20.冲刺串讲20-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:09:16

接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测试声音啊，能听的声音啊，去画面没问题啊，请回复一好吧，先保证一下这个正常网速环境没问题，我们准备开始了。那么今天我们就继续开始我们的三九六的金啊，金棕数学的这个冲刺救命班的课程，那么还剩下最后一点知识点。然而，这个最后一点知识点呢，非常的重要，所以说在这里面当中啊，我专门进行去做了一个这个PPT，

然后这个今天的过程当中啊，讲题的时候我会给你切过去。然后这个讲这个内容的时候，你好好跟着我把这个东西啊，你给串起来，因为我们进行去学习这个线性代数啊，你发现这个第一章。行列式啊，这一章的难度系数不是说特别大，对吧行列式这一章的东西，你只需要迈过去几个点呢？一个事情是定义，一个事情是性质，一个东西啊，其实就是我们的展开定理，

你把这三个事情迈过去，基本上就可以了。然后到了这个矩阵。你发现这个矩阵的前面那么其实第一个事情就是一些重点的公式的记忆，你需要记住这些公式。然后第二事情其实就是初等变换。那这个初等变换呢，可能会比较重要一点，然后第三个事情就是这个矩阵的值。然而，从这个知识点开始啊，我们的这个难度系数啊和档次感就上来了。所以说这个后面这个板块很多同学的线性代数学的不好，都是因为这个后面部分。一个事情是矩阵的，

值一个事情线性相关性，其他方程组飞行方程组矩阵方程向量组的表处。所以说这些问题啊，我们今天过程当中会跟同学们进行去把这个东西啊，系统性进行串一下，你把这个部分问题串清楚了之后，我相信这个板块立即就迈过去了。呃，是这样。呃，这两天呢，对于数一数二数三同学，我也通过了两张PPT啊，应该不叫两张PPT两个部分的PPT，把这里面当中的重难点给串起来了。

那么这个部分呢？也叫做这个黑金版的，这样的一个PPT，所以你好好听，因为每次板块呃涉及到这些点呢，都会相当重要。那么，接下来我们来看看这里面当中有哪些部分内容？那么，首先涉及的这个第一个问题啊，其实就是矩阵的值。那矩阵的制啊，难度系数比较高，这是我们在三九六数学当中啊，这一个分水岭呐。

对吧，这是一个分水岭，很多同学这个线性代数学的差，都是因为从这个板块开始，从这个板块开始了之后啊，有些同学的这个线性代数。啊，不太行了。这之前呢，学的都很好，求一个行列式啊，求的非常顺。求一个矩阵的逆矩阵，伴随矩阵矩阵进行运算等等，一系列的公式学的都很好，

但是从这个知识点开始啊，有些同学问题点非常大了。这个知识点是我们整个线性代数的过程当中的一个命脉。把这个东西学好了之后，然后接下来第二个问题就是线性相关性。线性相关性迈过去了之后，然后就是其次线性方程组，那么对于一个其次线性方程组而言。第一个事情，其次线性方程组的解怎么去解？其次，线性方程组的基础解析怎么去找？那么，这两个问题啊，其实是我们比较重要的问题，

当然还有解的判定，然后接下来就是飞行方程组，那飞行方程组啊，也是两个事情。一个事情是他的，求解。另外一个事情有没有解的一个判定？对吧，这是这样的一个重点，然后紧接着就是我们的线性表出问题，线性表出之前的话，你发现有一个这样的一个知识点叫矩阵方程。这也是我们从去年开始了之后啊，非常重点内容，你一定要学，

你看去年考到了，然后其实就是矩阵方程。那矩阵方程呢？你要会做解，你要会做判定，其实对于我们三九六同学，我们考的这个重点都是在这个判定。呃，我觉得这个这两天呢？我看到了很多，我们三九六同学的模拟卷，有些这个模拟卷真的不把我们三九六同学这个当考生来考。啊，你这样进行去出题，你能考多高啊？

你做那个模拟卷必然做的差呀。我看了好几刀。是数一数二数三同学。啊数一数二数三同学12分的大题。已改改成两分的小题。你这样进行去出，这是没法考的。比如说我们在这个无条件机制当中，以里面当中有一个部分问题叫做二元隐函数。二元隐函数的无条件机制，那里面当中的数据都是一样，就是数一数二数三同学的卷子里面有一道是这个零几年的考题。有一道是一几年的考题，原封不动的摆到这儿，把它给我改成选择题，

你这能考啥呀？所以这里面当中，你这样进行考，你能把它做得好，那就见鬼了，对吧？你两分钟能做完？人家要求这十几分钟做完的题，你这两分钟能做完吗？虽然是我们去年过程当中啊，有部分的题考的难。比如说去年的无条件机制考的难，但是那个题啊，如果你上手了之后的话，你想进行去用定义法，

你去看看那个点和。和它邻域之间函数值之间的一个关系。对吧，你去看看这个关系，那这个时候的话，你发现那个题也很好做，它这个东西它叫巧。它不是从这个里面当中进行去累运算量，那这个东西就不是我们三九六同学的考题卷子了。行吧，我们不说了，然后这个矩阵方程等这个东西啊，你发现这是我们在这里面当中比较重要的三大点。啊，这三个问题。

那其次，性性方程组。非前方程组矩阵方程这三个东西一定要会解，它是这样的关系，你不会解，其次你就不会解，非其次。你不会解非其子，你必然不会解矩阵方程。而这三个问题你不会解，马上下来的一个向量组的表出问题啊，那这个东西啊，是一个重点。哎，这个点你一定学的不好。

这个东西如果学的不好，然后接下来的向量组等价，你肯定这个板块你又学的不好。所以你看看这几个知识点，它是一脉相承的，所以说这是个基础。其次，学好了非其次就没问题，非其次没问题，矩阵方程就没问题，然后这样东西没问题啊，这个向量组表出就没问题。然后最后一个事情向量组的等价。好了，这个问题啊，

讲完了之后，后面还有的一个事情，那其实就是我们的方程组的同解和公共解，那这个东西啊，也是个重点。那么，这两年我们已经喜欢考到这个童节的问题，已经喜欢考到这样的一个公共节的一个问题，对吧？你看这样的一个点。把这东西讲完了之后，最后还有一个知识点，其实就是极大无关组的求解。好了，这其实就是我们线性代数当中的重难点。

你看吧，就这九个内容，但这九个内容啊，我们已经学习了一年了。对吧，一年当中啊，核心重点就学这些东西，然后最最后啊，你发现这个板块内容当中啊，出题量也比较多。那么，其实我们在这个第一章当中行列式，这章一般会出一到两道题。矩阵当中运算出一道。然后初等变换出一道，

然后这里面当中啊，其实就是三到四道题，那后面的部分当中啊，应该会出三到四道题。能理解吧，把这个方向性把它想清楚，所以首先我们先来看看第一个问题，矩阵的知识。那对于矩阵认知质啊，我们要学习几个问题呢？其实只有三个事情，一个事情啊，是矩阵质的定义啊，这个东西会考。我们很喜欢考定义。

对吧，我们喜欢考听呃，你上课听为主，你来不及记得。能理解吧，你听为主一般的话，这种PPT我都不发。嗯，我今天会给你们导过去。啊，会给你们导过去，你不用进行去抄哦，你来不及的，然后接下来呃，我觉得这个今天的课程应该这样听。

就是你的思维啊，应该在我的前面。我提到这个东西，你脑子一转就出来了，我提到这个东西，脑子一转就出来了，如果你脑子转不出来，你要把这个东西啊标注出来。能听懂吧，要会听啊，要会听课。那么，接下来这是第一个问题，矩阵的质的定义，然后第二事件其实就是矩阵质的求解，

