05.2021年经综数学真题卷解析课

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:13:25

接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测试声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们准备开始了。那么今天啊，我们就正式的进入到我们的冲刺大模考，然后这个今天是第一套套卷，也就是我们昨天上午过程当中啊，大家模考的这套卷子。是我们二零二一年呢啊，最新的话，这样一套真题，

那为什么说这个最新呢？我们最新的这个真题啊，有三套。一个是这个二零二一年，还有一个这个是二零二二年，那还有一个是二零二三年。这三套卷子啊，是我们在这个改革之后啊，最新的三套卷子。然后这个二零二一年之前呢？这些卷子呃，其实对我们现在的考试啊，参考意义不是说特别大，只有个别题啊，我们需要进行去把它筛选出来，

你需要进行去做一下。然后这个部分呢，是我们这个里面当中的第一套啊。呃，十套卷的话，是我们在下周啊，我们会给你们进行寄送啊，你们不需要打印啊，不可能打印的那个是那个高等教育出版社出版的，这是出版物。也不会有电子版啊，好了，所以说这是我们在这个改革的这个第一年呃，相对而言呢，难度系数不是说特别大。

那么，首先，我们先对这套卷子啊，我们先做一个简单的，一个简评。那么，首先的话，这个第一年呢题目啊，从题目的角度上难度系数不是说特别高，你会发现有些题你现在再来看呢啊。其实做起来非常的容易。但是在当年的时候，它其实不是。有些同学依然的话，觉得哎，

这套卷子啊，做起来有点棘手，那是因为当时过程当中啊呃，要求不是说特别高。可能一直都看着二零二零年的要求，二零一九年的要求，一八年的要求就是之前的要求，他控制不好。那为什么这个今年过程当中比较卷一点呢？那是因为去年的考研真题的卷子啊，在那打了个样。那去年的话，这个二零二三年的卷子。真题卷呢，考完了之后难度系数比较高，

所以说这个今年的过程当中也相对而言比较卷一点。我们在这个复习过程当中做的更加的扎实了一些，然后这个基础打的也更好了一些，然后各个类型问题的这个题型呢，处理的也会更好了一些。所以你现在再来进行去，反观这个二零二一年的这个卷子，反而就会简单很多，所以这件事情我想说件什么事儿呢？就是平时的这个模考呃，只要你做了，你就好好把它做完，不用继续去抱怨这个东西的难易程度的问题。如果你做了，你就把它做完，

那我相信最后的上考场了之后啊，你也相对今年的二零二四年的考研一定会是一个降维打击的一个过程。好了，这个事情我们不多说了，然后第二个事情呃，我想说的这个模考，因为这个今天是第一套卷子啊，难度不大。所以说这个你做起来可能会更加的得心应手一点，然后做题的速度啊，也会更快一点，拿下来之后啊，这个结果也会更好一些。但是我想说的是，如果你这套卷子啊，

依然有做的不好的点，你要注意查漏补缺，对吧？还记得我们原来给你讲的这个事情。刻意练习的问题。如果这个东西做错了，你就进行去查阅，查阅你的这个可以是你的基础讲义，强化讲义或者冲刺讲义。找到那个部分的问题啊，把这个题型吃透了之后，然后进行去再多训练几个问题啊，这个才是我们在这里面当中比较重点的事情。然后另外事情锻炼考试能力啊，也比较重要，

那么对于我们今年二零二四年的考研真题的预估啊嗯。肯定不会超过这个去年的考研真题的难度。你要注意这个去年的话，其实这是一次啊呃出的，其实不是说特别标准。里面当中有些题啊，没有控制好，所以说这个经典呢，它肯定不会超过这个去年的难度系数，那么基本上二二年了之后啊。有些部分的题啊，它也稍微的会变难了一点点，所以说这个经典呢，你把相对的这个问题做好就行了，我相信问题点一点都不大。

好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看下一个问题。如果都像你做的，有些这个模拟卷里面当中出的那些题啊。那你还不如进去去考这个数学三啊。那说实话是这样，因为你根本无法在这个一个半小时内，你把它做完，你能做的完吗？我们要求的话，这个。35个选择题，你还有逻辑题呢，你还有写作呢，

你这么多部分的东西，一个事情的话，这个考试方法很重要。对吧，这个考试方法非常重要，就是如果你在这个考试过程当中有些题啊，你在这里面当中，你如果用时用的非常非常多的时候。你需要进行跳一下，那毕竟而言，我们是三九六精宗数学的，这个题你如果把数一数二数三同学的这个题原封不动拿过来考。或者把大题进行改成小题来考，你这是个我觉得不是特别道德的一个事情吧啊，好了，

这个问题我们就讲到这儿。那么，接下来我们就继续开始，我们来看看这套卷子。我们在这套卷子当中啊呃，有些题简单，我们可以速战速决啊，那么首先我们先看第一个题啊，第一个题就太简单了。那这个题啊啊，考了一个函数极限计算，而且基本上就考了两个等价无穷小替换公式，那当x趋向零的时候，这个人趋向零。立即等价无穷，

小6s当x趋向零的时候，这趋向零等价无穷，小三s所以两者一除是二答案选c。好这种题啊，难度系数比较低一点，那么接下来我们再来看看这里面当中的第二个题。这个概念性的题那么讲这个题啊，我们可以把我们的考前21记拿出来。我稍微把这个知识点呢，我来跟同学们进行去过一下。精宗数学嗯。好了，那么接下来我们一起来看看这个问题。那么，首先我们先来看看这个第一个问题啊，

对于函数极限的这个定义的理解，第一个事。一个极限的结果，跟这个点所在的函数值有没有关系啊？没有什么关系。你要注意极限，这个东西是趋向于这个点还没有到这个点呢。对吧，我趋向这个点，我没有到这个点。那所以说这个极限呢，跟这个点处的函数值其实没有关系。你比如说举个例子，我们来看看第一幅图。第一幅图的话，

你看你左边往这儿跑，你右边往这儿跑，它会顺着左边跑到a右边跑到a，最后它的极限结果是什么？你极限，结果是a。对吧，这个极限结果谁？但是你看看第二幅图，你左边往这跑，右边往这跑，它还是左边跑到a右边跑到a极限还是a第三幅图呢？极限也是a。对吧，这三幅图的极限结果都是a，

但是这个点函数值呢，你第一幅图函数值可以没有定义，没有函数值。它可以函数值啊，不等于这个极限值，它的函数值啊，也可以等于这个极限值。所以要理解清楚一个人的极限，跟这个点处的函数值啊没有关系。如果这个点处的极限跟该点处的函数值保证的是一个相等的关系，就是第三幅图，那就叫连续的。能听懂我的意思吗？好，这个问题啊，

我们就讲到这。然后接下来我们再来看看下一个问题，保护性的问题，保护性问题啊，首先我们先来看看已知极限保本身。如果这个极限大于零，我们就在这个家里面，这个家什么意思啊？这个家就是去心灵域内，我大于零。如果这个人小于零，我就在这个去薪领域内，我小于零叫脱帽保护性嘛。保正好保负号不保零，如果是等于号保不住，

然后再来看，如果这个极限大于a，我就可以怎么办？在这个家里面去心领域当中大于a。如果极限小于a，就可以在这个加里面小于a，如果这个极限大于这个极限，我就可以在这个加里面，我比你大。如果这个极限小于这个极限，我就可以在这个加里面小于零。能理解吧，所以这个东西啊，就叫偷帽保护心，有了这两个知识点的这个基础啊，

你做这个题就非常的简单了。好了，那么接下来我们先看第一个问题，它这个题啊，你要注意这种读题啊，它说不可能成立的是。我们就要进行选这个东西啊，一定不成立的是那么接下来我们来看看这个事，你先来看看这里面当中的。啊a选项a选项说什么问题呢？说这个limit。好，那么接下来我们先看a选项。诶，这怎么回事儿？

这个。好了，那么接下来我们来看看这个a选项。那a选项当中啊，它这样说当s趋向s0的时候，这个fs的极限结果是一。那你想想一个事情，你这个是一的话，你就会小于二分之三。那如果这个极限结果小于二分之三，在这个附近呢？横有这个人小于二分之三，这没有任何问题，所以a是对的。然后接下来我们再来看看这里面当中的这个c选项c选项的话。

好，我们再来看c选项，那c选项的话，其实li met s趋向s零fs，我要跟二分之一比，我很明显比二分之一大呀。我极限是一啊，我极限大于二分之一，在这个附近呢，我就大于二分之一，没有任何问题，然后再来看看这个e选项。一选项的话就说limits趋向s零，我fs这个结果是一我一应该怎么办？我大于三分之二。

如果极限大于三分之二，在这个附近呢，应该都是大于三分之二，所以说这个东西啊，一定不对答案选一。那么，接下来我们来看看这个人的极限，结果是一这个点处的函数值有没有可能是二啊？你去想想刚才那幅图的第二幅图，它那个点处函数值啊，可以怎么办？不等于那个点。能不能有没有可能是一啊？有可能这两个东西啊，都是可能的，

