19.冲刺串讲19-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:08:53

好，接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测点声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们准备开始了。那么今天我们就继续开始我们的冲刺救命班的课程，那么上次过程当中啊，我们今核心重点讲的这个线性代数部分内容。而且在这个第一章过程当中，核心重点的内容啊呃，其实不是说特别多一个事情是行列式的定义，一个事情是行列式的性质。

然后紧接着就是行列式的这个展开定理，那这三件事情啊，其实就是我们在第一章过程当中核心重点讲的一些知识点。你这些知识点呢，你都要在脑子里面留下非常深刻的这个印象好了，那么接下来我们就继续吧，我们再来看看这个今天部分内容。那么，今天这个讲法我们是这样讲，我们先进行去串第二章的第一波知识点，然后再来进行去讲，我们第一章还剩下最后这一点知识点。能听懂我的意思吗？啊，就是我们先讲矩阵这部分内容，

然后接下来有一个抽象型行列式的计算公式啊，那些部分东西啊，我们再来讲。好了，那么接下来我们就继续，我们来看看第二章。那么，第二章的核心重点其实就是矩阵，那么这一章在我们考研过程当中啊，考的是非常重要的一章啊，其实考的还挺多的。你说如果说这个矩阵的这一章出题啊，一个事情是矩阵的运算，一个事情是初等变换，一个事情是矩阵的值。

这三件事情我们都是考研中的重点，那么首先第一件事情你必须要迈过的一个基本知识点，其实就是矩阵的运算性问题。对吧，矩阵之间是怎么加的？怎么减的？怎么乘的？然后是伴随矩阵怎么求逆？矩阵怎么求？好了，首先我们先来看看这个第一波问题啊，就是矩阵的运算。那么，像这个问题啊，一般会出一到两道题。

那有的时候我们在这个前面的话，这个乘法对吧？伴随矩阵，我们出一道题，逆矩阵也可以出一道题。所以这是我们在这章第一个知识点，然后就是初等变换。与初等矩阵。啊，这是高频重点，一般呢，会遇到题，然后第三件事情其实就是我们的矩阵的质的问题。那区域阵的质讲完了之后啊，还有一个区域阵的增加的问题。

等价问题。好了，所以说我们在这个这一章部分问题啊，核心重点其实就这四个事情，把这四个事情啊，你学清楚，你其实就过去了。那么，今天我们的重点都会把这个第二章啊全部讲完。啊，包括第一章，最后还剩下几个题，然后还有这个第二章的知识点呢，我们全部过完，那这样的话，

其实我们线性代数啊，还留下最后两章。一张是这个向量，一张是这个方程组啊，只剩下这个最后两个部分，那么接下来我们就继续吧，我们来看看这个第一个问题，我们先来讲讲。矩阵的一些运算啊，这些问题啊，你就跟着回顾就行了。能理解吧，你就跟着我进行回顾，你像这些问题啊，如果哪个知识点你给忘了，

你就把这个东西啊，你再捡回来就行。那这块东西也不是说特别多啊，好了，我们先来看看这个第一个问题，你像矩阵的定义啊，我就不讲了。还有一些常见的话，这些矩阵，比如说什么上三角矩阵，下三角矩阵，单位矩阵，你这些东西啊，你都不会说在这个冲刺救命班的。这个阶段过程当中，

你还不知道啊？好了，我们先来看看第一个问题，矩阵的加减法。你这有个矩阵，然后再加减上这个矩阵。那么，这两个矩阵进行相加减，我是怎么进行加减的？你一定要注意，如果这两个矩阵想相加减，它务必要保证一个事情，你两者之间得同行。如果这两个东西啊，不同行，

什么叫同行呢？就是行数一样，列数也一样啊，这个东西叫同行。你是三×4的，我也是三×4的。呃，这样叫同形，同形的话，它们两者之间才能相加减。然后这两个东西相加减，也未必是方针，我只不过写了方针，你也可以，不是方针，

不是方针呐，这个东西也能相加减。好了，我们来看看这两个矩阵，这两个矩阵能不能相加减？可以的，同形的，然后怎么加减呢？它是对应元素的每一个人呢？他都要加一下好这个人。a3和b3，然后是a4和b4，每一个对应位置啊，你都要相加减好了，这是矩阵的，

这个加减法。好，这第一波问题，那你想想这个东西跟行列式的加减一样吗？跟行列式加减不一样，行列式加减是这样，你如果加呀，你只能按照一列加你，或者按照一行加。别的东西得保持不变。能理解吧，你像如果是行列式，这两个东西就加不了，它必须要保证某一行假或者某一列假。别的东西是一样的，

你这样情况下，它才能加你，像这种问题呃，如果写成行列式，它是加不了的。注意啊，不一样。然后接下来我们再来看性质啊，这个性质啊，我们等会再说，然后再来看看第二个问题，矩阵的速成。那这个数乘是怎么乘的？如果这个矩阵乘上这个数，我们是给每一个位置都乘上这个数。

啊，雨露均沾呢。每一个位置都成。每一个位置都乘上这个数，雨露均沾，你看这个东西跟行列式的乘法一样吗？也不一样。如果这个数乘上这个行列式，不是代表着每一个人都乘上这个数。它是单行单列成，我是所有人都成你，所以这里面当中啊，你是不一样的，那么接下来我们来看看一个问题。如果这个人是一个方针。

对吧，是方的，如果这个东西是方阵k乘上a呢？你k乘上a就是给每一个元素都乘上k。每一个人都乘上k，每一个人都乘上k的话，你发现我给他加上行列式。第一行有一个k提出去，第二行有个k提出去就能提出n个k，然后这是a的N次方。好了，这是一个非常重要的一个抽象性行列式的计算公式。一个数乘以a的这个行列式，等于这个数的N次方再乘上a的行列式，这个n呢？

就是这个a的这个阶数。好了，这是我们讲的这个问题，然后再来看看第三个事情，我们再来看乘法。啊，两个矩阵相乘法。两个矩阵相乘法是随便情况下都能乘吗？不是这样子的，它是这样，就说如果你这个a矩阵呢？你想跟b矩阵进行沉默？你务必表保证什么事情呢？就是你这个人的列数。跟这个人的行数是一样。

你看这个人是m×n，然后这是n×p，然后最后算出来一个矩阵，这个矩阵是c矩阵，那这个c矩阵就是m×p。好注意，也就说前面这个人的列数必须要跟后面这个人的行数一样。然后怎么去乘呢？你看看这个人，这是个二×2的矩阵。然后这是一个二×2的矩阵，对吧？这是可以乘最后乘出来一个二×2的。来，我们先来看第一个位置，

第一行叫第一行，第一列来对应相乘，再相加a2b2。然后接下来我们再看第一行，第二点对应相乘，再相加b2，然后是a2b4。然后再来看第二行第一列a3b1，然后这是a4b3。然后接下来是a3b2，再加上a4b4这个结果。好了，这个矩阵呢，我们就把它乘出来了。所以一定要注意两个矩阵相乘法，

不是随便情况下都能乘，一定要保证前面这个人的列数跟。跟后面这个人的行数一样，我们才能乘你看这种情况，他就可以好，我们乘满了。那么，接下来我们就继续吧，我们再来看。第一个好，这是b3啊。好，这个问题。那么所以说这个第一个问题啊，我们就乘满了，

然后接下来我们再来看看一些重点的性质，那乘法的性质啊，是非常关键的。还行，别闹了。什么截图？好来继续吧。那么，接下来我们来看看这个矩阵的性质啊，乘法的性质，那么在乘法当中啊，我们在这里面当中啊，有三个重点的性质。那么，首先我们先来看看第一个人。

啊，我们先来看看第一个人。乘法没有什么律啊。那么，首先我们先看第一个问题，我们在我们学习的这样的一个矩阵的乘法当中，乘法是没有什么律的。最重要的问题就是没有交换律。啊，没有交换律。这是很重要的乘法，是没有交换律的，算了，我们住到这儿。矩阵的乘法。

那么，首先我们先看第一条矩阵的乘法，它没有交换律。这是一条非常关键的内容。那么，我们通常情况下你都知道。如果这里面当中给了一个什么情况？给了一个AB。跟一个BA它是不相等的。叫做通常情况下不相等。但是一定不相等吗？那不一定也有情况相等啊，总有那些特殊的。而我们把这个东西叫什么？如果当AB。

等于BA时。我们就称什么？我们就称这个a矩阵与这个b矩阵可以怎么办？可以交换。好注意这个名词儿，叫可交换，如果这两个东西相等的时候把这东西啊叫做可交换。我们在我们的学习过程当中啊，有些天然可交换的。对吧，可交换，尤其比较重要的第一个人就是a与a逆可交换。这个非常重要，我们用的非常多，然后第二件事情a和伴随矩阵可交换。

a×a的伴随，跟a的伴随。乘上a是一样。然后接下来我们就继续，我们再来看。还有第三个事情就是a与单位帧是可交换。那这三组可交换的问题啊，是非常关键的，就是如果这两个东西相等，我们就称这个东西可交换。有些天然可交换，尤其是第一个人，我们一会儿会讲对吧？我这个矩阵跟我的伴随矩阵呢啊，这个伴随矩阵还有逆矩阵一定是可以交换的。

