04.396经综数学冲刺四套卷（内部卷4）解析课-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:13:12

回来吧啊，这个刚才下课。等了好久了，刚下课，那个编辑说这个书浩刚好来了，那也就说书浩来的话，我们差不多应该是下周的这个。双11的时候，我们刚刚好的话，跟我们的那个呃，应该是二零二二年的话，那套二三年那套卷子呃，刚刚好的话，基本上磨完。所以说下周的话，

这个应该是双11的那个呃，就这两天的话，我们应该就能拿到这个卷子了，所以刚刚好就是我们所有的这个衔接的啊，刚刚好衔接，等了好几天了啊。最近因为年底年底的话pp都非常慢啊。好了，那么接下来我们继续吧，我们再来看看这个啊，下一个问题呃，刚才有同学问这个事啊，这块有一个平方对吧？那么这里面我们来说一下这个事情啊，就是你到底在这里面当中啊，

你是先代后求还是直接求？对吧，你到底是先带后求还是直接求？就是你比如说这个题，你直接算非常恶心，那你就先带后求试一下呗。那这个东西好求，那你就直接求呗，他说那老师我能不能先代后求那可以啊？是一样的，你不用那么纠结哪个东西好算就拿来。它不是说哪个东西你一定是非常值的，我见到这个东西我就一定这样。好了，那么接下来我们看看这个20题这个题。

来，继续吧。那这个题啊呃，其实不是特别难，对吧？这个题那这个题我们先来看看第一个事，那这个是分段函数刚好怎么办？在分段点处的偏导数，那这题我们肯定用定义啊。那所以说我们首先看看这里面当中的偏f偏s，要不这样吧，我不要这个选项了，这个太占空间了。好了，我们来看看这个题，

那首先这个是偏f偏s，然后这个人是零零。那么，接下来我们就来进行求解一下，那就是当I趋向零的时候。然后这是f多少x0，然后再减去f零零比上这个s- 0，你去求一下这个人。当s趋向零的时候，你求这个人把这个什么东西呢？把这个y=0带到这里面，带到这里面当中，刚好是s方。阿尔克tangents方分之1f零零刚好是零，比上s- 0。

所以说这个结果的话，其实就变成了一个是这样的一个极限s倍的arc tangents方分之一，这个极限等于几啊？这个极限很容易吧，你发现这个人极限是零无穷小，这是有界无穷小乘有界无穷小无穷小极限是零啊。而且这个人根据对称性。对吧，根据对称性，我们都知道这个人不对。那么所以说两个偏导数其实都是零，然后现在我们来看看连不连续连续性这个问题呢？连续性这个问题，你只用进行求极限。当x趋向0y趋向零，

你对谁求极限？你对这个函数进行求极限，这是阿尔克t an ENT多少？s方加上y方分之一无穷，小乘有界无穷小，它会等于这个点处的函数值啊。所以说这个人肯定是连续没有任何问题。但是至于这个二这个人选不选呢？你得判断他可不可为，只有可为的时候全微分才会等于偏sds偏ydy。所以现在我们要用这个做差式定义s趋向零，然后这个y趋向零。那么，接下来我们来看看这个事情。那其实就是f sy，

然后再减去f零零，我们再减去一个什么，你再减去一个这个x这个偏导数。你再乘上x- 0，然后是这个y的这个偏导数，你再乘上y- 0。然后下面这个人要比上一个根号，下x方加上y方这个人。而我们都知道这些人呢，他都是零都是零，我只用怎么办呢？我其实只用这个式子，你再除一个根号。这个式子再除一个根号，其实就还留下了一个根号，

所以I趋向0y趋向零根号下s方，加上y方。然后这是阿尔克坦整体，然后这是x方，加上y方分之一无穷小乘有界无穷小，可不可为啊？可微的那既然可微全微分，就会等于对吧偏sds偏ydy。那两个偏导数都是零，那就是零。那么现在这里面当中，关注点还有第四个点，你没发现做了这么久，然后这个多元函数的无条件机制没有考吗？那这里面当初不是来了吗？

那么，现在我们来看看这个东西，他取不取呢？你可以稍微进行去看一看，那这个题啊，你用眼神漂一漂就行了。我们来琢磨一下。你发现你就在这里面当中。对吧，我要看这个点。我要比较这个点和它邻域内的函数值之间的大小关系。邻域那这个点等于多少呢？那这个点处的值啊，我很明显是零。我们再来看看这个附近。

