20.冲刺串讲20-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:09:29

那么，接下来我们继续吧，我们再来看看这个下面的一些例题啊，我们先来看看这个幺四幺这个题，你要注意一会儿做的时候你方向性一定要摆准。就是要看看这个向量组的值，跟它个数之间的关系，如果等于个数是无关小于个数是相关。是相关小于个数，是无关等于个数，我这不就是记不住嘛，就这个页面。所有的这个方向性都落脚点在这。那么，接下来我们就继续吧，

我们来看看这个点。那这里面当中啊，给了一个向量组，他们是线性无关，如果你是线性无关，我立即就可以说这种题是个高频重点题啊。如果你这个东西线性无关，马上这里面当中去写它的这个人的向量组的质怎么了？向量组的值一定是等于它的个数。然后现在下面的这些问题啊，问我们什么问这些东西是线性相关的事。对吧，哪个人是线性相关，你像这种题我原来讲过那么，首先第一种方法就用什么东西啊，

你就用这里面当中的严惩法。而我们考研就喜欢考这个事情。对吧，严处罚。那这里面当中很明显第一个人。你发现这个AA这个人是阿尔法一减阿尔法二。然后你发现你看我这块配一个加号。然后的话，这个部分的话，我再配一个加号。哎，等于零的呀。那这个时候这个东西不就出来了吗？那什么问题呢？就说我这个东西不就会存在。

一一一。你就存在不全为零的系数，让它等于零不就线性相关吗？答案选a。好，这种题比较基础一点，我立即出来了。那么，接下来我们再来看看，那这个题还有没有方法呢？我们再来看看第二种方法。好，再来看方法二。那这里面我们去判断。你去判断这个人的线性相关性，

不就是看你的质跟一二三。个数进行去比较嘛，就看这个质跟个数比。你看这个质跟它的个数比我怎么操作呢？你就会发现我要进行求这个值，我是不是就是对应的这个矩阵的值啊？而这个人的每一列都是由什么东西呢？由一二三表示的，你由一二三表示的立即写成了矩阵相乘的形式。你还能理解吗？那这个时候就是幺幺零。然后这是零幺幺幺零幺，这个结果。然后现在告诉我们这个人的智已经是三。你想看这个人是不是三，

你就看看这个矩阵可不可逆吧，所以说现在我们的所有的工作就看这个事情，你就看这个人可不可逆？来，我们来求解一下吧。看看可逆，就看这个行列式为不为零。那所以说这里面它就是一零一减去上面减去上面，然后这个东西减去上面负一，然后这是零一一哎，这个行列式不为零。这个行列式，这个东西不为零，这个东西啊，就是可逆。

那这个东西可逆，你就会操作了，可逆矩阵不变质，那这个质啊，也等于三。你等于三向量组的质等于个数不就是线性无关吗？所以说这个东西啊，是线性无关。能想清楚吧，好了，这是这个人。那么现在来看看这个方法能不能判断a选项？那a选项这个人的话就是阿尔法一减阿尔法二，阿尔法二减阿尔法三。阿尔法三减阿尔法一。

然后这个东西也由这个东西来进行表示。那这个数是一负一零零一负一。负一零一。好，这个情况那么现在我们已经知道了这个人的智是三，你就想看前面这个智是不是三，我怎么办呢？我想看这个，前面这个人的字啊，你可以这样做，我就来看看这个人的行列式，看看可不可逆，那看看可不可逆的话，我们操作一下。来操作一下这个行列式，

你发现这是一零负一加下来，这是一这是负一而跟第三行成比例。行列式等于零。哎，这个行列式等于零，能不能说明这个东西就线性相关呢？哎，是可以的，为什么呢？这样看。因为你行列式等于零，说明你这个东西不满值。而两个东西相乘，越乘越小，比你小，

也比这个人小，比小于三的更小，那就更小于三。那所以说向量组的质啊，小于它的个数，那就线性相关，所以这个人呢，立即出来了。正确答案选a。那么其实在这里面当中啊，就得到了我们在这个考试当中啊，一个非常非常重要的一个内容。啊，一个非常关键的一个内容。我在讲东西呢，

