18.冲刺串讲18-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:08:25

首先，那么接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们准备开始了。那么今天我们就继续开始我们的这个冲刺大串讲的课程，那么上次课程当中啊，核心重点，我们先把这个概率论呢，最后一点知识点呢全部。全部讲完了，然后今天我们还剩下最后呃，

这些习题有没有做一下？这刚好是昨天晚上讲的，我们把这些呃题目再讲完，我们概率论部分内容啊，我们就全部结束了。那么，稍微把这个几个知识点呢？我们稍微回顾一下，因为在上次过程当中，一些知识点呢？还非常关键。那么，首先第一个事情就是常见分布。这个东西啊，有歧义。

对吧，比如说我告诉你是个离散性分布，你立即能把这个分布率写出来，如果告诉一个连续性分布，立即能把这个人的概率密度函数啊，把他写出来。啊，这是非常重要，然后他的一个期望是多少？然后它的方差是多少啊？这个内容你必须要记住，所以说对于这个常见分布核心重点的这个学习啊，就这三个点。一个事情是技术分布，一个事情要知道期望，

一个事情要知道方差好，这是这个问题，然后第二个事情就是二维随机变量。离散型。随机变量。那这个知识点呢，是每年必出一道对吧？二维离散型里面当中包括几个事情呢？联合分布率。边缘分布率还有独立性，包括这里面当中啊，还有一个事情就是它的函数的分布，怎么去求解？就是把这个表盘得到。看遍表盘，

每个点把每个点都看一下，然后就得到好，这是我们讲的这个第二点，然后第三个点，那就是期望的问题。两个事情，一个事情要会酸，然后另外事情要知道它的性质，然后同理而言，方差也是这样。两个问题，一个事情计算，一个事情性质。那这里面当中啊，核心重点最重要问题啊，

当然是期望的计算。对吧，这个问题，那它的公式啊，你必须要记清楚，我们在昨天的时候把这个公式啊，都给你们罗列了一遍。如果是一个一维的问题，它的离散性怎么算？连续性怎么算？如果是一个一维的函数，离散性怎么算？连续性怎么算？还有这个二维的函数怎么算诶？这个公式有没有记住啊？

啊，就这个内容。一定要记住啊，这是一定会出题的。100%出题，尤其而言的话，这里面当中的函数的分布，你也得把它掌握清楚。对吧呃，尤其我们昨天讲了，把这个东西啊，稍微回顾一下。那比如说我们举个例子。如果是一个。离散性问题。

那你告诉我，它会知道什么，它就会告诉你分布率。啊，分布率。如果是个离散性问题，它告诉你分布率，我让你去求什么呢？如果让你去求es。你就把每个点的这个人乘以对应的概率，然后再加起来就行。好，这个人如果让你去求解什么，求解它的函数。你就把每个点对应的这个函数值求出来，

然后再乘上对应的概率一加就行。好，这个问题，然后第二件事情我们再来看看连续性。如果这个人是告诉了连续性随机变量，一定会告诉什么，一定会告诉概率密度函数。这是要注意的。概率密度函数。两种考法，一种考法的话就说这个概率密度函数当中啊，有未知参数，把这个未知参数啊，你求出来。那还有一个东西呢，

如果这个题告诉你什么，告诉这个人怎么办？那你就要把这个概率密度函数求出来。啊，这个非常容易了，所以如果告诉分布函数，你就把这概率密度函数啊，你通过求导的方式把它求出来，然后再来进行计算。然后接下来我们来看看你，比如说让我们去求解这个es。如果你这是x，这就是负无穷到正无穷，然后这是x再来积分。好这个人那如果这里面当中告诉什么告诉的是一个gs。

函数那函数这个人的话，其实你发现我就把里面变成什么里面这个东西变成函数，然后再来积分。哎，这个人所以这个想法，你把它想清楚，你这是s这就是s，你这是s函数，你这是s函数。那同理而言的话，比如说我们举个例子，我们经常要算这个人。你算这个人的话，就是负无穷到正无穷，然后这是多少，

这就是x方再乘上这点积分。能理解吧，那么同学们想想我们这个事情也可以反着想。如果拿到一个题，人家是负无穷到正无穷。然后用x乘上了一个这个人的概率密度函数，这个结果是谁啊？你可以顺着想，你也可以反着想，那你想想这是谁的概率密度函数，是不是就是谁的期望啊？能理解吧，这是谁的概率密度函数？就是谁的期望？那同理而言，

我们再看，如果这个部分是x方。你再乘上一个概率密度函数，这谁啊？这是谁的概率密度函数就是谁的期望的平方？能理解吧，你看你这是s这是s，你这是平方，这是平方，你一定要把它记清楚，那比如说我举个例子，我们来看一个题。我们常考的点把这东西啊，我们就写在下面啊，我们来看看一个考点。

那比如说这是负无穷到正无穷。然后用s这个人乘上根号下二派一亿的负的二分之x方。这等几啊？你可以这样看，这是个奇函数，这是个偶函数，所以说等于零。哎，这样看可以，你或者怎么看呢？你发现这个人是谁的概率密度函数？那这是一道那很明显，这个东西是一个n零一的概率密度函数。n零一的概率密度函数，这个结果就是n零一的期望，

那就是零呐。没问题吧？那如果这里面当中，我们再改一下，你这是负无穷到正无穷，然后这是s方根号下二派。一亿的负的二分之x方，这个结果等于几啊？你一看的话，你发现这是谁的概率密度函数n零一的概率密度函数，那n零一的概率密度函数不就是n零一的这个平方的期望吗？而我们知道这个期望是零。方差是一根据反算公式。注意了，方差是平方的期望，

减去期望的平方，那这个平方的期望就等于期望的平方。加工厂。反算公式，这是零+1=1。好了没？那这种情况你要会想。你要知道这个问题，我通过这个人可以求他，我也可以通过这个东西啊，转到这个期望和方差哎，这两个事情你都得会。好了么？同学们掌握清楚给我回复一啊，这个基本问题。

那行吧，那么这个点我们就讲到这儿，那么接下来我们把这个下面一些题啊，把它讲讲，我们先来看看这个幺九三这个题。先看这个题。那这个题啊，你就比较简单了。你发现这个人，他告诉什么？他说这个s啊，服从这个参数为lambda的指数分布。如果告诉这个人，他的期望就是拉姆达分之一，他的方差就是拉姆达方分之一，

然后要算平方的期望。你要注意，如果一个题啊，期望知道方差知道让你进行去算平方的期望，你就用反算公式就是期望的平方。加方差能理解吧，哎，这个东西啊，这就叫做反算公式，这个反算公式啊，非常的有用。啊，就说你期望之道，方差之道，你算平方期望，

唾手可得，所以说这个结果我们来看看。那这个人平方的这个期望就等于几就等于期望的平方，然后再加上方差，然后这个东西等于72。那所以说这个部分的话就是拉姆达方分之二，然后约一下，这是三十六，那所以说这个东西啊，拉姆达这个人刚好等于六分之一。答案选。几选d？好，这个题反算公式好幺九三这个题再来看下一个题幺九四。看一下这个题。

那这个题啊，也不要中意。他说这个人是个正态分布，你这个人是泊松分布，他的期望和方差都是知道，然后让我们去算这个人期望。你算这个人的期望的话，你发现你直接用一下性质，把它一拆就行。一拆的话刚好是二倍的es。而期望这个东西是加就是加，是减就是减，而且随便可以拆开三的期望就是三。然后我们来看看第一个人。那这个人是个正态分布，

第一个位置就是期望，那就是一呀。泊松分布的话，这个参数就是期望，然后这是它呀，所以说这个结果刚好就等于三。你看这种题啊，一一年考的这种题，这还是道大题，那这种题啊，非常的简单。还比不上我们现在的两分题呢，好再看这个题，他说这个人呢是服从参数为拉姆达的坡松分布。所以说这里面当中，