对吧？他说一定不可能成立的嘛。好了，这是我们讲的这个第二题，而这个点呢，非常的简单呢。过去了，可以吗？来继续。再来看看这个题当中的第三题，还是一道函数极限计算题，拿到一道函数极限题计算题啊，我们先定型。当x趋向零的时候，这个是几零？

这是零一的零是一，然后零分之一是无穷大一的无穷大的v零是。那既然是一的无穷大费力，是直接做答案等于多少一亿的这个极限符号照抄，然后头顶部分照写，然后这是s方加上s。加上es-e。如果到了这个今天呢，你还不会这个，我相信你应该是没有好好听课。你要还是在这里面当中凑重要极限，你还是在这里面当中幂值转换就慢半拍，对吧？一下子用这个结论。这个结论呢，

一下出来了，其实就在这里面当中，我们这个考前21计里面当中，我们都写的有就这个问题。一的无穷大，如果这个极限是一的无穷大，答案等于一的极限符号照抄头顶照写d- 1。这个东西啊，高频重点问题哦。那么这个东西写完了之后啊，我们来看看你，其实重点而言就是算头顶上机械位，那这人就变成了limits趋向零。然后这是s这是s方加上s+es- 1好了，这是这个人，

你怎么做？你在这里面当中直接一步洛必达不就结束了吗？当x趋向零的时候，对吧？零比零遗落，这是2 x+1，再加上1x好了，这个结果立即出来了。你发现这人是零，这是一，这是一，所以e的二次方答案选几啊选一，但这是一个方法，你还可以怎么做呢？你还可以在这里面当中啊，

你稍微眼睛漂一下，你看你这个东西一除极限，结果是零，你这个一除这个极限，结果是一。你这个一除极限，结果也是一，所以说这个结果啊，就是零+1+1也是一的二次方好了，这个东西啊，非常的简单，用眼睛进行瞅啊。啊，非常容易答案选几啊选一。好了，

那么接下来我们再来继续，我们再来看看第四题啊，第四题啊，可能是很多同学丢分的点。但这个题啊，我们来看看吧。那么他说什么呢？他给了三个函数，一个函数，两个函数，三个函数，然后说在趋向一的时候啊，这个人是这个人的什么东西啊？这个人是这个人的高级无穷小，然后这个东西啊，

是他的等价无穷小。如果最基础的问题啊，你当然是这样做，那首先根据第一句话，那你是他的一个高级无穷小，那我就比上你。对吧e的s- 1+1个as，你要比上谁呢？你要比上这个lo one多少lo one s的b次方？比上这个人。比上这个结果，它等于零。好了，这是根据这句话，我们能写出第一个点，

然后接下来我们再来看第二件事情，然后去向一的时候，这两个东西是等价无穷，小lo e SB次方。然后再比上s in多少派s，这个结果是几是一？好了，这个问题你把这个东西啊，你写一下，你写完了之后的话，我们来看看这里面当中啊，其实考了一个非常经典的问题。其实就考了什么问题呢？在我们的这个我就直接对着这个东西看呢，以后讲这个东西啊，

你就把这个摆在旁边就考了这个人。一个函数趋向于1 loing，这个函数啊，就趋向于0 loing，一个函数趋向于一，立即等价无穷，小于这个函数减一。对吧，这个东西非常喜欢考loing函数，趋向于一立即等价无穷，小于这个函数减一，你看这就趋向于一呀。所以说这个下面这个部分立即把它给我，等价无穷小多少xb次方减一，然后这个东西等价成多少xb次方减一？

好了，把做就做成这样，然后你看看上面好做还是下面好做，当然是下面好做，下面这个东西只有一个参数。所以这里面当中怎么办？我就落一个必答就行了，当s趋向一一落的话就是必备的sb- 1次方。然后这是派倍的cos派s，这是等于一那，所以说这个结果你看cos派是负一，那这个结果出来了。然后这个东西是复拍。然后上面这个东西呢，一带进去的话，

这是b=1，所以说这个b啊等于负派。一旦这个b出来之后，这个题就结束了，你看这个b已经出来了，我们只用做下呃，这个人那这个时候我们稍微进行瞅一下。你发现。下面的极限是零。对吧，这叫已知极限，求解其中的待定参数，你现在下面这个极限结果是零。因为我们都知道这个人是几呢，你这个人是一嘛一减一是零，

那上面这个人呢？那这是e的零，这是一。然后加上a所以上面这个东西啊，也一定是0a，就会等于负一。所以说这个题啊，正确答案选几啊a是负一，这是负派答案选b。好了，这是这种题，这叫已知极限，求解其中的待定参数，你先定型，你看这个东西一定是零比零的，

未定式我就落个必答。结果我发现一个事情，这个东西一定呢，你发现它不是未定式不，它一定是未定式，所以说这个a呀，就是负一。能想清楚吧，那这种题啊，你可以做的速战速决好了，像这个题。那这个题当然还有一个方式，我们再来看。这个题的操作啊，你还可以这样做，

你比如说这是s趋向一的时候。对吧，你方程极限的话，其实是最简单的，因为这个题看起来稍微的会麻烦一点，你直接进行找等价不太好找。然后接下来我们看看这个fs。那fs这个人的话就是e的s- 1，你加上个as。然后下面这个人呢？这是gs你gs这个人是lone多少SB次方我们都知道，等价无穷SB次方。再减一对吧？lo ning函数趋向于一，立即等价无穷小，

这个函数减一这个题其实比较精华的一个点就考了这一步。把这步要学会，然后再来看看最后一个人hs。hs的话，其实就是s in派s好了，我们来看看你喜欢这个s- 1吗？我不喜欢，我不喜欢s- 1啊，我就把s- 1换成t。但是其实这样做没有刚才简单。来，我们来瞅一下吧，这个人。e的多少t，然后再加上a倍的，

这是t+1就是at+a。好，这个结果，然后下面这个人呢？那下面这个人的话就是SB次方减一，你也把它换一下了，之后其实就是一+t的，这个b次方减一。等价无穷小多少BT。那么这个题的话就做成这样，然后接下来a就立即可以抽出来了。因为你想想，这是一个t的几阶无穷小，这是一个t的一阶无穷小。你要想比它高级，

而同学们想想一个事情，当t趋向于零的时候。e的TT，然后一个常数怎么会把比一借高啊？根据我们记的公式，当然是减t再减一。才会比这个人高啊，所以说这个东西秒一下a就等于负一。眼神稍微的丑像正式服役能听懂吗？因为你是一级啊，不需要太乐啊。你发现你老是想太多，这就不符合我们的考题的出题风格，对吧？不需要太多。

这就是我们常见的等价无穷小公式，眼神稍微漂一下就出来了。你这都要知道对吧，然后这个东西啊，立即出来了。然后接下来我们再来看看下一个人。那么你看你这个a就出来了。a就出来之后的话，我们再来看看这个b，你得确定确定这个b，然后把这个东西啊，你再换一下，然后这是s in多少？这是派倍的一+t，所以说其实就是派加上派t。

根据一个事情，奇变偶不变，那这是偶它不变符号看象限，第三象限是这样。等价无穷，小负的派t。所以说这个时候你会发现你这个人，你看你这个人跟这个人等价，所以说这个b呀，就等于负派。好，这个题啊，立即出来了。你看这个题，所以说这个操作性呢，

它就在这，所以正确答案选几啊选b。不是特别难，两种方法都行，你可以用第二个，第一个方法，第一个方法，两者作比，你在这里面当中只有一个未知参数。你就可以洛必达法则把这个b先求出来。然后b确定了之后的话，你把这个东西啊，你稍微操作一下就出来了。好了，这是这个题吧，

我们就讲到这好了，怎么做都行，你想怎么做怎么做啊？这个题啊，不是个难点啊。好了，这是这个事情，我们就讲到这儿，然后接下来我们再来看看第五个点。呃，这个回头给你们发过去吧啊。好了，那么接下来我们再来看看第五点。这个三套真题的这个答案解析啊，我会给你发，

然后的话到了那个冲刺呃，这个冲刺满分的十套卷呐，那块儿我们就不发了。因为冲刺满分十套卷的答案呃，非常的详细，你就只需要在那个前面和后面做好标注就行，然后接下来我们再来看看这个第五个题。那这个题啊，他说这人可倒，而且这里面当中告诉了什么，告诉我们这个f0=0。然后这个极限结果啊，等于一问我们f撇零等于多少？那这个题的话，你发现我怎么去处理呢？

你怎么做呢？那这个题其实最简单的方法。方法一。因为这个题它是个抽象的。对吧，那是个抽象的。你抽象的的话，你发现我只要找一个符合f0是零，符合这个东西的就行了。那我就怎么办？我直接进行去取。因为我们都知道，趋向无穷，大x比上这个东西比上这个东西了之后的话，你会发现它等于二分之一不是一。

不适宜。所以说这个时候我就怎么取呢？那这个人是二分之一，那如果给这个人来个二倍呢，我就取fx等于二x。你看我取这个人的时候f0就是零啊，而且这个时候它的极限结果就是is趋向无穷，大is乘上只是2 s+3，我们这个人的两倍的。那这个人不就是一吗？所以就符合那它在零处的导函数等于几零处导函数就是二，所以说这个时候啊，你发现哎，我取了这个时候你不对，你不对，