这个附近的话，你要注意附近是趋向于零。附近是xy。趋向于这个零零。趋向于零零的话，你会发现你这个部分是真的呀。没有道理啊，不同时为零，所以说这项是正的，然后这个人也是正的。而对于arctangent这个图像的话，如果这个部分是正的，它也是正的。只有零的时候是零，你也是真的哦，

就说明。附近都是震荡。对吧，你附近都是正的，而这个点处是什么？零你这个点处它是等于零。那所以说这个部分呢，它就是个最小的极小值，所以说这里面当中有三个正确的，对吧？你选一下答案就行了。可以了吗啊，这种题做了很多很多了，稍微进行去总结总结，不要每次都呃出现问题，

这也不太好。然后再来看21题。二元隐函数。那二元隐函数这里面，我们让你去求这个一阶偏导数，所以公式法呢，你先来令这个三元函数。三元函数其实就是f多少y-bz-s+az。好，这个情况一边摆零一边摆它。pn zpns这个人不要忘了这块有个负号。你对s篇，你对s篇的话，这块没有，那只是负一。

你对这一篇的话，其实就是先对中间变量进行求导，中间变量求导值是负b，然后再加上个a。好，这个情况，然后接下来我们再来看看偏z偏y这个人，这是负的。对y的话，这个人偏的话，上面呢是先对中间变量进行去求偏导。对吧，中间变量先偏中间变量再偏是一，然后这是负这个人y-bz，然后再加上a。

好，这个结果那么所以说这个人我们稍微整理一下，你会发现这是a再减去b倍的f1撇y-bz。然后这是一，然后这是a再减去b倍的f1撇y-bz，然后这是f1撇y-bz。y-bz。那所以说我们现在来看看这个事情，那因此应该是这样，应该是这个人要乘上a。这个人乘上b。那这个人乘上a这乘上b1减就是零。那所以说就是a倍的偏z偏s。然后减去一个必备的偏z偏y，这个应该是减一减，

这个结果是零。那所以说这个结果的话呃，这个不是零一减的话，这个结果是多少一减，这个人是一。对吧，一减这个结果是一。诶，这块有个负号。不好意思，这一个符号。那这有个负号的话，其实就是a，然后再加上。对，

加上那如果这个部分加上的话，这是a，然后这时候加上它，我们下面一除啊一除这个结果就是几这是一。所以说这个题当中的正确答案就选几啊，就是两个一加刚好等于一，所以答案选几选一。呃，已经讲了好多次了，对吧？你像这种隐函数的这个问题啊，你不然的话，如果你选错这个答案，你答案当中肯定有对立答案。好了，

这是我们讲的21题啊，高等数学的题，那么接下来我们再来看看下面的这个线性代数，还有概率论啊，这个部分题。那么，先来看看第一个题吧。第一题啊，完全考了公式。你发现看了这个伴随矩阵那a的伴随矩阵的行列式，它就等于a的行列式的n- 1次方四。四减一是三，所以八分之一那刚好的话能推出a的行列式等于二分之一。然后接下来我们再来看看这个式子，那这个式子的话，

首先这是四倍的a的伴随。然后这个部分的逆向，它其实翻一下是三倍的a逆。然后我们使用一下万能公式，把它导一下，你都知道a的伴随等于a的行列式分之这个什么？我们来看看，慢慢来呃a×a的伴随等于a的行列式乘上一，所以说a的这个伴随等于a的行列式乘上a逆，因为它不为零嘛。可逆那所以说这个结果就等于二分之一倍的零。那所以这个人我们就往里面待四，再乘上二分之一倍的a尼，减去三倍的a尼。那这个结果就等于负的a1。

那负一出去就变成了负一的四次方，然后就是a逆的行列式，那就是这个直接来a逆的行列式分之一，那这个结果等于二。等于二的话，这个正确答案选几选一。好，这个人能理解吧，要知道怎么做的啊，这个题还是可以就完完全全进行去套这个公式就行。这个题啊。来再看看这个题。这个题。有没有同学做错了？这上次过程当中就考了这个题，

去年考研真题啊，又考了这个题啊，又来了。那这个题考的什么东西呢？什么叫AB的平方啊？就是AB AB它等于一。是不是啊？然后要变成BA BA BA BA的话，你想我把这个人看作成整体。这个人看作成整体的话，俩人相乘等于一互为逆矩阵，那就是bab。然后a跑到后面。那所以说这个时候它的这个结果就是BA的方等于一。好这个人，