它的期望和方差都是一样的，然后告诉这个式子，那告诉这是大的。然后接下来我们就继续，我们再来看。那把这个问题啊，你就可以拆开一拆的话，这是s平方，你减去三倍的s，然后再加上二=1。你把这个东西啊，稍微整理一下，那就是e的s方减去三倍的这个es，然后这个人是二=1。那你发现你看这个人的es是等于多少兰姆达，

然后这个人的ds是等于多少兰姆达，然后这个人的es方等于多少？就等于期望的平方加方差反算公式啊，那就是拉姆达方，加上拉姆达方二倍，拉姆达方。一减二倍，兰姆达方减去三倍，兰姆达加上二这一减呢，这就是一等于零。然后接下来我们要去看看这个lamda啊，lamda是多少，你解一下也行，你或者把这个东西往里面带也行啊，都一样。

然后这东西是一二得二。对吧，这是二。嗯。这是。减去一个三倍的它。ds of.这是他加上这个人。那所以说这个结果的话，我们来看看这个人，那这个结果就是兰布达方，加上这个兰布达减去三兰布达，加上二=0。所以说这是拉姆达方减去二拉姆达。啊，

加上一=0，所以说这个lambda=1啊，正确答案选c。好了，这是我们讲的这个题啊，这种题啊也比较简单，你其实要注意这种，这里面当中啊，你期望知道你方差知道，然后这个人的平方的期望其实就知道。我们通过这个反算公式啊，立即出来了。好，这是这个题，然后接下来我们再来看看这个幺九六这个题。

你再看这个题。那这个题啊，他又说了，你看很喜欢考泊松分布。为什么喜欢考泊松分布呢？因为泊松分布的期望和方差简单。害怕你做不出来，你说这是以前的出题，那这个人的话，你发现这个is服从什么参数为二的博从分布。那这个人的期望和方差都是几都是这个参数。然后告诉了这个人，说这个人的期望是多少，你发现e的z这个人呢，刚好就是三倍的es。

然后再解圈。那所以说这个结果就是三×2-2，那这个结果等于四。然后接下来我们再看看dz dz，其实就是d的多少d的3 x- 2。我们昨天讲过，跟着这个常数的尾巴不要了，哎，方差里面，然后出去变成二倍啊，就是平方倍，然后这是ds。所以说这个人是刚好是二啊，这是九。二九一十八那所以说这个结果正确，

答案就是48选c。啊，这个题啊，也不难。那么，接下来我们继续吧，我们再来看看这个题。那这个题这是大的。你看这个期望的话，刚好就是二倍的es，加上个一=5。那所以说这个es就等于几es=2。而这个人的期望刚好就是es，所以缪就等于二选c。好，

这几个题完全就是在训练这个东西的这个性质，然后接下来我们再看，你再来看看幺九八这个题。那幺九八这个题啊，它服从什么二项分布？二项分布的第一个参参数就是进行了多少次？每次成功的概率是这个p。然后说如果大于等于一。那你想想你进行了两次，有可能成功零次，一次两次，这都有可能大于等于是这个部分。啊，这个不好算，我们算反的，

所以说就算零那就是两次里面取零次，然后成功概率是pp。p的零次方，然后是一减p的，这个人的二次方就等于多少九分之四？那所以说这里面当中的这个一减p的这个平方就等于九分之四。那所以说这个一减p这个人呢，等于正负多少三分之二，但是你发现有效的只有什么，只有这个三分之二，因为负的三分之二一减的话变成大于一的。这不对，你概率不能大于一啊，所以等于三分之一第一个人出来，第一个人出来之后我们来看看这个方差。

方差是多少？二项分布的方差是n倍的p，再乘上一减p，那所以说就是二乘上三分之一。你再乘上三分之二结束了。好，这是原来的考题的大题。这大题还不如我们现在考的这个两分题呢。机器都没有水平啊，这个题。但这种题啊，你还得练对吧？有的时候我们在这个最后一节考的这个东西啊，难度系数，说实话不是说特别大。

那么，接下来我们继续，我们再来看看这个幺九九这个题。你看这个题目。他说，这个人服从均域分布，然后这个期望是多少？这个期望是es。那这个均匀分布的期望是二分之零加一，然后等于三，所以说这个a等几a等于六。那么，接下来我们再看下面这个问题是de到二倍的s+3。根的尾巴不要了，出去变成四四倍它。

然后这个方差是多少？方差是12倍的b-a的，这个人的平方四倍的这个12。然后是六六三十六，然后这个东西就是12。啊，立即出来了，你看这个幺九九这个题啊，这个题也不难。然后接下来我们继续，我们再来看看下一个题。好，来看看这个题。那这个题啊，它有个特征，

它叫做什么？这个is服从正态分布y这个人服从正态分布两个人相互独立。对吧，俩人相互独立，那则什么情况呢？则这个部分呢d这个点我们讲过，如果sy和他他独立。它的函数和它的函数也独立，你记住这个特征，你这个东西你挣不了s和y独立s和y的函数也独立。如果这个人独立，这个东西能不能拆啊？如果这个独立方差，一定可以拆，但是你发现一个事情，

这是d多少呢？d2s，然后这是d多少3y？那这个东西怎么办？把它加起来。是吧，这是个正态分布，这个均匀分布。哎，告诉它俩独立，它俩独立，它的函数也独立，然后这个东西出去就变成四倍的ds，然后是九倍的dy。那么，

接下来我们看看第一个人方查。第一个方差是多少？第二个位置填方差，所以说这是四。然后再来看看这个均匀分布，那均匀分布的话是十二分之b减a的，这个人的平方自己算。好了，这个题啊，比较简单啊，这是四减零的，这个平方四四一十六，你约一下就行好，这是我们讲的两百题这个题。你做个答案多少答案等于28是吧？

选d。好了，那么接下来我们继续，我们再来看看下面一个题，二零一这个题。也是二千一六年的考题。然后说了一个问题，说这个人呢？是服从什么东西呢？服从这个参数为lambda的波松分布。然后这两个东西是相等的。那这两个东西相等我们见到泊松分布，立即能写出泊松分布的分布率，等于k的时候概率是k。k的阶乘分之lambda k次方e的负lambda，

然后这个k是零一二三一直下去。那这个等于一的时候往里面带兰姆达的一次方e的负兰姆达二往里面带，这是二兰姆达的平方e的负兰姆达。然后这个东西就相等，你把这个东西约掉，你这个东西约掉拉姆达刚好等于二。拉姆达等于二的话，你发现这个人的期望和方差都是等于这个参数，那就都是二出来了。好了，这个题啊，这个题也比较简单，你看这个二零一一这个题，所以以前考的这个题啊，不是说特别难。

但是也不是说。每个题都是那么的简单，你比如说下面这个题，你下面这个题考给我们，现在啊，也是可以的。你像下面这个题考给我们照样有些同学，你发现做的不是说特别好。一旦涉及什么东西呢？这种文字性的题啊，有些东西就读不出来这种应用题的感觉，来我们来看看吧。他说，一个足球彩票售价是一元啊，就是每张彩票我卖几块钱呢，

我卖一块钱中奖率啊，你能中奖的概率是零点一，这挺大的了。这个中奖概率挺大的了，十分之一呢。如果你一中奖，我就再给你八块钱。对吧，然后说那你就不中奖，就不得钱呗。那还不中奖，我也给你一块钱，那不可能啊，那是不可能的。所以说，

然后说小王买了若干张彩票。然后说他中了几招呢。他中了两张。它不赚不赔。大家告诉我买了多少张？这个很简单啊。他中了两张，那你告诉我，说明他的这个奖金是多少？奖金是16元。对吧，奖金是16元。那说明你不赚不赔，那说明买彩票的钱是多少？买彩彩。

