22.【加餐】冲刺串讲21-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:10:18

好，接下来我们继续吧，我们来看看这个。啊，最后那套卷子已经磨完了，然后你的APP里面估计都有那套模拟卷的那个那个答案了啊，那个是我们呃。大纲上附录的那套样卷呢？好了，那么接下来我们就继续吧，我们来看看这个啊，下一个问题最最后一个点，把这个线性代数我们就收尾了。呃，其实这里面当中，

我想给你稍微的进行去说一下这几个问题，那么在这个方程组当中啊。其次，线性方程组的求解和判定。非其次线性方程组的求解和判定。矩阵方程的求解和泛定判定非常的关键。然后到了后面的部分当中，我们去讲的线性表出的问题也是个重点。如果在这里面当中，有些同学可能会觉得说什么这个向量组等价比较难。向量组等价，你只需要知道三质相等就行，我们这几个人如果是等价的，你的质等于我的质等于我们一起的质。然后在这个方程组的这个统解的这块考的可能会稍微的难一点，

我们基本上其实考的这个难度系数的系数呃，这个情情况很低。如果这两个东西是同解，你要知道哎，我们的行最简的有效部分一样，你就可以把这个人变换到行最简，把这个人变成行最简，你看看有效部分一样不一样。也可以进行去判断它的行向量组是否等价，就是你的质等不等于我的质等不等于我们一起的质，你稍微进去去梳理一下，你可能就会觉得知识点就会稍微的少很多。所以你自己心里面当中一定要有一杆秤，把这个方向把握住，不然的话，

这个东西太多了。我上课讲，我得让你保证的每一个点都要理解透彻，梳理出来就这几个问题好了，那么接下来我们再看最后一个知识点。这个知识点呢，也非常关键。那么，其实就是我们在这个。呃重难点当中的最后一个。对吧，线性代数当中的最后一个了。最后一个问题了。你可真会给我总结啊。好了，

这是这个，然后我们来看看。向量组的等价啊，这个解呃，这个什么向量组的值，还有这里面当中向量组的极大无关组的求解啊。那么，首先我们先来看看这个第一个问题，向量组的质的求解。对吧，我们先看第一个。向量组的值。那相当组的质怎么进行求解呢？向量组的质啊，它求解是这样，

我们有一个非常好的定理，重要的定理就是这个矩阵的值啊。会等于对应的行向量组的值。就什么意思呢？就是说你这个矩阵的值啊。跟你这个什么，你这个行向量哎形成的这个向量组的值是一样的。然后这个矩阵的值啊。等于这个对应的这个列向量组的值。能想清楚吗？哎，就这样的一个问题。那么，接下来我们再来看看第二个点。你想想向量组的质怎么定义的？

你现在估计都忘了怎么定义的了。就是它极大无关组当中的向量个数。你这个向量组的极大无关组当中有几个向量，你的质就是多少，所以求解它呀，是非常恶心的。你求解这个列向量组这多恶心，你喜欢求矩阵的值还是向量组的值？我当然是喜欢求解矩阵的值啊。所以你看矩阵的值就等于这个列向量组的值。那我求这个列向量组的值不就可以把这个向量组按列形成矩阵去求，这个矩阵的值吗？是不这个问题。所以你就会发现这个内容出来了。哎，

你喜欢求行相当组的值还是矩阵的值？我当然是求行相当组的值啊。我就把这个人按照行形成矩阵，其实没有关系。没有关系。因为你发现我们将来过程当中从来都这么办。因为你要知道一个矩阵转置，你看你是行向量转一下，不就是列向量吗？同学们，能理解吗？你现在写行转质一下是裂项的，而同学们都知道转质的质跟这个人的质一样不一样。一样还是不一样，一样的一模一样的，

所以我们在这里面当中就建立一个非常清晰的体系。就你怎么做呢？你别管这个人怎么办？无论是横向上做还是列向上做，你别管。你管它干嘛？无论是行向量组还是列向量组，你永远都按列形成矩阵。听懂了，你要继续去求解这个向量组的值，永远按列形成矩阵，而且我们根据初等变换不变质。那同学们告诉我，求质的时候。你是不是可以既可以行变换，

也可以列变换呢？能想清楚吗？好了，听明白了给我回复一。这个很简单，就是你去求这个向量组的值，你就按照列它是行的呢，你也写成列，为什么转置之后这个字不变？同学们，想清楚吧，那就说我求这个向量组织，你是列我按照列，你是行，我也按照列，

因为转置之后质不变。然后求质的时候行变换和列变换都可以。但是啊，往往建议行变换。为什么不太建议这个列变换呢？因为有的时候啊，求解这个什么呃向量组的质和极大无关组啊，会一起来考。那么，接下来我们就来看看下一个问题，我们来谈谈极大无关组的求解。求极大无关组那么首先第一个事情，我们来看看第一。那么，其他无关组。

中的向量个数是不是向量组的质啊？能理解吗？你看我们原来学习的时候是这样学的。你要知道什么叫极大无关组，他们线性无关，表示所有好了，这个事我们不谈了，我们是冲刺班同学，我们反着谈。以前学的时候是这样学的。先学怎么去，求极大无关组。求出了极大无关组，比如说我的极大无关组是。这个人告诉我，

这个向量组的质是几？质是三。因为极大无关组当中有多少个人？它的质就是多少？我们原来是这样做的，我们是先把极大无关组求出来。我求出这个极大无关组，我就知道我数个数，它就质数多少，但是你发现我们在真正的进行去应用的时候，你得反着来。反着来，我们根据一个事情，这两个东西谁好求这个好求。你向量组的质好球。

