03.396经综数学冲刺四套卷（内部卷3）解析课-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:12:47

我们继续吧，我们再来看看这个后面几个题目。呃，因为这个后面题量还挺大的啊，不然的话，一会儿你们中午还得呃休息会儿，还得吃饭呢啊，好了，那么接下来我们看看这个第18题。呃，这个题啊，你发现其实还是比较常规的一个题，考察了这里面当中的连续性啊，可导性可微性的问题。那么，

首先我们先来看看这个第一个点连不连续呢？你要注意，其实这个部分的话就说的是xy怎么办？它就等于这个零零。是不这个事情，所以我们首先看看第一个问题，连续性当x趋向0y趋向0x趋向0y趋向零，我们去求这个极限。当x趋向零，然后这个y趋向零，你求解什么呢？你其实就是这个y倍的x方x方加上y方。是不是这个人，然后接下来你发现你看这是有界的吧，所以无穷小乘，

有界无穷小这个极限，结果是零啊。好了，所以说这个部分是零的话，你发现它就等于零零处的函数值啊。那连续的呀，这不对。好了，那么接下来我们再看看这个I偏导数和这个y的偏导数。那这个偏导数的话，这个人我们就可以用定义啊，那就是limit x趋向零，然后这是fx 0。减去多少f零零比上s- 0？那么，

所以说，当I趋向零的时候，你就会发现。把这个零往哪带呢？应该往这带吧。对吧，往这带往这一带的话，这是零这是零这是s那这个结果是零啊。然后接下来我们再来看看这个y的这个偏导数，那y的偏导数的话，这是limit多少y趋向零，然后这是f0y。减去f零点零比上这个y- 0。所以说这个部分的话是y趋向零好，我们来操作一下。

把这个s=0带进去那，所以说这个结果就是零，那这是零，这是y，所以这个结果是零啊。那因此这两个东西的偏导数它都是零啊，这个也不对。那这个d肯定不对呀。你就算是可为的，他也不对，所以现在我们要进行去看，那到底选c还是选d呢？你就要判断这个人呢，可不可为？那可不可为的话，

我们就用定义法进行判定呗x趋向0y趋向零，然后这是f sy。减去f零零，然后再减去多少呢？减去s这个偏导数，你再乘上s- 0，加上y呃这个什么y的这个偏导数，乘上y- 0。比上什么呢？比上这个根号下x方，加上y方。那所以说你这项是零，你这项是零，你这项也是零，我们只用去算这样的一个结果，

那其实就是用这个人进去去比他。那这人比他的话，我们来算一下。s趋向0y趋向零上面是多少？x方y这个人，然后下面是x方，加上y方这个人的二分之几啊？那这个东西是二分之三次方。是不是这个结果，然后一看上面是三次，你下面是三次，所以说这个东西啊，肯定是不存在的，你去取YY=ks嘛。如果这个不存在，

肯定不是零，那不可为，那既然不可为啊，那这个e就对，如果不可为，全微分肯定不是这个人。所以，正确答案选几啊选一。好了没？同学们啊，掌握清楚给我回复一。所以你自己下去可以看看，对吧？这每个点呐呃，其实我们已经考了好多遍了，

只有他可危的时候，对吧？只有可危的时候，那这个人才会等于多少？全微分才会等于x偏导数d sy的偏导数dy。好，这已经是常规题了，好，我们再来看看第19题19题啊，典型的套娃的题。啊，典型套娃的题。那这个套娃的这个题啊，他的操作其实就这样，就是如果告诉你是f sy的样子。

如果可为c就对了。好了，我们继续吧，我们再来看看第19题。这个题的话，你发现其实就是套娃的题。啊，这个题那套娃的题，只要你不进行缩写就行，就这里面你发现这个函数。对吧，这个函数给它最简形式的样子的时候，这个偏f偏x这个人呢？对吧，就这个人s=2 y=2，

它跟我们对第一个中间变量求导一样不一样。一样吧，先做中间变量的切换。啊，你对y进行去求偏导最简二元函数的样子，对第二个中间变量求导一样不一样。一样吧，还等人。所以说这个问题点呢，你想清楚，就是写成最简二元函数的样子的时候。偏s偏y啊，这个东西其实就跟第一个中间变量和第二中间变量一样，所以这个结果我们就写成这样，这是三个。

所以就写成这样，对吧？最简二元函数的样子，这两个部分的东西啊，就跟这个人一样。所以现在我们给了一个套娃的形式啊，你不缩写就行，这跟我们上课讲的那个题啊，非常的像。只不过你在这里面当中需要稍微的注意一个信息点。你看这是个平方的导函数。我们就是先对中间变量求导。中间变量再求导。那然后怎么办？只要你不缩写都很好办。

先对第一个中间变量求导。中间变量求导是一。再对第二个中间变量求导。不要缩写啊，只要不缩写怎么都好办，然后这个中间变量再求导。这个中间变量再求导的话，其实就是f对第一个中间变量求导，中间变量求导是一。f对第二个中间变量求导，中间变量求导又是一好做成这样，那做成这样了之后，然后我们怎么办？我们要把这个二带进去。好了，

这个部分，然后这个平方x把这个二带进去。把这个二代进去的话，我们来看看你发现这个g2等于多少？这个g2这个人他很明显，其实就是f2f二二又是二。那所以说这个结果它就是二，因此的话是二乘上二，然后里面然后这是f二二，那这人是负二。然后再加上三，然后这是负二，加上个三好，这个结果，所以说这个结果马上算了。

你发现这个结果是几啊？这个结果是三三减它呢？这是一所以说这个结果等于四啊，正确答案选几啊？选b啊，这个题。好了，这是我们讲的这个第19题可以了吧啊，你下去慢慢进行处理一下，好我们再来看看第20题。隐函数二元，隐函数的问题。那二元隐函数求一阶偏导，说我们在这里面当中啊，你只用重点继续去。

嗯，你这样。哎呀，我们不是。对吧，那人家只让你去看林道派，他只能切到这，咋能切下去呢？你自己算一下吧，别别别乱来啊，你自己算一下，你动手算一下啊。好了，那么接下来我们继续吧，我们来看看这个。