彩票啊，抱歉啊，买彩票买彩票，那说明什么情况？那说明买彩票也得花16元。能理解吧，也得花16元，而你发现彩票一元一张，那就说明多少张，那就说明。16张彩票。啊，买了16张。这能理解吧，好这个情况。

所以这个很简单，就是你中奖吗？你中奖的话，你不就是你说明你赚了16块钱。然后最后你不赚不赔，那说明你花出这16块钱，你花了16块钱全部买彩票嘛。好了，这个很简单。然后说小王这个收益啊，他的期望是多少？啊，收益的期望是多少？那同学们想想。你自己算算一下。

买了多少？16章。这个彩票。每次。中奖的概率。哎，重的概率。为零点一。那么，在这里面当中问我们收益的期望，它的收益是不是跟我们中彩票的这个什么？这个张数有关呢？能理解吧，你的收益的结果肯定跟我的张数有关呐。问种了多少？

多少张加上x张？你中了多少张？那你发现你收益了多少？收益了多少？收益了八倍的s。能听得懂吗？那不就是这样吗？买了16张。每次中奖的概率是零点一，就是你来一次零点一，来一次零点一，进行了16次，每次相互独立的。你中了多少张呢？那么接下我们看我种的这个樟树服从一个什么分布二项分布？

好这个人，那我的收益呢？我把收益叫做y，所以说这个收益的这个期望就等于八倍的这个什么？es而二项分布的话，这个期望是多少？就是等于n乘上这个p。好，这个结果所以说就是八乘上一点六自己算。好了，这个情况我们就讲到这。能听懂我的意思吗？哎，把这个事情呢，你想清楚。

可以了吗？你要读懂题，对吧？他这个信息点就想告诉你什么，他就想告诉你。他总共卖了多少张？总共买了多少张？能想清楚吧，好这个题啊，你自己下去好好想想。就是这件事情，他就想告诉你，他总共买了多少种？其实就想说买了16张，就是你把这句话要平替一下，

就是小王买了16张彩票。请问小王的收益的期望值是多少？你说实话，这个这个同学你读的这个题啊，没有问题，只是这个题目出的不严谨。你能读出来这种感觉，你是不是发现我们其实都能感受出来？那算这个期望的话，应该是买了16张中零张的概率是多少？中一张的概率是多少？中两张的概率是多少？其实你发现一个事儿，这个题的话应该是什么呢？我也不知道你中了多少张重零涨重一涨重二涨重三涨。

然后中了16张，把这些概率都要算出来。然后再进行怎么办？然后再进行去啊，这个东西对应相乘再相加。其实就是这个二项分布啊，它的一个计算问题。所以这个题。他想玩个花啊，结果这个棋没玩好。出的话，你会发现没有一点这个对，就像很多人说的这个逻辑的这个问题啊。但这也不是那个什么那个假言命题，那个东西好了，

这个点吧，我们就说到这。可以了吗？哎，把这个事情想清楚，但是我觉得你把后面这个东西读懂啊，非常重要。这个读懂很重要。啊，就是这个问题。就是买了16张彩票，他就想说啊，这句话就想说你买了16张彩票啊。原本应该说我给你这个里面当中啊，我要告诉你16张买了16张彩票，

但是他这个东西他又不告诉你16张彩票。他怎么办呢？他把这16张彩票藏到这个绿色这句话里面。好了，这个点吧，我们就讲到这儿跟得上吗？把这个事情啊，你想清楚好了，这个题我们就讲到这儿。自己下去再看看啊，这个题其实还挺好。那么，接下来我们继续吧，我们再来看下一个点。那么，

这里面当中告诉一个分布率，然后让我们去求解这个期望，那这个期望就直接算呗。你发现这个第一问呢，非常没有水平，就对应相乘。这个人对应相乘，这是零对应相乘，这是它对应相乘，这是16k。然后这是14。好了，把这东西啊，一算就行了。过去了，

可以吗？好，这是这个问题来，我们继续，我们再来计算一下这个概率，这概率怎么算呢？这概率条件概率。你条件概率其实就是x不为零的概率分之多少？x不为零。且x小于一。那你想想不为零的概率是多少？不为零的概率的话就是这个人。然后再加上这个人。然后再加上这个人。对吧，

这个结果。然后接下来我们就继续，我们再看。那这里面当中又说不为零，又是小于一，又不为零，又小于一，这是谁呀？这个结果是这个。所以说这个结果是他。能理解吗？所以你在计算的过程当中啊，肯定能算出这个人，然后这里面当中到底这个k是多少？好了，

不要着急，不要急。然后这里面当中，你发现你这个k是多少呢？你发现这里面当中啊，虽然没给你，但是这里面当中只有一个未知参数，你还得怎么办？你利用一下这个概率之和等于一。你把这个东西啊，你去计算一下。对吧，这种情况我们经常会出现。但是这种事情难不倒我们现在同学，为什么我们都是选择题呀？

我一看答案当中诶，怎么没有k那说明k要求你能理解我的意思吗？所以说这个时候啊，你就能把这个k求出来。把这个k求出来，往里面一带，往里面一带，本题结束。所以现在这件事情对我们而言，其实考研没有什么难度。因为你发现我们现在考研都是这个。啊，都是选择题，你一看这个答案诶，怎么没有k啊？

我这算出结果有k啊，那说明知道这k得求出来。那这就可以了，好了，自己算行不行？这不难算吧。啊，自己通一下，通到16，然后把它算出来。啊，这个点好了，这个事情我们就讲到这呃，这个东西不会算的塞给你学小学的这个。一年级的这个表弟，

让他给你算啊，他肯定会算。好，这是这个事情吧，我们就讲到这儿，这是二零五这个题。然后接下来我们再来看看这个二零六这个题。来看这个题。他说，这个军训打法你看对目标进行了十次独立的设计。我进行了几次啊，我们在这里面当中啊，进行了十次啊，进行了十次，然后每次打靶射击的这个命中率是相同。

然后说击中靶子的次数，你看这件事。把这个问题你要想清楚，你看我对目标进行了十次试验。每次的成功的概率是一样的，然后请问击中了多少次？把这个七中的这个次数叫做xx，服从什么分布读出来了吧？进行了十次。每次成功的概率是p。然后成功了多少次，那不就二项分布吗？那所以说这个里面当中的这个方差是多少？是np就是np倍的一减p。然后这个结果等于几等于二点一。

让我去求这个p那求这个p的话，你约一下，这是p-p^2等于多少零点二一？所以说这是p方减去p+0点二一=0。那么，这个三七二十一刚刚好，那三七二十一的话，你分一下，这个是零点三零点七负的，然后这是p这是p。啊，这个情况那么，然后接下来我们算一下这个这个结果。这是刚刚好，是一。

所以说这是p减多少零点三？p减多少零点七等于。那这个概率的话，要不是零点三，要不是零点七。这个题出的。行吧，你合规啊，你是选择题你牛。好了，这是这个问题吧？零点三零点七啊，这个题目。好了，这是二零六这个题行吧？

那么这个点呢，我们就讲到这儿。可以了吗？你所以在这个操作的过程当中，你把它处理清楚，你要知道这个问题啊，是怎么出的？你看这是以前的考题。其实就是这个里面当中啊，你发现出的这个难度系数不是说特别大，但是要稳扎稳打来，我给你们看过这个这两年的考题。这两年的话，这块考题的点呢，其实你发现在这个期望和方差这块计算当中啊，

不是说特别的难。啊，难度系数不是说特别大。希望那么这个点呢，我们就讲到这。那么，接下来我们继续吧，我们再来看看今天呢呃，也就进入到我们在这个。这个第一个阶段冲刺大串讲的最后一个片段课程叫做我们的线性代数。啊线性代数那么现在呀，也是很多同学的一个痛点。但是我想说这个问题，你要想考高啊，你这两个板块的东西啊，

