01.396经综数学冲刺四套卷（内部卷1）解析课-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:11:43

那我们继续吧，我们再来看看这个下面几个题啊，来再来看看这个第13题。来继续吧，那这个题比较简单啊，因为它是个对称区间的，这个定积分计算问题，那么首先第一件事先想到奇偶性。但这个奇偶性，你要看的快一点，我再强调一遍，你怎么进去判断奇偶性判断奇偶性就是这样，你给它塞一个负s进去，你看它动不动？结果你发现你塞一个负s进去了之后，

这个部分不动。然后这个时候这个人多一个符号，那所以说这两个东西相乘呢，它肯定是个奇函数。然后一乘上它，那肯定不动，那这是偶函数，所以说这个结果一个人就出来了。那这是负一，然后s乘上这个二倍的s绝对值减去x方，然后再加上一个根号下二倍的s绝对值减去x方。你看这个部分。我们塞一个负s进去之后，你发现这个人不动多一个负号，因此这个人呢？

他是个奇函数，然后这个人不动，他是个偶函数。所以说这个部分呢，它就等于奇函数等于零，后面是二倍的2倍的零到一，那既然是零到一的话，这个人是大于零，你大于零的话，这个绝对值还要不要？不要了，就写成了这样，然后接下来怎么算就考了常见的两个定积分，就是这个几何意义的考法。一个事情是零到a根号下a方减去x方这个人，

那还有一个东西呢，是零到a根号下as-x^2这个人。啊，这两个人那这个第一个人呢？他是一个圆。对吧，第一个人是个圆，第二个人也是个圆，但是第一个人呢，圆心在圆点处的圆，第二人是个偏心圆。你先看第一个人。那第一个人是什么呢？那这个人等于y的时候是x方，加上y方等于a方，

他是这样的一个圆。所以说它求解的是这个四分之一圆的面积，四分之一派a方好，我们再来看看第二个，第二个圆是什么呢？这个必须想到，因为这是常考的。所以说每次这个发现问题啊，你把它解决一下，好我们再来看看第二个人。第二人是个偏心圆，那偏心圆的话，这个人你把他另成ys方，加上y方等于as是这样的一个圆。对吧，

零到a的话是这样二分之一派，然后这是二分之a这种平方。好，这个东西啊，他就写出来了，所以说这个人呐，马上结束。那这个圆的话，其实就是圆心偏心圆，经过零经过二零到一的话，其实是四分之一圆面积四分之一派多少？这个一的这个人平方，所以等于二分之派。好，这个结果哦，

这个会上传的啊。来继续吧，我们再来看看下一个题，再来看看第14题，那14题这个题呢？连续性和可导性啊，这个题非常简单。我们讲过这个性质啊，我们把这个性质啊，我们再来跟同学们稍微的进行去回顾复习一下，你把那个我们就回到这个原来冲刺部分呢，我们讲的这个。啊，都一样。变上限函数的这个性质是什么呢？

它是如果里面这个函数在这个点处是连续的，外面这个函数在这个点处是可导的。而且它的导函数等于它。里面这个人在这个点处是第一类间断点，外面这个人在这个点处是连续点，外面在这个点处的左导数里面的左极限。外面的诱导数，里面的右极限就考了这个内容，你下去回顾复习一下，那么接下来我们来看看这个人。那这个东西你稍微进行去看看，把这个人我们只用进去去看，这个人在零到二，你想看外面这个人在零到二，你就看里面在零到二。

里面在零到二是什么情况呢？这是零，这是二，然后这是一。你其实会发现这一段的时候，肯定是连续的呀，这一段的时候肯定是连续的呀，所以说这两段。里面这个人连续外面肯定是可导。对吧，里面连续外面是可导，然后接下来我们来重点来看看哪个点重点来看这个点。那这个点是什么情况呢？那这个点你进去去看看这个人左极限，左极限是一呀，

然后右极限是几呢？右极限是二分之一呀？那很明显，这个人是什么？这个人是个跳跃间断点。那跳跃间断点，我们来看这一段连续我这个函数可导，这一段连续我这个函数可导，你这个人是个跳跃间断点。那很明显，我是个连续点。啊，连续点，而且在这个点处啊，我在一处的诱导数。

等于你在一处的右极限，你右极限是几呢？你右极限是二分之一，你左导数等于左极限，那这是一很明显不相等不可导。能理解吧，好这个事情就出来了，所以说这个人呢，马上出来，这个结果是连续函数，但是呢，在这点不可导，因此不可导。选写选一。如果可导的意思就是处处可导，

你要想清楚。好了，我们继续吧，我们再来看15题，15题这个题啊，可能很多人忘了这个题型的方法了，你如果记住啊，这个题型还是很好做的。来，我们来看看这个题目。就是一个变形函数，它出现在了定积分里面。你看这个函数，它是个变线函数，然后这是根号sds。

大家想想一个问题，变现函数最喜欢干嘛？变现函数最喜欢求导，所以变现函数非常喜欢在后面进行求导。所以要分步计分法。但是如果直接分部级分法，俩人跑到后面去，就要俩人求导，那肯定不行，我只想一个人到后面去，先在这儿补杆儿。然后这来个二，因此这个人的话就等于二倍的零到一，这是if SD多少根号s，然后接下来就可以分步积分法。

然后是两项相乘，把零和一带去，然后减去两项调换位置，根号s dfs。那这时候做成这样之后，你发现零带进去是零一呢，我们知道这个f1这个人的话，上下限相等肯定是零。所以一带进去啊，也是零。那所以这个结果就等于负二倍的，这个零到一这是根号s那d它呢？那d它不就是这个人进行求导吗？你求导的话就是上限移进去，那这是s上限再求导二倍的根号s分之一。

好写成这样。那所以这个结果二这个人就约掉了，然后这个东西约掉了，然后负的这个人积分呢，那刚好是一的负s把零和一带进去，那这个结果就是一的负一再减一。好正确答案选几啊选a哟。好了，这15题我们再来看16题。16题这个题他说给了这样的一个情况。对吧，我们就给了这样的一个区域，然后绕着s=2旋转一周，我们先来画一下这个人草图。那这个草图是什么呢？

这是y，然后这是零，然后这是s，那么这个部分的话，它就是比这个。大于等于s，然后是小于等于根号s，就是这个情况。我们要看这个人绕着谁转呢？绕着这个s=2旋转一周啊，这个人你要绕着这个人。旋转一周。二这个人那么所以接下来我们来看看这个区域啊，绕着这个人旋转一周，他的旋转体体积怎么去计算呢？