你不对我b对。答案选b。这个方法你是最快的，对吧？你眼神稍微的漂两眼，你这东西就出来了好，这是第一个方法，然后接下来我们再来看看第二个方法。你继续做。那么，在这里面当中啊，有些同学可能是这样办的。他把这个东西换了一个圆。对吧，做了一个换元。

稍微的进去就换了一个圆，就说把这个s换成t分之一，我不建议。我不建议这样做。那么，另外一件事情，有些同学可能换了语言了之后，他使用了洛必达法则。所以这个题啊，你也做对了，但是你水平点非常的差。同学们告诉我这个题能不能落呀？不能落，不能落笔答法则，你要想清楚啊，

就算你换了之后，它放在下面，不能落笔答。因为这个函数可导。对吧，这个函数可导，只能推出这个函数连续。导函数未必是连续的，那所以在这里面当中怎么办呢？我给了极限求导数，你去想导数定义就行了。对吧，我们去凑导数定义那同学们想想一个事情，你这个题凑几处的导数定义啊？不就是凑零处吗？

来我们来接下来去写一下这个事情，你看这个括号里面你就写成零，加上这个人。来背公式零，加上这个人，你再减去一个f0，你是不是要比上这个人呢？你比上这个人的话，你就要再怎么办？你在这要乘上这个人，前面我还有一个x呢。那么所以说这个结果的话，现在这个极限结果不就是二分之一吗？你把二分之一给我抛出去，二分之一抛出去了之后的话，

它不就是这样的一个东西吗？所以说这个东西不就是推广定义吗？你这个做起来多容易啊。所以现在我们就来看看。当s趋向无穷大的时候，这个部分就趋向减。就趋向于零。你趋向无穷大的时候，这个东西就趋向零。所以说这个部分是不是我的导数定义啊？当然是我的导数定义就是f撇零。而这个结果，它等于几呢？它等于一，所以说if撇零就等于几啊？

等于二，答案选b可以了吧？好这个题。所以说这个题目当中啊，我觉得几个事情呢，一个事情呢，你要复习一下这个推广定义。就是在我们的这个导数定义当中啊，其实你发现非常喜欢考这个，就这个推广定义啊，就这个人。对吧，就这个人，你一定要把它背准了，只要这个括号里面不是x是一堆东西，

你就想推广零。你就把它写成s0，加上什么减去fs 0比上什么？is 0加上什么减去fs 0比上什么，你去判断一下这个人是否是既趋向零正也趋向零负。只需要零负左导数，只需要零正右导数，既能零正也能零负，就是导数。好了，这是这个事情，我们就讲到这，然后再来看看第六题啊，这个题。呃，

这个题啊，比较简单一点。这题考的什么呢？他考这个事情，他说这个东西是他的切线，问我们切点，那就设出来呗。对吧，你就射切点。为多少呢？x0y0。好了，也就说在s0处向前。那大家想想一个事情，你这条线和这个曲线进行相切啊，

这是es。比如说我在s0处想写。那它告诉我一个事情，你在这个点处相切能推出什么第一个事情函数值相等，还记得吗？ks零会。会等于es 0导函数是相等，你导函数是它，你导函数是es 0，所以说这里面当中啊，马上推出了ks 0就等于k。所以说这个s0就等于几等于一，因此这个切点坐标就多少x是一对吧？这是一，然后它又在这线上，

那是一。好了，这个结果就出来了，那就是一答案选几选d这个比较容易，然后再来看看这个第七题。来这种题做起来得心应手吧，研究这个方程根的问题来吧，走首先第一件事情，把这个函数设出来。一边摆零，一边摆函数，其实就是研究什么。研究这个函数，它的零点的问题，那首先第一步，

我们先看这个函数的定义域是r，然后第二步继续去求导。求导了之后，找到注点和不可导点，把它划分区间端，然后这是五五提出来之后的话，就是ix方加一。然后这是s方减一就是s- 1 s+1。那这个人没有不可导点，只有什么点，只有这个注点注点，一个是一，一个是负一，然后找到这个点，立即把这个东西啊，

划分区间段。到负一，然后这是负一，然后是负一到一一一到正无穷。然后你可以稍微进行去眼睛漂一下，你这些东西都是正的，然后这个部分呢，你这个部分的话是这个向上的，这样的一个抛物线。你这个向上抛物线的话，你这个部分呢？它是什么正的这个部分呢？正的这个部分负的，然后这两块是零。所以说这个部分是导函数，

然后这是y那，所以这里面当中就是增，然后这是减，这是增，然后这是极大值，这是极小值。反正这个人的单调区间就出来了，单调区间出来之后我们怎么办？我们要进行去看看这几个特殊点，然后这是y，然后这是零，然后这是s。然后这是负一，这是一。那么，

首先我们先来看看负无穷，你都知道当x趋向负无穷极限的时候，谁说的算？你说的算。趋向于负无穷，你说的算，那就是负无穷趋向正无穷，你说的算，那就是正无穷，所以负无穷，负无穷，正无穷，正无穷。然后再来看看这个负1f负一是多少呢？负一代进去的话，

这是负的，然后再加上五。负一加五，这是四那这是五，然后再来看看一一这个东西代进去的话就是一减五，然后再怎么办？加上个一，这是负三。那所以说这个结果它就是从负无穷到正的。真的，然后再到付的。负的，然后再上去，反正你别管怎么画的，反正这个东西啊，

它有几个它有三个焦点，三个根答案选c。呃，这种题啊，没有同学再做错吧啊，非常简单的题啊，很容易做。然后接下来我们再来看看这里面当中的第八题隐函数求导。现在放到我们现在的考研呢，很少进行去出这个一级导数。基本上都是两阶导数，因函数求导方程两边同时求那前导后不导，然后前面不导，后面来导。s in y对吧？

那这个部分要配负号，然后中间变量再求导，再加上这个y导等于零。那所以说这个东西我们就把这个歪导解出来。那解出来之后的话，其实就是cosy比上is倍的这个s in y，再减个一，所以是is倍的s in y进行减一。上面是cos in答案选几啊选b。好了，这是这个题啊，你下去把它好好看一看啊，简单题要做稳。不要一简单的题就飘，一难的题又难受。

人难我难，我不畏难。仁义我义，我不大义。你简单的东西，你要比别人做的稳难一点的东西，你要比别的同学做的好，这才可以。好了，那么接下来我们再来看看这个第九题。那这个题啊，其实就是辨认几个符号，把这几个符号啊，你想清楚，那么首先我们先来看看这个第一个符号。

这叫什么？这叫诱导数。啊，右导数，然后这个东西呢？这叫左导数。然后这个东西呢，这叫右极限。然后这个人和这个人呢？是导函数的左右极限。其实你发现这里面当中谁最好求啊？当然是d选项最好求。d选项只用继续去求右极限，右极限对谁求啊？对这个一减cosine求。

所以说这个结果是几是零，那你发现你这个人肯定对。然后是谁好求啊，然后是BC好求。因为你要注意BC是什么？BC是趋向于零。趋向于零，突出了这个东西不为零。那不为零的导函数，我可以算一下，那就是分段点y直接求一求的话，这个是2 ss小于零。is大于零的时候，这个人是多少？这是s in。

所以这个好求，然后接下来你看我们在这里面当中求一下这个诱导数。导函数的右极限啊，不不是诱导数导函数的右极限，右极限是多少？对这个人求极限是零。然后再来求一下这个导函数的左极限导函数，左极限对上面求，那也是零。所以说这里面当中的这个b选项和c选项没有问题，稍微的话恶心一点点的，可能左右导数，但左右导数也简单。你先来看a选项诱导数。诱导数的话，

在这里面我们来看看limits趋向零正。那就是fs-f零比上s- 0，那么同学们注意当s趋向零正的时候。fs是多少一减cos，但是请注意f零是谁啊？这个等号挂在这儿呢。所以说这个f0是一，所以你减的是一，因此这个结果就是limits趋向多少零，正是s分之它。你定一下型，一定型的话，下面是零，上面是负一，这个结果是无穷大。

所以说这里面a选项，它不对正确答案就选a。这个结果，然后这个e选项对不对呢？这个e选项你自己算吧，你就是用这个什么，你用这个人再减去一比上s，那这个人就是零啊。这个没有问题，好了，这是我们讲的这个第九题啊，这个题啊，你就辨认几个符号就行。然后我们再来看看第十题。那第十题考什么？

第十题就考了一个复合函数，求导。那么这个题那这个题的话，让我们去求这个人导函数，那这个人很好做，你就直接来呗，他导函数就是先对中间变量求导。f1+3s。你先对里面进行求导，来里面再来里面再对这个人求导。然后最里面再求导，这是三。然后现在我们把这个零带进去，把零带进去的话就是f撇。那这个零带进去了之后的话，

这是一。对吧，这是1f一是几呢f1就是一那这是一，然后把零带进去的话，这是一，然后这是三。然后这是多少是二×2，再乘上三，你说是多少12，所以答案选几啊选一。好了，这是这个结果呃，你听懂就行了啊。啊，选项呃，