他说这个二元函数啊，由这样的一个方程进行确定。啊，由这个人确定的隐函数，然后让我们去求解这个人。所以说这个题的话怎么办呢？那首先第一件事情，我们来设一下这个三元函数。啊设出来，你设出三元函数了之后啊，其实就是y倍的f多少z方再减去x方。你再减去x，加上个z好这个人，然后接下来我们再算一下偏z偏s这个人，他等于负的。

对s偏是多少y是个常数，先对中间变量进行求导。中间变量再求导是负2s，然后再减去个一，然后对z求导呢，这个东西先对中间变量求导。中间变量再求导呢，这是2z。然后后面这个部分呢，是加个一，所以说这个部分呢啊，我们先写到这，然后再来看看偏z偏什么偏y。那下面这个部分的话是二倍的zyf多少z方减去x方加上一这个撇前面一个符号。然后接下来我们再对y进行求y求的话，

就是f多少z方减去x方好这个样子，然后你把这个负号，你可以写到这儿。啊，这块有个负号，然后你把这个人改成正号。好算成这个样子，你算成这个样子了，之后的话，我们进行干嘛？我们要给这个人乘上z，我们要给这个人乘上什么乘上y。两个东西一减那，所以说这个结果就是变成多少，它是二倍的yzf 1撇z方减去x方加个一。

那所以说这个人一减的话，上面是二倍的yzf 1撇z方减去x方，你加上个z，然后再加上y倍的这个人。好，这个结果嗯。pns.这是偏。偏x。叫我看看哦，这少了个x。好了，这个部分，所以说先对这个人进行求导，然后中间变量再求导啊，

少一个s，然后加上一二倍的它。啊，这个部分，所以说这个第一个部分的话，再乘一下的话就是二倍的xyz。是不是这个情况？好，这个人二倍的syz，你加上个z，然后减去它。好了，现在这个题啊，你就做成这样，你做成这样了之后，

然后怎么办呢？看到这个式子好像也动不了它呀。对吧你，你做到这儿去，然后怎么办呢？这跟我们上次考试那个题啊，它非常像啊，然后怎么处理啊？你可以稍微的进去去看一看，对吧？我们稍微的画一画。你发现一个事情，你这个部分加个z。它不就是x吗？对吧，

那x了之后的话，我一把这个x提出来。你把这个x提出来，这不就是二倍的yzf 1撇z方减x方。你加个一嘛。而下面部分就是二倍的yzf 1撇z方减去x方加上一。是不是就约掉了？那所以说这个结果等于s啊，考了两次了，所以说这个题啊，结果选几啊选c啊。好了，这是这个事情啊，就是非常麻烦嗯，要自己把它进行处理清楚就行，

不然的话就很麻烦，往上一来就行。好了，这是这个事情，然后我们再来看看下面一个题21题。那还遇到无条件极值的题，你再来看这个题目。好，继续看他说什么情况呢？他说这个人是他的一个极大值点。那其他知识点的话，我们来看看它需要满足什么？那么，首先它是可导的，你取极值且可导，

肯定导数为零呐，你先把它带进去算一下，然后我们算一下s偏导数。s偏导数啊，就是前导你后面这个人不导，那就是as+b倍的b-y^2。然后再加上前面这人不倒，后面来倒那这个。前导的话是这个人，然后后面来导的话，刚好是个a。那前面进行求导的话，负的它，然后后面这人不倒，然后加上前面不倒，

后面来倒，你注意啊，我一会儿给你说一下这个题的稍微小点儿预算。然后再对y进行求导的时候，这是e的负s，你后面对y进行求导的话，这是负2y。好，这个结果那么现在怎么办呢？我得把它进行去带进去，你稍微把上面这个东西啊，你整理一下。就是e的负s，然后是多少呢？是a-as-b+y^2。

能理解吧，好现在这个情况我们怎么办呢？我们就可以贷了。那么则把这个负一零带进去，这样肯定是零嘛。然后你往这带。你往这带的话，这个其实就是a+a。然后再减去b它等于零，所以说首先第一个事情b=2 a好，这第一个条件。结果你发现一个事儿，这个后面当中是没有的，所以这两个东西呃，这三个你都不选，

你看立即出来了，那就在b和d当中选。然后接下来你算这个二阶偏导数的时候，稍微注意啊，我为什么要整理你马上看出来好，我们来算一下xx的这个两节。那么，前导是负的e的负s，然后这个后面这个人不导。好，这个情况，然后再加上前面这人不倒。后面这人来导他对s进行求导的话，这个结果是负a。然后再来进行去算sy的混合。

sy的话进行互复，复合的话，这个前面的话，这人不管，然后对y进行求导的话，这是二倍。然后接下来我们再来看看YY两节，那就是前导的话，这个人是他，你后面这人不倒，然后再加上前面这人不倒，你后面来导，这是负二。好，我们一起来看看。

所以说你一旦做成这样了之后啊，你往里面带的时候，你稍微的仔细一点。你看我是不是想把什么东西啊，负一零带进去啊。你负一零带进去，有没有发现个事情？刚才这一项带进去就是零啊。你这一项代进去就是零，这一项就不用管了。因为解的时候就是由你等于零解出来的呀，所以代进去是零就不管了，然后这个结果的话就等于负a。你再乘上多少一亿的，这个人的几次方啊，

一亿的这个人的一次方。好，这个情况，然后这个部分一代进去，这是零。然后我们把这个y带进去，这个人是零，所以等于负二倍的e的负一啊e的一次方好，这个结果做成这样。那么，所以我们来看看这个事情，你就会发现这里面当中的这是a你这里面当中这是b你这块是c。所以说b方减AC这个人呐，他本来就小于零，然后只要保证这个a大于零就行。

对吧，这个情况因为呃，这个小于零就行啊，这个情况。所以说这个人小于零的话，你发现你这个人是正的，所以说只要保证这个a大于零就行。那所以这个题啊，我们立即可以看出来，那正确答案选几啊？这个a小于零。这是。a小于零。啊，小于零在哪呢？

小于零。啊，这个大于零，在这儿这个不对。那么，接下来我们再来看看等于零=0行不行呢？等于零的话，你进去去磨一下。那么，如果这里面。YY两级吗？哦，嗨。这两天。算东西吧。

