21.【加餐】冲刺串讲20-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:09:53

接下来我们继续吧啊，刚才我发了一个，这个发不过去呃，刚才一个同学说那个那个题对吧啊，这个娃哈哈同学。你去看一下那个里面当中啊，就那个文件夹里面单独有一个专门的，有一个刊物的那个就在那个小就就是那个四号卷内部卷。那个小文件夹里边啊，你自己去看看好了，那么接下来我们来看看这个幺五七这个题啊。那么，首先我们先来看看这个幺五七。呵呵，来看一下这个人，

他说什么是有唯一解，什么是无解，什么是无穷多解。来我们操作一下，你看这个部分呢，你怎么做呢？你其实在这里面，你可以直接走这个变换的路线。对吧，你就把这个增广矩阵拿出来。那拿出来之后。啊，我就说刊物那个东西啊，然后这是一负一，这是一，

然后这是一，这是k，这是负一。然后这是k这是一这是二，然后这是四这是k方，然后这是负四。好，这个部分那么接下来我们怎么办呢？我们就把它只能行变换，这是幺幺，这是k4。啊，其实我最好的话，你能把这个。把这个最后一行调上去是最好的，

就是这个一负一二负四调上去，然后这是负1k，这是1k方。然后这是一一k四，这是最好的。你把这个位数放下来，你加下来，这是零。这是负一。然后这是三。k方减四。然后你直接进行去减上面，这是零。你直接进行减上面这些是二，你直接进行减上面这些是减二，

你直接减上面这些是八。哎，是的吧。这是减它负二。诶，这是。呃一，这是零，这是二，这是k- 2，然后这是这是八。好，这个结果。那么，所以说做成这样，

你其实你会发现啊。这个题在讨论的时候啊，稍不得会麻烦你有没有发现？你看这个题。如果你继续去研究这个矩阵的值。你这俩人最好把二调上去，你k- 1调下来。你想是不是啊？你这样的话，你做起来稍微的麻烦，你要进行去，如果除一个二，我还要把这个k- 1干掉，一会儿这个式子就非常麻烦了。所以这个题啊，

不要这样做。如果你走变换的路线，稍微的会麻烦同学们能听得懂我的意思吗？能理解的话，给我回复一。那如果这里面当中出现这个问题点，你会怎么办？你想想我会怎么办？那就说明这个题的变换不好做，我可以走另外一条路线啊。我可以用行列式啊。对吧，你就可以用行列式啊。不是这个成比例的问题。你就没有理解这个意思。

你一定要把这个人画成行阶梯，画成行阶梯了之后进行去研究这个痣是什么什么样的情况。我不是这些去这个东西直接求出来这个问题啊，不是成比例的问题。你还是没有没有没琢磨清，再想想那这个东西怎么办？我如果是唯一解。我是不是直接就有行列式等于零？如果这个东西的行列式，它不为零啊，这个等于零不为零，行列式等于零，是不是无解无穷多解？那我所以说在这里面当中，我们就来看看，

来解了，我直接在这里面当中走下这个行列式一负一一。1k负一，然后这是k1，这是二。行列式的优越性就在这。我不光可以进行去变换，我也可以用行列式的展开定理啊，你看在这里面当中，我如果把第一列。我以这个人为基准加上去，这是k- 1，这是三减去，这是零减去，这是二减去，

这是k- 2。我直接用一下行列式怎么办？展开就行。那这个行列式的进行去展开，你就按照这个东西展开，你展开了之后的话就是六减去多少，然后这是这条线的一乘。是k方减去3k，再加上二。所以说这个结果是多少是负的k方减去3k。然后这是四，然后再减去四，依次得四，所以说这里面当中啊是k- 4 k+1。就这个情况，

一旦做成这样，马上这东西出来了，所以说第一问。这个不为零，当这个k不等于四。且这个k怎么办？不等于负一的时候，那这个人呢？一定是个唯一解。然后接下来我们再来看讨论一下。那是四和是负一的时候，那这个东西也有可能是无解或者无穷多解，所以我们先来看看四的时候。如果四的时候的话，把这个增光矩阵拿出来，

这是一负一一一四负一四一二。然后最后是四，然后这是16，这是负四。对吧，接下来我们去讨论。那讨论的时候的话，接下来我们就进行走一一四四。加下来，这是五加下来，这是五，这是20，所以说是幺幺四。减去这是零，减去这是负二，

减去这是负二，减去这是负八，也是幺幺四，那这是零。来，我们来看值。那这个人的智就非常好判了。你看系数矩阵的质就到这。增广矩阵的智能是所有野生。而且小于三，这人什么解无穷多解。因为这样做的话，里面当中就没有未知数了，你在变换的角度上就非常的简单了。你看这个问题，