而向量组的质，它就会等于极大无关组中的向量个数。能听懂吧哎，我向量组的质是多少？极大无关组当中就有几个向量？那按照这样的一个方式的话，我们就可以这样办了，所以以后我们进行去做的时候，我们可以这样来，我的方向是什么？我先去求向量组的值。然后我去找质这么多个线性无关的向量，是不是就是极大无关组？比如说我的知识三，我就找三个线性无关的，

你这有一堆向量吗？我支持四，我就找四个线性，无关向量。同学们，听懂我的意思吗？好了，理解的话给我回复一。对吧，你质是多少我就知道，极大无关组当中有几个人？我智商二我极大无关组当中有两个线性，无关的我就进去去找两个线性，无关的那就能作为极大无关组啊。这方向性能梳理清楚吧，

你看非常清楚，所以将来我们怎么做呢？我们这样做模式化都是套路。你看第一步。无论这个人是行向量组。对吧，别管你这个人是行向量组还是列向量组，我都统一按照列形成矩阵。对吧，我都统一的按照列进行形成矩阵。然后按照列按照列按照列统一的按照列形成矩阵。就说无论你是行向量组也好，还是列向量组也罢，我都按照列形成矩阵。然后我们要进行初动什么变换，

只能行变换，为什么不能列变换呢？你比如说你把这两个交换了，你画这个阶梯口，这个人还是他吗？你就换过去了，这个阶梯口已经不是你了，你只能行变换，所以我们现在把它进行行变换，化成什么化成行阶梯矩阵，比如说我们来写一个。呃，一零一二三对吧？零一二一四，然后这是零零零。

一五啊，这个是。呃，三五吧呃，三零吧，零零零。好了，那么接下来我们来把它画成行阶梯，我们怎么去找集大无关组啊？我们通常会画出这个行阶梯啊，矩阵。那么，首先我们再在这里面当中啊，来判断一下你这块当中啊，会有三个等级的水平。

那首先我们先来看看这个第一个阶段嗯，比如说。初级选手。中级选手，高级选手。初级选手会怎么找呢？我就直接找你告诉我个事儿，这个向量组的质是几？这是三。这个知识三。那既然这个东西的质是三，我怎么办呢？我质是三，我找三个线性无关的呗，我就找谁呢？

我就找阶梯口。我找到这个阶梯口了之后的话，你发现阶梯口的特点就是下面都是零。这个行列式肯定不为零。这个行列式不为零，对应的三列肯定线性无呃是是一个什么线性无关的，所以一二四我们就可以了。对吧，这是初级选手肯定都知道谁都会，就是百成列行变换阶梯口就是极大无关组，这是最简单的。能不能深化一点呢？我们再来看高手。再来一个中级选手的话，他知道我可以不这样学我怎么办呢？

你看你这个台阶，你下面都是零。那我可以怎么办呢？我可以这样办。我可以娶这个人。因为我取这个台阶的话，它下面都是零。然后再取这个人。你看这个行列式也不稳定。如果这个行列式不为零，对应的列就线性无关。是不是啊？对应的列就线性无关，我就选多少，我就选一三四。

但是同学们想想一个事情，一三五行不行？那就有点胡扯了，比如说那我选这个人，你选这个人，你看看那这个部分是零，你这个行列式等于零了。你线性相关的，这不是不行哎，注意啊。所以我们是这样办的。就是每一个台阶上选一个非零元。就在每一个台阶上，我都去取一个飞行员。哎，

每一个台阶上都取非零元，你这个台阶上我可以取它，我这个台阶我有两个选择，既可以取一也可以取二。这个台阶上可以取三零不行。能理解吧，那么接下来其实你发现我们还有更高水平的。巅峰水平是什么呢？是这种。你的质是三。你不就是想找三个线性无关的吗？你找到三个线性无关的，它就能作为极大无关组。你想是不是？我支持三呢。

我吉大无关组当中有三个人呢。我找三个线性无关的。那这时候怎么办呢？我随便来。根据我们上节课学的，我只要在这块取一个三×3的行列式，比如说我就取这个人，他就说你怎么这一个台阶取两，你管我呢？我们试一下零一二一二一零零三，我发现了一下这个行列式不为零。哎，你这个行列式不为零，你对应的列，你发现这二三四它不也是线性无关吗？

我这是三，我找了三个线性无关的，就是极大无关错，我就指它这是巅峰水平啊。所以说找这个七大无关组这个操作啊，你发现。我可以在这里面当中的第一件事情就是阶梯口，这是最低低阶的一个水平了，我相信大部分同学都会再高级一点就是。非邻航上，取非邻源。每一个台阶上去取非零元最巅峰的水平就是什么？我看到这是三，我找三个线性无关的，我就来去取一个三×3的行列式，

不为零对应的列，不就线性无关吗？他也就是可以的。好了，像这个问题啊，我讲解清楚了吧？好了，线性代数啊，我们就讲解到这儿。那这就是我们在这个线性代数当中，我们需要进行去掌握的问题。这些基本点呢，把它梳理清楚。好了，这是这个问题，

那么接下来我们快速进行就过几个问题啊，因为这个高等数学还剩下两个点啊。那么，接下来我们再来补充几个内容，把这个。板块的东西啊，我们稍微进行去串一下。好了，我们先来看看这里面当中的第一个人。中值定理呃，中值定理啊，了解就行了啊，基本上不太会考。不会考这个问题。所以说这个理论当中啊，

你把这个思路啊，梳理清楚就行，考的这个基基基本上这个概率不大，所以你知道就行了，你就知道这个定理。是什么就行了，如果实在是没有时间呢，你这个部分呢东西你就过去了啊。呃，其实我觉得不是说那高等数学比这个线性代数的知识多多了。那可能就堆到这两次课了。你看高等数学，我们学了多久？你看线性代数学了多久？线性代数最最后的话是这三次课程。