顺序不一样是吧啊，这个？可以了吗啊？过去了，你知道答案就行了。好，这是这个题目，当然的话，除了这个这个方法之外啊，你还有没有方法呢？你其实也有。因为这里面当中是抽象的，你可以举例子。你一处想是一导函数，想是一注意啊，

举例子举的越简单越好，有些同学就喜欢往指数啦，三角函数啦，cosine啦。你这样东西进行去想，你肯定速度非常慢，你在这里面当中举什么，你一定注意，我们就往这个一次函数上举。对吧，或者是顶多是幂函数。那这些导函数那这个东西直接举多少呢？你就举平方就行。那平方非常简单，你所以说这个gs是多少？

你这个gs是这个一加上。呃一+3s的平方。把这东西作为整体再套，那就是一+3s这个人几次方四次方。能理解吧，那然后这个东西的导函数就出来了，导函数就是四倍的，一+3s的三次方再来求。然后把这个零带进去，零带进去，刚好12，所以我带进去是12，我不是你，我不是你，我不是你，

我不是你，我就选它。好了，这是这个题吧呃，其实举2 s- 1啊也会慢很多。就是这个题的话，例子举的好，你会做的非常快，例子举的不好，这题就做的非常麻烦。2 s- 1其实可以，2 s- 1是6s，你往里面套也很简单，2 s- 1可以。也可以啊，

就是你要举例子，你不要老是去想想那个什么，你稀奇古怪的，非常恶心的函数。你为什么要举例子？你是希望这个题变得简单。对吧，你是希望这个东西做的简单，然后你举的一些非常繁杂的例子，我觉得就没有没有什么必要了。好了，这个题啊，我们就讲到这，然后我们再来看看第11题秒了吗？这个题啊，

你一眼瞅不出来啊，我觉得都是有问题的。那么，这个部分的问题就考了这个微分的定义，我们来看看这个事。你就会发现，他说如果这个函数可为。如果这个函数可为在德尔塔s趋向零的时候，你看吧，这是x处的增量。一定会等于x处的微分。x处的微分就是x处的导函数，乘上德尔塔s，再加上高阶无穷小。能想清楚吧。

所以你看这是x处的增量。这是x处的微分，这就是x处的导函数，一眼飘出来。对吧，一眼飘出来，所以说这个结果就立即出来。那么所以说这个东西的话，你自己下去，你要进去去看啊，如果再抽不出来，这都有问题。你一眼瞅出来，导函数等于2s。当然，

有些同学可能是这样做的，说我在这里面当中，我讲过啊，这上课我们讲了好多遍。说能不能把这个除过来？那除过来之后的话，就变成这个人。然后两边再取德尔塔s趋向零的极限，德尔塔s趋向零的极限的话，它就是它。德尔塔x趋向零，你是个常数，德尔塔x趋向零，这是零。也可以，

你也可以这样做，但是这样的东西啊，一眼漂过去就出来了。所以说这个时候ifs等于多少，你积个分就是is方加上c。有人说那老师这个c没告诉我，没有关系，那这个题当中让我们去求的是f3-f一呀，所以说这里面当中就是九+c。我们再减去多少一+c，所以这个结果等于八。好了，这是这个情况，当然还有一种比较快的方法。那同学们想你这个东西是什么？

你这个东西不就是一到三的定积分吗？是吧，一到三导函数的定积分。所以说这个东西的话就是一到三，然后是2s，这个定积分直接是s方把一和三代去就是八。好，这样做你就会做的更清楚一点。好，这是这个问题。那么，这是我们讲的这个第11题，过去了可以吗？那么接下来我们再来看看第12题，12题这个题呃，

相对的话。考的这个东西的比较基础的一个点。考了一什么问题呢？考了这个内容。那这个考前21期里面当中，我专门写了，就是不定积分的至高理解就是这个位置和这个位置。这个位置这三个位置之间呢，有一个基本的关系。对吧，就是这个部分对这个人积分是他那这个部分对这个人求导，就是他注意这三个位置的关系，我还把这个东西给你放到这儿了。那么，接下来我们来看看这个题。

所以首先第一件事情，你要求出这个人。对吧，这三个位置，这三个位置什么关系呢？赶紧的看e的负s，再乘以fs这个量。那这个东西等于多少呢？这个东西等于这个人对谁求导？这个人对s求导一眼飘出来。那这个人对s进行求导了之后的话，你就会发现哎，我写一下吧s倍的e的负s对s求导。那这个人求导的话就是前导后不导，前面不导，

后面来导，那这块儿有个负号。然后把这个什么东西呢？把这个e的负s约掉，就是一减s。那然后最后的话，这个人积分是多少？对一减s积分就是s减去二分之一x方加上c。所以这个结果立即出来了，正确答案选几啊选a没有加c的肯定不对呗，好了，这是这个题12题。然后接下来我们继续，我们再来看看第13题。那这个题考什么考了个对称区间对称区间的定积分计算，

先想什么东西啊，奇偶性。先想奇偶性，如何判断奇偶性呢？塞一个负s进去，多一个符号，它不动，那整体多了一个符号，奇函数这项没了。波动，然后这个部分呢？哎，说不清楚。所以说你会发现这个东西它没有奇偶性，没有奇偶性就不管了。

第一个有奇偶性，第一个有奇偶性，他就没了，然后留下了第二个人，但是这个第二个人会不会积呢？哎，第二个人非常好积分。那直接往后面凑吧，三分之一负一到一一的I三次方di三次方，所以说这个结果它就变成了三分之一倍的e的I三次方。把负一和一带去，所以是三分之一的一的一次方减去负一次方。所以说e-- 1次方，然后除以它答案选b。好了，

这是我们讲的13题，那么接下来我们继续，我们再来看看这里面当中的第14题14题啊，它又来了。它还是考了这样的一个原函数的关系。对吧，这个原函数那么大家想清楚。他已经说这个人是这个人和这个人都是他的原函数，所以说已知条件已经告诉我们你的导函数是小fs。然后你的导函数呢？也是小fs。好，这个情况，然后现在我们看看他对不对？你就把这个人反向求导就行，

你这个人对他求导。你这个第一个求导的话是三分之一，它的导函数是这个人。然后是三分之二，它导函数是这个人，你加起来是不是fs啊？是的，它对着。然后接下来我们再来看，反向求导，你这个人对s求导，是不是它对着呢？你这人对s求导，是不是它是的？这俩都对。

然后再来看c选项，你就看看这一坨对s求导是不是它那第一个求导的话是二分之fs，第二求导是二分之fs。量了一下，刚好是一倍，没有问题，那第二个最后一个怎么不对呢？为什么呢？因为你这个人，你想想你对这个s求导，你是fs，你是fs，应该是两倍的fs啊，你错了一个二倍，所以答案选几选一。

好了，这个题也不是说特别难14题，然后再来看看这个下面一个问题，我们再看第15题。15题这个不定积分计算呢，这就是个模型题。对吧，模型题考了一个什么模型呢？考了，这是as方加上BS+d，然后上面是es+fs呃f这个人。模型就是把分子这个东西要写成分母的导函数的形式m倍的，这个人加上常数。能想清楚吧，哎，

把上面这东西啊，凑下面的导函数，那么接下来我们来看看下面导函数，下面的导函数的话，你会发现我一导的话就刚好是2s，加上几加上。哎，不就是上面的2倍吗？所以说这个题的话，你会发现这个负一，我就直接给这个人配个二，我在前面配个二分之一，它后面的常数都不需要加了这个。这个题考的如此之简单。考的太简单了。

都没有加常数的部分，所以说这个题啊，它考的非常的容易，那这时候你发现看你这是它的导函数，你凑到后面去。然后这是x方，加上二x加上二分之一d多少x方加上二x加上二。然后这个时候你就把它记出来了，一记的话就是ling ling多少呢？呃，你不管吧，你也不知道正的负的，你就把它绝对值加上，不用墨迹，对吧？

也不用判，因为这是定积分，把它代入。那第一个带入了之后，我们来看看你，就会发现这是几啊，那这是一这是几这是五，所以说这东西是love n5。然后再把负一带进去的话，这是这是几这是0 ln 1是零，所以这个结果就是它。那因此这个结果就是二分之一倍的ln五答案选a。好，这个题不是特别难。那么，

接下来我们就继续吧，我们再来看看这个15题，我们再来看看16题。啊，再看下面一题。那这个题啊，你发现这个是零比零型不一定是。啊零比零，而且这个变现函数也考的非常的没有水平。因为这个变现函数考的是个标准性，所以说这题二话不说直接落。所以说这里面当中一下就出来了，六倍的s五次方e的s四次方再来减一，上面再进行求导2s。上面等价无穷二倍的s五次方，

所以这个结果是三分之一正确答案选a。好，这个题你也稍微在这里面当中出一个非标准型的，也会在这里面当中稍微进行考量一下，大家变现函数会不会化成标准型？好了，这是这个题。然后接下来我们再来看看这个下一个问题，17题。那17题这里面当中啊，它这样说。平面的有界区域啊，由这个人和x轴和这个人所围成，如果这个d啊绕着x轴旋转，一周所围成的旋转体体积是四派。