然后接下来我们再来看看第三个事情。当这个k等于几啊？还有一个k是等于负一的时候。那么，再拿出这个增广针，你看第一列一负一一一k是负一。然后这是负一，然后这是负一，这是一，这是二，然后这是四，这是一，这是负四。那么，然后接下来我们去做以这个第一行为基准。

你加下来，这是零，这都是零，这是五，然后呢？减去上面减去上面这是负二减去上面这是三。然后减去上面的话，这是负八。所以说你稍微的调调就是一一负一四零负二三负八，然后这是零零五变成一。那这个时候你就会发现你这个系数矩阵的值是几啊？你系数矩阵质是二，你增广矩阵的质是几？增广矩阵质是三，所以说这个情况它就是个无解的情况。

好了，这是这个题吧，我们就讲到这。所以说就是判断这个人的假就是行列式，还有这个质两条路线，你如果那个东西不好看，那你在这里面当中就换方法呗。能想清楚吧，哎，这个问题。好了，这个题啊，我们就说到这来继续，我们再来看看幺五八这个题。还是让我们讨论讨论什么是唯一解什么是无解，

什么是无穷多解，你去讨论呗，你把这个系数矩阵。是这个人，然后这是一二a- 3，然后这是二，然后这是一。这是零。诶，这是这个I这不是啊，这s1是0s，二是负一，这是a- 3，然后这是s3，这是一。

然后最后一个s是1s是2s是负2s是a。好了，这是我们在这里面当中啊，说的这个系数矩阵这一行也不对，这行是零一。二二啊，这个情况。所以说这里面当中啊，第一行是满的是一零一二二零负1 a- 3负二啊三二一。好了，这个问题，然后接下来我们看看这个尾缀是零一b负一。你能走变换走变换，你变换不好做，你用行列式，

那么在这里面，我们来看看这个变换好不好做呢？你试一下呗，我发现这里面当中的元素也非常的基础。而且未知参数也不多，我就来变换一下一一一零，因为你要知道，如果是变换的话，这个东西直接出来了。行列式在做无解或者无穷多解的时候，还要讨论，这是它麻烦的点。你要实在变换不好做，你肯定用行列式，然后这是零一二二一，

然后这是零负1 a- 3，这是负2b。然后减去三倍，减去三倍，这是负一减三倍，这是负二减去三倍的话，这是a减三，然后减去三倍，这是负一。然后继续直接加下来，这是零直接加下来，这是a减一直接加下来，这是零直接加下来，这是b+1。直接加下来，

这两个东西都是零。直接加下来，这是它，然后这个部分是零。我们原来讲过，如果讨论目之所及的地方要讨论。你看干嘛？你走你走到这走到这第一件事情就要讨论，如果a不等于一和a=1。不唯一的时候就是这样。那这个时候你看你系数矩阵的值。等于增光矩阵的值等于列数，这是唯一解。好了，这个人，

然后接下来我们再看，如果这个人怎么办？等于零=1的时候，这块是零零的时候的话，你就要受到这个人影响。如果这个b=- 1 b=- 1的话，横过横过去，这是无穷多解。对吧，无穷多解。然后接下来我们再看，如果这个b不等于负一。你不等于负一的话，你看你是二我这块下来了。所以说这个东西怎么办？

它就没有解。能想清楚吧，好了，我们讨论就这样。所以说你写答案就行了，一个事情是a不等于负一的时候你就写唯一解，而我们现在选择题啊，你应该理解。然后是a=1，且b=- 1的时候。然后这个东西是无穷多解。然后第三个事情是a=1，且b不等于负一的时候，这个东西是无解。好了，

这是我们讲的这个第一个问题点。跟得上吗？把这个想清楚就是目之所及的地方，要讨论一定想清楚就是把。这条线前面这个点和这个整体的值做比较。好了，这是我们讲的幺五八这个题啊。第一个点好，这是这个人。好了吗？同学们。把它想清楚啊，这这个点不难，但是你别说现在这样的一个题啊，它就能有可能给我们出成一个两分的题。

啊，这个操作。好了，那么接下来我们再来看看下一个问题。抽象性啊，抽象性。抽象型的。非行似线性方程组。抽象型的非其次线性方程组怎么求解呢？啊，抽象性。我们看怎么求解。那抽象型的问题点。就是你这个东西是未知的。我不知道，

未知的。你未知的话，这个人怎么做呢？我也不知道你是谁呀？所以说它的通解，你就想想它怎么构成的？奇通加上菲奇特。其通最重要问题是找基础解析，所以说你的目标就是找到其次的基础解析。再找一个菲齐思解就行。所以应该是我们在刚才这个问题的基础上。再找一个非其自己，那就出来了。啊，就在我们前面讲的这个问题基础，

