大题就是阿达玛不等式，我们在这个小题当中也涉及了一点点。那这个部分什么情况呢？它这样。也是一个o曲线。对吧，你是个o曲线。

那这个o曲线的话，我们来操作一下。这个凹曲线。首先，这里面当中的这个梯形面积。梯形面积能出来。然后曲边梯形面积。你看这是割线。你这个大t型是多少？比如我们这里面当中，这是a点。这b点大提醒。这个大梯形的话就是。上底加下底。成一高。

除以二啊是这个人是大t型，然后这个曲边t型是多少是a到b？fxds.好，这个情况，然后再来看第三个事情，那还有一个人呢，还有一个终点怎么用？怎么去用？你要用这个终点，你不能横着来，你应该是过它做切线。因为我们都知道，如果这个曲线是o的，它的切线一定在下面。

我们再来看看这个题型。这个梯形面积等于多少？你先看你上底。加下底，除以二就是中位先。你除以了个二，才等于这个人。那是不是再来一个高就行了，你再乘个高b- 1？所以如果我们这个题啊，它告诉的是二阶导数完全的大于零。而且这个a是不等于b的，那这里面当中一定就会有这样的一个不等式。你a和b如果相等a和b相等的话，这些人都是零嘛？

它们就相等了。如果二级导数如果能等于零，对吧？我们如果大于零的话，那这个人就不取了。就是完全大于零。啊，这个情况好了，同学们听明白了，给我回复一。所以对我们三九六同学考研而言。你见到这个东西，你能想到这个问题也很重要，他说那我怎么能想到，那不就是你说能考上的学生能想到啊？

你必须想到，这是个常规问题啊。一般老师说啊，这个东西想不到你多复盘。那么，接下来我们来看看这个人。来操作吧。那在这里面啊。啊，这还有一个撇儿啊。然后接下来我们再来看，这是一个x。啊，这是个s。然后这是零，

然后这是y2级导数。二级导数的话，它就这样。然后这个部分是几呢？然后这个部分是二。哎，这个情况，那这个部分是二的话，我们来再来再来看看。你就把这个东西连起来。然后这个终点对应的是几啊，对应的是一。然后过它做一个切线。好，我们来写一下这个三个大面积，

第一个大面积是什么零处的值？加上二处的值。乘以高，除以高，高是几呢？高是二。上底加下底，乘以高是二÷2。然后这个东西是大于零到2 fs ds。然后大于这个小的提醒。小的梯形的上底加下底。除以二就是中位线口。中位线高度再乘上高就行。你上底加下底除以二，你就是中位线高度，

你再乘上高就行，所以说这两年当中啊，他最后得到的结果就是。f 0+f二。它就比这个零到2 fs ds，然后大大于二倍的f1。所以说这个结果我们来看看吧。零到二这个定积分，它是小于f 0+f二，这个没问题。然后这个是零到一，这就不对，所以正确答案选几啊选a。好，这个题我们就讲到这。

举例子动漫。啊，说实话，举例子，我们。因为我们用眼神的话，一漂我都知道这个题考点是什么，这是一种能力。所以像这些点呢，有的时候钻了空子，把它做出来了。有时候钻空子钻不出来的，你忘掉了，二零二三年那道考研真题吧。那个例子举不出来的时候怎么办？

痛心疾首吧，最后还是得回到基本知识点上。好，这个问题啊，我们就讲到这。17题，然后再来看看这个18题。再来看那这个题啊，就是完全考了偏导数计算了。我们来看看这个pn zpns。啊，这个人那pn zpns的话就是先对中间变量求导，中间变量再求导是负一。然后的话，接下来我们再来进行去，

加上一个c。啊，这个人是吧？这一下就出来了，你先对中间变量求导，中间变量再求导，然后再来看看偏z偏y。p spy的话，就是先对中间变量求导，中间变量再求导11。然后这是e的y。等你把先带后球带进去了之后，人家已经做完了。所以有的时候啊，你发现带进去跟不带进去也差不多，

你就直接算就行了。然后接下来我们把这个零和一带去。零和一带进去的话，也就说这是e1，那就是f撇几呢？那这个东西就是f撇一，然后再乘上负一。然后cosine 0是几一？然后接下来我们把这个东西带进去，这是if撇一，你再加上多少，你再加上一。所以说这两个东西一+1加是多少？一+1所以正确答案选几选b？好，