然后接下来我们自己继续看，你发现这样的话，一乘的话，我们就知道。俩人相乘等于一。彼此互为逆矩阵，那我的逆矩阵不就是它吗？然后再来看。这个部分的东西他怎么写呢？这个部分写回去，其实就是AB，等于是AB。那AB的逆势AB怎么看呢？你可以这样看。那这个时候两人相乘等于一。

彼此互为逆矩阵AB的逆是AB。这个也对，那么税收问题其实就是第四个人。第四个人呢？有的做的不好，你想想你给这个人取行列式，你取行列式的话，其实a的行列式。乘b的行列式，乘a的行列式，乘b的行列式等于一。行列式是一个数，所以说这个行列式的平方，然后再乘上什么，你再乘上这个行列式的平方。

它等于一，所以说这个情况它应该等于正负一，不是一，所以这个不对正确答案选几啊选d。好了，这是我们讲的这个23题对吧？跟上次的部分的东西啊，非常的相近。然后再来看看下一个题，24题。好，再看。那这种题的话，你发现你看这是阿尔法贝塔伽马，这是阿尔法贝塔伽马的啊线性关系。

所以说见到这个东西啊，我们立即可以怎么办？把它写成矩阵相乘的形式。阿尔法贝塔伽马还记得吧？那么，首先看第一个人，第一个人是一二呃一二零，然后这个是多少呢？零一二。然后阿尔法这是二，这是零，这是一。所以写成这个情况，那因此的话，这个b的行列式就会等于a这个行列式再乘上一零二。

二一零零二一这个行列式。而后面这个行列式等于多少呢？这是一零二。减去上面减去上面二倍，减去上面二倍，然后这是零二一，所以说这个行列式的结果等于几一，这是九。那所以说这个b的行列式就等于a的行列式乘上九，那么所以说现在我们要进行求a的行列式。a的行列式就等于多少九分之一，所以正确答案选几选d。可以吧，这是我们讲的这个方法，所以一下就出来了，

那当然，这个题的话，你还可以怎么做，我们再来看，跟得上吗？同学们。问题不大。那么，在这里面当中，你也可以这样办，我如果进行去看这个b的行列式啊，你也可以这样办，只是阿尔法加上二倍的。北大加上二嘎嘛。伽马加上二阿尔法。

那这个时候，然后怎么办呢？我可以给它进行去变换。那么，这里面当中利用行列式的这个性质。那行列式的这个性质，我可以先进去去干掉谁呢？你可以这样干，你把这个人的多少倍？你把这个人的负二倍加过去。啊for 2。但是这个人减去二倍，这个人减去二倍的话，就是减去四倍的。好这个人，

然后接下来我们再怎么办？把这个杯大干掉，杯大干掉的话是阿尔法，加上二杯大。北大加上二干嘛？四倍加过去，四倍加过去是九倍。那九倍的之后的话，你把这个九提出去，阿尔法加上二倍的贝塔，加上二伽马，这是伽马。然后这个时候怎么办？负一被加过去呃，负二被加过去没了。

负二倍加过去，这个没了。所以说它其实就等于多少九倍的a的行列式。那这样做也是可以的啊，两种操作性方法，这都是上课讲过的原模原样的问题，所以说不是有特别难度，系数很大的一个点。这是不是上课讲的，你没发现今天讲的这些东西啊？你说哪个东西？我们上课没有说过，而且这里面当中碰到好几个题，你这都是类似上课的原题部分内容。然后我们再来看25题，

25题这个题啊。就这个题。这个题目非常的简单。你知道我们在这里面当中啊，给同学们进行去出的时候。呃，我在出的时候稍微的话，把这个东西写的多一点。因为你写少了这个题，实在是太简单。这个题考的非常非常容易。你看我标一下。这是第一行，第一个第一行，第二个第一行，

第三个第一行，第四个，然后第一行，第四个第一行，第三个第一行，第二个第一行，第一个。你发现一个事情，也就是这两列被调换了。这两列被调换了。是不是这个事情，所以你会发现其实这个题很简单，很简单。我都没有拷贝夹，全部都是交换。

全部都是交换。所以说a这个人。它先交换什么？它先交换左行右列啊，所以右沉。交换一四列，再交换二三列等于b可以也可以使我先交换二三列。再交换一四列等于b。然后现在我们要进行去考什么，我们要现在进行考b逆。一个牛逼表就出来了b逆三个人的逆第三个位置跑第一个。然后第二个位置还在第二个。这个人跑第三个。然后是b1。第三个位置跑第一个。

