02.396经综数学冲刺四套卷（内部卷2）解析课-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:11:57

好同学们，行，那么接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测试下声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们就准备开始了。呃，那么今天下午啊，我们针对于这个今天上午刚考的这套试卷呢，我们做一个主题的讲评。呃，这套试卷呢？

相对于我们上一次试卷难度系数肯定是加大了，里面当中啊，其实你发现核心题型还是核心题型？但是从这个考题当中啊，你需要进行去重点分析的，这个难度系数上它肯定是变大了，然后另外一个事情其实就是这个运算量可能在这里面当中加大了。但是啊，我们在这个加大的这个基础上，还是在可控范围内，合力范围内，那么这套试卷的话，其实跟我们去年二零二三年的真题啊。有些题难度系数还不及去年的考研真题，但是有些题比去年的考研真题要难，

所以说如果综合起来下来。那么，这套试卷呢？嗯。两三个题吧，如果是从两三个题的角度上，尤其是一个多元函数的无条件机制，可能没去年难，然后另外呃，中间有一道分析的题没有去年难。但是剩下的一些题啊，我觉得跟去年的考研真题啊，难度系数还是非常接近的，那么在这里面当中，我简单对这个。

今天上午做的这套试卷呢，我们做一个讲评，这套试卷的质量要比上次试卷质量要高得多。所以说你下去过程当中啊，一定要好好做，你可以看得出来呃，我们有些题啊难，但是这个难它就像我们三九六同学的这种感觉的难。不是说我们进行去把这个数一数二数三同学的题原封不动的拿过来啊，这个作为我们三九六同学的题，你自己进去去做的时候你很很明显会发现。这道题目当中的一些做题当中的一些感觉，包括一些出题的模式，明显就是仿着这个去年的一些真题啊，我们进行去出的。

好了，那么接下来我们一起来看看这套试卷。呃，答案都对了吧？答案好，这就是答案啊。呃，自己进去去对一下对吧？可能这个今天上传的，它上传了一个老版本的，你注意一下这个23题，这个题啊，这题答案是选一。好，稍微注意一下这个事儿，

因为这个每个部分还要提出一个东西。好，稍微注意一下这个，然后有些同学可能对第六题啊，稍微抱一点儿疑惑那个题的出题方向就是哪个东西是跟它完全相等的，就是哪个东西就是定义出来它。而且那里面当中的b选项很明显定义出来是诱导数，但有人说那老师这个函数在这点处可导啊，那诱导数也等于它。如果你从这个方向上去理解那个b也对，但是啊呃，你理解清楚这个东西的出题模式就行了，我觉得这个内容啊，其实也不影响啊。好了，

那么接下来我们就正式来看看这套试卷呃，综合起来啊，这套试卷呢难题啊，还有简单题啊，是穿插的。其实很有这个去年当中的这个出题当中的一些风格，里面当中啊，个别题当中我们加大了难度，然后里面当中部分的题还是一些常规的点。所以在这里面当中，你要自己呃，除了一个问题啊，就是这个。运算能力吧。你自己好好加强一下，

有些同学一直说啊，老师，我这个做不完，是因为我的运算能力，有些同学不是。有些同学你做不完，那就是做不完。你做不完就是你的题型辨认辨识度比较比较低，或者而言的话就是有些部分东西你做了半天你都看不出来这个东西到底在考什么？所以说导致了什么问题呢？你做题速度慢。但是有些部分的同学，他能辨识出来这个部分的题型，也能在这里面当中啊进行去把这个部分的东西列出式子，然后其实就是最后一个问题，

就是在那个计算上。浪费点儿时间，那像这些问题啊，我觉得没有办法，你只能做好一件事情，不是我现在这个阶段的话进行去重点进行去刷什么样的计算题，你就能提高的。那么，这个问题是什么呢？你就多练，那后续我们还有十几场考试，那这十几场考试，包括你平时的训练。你把每个题啊，你都算到最后。

就是每一个题，把它算到最后，每一个题都要做到完整，那这样的话，长时间下来，这个运算量一一个月下来。运算能力就提高上来了，所以我觉得多练，而且要敢算，你不要说碰到这个东西，我半天我不敢做，那这也不行。好了，这是我想说的，这个第一个问题，

第二个事情其实就是注意核心题型的掌握，其实你发现我们三九六同学。可以，有些题当中稍微的在这里面当中加大了理解能力，对吧？加大了这个理解程度，但是你发现不会过于的偏。它可以在各部分当中的核心题型上狠一点，但是你发现它不会说在这里面当中啊，考的非常偏好，注意一下这个问题。然后接下来我还想说一下，这个最后一件事情吧。呃，这件事儿我们上次考试啊，

我也说了这个问题，我希望这个以后每次考试你都要注意这个点。那么其实你发现。这次考试啊，我后面有个答题卡。这个答题卡呀，我专门在下面当中啊，给同学们列了这句话。就是你一定要清楚模考的真正的意义在于找到问题，查漏补缺，巩固复习，这才是最重要的。我今天上午我觉得我非常开心的一件事情，就是收到一个同学的私信，那这个同学啊，

我不知道你正不正在听课，这个同学说呃，这次啊。呃，比上次过程当中错的少了一点，这次啊，错了三个。上次考试觉得自己不能原谅的点是什么呢？是自己会的题，把它做错了，但是这一次考试他觉得非常开心。是因为错的这三个就是自己不会的，他找到了自己的问题，把这个问题改正过来，我非常开心。

我觉得你有这样的一个想法，那才是最后一个阶段冲刺满分呢。所以有些同学的话，这个方向性想法的不一致啊，导致了很多同学在后续的这个模考当中偏离了方向。模考最大的意义就是我在通过这场考试，我找到自己欠缺的点在哪，哪些部分是我自己有问题的点。比如说我今天我错了，假设我是错了，第四个题，那这个题考了什么内容呢？哎，结果发现一个事情，这个题我做错了。

是因为这个知识点我给忘了，我把这个知识点捡回来，那这场考试其实就非常有意义了。所以希望同学们慢慢来，而且啊，我觉得这个模拟卷呢，你无论错多错少，你自己稍微的话进行去补强一下。三个呃，其实我觉得是这样。每次考完呢，我都能收到大量的私信，还有同学的话，这个。啊，

做的这个全对的，也有这种同学，有的做的时间的话也控制的非常好，也有做全对的，但是我觉得呃，对于大部分同学。我觉得应该是这样的一个阶段，不是说我现在错五六个，我最后考上一定就错五六个。每次的话，这个我错七八个，我最后就只错七八个。我觉得不是这样，不是说你现在这个阶段，每次你看到很多人做的很好，

你动不动就说啊，他好厉害，他好厉，你自己要找到自己的问题。把它改正过来，不要长时间而言的话，你发现自驱性就没有了。疲了，没什么感觉了。对吧，这样我觉得不是说特别好，所以说每次啊，你像这种我其实从来的话没有进行去发微博，因为的话这样一发的话，有的人可能会觉得焦虑一点。

因为我一直觉得你目前错了几个，不代表你最后考试错了几个。所以希望同学们这个把你的方向性呢，这个放长远一点。比如说我这次我错了五六个。我就找到这五六个每个题啊，涉及了什么考点什么原因呢？是这个知识点不熟练吗？是我当时在考试过程当中，我没有迅速出来反映出来这个问题。然后这个东西啊，做的不是说特别好，或者浪费了时间，所以我下去啊，我要在这几个问题当中重点来补强。

好了，同学们不多说了，我们今天啊，我们正式来看看这套卷子。我们来看看这个里面当中第二套卷子。呃，这套卷子啊，我也换成了我最喜欢的这个绿色啊，这个可能你看到这个卷子啊，也变了一个颜色啊。现在我们来看看这里面当中的第一个题啊，这个题啊，其实就考到比较具有创新性的一个点，这个题我在冲刺救命班里面当中，其实我讲了这样一个问题的考法。