你怎么算它？然后第三个事情就是矩阵的制度公式。对吧，矩阵制的公式，所以这三个问题是我们的重点第一。求解公式，能想清楚吧？好了，那么接下来我们一起来看看第一个问题，我们先来讲讲矩阵制的定义。那么，同学们想想矩阵的制它怎么定义的？那首先在这里面当中，我们定义了一个概念，叫做k阶子式。

对吧k阶子式那什么叫k阶子式呢？比如说这里面当中，我们来来一个矩阵。这是一二三四五，然后这是零一二三一零零零一二。然后这是零零零。好，这个部分那这样的话，你发现我们给了一个。四×5的矩阵。什么叫k阶子式呢？k阶子式的意思啊，就是我在这里面当中，比如说举个例子，我要进行去取。

二阶子式怎么取啊？我就随便的进行去取两行。随便的进行去取两列，然后这样对应的这几个数把它摆下来，这个行列式就叫做一个二阶姿势。如果它等于零，就叫二阶的为零姿势，如果它不为零，就叫二阶的非零姿势，能听懂我的意思吗？那很明显，这个人等于一，他是不为零的。所以说这个东西啊，就是一个二阶的非零子式。

你看这是这样的概念子式，那如果我们取三阶子式呢？三阶子式就取三行三列。那这时候一取的话，比如说我们呢，把这个数对应下去，二三四一二三，然后这是零零一这个行列式。那这个行列式用这个一进行展开，这是四减三，这是一波为零，也是一个非零子式。能想清楚吧，好了，这是这样的一个问题，

所以你要理解什么东西叫k阶子式好这个点。那么，接下来我们来看看矩阵的知识怎么进行去定义的呢？它这样进行定义。那比如说我们在这里面还是写刚才这个矩阵啊，我们多写几个一二三四五六。零零一二三四，然后这是零零零二三。然后这个部分是所有都是零。好了，我们一起来看。那么，请同学们告诉我一个事情，你在这里面当中啊，你能取到的最大阶这个姿势是几阶姿势啊？

最大是几节，你最大只能取你看这个矩阵是五行六列。你最大只能去取五阶姿势。但是你只要进行去取五节。我说最大的。我不是说feelings是听字啊，一定要听清楚啊，不是feeling我说最大能取几阶五阶吧。但是你只要取到五节，你就一定会取到某一行，全部都是零，那这个时候所有的子式全为零。你看它的子式全为零。然后接下来我们再来看四节。如果你进去去取四阶的时候，

你比如说你把这人取了，你这两行肯定要取一行，所以说这里面当中肯定有一个人的。也全部为零。有一行全为零，这个此时就全为零，能理解吗？然后接下来我们再来看看这个三节。那三阶的话，你发现如果我们是这样取。诶，你发现这个三阶当中这样取啊，这个东西有为零的。对吧，这个东西是为零。

能听懂吧，如果你发现你看你这样取哎，这个东西也为零，因为最后一行全为零也为零。但是你发现一个事儿，我如果真要去呢？你看我取去哪儿呢？我在这里面当中都知道这是一个行阶梯矩阵，不卖关子了，你是个冲刺班同学。那如果我就取这个阶梯口，这一点这三点，然后那三行呢，你就会发现这个东西是一。这是一，

这是二，下面全是零。这个行列是不是就不为零了？那同学们注意，你发现从这一集就出现了一个不为零的，哎，从他的第一代开始。全为零，全为零，从这一带出现了一个不为零的，我就把这个什么我就称这个数啊，为这个矩阵的。之。能想清楚吧，出现一个就行。

是所有人都为零吗？不是的，只要出现一个就行了。你看它出现了。当然，这个三阶姿势啊，有为零的也有不为零的，只要它出现就行了。所以你就会发现一个事儿，这个东西不为零的行列式是不是这里面当中最大的不为零的行列式啊？是不是啊？比我再大的四阶都为零，比我再大的五阶都为零，我这一阶就是最大的。所以说这里面当中矩阵的质是怎么定义的？

他这样定义，他说这个矩阵的质是r就是a当中。最高阶段。非离子式的接触。能理解吧，你可以这样理解，就是在这个矩阵当中取不为零的行列式最大的。最大的这个人的接触就是他的一个值。能想清楚吧好，这是这个问题，你就是在这里面当中能取到最大的不为零的行列式。你再大一点，它就为零了。好，这是这个问题，

所以说它的质啊，就是它，你当然也可以这样定义。比我高的人。此事都为零。而我这一届呢，有一个不为零的，所以你看所有的比我高的这个人的接的姿势全为零。当然，有的没有比我高的，那我们再说对吧？比我高的全为零，然后存在一个我这一届的不为零。那我就是这里面当中最大的不为零的行列式结束，能想清楚吧？

好了，这是这个点。行吧，这是这个问题，这个痣听懂了吗？你看它这个质啊，它等于三怎么进行定义的？好了没？可以了啊，好了，这是它的一个质的情况。所以你会发现质是什么呢？这就是这里面最大的不为零的行列式的结束。再比我大都会等于零，我这一届有一个不为零了。

那这里面当中，我想说一个事情，你比如说以这个题为例，我问几个问题啊，你琢磨一下。因为这个题的质等于三。所有的三阶子式都不为零吗？这句话对不对？不对，我们只要存在一个就行了。在我们这一代啊，存在一个不为零就行，我们这一代啊，不一定都优秀，有些人呢，

也是等于零的。对吧，只要有一个人不为例就行，那我想问一个事情，第二件事情他的后代呢？我想问一个事儿，二阶会什么情况？一阶什么情况？哎，注意下，这就未知了。如果你的智齿三。你看你的二阶子式，比如说取的是这个人，他等于零，

你取这个人不为零。对吧，他的后代啊，说不清楚了，就是你只能管住这一级。所以我们经常讲这个东西叫家族之光，对吧？后面就说不清楚了。他的后代啊，当然有优秀的。也有这里面当中不优秀的啊，就是这种情况。好了，这是我们讲的这个知能听懂吧？要知道如果我的智是三比我高一点的行列式都等于零。

我这一节有一个不为零的好，这个问题那么接下来我们来看看几个点，我们思考几个事情，如果这个矩阵是零矩阵的。零矩阵的话，你发现怎么取都是一个什么？都是为零的子时，我们规定一下，这个时候它的质啊就是零。要注意，这是一种规定，邻居证的质啊，就是零。那大家想想，如果这个矩阵不为零呢？

另外一件事情智。永远都是大于等于零的，听得懂吗？质永远都是大于等于零的，质没有小数质最小是零，然后一二三四五六七八九十。零这个质啊，零开始的零一二三四五六七八九十，所以说它最少都是零。那如果矩阵当中有一个人不为零呢？你想想。那这个矩阵不为零，肯定有一个元素不为零，有一个元素不为零，那就说明一阶子时不为零。

一阶子式不为零，你告诉我个事情，它的质会小于一吗？不会的，如果你的质比一小。所有的一阶子式应该为零。你这出现了一个一阶子式不为零，那说明不可能我的质怎么办？我的质是大于等于一，你记住。只要见到非磷矩阵质，一定大于等于一。然后接下来我们再来看第二事情，如果这个矩阵当中有两行不成比例。对吧，

比如说你看一二三四零一二三两行不成比例，两行不成比例一定会有个二阶子是不为零。那二阶子是不为零，你告诉我它的智慧小于二吗？不会，如果质小于二了，所有比我高的也就是二阶子时都会为零，你这不对。所以说它的这个质怎么办？大于等于二。哎，它不会小于二。跟得上吗？好了，那么接下来我们再来看，