你千万不要丢太多分。啊线性代数那么线性代数仍然是很多同学的问题点之所在。那么，接下来我们就来重点来看看现行代书者们。那么，首先第一件事情，我们还是来把这个线性代数啊，在这个考纲当中的要求啊，我们来讲讲。那么，在我们的考题啊。考题的话，其实就是七道，然后七道当中的每道题考两分，总共是14分。

这14分，所以这14分呢，也是比较关键的。而且好拿分。说实话，好拿分。所以在这里面当中，一些基础部分的东西啊，你得把它迈过去，说实话，有时候我们进去去考一些题啊，高等数学的题。难度系数大，它确实大，你比如说去年当中考了好几道高等数学当中比较难的一些题，

但是你发现这个线性代数啊，还有这个概率论部分。难度系数不是说想象那么大。你看我们刚才已经把这个概率论结束了，你再回看的时候，其实就这几个知识点。你数都能数的过来，你在第一章当中，那么就是求概率，概率公式要记住，然后是古典概型几何概型的问题，那可能古典概型呢，是很多同学。到了后期复习过程当中还比较痛的，但没关系，

你把摸球这个东西啊，把它抓住清楚就行，到第二章。分布函数对吧？分布函数定义分布函数的判断，还有这个东西叫什么？还有这个知道分布函数去求概率。离散型对吧？还有最后一件事，还有是我们在这里面当中讲的连续性问题，包括我们在这个上节课讲的常见分布。还有二维离散性问题，还有这个期望和方差。所以像这些点的话，我觉得呃，

拿起来难度系数都不是说你想象那么大。注意把这个点呢，一定要迈过去，迈过去了之后回头看呢，都很简单，好了，那么接下来我们继续，我们再来看看第二个问题。那么，这是我们在考题的形式，然后我们再来看看考纲要求。考纲要求啊，其实就是我们呃线性代数当中的前四章。第一张行列式。啊，

行列式行列式在我们考试当中啊，必出题一定会出，有的时候会出一道。有的时候会出两道，乃至会出三道题，尤其是我们最后一章学习的这个方程组，那方程组里面当中的判定也可以走到行列式啊。所以行列式这个计算呢，是我们最基础的内容。然后再来看第二章矩阵。那么，矩阵当中其实包括几个问题呢？一个事情是我们的这个运算一般会出一套啊，矩阵的运算。包括的话呢，

加减乘法转置伴随逆矩阵这些东西啊，这都算它的一个运算性问题，尤其是伴随矩阵和逆矩阵。然后就是初等变换。这是重点，然后最后一个事情，其实就是我们在这里面当中的矩阵的值。好，这几个问题。你数都能数的过来，你看这个行列式行列式啊，一般出题的点在一到两道哎，一会我们再标吧。好了，这是我们讲的这个第三章呃，

第二章，然后再看第三章香料。向量这张线性，相关性的判定必考。啊，一定会出题，这都不用去想，这是100%会出题的点线性，相关性的判定，然后紧接着其实就是我们的极大无关组。啊，极大无关组还有线性表述的问题。那么，核心重点问题就这三个，一个是线性，

相关性的判定，这是必出题的，极大无关组合线性表出，未必会一定会出题。但是这几个点呢，都是黄金重点问题，必须要迈过去，然后再来看第四个点，那就是方程组，方程组100%出题。这都不用去想，然后是其次线性方程组，还有这个非其次线性方程组。先解方程组问题。其次，

线性方程组非其次。线性方程组的求解性问题，判定性问题，这肯定会出，然后第二事情还有一个叫做矩阵方程的问题。你看去年也考到了，对吧？矩阵方程还有最后一个事情是方程组的同解和公共解的问题。方程组同解。与公共性问题。同解与公共解问题。好，这几个点，所以你在这里面当中进行测算一下啊，一般会一定会出题的点呢，

你在这里面。你看100%会出的。我用红色给你标一下。这个人这个人这个人这个人。呃，这一般会出两个。所以你像你看看这个一个两个三个四个五个六个，那还有一个的话，那说不清楚。就这几个点的话，都是大点，有可能我们在行列式当中出两道题，那这个几率也行，或者是行列式就出一道题。然后这个其次非线方程组那出一道跟行列式有关的判定型的题，

那也可以出啊。所以把这些问题啊，一定要梳理清楚，包括到了这个现在啊，有些同学还是没有绕行，比如说一个齐次线性方程组。它的解。有几个线性无关的解。对吧，有几个线性无关的，这个解的问题，所以你把这种类型问题啊，你都得把它梳理清楚好了，这些点呢，我们就讲到这。

那么，接下来我们先来看看这里面当中的第一章吧，把这个线性代数你要拿下来，你其实学到最后啊，有些同学的痛点顾忌在哪？痛点顾忌在这。啊，这是一个痛点。然后的话，还有一个是什么？这个方程组同解和公共解都还好，然后是这个矩阵方程呐，是一个痛点。然后还有个这个线性表出啊，也有可能是个痛点啊，

就这三个点，你说实话比较难一点，你现在再回看呢？前两章还是比较简单。对吧，你学到最后你才发现，一开始我们学这个线性代数的时候，有人问，哎呀，这个行列式怎么这样算？行列式怎么那样算？行列式怎么有这样的性质？有那样的性质，它怎么长这样子？结果你发现学到这个，

等我们再进去就回顾了好多遍了之后，你再回头看你发现前两章就是个弟弟。说实话，是弟弟，而且我们考还没有考的特别深，那后面的话还有这个特征值，还有这个二次形问题，我们不出题啊。所以把这些点一定要拿捏下来好了，那么接下来我们一起来看看，首先我们先看第一张。好，那是好，先看第一种。行列式那么在行列式这章，

我们先提出几个非常重要的一个要求。啊，行列式这种。那在行列式这章，我们的要求是什么呢？我们先看第一个事情。那么，第一个点行列式的定义。的定义必须要会。有可能会出一道题，因为这个事情是一个潜在性的考点，而这两年没有出过。你小心这种题啊，就这种题的话，其实就是我们讲义当中的幺幺幺，

这个题你注意这种题，这可以出的。这完完全全可以除好，这是第一个问题，然后第二个事情是代数余子式问题。线性核问题。好了，这是一个非常高能的一个点，这两个点呢？这是高能重点，然后接下来我们再看第三个事情。那其实就是我们行列式的。的性质性质与展开定理。这要会对吧？这两个东西你要会行列式的性质，

行列式的展开定理，你得会。然后再来看看最后一个事情，那就是行列式的计算。那么这个计算呢？那么包括这种什么数值型计算？还有这种抽象型计算。我说几个问题啊。像这种数值性计算，不要老是跟我动不动就是n阶行列式。n阶行列式写一堆。你自己做题哪有那么多的n阶行列式啊，基本上顶多到四阶。如果它是个n阶，它极具有规律性，

它不具有规律性，一般我们不会考n阶，所以像这个问题啊，一般都是个四阶行列式。我们需要大家看看灵活的应用到行列式的性质没有没有灵活的应用，行列式的展开定理用这两个东西啊。然后进行去求解这个行列式，所以我们在这章的时候，核心重点其实就这四个要求，这四个要求一定要达标。一般的话，其实就是一到两道啊，出题啊，就是一到两道题。好嘞，

是能讲清楚啊，好这张必过关啊，如果这张过关不了，你后面的这个线性方程组了。还有这个线性相关性的判定呢，你都会受到一些这个理论知识点的上没有达标，你所造成的一些影响。好了，那么接下来我们继续吧，我们来看看下一个问题这一遍呢，把它当做成最后一遍题第一章和第二章比较简单。那说实话，难度系数稍微会比较大，可能会到了第三章，但是你其实你比如说你举个简单例子，