但是这个点呢呃，有些同学可能之前呢没有遇到过这样的一个问题，导致这个题啊，做的不是说特别好，我们来看看这个题吧。他这样的一个点，他说这个极限是存在的。那你想想，极限是存在那这个极限不就是个数吗？然后这里面当中给了一个函数，说这个函数啊，等于这个人，再加上es乘上这样的一个极限，然后让我们求这个极限。那这个题非常像什么呢？

这个题其实就非常像定积分是个数。你如果把这个人改成，比如说改成零到一的，这个定积分啊，这是一样的，就是同一种类型的题，不是说你一定要换成零到一，换成零到一肯定不对。我说的是同一种题，所以这个题考的是什么考的其实就是极限是个数，你就把这个数啊，你设成a。你设这个极限是a的，之后这个fs这个点呢，你其实就等于多少等于s in派s，

然后这是s开三次方，你再减去个一。然后再加上es乘上这个数。然后然后让我们继续去求解这样的一个极限，你怎么办呢？我两边同时取极限当s趋向于，然后对fs求极限。然后这时候是is趋向一，你对什么这是is开三次方减个一，然后这是s in派s，你再加上。你对这个人求极限的话a是一个常数抛出去，你对这个人求极限算我多写一步吧s趋向一这是一。啊e的s求极限。那么然后后期下来我们再来看你，

发现你这是a其实很多同学的问题点在何处呢？就是这个极限呢，求的不好。这个极限其实我们讲了很多遍，你看这里面当中是趋向于一的极限的。你喜欢趋向仪吗？如果你不想不喜欢趋向于有些都洛必达了，洛必达也行。那其实这里面当中比较简单的话，就是你不喜欢一，你就把它换个圆。我一换原来之后的话，其实就是t就趋向零。然后这个部分呢，其实就是根号下一+t开三次方，

再减个一。然后最重要问题是上面这个。那上面这个人的话是s in派ss是多少呢？s是一+t。然后这个部分里面当中有一个派，加上派t那同学们告诉我这是奇还是偶啊？这是偶吧，偶不变，所以说是s in派t。然后呢，符号看象限锐角一加第三象限，这是负的，所以上面等价无穷，小负的派t下面等价无穷小多少三分之一t？所以说这个结果等于负三派。

好，这个人当然这个题啊，你也可以使用洛必达法则都是可以的，所以这两种情况我觉得不是我在这个题当中啊，我想重点谈这个问题。所以说这个点呢，把它掌握清楚，这是个基本方法，有的人连这个方法都不想接受啊，你注意你这是一个在最后复习过程当中非常的大忌。因为你脑子里面当中已经不太喜欢接受新鲜事物了。而且这里面当中不就是一个奇变偶不变符号看象限，让你脑子动了多少啊？你如果连这个东西的脑子都不想动，那你这后期复习，

你到底想干嘛呢？那每次错的东西，你得把它改正过来好了，那么这个点我们就讲到这诺必达也行，我不落了。负三拍，然后这是a这是一，所以说这个a这个结果就等于几啊，把这个三拍移过去，然后是一减一。所以说这个题的正确结果就是三派比上一减一答案选c。好，这是第一个题，不难吧？好，

这个题其实你发现你现在看呢？这个题的质量其实很高。因为在我们的考研当中，其实没有涉及过这种题。你小心一下这个点哦，他的出题。好了，我们再来看看第二题。第二题老朋友了。那这个题它只告诉什么？它只告诉连续。这个题是非常仿照着去年的考研真题在出的。但是这个题其实比去年的考完真题那个题啊，要难。我们在这里面当中，

他只告诉了连续。连续就说明极限等于函数值。然后告诉了这样的一个极限，那这个极限呢？我们先定型，你想想上面是无穷大。上面是无穷大结果，相等于一不用去想，里面肯定是一。你要里面不是一，比如说是二。二的正无穷是正无穷，二的负无穷是零，怎么可能会是一啊？所以说这个结果的话，

你其实就是我们上课讲的，如果你是未定式按未定式做，如果你不是未定式，你100%是未定式。你自己好好分析一下。你包括里面，比如说是四你四的正无穷是正无穷四的负无穷是零，它不可能是一的，所以它必须是一的无穷大。那如果这个题是一的无穷大，你想想这个结果就等于多少，它就等于一的，然后这个极限符号照抄。然后这是头顶部分照写，你再来抵减一，

那其实就是ifs再加上一亿的s方，你再来减一。这个结果它等于一。那然后接下来我们就继续，我们再来看那所以说当I趋向零的时候，这是s方，然后这是fs，你再加上个e的s方减个一。那你想你这个结果等于几啊，等于零。然后再来抽一下，你看你这个部分极限是不是存在我加减法当中，我见到存在就拆开。所以说这里面当中我就可以把这个部分呢给拆出去，一拆这个极限，

结果是几是一，所以说这里面当中啊，我们就得到这个人是负一。好做了半天呢，其实得到了这样的一个结果，那得到这个结果了之后，我们再来看看这个题，那这题就可以做了。一旦在这个题当中得到了limits趋向，0 fx比上x方，它等于负一。那这时候我们就可以处理了，你先看第一个事情，你发现分母的极限是零。所以说分子的极限是零，

又因为连续极限等于函数值，函数值是零，对着呢。然后我们再来看，我们就要进行去凑导数定义，你凑导数定义的话，其实就是算f撇儿零。f撇零的话就是s- 0 fs，减f0是零比上s- 0。那这个题能不能速战速决呢？你其实你发现你可以在这里面当中凑当is趋向零的时候，这个ifs比上平方。然后再给它凑一个s，这是负一，这是零，

但是这个结果它不够快，最快的方式是什么？你看你这个结果是零。你这个结果是零，所以说这两个东西啊，都是无穷小那无穷小做比是负一，说明这个人是同阶无穷小。那你告诉我fs是几阶无穷，小fs是二阶无穷小，这是个一阶无穷小高阶，比低阶是零。迅速把这个东西啊，你就秒掉了，所以这个人呢，他也是对的。

然后我们再来看看第四个人，那第四个人的话，你发现你上面这东西是二阶无穷小，这是二分之一阶无穷小高阶比低阶，这个结果是零。所以这个结果立即把他破题了，你看这几个人跟得上我的意思吗？然后接下来我们再来看看它这个东西，取极小值的问题。取极小值问题的话，它这个点是什么呢？我在这里面当中告诉了fs比上三次方，这个这个平方，这个结果它等于负一。然后这个题的话，

让我们去判断极值，你看这个题啊，绝对不能求导。因为你发现只告诉了函数的连续，所以第一充分条件，第二充分条件你都不能用。那么，在这里面当中怎么办呢？我们原来讲过，只要我们现在再进行去碰到极致的问题，碰到极限，立即想到饱和性。那饱和性这个东西一保就出来了，你看这个人这个极限，结果小于零，

那说明在这个趋向于零就是零的去心领域内，它小于零。对吧，去心邻域内小于零，那去心邻域内其实就是这两个范围，那就是ifs比上这个平方，这个部分小于零。那其实就说明了这个fs是小于零。同学们想，两边都是负的小于零。两边都是小于零，你就会发现这个部分，那这个部分是什么呢？那这个板块很明显是什么？那这个部分是零？

它这个人等于零你，所以说这个人是最大，这个东西是什么？是个极大值啊，因此正确答案，这不对选几啊？选d。你你得好好去复习，我觉得你你的问题非常非常大。啊，非常大，不是大呃，非常大。所以你得复习的扎实一点，不信你去看看。

你自己去呃，这个七种未定式，你能写出来吗？七种未定式，你不信你问一下自己。嗯，不信你数一下七种未定式，你都写不出来。有零的无穷大，这种微定式吗？没有的是无穷大的零。你所以说你看看你复习到现在，你这七种微定式你都写不出来。啊，这东西不可能的。

零的正无穷，它是一定是。它不可能是一的。好了，这个点呢，我们就讲到这。再来看看这里面当中的这个第三个题好，我们继续，我们来看看这个人。这个题啊，其实你会发现啊，非常的快。刚才这个题啊，我不讲了。对吧，