这是负二，不好意思。所以说这个结果。它就等于多少等于负二倍的e的一次方等于c。好了，这是这个。行吧，你们能看出来就行。但是我害怕有同学骂我，对吧啊？好了，这是这个问题吧，所以这里面当中啊，我们就会发现啊，这个是a小于0a小于零的话，

这个部分的话小于零。那所以说这个a大于零，那么接下来我们来看看这里面当中啊，还有一个情况，其实这个题靠这个。扣的很细的吧啊，这个人那扣的很细的话，这里面当中还有一个事情，其实就是a=0。你自己可以看看这个人。你发现如果a是等于零。你这是e的负x，然后的话，这个人等于零，这个人等于零，

他其实就是再乘上一个多少，你再乘上一个负y方。所以说这个题当中啊，它还有一个这样的一件事情。如果这两个东西它都等于零了之后啊，它就得到这个结果，然后接下来你发现一个事儿，你观察一下。它在零处等于几啊？它在零处是等于零的。啊，这个负一零处啊。它是等于零的。那也就说我在这个负一零处这个点呢，我是等于零。

然后我再来看看这个人的附近呢。我这个附近的话，你想想我现在的话，这个。负一零啊，然后的话，你发现我在这个人附近就是当。xy我是趋向于这个负一零。就是还没有到这个负一零，没有到这个负一零，你发现这个f sy是个什么情况？没有到这个零，那这个人是正的。然后这个项一定是正的，你加个负号，

这是负的。所以同学们想你这个点是等于零，然后你身边都会是小于零，你这个人就是个极大者。所以说这个题的正确答案选b哦。呃，因为这套卷子啊呃，前面的题啊出的其实你发现已经挺狠的了，所以原来我有一个选项是这样出的。原来没有这个e选项，有一个选项是出的是a大于0 b=2 a。这个时候啊，有些同学就不好选了。那你想想这个等于零也算考了一个定义法。所以这个题扣的是非常的细的，

因为前面的话，有些部分的话，这个运算量很大，所以我在这里面当中啊，我稍微把这个东西啊给你控制了一下。这个题其实后面这半程呢，特别像去年的考研真题。它非常像去年的考研真题。去年二零二三年那道考研真题啊，他就有这种感觉。好了，这个题啊，我们就说到这，所以说这套卷子一定要进行去精刷。啊，

一定要精刷，把每个题都要好好进行去完成一下啊，这才可以好了，那么接下来我们再来看吧，下面一题线性代数啊，倒还好。你一看这个，你如果进行去，真的进行去对照去年的考研真题啊，这套卷子啊，仿去年的真题啊，非常的像啊。你到时候做二三年的真题，你再来进行去对照这套卷子。那么，

然后接下来我们看看，如果这是个其次线性方程组。其次，线性方程组有非零解，有非零解，说明这个系数矩阵的行列式怎么办？你或者这样看，你先说这个系数矩阵的值。那这个质呢？小于它的列数。但是这里面当中有a的这样的一个参数不好来，你还不如用行列式一个行列式等于零就行，所以这里面当中我们就直接做，这是a1。一一a一，

然后这是二一负一啊，你直接算这个行列式，你算这个行列式了之后的话，我们怎么办呢？你最好是按照这个，最后这个来办，把它进行去加过去，你加过去了之后的话，这是三你加过去了，这时候a+1这是零。你再加过去，这是零你加过去二，这人是a+2，所以这个结果做成这样，你做成这样了之后，

然后按照这个东西进行展开。展开了之后是a方加上3 a+2，再减去六。所以说这个结果等于负的a方，加上3 a- 4，然后这个人怎么办？等于零那，因此这个结果是负的多少呢？这是a+4，然后这是a- 1=0，所以这个a=1或者是等于几等于负四。啊，这个人所以正确答案选几啊选a。好，这个题啊，

比较简单，然后再来看看下面这个题。哦，这个题。这个题啊，这不就是去年的考题吗？但是啊，我把它改了。我改了一下啊，这就是去年的真题，稍微的调了一下。你发现首先我们先看看第一个题啊呃，比较好做的其实是。b选项。c选项啊，

这两个东西好做。那么，首先你看看这个第一个人。嗯，这是a bac这个比去年考的难哦，这个题。那你发现我把它看成一个整体。我看成一个整体了之后，那这个人不就是a逆吗？我乘上它等于单位证，你这个人就是我的逆矩阵，我跟我的逆矩阵可以交换，所以我就把bac调前。然后你把你调后，这人等于几啊等于一。

所以说这里面当中这个人是对的。但是我们要选不对的呀，你再来看你下面这个人呢，然后这是a bac=1。然后接下怎么干？你再这样抽。你把这个人看成整体。我AB乘上你等于一，那你这个人不就是AB的逆矩阵吗？那AB的逆矩阵调到前面去，你再乘上这个AB，它还不是等于e嘛，所以说是a cab等于。好，这个人也没问题。

然后接下来我们再看看这个转之。这个转制这个人怎么办呢？你这个转制的话，其实你会发现你写的时候。你把这个人调一下。他特别像谁呢？他像这个。这是c你这这个这个转置是这样，你把它调一下，把它转回去，四个人的转呢，你最好看成整体。你这个人是b乘上a的转。c乘上a的转等于一，然后的话，

这两条线是c×AB×a的转。等于一，所以我们现在就要看看caba。对吧caba那caba怎么看呢？那其实就是这是a bac这个人等于一。那么，现在把这个人看成整体，那这个人是不是他的逆矩阵呢？所以我们就可以把bac调前，这是a=1。那然后两边进行去取一个转支，它还不是一嘛，所以这个a是对的。好了，那么接下来我们再来看看这个呃，

你像这两三个人就不好看了，三个人就未必对了，我们来看四个人。e还是四个人e是四个人的话，他其实是多少呢？e是BA AC=1。啊BA AC等于这个东西行不行呢？你你发现一个事，你这个BA AC=1，你可以把它往回调，你要往回调的话，其实就是多少？就是a cba=1。对吧？a cba=1。