好了，这是第一个问题，然后再来看第20题乘法，没有什么律乘法，没有零音字律。啊零音字律。那磷离子率什么问题呢？那其实就是这样讲，就说如果这里面当中告诉我们什么？他如果告诉我们。a×b=0。那这个时候你能不能推出a=0？或者b=0。能不能哎，这件事情不行。

一般是推不了的。然后这里面当中，我再加一条。如果这个AB=0。切，这个什么东西呢？切，这个a=0 a不为零。能不能推出这个b=0呢？行不行也不行，你自己去看一下基础讲义当中有一个非常好的例子。两个矩阵都不是零矩阵，但是最后乘出来这个矩阵呢，哎，你发现也是个零矩阵。

要注意这个问题哦。就说两个矩阵。都不是零矩阵，最后乘出来是零矩阵。你要想清楚，注意啊，区域阵不为零，跟行列式不为零可不一样。你得想清楚，我想问一个事情。如果这里面当中告诉我们这个矩阵不为零，能推出这个行列式不为零吗？能不能不行的？你想想什么叫矩阵不为零，矩阵不为零，

只要有一个元素不为零，它就不为零。你看这个矩阵就不为零，但是这个行列式啊，是等于零的，你注意把这个东西这些概念呢，你自己要区分开。你想清楚，我们原来讲过一个例子，两个矩阵都是非零矩阵，但是最后乘出来是零矩阵的例子。你把那个例子好好想想，你可以记不住，但是你脑子里面知道有这回事就行，然后接下来我们再来看。

把这东西改一下，如果AB=0。切，这个什么a的行列式等不为零，能不能推出b=0啊？那这个情况行不行？哎，这个情况可以，因为你发现如果行列式不为零，那就说明a这个矩阵是可逆的。对吧，我就可腻了。如果我这个矩阵可逆，我可以怎么办？两边左乘一下这个逆矩阵。

那这个东西不就推出了b=0吗？所以你看这个事情立即出来了。当然，其实这个东西啊，可以推广一下，你看这个东西也可以说明它满质吧。对吧，满支。当然，其实不需要要求这么的严格，我们只需要什么？左乘的列满制就具有林荫自律，右乘的航满制就具有林荫自律。你要注意这个问题，这个事我大致的讲了讲，

你听一下就行。那么这里面我来强调一下这两个词儿，因为我们今天一直会讲这个问题。满志，大家注意。只有方阵的时候，我们才会说满值。哎，方阵的时候我们会说满值，你比如说我举个例子，我这个a矩阵呢？我是一个四×4的矩阵。那四×4的矩阵，如果这个质等于四，我就叫满质，

如果这个四呃，这个质小于四，我们就叫不满质。但是你发现如果这个矩阵它不是一个方阵。它是个什么三行四列的矩阵？你还能说满志吗？你就不能说满志了，你这个满的是什么志？你这是三还是四啊？所以说这个时候我们就会说什么，我们就会说行满制。劣马值。要注意啊，如果这个东西不是方的，我们会说的是行满制列满制，

比如说我这个制等于三。我就说行满志，如果这个字小于四，我就说列拨满志能听懂我的意思吗？好了，这是这个问题。就说我这个如果不是个方的，我就会说哎，这是个行满制还是列满制，这个很重要。因为你想清楚，只要满质了，这个东西就无关哎，这句话很重要，不满就相管。

比如说我们将来说，如果这个值等于行数。这就叫行满制。行满制行无关。行向量组是线性无关的，如果这个人小于行数行就不满值行，这个人就怎么办？唐这个人就献血相关。如果这个人等于列数列满值列满值列无关。如果列不满之列相关，你看这个情况，所以学东西，最后就学透了。就是如果这个人是行满制行无关行，不满制行相关列满制列无关列，

不满制列相关。所以你发现最后都终结点就是一句话，就是一句话就是满了就无关，不满就相关。你列满了列无关，行满了行无关，列不满列相关，行不满行相关。其实你发现这是很多同学，我觉得学的最不好的一个点。你不要小看这句话，这几句话有些同学一会儿就打通了，这是最难判断的。难度系数最高的一个点就在这。好了，

那么接下来我们就继续，我们再来看呃，我们在这里面当中多说一嘴啊，你听一下就行了。听一嘴就行了。啊，听一嘴，这个我们不会考到这儿这个难度的。大家注意，如果这个人呐。列满值。你想想你左边乘的，你左边乘的列数要跟这个人的行数相等，所以他要列满值。如果它列满值，

我就可以推出b=0。左边这个人如果列满职，他就可以具有灵音自律。然后我们再来看。如果这个人什么呢？这半边沉。这半边必须是行数跟前面的列数相同，如果这个东西是行满值。也具有什么，也具有灵音之律。好了，这是这个问题，当然的话，你发现你看如果这个东西满质就可逆，那更可以学的了。

满志当然列满志。好了，琢磨清楚给我回复一。所以需要想半天的话，其实就是这样的一个问题，不是左行右列，不要这样啊。左边这个人呢，一定要列满志，右边这个东西啊，必须要行满志，然后这个东西啊，它就具有林荫紫绿。好，这个问题啊，

把它想清楚，跟得上吗？好怎么想？所以这个问题的点呢，我把它想清楚，你看乘法是没有零因子律的。只要左半边这个东西怎么办？如果这个人列满制，他就有林荫子女了，那如果可逆，那可逆都满制，那当然是列满制啊。他当然具有灵异自律。你听得懂吧？好，

这个问题把它想清楚好了，这是乘法没有的零一自律，这我们喜欢考，你不要小看这个事情，我们三九六同学非常喜欢扣这种概念性问题。好了，那么接下来我们再来看看第三个点。好了，最后一个事情乘法没有什么乘法，没有消去率。那么，这个乘法没有消去率，什么意思啊？它这样意思？好了，

我们来看看。它如果说什么东西呢？如果说告诉我们AB=AC。你在这里面当中能得到b=c吗？是不能的。那如果这里面当中告诉我们什么，如果AB=AC，而且告诉我什么a这个人不为零。你能推出b=c吗？这个东西也不行。这件事情我们在基础班讲过，我们讲过一个例子，两个矩阵是相等的。对吧，然后那个东西呃，

这个什么两个矩阵是不相等的，但是这个矩阵是非零矩阵最后一乘呢，这两个东西相等。哎，不行的，但是如果我们这里面当中再来看。AB=AC，然后加上一个a的行列式，不为零，能不能推出b=c啊？哎，这件事情可以。因为这个时候你发现它就可逆了。你可逆的话，你发现两边的话就可以左成一个逆矩阵就可以了。

其实不需要可逆这么强的条件，他只需要左边这个人列满值。左边这个人列满制具有消去率。那你可逆了，你肯定列满值啊，因为可逆了，肯定满值满值行业满值列满值。好了，像这个问题啊，把它想清楚。所以你就记住乘法没有这三大律。乘法没有交换律，乘法没有零因子律，乘法没有消去率。除了这三个之外，

剩下的东西都有。所以注意你就记住，没有什么。没有这三个人，剩下的东西都有你，比如说这个加法，这个乘法具不具有什么呢？结合律啊。乘法有没有分配律啊？对吧？这些东西都有。那剩下的东西，比如说我们这个数乘。你就记住乘法没有这三个人，剩下的东西都跟初高中一样，

你比如说加减法具不具有交换律啊？有交换律加减法，有没有结合律啊？有结合律数乘有没有交换律啊？有交换律数乘有没有结合律啊？数成有结合律。所以同学们注意不要这个啊，去背这个东西有什么律，那这个太麻烦，你就记住乘法没有这三个律。剩下的东西啊，都跟初高中的知识点是一模一样的。好了，这个问题啊，我们就讲到这儿，

听明白了给我回复一吧啊，这是个基本内容。然后再来看看下面一个问题，矩阵的n次幂。那这个知识点呢？我们也非常喜欢考。很喜欢考这个人，恩茨密。那么，矩阵的n次幂我们首先看看矩阵的n次幂是什么样子啊？它这样。这个n次幂其实就是n个a相乘。哎n个a相乘。那么现在就有问题了。你看看那这个AB这个n次幂，

它等于a的n次幂b的n次幂吗？这个东西啊，未必。那为什么呢？因为你发现。这个AB的n次幂啊。它是多少呢？它使AB。乘以AB，然后再乘以AB，然后一直乘以AB。你这个东西要想是a这个东西结合到一起a和b是不是有幻想？你就要把a换到前面，把b换到后面，所以这个东西就不行。

啊，这东西不行，不不不，这这跟可逆也没关系。你学要学透对吧啊，这跟可逆没关系。所以说最终问题，你看a换了a换了，把a都换到前面去，只有可交换的是可以。那同理而言的话，我们再看，如果这块有一个a+b^2。它会等于a方，再加上二倍的AB，