你在这里面呃举例子一个问题啊，就是举例子可以排除，但是不能肯定。有些同学得到这两个东西是负一，他就举例举例说什么东西呢？我可以取，我去取ifs等于负的s方。我立即就知道了，这个零是个极大值，我把这个排除。但是你发现你只能排除三，但是一二四你不能肯定你举的这个东西是什么呢？举的这个例子，它是对的。对吧，

你举的这个例子，它是对的，但是这个东西啊，你不能说它是对的，举例子说它是错的，它肯定是错的。跟得上吧，所以说你可以通过举例子把第三个人给排除掉，但是一二四啊，你还能直接做。好了，这个问题啊，我们讲到这儿第三题应该是秒了吧？这个题啊，你只要稍微的听到这个强化，

或者听到这个冲刺救命班的课程，这个题是非常简单的。好，我们来看看这个人。这个题那这个题的话，其实你发现当is趋向无穷大。那趋向无穷大，你看第一个人，你第一个人的话，你可以这样写。你写一个x三次方减一把这个负号提出去，因为开三次方负号不会影响的，然后再减去as。大家想想这个b这个人是不是存在？be这个存在就把它拆出去，

它就等于零。所以说这个时候我们其实就得到了s趋向无穷大，你就得到根号下I三次方减一开三次方。然后再减这个什么，加上个as把负号提出去，它等于b。提出一个负号，把这一项移过去，它就等于b。那么，接下来我们来看看大家想想。这里面当中啊，这个人。你稍微琢磨一下。这个第一个人的老大是谁呀？

第一个老大是x三次方k三次方，它就是x1倍的x。而这个部分你最好应该写成减。对吧，你一定写成减你写成减的话是最简单的，所以说这个部分的话，其实就是减负的这个人。那这个时候的话，他的最大是谁呢？这个人的最大的话，他是负的as。那这两个人的地位要等同这两个地位，等同的话就说明你这个前面的系数是一，就要等于这个负a。所以说这个a呀，

就等于负一。好了，这是我讲过的，你像这两种问题啊，它的前后的量级必须一样。如果这个前后的量级不一样，这就非常尴尬了。你前面是依次放到量级。对吧，你前面的系数是一，然后这两个东西。如果我前面比后面多，我前面就比后面远远大，如果前面比后面小，我前面就比后面这个这个人小，

他就不可能是零呐。所以这个点呢，我们讲过啊，这个非常简单。好了，我们再来看，那这个出来之后你继续看。你这一处理的话，这题就简单了，这是I三次方减去个一开个三次方，然后这个时候呢，减去一个，这是x这个人。它等于几，它等于b。

所以这个结果它就做成这样，所以将来看的时候你其实非常简单，我一瞅的话，你发现你这个部分是x，所以我减的肯定是x。那所以说这个负a，它就等于一。然后这个人一做的话，你就可以提个卯就行了，把这里面当中的x提出来。你提出来之后的话，这个第一个人，他的三次方一减去I三次方分之一，你再来减个一。是不是这个人，

然后接下来我们就继续当s趋向无穷大，你后面就可以等价了，一等价的话，这个人是多少是三分之一次方？负的三次方分之一。好，这个结果，所以说这个结果等于几啊？你看这人出来了，那这人诶，这是等价吧，我一等价等价成这样，所以说最后的结果是几这个结果是零。所以这里面a是等于负1b是0a是负1b是零答案选几选c。好，

这个题啊，还挺好办，因为这个题我们再一次碰到这个题的时候，我觉得不是说特别难啊呃，有些东西可能有问题啊，你去找到这个。强化讲义或者去找到这个冲刺救命班吧，你就直接去看冲刺救命班这一节就行，因为那个部分呢，更简练一点。你可以把那个部分的东西你去看一下，你这种题基本上将来就可以秒杀了，非常简单的题啊。好了，我们再来看看下一个题，

第四个题，第四个题啊，我看了很多同学做的非常不好。我觉得一个问题点的话，就是你自己要迈过你心里那一杆撑。稍微算两下。不行了，以为我们的做题的话，通常就是一下两下就出来了，就喜欢一步两步三步出来。但是你发现稍微做一点东西啊，有些同学就扛不住了。那么，接下来我们看看这个人，那这些东西不就是考这个gs的导函数吗？

那符合函数求导，先对里面求，先对中间变量去求。然后这个里面当中分之一求导呢，分之一求导其实就是这个人的平方，分之负一。然后接下来我们就继续，我们再来看，然后这个部分的话是fs求导。你不用继续去多想。已经到了最后的这个模拟卷。基本上如果做错了大概率事件，都是你自己做错了，你不要老是在这里面当中说啊，这个答案答案因为模拟卷基本上我们会审查好多遍。

所以到了这个后期啊，有问题的点，你自己多找找问题啊。然后接下来我们再来看看这个fs求导，那fs求导的话，其实就是一+s平方的平方分之负一。中间变量再求导，这是2s。好，这个结果。那么，接下来我们就继续吧，我们再来看那这里面当中我们还要怎么办？我们要把一带去，你想想我要把这里面当中的一带进去了之后，

我其实要算f1。那你告诉我f1是几？f一这个人是二分之一，那二分之一的话，这个人其实是二。然后这个部分是二分之一的平方，所以说这个部分的话其实是负四。然后再把一代进去了之后的话，这是多少呢？一+1的话，这是四的分之负一，然后再来乘上多少，你再乘上这个结果。那是二，所以接下来我们还要算一下这个f撇那f撇在哪f撇，

其实在这。然后这个f撇二这个结果其实它等于负的一，加上这个人把二带进去，二带进去的话是一加几啊？二代地区的话是这是。五然后这是25。然后二代进去的话，这是四，所以说这个最后的结果，我们来看看，其实负的二十五分之四。然后这两个东西预约，这是一这是二，所以等于负的二十五分之八。所以这个题啊，

我们正确答案选几啊选c。好了，这个点呢呃，下去把这个相对的问题啊，好好处理处理。行吧，这是这个问题，当然你做的时候你也可以这样办，就是把这个什么呢fs直接套进去，套进去也行。都可以，你怎么做都行，这种题不是说特别难。好了吧，那么这个人我们就说到这，

你也可以把这人套进去啊，就是套进去了之后的话，这个部分就变成了多少一+s^2。也行，还可以吧，这种题浪费不了多长时间，基本上在一两分钟内肯定是能做完的。来，我们继续吧，我们再来看看这个题。这个题啊，可能很多同学呃，也是稍微的话，其实我这个题出的。应该再把这个东西啊。

再凝练一点，应该这样说，下列极限当中。代表了。啊，把它改一下。然后说什么呢？代表了。f撇s的是。这样说，其实这个问题点我觉得就没有问题了，对吧？代表了这个人的事。那么，先来看看这里面当中的第一个人，

那第一个人的话其实比较容易。因为你发现这个a这个人，这不是原题。所以说没有没有没有没有原题，这里面当中啊，都是新题啊，都是基本上重重新都是我来编写的。就个别的话，可能在现代和概率当中，我觉得有些比较好的题，我就用了一下，但是这个题的数啊，绝对不会超过两到三个。因为基本上全部都是我呃，会在这里面当中手写了之后啊，

让他们进行去敲，敲完了之后的，然后再整理答案的部分。好了，那么接下来我们就继续吧，我们来看这个人。这里面当中比较重要的一个问题啊，他说这个函数在这个点处是可导的。对吧，这个函数在这点可导，已经知道了可导，那像第一个人的话，你发现当s趋向零的时候，这个人的增量是多少？这是is 0这个人，

他的增量是负s。所以说再减去fs 0，你就要除以负s，你除以负s前面配一个负号，所以这个东西代表了负的f撇s0。a肯定不对。然后再来看第二个人，第二个人的话，你发现这个部分呢，哎，是趋向零。因为这个b选项的话，我们继续去做的时候，你来看看b。那这是limits趋向零，

然后这个部分是多少？是fx 0，然后再加上sin x的方。我们再怎么办？我再减去一个fs 0。那么，这个部分的话，你发现我再比上多少，我应该再比上一个sin x方。比上这个东西，你就要除一个这个人就要乘以这个人，然后这是s方，这是一啊。所以这个时候我们就把这个东西啊给塞出去了，或者你可以直接把这个平方等价成s in方也是可以的。

