21.【加餐】冲刺串讲20-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:09:42

那么，接下来我们就准备开始今天的课程了。首先，我们先测试声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们准备开始了。好了，那么接下来我们就继续啊，我们再跟着这个上午过程当中的内容，我们继续往下穿，那么在上午的时候啊，我们其实讲了这个第一个问题，

讲了这个矩阵的值。然后这里面当中啊，讲到这个线性相关性，那么接下来我们就继续开始啊，上午的过程当中刚好讲到这个问题。啊线性相关性的判定用定义，然后用质，如果这个东西啊，能用质就用质，是用这个质啊，跟它的个数比。如果这个向量组的值小于个数，那这个人是线性相关，如果这个人等于个数，那是线性无关。

如果这东西是方阵，那这里面当中啊，你还可以继续转相关，那这个东西就不满值不满值行列式等于零。然后再来看线性无关，那这个东西啊，它的质就等于个数，如果这东西满啊，无关，那这个东西怎么办？满支行列式不为零。好了，这些内容我们上午过程当中是做了一个重点的串，讲好了，听明白了，

都能记得住，给我回复个一，不要再错了啊，这个点。那这个第一个点呢，其实就是我们核心重点就讲了一个事情，就是来看看这个向量组的值跟它个数之间的关系问题。好，这是第一个点，那么接下来我们再来看看第二个问题，如何进行去判断一个矩阵？它的行列向量组的线性相关性呢？那这个点呢？我们其实已经讲了好多了，那这个方法其实就是就来看看这个东西啊，

满质还是不满质？但是一般情况下，如果这个东西不是方的。对吧，不是方的。我就会说这个东西是行满值还是列满值，如果这个东西是方的，我就直接说满值，那这个时候的满值啊。既行满志，也列满志。如果这个人的志小于行数，行不满志行相关。如果这个质的小于列数列不满质列相关，如果这个人质等于行数行满质行无关。

如果这个人等于列数列满制列无关。能想清楚吧，那所以说你想想一个问题，那如果这里面当中告诉我们a这个人呢？为一个什么n×n的一个方阵呢？来，我们来看看，那这个时候他满值满值了之后的行列式，肯定不为零啊，这肯定的。来，继续传。那这个时候的满之既是行，满之也是列。满之所以说这时候怎么说a的列？

啊，或者是行。或者是行，然后一定都是线性无关的。对吧，这个问题，如果这个痣啊，它是小于这个人。对吧，你看不满值不满值行列式等于零。那这时候你发现方的列不满之行也不满之所以说这个时候就说了这个人的列，或者是这个行。一定都是什么都是线性相关的。能学会吗？好，

这个问题啊，把它想清楚，你去判断这个矩阵，它的列向量组的线性相关性行向量组的线性相关性，你就来看看这个矩阵。它行满制还是列满制？行不满制还是列不满制？好了，这个知识点过去了，给我回分儿，不要再忘了。千万不要再忘了啊。你们这块状态还可以吧？你认真听啊，下午这个部分内容更重要，

比上午这个板块的东西啊还重要，档次感更高。好了，那么接下来我们继续，我们再来看，我们来看个题吧。这里面当中啊，我们看一个二零二四啊，这个零四年不是二四年数一数二同学的四分考题，我们来看看这个题。那这题怎么操作呢？你思考一下。那这里面当中让我们去判断这个矩阵呢，它的列向量组的线性相关。你看让我们进行判断什么呢？

他让我们去判断这个人的列向量，组线性相关或者是行向量组的线性，相关性，那同学们告诉我这个东西的核心，重点是让我们干个啥？方向是什么？那方向其实就是我要进行去求解这个矩阵的值。我要去求解这个矩阵的值跟它的行。还有它的列进行去比较。能理解吗？如果是行满制行无关列，满制列无关行不满制行相关列不满制列相关。你就这个问题啊，就是求值方向性，就是求这个矩阵的值，

然后这里面当中看到一个AB=0。你能想到什么，立即会想到a的值，然后加上b的值小于等于n这个n是什么呢？n为a的列数。b的行数。好，这个情况，然后接下来我们再来看看下一个问题。那这里面当中又看到什么？看到这个矩阵是一个非零矩阵，我看到这个矩阵不为零，我立即可以回答这个质啊，大于等于一。那你想想一个问题，

我都大于等于一，加上你还比n小，你也忒菜了吧，你肯定是小于等于n- 1啊。那你肯定小于n呐，而这个n是什么n是这个人的行数，如果这个值小于行数，那这个东西啊行。行不满志，行相关好，所以说b的这个人的行。相关，然后再来看看第二问题be这个矩阵也不为零，那不为零的话，这个人的质大于等于一。

我都是大于等于一，加上你还比n小，你也忒菜了吧，所以说这个东西肯定小于等于n- 1小于n- 1就小于n。n是什么a的？这个人的列数。那小于列，数列不满值，然后这个人的a的列线性相关。能想清楚吧，所以说这个题就出来了a的列线性相关b的行线性相关，所以说这个题的正确答案选几啊？正确答案就选择这个a选项。好，这个题。

所以如果将来进行去判断一个矩阵，它的行向量组的线性相关性列向量组的线性相关性就是求解它的矩阵的值。跟它的行数或者列数进行比较就行，能想清楚吧？好了，这个问题啊，你今天把线性代数给我拿下来哦。你一定要把它拿下来，就这点东西，然后这个。我今天还看了一下，有些同学的话，这个线性代数和这个概率论呢，是个短板。那么，

其实比较难的，其实就是这个板块内容把它拿下来好了，那么接下来我们就继续，我们再来看一个问题，我们再来谈谈线性相关性的一些重要结论。这个东西啊，比较多一点，我们一起来看看。那么，首先我们先来看第一个问题，局部相关则整体相关。什么叫局部相关呢？它这样的一个问题。你比如说阿尔法一，阿尔法二，

阿尔法三。线性相关。你这个人线性相关，我一定能推出阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三，我再多一个人。息息相关能理解吧啊，你想清楚这个问题，你就比如说举个例子呃，我们这里面当中有四个同学。我们这四个同学，三个同学都息息相关。那第四个同学啊，我们加入进来也会息息相关。

能想清楚吧，局部相关整体一定相关局部和整体的话，就是向量的个数变多了。变少了好，这个问题没问题吧啊，这个点。那么，接下来我们就继续，我们再来看。左行右列武馆。好了，我们继续吧，我们再来看看下一个问题，如果这个整体无关，则局部无关，

你注意啊，这个事儿不能回推的。讲了很多遍。然后再来看整体无关什么意思呢？如果我们四个人。我们是线性无管。那这个时候你随便进去去挑，比如说你其中的三个人一定是先行无关。你随便的，两个人也限行无关，但是这个东西啊，不能回推。好，记住了，是局部是相关整体就相关。

整体是无关，局部是无关。能想清楚吧，好这个问题。那么，所以它这个内容其实就是这样说的。你们三个向量，如果相关我加入一个人也相关。如果你们四个人是线性无关，我们三个向量也会线性无关啊，就这样的一个问题，然后接下来我们再来看下一个点。那其实就是如果向量组线性无关，则伸长组也无关，你看这个知识点啊。