你怎么又问的十套卷了呢？十套卷的话，应该是下周一二陆续会发货，你不用担心这个问题啊。我们基本上测这个十套卷的话，是下周的话，这是几号啊？你按照这个时间来，明天我们会测这一套。不是你这大脑是怎么发散的？你这样能能集中注意力学好东西吗？好了，我们继续，我们再来看。讲的这么关键呢？

讲着讲着脑脑子跑跑这儿跑那儿去了啊，好了，那么接下来我们就继续，我们再来看。一个定时词。黄金重点内容。啊，定时思维。四位那么接下来我们就继续我们来看看这个问题呃，是这样下周吧。下周看周几，然后呃，我会给数一数二数三同学开一个这个班会。也给我们三九六同学开一个这个班会。那这个班会啊，

我来跟同学们细致的进行讲讲啊，然后我做了一个这个，有很多东西啊，希望跟同学们去聊一下。一个事情是这个复盘的问题，一个事情呢，其实就是这样的一个模考的问题。所以说这件事情对我们很重要，因为每次的话那个呃，我们在那个微博上或者是这个小红刷上或者B站上进行直播的时候，有时候经常没法用这个PPT。因为有些东西啊，得给你们进行展示一下呃，就在我们的这个平台上啊。然后接下来我们就继续吧，

我们来看看定势思维。你发现我说了很多遍。还是很多同学不会做这个事情，说老师我课都听了，为什么我们做我们的这个内部卷的四套卷子做的非常的不好？课都听到有没有把知识点记到脑子里面要复习的？你你看看原来我们基础班带着同学们进行去这个复盘计划，还记得吗？进行了那么长时间，当然强化结束了之后就没有组织了，因为很多同学的这个状态。呃，不是说状态是进度不一样，所以我们就没有组织了。但有些东西就停滞了。

你你这些东西我上课讲完了之后，你下次碰到他，你你跟这个新的知识一样。你什么东西都记不得。然后另外一件事情，你就算上课做过的题，下次我们就算出到模拟卷里面当中，你也觉得这是一个新的题，你这种状态。这怎么行？所以复盘不要停啊。那么今天我肯定要把这个部分讲完啊，然后接下来我们来看。如果在这里面，我们看如果这个向量组。

可由什么东西呢？可由一个线性无关的向量组表述。这个向量组表出。那这个时候我们就立即看。则什么东西啊，立即可以，只得到这个人。则把这个人摆到一起，立即写成矩阵相乘的形式，还记得吗？这个问题通过刚才这个部分的内容，我们就知道第一件事儿，如果这个行列式它不为零。那这个时候我们就来看看，就能得到前面这个人是线性什么官线性无关的。

然后第二件事情，如果这个行列式怎么办？行列式等于零。然后这个东西就线性相关啊，这个。好了，这就是我们在通过刚才这个题啊，我们得到了一个非常非常重点的内容。对吧哎，非常重点的内容。所以希望同学们下去啊，你还是好好看，因为呃，下周啊，我们是明天的话会进行这个。

就明天上午是二零二一年的真题卷子，这套卷子啊，稍微会呃，但是很重要，因为近三年的卷子都很重要。然后14号那天我们测二二年的。16号的那天我们去测二三年的，这应该是个下周二。所以说这就是下周四。下周四啊，我们会把这三套真题卷呢，给同学们解决掉。啊，把这个卷子解决掉，然后这个时间。

那就是下周六。啊，下周六你下周六的话，你肯定这个书早都收到了啊。这肯定收到了，你按照这个时间。能理解吧，这个部分。什么一起讲解，你看课表，你要看我们这个时间是模考的时间，就是给你们提供这个直播间来进行去模考。一般都会当天的下午。讲当天的卷子，或者是当天的晚上讲当天的卷子。

呃，再不济，有可能我下午和晚上我有可能有课，如果下午和晚上都有课，那在这里面就是跑到这个第二个部分。就是第二天的上午继续去讲，你听清楚了吧？一般是考一次讲一次，考一次讲一次。啊，这个我们只考数学啊。我又没法给你讲逻辑和写作，我们只考数学。能理解吧呃，你可以这个比如说我们考了这个数学了，

