03.396经综数学冲刺四套卷（内部卷3）解析课-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:12:34

同学们，行！那么接下来我们就准备开始今天的课程了。首先我们先测试声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，提供回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们就准备开始了。呃，那么今天啊，我们就针对于昨天上午啊，我们进行的这套模考试卷，我们做一个主体的讲评呃，因为这个第三套卷子啊，

难度系数可能稍微的会大一点啊，昨天我也看到了。很多同学做题的这样的一个情况，包括呃，做完这个题目了之后，有些同学的一些心态，那么其实我昨天晚上呃，如果没有事情的话，我当时的话都想跟同学们去开场直播去。去聊一下这个事情，因为在这个。麦有点炸吗？啊，稍等一下啊。好，

现在可以了吗？好，现在可以了吗？嗯。好，可以了吗？好呃，那么接下来我们继续啊，这个刚才聊到这个昨天呢，我们模考完了之后啊，很多同学的心态问题，我觉得这个事情啊，其实是呃。嗯，在最后一个阶段，

非常重要的一个，我们需要进行去度过的一个问题，因为的话，对于很多同学而言，这个模考。他其实不是为了他，就是想进行去测试一下，对吧？看我们考多高，然后如果错了，这个有的错了十个。时刻的话，就觉得自己啊，是不是考研无望了，我觉得不是这样子的一个问题，

每次我都跟你强调这个事情，你看每一套试卷，我还专门在后面。无论是那个答题卡的下面还是有的时候的话，那个答案的下面我都会给你写的这句话模考真正的意义是找到自己漏洞，把它进行补上来。但是你发现这个。这个问题点很大。所以最后一个阶段的话，这个心态啊，是很多同学，你一定要进行去迈过去的。对吧，不能说这个，每次考完了之后，

这个得失心呐，非常非常的重，就是这个模考最重要的意义，其实就是为了你怎么办？把这里面当中漏洞找到，其实原来我们其实非常想跟同学们呃说了这个问题，其实我重点还想等到这个冲刺救命班的这个第一个阶段结束了之后啊，跟同学去聊这个问题。那么接下来我还是想把这个事情啊，我给你唠一下，唠完了之后我们再来开始。那么其实你发现这个年代阶段呢，我们其实很多同学啊，我们都走过了这个基础阶段。这个基础阶段呢，

我们是把大纲要求的知识点。啊，基本上我们都通关过去了，对吧？所有部分的知识点我们都学过一遍，你大脑至少是走过了一遍。然后接下来我们就是这个强化阶段。强化阶段或者是什么，或者是冲刺救命班的第一阶段。大家注意，这个阶段我们是完成所有的题型，把每种题型呢，我们至少过一遍，所以同学们你要注意一个问题，这两个阶段完成了之后，

其实就代表了。你所有的知识点和题型过关了，但有的说哎，老师，我觉得我做的不是特别好，我觉得没有过关，那是因为你在这里面当中啊，你不了解怎么进行，到了最后阶段的复习。然后现在这个阶段，我们是在进行去模考。模考阶段，所以同学们一定要听清楚一个事儿，你上面这两个阶段的东西啊，你要经常进行去回顾。

你要经常进行去复习，我如果在模考阶段，比如说举个例子，我比如说错了三个题。对吧，比如说啊，你比如说发现我们这个这次考试我错了三个题，或者有同学说哎，我夸张一点，我错了五个题，我错了十个题，那又怎么样呢？如果我错了，这些题你要注意，你好好去分析一下，

你把这些题所涉及的一些知识点，你去在这里面当中进行去找到。你是不是这个知识点忘掉了，你是不是这个部分的内容你给忘掉了，你是不是这个题型的方法你自己没有这个定时思维能力了？或者是这个东西不是特别熟练呢，你把这个东西精益求精呐，这才是一个良好的复习方法呃，就跟我昨天上午的时候，因为早晨的话，这个七点多钟吧。有同学问了一个帖子。呃，专门在那个帖子下面问说老师，我这个我觉得到了这个最后阶段，

我是听这个强化还是听这个冲刺救命班的，这个第一阶段的课程呢？那会不会这个冲刺救命班这个课程在强化当中，我们讲了一些东西没有讲呢，大家注意不要有这种心态。就是你无论怎么样，走过了一遍基础，走遍了一走过了一遍这个强化或者是冲刺救命班的第一个阶段，只要你走过一遍好了，你心里要有个撑。我至少保证所有的题型呢，我们是通关了，有人说那我没有通关，那没有关系，我们通过模考来进行干嘛？

查漏补缺。查漏补缺。所以在这里面当中，你发现模考里面，我只要出错的问题，是不是我之前部分当中有些知识点忘了？你总比你最后一场考试，你没做出来强啊。那还有一件事情，这个模考毕竟是模考，对吧？有些题你看第一套卷子，我出的可能会稍微的简单一点。然后第二套卷子我们可能会相对而言平衡一点，第三套卷子我可能出的稍微的难一点，

但同学们注意，毕竟是模考。你要把这样的一个能力啊，你自己要进行去训练，它又不是你最后一场考试的，为什么老师一直这个，昨天我看到很多同学，因为昨天私信量非常大。我还给很多同学回复了好几个，回复了好几个同学的话，这样的一个问题，但我觉得很开心，对吧？回复完了之后的话，很多同学改观了。

改正了这样的一个方向，这非常重要，就是你发现。这套卷子吧呃，有些部分是难。但是你发现你不觉得都是常规点吗？还有昨天我觉得有个同学说，哎呀，早知道按照数三你是没有精心去按照数学三复习，你去试一下。你如果按照那样的态度，你发现最后你还是这样的一个情况。所以我觉得这样的一个问题点，不是说我们在其实你已经做的很好了，那最重要问题是有没有把这些东西都装到脑子里，

你自己去看看这些题。那么，这里面当中哪个题部分当中你发现是非常超的呀？严格的是扣着我们三九六部分的东西啊，进续去出的。你去看看这个点，那么接下来我们在这下面的一些问题，可能有些部分的这个运算量是不是稍微的大一点？一会过程当中，我们先来讲，讲完了之后啊，我们再来说呃，所以我觉得这个。第几个题呢？第四个题啊，

简直就跟送分题是一样啊，跟送分题是差不多。所以接下来我们就来继续来看看这个下面这些事情啊。所以我觉得有的人老老是会把一些这种东西啊，归结于外在因素。老是把这个东西归结于外在因素，那这个事情你发现要不得，对吧？你这个最后一个阶段的复习了。好了，那么接下来我们就继续吧，我们就直接开始我们先讲卷子，我一会再给你唠对吧啊，我一会再给你唠，你发现你一会就会觉得。

这里面当中大量的问题啊，都是常规问题，都是我们讲过的，你有没有把这些东西啊熟练的进行掌握，但是同学们。最后这个阶段呢，就看谁心态好了。有些同学，比如说我错了，这几个人家就会好好进行去把这几个题整理完，我下次就提高了呀。我补上十个，我就抓住了十个漏洞。对吧，我补上了三个，

我就补上了三个漏洞，我这个东西就结束了呀，你一直沉溺于什么？有些同学这个错，完了之后。呃，是这个就感觉说啊，那我今年没有没有忘了，对吧？这个考试的过程当中啊，你一定注意这个心态问题。好了，那么接下来我说一下这第三套卷子啊。那么，首先啊，

这个这套卷子啊呃，确实难度系数稍微的较高，整体下来啊，你可能会觉得这个部分的题其实也没有那么的难。但是你发现放在整张试卷，作为我们三九六的同学的这个考研试卷而言，整体的难度系数会较大一点。包括这个计算量也会稍微的大一点，那么所以说我觉得呃还是要注意两个事情，一个事情常规题型的熟练程度。常规题型有些同学见到这个东西啊，他认识他不敢动手。这是一个大忌呀，你平时就那样训练的，你见到这个东西去，

刚它不就行了，所以你要敢动手啊，你别慌。啊，然后的话，下面一个问题，其实你发现这套试卷呢，你要重点进行去总结，而且有些部分的东西啊，你需要进行刻意练习，以后我在讲的过程当中啊，我们再来说。好了，下面两个问题啊，我每次试卷我都给你讲啊，

每次试卷都给你讲，我希望你听进去好了，那么接下来我们就来看看下面一个问题。呃模考的心态啊，你自己去调整吧，有些同学可能你在这个阶段你也能拉开很多同学的差距啊，这个心态啊，你确实能拉开很多同学差距。好了，那么接下来我们先来通过这个讲试卷呢，一会过程当中我们再唠这个事情好，我们先来看看这里面当中的第一个题啊。第一个题啊呃，比较巧一点。硬着算呢，