有些同学他就分不清楚什么叫做局部，什么叫整体，什么叫做向量组，什么叫伸长组和缩短组。我讲讲这个问题。非常容易啊，就这样的一个内容，首先我们先达成一件事情的共识。有一个精英。等会讲讲这个经验吧。那么，这个东西的话，他说的是这样的一个问题，你比如说。一二三。

然后这是。三四五。六七八。这个人是是不是间歇无关，你自己算了，应该是的。好了，这个东西线性无关，然后怎么办呢？我就在这个一二三。三四五。六七八。这个基础上怎么办？基础上再每一个人多增加一个人。你看这个向量的维数是变大了。

个数没有变啊，就是我们还是三个人，你原来是三个人，现在还是三个人，人数人没有变，但人变高了，变矮了。你想清楚，如果你是线性，无关我们这个东西啊，伸长了之后也是线性无关。然后接下来我们再来看下一个问题，这个点听懂了吗？你要学会它，所以因为有了这样的一个结论，

我们就得到了一个经验。非常重要的一个经验。什么样的一个重要经验呢？就是这样的一个问题，如果这个矩阵。我在这里面当中挑了一个行列式，不为零。你来告诉我个事情，如果这个行列式不为零。这个部分的矩阵是不是满值啊？对不对？我不要让你看别的，我就让你看白色。行列式不为零满之列也。满之这三列就线性无关。

这三个线性无关，伸长了之后是不是也是线性无关？好了，就得到这个人，所以说得到这个向量线性无关。然后接下来我们就继续看，你再来抽。还是这个矩阵。然后在这里面当中抽出了一个行列式，不为零。那行列式不为零，你就跟我看这个问题。那这个行列式不为零的话，你告诉我这个矩阵是不是满值？满制肯定也列满制以行，

满制行满制是不是行无关，如果你限行无关，我把你进行去伸长。伸长伸长伸长，所以说伸长了之后，这个三个行向量是不是也是线性无关？我就得到这个经验，如果在这里面当中取出一个行列式。这个行列式的这个部分不为零，那如果行列式不为零，对应的列和对应的行都是线性无关的，这是个非常重要的经验。你就在里面取行列式，我咔的一取。对吧，

我咔的一曲，我这个行列式不为零，我对应的列就线性无关。你还记得上午这个题吗？上午那个题的话，他说这个东西是m这个矩阵是m×n。那你想想，如果你的质是m，应该是什么？应该是存在的一个。能想清楚吧，存在一个就说我在这里面当中存在了一个m阶的，这样的一个子式。怎么办？不为零。

是吧，存在一个m阶次是不为零，那存在一个行列式不为零，对应的列其实就是线性无关。能想清楚吗？你听你的课对吧？你关注我洗没洗头干啥呀？好了，这是这个事情，是存在不是任意啊，存在一个m阶次是不为零，它对应的列是线性无关。好了，想清楚了这个事情吗？你学会它。

所以将来就在矩阵里面当中取行列式。如果这个行列式不为零，它对应的列和对应的行都是线性无关，能想清楚吧？好了，这一面的问题都学清楚了，请给我回复个三。啊，这个点。如果这几个东西啊，都掌握清楚，继续给我回复个三。好了没来继续，我们再来看，如果这个向量组线性相关，

它的缩短组也会线性相关。那这是个什么问题呢？我们来想想。它是这样的一个意思，比如说举个例子啊，那是一二三零一一一。一三四。好，这个向量组是线性相关的。那么，这个向量组是信息相关。那这个时候我就立即会推出缩短组缩一下。缩一下。缩一下对吧？它也是线性相关。

这这样的一个问题。那所以说这样的一个操作形式啊，其实非常简单，你可以这样想，因为你线性相关，你这个质肯定小于你的列数。而你少掉了一行，你就会变得更小。对吧，我r1都小于三，你这个人会变得更小。所以说你更小于你的个数，一定是相关。很好理解吧，就说我们是线性相关，

我缩短了之后啊，那更是线性相关。好，这是我们讲的第四条。过去了，可以吗？来我们再来看第五条。如果这个向量的个数。超过了这个尾数，一定相关。为什么呢？你比如说你看这是个几倍向量。二维向量，然后这是个几维向量，二维向量，

然后这是个几维向量，二维向量。然后它的个数是几个？这里面当中的个数很明显是三个，我想问一个事情，判断线性相关性。是看这个质跟谁的关系啊？跟它的个数三的关系。是不是这个问题啊？跟个数之间的关系。而你发现摆到一起，这个值肯定会小于行数。因为行是更小的，肯定会小于二，你小于二的话，

肯定小于三，你这个值小于个数，一定线性相关。你看你就把握住，如果向量组的质小于个数是相关等于个数是无关小于个数是相关一直在转这句话。然后再来看，如果包含零向量，一定线性相关，你比如说一一二。三四五。零零零。你看这个人，那这个时候你就会发现它的质啊，有一列是零，它这个质肯定小于等于二，

那肯定小于个数三呐。一定息息相关。好，这个问题我们今天是不是一直都用到了，如果你包括了零向量，一定会线性相关。如果你这个个数超过了尾数，也一定会息息相关。好，这些重要结论呢？我们就讲到这儿，听明白了给我回复一。好了没有？我们一个个过啊。一个知识点，

一个知识点过。你要是下次还有问题啊，你就有点不好意思了。不能再有问题了，好了，这是我们讲的这个知识点，我们继续，我们再来看看下一个重点内容。那当然，在讲这个内容之前呢？这个还有一个知识点，我们再讲一下这是第几条，这是第六条，我们再补一个。再来看第七条。

第七条非常的关键。它是这样的一个问题啊，成比例一样的。好吧，那个我们就不写了，然后接下来我们来看看两个重点。是这样说，就说如果我们阿尔法一阿尔法二一直到阿尔法n，我们是线性无关。啊线性无管。然而，我们在这里面当中又有一个问题。你加入一个人进来。变成了线性相关注意，这个页面特别重要。

我们就得到了一个什么条件。立即抖动。如果我们是线性无关。结果你发现个事儿来了，一个不速之客。让我们变成了线性相管。那这个时候我们就得到了一个结论。这个不速之客。可以由我们来表出。啊，可以由我们来表出，且唯一的表出。表示形式是唯一的。我们是线性，无关加入一个人线性相关，

加入这个人一定被我表示切为一，你注意我们是个冲刺班同学。我们肯定不能像基础班一样的去学，如果讲基础班的时候，我还在这里面当中啊，我会稍微的给你震一下。对吧，当然的话，这个证明的话，得把非前方程组讲完了才能证，但是你看我们现在讲线性相关性，要把它串清楚。然后再来看看第八点。那么如果。第一个向量组。

可由第二个向量组。表出你这个人能有我表出那么请告诉我一件事情，谁的志大呀？谁的痣才能更大一些？你能被我表出。谁的值达注意你能被我表除，我表示你。我牛逼。能想清楚吧，所以说这个时候我立即就可以得到，得到什么问题呢？得到你这个阿尔法一到阿尔法m的值。一定是没有我大。这不一定是m，有可能是n。

好，这个情况好了，这是我们讲的这样的一个知识点，怎么推的呢？是去证方程推出来的。但是我们今天呢，我们是冲刺班同学，你就把这些条把它给我记住就行，对吧？把这里面当中的每一条都给我记住。把这东西记清楚。好了没？就说到这，然后这里面我们来解决两个题，把这个剩下两个题。

