19.冲刺串讲19-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:09:04

那我们继续吧，我们再来看看这个下面的题啊，我们先来看看这个幺二零这个题呃，这几个题就比较简单了，我们先看这个第一个。那么，这个a×b的这个转置啊，这很明显不对。啊，但是我们以前很喜欢考这个东西，然后再来看这个AB的m次方呢，这刚才讲过，只有AB可交换的时候可以。然后再来看看这个c选项c选项这个人呢？它等于a的行列式乘上b转的行列式。

然后这个b转的行列式跟b的行列式是一样。你再来看这个人，你这个人的话就等于a的行列式，这是b的行列式，这是一样的。你再来看d选项，你d选项很明显不对，这刚讲到，所以正确答案选几选c好了，这是这个人。然后接下来继续吧，我们再来看看这个下一个题，幺二幺这个题。这个题也能秒选，对吧？

你看到这个AB=0 a不为零，我们见过两个矩阵都不为零，但是乘出来是零。所以说这个东西不对，而且这个东西没有交换律。然后你看这个人这个东西是什么呢？这东西乘出来是a方。减AB。加BA。减b方。好，这个情况，所以说现在告诉你这个人是零，但是这个东西未必等于零，所以你也不对。

然后再看这个人，这个人其实是a-b×1个a-b。然后就等于a方减去ab-ba，加上个b方。然后这个AB=0留下了BA，这个人是对的，答案选d。可以的吧啊，这个非常简单啊，你下去把它好好串串，然后我们再来看看这个题。你再看这个。如果AB=0能推出a=0或者b=0吗？不行，没有零因子律。

然后这个AB=BA吗？没有交换律。然后这个AB+b的行列式就等于零嘛，这个东西未必那a-b的话也未必。这能理解吧，这个a的行列式加b的行列式，我哪知道？但是接下来我们来看看这个人，你可以这样做，你给这个两边同取行列式。零矩阵的行列式是零。a的行列式乘上b的行列式等于零，你是个数吧，你也是个数吧，两个数相乘等于零，

不就是你等于零，或者我等于零吗？所以选c哦。好，这个结果对吧？这个不难，然后接下来我们就继续，我们再来看看下一个问题，你再来看幺二三这个题。来再看这个。那这个人的话，我们继续看那a+b的这个人的行列式跟a的行列式加b的行列式啊，不一样吧？然后也没有交换率吧。你看这个人。

那c选项对不对？你看a+b的，先是没有这个公式的逆，也没有这个公式的，只有转有。完全背公式，你背熟了就会做，然后这个东西怎么办呢？左半边是a的行列式，乘b的行列式。右半边是b的行列式，乘a的行列式。两个数相乘，你乘我跟我乘你一样不一样一样的选c。还是这块题好做，

因为这块题非常容易。对吧，非常好做。然后接下来我们继续，我们再来看看下一个题幺二四这个题。来再看这个人。那求解一下这个人的伴随矩阵吧呃，为什么放在这呢？因为求伴随矩阵呢，是很多同学的痛点。也是做的非常不好的点，我们来看看这个人。伴随矩阵。首先是这个位置处的代数余子式。那这个行列式是多少？

20第一个是正的。然后再来看看这个人。这个位置处的代数余子式15。但是要写成数的是负15。然后再来看第三个位置的话，这个人抹掉那这人是零。注意是代数余子式，然后这个人呢？你发现是十。然后第二行第一个这是负的，所以是负十。然后中间这个位置去掉这行这一列，那这个结果是几是零？哎，不是零，

这是五。然后接下来我们再看这个位置，去掉这行这列那这是零。然后再看这个人去掉好这行这一列。那么所以说这个结果是几，那这个人也是零。然后去掉这行这一列的，之后的话，它也是零。然后最后的话，这个人去掉这一行这一列，那这是负二，这是正的，就它。好了，

这是这个结果吧，我们就讲到这。有什么问题吗？就这句话呀。这有什么问题吗？这句话。有啥问题？a为零。a的行列式不一定是零。你这句话其实你先来看看这个里面当中的第一句话。你看这句话。a为零。你这个矩阵是零矩阵。你这个行列式不一定是零矩阵，你这不是胡扯的吗？

这上课记笔记，你得会记，我说a是零矩阵。推不出来是什么？这个不是零矩阵，推不出来行列式不是。不为零，你别在这乱来啊，你记笔记，你别别在那胡扯对吧？我说它是不为零。它的行列式不一定为零。也有可能为零，比如说你看。这矩阵不为零，