三次课程，东西都在这。如果你稍微的多花一点时间，你去把这三次课程消化到位，你看还有问题吗？不是说这个都觉得这个现代，你自己想想。你对比一下，你在高数里面花的时间。和现代的花的时间，还有在这个概率化的时间。我们来看看这个问题就是。呃，我们先看看它的知识量，知识量的话，

高等数学的话有极限一元，微分一元，积分和有多元微分这四大招。然后线性其实这个四大章的话，应该等价于五章内容。啊，应该是五章内容。你分开的话，五章内容，然后线性代数其实说是四章，其实核心重点其实三章内容，这是两章内容。说清楚，其实就是他说那不是三章还是四章，内容随机事件概率，

你这算不了一大章，归到这个什么一维随机变量那块。那后面是其实综合下来，它两张能抵上这个东西，能能理解吧，你听懂我的意思，但是你发现。如果从你的时间角度上呢？对吧，这是内容。内容的配比上是这样的，个比例你时间的比例有这个比例吗？你发现有可能的话，你发现十分。十份儿里面当中的七份儿都在这儿，

两份儿在这儿，有可能一份儿在这儿。你自己算算，你看是不是这这这今年复习大部分同学估计都是这样？你自己算一下你时间，你如果把你这一年你数学复习时间，你自己去卡一下。你看有多少给的现代多少给的概率呢？我都不说别的，你线性代数复习的时间还不如你高等数学的一个极限呢。对吧，你在那里面当中做了多少极限，所以这个问题点就是这样的一个问题，你把这个相关性的知识点梳理清楚。它最后的落脚点也不是说你想象那么大。

你自己把这个该进去去复盘的东西啊，你好好进行去复盘一下，有些同学的高等数学受挫，线性代数和概率概率部分呢，考的简单，考的简单也拿不到分。你这这这非常的着急了。所以这几次考试啊，马上就是考试了，你到时候下次的话，你你一定稍微的注意一下，其实你看你做前。六个题的状态都是非常好的，就前十个题。前十个题啊，

你的状态其实都是非常好的。这前十个题。但是我们总共有35个题。你然后的话，你才开始你的逻辑，还有开始你的写作。这个时候其实你发现你做到十五六道题的时候，基本上20道题的时候，因为你脑子里面一直在换题，一直在换题，一直在换题。非常的话，这个其实有点疲惫了。有点疲惫了，会有一点，

所以你在考试的中间的话，你要会调整自己的状态，调整自己的节奏，这个很重要。包括你平时的话你。需要对自己比如说有些人就觉得非常你，有些甚至你发现。你做了十几个题的时候，中间前面还有三四个题没有做，没有做，有些同学就非常急了。很急很急了，你就在你在考前的话，你就在你的那个草稿纸上写一下，不要着急。

哎，不要急，不要急，千万不要急。好了，这是这个问题吧，我们来继续。先写写作和逻辑会咋样？那我也不知道怎么样，你试试吧。好了，那么接下来我们继续吧，我们来看看下一个。那么，这里面当中B区间连续函数的四个性质，

我们把这个稍微过一下。什么东西叫闭区间连续呢？必须这块内容没有时间复习的，你就大致的看一下就行啊，你就大致的看看就行，你先把别的东西复习完了再看这个。什么叫必须要连续？b圈连续的话，就是我在这半边要跑到a，我在这半边要跑到b，我讲了好多遍了。两半边的话，你会发现你这半边跑到a这半边跑到b中间不断。对吧，中间补端。

所以说在这里面，他一定会有巅峰，也一定会有低谷。有巅峰也有低谷。一定会经历过巅峰，也一定会经历过低谷，然后再回来。一定会经历过巅峰，也一定会经历过低谷，然后再回来。你们稍微等我一下，可以吗？我感觉这个四点钟。四点钟那个课。有点悬啊。

我稍等一下吧呃，等我一下，我跟他们说一下，把这个课调整一下。我们后面还有几个知识点呢？等我一下。好了，那么接下来我们继续吧，我们再来看看这个下一个问题。啊，怎么了？我觉得那我要是速战速决的给你讲，我也能讲完，早都给你讲完了。那要不下课啊，

一会我们就直接下。我发现这个。来，我们继续吧。那么，接下来我们就继续，我们再来看看这个类型问题啊。这个点那么先来看看这个中值定理第一个事情B区间连续函数的四个性质。好了，那么接下来我们就继续吧，我们再来看看这个下一个问题啊B区间连续函数的四个性质。那么，首先这个第一个点呢？我们就要从这个a点。然后到这个b点。

啊，到这个b点。那么所以说在这里面当中，你从这个点你到这个点对吧？我要从这个点到这个点，你从这个点到这个点的话，你就会发现。我们一定会有巅峰，也一定会有低谷。所以说这里面当中就一定会有最大值和最小值，没问题吧？所以说这个第一个定理啊，最值定理就出来了。你有这个最大值，你有这个最小值，

你不就是介于最大值和最小值中间吗？你这个东西怎么办？你不就有界吗？所以说这两条定理的话，其实非常的简单，就是你从a点到b点，你一定会有最大值，最小值你就会介于最大值，最小值，那这个东西啊，不就有机。所以这个东西我们用的很多理解就行了呃，我想说的事情就是你任何违背了这个定理啊，一般都不对。然后接下来我们再来看你，

从a到b，你一定会有最大值。也一定会有最小值。那你告诉我，如果有一个数介于最大值和最小值。啊，如果有一个数介于最大值和最小值，中间是不是一定会有个人娶到你啊？这没问题吧？你从最大值走到最小值，中间有一个人拦你，肯定能拦得住，所以说如果B区间上连续。一定会有最大值，最小值，