可能在这里面当中啊，做的不是说特别好，因为你发现一个事情，当x趋向零的时候，你发现这个部分的东西啊，它是一个二阶无穷小。对吧，你单独做这个机器。单独做这个极限的时候，下面是s方，这是s。这是一那，所以说这个结果是无穷大呀。对吧，这个结果是无穷大，

所以你要不然的话，这里面当中你就要进行去通一下，你通过分了之后的话，这旁边要乘一个摊正题。不利于进行去单独求这个极限，所以这里面呃，其实啊，有些同学做的会比较巧一点，你看。所以我们在这里面，如果你一旦这样进行去通分。这个题其实就做的不好。你当s进行去趋向零，你发现你直接进行去通，你这个部分就要乘上一个摊正题，

你做题速度就会非常慢。你承认这个事情吗？你这样做题就速度非常慢，我刚刚看了一个评论区当中啊，有个同学非常好的方式。不要这样，同你发现一个事情，我就不希望让这个什么身边成个探证题，那你能不能从后面这个角度上操作呢？你可以这样办呢？你把一个tangent怎么办？你把一个tangent除下去。你是不是你sine这个人除上tangent不就是sine比上cosine，你除一个这个人不就变成了es乘上cosine吗？然后再进去做这个效果就会非常好了。

你看你这样处理，你这样处理就会非常简便，所以我们先来看看这里面当中的第一种方法。你看你这样做，所以要稍微的灵活一点点啊，那么接下来我们来看看这个事儿，那因此这个部分它其实就变成tangent。然后这是fs- 1，然后再减去多少es乘上cos in，然后这个结果等于二。那这个题就结束了，你再来看看这个题，你觉得还难吗？那你发现你分母的极限是零，你分子的极限是不零，

你分子的极限是零，你想想当I趋向零的时候，然后这是ifs减去个一。再减去es倍的cosine，这个结果是不是等于零？然后这个部分是一，然后这个部分是一，所以说它的结果是几是二，你看这题是不是出来了？所以你会发现一个事，这样做灵活度就非常高，你看有些同学做的快，有些人在这里面当中，你做的稍微的慢一点，你稍微进行调整一下。

能跟上我的意思吧，好这个人。呃，这个同学你就你你可别别乱来啊，你这个就等价不了，你怎么能等价呢？你可千万别这样做。你学到这个，今天的话，你居然把这两等价了，这这这非常离谱啊，这样做。你做对了的话，你也觉得自己离谱。你得调整，

但是我觉得很好的一个事情，你发现了这个问题啊，然后接下来我们再来看看第二个问题，第二个方法。那么，如果在考场当中啊，你这个题实在做不出来呢？我实实在在做不出来了，我实在做不出来了，我怎么办呢？那你想想，我如果实在做这个题，我做不出来了，你还有什么方法吗？你能想到这一步的时候，

其实就非常棒了。啊，想到这步非常棒，你还有什么方法吗？那就包括的话，刚才一个同学的话说哎，那我在这里面当中，我这就是tans方。对吧，然后的话，这是tangents，我乘以fs再减个一，我再怎么办？减去个es倍的这个sins。我这个人等于二。

我就这样做了。那还有什么方法？你用泰勒就速度就特别慢。啊，你放心，这个事情你在这里面当中，如果用他的公式，你展展的话就非常麻烦，那还有什么方法？你操作一下这个事情。对吧，你这个结果得到这个人，有些同学可能在这里面当中进行去赋值。洛比达法则也不行，我都不知道你用洛比达法则你你什么什么什么样的一个想法呢？

你看吧，有些人胡做题。尼洛必达法则，这个人不就出现了导函数吗？不不不，是知不知道是你发现一个事情就有点胡做题，不是知道连续你洛必达这不是出现导函数吗？所以有些同学可能在这里面当中啊，我们进行去赋值。那赋值的话，你发现我可以怎么办呢？你看你可以这样赋。就是你可以出一个函数，把这个东西约掉。把一约掉的话，

然后再跟这个tangent约掉，所以说我们下面就来个tangent。然后的话是多少呢？是这个EX倍的这个三。啊es倍的这个三我再加上个一。好同学们，你想想你看我出一个这个加个一，我是不是就把减的这个一约掉了，然后把这个约掉了，然后下面等价无穷小于x方，我在上面过程当中再怎么办？我加个x方，你告诉我符不符合上面这个式子？你自己看，我用fs怎么办呃？

应该是。我先减个一。对吧，我们其实就是。tangent x使e的x再乘上一个sin x，我们再加上个一，我减去一就没了。我减去一就没了，然后的话，这是tangent我一乘，然后再加上个x方，我这样做行不行？那这样的话，你发现我是不是也可以？你看这个fs。

应该是两倍的。你这样行不行？你这样的话，你看他也是可以的，所以说这个时候啊，你这样做也是可以，你就想方设法进行赋值。好了，这个方法我不说了，那么接下来我来给你教一个万能方法，你好好琢磨一下第一个方法是最快的。那么，如果在考场当中，这种题实在不会做，我也能做。

你发现给了这个极限，我做了半天都没做出来，那我如果能把这个fs解出来不就行了吗？能不能解出来可以解出来啊，我可以利用关系定理把它解出来啊。那关系定理是什么呢？关系定理是这样说的，说如果在这个极限下。你发现我这个人的极限，结果等于a，我就可以立即说明什么事情，我就说明在这个趋向下。当s趋向下，我这个fs啊，就等于a再加上这个趋向下的一个无穷小。

是不是这样做？这样做的话，你发现无论何时何地，我这个题都能做的非常的好。你看看哦。呃，这个评论区当中啊，我能看到很多同学的一些情况。千万不要胡做题，对吧？一定不要胡做题，那这个时候你发现我们就来做了，那在这个趋向下afs- 1。比上这个tangents，然后再减去多少一亿的s乘上这个三比上这个tangents方。

然后它就会等于二，再加上一个无穷小。能理解吧，那所以说接下来我们就怎么办？我给它的两边同时怎么办？乘上一个tangent的方。乘以tan这里的方的话，这个人其实就是tant fs再怎么办？减去个一，然后再减去e的s乘上个s in。那这个时候你发现它就等于两倍的tan的x方。那这是一个平方的高阶无穷小。平方的高阶无穷小啊，平方的无穷小，然后再乘上一个无穷小，

是不是比平方更高阶的无穷小？同学们能理解我的意思吗？因为这是个平方的，等价无穷小，再乘无穷小，就是比它高阶，然后这个时候ifs就可以解了。一解的话，这个结果就是两倍的tangent x方加上一个这个人。好了，这个人，然后再加上es倍的这个三，然后最后一个事情呢，你再除上一个tangent，然后最后再加个一。

好了，这件事情我们就做成这样了，一旦做成这样，这题就结束了好了，那么接下来我们去求这个极限吧，你求这个极限的话，当s趋向零。那这个极限等于几啊？你除一下第一个结果的话，当x趋向零第一个人是两倍的tant。第二是一个高阶无穷小比上碳正体，然后另外一个事情，这是es你这个一除是cos in，你再加个一。来你看看，

这是零高阶比它是零，这是一，这是一，这个结果是二，所以你发现你看这个题无论何时何地，这个题你都能做。就是你再不会做这个题，你也能做出来啊，这就是个水平，所以同学们注意这个方法就有点万能了。就如果在考试当中，你实在这个题不会做，你就把这个fs给我解出来，你解出来再求极限，你这也很方便呐。

你看这个题。第一种能想到第一个方法的同学，绝对的高手。啊，绝对的高手，但是如果你想不到第一个方法灵活度不是特别高，但是你也可以按照第二种方法来进行去处理啊。能听懂我的意思吗？至于刚才有些同学把这两个东西胡乱等价的同学，你下去好好自驱一点，另外一件事情，这个题不能使用洛必达法则。好了，慢慢来啊，你要进行去品啊，

这里面当中的每个题好了，我们再来看看这里面当中的第二题，所以说。你说一下第一个题。如果做得好，有些同学30秒就做完了。不到一分钟就做完了，有些同学在这里面当中乱使用这个方法啊，各种方法都胡乱用，你发现五六分钟下来你都做不完。而且是第一个题，影响了很多同学做题的心态。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看第二题，

第二题是不是个常规题啊？我相信这个题啊，你发现应该做的很好，因为你发现看我给了一个分段函数，我又给了一个分段函数，然后让我们去求解什么求？求解分段函数，复合分段函数，这我讲了很多遍了呀，那怎么去做呢？来解。一个分段函数复合一个分段函数，那么所以说第一步怎么办？我先替进去。你不复盘呢？