但是注意一个问题，你这个部分呢，永远都是正的吧？所以说这个东西它不能代表导数，它只能代表诱导数。但其实我们如果与按照原来那种写法呀，你选了b呀，我觉得也是可以的。因为说相当忙。你其实你发现这个可导，你可导的话，他当然跟这个人相等，这没有问题，因为可导的话，左右导数都跟该点导数是一样。

相等是可以，但这个题啊呃，说实话，在这里面当中啊，是我没有把它写的更加准确一点，更加准确一点。应该写代表呢，导函数的式听得懂我的意思吗？学会就行了啊。好了，这个问题啊，我们就说到这，然后我们再来看看下一个人，那很明显，你看你这是加的2s，

你就补一个，所以说这个东西等于两倍的f撇s0。所以这个人呢？他不对，然后再来看最后一个人，你看这个人的话，他也不对啊，那这个人的话其实是s这个人。然后的话，这是x0，你加上一个负s，然后再减去fs 0。那这个时候我们怎么办呢？我们在。你别给我加两分，

你行吧行行行，加加加，其实我觉得。至于这样吗？这加两分又不是最后考试就给你加两分啊。然后接下来我们再来看，这是负s，然后这块二分之一得跑出去，所以等于二分之一倍的f撇s零。所以这个人呢？他也不对，所以正确答案选几啊选一。一这个人呢？其实非常简单，因为我们讲过这个问题，

如果是双f做差。双f做差知道了可导性了之后。那这时候你发现你上面的里面的话，做差是几里面做差刚好是s你这个东西呢？刚好是s。它这个东西啊，就是f撇s0，但是你注意啊，你必须这个东西是已知条件。已知的这个人呢，你才可以这样处理，必须是已知的。所以这几个题我觉得这个题啊，不是说特别难。可能有些同学出错的比较多的，

第一题比较多。第二题比较多，第二题至今呢？还会有问题。那其实这种题的话，我们已经训练的非常多了，还是那几个事情把自己跳出来。跳出来之后，稳稳当当的是坐上那一两个，然后这个题就没问题了，如果这个题啊，你还有问题的话，我觉得这不太好办的。好了，这个然后这个第三题我觉得还好啊，

第四题。也还行，第二题有问题啊，你说实话有点不好意思，你自己去看看这种题我出了多少道？你这一看的话，就是我们新编的这种题，我强化的时候上课给你手出，我现场给你出，都出了好几道。这种题什么连续的啦，可导的啦。对吧，或者有定义的了，出了很多。

好了，那么接下来我们再来看第六题，第六题啊，说实话，有些同学非常的亏啊。这题做的不好。这个题那这个题啊，它让我们去求解，首先第一件事情，你得把这个什么东西呢，把这个20阶导数得算出来。这个20阶导数，你可以怎么算呢？那这里面当中很明显是两个人惩罚，你可以用一下莱布尼茨公式。

那莱布尼茨公式啊，这里面。这题连什么意思都没读懂啊。那就更可怕了。这是一个函数吧，这是20阶导数的函数。所以用一下莱布尼茨公式，那莱布尼茨公式你用一下呗。一用的话，这个人是CN 0。对吧，这个n是几呢？c20取零。然后给前面进行去求零阶导数，后面求20阶导数还是es？

c21前面求一阶导数的话，这是一，然后这19阶导数就是它。然后再往下求啊，就没有了，所以说最后的这个结果的话就是x- 1倍的es，然后再加上20倍的es。所以说最后的这个结果是多少is+19倍的es能做到这儿啊，这个东西其实就基本上结束了。当然的话，有些同学可能忘记了莱布尼茨公式，你也可以用一下递归法，你看当你进去去求一下。你可以算一下，太恐怖了。

你就沉溺于自己的世界吧。啊，你可别这样啊，对吧？好了，我们继续。你如果这个东西你不会做的话，你发现你还可以这样做，那就是我们先算两下，那前倒后不倒，然后是前面不倒，后面来倒。然后这个结果就等于多少，它这个结果就等于。e的s，

然后接下来我们再来算一下两阶导数。两个导数的话，你看那这个部分诶？前导。这是什么前导后不导，前面不导，后面再导啊，这是x。然后我们再算一下的话，就是前倒后不倒，前面不倒，后面再倒。所以就是x+1。然后你再进行去求一下呢，你发现算出多少ess+2。

诶，你按照这个东西的话，你可以进行，怎么办？你递归一下，你递归一下的话，它也是e的s乘上多少x加上多少？x+19啊。所以这是这个问题，你看这是一个函数，我们要干嘛呢？我们要去求这个函数的极小值。所以说我把这个函数另出来。这个函数是s+19 e的s。我们要进行去求它的极小值点，

我是个先找注点和不可导点，我们求一下，一求的话其实变成了is+20倍的e的s。有点骗人对吧？没有不可导点，只有一个注点，这个注点是多少负20，而且这个东西永远真。那这个部分呢？你20的话上去这负二呃，这个负20这个点呢，左边是负右边正那肯定就是它。唯一的嘛，那唯一的话，这个题答案选几选一，

有的同学选b的是吧？好了，这是这个问题吧，我们就讲到这啊。你会发现。呃，说实话，出一套卷子，有的人觉得是非常非常容易的。你要是真的是到了这个阶段呢，给你出一套这个质量比较高的这个卷子，你确实在这里面当中啊，得花很多时间。我们基本上我这个出道卷子的话，我是基本上我会花上呃一天的这个时间吧，

就是当天的话，晚上有有节课的话，我基本上是从早晨。早晨的话，有的时候差不多是七点钟起来之后呃，吃个早餐，然后开始写，然后自己的话基本上手得手写，手写完了之后的话发到那边编辑的话，他们自己去排版。排完了之完了之后的话呃，再让这个助教，然后再让他们再做一遍，我们基本上是呃，每次一套卷子的话，

得分上这个差不多得。十个助教吧，十个助教的话，两个人呃一起去做，比如说这两个同学的话，我们是做七个题，五七三十五嘛。每每个这个两个助教做一套，但是这两个助教的话必须是分别独立着做，然后最后的话自己再进行去对。然后这个选项当中啊呃，还得进行去设置，你会发现呃，这个做做几套你就知道了，你凡是你选错了，

你肯定在答案当中能选到正确呃，这个错误答案。一定是能找到。对吧，你一定能找到错误答案。只要你做错了。你自己可以进去去试一下啊。所以这里面你你如果做错了，然后结果发现诶选项当中没有答案，没有答案，那就是我们的失误了。所以只要你做错了，你肯定在这里面当中能找到答案。就包括我们在这里面当中啊呃，这个题这个题是选e哦。

你看有些同学没有提这个二没有提这个三没有提这个四，他就会选c。你自己想是不是？所以这里面有的时候你发现，如果你自己你没有按照正确的方法做，他肯定选错了，你没有题，你就会选c。你提了之后做对了，你就会选一它就是这样的一个问题，所以这里面难道这个数你以为我是随便设的你你得尽情去想你们，你们可有可能会做错哪些点？所以一套卷子，你说实话，上课的时间呢，

是最轻松的。因为上课的时间，说实话，这个出卷子还还挺头疼的。所以有的同学的话，可能觉得这个上呃上课的时候啊，我觉得反正是最近段时间比较轻松的状态。是有时候出出题，哎呀，是是是，你得想其实就是得坑你们啊。来继续吧，我们来看看这个点。来继续吧，看一下第七题。

说这个人由这个方程确定隐含数呗，这个题是比较简单的。隐函数的话，你发现这里面当中啊，告诉了一个y1=1，这是一个注点，那注点的话，这个题倒比较简单。所以接下来我们来看看这个题目，那这个题的话，你是个注点，你就把它带进去吧，它导函数等于零，所以说这个时候我们来看。三倍的s方减去多少呢？