但是a cba=1的话，你这有没有呢？CBA.啊，这个人。这是a cba。你还得继续去调。把这个人调到前面去呢。调到前面去是。呃，BA AC。这个人还不太好办。两个a能相碰吗？你再来看看这个d选项。d选项说bac=cab。

啊，这两个碰不到一块，那我们再来看BB这个人的话，其实你就发现。那这里面当中其实就是告诉了我们一个这个人。告诉了我们一个a bac=1。他要的是bac，我们来看bac这个人不就等于a逆吗？然后还要cab，我们再来找cab。cab的话，你得把这个人调前面去。对吧，你通过这个a bac=1，你想找你把这个人看成整体看成整体就是caba=1。

然后这个部分是不是也是一个a逆啊？哎，它们就相等了。所以这个这个情况也是可以的，你或者是什么两边进行去组成？啊，组成那也可以。好了，这是这个情况呃，那这里面当中的这个e选项它就不对了，碰不住嘛。比去年的绕这个挺难的，就是你得把绕清楚，就是我和我的逆矩阵是可以交换的。我跟我的逆矩阵之间是可以交换的。

我们两者之间相乘等于一。然后我们两者之间呢，就可以交换。啊，这个问题好了，听明白了吗？掌握清楚给我回复一吧。啊，这是这个情况。所以这这个题就是嗯，出的有点恶心的一个点是什么东西呢？有点恶心的点，就是不正确的啊，这个题说实话，在出的时候出的有点贱了，

对吧？出的有点难了。这不正确的，有点麻烦了。好，我们再来看看这个24题。那这个题啊，他说什么问题呢？他说这个人的质啊，等于这个人的质，那所以说我们就来把这个东西算一下呗，那不是阿尔法一阿尔法二。阿尔法三，然后是k倍的阿尔法四，加上阿尔法五。

那这个时候的话，你会发现一个事儿，这个第一个人呢，是一负一三零，第二个是负一，然后这是二二，这是一。然后这是二负一零，这是三，然后是k倍的，它零乘上k加上它，那这是五。然后一乘上k- 1个多少，你再减去一个七。然后是三倍的k啊，

然后减去个四，然后是负二倍的k啊，加上个三好，这个结果做成这样。是吧，写成这样写成这样呢，什么意思呢？就说你前面这个质要跟后面这个质相等，然后让我们去看这个k，那其实就看这个系数矩阵制跟那个增广矩阵制一样呗。来，我们来看负一，这是二五，你加下来，这是零加下来，

这是一加下来，这是一加下来，这是k减几啊k- 2。然后减去三倍零，减去三倍，这是五减去三倍的话，这是负六减去三倍的话，这是三k减去几？呃，三倍的话，15这是19，然后这是零一三负2 k+3。然后接下来我们就继续，我们再来看，这是一负一，

这是二，这是五，然后这是零一一，这是k- 2。然后减去五倍，这是零减去五倍，这是负十一减去这个五倍。五倍的话，这是负2 k- 5倍的话，这是负九。然后这个是直接减上去，这是零直接减上去，这是二直接减上去的话，这是负3k的话，再怎么办？

呃，加上个五好，这个结果。好了，我们就写成这样，写成这样了之后啊，这两人还得约一下。对吧，这两行很明显不成比例，那不成比例的话，我们稍微的画一下。你说这个前面这这几个人的智能。你只看这两个人。对吧，你不要给我看这个部分。

你不看这个部分的话，你就会发现，如果你不看这个部分，这三列的知识点。不要再做了，这三列的痣，你如果不看这个部分，你给这一行，把这个人变成一，他是不是就消掉了，不要看这个。是几啊，你想想你不看这个人，这变成一把这个二消掉，它是三吗？

所以你这个后面这个人也得是三，你后面也得是三的话，你就说明这两行必须是成比例的呗。是不是这个事情必须是成是比例，你成比例的话，其实就是33倍的k，然后再怎么办？然后再减去一个55。然后就等于负4 k- 18，因此这是37倍的k，然后这个移过来是多少？移过来刚好是37k，就等于一。是不是这个结果，所以说这题的正确答案选几啊选d？

呃，稍微要注意他怎么做就就行，其实就是看这个前面这个人的值啊，跟后面这个人是一样的啊，这个题然后再来看看25题。25题比较简单。就这个题，这个题考了什么东西呢？它考了这个事情，你这个人其实你要这样写，他要写成a的，伴随乘上a，你再乘上a。所以说这个a×a的伴随等于多少a的行列式？行列式的话是这样子。

拉普拉斯上面这个行列式是多少？上面这行列式是负一下面这行列式是二，所以说等于负二。那么所以说这个结果它就等于多少，这是行列式就等于负的二分之一a。然后整体部分呢，你再进行去求什么逆矩阵。哎，再求逆矩阵，那么这个逆矩阵呢？它就等于这个方向，就等于负二倍的a的逆矩阵。好，这是这个情况。然后继续去求这个a的逆矩阵，

你求a的逆矩阵，你发现我可以把这人记成b，这人记成c。a的逆矩阵，它就等于多少等于b的逆矩阵c的逆矩阵，然后这两块是零。然后现在的话，最终问题是b的逆转等于多少呢？等于b的行列式再乘上b的伴随二阶的嘛？行列式的话等于多少呢？等于负一伴随的话，主对角线调换位置，副对角线加负号。那所以说这个结果都是等于负一负二，这是三，

这是一。好了没？所以说最后的结果就等于负二倍的，然后上面是负一，这是三，这是一负二，然后接下来看看这个人的逆矩阵呢，直接分之一就行了，二分之一。这是一。然后这个部分都是零都是零都是零都是零都是零都是零啊。好同学们沉进去答案选几啊？你把它沉进去。二负六，二负六负二，

这是四，然后这是负一，就是负二选c。好，这是这个题还可以啊，这个题，然后我们再来看看这个26题。这个26题啊，很多人做的非常不好啊，这个题。啊，做的非常不好。主要点是什么呢？没读懂题。没读懂题。

很多人说这个人线性无关。她是她的姐。它不是a。就这个题，你就没有读懂这三个人是他的解向量。解向量那你告诉我个事情，这个非其次线性方程组。最多有多少个借项量？这个ax=b这个人。最多有。s+1。其实就等于n。三减r加上一。这样的个解向量其实是四减ra个解向量。那就是四减ra，

