17.冲刺串讲17-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:08:13

好，接下来我们继续吧，我们再来看看这个类型问题啊。呃，这个独立性的问题啊，刚才我们讲过了，只有什么独立的时候联合分布率才会等于边缘的分布率的乘积，这是你要稍微注意的。那么，接下来我们来看看这个补的这两题，你先做这个题吧。这种题非常的简单啊。我们一看你一标这个东西是个离散性随机变量。对吧，你这个一标离散型随机变量。

然后一看这是几个人的事情，两个人的事情要求几个人的事情，两个人的事情，两个事情就求联合就行了。所以立即在这里面当中画个表，这是x这是y，你画的话，你发现那这个部分的话是零，这是一然后。然后这是负一，这是零，这是一对吧？这个结果。那么所以说接下来我们来看看这个问题，你就把它做一下，

然后把这个人的边缘啊摆在这儿，然后这是三分之一，然后这是三分之二。这是三分之一，这是三分之一，这是三分之一，我们现在的一个问题就是。很多同学这样说的，他说那这个点不就三分之一乘三分之一胡扯。人家没有告诉你独立。没有告诉杜丽，你千万不要这样做。那这个题怎么办呢？这个题用这个信息。你去看看哪些位置的x方等于y方。

你是零的时候，它是0x方等于y方。你是负一的时候，它是1s方等于y方。这个位置，而整个表盘加起来才是一你三个人就加起来是一那你太牛了，那我们剩下都是零了。那我们剩下都是零的话，这三个位置就可以做了，你数这一家三分之一，你数这一家三分之一，你数这一家三分之一。那么，现在让我们去求s+y=1哪些位置？s+y=1啊零的时候加一是一一+0的时候是一。

所以说这个结果等于零。能想清楚吧，好这种题非常的简单，就是考的就是送分题啊，而且比别的题啊做的快很多很多。过去了，可以吗？来那么接下来我们继续，我们再来看一个题。好这个题，然后我们再来看看这里面当中啊，补充的这个题啊。那么，首先他告诉我们，他说的是这俩人独立。

我们先要进行瞅整个表盘的话，你发现零点四+0点一是零点五，所以说我们这里面当中的a+b。它就是零点五。啊，这个结果。那么现在说这两人独立，这两独立的话就是共同发生的概率。我们共同发生的概率。就要等于各自的概率的乘积，你等于零，然后再乘上我x+y=1。那么现在来看你这个部分是什么呢？你是零两个人加起来是一，你这个人不就是一吗？

然后这是s=0，然后再乘上多少s+y=1。好，现在我们要进行去找。那现在的话，这个s是0y是一的话，是不是a呀？所以说这块是a。你s是零的时候的话，这人是多少是a+0点四？然后x+y是一你零的时候，它是一你一的时候，它是零。啊，这时候它是a+b。

那所以说这个题就出来了。我们看这些东西是零点五吧，你乘过去二倍a就等于零点四b就等于零点一。好，这个题就结束，所以这种题你必须要拿分。你丢了，你就觉得可惜啊，非常非常可惜，好了，这是这个问题吧，我们就讲到这儿，然后接下来我们补充一个内容。把最后一个点讲完，那么这个板块内容我们就讲到这儿。

然后接下来我们再来看一个问题。你别说这个今年啊，这个知识点还挺有几率会考，因为在我们原来的这个真题当中，它也出现过。那么，在这里面当中，我们补一个。刚才讲到这个第四条。然后再来看。这第三条，第四条。那如果是二维离散型。随机变量。函数的分布如何求呢？

好，这个问题就是二维离散型随机变量，它的函数的分布，我怎么去求？哎，函数的分布。那比如说这里面，我们告诉一个事情。我举个例子。你在这里面嗯，比如说我们告诉这个。x和y等。联合分布率。那这个联合分布率的话，这是一。

然后这是二。这是零，这是一，然后这是四分之一。然后这是四分之三，然后这是二分之一，这是二分之一。我让你去求什么东西呢？我让去求z=x+y的分布。那么，首先第一件事情你发现。你s是个离散的，你y是个离散的。它们的函数肯定是离散的。这个没有任何的问题。

但是现在关键点一个问题点的话，哎，我问一个事情，离散的分布是什么？离散型随机变量要求分布是求什么？求分布率。连续型随机变量求分布是什么？求概率密度函数，这是要知道的。那么这个人我要求他的分布率。那求分布率的话，他想想想一个事情。二维的函数是几维啊？是几维是一维，它不是二维，