但是行列式是等于零。这叫矩阵不为零。行列式不为零，能推吗？推不了。你这写的啥？矩阵是个邻矩阵，行列式不一定是零，谁跟你讲的？这都谁讲的？你都是个零矩阵，你行列式肯定是零呐。你别瞎在那推对吧？你这这乱推了。听得懂我的意思吗？

你矩阵都是零矩阵，你行列式肯定是零，所以同学们注意不需要进去去背，不要背啊，不要瞎背。那都是零取胜的行列式，肯定是零。AB=0 a的行AB的行列式肯定是零啊。有有点乱，推了就没有这样子的。一个命题的逆否命题。不讲了，不讲了啊，行好了，这个问题啊，

我们就说到这。这是一二年的考题。然后再来看看下一个问题。二零一五年这个题，然后我们去求解一下这个什么什么时候可逆？对吧，可逆那可逆的话，你就要算一下行列式呗。行列式不为零就可以，你按照什么呢？你这都是下三角，你看这以前的考题，这负k负k怎么办？不为零的时候。它就可逆行列式不为零，

它就可逆。所以像这种行列式的话，你就会发现。你也稍微出一个有水平的，你看这个一一年。才过了这个十几年啊，发生了翻天覆地的这个变化。你看现在怎么可能会出现这种问题？但是我们稍微进行计算一下，然后让我们去求解这个逆矩阵。这个逆矩阵呢？我们观察一下。你会用公式法做。还是行变换法做冷静一点，思考了之后再说话。

你会用公式法做，还是在这里面当中会用行变换法做？行变换为什么呢？你想想我只要把这两个位置变成零。这两个位置变成零，它就很容易变成单位帧，它非常的容易。所以说这个时候我怎么办？我就把这个人摆在这。一零零。1k零。零负一负一。然后这是一一一。把它给我变成单位帧。但是你只能行变换一次列，

变换就废了，绝对不能列变换。把第一行的负一倍加下来，这是零。负一倍加下来，这是它。好了，这个东西就写成这样，然后给这一行，同时除上个k负的k分之一k分之一好这个结果。然后接下来直接把这东西加下来，你加下来就是零。你加下来是负的k分之一，你加下来，这是k分之一。

然后把这一行来一个负号来一个负号来一个负号，然后这个负的。那所以说这个a逆是多少呢？这个a逆啊，它是一负的k分之一k分之一，然后这是零这k分之一负的k分之一。然后这是零零负一。好，这个结果立即出来了，你看这个点。所以这个题而言呢，他肯定走行变换的路线简单，因为它跟这个单倍矩阵已经非常非常的接近了，那这么接近的话，你稍微一操作就出来了。

好了，幺二五。然后再来看看幺二六这个题，你看这个题。怎么处理那这个题的话，我们进行稍微看看。你发现这里面当中，这是a逆。加币，你。然后你看到这个abcde这几个选项当中都是a+b。那不就是切换吗？那切换的话就是腻的变不腻了，不腻的变腻了，这就是切换，

那怎么切换呢？一前。一后一前一后，然后整一下这个b逆向提出去，你就要这样写。然后这个a你要提出来，你就要这样写。然后把这个b逆提出去，把这个a逆提出去，然后这就是b+a。那么这个时候我们其实就可以做了。你看这个是a逆加上b逆。然后它的逆矩阵，我说一下这个问题啊。你像这个a×b的逆啊，

它会等于b的逆a的逆。那如果是三个人呢？就不要在现场推了。三个人是两边倒。中间不动再来逆。是不是这个位置你可以推呀？你把这两个东西看为整体就是BC的逆a的逆BC的逆再是c的逆b的逆。啊，这个问题，所以说现在我们就要来一下，这个人跑到第几个位置，跑到第一个位置腻了再腻。就是本身，然后这个位置在中间继续你。这个位置跑到第三个逆了，

再逆就是本身好，这东西啊，就做成这样，所以说最后的这个结果选c。好了，这个题啊，就是一对单位阵法做切换的问题。一切就过来了。那这里面当中只要给你一对单位证，你一切就出来了好了，这是幺二六这个题。可以了吧，然后我们继续，我们再来看看幺二七这个题。好，

这个题目那这个题啊呃，我们想重点说一下。那么，在这里面，大家告诉我一件事情。比如说这是AB零零。大致告诉我。对于这个人而言。他的逆矩阵会求吗？会求吧，它的行列式会求吗？会求吧它的伴随矩阵就会求。逆矩阵就等于a逆。b尼，这是零零。