那这个计算方法其实也比较容易，我们原来讲过，如果是x轴和y轴转，你就直接套公式。这是我们考研的大概率事件。如果绕着一般轴转怎么办？我们学会用微元法。那还记得吗？微元法稍微的推一下，马上出来，你就怎么办呢？你就在这里面当中得x。处取一个ds的v元。啊dsv圆，所以说就得到了这样的一个小条啊，

这个部分那这个部分绕着s=2旋转一周转出来一个什么？你转出来一个薄壁的空心筒。薄壁的空心筒。可能有些同学啊，这个为了学这个东西啊，去学这个古尔经定理用这个二重积分的方法做你这个大可不必啊，你作为我们三九六同学，你划不来对吧？好了，这个人你就推一下就行，就这两个人那，然后这个部分是多少呢？你这个部分的长度其实是二减x，你说老师不是啊，你这中间还错了一个ds ds，

基本上是没有长度。然后这个厚度是多少？这是ds那这高度呢？那高度很明显是根号s再减s。所以现在我们继续去写一下你这个微原体的，这个体积是多少？然后我们来看看DV，那其实就是薄壁的二派。r这是周长周长乘上厚度，这是底面积底面积在了乘上高根号s-s。所以说这个v最后就是多少零到一二派二减s，然后这是根号s减s，然后这是ds。所以说这个最后结果，你看看有没有答案，

零到一二派的二减s根号s减它，那正确答案选几选a那这种肯定不对呀。这也不对。好了，这是第一个事情，但是这个答案当中还有这个de选项，我们也分析一下吧，因为既然做题嘛，你就把它做完。那么，这里面还有选什么？这是选x作为积分变量，那当然我也可以选什么？我也可以选y作为积分变量。所以现在我们来看看，

如果选y时候怎么办？你选y的时候就要这样来。就是你在这个歪处。取一个dy端，你其实就取了这样的一个条。对吧，取了这样的一条，那取了这样的一个条，然后你绕着这个二旋转一种。旋转一周会旋转出来，什么情况呢？它就会旋转出来，这样的情况。好，我们来看看。

这时候你要小心，这可不是薄壁了。是薄壁吗？不是的。这个时候不是薄壁，因为这个厚度它它是有的，你看这是二那这个时候这个长度是多少呢？这个长度应该是这个点所对应的x这条线是y等于根号xx应该等于y方。所以这个长度是二减y方。然后接下来我们再看你这个长度是多少呢？就这个长度。这个长度的话，其实是从这个点这个点继续下来。那这个部分是y那是二减y。然后这个高度的话，

这是DV，所以就是底面积，因此我们来看看这个DV底面积是多少来大的是派。r方那其实就是二减y方的这个人平方。这底面积，然后再减去小的是派，然后是二减y的这个平方，这大圆减小圆，然后再乘上什么这个高度？所以说最后的话，这个人是多少？你这个点也是一，因此是零到一把这派提出来，然后是二减y方的平方。你再减去二减y的平方，

然后这个dy出来。跟的上吗？所以说这个结果你就会发现诶，这个选项它对不对？那这是二减y方的平方。然后二减y的平方，这外面多了一个平方吧，如果不多这个平方，它也是对的，所以它不对。能想清楚吗？好了，这个题啊，听明白的给我回复一就是两个模型，一个事情是什么？

一个是薄壁的空心筒模型。然后还有一个是一个圆饼模型，把这两种模型掌握清楚就行，所以难度系数也不大，就是那两个东西学一年。两个东西学一年这啊，这样转是怎么转出什么情况？那样转是转出什么情况？然后去求一下，如果是薄壁，就是这个周长乘厚度进行求面积就行，你掌握住这个问题啊，非常的简单。然后再来看17题。17题这个题啊，

我们考了什么分段函数？在分段点处，我们肯定用偏导数的定义啊。所以现在而言的话就是x趋向零，我们走这时fx 0你再减去个f零零。比上一个s- 0好，我们来求一下这个人当s趋向零的时候，这是sf零零是几呢？f零零是零。然后这个人s是趋向零，然后y是零还是不同时为零，不同时为零把y=0带到这里面。y=0代到这里面当中的话，就是根号s绝对值，然后这是s方，

然后这是部分是sin x方。你等价了之后啊，等价无穷小x方，这俩东西就约掉了。所以说最后而言就留下了这个人当s趋向零的话s分之这个人同学们告诉我，这是不是无穷大，你下面是一阶，上面是二分之一阶嘛，第一阶比高阶是无穷大。所以这个人不存在。然后我们再来看第二事情，你再来看y的偏导数y的偏导数的话，其实是limit y趋向零，然后这个部分是f0y。然后再减去f零零比上这个y- 0那所以说这个结果的话就是y趋向零，

你继续看。那这个时候你得把这个x=0呢，你带上面去。啊，没问题吧？好了，这个人在这里面。一旦在这里面当中啊，你就把x=0带进去，你x=0带进去的话，这就是零啊，你这也是零，这实实在在的零，你趋向零，这就是零。

所以说你这个人是不存在的，你这人就不对，然后另外一个人等于零答案选b好这个题啊，立即出来了17题。跟得上吗？来再来看看18题。那18题这个题啊，跟19题啊，其实这个人多考了一点点。一个函数由方程确定。那这个题是个什么？你是个方程的话，就是二元一函数。二元隐函数去求，一阶偏导数用什么方法最简单？

那当然是公式法，所以说这里面当中我们去设一个三元函数。那其实就是y倍的fx方减z方，然后再减去x你再减去z。好，这个人那么所以说这个时候偏z偏s，这个人就出来了。它就等于多少，它就等于负的这个f对s1撇比上f对什么z1撇来求一下。f对z进行求导呢，就是y常数先对中间变量进行求导，然后中间变量再求导呢。中间变量这个人再求导的话是负2z，那负2z的话，我们就要求一下负二倍的这个z。

好，最后这个部分是负一那，所以说你还不如把这个负号写到这儿。然后写成一个加一。然后上面是对s求，那对s进行求的话，这个前面是个常数，你先对中间变量进行去求导。然后中间变量求导是多少是2s，然后再来减个一。对吧，你这要没算出来，你这个偏导数运算能力不是特别的好啊，你这你得重点加强了。你这种题在考试当中，

你们做出来，你会被大量的同学拉分，我没开玩笑吧。这稍微复习一点的同学肯定都能做出来啊，然后我们继续吧，我们再来看偏z偏y啊。负的fy 1撇，比上这个fz 1撇，你继续，然后这个部分呢，把这个负号还是写下来，这是fx方。然后再减去z方，然后这个部分呢，你再加个一。