讲解一下。我切一下啊。有可能会变亮。啊，我就切过去了。来看一下这个题。那这个题啊，我们就好做了，那首先第一件事情他说。这个东西是线性无关的，向量组。对吧，线性无关。那是线性无关的向量组，那就说明这个向量组的值。

它就会等于它的个数。然后说一个问题，它能由这个人线性标出谁牛逼啊？啊，谁优秀一点？那肯定是被表这个什么，我去表示为优秀一点，你肯定是小于等于多少，北大一一直到多少，北大五。然后你这个人是等于四。那么，首先诶，这怎么没有s呢？这是s吧。

没有s咋做？这是s吧啊，这不是五啊。嗯，这个你稍微稍微见谅一点，因为嗯。很多这种就尤其是敲工式的那种，就是排版的呃，排版的其实有些数学比较专业的那种，排版的倒还好。有些这种敲公式啊，他们其实。这个东西。他他也他也不太懂这个数学啊，所以有的时候这个这个问题点就会出现这个事。

那么，接下来我们继续吧，我们来看。那这个东西。可由这个东西进行去表述，那谁大呢？他大那而且的话，你发现你看你这个人是小于等于s。对吧，你这个人小于等于s，你这个人小于等于s之后的话，其实就是说明s是大于等于四。那么，对于这个东西的话，你发现我们这个人。

这是s。我们这个人。小于的时候就是相关等于的时候就是无关，所以说这个东西啊，这未必。啊，这个东西是未必的。然后再来看看你这个东西是大于。你看这个部分。对吧，可以用这个东西表示，然后这个s是大于它s比它小，这又不对答案选几啊，你选c啊？所以这个题是一个比较简单的题，

你见到献血无关，你就说这个痣等于个数，你见到这个人被他表示那他牛逼。然后的话，这个人又小于他的个数，然后一下出来了。好了，这是幺四五这个题，然后接下来我们再来看看幺四六这个题。你看一下这个题。那这个题啊，说什么时候线性相关什么时候线性无关？那很明显。线性相关的时候，向量组的值。

就会小于它的个数。线性无关的时候，向量组的值就会等于它的个数。而且这里面当中你就会发现。这个东西是四行四列，你摆过去，你发现你看这是一+k，然后这是一一一。这是二这二+k，这是二二，然后这是三，这是三三+k，这是三，然后这是四四四是四+k。这个人那么所以说你就会发现你这个东西就变成了这样。

这块儿是三+q。三三。三+k三啊，这个人。好了，这是这个问题，所以说这个东西就做成这样。对吧，它就是这样的一个问题，那因此我们接下来看看这个事。好了，那么接下来我们就继续，我们来看看。所以你会发现这个点。那这里面当中的这几个事情，

如果是线性相关质就小于个数，线性无关质等于个数。而且你就会发现这个东西是个方阵，那既然是个方阵，你在这里面当中用行列式是不是简单？所以说线性相关的时候，行列式等于零线性无关的时候，行列式不为零，是不是这个事情？所以说这个题啊，我们用行列式是最简单的。来立即取个行列式。而且这个东西是个充要条件。那么，求这个行列式也很简单。

它是行和相等型，都把它加过去，加过去，加过去，你加过去了之后的话就是。十，加k。啊十加上这个k。然后这个部分的东西，它就变成多少？来继续操作。那这个时候的话，它就变成了一你减去上面的话，这个部分的变成零减去上面这块部分变成零减去上面这个部分变成零。所以说最后的这个结果，

它就变成了这样。变成这样了之后是k的三次方。好了，这是讲这个第一个问题，会做吧？好了，第一问什么时候线性相关行列式等于0 k=0。或者是k=- 10。什么时候线性无关行列式，不为0k不为零，且怎么办？k不为负式。你别说一个事情，就这个题啊，很容易考给我们现在的这种选择题。

那么，它就是我们现在这种选择题，我们现在选择题很喜欢考这种情况。好了，这个问题啊，把它想一想。那么这个点呢，我们就讲到这，那么接下来继续回来。可以回来了吗？能回来哦，来继续。那么，线性相关性呢？我们就讲到这，

所以说将来谈到线性相关性，在你的大脑里面当中，三个事情，一个事情是线性相关性的定义。和判定最重要是判定，判定的话就是向量组的质小于个数是相关等于个数是无关。然后紧接着的话，就是我们在这里面当中讲的一些性质的一些问题。你不要说这个，将来的时候谈的这个点呢，你再不会就有点不好意思了，应该能迈过去啊。把它串清楚，然后做题的时候要用。我觉得有有些同学有点意思就是。

我们讲也是这样讲的。学也是这样学的。然后做题呢，我偏不。对吧，我们讲课就是这样讲，上课答应好好的说，下次见到这个东西就这样想，见到这个东西就这样，想做题的时候我不。是吧，或者而言，有些同学的心里的感觉说不会这么容易吧，会不会有坑啊，你天天有这种想法？

你这容易自闭啊。对吧，你这容易容易自闭。所以这这些点呢，你上课怎么讲的？你怎么学的？你下去做的时候你就这样进去去处理就行了。一天没事干的，想这想那的。好了，这个点我们就讲到这。你看这个，你说用不用检验，那就说明没有学会。啊，

就说明没有学会。你就没有学会他为什么要戒烟？他为什么不要紧？你下去得好好反思一下，不然你下次还会出错。你一定还会出错。你线性相关，它的充要条件不就是行列式等于零吗？那行列式等于零不就线性相关，为什么上午那个题要检验呢？是因为那个人的质就是二。我推出行列式等于零，但是行列式等于零，可未必全部都是二啊，它有可能是一呀。

所以那个东西不是充要条件，你要检验，你再想想，你如果今天不把它想通，你下次肯定会做错。你在这里面当中出现问题，一定要解决，你不要等哦。你下去稍微想想就出来了。好，这个点我们就讲到这儿。那么，接下来我们来看看下一个问题，其次，线性方程组。

那么，这个齐次线方程组啊，我们在考研的时候会有三个问题，一个事情就是齐次线性方程组解的判定。那什么时候有没有解有解的问题，然后第二事情的话就是方程组的求解。然后第三个事情就是基础解析，那这里面当中我想强调几个问题。你如果是求解，不会做呀。这就是相当有问题了。你要解方程组都不会解你基础班跟没有学是一样。那这个东西我一会儿会回顾基础班的时候讲的会更详细。你可以稍微的看看。然后这个企业的判定呢，

是比较关键的。那么，首先我们先来看看这个齐线方程组，你比如说这是a一一s1a一二s2。a一三a3。然后这是a一四s=0。然后这是a二一s1a二二s2。a二三s3。a二四x。等于零，然后这是a三一s1a三二s2。a三三s3。a三四x4=0。那么，首先我们先来看看这种问题，

你发现我们就能把这个方程组写成了什么？写成矩阵形式a一一。a一二a一三a一四a二一a二二a二三a二四。a三一三二三三三四好，这个人。那这个时候的话，你就会发现，然后这个未知数的话，就写s1s2s3s。等于零，那么最终的话，我们就把它写成了as=0的其次线性方程组。那么，首先这里面当中，我们先解释第一个问题。