这个题有些同学呃，可能在这里面当中丢分了，就这一套卷子做了17个题，唯一会丢分的两个呃，两个情况的话，一个是。17题，还有一个是前面那个什么，我们是你的高阶无穷小，我们两个是等价无穷小，可能那个题啊，有些同学出错了。那么，接下来我们来看看这个问题，那么首先第一个点你要注意了。

那这个题目怎么做呢？就这个题，你得稍微的进去画一个示意图。那么，在这里面当中，这是y，这是零，这是x。首先你会发现你在这里面当中漂一下，这是个奇函数吧。而且x大于零是大于零。x大于零是大于零，你随便画，我也不知道怎么画的。其实这个东西已经超过了这个什么呃，

一次方的话，它这样画。然后是它x轴x=a，有人说，哎，那这不是a吗？其实你会发现，这就是选择题的好处。选择题什么好处呢？它a vb是这儿吧？它也有可能是在哪儿？他也有可能是在这儿。你想想一个事情。你这是这样。它有可能是在这儿。

a在这儿，所以说这个a也有可能在这儿。你发现它x轴x=a所围成。但是同学们不用管。如果我是你，我只会求一下。我只会求一下，也就说我们知道这个题啊a有可能是正的a也有可能是负的。那我就想问你个事情，你这幅图绕着x轴旋转一周，跟这幅图绕着x轴旋转一周一样，还是不一样？一样一模一样。因为你这两幅图绕着x轴旋转一周，这个体积是一样的呀。

所以我怎么办？我就用第一幅图来做。我用a大于零来做，我知道a还有个小于零部分，所以说这个题我立即就把这些选项给排除了。因为你要知道，如果这个部分绕着s轴旋转，一周的体积是四拍这幅图，绕着它旋转一周也是四拍。所以说a有正的情况，也有负的情况，那就不选。所以现在这个答案只用看c或者是e同学们听明白了吗？因为是个奇函数对称的，所以现在我们就来做那这个部分的旋转体体积会做吧。

来走是派倍的零到a，然后这个东西的平方，这个东西的平方就是x方。然后这是绝对值ds。而我们现在做的是s什么？零我们现在做的是大于零，我们现在做的是大于零了，之后的话，你发现这是s就直接去掉了。所以说这是派，因此是四分之一，然后这个a的几次方a的这个人四次方，它等于多少呢？它等于四派。那么所以说这个a的四次方就等于16，

因此这个a你要注意，我们现在做的是大于零。那所以说这个a就等于几啊，等于二。也就说，如果这个是二。它是可以，那a=- 2的时候呢，这个部分也是四排。那因此这个题的正确答案选几就选c了。好，这个题啊，我们就讲到这。跟上了吧，你要知道这个题的做题方法。

你稍微分析一下，因为它奇函数，你这两边对称的。好了，这个题我们就讲到这。重复了，然后再来看18题。18题啊，如果你还不会呀，你就说明没有听课。啊，就没有听课，这个题立即把他秒了。对咱们班同学，首先你要知道。

积分线相同，被积分函数不同，这题考了什么东西啊？考了比较定理，我至少知道，只要x大于零。你这个人肯定比他大吧。首先第一件事情我们就知道，这个j肯定比k大。j比k大，你把k比j大的都排除好了，我也不排除了，因为这个题我们就直接选答案。这题做错了，你得好好反思哦，

你多反思反思，那么这里面当中我们来看到诶lowing 2倍的s熟悉还是不熟悉啊？我们忒熟悉了，因为这个东西我们在上课的时候讲了好多好多遍，你发现你这是y你这是零。这是s这条线是什么x？然后这条线什么？这是es- 1。然后这条线什么这是ln多少一+s？是不是这个问题？那么，其实除了什么东西呢？你把这个连一下。这一那这个部分的高度不就是lou ne 2嘛，所以说这个东西就是lou ne 2再乘上s。

那么，除了这条线之外，还有一条线，那不就这条线吗？这条线还有多少一减一倍的s？所以这样一做就出来了，那其实就是es- 1大于ln多少，一+s大于多少，ln 2倍的s。你这需要会的。那么所以说这个东西啊，就直接出来了。这题考的不喵。那么，其实考的妙一点，

我们上课讲过，就是除一个s。这东西可能会考的更妙一点，然后最后一个结果是录音儿。是不是这个事情不要跟我想稀奇古怪的方法？对吧，这是最常规的，所以你如果作为三九六同学，你达不到这个能力，你这个复习就没达标，你这是要想清楚的。那么所以说这个东西就立即出来了，然后这个东西是什么？这东西是j。大于这个k，

大于这个a。哎JK I选b。好了，这是这个问题，那当然的话，这里面当中做法，你可以这样，我直接能做出来是j比k大。然后有些同学在这个里面当中做这个问题的时候，他把这个什么把这个里面的东西啊l 1+s和。和这个x倍的ln 2做了一个比较，你其实做麻烦了，你可以这样做。就是你把这个人和这个人做个差。对吧，

做下这个不等式验证一下，这个不等式的大小其实可以做，但有点麻烦。能想清楚吗？可以做也不是一个方法，你实在这个事情没有想出来，这题也会做，你就把这两个东西做个差移项式函数去研究一下什么？研究一下这个不等式就行。好，这个问题我们就讲到这，然后再看19题。19题，这几个题啊，这就非常简单了。

因为这个题的话，你发现。这整套卷子到了现在非常简单的题吧，因为他就考了计算德s呢，然后这个部分是2s，然后这个部分对y呢。那其实就是一+x^2，加上3y方，你对y的话，这人就是6y。好，这个结果，然后现在的话是什么情况？他让我们进行去看看一一处。一一处的话，

这个人是一样的。不要算一处，这个结果是一样的，不要算，因为他们要看比例嘛，然后这个人就是二，然后这人就是六。所以说这个时候的话，你发现你这个x这个人呢，你得乘个多少三倍，你才会等于偏f偏y。不要算了，能不算就不算是三倍的，偏s等于多少呢？偏y所以选c。

好了，这是这个题，然后接下来我们继续，我们再来看看这里面当中的第20题。你看这两个题。连着能考两刀啊，这个题目的话，出的话你就会发现啊，比较容易一些，然后再来看看这个偏s。那pns的话，这个y就是个常数。然后这个是前倒后不倒。然后这个东西是前面不倒。后面来导一的x次方，

这是2s。然后接下来我们再来看看这个偏y偏y的话，其实就是s倍的e的x次方。然后现在的话，这个第一个人要乘个s，第一个乘个s就是xy倍的EX方。然后再乘个s的话就是二倍的I三次方y1的I次方。然后再减去xy倍的一的x次方，这两个东西就约掉了。约掉了之后的话，我们要写成啊这个f的样子f的样子的话f就是sy倍的EX方。那所以说这个前面还有个二倍的s方，就是二倍的s方f，所以答案选几选d。好了，

那么接下来我们继续，我们再来看看这里面当中的第21题。啊，这个题目这题是个隐函数，然后我们去求一节，所以在这里面当中啊，你就用公式法就行，所以这个f的话就是fxyz。然后就是syz你再加上一的s+2 y+3 z，你再减去一这个题啊，是抄了有一道这个数一数二数三的，这个考研真题出了一个这样题。然后接下来我们来看看这个偏z偏s，这个就等于负的注意这个负号，那这个人对于s进行去求导是多少是yz？

然后再加上e的s+2 y+3 z，然后对z求导的话就是sye的s+2 y+3 z，然后这个人再乘个三。然后这是偏z偏y，这个人是多少是负的，然后这是sy+3倍的e的s，加上2 y+3 z。然后接下来我们来看看这个，再对YY是xz+1 e的x+2 y+3 z，再乘个二。那么现在这个人呢？我们要知道x=0 y=0的时候。你把这个人带到这里面当中，其实你看这是零那这是e的3 z=1，所以z就是零。

对吧，这块都是零，那么这块都是零的话，你就把它带进去，零都带进去的话，下面是三零都带进去是一负三分之一。好，这个结果那所以说这个结果是负三分之一，那都不算了，答案选几选一。好，这是这个事情，你下面这个人是负三分之二自己算。好了，这是我们讲的这个21题，

我们再来看看这个题目当中的22题来继续吧，再看这个题。那这个题啊，考了一个无条件极值，那无条件极值的话，首先第一步，我们先去求助点。那么，求注点的话，这是2s，然后再加上2y，然后再对y进行求呢？这是2 s+4 y。你再减去六。这个题啊，

不要进行去算。你要进去去腌你，首先你看看这个三负三。如果x=3 y=- 3，你带进去那三负三的话，这个人是。它没了，然后这是六。六减去多少呢？六减去十二再减六。那这样不行，你所以说这个三负三不行。然后接下来我们就继续，我们再来看，然后这是负三三呢。

那负三三的话，这个第一个人可以，然后这是多少这是？呃，复溜。负六的话，这12哎，这人可以。那所以说这个人呢，既不是驻点，也不是不可导点，他肯定不许，然后接下来。那我们就来进行去求一下这个二阶ss两阶，那这是2 xy的混合，