然后这个行列式就会等于a的行列式，乘b的行列式。那逆矩阵和行列式会求通过万能公式一转。那这个伴随不就出来了吗？然后再来看，那这是a这是b。这两边都是零零，那这个人的逆矩阵，这逆矩阵等于换了位置再来逆。好，这个问题换了位置再来拟。然后这个部分是0 AB 0。这个行列式呢？这行列式等于负一的m×na的行列式，乘b的行列式。

好，这个情况你发现这些问题啊，它的逆矩阵会算行列式会算，那伴随矩阵不就会算？所以有了这些工具了之后啊，它的伴随矩阵就会算。但是这个题你要注意啊，伴随矩阵没有直接的公式。有个同学的话，在这里面算它的伴随怎么算呢？他说这是a的伴随b的伴随调换位置，再伴随结果一发现没有答案。没有这个公式。一定要注意啊，没有这个公式，

没有的公式不要瞎记，那么来看看这个题怎么做？那走呗，这是0a。b0。我这个人再乘上什么0 AB 0乘上它的伴随就会等于0 AB 0。这个行列式乘上一。是不是这个情况好了，我们再看那这个人你就可以做了呀，我要的是这个部分。b0，而你发现a的行列式不为零。b的行列式不为零。这个整体的行列式就是负一的m×n。你的行列式乘我的行列式。

肯定不会规定。不为零就可逆，两边左乘下它的逆矩阵。两边组成它的逆矩阵就是0 AB 0，这个人的逆。好，写成这样了，之后的话，这个人是多少是负一的，你看几阶阵的都是二阶阵m×n是二×2。然后这是a的行列式b的行列式，然后再来这个人呢调换位置，然后再来拟。啊，这个结果。

那么现在这个人是一，这是一个树，可以进去吧？是一个数可以进去的话，你发现我就写了0a的行列式b的行列式b1。然后这是两个树，可以调换。数调换了是没关系的，一×2跟二×1是一样的。然后这个时候你发现诶，这些东西一结合是什么？这是b星吗？这不是a星吗？你通过万能公式一导。那这个东西不就是伴随矩阵吗？

然后这个人是零。a的行列式是二。所以说这就是二倍的b的形。然后这是三三倍的a的形，这是零结束了。看清楚了吗？所以这个操作不是说特别难，就是一转这个东西就出来了。好听明白的给我回复一吧，这是零二b3a零零二b3a零选b。好，这是我们讲的幺二七这个题。来继续吧，我们再来看看下一个题，所以这节课都是在记公式，

你把公式记住了之后都非常好办啊，都是来背公式。记公式的问题。你再来看看这个幺二八这个题，你看这个题怎么做？那这个题啊呃，其实我们不考特征值特征值做非常简单，但我们不管了。那这个东西是个非邻居者。然后告诉他的三次方是零。抽象的吧。这东西给了一个抽象的。给了一个抽象的，然后让我们去判断这个人的可逆性。那这个人是个抽象的呀。

你得想什么东西啊？你得尽心去想这个定义法。就是我这个人，陈绍谁等于单位证人？你这是李娜。e-ae哎，我想了想，那我如果给它减个e呢？它不就是e吗？我一一减就是一。然后这个时候的话，这个e跟它可交换立方差公式一用，你加a，再加上a方。然后等于一，

那就是你乘上它等于单位帧，那它不就是你的逆矩阵吗？当然可逆逆矩阵都找到了，那肯定可逆。哎，那同理啊，那加法呢？我给它加个一。是不是这个人？那这个时候再用一下立方和公式，等你这个人再乘上一减a，再加上a方。然后这东西是一。那我乘上你是一个单倍帧。我乘上你是单位帧，

两者之间不就互为逆矩阵吗？你就是它的逆矩阵，所以说这两人呢，都是可逆的。好了，没听明白的给我回复一吧。好，这个基本知识点啊，这节课记的东西啊呃，有点多。基本上都是记忆的东西，来来回回的话，我们都需要记忆，都需要背，把这些该记的你该背的东西啊，

你把它掌握清楚就行。好了，这是幺二八这个题，我们就讲到这。可以了吗？来再来看看下一个问题，矩阵方程的求解。那矩阵方程的求解啊，其实这个东西啊，不是说特别难，我们考的这个矩阵方程，我以前给这个东西起了一个小名儿。这东西叫什么？这叫小矩阵方程。它不是我们下一章要学习那个矩阵方程。