那么现在我们来看看这个解向量，你这三个人都是解向量，我们看看它的线性相关性。你就可以把这个阿尔法一阿尔法二阿尔法三有些人脑子就没有转过来，以为这是a呢，这胡扯，这不是a啊，这是x。那么，所以我们现在来看看这个人，那这是多少？是一二三这零二一零t一。你还不如继续去求行列式呢，我们去算一下这个行列式。算了吧，

算质吧，算质的话，因为我们只有一会儿初等变换，直接能看出质啊，这都一样。所以现在我们进行去变换的话，一零零，然后消掉零二t，然后零一一，然后把这个人转一下一零零。零一一，然后减去二倍零，这是t- 2。好了，这是这个情况，

所以说你看当如果这个t它不等于二的时候。那不等于二的时候，说明这个人的质等于几啊，这人等于三。我现有三个线性无关的解向量，而我最多有这么多个解向量，我是不是大于等于三？我最多有这么多个，现在有三个，那说明什么？说明ra这个人怎么办？小于等于一。小于等于一，你又发现一个事儿，这是个非其次线性方程组a，

肯定是非零的。又因为这个a是非零的。它不能为零的非前方程组a为零的话，那个b就为零了，所以说这个ra这个人呢，他就大于等于一，你综合下来。ra只能等于一。那所以说这题的正确答案应该选几啊选c？好，这是这个情况，然后接下来我们再来看，如果当这个t等于几呢？等于二的时候。那这个时候的话，

你发现四减ra大于等于多少等于二的话，这就是二大于等于二，所以说这个ra就小于等于几小于等于二。那最终而言的话，其实就是ra大于等于一，小于等于二。要不然是一，要不然是二，所以就说不清楚了，正确答案选几啊选c这题很多同学做的不好。他其实做做这个题啊，你发现不分析。他以为的话，这个人就是a。那这个人是a的话，

你发现如果说什么呢？如果不为二的时候，它的质不就是三吗？所以说选选d呀选e呀。不是这样子的。说什么如果等于二的时候，等于二的时候的话，它不就等于几呢？它不就等于二吗？选b呀，所以说选be呀，你一看就没读懂题。所以有些同学学着说啊，这个题应该选be，你一定要清楚。

人家这个题不是这样考的。人家没有说a，就是这个人不是这样子的。想差了对吧？哎，方向性相反了。不是a人家是解向量。好了，那么接下来我们再来看看这27题。你再看这个题。那这个题啊，他说什么东西呢？他说这两个向量组啊，是等价的，那么同学们告诉我，

如果两个向量组等价什么意思啊？就是你的值会等于什么我的值？然后等于什么等于我们一期的值。啊，而且还得保证我们是一期的值。所以现在进行去做这个题啊呃，怎么做比较好呢？你看这个北大里面当中其实没有参数。北大里面其实没有参数，你注意啊，你这个东西啊。你这个东阿尔法一阿尔法阿尔法三贝塔一贝塔二贝塔三跟贝塔一贝塔二贝塔三阿尔法一阿尔法阿尔法三这个字是一样的。所以你最好而言，做这个你把背大一背大二背大三放前面，阿尔法一阿尔法二阿尔法三放后面。

你这样做，所以说这个情况我们就写成这样。大于等于三嗯，你再复习吧，你这个这个这个问题点很挺大的，对吧？你这方程组是不是忘完了呀？他最多有这么多个姐吗？你现在知道了三个线性无关的解。我最多有这么多个姐。忘完了，那那就去捡对吧？那这要考试当中碰到了怎么办呢？你这经常会考的，所以接下来我们来看看这个人是一二负三，

然后三零这是一。九六这是负七，然后这是零三负五。然后a二一。a二一这个人。那么，接下来我们就来进行去变换，变换的话，这是一三九零aa- 2倍零。减去二倍负六。减去二倍的话，这是三减去二倍，三减去二倍的话，二减二a，二减二a。

然后加上三倍，这是零。加上三倍的话，这是七。呃呃，这这三倍的话，这是十。加上三九，27，三九，27的话，这是20。然后这三倍加下来，这是零三倍加下来，这是3 a+1，

3 a+1。哎，这个人好了，这是这个问题b是多少？b一零吗？我抄哪去了哦？哎呀，这个最近。脑子不是特别好，对吧？一二负三。三零一。九六负七零三负。a二一。b一零。

好了，这个人对吧？是b一零。好，这个情况，然后接下来我们怎么办呢？这是一三这个九零AB，然后怎么办呢？减去二倍零。减去二倍负六，减去二倍的话，这个人是多少？这是负的12对吧？二九一十八。那二九一十八的话，

这个人一减负十二，然后再减去二倍的话，这是三减去二倍的话，这是二减二a，然后减去二倍的话，一减二b。加上三倍零，加上三倍十，加上三倍20，加上三倍负三倍，加下来的话，这是a这个是3 a+1。这个三倍加下来是3b。好，这个情况那么写成这样子了之后，

你就会发现你这两行，你看这是二倍，这刚好是二倍吧？所以你稍微进去去调整一下。你怎么进行调整呢？你这个人呐，你想进去去求整的也行，其实做的话也比较简单，你给这一行，同时除上负六。除上负六，这是一。对吧，同时除上负六也行，那或者怎么办呢？

我们来看看这个人。那这个部分和这两行是成比例的，你就约一下呗，约一下的话呃，我们看看能不能约到约到二？同时，除上一个三吧，同时除上三的话，这刚好是二。同时，除上呃一个负三的话，这是四同时除上负三的话，这人是呃负一同时除上负三的话，这人是负三。同时，

除上负三的话，刚好是它。是不是这个情况，然后我们再减上去，你其实你发现一个事你都不用继续去做了，你就会发现。前面这个人的智是多少？这个人的质是二，所以说这个人的质是不是也得是二？也得是。所以说这个人的质12，那么接下来我们就可以写了，那所以我们下面这个东西啊。这个质式二两行成比例，所以3 a+1这个人。