如果有一个数介于最大值和最小值中间，我从最大值走到最小值。那中间的话怎么办？我一定会被拦得住，中间一定会有一个人呐，等于这个数。好了，这些问题啊，你知道定理就行了，了解就行。然后我们再来看看这个零点定理，零点定理这个东西啊，它是这样。我们来看看这个问题。那你发现这是y，

然后这是零，然后这是s，这是a，然后这是b。那么从这个是他说的是必须先上连续，那必须先连续，如果这个端点值异号呢？你从这儿走过去，中间是不是一定会跨过这个什么跨过这个s轴啊？一定会有个函数值啊，等于零。能想清楚吧，哎，一定会有一个函数值等于零，这100%的，

因为你从a点跨到b点嘛，你绝对会有的。你要注意，这东西是必须减。啊，必须减少连续的问题。好了，这是我们讲的，必须连续函数四个性质，然后我们再来看看第二个问题，我们再来谈谈积分终值定义。七分钟之内里啊，这个东西我们其实已经讲的非常多了。就说如果这个人B区间连续，那这个定积分呢？

一定中间有一个函数值，再乘上b-a。这个事知道吗？啊，这叫积分终止定理。就说你在这个B区间上是连续的。你这个定积分呢，中间一定会有一个函数值，再乘上上下限的这个长度。啊，这个问题，然后这里面当中有一个概念叫做平均值的概念。这是一个考点啊。平均值那a到b上的平均值其实就是a到b的定积分，再除以这个长度。

好了，听明白了给我回复一啊，他可以把这个积分线给去掉，就是如果你B区间连续这个定积分呢，它就会等于f可塞再乘上b-a。好了，这个平均值的这个概念，你是要知道的。啊，这是个基本问题。然后再来看看下面一个微分中止定理。那么，在微分钟制定理当中啊，我们有几个呢？核心重点的话，

其实你掌握住罗尔定理。还有在这里面当中的呃拉格朗日种植定理，还有柯西种植定理就行，记住它的条件。他说的是B区间连续。开区间可导端点值相等，则一定会中间有一个导函数值等于零。一定会有一个导函数值等于零。你要想清楚，一定是B区间连续开区间可导端点值相等。那我想问一个事情，我原来讲过这个问题。如果你把这个B区间连续改成开区间连续，还对不对？对还是不对啊？

那这个东西啊，就不一定对了。因为你发现你看你不是要相等吗？对吧，你这个不相等吗？那你这个东西，你看a和b相等，如果我这条线是这样。行不行？满不满足？开区间连续a到b没有断呢？开区间内可导，然后端点值也相等了。然后你会发现在a到b内导函数值都等于几都等于一个常数不为零的。没有V领吧？

所以说这个东西啊，它就立即出来了。跟上我的意思吧，所以想清楚这个问题了。b圈连续开圈可导端点值相等，那么则中间一定会有一个人的导函数值等于零。好了吧，那么这个事儿想清楚给我回复一啊，第一个问题。那么，这是罗尔定律，然后接下来我们再来看看第二件事情，我们再来看看拉格朗日终止定律。拉格朗日那拉格朗日中值定理，我们再来看他这个东西是这样说。

你这个人怎么办呢？你发现他是B区间连续。然后开区间可导。然后中间一定会有个人的什么，这个ifb-fa比上b-a等于这个人，这个用的很多。如果碰到什么碰到两函数值做差，你可以想到拉格朗日。如果碰到相同对应法则的两函数做差。我这个东西就会等于if撇可塞乘以b-a。啊，就会等于两个东西做个差，等于这个导函数乘以b- 1。好了，这个问题啊呃，

自己下去把它再看看，然后是柯西中值定理，我再说一遍了解就行了，这个东西不会像这个数一数二数三同学一样，我们考这个中值定理的大题的这个证明。所以我们在这个方面还是非常温柔的一个事情，然后再看柯西，柯西就是俩人都必须见脸虚。俩人都开区间可导做分母的导函数不为零。这个做差比这个做差等于导函数之比，我原来讲过这个东西不是两个拉格朗日做比。不不是两个拉格朗日作弊。不是拉响啊。这个东西不是两个拉格朗日的数比，如果第一个用拉格朗日终止点，

可能是可塞一第二拉一下，可能终止点是可塞二。你这两个东西作弊啊，它可能不是同一个终止点好了，你不用管这个事儿。把这个方向性你想清楚就行。呃，我们来看个题吧，我觉得这个稍微说一个题进行去串一下，我觉得思维方式啊，可能会更顺一点。呃，我们来看一个啊，看一个这个。大致会说明考一个什么样的，

这个类型问题。呃，我们来看看这道题吧。其实你光看概念呐，你也不太想看啊。而且这个东西也不是热门，确实是冷门考点。啊，你要是非常热门的考点呢，这个东西倒还好。好，我们来看看这个题吧，你选几啊？我给你一分钟时间的思考时间，你来看看。

好，动手吧。啊，这个题。你选几啊？嗯，不对啊。不对不对，完了。果然，这种概念题啊，考的还挺好。一考就飞啊。果然一考就飞。做的这么差吗啊？

做的这么不好啊啊。那看来这个今天讲的必要必要性还是很高的。不行不行不行。没有，我是看到就就就几个同学对。这有啥不会，不就看刚才那个定义吗？你就对着这个定义走嘛。不行，做的不好，做的不好，非常不好啊。哎，可以，你看后面同学可以可以可以，

非常好。选什么选b啊，这题。那么，这里面当中考的这个事情你想清楚吧？人家说的是B区间上有定义，同学们告诉我有定义，跟连续一样不一样。一样不一样，有定义连续一样不一样。你比如说告诉我一件事，这样东西叫不叫有定义？叫不叫？叫不叫有定义。叫啊，