不信你思考一下，你看这个z。你是x+y。你x+y你看你是一的时候，我俩一加是一，你是一的时候，我这样一加是减二，所以你可以取一取二。二+0是二，二+1是三，你看你只有三个取值。你是一盘取值，还是一个表盘的取值啊？那很明显的话，在这里面当中，

它只有这三个取值。因此啊，它是一个什么？它是个离散型，随机变量。错题方法非常简单。看遍表盘每个点。你就看就行，先看第一个点x加y是一对应概率四分之一x加y是一加一是二对应概率四分之三。x加y的话，这是二对应概率是二分之一x加y的话，这应该是三对应概率二分之一，然后。把这个什么东西啊，把这个部分相同的东西合并一下，

立即结束了，所以非常容易一。二三，然后这是四分之一，然后这是二分之一，这是多少这个东西啊？也是诶，这是一个。四分之一四分之三。然后这是二分之一，二分之一。哦，我这个题出的有问题，不好意思。我怎么能这样出呢？

抱歉，那这个人的话，这是八分之一。啊，这是四分之一八分之一二分之一。表盘加起来是一啊对。干啥呢？都好了，我们看看第一个位置，八分之一。第二位置，你一加的话，这是四分之一，你一加的话，这是多少八分之一，

然后这一加是多少？二分之一，所以说接下来我们来看看这个类型问题，这是四分之一。啊，这是二分之一，所以这两个加呢？啊，这是八分之一，所以说这两个加，这是八分之三。所以说做这种题啊呃，难度系数不是说特别大，就是你在这里面当中做这种问题的时候。把这个方向先想清楚，

就是你在这里面当中要注意xy的函数，你是离散。我也是离散他们的函数，也是离散，而这个离散是一维的离散。一维的离散怎么做呢？我们就看遍表盘上每个点。把表盘上的每个点都要求出来。对吧，看遍表盘上每个点，但是现在有个问题，大家想想你看这个题。他说两个人是相互独立，俩人都是个离散型，随机变量。

让我们去求解什么？你告诉我这个东西算不算xy函数的分布？啊，算不算？算不算两个东西都是二维的，什么东西呢？二维的离散。它的什么的分布它的函数的分布。啊，算不算？那这就是两个离散的函数的分布。但是同学们告诉我，我们刚才说看遍表盘上每个点，所以说第一步要干嘛，第一步要把表盘求出来。

一定要把表盘你是零到零一零一，所以现在而言的话，这是零点五。这是零点五，这是零点五，这是零点五二分之一，所以而且这话这个人告诉一个什么说相互独立，这是点睛之笔。所以乘一下四分之一四分之一四分之一四分之一。然后接下来我们去看看z看遍表盘，每个点先看第一个点，最大值是几零四分之一。最大值是几一四分之一，最大值是几一四分之一，最大值是几一四分之一。

所以说，然后把这个东西合并一下出来了，所以z这个人就服从多少，你是零是一这四分之一这四分之三。好了，这个点呢，我们就讲到这，因此你要想清楚，对吧？你是个离散，我也是个离散，它们函数的分布怎么求？你是零散，我是零散，它的函数的分布是一维。

它的函数是一维离散型随机变量，那我就看遍表盘，每个点先求出表盘，然后再来做。能想清楚吧，好了，听明白了给我回复一把这个知识点，一定要会了，所以二为离散节还是比较简单。但是上次的话，那个那个题目啊，有同学做的不好，做的不好的，这个主要原因呢？你现在再进去去看看那个卷子，

你就会发现非常的简单。这个题为什么很多同学啊？做不好，我把它讲一下。你看一下这个题。这个题做的不好的，主要原因就是。他没有看出来这个人是什么？啊，这是什么呀？这是二项分布吧？对吧，就算你没有看出来它是零一分布。你也要看出来，它是二项分布给的，

就是二项分布，那给的就是二项分布，你得把这个分布求出来。进行了几次一次，要不是零次，要不是一次。然后最后一求的话，这两个人的概率都是二分之一。你得把它求出来，然后现在一看哦，这个东西是几个人的事情，两个人的事情，两个人的事情，你得进行去把什么？把这个表盘求出来。

两个人的事情需要进行去求联合。所以说现在的话，这是零，这是一，这是零，这是一。那么这个题的话，你看独立啊。对吧，这东西是独立啊，独立的话，这是二分之一，这是二分之一，二分之一，二分之一，