一定得是上面的五倍就是五倍的什么东西呢？负三倍的二减二a，然后这是三b这个人。一定会等于五倍的，这个什么负三倍的一减二b。好了，这个结果，然后我们就可以算出来了，因此你把这个东西计算一下就行了，所以等于负9 a- 3。等于五倍的二减二a。然后这是负九b，然后这是五倍的一减二b。把这个a和这个b是不是能解出来，所以最后的正确答案选几啊？

自己去算行不行啊？这个计算就不难了，你看这是十移过去就是a，然后这个东西一减过来，这刚好是解。你这是。十然后加过来啊，这是13，所以a就等于13，然后b就等于几啊b就等于五。这个题不是特别难。好了，这是这个题吧？27题。可以吧，

你最好不要分开算。分开算都是有问题的。对于他们两个等价不是最重要，看他们两个的质相不相等，而是最重要看的是你的质。等不等于一起来的值？你想如果你的质是二。你的质也是二，我们一起来的这个质就是二，所以说大家注意啊，不要分开算，分开算是非常大的问题。如果向量组等价最重要的问题不是控制你两个相不相等，最重要的问题是控制我们一起相不相等。你能理解吧，

所以说大家注意这个问题，就是我们现在而言，你看我只要保证这个是二。然后画过来是二，你是二，你是二，我们一起是二。这样的话，这个东西才能算对。好了，像这个问题，你自己一定注意这个事啊，它的根本问题不是控制什么东西，你们两个相不相等是控制。你的值等不等于我的值等不等于我们一起的值，

这个才是最重要的，好，我们再来看看28题，28题有点骗子。但是啊，这个题却把很多同学给骗住了啊，这个题。我们来看看这个题。你告诉个事。这是啥玩意儿？考了好几次就没有考这个什么考这个初等变换，这是不是一个初等矩阵呐？e一二啊。啊，是不是啊e一二所以说你会发现三个e一二？

那我想问一个三个一二是什么？三个一二，其实就是一二，为什么呢？你想想一个事情，你看啊，我给这个矩阵。左边乘上一个，这个东西就相当于让这个矩阵交换了一二行。再乘一个，再交换一二行，就是我的一二行交换了一下，我再交换一下，其实你发现就相当于没有交换这题大骗子题。但我觉得这个题当时我出的时候啊，

我觉得还是很好的这个题，所以说这个时候a就会等于一一二。再乘上一二四。所以说这个a逆这个人，他就等于一二四的逆矩阵，再乘上一一二的逆矩阵。所以说这个逆矩阵，它就等于分之一分之一分之一，然后再乘上e一二，那这个时候呢？你看这个东西就是又产列变换交换一二列一二列一二列零零零四分之一漂亮这题。你看这个题，其实就是零一零二分之一，它零零它答案选a，所以做这个题啊，

应该是非常快。其实你切进去了就非常快，这个题啊，没有给你玩什么东西。好了没有点像脑筋急转弯的题，硬着算呐，这就有点麻烦了，不要硬着算啊。不要这么做，你看非常巧啊，这个很很有我们三九六的同学的这种感觉，有点巧，这题得好好看。好了，那么接下来我们再来看看这个29题概率问题。

那这里面当中告诉我们a的概率是AB的概率是b，然后这两个东西啊，事件是独立的。然后说随机事件c的发生，一定会导致AB的同时发生什么意思啊？同时发生就是a发生且b发生。你会导致它，你就属于它。好，然后问你都不发生。对吧，你不发声。且我不发生，且我不发生，那这东西好算吗？

就这个人呐，都不发生的话，你发现其实也不太好办。都不发生这个不好办的话，我们怎么办呢？你可以怎么算？你可以算对立事件吧。都不发生的话，那就是一减去至少有一个人发生。好了，这个人就是你发现都不发生，我就一减去，至少有一个发生，然后这是一减。一减去的话，

然后算这个部分怎么做呢？那a的概诶，这这是都不发生。啊，这个情况。然后这这里面当中有一个问题啊，就是。你这里面没有c呀。你这怎么办呢？你这怎么做？你没有谁呀。你看这里面当中只有什么a的概率，加上b的概率。你加上c的概率，你减去AB的概率，

你减去AC的概率。你减去BC的概率，然后你再加上ABC概率，然后又如何呢？没有啊。没有它呀，哎，非常容易。你发现你这个人呢？你不也属于a吗？你不是也属于b吗？那所以你这里面当中，你既属于他，又属于他。所以我们现在来看你发现。

这个什么呢？a跟c相交交取小，其实就是c。能理解吧，然后b交c呢？交区小其实就是c。然后AB交上c呢，交取小其实就是c。然后这也是c，所以说这个时候你看这俩东西约掉了。然后这样东西约掉了。所以说这个时候我们就来看看了，这是一减。乙减的话，这是papa是多少a pb是多少b，

然后独立。独立的话，乘积的概率等于概率乘积，所以说等于一减a加上个多少呢呃？加上一个。把b提出来，b倍的一减a就是减去。减去b倍的一减a，所以把一减a提出来，一减b所以选几啊选一。这个题很巧，对吧啊？巧度很高。你的发生一定会导致他们发生什么意思啊？属于关系。

好了，那么接下来我们继续，我们再来看。好，这个问题。然后再来看看这个30题，这个题那这个题啊，它很明显是一个什么啊，这是个几何概型的题，或者是一个均匀分布的题。那么，这个人从哪呢？他从负一到一，然后这是零到一，你取一个什么呢？

你在这里面当中取一个点。啊，我们就在这里面当中啊，取一个点。好，这里面当中去取一个点。然后使得这个有两个实根，有两个实根的话，其实就是x方减去多少？四倍的呃。这个四分之一y。就这个部分b平方减CC大于等于啊大于零那大于零的话，其实就是y小于多少小于x方。y小于x方的话，其实就是y=x^2这个人的下面。

是不是这个部分那所以说这个部分有两个实根的概率，它的概率的话就是总的面积，这是负一，这是一，那这是二。然后就是用二再减去多少两倍的零到一x方的这个ds，所以说这是二，然后这是二减去二倍的多少三分之一。所以说这个结果就是一减去三分之一，这三分之二答案选几选b？呃，这个题还是很好做，对吧？把它想清楚，然后接下来我们再来看看31题。

