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那么，接下来我们就准备开始今天的课程了。首先，我们先测试声音啊，能听的声音，而且画面没问题啊，进入回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们准备开始了。那么今天我们就继续吧，我们来看看这个今天上午啊，我们做的这套模考试卷呃，这应该是我们的冲刺预测的内部卷当中的最后一套卷子。呃，这个卷子啊，
我看了一下，其实今天我也稍微注了一下，很多同学做题的这个效果啊，综合起来这套卷子要比这个第三套卷子啊。很多同学做的好的多啊，那么今天我们就重点来把这套卷子，我们来重点跟同学们去讲一下呃，但是还是一个事情，我们在每次上课之前呢，就是讲这个卷子之前。还是希望跟同学们去聊一下啊，这个模考卷，因为这个今天是最后一套卷子了。所以说这里面当中有些问题啊，我还是想跟同学们去提一下啊，
说一下这个问题。因为这个考了这几次啊，反正每次过程当中考完了之后啊，有些同学太容易受到这种模考的这个成绩啊的一个影响了。因为你发现这个。这个在复习备考的过程当中，你这个心态摇摆不定，我当然知道这个离这个考研最后的这个时间呢，越来越近了。你可能在这里面，有些同学可能压力比较大一点点，你可能在这个复习过程当中的科目比较多一些，还有很多东西没有复盘完。所以说压力很大，但是注意不要因为这些东西啊，
你迷失了自己的复习的方向，这个很重要，所以我在这里面当中啊，我简单提示一下。因为这套卷子当中啊呃，整体的难度啊，还是中等偏上？我说的这个难度系数啊，是针对我们三九六的这个试卷而言，是中等偏上。所以这套卷子当中可能个别题目需要花费点时间，里面当中有几个题，我在中间专门设置了几个题，你可能在做的过程当中，你需要进行去把那个东西好好处理一下。
那如果在考试过程当中，你做了半天都没做出来，你先把这个东西给跳过去，不然的话，很多同学这个做题时间呢呃，可能是这样。你注意，如果你做了一个小时。对吧，一个小时40分钟。啊，这都没有问题。对吧，一个小时30分钟，一个小时40分钟，
这都没有问题，你做到两个小时就太夸张了。你注意，你做了两个小时都太夸张了，所以说这两天呢呃，针对于什么问题呢？就是这个模考的这样的一个做题速度的问题啊。这个最近一段时间问的问题，问的同学太多了，我今天重点而言，因为是这个今天最后一套卷子，我来跟同学们去聊一下这个事情。你听好了。那是因为你做的模拟卷，你没有发现一个特点吗？
就是很少有那么特别简单的。对吧，但是你其实做真题，哪怕是那年考研特别特别难，比如说去年。它也有一些题啊，非常的简单。就是他的做题速度可能是在一分钟内就把它完成了，所以这其实就是我们呃可考试啊，这个模考和这个真题的一个区别。就是做这个模考的话，你每一个题你都需要全神贯注，注意力非常集中的进行去把它完成，但是做真题的感觉呢？可能这里面当中有一个这样的特点，
就是你做了几个，哎呀，比如说非常难，你可能这个题啊，你就很简单，对吧，有些题的话你发现确实特别难。但是有些题特别特别简单，你稍微做一下，你这个东西都出来了，所以说你会在做模拟卷的过程当中呃，时间的花费可能会更多一点。但是这种训练是非常重要的，因为我一直给你讲降维大计。对吧啊，
真的是降维打击你，如果在平时的训练过程当中高要求高标准，你最后拿到那套试卷，你肯定做起来得心应手。所以每次考完了之后啊，一定要自己进去去分析问题，但是如果你做题的时间，你做了两个小时，这无论怎么改，你估计都很难做完。所以你要进行下去啊，你要进行去调整一下，调整一下自己的呃，是不是题型不够熟练呢？是不是在个别题当中花费的时间太多？
这种考试方法没有掌握好，或者是自己的运算能力实在是太不好了，有些题浪费了大量的这个时间。稍微出一个题，稍微进行一个计算，一个定积分，你都需要做好久好久，那这样的话就非常不熟练了。所以希望同学们呃，这个里面当中啊一些点，我觉得还是要把握住。所以我觉得这个第二件事情呢，是我今天想重点谈的，也是这两天呢呃，私信量非常多的，
我估计呃。呃，这个今天来听课的好多同学应该给我发过这个私信，因为这些最近呃私信太多了，都是针对什么问题呢？都是这个真这个问题。最近我收到非常非常多的词，就是。你都知道打开那个私信的第一栏，你不点进去，你其实能看到那个大致的呃，前面几个字你能理解吧，就是你比如说打开了之后啊，你就能看到前几个字。前几个字，
我有一天下午就是刚考完，刚考完那天下午的话，我这啪啪啪这一盘我看过去都是出现什么话呢？老师心态炸了。啊，或者是哥心态炸了都都都这样，心态炸不要太影响自己的这个状态，我觉得这个复习啊。呃，你稍微的话，把这个状态稍微的稳点，对吧？一定要稳一点，那么接下来我在这里面，我简单跟同学们去聊一下这个事情，
因为你发现。面对一个事情，最后的这个心态啊，往往最后决定你，最后呢，你能复习的这个效果。所以这里面我先说几个事情，就是这个考后的处理心态非常非常的关键。有些同学考完了，不好。但是你要想清楚，你换一着想，你至少是在考前你发现的这些问题吧。你不是12月24号那天发现这个问题，你还有最长的时间，
你可以进行去弥补这个问题啊。所以说你在这里面当中，这个方向是不是要庆幸一点？你至少在这个做的过程当中，发现了自己曾经在这个基础强化或者冲刺当中的一些漏洞，你能把这些漏洞捡回来呀？所以有些同学一考完啊，崩了崩了之后一两天。他都缓和不过来。一两天都非常难受，但是你发现等这一两天过去了之后，你又非常痛恨早上那一两天好好把东西复习完，多好啊。如果出现问题，好好进行，
把它整理一下，那就很好了，所以我觉得呃，大量同学，你需要进行调整，但是我觉得很多同学应该还这个很不错啊，对吧？去坚持那，所以说我来说几个事情，如果在这里面当中啊，你模考效果不是特别好，你听好了。你要重点分析问题，你比如说我举个例子。你像如果是35个题。
你能错上十七八个的这种同学，我建议你先停止模考，你应该是把你的基础。或者是强化完完全全的走一顿。复盘一轮，但是这样复盘一轮呢，我相信时间不会花费的，特别长久。你复盘一段时间，然后再进行模考，或者是进行去复盘，这个冲刺啊，冲刺可能效率更高一点。但冲刺你是需要有一定基础的啊，当然相对的。
所以这是一个方向。如果你35个题，你每次都错了十个左右。其实我觉得还可以。那这十个左右啊，你就把这十个类型的问题把它找到，但是我说一个事情，咱不要以偏概全。对吧，也不要怎么办？这个有些同学通过一个问题，比如说哎，我这次考的不好，我就觉得我在这一年复习都是挫败的，不是这样子的。
你要注意，如果你在这里面当中错了十个，就找到这十个相对应的问题，那有可能是这个题目啊，你发现题型忘了。把它回顾，如果是没有思路，你就在这里面当中重点进行去整理这种题，如果这里面当中是公式啦，或者这种小错误，你要单独整理。把它整理到一张纸上，经常进去去翻。啊，经常犯，
还有一个问题，不要天天说自己的计算错误。计算错误，有的情况也是知识错误。你要明白计算错误，有的时候也是知识错误。你就是你发现你比如说你做这个积分，你明显凑一分啥错了？你明显这个东西代指错了。你明显在这里面当中分布积分法，你用错方法了，你不要跟我来一句说什么呢？哎呀，都是我粗心，不要给自己找这种借口，
你都要好好进行去调整。包括有些细节，有的人做题的时候根号s方还等于s这类同学。下去过程当中哦，我马虎了，你考场当中怎么想不到，所以说像这种小细节也得整理。有些同学就整理的非常非常的细致。对吧，比如说这次模考哎，这个第一个错误哦，我犯的问题就是什么犯的问题是根号x方应该等于绝对值，下次不要再写成s了。盯住一下自己好，这是一个小技巧呃，
这不叫小技巧，你这小错误，比如说下一次我们再看。如果的话，这个下次我们再碰到什么，比如说呃，求解这个旋转体体积这个公式不能再忘了。对吧，你下次过程当中只有可微的时候，那个全微分才会等于它把这个东西整理起来，那一次考试就把这东西放到后面。不要让这个东西啊，我们把它放过去了。所以这个点呢，我希望大家把它做好。
好了，像这些事情啊，你自己好好进行调整，你错了，没有关系，我相信这是四套卷子，我们接下来还有这个冲刺满分的十套卷。这十套卷呢，里面当中的这些呃问题点整个的这个卷子下来，你比如说我第一套卷子错五个，第二套卷子错几个，第三套卷子错几个错几个没有关系。我这几套卷子都是一个非常完整的体系。你把你所有错的东西都把它找到，都把它解决了，