所以这是四分之一。四分之一四分之一四分之一，然后现在看说这两个东西相等你相等的话，不就是这个部分吗？所以一加是二分之一选c。好了，这个题啊嗯。不难对吧，你现在再进行看，脑子里面有货了，做题是非常痛快的。脑子里面空空如也，怎么做题啊？你做多少能错多少？如果脑子里面有货，

我把这个题做错了，哎，我发现哦，原来是这个点，我没有注意到查漏补缺，让自己变得更强。那有的人说哎呀，这个我这个脑子里面的知识点都有，但是我一做题哎，这个题做错了哦，原来如此，是我在这个上面没有注意到，我下次就有经验了。你要是做题啥都不知道。这个不知道，

那个不知道，那拉倒了。纯属拉倒。好，这个问题啊，我们就讲到这。那么，接下来我们再来看看最后一个知识点随机变量的数字特征。啊，最后一波内容，而我们在考研当中的随机变量，数字特征，我们只考两个人。一个人叫做数学的期望。我对你的期望是多少？

是不是这个事情？那还有一个东西呢，叫做方差。啊ds，你想想这个这东西啊，一看一开始都源于什么东西呢？这些东西一开始都源于赌博。我期望它是多少？我期望你，你看看这种感觉对吧？期末那么接下来我们来看看这个第一个问题。最重要的就是第一个人。这是最重要的。最重要的就是期望。把这个期望啊，

你得会算学会了期望方差就很简单。那么，首先我们先来看看数学期望的计算，注意啊，这个页面贼重要。那么其实这一次啊，我在这上面我就害怕很多同学还丢分。我就觉得有些东西特别不好意思。我怎么让你非常不好意思呢？我这次专门把这个东西啊，弄得贼详细，我这个东西先在PPT里面敲了一下。我又给你截过来。那么这个人你今天还记不住啊？你就稍微有点不好意思了，

我们来看看，接下来一个问题。期望的计算，那么在期望的计算当中，我们的核心重点，这里面当中啊，其实有三波。第一波就是一维的本身，哎，就是一维他自己，你不要再说代背了，数学还啥代背呀？数学公式记住，是你自己的，最起码的要求。

数学公式记住，是你做题的必要条件，不是充分条件。记不住，肯定做不会做题，但记住了，也未必会做题。所以说它是记住公式是一个底线啊，底线你看能达到没？好了，那么接下来我们继续吧，我们来看看数学期末。只有一维随机变量，我们才去求极光。一味去求其光。

所以接下来我们看看，首先第一个事一维随机变量本身。是一个一倍。然后第二事情是一维随机变量的函数。它也是一维。好这个人，那还有一个东西呢，是这个二维随机变量的函数。二这个这个表不要了。二维随机变量的函数。好了，那么接下来我们来看看这个。来一起来做，我们先看看第一个。啊，

先看第一个，那么如果给了一个一维随机变量。你发现这个一维随机变量是一个离散的啊，一维是离散的。那你看看这个期望怎么算呢？它会告诉你分布率。那分布率的话，其实就是对应的值乘概率。对应的值成概率。然后一直加你加到多少呢？加到最后一个人对应的值乘概率。啊，这个非常简单，对应相乘再相加，其实这块儿能出一些非常漂亮的题，

比如说跟级数挂钩，但是我们不考级数。对应相乘再相加。然后再来看第二个人，连续性连续性，请注意人家告诉的是你的概率密度函数，听懂了吗？一定是这个人。那如果一个题告诉分布函数呢？你得求出概率密度函数。然后再来求。那你看我要求x的器官。就是负无穷，到正无穷用x乘，以我的概率密度函数积分。

对吧，那么取景信息我再说一遍，我要求x期望。就是用x乘以我的概率密度函数的积分。所以说这块的考题啊，你发现老生常谈的题，比如说我给的概率密度函数里面当中有一个未知参数。你利用归一性，把这个未知参数求出来。把这个未知参数求出来之后啊，那这个概率密度函数就具体了。或者而言的话，我们还可以考这种，我就不给概率密度函，我给分布函数，

你分布函数求导就是概率密度函数。所以要求x的期望就用x乘以概率密度函数的积分。听得懂我的意思吗？好，这是这个问题，把它想清楚。那么，接下来我们再来看第二件事情，那如果是函数的分布呢？你看第二种函数分布。那么就说我如果是函数分布就是。你这是x我要求你函数的这个情况。那函数的期望，比如说我们要进行求什么呢？我要去求哎，