它不是连续的。所以现在的话，你看看这个第一个事情。第一点，这个东西很明显，想考零点定理。a说的是零点定理，零点定理必须是B区间连续端点至一号，中间会有个人等你。那比如说举个例子吧，我们就来看看这个第一幅图。那这个第一幅图的话，你就可以这样画。你不是端点值一号吗？一号的话，

你看你让a点在哪？你a点在这b点在这。然后我这个函数是这样。告诉我满足了吗？满足了呀。a到b上都是有定义的。而且开区间内是可导的，端点值是异号的。中间没有人，等于零啊，你说错了吧？然后我们再看c选项。他说，端点值相等，那这个人的话说，

这个导函数一定等于零。那一样的呀，你跟刚才一样做，我记得这件事儿，我们刚才画过了。AB然后他说什么东西呢？他说a和b的什么a和b的函数值相等。然后有定义开区间内可导，那么在这里面，比如说我们，你就看看这个人。来首先第一事儿。闭区间上都有定义，开区间内都可导。开区间内都可导，

对吧？那这个人你发现开区间内部都是可导的呀。然后这个时候端点值还相等你中间有导函数等于零吗？你这个导函数都是不为零的，你这个比如说斜率是一导函数处处都是一呀。又不对，然后这个东西啊，你其实就可以像刚才一样。我还是因为这个拉格朗日中值定理是罗尔定理证明出来的。对吧，那么就像你看你拉格朗日中值定理也是要求B区间连续开区间可导，你没有B区间连续。比如说我们就以这幅图，我这幅图的a点和b点相减，这是零。

你告诉我有没有导函数等于零的？没有啊b-a又不为零。有没有导函数等于零的没有吧，所以如果我们去做这个题啊，你看我怎么做？我说B区间连续不等于B区间啊，这个B区间有定义不等于B区间连续，所以说这个罗尔定啊，这个什么零点定理说的不对。罗尔定理说的不对，拉格朗日中式定理说的不对，所以说这个题正确答案选几啊选b啊？其实这个b选项是最好做的。只不过你怎么办？你特别容易被骗。

啊，太单纯。非常容易被骗。你想想，我要把这人改成x0的话，你顺手就做出来了，不信你看。你不信你看。我把这改成s0，你顺手就做出来了。改成了x0的话，你就会发现哦x0是个数。一个数，它是存在的，就可以拆开去拆出去，

那这个东西就等于fs 0哦，是这样子的呀。原来是这样，而我们都知道开区间内可导，开区间内肯定是连续，那一定会有极限等于函数值。你看会了吗？但是他怎么办？他没有给你写s0，他写的是可赛，你咋就不会了呢？这也是一个数啊。对吧，这也是个数啊s趋向于这个可再趋向这个数嘛。那不就是s趋向这个人等于极限，

等于函数值吗？你自己下去好好品品这个题啊。所以，作为中值定理这个点呢？我觉得这个这个题目就是这样，这个题我觉得还是挺好，你做一道你心里就有杆秤了，你就知道我们将来这个问题点呢，是怎么进行处理的？那肯定的B区间肯定是错了，开区间内处处连续嘛，开区间内可导开区间内呀，你发现是连续的。开区间内可导，开区间内连续好了，

这是这个问题吧，我们就讲到这。好了吧，这是这个点啊，把它想清楚。会做了吗？你看这个题，它可以出。好了，像这个问题，我们就讲到这儿，那么接下来你注意这都冷门的考点啊。我们的热门考点刚才讲完这个事情已经结束了。热门考点讲到这儿就结束了，这后面都是冷门考点。

然后接下来我们就继续，我们再来看看下一个问题。那么再来讲一个知识点啊，把这个内容我们再来说一下。我们再来讲几个这个经济学应用。啊，补一下这个问题。把这个经济学应用，我们稍微读。那么，首先我们先来看看经济学应用。那么，首先，这个经济学应用当中啊，有几个重点的概念？

第一个概念呢，就是编辑。你就知道什么叫编辑。你们考这个吧。考不考有同学是不是也考这个你们你们不学这个吗？你们专业课考什么呀？应该要学吧，这个。啊，所以说你们专业啊。不考啊，那按理说你们你们更专业啊。好了，我们看看这个编辑。编辑，

这个东西是什么？编辑其实就是导函数。你只要知道这些经济学名词就行。啊，编辑哦，你们考应用统计啊？应用统计不是那概率论，肯定没有问题了，你做那个你看我们考的那概率论是不是非常的轻松了啊？好了，编辑。导函数，所以这里面当中最重要问题就是你要知道一块什么什么边际呃，这个什么，比如说边际需求函数。

边际成本函数边际，你就是求导。然后这里面当中有个弹性。啊弹性那比如说我举个例子弹性的话，你比如说我们导函数的话是相这个什么这个瞬时变化率？那么，接下来我们来看看这个弹性是什么？你比如这里面当中有个讲。它重120斤。这个乙啊呃。这个这个这个这个很简单，比如100斤，然后在同一个时间内啊，他们都重了20斤。那么，

同学们告诉我，谁的相对变化率更大呀？谁的相对更大？那肯定是乙啊，因为它的基数小。所以这个平均弹性怎么定义的呢？它这个弹性是这样定义的。就是你有一个增量，你要比上你的起始人。你要这个东西，你有个增量，你要比上你的起始值。这个东西就叫平均弹性，所以说最后做出来这个结果就是x0比上这个y0德尔塔y比德尔塔s。所以说它比什么东西呢？

它比这个导函数啊多了一个这个系数。然后我们再来看看顺时弹性。那顺时弹性呢，你就在这里面当中，让什么东西呢？让这个德尔塔s趋向于零就行了。让德尔塔s趋向零就是瞬时弹性。而它是同学们都知道这是什么呀。德尔塔y比德尔塔x德尔塔x趋向零，不就是导函数吗？所以我们在考研的时候，其实考的更加重要的是什么？是弹性公式。这个东西是重要的，你就记住两个。