你想把这个逻辑和写作做了，那你就得考到11点半。啊，你就得考到11点半。那然后我们这个十套卷里面当中只有这个数学啊。能想清楚吧，好这个问题你想要进行去，加上这个逻辑和写作，你就考到11点半。好了，这是这个，我们就说到这。可以了吗？所以说下去啊，把这个东西啊啊处理一下。

好了，这是这个问题吧？过去了，可以吗？哎，把这个点。所以说这是我们在这里面当中的这个地势思维能力，你下去把它好好进去去看看。对吧，这个第14位。那这是我们在这里面当中讲的，这个人如果这个人能由一个线性无关的向量组表示立即写成矩阵相乘的形式。你就得到这个关键点。好了，这些东西啊，

能不能记得住最后一遍啊？把它给我当做成最后一遍，记住能想清楚吧。没有下一遍了，同学们，当然我们最最后我还会有一个考前点睛课程，有四个小时，这四个小时我们就会把这个前面这些部分东西啊，再给你们串一遍。但是你不要认为还有下一遍没有了，这就是最后一遍，你再也记不住我，我就疯了，对吧啊？好了，

这是这个问题，那么接下来我们就来看看啊，这是这个考题，那么其实这个题目啊，它还有一个方法。你还可以这样做。那么，在这个题目当中，你就会发现一个事儿。你这个人的智等于几呢？你这个智等于三。我判断这个线性相关还是线性无关，不就是想进去去看看你这个人的志到底是不是赞吗？所以说这是阿尔法一减阿尔法二阿尔法二减阿尔法三阿尔法三减阿尔法一。你还可以，

怎么办？你通过裂变换。初等变换不变，值把第一列直接加到第二列，加到第二列就是阿尔法一减，阿尔法三。阿尔法三减阿尔法一。把第二列再加到第三列，这是零。你有一列是零，你这个值肯定是小于三的。有一列是零，肯定小于三，那说明你这个人就小于三，如果你的质小于三，

你不就相关吗？然后再来看看BB，这里是阿尔法一加阿尔法二阿尔法二加上阿尔法三阿尔法三加上阿尔法一。你也可以进行去列变换。那列变换了之后的话，把这个人的负一倍加过来，是阿尔法一加阿尔法二，那是阿尔法三减阿尔法一阿尔法三加阿尔法一。把这个人的一倍加过去，你加过去，这是两倍列变换，乘上二分之一不变，然后这个人的这个倍数加过去，它不变。这个这个不加完了，

然后这个人的1倍加过去，它不变，然后这个乘上负一，这是它，然后你把这张调一下。调一下这个人质啊，也不变，因为触动变换有三种嘛，倍加倍乘，还有这互换，所以现在我们都知道哎，这个质是三，所以你的质是三。你的质等于你的个数线性无关。好了，

这个题。所以像这几种方法你都得会。其实这个第三种方法很好用。对吧，很好用，所以这几个方式啊，当然我们很喜欢考第一种方法。到时候我们进行去呃精做二一年，二二年，二三年真题的时候，我给你好好给你剖析。对吧，我给你讲真题卷子的时候好好给你进行去剖析，你就会发现我们三九六同学的这个卷子啊。它真不是说难，

它是巧着难。他不是那种狠着来，他不像数学一数学二数学三同学的卷子。它不是那么这个非常狠的难，它是巧着难，它有点巧度，你就算去年考研真题当中考的那几个题目。它也有点巧巧的，在这里面当中啊，这个部分。好了，这是这个人啊e选项，这个人也是是吧？你去判一下吧。你可以去求一下这个行列式。

啊，这个行列式如果等于零也是的什么我们可以做一下，比如说这个e选项e选项是阿尔法一+2倍的阿尔法二。负的多少呢？二倍的阿尔法。然后加上二倍的阿尔法三。负的2倍的阿尔法三减阿尔法一。然后接下来我们就来看给这个东西啊。把它乘上它对吧？我们进行一个变换列变换了。列变换了之后就变成算了，我们写一下。所以说这个列变换的话，阿尔法一+2倍的阿尔法二，然后这是负阿尔法二呃，

或者直接加吧，你加过来之后的话就是阿尔法一。加上二倍的阿尔法三，然后这是负二倍的阿尔法三减阿尔法一，你加过来这块变成零。你这块变成零的话，它小于三啊，这个也是相关的一也对。能理解吧e这个东西也对。好，这个人好了，这是这个事情吧，我们就说到这。能想清楚吧，哎，

