17.冲刺串讲17

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:08:00

好，接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测试下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请给我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们准备开始了。那么今天我们就继续开始我们的冲刺大串讲的课程，那么上次过程当中我们刚好核心重点把这个离散性随机变量，它的包括它的分布率。还有已知分布率去求分布函数，已知分布函数求分布率讲完了，然后又讲了这个连续性随机变量，我们讲了这个概率密度函数。

讲到这个分布函数，讲到这个概率密度函数和分布函数之间的关系，包括连续性随机变量，它的分布函数的特性。那这些知识点呢？你必须要记到脑子里面，那么在这个最近段时间呃，因为我们有些同学可能参加了一些模考。我还是想说一下这个事情，你注意你手头啊，复盘不能停啊。能听懂我的意思吗？哎，复盘不能停，那么尤其是我们听这个冲刺班的同学，

我相信同学们，我们因为这个课程的这个时间呢，是最近的。对吧，你刚好听完这个课程，然后再进去去模考，这个时间比较紧，所以在这里面当中，我想强调一个事情。呃，包括这个前几次模考，有些同学效果非常不好，不是说因为这个题不会做，不是说因为这个题，你曾经不会做。

有可能这些题啊，你曾经做，而且做的还很好，你学的还非常的轻松，那就是什么，就是忘了。啊，就是忘了，但是到了这个阶段，有些同学心态上啊，导致了很多同学的呃，这个一些问题的变化。要是这个时间呢，放着六月份，七月份忘了捡回来不就行了吗？

但是现在也是这样。忘了。你就捡回来不就行了吗？对吧，你就把它捡回来，但是有些同学到了这个阶段，可能因为我们的课程比较多，不光是数学，你还有逻辑，你还有这个写作，你还有这个英语和政治专业课。所以对于我们考三九六的同学呃，因为考试的这个科目太多了，导致很多同学这个心态不是特别平衡嘛。那忘了之后啊，

你就自暴自弃，你这可不行，所以同学们。两个问题，一个事情复盘真不能停。对吧，你脑子里面当中一定要注意你的强化讲义。或者是冲刺讲义，我以前就讲过。基础加上这个强化或者冲刺，这两本把它串清楚问题，点一点都不大，所以对于我们三九六同学，你发现这些题啊？考来考去考过来考过去就这些知识点。

东西也不是说特别多，只不过有些部分的题啊呃，一旦的话，这个运算量加大了，那确实35个题啊，在一个小时。呃，30分钟内做压力很大，但是你发现有些部分的这个题目啊。综合下来，难度系数不是说呃超级大的那种。所以一定要想清楚，你要多进行复盘，把这些东西都装到脑子里面，不能忘，

你千万不能忘，但是通过一次考试了之后，有些东西忘了把它捡回来。你捡回来就行好了，我们不多说了，那么今天课程呢，我们继续开始。所以我想说什么事情呢？为什么一开始上课就讲这个事儿？因为今天的课程非常关键。那今天的课程呢？一个事情是常见分布。那这个部分我们在考研的过程当中啊，一般是一到两道题，然后紧接着是二维离散型。

那么，这个情况一般是一道题，然后就是一个期望和方差。一般情况下是两道题，所以说我们总共就考七道题，那这七道题在这节课过程当中一般是能占到四到五道题。所以非常关键，我为什么一开始上课就讲这个事情呢？我希望你把这一遍当做成最后一遍，学能不能就不忘了？一直坚持到12月24号那天11点的30分。可以吗？能坚持到这时候吗？对吧，31分的时候你失忆了都行啊，

你啥东西都不记得都行。想分布函数分布分个鬼函数对吧？讲到这个常见分布，什么常见分布，我咋不知道那忘掉都行。那都可以，但是这之前你千万不能忘啊，这最后一遍，那么接下来我们继续吧，我们来看看下一个问题。那么，首先我们先来看看这个题型，41部分内容啊，常见分布。那常见分布这个好了好了，

听课。那么，首先我们先看看常见分布，那常见分布这个人呢？呃，我们的重点，其实你发现为什么选常见分布呢？因为我们上节课过程当中学了两个事情，一个事情叫做离散性随机变量。对吧，离散型那还有一个东西叫做连续性的随机变量。离散型随机变量，我们就知道了分布率。我知道分布率，我就知道诶，

他能取多少人？取哪个人的时候的概率是多少？比如说我掷色子，掷色子的话，你发现它的取得点是一二三四五六。取这个点概率六分之一，这个点六分之一，这个点六分之一都是六分之一。就是我一旦知道分布率，我就知道我娶多少人。然后每个点处的概率是多少？那这个情况它就出来了，所以你看取得结果。还有它的概率结果。如果是连续性随机变量，

我就知道概率密度函数，我知道概率密度函数，我就可以通过积分进行求概率。所以说，离散型随机变量，它的核心重点是什么？是分布率，连续型随机变量的核心重点是概率密度函数。好了，那么接下来我们先来看看离散型的常见分布，有些非常常见的就是我知道这个分布的名字，我就知道它的分布率或者概率密度函数是什么。所以同学们，这个板块内容记忆的东西啊，比较多一点。