其次，线性方程组会出现无解的情况吗？会不会不会的？为什么等你把所有的s都令成零？你所有的x都是零的时候，它本来就成零。对吧，所有的s都为零，就是你这个人等于零，本来就是零。它一定有凝结。所以说他讨论的这个方向就是只有林姐吗？有没有非邻解啊？这是他讨论的方向。所以要注意啊，

一个其次线性方程组不会存在无解的。那是非其次线性方程组的问题。它一定有解，它一定有零解，这是要注意的。其次，线性方程组一定有。零解这个零解零是什么意思呢？就是所有的未知数都是零。一定有零解，所以讨论的方向是只有这个零解吗？有没有非零解啊？这他讨论的方向。好，这是第一个事情，

然后第二件事情我们再来看。那这个方程组的这个。方程个数。它其实对应的是什么东西呢？对应的是a的行数。没问题吧，然后的话你发现未知数的个数。其实它对应的是这个a的这个列数。是不是那就是这样？你有多少方程？那我不就有多少行吗？然后你有多少未知数，我不就多少列吗？所以说我们有的时候他不会说行数，不会说列数，

他会说方程个数，会说未知数个数。你有能转的出来好，这是我们讲的这个第一个问题，那么接下来我们先看看方程组的解的判定啊。啊，不卖官司了，植入主体那么请告诉我一个齐次线性方程组解的判定有几条方向啊？我们这里面当中的判定呢，我有两条方向，一条方向就是用知最重要的就是用知。别管这个题，给你什么条件，他爱给你什么条件就给你什么条件，他想给你什么条件，

给什么条件，但是你最终都要给我落脚点落到支。那其实就是让这个系数矩阵的值跟谁比呀？跟谁比？跟未知数的个数比就是跟它的列数比，一定要注意啊，我们是永远跟它的列数比。好这个人，所以说你最终无论他给什么条件，你都要落脚点到这儿，如果这个字小于它的列数。那这个东西它有什么节？它有非零节。如果这个质等于列数，那这个东西怎么办？

只有林杰，你如果连这个东西都不知道，你跟没有学是一样，你不用骗自己，你肯定是没有学。好了，这是这个点。所以说这件事情你要想清楚。我用这个质跟列数比，你还可以再往下写，你告诉我，如果这个质小于列数列什么都行。列相关。然后是列满制列武馆。转清楚了，

如果这个矩阵的列向量组是线性相关的，它有非连接，如果是线性无关的，它只有连接，你看你能转清楚。所以同学们，这是后来推出来的。你的第一思维方式当然是想到这儿。好了，这是这个问题呃，上午有个同学问了，这个点我们再来讲一下。稍微有个同学问了这样的个事情，说如果这个方程个数。小于什么东西呢？

小于未知数的个数。那你告诉我，其次线性方程组有什么解？那方程个数，它不就是这个意思吗？你看在现在的话，这个假设是三个方程。四个未知数。那你会发现这个质啊，永远会小于四，你赞同吗？因为顶多打到这个三。对吧，它绝对不会超过这个四，你小于这个东西怎么办？

一定有非零解。能学会吧，好了，他如果这样一串呢，你这东西就出来了，所以无论这个题目给你什么条件，你都往上面进行去转一转。一转就出来，不要背啊，不要背一背就傻了，哪有那么多脑子，你背了之后你还学不好，你还难受，你还费脑子，你还掉头发。

你还不如把这个东西轻轻松松的，理解透彻，哎，我知道这个意思，我做题果断的用，然后你发现学的又开心又开朗又舒服。哎，还能考高分好了，这个点呢，我们就讲到这。那么，这是这样的一个点，能想清楚吧？所以说这个信息点呢？把它想清楚。

就是最终而言的落脚点是什么东西呢？落脚点就是用这个质跟它的列数比。小于列数非零解，等于列数只有零解好了，这是我们讲的这样的一个问题。那如果这个东西是什么呢？如果是方阵呢？对吧，你如果这个系数矩阵是方阵，我还可以转呐。你这个东西如果是方的，不就是不满之吗？所以说接下来我们先来看看这个第一个点，第一个点是什么呢？如果这个东西。

你别闹啊，如果这个东西的行列式等于零，行列式等于零，说什么说明这个东西不满值。列也不满值，列也不满值，它就有非零解，如果行列式不为零，它就满值列也满值列满值，然后这东西只有零解。好了吧，所以说这个题目它具体用质还是用行列式，我们得看题质，好用就用质行列式，好用就有行列式。

好了没？这个点把它想清楚啊。一定要把它转清楚，对吧？一转这个东西就出来了。好了，这是我们讲的这个第一个问题，然后接下来我们再来看看方程组的求解。那这个方程组的求解，我们大致稍微讲讲那这个方程组的求解，首先第一个问题解方程组只能行变换。没问题吧？解方程组只能行变换。好，这是第一个问题，

你只能行变换，然后我们行变换怎么办？利用初等行变换。把这个矩阵变成什么？变成一个行阶梯矩阵。啊，变成行阶梯，然后再变成行最简行，最简就是阶梯口是一这一列，除了阶梯口不为零，其余全为零。所以说先画的行阶梯，再画的行最简，你如果这里面当中，你这个解这个破方程组，

你不会解，当然的话，我们会练练。如果这个东西你还不会，你去看基础班，你这这就像什么东西呢？这就像你上了这个冲刺班，你连一个最基础的分你都不会记，这是一样的。好了，这是这个点。那么，接下来我们再来看看第三个点，所以如果你画的行最简了之后，你要会在这里面当中找独立未知数，

你会确定这个自由未知数。对吧，这个东西非常重要。啊，非常非常重要。那比如说我们哪几个题啊？我们来看看，我们先来看看这里面当中的第一个题啊，先看这个第一个题，你解这个方程组吧。来几个节。把这个系数矩阵拿出来。那这个系数矩阵的话，其实就是走一二一负一，然后这是三六。

负一负三，然后这是51负五，然后接下来我们进行去初等只能行变换。不能列变换，然后这是一二一负一减去三倍，减去三倍，然后减去三倍，这是负四。减去三倍呢，这是零，然后把这人变成一减去五倍，减去五倍，减去五倍，这是零，减去五倍负四，

然后用一把它干成零。好了，这个时候我们其实就画成了什么东西来看看，就画出了行阶梯阵。行阶梯矩阵，然后变成行最简阶梯口，是一把上面变成零，所以说现在而言怎么办？我就稍微的进去去反消一下。把这人的负一倍加上去，变成零只能行变换，然后现在我们要进行去啊，定这个什么？确定这样的一个基础解析，你怎么确定呢？

阶梯口的x1和x3。这两个东西啊，是我们在这里面当中讲的，这个独立未知数，这俩玩意儿是自由未知数。那次要未知数基础解析里面当中就有几个人，那很明显基础解析里面当中有几个人，基础解析里面当中。有俩人。我们分别附两组啊，这个附两组什么东西呢？附两组相互独立的东西。你负多少呢？一个负一，一个负零，