这个部分等于零，有一个等于零，这肯定小于三。然后接下来我们就继续，我们再来看看下一个问题啊，142题这个题。考研没有选多选题，政治当中有多选题，我们只有单选题。那么，接下来我们就继续吧，我们再来看看幺四二这个题，那这个题啊，然后我们去判断哪个人是线性相关的？你判断这个线性相关，

不就是判断什么东西？你首先你看这个选项，这个选项立即排除。因为向量组当中的向量个数。超过的为数。呀，信息相关。那这个也对哦。立即选上。这俩题不好意思，我出的有点失误啊。这个也对对吧啊，这个也对。那么就说，如果你发现一个事情，

你如果告诉个数。超过了这个人的尾数。b相关好了，这是这个问题吧？行吧，你放到这，这不影响这个讲义嘛，上课反正我们都讲模拟卷里面当中都是单选题啊。如果这个人的个数超过了尾数，你看三位小量，你这个数。因为你都知道这摆到一起的字，它不会超过三的，而你要跟四比。它一定小于四，

它必相关。然后去判断这个abcd这几个人息息相关。与否其实就是重点，看看这个质与它的个数三进行比。所以你要看一二三的值，你要看一二四的值，你要看一三四的值，你要看二三四的值。你看这个痣就要把它变换，你看这个痣把它变换，看这个痣把它变换，看这个痣把它变换，你还不如一起来变换。就是零零c一零一c二一负1c三。负1 ec 4同学们告诉我，

如果这个人线性相关质是不是小于这个数啊？如果这个质小于个数变换完的结果，肯定有一行全为零，对不对？没问题吧，肯定有一行全为零，你就思考一下，你变换了之后能让哪个人的全一行全为零呢？哎，我发现了一个事情，这是一负一负一，我加下来。我加下来，然后这个时候你就会发现一个事情，哪些人呢？

这个人全被零。你有这个东西全为零，那就不就说明哎，你这三个人，那就是对应的阿尔法一阿尔法三阿尔法四。这个人的智啊，他肯定是小于三的。你不要看这一点。这个质是不是小于三质小于三，它就线性相关，所以是一三四选c。好了，这是我们讲的幺四二这个题啊，所以这个ce都对。好，

这个题幺四二。然后接下来我们再来看看这个幺四三这个题，这个题啊，考的有点难。但是这个题考的非常好啊，考的非常好，有点难度，有点意思。那么这个题考的是什么呢？他这样说。他说这个东西啊，当中尾数是什么？哈哈，这不太好吧。这是几维向量。

啊，这不是三维向量吗？向量当中的这个个数啊。你别这样啊，你这。你比如说这是个行向量，这是个几位向量。也是三倍下来吧。它有三个分量嘛。别别别，这样你这这你这咋弄的？好了，那么接下来我们就继续吧，我们再来看看下一个问题。来继续能补回来了，

慢慢补。对吧，一定要补回来，这个不能这样，这是最基本的问题了啊。然后接下来继续它这个向量组线性相关呃线性无关是这个人线性无关的什么条件？谁先行无关。是你先行无关。是这个人限行无关的，什么条件同学们要注意这个问题。谁推谁好推啊。应该这个方向对吧？在这里面当中啊，你从这个方向好推。因为你发现你是由我来表示的呀。

你告诉我这个方向叫什么信呢？你是它的什么条件？你是条件，这是结论，这叫必要性。哎，必要性，那必要性，我们进行解决它，我们都知道你这个东西，你想判断它的线性相关性。其实就是看看它的质跟谁的。这个人的质跟他个数之间的关系，两个要看这个质跟他个数的关系，你由我来表示立即写成矩阵相乘的形式吧。

那这时候就是一零k。然后这是多少零一l？那么，同学们告诉我件事，你这个人满不满值啊？因为你发现一个事，我们要想清楚这个问题。他说，那就是已知什么东西呢？来推一下已知阿尔法一，阿尔法三二，阿尔法三线性无关。只要见到线性无关，立即推出这个东西是满质的，而你会发现。