第二个还在第二个。第一个跑，第三个。然后在这里面，我们来看看一二三的逆，其实就是一二三。一一四的逆就是一一四好，这个情况一一四一二三，然后这是a。我们现在要进行去看看这个问题，你发现这个东西不就是什么？第一行和第四行进行交换嘛，这就是意思。然后这个人不就是二三吗？这就是一二三。

那所以我们来看看哦，他让我们去写逆的，没有写逆的形式来二三P2P1a一。然后这是多少一四？这个人是p。然后这是。p2给你。所以说这题的正确答案选几啊，就是一二二一都行，答案选c。好，这是这个题，其实你发现写的多啊，就是容易有些同学在这块做燥了。你做到非常燥的时候的话，

你就发现你就冷静一点，你稍微一看这个题就出来了，冷静一点，多磨一磨。你平时的训练的话，难度系数大，平时的训练的话，这个部分的东西摆的强，你最后拿到这个真题的时候，你其实就坐的非常舒服了。好了，这是这个事情，来26题大骗子题。这应该是这套卷子里面当中相当大的骗子，原来被这个题一看，

我这什么玩意对吧？这个题。那么，首先我们先来看看AA我出的也非常仁慈上三角。上三角我们一看a的行列式不为零，立即就知道a是一个满质的矩阵。a满值伴随矩阵，也满值满值就是可逆可逆可逆矩阵不变，值立即就得到了。b的值就等于x的值。而s的质等于二说明b的质等于2b的质等于二立即可以推出b的行列式等于零。所以说b的行列式等于零，我们来算一下，以第三行机器取消幺幺零取消，然后减去。

减去减去，然后减去第三行，减去第三行，减去第三行，所以说就做成这样，然后用这个人进行展。一展的话，你其实就是负二，然后再减去多少a，然后这个人等于几等于零，因此a等于多少a=- 2，正确答案选几选b。你看这个题呃，这个题有点大，骗子，

这个行列式不为零，两人的话，你是满值，你满我满，我们两个都满，我们这个人不变值。那所以说这个s值其实是b的值，所以这个题考的不难，他有的时候他被吓住了，对吧？好了，这是这个题，那么接下来我们再来看下一个题好，下面这个题，下面这个题也是个大骗子题，

换了一种问法。啊，换了一种问法。我们原来讲过。两个线性无关的二维向量。可以表示，平面当中的所有向量。那你比如说三维的迪卡坐标系也要。三个不共线的向不共面的向量，它其实就可以表示空间当中的所有向量。那所以说他说任何三维向量都能被这三个人表示。那这三个人线性无关呢？只要线性无关就行。那这个线性无关的话，其实就是阿尔法一，

阿尔法二，阿尔法三这个质啊。它的质等于个数。而这个东西是个方阵，你只需要保证什么？保证这个行列式不为零就行。那所以说这是一四二二七三，然后这是零一k。你消的时候再出现一个零就行，然后是一四二减去二倍，减去第一列的二倍。减去二倍。减去二倍，然后是零一k就可以展了。一展的话，

你发现这条对角线负k，然后加个一它不为零，那不为0k就不为解k，就不为一，所以说正确答案选几选c？好，这个题啊，不是特别难，然后我们再来看看第28题。这次的线性代数啊，出的呃非常的常规的题都是很常规的题，所以做起来也不绕非常直接。所以你看看这些东西都是你上课，你练了练了一整年的东西，来来回回练。

那到了这个最后阶段，可能东西比较多。你要抓住我们三九六同学的这种命题风格。你要注视这种考勤形式。东西多了呀。啊，有同学这个太影响自己的状态，乱花渐欲迷人眼，对吧啊，这种感觉。方向走的偏的不行了。恨不得那去进去直接去考数学三呐。这个出题的这个感觉方向把常规性的问题，你先把它拿下来。能不能先把常规的题先拿下来？

然后再进行去把那个难的再够一够，你这就能考到非常高的高分。你已经忘掉初衷了。好，今天下去好好想想，对吧？这是第四套卷子，然后接下来我们来看下一个问题。那这个题无穷多解那无穷多解什么情况？第一个事情系数矩阵的值等于增广矩阵的值。然后怎么办？要小于它的列数小于三。这是一种情况，那还有呢？如果你是无穷多解。

我是不可以推出行列式等于零呢？但是行列式等于零可推不回来。所以还需要进行检验。那对于这个题而言，我们觉得这里面当中的话，你发现一块变换是不是有点麻烦，你就直接拿出这个系数矩阵。一负一一a+3负三，这是2 a- 1 a- 1。这是负二。那这个时候我们就用一下这个行列式，用一下这个行列式的话，你就发现你就直接。呃，用哪个呢？