你再来一步。多来一步就出来了。就多这一步。那么，所以我们来看看这个事情，你要找基础解析，还记得怎么做吗？我要知道它的个数。线性无关，他的妻子己。所以首先第一步，你先求系数矩阵的值。系数矩阵的质出来。s就出来了。我就知道我要找什么，

我要找这么多个线性无关的，其次解。这是不基础解析啊。假设你发现我找到这个基础解析是它。然后再找一个非西斯解可在芯。所以说最后的通解就是k1阿尔法一加到ks阿尔法s，再加上可塞因。奇通菲奇特。能想清楚吧，奇通加上菲奇特，那这个东西一下出来了。所以把这个操作键把它拿捏下来。好了吗？同学们。把它想清楚，

要知道怎么完成的。好了，这是我们讲的这样的一个点，你要想清楚的话，我们要干什么？那核心重点还是找基础解析，基础解析找到了，什么都好办了。来看一个题吧。看一下这个题。那么，在这里面当中，他说了一句话。他说这个东西是其次的基础解析。那么，

接下来我们来看看。那么，接下来我们来看看这个基础解析，那个特解是特解，它本来就跟前面那个部分是线性无关的。它不会能被表示的啊，你说明的话，这个方程组的这个结构你还没有梳理清楚。把它想清楚。你琢磨一下这个问题。一个是其次部分。一个是非心思部分啊。来，我们来看看这个问题。它是个基础解析。

首先，我们先来看看基础解析三句话。第一个事情，这俩人。线性无关。第二事情你是其次解。你也是其次己。对吧，你俩都是其次解。然后第三个事情，我们还要说什么？说明这个s就等于几你的个数就是s。好了，这是我们讲的这个第一步。然后接下来我们来看看这个ax等于北大这个人的通情。

他的同学s肯定是两个k1一个人。k2一个人。再加上一个非其次节。所以这两个部分填，其次这块填非其次。好了没？然后这个题目告诉我们a伽马一是非一次四极。a伽马二是非其自己，那么这里面我们来进行去稍微进行瞅瞅，你告诉我这两个一减是谁的解啊？就这个人和这个人一减呐，你上下一减，这是零，它是其次减，这不对呀，

你加的不对。所以它两个应该怎么办？你上下一加除一根。这是倍的，所以说这个二分之这个东西啊，它才是因此这个人是谁的姐？真是非其自己。非七次解没问题，然后是前面七次解。你都知道你这个人是其次解，这是其次解两个一减是其次解。七次解，七次解。其次减，然后这两个东西上下一减也是其次减哎，

按你这样说，这都对呀。你这前面两个两个七次解啊，注意有个问题。你无法保证这两人是线性无关的。对吧，你还得保证这俩人是线性无关呢。一它跟一它二肯定线性无关，我能保证一它一和一它一减一它二线性无关。这保证不了选b啊。可以了吧，那这就是我们在当时考的一个题啊，这个题其实。出的还不错。啊，

里面当中啊，意思点都是考出来的。他考的不是特别精彩。因为你这个比较精彩的一个点的话，你还要进去去求这个s是几啊？考的不精彩。那所以说接下来我们来看看这个问题。好，我们来看看下一个点，我们在这里面呢，谈几个细节。那么，首先我们先看第一个事情。方程组当中的方程个数。是这个系数矩阵的行数。

对吧？哎，是这个人的行数。然后的话，这个未知数的个数是系数矩阵的列数好了，这两条没问题吧？听明白了，给我回复一。好听明白了，给我回复一。可以了吗？好，这个问题。然后接下来我们再来看下一个问题点。那紧接着来，

你告诉我一个其次线性方程组最多有多少个解？最多有s个解。这个s啊。其实就是解得知。所有解解空间的值。对吧，你这都是我的姐。有多少线性无关呢？就是你的质就是刚才一个同学说的那句话。然后再看非其次，最多有多少个非其次，最多有s+1个n-r+1个。好了，注意是s+1个，这是它最多的一个情况。

那么，接下来我们来看一道题，其实刚才那个题啊，跟这个真题当中啊，它是考过的，但你发现刚才那个题难度系数变小。我们来谈一谈。那这里面首先我们来看看一个矩阵。矩阵给的是四×3。重要的是四还是三，重要的是三。这是列数。然后说这是它的三个。线性无关的解。线性无关的解。

求这个抽象性的通解。抽象型的通解要找基础解析，要找特解先求质呗。那么，求知有些同学就这样说说，非其次线性方程组有x+1个解。所以说其实就是三减ra加一个解。所以说等于三。因此ra=1。因此s就等于三减一等于二。所以说这个a和这个b不对。恭喜这个同学，当年他考上了，但水平点呢啊，实在不敢恭维这个水平点非常的差。