知道编辑怎么算，你知道这个人怎么算？真怎么算？用它的自变量。除以它的因变量，然后是这个导函数。用自变量比上因变量，然后这个y对s进行求导，那就可以了。啊，自变量比上因变量，然后再来求导，不是导函导函数的话，叫编辑导函数的前面呢，你要来一个这个系数。

好了，这是这个问题，过去了可以吗？把它想清楚啊，两个概念会算边际了吗？会算弹性了吗？会算边际，会算弹性就过关了。好，我们接下来看看第二个事情需求函数。没有需求啊，一切事情都白搭。所以在这里面当中，一定有需求。那需求的话，

首先我们先来看看需求函数的这个定义。需求函数的定义是什么？是q。那q这个人跟谁的关系呢？q这个人呢？跟价格的关系。那q是什么呢？q是这个需求量。啊，这quantity对吧？需求量这个价格这个price啊，它们两者之间的关系。需求量跟价格的关系，那什么叫需求量呢？对吧，

需求量。然后这个东西是价格。那什么东西叫需求量呢？需求量可以这样理解，就是消费者的购买量。对吧，比如说你这个产品消费者到底卖了买了多少？那其实从厂家的角度上就是卖了多少？可以这样简单理解吧，你们更专业了。当然的话，这个方面你能理解，这个事情就行了。能琢磨清楚吧，所以其实就是你的购买量和你的价格之间的关系。

那么这个时候你要想想这两个人之间的一个什么情况，那其实就是我q跟谁的关系啊，我q跟这个p之间的关系。那同学们想这个东西应该是个天然的减函数。你比如说举个例子，我把这个。一瓢矿泉水。对吧，一瓶矿泉水。我卖500块钱一瓶。那你告诉我，你的购买量肯定会怎么办？肯定这个东西会降低呀。你这还用想吗？那肯定会降低啊。

所以说这个价格增加了你这个东西肯定会降低。能讲清楚吧，那你价格降低了呢，比如说这个矿泉水。哎，两毛钱一瓶。你这量肯定会上升的，所以大家注意这个东西啊，它的边际需求函数是怎么算的呢？它的边际需求函数是这样算，它的边际需求函数就是需求量对价格的导函数。这是一个天然的减函数。注意啊，这是个天然的减函数。好了，

那么接下来我们再来看看下面的事情，然后是这个什么呢？需求弹性。那需求弹性怎么算呢？需求弹性弹性是这样算，还记得吧，来自变量比上因变量，然后因变量对自变量进行求导，是不是这样算？好，这个问题，但是你发现一个事儿，我们来看看这个事情。你这个价格和需求量，这都是正的，

而这是负的呀。我们一般情况下听到这个需求弹性的时候。我们都会听到这些需求，弹性是百分之零点一。百分之零点零一。百分之零点零二哎，你发现我们一般说的都是正的呀。所以一般情况下。你注意，一般情况下说的都是正的，所以说一般说的都是给这个人加了一个绝对值，也就说前面有一个负号。要听清楚啊，所以前面呢，一般有一个绝对值，

然后最终保证的这个需求弹性是大于零。所以将来在题目当中一看诶，需求弹性是百分之零点一大于零的哦，这前面有个负号，不要给忘了。如果他说的需求弹性是小于零，那前面就没有符号了，但一般都会说大于零啊，我相信你们应该理解这个事。好，这是这个问题，所以这是我们讲的需求。你看需求什么意思呢？需求函数就是价格和需求量之间的函数。然后这个边际需求函数一定是需求量对价格的导函数。

然后这个需求弹性呢，它是p比q dp比DQ前面来一个负号。好了，这是我们需求。你看吧，需求的话就是有了什么东西呢？有这个市场当中，我们这件商品，我的一个什么啊？这个需求关系我价格。定了多少对吧？我价格升高了，它会降低多少？我这个降低了之后，它会升高多少？

有这样的一个关系，有这样的一个关系了之后，我们再来看看我们的成本。哎，讨论一下成本。那这个成本呢？非常好理解，你把这个东西放到什么东西呢？放到你实际生活当中，你去想想这个事，这这是很简单的一个模型的一个情况，然后我们再来看看这个成本，那成本一般会包括了什么？呃，这个成本一般会有固定成本。

对吧你，比如说你的房租。啊，你的房租一年的话，你租这个，你这个房租多少？比如说房租20万。和这固定成本。那还有一些东西，你卖这个商品的话，肯定很有成可变成本，那同学们告诉我可变成本是成本跟谁的关系啊？也就说我成本跟价格的关系，跟价格什么关系啊？那比如说这个矿泉水应该是。

比如说这个矿泉水，我也不知道它的成本多少。假设有五毛钱嘛。假设假假设这这这不太好。随便来吧。假如一块钱啊，假如一块钱。假如这一块钱的话，你发现你是。你是这个价格怎么办呢？这个你价格越多，成本越高吧？你胡扯，你肯定是。你卖一瓶一块钱，

卖一瓶一块钱，卖一瓶有个成本，一块钱应该是量卖的越多，价格越多。是不是这个问题啊？哎，这个q。好了，这是这个问题，能想清楚吗？哎，你看这个ceiling。那么肯定跟你的销量有关。所以说最后的成本函数一定注意，我们在乎的是销量。

成本函数是等于固定成本，再加上可变成本。然后这块当中啊，有一个非常重要的一个内容啊，就是有个边际成本函数。边际成本，这是比较重要的。边际成本函数是怎么编际成本函数一定是成本，这个人对需求量的导函数。注意啊，这个东西你千万注意，不要切错了。不要喜欢钱。不要喜欢钱，听懂吗？