前导是2 as，然后这是后面不导，然后再是前面不导，后面来导2y再是y导。你再加上3b这个y方，然后再是y导，它等于零。好了，这个结果，然后怎么办呢？我们把它带进去，带进去了之后的话，你发现一个事呃，这个题啊，我用了一道原题，

这道题是用的这个。冲刺300题当中的一个题，然后这个时候的话，这个什么当x=1 y=1。y导，它就会等于零，这时候我们代进去代进去了之后，你发现这个第一项是几呢？第一项是三，然后第二项是2a，然后这项是零，这项是零，所以这项是零，那a就等于多少？a就等于二分之三，

所以说这个a是二分之三，但是你看到了很多二分之三，所以说你这里面当中你排除不了。所以这个a是最简单的a，是二分之三比较简单，然后你再往里面带，然后这个是一一带进去的话是一减a，然后加上b等于零。然后这个二分之三的话，你往里面进行看，往里面进行看的话，这是二分之三。然后再加上b等于零，所以说这个b等于多少b等于二分之一，所以答案选几啊选c。

好了，这是这个题吧啊，你自己抓住，其实这个题的方向性呢，核心重点还是想考隐函数求导。因为你发现做了整张卷子，没有隐含追求到那不可能的。好，我们继续吧，我们再来看看第八题。这个题对于很多同学觉得稍微的可能会新颖一点。啊，可能会新颖一些，说这里面当中最大的这个数是多少？这个最大的数，

你一定要想清楚，对于这个数列而言呢，它只能取多少呢？其实这里面当中我都设置了。因为这种题很不好出。因为我们考选择题，你以为我没有想。这里面当中，如果我评判了几下，我还专门的去试了一下。很多说以为说那我就直接看选项比较出来，最大的不就最大的吗？我让你能比出来就见鬼了，你看这里面当中。所以我专门去试了几下，

然后我想这个答案当中是一一根号二，然后是三开三四开四，然后这里面当初去取公倍数的话，我直接比较里面那个数。我还能让你做那么简单，你不信你去试一下，你给这里来一个公背书里面当中，给我来个多少次方，你看你能算吗？有这个时间，这个考试早都结束了。所以这里面我就专门进行去换了几个东西，你肯定比不出来，我要是真的进去就出一根号二三k三四k四五k五，你稍微花点时间，

你都出来了。这个没办法让你走这条路线，所以这个这个nz c去琢磨好了，那么接下来我们来看看这个人。怎么去出这个题呢啊？这个题非常简单，它就是你这一面当中其实就是求一个人最大值，但是这个最大值应该是x的kx次方。是不这个问题，那这个时候你发现它其实就是x的x分之一次方。那么就是求解这个函数的最大值嘛，然后这是s分之一lns。但是你求这个函数最大值这个x的取值，你记住注意啊，你只能去取一二三四。

四五这些人，然后接下来我们就进行求导，你求最值的问题核心重点求极值嘛。那么，先来看看第一个事情，先进行去求一下这个人的什么导函数，然后这是I次方上面求导乘，下面减去下面求导乘上面。有没有不可导点没有那它只有驻点。而且只有注解的话，这里面当中只用保证lns=1，所以说这个s等于几等于一。能理解吧，等于一，所以这是唯一的注点，

而且同学们想想这个最大值取了还是没取？娶了唯一的可疑人。唯一的可疑人，而且最后娶了，那就是她。那然后接下来我们看看没有一样。没有一的话，你就要继续去想，因为我取不到一，我从一我就取到二，我就取到三，一是多少一约等于二点七一八。有些同学比较离谱。这是一他说EA 3更近一点，所以说这个是三或者是什么或者那呃不不不，

是这样。那所以说是什么？说明你看我们这个最值啊，它应该是在溢出去，那说明这两个东西是比较接近的。那因此我们选这个答案呢，你只能在二和三当中取，而这个题当中的答案只有三，你就选a。能听懂吧，只有算你去选a，其实理论上你应该进行去比较一下，比较一下这个人和这个人的大小。那这个人大小的话，这是二的多少二分之一次方，

这是三的多少三分之一次方？那这是这个人，所以说如果怎么办呢？我进行去比你这个人不好，比我们就进行去比较他的六次方。对吧，我比较六次方，然后这个人的六次方是多少呢？是二的三次方，这是八，然后这是三分之一，你给它六次方六次方的话，这是二，这是九，所以说你更大一点是。

能想清楚吧，好了，这是这个问题，所以说正确答案选几啊选a哦。跟得上吗？好这个题啊，所以说他在溢出去应该还要进行去评判一下这两点。那么，接下来我们就继续吧，我们再来看看这个下一个题。不难吧。其实你发现这种三九六的卷子，我觉得这个今年反正我看了很多卷子吧，有点儿这个。有点邪乎了，

对吧？出的这个题的话，有时候出的是把一些这种这种纯数三的往上放啊，我觉得也不是特别好。当然了，你在做模拟卷的时候，你不要这样想。但是你注意啊，你自己做的时候你不要这样想。只要你做了这套模拟卷，你就要把它当做成它，就像是今年的考研试卷一样去做。你能听懂我的意思吗？好，这个问题。

那么，接下来我们就继续吧，我们来看看这个人。他说这个人在拐点处的法线，通过原点。对吧，法先通过这个原理。那在这里面当中，我们就要进行去求它的这个拐点呢？那拐点就要算一下呗，那首先第一件事情，你先求一阶导你这个。这没问没没办法，有人说我不想算，不想算拉倒，

对吧？这是二倍的多少x方减去个三，然后的话，这个人再求导。因此，这个结果的话是多少是4k倍的x乘上x三次方减去三？好这个人，所以说这个时候的话，这个人是4k，然后这是is四次方再减去3s，然后再进去去求一下导。两阶导4k放到这是四倍的I三次方，你再减去三。好了，这是这个结果，

然后接下来他说什么，他说在拐点处。拐点处的话，你就让这个人怎么办？你就让这个人等于零。哪个哦？这是平方对吧？哦，不好意思平方。完了拉倒，那这个题废了废废废完了，然后这个人的话，你进去去求两级岛，然后这是4k。然后这是三倍的x方减去三，

所以说等于12倍的k，然后是x怎么办？减1 x+1。等于零，然后接下来我们就来看看这个人对吧，你说在这个点处的拐点处，你就让这个人等于零。那你想想，如果等于这个拐点的话，它就等于多少，它就等于正负一。是吧，那这个时候的话，你会发现这个人是正负一。那这个正负一的话，

你发现他说拐点处的法先，那还要进行去求y啊，所以说现在我们进行去算一下这个y。y等于多少？y就等于这里面当中是如果是一。你算一下，如果是一一的，这个平方的话，这是反正这是一一减三的话，这是负二，反正它等于四k。对吧，这是这个人，所以我们在这里面当中一定会算出这个人，然后接下来我们来看看这个发型。

那法线的话，这里面当中啊，应该有两条，那首先我们先来看看第一条。第一条是什么呢？第一条是is=1。然后接下来我们继续看，然后这个y等于多少呢？等于4k。还有一个事情的话是这个y导在一处的导函数，一处的导函数是多少y撇一往里没带。一减三是负二，然后这是负八k。然后再来看看第二个，然后是负1y还是等于4k，

然后这时候的y导等于多少，那负一的话这是。呃，负一负一+3，那这人是8k。好了，那么接下来我们来看看这个，发现第一条发现呢y就等于四k，然后是这个人分之负一，那就是八k分之一。然后这是s减一，然后另外一条呢？这还是四k，然后是这个减去八k分之一。然后这是s+1，

它要通过原点，你就把零零点带进去，零零点带进去了之后的话就是4k。然后再怎么办？减去八k分之一，它等于零。然后把零零点带去的4k减去多少呢？这是8k，你把这个零零带去，这是加上。对吧，加上的话，这个人等于零。所以就得到这个情况，因此啊，

你把这个部分其实就是乘上一个是32倍的，这个k的什么平方？32倍的k的平方再减去一个多少？这人等于零。好了，然后的话，这个k就等于多少，它就等于根号下三十二分之一，三十二是四嗯。四倍的根号二，所以这个东西应该是正负，但是我们只能去取正的，只能去取正的话，你发现这个人的话只能去取多少？嗯啊，