其实这个东西啊，有一个广义化结论。那这个结论非常简单，你想想。如果我在这个矩阵当中取了一个什么东西呢？取了一个三×3的行列式，不为零的。如果你取了一个三×3的行列式不为零，你就会发现它的质啊，不会小于三的。因为如果你质小于三，所有的三阶子式应该都等于零，你这不可能，所以说这个时候啊，它的质应该怎么办？

大于等于三。能想清楚吧，你只要在这里面当中取了一个三×3的行列式，不为零，那这东西啊，就大于等于三，你取了一个四×4的行列式，不为零，你就大于等于四。好了，这是这个问题，能想清楚吗？但是这里面当中啊，我说一个问题哎，注意易错点。

啊，易错点。那如果是三行不成比例呢？如果是三行不成比例呢？你看这个矩阵三行两两不成比例。两两不成比例的话，你就会发现个事，那这个时候的话，这是一零一零一二，然后消掉它。这是减去上面吧，这是一这是一这个什么这是二那这人变成零零了。你质等于几质等于二吧。所以说这里面当中啊，你就要想清楚。

如果是三行当中的两两不成比例，两两不成比例啊，你可不能说这个东西的质大于等于三。能想清楚吧，哎，你注意一下，到了这个阶段，两两不成比例，你可不能说质大于等于三。所以要想清楚，如果这个人不为零，对吧？至大于等于一两行不成比例，大于等于二两两不成比例，你可不能说大于等于三。

你只能在这里面当中啊，用这个广义化解论，我只要在这里面当中取了一个三×3的行列式，不为零大于等于三。四×4的行列式不为零，大于等于四。能想清楚吗？好，这样的一个问题啊，我们就讲到这。好了，这是我们讲的这个第一个问题，过去了可以吗？所以质的定义啊，必须迈过去，

然后接下来我们再来看看第二件事情质的这个计算。那质的计算呢？有两个方法，一个方法就是初等变换不变质。那这里面当中啊，你可以走行变换。你也可以走列表环。你既可以走行变换，你也可以走列变换。那这个时候一般情况下，我们都用行变换。哎，一般情况下，用行变换就是把这个矩阵呢，利用初等行变换化成行阶梯矩阵。

行阶梯矩阵有多少？非零行它的次序是多少？好了，这是一种情况。能听懂吧，我们通常用这个人，但是有的时候我们也喜欢用列变换，比如说举个例子，你发现比如说我这个a这个人呐。这是阿尔法一。阿尔法二。阿尔法三。而且告诉我们这个人的质啊，它等于二。那么，

接下来我们要进行去求什么呢？我要去求这个人的值。b这个矩阵，这是阿尔法一加阿尔法二。阿尔法二，然后加上阿尔法三。那然后的话，最后一个人是阿尔法一啊负的，这是阿尔法一。减阿尔法一，加阿尔法三。好，这个人我要去求这个人的值，你怎么去求呢？你要去求这个人的值啊，

非常的简单，你就把这个矩阵写到这儿。对吧，这是这个人，你就会发现一个问题，这个人适合走什么变换呢？它是不是适合走列变换呢？对吧，你把这个人的负一倍加过去，把这个人的负一倍加过去了，之后的话就变成了阿尔法三减阿尔法一。然后最后第三个人的话就是阿尔法三减阿尔法一。你再把这个人的负一倍加过去了之后，这个人就变成这样。呃，

我想想。嗯，改一下吧，改一下二倍。不然这个题。改个二倍，那这个时候我怎么办呢？我就把这个人的负一倍加过去，那把这个人的负一倍加过去了之后的话，你就会发现得到什么情况？嗯，这个题。没出好，你叫我看看。嗯，

一二。这是阿尔法，这是二倍吗？二倍的，然后这是。阿尔法二加阿尔法三。可以吗啊JAVA发散。好了，这是这样的一个情况呃，比如说我们来看看这个人。阿尔法二加阿尔法三。啊，你能理解我的意思就行了，我们就是希望大家的话，把这个方向性掌握清楚。

那这个时候你看你把负一倍加过去，你负一倍加过去了之后的话就是阿尔法，然后再怎么办？这还留了一个阿尔法，所以我想消掉这里面当中的这个什么呢呃。这是阿尔法二。这是阿尔法一吧。阿尔法一+2倍的阿尔法二。好了，这样那么这个时候你想把这个阿尔法e消掉来一个负一倍加过去，负一倍加过去就是这个人。能理解吧，然后的话，这是阿尔法二，加上阿尔法三，

你再把这个负一倍加过去，然后这个结果就得到了这个情况，阿尔法三。你再把这个负一倍加过去，然后就是阿尔法一阿尔法阿尔法三。然后这里面当中我一直走的都是裂变换裂变换不变质，那既然这里面当中它不变质啊，那就说明b的这个人的质。就会等于这个人的值。所以它的质就是几就是二。所以你要想清楚，一般情况下我都会把一个纯数值型的矩阵呢，通过初等行变换化成黄阶梯。你像这种情况，我们喜欢做列变换。

能琢磨清楚吧好，这是这个问题。然后接下来我们再来看一个问题，告诉我一件事儿，请问AB的值跟BA的值一样不一样？一样不一样的。因为你发现你看你a这个人这样写b这个人这样写，这是这个矩阵，你两个换一下，你两个换一下，你两个换一下，不就是裂变换吗？列变换不变质。对吧，你把他唤醒，

把这个人换到前面去，把那个人换到后面去，这个东西啊，不变质好了，这是我们讲的这样的一个问题。能想清楚吧，好这是这个点然后第二件事情，我们还可以怎么办行列式？方阵那方阵这个东西啊，我可以看看满满之。比如说如果这个a这个人呢？是一个n×n的一个方阵。那这时候我怎么办呢？我就来应用行列式，如果行列式不为零。

就说明这个矩阵是满值的，那质就是n如果这个行列式等于零，那就说明这个东西不满值这个质啊。小冤那么在这里面，我们来看看你，发现矩阵的质啊，等于列数列无关。等于行数行无关，还记得吗？因为它是个方阵，方阵满了之后啊，你想想。你方阵如果满了，你就让行也满了，列也满了。

如果你不满，你行没满列也没满。对吧，你如果不满的话，你行没满列也没满。所以注意，如果是方阵满志列，满志列无关行，满志行无关列不，满志列相关行不，满志行相关。能想清楚吧，所以同学们注意啊，一定要学会着用满不满质这个东西去判断这个东西的行列式。也会通过满满知这个东西去判断这个人的线性相关性。

能琢磨清楚吧，好这个问题。我再说一遍，你要想清楚，如果这个人的质等于列数列满质列无关行，满质行无关。列不满之列相关，行不满之行相关，能想清楚吗？转清楚。当然，从做质的角度上而言，你行列式不为零满质，那这人就是n。如果不满质，

这人小于n。好了，这是我们讲的这个矩阵的质的求解，然后接下来我们再来看看下一个问题，矩阵质的公式这个页面呢，一定要把它记住。如果学到今天呢，你还记不住啊，你就有点不好意思了。这个页面呢，一定要记住好了，那么接下来我们一起来看看这个事，先来看第一条。如果你这个人是个矩阵的值。对吧，

你是个m×n的矩阵。你的值既小于你的行数。你的质也小于你的列数。能想清楚吧，既小于行，也会小于列，俩人都会小于。所以我们一般在书籍上写的什么小于这两个人的最小值。不要背哪个？那个东西是为了写书，写书看的简洁，比这两个人的最小值都要小。然后有些同学做题的时候就纠结，哎呀，这个最小值是谁呀？