再加上b方吗？这个东西啊。这东西也未必。因为你来试一下什么叫a+b^2 a+b^2，其实就是a+b×a+b。a+b×a+b来分配一下a方。a×b。加上b×a，然后再加上b方。是不是只有这两个东西相等的时候才可以啊？所以这件事情也是未必，所以因此我们经常讲只有这个矩阵可交换的时候，初高中当中的这些公式啊都能用。只要你这两人可交换，只要你这两个东西可交换，

对吧？比如说我们来看，如果这个a。余b怎么办？客交欢。如果这个AB可交换的时候，你初高中学的这些东西啊，都是成立的，你比如说a+b的这个人的平方。它就会等于多少a方，再加上二倍的AB，加上b方。对吧，然后这个a方减去b方呢，它就会等于多少a-b，

然后再乘上a+b这个人。你看这些东西都一样，然后我们再来看这个三次方a的，三次方减去b的，三次方，然后就会等于。a-b，然后再乘上a方，加上AB，加上b方。都这经常考，然后a的三次方加上b的三次方，它就会等于a+b，然后这是a方。减去AB+b^2。

好了，这些这些内容，所以你要想清楚啊，当然还有很多。对吧，剩下还有很多，只要这两个东西可以交换，但是你要把握住这个前提，只有这两个东西怎么办？可以交换的时候。如果你们可交换，那么这些东西啊，都是可以的，那所以说同学们，你想想，

如果是a跟ke之间。能不能用这些公式啊？当然是可以的。因为a跟单位矩阵之间呢，它可以交换。这是没有问题的，然后是a跟AC之间能不能用这些公式啊？也是可以的。a跟a逆之间能不能用这些公式啊？也是可以的，所以只要你们两者之间是可以交换我们这些初高中当中的一些数学公式啊，你都能用。但是要把握好这个事情。好了，像这个几个问题啊，

我们都讲到这，你看一开始上课讲到现在都是我们在这个学习矩阵当中最基础的内容。这个太基础了，你就学这些东西，你加法怎么加你速乘怎么算，你乘法怎么算，对吧？你n次幂怎么算这个太基础了？那么，接下来我们来看看两个非常重要的问题，第一个事情伴随矩阵。那这个内容考研中的高频重点。黄金重点。那么，这个东西一般我们在考研当中啊，

是必考内容，非常喜欢考它。那么，首先我们先来看看第一个事情，伴随矩阵的定义。那比如说如果这一块是a一一a一二a一三a二一a二二a二三。a三一，a三二，a三三，那么同学们告诉我，伴随矩阵有什么构成呢？伴随矩阵呢，由每个位置的代数余子式构成。这里面当中啊，拥有了我们所有的代数余子式，

但是是所有未知数的代数余子式，再转置一下。那因此你发现你看第一个啊，第一行第一个第一行，第二个第一行第三个。第二行第一个第二行第二个第二行第三个第三行第一个第三行第二个。第三行第三个。好了，这些问题你看它们中间是有一个转置的关系。一定会有个转置关系，那同学们想想。如果拥有一个转置关系，那我如果见到一个题当中它该点处的元素跟代数余子式相等，我能推出什么呀？你可以推出什么？

那也说该点处的元素跟这个代数余子式是相等的。对吧，这块是相等的。那这什么东西啊？那就说明a跟什么相等。a跟a的伴随相等是吧？是不是啊？不是的。这中间有一个转置的关系。你这个东西可不是伴随矩阵，你是伴随矩阵的转置，所以应该是a的转置跟a的伴随矩阵相等。那同理，如果该点处的元素跟负的这个东西相等呢？那么这个时候我们在这里面当中的转值啊，

就会等于负的这个呀。好这些东西啊呃，到时候今天的话，我们就能发过去。这个对吧，总算是。牌的话基本上也差不多了啊，然后的话这个今天就可以给你们发过去，然后里面当中啊，增加了很多很多内容。呃，你最好用这个最新版的。对吧，你把这个东西啊，你就拿过去背，

那这是数一数二数三的。呃，所以说你这个最近一段时间呢，你需要记的东西啊，你都可以在这上面。所以这个上面的东西啊，都会有。呃，50页吧，数一数二数三的应该是个90页，我们应该是50页。然后这个。嗯，今年的话都重新进行去弄了，然后上面的一些题啊，

有的东西我会给你增加在上面。对吧，一些点的话，放到上面的话，你自己可以把这些题啊，你可以对着你的进行去看一看。啊，知识点的东西啊，都放在这上面。包括的话，这里面当中。这个无所谓，我觉得你怎么打印都行，你这个最终问题是把它复习了，我觉得这个打印这个东西都不重要。

你看这个凹凸性的话，我们最近经常去考的这个问题。反正都放在上面，还有这个你像方程根呐，这个我原来想这个东西也不是什么记忆的东西，但我今年也给你放到这上面。然后把这些东西啊都给你放到这个东西上面，你自己去看看吧，但我觉得你看有些我给你该点的东西啊，我都给你放在上面。这个敲了敲了好长时间，然后。你下去好好用吧。呃，尤其的话，

还有这个你比如说很多同学，可能这个短板，你看这个定义法啊，这个短板就这个问题。就这个b方减AC这个定义法的判定的问题，这很多同学的一个短板的问题，所以我在上面当中啊，我也把这些题啊给你放在这上面。你自己下去可以看看。没有带背带什么背呀，对吧？你自己去背呀，好了，那么这个点呢，我们就说到这吧，

然后的话，这个今天今天晚上的9点40分。呃，我们会有这个，今天有同学可能看了微博啊，那么今天晚上我会跟同学们去说一下呃，一个事情的话就是我们三九六同学的这个冲刺满分十套卷。是下周一应该就会到了，我们仓库到我们仓库的话，然后的话就会跟同学们进行寄送，然后就会安排的话，这个冲刺满分十套卷的。啊，这个模考的时间下周一，然后的话，

这个第二事情的话，其实就是我们的考前21计，然后就可以给同学们发过去了。然后第三个事情的话就是这个呃模考的这个时间的安排，我们基本上是12月。四号吧，那个样子，我们所有的这个部分东西啊，就全部结束了。能听懂吧，就是模考的东西啊，就全部结束。好了，这是这个问题吧，我们就说到这啊，

不讲了，来我们继续，我们来看看今天的课程内容。来继续吧，所以说像这两个问题啊，你下去一定要把它想清楚。我如果见到什么东西呢？我见到这个东西跟这个人相等。那这个人的转质啊，就跟这个人的伴随他们是相同的。如果这个东西等于负的他，然后这个转质啊，就会等于负的这个人，所以说这两个点呢啊，你自己下去把它想清楚。

啊，这个东西，然后接下来我们再来看看万能公式考研，非常喜欢考，只要见到伴随矩阵，立即想到万能公式。a乘上a的伴随就会等于a的伴随，乘上a=a的行列式乘上一。就是a×a的伴随，跟a的伴随乘上a，它们相等都会等于这个人，所以每当我们想到什么东西呢？想到伴随的一些东西啊，你都要想到万能公式。所以这里面当中，

我想强调一个事情。好，21g是那个电子版？电子版的，然后那个十套卷呢？是那个是那个纸质版的啊？最近哇，最近简直是魔鬼的。魔魔鬼的这个这个这个安排啊。终于把它搞完了，然后呃我们的两本21g，然后我们的十套卷数一数二数三同学的这个四套卷。还有他们那个冲刺讲义。啊，这个全部搞完了，

我是觉得这个今天的话，终于是松了一口气，今天晚上这个直播讲完了呃，稍微的会轻松很多啊。最近一段时间强度相当的大。好了，那么接下来我们来看看这个万能公式的应用吧，所以我们首先看看第一个问题。那在这里面，我们看看第一个点。啊，第一个点那么就是如果我们在考研当中。如果。见到伴随矩阵。伴随矩阵。

矩阵等。公式转换。立即想到。万能公式。好了，这是我想说的第一个点。就是在这里面，如果我们在看看到什么呢？比如说我看到一些涉及伴随矩阵的一些公式，我立即想到半的公式。你比如说在这个去年考研的时候啊，他考过这样的一个事情。比如说我们来出一个题，你看里。那么去年那个题的话，

考了这个人。对吧，你看等于多少？那像这样的一个问题的话，你见到这个人，你立即想到万能公式。而且我们一会儿还会讲这个问题啊，就是这个伴随矩阵呢，它也可以是逆啊逆的伴随跟伴随的逆是一样的。这是一样的，你还知道吗？算了，我们先把这个知识点呢，我们先回顾了。那么再来看第二步。

这个复习完了之后啊，我们再来看上面这个人。这是第一个问题。然后接下来我们再来看看第二事情。几组重点的。对照公式。那这个问题是非常容易遗忘的，我们就直接用了吧，只有现成的借用一下啊。有现成的东西，我们就借用一下，然后的话，这个上面也非常的全，你自己下去，你去看看吧，