好，这个点，然后接下来我们再来看看这个YY这个人呢？你其实就最后留下了谁留下了个fx方减去个z方。好，这个结果那写成这样了之后啊，然后我们把它进行整理一下。把这个整理一下了之后，他是要什么呢？他是第一个人，你看下面都是2 yzf 1撇s方减去z方。然后加上一你上面这些东西要乘上z，所以说这个东西啊是2s多少2 syz？f1撇x方减去z方，然后减去z，

然后下面这东西呢？你要加上y倍的它。y倍的它是多少呢？y倍的这个f。x方减z方。好，这个结果那么要计算这个结果，你来看看这里面当中这个东西，它让我们最后的结果是什么呀？然后最后的结果是xyz这些东西你要稍微进行看看，我知道你们的错误的点在哪了。你如果是最后的这个化简有问题啊，那个那我觉得就可以原谅了，要是这个东西的运算有问题，我觉得你不可能原谅自己。

你绝对不能原谅自己好，我们最后做到这了，但是你注意啊，你要对自己的运算要非常的有自信。因为一些同学做到这一步的时候一看诶，这没有答案，慌了，你千万不能慌，我们来看看这个人。那这里面你怎么办呢？你可以稍微的进行去化简一下，你看这个部分它是一个什么，你就看看这一部分。你看到这了吗？这个部分的话，

其实是y倍的，它减去个zy倍的，它减去个z不就是x吗？所以这是x。能理解吧，哎，这个部分是x，所以说把x提出去了之后的话就是2 yzf 1撇x方减去z方。然后再怎么办？你加个一是不是跟下面这东西一样，约掉了之后留个x好了这题啊，我们就结束了。跟得上我的意思吗？啊，这个点。

行吧，那么这个问题我们就说到这。啊，没关系啊，慢慢慢来。你看清楚吧，但是我想说的事情是一定要对自己的运算量要足够的自信，你如果是这一步没画线出来，你可以原谅自己，你可以提高一下。但是如果是这一步，你不能原谅自己，如果是这一步的话，原谅不了，因为你会被很多同学给拉分的。

能能能想清楚吧啊，当然神奇为什么呢题嘛，如果它不神奇，它不那么刚刚好，它就不是个题了。好了，这个问题。当然可以，两边同时求导。你是第一次听课的同学吗？你听过基础课或者强化课，或者是冲刺救命班，还没讲到这儿。你如果对于二元隐函数求一阶偏导数，你还两边同时求偏导low上加low。

那不是low你没有切进去那个方法，你不觉得非常慢吗？公式法才最直接，先设个三元函数，直接就出来了。好了，我我不讲了啊，你自己下去补一补。好了，那么接下来我们继续，我们再来看19题。那么，接下来继续看这个人。这是一个二元一函数，继续去求这个一全微分的一解，

所以这里面当中啊，还是第一步先设一个三元函数。三元函数是多少？是syz倍的lny，然后这是e的SZ减去个二。那然后这个部分呢？这个偏z偏s这个人呢？他就出来了，等于三元函数对s比上三元函数对z。那么这个时候我们来看看对s，那就是y，然后这是z倍的e的IC，这个题简单吧，你对z求呢，这是负的lny。

然后再加上x倍的一的IC。然后之后我们继续看，这是偏z偏y，它等于多少负的f对y1撇比上f对z1撇，然后这是负的。负的lny，你再加上x倍的多少一大于c？然后对y进行求呢。对y进行求的话，这个人其实是x。减去y分之z。好了，现在我们就代值就行了，你要注意要把这个z进行求出来x=1 y=1的时候，你去求一下这个z。

你往这么一带，这是一，然后这一带，这是零。对吧，这是一加上嗯，那个零我们就不写了，是一的z=2，所以说这个z等于几z=0。然后带进去。带进去了之后，这是零。然后s这是一那，所以说这个结果是一。然后这个部分的话，

前面还有一个符号。然后这个y是几呢y是一，然后z是零，所以这个结果等于负一。然后再来看看下面这人，这是个负号，那么下面是零+1，然后s这个人是一，然后z1比的话，这人是零。所以这个结果还是负一，所以这个结果正确答案选几选d，你看这个它的答案里面当中肯定有a选项跟它对应。绝对的，你不用去想为什么，

因为这种方法最容易出错的就是很多同学忘掉了符号。你忘掉了符号，你一定会选a选项，所以公式法里面我觉得比较重要的就是你切记那个符号不能省。一定不能忘记你，忘记了你肯定会选错的，你这是要注意的，你无论做任何题啊。好了，这是这个事，我们就讲到这，我们再来看看20题。再看这个题目。那这个题啊，让我们去求这个无条件机制，

那首先第一件事情你就要继续去求注点呗，那求呗。前面是对2s，然后这个后面是二+y^2，然后接下来对y进行求对y求的话只是二倍的s方y，你再加上前导后不导。前面不倒，后面来倒，你是不是让它都等于零啊？不要进行去应届，应届也行。硬解也能解。你怎么解呢？你看这个人不为零，那很明显s等于零啊，

那s等于零，这个人没了，所以说y等于多少y，这个人是负一，这不是一分之一吗？你硬解也能解。你或者就直接把它往里面带，你看0e的时候，如果这是零可以，如果0e的话，lone是一一+1是二，这不行，你说这个人都不是驻点，也不是不可导点。这肯定不对。

能想清楚吧，灵异肯定不对，你既不是驻点，也不是不可导点，你就不是可疑点，你绝对不会取极值的。所以我只会在这上面去，然后接下来我们再要去求s的两极s，两极是二倍的二+y^2，然后这是sy的混合。sy的混合的话，其实就是四倍的sy，然后再来看看y的这个两阶y的两阶的话，其实二倍的s方，然后再加上y分之一。

你往里面进行，带你在这里面当中求出a。那a是多少二+1^2分之一，然后往这里面带b是几b是零往这带c是几c，这个人是一。所以说这个时候b方减AC这个人什么点小于0a什么点大于零极什么值极小值，所以说这个题啊，正确答案选几？选c。好了，这是20题，我们再来看看21题吧，因为21题估计是很多同学特别想听到的一个题啊，看一下这个人。x方加上y方等于零，

说的就是xy都为零都为零的时候才是零，只要这个东西不同时为零是这个函数。那么，现在我们要看看这个人的连续性，连续性怎么判定呢？我们把这个东西啊，稍微的复习一下。连续性的判定其实就是要进行去看你，在这个点处。得二重起先。到底会不会等于这个点处的函数值？这是这个判定。然后如果是可可导性呢，这东西用定义法。定义法里面当中也有先代后求的问题，