这个x这个函数它的一个情况。那函数期望你比如说我举个简单例子。e的什么？x方是不是它的函数？那这个怎么求呢？你发现es的话，我们是这样把每一个人对应的这个什么对应这个结果求出来。然后再乘上对应的概率。把每一个对应的这个结果求出来。我再乘上它的概率。把每一个对应的这个结果求出来，再乘上概率，这一定要记住啊。如果是平方的话，你看我把第一个数的平方求出来，

乘上概率。第二个数的平方求出来乘概率。然后一直加我，再是什么把这个人的平方求出来，你再乘上概率这个人。好，这个情况，所以说这样的话，我们就把这个分布率求出来啊，这个什么呃，这个分布率有了之后，我们就把这个期望求出来。然后再看连续性，连续性比较关键。我告诉的还是x这个人的概率密度函数。

我告诉s的概率密度函数，我让你去求这个函数的期望怎么求呢？你看这是函数，我们是这样做的。你要求x你这块是小S，你要求gs你这块是小gs。所以说我们就对应的进行去替换就行了。那你比如说我要进行求的是什么？我要求的是x这个人，那就是负无穷到正无穷。用x乘上我的概率密度函数的积分，注意是概率密度函数，如果你看你要求平方。你平方的话，这是负无穷到正无穷，

你就把这块儿改成平方，然后这个人的积分。如果你在这里面当中，你看。三次方就是负无穷到正无穷，把这个改成三次方，你再来积分。那如果这个人的话，我们比如说我们求什么呢？呃，求一个。比如说x分之一。那s分之一就是负无穷到正无穷啊，这是有点反常气氛的。比如说我们要求是什么e的大S？

你就把这个负无穷到正无穷，把这个改成多少一的小S，然后任人计分。能听懂吧？就是你这里面当中，你一定要进行去对应。你求谁？你这块就是谁？乘上它的积分，把这公式给我记住啊。公式一定要记住，公式记住了之后就好做题了，我知道概率密度函数。然后再来看，如果是二维随机变量离散型。

我们只会考离散型。那么在这里面，我们只会考离散的问题。那二维的离散的这个函数。对吧，二维的离散的函数，它怎么去求呢？你比如说这里面，我们告诉你一个什么？这个联合分布率。s1一直到多少SN，然后这是y1一直到ym。那这块儿是p。然后这是pem。pne.

PM啊，这个什么pnm？好，这个情况那怎么去求呢？呃，这个非常简单。你还记得这个函数是一维吗？我们刚才说把每个点处的这个人求出来，对应的就是他的概率。那现在我们就直接这样做呗，把表盘上的每个点的这个人求出来。啊，每个点我都把这个什么都把这个结果求出来。然后再乘上它对应的概率。然后你把整个表盘一加就行了。

把整个表盘一加就可以了。所以这件事情非常容易你，比如说我们像刚才这个题。拉回来，比如说就这个题。我改一下，如果让你去求什么东西呢？我把这一行给抹掉。我让你去求。e然后这个最大值。他这个人你怎么求啊？怎么去处理呢？那非常好啊，好做啊。我们要做二维离散的函数的时候，

我们要知道联合分布率。把联合分布率求出来。然后这个时候的话，这是零一，这是零一。然后这是零点五。这是零点五，这是零点五，这是零点五，点睛之笔是独立呃，这是四分之一，这四分之一。这四分之一，这四分之一。然后怎么办呢？

我们接下来就可以做了，你要去求的是什么？你求的是这个最大值，它的一个期望来看遍表盘每个点。这个点零和零的最大值是零零乘四分之一。零和一的最大值是一一乘四分之一，就不用把那个把那个什么东西呢？把那个分布率求出来再求不用。然后这个最大值是一乘上四分之一，然后这个最大值是一乘上四分之一，就是看遍表盘每个点。能学会吧，好了，听明白了给我回复一吧啊，其实我不担心你学不会，

我担心你是会忘。你下去不要忘了。就这几种情况。是求什么一维的自己吗？是离散还是连续？是一维的函数吗？离散还是连续？还是二维的函数呢？二维的函数就把联合分布率求出来，看遍表盘每个点，不要再忘啊。你再忘的话，你都这个学这么久，把这个点一定记住。能想清楚，