一个负零，一个负一。那么，首先我们先来看看这个第一个人，如果x2是一。x是零就是一倍s1。加上二×1，加上零乘，它乘上零，所以这个结果等于多少等于负二？然后再来看看第二行一倍的s3=0，那这个结果等于零，你要注意啊，如果这个东西不会解啊，不是说你听两个题就行了。

是你要自己独立自主的做几个。这太基础的内容了。你要你要想清楚啊，这就像你上了高中一样，你问你老师说一×2怎么算？他肯定不会给你讲，所以我们到了这个冲刺班阶段，你解一个方程组是个最基础能力，你下去要做，然后再来看。然后这个是s2是0s四是一一倍s1，加上二×0，它乘零，它乘上一，那这人是一啊。

然后再来看s3，这人就等于零。好了，这其实就是它的基础解析，这叫基础解析，然后它的通解就是k1倍的，它加上k2倍的它。然后你后面写k1k2为任意常数，不写也行，因为现在选择题。好了，这个题目我们就讲到这。跟上了吧，幺四九这个题。好了，

听明白了给我回复一吧。有没有同学不会的？不会的，同学给我回复个二呢。啊，不会的，同学给我回复个二。啊，有没有？好，我们继续，我们来看下一个题啊。啊，不吃套是吗？啊来我们来看看这个题。

他让我们进行去判断这个人是否有非零解，然后并用基础解析表示，那在这里面当中怎么办啊？你就直接来就行了。因为它里面当中也没有参数，一二一二一，然后这是二一五，那么接下来给它进行变换。只能行变还一二减去上面减去上面减去上面，然后减去二倍，减去二倍负一，减去二倍一，然后用这个人把他干成零。所以现在而言的话，这个质是几质是二，

那你会发现你这个系数矩阵的质小于列数，那这个东西不就是一个非零解吗？好，这个问题。那么，这是这样的一个点，然后接下来怎么办？来返销把这个负一倍加上去，负一倍加上去变成三。所以你告诉我前面两个独立未知数，是不是给这个人赋值只有一个人，那就赋一阻值给他赋几啊，给自由未知数赋一。一倍的s1+3×1=0，它是负三。

一倍的s2+1个负一×1=0，它是一。好了，这个人那通解是多少？通解是k倍的，它k为任意常数。好了，这是幺五零啊，这个题那么接下来我们再来看看幺五幺这个题，然后我们解这个基础解析，你直接来吧来进行去变换。变换了之后的话是幺二幺二零幺幺幺减去，上面是零减去，上面是负一减去，上面的话是负一。

然后减去上面是负一，你一加下来，这是零，你注意这几个题，我为什么还放在冲刺班当中，一定要注意最后一个阶段。返璞归真呐。一定要这样做，你把自己有问题的东西，你好好进去去看看，然后这个东西负二倍，加上去减去二倍，负一减去二倍，这是零。所以现在而言，

我们就知道这个东西是什么呢？这个东西的独立未知数是前两个自由未知数，是这两个人那么，所以说我们这里面当中有俩人，我就负两组织。对吧，前面两个人不叨负一零。然后是前面两人不知道负零一。那么，如果你这个人是零这一列不看了。这是一一被s1-1，那这是一。一倍的s2+1，那这人是负一。然后再来看下面I3是零这一列不看了。

一倍的s1+0，那真是零。一倍的s2+1，那真是负一。好，这个情况，所以说最后的通解是k1 cosine 1+k 2 cosine 2。你后面写k1k2为任意常数。就行了好了，这几个题啊，都没有问题，给我回复个一啊。听明白的给我回复一。然后接下来我们再来看看下一个问题，他说其次线性方程组有非零解。

那这个其次线性方程组有非零解系数矩阵的质不就要怎么办？小于它的列数三吗？对于行列式而言，不就是零吗？然后这个题是k幺幺1k一，然后这是一一k，这个行列式是不是好做等于零？给我口算加到第一列k+2提出去，然后往上面一减，这是k- 1^2，能跟上来吧？所以说这人是k=1或者等于负二，我问一个事情需不需要进行检验呢？要不要检验？要检验还是不要检验？

不用检验，因为的话，你发现非零解的充要条件是它。充要条件是他不用检验，就这个人。好了，这是幺五二这个题来，我们再来看看幺五三这个题。那这个题啊，他说什么时候有非零解，那当然，要不然的话，系数矩阵的值小于列数，要不然的话，这个部分的行列式等于零。

然后的话，你发现这是三五幺。a+2，这是a，这是负一。然后这是四，这是a+5，这是二。那这个情况也不用检验，因为它是一个非零解。它的充要条件是它充要条件是它。你需不需要检验呢？你看这个人呢？也不用检验我问一个事情，这个题行变换好做还是行列式好做？

行列式好做。如果这俩人都是充要条件，行列式比行变换多了一个展开性定理。行列式的优越点就是展开性定理。那我问一个事情，这个人能不能列变换？行列式当可以啊，行列式中间是用的等号加过来，这人变成零五+AA+5。然后的话减去二倍零，减去二倍的话a- 5，减去二倍的话负二。然后这个时候的话，你就会发现这个人。那这个时候我们就可以展开了，

那展开了之后的这个结果其实是a方减去25，再加上一个二倍的五+a。所以说这是a方加上2a，然后这是多少十减去个多少减去15？三五一十五，然后就是加5 a- 3，然后等于零。所以说这时候a=3或者是多少负。好了，这是这样的一个问题，那么同学们告诉我需不需要检验？不需要检验为什么呢？因为你看你非零解行列式等于零。行列式等于零非零解，只要满足行列式等于零的人都是非零解的情况，

我为什么要检验呢？好想清楚，你琢磨清楚这个问题，你不要被上午那个知识点呢，你可以一定钻钻进去了，上午那个题是智商。至12行列式等于零，但是行列式等于零，不是说非其次，需要检验。哎呀，大家还是没有学会。不行，我再说一嘴，你不要这样，

不要背，不是说非其次就一定要检验非其次，唯一解也不用检验，充要条件就不用检验。你看上午做了一个题，这是一个三×3呢。你智商。你推出行列式等于零。但是，满足行列式等于零的人一定是二吗？那不一定，那也有可能是一呀，如果你晕了，你好好转。注意，

这都晕了的话，你发现都没有切进去，你这问题点很大，对吧？好，我再说一遍。想清楚这个事儿。就是你仔细思考一下这个点。这都还没开始，你就晕了。你不要停在这个起跑线上了啊，好再说一遍，你发现你看你上午这个题是12。至12行列式等于零你行列式等于零至12吗？我也有可能是一啊，

我也有可能是零啊，我质是零行列式是不是也是零，我质是一是不是行列式也是零，所以你发现你质是二行列式是零。你行列式是零，你质疑这是二吗？不要跟我背。不要跟我背，也不要跟我进行去瞎总结，就非常简单，一个问题就是如果这个东西是双箭头。你再来看刚才那个人，如果这个人有非邻解。非零解一定是行列式等于零，满足行列式等于零的是不是也是非零解，

这是个充要条件，你检验它干嘛？不用减，你转一下脑子，再多动一下，我之前就跟你讲过，如果到了这个阶段，你脑子里面已经不想接受新鲜事物了，这是个bug。你必然没有暑假那两个阶段呢，你复习的到位。这个很简单的一个问题啊。好了，听明白了吗？好掌握清楚给我回分儿，