这什么鬼？然后这个时候的话，我们来看看你这个k它只能是多少？干嘛呢？根号二八倍的根号二。好了，这是这个结果吧？那正确答案选几啊？选e啊？好，这个题好了没？好，这是第九题，所以这个题我觉得就是呃，耐心计算吧，

所以说让别人看起来说这个题很容易，你在这里面当中啊，你得继续。慢慢进行去算一算啊，把这个点好了，这个东西啊，我们就讲到这可以了吗？自己下去啊，慢慢算，一定要稳扎稳打。你自己进去去对照下。你算的很快，你错一堆，你也考不好。我算的慢一点，

虽然在时间上错了一点点，但是只要我做的这个东西啊，你发现都是对的。那就很棒了。所以一定注意做题的正确率比你的速度更重要。应该是正确率保证的前提条件下，你再提高自己的速度。好了，我们再来看看这个第十题，第十题啊，比较容易。关键是一个问题，有些同学没有看出来这个东西到底在干嘛？这一题的话，你发现不就是考了这个东西相加？

它大于零嘛，那么所以说两边同时乘上这个e的s，它就变成了es的这个人的导函数大于零。所以说就得到了这个人是单调递增的。那这个单调递增的话，你看a选项是二，那说明e到2f二，它是大于e的一。f1所以这个结果应该是约掉e是e倍的f2大于f1。所以这个题啊，这个人是对的。然后接下来我们再来看第二个人是e倍的f1，然后这是e的0f0e的0f零的话，你谁大还是它大？所以说这个人呢，

他不对。它也不对，然后这个人他也不对。然后再看负一就是e的ef 1e的负1f负一，你答所以就是e的平方f1大于f负一。你看这人，他也不对。好了，这是这个题啊呃，不是说特别难，应该是这种题的话，就是见到这个东西，你就能怎么反应？常见的构造方法。一个是什么导函数和fs相乘，

一个是导函数和fs相除，还有一个是导函数加上fs。导函数减去fs，你导我不导，加上我不导你来导，你导我不导减去，你不导我来导，这几种常见的构造方法。包括在这里面，我们强化了呃，这个什么这个冲刺的时候还讲过，如果这个导函数你加上k倍的这个fs。你怎么构造？这东西你要构造一亿的ksfs导函数构造啊，对吧？

然后的话，这如果是导函数再怎么办？减去k倍的fs，你在这里面当中进行去构造e的负的ksfs的导函数。好了，注意一下，把这个构造方法把它想清楚。好了，这是我们讲的这个第十题，很多同学这个题没有做出来，敏感程度不够高，而且这个点是高频点。高频重点。原来的话，我们的考研真题当中考过这个什么导函数跟它相乘导函数跟它相除，

你导我不导，我不导你来导，对吧？这个部分。哎呀，这这这。我再说一遍，你放心吧，这个最近的话，这个卷子你自己好好进行去审。除一下不就行了吗？啊，不要老老是这个都是题目问题，都是题目问题，这这这可不行啊。

好，这是第十题，我们再来看看第11题。来继续吧，你看这个人，他说他跟s轴仅存两个焦点。这个人跟s轴有两个交点，那其实什么东西呢？就是一亿分之二s加k等于零有两根。那这个东西的话，做题方式的话，其实你发现你看一亿分之二s减去lns，我去研究这个人是不是就可以了？研究出来这个图像之后用k去解。k区间有两个交点就行，

所以说我们怎么办？第一步先去设函数。一亿分之二s减去lns，然后这个人的定义域是大于等于第一步看定义域，然后接下来我们继续去研究这个单调性。这是一分之二，然后再减去多少s分之一？那然后怎么办？有没有不可导点没有？只有这个注点，所以这时候的s等于多少s等于二分之一？没问题吧？好，然后接下来我们看，如果当x怎么办？

大于零小于二分之一的时候。那这个小它更大嗯，大的话，这个人其实是导函数什么零小于零当然后如果x大于二分之一。我比他大，我比他大的时候，其实这个人其实就比他小，比他小的话，这个人是正的。它导函数大于零，所以说我们就是先减后增，你就把这个人的大致图像把它给我列出来。那这个人大致图像的话，其实是多少呢？我们来看看。

这是y，然后这是零，这是s。那也就说我在这里面当中，这是二分之一。我要减到二分之一，我再增上去。你减到二分之一再增上去，我就要看几个问题呢，一个事情是二分之一处的函数值。二分之一处的函数值的话，一分之二二分之一，这是一罗印多少二分之一？好了，这是这个结果，

然后第二件事情的话，其实就要看零。当limits趋向零正的时候，你这个极限是多少？你趋向零正的话，这是负无穷，那所以说是正无穷。然后第二件事情当is趋向正无穷。那正无穷的时候，你是多少呢？那这如果趋向正无穷，这个人是正无穷，这也是正无穷，但是幂函数这个人比他大呀。因为去向零的时候第一项是零，

我不管了，我看看第二项，但去向正无穷的话，要看第一项，它是老大呀，所以说这个东西是正无穷。那么所以说这个结果我们就是这样。我们要捡到这个人，我再增上去。有两个焦点的时候k怎么办？这个key很明显。这个key啊，其实就要比这个人大。是不是这个事情你就要比这个人大这个东西啊，你可以约一下这些不不不化简low in 1再减去low in 2。

然后ln 1就是一，所以这个结果就是ln 2。没问题吧，所以说这个k啊，你只要比录音二大，它就有两个，因此这个题的正确答案选几选一。呃，这种题啊，我觉得啊呃，再进行去做错就有点不好意思。对吧，去设出函数，然后进行求导，找到注点不可导点，

然后进行划分区间段，然后再怎么办？看看端点。然后进行一起什么东西都出来了。你是不是卡在这一步了？你卡在这一步，那就有点不好玩了。啊，你卡在这一步的话，这个不会化简，那可真有意思啊。你选不出来答案好了，我们再来看。看看这个第12题。继续吧，

我们再来看看这个人。那这个人很明显考了一个什么呢？考了一个对称区间。考了一个对称区间的话，你就要考奇偶性扔一个负s进去。扔一个负s进去，这个人不动。然后这块多一个符号，所以眼睛一瞅，发现这是个奇函数。多一个符号奇函数就没了，然后前面这项是偶函数，所以说就等于二倍的零到二，然后这是根号下。四，

减s方分之s方ds。然后接下来就看看这样的一个积分怎么做呢？你这个积分的话，你很明显现在直接进行看的不太好来，那么我们这里面当中观察了含有a方减s方0s等于多少？a倍的sint。那a倍的sint的话，我们来看，如果s是零是零是二的sint是一，那这就是二分之派。然后这个部分的话，其实是四倍的，这个sint的平方。然后这个人求导是二倍的cost dt。然后继续看那这里面你瞅一下这个部分是多少嗯，

4e减。四提出来是一减三一封。对吧，那这个部分是一开始二倍的cosin t，这是不约掉了？约掉了之后的话，这个部分是八，然后点火二一二分之派，所以这个结果它刚好一约二派。好这题啊，不是说特别难啊，答案选a。好了，这是我们讲的这样的一个问题，不难吧，

就是做了一步换元了之后，一定要注意换元要三换。你要换上下限，你要换被积分函数，你要换积分变量，这几个核心知识点一定要吃透，不要老是出问题。换上下限，换被切完数，换积分变量，这都要三换。好了，那么接下来我们继续，我们来看看13题13题出的，我觉得是一道很有意思的一个题。

就这一题啊，做做的不是说特别好，我们来看看这个题。这个题啊，它是这样子的。它让我们继续去求这个部分所围成的这个面积。这个面积啊，其实你发现很多同学画不出来这个图。你能画出来这个图吗？你其实画不出来。尤其是画这个，这个图形呢？很难画。对吧，你画不出来也没关系。