其实你发现上课的话，我相信你肯定是学会的。但最终问题千万不要忘。一定不能忘。好了，那么接下来我们再来看看数学期末。那期望的这个人的性质。那性质的话，我们看看第一条内容。一个常数的期望是什么？一个常数的期望就是本身。比如一的期望是一，二的期望是二，三的期望是三。如果什么东西呢？

你发现你这是。c倍的x这个气泡。那常数就可以提出去。然后第三个人。如果这是x加减y的情况。期望而言，加减不变直接拆。然后第四个点。那么，第四个点的话，你要注意了。这点我换个颜色。只有当什么？x与y。独立的时候，

其实不相关就行，但是我们不学。独立的时候。乘积这个人，才会等于这个人的乘积。注意，当这两个人独立的时候，长期的期望等于期望的沉积，所以说这个期望的性质啊，你一定要把它记住。你看常数的期望是本身。系数提出去加减法，直接拆乘法的时候，独立才能拆。好，

这是我们讲的这个第二个点，再来看看方差怎么算？那方差怎么进行去算的呢？方差这样算第一，我们就不说了，我们直接来看看计算方法。方差这个人的计算是这样。我要算这个随机变量的方差。它是走算一下平方的期望。再算下期望被平方减。读作。平方的期望。减去期望的平方。所以说他的这样的一个目标是什么呢？他做题的目标就是两个人。

要去算一下平方的期望，要去算一下期望。那你告诉我，期望会算吗？平方的期望不就是函数的这个人吗？这俩都会算一代就出来了。所以叫平方的期望减去期望的平方，然后再来看看这个人的性质。那这个人的性质啊，那么首先我们看第一条。一个常数的方差是谁？这是领域方差，这个人打不打括号无所谓啊。然后第二个事情。有一个系数呢。

有一个系数的话，这个系数出去变成平方。你比如说我们看。四倍的s这个人，你出去就变成16倍的ds。那还有这个第三个人。你x后面加减上一个常数，这个常数是不要的。你比如说我们再看你这是2 s+4。钠其实就等于d2s。然后等于四倍的这个ds。然后第四个事情。你发现加减法拆起来都很困难。只有当什么东西呢？当x与y独立的时候。

然后这个des加减y。它才会等于ds+dy。两个事情注意这一块东西一定是正好把它给我标清楚嘛。别管你是加还是减，因为des加减y的实际公式等于des+dy再加减上二倍的斜方差。独立的时候，这一项就没了，所以说前面一定是正的，你不用管这个事儿，你记住就行。只有他们独立的时候。独立的时候，这个人对吧？只有独立的时候，无论是加减，

一律变成加，这因为这这个东西是个易错点。啊易错点，那我问一个事情，那如果在考研的时候考到什么东西呢？哎，那这个乘法怎么办？诶，这个人怎么办？你乘法怎么做？你怎么处理啊？你只能按照整体做，拆不开的。你只用去算。算什么东西呢？

乘积的期望啊，平方的期望减去期望的平方。啊平方的期望减去期望的这个人的平方。所以说这个东西啊，你一定要会做。你比如说我们来让你去算一下什么x乘上e的x这个人。你就要进行计算。我们这个什么这is乘上es，这是平方的期望。再减去这个期望它的平方。那这个会算吗？第一个人就要去算x方e到2x，这个期望会算吧？然后是x乘上es期望会算吧。函数的嘛。

你注意一下这个问题就行。所以这就是我们在这里面学的这个主体部分的内容。学会了吗？好听明白的给我回复一。掌握清楚给我回复一。就这些内容，你要会算期望。你要知道期望的性质，你要会算方差，你要知道方差的性质。好，这是我们讲的这个重点。然后最后再补充一个事情。要不这样吧，我们先练几个题，

我们一会儿再补充。这个题，这个题。这个题。这个嗯。这不行，好，我们先来看看。你现在翻到二零二。我们先来看看这个题。那你看第一个人。这3 s+5。利用性质，那其实就是三倍的es，我的这个人期望就是就是五。

好这个人，然后再算一下这个es。es的话，这个对应相乘负的零点八。这是零，然后这是零点六。然后这个结果再加上我自己算。这个结果会做吗？好，这是这个问题，然后再来算方差，你方差这个人的话是d。2 x+3。你这人怎么做三就不要了，直接是d2s。