我们写一个吧，比如说这里面我们去看看这个s偏导数。能够先带后求，就先带后求，尤其是分段函数，在分段点处不能先带后求，你只能用定义。所以说是先把这个y0带进去，得到的这个一元函数，再在x0处的导函数，所以说它的这个极限，结果它就这样写。那就是fx-fx零。比上s-s零求这个极限y这个人是一样的，然后最后一个可微信可微信的判定呢，

那肯定是回到这个定义法。来做差式的定义，还记得吗？x趋向这个点y趋向这个点来写这个做差式定义，那首先是fx y。再减去fx 0y0，这是德尔塔z吧，然后再减去x这个偏导数，你要乘上多少呢？x-s零。然后再加上y的这个偏导数，你要乘上多少呢？你要乘以y-y零。好，你就要看看这个式子比上一个什么x-s零平方，

然后再加上y-y零平方，你就要看看这个人的极限，结果到底是不是零？只有是理论，它才会可为，所以这个判定性方法，你得会连续性判定，可导性判定，可维性判定。跟得上吗？来看看这个题。首先，我们先来看看连续性。连续性的话就要进行去求x趋向0y趋向零这个人的极限。对吧，

你求这个极限，那么求这个极限的话，其实就是s趋向0y趋向零。这不用什么赞啊，这普普通通掀不起内心一丝波澜的东西。这没有什么水平啊，那我们来看看这个问题来继续。x方加上y方，你做到最后就要有这种感觉什么呀，对吧？普普通通。很简单，你就要有这种感觉好了，我们来看看这个上面这个极限，这是s+y。

然后后面有个s in xy。那s in xy的话，你看你可以等价无穷小于这个人呐。所以说这个东西它就做成这样，这是limits趋向0y趋向零，只不过这个题的话比以前的话。稍微的话怎么办？稍微在这里面当中玩了一个心眼，玩了一个什么呢？你发现这是y再乘上x方，这是x再乘上y方。那这两个东西啊，怎么去做呢？非常好做的一个问题，就是在这儿。

你你可以把它分享。我给你大致的看看。所以说这个极限呢，我不跳了。那这个人的话，他就变成这样是y，这是x方，这是x方，加上y方，然后再加上xy方。x方加上y方会做了吗？会做了吧？那么，这里面当中的这个部分，它是不是有界变量？

怎么看一个人有界变量，你就给这个人加个绝对值。你加个绝对值，这个y不要了，它就小于等于x方比上x方，然后这里就是一。是不是有界的，然后这个人是不是也是有界无穷小乘有界无穷小，前面是零，后面是零，那就是零。然后这个结果它是不是等于零零处的函数值啊？那所以说这个人他肯定在这个点处连不连续啊？连续的一是对的。一般它都会对。

他不对呀，后面就不好说了。如果它不对，那函数就不可为，那四也不对。你能想清楚吗？你可未必连续吗？你都不连续，肯定不可为，你不可为的话，这个人肯定不选了。好了，这是第一个事情，我们再来看看第二个问题，继续。

哎呀，这个空间太大了，你等我想把它折短一点。当然都没有我们做题的这个区域了。好了，我们继续，我们再来看看这个偏导数，那分段函数在分段点处，那肯定得用定义啊。那所以我们先来看看这个人，他在零零处的偏导数，那就是多少s趋向零，然后这个部分是多少？这是x0减去零零比上x- 0，然后继续我们继续去求x趋向零。

那这个部分f零零是零啊？你s这是把y=0带到这里面。y=0代到这里面当中，你看这一项是零，它就是零，那所以说这个人是零啊。你这是趋向零，那这个肯定是零啊。而且x与y是不是对称呐？你具有对称性，所以这条不对，两个偏导数都是零。那两个偏导数都是零，那全微分就等于零倍的ds 0倍的dy吗？是不是啊？

不是的，我们上课讲过。只有这个函数，怎么了？可危的时候。那这个时候的全微分，它才会等于偏sds。偏ydy。注意，只有可为的时候，所以现在我们还要怎么怎么办？你进行去检验这个可为性好了，我们再看第四个点。那检验可微信的话，这个人是多少呢？

这是x趋向零，然后这是y趋向零，我们来走那就是fx y。然后再减去f零零，然后再减去x偏导数零零乘上x- 0，你加上y的偏导数。你再乘上多少y- 1比上一个根号下x方，加上y方好这个人。那么写成这样了之后，然后怎么处理呢？你看这一项是零吧，这一项是零吧，那这一项是零吧，那这一项呢？趋向于零零，

是不是要带这个人？带这个人，所以说你要把这个人带到这里面。那带到这里面当中，我们来看看。那其实就是最后留下了，这是limits趋向零，这是y趋向零。然后上面是多少？上面是x+y是吧？上面是x+y sin xy呢？s in xy等价无穷xy。那么下面是多少x方，加上y方它的二分之三次方好能看懂吗？把那个x方加上y方写下来了嘛，

就求这个极限，这个极限怎么做？这是这个题目当中啊，比较有问题的点。怎么去操作呢？我可以大致的稍微进去去看看。你品下，如果这是一一一，这是三。这也是三。这是不是同级啊？我们原来说过二重积分，二重极限有接的感觉吗？二重极限有没有接的问题？二重极限就没有截。

但是我们当我们去取一次函数的时候，它确实跟一重极限的解是一样的。那这时候我没有结没有结，但是我能用一个经验呢，我一看这是三阶是三阶，三阶比三阶一般不存在。如果是高手同学直接写这个不存在。如果这个人你看不出来，你就这样，你就取y=ks。很多说老师，你怎么会想到y=ks，因为我这是我经验呢，你这是三比三吧。那三比三的话，

这个人你其实就可以操作了s趋向零。然后这是多少呢？你这个部分是s方，然后这是k方，然后这是s方，然后这是二分之三次方，你这是s加上ks。然后这个部分是x的，这个平方。你想想你现在的话，这个上下的三次方是不是一样大？反正最后这个结果跟k有没有关系啊？跟k有关系。你这个最后的结果跟k有关系，我们就说明什么，

你说明这个人呢，他是不存在的。能理解吗？应该想清楚啊，所以你取一条线，或者你你取个最简单，你取个x你再取一个2x，你去看看。所以这个不存在，如果你是个高手的话，同比次方一般不存在，那你这个不存在，你肯定不为零，你不为零肯定不可谓呀。同学们，

想想如果你这个人不可为，你不可为，虽然两个偏导数都是零，你这个全微分，你能写成零倍的ds+0倍的dy吗？在这个零零处啊，能不能这样写？不能这样写。只有可为的数可以，你不可为不行的，那所以这个人呢？你不选。这个题啊，有没有这一年当中啊？我们做了很多题的这个引子。