这个东西是个三维向量，你竖着摆就是就是三行三行三列是不是方的方的的话，这个人就怎么了？这个人就可逆。这没问题啊，这波内容非常简单可逆，所以你会发现这个人可逆。然后你告诉我这个部分的行列式不为零，这个人的质等于几啊，这个质等于二。能想清楚吧，哎，这个人质等于二。所以说你可以这样去想。两种方法都行，

第一种同学说这个人是可逆不变质，你是二我是二，这是第一类同学。第二类同学可以这样走，因为这个人列满职，你就不用判断可逆了，因为这个人列满职。那这个东西的话，你发现这个不好满足，这个不行，那不能这样推。你只能走这个方向。你还只能看这个。因为你右乘你右乘得行满值，这个不行。

所以说这个人行列式不为零可逆，你是二，他就是二，你的向量组的质等于个数，所以说怎么办？立即退出它，无关这条方向行不行？可以的，必要性是对的，好了，听明白的给我回复一。这应该没问题啊，你见到线性无关，你能写出字吧，你能看出方阵吧，

你方阵的话，这个行列式不为零不就可逆，这非常简单，串了N多遍了。一下就秒懂了，然后你这个东西能与我表示立即写成矩阵相乘的形式。好了，那么接下来我们稍微这里面当中啊，比较难的是这个方向。就这个人，那这个姓呢，叫做充分性。这比较难，你线性无关，我就线性无关嘛，

哎，我看了一下。你这都是阿尔法三，阿尔法三。那如果这样。我去取阿尔法三=0。而阿尔法一和阿尔法二线性无关。那这个时候它不就是阿尔法一阿尔法二吗？你告诉我这两个东西满不满足它线性无关？力气是满足的。你是线性无关，但是你发现有一个零呐零向量，如果一个向量组当中含有零向量b相关。但是你这个人你推不过去啊。不对，

举了一个例子，它不对，它就不对，所以说是必要非充分条件，答案选几选a吧。必要非充分条件琢磨清楚了吧，把这些点呢，你想清楚。所以说一定要继续去看到，如果这个向量组能用这种表示立即写成矩阵相乘。那你发现我就取阿尔法三=0。你只要包含零向量，它一定是什么？它一定是线性相关的。好了，

这个题啊，我们就讲到这听明白了，给我回复二吧。然后我们再来看看下一个题。啊，再看这个题。这个题目呃是相对比较容易的一个题。你想想一个事情。你的线性相关性是你的质跟s的关系。你的线性相关性是你的质跟s的关系，首先这里面当中你必须要知道一个事儿，一个矩阵乘向量，所以我们呃写到下面。好注意，这里面当中啊，

你必须要知道两个事，第一个事情。一个矩阵。乘以一个向量。对吧，这均为什么东西啊？为向量。因为你琢磨下，你看。你是这个人。你是一个m×n的，你是一个n×1的，你最后乘出来的结果不就是m×1的吗？它一定是个向量，一个矩阵乘向量，

它就是个向量。好了，想清楚了，这第一个问题，第二件事情。你发现如果一个矩阵。乘上裂缝块帧。那这个时候是不是就可以把它抽出这个什么抽出来，你就可以乘你看，因为我们都知道分块矩阵相乘，这大体上是一×1。这个大体上是一×3，你能看得懂吗？一×1和一×3可以乘，那这个东西就相当于把它分配进去。

就相当于把它分配进去，那如果这个东西都在这儿。我就相当于可以把它抽出来。对吧，就相当于把它抽出来。好，这个问题，但是不要胡做，有的人说哎，那这这样的话不也行吗？这阿尔法一阿尔法二我也可以乘上a呀。行不行？这不行，因为大体上是一×2，大体上是一×1，

这没法乘。乘不了它，只能在什么？只能在这个人的左半边，如果这样相乘的话，必须是这样。大体上是二×1，这是一×1。你这样可以，所以你要想清楚这个问题啊，把这个东西要注意一下。好了，这个问题我们就讲到这。哎，这是这个点。