你到了这个今天有些同学仍然串不出来。比如说一个行列式不为零，能推出什么？比如说不可逆。满志满了志，我们讲过，如果矩阵的志列满志列无关行，满志行无关不满志必相关。就说转转转就转之清楚嘛，就很简单，满了就无关，不满就相关。如果你是个方阵。方的方的行满了，列就满了。

如果你不防，有可能行满列不满，反正你就记住，如果是列满制列无关行，满制行无关列不满制列相关。所以你就这个点呢，到了我们这个第三章，我们再给你穿，你说把它当做神，最后一遍没有那么的难，对吧？你把它一想清楚就行，抓住一个重点啊，这个东西。那么，

接下来我们来看看这个第一章，那么在第一章当中啊，我们首先会面临第一个核心考点，那就是行列式的定义。行列式定义。那么，行列式定义这个东西啊，你会发现。这哪叫慢慢来，你这也不是第一遍。是吧，这个又不是第一遍，你必须得串清楚，我们一会儿在讲到中间的时候，我们就得往后面串。

好好了，那么接下来我们先来看看第一个点，我先说一个问题啊，你如果大脑空空如也，这是很难听的。能理解吗？就啥都不知道。什么都不知道，那这这这没没法来的啊，好了，那么接下来我们一起来看看下一个问题。那么，首先我们先看第一个点行列式的定义，那行列式定义里面当中的第一个事情逆序数，你要会求。

啊，逆序数我们通常怎么进行求逆序数呢？我们使用一个方法叫冒泡法。对吧哎，就这个方法，这是一个小学方法。因为标准系数是多少？标准系数的话，你发现。标准系数，比如说一二三四五，这是标准系数。然后的话，你发现非标准系数呢？比如你说你发现我就是从小到大，

我规定一个顺序。好了，这是个标准顺序。那比如说我改一下，这是二一三四五，这非标准。那这个非标准，我们什么叫逆序数呢？是调换非标准顺序里面当中的几次？对吧，比如说你看我调了几次，我调了一次，调换了一次，就变成了标准顺序调换的这个次数，就叫逆序数。

能理解吧，所以你看这个人，那你告诉我这个人排列的逆序数是几？逆序数是几？逆序数是不是一样？所以逆序数用套表示是一。但是我说不是异性性。你说这个逆序数是一。我觉得我还可以再换呢。我说不是乙。我说是三行不行？你说把这两个人调换了。我调换了一下，我再调换一下，我再调换一下行不行？

可以啊，那是三行不行？是五行不行？是二零二三行不行？所以同学们告诉我逆序数的大小重要吗？不重要，逆序数的奇偶性却很重要。所以我非常在意的是，逆叙述的奇偶性不是重点。在意这个逆叙述的这个这个什么事迹，这个不重要。这个不重要，我重点的是我把握住这个人的奇偶性就行，但是这个点呢，太简单。

你看这题多简单，你这个题调换一下就能看出来，但是实际上哪有都那么简单。那比如说我们举个例子。我在这里面当中给一个排列，比如说二一。五四三这个逆序是多少呢？你看这个人，那这个非常简单，我们是这样，因为标准排列的顺序的话，就是前面一定比后面小。你前面一定比后面小，你看这个人前面。你前面有比我大的吗？

没有，所以你不用动，不用调换，就放在这。然后你再看这个人。这个人前面有没有比我大的，有比我大的，你不能在我前面，你得在我后面好，我俩调换一下。我俩调换一下，你就调换一下，然后再看这个人。你这个人需要动吗？不需要动，

因为前面的人都比我小。哎，不用动，然后这个人需要动吗？需要动，因为五要在我后面，我跟五调换一下。然后这个人需要动吗？需要动我跟五调换一下，我跟四调换一下，调换两下。所以你其实你发现非常机械的这个排列方法，哎，你比我大，你应该在我后面换一下，

哎，你比我大，你在我前面跟我换一下，我前面有两个比我大，两个人我都换一下。那这个时候不就变成了一个标准顺序吗？所以说这个逆序数等于几啊？逆序数是四，所以我们把这个东西啊叫做。这个排列的逆序数就是四，所以这个方向非常的简单，就是看前面有几个比它大的，你要逆序数都不会求啊。你这可不行啊，这是个非常基础的能力。

好了，那么接下来我们就来看看下一个问题，我们来谈谈行列式的问题。好，先看第一个点。行列式那么首先我们先来看看一个一阶行列式。那一阶行列式长什么样子呢？就是一个双竖线，里面就一个人。里面就一个人，我就等于这个a。能想清楚吗？一阶行列式就是本身，比如说你发现二这个人的行列式就是二。负一这个行列式就是负一，

这不是绝对值啊。你绝对之后就疯了，但很少会考一阶行列式啊，很少会考这个。那么，最终问题的话，从二阶行列式开始，我们来看看二阶行列式的计算啊，最基础的一个计算能力啊，就是主对角线。然后再怎么办？减去这个负对角线。的成绩。主减负，那么这个主对角线的乘积是多少？

主对角线的乘积是a一一乘上a二二。然后再减去a一二乘上a二一。好了，这个人，然后接下来我们再来看看三阶行列式嗯，三阶行列式啊，这是三×3啊三×3。那三×3的话，这个人乘出来结果是多少呢？我们有一个对角线法则。也叫流沙法，那这个人怎么做呢？他是这样。这条线这条线的话是a一一a二二a三三。好，

这是第一个人，然后接下来我们继续，我们再看还有这条轴的一条线，你看是这样，那就再继续加上a二一。a三二a一三。然后接下来我们再看这条线，那这条线是多少？这条线是a一二a一二三a三一。好了，这是三条主对角线，然后接下来我们再怎么办？减去三条副对角线这条线，然后减。减去是a一三a二二a三一，

然后再减去，你看这条线，这条线是a一二。a二一a三三，然后再是这条线，这条线是a二三a三二a1。好，这个那就是这个东西啊，有三条主对角线，减去三条负对角线好了，这个东西啊，就叫做流沙法。那这个流沙法其实在我们三九六同学的考题当中啊，有一年的考题啊，用这个方法会非常的简单。

这个方法也叫做对角线法则。啊，对角线法则。所以根据这两个东西啊，我们算完了之后，你其实就会发现。行列式是一个结果。行列式是一个数。有没有发现？行列式你看，比如说我们举个例子，你这是多少呢？一二零一，这是一。然后这是一一零零。

他也是一行列式这个东西啊，我不会在乎什么，我不会在乎这个中间的人怎么样，我不在乎。我管你中间怎么样，我只在乎你这个结果。泥质量和行列式相不相等。相不相等，就看你算出来的结果要不要。行列式是一个只看结果，不看过程的人。谁在乎你过程怎么样？谁在乎你这里面当中长什么样子啊？谁在乎呢？我只在乎你做出来的结果。

你这个结果相不相等？你这个结果相等了，我们就是什么完全一样的？它跟矩阵不一样，矩阵呢，要想相同得完全一样，每一个零部件都要一模一样啊，这是它们不同的点。而且行列式是一个数，哎，行列式是一个数，这是要注意的。那这个数是怎么进行去构成的呢？我们来看看。那也就说我只要给你一个行列式。

你发现我只要你给你一个行列式，这个行列式会算出来一项一项一项的。有没有发现？无论是二阶行列式还是三阶行列式，他们都会算出来一项一项一项的。而我进行仔细的分析，其中的每一项。那这个项的话，你会发现我随便来一项，比如说我要抽出这一项。这一项你会发现是二一。三二一三我观察出来。任何一项它都是三这个什么这个这几个元素构成，乘起来这里几个元素是不是位于不同行不同列你看？是不是不同行不同列这三个元素都是位于不同行不同列？