那这个矩阵方程的求解，就是先化解。先怎么办呢？利用矩阵的运算。进行化解。对吧，你先化简再求解。啊，再进行求解。就是这个东西，我们一定要进行去先化简。把这个东西化简化，简完了之后啊，你再来进行求解。这样操作才是我们的这块的正图啊。

啊，一定要先化简。那么，其实考这种题非常的简单，我们来看几个吧。你看这个是一七年的，以前出的题都非常的温柔，包括现在出的也很温柔，你现在出的也是二阶的。然后你看看这个一八年稍微出了一个三节。然后这个一九年出了个三解啊，我们来看看这几个题，这个解这个方程呢，非常容易，你听好了就是。

且谁把谁的注意力集中到哪？啊，就是你解哪个人，你就把注意力集中到谁，你看我要解b。你就把b进行整理一下，把它移过去。所以说其实就是a- 1。然后这个人等于几啊，等于二一。是不是这个情况？然后这个b就等于多少呢？它就等于二倍的两边，又乘上它的逆矩阵。有人说，

老师，那这个东西万一不可逆呢？不可能俩人相乘，等于一把这二除过去，俩人相乘等于一肯定可逆。所以说这个题我们就只用去求逆矩阵就行了a- 1 a- 1对角线减去这个一，然后这个人就变成了这个人。然后这个东西是a- 1的，这个逆矩阵。它等于多少？它的行列式行列式是多少？那这是一这是负一这是二分之一，然后这伴随呢主对角线调换位置，副对角线加负号。那所以说这个结果的话就变成多少就变成了二分之一，

一一负一多少一这个结果。好了，这是二零一七年这个题。我们就讲到这。可以了吗？哎，我们就说到这，然后再来看看这个题。啊，继续走，你要解谁就把你的注意力集中到谁。我这里面当中很明显，我解s啊，解s的话，你就整理一下。

as-s。然后这个东西就等于a方减去个一。那这个时候提一下的话，其实a-e这个人s。然后这个人呢？对吧，这人可交换，直接来a- 1 a+1。那么，现在我们来看看这个a- 1这个人。不要随便约了啊，你约这随便约的话，这可不行a- 1的话，对角线减去一一，这是零。

零一零零一零。好，这个人那很明显，这个人的行列式不会为零，你别管是多少，反正不为零，负对角线乘积不为零嘛。你顶多添一个正负号，反正不为零不为零就可逆。可逆两边左乘上这个人的逆矩阵就没了，留下了个a+1。那所以说结果的话就对角线加一+1+1好了，这是零一零零，然后这是一零。出来了好了，

这是一八年的考题。过去了，可以吗？来我们再来看看这个二零一九年的考题。你再来看这个题。那这个题啊，还是这样给了一个矩阵a说这个b满足这个人，让我们去求b。那这个东西稍微的容易一点AB移过去，然后这是a方减一。那所以说这个b这个人就等于多少？它就等于a逆，你先要看看这个人可不可逆，这个行列式很明显不为零可逆的，然后这是a方减一。

那所以这里面当中啊，我们就进行去计算它就行，那对于这个题，你要算一下这个逆矩阵，你算一下这个平方，你减去这个一。好，我们先算一下这个逆矩阵。一一负一。零零零。那下面都是零的话，这个题肯定是初等变换更简单吧？那所以我们就把这个一一放在这。然后怎么办呢？把这个人的1倍加上去，

这是一。然后这个负一倍加上去，这是零。负一被加上去变成它。然后这个人的负一倍，加上去负一倍，加上去，然后这人负一倍，加上去，这人变成负二。所以说这个逆矩阵出来了，它是一负一负，二零一一零零一，你看这个。然后再来算一下这个a方。

a方这个人是一一负一。零一一零零负一啊，这两个东西相乘，就是我这个人呢，我再乘一个我这个人。哪个是简易啊？哦，对，这还有个负号负一。这个那这个东西我们接下来再来乘，你把这个东西乘一下，你也可以拆开算，你拆开了之后就是a- 1 a+1，你再算乘法。你惩罚了再减你这个题没啥运算量啊，

都无所谓，你把这东西拆开了再做，你或者做了再直接来啊，这东西都是一样。然后接下来我们就继续，我们再来看。呃，可能这里面。无论怎么样，你都要算一下这个，所以说这个题的运算量你减轻不了，你可以把这个人写成a- 1，再乘个它，你还要算逆矩阵，这都是一样的。

所以说其实你发现运算量都差不多，你自己试一下。第一行第一列以。第一行第二列，那这是二。然后再来看第一行第三列。第一行第三列，这是负的。然后这是正的没了，然后这是一。然后再看第二行第一列，那这是零第二行第二列，这是一第二行第三列，这是一减去一等于零。然后再来看第三行第一点，