我们来看看用这个一去消这个吧。对吧，用第一行去修。减去二倍零，减去二倍负一，减去二倍的话，这是a+1。二倍加下来，零二倍加下来。a减三二倍加下来。a+1这个情况。所以说我们就可以按照这个人进行展。这样的话，这条线a方，然后再减去个2a，

然后再减去个几减去个三。是不是这个情况啊？减去它，然后最后的再加上一个a+1，因此是a方减去a，然后再减去几减去二=0。因此，我们这个a啊，它要不然等于几二，要不然等于几负一。但是这两个东西啊，你都可以做嘛，这也不一定，你看一下这个答案选项你就知道了，肯定有一个人是被排除的。

但是你说这种话，你肯定就不对了。所以要不然是a，要不然是b，对吧？那你就挑一个，你就检验一个，反正这种情况的话，我们觉得是。是哪个人都行，是一个你成功了，就是你你不成功了，就是他为什么因为这题就是个单选题了？所以现在我们就来看看这个事，你就在这里面当中拿出增广矩阵，

你想是谁啊？你想试二是吧？行，我们来试一下二那试二的话，这是一负一一二的时候，这是五。啊，然后你怎么会想是二呢？行吧，就这样吧，这负二负二哎，可以。负二哎，这是二这是一一多少？一一负二。

然后接下来我们就继续，我们再来看一三负一啊，一三负一。你别说还不如初等变换。这样一部行列式做出来是多么如此之简洁。你去试一下吧，如果你觉得变化好做，你就做。你变换里面当中，如果不需要进行销a也可以啊，都可以。然后这是多少呢？一三负一，一三负一，一负一负一，

然后这是五负三。这是二，然后这是一一负二，然后接下来我们去试一下它啊，这一负一一一。减去五倍零，减去五倍的话，这是二减去五倍的话，这是负三减去五倍的话，这是负二。然后的话，接下来继续减去它，减去它，减去它，减去它，

这是负二啊，这是零零零，它行不行？它可以啊。那这时候系数矩阵的知识二增广矩阵的知识也是二啊，这个可以，所以说就是你。好了，这是这个题嘛，我们就讲到这28题，你自己下去看，这不是个很难的题，这是纯基础题啊，下去把它好好加强一下。回到最后啊，

我们那些基本功还是很重要。好了，继续再来看看下面一个问题。再来看看这个29题，我们看看概率论。呃，概率论的第一个题啊，都比较简单。这种题的话就是见什么写什么。见到什么东西写什么东西就行。你来看看这个人。那其实这个概率的话就等于多少？它就等于这是b8分之，然后是a8b8。哎，

这个情况，然后接下来我们来看看这个人，这是一减去PB。然后这个结果的话，其实就可以写成多少写成的话，这人是a并b的吧，然后这是一减。一减这个加法，那这个加法的话，其实就是a的概率，加上b的概率，再减去AB的概率好。好了，接下来就是代词。还是这种题啊嗯，

你发现很简单了。你。你别这样啊。你做对了，我也我也我也不赞同你，可别这样啊。你你们我我我想问一下，你为什么要这样想呢？是这个题行变换不好做，还是怎么了？你为什么要这样想呢？疯狂在错误答案旁边跳舞啊，你是不是这个情况？你是诚心觉得自己算不算对了，很难受，

是不是呢？不要不要这样的。讲了一年了，如果是方程组，你就行变换就行了。你就算裂变换的话，你把它做对了，也不要这样做啊，都不用这样，你为什么要这样办呢？来那么接下来我们继续吧，我们再来看看下一个问题。那然后的话，这个部分的答案的话，它就变成了PB分支，

不要这样，那最近都咋想的？你常规方法是做不出来了，还是怎么了？好了，我们继续，我们再来看，这是pab。然后这个PB是多少是十八分之一？那所以说接下来我们来算一下这个人啊，把它计算一下，一减PB，这是三分之二。然后是一减去PA，这是三分之一，

这是三分之一，然后这是十八分之一。好了，最后答案选几啊？自己选一下吧，这一算就出来了。嗯，还是这种题简单，对吧？做到最后还是这种题目稍微简单来，我们再来看看下一个问题30题。呃，这个题啊，可以直接做。就是你想直接做就直接做，