然后你就可以上考场了。这是我们的初衷，谁让你进去去磨一下，哎呀，这个啊，有些人的话你可能看到了。呃，可能一些这个自媒体平台当中啊，然后有些这个刷卷子，但是我觉得这个三九六我们今年还好，有的刷那个数一数二数三的那个卷子，有的刷刷了一盘儿，全是140，140，140。
你我要那个分数干嘛呢？我要的是最后一场考试，这个成绩是高的。谁要呢？平时的话，你你把它拍一下，发了一个这个，我要这个东西干嘛呢？所以说，希望同学们注意这个问题啊，就是找到问题解决，找到问题解决，找到问题解决，然后最后你就可以上考场了。这是我们的初衷，
所以像这个问题啊，我们就说到这，然后另外一件事情你自己注意，我们无论是在进行模考还是怎么？只要你是在进行模考。我希望同学们注意，你务必在什么东西呢？呃，在这个考前呢？把你的这个基础。基础里面当中可能有强化要补充的，你按照这个基础可以，因为这个今年基础非常的满。你可以把一些个别的东西啊补上来，或者是强化，
或者是冲刺。对吧，这都可以，你至少要进行完整的复盘一次。这是最低的。能理解我的意思吗？就是你最少都要进行复盘一次，然后再进行去上考场。好了，我就说到这，所以希望同学们注意啊，有些同学啊，本来就没有复习好基础，也没走过一遍，强化也没走过一遍。
然后这个冲刺也没怎么复习，然后的话这个。呃呃，也有那当然不也不是说大部分我们其实班上有很多同学，每次考完了，他会给我发私信。我都能看到啊，大量同学，有些同学做的还是非常非常好的，你要注意我们其实呃考我们这个三九六的。因为这个分数高，所以说有些还是比较卷的啊，你自己有问题啊，你切记不要找客观因素都到了这个最后一个阶段了，你好好把这个相对的问题啊，
你好好处理处理。能理解吧，好这个点。所以说在考考前呢，你至少要完整的复盘一次，你不要什么东西都没做，有的这个基础都没有复习完，你说你做模考卷干嘛？一做错了好多个。对吧，一做错了，错了个二二十多个就没几个对的。有几个对的，还能蒙出来的，你说你这你这种做这个卷子有什么益处，
我如果是你，我就稳稳当当把基础复盘完，都比这个考的好。所以希望同学们好好进行复习，那么这个今天呢？呃，我们就重点来讲一下这个第四套卷子，当然我相信啊，这个不会发生在我们班，因为这个。这个今年我们大部分同学应该是做的非常扎实，你其实你只要是之前做的非常扎实的，你无论是这个模考卷做的怎么样，不要以偏概全。啊，
有的人一做一做这个有问题就否定了自己一年的，如果这这个试卷当中啊，你找到几个问题，你就把这几个漏洞啊，你把它补上点就行。所以积极一点，无论将来你面对什么样的事情啊，都要非常的积极一点，就跟我原来呃一直跟同学们讲。你就算不考研，你要做一个积极的人，面对一些事情的时候啊，开朗积极向上，我觉得都是一个非常。这个是难得的品质，
好了，不多说了，我们继续，我们来看看今天的这套试卷啊。好，我们先来看看。还有一件事情，不要在那跟我瞎改，听到吗？不要在那瞎改。我今天的话，我看到一个一个同学说，哎，不对吧，敲错了吧，
这不是大于等于吗？别跟我胡来啊。这没没啥问题，你要连续嘛？连续极限就等于函数值，这等于函数值，那肯定比它大呀，那在那瞎改的吧。这不是你不要你你这这个你有些东西你没有想出来，你不要在那瞎改题啊。好了，那么接下来我们来看看这个题目呃，这个题啊，比较基础了。来眼睛一瞅，
你发现去向零这是一零分之一无穷大一的无穷大未定式那一的无穷大未定式怎么做原式等于？你看这个题，有些同学一直做都是喜欢把那个e最后加e最后加，有些同学跳船了吧？那答案等于多少一亿的这个极限符号照抄，然后这个头顶部分照写sin x方，你再乘上一个d减一，这是coss分之一，再来减一。好了，然后接下来我们就继续变成了limits趋向零，然后这是多少，这是sins方，你再乘上一个coss。一减cos in，
然后接下来我们来看当limits趋向零的时候，你上面这个东西是多少？等价无效它。等下我叫他，然后告诉我这个人叫什么，这个人叫菲林因子。是吧，非零因子非零因子可以淡化，所以说最后的这个结果等于e的二分之一好正确答案选几啊选c啊？这题好了，这个第一题啊，非常的基础啊，把它做错了，那非常不应该。啊，
如果不做错。不做不不，如果做错了，你有点对不起自己。这个题目，然后接下来我们再看第二题啊，第二题啊，说实话，我出的有点仁慈了。这个题其实很多同学做错了。对吧，有的同学这是怎么做的呢？他是。他说这个fs啊，在趋向零的时候说这里面当中的这个s in不就等价无穷小S吗？
所以说这个人等价无穷，二分之x方，所以说这个a等于二分之一b等于几啊b等于二。哎，其实你发现他也选对答案了。到最后把答案选对了，但是你注意啊，你这个方法是有问题的。啊，你这个方法是有问题的，你这胡来啊？但是你把答案选对了。这就是这个题。下手有点轻了啊。你看到有些同学这样一做，
哎，也做对了。其实不能这样做，因为我们讲过，你发现你这个中间是什么法？如果中间是加减法，加减法不检验，不要用。当s趋向零的时候，这是负的ln多少？一+s in。你再比上这个s，那这个时候就变成了limits趋向零，然后这是s负的这个s in这是负一啊。你前后之比是负一，
你就不能等价，所以说同学们注意这种情况，肯定不能等。那这个题究竟应该怎么做呢？有些同学估计还记得。当s趋向零的时候，这是fs。你看这是s-ln多少，一+s in。那么这个题啊，我们在这个基础班的时候，其实讲过这个题。考了一个什么事情呢？考了这样的人。说x趋向零的时候x减去ln多少一加s等价无穷二分之x方。
那如果你发现把它推广一下，就是框趋向零框减去l引一加框等价无穷二分之一框的平方吧。是不这个事情好做成它？你做成这样子了之后，你再来看。你就会发现，如果这是x，你这喜欢x，你这是平方，这喜欢平方，这是四次方，你喜欢四次方，那这是3a，你喜欢谁？那我肯定喜欢3e呢，
所以说这里面当中啊，我们就在这里面当中，你怎么办？我是非常喜欢被塞进去的。啊，喜欢被塞进去。喜欢被三一减，不是说把前面等加了，而是加上一个，你再减去一个。好这个人，所以说这个人呢，你就加一个，你再减一个。然后接下来我们再来看，
请告诉我件事情，这个人是个几阶无穷小。如果等价无穷，小是二分之一，它的平方，这是个二阶无穷小，没问题吧？这是个几阶无穷小，这是个三阶无穷小。根据一个事情，河曲DJ那就等价无穷，小多少s in再减去ln 1，加上s in。好，这个结果那然后最后一件事情，
我们继续往下等它就等价无穷小二分之一，然后这个框的平方等价无穷小二分之x方。然后这个东西啊，就等于a倍的xb次方，所以a等于二分之一b等于二正确答案选几选a哟？好了，这个题。你们发现。就算上套卷子考的稍微的难一点，你说哪个东西你没见过？你就是半天想不起来。你半天想不起来，还是不熟练。你谈到这个东西，你一点感觉都没有，
更有甚者我们这套卷子里面当中那个n项和的那个极限。你n项和的极限你都想不起来。我们讲了那么多，我们见到n项和是极限，先向定积分低一和二提三找相。能做就做，做不了加倍准则。你发现这个思路点呢呃，但是我觉得考卷还是有个好处的。考卷的好处就是什么呢？它全。就是我考这套卷子里面当中好多知识点，他都考到对吧？他考的全，你就能检出来好多知识点。
啊，这是它的好处，但是如果对于有些同学，他根本就没有走过一遍完整的题型的同学，这是个bug。你会发现你每个点你做的都不全。好了，这个事情呢，我们就讲到这。啊，检验需要奖样吗？就是加减法等价，加减法等价必须要保证什么前后之比的极限不是负一。哎，前后之比的极限不是负一。
好了，这个问题啊，慢慢总结啊，我提到这一些点呢，我们把它进行看看。当然，有些同学可能把这个人和这个人进行怎么办？你作弊求极限了，然后使用洛必达，那也是可以的。好了，这是这个呃，这个同学啊。嗯，你你。
你每你别胡乱想，对吧？你不要乱想。你就稳稳当当做，不信你试两次。就是你下次过程当中考试的时候，你控制住自己，你放心，你绝对成绩比原来好，我们可以尝试嘛。所以我我觉得今年对于咱们班同学。我们这有多少次尝试啊？我们这有14次尝试。你能尝试14次，我们已经走过了四次。