这是零零一这个结果。然后这个东西还要减去个e减去个e的话，对角线全部变成零。然后这是多少二一减二一零？好这个题，所以以前的话，这个这是个十分题啊。就这个题，相当于我们现在做五道这个选择题啊，就这样一道。那么现在算吧。第一行第一列零第一行第二列的话，这是二第一行第三列，这是一第二行第一列是零。对吧，

第二行第二列，这也是零第二行第三列，这也是零。然后再来看看这个第三行，它是零，它是零，它是零。好了，这是这个问题吧，我们就讲到这。d可以等于a-ae。可以啊，这不一样的吗？我都说了这个题，你这样做其实没有，

也没有加多少运算量，也没有减多少运算量，你看你乘进去了之后的话，其实就是a-a逆。你还要算，就是这个题。你无论怎么样，你都要算一下a1能理解吧。就这个题，无论怎么样，你都要算下这个点。可以的，没关系，你盛进去可以。一样的就少算了一下乘法，

乘法倒还好。对吧，算了下，只少算一下乘法，就这个题的话，无论怎么样，你都要算一下a1啊，这个题。行吧，这个事我们就讲到这。过去了，可以吗？好，下去把这个相对应的这个问题啊，好好处理处理。

行吧啊，都是可以的，好那么接下来我们就继续，我们再来看看这个下一个问题，我再讲一个板块。我在讲完这个板块，我们就下课，我们来看看初等变换和初等矩阵。这个知识点呢？我们考研的过程当中基本上是趋向于必考的部分内容。要注意初等变换和初等矩阵呢，是我们考研非常喜欢考的。我们很喜欢考初等变换的。然后这个初等矩阵，它们之间的关系是什么？

那这种题其实玩起来还是很好玩的。好了，那么先我们来看看这个第一个问题，初等变换。首先，你要知道，初等变换有几种啊？初等变换可以进行行变换。初等变换，也可以列变换。无论是行变换还是列变换，它都有三种。就是比如说以行变换为例，调换了某两行。给某一行乘上一个倍数。

给某一行乘上倍数，加到另外一行。就这三种。但是你要注意，一旦是变换了。这个矩阵就不一样了，所以说中间用的是箭头。啊，中间用箭头。我可以调换某两行，我可以给某一行乘上倍数，我可以给某一行乘上倍数，加到另外一行。所以说这里面当中有这三种。能想清楚吧，

有这三种三种变换。哎，调换了加某一行，乘一下某一行，乘上倍数，加到另外一行，这是你要知道的初等变换的三种。然后接下来我们来看看下一个问题，我们要讲一个东西，叫初等矩阵。那什么东西叫触动矩阵呢？初等矩阵这个东西啊，它是。单位矩阵。只能经过一次触动变换。

大家注意啊。他只能经过一次。两次都不行。只能经过一次初等变换，我们变成的这个矩阵呢，它就叫初等矩阵。啊，它就叫初等矩阵。只能经过一次。两次都不行，三次更不行，只能是一次啊，你一次过来，你就要有个触动矩阵。那么，

在这里面大家想想。那初等变换有几种啊？初等变换就有三种。初等变换有三种，那初等矩阵不就有三种吗？所以我们来看看这三种初等矩阵。我们先来看看第一种。比如说这是幺幺幺。那这个东西的话，第一种我们可以这样。比如说我们互换二代。调换一二行。你告诉我这个东西是不是个初等矩阵呢？你会辨认的。这是个初等矩阵。

然后接下来我们再来看第二事情。一一一。我们来给第二行乘上个三。这是不是一个初等矩阵呐？也是个触动矩阵。然后第三个事情一一一。我给第一行乘上个几呢。乘上个五倍加下来。那这个人也是个初等矩阵。所以我们这里面当中的初等矩阵呢。我们就有三种。对吧，这三种类型的初等矩阵，这三个人都是初等阵。那么，

接下来我们来看看这个初等矩阵表达的意义。那么，首先我们先来看看这个第一个初等矩阵。这个初等矩阵可以认为成什么？交换一二行来的行不行？交换一二列来了，信不信？都可以，然后这个触动矩阵。可不可以认为是第二行乘上三倍？可不可以认为成第二列乘上三倍，这都是可以的。然后第三种触动矩阵有点窘然不同。如果是行啊。是第一行乘上五倍，