是行最小还是列最小？你管它干嘛？反正它比行小，也比列小，你用行的时候就用行，你用列的时候就用列，你不用惊心说啊，这个行小还是列小，你管它呢。我这个题要用谁我就用谁，所以这里面当中啊，通常书籍当中那样写，但是我们做题的思维应该是这个思维。你要想清楚好了，我们再来看第二点。

转置之后不变值。对吧，转置之后不变值。然后乘上一个波为零的，这个数也不会变质。好，这个问题那么其实这里面当中有一部分内容就是a×a的转置跟a的转置乘上a。然后跟a的质是相等的。好了，这三个人呢？智是一样的。然后再来看看第四个点。啊，就说我们在这里面可逆矩阵。如果这个p矩阵呢，

是可逆的。如果你是个可逆矩阵，可逆矩阵不变值，你看我这块儿成个可逆矩阵，我这块儿成个可逆矩阵。我们都是不变质的。可逆矩阵不变值。其实这句话呀，有一个非常广义化的内容。然而，这个内容在我们的考研当中啊，不是重点，所以我写到一边儿去。是这样讲，就是如果这个人。

我不需要你可逆，可逆就满质了嘛，方正。我这个人只需要怎么办？列满制，如果你这个人列满制，告诉我怎么乘？列啊列的话，你要竖竖着这个东西跟我相，等你叫左晨。左臣列满，制不变制。对吧，锁成列满值不变值。然后接下来我们再来看第二事情。

你发现这是m×n哎，这个人只等于行行半值。行满制了之后的话，什么乘呢？右乘右乘的行会跟它相等，右乘行满制不变值。所以说它是这样左乘列慢值不变，值右乘行慢值不变值啊，这是这个情况，但不是我们考研重点，我们的重点是可逆阵。啊，落脚点在这，其实你可以这样看。如果这个矩阵可逆，

那肯定满值啊。可逆行列，式不为零。满知嗯，你你就你就想一个这个什么？如果是方的的话，你就进行去想一个这个正方形的一个。这个正方形的什么东西呢？比如说一个一个一个水箱，你能看过去。这个水满了之后的话，行也满了，列也满了。如果这个东西的话，它不是方的，

你想它有可能是行满了。你这个列还没满，它也有可能是什么？它这个列满了，但是行还没有满。对吧，很好想啊，对吧，你琢磨一下这个东西出来了。脑子转一转。所以说如果你这个行列式不为零，满是行业满了列满了。那这个时候你发现你这个不是右沉航满制吗？这不是左沉列满制吗？这不变质啊。

所以可逆是这种情况的特殊情况。好了，这个问题我们就讲到这。跟得上吗？来再来看看下一个问题。我们再来看第五点。那第五个点的话，它这样说。说如果这里面我们就直接写吧。你就会发现这是a这个人。逗号b这什么意思啊？这是分块儿，就是把a这个人写到这儿b写到这儿哎，合到一起写个矩阵。那它肯定比每个子块都大呀，

你比这个a这个子块要大，你而且比b这个子块也要大，你这样背哦。那通常参考书当中写的是a和b的质的最大值，还要大有同学就在想，那到底是a的质大还是b的质大呢？你不要这样想。我要用a的时候就用a，用b的时候就用b，然后这个东西啊，是把它合起来这个东西啊，你要小的。然后再来看第六条，那其实就是a加减上b的值小于等于a的值，然后加上b的值。

那这个东西啊，它特别像这个公式x加减y小于等于x绝对值，加上y的绝对值啊，很像哦这东西。然后再看第七个点，那第七个点的话就是a×b。原来我有一个a，你给我沉了个b，你沉了之后啊，你就会变小。我原来有个b，你给我乘了个a，越乘越小，所以说乘起来之后就比单项的部分要小，这就是我们讲的越乘越小的内容。

然后再来看第八点说，如果这里面当中的什么情况，如果这里面当中有一个AB=0。那么，在这个上节课过程当中啊，我们复习过，如果在考研的过程当中见到AB=0，想什么？想两个事情，第一个事情那就是a的值加上b的值。小于等于什么东西呢？nn是这个人的列。n是这个人的行。交叉的部分，然后这个人的b的列向量。

对吧，列向量均为as=0^2程组的解，不要还不会哦。好了，这是这样的一个问题，你把这些公式啊，你都得记住。好了，这是我们在这里面当中啊，讲的这几个人啊，当然的话，还有几个东西啊，也不是我们的这个高频重点。你稍微知道就行，还有个这个人。

对角分块阵。它这个质啊，就会等于a的质，加上b的质。还有负对角线的对角分块帧。它也会等于a的值，加上b的值。好注意啊，对角分块帧，它就等于a的值，加上b的值。好了，这是我们在这里面当中啊，讲的这样的一个问题，能学清楚吗？

哎，这几个点把这个质的公式啊，你一定要记住你见到什么东西啊，去想什么公式，你见到什么内容，你去想什么事情？好了，同学们听明白了，给我回复一。啊，听明白了给我回复一，这是第一波内容。过去了，可以吗？好，

这是第一步。呃，那么接下来我要切一个这个页面啊，可能会变亮啊，你稍微的话这个。我切过去了。好了，那么接下来我们来看一些题啊，把这些题啊，我们稍微的进行去讲讲。先来看看这个题吧。那首先我们先来看看这个a矩阵，他说这个什么，他说这个矩阵的质啊，等于二。

所以说两千一六年的考题啊，难度系数非常简单。你就在这里面当中，我一看这个数非常好变换，那你就在这里面当中变换就行了呗。行变换和列变换都行，我一般行变换，然后这东西就变成了减去二倍，然后这是二减去三倍。减去三倍对吧，然后减去三倍，这是二。那然后接下来我们就可以把它进行去调一下了，幺幺幺零幺二，然后这是零零t- 2。

好，这个情况，所以说这个人的质是二，你画下行阶梯，这人等于零，它是二。那这是一种操作性方法，那还有一种方法呢，其实你就取行列式。因为这里面当中的这个质啊，等于二不满值，那既然不满值行列式就等于零。行列式等于零，一下子就出来了。能想清楚吧，

你可以走变换，也可以走行列式，既死了，求质的方法可以用行列式，也可以在这里面当中，怎么办？也可以在这里面当中，我们用什么东西呢？用这个初等变换。你不要在这沉比例了。呃，你也可以这样做。对吧，你可以这样做，你不要在这成比例了。

那刚才讲的这个两两不成比例啊，它的质也可以是二。也可以是三。你稳一点，你稳一点比什么东西都强，你这变换过去的稳稳当当，把它做对了。你有的时候用的这个瞎做的一些结论呐，一会对一会错，有的时候总会在这里面当中出错，我发现这个东西我就调不过来。无论是这个强化的过程当中啊，一直讲这个问题啊，还是会有。好了，

那么接下来我们就继续，我们再来看这个人。它的质等于三，我一看这里面当中啊好多数。好多数非常好变换，但这个东西啊，不容易进行干嘛呢？你这个东西进行去取，行列式是不好做的。对吧，取行列式不好做，因为这是四行五列，但是你发现你可以走一个特殊情况。你想想你可以这样做。因为你的质等于三所有的四阶子式都为零。

那所以说你把这个东西取一下，你就在这里面当中取一个多少呢？你就是一二二k，然后这是二三五五。然后这是二二多少三一？啊，然后这是多少一零一一这个行列式啊，等于零。那这个行列式等于零，你解一下这个行列式，立即把它出来了，你可以这样做啊，我不解了。然后接下来我们再来看你，还有什么方法你就普通方法。