其实那个极坐标那个变换呐，那个方法都有问题。你别看很多书籍上写那个方法都有问题。有些东西可以进行去变换着来。你可以去搜一下。你去搜一下这个极坐标，继续去求二重极限的这个争论啊，你去看看。好了，这是我们讲的这个21题。能想清楚吧，好这个问题啊，我们说清楚了。所以说就按照这样的一个操作性方式来啊。就常规的点呢，

就常规的这几个信息，你就是要不然用的这个什么，其实用放缩是用的比较多的。你注意求二重极限放缩是用的比较多的呃，到时候我们下次这个做模拟题的时候嗯，看看到那个十套卷的时候吧，我们多找几个这个二重极限的给同学们进行去练一下。因为很多同学这个二重极限的这个功夫不是特别好。尤其而言的话说，我取这个方向和取那个方向。取那个方向和取这个方向，那有有同学说老师我怎么知道你进行去取这个你比如说你取y=x^2。我怎么知道你能取y=x三次方，我怎么看不出来你这个没办法，我只能告诉你两个字，

那真是经验。你问一下，现在我们在座的这么多同学。你看是不是经验，那真是经验就是你做多了之后你去试啊。很多同学的话，我们在做这个时候，我也不是一下出来的，我也去试啊。你只能是试出来的，没有说哪个同学，我一眼漂出来，我就知道找什么不是这样，你得慢慢去试，这没办法啊。

好了，我们继续吧，我们再来看看下一个点呃，下次吧，下次我们把这个放缩的这种问题啊，我们可以多讲讲。但是放松的话，一般的话题目都很特殊啊，你下次考试也有这种问题。来继续吧，但是接你注意啊，也不是万能的。也不是万能，所以常规的方法就讲到那那几个事情呢，比如说我们去找不同的方向，

它不相等。找到一个方向，不存在，或者我去看到它是有界利用无穷小成有界，或者是什么利用这个加逼的问题，像这些东西它都比较特殊。所以在考试的时候，我们这个二重极限呢。它会比一重极限考的要稍微的简单一些。因为它这个，但是其实在我我反而觉得我们三九六同学这个二重极限怎么比一重极限考的要难一些呢？而数一，数二，数三的话，他们考肯定会简单很多，

因为这个一重极限的话，考的会难一些。所以我们下次把这个问题啊，我们做一个加强来继续看下面一个题。那这个题就好做了。那这个题你看第一行第一个第一行第二个第一行第三个第一行第四个第一行第一行第一行第一行就缺个它，那不零倍吗？所以这是二倍的a一一，减去a一二，然后加上三倍的a一三，你减去a一四。你再加上个零倍的多少a一五不就行，所以说这个时候我们就进行做，那这把第一行就换成它的系数二。负一三负一零，

然后这是二三四五斜对角线都是幺幺幺。你看这个人爪行行列式吧，那爪行行列式的话，我们就继续看。那这个人就去掉一条腿呗，那去掉一条腿，你看这个人就不用去了，那怎么办？我们把这个。这一行加到第一行，加到第一行去，这是零，然后这个人就变成了六。然后继续把这一行的负三倍加上去，就是三倍减一，

这是零，你减去这个三倍呢，你减去这个三倍，这是负三。然后再直接加上去，这人是零，你直接加上去，这是负一，所以就变成了一个下三角，你下三角行列式了，它就是负一。好了，这个人。所以，正确答案选几啊选一啊。

好，这个题啊，我们就讲到这，然后我们再来看看下一个题。这题啊，矩阵的一个运算，你最重要问题，你要知道什么叫可交换，可交换的意思就是a×b等于多少呢b×a？那这时候我们来看看你a×b的话，这两个相乘啊，你就直直接这样乘来第一行第一列来算一下。第一行第一列的话，其实就是x+4第一行第二列，其实是这是2 y+1。

然后第二行第一点。那其实就是4 x+6，然后第二行第二列其实就是四，加上个多少3y？好，这个结果那么，然后接下来我们就继续，我们再看你把这个换一下，你换一下这个人就要乘上这个人，这是一二四三那这第一行第一列，那这是多少？这是s加上多少加上四，然后这个第一行第二列，那这个这是2s加上几这是三吧？然后这是加上个三，

然后第二行第一列呢，那这是二+4y能跟得上啊，然后这是四加上几是3 y+4。好，这个人就这两个东西啊，你把它算一下就行。这个我不管了啊，你这个这个不会算，这这不应该不可能的，然后他们相等你发现哎，这两个确实相等。然后的话，这个3 y+4确实相等，我只要保证什么保证这两个相等就行。还要保证质量相等。

那么，这个部分的话，其实就是2 y+1=2 x+3，然后这是4 x+6。你就等于4 y+2，然后这个一整啊，其实这个部分的话就是x-y这个人呢，等于负一。然后这个音一整啊is-y这个人呢，他也是等于负一。对吧，这是这个部分，所以说这个时候x-y是负一啊x-yx-y是负一了之后的话，我们来继续来看。啊，

你要是没算出来，你怎么这节课我发现老老师这个问题，你如果没有做出来，你下面认真听呢，对吧啊？那我们继续看吧，我们要去选，那这是你的方向，是x-y=- 1，你要去挑这个人，你像这样的一个情况，有多少对儿呢？你要知道x的取值是一二三y的，取值也是一二三，你就在这里面当中可以进行去画一个这个表。

你这是一二三，你这是一二三，你就看看有哪些人是可以的，那么接下来我们看。你s是一一减一肯定不行，一减二可以。如果s是二二减一不行，二减三是可以。如果s是三呢三减一不行，三减二不行，三减三不行，所以只有两对正确答案，选几选c啊？跟得上吗？所以说这个人呢，

其实也不是排列组合，也没有算怪力，我应该把它改一下。说呃任选对于任意的sy属于这个人，然后的话，他们可交换的概率是多少？那概率是多少？概率是这个九分之二。能听懂吧，你任意取得xy嘛，任意取sy有九种，然后的话符合这个情况有两种，那概率是九分之二。好了，这个题啊，

我们就讲到这过去了，可以吗？来继续再来看看下面这个题，那么下面这个题啊，给了一个a给了一个伴随给了一个伴随的话，这个人呢，你可以继续看。他这个人考了这个人啊，我们赶紧先用一下他的公式呗，你这个人你再乘上他的一个伴随矩阵。就等于它的行列式，你再乘上个一。那所以说这个时候它就变成多少a逆的，这个伴随它就等于多少a的行列式，分之把这个a过来分之它。

所以现在最终问题是求行列式，那行列式是多少？行列式就用这个人展那一展的话，这个人就是二。然后再加上个三，所以说这是多少？这是五三五一十五，因此结果等于十五分之一，这个a正确答案选几选b？好了，这是24题，那么继续吧，我们再来看看25题。那25题这个题啊呃，稍微的小心一点点啊，