所以等于四倍的这个ds。那DNS怎么算呢？dic要算平方的期望，要算期望。这个人平方平方期望的话就是第一个人平方是四×0点四。然后这是平方零×0点三。屏风是四×0点三。然后这个人呢，是负二乘上零点四。零乘上零点三。然后这是二乘上零点三。这个算出来是多少？四四一十六。然后这是二点八。对吧，

这是二点八。然后这个运算的话，这是负零点八就是负的零点二。所以说这个结果的话就变成多少？来平方的期望减去期望的平方零点零四，你自己算。就啥好打脸的你这。这么毫无运算难度系数啊，它不值得你打点。这这个题真不值得打点啊。你是故意的啊。啊，跟我开个玩笑。啊，这个东西没啥好打的。

好，这个题我们就讲到这，然后我们再来看一个。你看这个人。那这个东西的话，他说从这四个数当中啊，任意取两个之积为y。那这个y是什么呢？你就可以在这里面当中啊啊，这叫枚举法。是吧，你可以枚举一下。枚举的话，你你是其实很像我们刚才那个那个联合分布，但是这个。

你不用把它当成联合分布。对吧，你这一次的话，第一次的话，零一二三。你这也是零一二三。那么，在这里面当中抽取两个。那这是零乘积嘛？是零零零一二三？零二四六零三六九。但是你要注意。这里面当中随机的抽两个数。抽两个数是没有这一项的。对吧，

你不能有这一项。你不能在这里面当中，我抽了两个零，那不可能。你想是不是？所以说这个情况我们把它看看。那这里面我们来算一下这个y。那你告诉我这个y有几种可能性？你抽两个数吗？随机的抽点。这个气味有点问题的吧。怎么抽呢？所以以前出题都超不严谨。这题出的非常不严谨，那怎么出呢？

是抽一个放回去再抽一个。还是一次性出两个呢？这个题。你要是真的是有些同学在考场上，容易让人想的多呀，这很不严谨啊，你这以前这这这破题啊。随机的抽取两个。你咋知道可以祝福？看不出来，肯定一次性抽两个。行吧，我们来看看，但他得说啊，说清楚。

所以现在的考题很少会出现。那么，现在我们看看有几种有零？啊，有这个二有这个三。有这个六。啊，这也是六。这个那么现在我们看看这个情况。有几种可能性呢？总共的话是这个16，抛开四三四一十二。十二种零有几个零有这里面当中的六个，所以这是二分之一。那二这个人有几个呢？

二这个人有两个，这是六分之一。三这个拥有两个六分之一六分之一。然后让我们去求这个期望，这个期望非常好算呃，对应相乘零一乘是零这三分之一这二分之一，这是一一加就行。然后要算方差，还要算平方的情况，第一个平方是零不算了。这平方是四四的话，只是三分之二。这平方的话，这是九。九的话，

约掉一下二分之三。这平方36，这也是六。所以说这个方差这个人的话，他就等于。平方的期望减去期望这个人的平方。平方的期望减去期望的平方，那就出来了。好，这是这个问题，那么接下来我们把这个剩下一个知识点，我们再来讲讲。讲完这个知识点呢，我们就下课可以吧？今天呢，

我就讲到这。说实话，我实在太饿了。我们今天呢，这个部分还剩下几个题，你去做一下下节课，我们呃差不多20分钟左右啊，就把这个东西给讲完了。可不可以啊？下节课呃，20分钟啊，把这东西讲完，然后我们就进入到线性代数啊，这个问题。那么，

接下来我们来看看这个下面几个点。还有一个问题，那就是常见分布的期望和方差。常见分布的期望和方差。那么在这里面，我们先看第一个人。零一分布的期望是多少？零一分布的期望是p。零一分布的方差是多少？是p倍的一减p。然后再来看看二项分布。二项分布，这个人的期望是多少？这要记住啊。二项分布的这个期望。

是np。它的方差是np倍的一减p。好这个人，然后接下来我们再来看下一个问题，泊松分布。泊松分部的话，这个人你发现他的期望是多少？期望是这个参数。方差也是这个参数。啊，期望和方差都是这个参数好。好好听课，然后是几何分布？几何分布的话，你发现这个这个其实泊松分布是最简单的。

然后这个几何分布呢？是这个最容易忘。这个最重要就是几何分布，是所有里面最容易忘的，还有一个东西就是那个均匀分布的十二分之b减a的方，那个东西也容易忘。就这俩人是最终吧，这期望是多少？p分之一方差多少？p方分之一减p不要不要把它忘了啊，这个忘了很麻烦。这个是最重要，但是他考的几率不大。然后下面还有一个均匀分布。均匀分布这个人期望，