你发现这里面当东西，它就没有血透。它只说的是三个线性，无关的解。应该是什么情况？我们能得到一个什么问题呢？我最多有这么多个线性五关节，而你是三个，我应该是大于等于一。所以说这里面当中是三减ra加个一大于等于一。所以说是ra小于等于一。能理解吗？然后接下来我们再来看看下一个问题。你告诉我a这个人会为零吗？不会a不会为零的。

a要为零呢，乘个x之后，贝大就是零，它不可能是非前方程组了。你a要是零乘个s北大不就是零了，它不会又因为a不为零？所以说这个质大于等于一。因此，在这里面当中才能得到质式一好了，这是第一个片段。所以这里面当中啊，就当年的话，我们得到这个情况，你应该是这样做的。好了，

你知道这个情况，我们就知道了s就等于多少三减ra等于二。我的目标有两个一，我要找两个。线性无关的其次节。第二个我要找。一个。非其次线性方程组的解。这是我这个题当中的两个目标。s就是其次嘛，它当中的话，那个这个线性无关解的个数。对吧，那么在这里面当中，我们要找。

找两个s，我要找两个基础解析，里面当中有俩人。所以说它最后的这个结构应该是。k1一个其次。k2一个其次。然后这两个线性无关。然后再加上一个非其次。是这种结构。那这种结构的话，我们一看你发现这个AB就不对。然后再来看看c和d。那c和d的话，你会发现我们这个题目当中告诉它是它的解说明a1，它一等于贝塔。

a1它二等于贝塔。a1塔三等于贝塔。好这个人，然后的话，你发现你这两个一减是七字节，一减是七字节，一减是七字节，一减七字节。但是这两个一减是其次减。这个不对，所以这个错了。对吧，两个相加除以二才是非其次，正确答案选c。好了，

这是我们在当年考的一个题目啊，这个题目它的一个操作性，它就摆出来了。你就发现比刚才那个题啊，考的好一点。好一点考在什么呢？还会在里面当中啊，考一下这个质的情况。刚才那个东西就考的太容易了。我只要判断一下线性，无关那个东西一下出来了。你看这两个题啊，非常相近啊，很相近的两个题。好了，

听明白了给我回复一吧。好了，没听明白了，给我回复一。这这个内容好了，这是我们讲的这个四幺九这个题。过去了，来继续。你再来看这个题。那么他说一个什么？他说，这个基础解析里面。有几个向量不就是求s吗？求s不就是求。n-ra吗？

那这个题是不是求ra啊？我们来看看这个题。先读第一句话。a心不为零。这里面当中考a的这个质，我们这里面当中突出了a芯儿，我们就把这两个东西去转一下。你是nn- 1 n- 2，一直都是一到零，你是n我是n。你是这个人，我是一，其余全是零。你这人不为零质，大于等于一。

你大于等于一的话，就说明什么？说明这个人不可能。那不可能是这个部分。然后他说非其次线性方程组有两个互不相等的解。你有互不相等的解，你就告诉我个事情，这个东西有什么解？要不无解，要不唯一解，你互不相等，那这就是无穷多解。那无穷多解的话，就是系数矩阵的值等于增广矩阵的值。小于它的列数。

哦，说明这个a这个质，它不会等于n那又不可能是这种情况。所以说最终只能是这种情况。只能是n- 1，所以说ra就等于n- 1。因此s就等于n-ra就是一。那么所以说这里面当中有几个？非零且向量呢，那这里面当中只有一个选b。好了，像这个问题啊，我们就说清楚了。不是两个，也不是三个，

这是一个。会了吧，就求到伴随这个问题啊，用它的质就是这样的一张表。然后在里面当初操作一下就行了。好，这个题啊，我们就说到这。行吧，那个其次线性方程组。和非其次线性方程组，我们就讲到这儿。就说完了。这是这块问题。行吧，

听明白了给我回复一。啊，掌握清楚给我回复一。下去要复盘的。你下次考试的时候做题的时候，你这些东西必须要在脑子里面都要记得住。一定要回顾到位。然后接下来我们继续吧。我们再来看，那么下面还有一个考点。那除了非浅方程组之外，我们还有一个重难点，那就是矩阵方程。那矩阵方程其实在考研的时候，它的重点不是在什么东西呢？

不是在这个矩阵方程的这个求解上。求解倒还好。它的判定比较重要，因为毕竟是考研当中一道两分题，两分题去考一个解一个矩阵方程，如果考也就是一个二×2的。三×3的都不会出，太麻烦了，因为以前的话，我们在考研真题当中，只要是三×3的这种。矩阵方程的问题一般都是一道大题。所以接下来我们来看看矩阵方程两个事情，一个事情是解的判定。一个是矩阵方程的求解。

一个事情，你要会做判定。一个事情你要会进行求解。就这两个问题。所以一个事情是矩阵方程，你要会判定它，你要是求解它，那么首先第一件事情，我们先跟大家聊聊。什么叫矩阵方程呢？你比如说这里面当中，我们来看看这个事。这是个a，这是个x，这是个b。