你跟白学有什么区别呢？完全的话就相当于白学了，一定要进行去复盘。另外一件事情，我最近我看到很多同学嗯。那个同学好像考数一数二数三的吧，我看他每天的话都会把那个复盘的东西，就算自己进去去录一个视频。对吧，就是那个iPad自己去录对吧？这个第一个考点是怎么样？第二个考点是怎么样呃？费曼学习法吗？能把这个东西教给别的同学，你就水平点变得很高，

一定要进行复盘的。那我们接下来看，那就是用gs进行去替换这个人，你替换呗，那就是gs这个人的平方，然后这是gs这个人的。你小于等于一，然后这是二减去这个gs，然后你发现这是gs这个人呢，大于一好这个情况，我们做成这样。那么做成这样了之后，然后进行干嘛去讨论这个gs？所以接下来我们来看看这个事情，而且我出的这个函数很简单。

我都没有给你出多段，那么现在我们进去去讨论这个gs，你没发现一个事情，我出的这个点刚好是e吗？你看小于等于一的时候，它是三次方，所以说这条线它刚好是在这儿。然后2 s+1的时候，你会发现它在一的时候刚好是一。我刚好出的就是这个人，所以现在你就来看看那什么时候他是比什么呢？哎，什么时候比这个一小呢？对吧，我就没有给你故意处。

所以我在这个题目的设计的时候啊，我稍微的话在这里面当中，我顾及了很多同学，可能在这里面当中，你得考量到这个三九六的这个难度系数，整张试卷的这个平衡啊。那这个时候你看你这一段是什么？你这一段不就小于一吗？你小于等于一吗？所以说我们来看看这个事情。你什么时候小于等于一，你x小于等于一的时候小于等于一。然后这是个三次方，这是个六次方，那什么时候这个东西大于一呢？

对吧，你要这个东西你还绕不出来，你别管你按照什么复习，你按照什么复习，你这这都复习不好。你这讲了N多遍的内容。所以说这个点呢，你得把它做到位，不要每次去找客观原因，但是我觉得你通过这场考试把它捡回来也是一种提高。好了，我们再来看大于大于的话，这个s是大于一。那这条线等于多少呢？这条线等于二s减一，

也就是二减去二s减一，所以说这个结果等于三减去二s。你看这个结果是不是出来了？好了，一旦把这个函数求出来之后啊，然后接下来怎么办？你去看看这个什么？它没有让你按照这个，而且的话，这个出来是分段函数在分段点。稍微注意不要不要把它求差了。啊啊，这个同学啊。你千万不要胡做题啊，你你可能脑子里面有一个那个复合函数求导的题，

但人家这个题还要判断极限的存在性。连续性能，你这怎么判断呢？所所以这稍微要注意啊，当s趋向一的时候，这是一当s趋向一的时候，这是一而且这个函数在一处也等于一，所以极限是存在的。而且是连续的，那么接下来我们来看看可导性，你可以用导数定义啊，那导数定义的话，我们先来看看这个。你左导数，你左导数的话，

其实就是s六次方，你再减去一比上s- 1，然后我们再来看看右导数。诱导数的话，其实是三减二s减去该点值，比上s减一。那这个部分的话是零比零型，我们可以落笔答我一落的话，这个结果是多少？我一落的话，这人是六倍的s五次方，那这是六。然后这个部分呢，其实你发现已约当s趋向一帧，那这个结果变成多少一变的话，

这个结果其实就是。呃，这个一减是二那所以说这个是二减它那这人是负二啊负二这两个东西不相等。好了，这个问题啊，我们就说到这，当然你也可以画图了。啊，画图是一样的，所以这个操作性不是说它没答案不可挡，答案选c。好了，这个题啊，我们就讲到这。呃，

那样做是可以的，你俩人都在那个点处是连续连续复合，连续是连续这样做是可以的，然后求导的话，你然后再按照那个求导啊，这样做是可以的。可以嗯，那这样做就很好了，好了，我们再来看看第三题第三题啊。嗯，说实话有点。啊，不是特别好意思啊，这个题。

呃，这个题啊，很有我们去年出题的那种风格。你看到这套卷子，你到时候再进去去做，二零二三年的考研真题的时候，你会发现虽然题目的出题点的方向不一样。但是你发现意思点非常一样，而且这个题啊，有些同学把它做错了啊，做对了，简直是蒙对了啊。蒙对了，也不是真正的是做对了。那么，

接下来我们再来看看这个知识点。我把这个内容我再来给你复习一下，一个事情是连续的四则运算。啊，连续的四则运算，那你要注意连续的四则运算这个东西跟什么有关呢？跟极限有关？所以我们在这里面当中是连续加强，连续解释一样是连续。然后是连续加上不连续。不连续其实就是间断。那这个人是不连续，然后第三个事情不连续，也就是间断加减间断，那这个东西呢？

哎，这个东西是未知的。好了，这是第一个问题，然后我们再来看，连续乘上连续啊乘连续那乘上连续的话，这个东西呢是连续。连续的。然后我们再来看，连续乘上一个什么间断这个东西啊，是未知的。啊，这是未知的，然后最后一个事情是间断，然后再乘上间断这个东西啊，

更是未知的。所以像这个内容，它跟我们的什么跟我们的极限的那个东西啊，是一模一样的。其实这个题啊，凭借着这些东西啊，就足以把它做完了，我就不看这个复合函数，你一定注意读题啊。人家这个题说的是什么呢？有些东西太容易被骗了。这里面当中是fs。然后这个东西是个gs。能理解吧，然后fs和gs啊，

人家说有唯一的间断点。你假设这是fs，你这是gs。fx的间断点在x1。然后什么东西呢？这个gs的间断点在多少？gs的间断点在这儿。你间断点在哪儿？你间断点在这儿。这题其实出的很简单，那我想问你个事情，唯一的间断点，它的间断点在那儿，它在这个点出什么连续吧？你的间断点在那儿，

你是不是在这点连续啊？它不是同一个点。所以说这个时候你发现你如果进行相加，你加的时候间断加上连续肯定是间断。间断加上连续，那肯定是间断，所以说这个东西啊，它肯定选了呀。有些同学说，哎，老师，那这个e选项肯定不选呐，间断加间断不是未知吗？你看吧，你被骗了吧？

人家这里面呢，你要注重读题，他在这个点间断，他在那个点间断，他俩不在同一个点。因为很多读题就是哎呀，他在这个点间断，他在这个点段哦，间断加减间断不是未知吗？所以说一不选。你这又做错了，对吧？那这样的话，你发现b选项也很容易选。到b选项，

那b选项的话，间断乘上连续呢，你间断乘上连续这个东西是不知道的呀。所以这个好了，像这样的一个问题点呢，你自己要好好读题，一点都没骗你啊。你得把题读懂。对吧，人家这里面当中说的非常的清楚s1不等于s2，你专门标在那儿？好了，像这个题，然后接下来我们再来看看复合函数。好了，

我们再来看第二题。复合函数那么同学们告诉我，连续的复合函数。函数运算是一个什么情况？我们原来讲过这个问题，只有连续复合，连续是连续。连续负荷间断间断负荷连续都是不知道的。对吧，只有连续复合，连续是连续连续复合，间断间断复合，连续间断复合间断，那这都是不知道的。所以说这个题你就凭借着你的结论，

你发现gs假设在x1处是尖端。那fs就在s1处是连续。对吧，你间断复合连续不知道。x方它这个东西呢？你这个东西的话是处处连续的。对吧，你处处连续，但是你f呢？你f是有间断点，那如果在间断点间断复合连续不知道。然后这个人呢？如果他在他的间断，他在他的连续间断复合，连续也不知道，

所以这样的话a cd就非常容易选了。其实你发现反而做复合函数却比较简单。只有连续复合，连续是连续其他所有人呢都不知道。好了，这是这个问题吧，我们就讲到这能跟上这个事情吗？哎，对这个同学分析的很好。你如果a对了，根据对称性呢c应该对，所以说AC都不对。但是我觉得你直接回到知识点上就行好了，这个题听明白了，给我回复一。

可以了吗？这个知识点呢？你得把它想清楚。对吧，知识点得想清楚，脑子里面得有货，你说这前三个题，你再回看，你说哪难了？要有三九六同学的这样的一个出题的，这种风格很重要。而且我们已经学了一年了。你学了这么久，都是这样做的，你见到这个题，

你就这样刚对吧？你别等，你千万别等你做这前三个题啊，有些同学做的很好，每个题平均下来两分钟内应该是没问题的。好了，那么接下来我们再看第四个题，第四个题啊。很多同学非常可惜啊，这个题目。这个东西考了一个什么考了一个经验性结论。有些同学把它给忘了。对吧，把他忘了，你下去得自驱啊，