对吧，走过了四次，你走过了四次的话，你发现去调整呢？但是你每次考完之后，你不总结每次考完不总结，多继续去看啊，你想想这14次考试。然后每套卷子是35个题，这是多少道题呢？嗯，算一下，这也差不多，也接近400个题了。你接近这个四百四百个题的话，
这也是一本习题集了呀。你不觉得吗？你们是。我最近叫这个叫和这个啊打打了好多，你到时候拿的时候你就知道。我们今年的话，这个。这个卷子的话。啊，就差不多这样一本书这么厚。啊，就差不多这么一本书。因为呃，接近200多页。这个这就算很厚的，
你就足以可以看出来我里面解析写的多厚啊。就差不多是这么一本书，因为一般一般一个卷子的话，其实它非常薄啊，就很很薄的一块。好了，这是吧，我们就讲到这行吧，你自己下去把它好好看看。好了，那么接下来我们继续嗯。发的话就是双11左右。双11你不用着急，到时候我都会安排这个模考的。好吧，
你不用着急，这个事情到时候我们一块进行模考。你发现这种考试。还是有效果的啊。你真的是零零散散做跟你在这个一个一个半小时内进行去模考，这个感觉还是不一样。是不是不一样？你考了好几次了，你感觉不出来吗？有些同学有点紧张，你多紧张几次就不紧张了，好了，我们继续吧，我们来看看下面一个题啊，第三个题。
那这个题啊呃，其实我们原来讲过这个题。那么，首先我们先看第一个问题，你发现啊，我是求解这个函数吧？你要注意，这是对谁求极限呢？对n进行求极限。对n进行求极限的时候，一定要把x视为什么东西啊？视x为常数处理。一定要把这个人当做成常数处理。对吧，把这个人当做成常数处理。
那也就说我们现在要重点，不是看s我们，是看这个n。而你发现你这个e的这个n而n这个东西是正无穷啊。这不是e的正无穷吗？但是它的前面却还有个x。而我们都知道e的无穷大，它重点而言，其实受到两种影响。一个是e的正无穷，一个是e的负穷。所以如果这个x大于零的话，那这个东西其实就是e的什么无穷e的正无穷，那就是正无穷。如果s是小于零，
那这个时候的话就是什么？就是e的负穷，那这是零。然后第三件事情当然还有零，这是实实在在的零。那实实在在的零的话e的零是一。所以我们要重点把它分成以下三种情况。你分成这三种情况了之后，我们来看看第一种。当这个x如果是大于零。大于零，大于零的时候，你告诉我这项是无穷大无穷大，你抓大头是几啊？抓大头是一，
然后第二件事情你再来看，如果我大于负一小于几。小于零的时候。那这个时候我是几呢？我是零，我是零的话，这是零，这是零，上面是s，下面是一，一定是吧？注意我要对n求极限，那这是x。然后第三件事情就是我们s=0的时候。等于零的时候我们再来看这个结果。
等于零的时候，这是一那，所以说下面是二二分之s加一，但是我们这里面当中只有一个人，只有一个零呐，那就是二分之一。能想清楚吧，好这个函数出来了。这个函数出来，让我们进行去判断这个间断点，同学们想想这个人图像好不好画呀？图像好画吧，图像好画，你就画图呗，图一下就看出来了。
那这个人的话是多少？从负一到零，然后是呃大于零负一到零的时候，这是x。然后零的数是二分之一。大于零的时候，这是一。那么，所以很明显，在这个零这个点有一个跳跃间断点，那间断点的个数是几是一个？过去了，可以吗？你看这个第三题啊，所以说操作起来也不是说特别难，
你看这个题。可以了吧，来继续吧，我们再看第四题，第四题啊，有的人做的不好。这是800题上的一个类似的一个题，我仿着进去就出了一个题。那么，首先我们先来看看这个题。那fs和gs这里面当中非常重要的词连续。没有连续啊。你可以选一，但选一也不准确。如果在趋向过程当中，
我一直比你大。趋向过程中，我一直比你大。而且极限是存在。啊不不，你要是这这种问题的话，我我就没法说了啊。你学了一年了呀。这是数列极限，怎么能往负无穷跑呢？只要见到n去项无穷大，那就是数列极限。不不需要说明。数学当中。高等数学当中，
你看我都没说考研当中。高等数学当中，只要见到n趋向无穷大，那就是数列极限。一律是正无穷。你别胡来啊，那这这这种这叫时间呢，你犯这种问题啊。好了，我们来看看这个人这个题啊，最重要的一个关键词是连续这个事情。啊，连续。那么在这里面，你要注意一个问题。
说如果没有这句话，如果在趋向过程中，我比你大。而且两个极限都是存在的。我的极限是大于等于你，你复习的很好。没有问题，但是这个题你没有抓住重点。人家这里面当中啊，一个情况连续连续就说明这个极限等于什么？函数值啊。连续就说明这个极限等于函数值啊，而你的函数值本来就怎么办？比我大呀。所以说这个题的答案选几选一啊。
好了，这个选项其实非常简单，那么接下来我们来看看这里面当中的abcd，这几个选项。那么，首先我们先来看看这个a选项。a选项我讲过好多遍，同学们想量级越大。对吧，我的量级比你大。你就能说明你的这个导函数比我大吗？这指的是量级导函数，指的是变化率。你比如说你看。你这个人量级就比这个量级大。
但是你这个导函数是零，我这个导函数有可能是一。不行的，那或者而言的话，你看你比我大，你也比你比我大，但是我们俩导函数都是零，我们还相等呢。所以说这个说不清楚。说不清楚，然后再来看看这个b选项。b选项你要注意了。b选项是因为这一块不定积分，后面是不是有个c啊？能听懂吧你比如说呃，
这个fs是二。7s是一。你比我大，你的不定积分是2s，这是x。我们有没有可能相等？有可能那我要加一个常数呢，如果加上100，你加上十呢，这比不清楚的。你这怎么比啊？不定积分根本比不了。大家能理解我的意思吗？你比我大，你的不定积分比我大，
那不可能。这种情况比不了。然后这个c和d选项，有的人出错的原因是什么？啊，没想到这有啥没想到呢？你就举这个事情，你就举，你就跟我刚才一样举，你这是二。然后这个gs是一，你是不是比我大？你这个不定积分是2 s+c，你这是s+c，谁比谁大呀？
你这两个c未必是相等的。比不比不了。那么，很多同学可能会选这个c选项或d选项，你要注意c选项和d选项选错，你肯定是知识点问题。那这很好补，你下次不要再出错了。但是有些同学控制不住你这次错，下次还错下，下次还错，那可不行啊。所以这里面当中人家比较定理是这样说的，说如果我比你大。注意，
如果我比你大，那这个时候两边同取相同的积分线，我仍然比你大。两边同取相同的积分线，我仍然比你大。如果这里面当中你发现你看我比你大，两边同取相同的积分线，我一定比你大，但是这个积分线必须是正的积分线。我讲了好多遍了。这个积分线必须是正的积分线。我的下限一定要比上限小，所以说这个人说的不对。然后这个x跟这个人谁大说不清楚。有可能这个s比这个零小。
所以说说不清楚，万一这个s是负的呢，他就做错了。我比你大，两边同取相同的积分线，比你大必须是正的积分线，这做过的原题啊。好了，这是我们讲的这个第四题，我们再来看看第五题，有些同学啊，这个第五题禁不住骗，对吧啊？我们来看看这个题，首先啊，
这里面当中有好多障眼法。你首先你发现这个第一个障眼法趋向于零，这都不算。二的零是几？二的零是一非零因子淡化，所以说这个结果其实就是这样。对吧，这是science。那么，这个人的话，你发现我原来讲过这个问题s趋向零。然后这是多少零+2 s- 0+3s，然后比上s。讲过这个问题吧。见到可导直接录，
你是谁教的学生啊？不不不，你别别说我教的我我我不承认啊。谁谁跟你这样交代呀？这题你敢录？你虽然做对了，但是这个水平点真不高啊。你这敢落臂打呀？要落到导函数连续的那些。你这只是忘完了啊这。好了，那么接下来我们继续，我们再看这个题啊，我们凑定义，而且这个定义我们讲了好多遍。
诶，大家注意这件事情，我们在这个。呃，复习过程当中是重点讲过的。讲了什么问题呢？就这样的一个问题，我们把这个事情我们再跟同学们复习一下。就这样的一个内容。第一件事情。你发现如果这里面当中，我们告诉这个什么事，比如说s趋向零。那这个时候比如说我写了一个x0，加上ax。
减去一个多少x 0+bx，然后再比上多少x？大家注意一个事情，如果这个极限是存在的。能不能推出这个导数式存在啊？做了多少遍呢？能不能不能为什么这是个动点？这是个动点。双动点推不了。哎，不行。但是你发现第二件事情。那如果告诉你f撇s0。存在对吧？我告诉你这个导函数存在。