我相信这不是大部分同学的问题啊。这绝对不是大部分同学的问题。好琢磨琢磨。就是你发现你知识二你行列式等于零你行列式等于零，求出了好多数一定知识二吗？那不一定啊。好了，这是我们讲的这个问题，所以说这个东西啊，它不要减盐。过去了啊，好了，这是这个人。能想清楚吧。哎，

这是这个点，一定要想清楚哦，你操作清楚。然后接下来我们就继续，我们再来看看下一个问题。走下一个点，我们来看看基础解析。这是一个黄金重点内容啊。基础解析。牛啊。那这个人呢？他一出。是非常重要的。什么叫基础解析？我比如说我的基础解析是可赛一到可赛s。

我找到一个基础解析，我就能表示我的通解。如果基础解析出来了。通解就出来了。你听懂我的意思吗？基础解析出来，基础解析加k就是通解。所以说不是说所有人都能作为基础解析。另外一件事情基础解析也不唯一。你有可能找到这个人，表示所有你有可能找这个人，表示所有不唯一的。那么，首先我们来看，只要基础解析出来了，

加上k就是通解。那什么样的人才能作为基础解析呢？我们是这样说的。我先来讲讲讲一个问题。我记得上次考试啊，我们还考了这个问题。基础解析啊，它是在研究这个人呢？就说满足这个方程组啊，它有好多情况。满足这个方程组的解太多了。比如说我这个解满足了这个方程。对吧，这是它的解，这是它的解，

这是它的解，这是它的解，这是它的解，这是它的解，就是一一二二二。三三三。四四四。五五五。六六六。好多好了，这个人他有太多节了。那这个人的话，你会发现我们有太多节好了，我知道那个戏。系数的系啊。

好了，所以说你会发现我们这个部分呢，我有好多节。这都是谁呢？你注意啊。这都是这个人。我有好多节，你会怎么想？我会这样想。我找几个人来表示所有。对吧，你这太多了。我找几个代表，找几个人表示所有，所以说其实就是找这个人的极大无关组。

是不是这个问题，我要找几个人表示所有。那你想想一个事情，我要找几个呢？第一个问题，我到底要找几个表示所有呢？第二，事情找什么样的东西表示所有的无关的表示所有。所以我在这里面当中，我要找几个呢，我们知道我要找的这个个数啊，等于n-ra。是吧，我要找这么多个大家听清楚啊，这是我们在研究这个人，

不是这个人。你研究清楚了a的质，我就知道我解啊，当中基础解析里面当中有多少个人？我要找s个人s个线性无关的来表示它。所以你就会发现，我们如果是基础解析，应该要满足这几条。首先第一个事情，你至少怎么办？你得线性无关。第二事情，你是不是在这个姐里面找的？你是不是还得是我的姐啊？你不是我的姐，

我这你这算啥？我要在我姐里面找s哥。找几个呢？找s个就是在我所有解里面。找s个线性无关的，就是我基础解析。能学会吗？其实我们赋值法进行去解，方程组就是用了这个体系。所以说什么是基础解析呢？如果你是我基础解析一你们线性无关。二你得是它的解。第三个事情，你的个数满足n-ra。这个a啊，

是m×n的。能想清楚这个问题吗？我再说一遍，基础解析一出就能说明这几个问题。一呀，你们是线性无关的，二你们肯定都是其次解三。不要在那扯了，好好听课对吧啊？第三个事情，你发现它的个数是几个？它的个数是n-ra个。n-ra个。能想清楚这个问题吗？所以说你要注意，

不是说谁都能作为基础解析。能作为基础解析一，你们得献血无关二，你得是其次的解第三个事情，你们的个数s这个人。一定要等于n- 2 an是a的列数。所以这其实就是我们在这里面考量的这样的一个知识点。好了，听明白了给我回复一。只要你能满足这三条，你就能作为基础解析，比如说我们来看看第一句话。说如果这个人我阿尔法一阿尔法二阿尔法三。为什么东西呢？为a=6×4 x=0^2程组的基础解析。

那这个基础解析，你就会发现我们来看看，如果你是我基础解析来第一条，你们仨人肯定都是其次的解。你满足这个人，你就赶紧写出来。第二件事情，你们这个三个人一定是线性无关的，第三个事情，你这里面当中有几个因为基础解析一出很牛逼呀。另外有几个你的个数就是s那s就等于n就是四减ra。就等于三立即推出来a的质等于一。好了，像这样的一个问题能听得懂吧？把它想清楚哦，

你要跟上，但是接下来我们再来看看第二个事情。那如果这里面当中说了一个问题，说阿尔法一阿尔法二阿尔法三为什么东西呢？为这个人的。线性无关的解。你听好了。第一个事情。那首先你是他的姐姐。说明a你等于0a你等于0a你也是零。然后第二事情你们已经告诉我是线性，无关告诉我第三条说明什么？说明这就是基础解析吗？说明s就是三吗？不是的。

基础解析里面的向量个数。是我解当中最多的线性，无关的个数。也就是说什么意思呢？你看这都是我的解，都是我的解，都是我的解。然后我这s是什么？是你的一个什么极大无关组当中向量个数。这是你最多的。比如说我举个例子。一二三四是基础解析。他们四个人是基础解析。那说明请告诉他解里面最多有几个线性无关的向量。这是基础解析哦。

你告诉我它的解里面最多有多少个线性无关的特征，向量呃特呃最多有多少个线性无关的解向量？对，最多有四个，为什么叫最多呢？因为你发现四个线性无关。三个也会先行无关的。两个也会线性无关的。所以说叫最多。你要注意那个s是什么s，就是其次线性方程组。解当中最多的线性无关的个数。你现在我只知道三个线性无关等，而我这是最多，我是不是要大于等于三？

能想清楚吗？所以你就记住。其次，线性方程组。解里面最多有多少个线性无关的个数就是s。我最多是3s个，你只有三个，我大于等于。好了，这个页面听明白了，给我回复一。很重要的笔一名。好了，这个东西啊，听明白的给我回复一。

啊，基本功。这一页特别重要。啊，基本上趋向于必考点。你要知道，基础解析是什么？然后接下来我们来看看一个问题，我们来讲讲一个抽象型的，其次线性方程组的求解。啊，我们先来看看抽象型。那什么叫抽象型呢？就是你会发现。你方程组这个东西啊，

你不知道？这就叫抽象型。你解这个方程组。你告诉我，你的目标是找什么？其实你的目标目标就是找基础解析。对吧，你找到这个基础解析。然后基础解析出来，加k不就是通解吗？你基础解析加k就是通解。所以说这里面最重要的问题就是找基础解析。我然后找到这些人去表示你所有的解。找到基础解析去表示，你所有解。

那同学们想想。早期出解析。什么是基础解析啊？多少个人？线性无关的。骑自己。所以首先第一步，我们就一定要进行去确定a的值。为什么确定a的值呢？一旦进行去确定a的值。我们其实就知道了s。我就知道我要找几个人。你看这样一确定哎，我们要找几个人？找几个人的之后，