那普通方法做做法的话啊，这是一。那普通做法的话，就是把它变换，你变换了之后，最后怎么办呢？你最后而言的话，这个。它有三个非零行就行了，所以说这个人进行去变换，变换了之后啊，我建议同学们把这个最后一行放上去，零幺幺五放上去。然后这是二三五五，然后这是四，

然后这是二二三一几四，然后这是。一二k三。好，继续。你减去上面这个东西啊，是零二倍零减去二倍呢，这是三减去二倍呢，这是三。减去二倍呢，那这人是负六。所以说就变成了一一一负二一一一负二。然后接下来继续减去二倍是零，减去二倍呢，那这人是一减去这个人二倍呢，

这人是负一。减去二倍呢，然后这人是负六。那直接减，这是零直接减，这是一。直接减的话，这是k减一直接减这个结果是五。然后这个时候你继续变，把这个人一减二倍，这是零减去二倍负一减去二倍负三减去这个二倍，那这人是负二。把这东西加下来，这是零加下来是k- 4加下来，这是三这个结果。

这个东西不对吧，这个。我是不是哪变换错了？怎么会是这种情况？这个质怎么会等于三呢？我重试一下。这是一一一五，然后这是二三五五减四，然后这是二二多少？三一四，然后这是一一二k三。然后接下来我们减去上面二倍，这是零。二倍的话，这是三。

二倍的话，这是三二倍的话，这是负六，所以说是一一一负二。减去二倍是零。减去二倍的话，这是一减去二倍负一减去二倍负六。减去一倍，这是零。减去一倍，这是一。减去一倍，这是k-1-1倍的话，这是负二。然后这个时候是不是这样结果，

然后接下来我们继续，我们再来看。减去二倍零负一。减去二倍。对吧，减去二倍零二倍的话，这是负三减去二倍的话，这是负二。直接一减，这是零零一减的话，这是k- 2。一减的话，这人没了。所以说这个结果就变成这样，因此在这里面当中，

你就可以进行去画一下了，然后这个部分等于零。好了，这个结果不是特别难，你下去慢慢做吧，稳扎稳打来，所以这个行变换能力还非常重要，你只能细心一点。慢着租。幺三六这个题，然后接下来我们继续，我们再来看看幺三七这个题，你看看这个题。那这个题啊，它说质等于三。

那同学们看看，你觉得这个题好做初等变换吗？不好做，而这个题你发现很明显，这个东西是行和相等型。那这个题走行列式的路线是最简单的呀。所以说这个题立即来看，不满值行列式等于零，你要会选方法，如果这个题你还做变换呢？你这就不太好了，所以这里面当中我们来进行去变换啊，这个什么利用一下行列式的变换。来操作，把这东西都怎么办？

加到第一列，加到第一列，加到第一列，第一列都变成k+3。把k+3提出去。提出去了之后的话，你就会发现这个行列式当中的第一个位置就会变成了一。好，这个情况做成了这样。然后这个时候你就可以进行去操作一下了，你就以第一行为基准，因为行列式嘛，行列变换都行，然后这是k建议。k- 1 k- 1减去第一行，

所以说这时候是k+3 k- 1的三次方。那么这个时候让这个行列式等于零。那告诉我一件事情，一个一一个负三俩人都行吗？都行，注意啊，都是可以的，因为这个质等于三，它的充要条件就是行列式等于零。行列式等于零，推出值等于三呃，这这也未必等于三，这个都行嘛，这未必。未必都行，

如果质等于三行列式等于零，但是行列式等于零，未必等于三。你注意啊，它应该是这种情况，如果这个人小于n跟我们这个人是充要条件小于n行列式等于零。行列式等于零小于n，这是一个充要条件，但是小于n的人多了去了，它有可能是三，有可能是二，有可能是一。所以你需要进行检验，你注意，你知等于三行列式等于行列式等于零不行，

我们进行检验，检验的时候是这样。如果这个第一个人，你看现在有俩人，一个是一，一个是负三。你去解题。一个人不行，另外一个人一定行。你检验一的时候，你这所有人都是一的时候的话，你发现这个质是一啊。这是一不行，所以你不行，我一定行。

为什么这件事情发生了啊？这件事情。所以同学们一定要想清楚就什么情况呢？你听清楚。充要条件，不用检验充分条件，要检验。啊，注意注意一下这个事情啊，你把它想清楚，我能推出行列式等于零行列式等于零，未必是三。行列式等于零，应该都是小圆，所以充要条件不检验。

充分条件要检验，你看这是个充分条件，所以要检验。好了，这是这个问题吧？幺三七这个题。然后接下来我们再来看看下一个问题，我们再看幺三八这个题。好，继续看一下这个题。这个题那这个题啊，它就是个定义的题。对吧，你看这个题定义的题，它是个实矩阵，

然后这个质啊，比它最小值都要怎么办？小你会发现一个事儿，这个东西啊，既不会行满制，也不会列满制。就是它的质啊，一定会比行还有列都要小，不会等，所以不会出现行满制和列满制。然后我们来看看这个第一句话，他说没有等于零的r- 1阶姿势。这个这个一定吗？我们说一个事情，如果这个认质等于r，

我只能肯定两个问题，第一个问题。比我高的全为零。第二件事情存在一个我这一届的boy里，我只能肯定这两件事情他的后代啊。都不知道。然后说有不等于零的r阶子式，这句话说的没问题。所有的r2+1阶字时。有不等于零的这个人，所有的r+1解子式全为零。这也没问题。然后的话，接下来我们来看看这句话没问题。你注意了它c选项c选项说有等于零的rg子式。

这说不清楚，我再说一遍，我们非常肯定的是比我高的全为零，然后有一些我这一代的人，有一个不为零。你能说我这一代有等于零的吗？说不清楚，你比如说我举个例子。你看我的痣。呃，就说比如说是二。对吧，这个二是一二三零一一。零一二吧，然后这是多少呢？

这加下来三这是五这个质是二吧，因为这一行是前面两行的线性组合嘛。你这里面当中随便挑二阶子式啊，随便挑二阶子式，它都不为零呐。所以这件事情说不清楚，你记住，你能肯定的是什么？你能肯定的是所有的r+1阶次时。都怎么办？为零有一个二二子是不为零，这是你肯定的。你说这一代有v0的吗？那说不清楚。所有的rj子式都不为零吗？

这也说不清楚。我是存在的，所以正确答案选几啊选b哦。你就看这个事情，你的理解到底做的怎么样？啊，非常简单的一个问题啊。好了，幺三八这个题。然后接下来我们再来看看幺三九这个题，你看这个题。那这个题让我们干什么事情呢？它这样的一个事儿。它给了AB=1。那你告诉我AB=e这个e是几乘几，

你是m×nn×m，那这个人是个m×m的矩阵。那e这个人肯定是满志啊，行列式不为零，它这个人肯定等于这个人满志的呀。方针满治。我这个题目告诉的是AB的值，然后让我们去求a的值，那怎么去做呢？我们就用一个条件。所谓越乘越小。然后知道AB的值，让我去求b的值，所谓越乘越小。然后你发现你这半边是不是被m进行去挡住了？

那你告诉我这半边用什么？那我都知道这个痣啊，比m小也比n小，这个痣啊，比n小也比m小都会小。都会小的话，你用用什么？你用n呐，就缺心眼儿。你告诉我，你用个n这是啥玩意儿？这说不清楚，所以说这里面当中我就用m。用m我一用m的话，你发现我既比m大又比m小，