对吧？你是把知识点给忘完了。你再你再找别人共情，也没有什么用啊，你最后而言的话，我们得进去去考上考场的。好了，那么接下来我们就继续，我们来看看那这个东西，你得一眼就瞅过去，你就能看出来。你这是多少？这是limit n趋向无穷大，所以最后一个阶段心态非常的关键啊。开N次方a的n，

然后这个什么b的n，然后什么c的n这个东西。等于三者之间的max，这是我在基础班就讲过的东西，然后这个人a大于0b大于零。c大于零，不要急对吧？你在做题的时候一定要稍微的稳一点啊。就是这样的一个结论，只要能保证这三个人大于零，他就等于这个东西的max，所以说这个题非常的简单。所以我当时在出题的时候，我会有效的控制的。我就在想，

这样的一个事情，有的人在这里面当中，你能看出来之后，这个题就非常的简单，你看这个部分。那这个函数等于多少呢？咋了？这样写你就看不出来了。这都没有换身衣服，换了一只袜子，你都看不出来了。你看这个题，那这个部分是多少呢？这是2x的N次方，这不是x平方的N次方。

是不是这个事情有啥好做的呢？那么然后这两个东西不都大于零吗？那这个结果等于什么？这个结果不就等于这个人的什么？不就等于这个max吗？哦，这题结束了呀。然后接下来我们就稍微的进去去画个图，你发现一个事情，我们来看看这个图。那这是y，然后这是零，然后这是s，那这个时候你发现看你这是2s，你2s是这条线。

你x方是这条线。那x方等于2x的时候的话x刚好是二。所以说这个焦点刚好是二，那么现在我们讨论的是四，那最大值的话其实是这条线。还有什么东西呢？还有这条线。对吧，就这两条线，那这两条线的话，你看你在这半边的切线斜率是几切线斜率是二，然后在这半边的切线斜率是多少，这是四，那肯定不可导啊。那所以说这个题不可导点，

只有几个不可导点，不就只有一个，你说这个题两分钟内做不出来。你没有看出来，所以导致的这个东西，大家想想你说这个题没有做出来什么原因，是不是知识点忘了？但是通过这场考试，你能把这个知识点捡起来，这是不是一种收获？如果今年考研的时候考这个问题，你能不能做出来？那这不就行了吗？所以每天不要饱这个什么，一个非常积极的一个心态是非常重要，

你下去好好进行把它看看。啊，这第四题。你知道我讲了多少遍了？你看这个题啊。不要以为你没有看出来，这都不行。这都是常规问题啊。好了，那么接下来我们继续吧，我们再来看看第五题第五题啊，我承认稍微的难算一点。因为这次啊，出这个题的时候啊，看起来简单，

这个题啊，其实出的稍微的啊，但是没有关系，正常范围内。你怎么办？倒倒呗，带带呗，来方程两边同时求三倍的y方y在倒。然后再加上多少cosine xy，然后再乘上多少前导后不导那前导后不导的话，这是y再加上前面不导后面来导。好，这是这个情况。然后再减去多少二倍的e到2s，这个结果等于零。

好了，这是这个人，那么接下来我们就继续，我们再来看，然后再来继续去求一次，然后这个人前倒呢，这是6y，然后y在这个什么再倒。后面不等，然后再加上3y方y再进行去两阶等好，我们继续。那这个部分的前面这个人呢？你前面这个人的话是负的这个s in xy，然后后面来导，其实就是y+y的这个人。

你其实你发现后面不倒，你再来一下，然后接下来我们就继续，你看有些同学非常聪明。因为我们知道一会儿要带领它这个东西啊，它就不算了，非常聪明啊，然后接下来我们再来看看，这是coss y。这个人，然后里面再倒里面再倒是多少呢？你再看这个人，那这个人的话其实是歪倒你前倒后不倒，加上前面不倒，后面来倒两阶倒。

然后再减去四倍的多少e到2 s=0。如果这个题啊，你发现一个事情就是像这个题，如果你在这个做的过程当中。你连这个耐心都没有，我觉得你是考三九六考的非常浮躁的一个同学。你太浮躁了。你有可能我猜想。我知道你的心理当状态啊，你肯定是太追求那个速度了。那可能很多同学是这样的一个情况，如果只让你做这个题啊，你会心平气和的把它做出来。但是我们这次考试题目的设置啊，有些同学的第一个题做了半天没做出来，

毛躁了，做了第二题不太想算了。第三个题做的不是特别好，第四个题没看出来做，第五个题的时候就是你发现做题的时候这个心态就不一样了。所以你一定要注意，你在乎的是准确率。对吧，你在意的是准确率，所以说这种考试的这种心态也是需要进行锻炼的。所以慢慢来啊，对吧？你多调整几次。你看看去年考研真题，我相信在座的很很有很多同学二战同学。

你去问问他们去年考研真题为什么有些同学做的不是特别好？后来把有些题的单独的一个题拿出来，你其实做起来还可以，但是为什么最后没有考好呢？其实你发现这种心态呀，没有在平时的训练过程当中没有把它磨出来。没有磨出来，其实肯定不行啊。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看，所以说接下来我们就来带带。然后接下来我们把这个s=0呢，你带上去，你带到什么里面呢？

带到这里面，那其实就是y的三次方，你再减去个一=0。所以说这个y=1。然后接下来我们再来看当x=0，然后这个y=1的时候再往上带，往上带的话，这个人其实就是。三倍的歪屏。然后cosine 0是一，然后这是一。这是零减去这个二=0。所以说这个y撇等于多少？三分之一好了，这个人，

然后接下来我们再来看第三个人当s等于零y等于一y撇等于三分之一的时候。你继续往上带。往上一带的话，这是六倍的，然后这是九分之一，你加上这个三倍的，这是y量瓶。然后这个部分是零不算了cosine零是一，然后这个部分呢是三分之二，然后再加上零不管了。减去四等于零，所以说这是三倍的y平，你看有同学坐到这儿，他又毛躁了，你慢慢做，

你约掉一下的话，这个人是三分之二。所以说这是三分之四。你三分之四的话，减去它呢是三分之十二，所以说这是三分之八，因此的话，这个结果等于九分之八。二级导数等于九分之八。好，这个问题啊，我们就说到这，所以一定要注意这个问题，慢慢做稳一点啊。一定要稳一点，

你做你你特别着急进行做，最后的话，这个答案做错了，你其实就没有分儿了，没有分儿，你这里面当中都不划算。你看这种题，你至少能做吧？只不过在这个题当中出题啊。不像以前出，比如说算出来一阶导数也等于零往下带，非常的简单。然后这里面当中我出了好几个这个乘法求导啊，乘法求导，稍等一下。

所以说在这次呃，你看这次出题啊，出这个题。出这个题的时候，我写了很多这个稿子。你自己可以看看这每个题的话，我在这里面当中呃，想过来想过去想过来想过去一套卷子出题呢，你发现呃，其实我觉得上课的时间是最轻松的。一下出题啊，出一套卷子有可能得一两天的这个时间。磨磨磨过来磨过去，所以这里面当中啊，你自己多进行去练练，

我觉得这套试卷呢，应该是前三套当中啊，你发现质量是最高的一套。这套卷子的质量是最高的一套，因为你自己好好进行，把自己的这个漏洞啊，你稍后进行找到，把这里面当中的点呢，你好好处理处理。好了，我们继续吧，我们再来看看这个第六题。你再来看这个题啊，有些同学做的不好，也不太好意思。

你其实你再来看看，听完这个解析了之后，再看前六道题，这个题没有问题吧？啊，这个题啊，那么这里面当中考了一个什么性，它不就考了一个凹凸性吗？所以说在这里面当中，我们一起来看看这个事情。直接设函数，你一设函数，你又做的非常慢了，你做的不好啊，你这个水平点还没有达到。

好，我们来看看这个事情，你发现这个人不就是凹凸性吗？然后你来看看这个事儿，你点的这个x其实在这儿。然后的话，这是什么fx-fx-ax-a在这，然后的话再是x+b。啊加b是这个情况，所以说这个时候你发现你前面那个点那个情况，其实就是这个割线的斜率。然后这个人呢？其实就是这个割线的斜率，然后这个f撇s呢？就是这个切线的斜率。

是不是其实就是这个切线斜率，所以说这三个人非常容易看。对吧，那这里面当中谁最大？你其实是这个人最大，然后比这个人大，比这个人大，所以这里面当中应该是FB这个人。比这个大，比这个大，答案选a这个题啊，那天晚上我出的这个这个题的时候，当时拍案叫绝。兴奋不已啊，这个题我觉得非常符合我们的考点，

因为那天晚上我在琢磨这个事情诶，我说这个这个凹凸性，这里面当中可以出一个这样的一个题。对吧，可以出一个这个点，那这个点的话，你发现也没有说特别的难。那关键是很多同学没有读懂，你再进行做去年那个题，你要这个题的话，你没有信心去想清楚这个问题，你看去年那个题你能做出来吗？你看这前几个题。所以说大家想想你看看这些知识点，都是你学过的。