这个里面当中啊，它考的是这个也会涉及伴随的情况，我们先看。他说b的质是2a×b是一。a×b是一，你就想想a这个人肯定不可逆。没问题吧，你绝对不可逆。你如果可逆的话，我乘上你不会变质的，我还是二那不可逆的话，这个行列式就会等于零。所以我来计算一下a的行列式，那a的行列式的话就是一零负一，一零负一的话，

这是二，然后这个人。这是拉姆达，然后这是一这一二多少？一是二一，然后这人怎么做呢？你把一个人削成削成两个零出来就行了。你消成零两个零出来，你把这个人加过去，你加过去，这人是零出现两个零，你加过去，这是三你加过去，这是二。所以说最后这个结果算出来是多少，

你就用负一进行去展。一展的话，这是负的，然后这是六减二拉姆达，也就是二拉姆达减六，这个人等于零，所以拉姆达等于几啊等于三啊。那拉姆达等于三呢？至于这，这两个东西相加，它现在用用不了嘛啊好，既然等于三了之后，我们来看看这个a那a这个人的话，他就出来了，这是一零负一。

然后这是二三一一二一，然后接下来我们继续去变换，是一零负一减去二倍，减去二倍，减去二倍的话，这是几这是三。减去一倍，这是二，然后减去一倍，这是二，所以说这个时候你就把它划下，你变成一一。变成零零，所以这个这是几这是二。所以我们来看a的值是二。

那a的质是2a的伴随的质是多少？那这个人现在是二啊。那伴随是多少？那很明显，我想过这是三×3的，你ra有几种可能性ra的伴随，你是三二一零，你满我满，你是他，我是一，剩下的是零。所以我们这个人是一那这一加的话是三答案选c。好，这个问题。其实这个题啊，

你发现这个b选项和e选项不行，也不需要分类讨论，如果分类讨论的话，说我这种情况有可能是他那种情况，有可能是他有可能会选什么选二货这个人。好了，这个东西啊，我们就讲到这跟得上吗？把这个问题啊，你先梳理清楚。越沉越小可以啊。你可以这样做。你怎么进行去看呢？你就可以进行去想求AA的话的值肯定是大于等于多少AB的值吧？你这是一吗？

对吧，这个这个是比它大。这个也不好看吧啊。往回来。然后这个两行不成比例大于等于二。大于等于二啊，可以说。可以做那这个题也可以这样办，你知道a不可逆a不可逆，它的值肯定是小于三。小于三就小于等于二。然后一看两行不成比例，它又大于在哪？所以说一推这个人等于二。好，

我讲清楚了吧？啊，这个题啊，比较重要的还是第一项，你一眼瞅过去，它不可逆，你瞅不出来这个题就废了。你一眼瞅过去，它得不可逆，因为如果a可逆了，它不会变质，那a×b的质仍然等于b的质仍然是二啊。好，这个问题我们继续再来看26题。那这个题啊，

它们是线性相关与线性相关的话，马上就得到向量组的值小于它的个数。哎，不满值，那不满值的话，行列式等于零，直接出来幺幺幺二三，然后是一三t。那这个行列式销价值幺幺幺减去它，减去它，减去它，减去它，减去第一行，减去第一行，这是一。

所以说这个人就是t减几啊t- 5 t- 5=0，他就等于五，所以答案选a这题是送分题。这个东西是完全的送分题。非常温柔的一个题，我们再来看看下一个事情，公共节。那同学们想两个人的公共界怎么求？这是方程组吧，那方程组联立法就行了，公共解的意思就是说我们接下来把这个什么呢？它的公共解其实就是这个方程组。这个人还有谁呢？还有这个x1+2倍的x 2+x三。然后等于a- 1落起来。

联立起来有解这个方程组有解。其实就是它有公共解，然后这是个非全方程组吧，你有解的话就是系数矩阵的质等于它的增广矩阵嘛。那这个部分就是总共是x几啊？总共只有x3，那就是幺幺幺2a，然后这是幺4a方，然后这是一二一，然后这是零零零a- 1。所以说这里面当中啊，你这个分开。然后现在我们来进行去看看，变幻一下，那这是一一一零，

你减去上面是零，这是一，这是a- 1，这是零。然后减去上面这是零，这是三，然后一减的话，这是a方减一，这是零，然后减去上面这是零，这是一减去上面这是零，你减去上面这是a- 1。好，做成这样，你做成这样比较把这个比较简单的这个人呢，

你放上面去啊，或者你就直接用也行，你直接用的话，用这个上面这个人也行。但是没有这个人简单吧，把这个人放上去。好把这种放上去。放上去了之后，你一减这是零，你一减的话，这是一减零。你减三倍，这个人是零，你减三倍的话，这是多少减去三倍的话，

这是。三倍的一减a。好，这个结果那么现在我们就要进行讨论了。你看你这个字，到这目之所及的地方，要讨论我们就要进去去讨论这个a唯不唯一。那你想如果a=1。a=1的时候，下面这两个部分都是零，那这个时候你发现你系数矩阵的值跟增广矩阵的值都一样，都是二你小于三。这是有解的。没问题吧，等于一的数是可以的，

然后接下来我们再来看，那还有没有？那等于一是可以，现在那另外一件事，如果不等于一，如果不等于一的时候。不等于一，你这个东西就可以把它放下来，我多写一步。不等于一的时候，它其实就变成了这个样子。那既然不等于一把，这人就可以同除了变成一负一。你同除一个一减a，这是负的多少a加一？

然后这是多少？这是三。然后把这个什么a+1倍加下来。0 a+1倍的加下来。所以说这是多少呢？那这个部分的话，其实就是二减a。好，做成这样，那做成这样了之后，你来看看这个人，你只要这个人等于零，是不是也是可以的？你如果等于零了之后的话，这系数矩阵的值还是等于增框矩阵值，

所以说这个时候a等于几a=2也行。因此，这个题的正确答案选几啊二是可以的，一页行正确答案选d。好了吗？同学们，那这个题不难啊，就是你要知道公共解在求什么就行了。好，继续再来看看这个题啊，这个题就比较容易了，说基础解析当中有几个向量。基础解析里面有几个向量，就是求s。s等于多少呢？

s=3-2a。所以我们的核心重点还是求a的值。那a的质的话，这是一三二四二一，然后这是零一。这是a负a，然后这是一二零，这是三。然后接下来我们把它进行去变换一下，一三二一。那这个时候其实就是零一a负a，你减去上面减去上面减去上面，然后减去上面，这是二。然后加下来，