我让你去求b呃，求这个s。也就说a这个矩阵知道b这个矩阵知道我要去求s这个矩阵。求这个s。那这个东西我怎么去解呢？呃，我们以二×2的为例啊。可以吧，我们以二×2的为例。那么，我们来稍微进行观察一下，我要解的这个s。那这个时候你发现看。我可以把这个x和b给拆开。那拆开了之后，

你发现我要解的这个人的第一列是x1。第二列是s2，假设就两列，因为我们考研的话，基本二×2。然后这个b这个人呢？我把他分成两列背大一背大二。经过我们这样的一个矩阵乘法的时候，这是as 1。对吧as 2。那说明as 1就等于beta 1，as 2=beta二。能听懂吧，你这个译成as 1 as 2嘛，我明白了。

原来如此。这个非其次线性方程组的解。就是我这个解的第一列。这个非全方程组的解，其实就是我的第二点。原来它里面当中啊，就是多个非其次线性方程组。同学们，听明白了吗？如果没有明白，你再来听一遍好了，我们来一起来串一遍。矩阵方程。那么，如果这里面当中给了一个矩阵方程，

我怎么做呢？你要注意这个题目当中a已知。b已知这都是已知的，我要求的是x。哎，我要求的是这个人。我求这个人怎么求呢？我第一步把s和b把它分开。我假设就两列，我分开。那分开了之后的话，其实你发现我这一块当中就得到了第一个方程组就是as=b一。注意，其实这里面当中就是我这两个东西解一下，解个方程组的解填到这儿，

这两个解一下，填一个方程组填到这儿。能想清楚啊，所以这里面当中我就解一下ax等根b1a跟b1的解，我解出一个x1。然后再解一个什么东西呢？你注意一下这个事情。我就解出这个人，而最后的这个x就是s1s2，我把这个s1怎么办？填到这。然后再去解as这个什么a跟b2这个人，我把这个人解个BS 2，我把s2填到这。所以说这样的一个方向性其实就非常的清楚了，

这不是克拉默。别别别，乱来。呸呸呸，记住一个名字，胡胡乱来啊，千万别乱来。所以这里面当中就是两个非行方程组。我不知道同学们听懂了吗？原来如此，就是这样的意思。这是一个矩阵方程。对吧，这个矩阵方程我要解的是这个人。我就把你这个b拆成两列。

那拆成两列了之后，你就会发现你这个方程组的解。给我填到这，把这个解下填到这。把这个解一下，你给我填到这儿。就行了，所以说你的根本其实就是解原来的话，后面只有一列就是解as根对吧你看？原来的话，后面只有一列，就是as跟他现在两列，就是as跟他as跟他有三列，就是as跟三个人。你解三个非全方程组。

有两列解一个方程组填，第一个解一个方程组填，第二个。能学会吧，好了，听明白了给我回复一啊，这是一个问题。好了，这是这个问题点吧，我们就讲。他不一定是唯一解，不要在那胡扯。克拉默法则保证这个系数矩阵的行列式不为零，这跟那个东西的克拉默没有什么关系。我再说一遍，

克拉莫法则系数矩阵的行列式不为零。对吧，如果我如果有你那样一个操作，我还做它干嘛呀？那考试就没有什么意义了。如果这个a的行列式不为0a就可逆，那可逆的话x不就等于a逆b吗？那我直接解了呀，我克什么拉莫了？我把这个逆矩阵一算，一乘就出来了。本题结束。对吧，做完了。所以不要不要不是不是说那个里面当中你就没有理解这个东西的意思，

那么一般情况下，我们考的这个系数矩阵。一般不可逆。一般情况下不可逆，要注意这个问题啊，不可逆不可逆的时候怎么做？可逆的时候当然简单呀。好了，这是我们方程组的，求解。所以其实你发现一个问题。一个矩阵方程。其实就是多个非基层方程组。是不是啊？那么接下来我们来看看这个企业的判定。

你想想一个问题。多个飞行方程组。多个非线方程组的话，我们来看看这个解的判定。你要进行去，这个人有没有解？你就要看a和b1。这个人有我们解，其实就要看a和b2。所以学到今天呢，你就知道了，我们直接看结论。就强化的话，串过一遍。对吧，

如果你基础班的话，也稍微的听了一点点，你直接上结论就行。你就知道。这是矩阵方程。当这个矩阵它只有一列的时候，就是飞行方程组，所以它跟飞行方程组是一样的。你看第一个事情，我用之。如果系数矩阵的值跟大增广矩阵就是a跟b摆在一起不相等无解。如果相等，然后再看这个列数，跟这个列数相等唯一解。如果这个东西小于列数无穷，