这是我们讲的18题。可以了吧，来再来看19题老朋友了。这次这个题没做错吧？你再做错啊，也挺不好意思的这个题。来看一下。它说这个函数连不连续？那首先我们先来看第一个问题，连续性。连续性的话，其实就是极限等不等于函数值，你求极限呗。求谁极限趋向于零的话，当然是对这个人求极限。

是根号下x方，加上y方对它求极限。你对这个人求极限的话，我们来看看这个问题，就这个部分。这个部分是个经典的，有界变量。因为你发现你看你给它加个绝对值了之后。把s不要了。把s不要了，下面变小了，结果就变大了，这是一有界啊，无穷小乘有界无穷小极限是零。而该点处的值啊，

也是零，所以说这个东西是什么连续对吧？连续的。然后我们再来看看这个第二个问题。你再来看看这个偏导数。在零零处的偏导数，你得用这个偏导数的定义，所以我们现在看看s偏导数在零零处。我们来看看这个事情，就是先把y=0代进去fs0-f零零。比上s- 0s趋向零。好，这个情况那么，然后的话就是is趋向零。这是s，

你把这个y=0得带到这里面。所以它是0f零零是零，那这就是零。然后我们再来看看这个偏y这个人把零零带进去。把零带进去的话，就是limit，然后再看这是f0y，再减去f零零这个人。比上y- 0y在趋向零。所以说这个时候的话就变成了y趋向零，然后这是y。诶，这个x=0，你把x=0代进去了之后，你发现还是零。

对吧，这最后是零。所以两个偏导数都是零。结果发现这个二不对，那二不对的话，这不选这也不选。啊，这也不选，而且一还是对的。你还是得进行去判。那么，在这里面当中，我们来看看第四条，那第四条到底对不对呢？那第四条。

如果对。嗯，这不行。这这个这个不行，第四条它可以对也可以不对。可以退也可以不退，不不我们别别别这样猜啊，人说一般都不可为，那不别别别这样啊。你得判断可维性。所以说接下来我们来看看这个下一个点。你三是对的，你肯定这个不选嘛。所以最后你还是要做一件事情，就是如果可危了呢？

四，球队的。如果不可为了呢？四就错了。是不是这个问题还是得判，所以这个题出的是严谨的。那么在这里面，我们来看看这个最后一个事情。我们用什么用定义法吧s趋向零。y趋向零。走fx y。减去个多少f零零？然后这里面当中的话是x偏导数这个人。再乘以sy这个偏导数，这个点你再乘上y。

比上什么情况呢啊？x方加上y方这个你看这是零这是零这也是零。那所以说其实就是这个f sy比上这个根号。就用这个人比根号。这个人比根号的话，最后的话一算就是I趋向0y趋向零。然后这是s倍的这个y，然后这是s方加上y方。一看同比次方数。不存在，绝对不存在。对吧，同比磁导数。你比如说取。取一个方向，

你就取y=x^2向。y=s^2向的话就是s趋向零，这是二倍的s方，这是s倍的s绝对值。它就等于二分之一倍的limits趋向零。s分之绝对值，你看这都不存在的。是吧，这个的内容。因为你发现你临阵的时候是sbs。零负的时候是负sbs，所以说这是不存在的一个方向，不存在那肯定不存在。一个方向不存在，那必然不存在。

好，这个情况可以了吧？所以说这个人呢，是不可为的，那不可为的话，这人不对。是吧，四不对，所以答案选几选d。好了，这是我们讲的19题，来再来看看下面题20题。那这题容易的点在何处呢？就可以检验。你注意一个问题啊。

你越来做的越来越多。你会发现我们三九六同学这种。极致到无条件极致的问题啊。它能考的一些非常好的点。就是有些题我建议同学们今年这样做。啊，你这样做，你拿到这个题啊。它让你进去去判断这个点。你就进行思考一下。比如说我零零这个点。我零零这个点处的函数值就是零。如果我能看得出来这个函数在零的附近。就是零的附近不等于零的时候，它是大于零，