这是零你加下来，这是a你加下来，这是减去它，所以说这时候就讨论，如果a=2。a=2的时候，这个人其实质是几你质是二啊质是四。质是二的话，其实就是四减二，那这人其实就是二，如果a不等于二。不等于二的时候，这个质是几a？不等于二，这个质是三呃四减三，

那就是一。所以说这个时候马上来看，就是如果等于二的时候有几个呢？有两个。如果不等于20，有几个有一个这个不对，正确答案选b。这个步骤啊，这个不是特别难啊，这个题来我们再来看看最后一个概率的部分题。那这个概率当中啊，他说恰好有一个发生。恰好有一个发生，就是你发生，且我不发生。

或者是什么呢？或者是你不发声，我发声，就这两种情况。所以核心重点就是算这个人，那你就要算这个概率啊，你要进行去算什么，你算AB拔的概率其实就是a-b。a-b的话就是a的概率减去AB的概率。你要算b，这个什么BA拔的话就是b-a就是be的概率减去AB的概率。所以现在我们比较重点的是，你看这个人，他其实出来了a的概率是三分之一AB的概率是这个人，那是六分之一。

然后这是三分之一，这是六分之一，这也是六分之一，所以说这两个一加是几三分之一选c。呃，这个题你只要读懂这个事儿就行了，我还没有包装呢，其实你可以把这个东西给包装一下也是可以的。好，我们继续再来看看下面一个题。下面这东西啊，你见到什么公式想什么公式就行，那原是这个人呐，你条件概率你条件概率就话就想条件概率公式。条件，

概率，公式的话，其实就是a并上这个b拔，然后分支多少呢？分支这两个东西相交就是b再交上多少？a并b吧。好这个人，所以接下来我们就继续看，你再往下走，那这个上面这个人呢？你其实就是a和b进行相交。你在b上有什么b和b拔相交，然后这是多少a加上这个b拔？然后做成这样了之后，你想你俩相交肯定是空集啊。

空集跟它相并呢，那肯定是自己啊，所以说上面这个东西啊，其实就是pab。然后下面这人呢，就是a的概率，再加上多少AB的概率拔的概率，然后再减去多少两个相交，两个相交是AB拔。好了，这个人就做成这样，那做成这样了之后，我们继续看，你就求一下呗。你求一下这个概率的话，

上面是多少？那你要进去去算AB呀。你算AB的话也比较容易。那这个人他告诉了什么AB拔，他就等于PA再减去pab。然后它等于零点五。零点五了之后的话，这是多少？这是零点三，那这是零点七，那这是零点二，所以说上面这个东西是零点二。a的概率是多少？a的概率是零点七。AB拔是多少AB拔？

这两东西。哦，这个我写了，有问题了a的概率加上b拔的概率再减去它，然后b的概率这是零点六。的好了，这是零点七，这是零点六AB拔的概率是零点五。所以说现在而言的话，下面一算是多少，下面是零点八四分之一啊，所以答案选c。啊，不难的啊，这种题这种题的话就是见什么公式啊，

写什么公式就行啊，这种题还是比较容易的。来继续吧，我们再来看下面一个题。你下面这个题啊，这个题是个送分题。我们看看一看到这个人是服从正态分布。那正态分布马上就能看出来，它的概率密度函数曲线是关于谁对称呢？它概率密度函数曲线是关于一对称。一对称一对称的话，然后是个分布函数，有一加s，有一减s，一加s和一减s，

比如说。一+s就在这儿。一减s在这这个距离是一样。那么，现在这两人什么情况呢？你要知道f这个人是这个范围。对吧f1-x这个人呢？就是这个范围，这个范围其实就是这个范围。我把这个人圈成一就是一这个范围。然后f 1+s呢，就是小于等于这个点的概率，小于等于这个点的概率啊，其实就是什么就是。这个部分的范围。

对吧，就是这里面当中呃，你把它记成。二三。啊，这个是二和三，就这么多，那所以我们眼睛可以看得非常的准，那最后这两个人什么情况？那这个人和这个人相加是一嘛，你相加是一答案就选d。跟的上吗？你小于这个点的概率是这一坨。你小薇这个人的概率是这个也是这边好，这个东西我就讲到这了，

31题再来看看32题。那这个题啊，你看要比较说s服从这个人y服从这个人z服从这个人，你很明显，你看三个人呢，不是一个统一的分布。你就要均一化x- 1比上sigma服从n零一，你看这个人的分布，还有这个什么y进行减负一，那就是加一比上sigma。它也是服从n零一，然后最后是zz- 2，比上sigma还是服从n零一，这三个人就均一化了。那均一化了之后，

你再来看看p。p这个人呢，他就等于x- 1 BC干嘛？s- 1比sigma的话，你把这个一减过去，它就小于等于多少？sigma分支。呃。这个部分。把这个一一减减个一的话是负二好，这是这个情况。然后接下来我们再来看看下面一个问题，你再来看P2P2这个人呢，你得把这个YY这个人也要减这个什么加上个一。比上sigma，

你加上这个一比sigma的话，就大于等于多少sigma分之二？然后再来看看p3p3，这个人是多少呢？是z- 2比上这个sigma，它是小于等于多少？z- 2的话，其实负二，然后这是sigma。那么，现在这三个人都是标准正态分布，标准正态分布的概率密度函数曲线呢？是什么情况？是这样子。标准正态分布。

概率密度函数曲线是这样，就是你这个人和你这个人和你这个人，你三个人的概率密度函数曲线都是这样。那么，现在我们要看你这个部分是假设，这是sigma分之二，那这是负的sigma分之二。好，我们先看你小于这个人，他其实是一处的部分的概率。然后你小于等于这个人一处部分概率，你大于这个人其实是二处部分的概率，而这三个部分是一样的吧，所以答案选a。好p1P2P3是一样的好，

这题就讲到这，然后再来看看这个二维离散型。你注意啊。这是s是离散y是离散，你不要每个位置，有的人说那这是几个人的事情，这是两个人的事情。两个人事情就需要联合，然后这是零，这是一，这是负一，这是零，这是一，然后这个时候我们进行去对应你，这是三分之一，

你这是三分之一，你这是三分之一。你这是三分之一，你这是三分之二，有些同学就对应相乘了，那就废反了。人家没有说独立。这是要小心的，然后这个人一看，这是几个人的事情，两个人。x能跟y相等，你这个位置相等，你是一的话，这平方相等，

你是一的话，这平方相等。这三个位置都是符合s方等于y方，而这三个位置的位啊位置啊，概率相加已经是一。那说明外面的世界都是零。外面的世界都是零，这是三分之一，外面的世界是零，这是三分之一，竖着一加，这是三分之一，然后再来调。x+y能等于1 x+y，你是零零+1是一，