因为这个人的概率密度函数很明显是一个指数分布。对吧，这是个指数分布，那这个指数分布的话，它的分布函数是多少？它的分布函数其实是一减去e的负s。s大于0s，小于等于零，这是零。指数分布。那么，有些同学一眼瞅过去无机异性本题就秒了。有些同学可能看不出来，看不出来，你就直接做。

那直接做的话，你就进行去计算它呗。那这个人其实就是。p得多少x大于等于它，然后分之什么x大于等于一小于等于二。你就直接做，直接做的话，我们来看看端点做差，因为这个题我为什么要把分布函数写出来呢？因为指数分布的分布函数非常好写，就直接做就行。一减去f一。f2-f一。然后我们来看看f二f二的话，是一减去e的负二f一是一减去e的负一。

一减去一减一的负一。好了，这个情况，所以说最后的这个结果，它就变成了e的负一减去e的负二，然后这是e的负一。一减去e的负一次方。所以，正确答案选几选一。当然，你也可以利用什么东西呢？利用指数分布的无机异性。啊，指数分布。无机异性。

那这个东西的无机异性是个什么情况？你积分也行，无所谓啊。这个无机异性的话，他是这样讲的，你看他这个大于一小于二。就说我这个x是大于m。我这个x比如说我是小于m+n。小于等于无所谓啊，因为连续性随机变量一点概率等于零。大家告诉我这个结果只跟什么有关？只跟这个人的长度有关。就是你从什么情况你从m开始。小于m+n。你其实只用进行去计算什么东西？

你只用计算这个人小于等于n的概率。只跟这个人的长度有关。你从m开始算，然后小于m+m，你可以把这一段给退却了，直接退这个什么把m标了，那就是小圆。不要m小于n部分叫无机异性，跟你起点没有关系。你原来积累了m个我不管，我就是小员。所以说这个时候我们来看看这个题，那这个题让我们进行计算的什么s大于等于一。s小于等于二二就是一+1。那所以说我们最后其实算的是什么？

你这一开始的这个一就没有用，你就是小于等于一。小于等于一就是一减f一。对吧诶，小于等于一，其实就是f1。小于嘛，不是大于。那就是f1。f一这个人的话，其实就是一减一的负一次方。那所以说这个题出来了，这指数分布的无机异性，这非常重要的，因为我们在考研的时候，

我们经常会考这个问题。能不能下次不出错了？可以吗？你要保证下次啊，你不能再出错了啊。呃，大于等于也可以用无极性都是一样。就是跟那个起点没有关系就行，那是一样的。下次不要出错了，我们来看看31题，这个题啊，可能做的不好。嗯，这个题可能是这张卷子当中有些同学容易出错的题。

我们来看看这个人。他说x小于这个人。因为它服从正态分布。好，我们来看看。这是y，这是零。这是x那么其实这个题啊。脑筋急转弯。牛，你脑子稍微转一下就出来了。它小于它，比大于它大，你要注意这个轴线的左右，两边刚好是对称的。

那你告诉我sigma在缪的左边还是右边？在缪的时候，它这块是一样，它在左边还是右边？对，非常好，在右边。这是sigma。能听懂吗？而且这俩人都是大于零的，都是大于零，那因此你这个缪这个人比上这个sigma。他什么情况？没有这个sigma小于一选a。好了，

这是这个题，脑筋急转弯。你转转转，你要转过来。好了，这个题啊，我们就讲到这。啊，出来了呀。那这这又怎么了？对吧？你你稍微的话进行看没有进行，在这里面当中为难你什么？然后接下来我们看这个东西啊，它是服从什么？

这个x1和x2都是服从。这是。一。这样的一个二项分布。这个二项分布，但是只有一，那其实就是零一分布。零一。二分之一，二分之一。那这是零一二分之一，二分之一能听得懂吧？要不然你算一下c一一二分之一的一次方二分之一零次方它一样，然后现在的话怎么办呢？说这两个人，

这几个人的事情，两个人的事情，而且你会发现他们两个人相互什么独立。相互独立，这是零一，这是零一，那所以说这是这两边的话，都是二分之一。独立嘛，独立的时候你就会发现你这两个乘积是它四分之一，乘积是它四分之一，乘积是它四分之一，乘积是它。你不可能忘掉了。你忘掉了之后的话，

你这个加起来都不会等于一，你不觉得吗？所以现在我们来看看它两个相等e相等的话，是这个部分。那所以说两个一加是多少二分之一选c？那么，这是我们讲的这个第一个问题。跟得上吗？这是二项分布汇总吗？总数是一，它要不然是零，要不是一，那你就算呗。零的时候的话是多少？c一零。