那这人不就等于m吗？我既比这人大又比这人小，不就等于m。那所以说这里面当中啊，就选a哟。能想清楚吧，你这边是m，然后这是这边是m1挡就行了，有些同学这成题啊，他做不好。因为他永远迈不过一关。因为参考书当中永远都是这样写的。说这个人的值小于等于什么东西啊，小于这个人的最小值。这是参考书当中写的。

因为他一直迈不过这关，他说你怎么能用m呢？我书上明显写的是比这个人的最小值还要小啊。那你这个m小还是n小，你管我呢？我比这个最小值小的意思就是我既比m小也比n小，你如果是这种同学，你肯定做不来这种题。还有一件事情。那参考书当中，它是这样写。对吧，所谓越乘越小，它比什么东西呢？它比我们这个a和这个b的最小值还要小，

有些同学做这种题一直还在想。想什么事情呢诶，你这个东西我书上写的是比这两个质的最小值还要小啊，你这两个质谁大呢？你管我呢？你看吧，这就没有学好。所以像这样的一个问题点，你就把这个东西做的不好，所以这种题啊，遇到现在作为一个冲刺班同学，这种题目应该是个送分题。非常的简单。其实你观察出来abcde这几个选项，它是等号。

等号的话，所以在这里面当中，它其实就是个加b。这种题非常的简单。这种题的做题速度比刚才这些题的做题速度还要更快一点啊，这个人。好了，这个问题啊，我们就讲到这，你看不懂AB的值为什么是m呀？又不是我说的，他说的呀，题目说AB=e呀。又不是我说的。你看题呀，

你在干啥呀？你在干这件事情，你知道吗？你在做题，听懂吗？你做题你不看题吗？你空中楼阁的去想，不是说随便来了一个。人家告诉了AB=1啊。是不是啊？AB=1 e满满值啊。你不要告诉我意义，满志你都不知道。e的行列式等于一吧。e满制啊，

所以满的是谁的？值满的不就是m制吗？好了，这个问题我们就讲到这啊。好了，这是幺三九这个题能想清楚吧？把这个点呢，你想清楚。然后接下来我们再来看看这个下一个问题，我们来讲一个点啊，就是矩阵的等价。好了，再来看下一个问题点。矩阵的等价。这个问题啊，

比较简单啊，矩阵的等价比较简单。这个问题。那么，首先我们先来看看这个人的定义。定义这样说的说如果呀。a经过一个初等变换到达b。如果a这个人经过。经过什么东西呢？经过初等变换。变换到b。则a与b。b等价。啊，就这个问题。

就说如果你是从初等变换跑到我，我们两个等价。这个问题点。好，这个事情。就说如果你经过一个初等变换跑的我。那这时候怎么办？我俩是等价。那是个向量组等价你，你会发现啊，我说一个简单问题。咱不谈这个，今年做了多少题？咱能不能把知识点都有条不紊的把它装到脑子里面？如果我们学习一个知识点，

会做一个题，它的一个阶段应该是这样。知识。会了对吧？你先是学，然后是知识呢？你把这个知识学会了。这学会了。也就是脑子里面当中啊，你这个知识有了有了这个知识，然后怎么办？做题用这个知识。就是你做什么东西，用什么东西？然后的话，

你你不要把这东西用差了，是什么东西就是什么东西啊，一个萝卜一个坑。好了，这个问题那么接下来我们就来看看第二事情，我们看看充要条件。好了，看第二事情充要条件。来，我们来看看这个问题。那这个充要条件是什么问题呢？它这样的一个事情。嗯，最后一个阶段了，不用不用继续去抖这个问题啊。

这都没有意思，你最终都要上考场的。对吧，你都要上考场进行检验的。就跟我原来一直讲有同学喜欢共情。你再共情也没什么用。所以在这里面当中啊，不会东西就把它解决了。好了，我们来看看这个下一个问题。你发现a和b等价，你就这样写。那你怎么想？你这个东西你经过初等变换。它有可能是行变换。

它也可能是裂变环。对吧，你既可以是行变换，也可以是列变换。那所以说我们在这里面当中，我们都知道。如果你这个人经过行变换，你左边就有一个可逆矩阵。你经过列变换，右边就有个可逆矩阵。所以说就是存在什么东西啊？存在可逆症。p与q。然后使得什么情况，使得这个东西成立。

没问题吧，就说你想清楚，你看你左边有个可逆阵，右边可逆阵，可逆矩阵，相当于若干个初等矩阵。可逆矩阵相当于若干个初等矩阵。这是你要想清楚的。那所以你相当于若干个初等矩阵左乘，就相当于若干次行变换右乘，就相当于若干次列变换。那么再来看这个人的充要条件是什么呢？那这个时候可逆矩阵不变质啊，那不就说明a的质等于b的质吗？告诉我对不对？

如果说a的值等于b的值。比如说我举个例子。你看这个质是一吧。然后的话，你会发现这个字是不是也是一样？这俩等价吗？不等价。你这样就不行，你这怎么变换过去啊？变着变着变大了，什么玩意儿对吧？我们要求什么东西？同行，其实这件事情害怕考概念题。考概念题，

他骗你，他骗你的话，你不要一骗就骗着了。但是做题的时候非常简单，同型一看就通不通，行一变要大呗好这个问题。所以我们对于这样的一个矩阵等价，矩阵等价的充要条件是同型质相等。长得一样大志向的同行志相等就行。好了，那么接下来我们来看看这个问题来做一下幺四零这个题。他说这两个等价已经同行了，那说明这个质相等，你先看第一个认知，第一个质的话就是幺幺零。

零负一一，然后减去上面是零减去上面是负一，这是一，所以说这俩人变成零。你告诉我这个质等于几等于二，这个质等于二，就说明这个质等于二。好了，我们再来看，那其实这个题就是知道知识进行求这个参数，你发现这个人每行相等啊。每行相等，所以我用行列式啊，所以说这个人的行列式。大家就等于零。

然后我们来看看。因为质等于二，所以说推出这个行列式等于零。那么，这里面行列式，我们来速战速决一下。把这人都加过来吧。所以说有一个多少有一个a- 2提出去，然后这人就变成了一，这是一，这是一。你减去上面的话，这人是零，这是零，这是零，

这是零，变成a+1，所以说只是a+1^2，能不能看懂？啊速战速决，然后这人等于零=0的话，一个人是负一，一个人是二。那俩人都行嘛，你行列式等于零一定质是二嘛，不一定我有可能是一。那所以说这个时候你发现看你把负一带进去，你负一带进去，所有都是负一，这个人不行。

所以它只能是几只能是二。好了，像这个问题点呢，把它想清楚，跟得上吗？好，这是这个问题。行吧，下去过程当中把这个相对应的点呢，把它好好做一做。呃，那么接下来我们来再来看看一个一些问题啊。因为你发现这个。最近我们问卷。里面当中啊，

这个。有些题啊，你要知道这个其实数一数二数三里面当中。除了它这个真题之外，还有好多题。还有好多非常难的题，难度系数非常大。所以然而除了这个数一数二数三同学的考研真题之外，它上面还有还有一些这个微积分的数学竞赛题。还有这里面当中的一些呃数学分析的这种期末考试题。数学分析的考研真题，所以说这个题量是非常大的。那所以这个这个题他就做不完。那有些的话，这里面嗯，

包括的话，我们在有些筛选题的时候，我都给你稍微的进行去控制了一下，像这个你们最近做模拟卷。这个今年也都不控制了啊。然后拿过来就用，拿过来就来。哎呀，这个。你如果是这样子的话，你还不如进行去干嘛呢？你还不如进行去考。考数学三呢，你说是不是？所以被别人带着跑，