那这个时候你告诉我这个极限。那这个极限等于多少呢？来看这个问题。如果这个导函数是存在，那这个极限等于多少？这个极限呢，你可以认为成这样。你就认为趁里面做茶。这个做这个是a-b补了一个a-b。对吧，下面补个a-b，那上面就有个a-ba-b倍的f撇s0。好了，这是这个问题，但是同学们这种可以把它背过，
这种理解方法是有问题的，我给你讲过这个事情吧。你可以把它记住，把它当做成经验结论，如果导函数存在这个极限，等它我讲了好多遍啊。这个东西无论是在这个最后的冲刺，就我们班还是强化班当中，我都是重点讲过的，所以说这个时候你就直接看你里面做个差是多少，你是负x。你就在这补个负号，因此这个结果导函数是存在的，负的f撇零。好，
这个情况，但是你发现这个题没出来呀，没关系，人家说的周期为几啊？周期为二。周期为二，如果你的周期为二，导函数的周期是不是也是二？导函数的周期是二，那这个时候你就会发现你注意捡知识点啊，你不要呃好多知识点都捡不出来。这个这个是二，所以说这个时候导函数零，它们是相等等于一，那所以说这个结果等于几等于负一。
这个题啊，就是一个砸揉的题啊，就是有有几个骗子的点，你看的这个你是多么？这故意进行加进去的，加进去其实对这个东西的难度系数也没有怎么增加？好了，这个题啊，我们就讲到这，这是我们讲的第五题。那么，接下来我们再来看看吧，下一个问题。我再强调一遍，你不要发散，
你不要发散，你能考的特别好。啊，你不发散，你能考特别好，我要设一个函数，我还拉什么朗朗日啊？我有什么好拉的呢？那在这里面当中，你发现你看有些东西能做的非常快。你你应该去考数学三对吧？真的。你太不理解这个三九六同学的这个出题的点了。你摸不住。你摸不住，
真的。其实你都不知道他喜欢考什么。你你说实话，你适合考这个数学三啊？那么，在这里面当中，如果我设一个函数。你发现看我这个题，只要怎么办？我只要找到一个函数。只要找到这个函数，满足它等于一就行。其实在这个极限当中，重点需要用到的内容是什么呢？重点需要用到的内容只需要保证。
零处的导函数是一，那同学们告诉我你会取谁，我就直接取x。我就直接取s了，之后的话你就会发现你这个极限就变成多少。那这个前面没了，那这2 s- 3s比上s，这是负一。那很明显，这个结果它就等于负一，那等于负一，你看我举了个例子吧，你看这些人都不对。所以我选一，我直接这个东西啊，
就出来了。好了，向这个方向行，你不用想太多，好多说那不用保证这个周期性呃，这个东西你自己想清楚。我只需要怎么办？也就说我在这一步只需要用到一个f撇零。所以说这个题这样举例子，你得迈过这一关。你得迈过这一关，不然的话你就不好取它，你又想取一个周期性，你又想取一个二处的导函数是一，其实很困难。
其实你发现这前面这个一堆它重点而言，只是告诉了你一个题目条件信息，告诉了你什么题目条件信息呢？就是f撇零。就是f撇零。这一堆的这个内容，它重点只有一个作用，什么作用你看做完了题，它重点就一个作用，告诉你f撇零等于几呢？f撇零=1。所以说这个这个题举例子还是有点风险的啊，你扎扎实实做吧。一两分钟内肯定能做完啊，这个题。
肯定是能做完，然后我们继续，我们再来看第六题，第六题不难吧？那么，接下来我们继续。好了，那么接下来我们来看看这个第六题。嗯，举例子在做选择题的时候还是非常严谨的。因为我排除了这些人，我肯定这个人是对的呀。这个题其实不难啊，这个题非常好做，有的被被他给吓的啊，
他告诉在临处可导。你在邻处可导那首先第一件事儿呢，你肯定得在邻处连续啊。所以首先第一件事情，我们先来看看在零处的连续性。零处的连续性，我们先进行求左极限。那左极限是多少？你求这个极限。那这是无穷小臣，有界无穷小。cushion 0是一，那这是一。然后再来看右极限，这是解这是零，
然后这是解零这是b。这是b该点值是谁b？你看b出来了。所以说这个b出来之后，立即把这几个人给排除掉。那么，接下来我们只需要进行求个a。然后再来看它在这个点处可导。左右不一样。那它的充要条件是什么？左右导出。存在且相等。所以现在我们要进行去求一下这个人的左导数。左导数就是limits趋向零负。零负的话，
这个人其实多少是x方倍的sins分之一，然后再加上coss。然后该点值是多少？f0啊。f0刚才算过了，它是等于一的。那所以说再减去该点值比上个s。然后接下来我们再来看看这个诱导数。那诱导数是多少呢？这是limits趋向零帧。零帧的话，这是x。那上面的话，这是ln多少呢？ln 1+x，
然后再加上ax。然后再加上b是1b是一就是es减个一。好，这个情况那么接下来我们去求一下这个极限，这个极限贼简单。来吧，同学们一抽，这是个几节二阶比一阶，你要是这种极限都不会做啊，这个前期。你觉得。这合理吗？这太不合理了吧。你就把这个东西你操作一下，你这个东西就变成了x倍的sins分之一，
你再加上一个coss减一比上s。然后接下来你发现前面这东西无穷小乘有界无穷小极限是零高阶比低阶结，结果是零。然后再来看看这个人，那这个人的话，你看这个极限是几一，这个极限是几a，这个是一一。a1是不是这个情况，所以说最后而言我们就知道a等于多少负二。你看这个题出的这个极限题啊的难度系数也不会特别大，非常稳扎稳打的扣住我们的这种考试能力，然后进行出。然后接下来看一个是负二，一个是一正确答案，
选几选c。这不就是我们考纲要求的一个情况吗？所以你看哪个极限东西特别复杂？没有说特别特别的，怎么样？你像这里面当中，我有给你出过这种意见吗？我没有跟你处过吧？那你看看我们有出过这种吗？这也没有啊，所以它是符合我们三九六同学的出题的风格的。出题的这种方向的。把它好好处理。来继续，我们再来看看这个下一个问题第七题。
x大于等于零的求导。能不能用定义法？这什么意思啊？可哦可可以不用定语法。保证了这个连续，但是这个人有可能震荡，尽量不要用。啊，尽量不要用。尽量不要好了，那么接下来我们继续吧，你说的是导数极限定理。你说的是导数极限定理。那个事情我们原来说过这个问题，你尽可能的，
你不你作为三九六，你如果我就觉得一个问题啊，都考了这么多次试了。包括人家有些同学考的非常好的啊，考的非常棒的一些同学就是你的思维方式，你不要太发散的时候。你你去试两次吧，你觉得能考的非常好，你就按照常规方向的东西去讲。就按常规的方向去想。所以我们在这里面当中，这个做题的呃方向性啊，我们把它想清楚。而且你数三转过来的话，我觉得这个也不是这样的一个问题，
你说的是导数极限定理。你在数学三当中，你进行去想那个导数极限定理的时候，它也是必须要保证要求导的函数，连续导函数的极限不正当嘛。不正当的时候可以有正当的话，先不要去想那个。好了，那么接下来我们继续吧，我们再来看。再看这个题。那这个题的话，你发现啊，这是个常规点。对吧，
非常常规的问题，隐含数求导，那么接下来我们来看看这个人啊，这这题有没有同学做错的？2 x+1个y导，然后这个人求导是secant x-y^2，然后的话，这个中间变量再求导是多少？是一线去歪倒。好这个人，然后接下来我们就继续，我们再看。然后进行两阶导数的话，这是二，然后这是y两撇呃，
稍微的话进行去看一看。因为我觉得这个计算呢，稍微有点麻烦，你仔细仔细进去去看看，当x=0的时候。然后这里面当中的这个呃y这个结果等于多少呢？y这个结果的话，这是y对吧？然后的话这是。呃，等于tant多少负y？所以说这个y等几啊y=0。是不这个情况啊y=0，所以现在的话s=0 y=0。那这个部分是多少呢？
那second零是cos零分之一啊？那cos零分之一的话，那这是一那那没办法，你这个你还得进去去试一下。对吧，然后接下来我们再来看看歪导，你把歪导的话进行带一下。你带到这里面当中的话，这是零，然后这是y叨。呃，这个时候的话，你就会发现这是多少呢？这个东西是一，然后这是一减y道。
所以说这个y导等于多少y导等于二分之一。那没办法，你就算呗啊，来我们接下来看看这个前面这个人那是二倍的多少？second,xy.那二倍的这个seconds y那，然后是second t。tangent t好了，我看到这个人了，tangent 0不算了。好，我就不算了。然后再加上那话，那个second x-y的这个人的平方。
然后这个后面这个部分是负的y的两阶导。你注意啊，这个题没有用，你得静心想，这是个非常重要的一个事情，然后接下来我们就把它往里面带，往里面带的话，这是二。然后再加上两级岛。前面这一长串是零。然后这个人是零。塞肯定零是cosine零分之一是一，那这是一，然后这等于负的y导导，所以说y导导这个零呢，