然后基本上都摆在这儿。然后我们来看看这个几组重点的对照公式。借用一下。来看看这个。你看这个21集里面的内容，那么首先我们先看第一个问题。的第一个，那就是a×b的这个转置。a×b，你不用催我，一会把这个调整好了之后啊呃，调整好了之后就会给你们发过去啊，不用着急这个事。好了，那么接下来我们就继续吧，

我们来看看这个人，你发现a×b的这个人的转值等于b的转a的转。对吧，你看这两个东西交，然后a×b的这个伴随啊，就等于b的伴随乘上a的伴随，然后a×b的逆啊，就等于b的逆a的逆。所以你会发现，你看这三个人东西是不一样的。好这个人，然后接下来我们再来看加减法，加减法只有转置可以a加减b的转置等于a的转加b的转。他是可以，但是你发现你可以吗？

不可以，然后伴随可以吗？伴随也不可以。所以说这里面当中啊，这个逆和这个伴随啊，都是不行的，只有这个转制是可以的。然后接下来我们再来看看这个第三个点，那就是心儿这个人转质，这个人逆这个人这三个符号可以进行去互换。就是你看你这个心的逆跟逆的心，这不去年的考研真题吗？对吧，这不就是去年的考研真题吗？就这个题啊。

所以说这两个东西，这三个人是可以交换的，你们心儿的逆逆的心儿是一样，所以现在我们来看看这个问题。对吧，你来操作一下，这个点你怎么操作？我们来把这个东西我们进行呃，看一下这个公式等于多少？你可以这里面当中，你就会发现。这个人。对吧，其实跟谁相等，其实跟a逆的这个人的心儿是相等的。

我只要见到这个星啊，我立即想到什么，我立即想到万能公式，所以说就是a逆，然后再乘上a逆的这个伴随。等于多少呢？等于a逆的行列式再乘上一。好了，这个问题，所以现在而言的话，这个a逆的这个芯儿就会等于多少，你就会把这个东西乘过去，而a逆的行列式等于a的行列式分之一。还记得吧，把这个a乘过去，

这去年的考研真题啊。那所以说这个东西就等于多少a的行列式分之一再乘上a。可以的吗？好，这是第一个人。然后接下来我们再来看看这个第二个人。啊，这第一个人，然后如果我们在考研，考了什么东西呢？a的伴随的伴随等于多少？你前提得保证这个东西是可逆的啊，我们就不说了，你上面写的这个东西啊，肯定可逆的。

然后我们再来看看这个。那这个人等于多少呢？你发现如果我见到这个什么见到这个东西，立即想到万能公式。a乘上a的伴随，那就是我乘上我的伴随，就等于我的什么东西呢？行列式再乘上一。那所以我们接下来看看你这个人的话，接下来等于多少？你看这半边。那这一半边的话呃，刚才我们也复习了两个公式啊，这两个公式的话，你也得记住，

当然一会儿我们会系统的进行复习。一个事情是a的逆的行列式等于a的行列式分之一，这知道吧？然后第二个事情是a的伴随的行列式等于行列式的n- 1次方，这是重点公式啊。那所以我们来看看这个人，那这就是a的伴随，然后这是a的行列式的n- 1次方再乘上一。我要进行去干掉他两边进行去组成一个他。对吧，两边进行去组成，而这是一个数，这个数没关系，然后再乘上a一个a乘上e就不要了嘛。然后这个部分呢，

它就变成了a的行列式，乘上一有矩阵就不写一。所以说这个结果就写成了这个样子。然后这个时候就得到了a心的这个心，它就会等于a的行列式的n减几次方二次方，然后这个东西呢？你就把它除过来，那是多少a的行列式分支啊？这个约了一下，然后这个是a。那这个行列式约掉了之后就是n- 2，然后这个a。能想清楚吗？就说我如果在考研当中啊，见到什么见到这个伴随矩阵所涉及的这个公式啊，

我就会立即怎么办？立即想到万能公式。所以经常会出现的话，这些公式的导航，这是你必须要会的。跟得上吧，好听明白了给我回复一，然后第二件事情有及早重点的这个对照公式你得知道。然后接下来我们再来看看第三条。好，我们再看第三条。一个常见的。常见的考点。考点那这个考点会怎么考呢？它这个东西它会这样设计。

比如说我在这个题目当中，我就设计一下，我设计一个什么呢？我设计一个a的行列式等于零。你能理解我的意思吗？就说我去设计一下。就说如果你会发现a的这个行列式，如果它等于零。我设计一下。我题目当中，比如说我说哎呀，这个人不满之，或者说这个人的列，或者这个行啊，是线性相关的，

我得到行列式等于零。得到行列式等于零了之后，同学们跟我讲a×a的伴随，跟a的伴随乘上a都会等于几啊？都会等于零。那这里面当中就会考一种非常重要的考法。考了一个什么事情呢？考了两个矩阵，相乘等于零的问题。两个矩阵相乘等于零，我就立即会想到什么东西啊，我立即会想到两条第一件事情，其实就是a的值。然后再加上b的值a的值，加上b的值小于等于什么小于等于n。

这个n是什么呢？这个n是a的列数b的行数。就是你这个人是m×n。你这个人是多少？这是n×p。啊，就这个n这个n是他们中间交的部分，前面的列数，后面的行数，然后第二件事情还会想什么？还会想b的这个人的列。be的列向量。均为什么东西呢？均为as=0，其次线性方程组的解。

你看这个问题就说这个b的这个列项呢，均为这个齐次性方程组的解。那所以这里面当中，我们就可以看出来，你看你就能推出了什么？推出这个事情a的伴随的列。那均为谁的解啊？均为as=0的解。然后这个a的这个零。均为什么东西呢？均为a星s=0的解。好注意啊，方程组那块儿东西啊，我们会出这种点，你能理解吗？

比如说这个题目当中告诉了个a，然后我继续去求解这个a星s，这个方程组的一个什么通解的问题，那其实a这个人的列其实就是我的解，我就在你的列里面当中去挑解。你看这个问题，所以伴随矩阵里面大游乾坤。那么，核心下来的而言呢？有三个问题，一个事情就是你见到伴随矩阵呢？你的一些公式的转换，你想到万能公式。然后第二件事情的话就是几组非常重要的公式的一个对照，你得把它记住，

然后第三个事情一个非常重要的考点。呃，这些内容我也将来的话写在那个上面，我应该是写了。你看这个部分。呃，所以说下去过程当中，你好好去想想，包括的话，这个a的行列式等于零，我也可以怎么去去设计啊这个问题？行吧，那么这个点我们就讲到这。然后接下来我们就继续，我们再来看呃，

这个绕啊，你的基础班。这哪儿绕了？你这个线性代数基础班学过吗？学过吗？那你就得加把劲了啊，得好好加把劲。因为不是绕，是你脑子空空如也，什么东西都没有。那肯定绕啊。好了，这个问题啊。其实很简单的一个东西，你不要钻进去了啊。

啊，好了，这是这个问题，你只要听了这个基础班，你再来进行去看这个东西，你也能看得懂。你要是一些公式给忘了，而且这半天呢，我们还没有讲什么呢。我们就讲了一个AB=0，你能想到什么？这都是需要原来的话，你发现最后得到了一些结论而言。好了，这个问题啊，

我们就讲到这。这是这样的一个基本问题，伴随矩阵，所以想到第一万能公式，你见到伴随啊，立即想到万能公式。好了，这是这个问题吧，我们就讲到这。可以了吗？来继续，我们再来看下一个问题。那么再来看看这个伴随矩阵的值。那伴随矩阵的质啊，它有几种结果？

一个伴随矩阵值，它只有三种结果。就是你满之。我就满你，满我则满。然后这个东西是什么？你是n- 1，我是一。然后这个人怎么办？你是小于n- 1，我是零。所以像考到伴随矩阵的知识，我原来教过你一个方法。只要考研这样考，我们就立即这样做，

你用枚举法做，什么叫枚举法呢？比如说你发现看，如果这个a。它是一个什么呢？六×6的矩阵。那你告诉我a这个人智有几种可能性，他有可能是六五四三二一零这几种可能性。那如果这里面当中考到这个是伴随矩阵的值呢？它是你满我就满，你是n- 1，我是一，然后这块都是零。好了，像这个问题，

那有时候反着考，你会啊，如果告诉你伴随矩阵的知识，一它的知识就是五。啊，这样的一个基本问题，所以伴随矩阵的这个问题，必须把它想清楚。出十×10怎么了？你为啥疯了呢？那应该有的时候考的都是n×n的。你为什么一定要你写十九八点点点到一不就行了吗？你疯啥呀？那100不就是99，98点点点到它，

你不写了吗？你写它干嘛呀啊？好了，这是这个问题，我们就说到这。那么，这是我们讲的这样的一个基本问题，所以伴随矩阵就是三件事情，一个事情是它的定义，一个事情是它这里面当中它的一个什么情况，它这个万能公式，它的一个考点。还有最后一个事情，其实就是我们的伴随矩阵的质，这三个问题啊，