不要老是被别人带着跑。你要是这个近期去考无穷级数，那我觉得这个。何必呢？我觉得这个。这种就叫流氓行为，对吧？我们大纲就要求这么多。老师在这里面当中啊，找一些我们大纲里面当中啊，不说的东西，然后在这里面当中啊，影响我们。好了，那么接下来我们来看看这个题。

啊，这个题目。那么，首先我们先来看第一个点。你看这个人a的这个值。啊矩阵制矩阵制啊m行n列。好这个人，它的质等于m。所以同学们告诉我这个人的质等于m。行版式。能想清楚吧，好了，这是这个问题，这是m这是n。行满制那这个部分的问题的话，

你就想清楚行满制怎么办？行，无关。a的行无关。但是你发现这个人的列呢列不满值列不满值列相关。能琢磨清楚吧，哎，这个列相关。那所以说这里面当中啊，这个问题点它就这样。那因此的话，在这里面，它说m个列一定线性无关。那不一定，不是任意。

也就说你这一块一定会有一个行列式，不为零吧。如果在一个矩阵里面当中取了一个行列式，不为零。这个行和这个列对应的线性无关，你还记得这个经验吗？这个经验要知道。就说我只要在这个什么在这个矩阵当中取了一个行列式，不为零。这个行列式所对应的这些列。一定线性无关对应的，这些行也会线性无关。能想清楚吧，好了，所以说我再说一遍，

一定要听清楚。如果这个矩阵里面取了一个行列式，不为零。它对应的那些列和对应那些行都线性无关，这个经验记住了吗？记住了给我回复一。好，你理解了给我回复一。可以了吗？那么所以说我们接下来看看这个第一个问题。你琢磨清楚，他说这样的一个事情。他说这个人的质等于m。那既然这个质等于m，它中间一定有一个m解它，

这个叫存在吧？m接此时不为零。也就说我这块是存在一个行列式，不为零。存在，所以说对应的线性无关。是任意的m列都线性无关吗？不是的，是存在，所以错在这两次。你看这两个字儿说错了。然后接下来我们再来看下一个事情，他说任意的m阶子式都不为零吗？这也不对，也叫存在。

然后接下来我们再来看看c选项。c选项非常简单。你看这个人是什么满值？行满之又称行满之，具有林荫子绿，它对。还记得吗？又乘航慢之，它具有零因子律。人家说是m个列向量线性无关。看题看题读文字。没有写这个什么东西呢？这个英文这是中文。啊，读题。

它的m个列线，它这个什么n列式线性无关，它说m个列线性无关就是。你这些列是不是线性无关？不是所有。然后接下来我们再来看看d选项a，通过初等行变换，一定会画成这个样子。我讲讲这个人。这个d选项你就会发现这个非常的有意思。它是这样的一个事情。你比如说我举个例子。我如果通过行变换。我是不是能化成行最简？对吧，

这就是一个行最减针。然后这是一二三。有没有这种可能？有可能还是没可能。有可能我当然有可能你发现看是这样的情况。我有可能是这样，我最后这一列是这样。但是你现在怎么样？通过行变换，把它化成零。你这能化成零吗？你化不成零？所以你要琢磨清楚，你要是能把它化成零，你就牛逼了。

你牛逼的点在哪呢？大家想想，这不就是一个普通的非其次线性方程组吗？如果通过行变换，就能把这个人变成零，那你也太牛逼了。以后我们进行去做增广矩阵。我们都知道进行去做这个非其次线性方程组，只能通过行变换来做。那你以后一做一做一做，最后都变成零了呀。哇，那太牛逼了，也就说你得到了一个定理，一个非其次线性方程组，

可以通过初等行变换。变成其次线就往这走，你想是不是啊哇？那你太厉害了。你简直太牛了，你就刷新了这个线性代数当中的这个鸿沟啊，一个非其次线性方程组怎么解方程组呢？行，变换来做。然后通过初等行变换，能变成其次线性方程组。我太太厉害了啊，对吧？下一个菲尔兹奖啊，就是你的。

好了，所以说这里面当中啊，它不可能不是这样啊，这不对。啊，这不对。能想清楚吧，他不是的。所以说这样的一个定理是什么呢？它定理是这样。啊，定理是这样。若a这个人的值等于r。那么则a这个人。你可以通过有限次的初等变换。

然后把这个部分变成r×r的。然后这一块都变成零了。那既有。初等。行变换。也要初等列变换。要想清楚这个问题。就说你想把这个人变成这就叫做什么，这叫最简型矩阵。这叫最简型矩阵，你的质是r，你肯定能把这个部分变成单位帧。你要想把这个旁边这个部分变成零呐。那还需要列表盘。那么其实你会发现我们做题的操作是这样。

如果只通过行变换。我应该是把它变成了一个行，最简这块都能变成一。然后下面都变成零同学们告诉我这一步操作熟悉吗？熟不熟悉？然后这是abcd。熟不熟悉？太熟悉了，这波操作我太熟悉了，因为你发现我解方程组不一般都是这种情况吗？我们进行去通过初等变换行变换进行求质化，行阶梯不都是这种操作吗？化成这个人下面都是零。然后你接下来再经过裂变环。列变换了之后，

这是一一你攻击一下，把这块攻击成零。然后这个人就做成这样了。好，这是这个问题。能理解吧，所以你要想变成这个样子，你既要通过行变换，也要通过裂变换，行变换只能把质的这样。比如说我的质是三，这三行之下的东西变成零行变换，只能把下面变成零左右，两边变不了。裂变换可以把这个质的这半边变成零，

你说这个东西是行变换的功能。这个东西是裂变化的功能。能想清楚吧，好了，这个问题，所以你再看这个题，他通过初等行变换，他只能把这个人的下面变成零，而你这个人满是下面没有。你把这人变成一这个东西，想变成零是裂变化的功能。好，这个题啊，我就讲到这答案选c。其实这个题啊。

难度比较大。对于我们三九六同学，尤其是c选项，其实我们基本上很难考到这个难度系数。啊，很难考到这个系数，但是b选项和d选项和a选项abd这三个选项，这是我们必须要会的。abd三个选项是我们三九六同学必须要掌握的，只不过是c选项，你知道这个结论也很简单。左乘列慢制，具有消去率零因子律。右乘航慢制，具有消去率和零因子律。

所以综合下来，你今天看看了之后啊，其实还好。啊，这个东西。那么，这是这样的一个问题。那不行啊。你要把这个人变成嗯。列变换可以。列变换的话，就直接把这个人变成对改成列变换就对了。就是变成单位证行列都可以。把下面消成的是行变换的功能。对吧，

你可以列这个改成列就对了。因为变成单位阵行列，都可以变成单位阵。把这个人攻击成零是裂变化的功能。能想清楚吧，下面变成零是行变化的功能。好了，这是这个问题吧，我们就讲到这。三幺九听明白了，给我回复一吧。能学会给我回复一。我们就讲到这，你自己下去好好把这个问题啊，你去看看。

好，我们继续回来。那么，在刚才过程当中，我们刚好讲到这个矩阵的值。那矩阵的矩啊，其实就是这些内容对吧，在这里面当中一个事情是定义，定义一定要迈过去，我们今天又复习了一下。第二件事情是求解方法。对吧，第三个事情其实就是我们制度公式。然后接下来我们再来看看第二部内容。线性相关性这个东西啊，

是很多同学的痛点，太痛了。痛的不行了。那么，接下来我们来看看线性相关性，首先学的第一个问题就是线性相关性的判定方法。你怎么判定？判断这个人现行相关性，我怎么做，然后第二件事情呢？第二件事情其实就是一些重要结论。所以在这里面当中有一个矩阵的行列线性相关性，我刚才讲了，还有第三个事情常见结论。这三个点呢，