我就极小值小于零，我就极大值。所以我这是我们三九六同学的命题风格。你要是如果考数一数二数三同学，你肯定不会这样来，因为如果考它是道大题，大题肯定要算呐，而且要疯狂的计算呐。你想想是不是啊，所以想清楚这个问题。那不叫严丑饱好性，没有极限符号，哪来的饱好性？不要别胡来哦。千千千万想清楚这个事儿。

所以一定要琢磨这个问题，你就好好品一品这个事儿。就是你拿到这个题的时候，你先进行品。哎，我这个点出的值。跟我附近这个附近就是去心领域，跟我挨的非常的接近，又没有到这个点，它的这个正负极。比如我眼睛一瞅，哎，这是零。那我来看看这个附近。附近是什么情况？

你就这样做对吧？你可以慢慢品一品，如果看不出来就算了，如果能看出来这题就结束了。好了，这是这个问题吧，能想清楚吧，要跟上我的意思啊，这没有极限符号，没有保号性，保号性是极限的保号性。别知识点都非常的混啊，千万别这样好了，这是这个点能听懂我的意思吗？然而啊呃，

最近我看的又非常多。越来越离谱了，等于说今年的话，我们三九六同学的话，这个这这这些卷子啊，出的越来越离谱了。就跟我上节课给你看的。它不是在堆积运算量。它真不是在堆积运算量，它得衡量一下，就算考的难。它它妙啊，这个很巧。这这这很巧，就我们我们这个题呢，

出的这个点啊，很巧妙。就包括我们后天呢，后天会继续去测二零二三年卷子，你到时候去试一下。他那个题运算量有的，他稍微的大，但是更多而言的话，这个题妙非常妙，它不是在这堆积运算量。你有些题的话，你放给考这个数一数二数三的话，你放成一个四分的题，放成一个五分题，它这个点它也。

他也很难做啊。好了，这个问题啊，我们就讲到这。能听懂吧，很妙啊，这这你下节课你就知道了。因为二三年的话，这个为什么今年能这样呢？主要的原因不就是去年的卷子吗？对吧，不就是因为去年卷子吗？等你后天的话，继续去考一下二三年的卷子，你就算里面当中出错了，

你回头好好进行去分析一下。啊，分析一下这个问题。那么，接下来我们就继续吧，我们来看看这个点。来，我们来看看这个20题。来，继续吧。呃，所以说对我们呃时间非常的紧迫，对吧？因为我们考的这个科目非常多。你有的时候的话，

你这个很耽误时间，这是最重要的。因为有些的话，你这个方向偏的偏的太狠了，它很耽误你时间，你还不如多花点时间进行背背专业课呢。你要不是花更多的时间的话进行去把这个呃，把你的这个逻辑和写作好好进行去啊。把这个丰富一下。来看这个题。你看这个题，你漂你比如零这个点哎，你漂不出来，你漂不出来就算了啊，他说算了，

你就就直接来呗ABC判别法。来s偏导数，这是2s，然后再加上2y，再加上一。然后这个y的偏导数是4y，你再加上2s，然后加上一。那么，接下来我们来看看这个问题。那在这里面。你把这个部分的这个。你把负二分之一带进去。这是负一。然后这是一，

这是零。然后负二分之一带进去的话，这是多少这是？这是零，然后这是负一加一，这是零，所以这是个注点，然后零负二分之一呢零。负二分之一，这是可以的。零负二分之一，你负二分之一是负二加一，你不是零。你不是零的话，你想清楚。

如果这东西不是零。哎，它这个板块。你说不清楚，如果它不是零。不是零的话，你都不是注点，既不是注点，也不是不可导点，那就不是嫌疑人，那就不管了。零零点呢，零零点也不是。对吧，零零点优势。

所以然后的话，接下来我们就来看看这个is的混合，那这是2 is y的混合，然后这是几呢is y混合，这也是二。然后YY的这个东西呢？那这个部分又是四。所以这个结果，然后这个板块的话，这是a然后这个板块，这是b这个板块是c，然后b方减AC这个人呢？你发现小于零，而且a什么零大于零，所以这个是什么极小值正确答案选几？

选c好了，这是这个问题吧？能想清楚吗？好下去把它好好处理处理。你发现嗯。好好复习，不用不用想这个想那儿啊，这个题难怎么样简单怎么样？难的话，你发现都难简单也都简单。你就扎扎实实的进行去复习就行。好了，这是这个内容。可以了吧，但是你发现呃，