非常关键，你下去好好想想啊，这是一个基本问题。然后接下来我们就继续，我们再来看看下一个问题，困了是吧啊，赶紧睡。这个两点钟你还能睡到五点，吃个饭啊，晚上再再学习好了，那么接下来我们就继续吧，我们再来看看下一个问题啊，逆矩阵。那逆矩阵这个东西啊，首先我们先来看第一个点，

它的定义啊，逆矩阵的定义非常关键。那么，首先，逆矩阵这个定义啊，首先，逆矩阵必须是一个方阵。要听清楚。啊，必须是个方针，他怎么说的呢？他这样说他说。对于n阶方阵。注意，必须是方阵n阶，

方阵AB而言。必须是两个方阵，你这两个东西都是方阵，然后说什么问题，他这样说。说如果呀。你这个a乘上了一个东西等于一。那这个时候。这个b就叫做我的逆矩阵b，其实就是a的逆矩阵。那这个问题是我们在考研当中非常喜欢考的。考的多吧？贼喜欢考这个点。如果两个人相乘是单位帧，必须是方阵呢，

两个方阵相乘是单位帧，你这个人就是我的逆矩阵。那我也是你的逆距离呢？那同学们想想。a乘上b=1。那就说明你这个人是我的逆矩阵。而我们都知道a×a逆等于1a逆乘a也等于一。两者可交换吧。两个方阵相乘等于一后面这个东西就是前面的逆矩阵。那我的逆矩阵跟我之间呢？可以交换呢？好，这个问题要学清楚。我跟我的逆矩阵之间相乘，等于e，

那么这两个东西啊，相乘等于e之间可以互相可以交换。好，这是这样的一个问题，所以我们在这个考研当中啊，考的非常多，你比如说去年的考点。我们来看看这个。啊，去年的考题。我们经常会出这种问题。比如说你发现这个去年考题当中考了这个题，去年考的这个简单，我记得前两天我们出这个模拟卷里面当中有几个题啊？出的比这个恶心，

我们再看看也是一种复习了。比如我们先来看看这个题。你看这个题目。那这个题啊，你可以一个一个的推。你发现你看这是abcd。你等于一。都是方阵。你都是方阵的话，你看你可以这样看。你就把这个东西当做成一个整体。我乘上这个人等于一，那这后面这个东西不就是我的逆矩阵吗？那可以交换呢，可以交换的话就变成了BC da也等于一。

好注意这个问题。那所以说这个人是BC da也等于。没用啊，他要c跑钱。那c跑前的话，我们就继续吧，我们再来看。c跑前就简单了，那c跑前的话，你看你就把这个人看作成真题。你这个人看作成整体了之后，你这个人不就是前面的逆矩阵吗？我跟我的逆矩阵之间可以交换，则CD AB等于。CD AB等于所以这个题选正确答案太简单了。

都不用不用做，对吧？答案太简单了，因为它直接让我们这个c跑前面。啊，这个题可以秒，因为要让c跑前面，你肯定是这样交换的。你这样一教就行了。而且我们这里面也教过同学们有一个方法叫转圈法。abcd.是吧，你这样的一个位置。那其实就是你ABC呃，这个d你也可以是BC da一个CD AB，

一个是da BC，它都是可以的。它都等于这个人，所以这里面当中你从c开始数的话就是CD AB，所以选一。好了，这是这个题，能学会吗啊，所以我们在这里面考的不是说特别难，然后我们再来看看这个。上次考了一个题。比如我们还有这个。第三套卷子里面考那个题啊，这个题比那个题啊难多了，对吧？

出的也见多了。来看看这个题。你看这个题。那这个题的话，是不是我们出的那个题？你可以用转圈法，对吧？你用转圈法的话，这个题也秒了。这是a bac，那这个人的话，你可以是baca，这没有问题。然后是a cab，这也没有问题。

是不这个事，然后这两个a肯定跑不到一起，所以说e肯定不对。好了，这是这个人对吧？一肯定不对。然后接下来我们再来看看这个d怎么不对了？d对的话，我们来看看这个事情，它说这是a bac。然后接下来的话，它这个结果等于一。那这个时候这个bac是多少呢？这个bac其实就是它就等于a逆。好这个人，

它就等于a逆，然后这是cab。cab的话，你找一个这个cab的话，你以c进行去开头，我们来看。CA，这个是。caba它也会等于一。那这个时候我们来看看你这个cab这个人乘上他是。是一那这个人不也是逆矩阵吗？那所以说这两个东西都是逆矩阵，它也可以。能想清楚吧，好这个问题。

然后再来看a选项，那a选项这个人你得转一下，你看这两个相乘的话是BA的转。然后这是CA的，转它等于一。然后再转一下，其实caba这个人转等于一。而我们都知道caba这个人就是1e的转置，就是一啊，所以这个人呢也是对的。好了，像这个问题能想清楚吧啊，非常重要的一个问题，这个很简单，对吧？

你很容易就把它处理了。好了，这是我们讲的这个题，然后我记得在上次考试当中，我们又处理了。然后出成这种样子啊，这就出的很很恶心了。就这种题，你出成这样子，这就很恶心了，对吧？下列当中有几个是正确的？有几个正确的话，我们来看看这个事。你你先看第一个人，

你这是AB AB。等于AB AB=e，那这个时候你就会发现它是BA的你。我要BA，我要BA的话，你会发现我们就可以转一下。把这个作为整体。我乘上你是一，我是你的逆矩阵，可以交换，所以把b跑前aba跑后就变成这样。那这个时候你就会发现，哎，我乘上你等于一，你不就是我的逆矩阵吗？

所以你是对的。而且BA的这个平方是一，你也是对的。然后再来看这里面当中的话，这个它其实是AB的逆。那AB的逆等于AB，对不对呢？那我们都知道这是AB。这是AB。那AB不就是你的逆吗？所以这个人呢也是对的，你最好是按照这种分析啊，那个转圈法是一种技巧法。你这样进行分析的话，非常稳妥。

然后再来看最后一个行列式，你给这个取行列式的话，应该是a的行列式b的行列式。a的行列式b的行列式等于e的行列式是一。那所以说就会得到a的行列式乘以b的行列式这数嘛，它的平方等于它应该等于正负一，所以正确答案选几选d？好了，这是这样的一个问题，所以把它想清楚，就是两个方阵相乘等于一。我们彼此之间，互为逆矩阵，你就是我的逆矩阵，我们两个相乘等于一，

你是我的逆矩阵，我跟我的逆矩阵可以交换。把它想清楚就行。好了，这是23题，这个题不难吧啊，基本问题，然后接下来我们再来看看下一个点可逆性的判定。好矩阵可逆性的判定，那矩阵可逆性的判定啊，判断可逆性的第一准则当然是用行列式。所以这里面如果这个行列式啊，你会发现不为零，如果行列式不为0a这个人。它就可逆，

如果这个a的这个行列式等于0a这个人呢？他就不可逆。所以你要注意判断可逆性的第一准则，那就是用行列式。走到行列式这半边，判断可逆性行列式不为零。可逆的行列式等于零不可逆，把它给我卡死。当然，有的时候我们在考试当中，它会出各种各样的一种说法。我们今天来转一转，你是冲刺班同学，你应该是能转的清楚的来，我们来看。

比如说题目当中啊，我为了得到这个信息，我可以不告诉这个点。当a的行列式不为零的时候a肯定可逆。还可以，怎么说？你取了行列式，你肯定是个方的呀。你还能怎么说满知？满吃了之后，它不就是行列式不为零吗？满志哎，我可以说满志那同学们告诉我一件事情，这个满呢？它的质等不等于行数啊？

等不等于列数？满志肯定是方的嘛。那我满了之后的话，行满了列也满了呀。那行满行无关列，满列无关。所以说a的这个人的行。还有这个列。向量组均是线性无关的。行列的向量向量组都是线性无关的。然后我们再来看。其次，线性方程组呢？只有零解吧。啊，

只有零阶，然后下面一个事情，这个非前方程组呢？根据克拉姆法则，有唯一解。好，这个情况当然，这里面当中啊，其实你发现最难串的。我猜一下，你看看想的对不对？以前过程当中，很多同学学习啊，他这个东西串不起来，都是因为这一点。

别的点都很好，行列式不为零可逆啊，行列式不为零满值啊，行列式不为零为一解啊，只有零解，这都很简单，很多同学就串不起来这一点。但是今天是不过关了。你就想通满志，只要我满，我就无关，只要我不满，我就相关，我行满行无关列满列无关行不满行相关列不满列相关。你看这东西就通了，

就看一个事情满还是不满，你看今天想你怎么想都怎么通？一下就通了，这就叫顿悟。有的时候，一个知识点就这样，一下就顿悟了。好了，这个问题啊，我们就讲到这。对吧，你有的有可能发现好长时间都没想通，有可能一下子就通了好了，这个点我们就说到这。对吧，