这题能够做分布函数的话，得满足四个性质。你首先发现这个人在正无穷处的话，他等于零，他就不对。然后再来看看c选项一定不对，因为你看你这样写，它就是个指数分布，你多了一个二分之一肯定不对。你可以算一下，如果我们在正无穷方向的极限一的这个负无穷是零，那这是二分之一，它肯定不对。嗯，30题。

30题。这是多少？哦，直接是它不好意思，不是不是直接是它。三分之一直接是它。没有减选c。没有减嘛，我们算下面不是算上面。对吧，算下面。就直接比没有减呢，不用用正方形进行减。好了，那么接下来我们再来看看这个31题。

那么，31题这个人的话，你再来算一下，这个正无穷。你这个正无穷的话e的正无穷是正无穷，你正无穷的话，这是阿尔丹正无穷，这是二分之派，你加个一这是二了，你这个人也不对。然后重点而言，其实就是这个e选项在这干扰。e选项对很多同学非常的干扰。说这个不就具有归一性吗？这就是分步函数啊，

注意还有一个条件呢，非负呢。非负性和归一性，而且它还得保证这个东西是非负的吧？你才是一个分布函数。注意非负且归一，它才是概率密度函数。啊，这个情况，所以说这个题的正确答案选几啊选b。你可以进去去检验一下这个人呢，他在正无穷处，阿尔泰正无穷二分之派，这是一。负穷负二分之派这一加这是零。

然后这车而且是连续的。然后这个图像是单调不减的，所以b选项是正确的。好，我们继续再来看下面一个。呃，再来看32题这个题啊，这个题是我们做过的原题啊。这在我们的那个呃强化当中啊，那个决战300题当中啊，模模原样的题，我们先来看看吧。让我去求解什么？求解这个人的分布函数。那这个人怎么做呢？

那么，首先第一件事情的话，他说这个人是服从n零一。然后y这个人。其实你要知道y这个人呢，他是个离散型，随机变量。因为y这个人只能取负一和一，只有这两个值。所以现在我们要进行去求解什么y=1的概率。y=1的概率其实就是什么？y=1的概率其实就是x大于等于一的概率。大于等于一的概率就是一减去x这个人小于一的概率。而你发现，这是一个正态分布，

连续性随机变量，连续性随机变量的话，我们都知道，小于跟小于等式一样，其实就是分布函数在几处值，在一处值。所以说这是一减去分布函数在一处值那所以说这个人呢，其实就是f1这个人。好了，这是离散型随机变量，因此的话，这个y这个人的分布函数是多少？对吧，这就是离散型，当这个小y小于负一的时候肯定是零啊。

当这个大于负一，小于等于一的时候，其实就是等于这个fi 1。当一旦大于大于这个什么大于这个一。啊，这是左闭右开。一旦什么情况呢？这是小于一，大于等于一的时候，这是一。所以说这题的正确答案选几啊，就选a啊。这个题啊，只要你能看出来这个y是个离散紧随机变量，把它的分布率求出来，

你就做这个分布函数就非常非常的简单了。关注点就是在这，你要能看出来哎，这个东西是个离散型，随机变量，那就好整了。好了，我们再来看看33题。这个题这个题考了一个东西啊，叫做泊松分布，对吧？泊松分布的话，其实就是x=k这个人呐。它就等于k的阶乘拉姆达k次方e的负拉姆达，然后这个k是从零开始的。

那么，现在x=1呢？x=1就等于一的阶乘拉姆达的一次方e的负拉姆达。然后等于二的阶乘lambda平方e的负lambda。所以说这个时候啊，这两个东西约掉了，约掉了之后的话，这个lambda=2。那么大等于二的话，你就会发现你这个部分的话，其实是x大于负的根三，小于根号三。那负的根三到小于根三，其实你只有哪两个值啊？是不是只有这两个值啊？

那所以说其实就是我们就算一下x=0。然后再加上x=1就行了。对吧，计算这两人。那零的时候其实就是多少零的阶乘？拉姆达是二二的零次方是一一的负二次方，你再加上一一的阶乘，然后这是拉姆达的一次方就是二的一次方。一的负二次方，所以等于三倍的一的负二次方正确答案选几选一。好了，这个问题。这是33题，我们再来看看这里面当中的34题啊，34题啊，

也比较容易一些，因为这个题考了一个什么二维的这个。离散型。告诉了二维离散型，这是两个人的事情，两个人的事情就要知道联合，所以这是x这是y。你综合下来的话，这是负一，这是零一，然后这是零，这是一，这是二。所以说这个结果我们就做成了这样。啊，

这个结果就写成了这样。然后的话，这个s这个人是四分之一，这是二分之一，这是四分之一，然后下面这个是四分之一，这是二分之一，这是四分之一。那么，它告诉我x+y=1的这个部分的概率就是一。你看你这个负一+2，这是一零+1是一，这是一，这三个加起来都是一，剩下的部分不都是零吗？

剩下部分都是零的话，我们数这一加数这一加，这是二分之一，这是四分之一数这一加，这是四分之一。好，这个情况，所以现在我们要进行去算s=y，你这是负一没有相等零跟零相等一跟一相等，其实你都不用算那结果。它等于零答案选a。好了，这是34题，我们再来看看这里面当中的35题。让我们去求解一下这个人的期望。

这个期望的话，你发现这个人是标准正态分布的概率密度函数，这是个趋。均匀分布的概率密度函数让我们去求解这个期望，你这个期望直接写负无穷到正无穷。用x乘上五的概率密度函数再积分。那么，在负无穷到零的时候，小于的部分，我要对二分之一f一s进行去积分。然后再来是零到正无穷的时候，要用s乘上f2s进行去积分。能理解吧，所以现在我们要进行看你负无穷到零x，这是二分之一。

那这个标准正态分布的概率，密度，函数等于多少呢？它等于根号下二派e的负的二分之x方。那所以说这个结果就等于根号下二派e的负的二分之x方ds，然后这是零到正无穷。零到正无穷的话，这个均匀分布呢？它的这样的一个概率密度函数就是如果x大于负一小于三，它是等于长度分之一。其余部分它都会等于零。所以说这个时候其实就是我们要乘上一个四分之一ds，但是你从零只能积到多少？只能计算到三。好了，