你随便挑你，比如说看这个人。那这个人是一二。二三三一不同行，不同业。是不是这个东西啊？但是要注意。但是你发现这是不同行，不同列沉积了之后。也不对呀，有些东西是正的，有些东西是负的呀。您这前面到底是正的还是负的？是由什么进行去决定的呢？哎，

这个东西啊，是由这个东西进行决定的。是由它们的逆序数进行决定。是由什么呢？就是前面这个东西啊，是由行的逆序数。再加上列的逆序数的负一次方决定。是由这个人决定。那么，接下来我们比如说我举个例子，我们来看一看。你假设看这个人。那这个人是多少呢？这人是。二一。

三二一三。但是你看你这样做的话，你又要做行的逆序数，又要做列的逆序数，我觉得非常麻烦，那我如果这样，我把它的行。第一行，第二行，第三行我调一下，我把这个行进行去顺排。我把行顺排了之后，就让这个逆序数变成几了，变成零了，对吧？

行是顺的，行是一二三呢？那这个时候是不是只用进去去求列的逆序数三一二了？这个列的逆序数是几呢？前面零个，前面一个，前面一个，所以逆序数是二，那综合下来其实就是。负一的这个零+2次方，那就是一啊。能想清楚吗？所以说这个人我们就这样做，我们把这个行继续去顺排，然后前面这个东西完全有列的逆序数进行决定。

漂亮完美了。所以说这件事情我们其实就想通了。来，我们来看看这个结果。所以这里面我们稍微的话，把这个事情我们稍微的进行去总结一下。总结一下这个问题。好，我们先来看第一个点。行列式。是一个数。只看结果。这第一个问题。然后接下来我们来看看。行列式。

行列式。的计算结果。结果中。结果为很多项。的。代数和对吧，它为很多项的代数和。啊，这里面当中有很多项啊，好多项的代数和。那么，这里面当中，我们来看看第一件事情。有多少项呢？有多少项？

这第一个问题。然后每一项。每一项为来自不同行。不同的。的成绩。是不是啊？它的每一项是什么？为来自不同行不同列的乘积，然后接下来我们再来看第三个事情。代数和是怎么进行决定的？这个代数和是由逆序数决定。好这个人，所以现在我们就来继续去看看这几个问题。啊，我们先来看第一个问题。

行列式。它是一个数，我只看这个结果。行列式的结果为很多项的代数和。每一项是来自不同行，不同列元素的沉积。那这个代数和我们都知道，这个正负性是由什么决定？是由这个负一的什么m+n决定？对吧，这个情况。好了，这个然后接下来我们来看看有多少项呢？你就这样看。第一行有几种缺乏。

三种那第二行就有几种取法，只有两种，因为位于不同行不同列那第三行只有几种。一种是不是这个事情，那如果是个n阶行列式，第一行有几种写法，第一行有n种。第2 n- 1中一直乘下去就是个n的阶乘项。能想清楚吧，好这个问题。所以你把这样的一个事情把它讲清楚啊，我觉得做起题来就非常的简单了。好，这个问题跟得上吗？听明白了，

给我回复一，那么接下来我们就来看看四阶行列式。首先第一个事情，四阶行间行列式没有什么东西啊，没有流沙法。流沙发。注意四阶行列式就没有这个流沙法了。没有这个对角线法则了。这是要切记的。我们这个对角线法则只能到三阶，二阶有三阶，有四阶及其以上就没有了。啊，就没有了。那么，

接下来我们来看看这个事情，这个四阶行列式的这个结果是多少呢？我们知道这个结果已是。很多像很多像他这样的一个情况。的加和很多项很多项的加和这总共有多少项呢？有四个阶乘项。然后我们来看看其中的每一项，每一项是来自于不同行，不同列，你看我第一行当中取了一个j1列。我第二行当中取了个第二列。我第三行当中取了个j3列，我第四行当中取了个j4列。能听懂我的意思吗？你看它的每一项，

其实就是这样的一个成绩。来自于不同行，不同列元素的乘积，但是这个前面是个代数和呀。你到底是正的还是负的呢？你怎么决定的呢？我们来看看，因为已经把行进行顺排了，行就是一二三四顺排了，逆序数是零。我们只用继续去求j1j2，然后在这里面当中还有这个三。还有这个四它的逆序数对吧？我们去求这个逆序数，然后再把这什么把这16项把它加起来。

把这所有项把它加起来好了，这其实就是我们最后的计算结果。能听得懂吗？所以说这个行列式的这个计算结果，它的每一项是来自于不同行，不同列元素的乘积。把行间顺序顺排了之后，其实就是列的逆序数这个结果。那么，这种东西可以干什么呢？他就可以进行去做我们的这里面当中的第一道，这种例题来看看这种题幺幺幺这种题。好，我们来操作一下。那这个题啊，

他让我们干嘛呢？它让我们继续去计算，这里面当中的三次方向。你如果在这里面当中，直接把它算出来，你去挑三次方向，这个很麻烦。啊，这个非常麻烦。但是我们可以这样，不用把它全部算出来，因为你的结果不就是一项一项一项一项的吗？你要三次方不就是三个x相乘的这个项吗？是不是这个事情我就挑哪些人能让三个x相乘？那我们就来操作了。

那么，首先我们看，如果第一行娶你。第一行取你了之后，同学们告诉我，我在剩下的里面当中就要取几个s。我就要进行取两个s。但是你发现你在这里面当中，把这两个s取到那最后一行是一定会取到它的。那如果你取这两个s了之后，你在第三行当中一定会取走它的。如果你取这两个s的话，你第二行当中一定取它，绝对不行。所以说它是无法达到三次方的。

好，这个人不够资格，然后我们来看他。那他信不信呢？来你看已经有一个s了，然后剩下的这个范围内只有两个s，把这两个s全部选上才可以。然后诶，这个人娶她。行不行呢？哎，这个人可以，所以我们就是第一行的第二个，第二行的第一个，第三行的第三个。

第四行的第四个，然后这是x，然后这是一，然后这是s，然后这是s。好，这个人可以，然后接下来我们继续，我们再看那这个人行不行呢？你发现这个人音破除了之后的话，你发现这后面就没有三个s，那肯定不行啊。然后再看这个人行不行呢？这个人一选，我还要在剩下当中取两个s。

那还有一个人在这儿行不行？哎，这个人可以，所以说就是第一行的第四个。第二行的第二个。第三行的第三个，第四行的第一个，然后这是2s，然后这是s，然后这是s。然后这人是二。对吧，这个情况可以。所以说最终啊，就这两个结果。

那是这两个东西直接相加吗？不是的，你还要算个逆序数呢。你把这个行已经顺排了，我们就算二一三四的逆序数，这调换一下就行，所以说这个逆序数啊是负一。啊负一的一次方。然后接下来行已经顺排了，之后我们去求列的逆序数。四二三一。那么这个人那这个人也很简单啊，你把这个一调就行了。对吧，你这一条的话，

它就顺了，所以都不用像刚才的冒泡法进行做了，你直接是一。那所以这个人我们就出来了，因此这个第一项结果等于多少负的x四次方，然后这是负四倍的x四次方。两个这东西一加是多少？两个一加这个人是负。那所以说最后的结果是负五倍的s4啊，这个是三次方。负五倍的三次方。所以说最终的话，这个系数是多少？是负五答案选a。能学会吧，

好了，这个题啊，你其实你发现就这样做。因为这种结果就是来自于不同行，不同列元素乘积的代数和。每一项是什么？每一项是来自于不同行，不同列元素的乘积。那这个系数是什么？是把行进行顺排了之后列的逆序数进行决定好了，这种题啊，你在今年考的这个几率还是很高的。因为这个我们在二一年改革了之后还没有出过这种题。这种题是很有意思的一种题，你得会操作。