你是一一+0是一，只有这两个位置，所以这两个位置一加是几零选一。好了没？33题你再来看看，34题。这个题啊，纯套公式。啊，没有任何的难度，纯套公式，你告诉我s服从这个分布x的概率密度函数就是等于拉姆达倍的e的负拉姆达x。对吧，负lambdas s是大于零，然后s小于等于零的时候，

这是零，然后让我们进去去求这个ey y是s函数嘛？所以很明显就是负无穷到正无穷，用这个函数的话就是2 s+1的负2s，你再乘上这个概率密度函数的积分。而有效段只有这一段，所以说只要做零到正无穷就行，零到正无穷的话就是2 s+100000000的负2s，然后再乘上多少？二倍的一的负2 sds。好，我们再来看这个题啊，你做的时候要速战速决啊，你先看第一个人。是四倍的se的负2 sds，

然后这是零到正无穷，然后这是二倍的两个同底数幂相乘指数相加，就是变成这个人。你先看第一个结果等于多少？这是伽马函数吧，你要去凑一下，你这是零到正无穷，我这个东西要一个2s，我一的负的2s。我再把二一补，这是2s，你是不是这个东西啊？好了，这这个人你这个人也可以啊，你看这是e的负4s。

你也可以在这补一个四x，然后这是四x的零次方，你就不写了，前面来个二分之一。所以说这个时候我们先看看这个第一个人。第一个结果等级。二的阶乘。你如果换个圆，你把这当成t，你如果看的不直观的话，就是换成TT的e的负tdt。然后这是二分之一零到正无穷，这是多少一的负ttt，这是最快的哦。好，

所以说这是几次方，这是一次方一的阶乘，这是一然后这个结果呢？你这个结果是t的零次方零的阶乘是一，所以这是二分之一二分之三。好了，这是这个事儿啊，你小心一点，你不要不要把这个东西做错了。可以了吗？好了，这是这个信息点，当然其实你做这个东西啊，你可以做的，你也不需要这样，

你就直接把它分开，这是es，你再加上e的这个e的负2s就行，你只用算这个人就行。因为这是一个指数分布，你指数分布的话，期望就等于二分之一。然后你直接做这个人就行了，那这更简单，能想清楚吧啊一样的。好，这个点呢，我们就讲到这。量思路点都是可以。过去的可以吗？

有人说啊，在这表格积分法low。你发现一个事，你虽然那个东西的方法只在基础班，纯属装了个逼。然后到了后续过程当中，你有多少次你使用过这个东西？你看你前面的一些积分的话，你还不是直接算了吗？所以我觉得在这里面当中，这个操作性呢，你要想清楚这个问题，这个东西凑伽马函数的推论啊。哦，不好意思啊，

那我就说错了。送你个必胜套装吧啊。好，抱歉了。凑那个伽马函数，你说的是那个期望那张表是吧啊？抱歉，我说错了。你去私信一下考研，一笑而过好吧。下课之前啊，然后我们再来看看这个最后一个题，35题。最后一个点，那最后这个人呢？

呃，你要注意这个东西啊，它是个离散型的，因为它这个分布啊，它给的每一段都是常数。所以我们现在看看呃，分段点，它这个分段点是负一分段点是零分段点是一。分段点处啊，求概率，然后我们先来看看负一处那负一处就是它该点值减去左极限零点二五。一处就是该点值减去左极限一减呢零点五。一处是该点值减去左极限，那就是零点二五。好了吧，

这其实就是四分之一，这是二分之一，这是四分之一。好，这个人那么现在让我们继续去求解这个方差，那求解方差的话，你就要进行算你这个东西没有没有办法直接硬着杠。你就先算一个什么，你先算一下这个期望。你算期望的话，你先看这个人，你这个人算带进去是多少？这是二负的二分之一，你再乘上多少四分之一？你第二人是零，

然后第三个部分是多少是二分之一，再乘上四分之一，所以这个结果是零，然后再算一下平方的期望。那就要要算一下这个部分，来个平方平方起不？那平方期望你再减去期望平方平方，希望呢，你把这个负一带进去，负二分之一，负二分之一，带进去是四分之一。你乘上概率零代进去零，我们不管了，那这个是一代进去是二分之一是四分之一四分之一乘四分之一。

所以说这个东西啊，就做成这样，因此这个结果就是八分之一。啊，这个人做成这样，那么所以我们来看看这个d这个人，这是一+x^2这个人，那就是平方的，期望你减去期望的平方。这个结果是八分之一，所以正确答案选几啊选d啊？其实这个题啊。没有那么难啊，但是这个题啊，比较贼就是你要想清楚这个里面当中的这个问题啊，

它这个部分。你一定进行去计算的时候，你要稍微注意它是个你要是如果按照有些人把这个人求个导求概率密度函数，他没有概率密度函数。就没有你把这个东西如果求到你看不出来，这个是离散性，你看半天肯定没做出来。行吧呀，俩半点了。行，我们就讲到这吧。所以说这个今天呢，我们把这个卷子啊，就讲到这儿啊，其实你在做的时候啊，

我觉得应该是控制在这个一个半小时内啊，应该是问题不大啊。所以很多点的话，我在这里面当中拓展了很多，你要是自己做的话，这个速度会很快。你下去把这个相对问题啊，你再看一看吧，好不好？好，那么这个点呢，我们就说到这。行，那么今天课程呢？我们就讲到这儿，

这是第一次模考，然后这个这个周的周日有第二次模考。有第二次模考的话，你自己提前做好准备，就是这个周的这个周日。这个周的这个周日啊，我们会有第二次模考，然后讲评的时间还是呃，下个周的这个周一的这个时候。然后最近呢，我们是有四次，等这四次模考完了之后冲刺救命班的，这个第一个阶段的课程也结束了，那么接下来我们就是呃，剩下的这个部分呢？

一个事情是我们的这个二一二二三年这三套卷子，然后紧接着其实就是我们啊，这个后面的这个冲刺满分的十套卷。那个部分呃，可能会显得更重要一点。那么，所以这里面呢？我想强调一个事情，你一定注意抓住，重点就是那些重点的东西必须要有快速的反应。我相信讲完了之后啊，你会你会发现这个题你会做了，但是呃，这个东西你在考场当中，你要快速反应，

这又是个能力。你见到这个东西，你就会想得到，你见到这个东西，你就要想到好，今天啊，我们就讲到这儿好不？同学们，你下去好好整理整理，今天晚上我们还有这个。冲刺班的这个课程，所以晚上我们再继续吧，好那么今天课程呢，我们就讲到这儿好，同学们晚上见啊。

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