全都是你学过的，但是这些知识点有些东西看了半天，你没想起来你这怎么行？要多复盘啊，好了，那么接下来我们再来看看第七个题。好，再来瞅这个题。那这个题啊，你继续看，所以这个题啊，它不像数一数二数三同学的题，因为我最近也在写这个呃数一数二数三同学的这个。这个冲刺预测四套圈。呃，

写写这个卷子的时候，他们这个出题的风格跟我们这个出题的风格呃是完全不一样的。我看看这个。因为他们出的这个这个卷子的这个风格跟我们这个风格完全不一样。你这种题就不可能出现在数一数二数三同学的卷子哪，咋可能让你进行去一下子看出来，现在一个选择题五分。一个选择题五分，怎么可能让你这样的轻而易举的就出来了，但是你发现却非常好，变成我们数这个三九六同学题。有巧东有灵活性，考基本知识点。你看这种题，所以慢慢进行去看的啊，

来我们再来看看这个第七个题。第七个题啊呃，也是有创新性的一个题，那考了一个什么事情呢？那么这里面当中的f3是多少？你把f3进行找到你f3这个人是一，然后接下来再来看看零零这个点是多少零这个人是四？所以说这个题的话，三减去这个人呢，其实负三我们所以说要找什么东西啊，要找这个人等于负一的点。那么，其实就是分段函数进行求导，那分段函数求导去找这个负一的点不就行了，所以接下来我们来看看这个事。

你去求吧，这个ifs导函数。那么，首先我们先看分段点啊，零到三的这样的一个开区间，然后是分段点外直接求负的3倍的x次方。然后接下来的话是x大于一小于三，然后这个部分是多少负的x方分之三？你这个题胡在那想什么东西，这个拉格朗日这些东西你还是没有切进去，我们三九六同学的考题啊。你这都能算出来，不就是算了一个分度函数求导吗？这题是考分段，你一看这个三就能求零就能求不就求导函数等于它。

好了，那么接下来我们继续，我们再来去求一下这个一处的导函数，一处的这个诱导数啊，你再来算当x趋向于一帧。一帧的时候其实就是x分之三，你再减去一处值一处值是多少一处值，刚好往这带那其实就是三。比上s- 1。然后接下来我们再来看看这个，这个部分那是limits趋向多少依附依附的话，这是。呃四减去x三次方，然后再减去多少一处的函数值，然后的话一处函数值是三比上x减一。

对吧，就写成这样，那么写成这样了之后，我们再来看这零比零型未定式，你可以落下吧，你一落的话，当s趋向一正的时候，你这能求导的话，刚好是x方分之负三。那这人是负三呐，然后这个是谁？我们再看，一旦看到这个人是负三，那就不做了。因为我要找导函数等于负一的点，

你这个导函数是负三，你这个如果不相等，那你就不可导，如果相等，那你就等于负三，反正不是你。大家注意啊，反正不是你那反正不是你的话就进行找呗，然后我让什么呢，我让这一段它等于多少它等于负一。所以说这个时候x解出来多少解出来根号三分之一。这个在不在这一端呢？哎，在它是的，然后接下来再看看这个人负的平方分之三=-1，

其实就是x方等于多少等于三。s就等于根号三，根号三在不在这端在这端，所以说正确答案有几个有两个。能想清楚吗？好了，这个问题啊，听明白的给我回复一。好了，这是第七题，考了一个分段函数求导的问题。你看吧，常规题吧，只不过用了不同的样子，进去就包装起来了，

你别说这个题啊，这个题考到我们三九里里面，这绝对是一个创新点的题。那所以这个题其实最重要问题就是考了一个分段函数求导的问题，分段点外直接求分段点上用定义。好了，这个问题吧。不要在那胡思乱想。啊，这跟这不就是找导函数的零点吗？这就是在找导函数的零点呢。你想的太多了，哎呀。你作为三九六同学的考题啊，你单纯一点啊。

你有点适合考数一数二数三啊。你稍微单纯一点。他有些题也没有那么的贱，你都想到哪去了，对吧？你先把你常规的这个常规的点先想清楚啊。你太过于发散了，对吧？这这都都想哪去了？那有些点就不是你黄金考点的内容啊。好了，接下来我们就继续吧，我们再来看，想太多了，这这这扣不住内容啊，

来再来看第八题啊，这个题我非常开心，那天晚上。写出来这个题的时候。我也很开心，为什么这个题？这个题啊，其实我们原来做过这种题，但是却没有考过这样的一个题，那个题的话，其实你发现考的稍微的难，但这个题我觉得还可以。那么，首先它说在这个点的邻域。啊，

领域。那么，首先我们看看这个是零，这个零。那么，同学们注意在这个点处的切线方程。在这个点处的切线方程，它其实就是y=f零，然后再加上f撇儿零乘上x- 0。是不是这个事情，所以你要重要做做工作，你要求这俩人，你求这俩人在邻域内成立邻处肯定成立啊，把邻带进去。把零带进去的话，

其实就是f0小于等于几呢？一大于等于几呢？一所以说f0是几f0是一。所以这个结果是一。然后接下来我们再进行去求什么呢？你再进行去求这个f撇零。那f撇零的话，有些同学可能两边同时求导，那未必你这是不要胡来啊，你想想你比他小，你的导函数比他小吗？那未必不是这样做的。所以说这时候怎么办？我们在这里面当中就进行去减一个f0。对吧，

比上一个x- 1，你这样的话是可以的。那这个时候我们来进行去看看。反正的话，这是x三次方加上2 sf 0是一比上它，然后这边部分呢是e到2s再减去一。比上埃斯塔。但是你要注意啊，这个x啊，有可能是零正，也有可能是零负，所以说你就不用心去去写了。反正你知道它是介于这两者之间有没有问题？如果这个s是大于零不等式方向没有改变，如果s是小于零不等式方向改变，

别管，反正就在这个中间。那就在这个中间，这个极限是多少？这个极限很明显是二，然后这个东西一约这个一约的话就是x方加二。x是趋向于零，那这个极限也是二当x趋向零，你的极限就是二，你极限是二就是二，所以说这个结果2 x+1答案选b。好了，这是这个题啊呃，这个题灵活性也有。而且没有想象的那么的难。

因为这里面当中的数据包括求极限，我都稍微的设计了一下。设计的都是很简单的，这种求极限。对吧，设计了一个很简单的求极限创新性。所以我写那天晚上写这个题啊，第六题。啊，第八题出这两题的时候感觉非常的好啊，这两题好了，像这个题目我们就讲到这，所以你发现难也不难。对吧，难也不难，

我刚才说了两边同时求导的同学胡做。你有可能运气很好，你把它做对了，但是你发现这个水平点不行。我再说一遍，你比他大导函数未必比他大。一定要注意啊，导函你比他大，导函数和未必比他大，比如说举个例子，你这个人是不是比这个人大？你比这个人大。但是你这个人导函数是零，你这个导函数是一。你比它大导函数比它大吗？

不是这样子的，导函数描述的是什么变化率？你这是要想清楚的好了，那么接下来我们继续，我们再来看看第九题，我们再看这个题目。好，先看这个题。那这个题就考了个最值，你考最值的问题的核心重点是考什么？考最值的核心重点是求极值，所以说首先第一件事情我们要进行求导。你一求导的话，这个人其实就变成了一+x^2的这个人的平方，那上面求导乘下面，

然后减去下面求导乘上面。好了，这个情况，然后这个部分的话是一+x^2的这个平方，然后这个部分呢，你稍微操作一下，你是一+x^2再减去二倍的x方，你再减去一个2s。所以说这个结果就是负的x方，然后再减去2x，加上个一。好，这个情况我们就写成这样。哎呀，这有些同学，

你真的我我我相当的为你担心啊。我真相当的为你担心。求极限，求极限趋向于零。你一会儿不是要求极限吗？趋向于零是不为零的吗？啊，你这么不这这这样这样不行啊？不是我除过去，我一会儿要求这个极限，我求的是趋向于零不为零的时候的它。啊不不不，是淋浴淋浴是包括那个点那叫去腥淋浴。淋浴是包括那个点啊，一定要梳理清楚。

好了，这是这个问题，点那么接下来怎么办？我去找这个东西为零的点和不存在的点，没有不存在的点，我只能找为零的点。啊，这是这个情况，那么所以说我找到这个为零的点了之后啊嗯，其实有些同学在这个题当中。花费的时间比较多。你想想一个事情。你这是ix方，加上2x，你这外面加个一。