这些问题都能看懂吧？你都能看明白了之后，我们来看看第一个分，这是根号下二派，然后这是二分之一。这是负无穷到零一的负的二分之x次方，把什么东西呢？把这东西往后面凑一下。把这个s凑到后面去，刚好是二分之x方，然后这是四分之一，这是二分之一的话，这个平方这是九。所以说这是二倍的二派，然后这是负的e的，

负的二分之x方，这个结果把负无穷和零带进去。再加上多少加上八分之九。所以说这个结果等于这个人，然后继续把零带进去是多少一？把负无穷带进去，这也是正无穷一的负无穷。这是零，所以说这个结果呃，其实就是负一这个人。再加上八分之九。因此，这个结果是八分之九啊，减去它答案选一啊，这个题啊，

稍微的其实就是计算量了。这个东西啊，你要算啊。啊，终结问题啊，还是计算？好了，像这套卷子，我们就讲到这了。对吧，综合下来。呃，比上一套卷子啊，难算一点，综合度大一点。

计算样也会更高一些，所以我觉得这个可能有点浪费时间的一些题啊，比如说这个35题。可能会浪费点时间。然后这里面当中下去过程当中这个。别的题的话，27题的话，你要把握住就行了。啊，其实就是我觉得最重要问题就是你要锻炼一下这个能力，我们一直以来都是这样做的，你见到这个东西啊，你就要想清楚怎么做，对吧？好了，

那么今天课程呢？我们就讲到这。可以吧啊，我们今天的核心重点问题啊，就是这样。呃，哪个题啊？23题怎么了？就是a bac嘛。a的转。b的转。a的转。c的转等于一。你把这个调一下嘛，这两个东西不就写成了c乘上a的转吗？

这个不就写成b×a的转吗？然后这两个东西的乘法就把这个东西写前面去，这个东西写到后面去，你再转嘛。是吧，就是乘法的转的话，得调换位置再转嘛啊，这个情况。那行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这，你自己下去好好进行去整理整理啊，把这个今天部分的东西啊，好好进行操作一下。你也可以倒着进行算都行。

你说哪个呀？这不b×a嘛，这c×a嘛。CA写前面BA写后面的。好了，这是这个题目吧？没问题吧，你自己下去做一下，然后。这不是a bac吗？你就写成了bac乘上a吗？你自己再看一看啊，对吧？呃，这个题跟这个人不一样是吧？

那不一样的话，你得换一下。你得换一个，你看看怎么样才能导到什么东西呢？导到baca baca的话应该是这样。就是a bac=1把这个看成整体，其实就导成了baca=1。是吧，哎，这个情况。好了，这是这个题目。第五题。啊，第五题自己算吧啊，

第五题。这个题呢？就常规题了。怎么避免理解成sins×y？你你别别别啊。你这这这不是数学符号吗？这就是sins的成败啊。它不会是sins×y，如果的话，它写成sins×y，中间肯定会有个点，你别别乱来啊，别乱来。32题的分布函数最后一步啊，你自己去做吧啊，

已知一个离散型分布率去求分布函数，你都不会的，那肯定不太行啊。啊，这样的话肯定不行，你知道这个离散型分布率，比如负一处。你发现有同学这个稍微变异点，他都不会，你要是做这个题，你去看看你会不会？你肯定会你写分布函数的话，你怎么去写呢？y怎么办？小于小于多少呢？

小于负一的时候是零。负一到一的时候是零点三，大于一的时候的话，这个结果是零点七，你肯定会做啊。好了，像这个问题啊，我们就说到这。呃，这套卷子啊，你自己好好做一做啊，这个。呃，处理的问题点呢？处理的还挺多，

自己把有些关键点的一些东西啊，自己再处理处理。对吧，你要是这个呃概率，我不知道你是概率当中的一些问题点，还是在这个高等数学还是这个线性代数，自己好好进行去补强一下。啊缺的点呢，你好好进行处理一下。第七题嘛，这不是变凹的嘛，这个这个斜率会越来越大呀。斜率会越来越大，这不是两个割线的斜率吗？这不割线斜率吗？

这个切线斜斜率会越来越大。这讲了好多遍了。平均值为什么是定积分？除以b- 2。为什么除以二？我我疯了，对吧？这就是平均值的概念呐啊，你你这今天的话收获太大了。你收获太大了，因为你通过这个问题，你还把平均值的概念复习一下，说明如果没有这套卷子，你连平均值的概念你都不知道。注意啊。

你你把平均值的概念你都不知道，这这这可不太行啊。行吧，那么今天课程我们就说到这，你自己好好进行补一道一道的过啊，一道一道过，那今天的这个东西啊还比较多一点。然后说一下这个今天晚上的这个课程呢，我们放到这个明天下午再上。能听懂吧啊，今天的话，这个课放到明天下午课啊，再上，因为这个今天晚上我得进行去把那个。卷子最终给定稿了啊，

因为这个卷子我们是审了审了很很多遍，今天晚上我们要给他进行去对一下。嗯，也挺厚的，挺厚的，这个我教稿的话，三大本儿的话，基本上。这个图书有200多页啊，算卷子里面当中啊，比较厚道，然后答案解析当中啊，写的也比较呃细致一点，然后的话今天晚上把它呃定稿了之后这周。然后的话呃，

等着书号下来的话，我们基本上就可以下印了啊。好了，那么今天啊，我们就说到这，所以下去把这个东西啊，好好处理处理，我们放到这个明天下午，我们再继续行吗？同学们。呃，今天的重点就是把这个把这个所有的这些题目啊，自己好好进行去整理整理啊，行吧，你们吃饭去吧，

我两点钟还有一节课呢。然后的话，你们呃吃个饭，然后下午过程当中把这个相对东西啊好好整理整理好，同学们行吧，那么今天课程我们就讲到这。呃，下次再抽吧，这个今天时间的话，这个比较你们中午的话呃，吃饭休息时间比较紧张。行吧，下期再见。

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