多解用下行列式，如果行列式不为零，那这东西为一解。如果这个行列式等于零，它无解无穷，多解一样不一样，同学们。跟原来学的那个东西一样，不一样，一模一样。两个点呢，基本上没有多少变化。当然，操作性的状态都是差不多的。好了，

这是这个事情，矩阵方程。所以说像这个矩阵方程的这个求解它，其实就是多个非全方程组。原来后面只有一列一个分析方程组。对吧，两列两个非全方程组，三列三个非全方程组，那同学们，我们能不能这样理解呢？你这有一个a。这是要填的。原来我们这后面只有一列，你就解这个飞行方程组，把这个解填到这。

如果再来一点，你就解a跟这个人的飞行方程组，你把这个解填到这。再来一列，你就填到这儿，你再来一列，你填到这儿，你再来一列，再写个填到这儿，这是后面那个矩阵。你想是不是？所以它就是个闲套性。想想能能能琢磨清楚吧，就多个人。你后面只有一列，

我解一个方程组，但这就是一列，后面两列跟第一列的解填，第一列跟第二节填第二列。三列跟第一个解填第一列，第二节填第二列，第三列填第第三列。四列，第四列的解填第四列。好，他就是这样的一个问题，你嫌套性嘛？那么所以说接下来我们来看看下一个问题，就看几点了？嗯，

你们是不是还有一节课呀？就看看后面还有多少。行吧，那么这个部分呢？我们就说到这吧。那明天明天下午再继续吧啊。因为后面的点呢，还有几个内容。可以吧，因为后面还有一个。后面还要补一个经济学应用。明天下午卷子讲完呃，我先说一下，你明天直接去考就行了。不影响你明天直接考就行了，

我知道你明天直接考就行，影响不大呃，基本上的内容都已经讲完了。就是你去看看你那个讲义上的东西啊，除了一个线性表出。对吧，跟那个线性表出啊，那个部分就那个线性表出的话，还有几个题，剩下的东西全部讲完了。行吧，那么这是这个问题。你把这几个东西啊，你自己去看看，明天考的是那个二一年都还好啊。

行不行啊？影响不大。呃，那么这个板块内容我们就说到这，要不然的话，这个周六讲也行。行不行？周六去讲，然后的话，你是冲刺救命班的同学的话，明天也可以去考。注意哦，你是冲刺班的同学的话，明天也可以去考。啊，

冲刺班的同学，明天也可以考，然后这个下次一起发给你们吧。可以吗啊，这个东西到时候一起发给你吧，后面还有几个这个经济学应用。那我们周六我们再讲吧，周六的话，我们把这个讲完啊，这个部分比较重要，比较关键一点，所以好好呃进行去把它复盘一下。好好转一转，那行吧，那么这个部分呢？

我们就说到这，那就周六吧。周六再说，那周六的话肯定是讲完了。那后面没有几个内容了，你的冲刺救命般的讲义已经是结束了。你去看看冲刺救命班上面的话，呃，前面应该还有两个题。还有两个题，那两个题结束了之后就结束了，就全部结束了啊。行吧。呃，这个到时候我会发给你们的啊，

不用担心这个事，这个我到时候给你发啊。呃，我觉得比较关键的一个问题啊，我还是想强调一下。我再强调一下这个事情。那么就是。你们自己呃，明天的话可以考二一的那个部分可以考对吧啊？可以考。啊，都一样。你不用进去去你你进去去比的都是三九六的同学。三九六同学比较的是三九六同学就跟我讲数一数二数三同学的一样。每次都是数二同学，

最先玩数一同学，东西也很多。数一东西里面当中啊，其实你像比这个呃数学三同学也多了很多内容。那每次的话，在后面也会多，你要比较的是三九六同学，那确实我们比较辛苦一点。你要是对比别的这个科目的这种考生，你确实辛苦一点，所以我们你在这里面当中对标的是你都是考三九六同学。所以我们都是考同一套卷子，都是进行去处理，同样样的问题，然后另外一件事情，

有些的话这个。同学可能做一些模拟卷呐，里面当中啊，受挫啊，非常受挫，就是其实格外的一个问题啊，我觉得这个今年。有些的话，这个出题出的有点儿有点儿太过了难，也不是那样难的，我记得这个今天的话。我给你大致的看看吧。因为你们。不研究这个点东西。你就有可能看不出来这样的一个问题。

这样出。你怎么考你都做不完，两个小时估计都够呛。也不知道是哪些神仙，对吧那些？可能这个50多分钟就做完了。几十分钟就做完了。你会发现，你看看。这里面当中。你看这个题。啊，这个题呃，这个题是当年的话，二零一六年数学二同学的考研真题。