那这个东西的话就是二。然后这是YY两节，那这人就是四，你把这个注点带进去a就是二。b就是多少？2c就是四，然后这个b方减AC呢？这是小于零，而且a大于零。因此这个点呢，是个极小值，所以正确答案选a，那这人不对，不是没有我有啊选a。好了，

这是我们讲的这个22题，所以这个操作性呢，它不是说特别难。来吧，那么接下来我们就继续，我们再来看看这个下面一个呃线性代数的题目，我们再来看23题。那这个题啊，三个人的这个什么逆矩阵，把第三个人跑到第一个人你。把第二个人放到第二个位置，逆把第一个人放到什么第三个位置逆，所以说这就是a逆，这就是b，这就是a。

所以说这个结果是a逆，然后这是b，这是a答案选a。好了，这是这个题目，那么接下来我们继续，我们再来看看下一个题。24题。那么这个题啊，他考了一个事情，他说这个东西是它的一个余子式，这个东西是它的代数，余子式让这两个东西相等。那你想想一个事情，让这两个东西相等，

而aij这个人，他是等于负一的a+j倍的mij。要想相等，那就让I+j这个东西啊，为偶数。对吧，偶数就行了，我们来看看质量相加可以，这个不行，质量相加可以，质量相加可以，质量相加，质量相加可以。所以这里面当中有一二三四五有五组答案选一。好了，

这是这个题目，那么接下来我们就继续，我们再来看第25题。25题啊，有些同学费了点功夫。你只不过是我们想多了，我们没有看出来老头子的温柔。老头子在做这个题的，讲这个出这个题的时候相当的温柔，他太温柔了。这个题有些同学可能会想想到什么哎，这不是行和乡等级吗？结果你发现行和相等鞋不太好松。不是说不好做，是稍微的会麻烦一丢丢。

而且你行和相等型，你还要把它乘开。你想是不是都加到这个第一个部分的话，这j+m+w，然后这个行列式，你还要把它乘开，你看这个选项。你选项当中的话，你还要撑开。所以这个题他出的不好。他出的好一点的话，他应该这样出。把这个选项应该出成这样的一个结果。把选项出成这种结构，你要用流沙法，

你不会因式分解的。对吧，你看这个题，你就做这条线，这是gwm。然后是这个东西，这是m jw。然后这是多少？这是mgw。然后接下来我们再减减w三次方。减m三次方。减j的三次方。那所以说这个结果就是jw m。mgw.mgw.

所以说这个结果就是三倍的，这个人减去这个三个人的平方。啊，三次方。所以说这个结果的话，你会发现是三倍的，这个人建议他选c。这个题究竟应该怎么出呢？它出的话，你会发现一个事儿，你就得这样出。流沙法太简单，你放心吧，这种日子一去不复返。你这样出，

你忒没意思了。就考了一个对角线法则，考不出水平。我觉得如果放到今年，如果再出这种，你应该这样出。对吧，你应该这样处。你这样写的话，你你用流沙法，你你看看你会因式分解吗？你不会意识，你能把这个人因式分解成它。你看半天你都看不出来，所以这个问题。

好了，这是25题。那么，接下来我们就继续，我们再来看。看下面一个题。27题。我们在这个题目当中是上节课讲的。能不能用严惩法呀？你这个人。这个人，你这个人。哎，好像不好看。你这个人。

你这个人。你这个人配加号约掉配加号诶，等于零。所以说这个东西啊，一眼瞅过去选b。好了，这是这个题目，能想清楚吧啊，这是一个方法。你用烟抽法，你看搭配一下，你先去挑。嗯，26题。咳。

哦，这个题。应该在下面吧。真的有啊哦。好，一会再说吧，这个题。好了，这是这个事情，能想清楚吧？哎，这个点呢，你把它想清楚27题啊。你这题咋能做的错，对吧？

好了，像这个问题啊，你自己下去把它好好看看。那么，这个27题这个题。稳一点哦。大家注意一个事情，一定要稳一点。这个尤其后面一个阶段，心态上的这个起伏不要太大。不要太大，每一个点做的稳稳当当的，扎扎实实做。然后接下来我们来看看这个人，那当然的话，

你继续去判断这个a选项的时候，你也可以怎么办？你把这个人怎么了？把这个人写成矩阵相乘的形式吧。你判断这个矩阵的行列式为不为零吧？好了，这个内容我们就说到这。好了，那么接下来我们再来看看这个26题。27题不讲了，行不行？27题有三种方法，还记得吗？啊，还记得吧？

27题我们在这里面当中，你可以直接这样严惩罚。你也可以把这个人写成矩阵相乘去判断，后面这个矩阵的行列式。啊，这讲了很多了。然后再看26题。26题，这个题啊。你就硬着钢也行。你把a方算出来，减去4a，加上三亿可以。你也可以，怎么办呢？

你也可以把这个人因式分解一下。就是a- 3e。a- 1。把这个算出来，这个算出来相乘也可以，你爱怎么做怎么做，这两个方法没有相差多长时间。四倍的它也极其的好算，这个也很好算对吧？然后这个平方也好算行吧，你爱怎么做怎么做。这题选几啊？我不讲这个题了。这题自己去看。好，

这个题目选几啊？选d吧。啊，这个题好了，那么接下来我们再来看看这个28题这个题。到了选几啊？我不选了，我还不行呢，你自己去选啊。好了，不管了。自己去选好了，那么接下来我们来看看这个方程组。那方程组这里面当中，它考了一个知识点。

考了这个知识点。就说一个齐次线性方程组。它叫做最多勇。这么多个线性无关的借项量。对吧，因为你发现它最多线性无关的解向量，其实就是基础解析那么多个。就基础解析里面当中有多少个？比如说有一个题，我的基础解析。我基础解析，我是阿尔法一阿尔法二阿尔法三阿尔法四，你告诉我这个方程组里面。最多有多少个线性无关的？叫做最多有四个。

最多有四个，而我们根据整体无关局部也无关。那你告诉我，比如说我出一个题，我能不能出只有三个线性五官？两个线性无关，一个线性无关。有没有可能？那你告诉我这个方程组有没有可能有三个线性无关的？有没有可能有两个线性无关的？有没有可能只有一个信息无关的？有没有可能？你告诉我是可以还是不可以？可以啊，我这个东西你要注意，

它最多有这么多线性无关的。我最多有四个。那整体无关局部也无关，我也可以有三个，我也可以有两个，所以人家这里面当中说的是最多有多少个？最多有多少个线性无关的？而非其次线性方程组最多有多少个呢？最多有一个。啊s+1个最多有s+1个不是一个最多有s+1个。所以这两件事情你必须把它想清楚。所以其实上面这个题啊，出的不是特别严谨。没有特别严谨。那么这个题的话，

我们其实就是你想重点继续去求sa呗，还有这个SB。saa的列数是三三减二a。SB的话，它的列是二二减rb。要求rab，而这个题的话，你会发现一个事情。你这个AB是满志吧？你AB的质是几AB的质是二？知道AB的值去求a的值求b的值，我们就要用一下什么东西，所谓越乘越小，你就小于a的值。所谓越乘越小，

你也会小于b的值，而你这半边是二啊。那么你会发现一个问题，我们这个a啊，它有两行。对吧，你肯定小于这个，它有两列肯定小于二。你既大于二也小于二，那就是二。所以说这个东西是三减二等于一。二减二等于零。那么所以说你发现一个事儿。我这里面当中。最多有多少个？

最多有一个。线性无关的。对吧，最多有一个线性无关它，其实就是只有一个线性无关。你能听得懂我意思吗？因为你发现你不可能收拾零个。对吧，你不可能说是零个，我最多有一个嘛。比如我基础解析里面只有一个。你的局部也是他，所以这样进行去看呢，他这个题出的又是严谨的。你想清楚吧，

应该是最多有多少个线性无关的。而我最多只有一个呀。所以人家是严谨的，它里面线性无关解的个数，你看这个基础解析里面只有一个人。所以说他最多只有一个人。所以说他企业里面当中一定会只有一个人。他没有再有局部了，然后这个人呢？你会发现最多有零个，什么叫最多有零个就是没有呗。没有就是没有呗。所以说就是一和零。倘若这个答案选二。对吧，

如果这个s是二。你想清楚这个事。如果零个还不好理解吗？这个人的话志等于二列满志了嘛。只有零解吗？这怎么就转不出来呢？你系数矩阵的质等于列数。它这个东西不就是只有林姐吗？它没有非零解啊。他的所有的解就是零零零吗？好，这个问题。n是什么？重学霸啊，重学霸真的。

你学到今天的话，你连这个n是啥都不知道。这这这得重学啊。你方程组一点都没过关。我可以这样讲，你方程组一点都没有过关。你你可别骗自己哦。你怎么可能会问出这种问题啊？你把方程组这个点呢？你重学。你居然问s=n-n是什么？n是a的列数。这你你要是你这个最近的课程都听完了吗？这样的一个情况，你为什么做卷子呢？