他可以用很多种话，然后进行去给你传啊，这个基本问题。好了，这是我们讲的这个第二个问题。可以了吗？来继续，我们再来看看计算性问题。啊，计算。那么，从这个计算的角度上，我们通常会这样分。啊，就是一个逆矩阵的求解，

我们会分成两波问题，一波问题的话叫做抽象性问题。叫做抽象型。逆矩阵。矩阵的逆矩阵求法。抽象型那么就说这个东西，我们是抽象型的，这个人的求解。那还有一个东西呢，它叫做数值型。竖直型，你知道什么叫抽象型，什么叫竖直型吧？这个肯定没问题，就是你这个东西我也不知道你是什么样，

你叫抽象型，我知道你什么样，我就知道数值型。那么，抽象型怎么求解呢？抽象型通常用定义法。啊，定义法。我的方向非常简单。我就是看这个矩阵。乘以哪个方针等于单位帧？那找到这个事情了之后，我们就知道哎，你这个东西啊，就是我的逆矩阵。

我乘以谁等于单位者？我乘的这个东西啊，就是我的逆矩阵。然后接下来我们再看数值型，数值型呢，我们有三种方法。第一种方法就是公式法。哎，公式法，那公式法怎么去求呢？就是这个人的逆矩阵就等于a的行列式分之a的伴随。这第一种，然后第二事情初等变换法。初等变换呢，我们喜欢用这个行变换法就行了。

哎，初等行变换。那初等行变换的话是怎么做的？是把a和e摆在这，注意只能行变换。裂变化这题就废了，裂变化要竖着摆，但我们学一个就行了，把第一个人变成什么变成一第二人就是。逆矩阵好了没？把a和e摆在一起，然后第三个事情是分块阵。分块朕求你。分块矩阵那分块矩阵求逆的话，比如说我们在这里面当中告诉什么，

比如说我告诉了一个AB，然后这是零零。那这个逆矩阵就等于多少？就等于a逆，然后这是b逆。然后第二事情的话，我们再看，如果告诉的话是负对角线。副对角线的话，这是调换位置，然后再来移。好了，这是我们讲的这几个事情，把这个内容你想清楚。这几个点公式法。

初等行变换法分块矩阵求逆。啊，就这两个问题，所以我碰到抽象型呢，我想这个公式法。如果这个数值型呢，我可以用公式法啊，这个定义法用公式法行变换或者分块矩阵。这几个东西都可以。但通常情况下，选择的标准是什么？我们不会考那么多的啊。那如果它特别特殊，它就是分块帧，我肯定会选你啊。

如果发现不是分块阵，不是分块阵小于等于三阶旋移。大于等于三阶旋逆。你要是个二阶，我肯定用公式法。你要是个四节，我肯定用行变换法。但是你是三界审判，那就具体及具体看了。到底是公式法还是初等行变换法？你得看题了。那么，在这里面当中啊，我们来看看这个第一个事情。那这里面当中啊，

我们告诉了一个事情，这个公式法。公式法，尤其而言，你住在这。一个二阶矩阵。比如说这是a，这是b，这是c，这是d一个二阶矩阵，它的逆矩阵怎么求啊？直接来它就等于行列式分之a的伴随。然后这个行列式等于主对角线减去负对角线。然后这个伴随矩阵呢。你还记得二阶矩阵的伴随，

矩阵的求解吗？叫做主对角线调换位置，副对角线加负号。啊叫主对角线调换位置，副对角线加符号。好想清楚啊，主对角线交换位置，然后是负对角线加符号，然后这样的一个东西啊，我们经常在考试当中，我们可以用起来。对吧，你如果在题目当中啊，你碰到一个二阶矩阵，你可以用啊。

所以这样的话，我们的方向性就非常清楚了。如果这个人是抽象型，我怎么做？如果这个东西数值型，我怎么做？我有三种方法可以进行求解。好了，这些问题啊，我们都讲到这，那么接下来我们就可以看一些这个核心重点的题目了。好了吗？同学们。那么，接下来我们来看看，

翻到第一章，我们就来看看第一波问题考点。抽象型。行列式的计算问题。那么，如果碰到一个抽象型的行列式，我是如何进行去计算的呢？那么，在这里面当中分成很多种情况。首先，同学们一定要明白一个事情。你发现我们所学习的行列式。这个双竖线里面是什么呀？是一个方阵吧。我这个双竖线里面就是个方阵呐。

所以有的时候我们的里面这个部分呢，它就需要使用到什么？利用。矩阵的化简。运算进行化简。再求行列式。就说里面这个部分是矩阵，我可以对里面进行去化简，我化简完了之后我再求行列式。好，这是一种通常性的方法，那还有没有呢？我们就是利用。抽象型。行列式的计算公式。

我们利用抽象型的行列式计算公式啊，然后来求解，那么在这里面我们把这个抽象型行列式的计算公式啊，我们稍微来复习一下。来看看就说，如果这个a。为n阶方阵。可以吧，你是一个n阶方针，那么首先我们先看第一个人，那么请告诉我转制之后的行列式等于多少？转置行列式不变。好，这是第一个事情，第二个事情a×b的行列式就会等于a的行列式，

乘b的行列式。然后再看第三个事情a的这个逆矩阵的行列式等于a的行列式分之一，还记得吧，因为你是可逆的，你行列式不为零，你刚好可以做分母。然后是伴随矩阵的行列式，它就等于多少a的行列式的n- 1次方，这刚才都复习了。然后再看第五个人，那就是k乘上a的行列式，等于k的N次方乘上a的行列式。还记得这个事情吗？呃，这个人呢？

我想多提一下。比如说a呀，你是一个三×3的矩阵。b呀，你是一个五×5的矩阵。好吧，那么请告诉我第一个人。呃，四×4吧。四×4的矩阵。a的行列式乘b等于多少？等于几啊，大家来看。这个行列式是一个数吧？你这个数出去了之后。

你发现你这个数出去是几次方？k乘上a的行列式等于k的N次方，你是看b吧？所以应该是四次方再乘上b的行列式。那么再来看第二事情，如果这是b的行列式，乘a的这个人呢？你要注意，这个人是个树吧。你要看a，所以说这个时候它出去就是几就是这个人的三次方，再乘上a的行列式。以那个矩阵为主。矩阵决定了你是一个几乘几的一个行列式啊，这个基本问题。

那这是我们讲的这个第五条。能想清楚吧，好了，这几条内容都把它记住。都要记住啊，这一轮呢，你就把它当做成最后一遍进行串，这些每一个重点的公式啊，都要记到脑子里面。好了，这个问题啊，我们就讲到这可以了吗？来看几个题吧，先看第一个题。你看这个题目。

那这个题让我们去求b。你现在让我们去求b，你就要把b进行去整理一下。你把b整理一下的话，就是a方b。你再减去个b，然后这是a+1。那你把b提出去。提出去了a方没有人减，那就减一。好，这个问题。然后接下来我们就继续，我们再来看。那这是a方减一啊。

e这个人跟e方式一样a跟e是不是可交换，如果可交换就是a+e。然后再乘上a- 1这个b，然后再是a+1。这个时候怎么办呢？你不要进行算了，你这个人是求行列式，我就两边同取行列式。哎，两边同取行列式。两边同取行列式。所以我现在要做几个事情呢？一个事情是我要做上a+1。a+1就是对角线加一，这是二，

这是三，这是二，然后这是零，这是一，然后这是零零，然后这是负二，这是零。然后还有个是多少呢？是a- 1。a减一就是对角线减一，这是零减一，这是一减一，这是零，然后这是零，这是一，

然后这是零零。然后这是负二，这是零。那么现在告诉我这个行列式等于多少？这个行列式可以按照中间展一下吧，我没有写行列式那个双竖线啊，你应该理解我的意思，我直接算了。那三乘上四。加二那是三乘上六=18。然后再来看看这个人，你可以按照这个人展，这个人展了之后的话就是零减负一零减负呃零减一，那就是负一。那所以说这个行列式是二。

当然，你可以按照负对角线的话，这个对角行列式来做都是可以的，所以说这是十八十八就约掉了。因此，这个人等于多少等于二分之一。好了，这是这个问题嗯，大家注意啊，你得检验这个嗯，不要随便，不要随便预约。只有这个东西不为零的时候才能约。所以说我在这里面当中，我还给你算了一下，

你不要上来就约掉了，你万一这个东西不可逆行列式等于零，你是约不掉的。你小心一下这个问题啊。只有你检验了这个东西不为零，你才能够约，不要做题那么的草率，对吧？好了，这是我们讲的这个幺幺六这个题，然后接下来我们再来看看幺幺七这个题。好，继续再来看这个人。那这里面他给了一个什么事情，那不一定。

那是我们不能算。那可不代表他不能算，他能算。啊，它能算。你移过去了之后，其实我们也能算。这东西不就变成了一个矩阵方程了吗？变成了一个矩阵方程了。这个人不是知道吗？这人不是也知道吗？这不就是我们最后那个大x吗？它可以解的解矩阵方程，把它解出来啊。可以做的啊，