啊，这个部分二零一六年的考研真题的话。好了，这是这个题，你去算吧。整体下来的运算量就这么大。啊，就这个部分。就这个题目整体下来的运算量就这么大。然后是一道十分的题，抽成两分的题有点离谱了吧？对吧，这样道题一改，改成选择题，比如说它在这个点处取极大值，

我们a选项在零零处取极小值。在负一负一处取极大值，在这个人取极大值，在这块取极小值，在这个人怎么怎么样？这样就有点离谱了。然后这里面当中的话，你再把它进行去往前看。然后这个题的话呃。零四年。也考过，就这个题。这样来的话，这运算量就太大了，这不是我们两分题的考虑思路，

所以像去年的考研真题啊，难是难。但是它是巧读巧着难，它不是硬着难啊。好了，这是这个事情嘛，我们就说到这，所以你下去把这个类型问题点呢，把它梳理梳理。好了，我们冲刺救命班呢，这个部分的核心部分内容啊，快完了，然后下次课程呢，那肯定是结束了，

你把这个今天的东西好好串一串。那么，其实考的比较多的。还是这个矩阵的值线性，相关性。其次，线性方程组非其次。线性方程组对吧？你像这些问题，那么这些东西的话，考的是更多一点。你下去把这些点呢好好去串串，有些的话这个数一数二数三同学的这些题啊，你们是可以做，但是其实大部分的它跟我们现在的考纲的方向啊，

其实不太一样。我相信这个有很多同学从这个数三同学转过来，你发现做各种做这个三九六同学的这些题各种不适。这就是这种情况啊，所以慢慢来吧。好了，这是这些问题吧，你下去把这个相关性的东西啊，好好处理处理。没关系啊，慢慢做，但是你只要做的模拟卷啊，你就把上面这些题啊，你都把它解决清楚，然后我觉得超时啊。

就是今年呃，这些点呢，我们都不谈了。就是你只要做了一套模拟卷。你注意，你只要做的。错的。下次都要会。对吧诶，都要改正过来。你都要会，然后起到一个查漏补缺的一个效果。然后第二事情模拟卷呢，尤其是今年。对吧，

今年的模拟卷呢？超时这个问题。这个问题啊，我觉得是很正常的。因为这件事情我上次跟你讲过这个事情，你到时候做真题卷的一个特点，里面有难有简单难易的话，这个交错相间。啊，交错相间，但你发现这个一啊，有些模拟卷真把三九六的话，我们出的这个数学不当人呢？这是一个方向，然后另外一方面的话，

这个嗯模拟卷的一个特点的话，如果是一个，你真的是稳扎稳打的出的话，但是它也有个特点，就是每个题啊，都不会特别简单。对吧，就每个题的话，就算简单的问题，他也需要稍微的算那么一下，不像有些真题的话，你眼神可能稍微飘一飘，这个东西也出来了。所以我觉得这个部分的问题啊，把它好好处理一下。

你放心吧，你最后拿到那套真题卷呢，你肯定不会是这种效果的。啊，肯定不是这种效果的，所以说我觉得这个模拟卷只要你做了错了，你都要改。然后这个超时的问题，你尽可能控制。尽量控制啊，考试的话，这个数学的时间是一个半小时内把它做完。你尽可能控制，然后最后一套真题的话，呃，

今年那些点情况吧，你去年出的那么的狠啊，这个今年呢？你相对而言的话，肯定不会像去年那样。所以顶多跟去年持平。不会说超过这个去年的难度系数，你去年他都他都没控制好啊。说实话，这个问题啊，他就没控制好。好了，这是这个事吧，我们就说到这。行吧，

那么这些东西啊，我们就出来了啊，就说到这，你今天就把那些卷子，你把我们那个卷子做完都够了。这12套卷子的话，基本上是够了。12套卷子，再加上真题卷子嗯，三套这15套卷子够了，可以了，你把上面关键点一个问题，你说。做模拟卷停不下来啊。你做模拟卷最重要问题是发现自己的问题，

改正自己的问题，以改错为。这个为重点。啊，救命班是包括这个石头卷的，你们不用担心这个问题。所以我觉得做模拟卷你最重要问题是改错，最重要问题不是说进行去测一下自己的这个成绩，那个成绩不是你最后的成绩。那不是你的自己的最后的成绩，你自己稍微的注意这个问题啊。好了，那么这个事儿啊，我们就讲到这儿吧，你自己下去把这个相关性的问题好好处理处理。

适可而止。适可而止，改错才是最重要的。所以还记得我上次给你讲，我们手头要一班儿讲义，可以是你的冲刺救命班的讲义，也可以是你的基础讲义，然后再把一些东西补进去。或者是你的强化讲义。这三板讲义要摆到手头，天天复盘呢。所以我觉得你最后你要轻松一点，就是三个事情，你要记忆的公式就是考前21记。对吧，