第二件事情我就找这么多个线性无关的解。你听懂我的意思吗？比如说这个题s是三，我就在解里面找三个人。三个线性无关的，它就是基础解析。所以基础解析是不唯一的。好了，这个页面听懂了吧？你要找几个人呢？找什么样的人呢？线性无关的，其次解。找这么多个线性无关的，其次解就能作为基础解析。

因为这样的话就满足了个数，无关方程组的解，你看第一个条件，第二条件。第三个条件。能学会吧，好了，听明白了给我回复一，我们来看个题吧。来看一下这道题。啊，看一下这个题。那这个题啊，他给了一个什么，他说这个人是个四阶矩阵，

然后这是伴随，然后说了一个事情，你听好了。这个人是他的一个基础解析。我上次讲这个真题班的时候讲数一数二数三真题班，他们很多人转不出来。你注意基础解析是不唯一的。一个基础解析，不是说它是基础解析的一个向量，你听得懂我一句话吗？比如说我这个基础解析里面当中有三个向量。其中的一个向量应该指的是基础解析里面的一个向量，他不是这样说的，他说这是他的一个基础解析。其实这个意思就是这是这个人的基础解析。

啊，这就是它的一个基础解析，反正你就知道这是基础解析。基础解析一出贼牛逼。第一件事。这个向量线性无关，一个向量不为零，就是线性无关，所以说一已经无关了。二，它的个数其实就是一。它的个数就等于多少呢？它就等于n-ra，所以说ra就是三。这个很优秀啊，

然后第三个点那么还有什么事情你？就是这个，其次解一零一零=0，所以说我们推出什么推出了阿尔法一阿尔法二阿尔法三阿尔法四。然后这是一零一零=0，那么其实就是阿尔法一，加上阿尔法三=0。好了，这是这个问题，听明白了吧？想清楚，这是基础解析。它叫做基础解析的意思，就是说你加个k，这就是通解了，

它很牛的。他不是别人，他是基础解析。能想清楚吧，好了，这是第一个点，听明白了给我回复一，所以说这个题当中的一半内容我们就讲完了。啊，一半东西。能想清楚吧，一半结束了，然后我们来看另外一半，让我们去求什么，让我们去求这个伴随句啊，

这个什么？这个方程组的基础解析，我们刚才说的第一步干嘛？第一步去求值。那你想你的质是三，我的质就是一。你质是一的，之后的话我们就知道s这个人就等于多少四减rag儿就等于三。所以我们要找三个人，如果做这个题啊，那就结束了，你看你这是俩人，他不对。然后这是三个人，但是你会发现一和三是线性相关的，

你这两人是线性相关，因为这个r1阿尔法一等于负的塔。两人是信息相关的。这就不行，所以选几啊选d。那么但是的话，你发现我们如果想把它作为一道这个什么分析题进行做呢，我们还得继续看，然后接下来我们怎么办？哎，我们要进行去找找几个呢，找三个。线性无关的，它的解。对吧，

找三个线性无关的，而同学们想想，因为这里面当中看到了伴随了我原来讲过这个事情啊。因为你这个人。你质是三，你不满质，你不满质的话，你的行列式就会等于零，你能听得懂我的意思吗？来走。a的伴随乘上a=a的行列式乘上e，这就是零。我看到两个相乘等于零哦，明白了，原来你这个人的列。

你这个人的列。就是我这个方程组的解。那所以说你的列就是我的解，我要找几个，我要找三个线性无关的，我找三个线性无关的，而一和三不共存。一和三不共存，我可以找谁呢？我可以找一二四。二三四。都可以好，这个点出来了。所以说你的答案是一二四，可以你的答案是二三四，

也可以。你发现你看这是一个基础解析吧，这也是个基础解析吧。所以基础解析是不唯一的。所以你就是我的一个基础解析，你能听得懂吗？你就是我的一个基础解析，你也是我的一个基础解析。好了，这个题啊，我们就讲到这。所以说你会发现，只要基础解析一出三大点，解个数线性无关啊，这是这个问题。

然后接下来我们再来看第二事情，你要进行去求这样的一个抽象性方程组的通解，就是来求基础解析。求基础解析，先搞系数矩阵的值就知道了s是多少个，我就要找多少个线性，无关它的解。好，这个题好，这是这个问题吧，我们就讲到这，你如果连一三不共存都没听懂，那这个题。又听废了最精彩的点，又没有听进去。

每次不要错在那儿啊，你错在那儿就非常划不来。好，这题过去了，听明白了给我回分。你下去好好想想。我是不是？在那个上次节课那节课对吧？上次课上次课我给你串过这个知识点，就是这个伴随的这个问题。这个题考的比较丰富。好下去好好想想。我们要找三个。线性无关的，它的解。

啊，你这两个线性相关不行。好，这是这个问题。可以了吗？那么接下来我们就继续，我们再来看看下一个问题，非其次线性方程组。啊非集词。那非线性方程组啊，也是啊，其实三个事情，那这里面当中我们先来看看第一个问题，第一个点非其次线性方程组解的判定。啊，

这个解的判定。那一个飞行方程组，它什么时候有解，什么时候没有解，什么时候唯一解，什么时候无穷多解解的判定。还有一个事情是求解问题，其实还有一个是抽象型方程组的求解。对吧？你再品品吧。如如果到这种问题了。你都没法理解。你这个问题点就非常大了啊。好了吧，这个事情我们就说到这啊，

所以说这几个问题，那么接下来我们先来看看第一个点啊，第一个事情那就是。方程组解的判定。那企业的判定的话，你要注意一个问题。一个非其次线性方程组。它的解有三个情况。它要不然没有解。要不然是唯一的解。要不然就是无穷多金。如果有一个题，他给你打一个晃子，他说什么呢？他说这个人有两个不同的结。

那就不可能是无解，也不可能是唯一解，那就是它。这要想清楚。它只有这三种解的情况。那么，这个解它有两种问题。一种问题的话，其实就是用智，我先说一个问题，我上课讲的这些东西啊，你必须要非常透。极其通透，就是每一个点不能卡壳。一定要把它搞得非常的清楚。

这是基本知识点。你所以说像这些这些知识点呢，你必须要把它给过关过去啊。那么，首先我们先看看用智用智这个东西啊，你先看第一个问题。如果什么东西呢？如果这个时候就会出现一个问题点。就会出现这个人的值。余什么呢？余这个值。那这个时候我就要判断系数矩阵的值和增广矩阵，如果这个东西都不相等。那这是无解，你注意这是充要条件。

如果这两东西相等。然后相等了之后呢，再来跟a的这个人的列数进行比。等于列数原来是只有零解，现在就是唯一解。如果这两个东西相等，然后跟这个列数进行比，小于这个列数呢？那这就是无穷多解。对吧哎，这是无穷多解，所以同学们注意这三个部分都是双箭头。都是充要条件。能想清楚吧，哎，

都是冲要的。然后接下来我们再来看，还有第二个问题，如果系数矩阵呢，它是方阵，我是不是还可以用行列式啊？可以用行列式。那行列式首先第一个问题，如果这个行列式它不为零呢？你发现这个人。它是个方阵。那根据克拉默法则，好多年没考了，这是今年的热点。根据克拉默法则，

如果这个行列式不为零，它是唯一解的充要条件。你看吧，如果你是唯一解行列式，不为零行列式，不为零满足的结果一定都是唯一解，你看这是个充要超前。而且这个解啊，我也要需要进行去重点谈一下。好了，同学们，你注意啊，这个克拉莫法则，你要会。那这个克拉默法则，