加到第三行。如果是列啊，是第三列，乘上五倍，加到第一列。这个东西不一样。就是你发现前面两种说行说列都是一样的。但第第三个人不一样。那么，接下来我们来看看矩阵，可以进行简写。我们可以把这个矩阵呢进行简写。你比如第一个人，我们简写成什么？一一二当我看到一一二这个矩阵的时候，

我就知道它是交换一二行和一二列都行来的。然后接下来我们再看第二个人。是第二行乘上三倍，或者是第二列乘上三倍，这都可以。但第三个人你要注意。简写的时候。我们讲究一个原则，叫做行就近。烈救援的原则。哎，行，就近列就远的原则，所以接下来我们来看看，如果你用行进行简写。

第一行。乘以五倍加到第三行。如果你按照列进行简写。烈秀园。第三列。乘以五倍加的第一列哎，你发现一样不一样。一模一样，说的都是他，所以同学们注意简写一个人呐，他肯定是固定的。因为这个矩阵就是固定的。你矩阵就长这样子，你谁叫他他都是这个人。你行叫它和列叫它叫的不就是同一个人吗？

所以你注意简写，结果肯定是一样。就是你想把这个矩阵进行简写，你按行简写，你按照列进行简写，那都是一样的。能想清楚吗？把一个矩阵进行简写，无论是按行简写还是按照列进行简写，简写的结果是一样的。但是这里面当中有一个问题。注到这儿矩阵。初等矩阵。矩阵简写结果。是一样的。

利用行。先行还是列。减写结果是一样的。就是无论你是利用行进性简写。还是进行去列，进行简写，你简写的结果那肯定是一样的。我们说的都是同一个人。这个不会变。一样的，但是要注意一个问题。你这个矩阵矩阵有没有意义啊？矩阵没有什么意义了，矩阵就是个数表，有什么意义啊？

但是你要注意一个问题。但是一旦。我把这个初等矩阵呢组成给别人。组成给别人。和又称给别人。又传给别人。发挥的作用不一样。啊，这时候不一样。比如说我举个例子。我们来看看一个事情。我写一个矩阵。这是xyz。这是ABC。你发现我把它这样乘。

还有一个事情是。矩阵在这儿，我把它这样乘。一样不一样不一样。这个时候是什么城呢？是左城。左沉一下，就相当于让这个人进行了一次行变换。这是又称一下，就相当于让这个人进行了一次列表。你来看第一个人。组成一一二，那就是交换的一二行，那就是ABC xyz交换一二行。然后这个右乘就是列交换一二列yb xazc。

好这个人，所以你要想清楚，当然的话，这这个一一二和这个一二是不一样的，因为这个一二肯定是二×2的。这人是三×3的，你能理解就行了。跟得上我的意思吗？所以注意一个触动矩阵左乘给别人，右乘给别人，它是发挥的意义不一样，这是我们经常讲的左行右列。你左边乘一个初等矩阵。相当于让这个矩阵进行了一次相对应的行变换。又称一个初等矩阵，

就相当于让这个矩阵进行了一次相对应的列变换。能想清楚吗？好支持这个问题。然后它中间呢，具体表达了一个，还有一些的话，具体表示了一个什么样的含义呢，我们把这个东西啊，我们给同学。这里面当中有一张非常重要的表啊。我们来跟同学们进行看看。我粘过来就行了，你们下去过程当中啊，自己去整理就行。啊，

就这张表，我们叫它牛逼表啊，这张表。来看看这张表。但他们高教社不让我精心写，对吧？来我们看看。这张表非常重要。啊，这张表那么首先我们先看看第一个人。这个人如果进行一组成。就相当于让他进行交换了一二ij行。如果又乘，就相当于交换了1 ag列。如果这个人。

左乘的话就相当于行di行乘上k。又称就列di列，称上k。然后这个人。你注意行事就近。如果是行的话，就是DJ行乘上k加到di行。行，就近。然后列就远就是di列，乘上k倍加到DJ列，你注意啊，这个东西不一样。诶，这个东西不一样。

然后接下来我们看看它的行列式。原来单位矩阵的行列式是一交换了一下就变成了加个符号负一，然后乘个k倍就是k。某一行乘上k被加到另外一行，行列式不变还是一。然后ei j的逆矩阵是ei je ik的逆矩阵是e ik分之一，ei JK这个喜欢考。是eig负k。好这个人，然后ei j的转置还是本身e ik的转置是本身ei JK的，这个转置是ejik，你看这个人喜欢考。所以说这个人呢？恶心一点，就这个人。