期望是在终点，这个人很简单。方差是多少？是十二分之b减a的这个平方，这个也容易忘。啊，就这个人，你现在想想呃，在这里面。前面都好记，你就这这个这个方差很很麻烦。然后还有一个指数分布，指数分布的期望是多少？方差是多少？期望是多少？

别再手出汗了。你发现手里都写不下。来期望是多少？指数分布的期望是多少？拉姆达分之一。方差是多少？方差。方差是多少？你不记得下去自去啊？拉姆达方分之一。好了，这个问题下去把它好好看看。一个是它分之一，一个是平方分之一，然后最后一件事情就是正态分布。

正态分布这个人最简单。第一个位置填期望。第二个位置填方差。第一个位置填气泵。第二个位置填方差。其实这个东西的话，你去看看那个强化的那个部分是不是最好很好看呢？对吧？因为强化的话，这个。有特别大的一张表，你就把这张表给记住就行。都在这一张表上。啊，就在这儿。

对吧，都在这一张表上，所以你把这一张表你去把它记住就行。啊，你这写到手上那写不下吧？那也不可能说所有的东西你都这个板块儿内容你都记不住。好了，这是这个问题。可以了吧？好了，这个点呢，我们就说到这。不至于吧啊。你你这个冬冬天考试，你穿一个短裤去考，

你这也太有嫌疑了，对吧？一看的话，你这个你这这个作弊可能性就很大。一看就有嫌疑。好了，这是这个，我们就说到这吧。所以说这几个点呢，你下去把它好好看看啊。好了，就是这个。行吧，那么这个板块我们就说到这，然后的话，

你今天下去把这几个题做到。啊，还剩下这个幺九三这个题幺九四幺九五幺九六幺九七把它做了，然后我们的课程应该是明天的，这个下午是吧？明天下午一节课，然后的话，明天下午我们就把这个板块内容讲结束了，然后就正式的进入到线性代数的学习。啊，我们信息代数一定要注意啊，把这些东西该记的要记。那最近两天的话，可以把这个概率的部分的东西啊，稍微复盘一下吧。

一定要复盘，把这个概率的东西复盘一下，都装到自己的脑子里面。啊，都要把它记住，不要再忘了。呃，21期的话。我今天下午问的话还没排完，没排完的话，这个。他们周末是休息的，然后的话，这个下周一我催一下吧，下周一的话，

他弄过来之后，我们再叫一下啊。下周一周二的话，我们就给你们发过去了。所以今年还是挺早的啊。好不好啊？下周一的话，这个周一或者周二，然后我们就可以给你发过去了。那行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这儿，把这些问题啊，好好进行去做一做，然后明天下午的时候我们再把这些题讲了。

然后就直接进入到线性代数，也是我们最后一个板块内容了。那么下个周我们这些板块的东西啊，都讲完了。啊，下周的话，我们所有的这个第一个阶段的课程呢，就全部结束了，那紧接着就是我们的大模考了。所以说这个周的这个周日呃，今天下午大家应该都看到了这样的一个呃，就是那个群里的通知。周日的话，这个周的话先不测了。能听懂吗？

哎，这周日先不测了，然后的话我们刚好是下周四测。下周三的话，我们把所有的这个问题都讲完了。那下周四测，下周四的话，我们可以都一起进行去测，那个二一年的卷子，二一年卷子比较简单。啊，其实的话，这个二一年卷子，但是是最近几年的真题啊，这个质量也是嗯，

可能稍微的简单一点，但是这个质量还是比较重要的一套卷子。所以下去好好做做好吧，那么今天课程呢，我们就讲到这儿。可以吗？好好进行去梳理一下，把这个相关性的问题啊，好好进行去整理整理，我知道这个更加重要的是。二二年的卷子和二三年这两套卷子啊，这两套卷子是很多同学可能会更加关心的两套卷子，尤其是二三年的卷子啊。到时候我们再说。那行吧，

那么今天课程我们就讲到这儿，自己下去把这个相关性的问题啊，好处理处理。你放心吧，你好好听，问题不大。那行，那么今天课程我们就说到这二四年，我给你发过去模考，你现在也不用学了，那还有什么模考的啊？好，我们就说到这吧，好下一个继续。

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