比如说这是a矩阵。然后这是s1s2s3s。然后这是b1B2B3b4。那么，接下来我们来看看这个问题，你比如说举个例子。嗯。怎么写？写一下吧，一二三四s这不能选s这abcd。然后这是。七八九十一一二三好，假设这个点。我随便写的。那么，

同学们注意，这是a。如果这个a的行列式不为零。它就有唯一的解。而唯一的解答x1等于什么呢？x1就等于这个a的行列式一二三四。abcd七八九十一一二三能学会吧？好唯一解那唯一解了之后的话，这个分子是什么呢？你要注意，我要求第一个人。我就把它的第一列换成这个尾椎。好，第一列换成尾缀。其余人的这个abcd。

七八九十一一二三，这是不变的。你要注意，这就是克拉姆法则。然后我们要去求x2呢。你这下面这个人不变，那求s2的时候你就要把怎么办？你就要把第二列跟我换了。第二列换成b1B2B3b4。好了，第二列换了，然后这个第一列它不变，一二三四七八九十一一二三。能学清楚吧，所以说这个时候你就要想清楚。

啊，这是这个问题。你求s1就是把第一列换成尾缀，这个行列式除以这个行列式s2就是把第二列换了之后，这个行列式除以这个行列式。好了，听明白了给我回复一，你注意，这是今年的热点啊。对吧，吹到。两分题的考题是一道非常非常这个出呢出非常漂亮，也不难，然后你稍微进去去转一转这个东西出来了。好了，

这是我们讲的这个问题，所以你注意行列式不为零，唯一解而唯一解，里面当中的每一个人。它其实就是这样的一个行列式，然后分支这个d1，你知道是什么意思啊？这个dn就是系数矩阵的行列式分支d2。移植到最后一个人就是这个人，行列式分支点。你不能这样写啊。这个就这样吧。能理解就行。还是这样吧，写成a的行列式。

好了，这是我们讲的这样的一个问题，然后接下来我们再看，如果这个行列式等于零呢，你注意这是一个问题。如果行列式等于零，我们是推出来，它有可能是无解，也有可能是无穷多解。你注意这个问题啊，把这个点标重点。那么，这种情况我来问一个事情，你就要继续去想。如果这个东西。

无解。我一定能推出行列式等于零吧。比如说这个行列式等于零，我求出来一个是二，一个是三。那这两个东西都一定是无解吗？那不一定，也有可能是无穷多解。所以说这种情况需要进行去检验。听得懂吧，就说你无解，肯定行列式等于零，你行列式等于零，求出来个二，求出个三，

那这两人都是无解情况吗？那不一定，你需要检验。但是你发现如果这个东西是唯一解。我行列式是不是不为零啊？我假设求出来a不等于2a不等于三，那么同学们告诉我，这还需要检验吗？需不需要检验？不需要，因为你发现你能推他，他也能推你。只要满足行列式不为零的人，都是唯一解情况，你检验他干嘛？

所以你就会发现，只有这种充要条件充要条件不检验充。充分条件进行。好了，这个问题你学会了吗？你知道什么时候检验，什么时候不检验吗？你比如说我们再看，如果这个东西只有零解，这是其次线性方程组。其这其次啊，转的过来哦，那一级推出行列式等于零行列式等于零，是不是也是它？这种也不用检验。

充要条件不用你像这种不能回去，你需要检验一下。好把它琢磨清楚。不要乱，有些同学的话，这个思维方式非常乱，你清楚一点对吧？把这东西摆清楚。好了，这是我们讲的这样的一个方程，组解的判定，然后接下来我们再来看看第二件事情，方程组的求解。那么，这个方程组的求解，

首先你要注意非其次的通解。它的核心重点是找到其次通解，再求出一个特解。没问题吧，我还是在这做，只能进行初等行变换画质行最简。我们还是这样做，你只需要把其次通解找到，你再找一个特解就行。所以接下来我们来看看一个题。你怎么做？这个时候你就需要把这个增广矩阵拿出来了。然后这是一一负一，这是一负一四，然后这是四二一，

然后这是四负四，这是16。你注意，这是后面的人。然后这个前面的话，这块是a。你求基础解析，只用看前面。然后记下来一一四四。减去上面是零，这是负二，这是负二，然后这是负八加下来，这是零，这是五，

这是五，然后这是20。那这两行成比例就没了，变成幺幺四。幺幺四。然后这个时候下面这人变成零。我来画一下这个横截体。画下行阶梯变成行最减，上面减去下面这是零，然后这是三。这是零那么接下来我们就来看看了。你要注意这个问题。这是分水岭。这是唯一的自由未知数x3。首先第一件事情，

我们先解基础解析。请你注意基础解析是其次的统计构成的，是其次部分。所以你就不要看这个人了。一个人只用负一个人。给它负一。一倍的它加上三，这是负三一倍的它加上它，这是负一。好了，这个人出来了。那所以说基础解析出来了。然后再去找一个非其次特警。一个非齐次解要满足这个非齐次方程，所以这块就有个等号。

那这时候怎么办？找一个就行了，我给自由未知数负集。同学们告诉我怎么复档？给自由未知数，是不是负零就行了？这不要看了一倍的它等于零。一倍的它等于四。好出来了，所以说最后的通解就是k倍的可塞，加上可塞星。奇通非奇特。奇通加上非奇特，这个人通解你不要，这个人不会哦，

你这个不会，你还能减一减。这个解方程组是最基础的。下次再看看。然后再来看看这个下面的题，还是写这个人来，我们来速战速决。把这个人的增广矩阵。就是a和b拿出来一二负一。负一负一，这是二，然后这是二七一一二负一。然后接下来进行去变换一负一二一减去二倍，减去二倍的话，这是一减去二倍，

这是三，这是零。然后加下来，这是零这是一加下来，这是三然后这是零。那所以说这人变成零零，然后化成行阶梯是这样，反加上去，这是零反加上去，这是五。所以现在我们怎么办？我再来进行赋值。那这一块的话是一个虚线。对吧，你在这里面当中，

这是读唯一的自由未知数，我们先来看看基础解析。基础解析。不要看这个人，你就给这个人什么？给这个人负负一一的话，这是负五一的时候，这是负三。然后再来看看这个特点。非极次特解，非极次特解的话，你就会发现我就怎么办？注意特解的时候你要看这儿，给这个人复零。不要看它了，

一倍它等于一一倍它等于零，所以最后通写是k倍的可塞，加上可塞芯儿。k属于任意常数。跟得上吧，好了，像这种方程组的这个求解你这是非常重要的，你得会解。对吧，这是个基础内容，听啊，这个会写，而且能写的非常好，来给我回复个一，如果不会写的同学给我回复个二。

好了，就这个东西会写。给我回复一。然后这里面当中啊，你解起来有问题，你给我回复二。好了，这是这个点呃，行吧，我们稍微休息会儿，然后你在课间休息的时候，你把幺五七和幺五八这两题把它做了。好了没？幺五七和幺五八。啊，

把那两个东西啊去完成一下好，我们稍微休息会儿吧，一会儿我们继续。好，休息会吧。

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