但是你要心中有一件事情。我积分的话，这个位置是零到二。你这个人永远是朕的吧。对吧，你这个人是永远是正的。但是然后我在这个e的负s后面跟了一个e跟了一个x- 1。我说我永远都是要大减小。但是你发现看。如果x是什么呢？零到一的时候。零到一的时候你是负的，你就要小一点。x大于一小于二的时候，你就大于大于零，

你就要大一点。所以说这个时候你就画不出来图，那就没关系，我们在这里面当中的这个面积最重要的问题就是零到一的时候。零到一的数是谁减谁呢？是后面这个大的减去前面这个小的。然后再来看看一到二的时候呢，要用这个大的一的负x+x- 1要减去这个小的。好这个题，所以说这个题目啊，它的做题的点，它就在这儿。所以你要会信心去观察啊，这个题啊，很有我们三九六同学的风格。

难也不难呐，哎，这里面当中你就会发现，里面当中就会有一点点那种。小点，你需要进行去看清楚，对吧？所以这个题它的核心点其实就在这儿，我们在出的时候的话，你其实你发现就放在这儿。我都说了，这个图不好画。你不是说每个题你都会画图？就是你最重要的问题就是你要知道谁在上面，反正我们进行去积分的时候是大减小。

所以现在而言，这个题其实就出来了，是零到一，你这个一减是多少？你这个一减的话是一减sds。然后再加上一到二，你这一减的话是s- 1 ds，你自己算啊，这个算完了，最后的结果是几啊？我也忘了是几啊13题就看看。13题是选c是吧？啊选c。好，这个题这个分会做吧？

这个分呢，你不会做，其实就非常完蛋了啊。这这这会机吗？回到零基础都没人做这种题啊。好，这是这个事，所以大家注意你，你来看看最重要问题，你就要比较这两条线到底谁高？这两条线到底谁高？这两条线其实错的是这个s- 1。你在零到一的时候的话，这个后面是负的，你肯定要比它矮一点。

一到二的时候，你这s- 1是大的，你肯定比它高一点。所以我们在这个呃这个进行去积这个分的时候，永远都是大减小啊，这是要注意的。那么，接下来我们就继续吧，我们再来看你要观察出来这种题的特殊性啊，有的时候有些同学可能把这个方法你做麻烦了，你做麻烦了，肯定这个题啊做的不是说特别好。好，我们再来看这个题，这个题啊。

我想重点说一下。这个题有些人做的不好，你就有点不好意思了。你看这个题当中告诉的是f2 s+1。你可以这样办，你把这个2 s+1换个圆。你把2 s+1换个圆就得到fs，这个有点慢。这样做有点慢。如果你想快一点的话，我原来一直讲对于定积分而言。他是非常喜欢换人的。所以我怎么办呢？我这样办。你这是fs ds，

我就直接令这里面的s它等于2 t+1。那这个时候你会发现你这个部分不就变成了2 t+1。然后这时候是二倍的dt。那么，在换元了之后换新，你这是五代进去多少？五代进去的话，刚好是十一九呢，二九一十八这是19。所以说这个人做成这样，你做成这样了之后的话，这是11到19。没诶不对不对不对，不是11到19不对吧？是我们把x换成tx是五到九，

抱歉。s是五的话，这是二。然后九的时候，这是四抱歉。我看反了，所以说这个时候你要想清楚，我们这里面当中这是x把s换成t。所以说这个时候的话，你发现这是二到四，我们再来一句话，积分与变量字母的选取无关，你再换成s。所以说这是二到四把这个塞进来s倍的e的负的呃e的二分之s。ds舒服了吧？

所以说这个题的话，你发现你这样一做它就出来了。所以这是我们在这里面当中出现的这个第一个问题。对吧，你只要这样进行预处理，这个题就出来了，那接接下来的做题啊，就非常非常简单，你把这个什么你在后面补一个多少？补一个二分之一，前面乘个二四，然后这是多少de的二分之s，然后你分布一下就出来了。两项相乘。然后再减去两项调换位置，

这是二到四一亿的二分之sds，在后面补一个它乘上。二倍，然后这个积分结果是e的多少二分之x，然后是二到四。那所以说这个结果你基本上就出来了，然后这个第一个人是四倍的e的，二次方减去二倍的e的一次方。减去八倍的多少呢？这是e的二次方减去e的一次方，然后你把这里面当中的东西啊，你稍微整理一下。这是四四e16，所以说刚好是八倍的，多少八倍的e方？

对吧，你四四一十六这八倍的，然后减去八倍的，这是减去八倍的，你再加上八倍的，它结果就是这样，所以是等于8e方选c。好了，这是这个问题吧，我们就讲到这。可以了吗？这种运算量没有什么运算量。啊，没有什么用，算量我还是那句话，

你要不想算的时候，你就在旁边写一句话。有可能就因为这个题。你没考上，你看你想不想算？我就说一句话。你要不想算这一年算的东西都无效。都没什么用。你看你想不想算？所以说这个是这个部分啊。啊，没有说你啊。我在说这个问题。我昨天晚上讲那个数一数二数三同学就有同学是这样的问题，说我遇到长篇大论的文字的时候，

我就不想读。我看看那句话还在上面。说什么呢？呃，说我一见到这种题。对吧，一见到这种文字儿题就不想读，我就说你在旁边写一句话，你考场上你要不喜欢做，你在旁边写一下，你就写有可能因为这道题。你没算，你没读就没有考上，你看你想不想读？所以我觉得这个如果真的就是这样的一个问题，

你肯定想说我们学一年，你注意了。我们最最后考研也就可能考那两三个定积分的计算题。学了一年。我们原来做不定积分的百题代刷，我们做定积分的那个差不多也做了四五十个题的训练，我做了那么多的题。我花了那么多的时间，就为了最后的这两三道题，你给我来一句不会算了，不想算了，你平时练的这个东西比这个运算量大的多的多的多。你看你想不想算？我学了一年。我努力了一年，

我花了那么多，无数个日夜。我进行不定积分刷题的时候，那么的痛苦，然后进行去改，然后刷两遍刷三遍，最后把这个东西做对，我就是为了最后那一两个。你跟我说到最后上考场这个卷子的题，你不想做，那你原来就不用花那个时间呐。所以一定要想酸，你就是喜欢酸，我们再来看15题。15题这个质量。

非常高。啊，这个题。就这个题。是一道非常有意思的题。啊，这个题的质量。这这这个这个你自己做吧，你品的时候你都知道，你看这种人很有我们的考研的风格呀的出题点。你先来看看这里面当中的第一个人。这种积分线相同，被积分函数不同，考比较定理，我们只需要进行去比较什么呢？

我们只需要进行去比较。这个被上下限的这个范围内被积分函数大小。那我们要进行去比。但是你发现第一个人和第二个人现在没法比。第一个人和第二个人的话，你只能把这个人的分母搞成一样，你才好比，所以说这是二分之s，这是多少ln一加s才好比。这个题我上课的过程当中是讲过这个题。你去比较这两人。啊呃，有同学可能没有听那个冲刺修名班的课程，那没关系啊，你不用继续去，

有人说那我强化已经复习到位了啊，那没没关系，你补一下就行。我们来看你，只需要进行去比较这个人，因为下面都是正的。你这样东西怎么比呢？你看第一种方法。我可以做一个不等式。那你就进行去拎一下，我把这两个东西做个叉。对吧，我来比较零到一的范围内，你的大小。那这时候怎么办呢？

导函数导函数就是二分之一，然后这是一加s分之一，正负性出来了嘛？你想想你这个人比谁小，你比二小，你这个人其实就比多少比二分之一大，那所以说这个部分小于零。因此，这个函数是单调递减的。零到一单调递减，再继续去找为零的点零处，刚好等于零。你想想零处等于零单调递减，那么所以我立即就出来了。你出来什么东西呢？

你就立即会出来这个部分呢？二分之一s减去ln一加s这个人呢？小于零，所以谁大？那这是第一个方法，那还有没有方法呢？还有。就是我们的一些重点的不等式，什么不等式呢？当x大于零的时候。当s大于零的时候，像ln一加s这个人放大公式是他缩小公式是一加s分之s。是不是这个问题，所以现在我们来看当s大于零小于一的时候。小于一的时候的话，