不要喜欢钱，喜欢钱这块东西一堆都算错了，不要喜欢钱，喜欢这个量，人家规定好了，边际成本函数就是成本。对需求量的导函数。好，这个问题。那么，在你们的专业课里，面对非常好，你们专业课里面当中啊，把这个东西叫MC对吧？MC边际成本函数。

好了，那么接下来我们再来看看下一个问题。啊，成本弹性。那这个成本弹性是什么呢？这个说不好。因为你发现你看你这个c可以写成q的关系q可以写成p的，所以说c既可以建立什么？c既可以建立跟q的函数关系，也可以建立p的函数关系。那这个事情你就要看题了。注意这个东西要看题。题目当中说，这个成本对需求量的弹性，你就求对需求量的弹性。

它要求价格的弹性，你就去求价格的弹性，就套公式呗。啊，这个问题它不固定，但是边际成本函数是固定的。然后我们再来看看这个收益，那收益就非常容易，收益是什么？收益是r。那收益等于什么呢？等于你卖的量。再乘上单加。对吧，这个东西。

那么然后这个边际收益函数是重点，它规定死的请注意，一定是收益对q的导函数，这是规定死了的。你要是求这个人对价格的弹性，这就错完了。一定是r对q的导函数，不要喜欢钱，然后收益弹性呢，这东西啊，弹性这个东西你要进行去看题。你要看它是对p还是对q。啊，这个得看题。题目会说的非常清楚，

说收益这个人呢，我对价格的弹性还是对q的弹性？好了，这个问题啊，但是边际收益函数你要注意，它是固定死的。然后最后一个事情是利润函数。那利润是什么呢？利润这个东西啊l。l这个人等于多少呢？l这个人呢？等于啊他的收益你非常容易收益减去成本的。那么，这是净利润。啊，

把成本减掉，净利润，然后这个边际利润函数，它也是固定的，一定是l对q的导函数，不要求错了。你要进行求出l对p的导函数，这就废了。不要喜欢钱，然后这个弹性这个东西啊，要看题。有可能是l对p的弹性，有可能是l对q的弹性。好了，这是这个问题吧，

我们就讲到这。可以了吗？把这个信息点呢？把它讲清楚。好，这是我们讲的这样的一个利润函数的问题。你下去好好看啊，物理应用不会看的，不会考的。你们是考经济学，又不是考这个工学啊。包包不会不会的。这这呃这这这种这种模拟卷什么心态呢啊，碰一碰，万一碰中了啊，

我就压中了，反正碰不中，反正你做了也没事儿是吧？要是这样进行去出题的话，我觉得没有任何的意思了。那真是没有任何意思了啊。我们在这个出这个部分的时候，那如果进行出卷子，你得起到一个模拟的一个效果嘛，对吧？好了，这是这个问题，利润当然你把这个利润求出来之后，你去对利润进行求导，我就能求出这个利润的最大值。

我就能知道q或者这个p等于多少的时候，它是最大的。好，这是这个问题吧，我们就说到这，那么接下来我们来看几个题。你看这个题目就是这样。那么他说什么？他说已知函数的需求，函数是它q跟p的函数成本是它，然后在这里面当中，我们来看看这个第一个。什么时候利润最大？你先建立利润函数，我们喜欢q。

那么所以说其实就等于p再进行去乘上q。然后再减去c，你看以前的老头子。如此之温柔。呃，非常温柔，他把屁给你解出来了。他就害怕你，你把这个q带成p了啊，这是。他相当的温柔，他他他才跟你说什么，你一定要给我写成q的函数，对吧？你必须给我写成q函数，

你不要给我求反了，你看这以前。以前这些老头子。在这些事情上。太帮助人了。然后这是q方，然后再减去2q。然后这是10q，那就是加上8q。然后再减去50。那么，然后接下来我们让这个东西对q进行求导。然后是负的五分之二q，然后再加上八。找这个重点和不可导点嘛，

结果你发现把这个q求出来。那q求出来是多少呢？你约一下的话，这是四五二十。对吧，这是一个唯一的。唯一的驻点，而且实际问题一定把这个最大值取了。那就是他唯一的这个人。而且实际问题取了，那就是它，所以说这个时候产量是多少？20的时候它利润最大。所以这个题非常容易啊，我们再来看下面一个题。

他说，这个生产x。对吧？is单位产品的成本。c是x的函数。这语文跟谁学的？这都啥画的呢？话写写的。看不通，不需要不需要写，而且你都你都是选择题，不需要就这样就行了。只有这个人可疑。比如说这件事情发生了，这件事情发生了，

只有一个嫌疑人，你说谁发生的？那不就是他吗？好了，我们来看看下一个问题。那么这个题啊，它生产哎，就是。这是量。你注意，这是量产量，然后固定成本是它边际成本是它总成本，哎呀，这个这个非常容易，那就积分呗。

这个题这个题哪是一个这个经济学题，这直接数学题，这这这直接是一个什么不牵扯经济学，要知道导函数求它，那就积分呗，2 s+10。你记一下呗。你记一个分的话，之后is方加上10 s+c，那这个c不就是个加上一个不能加c+k常数，那这个常数谁呢？常数不就是固定成本吗？那这固定成本多少20倍？对吧，因为你等于零的时候等于20倍，

那就是它呀。好了，这是这个题，就是知道导函数，而且知道初值条件去求这个函数，你积个分就出来了这题。然后再看这个题。那说某一个商品的这个需求函数是它，然后我们去求这个收益。然后他说这个收益等于多少等于pq。所以说就等于p进去乘上40-2p。那因此，这是40 p- 2p方。然后因此的话，这个r对p求导因此是40-4p，