好了，没想清楚这个问题哦，好了，去看看。那这是我们在这里面当中说的这个第一个事情。你看吧，我要判断他，就是他跟s判断他，他跟s首先我们可以去找一下这两人之间的关系。那这俩什么关系呢？那首先我们来看看你这个a塔a塔。一直是a它。你这个东西不就是a倍的它吗？那所谓越沉越小。你这个东西a阿尔法一移植到阿尔法s这个人。

你多成立一个，你肯定是比这个人小，这没问题吧？好，这个东西出来了。那么现在我们就来判断。那么，这里面当中给的这个AB选项。a选项和b选项。那么其实就告诉我们，线性相关，如果线性相关，它是小于个数。哎，那你想想一个问题，

你都小于s。那是不是就立即可以推出什么东西啊？你a阿尔法一这些人是不是也是小于s？你向量组的质小于个数，不就是线性相关吗？答案选a。所以这个b不对。能听懂吧，然后再来看看c选项和d选项。那这个判断这个判断不出来，无关我们再看看。那如果这里面。其实e选项也得选。这个题啊。应该出成相关现行相关行为制啊。

所以我们再来看看d选项，你这个是无关无关的话，就说明这个向量组的质怎么办？它等于个数。哎，你这个等于个数的话，你就会发现非常稀奇了。那我就推出了a阿尔法，一到a阿尔法s，它是不是小于等于s？你小于等于s的话，小于就是相关，等于就是无关，所以这个东西说不清楚啊，这个也对。

所以选a什么ae啊？好了，你别管这个事儿，你把这个东西学清楚就行，理论性的东西啊，把它想清楚。跟得上吗？所以你要琢磨一个问题，你发现我们做了好几道了。我们做这几道题啊，你就会发现，如果让我们进去去判断线性相关性，其实重点而言就是让我们判断一个事儿。判断这个向量组的值跟它个数之间的关系。你如果这个质等于个数是无关小于个数是相关。

就是判断这个向量组的质跟它个数的关系。能想清楚吧，好这个问题啊，我们就讲到这。那这是我们在这里面当中啊，讲的这一部分内容。可以了吗？好，这是第一个问题。呃，然后的话，这个今天下午。我们再继续上一节课，可以吗？啊，

今天下午我们再上一节课，然后把这个东西讲完，因为这个今天晚上我还有一节课。呃，这个一般的话，那个真题刷题班有的时候都讲了三个点呃，晚上因为我们还有一节课。晚上还有一节课的话，这个。我们就下午讲，可以吗？啊，下午讲。方程的个数小于未知数。系数。

矩阵的维数小于个数。你这样这样进行去学，你肯定这个东西啊。你老是进行去背啊那。它是一个什么东西呢？这个m其实绝对呢，方程的个数。然后这个列数决定了未知数的个数。那这个东西说什么呢？如果方程的个数小于未知数的个数就是m小于n。那你告诉我这个系数矩阵的值怎么了？它系数矩阵的值怎么？也就说你这个m小圆。你m小于n的话，这个人最大到这。

所以这个痣永远都会小圆。那这个东西叫做有非零解。注意啊，叫非零解。不是只有林杰。你敲的有问题。好了，这是这个点吧？我们说到这。你不要硬硬着来。他给你一转换了一个词儿，你就学不会了，你换一个词儿，你就不会做，这可不行呃，

下午我们继续吧，下午两点钟。两点钟啊，我们把这个线性代数后面部分内容我们给全部结束啊。下午两点啊。可以了吗？那行吧，那么中午稍微的休息会儿，然后的话，这个后面还有一些部分内容。我们得下午的时候把这个方程组啊，还有这个线性表处啊，好好进行去串一串。啊，好好进行去串一串这个东西。

行吧，那么你刚才说的那个问题啊，我下午再进行讲，我下午再讲到这个七正方程组的时候我再给你说。你其实一定要注意。只要是这个零解和非零解的问题，最后都要转到质，就要用这个质跟它的列数进行去比。能想清楚吧，好这个问题我们就讲到这。可以了吗？行吧，那么这个板块内容我们就说到这，下午我们继续，下午我们就把这个整个的这个第一个板块内容全部结束。

然后明天上午的时候啊，我们去测试这个二零二一年的考研，这个真题的套卷啊。那行吧，那么今天课程我们就讲到这。好，中午部分内容我们就说到这儿。那行吧，我们下午继续吧，好，下午见。

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