好了，这个题啊，我们就讲到这儿跟得上吧，然后接下来我们再来看看第二个问题，我们来讲讲行列式的性质。好来看看这种题行列式的性质，因为我们很喜欢考定义的题，你不觉得吗？我们三九六同学其实要求的这个大纲的考点不是说特别多。所以说在这里面当中，他就非常喜欢没有考特别特别大量的这个运算。没有考那种还运算量非常爆炸的那种，没有考我们喜欢考什么，我们喜欢考你这个同学到底对这个东西的理解够不够深刻？理解到什么水平，

你所以说像刚才这种题啊，这种题你稍微要注意啊，这个今年考的几率非常大。然后接下来我们再看行列式的这个性质。啊，这个性质。那行列式的这几个性质啊，你都要把它记住，总共有五个性质。那首先我们先看第一个人，那就是转制之后是不变的。什么叫转置呢？转置这个东西其实就是你，比如说这是abcd。对吧，

把这个行的写成列的，把这个行的写成列的，转置之后不变。好，这是第一个事情。然后再看第二性质叫互换。行列式调换行列式的两行或者两列，一定要加符号。你必须要讲你，比如说这是x这是y这是z，然后这是一这是二这是三，然后这是四这是五。这是六，你把这两个东西进行调换。你把这个什么比如说这个第一行和第二行调换，

然后这是一二三，然后这是四五六，只要你进行调换两行，一定要加符号。当然，你调换两列加不加呢？也得加调换两行或者两列都得加符号。那比如说我们再看，这是xyz，然后这也是xyz，然后这东西是一二三继续看。你把这个第一行和第二行调换一下来，我们来调第一行和第二行调换了，换了没换了。哎，

换了之后跟这个一样啊。是不是一样的那所以说你发现移过去就是二倍的这个行列式等于零，那这个行列式就会等于零啊。所以我们有一个特性，什么特性呢？如果行列式的两行相等行列式，一定会等于。行列式的两列相等行列式也一定会等于零。所以像这个操作，你必须要会行列式的两行，或者是行列式的两列，只要它们相等，这个行列式就一定会等于零。好了，这是我们讲的这个第二条，

然后再来看看第三条，我们再来看被承认。费城那么在这里面，我们看看，如果你给一个行列式。比如说这是xyz。然后这是一二三，这是ABC。你看这个人。如果给一个行列式乘上一个数呢？只能给这个行列式的某一行或者某一列只能成一行或者成一列。比如说这个人呢，我们就沉到这个第二行，这k这是2k，这是3k，

你给这一行沉了之后，你在这两行当中，你就不能沉了。对吧，它一定是单行单列成。单行单列车。但是你发现你反着想呢，如果这个行列式单行有公因式，是不是也可以提出去？你从左边往右边看，是乘积你从右边往左边看不就提出吗？所以它只能单行单列来。一定是单行业。然后再看第四条。那有单行列这个性质了之后，

我们再来看你，比如说这是x这个y这是z，然后这是k倍的sk倍的yk倍的z。然后这是一二三，你告诉我这个行列式等几啊？你这一行有公因子就可以提出去，你提出去一个k。然后就是两行相等了，那所以说等于零啊，所以我们又有个特性行列式的两行或者两列。成比例，它也会等于零。两行两列相等，你肯定等于零。两行两列成比例，

它也会等零。所以这个特性啊，你把它抓住，所以我觉得这个。你线性代数这个部分呢？那不要丢分啊。然后我们再来看下一个问题，贝加。啊贝加贝加是我们在这里面用到的非常多的性质。那这个人他是这样说的。叫做行列式当中的某一行，我给它乘上一个k倍，我把它加到什么加到另一行。然后这个行列式的结果是不变的。当然列也行，

某一列乘上k倍加到另外一列。这个行列式啊，结果也不会发生改变。这条内容是我们用的非常非常多的。某一行乘上k倍，加到另外一行，行列式不变。某一列乘上k倍，加到另外一列，行列式不变。用的非常多，然后再来看看第五条。拆分拆分，也叫加和。那么，

这个行列式的话，你发现。如果这是ABC。如果这是一二三。如果这是x+4 y+5 z+6。你看我想把它拆分。这个人拆分呢，我们只能按照一列拆。或者一行拆。一定是单行单列车。比如说我就按照这一列拆。你要按照这一列拆，你就得保证。剩下这两个东西啊，它是不变的。

你看这俩人哎，这俩东西它就没有变。没有变了之后的话，这是xyz，然后这是四五六。能想清楚吗？它只能按照单行单列拆。但是同学们，你反着看呢？你反着看的话，其实就这样看。这两个行列式想相加。你是不是这样看？这两个行列式相相加，它必须要保证什么东西啊？

必须要保证单行单列加，必须要保证。别人怎么办？别人是一样的。能想清楚吧，你按照这一列加别人必须一样，别人一样我们才能加我们一样的话，我们加起来这个东西还是一样，你只有按照这一列加。要想清楚，把这个问题啊，把它琢磨清楚。所以说像这种细节性问题，把这几个点呢，把它注意点。

啊，我觉得这个问题啊，不是说特别难。所以这个行列式的这几大特性呢，把它想清楚。仔细稍稍微的话，继续去思索一下。啊，其实也不容易，混也没啥混的。把这个几个点呢，这都是基本问题，基本概念稍微学一点，你肯定都得知道。好了，

这五条特性转置。互换被乘被加拆分，拆分也叫做加和啊这个问题。好了，这是这个问题。你这个东西你都想不起来，矩阵怎么加你都不记得？这这这忘完了吧？那那真的叫忘成林了呀啊？又困了。啊，今朝有酒今朝醉啊。今日有课，你就睡啊。好了，

这是这个问题吧，我们就讲到这呃，所以说把这个基本的点呢，把它想清楚。那么，接下来我们继续，我们再来看看这个第三个点。继续再看第三个点。那刚才这个部分呢，我们其实说的什么说的是它的性质，那核心重点这五个性质，这五个性质啊，一定要把它记住。对吧，每一个点把它想清楚。

对吧，每个点你要知道拆分怎么拆？加和怎么加？倍加怎么做？还有这个互换怎么做？这几个性质。那么，接下来我们再来看看下一个重点问题，叫做余子式和代数余子式。余子式和代数余子式哎，这个问题我们在考研当中很喜欢考，你有没有发现你看你像去年的考研真题啊？他也很喜欢出这个人。这个人很重要，代数余子式那么首先我们先来看看余子式。

什么叫余子式啊？余下来的儿子的行列式。啊余下来的儿子的行列式。好了没呃，这两天呢，状态稍微好一点。你发现这个。很多人都是这样。都是喜欢这个事情，发生了之后啊，他才会想到这个事情的这个重要性。所以我觉得这个呃，最近其实我们三九六同学非常的辛苦，因为考的科目非常多。考的这个呃，

东西非常多，所以说很多同学的话，这个呃内容点需要学的东西啊，需要花费的这个时间呢，都会非常多。所以希望同学们好好再把这个最后一段时间呢，把它坚持过去啊。那么，接下来我们继续吧，我们来看看余子式。那于子式的话，比如说我们来看看一个问题。你写一个行列式。比如说我们来看看一个行列式。但中午一定要休息一会儿。

每天的话，这个我觉得睡眠得保证好，没有那样拼的啊。你在学的时候的状态一定要非常好。学的时候状态一定要非常好。用最好的这个状态去学。然后休息的时候该休息的话，一定要好好休息好了，我们来继续吧，我们来看看。那在这里面，比如说我们看看。如果这是一，这是二，这是三，

这是x，这是y，这是z，然后这是四。五六。那么，同学们想想一个问题，比如说我要算这个位置。啊，这个位置什么叫余子式呢？这个位置当中我们要干嘛呢？我们要在这里面当中去掉了这一行。啊，去掉这一行。然后再怎么办？