我跟你讲这就胡扯了。这样一做就作废了。这一做就做废了。一定要注意，边际收益是收益，对谁求导，对q求导。啊，一定要对q求导，所以你看这一次老头子，他就没有那么温柔了。不温柔了，对吧？哎，你发现不温柔了，

那这个东西一定要怎么办？把p解出来。这个p是多少呢？是40-q÷2。然后这个部分呢，你再乘上q，所以就等于负的二分之一q方，你加上二十q。所以说这时候r2应该对谁呀？对q求导等于负q+20。不要求反了，求反了，这东西就没分了。好了，那么接下来我们再来讲讲一下下面这个问题。

你再看最后一个人。平均成本。平均成本什么意思？啊，同学们想什么是平均成本呢？平均成本，比如说我卖了100件产品，我花了一万，我成本是一万元，就公摊到每一件产品的这个成本。所以其实就是什么呢？就是你用总成本。除以你的量，其实就是平均成本。所以说这个时候总的成本是多少呢？

总的成本就是平均成本一，加上e的负q，你再乘上q。是不是这个事情，然后边际成本就是成本对q进行求导那求呗，你这个一求的话是多少前导是它？后面不倒，加上前面这人不倒。后面来导之一。好了，把这东西一算就行。就是它啊，就这个结果，本题结束。所以这样的话，

我们的这个经济学应用的这个问题啊，我们就全部讲完。可以了吧？好，这个问题我们就说到这。所以下去的话，你发现你的这个冲刺救命般的讲义啊，上面的所有的这个问题啊，全部结束了。所有的东西啊，就讲完了。呃，讲的时间呢，也比较长一点了。时间呢，

稍微的会长很多。所以说这些问题的话，你自己下去就把这个相对应的这个点呢，你自己再好好看一看。然后这里面当中，我们再补一个内容。呃，然后的话，这个概率论呃，有一个最大值最小值那个部分的话，我们放到这个，到时候讲那个模拟卷，我们再讲吧。可以吧好吧，有一个最大值啊，

最大值的话其实就是。如果你比一个人小，俩人都比他小。好吧，然后是最小值比它大，俩人都比它大，我们上次模拟卷里面考了一道题嘛，刚好考了一下那道，你把那个题啊，你去看看。然后剩下的这些点呢，你缺的部分呢，我们模拟卷里面当中啊，都会有补充。所以说这个期待一下下周吧呃，

下周应该是周一或者周二呃，最晚的话应该是周二到我们厂，到我们厂的话，我们尽可能是当天的话就能把它发出去。所以说这个下面的话是周二吧，周二的话。因为他还得稍微的话，从我们那个仓库的话发给你们啊，所以说这个下周你们就再等个两三天的，这个时间我们这个冲刺满分十套卷呢，我们就给您寄给你了。然后差不多两天一套，总共是18套，这个八套卷子，八套卷子的话，

16天就差不多了，所以用的这个时间呢，不会说特别的长。你通过那些卷子，然后进行去查漏补缺，那就可以了。好了，那么下周啊，我们还是要进行去测的，是二零年的卷子，还有这里面当中的这个二一年的啊，这个二零年的卷子呃，这这不是二二二年的卷子和二三年的卷子。好吧，同学们哎，

恭喜大家。呃，我们冲刺救命班。啊，我们三九六。冲刺救命班的第一个阶段。所有内容啊，全部结束。那么讲到这儿，时间已经非常的长了，所以说我觉得下去的一个重点的问题啊，你最重要问题啊是你的校花。所以希望大家下去啊嗯。还是一个问题，对吧？

多复盘。复盘。不能停。一定不能停。这件事情永远都不能停，一定要多进行去复盘。反正你当天的话，你没有事，你就要进行复盘，然后至少完成一轮。再模考。再模考对吧？就说你在这里面当中复盘不能停，而且错题。要常看。

这件事情我们原来给你讲过这个事情，然后你至少完成一轮再模考，然后通过模考啊。查漏补缺，我就想说这件事情。插入不去。好同学们，那么这个问题啊，我们就讲到这儿啊，这个今天的这个时间呢，也稍微的比较长一点了，今天的话是二零二三年。11月11号啊。呃，这个日期啊，

也刚刚好，我们就把这个东西就全部说完了，所以说你自己下去把这个该做的东西啊，你再进去去完成一下。好吧，同学们，那么今天我们就说到这啊。那行吧，这个上的内容啊，挺多的了，但是不要再忘了，对吧？东西已经非常多了。啊，东西非常多了。

你自己下去，你得好好复盘。嗯，基础题目做题。可以啊，可以可以，你可以直接复盘，没有任何问题，然后班会你另外通知吧，下周下周我看看周二还是周三吧。好了，这是这个问题吧，我们就说到这，所以这个今天的部分的内容点呢，就全部结束了啊，

最后一点东西啊，收了个位。行了，不多讲了，我这个下节课还有一节课，因为我觉得调的话得放到明天，还有明天的这个啊。行吧，我们就说到这，所以自己下去把这个相关性的问题啊，好好处理处理。行，不多讲了啊，那么今天的课程呢，我们就说到这，

自己下去好好复盘，复盘完了，然后下周的话，二二年还有二三年的卷子啊。稍微的会难一点点，通过这个卷子好好复盘啊，把这个之前部分的内容你再查漏补缺好，那么今天课程我们就讲到这啊。呃，预祝同学们好好复习，对吧？呃，都能取得一个更好的成绩，包括这个模考，不要太看重这个当下的这个成绩。

它不一定是你最后成绩，如果能给你进行在复习当中啊，找到一个问题，补上一个漏洞，我相信这个题啊，你就没有白做。好同学们，行吧，那么今天课程我们就讲到这下周的模考，我们再继续好，下周见吧。嗯。

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