它等于负一。好了，这个结果我们就出来了，正确答案选几选d你多培养哦。对吧，多培养。然后另外一件事情，你注意哦。你连这种导数都算不下去。你无论怎么去考，你都是不达标的。你能听得懂我的意思吗？你找再多的借口，你也是不达标的。你无法找借口，
你连个破导数你都不敢算。稍微算两笔啊，这这这算不下去了，那真不行。这两下的话还没有体现出来这个东西的运算能力呢。所以不就是又来了个一减y导，又来了个又来了个来个平方吗？这种基础运算呢，你把它好好把握住。好了，这个题啊，我们就说到这。还没有，算两下呢，导数计算啊，
好了，我们继续，我们再来看看第八题。第八题啊啊，比较容易一些，你看看这个题。那这个题啊，它什么情况？你发现这个y这个人呐，移过去其实就是等于三分之一x减去六分之一。所以说这个斜率是多少？这个斜率刚好是三分之一。跟这个直线进行垂直，跟这个直线垂直，我的斜率是多少？
我的斜率是负一。那我的斜率是负一，我就要在这个曲线上，而且跟这个曲线相切，我就要在这个曲线上找斜率为负一的点。那我在这条上面进行找斜，因为我们跟它相切嘛。我这条线的斜率是很多时候负负一不是这样，你别管我啊。诶呃，负三哦，不好意思。是负三对吧？两个人相乘是负一，你注意就是这样负三，
很多人说负三不是这样，你别管我，我随便花。啊，你别管，那这个时候的话，你发现这个人其实变成这样。啊，这是负一啊，这是负三那负三，我们找导函数是三倍的x方，然后再加上6x。你就在这上面的话，找到这个负三。我们就来找这个点，
那找这个点的话，你去算一下，这不s方，然后再加上2s，然后再怎么办？加个一=0。所以x等于几负一哦，这个点x坐标是负1x坐标是负一往这上面代是多少？那这个第一个是负一，然后再加上三，你再减去五那所以说这个结果就等于几，这个结果就等于负三。好，这个情况，因此这个时候你就会发现这个人的切线方程出来了吧？
来我们走y就等于。来经过这个点负三，然后再加上斜率啊，这是呃负三倍的x+1。好了，最后一件事情，把它稍微整理一下，那就是负3 x- 1个负三，再减去减去六，所以说这个题的正确答案选几选c？能想清楚吧。好了，这是这个事儿，就是你把这个这个斜率出来之后，你斜率出来了，
那反正就是一条切线切过去，那就是在这个点处的切线，我要找到这个点，那你就算呗。你看在哪个点处的切线斜率更大，这图还要吗？图擦掉了，不然的话下去有同学说那个图怎么画的啊？好，这个题。那么，接下来我们再来看看这个第九题，第九题没有同学做错吧？N多遍了啊，这个题。
这种题。是已经老朋友了啊，我记得原来有些同学特别不喜欢方程根的题。这都错了，多少多少题呢？来，我们接下来看，那这里面当中怎么办？你就另想。另一项你去研究一下这个函数的图像es，加上e。然后接下来我们怎么办？定义域是r求导前导，后面不导，然后再加上前面不导，
后面来导。所以说把这个人提出来x方倍的es提出来，然后就是三+s。好了，这是这个情况，那么接下来我们就继续有没有不可导点没有，只有注点，只有注点谁呢？只有注点负三。所以说只找到这个点，你可以画个表，你不画表算了啊，这无所谓，那其实就是负无穷到多少负三，然后这是负三。
负三到多少，到正无穷。那这个时候你这块都是正的嘛，你竖着你往上跑，往上跑，这块是负这块是真，然后这是零这减这增，然后这是极什么值极小值？诶哦，还有个零不好意思。还有一个零，那这个时候的话，其实你发现这块还有一个零。那么然后的话，这块到零，
然后这是零零到正无穷，其实零这个点不会影响的。因为你发现你看这块东西，眼睛一瞅你就发现永远都是真的，所以改变正负性的人应该是在这儿，你能听得懂我的意思吗？你不用精心担心，你就算没有找到那个点，它也不会影响你，结果为什么呢？因为我看到了这个一阶导数的正负性变换，其实只是在这块影响。也没有丢。因为你发现这两边是一样的，然后再看，
只要你迈过了这个负一呃负三，你都会变成正的，然后这是增这是增。你能听得懂我的意思吗？就是你在这里面当中进行去看这个导函数，导函数这块永远是真的影响，这个部分是在这儿。你就重点想看一阶导数的正负性嘛，那这个人呢？这是不娶的。啊不取，所以接下来我们就继续，我们再来看那，然后接下来你就要进行去研究这个图像了。你要研究几个情况，
第一个事情你要知道x趋向于负无穷的极限是多少？那负无穷的极限是多少？那负无穷极限的话，其实就是limits趋向于负无穷。那负无穷，把这个e的负s写到这儿，这是三次方再加个一。你看这个时候就是正无穷，比它大，那这人是一，因为前面是零嘛。然后再来看第二事情，当s趋向正无穷的时候，你这个fs什么那正无穷的话，那肯定是正无穷。
好，这个情况，然后我们还要算一下负三那f负三是多少？f负三的话就是负九倍的e的负三，再加个一。好，这个情况，那这个情况的话，你发现这人是正的还是负的呀？就这个人呐，那这个。一亿的负三的话，其实就是一亿的三次方之九加个一。对吧，这是这个情况。
哦，这27不好意思。27。然后这是27倍的它。这是正的还是负的呀？那这个计算的话很简单，你其实就是一分之三的平方位。一亿分之三的这个平方的话，你就会发现这个结果是多少？你这个人是大于一。对吧，大于一，所以说这个整体是负的。好了，这个情况那么接下来我们来进行去画一个草图，
什么东西都出来了。跟得上我的意思吗？这是y这是零，然后这是x。然后这时候我们来进行去看看这个负三。负三的话，这个人是多少呢？他是从。呃，这是接近于一。然后到一个负的。然后又上去。所以说跟x轴有几个交点，有两个交点答案选c。好了，
这是这个题啊，所以说就是求导找到注点，不可导点画表判断端点处的情况就出来了。那这种题嗯，太套路了啊，套路性非常的明显。好了，这个题啊，我们就讲到这，我们再来看看第十题。可能很多同学做这个套题啊，前些题啊都非常的顺。第一次出现这个题的时候。啊哎呀，你别管我。
你纠结那个东西干嘛呢？很多人说老师这个零处的话，它是等于一。你发现很多这个。行行行，来好了。可以了吧，舒服了吗？还不是两个吗？选几啊草图，你要看的是跟s轴的交点。就这样子。你发现从从一个一，然后到一个负的，从这个负的，
然后跑上去。随便呐，无所谓，找到两个焦点就行了。你要注意这个问题，这个是无所谓的啊。那么，接下来我们继续，我们再来看不这跟严谨没关系。这样就出来了，这就够了。那么，接下来我们就继续我们来看看这个第十题。你要注意研究出来单调性，然后看端点就行，
我从一跑到一个负的，从负的跑到正无穷，那肯定是两个焦点出来了呀。这就够了。就是单调性出来之后拉住端点就行了。你就能看出有几个教练。然后接下来我们再来继续，我们再来看看下一个问题对吧，再来看第十题呃，这个题啊，有些同学可能。在这个丢有点丢分了啊。在做这个前十个题当中，第一次出现的问题，那么接下来我们来解一下这个题，
这题啊，有点大骗子的感觉。啊，这个题那这个题的话，你就会发现这是什么呢？这是limit德尔塔s趋向零。然后这个德尔塔y是谁呢？你看不出来，你就把它给我写进去，一加上德尔塔s，然后再减去f1。然后再减去多少if撇儿一乘上德尔塔s。好，这个事情。怎么做怎么处理啊？
那么，首先拿到极限是不是先定性呢？我一定我一定当德尔塔趋向零的时候，这是零。当德尔塔趋向零的时候，这是f1-f一是零，那后面是零零比零型的未定式。而这个题人家是存在几阶导数，人家是存在两阶导数。二阶导数存在，一阶导数怎么了？一阶导数连续一阶导数连续，我就可以把它落到一阶。所以说这里面当中啊，你就可以落下这二倍的德尔塔s。
一落的话只是f撇一加德尔塔s，然后这一落哎，变成了这个漂亮，这不结束了吗？所以说这个时候你就会发现一个事情，这人就结束了，这不二分之一这啥，这不是撇儿撇儿一吗？对吧，这不撇儿撇儿一嘛，而撇儿撇儿一等于几呢？撇儿撇儿一=-2，所以说这个结果等于负一啊。因此，这个题的正确答案选b就这么简单。
啊，这个题。当然，有些同学我不知道你能想到吗？如果你把这个人进行态度展开，也可以。一展开一下就出来了。展到后面刚好是二分之一撇儿，撇儿一德尔塔s的平方。好了，不说了，我们就这样做就行了。你看这个题目。对吧，在这个题当中啊，