所以说这个部分的话，其实就是s方加上2s，你给它加个一减个一。然后的话，外面变成加二，所以说等于负的多少呢？x+1^2+2。挺不好意思的，这个题我在出题的过程当中，我没有把它出成一个非常整的书。不是一个非常整的数，所以在这里面当中，你可以大致的进行去呃画一下，这样的一个问题啊，这个非常简单。

你这是y这是零这是x，然后的话，这个人呢？对称轴是多少？你看看这个对称轴，你这个对称轴是负一。如果这个人为零的点是多少呢？你让它等于零，你让它等于零的话，其实就是x+1等于正负根号二，所以x等于正负根号二再减去个一。那因此在这里面当中啊，只有一个根号，二减一。啊，

只有一个根号二减一，那因此我们在这里面当中画这个图形的时候，它应该是个什么？它是一个倒扣的抛物线。它的顶点是几呢？它的顶点是在这半边，它应该是这样一条线，所以说你要注意一个问题，它倒扣的抛物线应该是这样。能想清楚吗？所以这段是正的，这段是负的。啊，前面这段是正的，后面这段是负的，

所以我们接下来就来看看这个函数，其实基本上就出来了。来吧，走一下。那么，首先我们先来看看这个ifs这个函数，这是零这是s你这个部分是根号二+1，你别管它是多少，不要算了，你算它没有什么用。那么，先来看看这个题当中的f0是多少？f0这个东西是一。对吧，11。

所以在这里面当中，这是一我们要先增上去。你增到这儿，你增到这儿，然后再减下去，你还要进行去看正无穷的极限。当x趋向正无穷的时候，求一下极限，那正无穷的极限是多少呢？你下面比上面大的多，那这个结果是零。所以说这条线呢，它就下去了。对吧，你就下去了。

所以自己一定要想清楚啊，它就是从零增上去，然后再减下去，你减下去，你告诉我一个事情，有没有最大值？当然有，这就是最大值。但是有没有最小值？没有最小值，你告诉我最小值是多少？你这没有函数值能取到这个人，他一直是往下跑的。它一直往下跑，有人说，

老师，这个最小值是零，谁能取到零？没有人能取到零，它这条线是一直逼近于零。没有人能取到零，所以说这个人呢？一定是什么有最大值，没有最小值，你看这个题。这个题啊，也不是说特别难，你就稳稳当当进行去做就行了，而且这种求导的运算量毫无运算量。你把这东西要扎扎实实做啊，

这题也不难。你看考最值的题来，我们来看看第十题大骗子题。这个题啊，有些同学做的很好啊。有些同学做的很好，有些同学在这里面当中啊，你发现做的不是说特别好？哦，这是减一是吗？减一好了，这个题。那么，接下来我们再来看看这个下面的题第十题啊，这题啊，

大片子题。那么，有些同学可能看到什么问题呢？他说他在这里面当中，他就直接来了。你其实这个题可以做的更简单一点。你发现一个事，我不就是求解什么？我就是求解这个e的负s，然后这是二倍的s三次方三倍的s方减去12倍的s，加上个一。等于零，你想想。你求这个零点。es又不为零。

不就是求这个零点吗？你看这个部分。所以说这个题啊，就变得极其的简单，然后我们就来拎拎这个7s等于多少二倍的x三次方。三倍的s方加上12 s+1。你看这个题。所以说在这里面比去年那个真题啊，出的要简单，我就想看看你这个同学的灵活度呢。你看这样说，我们其实核心重点就检验这个零点，那么接下来我们进行求导，一求导的话，这是六倍的s方，

加上6 s- 12。好，这个结果然后算的是这个负无穷到一那然后的话，把这个六提出去，这是I次方加上s，然后再减去二。所以说是六倍的x怎么办？你加上2x减去个一。好了，这个情况你就做成这样了。对吧，加上二减去个一，那么所以它这个情况应该是个什么问题呢？它是一个。焦点在一个在负二，

一个在一上，你这样的一个抛物线。而我们要做的是什么呢？我们要做负无穷到几负无穷到一那负无穷到一的话，其实我们只用看这一段。对吧，这一段那因此我们就知道了，你在这画一个表s，从负无穷到负二，然后这是负二。然后紧接着又从多少又从负二到几呢到一，那这个时候我们来看看这个y到这是y。那这一段是正的，这一段是负的，你先是增，

然后再是减，然后这是零，这是个极大值。能想清楚吧，好了，那么接下来我们去研究这个端点，那就出来了，好，我们来看看这个端点。那么，这是fs啊，这应该不是fs，这是个gs。好了，这是零，

这是x。那这个做的话，其实这个部分是负二。然后这个部分是一，我们要算几个问题呢？我们先算负无穷的极限，那告诉我这个人在负无穷的极限是多少？你说的算吧，所以说是负无穷。然后这个人在多少呢？在负二处的值是多少？负二数值啊，我们来看看是负八负16，然后的话，这是四三四一十二，

然后的话，这是24，然后加上个一别管了，反正大于零。对吧，这大于零，那么这个大于零的话，你发现就从负无穷到大于零，然后接下来我们再减下去，那我们就要看看一处值。一数值的话，其实就是二+3-12，加上一别管了，反正小于零小于零的话，其实你就下去啊，

这个人。所以有几个焦点呢？有两个焦点答案选c。有些东西啊，你不用算就别算啊，你该算你算你像这个题这个题只要能转到这儿，这个题就是个简单题。转不到这儿，其实做起来就非常麻烦。好了没？这是这个题目。能想清楚吧，一定要会做这种问题的转换啊，我希望你下次过程当中，你肯定越变越强，

我们这才磨了这个三套卷子呢。那么，从下周开始。从下个初开始，我们就要进入的这样的一个很密集的这样的一个全真模考的一个状态。所以我觉得这样呃，多练几套，你慢慢来，你每做一套卷子，我觉得原来我的出发点是这样。就是你至少大你的过程当中啊，这个基础和强化是过过的一轮，或者是这个冲刺救命班的第一轮。你至少是过过一段。过过一轮了之后，

然后通过做模拟卷，做个十几套模拟卷。比如说这一套模拟卷里面当中，唉，我出错了，哪些问题我找到了，我原来在这个基础和强化当中，漏洞我又错了几个问题，我又找到漏洞，我又错几个问题，找到漏洞。我们这十几套卷子啊，是非常完整的，你到时候做的时候你会发现非常完整的，有些这套卷子里面当中啊，

我有可能打了这个点，我下套卷子有可能打了这个点。这几套卷子全部做完，你就能把你所有涉及的这个漏洞你全部给补上，那这样不就很好吗？所以不要这样，但是你要注意你一套卷子错的太多太多。你这样也不太好，你得系统性的复盘一遍，然后再去做卷子。能听清楚吧，好了，我们继续，我们再来看第11题。然后再来看看这个11题，

这个题目啊，所以我我觉得同学们注意你这个复习的这个心态啊，这是个很重要很重要。因为太影响很多同学的复习了，因为每年呃，不光是我们三九六同学，你去问问数一数二数三同学。他们做模拟卷也很痛苦。哪套模拟卷其实都是这样，他们做模拟卷也很痛苦。每年出的那个模拟卷，有些同学就考了这个八九十分。考了90多一点，考了100多一点，照样最后有些同学能考到一百二一百三呢。

那不是说我们平时的话，这个模拟卷做多少，最后就多少分啊？好了，我们继续吧，我们再来看看11题。那这个题啊呃，其实你要稍微进行去，要看看这个问题。这个题你得稍微的进行去把它转一下，我们在这里面当中可以分离啊，因为AB都是大于零，所以e的a比a。是不是跟谁的大小关系啊？是不跟e的b- 1比b的大小关系啊？

是不是这个问题就是。这个东西跟这个人大小关系，而a又比b大，所以我们其实就是研究一个什么东西啊，研究这个人的单调性就是x分之一x减一，这个人单调性。而且在s大于零的时候。那这个时候你就要进行求导呗，你一求导的话，这是x方，然后上面进行求导乘下面。你减去下面求导乘上面，这是es怎么办？减个一。那这个时候我们再来看看，

那这个人的正负性能出来吗？你这个正负性出不来呀，你这个正负性出不来的话，我们就继续看。如果这个正负性出不来，我们再来看看这个上面。对吧，你再看上面，把上面这个东西啊，另一下。es加上个一，然后再进行求个导一求导的是前导后不导前不导，后来导再减去个es。不就是is倍的es，这不就大于零吗？

好了，这个时候正负性出来了，我再去找上一级为零的点，几处为零，零处为零，大家想想。这个gs这个人在零处为零。而且它又是单调递增的，所以说这个gs肯定是大于零，那gs大于零，你是大于零，你是大于零，这个整体大于零。整体大于零，那这个人就单调递增，