别人都很简单，你就这个人就这个人稍微的麻烦一点点。好了，那么接下来我们来看几个题吧，你先看看这个第一个题。来操作起来。那么，首先我们先来看看这里面当中的第一句话。你看这个人，他说。把a的一二列交换。来赶紧把这句话写出来。列变换吧，列变换就是右乘。又乘那个一一二，

它就会等于b。好这个人，然后接下来我们再来看下面一句，他说把这个人的第二点加到第三点。什么意思呢？就是第二点乘上一倍加过去。那所以说其实就是b。列是什么城呢？列是右臣，左行右列嘛。而且烈士救援我们接着写。第二列。乘上一倍加到第三列。等于c。然后这个东西你就可以整理一下了，

把这个b带进去b就是a乘一一一二，然后这是一二三一。然后等于c。那这个时候你发现。这个东西不就是q吗？所以这个q是多少呢？就是一二一二三一这个结果。那这个时候我可以把这个矩阵写出来。这个矩阵可以看成行，看成列都行，写矩阵行和列都行。交换了一二行，它就变成这样。不要把后面这个人写出来，后面这个东西用性质，

你看这人不是右臣吗？列变换列就远。来走第二列。乘上一倍加到第三列。所以说这个时候的话就是零一零，然后是一零零一倍加过去就是一零一出来了。所以这个题就是零一一。一零零。零零一选d。好，这是这个题啊，这个题不难吧？所以操作下来还挺容易。好了，这是我们讲的这个幺三二这个题。

过去了，可以吗？来继续吧，我们再来看看下一个题。幺三三。还可以啊，就是他说了一句话，你就写一句话，说什么你写什么就行，然后我们再来看看这个事情。他说了一句话，他说第二行加到第一行。那不就是第二行的1倍加过去吗？所以我们就来写左行啊，行就近你就写第二行。

乘以一倍加到第一行。等于b好这个人，然后再来看这个人，他说b的第一列负一倍加到第二列。列呢，这个人是右臣。列就远第一列。乘以负一倍加到第二列得到c。那这个时候把它整理一下，整理一下的话，之后就是一一二a。啊，这个是一。乘上a，这就是BB带到下面去一一二这个负一，

然后等于这个c。所以现在我们来看看这个p是谁？你p要进行简写，简写的时候行简写和列简写是一样，我们就行简写吧，第二行乘上一倍来行就近。第二行乘上一倍，加到第一行。哦，这就是屁啊。那所以说我们先来写一下。这就是p，这是a，这很明显是p逆，因为多了一个负号，

我们选下答案。pap逆所以正确答案选几啊选b。好，这个题不难吧？他说什么话？你写什么东西？然后把这东西一简写一挑就出来了。啊，这个非常简单好，这是幺三三。听明白了，给我回复一吧。我们接下来继续，我们再来看看幺三四这个题。好，

再来看这个题。那这个题啊，我们继续来看。他说了一句话，他说把a这个人的一二行交换得到b。那就写呗。左行吧，左边乘上那个一一二，然后得到b。好，这个人那么现在我们要进行去看这个人的伴随的关系。那伴随关系怎么找呢？你就来给它进行两边同取伴随就行。同学伴随。伴随这个人的话，

就等于你的伴随。乘以这个人的伴随。好，这个那么现在关键点的一个问题就是这个伴随怎么求？没关系，这个人的逆矩阵，我回这个人的行列式，我回我就立即用下万能公式把它写出来。能想清楚吧，好了，这是一一二这个伴随就等于一一二的行列式，把这个人逆过来。就这个人，然后这个行列式等于多少牛逼表告诉我们等于负一。这个人逆矩阵就等于本身。

那所以说其实就是a星这个人乘上负的这个人。负号这个东西写过来。能听懂吧，把这个人给带进去。你把这个符号写过来。所以我们就来看。这是什么层呢？这是右层。又称列变换，那就是交换。一二列。得到这个负的这个b的伴随。那所以说这个东西出来了a这个人交换一二列不是行。啊，交换的是六等于负的b伴随选c。

你看这种题，那这种题不是说特别难，就是你说一句话，我能写的出来，你说什么东西我能写出什么？我写出什么了之后，然后根据这个牛逼表一个运算就出来了啊，非常的简单啊。好了，这是这块比较简单的题，对吧？它的操作性的这个难度系数不是说特别大。就是我的公式里面当中啊，有这个行列式，我公式里面当中啊，