就是我们不会考到这儿。来那么接下来我们继续，我们再来看看幺幺六这个题。那么，这里面当中啊，告诉了一个a。给的是a，给的是a的话，这里面当中让我们去求b。求b的话，同学们想想这个伴随你喜欢吗？不喜欢。谁可以干掉伴随。注意干掉伴随啊a是一个非常好的一个东西。那只要他碰到a，

他就立即变成了行列式。哎，他俩一撞就变成了行列式，所以这个非常简单，所以首先第一件事情我们怎么办呢？我就给这半边。它的两边进行又乘又乘，一个谁呢？又乘一个这个a，然后这个结果就变成了a。那这个一又乘的话之后，它就变成了a的行列式。a的行列式有这个矩阵就不写一了。有矩阵就不写一了a的行列式，然后这个部分是a。

那么，现在我们要计算一下这个a的行列式。a的行列式等于多少？你就用这个人展。一展的话，这是四减一，那这人是三。那所以说就是六倍的AB。然后再减去个呃，这个是三倍的AB。然后再减去6 b=a。好，这个结果那么这个时候我们就要提。先提一个三。再提一个b，

这是a，还有一个二不能减二减二一。这个结果那么现在我们要算这个b的行列式，两边同取行列式。不要不要不要进行去把它解出来，两边同取行列式，同取行列式算了，我写慢一点。a减二一×b这个行行列式等于a的行列式。那么现在告诉我事情，三出去变成多少？是不是三的三次方，然后这是a- 2e的行列式，然后这是b的行列式？这是a的行列式。

那么，现在我们要进行去做，你要做什么？你要做a减二一。啊，对角线减二零零负一，然后这是多少一零零？一零零。啊，这个结果，所以这个行列式等于多少？你用这个人斩。零减一是负一，所以这个是一。然后你还要算a的行列式a的行列式，

刚才算过的等于三，那所以说这个人是一，这个人是三。所以最后的结果等于多少等于九分之一。好了，这是我们讲的这个问题啊，不难啊，但是你见到这个题啊，你得一下想到。你稍微墨迹一会，这个这个就没有时间了。你把这个人干掉，你干掉之后就能做了。然后接下来我们再来看看幺幺七这个题，你再看这个题。

那这个题啊，是一个非常非常经典的问题。很经典很经典的一个问题。那么在这里面，我们来看看这个事情。我把这个点呢。我们来重点讲讲。这是一个线性代数当中啊，非常重要的一个定式思维能力。啊线性代数里面第一定是思维能力。什么定式思维呢？就是你发现你这个向量。你能被我这个向量组表示。你这个向量。能被我这个向量组表示。

你这个向量能被我这个向量所表示。就是你里面的所有人都能被我表示。你里面所有人都能被我表示，我就立即写成矩阵相乘的形式。我就把你这个东西摆一下。摆下，然后写成矩阵相乘的形式，阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三，然后乘上这个矩阵。啊，矩阵相乘的形式。那乘的时候我们来看第一个元素，第一行第一列。

那这个人的话就要进行去乘那多少呢？x1乘上它x一二乘上它x一三乘上它。然后第二个人，然后是这一行乘上第二列对吧？s二一乘上它。s二二乘上它，s二三乘上它。然后第三行呢，就是x3乙。x三二。I三三好了，这个结果。可以的吧，所以说如果我们见到什么？如果见到一个向量组。

中的每一个向量都能被这个向量所表示，立即把它写成矩阵相乘的形式，这是我们线性代数当中的第一定式思维能力。那这个太重要了。所以有了这个信息，点了之后我们做这个题就简单了。你一看这个人由一二三表示，这个人由阿尔法一二三表示。这个人有阿尔法一二三表示，我立即把这个人写成什么。写成矩阵相乘的形式。好了，那么接下来我们去乘。那么沉的时候，你看这个第一个人。

就是第一行第一列一一一贝塔就一贝塔一贝塔。然后第二人第一行第二点一倍，它两倍，它四倍，它。第一行第三列一倍，它三倍，它九倍，它这会写吗？好了，这个问题。就是我见到你每一个人都是由我来表示，我立即写成矩阵相乘的形式。所以说现在而言的话，这个b的行列式。

这不是克拉玛法则，这叫范德蒙行列式，你不要这样啊。哎呀，你们学。行，也可以。也可以。你会算。都比你会叫出这个人的名字重要。我觉得可以，你也能考上。对吧，能考上。没有问题啊，

没有问题，你比这类同学强，他能叫出名字，但他不会算。如果说这两种东西哪个更重要，我觉得懂得这个东西的意义，它更重要。你记不住名字没关系，你管他叫啥呢？你叫成自己的名字也行啊。那我们再来看那这个行列式，就等于这个行列式，你再乘上这个行列式。然后这是一一一二二的平方，一三三的平方。

那么，接下来我们就继续，我们再来看a的行列式是一。那么，这样的一个。泛等等行列式。这是关于一的，这是关于二的，这是关于三的。我们来乘一下。那就是二乘一啊，这个是一减二减一，一三减一。然后是三减二，所以说这个结果等于几啊，

等于二。你看这个点。能想清楚吗？好把这个问题啊，你琢磨清楚。好，这是第一个点。所以对于我们而言呢，在于精。再一个更精一点。其实原来我跟一个。啊，当然，他开开的开的公司啊，是是个管理那个朋友专门做管理的，

我有时候跟他聊，我说。怎么聊啥你都知道？是吧，聊什么东西你都知道，那次我才知道就什么情况呢，仅仅是指导。啊，仅仅是知道名字。就反正跟别人聊的时候嗯嗯，我知道这个东西，然后说出来之后的话说出了这个词儿，说出那个词儿啊，仅仅是知道。然后说这个东西具体而言的话，

这个更深一点，这个东西是什么呢啊？仅仅知道我说我为什么能知道呢？那天晚上。聊聊聊到哪儿呢？聊到一个数学问题，我说这你都知道，你不是这个这么久都没有这个搞这个东西了，你这都不知道。然后深究一下了之后啊，也就知道一个名字啊，也挺有意思的。好，这个点呢，我们就讲到这啊，

但不一样啊，不一样，有些的话这个。你就看看你是追求广度。还是追求这个深度了好了，我们继续吧，我们再来看看这个第二个问题啊。来继续吧，我们再来看看方法二。行吧，继续吧。不是不是，思思。别总乱扯来，我们继续吧，

我们看看这个题。呃，这个题还有没有方法呢？那还有对吧，还有方法，你这里面当中还能怎么做呢？你看这样做。你这是一个b的行列式。你这是阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三。然后这是阿尔法一二倍的，阿尔法二+4倍的阿尔法三。阿尔法一+3倍的阿尔法二+9倍的阿尔法三。好，

我们来看看这个。那么，在这里面当中啊。听课啊，然后这个东西怎么做呢？你还可以这样办。不不，这不叫遗像，这都怎么了？虽然这个东西啊，它你可以不知道它名字，你会怎么做，但是咱也不要太离谱啊，这不叫遗像，这叫。

这遗什么象呢？我们利用行列式的性质。对吧，我们可以利用行列式的性质。行列式有什么性质呢？行列式有倍加的性质。倍加什么意思呢？就说我把这一列乘上负一倍加过去，它是不变的。所以说这是阿尔法一，阿尔法二，阿尔法三。那负一倍加过去的话，就是阿尔法二+3倍的阿尔法三。然后接下来怎么办呢？

我把这个人的负一倍，你加过去，那这是多少呢？这是二倍的阿尔法二。加上八倍的阿尔法三。然后接下来我们再看这一列当中啊，有公因子，这一列有公因子可以提出去，所以说提出一个二。哎，提出去，然后接下来我们怎么办？我再把这一列的负一倍加过去，然后它就没了它，变成它。

然后这时候怎么办？我再把这个人的负三倍加过去，它就没了，然后再把这个人的负一倍加过去，它就没了。然后再把这个人的负一倍加过去，他就没了好了，销着销着这个人就变成什么就变成了这个样子，所以说就等于二倍的a的行列式。就等于几啊，就等于二。好，这个情况呃，这个方法我们其实用的非常好，那后面的时候我们也用的非常多。

很喜欢用这个方法，包括我们后面进行求知，也喜欢用这个。这个东西叫什么？这个东西叫倍加原则。我某一列乘上一个倍数，加到另外一列，这个行列式是不变的。完全用到了倍加的性质，某一列有公因子可以提出去把这一列乘上个k倍加到另外一列，这样的一个行列式它是不变的。你可以把这东西啊出进去啊，好了，这是我们讲的幺幺七这个题。可以了吗？

来我们再来看看这个题。啊，再来看这个题。这个字读什么字啊？这个。这三个牛。这三个牛读什么字？哦，读奔是吗？崩还是崩啊？崩吗？有没有后面那个？奔是吧哦。好了，我们继续吧，