你要去掉这一列。去掉这一列的话，你再把这一列去掉。而且还要去掉这一列。去掉这一行，去掉这一列，我们所得到这个结果。所以它是个什么情况呢？它是这样的一个问题。好，我们来看看这个人。啊，这个行列式那这个行列式，比如说我改几个啊，改成一。

改成二。改成三。改成四好，我们来看看这个人。比如说我要进行求哪个位置呢？我在这里面当中，就想继续去求这个位置。啊，我要去求这个位置，我求这个位置的什么东西呢？我要求这个位置的代数余子式。你怎么求啊？我就在这里面当中，我要去掉这一行。来把这一行去掉。

对吧，把这行去掉。把这行去掉了之后，而且还得把这一列去掉。所以啊，最后我们来看到。啊，就看这几个位置。就是去掉这一行，去掉这一列，你所得到的这个什么呢？你所得到的这样的一个行列式。那所以说最后的这个行列式就是一二三四，这个行列式。能想清楚吗？

我们就算你最后要算的话，你其实发现一个事儿，我就要算这个什么一二三。三四这个行列式。这是这个问题，那么接下来我们就再继续一个事情，你想想。那如果说我把这一个人。改成。xyz.对吧xyz。那你告诉我这个未知数的代数，余子式变了没变？没有变，因为这个未知数的代数余子式跟这一行这一列的元素其实没有关系。

你把这一行这一列的元素变了，其实对这个人的这个代数余子式和余子式，它是没有什么关系。能想清楚吧，没什么关系，一点影响都没有。能琢磨清楚吗？好，这个点呢，我们就讲到这儿。那么，接下来我们就继续，我们再来看下一个问题。那如果是代数余子式呢？余子式我们通常用mig表示那代数余子式是用aig表示。

它是负一的I+j倍的mij。好，这个人他的前面呢？又多了一个正负。就是你这两个东西相加是偶数，我们相等你相加是奇数，我们成相反数。所以正负你正负，不会影响为不为零的，所以大家告诉我这个位置处的代数，余子式跟这一行这一列元素有没有关系啊？也没有关系。没有关系，所以注意啊，这个未知数的代数余子式跟这一行这一列的元素没有关系。

记清楚把这个问题啊，你想清楚。好了，这是我们讲的这样的一个重点，然后我们再来看看行列式的展开性定理。哎，行列式展开定义。那行列式的展开定理啊，我们有按行展开定理，也有按列展开定理。就是你发现，比如说我按行，我随便挑一行，比如说我挑这一行。我挑第二行，

行不行也可以，他这个人其实就等于这一行的元素，乘上对应位置处的代数余子式。乘上对应未知数的代数，余子式乘上对应未知数的代数，余子式乘上对应未知数的代数，余子式。该行元素乘上该行元素对应的这个代数余子式，你这个东西一加和其实就是个行列式。你随便选啊，你可以选这一行，你可以选这一行，你也可以选这一行，你可以选这一行，无所谓，

选一行就行。那他也有案例展开呀。我在这里面当中，比如说我就取这一列。那取这一列的话，其实就是第一行，第二列a一样。第二行第二点a2第三行第二点a三二第四行第二点a四二。对吧，你有暗行展开，你也有暗列展开。无所谓，随便挑一行，随便挑一列，然后该行元素或者该列元素乘上代数余子式的加和就是行列式。

但是我们选择肯定有选择的标准呐。你想想，如果在这里面当中，这些元素都为零。那这些东西不就没有了吗？这些东西没有了之后，不就留下这一项了吗？非常的简单，所以啊，我们在这个展开的过程当中，非常喜欢零比较多的行和列。对吧，零比较多的这个行和列。但是有的时候的话，这个行列式里面当中也没有那么多的零，

也没有那么多的这个什么啊，你能看得出来，所以我们就需要进行去化简。我们考试非常喜欢这样考。非常喜欢考。所以你琢磨一下这个问题，比如说我一个四阶行列式。我四级行列式，只要能出现三个零。就好做了，如果你发现这是一个三阶行列式，三阶行列式，只要能出现两个零。那就太简单了。所以大家注意，

我们有的时候会通过这件事情把这个类型问题进行去，通过行列式的性质把它转换一下。你这里面当中出现零比较多啊，就非常简单了。那么，接下来我们就来看看一个重点问题，我们来谈谈代数余子式的线性和问题，注意这是会考的。这是高频点。所以说我们刚才从上课一直到现在会单独进行去出题的点。啊，有两个。哎呀，好好听课，你这个梗一点都不好修，

对吧？来那么接下来我们就继续吧，我们来看看。那这个代数余子式的这个线性和我们再从上课啊，到现在有两个题型非常的关键。一个题型是什么呢？一个题型就是我们刚才那个找三次方那个题，你还记得吗？哎，这种题会直接出题的，想清楚，这种题会直接出题的。那还有一种题是什么？还有一种题就是这种。啊，

这种题是高频重点题，那么接下来我们就继续我们来看看这个人，你怎么做呢？你发现这里面当中啊，这是一个行列式。我随便来啊。比如说我要求解什么？我要进行求解。第二行的第一格。第二行的第二个。第二行的第三格。第二行第四个，那么这里面我们就要进行求解，比如说这是k1。k2k3。

k4好了，我们看看我们在求什么？我们在求解。这一行代数余子式的线性和吧。对吧，你这一行代数余子式k被它。k2贝塔。k3倍塔。k4倍塔。我们在求解这一行代数余子式的线性和。那么，你求解这一行代数余子式的线性和你可以怎么办呢？大家会发现。你这一行的代数，余子式的线性和你告诉个事情，

跟这一行的元素有没有关系啊？代数余子式跟这一行有没有关系？没有关系。有啥关系啊？你把这行怎么办？你在上面随便换。你想怎么换怎么换？你爱怎么换怎么换。你无论换成什么。这几个元素。就这几个人，他都不会变的。无论你怎么换，它都不会变，但是同学们想想我怎么换最简单的？

而我进行去挑着它的系数环。我就换成它的系数k1k2k3k4的时候。那就牛了。因为无论怎么换，它们都不变，这几个不变，但是一旦换成这个系数，那就是k1。乘上这个不变的代数，余子式k2乘上这代数，余子式k3乘代数，余子式k4乘代数，余子式。这东西不就是这个行列式的结果吗？能想清楚吗？

所以说我就计算这个行列式就行了。那同理我们比如说我们再换。我想进行求解什么？比如说第三行第一个。第三行第二个。第三行第三个。第三行第四个。我们求解这个人。然后这个系数是多少呢？是x1x2x3x。你瞅这这个人。你求解这个人的话，你发现求的是什么？是这一列。代数余子式的线性。

到这一列，那我们都知道这个代数余子式跟这一列的元素有没有关系？跟这一列的元素也没有关系。诶，这是行是吧？不好意思，第一行第三列。第二行第三列。第三行第三列。第四行第三列。跟这个东西也没关系，那跟这个东西没关系的话，你发现我把这几个人。我想怎么变怎么变。我爱怎么变怎么变啊，

无论我怎么变。我想怎么变怎么变。变成多少它都不变。那我怎么办呢？我就把这个人改成x1s2s3s4的时候就等于他。所以说这种问题其实非常简单，就是某一行代数余子式的线性和问题。某一列代数余子式，线性和问题，就把这一行或者这一列的元素换成它的系数，求下这个行列式就行。这个非常容易啊，你想怎么做怎么做？好，这个点呢，

我们就讲到这儿，然后接下来你去看一下这个题，把这个题完成一下。行吧，我们稍微休息会儿吧，然后课间休息过程当中，你把这题做一下幺幺二这个题。可以吗？好，稍微休息会儿吧，一会儿我们继续。课间休息做这个题啊，把这个题完成一下。可以吗？好休息会儿吧。

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