这个ln 1+s这个人是大于这个人。那你想你s比一小比一小，你把它放成一，你就放大下面变大，结果变小就变成了这个人。那所以说这个部分肯定比二分之s大呀，那所以说罗云这个人更大。能听得懂吧，这就是我们的不等式。放松的问题好第一个点。那这时候我们就知道谁更大，这对应的是I，这是JJ大，那j大的话，你发现I大的不对。

挨大的不对。挨大的不对，但是接下来你还是没有做出来，你还是得看这个人，我知道有些同学你肯定。j和k好比。因为它上面相同。我们都知道，当x大于零小于一的时候，就是小于二分之派。小于二分之派的时候，这个tan比s大比s in大。这没问题吧，所以你更大，你更大，

这个结果就更小。你这个更小的话，其实就是k档。我知道有些同学，可能你自己去观察一下那个答案。你这个题不做这个部分，就是你没有进行去比较，这个你选不出来的。我在设置的时候就设置了，你自己去看看，比如说我非常显然的能判出来k比j大。k比j大的话，你发现把j比k大的c排除j比k大的e排除，但是你还是选不出来。你必须要进去去看看到底a大还是j大，

你不判这个二分之一，这个题是选不出来的。所以这个题的选项的设置啊，难度系数比较大的，其实就是I和j。要是这么简单，这个东西把答案选出来，那这个题就没有什么价值了。所以自己下去好好看看第15题。可以了吧，然后继续再来看16题。说实话，回到最后啊，还是这种旋转体体积比较简单。你来看看这个人。

来坐下，首先这个部分说啊，这是y这是零，然后这是x。那这个题当中的话，它是零到派。零到派的话，它这个曲线的话三次方其实还是这个样子啊，我大致画了一下。说这个部分绕着s轴转s形图还是y形图啊x形图？x形图的话，绕着转旋转体体积是派倍的，零到派这个人的平方，这人平方的话是sins三次方ds。这是派，

然后这时候怎么办？点火公式一家人，它又等于二倍的零到二分之派sin x三次方ds。所以说这是二拍，因此啊，这是三二，因此等于三分之四拍本题结束正确答案，选几选a啊？好了，这个问题。所以你就会发现，包括去年的真题也是这样，那最最后那个旋转体体积倒比较简单。求面积也比较简单呃，有些的话这种出的繁杂的这个题啊，

它倒出的比较难。好了，这16题我们再来看看，第17题17题啊，我估计很多同学做的不好。在这个题当中啊嗯，稍微玩点心眼，就这个题。就这个题的话，你发现。难度系数比较大的是CD和e。d和e啊，有些东西没有看懂这个东西到底在干嘛？d和e，我们先来看看这个题吧。

那这个题我们首先看第一件事儿，分段函数在分段点上，那肯定要用定义。用定义的话就是is趋向零。fs 0。减去f零零。比上s- 0。那然后这个部分的话就是is趋向零。这是sf零零就是零啊，把y=0代进去的话就是I方。sins方分之一，你约掉一个，你约掉了一个之后的话，这人是s倍的。sins方分之一。

无穷小乘以五借，无穷小那这个结果出来了。但是你发现你看这东西不对，然后而且的话，这个东西根据对称性sy具有对称性吧？根据对称性，那所以说这个x和y都是一样，这不对。那么，这个题其实就没有考别的。它就像考了一个偏导数定义，其实像我们去年的考研真题也是。它出了一道偏导数定义，还出了一道连续可导可为的问题。那这个题的话，

首先把ABC排除，但是ABC比较简单啊，排除掉，但这个题最重要的问题还是选这个d还是选这个e？那么，接下来我们就来看看这个事情。那问题点其实就在这儿。就是你这个人在一处，你这个人在零处。连不连续的问题其实是一个事情，我只需要判断一个人，因为是对称的。质量是一样的。对吧，你只用做一个就行。

那么像第一个人，他连不连续的问题？你重点在做什么？对称的做一个就行。那这个人连不连续是一元函数还是二元函数？是一元函数。你连不连续就是看x趋向于零。你的几千。到底等不等于？函数值，而这个部分它是等于零。我就要看看这个极限到底等不等于零？而这个部分的东西，我是不是要进行去求这个人？而这个虽然是什么东西呢？

虽然是y=0，但是x没有到零啊。所以说sy不同时为零。我要求出不同时为零的偏导数。不同时为零的偏导数是分段点y，那所以说分段点y怎么求分段点y直接求？所以我们来看看，当sy不同时为零的时候，你这个s偏导数分段点y得直接求。那直接求的话，你发现你前导是2s，你后面这人不导。然后再加上前面这个人不倒，后面来倒。那后面来导的话，

其实就是c。s方加上y方分之一，然后是多少？那就是负的x方，加上y方的平方分之负2x。那所以说这个结果的话就是2s倍的s in多少s方加上y方？然后这个东西约掉一个约掉一个的话，其实就是x方加上y方。然后这个部分是负2s的话，这个部分是2s，然后是cosine这个人。那这个部分我们做完了之后，你就要把什么东西呢？你就要把这个y=0带进去。那y等于零代进去的话，

之后的话是二s倍的sins方分之一，然后这个部分呢是x分之二，因为y是零嘛。coss方分之一。而我们其实都知道一个事儿，你发现你去求一下这个极限。当s进行去趋向于零求这个极限的时候。这是无穷小乘以五阶，是无穷小。但是你发现你这个人x分之一再乘上这个人吧。我们原来讲过呀。你s分之一这个人是其实是这个人。它趋向零的话，就上下摆是震荡的吧，所以说这个极限是不存在的。

这极限不存在。那这个极限不存在，它就肯定不会等于这个人的偏导数零零处。所以不连续，因此啊，你说连续不对答案选一。因为根据对称性，我不连续你就不连续答案选几啊选一。能听懂吗？这个题啊，还是有点。新颖性。啊，有点新颖。就是这个部分的东西的难度系数呃，

这个题还是稍微的大一点点，你不要小小看这个东西长得非常简洁。那其中这里面当中说这个人连续是什么意思？你其实你可能看到呃，我说一下。因为你们可能有些同学没有看过这种。官方的这个卷子。你看这种呃，这是教育部考试院呢，它给过来的这个电子版啊，电子版的这个电子版呢？其实你发现我们的真题啊。它的答案，排列顺序都是这样排的。就是要不然的话，

这是一行两个，一行两个，一个你看都基本上是这样排的。都基本上是这样排的。都基本上是这样排的。所以说你最后做的时候，你发现那个那个空间还是很大的。它不像有些那个卷子排的秘密麻麻，一看的话都不怎么去研究，也不注意这个细节，一行排过去。你看这里面当中，你像这个，它能不能一行排五个，它其实也可以。

你看一行排五个也能排的下啊，你四分之一二分之一一这个二这个四它能排的下的。他完全能排下你，包括的话，这里面当中每个人他都能排下，但是你看他编排顺序除了什么情况呢？除了这里面。你像有些特别长的，它一个排不下去，它就竖着排。对吧，它就竖着排，你看像这样排一行一个一行一个一行一个一行一个。所以说最后你拿到这个卷子啊，它不会显得特别的秘密麻麻的。

连续35个题排的秘密麻麻的，让人做起来都不想做。一点做作的话，你发现一个事，一点感觉都没有。你其实有些的话，那个他排的这个样子，你让我看过去，我其实有有点做起来就有点费劲。里面当中的话，这个呃，读起来看起来就感觉一堆东西放到这里面。好了，那么接下来我们不说了，我们继续吧，

我们再来看看下一个问题。这样吧，我们休息会儿吧。可以吧哎，休息会。呃，休息会儿了之后，一会儿你进行去看一看呃，再把这个。把下面这几个题啊，你自己去看看，把这个东西啊，好好做一做，我觉得里面当中有一些部分的问题啊，你自己还是要找准自己的，

这样的一个问题点之所在。把这个东西啊，处理清楚好吧，我们稍微休息会儿，一会儿我们继续。

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