有这样的一个逆矩阵，我通过这样的一个万能公式一导这东西出来了。行吧，听明白了给我回复一。啊，这是个基本问题。好了没？我觉得很多同学做这个东西啊，你做的非常不熟练的一个重要原因，其实很简单。就公式背的不熟。你要这些公式的话，在脑子里面半天都想不起来，半天都想不起来啊，这个东西啊，

你可不行。所以说这些基本的公式啊，你该记的东西你还是要记住。你如果说这些基本的这个公式记不住，你这就很麻烦。所以还是要记工时。这节课基本上都是公式。你没发现吗？乘法加减。伴随逆矩阵，抽象性，行列式的计算公式，然后包括我们刚才讲的那个什么了，讲的这个呃。初等变宽也都是一些公式，

所以该记的东西啊，你一定要记，反反复复的把他东西啊装到脑子里面。然后做题的时候就非常容易了。所以脑子里面要有货，你要有东西，有东西了之后做起来当然非常的轻松，脑子里面这个。什么东西都没有啊，这个就很麻烦了。那行吧，那么今天这个部分内容我们就讲到这，那么下次过程当中的东西啊，我们会去讲这个矩阵的值。所以下节课会稍微的会难一点点。

啊，下节课可能会稍微难一点，我们会把这个矩阵的值，还有这个向量部分和方程组组合的这个板块内容，我们讲一大半。讲一大半的话，按理说这个。呃，看看后天吧。应该是后天的课，如果最后还剩下一点东西，我再给你补一节课，补一节课的话，就把这个东西讲完。然后包括我们的这个经济学应用，

还有这里面当中的这个中值定理的几个知识点，还有这个呃概率论当中的。一为随机变量的函数分布，把这几个小型知识点给你一补好，我们所有东西就全部结束了。能想清楚吧，好这个知识点呢的东西啊呃，还是很多。所以希望大家下去把这个该做的东西啊，你还是要做到位。哦，有同学生日是吧？啊，生日快乐，好好加油，

对吧？呃，最后这个阶段呢？呃，一些该记的东西该进行去掌握的一些内容没有？这个下一个阶段了。这就是最后一个阶段。你可能我们这个基础班的时候，你会觉得会有一个强化你强化结束了之后，你觉得还有个冲刺，那冲刺结束呢？冲刺结束了就结束了。所以把这个该进行去准备的一些东西啊，把它做到位呃，这个今天晚上。

我想想啊，就看看。呃，今天晚上的话，应该是微博，还有这个小红书。B站的话，我们暂定啊，这个两个平台今天晚上直播。行吧啊，这个部分内容我们就讲到这吧。行行行啊，这个上次答应你们唱那个行。嗯，我找了一个歌。

嗯，唱一首陈奕迅的。陪你度过。漫长岁月。可以吗啊？写在心上。了人来人往。不喜欢也得欣赏。我是沉默的存在。不到你的世界，只做你肩膀。拒绝成长到成长。变成想要的模样。再举手投降，以前让我再陪你一段。

陪你把沿路感想活出了答案，陪你把独自孤单变成了勇敢。一次次失去又重来，我没离开陪伴是最长情歌告白。陪你把想念的酸拥抱成温暖，陪你把彷徨写出情节来。未来多漫长，在漫长还有期待陪伴你。一直到故事可以说完。行吧，我们就唱这么多。那行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这儿啊，这个最近强度太大，

有点儿。好，我们今天就说到这吧，然后这个有些。就唱这些吧，你看你这些人啊，你这个人就非常的讨厌。你要不想听你就别听啊，这个。好了，那么今天课程呢？我们就讲到这，然后这个今天晚上的时候，我们把这个一些东西啊，给同学们进行去呃，

一个考前21期。可能会给他发过去，然后这个今天晚上我们就呃会有一些比较重点的一些个几个时间段的话，跟同学们进行去说一下。一个事情的话，就是这里面呃，21期还有这个冲刺满分十套卷，还有后续的这个所有的这个模考的时间，我们这个时间呢呃，基本上会排到这个12月份的，这个月初的时间。所以说接下来可能这个模考的时间会占的比较长一点，我们差不多是两天一次或者是三天一次。啊，两天一次考试，

或者是三天一次考试，所以每天考完了之后，你下去整理整理完了之后的话，第二天的过程当中，把这个相对应的东西啊，你好好进行去。呃，错的东西需要进行去补，录的东西把它补一补，我相信这个效果可能会更好一些。好了，那么今天课程呢？我们就讲到这吧啊。呃，今天晚上的话，

应该有回放吧？如果你没有时间的话，我们明天会出一个这个文字版的。行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这儿好吧，同学们好，下节课继续吧。

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