我们也能得到一个结论。这个结论是可以把它记住的。你看有些时候还看不懂。为什么落没了？我们说过一个事情，做极限。一定要看帽子呃，我问几个同学啊，这这个同学你。你应该是听过冲刺课或者强化课吧？听没听过？啊，有没有听过？为啥这个抽象函数的极限到了，今天还会有问题？
啊我我就很想知道，这是我们讲了多少遍多少遍多少遍的东西啊？那强化也讲过呀。我们可以落到哪？落到连续的那一节。好了，我来说一下。你看怎么到了今天还会有问题啊，二阶导数存在。我讲了十几遍都不止。然后是几阶导数，连续一阶导数连续。抽象函数的极限可以落到一阶，没有问题吧？我就落到了一阶，
到我讲的下十遍嘛。今年这个问题我十几遍都不止，我有可能都讲了20多遍，这都有可能。然后另外一件事情做极限，看帽子，你做这个题的时候，你要看德尔塔呀。人家是谁？人家这个帽子下面是德尔塔趋向零。德尔塔趋向零，所以说你落的时候你进行求导，对谁求导你是对德尔塔求导呀。你对德尔塔进行求导，你德尔塔求导的话，
就是先对中间变量求导，中间变量求导是几？中间变量求导是一啊。然后这个人就没了呀。对吧，然后这个部分的话不就留下它好了，这个点我不讲了。嗯，我找一下吧。我找了你又很难受。你说这。你又不是没有做过这种题。你不信吗？你做过原模原样的题。你看我给你找找。
我们所有同学都做过这个题吧。你看你做过吗？h会总。这不就是抽象函数的极限吗？落到连续的那一。那先怼一下呗。等一下不就出来了吗？这有什么区别呢？好了，这个点他说啊，我怎么想不到我怎么样才能想到？这不一模一样的题。你把这个题啊，你总结一下，因为这个题非常的重要，
我们来看看结论啊，先看。你听好这个事情。那么，如果一个函数在这个点处的二级导数存在。它的德尔塔y。减去它的微分。是德尔塔s的平方阶的等啊，这个什么同阶无穷小。你注意下这个问题，我再说一遍。你听好这个事儿啊。所以说，如果我们将来碰到这种题啊，那就好办了。
如果一个二阶导数存在。我在这个点处的德尔塔y。我再减去它的微分。这微分定义那块内容吧。它是什么？它是平方阶的。同见无穷小。平方的当然的话，这个跟这个二级导数也有关了，如果这个二级导数不为零。是它的同解无穷小。你能理解吧。你可以稍微的进行去了解一下，因为我们不考泰勒公式，所以说我们不用往深处讲。
不是说我们不搞那个泰勒公式，是泰勒公式的一般式。所以说我们就没有往深处讲你最简单的话，就把这个人展开展开能看的贼贼仔细。好了，不说了，把这个点呢，你知道就行。然后接下来我们再来看看11题啊，11题啊，非常可惜，但是这个题去年也考过。你看这种题，去年是考过这种点的。但这种问题的话，
也不是说想象那么难。那么，对于一个函数进行求极值的问题，第一步干嘛？你先看它的定域对吧？这个定域刚刚好是r。我们要干嘛呢？先找到驻点和不可导点。然后再进行去判断，所以说这个题要牵扯到求导。那千朝的求导的话，首先我们看第一个事情。大于零的时候。大于零的时候，这个求导其实就是多少是x三次方的这个人求。
那其实就是幂值函数，要幂值转换再来求导。好，这个求那这个求导的话就是e的3s倍的lns，然后这个是三那前导后不导，前面不导，后面来导，那这是一。所以说这个结果你就写成了这样。好了，这个导函数出来了，然后接下来我们再看当s小于零。啊，小一点的时候。小于零的时候的话，
这个人导函数等于多少？这个导函数等于一。然后接下来我们再来看看，等于零其实你聪明一点就别做了。为什么呢？因为abcde这几个选项都要进行去判断零处。如果你在这做也行，我们再来看看零处。零处的话，你得用导数d。比如说我们进行求诱导数。诱导数的话，这是limits趋向零正。所以要会做选择题，那这个人的话是3s。
你看这个情况。是不这个人呐。好了，这个部分是fs-f零是几f0的？这个等号在后面是二。减去这个人比上s- 0。那这个时候我们继续来看。你就会发现这是limits趋向零。零正，然后这是s这是e的多少呢？e的3x倍的ln x再减二。好同学们，你告诉我一件事情。当x趋向零正的时候，x成ln的极限常规不常规，
这去年重点考过的。这个极限是零吧？那e的零是一。一减二是负一。负一除上零，那这一项是无穷大呀。哎，能想清楚吗？e的零是一一减二是负一，你这一除是无穷大呀。所以说这个人导函数就出来了。哎，它是不存在一侧，不存在那就不存在，我就不算了，
所以说这个导函数它是三倍的e的。3x倍的lns，然后这半边是lns，再加个一，然后这半边是s大于零。x小于零的时候是几是一？好了，那么这个零呢？它就是不可导点，那么现在要找注点，那找注点让这一半等于零呢？不可能。只能让这半等于零。这一半等于零的时候会解出一个人，这个不可能等于零，
那就是ln x等于负一x就会等于一分之一。能听懂吧？让这段等于零s会等于一分之一，刚好在这儿。所以说这里面当中，我们就解出来什么，我们就解出来x等于一分之一，为什么点为注点？x=0，为什么不可导点？哎，为不可导电，所以有两个嫌疑人，那这两个嫌疑人的话，接下来我们就要看看这个正负性变化。
你可以直接看。你发现这个点它取不取？如果它在一分之一的左右。ln x加个一。往因为这个部分肯定是正的嘛。你这个部分肯定是真的。你绝对是正的，所以我们来稍微的话，跟同学们一起去慢慢进行讲讲啊。那首先我们先来看看第一个事情。你先看e分之一。然后你再看零。那亿分之一啊，你这个前面永远是正的。录音这个人上去。
上去上去肯定是这样，经过它那，所以说左边是负，右边是正。先减后增极小值。好，这个人我们再看零。零的这话，你发现这半边是正的，左半边正的，然后右半边呢？哎，你发现刚才那个lin是这样上去的，所以这半边是负的。但是先增后减极大值。
所以说这个题啊，那就出来了一分之一处取什么值一分之一处取极小值零处取极大值。所以，正确答案选几选a哦。可以的吧，好这个题啊，你自己去看看，我就看这一点，两侧的正负性变化。所以说大家注意，不光要会做，要做的非常熟，我建议同学们把这个卷子上这些题啊，认认真真的完成一下。你好好进行整理一下。
所以这个部分的这个操作，这去年也考过这件事情，你去年里面当中那个题比这个考的还难一点点呢。啊，当然的话也说不清楚，那个也不好说难，因为我们这是密制函数，它那个是个变现函数也差不多吧。差不多难度。所以第一件事情找到重点和不可导点思路一定要清晰，找到之后啊，如果好进行去判断两侧的正负性变化。好判断两侧正负性变化，你就用这个方法。好了么？
同学们听明白了，给我回复一啊。好，这个题啊，我们就讲到这，然后另外一件事情，你注意这个题啊，我手下留情了。因为我在前面进行去出题的时候有些点呢，我稍微进行去控制了一下。其实理论上，这个题目就不能这样进行去写答案，你看不出来吗？你发现我只要判断一个一分之一本题就结束了，然后下面的时候居然没有别的答案，
然后零还不用继续去判，我在为你减负担呢。我在为你减负担呢，你没发现abcde这几个选项都有理吗？其实零的这一步的导数定义，我就没想让你做。我就让你进行去减负担，你只需要进行去算一下大于零，你只用去算一下小于零。算一下大于零，算一下小于零，都要判断零，所以说零我就不算了，我肯定要判断这个零这个点。然后进行看左右两侧的振幅，
但是你要注意你在自己练习的时候，你可不能这样办。所以有些同学做这个题做的很快，讨巧一点呢。讨巧一点的话，你发现临处这就不做了，因为这选项当中都有它。好，这个题我们就讲到这。然后继续我们再来看看12题，这个题。12题应该还好。这不就去年考过了之后啊。然后呃，这个今年的话应该是很多同学复习的，
非常好的一个点。那么，接下来我们继续吧。这个呃，可以用临处是可以用。临处的话是。嗯，不好用，不好用。临柱是二，你这半边跟二不好比呀。你能判断出来这个跟个二的大小吗？行吧，我们就说到这。那么，
接下来我们来判断一下这个啊，这个题目来解。那这题就列呗，应该没问题啊。那这个部分的话，其实就是x+1。然后这是一加上x方，然后这是一减x列呗，列成x加一分之a。然后再列列成一，加上x方分之多少BS+d。好，这个情况，然后接下来我们继续，我们再来看。
求极限是三，你哪知道那个人是大于三还是小于三呢？你学东西，你要学仔细，你比如说你是这方面，除非你知道是减到三还是加到三？增到三这种呢？你到底是比三大还是比比比二大哎？求极限是三是吧三可以？三就对了。三是对的，你可以这样做。如果你求出这个极限。你试一下吧，你求出极限是三可以保好金啊。