二分之一的零次方，二分之一的一次方，那还不是二分之一吗？这个你看不看出来？你这个看不出来的话，那说明这个东西你就不会。就这个知识点，你就没有掌握。你就可以精准的进行去补强这个知识点，这不可能看不出来呀。不是我，我有点诧异了，你这个有什么看不出来的？这是二项分布吧？这不总数吗？

这有啥看不出来的呢？这个没有让你去看什么，他就说我是二项分布让你去做，然后接下来我们再来看33题。呃，这套卷子当中有些同学可能做的不好的，可能是这个题。这个题啊呃，我们来看看它。怎么处理呢？那么首先我们先看第一个部分。那这个部分的话。你其实你发现这个最大值。你最大值这个情况，那就是二这个部分。

再把最大值怎么了？小于等于一的部分减掉。这没问题吧？我这个部分把这个部分剪掉。那你想想一个事情，我问一个。最大值比它小，这我讲过。最大的都比它小，说明两个人都比它小。然后接下来我们再来看。最大值比它小。就说明俩人都比它小。好这个人，然后又告诉什么东西呢？

相互独立。相互独立乘积的概率等于概率的乘积。乘积的概率等于概率的乘积。乘积的概率等于概率乘积。然后现在我们是服从零到三上的均匀分布。均匀分布求概率就是长度之比。小渊。小于一。小于二十三分之二。小于一是三分之一。所以说等于九分之几呢？九分之三，三分之一选c。好了，这是这个题啊，

很有创新性的一个题。就是你这个情况，你最大值比它小。最大值比它小，俩人都比它小，最小值比它大，俩人都比它大，你还记得啊，这个我们是说过这个问题。然后接下来我们再来看看这个34题，34题啊，有些同学做的。不是很好啊，这个点。那这个题啊，

他说有十张奖圈。然后是八张两元。两元的八张。然后是五元的两张。然后现在我们从中取三招。所得奖金数的期望是多少？所得奖金数的这个期望啊。我们可以把它进行去看。你可以怎么进行去算呢？你得找到一个指标。你就找五源的。以五源为指标。因为你发现你是取三张。那有可能是临漳，婺源的。

一张五元的。两张五元的，只有这三种情况。对吧，只有这三种情况。所以我们把这个东西我们就记作成它。那所以说我们把它的个数叫做x。把它叫s那s能零一二。那如果取到零的这个概率是多少呢？你取到零的话，我们来算一下，你s=0。就是在十张里面进行去取三张。三张的话，你就会发现你这个取零张，

那就说明c八三。然后再是s=1。十张里面取三张，然后是两张里面取一张，八张里面取两张。那么所以说我们来算一下这个人十九八。三二这是八七六。然后那个三二一都约掉了。三二一都约掉了之后，我们来约一下这个人。然后这个六可以约掉一下。六可以约一下了之后，这是五。对吧呃，然后这是三这是七。

十五分之七。这个结果，然后我们再来算一下这个人。这个人其实就是十九八。三二一这个三约掉，这是四，所以说这是120。120这是二。然后这是八乘七二×1，然后是四七。二十八四乘上七。然后这里面当中进行去约一下，约一下了之后的话，这个是60，这是这个。

再是十五分之七啊，又是十五分之七。好了，这个情况。呃，所以说这个答案呢，我们算出这个，那因此这是。十五分之七。十五分之七。十五分之一。那么，所以说最后我们要算的这个奖金数是什么？我们来看看奖金。奖金数的话。

那其实就是有多少张五元的x张？那有几张两元的呀，那其实就是三张减去它。那所以说这个最后的这个结果其实就是六，然后再加上3s。对吧，六+3s，因此我们这里面当中ey这个人把这个奖金数叫做y。ey这个人就等于三倍的es+6。es这个人其实就是零乘上这个人，一乘上这个人。十五分之七，然后二乘上这个人。十五分之二。然后最后一件事情，

再加上个六。然后这是十五分之九。约一下，那就是五分之九五分之九的话就是九÷5，然后这是一。一的话，这是一点八，所以等于七点八。好，这个题啊，就结束了。所以这个题我觉得在呃，从这个运算的角度上，这还是一个很有水平的一个题，这是我们原来考过的。

这我们二一年之前的真题啊，我们涉及过这种问题。就是很有创新性，这个题得多做一下。对吧，有几张两元。有几张五元。然后两元抽几张，五元抽几张。好，这是这个情况，来再来看最后一个题。呃，最后一个题啊，就是我们最近的话，