我们来看看这个幺幺八这个题。那这个题啊，它是这样，如果这个AB是三阶矩阵，然后这个行列式是三，然后这个行列式是二。然后告诉这个行列式，这个题是当年的一道难题。啊，这个题当年的时候这个题目的难度系数啊，还挺大得分率非常的差，这是二零一零年的话，这个数一数二数三，同学考了一个题。那么，

接下来我们看看这个人。你发现a的这个人加上BA这个人加上b这个人，哎，你发现这个人等于多少？有的时候它这样做的。有的东西特别离谱。他说老师a+b逆。不就等于a的行列式加上b的这个的行列式吗？不就等于这个行列式加上这个行列式吗？所以说这里面当中就等于三加上二分之一，我不就等于二分之七吗？是不是啊？胡扯哎，纯属胡来，你这样一做，

你这题就废掉。所以我们在这个我还专门给你写了很多。啊，你下去过程当中，你自己去看看，没有这个。a+b的这个行列式跟a的行列式加b的行列式不一样，这东西不一样，它们不相等，包括我上节课过程当中讲过这个东西。有些同学特别离谱。离谱到家了，你发现这个公式说a的行列式乘上d的行列式，然后再减去b的行列式乘上c的行列式，那胡扯。

没有这个东西，别乱来啊。所以说如果你这样一用，你这题就废了，那这题到底应该怎么办呢？考的很难。但是你有经验了之后就非常的简单。你发现这个是a。然后这是b逆你要求的，而知道的是a逆，然后这是b。大家想想腻的不腻的不腻的，变腻了这个东西就叫切换。注意这个东西，两者都要切换，

腻的不腻了，不腻的变腻了，这个东西就要切换。你如何进行切换呢？我们叫一对单位阵法做切换。一对单位阵法做切换，这必须要会啊，然后这是a+b这个人。怎么一对单位阵法呢？一对单位阵讲究一前一后就是一个人的，前面加单位阵。一个人到后面加单位，这样哎，我们讲就一前一后。这样一加了之后，

我们怎么办？把这个单位证打开。你看前面这个人。这一项一会要提出去。所以说这个人呢？写成了b逆弊。然后接下来这个人一会要提出去，所以说这个a就要在后面a逆就要在这。那所以说这个部分的东西就写成了b1。然后这个a这是b，加上这个a。对吧，就写成这样。能跟上我的意思吗？你看提出去了就变成这样。

那变成这样了之后，它就好办了。所以说这个a加上这个b逆的行列式。就等于这个行列式，就等于这个人的行列式。加法具有交换律，这个人的行列式。再乘上这个行列式，所以说这个行列式等于b的行列式分之一二分之一。这个行列式是二，这个行列式是三=3。这个题能想清楚吧，一对单位阵法做切换腻的不腻了，不腻的变腻了，那这个东西怎么办？

我们就考了这个一对单位阵法。以前以后以后以前都是可以的呃，这次啊，我们写的这个21计啊。里面当中我还给你写过去了，你看这个题。你下去自己看看啊，里面当中我都给你标出来了，你可以把这个题再看看。所以说到时候你会复习的，非常完全的这个东西。好了，这个题目啊，我们就说到这，然后接下来我们再来看看这个题。

啊，再来看这个题。那这个题啊，我们继续瞅。他说了一个事情，他说这个东西是一个三阶非零矩阵。三阶非零矩阵。那三阶非零矩阵呢？然后告诉我们这个东西啊，是a的行列式。然后这个东西是它的代数余子式。然后告诉你这个点处的元素。等于负的这个人，你还记得吗？这刚讲的啊。

你组成了a。你组成了伴随两者之间有个转置的关系，而这是负的。能下去煮。好，这个问题这刚讲的啊。而这里面当中啊，我也给你进行总结了，你看这两个东西相等你这两个东西相等，它会是个什么情况，我也给你串了。然后接下哦，三点半了是吧？行，我把这个题讲完啊，

这个这个讲忘了，那我们再来看这个人。那这个题让我们去求的是行列式啊，你求的是行列式，你给它两边同时取行列式。那就是a转的行列式。然后这是负的这个a的伴随的行列式。能想清楚吧，然后这个行列式就是a的这个人。那同学们告诉我，这个负号出去变成什么？这个负号出去就变成了负一的三次方，然后是a的伴随行列式。然后这是a那就是负的变成了a的行列式的三减一就是二次方，那么所以说这个东西啊，

就立即变成。那这个东西变成这样，变成这样了，之后的话就是a的行列式，加上a的行列式的平方等于零。对吧，这个人变成这样，你变成零了之后马上就退出来a的行列式，要不然是零，要不然是负一，这个会写吧。就是s+s^2等于零嘛。好，这个结果我们就得到这个人。那他告诉我一件事情，

这个题最后结果是多少？有的填啊，填了一个负一。啊，填了一个复印。呃，恭喜你，你当年过程当中啊，确实做对了。它没有填零的原因在何处呢？说因为这个东西是个非邻居证。大家告诉我。矩阵不规定。能推出行列式不为零吗？能不能你比如说我们刚才给你写的一零零零这个人？

这个矩阵就不为零了。但是行列式是等于零的呀。你这不对的，所以注意非零矩阵啊，矩阵不为零，可不是说行列式不为零。那这个东西到底怎么推的呢？你想想一个事情，大家琢磨想。该点值。该点处的代数余子式。行列式。该点值。代数余子式行列式，你会想到什么？

哎，我会想到行列式的展开定理。那你想想，你既然是行列式的展开定理，因为这个矩阵不为零。这个矩阵不为零，肯定有一个元素不为零吧。它绝对的，比如说这个人不为零或这个人不为零，我不管你哪块不为零，我就在哪展开。对吧，你哪块不为零，我就在哪展开，我就不妨设什么，

假设是第一个不为零，行不行？假设是第一个不为零。很多人说，那第二不为零怎么办？没关系，谁不为零我就在哪展开。那么下面不管了，那么既然第一个不为零，我就按照第一个展开a一一乘上a一一a一二乘上a一二。a一三乘上a一三。好了，这是这个部分，然后这个东西又等于多少？又等于a一一负的a1，

这是平方。负的它a一二的平方，负的它a一三的平方，然后这个东西啊，提出来就变成这样。然后我们一起来看。平方都是大于等于零。平方都是大于等于零，因为你不为零，你只能大于零。而都为零的时候才会为零，那这个东西不会为零，只能小于零。只能小于零，我就填负一。

能想清楚吧，好这个问题啊，把它琢磨清楚。所以这是一个非常经典的一个题。啊，这是一个非常非常经典的题。好了，像这个问题啊，把它好好想想，行列式是等于多少等于负一的？那么其实在这里面你就想清楚一个点。那如果告诉什么呢？a为。非零矩阵。a为非零矩阵，

然后告诉什么我们告诉了一个该点处的值。跟该点处的代数，余子式的值它们相等。我退出什么？我们就可以进行去推出这个部分的a。跟a的这样的一个伴随，两者之间是这样的关系。那么，在这里面当中，我们可以进行去求出什么？你告诉我这个能推出行列式等于几啊？行列式就等于一了。注意，我们就能推出了行列式等于一。行列式我们就能等于一了。

大家告诉我。如果行列式等于一。a×a的伴随。是不是等于a的行列式乘一啊？而我们a×a的这个什么呢？这个东西的话就是我们乘上逆是不是也是e啊？没问题吧，也是异样。所以我们得到这个人，而我们这里面当中的转置，跟这个人也相等，不是我说的，他说的相等，你注意啊，我们在这里面当中补一个内容。

对于。n阶方阵。如果这个人是个方阵。若什么东西呢？如果这个a乘上a转等于一。这个时候。a为什么东西呢？这个人叫什么镇？啊，有没有同学知道叫镇交镇啊？这个人。这个东西等于正交正。那么，进而广之，我们就可以推出来了。

a星跟a逆跟a转，它们三者相等。这是很有趣的一个东西啊，非常有意思，但是我们考不了那么深。你了解就行了，考不了这么深，你需要知道的就是这个上面这个部分。所以下次就可以描写了。啊，你就可以描写了。非零矩阵这两个东西相等，我这个转置就会跟它相等，那这个时候行列式是等于一。啊，

这个点好，这是这个问题。能理解吧，下面这个东西啊，稍微拓展一下。a×a的转置等于它。a×a逆等于它。a×a这个什么这个芯儿又等于这个转置，那说明这三个东西相等呗。很有意思的一个问题啊，正交正。可以了吗？我们就讲到这儿啊，自己下去好好看看。呃，

所以说我觉得下去啊，你自己进行去对照，你看这两个问题，我让你回顾的问题啊，你可以进去去把它看看。然后这些呃该记的一些公式啊，都放在这上面，你自己下去去看看，有些的话这个重点你需要点的，我也在这上面给你点了。呃，这个今天晚上给你们发过去吧，你回头的话，你自己去背一背就行。那行吧，

我们稍微的休息会吧，一会我们继续啊，休息会吧，然后的话，这个一会我们再来看看这个下一个问题，我们去看看幺二零后面这几个题。可以吧，好稍微休息会，一会继续啊。

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