好了，我们继续，我们回到这个题啊。但是二不行二的话，你发现不知道大于还是小于二，然后我们来看看这个事情，然后这个题目是x+1。然后这是一+x^2。那这个部分的话就是a倍的一+x^2。然后这是BS+d倍的多少x+1。那这个时候我们其实就知道这个分子这个东西啊，是完全对等的。要敢去做啊，一定要敢算这量对等的话，你就怎么去取啊，
首先我们先进去取谁呀，先去取负一吧。令负一，令负一，左半边是多少？是二负一的话，这块没了，然后这块是2a，所以说这个a等于几啊？a=1。没问题吧，然后再来令令什么东西呢？那没有了，只能令零。那零的时候的话，
这边是一，然后这是a。啊零的时候的话，这块是零，这块是没有，这是d，所以说这个d等于几啊d=0。然后接下来我们继续，我们再来看。那把这个东西我们再继续做，然后就是另乘一个多少另乘一。然后这块是零移的时候的话，这是2a移的时候的话，你发现移的时候这是b这是零，那只有一个b。
然后这块儿是二，所以说这个b是多少？那b这个结果的话，刚好其实就是负一。所以你看这个题。这个题相对而言的话还是挺容易。行吧，我们就说到这。好了，这是这个事情，所以说这里面当中啊，你就列就行啊嗯，我觉得有些事情我说一个问题。令的这个数是怎么看的？我们今天不是公开课呀，
你你问的这些问题让我特别的诧异啊。我们今天不是公开课。你这都是一直跟着我们学习，你这这是怎么回怎么学的呢？对吧？你你这样的话，我都不知道你是怎么复习的啊？好了，那么接下来我们继续，我们再来看。今天是不是公开课？找分母为零的点呢。那么，接下来我们继续吧，我们来看看，
所以说这个原式这个积分就等于几啊？原是这个积分的话，它刚好是个定积分。零到一，然后是x加一分之a，这是一这ds。然后接下来我们发现这是一+s^2分之几，一+s^2分之负s。啊，就是零到一一+s^2分之xds。好了，这是这个情况，那么接下来我们来看看，这是lone多少lone这个一加s，把零和一代去，
然后再减去二分之一倍的lone一加上s方。把这个零和一带去，所以说这个结果啊，它刚好是ln二，然后再减去二分之一倍的ln减。呃，这是二分之一倍的路由。所以说这个结果它刚好是二分之一倍的洛因。好了，这个结果就出来了，答案选几选b，因为这个题出来之后啊，还是挺简单的。赋值也比较简单，出来的这个东西啊，
也比较简单，所以这个题是非常适合考给我们的一个题。好，这个题啊，我们就讲到这。来那么接下来我们继续。你别别别说话了，别说话，别说话。好了，这是这个。我我要破房子啊。那你就三角代换吧，好吧？啊三角带环不像。
我不知道你考试有多少时间能让你进行去那样尝试啊？你试一下呀，你可以试一下，你看你几分钟内把它做完。不是你们最近段时间有些同学，你最近是怎么复习的呀？你还不如你基础班复习呢，我觉得这个有些东西基础班都不会问这种问题啊。来那么接下来我们继续吧，我们再来看一下下面一个题。那这个题啊，是一个n项和的问题，对吧？n项和。那n项和的这种题的话，
我们怎么办？我们先想定几分定一位。一会儿有同学问为什么是这个定积分定义，那真的是疯了啊。不，这跟想多了没有关系，这就不是想多了。你去做几套真题吧，你这稍微收敛一下，你去把那个你最近两年的真题做一下，把它收敛一下。你这有点太太太过于你有点迈开了三九六的出题风格了。其实也不是三九六数，一数，二数三出题的话，
你也不会那样去想的。好了，我们先看这个人，那怎么办？你先写求和呗，那先写求和的话，这是根号下。这都是n方。你看第一个人。是四对吧？你这是四×1^2。四×2^2。四×n^2。你就加上一个四乘上k的平方。然后这个分之几呢？
分之这个一，然后这个k从几呢k从这个一，然后到多少到这个无穷的啊到这个n。好，这个情况，然后这个。写完求和了之后去拎。然后提出一个n分之一。一提了之后的话，这个结果是一，然后这是一，你再加上四倍的多少，这是n分之k的这个人平方。那这个时候你看一线可有了？零二件可有了。
三剑客也有了。所以说后面这个东西，它就会等于多少零到一根号下多少四倍的，这个什么一+4倍的x方。然后这个ds。好了，这个东西就做成这样，我知道我为什么出这个题呢？我也想让很多同学进行去，稍微进行去复习一下一个什么？复习一下，一个定积分。一个不定积分的公式就是这个公式。根号下x方加上a方这个人。因为这个好长时间我们进行都没有进行去呃考这个东西了。
估计很多同学都好久没有见过这个，做到这个积分了。这是这个样子，加上c。你把做到这儿又给忘了，这可不是冤啊，这不是冤，别别别，胡来，你发现这个最近呢，你这个复习有些同学，我稍稍微的很担心你的复习状态啊。一点都没有节奏了，东西的话学了很多东西，胡乱用东西非常的嗯，
这个大脑一点体系都没有。好了，那么接下我们继续，我们再看，那这是零到一，你这根号下一加上多少2s这个人的平方？d多少二s补上一个二分之一，所以说这个结果那刚好是一的这个人，我们就来写l。那其实就是x再加上一个根号，下一+4倍的x方。好，这个结果，然后最后一件事儿，把这个零和一带进去。
好这个人那因此这个结果的话就变成多少是l？呃，这是二。再加上一个根号五。然后再减去二分之一ln零是几呢？零是ln一是零，就这个结果。所以二分之一倍的二加根号五答案选。几选d？这个题目，所以像这个呃，其实你发现这样的卷子啊，你让很多人显得很多东西啊，也挺好。我其实这个题啊，
我稍微加了一点难度。因为我一直觉得你能写到定积分，这对于咱们班的同学没有一个同学有问题。所以我就在这里面当中啊。加高了这个题当中的计算难度。呃，这个同学你得复习，你得好好复习。而且我一我经常在课堂当中，我们应该很熟悉啊，我经常在课堂上见到你，你怎么到了今天还会犯这种问题？那碰到n项和是先向定积分定义，定积分定义能做就做，你做不了再加b。
不是说每个题它加b也能用定积分定义也能用，不是说两个东西都能用。好了，那么接下来我们就不说了，我们再来看14题。14题啊，很多同学还是会出题出错问题。这上课讲过的原模原样内容吧，也是我们考纲当中的重点。我们来看看这个事情。积分线相同，被积分函数不同，我们在这里面当中考察，这个比较定理。当s大于这个时候s肯定比这个s in大。
是吧，所以说这个时候我们来看看，那你比上这个人。你肯定大于s in比上这个x这个人呐。你比它大，那你比它大了之后的话，我们就说明什么？那就但是而且的话，你发现得到这个人。你千万不要选错了啊。我们是不得到这个情况。我除它，它比它一大吗？然后这个人的积分是谁呢？这个积分是j。
然后这个取零到二分之派的积分是二分之派。你这个积分是多少？你这个积分的话，刚好是a。所以说j1定会大于a。有些同学说一的积分是1j大于一大于a。j大于一大于a的话就在这里面当中选。对吧，就选了d。就选了d。一看都没复习，你稍微把上课的内容消化到位，你也不会是这样的一个水平。这些同学你不要原谅自己，你再原谅自己的话，
你这个复习状态有点儿ve了啊。你注意一下这个事情，你比他大，这积分是二分之派。那这个题究竟应该怎么办呢？我们在这里面当中还有个一。咦，怎么办？我上课讲过这件事情。割线呢。我们考研就喜欢这样考。你这是x你这是多少s in？那所以说这是x你这是s in，然后这是二分之派。那这个时候你就把这两条线连起来。
那么所以说我们其实就得到了x比s in大。然后比这条线这条线的高度是一。是派分之2s。然后两边同时除一个s÷1个s的话，这就是一。大于sins比上s大于派分之二。然后这个人的积分是多少？那这个人的积分是I？大于零到二分之派。派分之二的这个积分，那刚好是一。那所以说这个部分呢？嗯，这块是二分之派。那所以我们就得到了这个人比一大。
因此，这里面我们马上出来。我们就可以说明了一个事情，说明了这里面当中的j比I大，比e大。j比I大，比一大答案选c啊，这个题。好了，这个题目我们就讲到这吧呃，把这个方向性大家一定要学会，我们讲了好多遍了。这个页面呢，对咱班同学我相信非常非常熟悉了，我们出过什么es- 1，
我们出过l 1+s。你去看看考研真题，还有这个探真题PS不就喜欢考这些线吗？把这线的话经常考，把它梳理清楚，然后再来看15题。啊，这个题那这个题啊，那首先第一件事我的我对s的积分是你立即可以说明你。对s进行求导就是我，所以说眼睛一撇就知道fs这个人等于多少，你求导es+s。然后这个时候就可以把这个什么lns进行去替代了e的这个lns，然后再加上多少？诶，