我这是一个很理性的给你这个建议哦。啊s嘛an-n是a的列数嘛？你这是有点儿有点儿夸张了，你这这这个问题。好了，像这个点。有有点夸张了。至于怎么越复习这种知识点，那是最基础的内容了。考了一点点内容，但是来得及，你还能补。啊，你还能补，但是。

我的建议你是不是有点着急了？复习上是不是有点着急了？啊，你这有点太着急，你如果连这种知识点你都没有通关过去，你做这个卷子的意义也不大，你注意一下这个事儿，你得把它系统性的进行复习一下。啊，注意下这个事儿，这很重要很重要啊。因为从你自己的这个复习角度上，你得好好进行看看。好了，这是这个事情。

好了，那么接下来我们继续看。好了，这个人呢？我们就出来了。可以了吗？好，这个点我们就讲到这，这个人呢？只有林杰。最多有多少个线性无关？哎呀，很多人说那为什么不能是零，如果是零的话，它就是只有零解了。

零向量是天然的线性，相关的向量你不记得了吗？如果只有一个向量。一个向量不为零，叫线性无关。一个向量为零，叫线性相关。它怎么可能叫线性无关呢？好了，这个问题啊，我们就讲到这儿跟得上吗？还听不懂。好了，这是我们讲的这个事情，这是我们讲的这个28。

来那么接下来继续再来看29。呃，29的话，有些这个听冲刺救命班的同学可能没有听这个知识点啊，这个没关系，这个东西我们下午再来继续去讲这个问题。那么，这个东西的非零公共解这个公共解其实就是。把这两个东西摆到一起的景。啊，这个公共解的意思其实就是我把这个人。和这个人怎么办？我把这俩人摆到一起。啊，把这俩人摆在一起。

所以说你会发现，这就是公共级。那因此的话，这这两人呢啊，这种公共性。那就说明这个东西啊，有什么东西呢？哎，这个东西有非零解。这个东因为有非零的公共解就是有非零解，有非零解的话就说明什么，说明这个人的系数矩阵的值把它摆出来。这是一啊，这是二一一，然后这是a，

然后这是几，这是三，这是四，这是一。二一一b二。那这个质怎么办？这个质啊，一定要小于三。你小于三的话，这个里面当中很明显是一二一最简单。把这里面当中的二一一写到这儿，然后把1b二写到这儿，把这个a三四写到这儿。那么，首先我们先来看看这个人。

你注意你稍微操作一下就行，你稍微操作一下这个题就出来了，一二一减去二倍。你其实也可以这样看两行不成比例大于等于二。说明下面都是无效行，但是我要求AB呀，我建议在这里面当中。呃，怎么了？哪块东西啊？第一行是二一三是吧？好了，我就改成二一三。这是三，这是三。

啊，这是二一三一二一二一三。好了，不纠结了，不纠结了。所以说接下来我们就来看看，说明下面都是无效行，你可以怎么办呢？说明这两行的东西啊，它是没有效的，它肯定要跟上面成比例。那因此的话，你诶。这是1b二。一二一。

是不是这个情况？你不用管这个问题，你们就做你们的题就行了。我花什么卷呐？你们这是你就照常做就行了，因为这个。有的时候这个题目啊，你们用的是这个最新版的，你们那个上面没有任何的问题，你们用的那个是教育部考试院给过来的，这样的一个官方的这个习题。然后的话，每年的话，这个是上次排版的，排版的话，

这个每年考完研了之后啊。呃，都会有这种叫做回忆版的真题。这回忆版的真题哪来的呢？你比如说今年的话，你12月24号考。你11点半才考完。你12点市面上就有卷子了，这哪来的呀？你以为是教育部考试院给的你教育部考试院的话，都是第二年的，五六月份才会把当年的话这个卷子给过来。这东西都是。这能说吗啊？就是派一些老师去考啊，

然后把这个题呀抄到那个准考证后面。然后的话，你发现35个题，七个老师去考，一人抄五道就出来了。好了，这是这个吧，我们就讲到这。减去这个两倍。减去这个两倍的，之后的话，我们再看减去这个二倍的话，这是负三减去这个两倍啊，这是一。然后接下来我们就继续，

这是零。这b减二，这是一，然后这是减去a倍，这是零，减去a倍的话，这是三减二a。四减a。所以说现在而言的话，你就会发现你这下面的东西啊，一定是成比例的。对吧，所以说这个b- 2这个人呢？它就会等于负三。然后这个时候你发现这个负三比上三减二a。

三减二a就等于一比上四减a好，这个。好了，这两个东西啊，你一解就出来了，这题出来了吧？最后答案选几啊？把这个b1解释负一。啊，然后这个a是多少呢？这是。a这个东西你自己解一下吧a也出来了。选d是吧？d是多少是三诶是二是吧？这个结果行吧，

那么这个题我们就说到这。这题啊，我们下午还会串的这个问题。然后再来看看这里面当中的第30题。你看这个题相对非常的容易。那这里面当中给的什么东西呢？它给的是这个人的概率密度的时候好了，简单题就稍微的稳一点做就行了。你用那个做，你用这个做，你咋做都行，你咋做我们都是一分钟内把它解决完，所以说我觉得这几秒钟啊，它不会影响你考150的。你就扎扎实实做就行了，

所以这种简单题你说我这样做，我那样做，我这样做，你说那这谁看不出来呢？就跟你小学题一样。人家是一+2，然后这个说啊，你看我用一+3-1做。然后这个时候我用一+1+1组，我用一+4-2组，你说有什么区别呢？你在这上面的话，有什么挑毛病呢？这谁不会做呢？那么，

这种简单题就不用在那看了啊，大家都明白。来那么接下来我们再来看看30题。那么，在这里面当中啊，它说这样的一个问题。他说什么情况？他说这里面当中。a是几啊？a是三吗？那算了，你自己算吧啊，这个人。自己算算了，我来算吧。

这是多少呢？负12+3a。等于三减二a，所以说这个东西是五a等于几啊？等于十五啊？等于三。好了，这是这个结果吧，我们来看看这个人。那么所以说这个最后的结果的话。三负一。不问你们了，我这我自己做。好了，这是这个结构吧，

我们就讲到这，我们再来看看这个30题这个题。那么，在这里面当中给了一个概率密度函数，概率密度函数当中有一个未知参数，立即用归一法把它啊，这个归一性把它做完。那是负无穷，到正无穷。这个fs ds这个人等于一。所以说这个结果就是零到1a倍的x方ds。呃，三分之一a等于一a就立即等于三。然后接下来我们就来看看这个p这是多少呢？这是大S，

你得改一下。那这个人怎么办呢？小于等于二分之一。其实你发现我们只需要怎么办？它只有有效的，只有是零零到二分之一对a倍的，这个人就是三倍的x方进行积分。l三次方，这是八分之一，所以正确答案选几啊选b啊？好了，那么接下来我们继续，我们再来看看这个下一个题，你们不用改啊，你们那是最标准的真题。

啊，你们后面附录的这三套真题啊，是最标准的，因为你们这三套是教育部考试院给下来的。官方的这个真题啊。然后接下来我们再来看看这个31题，这个题。那这个题啊，你发现你这是一个正态分布，你这也是个正态分布，这是两个不同的正态分布。两个不同的正态分布想进行去比较，那立即怎么办？化成同一个正态分布is减缪比上二，不要比上四哦。

他是n零一这个人。然后接下来我们再来看y减去这个缪比上减三服从多少n零一这个人。好了，这个东西做成这样，然后这个p这个人是多少呢？p这个人的话，他其实就是x进行去。减去多少呢？我们来看看这个人，这个概率的话，其实就是s减去缪除以个二小于等于负一，然后q这个人其实多少呢？是y这个人。减去缪，然后除以三大于等于一。

而这俩人都是一个标准正态分布，所以说它的概率密度函数曲线呢。哎，它的概率密度函数曲线都长这样子。那你想想一个问题，你看你这个人的概率密度函数曲线长，这样你小于负一，其实是这个部分的概率。你这个人也服从这个人哎，你这个人概率密度函数曲线，这样你大于一是这个部分概率，所以这两个东西啊是相等的。所以对于任意情况，它们都相等答案选d。好了，

这是这个问题吧，我们就讲到这跟得上吗？31题，然后接下来我们再来看看32题。你看这个题。那这个题目说这个相互独立非常重要。已经说相互独立了。而且具有相同的分布率，也就说x这个人是服从这个临沂分布。y这个人也是服从这个分布。然后相互独立，那这里面当中，这是大S这几个人的事情，这是两个人的事情。两个人的事情的话，

在这里面当中用什么东西啊？两个人的事情用联合赶紧把这个表盘画出来，零一零一，然后这个人。这二分之一二分之一二分之一二分。因为它独立啊，独立相乘，就写了四分之一四分之一四分之一。来去选哪些位置能让这个x+y=1呢？零加一等于一，一加零等于一，所以说最后的结果它等于二分之一。好了，这是我们讲的这个32题啊，这个比较容易，