所以说这个函数单调递增。那单调递增，你发现你越大你就越大，这个小，所以说这是e的a- 1比a，它肯定是大于多少e的b- 1比b？好了，这个情况我们就出来了。好像这样的一个问题点，你把它想清楚啊。但是这个东西啊，我知道有些同学可能想差了，说上面这人比下面大，那没什么用。我不是进行去判断，

你跟他谁搭？我的重点是比较什么？能不能两边跟一比，你去试一下呀？这个人很明显大于一，这个人也大于一，你怎么跟一比呀？想差了，你还是没有没有摸清楚这个题到底在做什么？因为我们知道，只要s大于0e的s- 1，肯定都比这个人大。一亿的x- 1肯定都比这个人大。好了，这个问题啊，

不行必然不行e的s- 1都比s大，你a带进去比一大b带进去也比一大两个都比一大，你这人怎么比呀？好，这个情况我们就讲到这，所以说这个题目啊。你算不出算不出来的话，有两个问题，有可能是你算不出来另外一个方法，也有可能的话，这个方法的话有问题啊，你得调整。所以这个题非常直接。其实就是想比较什么，这两个谁大？

好了，那么这个问题啊，我们就说到这。跟得上吗？哎，所以说正确答案选几啊呃，正确答案选a。好，这个题那这个题啊，其实是一个涉及一个单调性的问题啊，涉及单调性。那么，这个问题你看这有同学啊？你真让我。是是有点头疼啊，

真的。哎呀，说实话，真真有点头疼。如果你你可以怎么办？你可以在。你这一步拉一下也行啊，这步拉一下也行，你不要不要想太多了啊。哦，选b。对吧，不要想太多了，你觉得这个这个想法，你有些想法的话，

你在两三分一两分钟内，你把它做出来了嘛？对吧，你都没有做出来呀。设另外一个函数。如果连这个答案都看不懂你，你得好好自取了，我觉得一个是忘完了，另外一个事情的话，是不是你前期的你做的这个东西有没有做扎实啊？这个过程看不懂吗？一级导数正负性出不来，而下面永远大于零，我不就看上面这个东西吗？不行，

我刚才不是讲过了吗？常见不等式一的s- 1肯定比s大a带进去，比它大b带进去也比它大，你除非画出这个图形，这个图你画不来呀。不不不，这个。我觉得很多同学有些同学的这个问题非常非常大啊。你自己下去得好好进行复盘复盘，那最近这段时间在干一些什么事情啊？得好好进行调整调整啊。你有的时候你想的那些方法，你可以在下面复习的时候啊，你有各种方法来进行想，但你上考场的过程当中，

你有些方法，你一两分钟都也也想不出来。而且出题人也不是往那上面精心去想的这个事情啊。你想的太多了，你去做做呃，这两年真题你去看有难的部分呢，它也不是这样。好了，那么接下来我们再来看看12题，我们继续再来看这个题。那么这个题啊，倒比较简单。啊，就这个题。那么，

首先我们先来看看这个题目，那这个题目的话，你发现对称区间吧。那对称区间，而且我们发现这是积分线相同，被积分函数不同，考比较定理。那所以这里面当中，我们来看看这两个问题。那这个题的话，你发现对称区间这个人是个什么函数？我们说了，其实考比较定律，应该是直接比较这三个人大小。但是你发现这三个人直接比好比吗？

这三个人比啊不好比。直接比不好比我可以间接着比呀。你发现当。如果对称区间塞一个负s进去，这个不动这个不动，多一个符号，这不是奇函数吗？那奇函数第一个人等于零呐。I是等于零的，然后再看JJ这个人是负一到一的话，这是x倍的，这个ln 1+s^2你再减去个多少ln 1+s^2？然后这个部分再ds那这个奇函数是不是等于零，所以等于负的多少负一到1 ln多少一，加上x方ds。

然后从负一到一呢，这个人肯定是大于零，那这里面是正的，那这个部分是不是小于零？然后现在的话，负一到一内，这个人是正的，这个人大于一大于一的话，ln大于一的话大于零，这个部分是不是大于零？那所以说最后而言是k大于I大于零。所以说这个题的正确结果是多少？ki j选c。好了，这是这个题吧啊，

对称区间，然后另外一个事情考了一个比较定理啊，这种题，然后我们再来看看13题。13题这个题啊，其实d是思维能力非常的明显。我只要在考试当中啊，见到这个人。这很明显是什么？还没有显现出来的什么东西呢？我一会儿真的是彻底疯了，对吧？哦，不好意思啊，这个同学。

我看差了。不要乱想，千万不要乱想，对吧？呃，这个同学做的很好。抱歉啊，送你个必胜套装吧啊。不要乱想啊，那个锦民同学啊。千万不要乱想，对吧？呃，我发现这节课很多同学这个思维方式啊，太过于发散。

好了，那么接下来我们来看看这个题。那么，在这里面当中，你会发现一个事，你这个东西其实是没有显现出来的，变现函数我们在考场当中啊，如果见到这个变现函数，我都不用去想。我在这里面当中，我立即把它进行怎么办标准化？然后接下来我们就来令令这个ts等于几啊，等于u。所以说换元怎么办？你就要换线，

然后t是零的时候u是0t是一的时候u是s，然后这是fu。那这个时候你发现这个t等于多少等于s分之一乘上u，所以就等于s分之一倍的du，因此这个结果是s分之一零到s。fu在du。好，这个情况，所以说这里面当中我们就看到把这东西啊，你放上去，你这是s分之一倍的零到s倍的fu。du，然后这个结果等于二倍的s方。那么，所以这个结果其实就是fs再乘上多少零到sf udu，

然后这个部分是二倍的s三次方。好了，我们继续啊，我们再看。那这个题考的是什么？零到二的平均值，什么叫平均值啊？平均值其实就是这个定积分，再除以这个长度。所以我非常想干嘛？我想求出这个定积分，那么接下来做到这怎么办？这我上课讲过很多遍。你这个人的导函数是不是它？是不是啊？

所以你发现这个人是爹，那这个人是儿子，然后这两东西相碰。那立即想到什么二分之一平方的导函数，这想不到都有问题啊，所以这里面当中我们一定要把它记住。你记这个大fs真等于零到s倍的fudu，你看吧，常规题型还是没有掌握清楚。你这一步想不到的话也不太行啊，这上课讲了好多遍，你自己去看看你，无论是冲刺救命班还是强化班，我上课提过很多遍这种事情。然后这个时候其实就变成了它的导函数，

然后再乘上fs，等于这个人，那这个东西变成多少变成二分之一，这个平方的导函数。好了，所以说这个fx的这些人的平方，它就等于多少，那就移过去是。四倍的这个不定积分a四次方加上c这个结果。好了，这个事情就做成这样，一旦做成这样了之后。我们再来看，还有一个初值条件f0=0吧，那既然在零处等于零的话，

你发现我把它带进去。零处等于零的话，其实c是零，所以说这个时候的fx方其实等于x四次方fx这个人呢？其实等于x方。好了，这个情况是不是做成这样？那么同学们注意一个事情，我们要算什么？我要算零到二的定几分，零到二的定几分？是不是直接带二就行了？f2不是零到二吗？所以说这个时候你就直接代进去，所以这个结果等于几啊，

等于四那等于四的话，这个人出来了。是二分之四等于二出来了，选c啊。跟得上吗？好支持这个题。能听懂吗？所以你看这一步考察的一个事情，其实就是导函数跟这个人相碰，这是考过的题啊。我们在真题当中考过这种事情啊，问题来了。好的，像这个题啊，我们就讲到这。

你选成四啊，就是有点亏了啊，这这有点太亏了。好了，我们再来看看14题。14题啊。我就玩了一个花样。啊，玩了一个花样。这是n分之一吧？n分之派？n分之二派？n分之n减一派？你就在后面再加一个不就行了吗？你加一个sinn分之n派不就行了吗？

因为这个加的这个人等于零呐。你补一个不就行了吗？它等于零，你随便补。所以说在这里面当中，其实我根本就没有动这个题。那第一步先写求和，所以说这是s in多少n分之k派，然后k从几啊一到n。所以说这个时候其实就变成三剑客都有了，一剑客两剑客三剑客其实就是零到1s in派sds。所以说这个结果等于派分之1 cos派斯配负的零和一负的派分之一。cos派负一，cos 1派分之二本题结束答案选b。好，

这个题。好，14题啊，我们就讲到这儿15题啊，考量一点，很多同学的这样的一个运算对吧？这个题。那么这个题的话，其实你发现给了一个复合函数，我想去求原函数吧。你这是x分之一，你把这个x除下去，那这个部分不就是x分之一，你再减一吗？所以说这个时候的ft其实就等于多少t减一分之一。