这是s，然后再加上lns。好了，这个人就做成这样，那前面这东西不就是x吗？加上ln x，所以说这个积分就是一到一，然后这是s分之一。然后这个部分是is+lns，这个部分ds。那所以说最后而言的话，往里面塞一到一一的积分，加上一到一s分之ln sds积分。那你想这个积分结果是多少？一减一，
然后这个人呢？s分之一往后面凑二分之一，ln x方一和e单取。所以说这是一减一二分之一，ln一是一，那就是一，ln一是零，不管了，所以一减二分之一。那所以说这个题的正确答案选几选c啊，这题结束。15题那么再来看看下面一个题16题。再来看下面一题16题。呃，我再强调一遍，
你到了这个阶段，你是可以试的。正确答案就是那个答案。你做了半天的话，做不出来，那肯定不行。你也可以把这个s分之一凑到后面去，可以把s分之一凑到后面去，然后把ling换个圆也可以。一样的，这个题是个简单题。可以的，把s分之一凑到后面去lns等于t换个圆，然后其实的话，这个积分线就出来了。
然后把这个直接代词一样的，你对准最后答案就行。然后再来看16题，16题这个人呢啊，注意一下，这是x轴。好，我们来看看这个题目。那这个题目。你发现。你求的这个东西，你只需要大致的画个草图就行。这个曲线。非常明显的话，就是零处是零一处也是零。
没有问题吧，零处是零，一处也是零。而且这个函数。它是大于零的。你别跟我换。它是不是大于零呢？所以说这个部分的话东西啊，它是大于零的。y轴围的是哪个区域啊？你能告诉我吗？嗯，你能告诉我y轴围的是哪个区域啊？别胡胡来啊，这个。
零一这个点连续的。连续我说让你们改一下，把它改成s轴围不出来。我知道是y，你把这个改一下，我不是给你标成绿色了吗？把它改成s种。因为y轴的话，这个东西就围不成了。那么所以说接下来我们来看看这个面积。这个面积是多少呢？是零到一，然后是s方根号下一减s方ds。好了，那么接下来我们一起去看。
那这人怎么做？这个分怎么记？回答我怎么记这个分呢？如何解非常好三角代换0s等于多少sint？那所以说这是零是零，这是二分之派，然后这是sint的平方一减s in方，那刚好是cos。ds还要哪一个？所以说这是平方，有些同学没有这一个，那你就做错了，然后零到二分之派怎么做？想到点火把这个写成一减。那就是平方再减去平方就是四次方。
是不是就可以点了？那点火的话，针是二一二分之派。然后这是四三二一二分之派。然后这个结果的话，刚好是多少？那这个结果刚好是四分之一倍的四分之派。16分之派。所以这题的正确答案选几选一。其实你发现啊，我们在初的时候。出这个题目的时候，你发现这个非常考量这个定积分，所以这个定积分考的东西很多。你像这个里面三角带环。
你像这里面当时点火公式啊，都进行考察的啊，好了，那么接下来我们继续吧，我们再看17题17题呀。有些同学非常的可惜啊。呃，这个题说实话非常的可惜。我们来看看这个题目。我想想这个题。那么，在这里面当中啊，我们来看看，这是s这是零这是y。那这个部分的话是y等于多少呢？
y=x^2。然后是一个x+2这条线。x+2这条线呢，它是这样。好了，是这样的一个问题，所以说最后围城的这个区域是哪个区啊？围城的区域是这个区。这个区域围成的。然后接下来我们再来看这个焦点。啊，这个焦点。那这个焦点的话，你就会发现把这两个东西啊，让它相等x方等于x+2。
所以说这是x方减x减去二一二得二，那这是二这是负一。那有些同学做的这个题啊。它怎么算呢？它说这个vy。那绕着y轴旋转呗，那就负一到二二派s。乘以这个y。ds是吧？转一圈啊，转一圈，所以说这个列式子啊，它就这样列。所以我们来看看大的。啊vy，
这个人就是负一到二。二派x大的线是多少？大的这个线是x+2这条线。然后再减去负一到二，然后是二派x乘上小的这个线，最后算出来答案选几啊？肯定是有正确答案，因为我当时算过。哎，如果是你这样做，你选答案是选几啊？我算了，我专门算了一下这个答案。是不是选b了？那这就废了。
所以说这是这个题当中啊，非常大的问题。很多同学就选了这个。因为我当时算了一下这个答案，如果这样做算出答案肯定是这样，肯定在里面，因为我当时算了，把这里面当中的几个情况我们都算了一下。其实你发现这个题不是这样。这样做，你就把它做错了。因为你发现个事情。你就会发现，虽然我们是整体的这个区。但是我们绕着y轴转。
歪轴的转的时候你这个部分。是不会跟这版标志重合呀。因为它是对称的嘛。它对称的这半边肯定是重合了。所以说我们只需要算这半边。所以我们最终要算只用算红色。算红色就可以了。所以说最后的话，你发现这个红色，我们只用是从零到几二，然后这是二派xx- 2。ds，然后再减去零到二二派s平方ds。所以说最后的这个答案选几啊？你去算吧，
这里面当中的积分都没有什么难度，这里面当中的积分都毫无难度，正确答案选几啊？不要选必要。选c对吧？三分之十六派。这个题呃，这个题还是极具有创新性的一个题啊，我觉得这个这个题目啊。难也不难，很有我们的出题的这种风格，你下去把它好好想想。不是不是说请以后只要见到这种题就第一象限，不是你要具体题具体看不是这个意思。不是这个意思，
不是说我以后只要见到这种，哪敢做数学题，还敢这样进行总结，那可不是这样啊。那万一两边不对称呢？不是你你你要稍微灵活一些啊，好了，我们再来看18题。18题很简单。啊18题就考了一项，那么这种题如果你直接进行去偏导，这题就废了。所以说这个题我们怎么办？我们要先代后求。你先把谁呀？
你求y先把x=0代进去。s=0代进去，这就没了。s=0代进去，这就没了。然后的话，这个s=0代进去，这就没了，所以说留下了一个多少呢？是一+3多少？y- 1，然后这是负的y- 1。好，这个情况。咳咳，
就是你把它带进去，带进去了之后的话，然后给这个人用公式法就行。所以说这个人的话偏z偏y。呃，直接求的话，我觉得也挺恶心的，你就用定义吧。那就是y趋向于。那这个时候的话就是fs啊，这个是fy这个人。比上一个什么情况呢？比上一个，这是一加上。s in倍的y- 1。
然后再比上一个呃，再减去一个，它在一处值一处值的话，这是零。然后比上y- 1。所以说这个时候一约其实就是y趋向一，那是负一一，加上s in倍的y- 1。s in 0是零，那这结构是负一，所以正确答案选c。直接用这个定义就出来了，对吧啊？操作性。所以我们觉得这个操作的问题啊，
把它想清楚就行，好18题。可以了吗？我们就说到这，所以这个题啊，不是说特别难，你见到这个繁杂的直接算，你也太勇了。我说我觉得很好算，那你也很疼很勇。所以我们如果遇到这种问题啊，你想不到这个定义啊，我觉得也是一种缺憾，你所以下去得把它补一下好了，我们再来看看19题。
19题倒比较简单，你再看这个题，那这个题就硬算呗。那这里面当中你就要去算一下对x的偏导数。那就是变上限，移上限。上限再对s偏导数，你再减去把下限移进去y方比上x方，然后下限再对s求导y是个常数。x方分之负一。然后接下来我们再来看看这个偏y，那就是变上线移上线上线移进去上限，再对y求导。然后接下来我们就继续再来减，把这个什么东西呢变下限移下限，
这是平方，然后下限再对y求导的话，这是s分之一。所以说这个情况就做成这样，我们再把一零带进去。那这个x是几啊？x是1y是零不看了。然后的话，这个人是一零，然后这块是二。然后这是一所以说这个结果等于二一。然后接下来我们继续，我们再看那这个部分的话y是零那这没了，然后这是负的e的多少呢？这是y比它，
这是零。呃，然后这个部分是一，所以说这个结果等于负一。那所以说这个结果就等于2e倍的ds-dy。所以，正确答案选几选c。好了，这是我们讲的这个19题啊，这个做的可以非常快，好算的话你就直接算了，不要在那墨迹，因为都是想太多了。好了，这个点常规题吧，
这几个题比较简单。我们再来看看这个20题，这个题，这个题啊，我们等会再讲吧。然后后面是不是还有一个题21题？那行吧，我们稍微休息会吧，一会我们继续啊，一会我们再来把这套卷子后面几个题啊，我们再来讲讲。好，稍微休息五分钟，一会我们再继续啊。
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发表于 2024-4-14 17:13:00