你说实话，考这个三九六的学校还也不少。考这个三九六的话，这个呃，最后招的这个人数也不少。然后今年的话呃，就是因为这个到了后期这个模拟卷的原因，原来做模拟卷做崩溃了。然后的话，这个有些的话就是呃，不要考三九六，不要考三九六，但是你发现。那也行，你这这这边人数变少了之后的话哎，

你看稍微考一下也也也可以啊，这个竞争力就变少了。好了，那么接下来这个事儿我们就讲到这儿。那么，接下来我们继续吧，我们再来看。你不要说管宗。管松很卷的。你是觉得他们学的科目少是吗？幺九九。你因为你们也听那个逻辑和写作课。你没有听那些呃，专门进行讲幺九九的同学呃，那个那那些老师怎么进行说这个呃，

对这个三九呃幺九九的同学们进行说的呀？挺卷的啊，挺卷的。考的科目非常少。啊，就很少，非常少，就是然后的话，英语考这个英二，然后考一个这个幺九九的管理类综合。结束了，就这么多啊。所以你就会发现呃的问题就是这样，但他。这个线之间呐，

线和线之间挨得太近了。好了，不讲了吧，那我们继续，我们再来看看这个21题。所以啊，就是。每每个考考每个版块儿都有各自的难处。所以你自己你就复习你自己的时候，你就会发现你老是对这个未知的东西啊，你就会觉得很简单很简单。然后包括的话，有些这个同学的话，学学一学嗯，包括的话，

我前段时间碰到一个学这个文科同学的话，他说哎呀，记的东西太多了。还是数学简单，你让他真学一学，你看看。压力也很大。然后另外一些同学的话可能说这个学的很难，然后还不如进去去背一背，你就发现他们背的也很很痛苦啊。呃，就是东西也很多。那那么接下来我们来看看这个题吧，来操作一下。那这个题啊，

它给了一个什么，它是个fuv。对吧fuv。然后这个f对这个v的这个偏导数。你要注意啊f这个对v的这个偏导数。v这个偏导数其实对这个第二个整体求导吧。它应该是f对第二个中间变量求导，而且这两个中间变量分别是零和一，它等于二。然后我们再来看看这个部分。f对什么呢？对这个u。对吧f对uf对u的话就是第一个。求两下，然后这是零和一的时候等于三。

讲的太多了，这个问题，然后接下来我们就进行计算一下这个啊，二阶二阶导数。这都不是偏导数。那先对第一个中间变量求导，然后这是sin cos。中间变量求导。你其实这个东西啊，你可以缩写中间变量，再导数的话cos f对第二中间变量求导，那这个cos的话，这是负三。你看吧，这个东西一会儿一算呢，

非常的多，你要稍微的话，在这个做的过程当中，你稍微进行去注意一下，里面当中一些点。因为我们一会儿要把零带进去。你看看这里面当中的两阶导数。你看第一个人，第一个人的话，这是f1。f1撇，这个人是sin cos，这个人的缩写。好这个人，然后这个部分的话就是f怎么办呢？

f一一撇儿撇儿，然后这个求导是cos in。然后是f1对第二个中间变量，求导你请注意，这是负三。负3n这一项就是零了。对吧，前倒后不倒，还有然后就是前面不倒，后面来倒，这是负三亿这一项就没有了。是不是啊？然后再来看后面这个人，后面这人是什么？你看你前面这个人倒倒出来非常恶心，

但是你发现后面不倒。不要算了，然后再减去前面这人不倒，后面来倒，你看吧，你就能少呃差不多十秒钟的十几秒钟的这个时间吧。减去那点负担，然后这个时候我们把零带去。零带进去的话，这是零，这是零，这是零。那么所以说就是f一一撇撇。把零带进去的话，这是零，

这是1 cosine 0是一。然后再减去一个f2撇，这是零一。cosine 0是一。那么所以说这个结果的话，我们看看这个问题f1撇撇的话，这是三。然后这个f2撇的话，这是二，这是一，所以正确答案选几啊，正确答案的话。呃，答案选a这个题。好了，

这是21题，我们休息会吧。可以了吗啊，这题啊，我们稍微休息会，休息会一会，我们再继续吧。啊21题好休息五分钟吧。

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