这个板块当中啊，这个真题当中涉及过这个点。那这个ds方这个人呢？那就走平方的期望。平方的期望其实就是四次方。减去期望的平方。所以说这个时候我们其实就可以算一下这个es方。es方其实就是负无穷到正无穷，用s方再乘上这个概率密度函数。然后再算一下es四次方。就是负无穷到正无穷，再用四次方再乘上概率密度函数。好这个人，然后接下来你发现偶函数二倍二倍跟这个二分之一就没了，零到正无穷。

然后这是x方正的就直接绝对值去掉。然后这个部分的话也是二倍，那这个人约掉四次方正的话，负sds。所以说这个人是二的阶乘。所以说这个人等于四的阶乘伽马函数。所以说这是二那这是四×3×2。四六，24。那么所以说这个题的最后这个结果是多少？那最后的结果就是24，然后再减去个四，所以说最后的结果等于20选。好了，这个题啊，

我们就讲到这啊，你算吧，这个题的话，它有唯一的答案。你算的答案算错了，那肯定就做错了呗。你算对的话，它就对了呀。然后这个35题啊，我们专门的话，在这块弄了个平方的。就是有些同学的话，可能狠一点的话，把这个平方直接怼出来了。但是我实在不相信，

如果是四次方，你还把它堆出来。你要是四次方，你硬着刚谈啊。你就有点稍微的有点刚了啊，你这个做的就有点太狠了。好了，这个问题我们就讲到这儿，所以下去好好进行看看。那行吧，那么今天这个板块内容我们就说到这。呃，这是我们讲的这个34题。刚出来呢。那你这挺狠的。

好了，这是这个问题吧？行吧，12题你用别的积分方法，那我们就不讲了，你怎么算都行。不不不，那个无所谓，我说积分这个无所谓，也不是说什么否定的问题。积分这个方法你怎么记都行，只要你算出来就行。好，可以了吧？行吧，

那么今天的话，这个卷子我们就讲到这，你自己下去把这个关键的问题啊，好好梳理梳理，那行吧，我们不多讲了，因为我一会儿七点钟还有一节课啊。那行吧，那么我们今天课程呢，我们就说到这，你自己去算。还是那个情况。你就是它是唯一的答案，你自己算。你算出来是七点八，

你就做对了，你算出来不是七点八，那肯定有问题，这是肯定的啊。那行，那么今天课程呢？我们就讲到这，然后的话，这个周末呀呃，周末的话，那个二一年的话，那个真题卷子。我看呃，我想想，要不然放到这个下周四，

然后进行测也行。因为下周四的话，刚好的话，那个冲刺救命班的这个第一个阶段的课程呢啊，就全部结束了，我们放到这个下周四再测。也是可以的。那行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这周末的话，你可以自己呃好好复盘复盘哦，我们下周四。然后再进行测。然后的话，这个我知道那个事儿，

你不用跟我提醒这个事儿。呃，下周四啊，我们都结束了之后，然后的话，这个考试啊，可能就会稍微的会密集一点点，我们差不多应该是。呃，两到三天呢，肯定会有一次考试。啊，这个周的周末我们就先不考了。行吧，你们先好好整理呃，

但是还是那个问题，你在模考之前呢，我建议同学们还是要把所有的问题都过了一遍，你再去模。不要脑子里面这个空空如也进行去模考，你也是稍不的话给自己找罪受的。那行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这。你还要听什么课呀？接下来接下来的话就是模考啊，然后呃模考完了之后我们有一个点睛课，点睛课是会把。这一年的过程当中，我们学习的所有的问题啊，

跟同学们进行串一遍。啊，东西啊。东西的内容已经很多了。你们其实我觉得都不是在于说你还要再进行去重点而言，把这个部分的你是最重要，问题是你看看那些东西你有没有消化到位？你这才是最重要的，那行吧，那么今天课程我们就讲到这儿，然后的话，你自己好好做好准备行吧，好，那么今天课程我不讲了。尤其是很多同学啊，

你这个问题还很大啊，包括的话，这个我在讲卷子过程当中，你问的一些问题啊。其实你就会发现，很多知识点你我一讲你又想起来了，你就把很多东西啊，你都给忘完了。你这可真不行，你这全都给忘了，你要是把学以前的那些东西都会了。你就不说别的，我们想过的这些东西都会的，你现在得多强啊？好，

那么今天课程呢？我们就不说了，所以下去好好进行整理行吧，好下节课见。

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