然后再来看看第33题。这个题明显考了这个第一章的这个概率公式的问题，我见什么写什么，我见到加法，我立即写加法公式。所以说我见到a+b赶紧写，就是a的概率加上b的概率，然后再减去a×b的概率。然后这个东西是零点六，这些东西是零点五。这个东西是零点三，所以说这个东西就是多少零点二。那然后这里面当中看到一个a这个什么发生，它不发生，那就是a-ba的概率，

再减去AB的概率。a的概率是零点五AB的概率零点二，所以说这个是零点三答案选b。好了，那么接下来我们继续，我们再来看看这个34题。的再看这个题。这个题啊，其实跟我们有一次的话，这个经常模考的这个题非常像，同学们告诉我y是一个什么随机变量？y啊，是什么样的随机变量离散的？你要注意y这个人是个离散型随机变量。y只能取负一和一。

哎，只能取负一到一，如果这里面当中，我们看y取一的概率。其实就是s大于等于零的概率。而你会发现，它是在负三到二上服从均匀分布，那你这个人大于零。大于零不就是这个部分吗？所以说这个概率啊，是五分之几啊？五分之二，因此这个人呢？就是五分之三。然后我们去求解这个人的方差，

先求期望。那期望的话，这个人你就出来了，那所以说这个人的话对应相乘，这是负的五分之三，这是五分之二，所以这个人等于负的五分之一。然后再算平方的期望，平方期望的话就是五分之三平方的话，只有五分之二，这是一，所以说这个结果它就出来了，等于一减去这个人。啊，二十五分之一，

二十五分之二十四当选c。好了，这是这个问题吧，我们就讲到这。嗯，不不需要不需要，那是求那个函数的分布。不不不，是你就用差位置了。那是知道这个人的分布，去求这个人的函数分布，把它的分布求出来，再求这个人，那这个分布是离散性分布，不是那个连续性分布。

不是连续的。所以这个题。然后我们再来看看最后一个题啊，最后一个题啊，你更容易。比刚才那个还简单。那这个题当中首先给了一个这个分布率，你首先知道这些分布率的加和它肯定会等于一。那所以说这个a+b这个人等于多少，他就会等于零点二。然后这个期望等于零，我们来看看期望。期望的话，对应相加是负的零点七，加上a+2 b+0点三，

所以说这个结果等于零。因此，我们就解出来，这个a等于多少？b等于多少？那这个部分的话，其实就是a+2 b=a+2 b等于多少a+2 b=0点四？a+b=0点二，所以这样一减就是零点二，然后b的话，这个人等于几b=0。好，这个人那这个东西出来之后我们来。诶，这个是。

零点四。然后这个一减零点二。a是零，所以说这个a是零的话，这个b是零点二。b是零点二。所以说这个情况的话，我们把这个东西就出来了，你看这两个东西一加它刚刚好。好了，这是这个问题，那么接下来我们就继续，我们再来看，那这个人不用算这个，只用算这个平方的期望就行。

来第一个平方是一零点七平方，是一再乘上零。平方是四再乘上多少零点二，然后平方是九再乘上零点一。所以说最后这个结果加起来等于多少？那这是零点七零点八一点五一点五的话，再加上零点九二点四。所以说这个方差就等于平方的期望，减去期望的平方等于二点四。所以，正确答案选几选c啊这个题。好了，这套卷子啊呃，比较容易一点。你看我们讲这套卷子，

我讲这套卷子都没有用到一个半点。所以说做起来的话，我估计有些同学一个小时都把它做完了，但是其实没有关系，你就算做一个半点。也可以，你只要每套卷子，你能控制一下这个时间就行。好了，这个题目我们就讲到这。可以了吗？你所以下去好好进行去看看吧，因为这套。二一年，这套卷子里面当中，

如果说难一点的题啊。好好好，这个逻辑和写作算了。不是不是，不专业对吧啊？然后我们来看看这个第四题。好，别闹了，别闹了，第四题。如果这块出错呃，第四题当中。这是可能会出错的题。啊，我觉得这个题有些东西丢分了。

然后接下来我们来看看这个。下面当中的话。然后可能是17题。有些同学没有分析全。然后接下来我们再来看下面。没了好了，这是这套卷子吧呃，我觉得这个问题的点呢，把它处理清楚啊。好了，自己下去把这个东西啊，你好好进行去处理处理，但是我觉得这个卷子啊，毕竟是改革之后的这个第一年的卷子，因为这套卷子比较简单。

所以我们那个冲刺满分的十套卷呢，你看我并没有去写什么东西啊，我没有写这个七+3。啊，那我们冲刺满分的十套卷子。我并没有进行去写七+3，我写的是八+2。那这个二的话，一套是二零二二年，一个是二零二三年。因为这个。其实这个二零二一年呢，实在有点儿简单，所以我就没有把它放过去。啊，

就没有放进去，所以写的是二零二二年，还有这个二零二三年。呃，行吧，那么今天呢课程呢？我们就讲到这，然后这个今天下午我们还有这个呃，差不多一个多小时的课程吧。我会把那个线性代数的最后一点东西啊，来跟同学们去串一下，一个是线性表除，一个是向量组的表除。一个是方程组的同解和公共解，一个是向量组的等价。

能想清楚吧，哎，这两个问题我们把它讲完。然后在高等数学当中，还有一个经济学应用。还有我们的一个中值定理的一个简讲啊，就是中值定理，我稍微给你串一下，我们避免里面当中啊，会出现一些概念性的问题。把这个东西我们去说一下。然后接下来呃，就紧接着的话，其实就是还有一个概率论部分内容，那就是一维随机变量。

对吧，一为随机变量函数的分布，还有这个什么最大最小值的这个分布问题，把这些点呢，我们零零散散的东西啊，我给你串一下。还有一个正态分布，如果两个都服从一维正态分布，而且这两个东西是什么？是相互独立的。那这个时候他们的线性关系也是服从正态分布，所以下午我们把这些小型知识点呢，我们用一节课的时间把它给你全串完。啊，所以下午的部分的东西嗯，

基本上差不多了，但是前半程的这个线性代数的东西啊，对很多同学而言还会稍微的难一点点。所以下午前半部分的应该是半个小时的内容，更加的重要一点，然后后面一些东西啊，就是边角知识点了。边边角角的内容。好了，那么这个问题啊，我们就讲到这儿，哎呀，这个最近最近哪有时间学什么歌啊啊？上次唱的有有同学又吐槽我，你说这样。

好了，那么今天课程呢？我们就说到这吧啊，自己下去把这个相对问题好好处理处理啊。行吧，那么今天呢？这个板块我们就讲到这。行吧，同学们啊，自己下去把这几个问题哦处理一下，今天的卷子啊呃，不是特别难啊。这个问题，然后把这个卷子你自己错的，这个几个题啊，

把它处理一下，然后是下周二，下周二我们去磨二零二二年。二二年卷子其实还好。啊啊，出的相对而言的话，水平点还会更好一点。下下次的话，那个应该是下周二我们去测二零二二年的卷子，然后那个东西测完了之后我们去测这个二零二三年。二三年呢，大家稍微做好一些。一些东西的这个准备对吧？把一些东西啊，把它做清楚，

然后的话学清楚了之后啊，然后再去呃。处理问题，我再强调一遍，一定要复盘完了，然后再进行去模考。能听懂吧，把这个冲刺班的这个东西啊，或者是强化班的东西或基础班。复盘完的一遍，你先走过一遍，然后再进行模考，通过模考，然后进行查漏补缺。行吧，

那么今天课程我们就讲到这儿，然后下午是两点钟啊，两点钟因为下午两点钟上完了之后，我紧接着这个四点钟，然后到六点钟还有一节课，所以这个今天课程非常多。所以我们就两点钟呃，基本上应该是一个半小时就能上完。啊，下午部分内容那么讲完了之后呃，下午四点钟到六点钟还有一节课啊。晚上还有节课，这个今天。强度非常爆炸。好了，

那么今天课程呢？我们就讲到这儿吧，自己下去把这个关键性的问题啊，好好处理一下好吧，同学们行吧，好，下午见。你不要问那个。例题答案，这例题我都讲过，你说你说你这例题不会做，你不得反思吗？那早睡里面当中，我就不放弃了。而且这两天天天都有人问。

就问这个问这个例题怎么做？你说你这个题不会做，你不得反思一下，这都讲过的题，你不会做。你得自驱对吧啊？而且这两天天天有人问呐。而且私信里面当中有二三十个同学问这个，那不就是有点夸张吗？当然有，有我们三九六同学也有数一数二数三同学。这就有点夸张了，对吧？这全讲我的了。而且你想看做的对，

做不对你都找不到这个题在哪儿，这不也是一个问题吗？你找不到这个题在哪？我还给你标注在这呢。稍微一找就出来了。这个东西不需要我再给你继续去整理一下了吧啊？好了，这个点呢，我们就讲到这都在我们那个讲过的部分当中啊。行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这儿，下午我们再继续去看看这个呃。最后一个部分的内容，我们就把这个冲刺救命班的这个第一个阶段的课程呢，

就全部结束了，那后面呢，冲刺大模考都是我们要重点来的。好，那么今天课程呢？我们就讲到这好，下午继继续吧啊。

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