是我们要迈过去的，所以今天呢，你把这个判定你要做重点。那么，首先我们先来看看这个第一个问题。线性相关性的判定。你判断这个向量组线性相关还是线性无关，你怎么判定呢？我们通常有两个方法。第一个方法就是用定义，但是注意这个定义啊。你记清楚。不要给我用在证明上，我说的三九六同学啊。你要数一数二数三同学的话，

考大题的那个证明用定义用的还挺多。一般会用在证明题，所以说你要想清楚一个问题，就是定义这个东西啊，做概念题。对吧，就害怕出这个线性相关性的概念题，把这个东西用一下，如果是通过进行去判断线性相关性，你给我用第二个方法用之。大家听得懂我的意思吗？如果直接进行去判断这个人呢，很少直接上用定义法。能想清楚吧，除了我们做语种题，

用严惩法那个严惩法用了一下定义。你注意这个问题啊，我一会儿再来给你讲算了吧，我讲完再穿。所以首先我们先来看第一个事情，如果这个人线性相关。那么，线性相关性到底是在研究什么东西呢？线性相关性在研究这样的问题。你注意我来把这个点呢，我再讲讲。比如说这里面当中，我们有这一个人。阿尔法一，阿尔法二，

阿尔法三，阿尔法四，这个向量。我们在研究一个什么问题呢？我们在研究这样的一个问题。我们在研究这个线性组合等于零的情况。我们在研究这个问题。研究这个线性组合等于零。那么，同学们给我思考一下第一个问题。如果当k1k2。k3k4都为零的时候。它等不等于零？当然等于零。当这些人所有人都等于零的时候，

他肯定是零。那你想想。你是线性无关。你告诉我，如果你是线性无关所有系数等于零的时候，你等不等于零？等于你是信息相关。所有系数都等于零的时候，等不等于零？也等于零，也就说不管你是线性相关也好，你是线性无关也好。当你所有系数都为零的时候，你肯定等于零啊。所以这不是我们线性相关性的判定方法。

这个东西不是我的判定方法。因为你无论是线性相关还是线性无关，我这件事情都成立，人家问的是什么？你注意人家怎么定义的呢？这个定义啊，非常的妙。人家是这样定义的，人家说。还有没有？其他情况。注意这句话。你到底还有没有其他情况？还有没有呢？有。

有的话你就说，那说明所有系数不全被零嘛，你全被零就是这种情况，有就是k1k2。k3k4怎么了？波全为零。如果你不全为零，不就要有吗？有好了，我说你是线性相关。如果第二件事情没有。没有怎么说呢，也说只有所有系数都为零的时候才能让我等于零。没有别的情况呢，所以就当且仅当这个情况，

所以这叫无管。能学清楚吗？所以，线性相关性的定义人家是这样定义的，不是说定义说什么呢？所有系数为零的时候为零，你相关还是无关，你都会为零。人家问的是还有没有别的情况呢？你到底还有没有第二种情况让我再等于零呢？如果你还有，你就叫相关。如果你没有，你就叫线性无关，所以这里面当中，

我们先来看第一个事情，如果这个人线性相关怎么定义的？人家这样定义的。人家说还有，那就是存在。叫做波全为零。注意波全为顶的k1一直到多少kn？然后使得什么东西呢？使得这个人。等于零线性组合等于零。对吧，这是这个人，然后接下来你想想一个事情。不全为零。不全为零的话，

就是这些系数啊。肯定有不为零的。你假设是这个人系数不为零。你这个系数不为零，我是不是就可以把这个k1阿尔法一移过去就是负的？然后再把这个k负的k1除过去。那所以说这个时候不就说明肯定会怎么办存在。向量可由。其余向量。线性表除。是这个问题肯定存在，不是所有哦，如果你这个系数等于零，就不能移过去了。好，

这是它要品哦，理解比什么东西都重要。好了，这是我们讲的这个线性相关，那线性无关呢，他说什么他说没有，没有怎么说呢？哎，你要注意啊，写当且仅当什么意思呢？只有这种情况。只有所有系数为零的时候。k1阿尔法一一直加到kn阿尔法n才会等于零。只有这种情况，那你想想你系数为零，

你能移过去被别人表示吗？不能哎，你发现你就要说任何向量。不可有。其余表重。你任何人都不能被我其余人表出，哎，所有人都不行。任何人都不行，都不能被我旗云标注好，这是我们讲的这样的一个问题，过去了可以吗？我们就说到这。那这是我们讲的这个第一个问题，然后接下来我们再来看第二件事情，

线性相关判定的核心黄金重点。大家注意哦，这个部分特别重要。我们真正的比较重要啊哦等于零。那么，在这里面当中啊，我们比较重要的是谁呢？真正比较重要的是这个人。判定方法，这个页面是我们今天的黄金重点，好好听。认真听线性，相关性怎么判定呢？线性相关性是这样判定的。是用智。

用什么质呢？用这个向量组的质跟它的个数进行去比。你给我数个数。如果这个人是线性相关，给我数个数啊数，它个数行数行的个数列数列的个数，一个两个n个。哎，我数到了，你的个数是？n然后怎么办呢？再跟这个向量组的值进行去比较。你都知道这个质啊，一定是小于等于n的，有没有问题？

没问题吧，矩阵的质一定会小于它的列数吗？能琢磨清楚吧，矩阵的值小于它的列数一定会小的，所以是小于等。不会大大的话，这个就离谱了，你怎么可能会大呢？那么所以说我们接下来看看有小于也有等。那么，首先我们先看线性相关。就是把你的质跟你的个数比。如果你向量组的质怎么办？小于个数就是相关。你看你小于这个个数，

如果你这个向量组的质，你是小于你个数就是相关。如果你这个向量组的质怎么办？等于个数就是无关。所以同学们一定要会切啊，如果向量组的质小于它的个数是线性相关等于个数是无关。那如果是相关呢？相关就是质小于个数，无关就是向量组的质等于个数。一定要注意，这个东西是跟个数比，不要跟我信息去看行比列比，不要这样，就是跟个数比。你一定要听清楚，

你不会数个数吗？你回到学前班，你幼儿园，你这个时候你就知道我怎么进行去，这个怎么办这个？怎么进行去数这个个数呢？你就数一二三四五六七对吧？你会数。好，这个问题，所以说将来注意啊，你要听清楚，只要看到相关，不用想至小于个数，只要看到无关至等于个数。

只要看到质小于个数，相关质等于个数无关。能想清楚吧，把这个问题啊，把它琢磨清楚，那么如果同学们想想。诶，这个东西现在叫什么呢？它这个质啊，等于它的个数。那如果这个东西是方的呢？有没有可能有可能？就说你发现你这个东西形成了一个矩阵是方的。对吧，你列满了，

行就满了。你想想想一个这个正方形的，你列满了行业满了。对吧，所以说这个时候我还能转行列式，那么首先我们先看相应相相关，相关就是质小于个数。如果这个人不满之日，行列式等于零。如果是线性无关，然后这个是等于等于它的个数，如果是满值行列式不为零。能想清楚吗？所以说这个操作性呢，必须要学会。

这个页面非常重要。所以我们最后做题啊，都是在落脚点在这个页面。能想清楚吧，把这个页面一定要啃下来。啊，这个线性相关性的这个判定呢？这个页面很重要。行吧，我们休息会儿吧啊。呃，休息个五分钟，然后一会我们再来继续啊，再来讲讲这个下面部分问题。可以了吗？

好，稍微休息会儿吧。

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