然后这个时候就把这个fgs就套进去。套进去的话，其实就是等于gs再减一分之一，它就等于多少，它就等于es加上lns分之一。那所以说这个gs减个一，它就等于多少es+lns这个人，如果你把这个东西移过去。我们加上个一。那么，现在我们要进行去考这个人的什么？考这个人的一到二的定几分？如果很多同学的眼神非常非常的好。能抽的非常准，你看这是水平点啊，

有些同学一眼抽过去，哎，这东西不就是乘法的导函数结束了。高手顶级的高手。所以说这个时候的话，你发现这个积分是它，然后这个积分是它，然后这是一到二，所以说是一到二减去一，然后这是多少二倍的ln二？好，这题这题能做的非常快。就是在这里面当中，你眼睛瞅过去哎，你能瞅出这个人，

如果你没有瞅出来，你就急。一样的，不会耽误你几秒钟的时间。啊，绝对不会影响你几秒钟时间，如果你没有看出来，你就在这里面当中给我直接积分啊。好了没哎，这是这个情况。哦，减去一。好，这个情况哎呀，这个最近。

呃，你们自己稍微注意一下就行，好这个问题一方减去一减去这个人，所以答案选几啊？呃，加上这个人。加上二倍的，所以答案选几选a。所以你稍微进行去注意一下这个点啊，就是这一点面当中啊，你如果没看出来，你就直接记。你没有看出来就直接基金。如果你看出来之后啊，这个题就非常的简单，

速度相当的快好，我们再来看看16题。呃，16题这个题啊，很多人在这里面当中的一个问题点就是没有划钱出来啊，这个。有点亏啊。来求弧长直接套公式吧，那么从六分之派，然后到二分之派，这这个题啊，有有有同学有有点有点不划算啊。x对t求导的这个平方，然后再加上y对t求导的平方，然后整体外面再怎么办？

整体外面再dt。好这个人，然后这个部分呢？是六分之派，二分之派，怎么稍微动一点运算量都大啊？这这这不能这样对吧？我们又不是考什么东西，你这期末考试也有稍微的点运算量啊。你不要算两步，你就是运算量大，算两步运算量大。这这题哪儿运算量大的对吧？你这个部分是sint的这个平方。然后再加上这个部分。

那关键点是这个部分的整理，你发现这个歪道。那这个部分的话，其实是tan二分之t分之一。然后的话，这个中间变量求导的话是second二分之t的，这个人的平方。然后这个部分是二分之一。啊哦，这是c不好意思。那么，然后接下来我们就继续，我们再来看你把这个东西化简一下。你化简一下了之后，你发现个事，

这个人是哭鼻塞。然后这是扣分平方分之一，约掉一个。约掉一个，其实就是塞沉上空。对吧，所以说c乘上括号就是二倍的sine二分之t cosine二分之t。这个题啊，你发现凑的是刚刚好的，就这个人。是不是这个结果，所以现在而言的话，我们一求你发现这个人呢，其实是cosine t的平方。你再加上这个人，

那这个人刚好是多少？那刚好是sint的平方。啊，这个人你在整体外面在dt。舒服了吧，相当的舒服了。就是这样的一个导数计算，然后通过二倍角公式，你再把它一整这题就出来了。然后这个后面当中啊，它其实还有一个是吧？啊，这个后面还有一个减去三。t啊，减去sint，

所以说这个部分的话，其实就是s in分之一。然后再减去sint。然后这个人的平方在dt。啊，做成这样。一旦做成这样了之后，这题基本上就结束了二分之派，然后根号下cost方，然后再加上sint的平方。然后减去二倍的相乘，你再加上sint方，然后这个dt。那么，这个结果马上就做成了多少六分之派到二分之派？

根号下多少？你发现你看你这两个东西一加是一，所以说最后就留下了一个sint方。然后再减去个一这个整体外面再来dt。可控范围内的运算量啊，然后接下来我们就继续，我们再来看，这是六分之派到二分之派，把这东西通一下。这是sint方一减s in方是cost方dt，所以说这个结果其实就是六分之派到二分之派。那么，其实是quality。对吧，这个tdt。

好了，这是这个情况。能理解吧哎，这是这个结果，所以说这个结果就算成这样，那算成这个结果是quantity，那这个积分结果是多少？那这个积分结果刚好是ln多少？lin这个s in这个人不用加绝对值，把六分之派和二分之派带进去。好了，我看到了很多同学，你别在那胡来啊。你看你三角函数公式，你得背过啊，

好了，那么接下来我们看那s in这个人是几是1l一是零？然后这是ln多少？这是二分之一，所以结果等于ln二。好了，这个结果正确答案选b啊，这个题啊，需要算一会儿，但是算一会儿的话，这也是可控的运算量，也不像有些这种。呃，大到什么特别离谱对吧？我们出的这个那种。

好了，这个点呢，我们就讲到这啊，非常好，也可以啊啊，如果是这种节奏啊，那就非常棒，那不好意思啊。你如果想说的是cos second的方减一，那非常好嗯。对吧，那可以等于quarter立方都行都行啊。那就做的很好，好了，那么接下来我们就继续吧，

我们再来看看第17题，你再看这个题，其实你发现学到最后啊。你发现一个事儿，还是这种旋转体体积好做，你没发现吗？来，我们来看看这个题还是旋转体体积好，做那么接下来我们看看这个人。那这个情况是什么呢？你这个部分是y，然后这个部分是零，然后这个部分是x，然后这个部分是y，等于多少sin x？

好，这个情况，然后说由这个曲线由这个切线s等于派那这个切线是什么呢？你这个切线的话，我们都知道s in这个切线刚好是x。对吧，其实刚好是s这条线，然后说绕着什么东西呢？绕着y轴旋转一周，那么所以说我们来看看。那直接套空式呗，就是大的这条线减去小的这条线是零到派用大的多少二派s乘上xds。再减去零到派，然后是二派s减去小的s in。ds，

好了，这是这个人，然后接下来的话，这是平方平方的话，刚好是。派倍的，然后是三分之二倍的I三次方把零和派带去。然后接下来我们再来看。这个部分呢，有些同学做的非常快，有些同学算的非常慢啊，这个记。那这个分怎么做？那前面这个人的话，刚好是三分之二倍的派的四次方，

你减去这个人。那这个东西啊，你要硬着做也行，你把这个凑到后面去分步积分法，你有没有更快的方式啊？我们都知道is乘上s in的函数。s抛出去补二分之派，然后是零到派的这个人。那么所以说这是三分之二倍的派的四次方，你减去多少减去这个是派的平方，而这个面积呢？面积是二啊？所以说这个结果结果刚好是三分之二倍的四次方减去这个人。选a啊，这个结果。

好了没？所以像这个题目的这个运算呢，你像这种考试啊，还真能把很多同学的一些漏洞给考出来。你平时过程当中复习的非常的全东西，复习的非常多，但是一套试卷下来之后啊，有些同学在这里面当中容易遗忘很多知识点。好，这个内容我们就讲到这。行吧，那么这个题。呃，休息会儿吧，可以吗？

啊，休息会儿吧，休息会儿，一会儿我们继续，我们再来看看后面几个题，后面这几个题啊，多元微分学的这几个题啊，倒还好。对吧，这几个题都还行。行吧，稍微休息会吧，一会我们再继续，一定要好好进行整理啊，这个。

那你去求不就行了吗？你不会求切线呢？啊，你这样的，我是没办法了，怎么啊？零+0除的导函数乘上s- 0嘛？这不一吗？你求啊。而且我原来我原来给你讲过这个事情吧。s in这个人在这个点处的切线就是x，所以说我们有一个零到二分之派的时候x比s in大吗？然后之后的所有人都比他大。你要不知道，你就求呗，

这这这种没有任何的问题。好了，这个事情我们就说到这啊，17题。可以了吗？你听这这都是上课讲的，你看哪个部分东西？我们上课没有说这个问题啊，你自己下去把这一些点呢，好好进行去处理处理啊。你自己现在回看这套卷子，你自己发现哪些点不是基本点？都是一些基本操作点。可能是什么呢？这套试卷呢？

我稍微调整了一个顺序，前面几个题啊，让很多同学在做的过程当中做的有点迷茫。但是你坐到中间的时候，你其实发现哎也其实也还挺好。你做到最后啊，你其实发现哎还是挺容易。这其实就是这样的一个问题点。好了吧，那么这个事情我们就讲到这啊，自己下去啊，把它好好进行处理处理。你自己一定要想清楚，把这个核心重点的内容，你好好好进行梳理梳理啊，

东西我觉得还是更加的重要一点。行吧，我们稍微休息会吧，一会我们继续啊。

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