考前21g，然后第二件事情你手头有一本复盘的资料。那可以是基础讲义。然后第二件事情可以是你的强化奖励。然后或者是你的什么冲刺救命班的奖励。这三者。选其一。重点看。对吧，选其一重点复习，那么这个基础讲义可能里面当中啊，有些东西。呃，可能少了一点点东西，因为我们都是放的强化讲，

你把那些东西补到那儿，基础讲义也非常的完整，因为基础讲义上的例题啊，相对比较平衡一点。把这东西做好。然后最后啊呃，然后我们的这个模拟卷你做的更多的话，没有关系啊，这个这个我们不限制大家，你已经做过的东西，但是我觉得然后是模拟卷。对吧，做过的。啊，装订好。

能听懂吧，也不一定是装订好，你放在一起。就是你只要是做过的，你就把它放好，放在一起，你上面的错题要经常看。要常复习呢。能想清楚啊，很多人那做的卷子最最后都找不到了，那错题那更找不到了，错题还在哪什么错题？你那样复习，你再你再怎么复习，你看起来也很努力，

但是你发现那个效果并不是特别的好。一些同学不复盘学过的东西，后面都不记得了，这是站一大堆同学第二事情公式都记不住，你还去考试，你这怎么考？然后第三个事情，你做过的题，你要复习。你不要做错过的卷子，你自己下次根本都找不到啊，啥东西都找不到。大家要注意，我要是你，我给你教一个方法，

你看我要是你，我怎么复习？比如说我们有八套这个模拟卷。四套内部卷，三套真题。我举个例子，我最后平衡了一下，我怎么发现我每一套卷子旋转体的体积都做错？我们每一套卷子的旋转体体积都做错。我怎么办呢？我要是你，我先把基础讲义或者强化讲义或者冲刺救命班的讲义旋转体体积的知识点复习一下。然后怎么办？我把这每一套卷子上的旋转体体积，我再给你做一遍，

你看我下次还有问题吗？这是模拟卷的好处，模拟卷呢，考点的热点的东西啊，比较显现的更加的明显，你不会发现吗？你以前做的那个，比如说做的一些练习题呀，它的一个特点就像模拟卷，一张卷子里面当中大部分的核心考点，它都在一一张卷子上。再比如说我的连续可导可微这个东西，我就是做的不好，我还是复习不好，你不是说我光进行做错题，

我先把这个知识点。我从头到尾的再自己串一遍，把这上面的那个东西啊，自己再看一遍，然后把这些卷子上面的每一个题我再做一遍，你看看还有问题吗？好了，这个事我们不说了。然后下周的话，我们跟同学们继续去开一个这个简单的班会，我们去聊一下这个事情，因为这个到了这个最后阶段，你不能再走弯路，你们时间很珍贵的。三九六同学的时间很珍贵的，

你专业课也不少吧？你还有逻辑，还有写作，你还有政治，你还有这个英语，你们的科目太多了，你不要再浪费太多的时间了。你做了很多这个无用功的话，你还不如在这里面当中多复习一些你专业课的部分东西呢。所以这个版块的东西啊，好好加油。好了，这是我们在这里面当中啊，讲的这个问题行吧，那么今天我们课程呢，

讲的非常的多，你下去好好串一串好不好？好好进行串串，然后后面的话，这个模拟卷呃，明天的话，我们是讲二一年的这个真题卷。好好加油，可以吗？啊，最后这段时间，但是你已经坚持了这么久了，我希望你你再努力吧，不要在临考前稍微的话，这个心态各方面。

有过多的这种起伏。最后一段时间是最重要的，然后另外一个问题，你发现总有人上岸。对吧，无论怎么样，总有人伤害。一定会有人的话，就那么多名额。那么些人，最后总有那些人考上，所以你不要如果有问题解决问题，找别人共情，没有没有用的。你注意找别人共情，

真没有用，最最后一个阶段，一定想清楚，好好加油哦，对吧？有问题就解决问题，你这块东西学不好，你就把那个课程部分东西再看一下，你把它解决了就行啊。好了，那么今天课程呢？我们就讲到这好吧，同学们行吧，明天呢，我们可以继续去测二零二一年的真题卷。

每个同学都可以。没有任何问题啊。然后明天下午的话，我们把那个真题卷呢，我们讲一讲，然后周六那天我们再增加一次课程，然后这个冲刺救命班的这个整体性的课程就全部结束。后面我们就剩下了大模考啊，那么接下来的时间呢，我们就要进行去这里面当中啊，总共有11套卷子。11次模考，我相信你跟着这个部分的课程呢，完完全全是够的。好了，

那么今天课程呢？我们就讲到这儿吧，可以了吗？啊，这个今天上的时间比较长了啊，你要上英语课，你快去了啊，好那么今天课程我们就讲到这儿好，下次课程见吧。

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