那么，首先我们先来看看离散型，离散型当中我们重点而言，学到离散型你就要知道一会儿你要把这个人的分布率记住。能理解吗？一定要把它的分布率记住，比如说提到零一分布，哎，它的分布率长，这样子我能写的出来。如果提到二项分布哦，它的分布率我也能写得出来。如果提到这个几何分布，我也能写得出来。提到泊松分布，

我也能写得出来。你看上节课呃，应该是上次考试，上次考试有些同学居然怎么办？居然在这里面当中连一个二项分布都认不出来。你这你说说这这种东西怎么去学呢？所以有些同学一直在这个啊，这个做题啊，做题啊，做题你发现你没有一个根儿。就这个根本的东西，你要把它记住。你知识点的东西千万不能忘。你的强化讲义或者是你的冲刺讲义，再加上基础讲义，

这些知识点一定要装到脑子里面。你提到这个东西，你得想得起来好了，那么接下来我们一起来看。第一个事情，邻域分布。那么，首先零一分布的分布率长什么样子呢？零一分布的分布率长这样子。说这个随机变量，它服从。这个随机变量的取值啊，只有两个人。要不然取零，要不然取一。

这就叫零一分布。一般我们会说只有零一分布的话，其实只有两个结果，要不然怎么办？要不然成功了。要不然怎么办？要不然就失败了。啊，要不然成功了，要不然失败，只有这两种情况，一般把成功叫做一。失败叫做顶。成功的概率是p，失败的概率是一减p。

所以你发现零余分布只有两个结果，这叫不成功便成仁呐。只有两种情况，比如说我掷色子。掷色子怎么进行去？说到零一分布呢？按照一这个点。直到一这个点的概率是六分之一。值不到一的概率的话就是六分之五。只有这两种情况，要不然成功了，要不失败了，哎，这个东西就要零一分布。能想清楚吧，

所以说题目当中一旦说零一分布咔的一下，把它分布率写出来，它能取零或者取一。取一的概率是p，取零的概率是一减p，能写的出来吗？你写出分布率就能求概率了，好了，这是第一个人。然后接下来我们再来看看第二件事情，二项分布，这个很重要。好，我们来看看二项分布。他的问题问的是什么呢？

就是有些同学，他可能会对吧，说了二项分布，他会。但是有的时候人家不直接说，人家就用一个问题的形式，比如说一种实际性问题，人家就没有直接说。所以你要读出来这个味道。那什么叫二项分布呢？就是把一个实验重复的进行了n次。要注意独立的。每次是独立的，重复的进行了n次。比如说你掷色子。

我直到一这个点的概率是六分之一，我把它直了几次呢，我直到四次啊，每次是独立的连着值。所以你发现独立重复的进行了n次。啊，然后的话，每次成功的概率是p问你成功了多少次？能想清楚吧，把一个事情重复的进行了n次，每次成功的概率是p哎，你成功了多少次啊？这个东西啊，就叫二项分布。所以二项分布一般我们怎么写呢？

这个随机变量。它服从二项分布，二项分布用b表示。它最重要的有两个参数，一个参数就是你进行了多少次啊？你每次成功的概率是多少？好了，这两个参数是最重要的，一旦确定了这两个参数，那对于二项分布的概率啊，就可以求解了。所以这两个参数很重要。那么，接下来我们看看它的分布率。好，

我们一起来写。那这人怎么写啊？那非常简单，来吧，我假设我成功了几次啊，我成功了case。好，这个人我成功的case怎么写呢？就是n次里面取了case。每次成功的概率是p，那就是成功了case，然后失败的概率是一减p，失败了n减k次。好，这个情况。

所以说这个问题啊，立即出来了。你看我成功了kiss n次里面取kiss，这kiss是成功的，然后这n-kiss啊是失败的。那么，接下来我们来看看这个k的取值范围是多少？我能娶多少人呢？能从几个开始，我要不然成功了零次，要不然成功了一次，两次，三次，一直到n次。所以说这块类型问题的考法，

有的时候经常会考什么考反着考。对吧，反着考，比如说我说这个东西怎么了？这个东西至少怎么办？至少成功一次，那就是这么多，不好求。我们求这个人。能想清楚吧，把这个问题啊，你琢磨清楚，我记得。呃，上次考试啊，

考了一个这样的一个问题。说什么情况？说这个x。是服从b多少一二分之一，你看这有同学看不出来。那同学们告诉我，这个东西总的次数是几次啊？只有一次，然后成功的概率是二分之一，这谁呀？你可以算对吧？你总共的话就是一次，你要不是成功了一次，要不成功了零次，所以说这个东西的话，

你发现你看你算零。一次里面取零次成功概率二分之一，失败概率二分之一的零次方，那不是二分之一吗？然后另外一个就是二分之一，你看看这是谁啊？零一这不就是二项分啊，这个什么零一分布吗？所以说这个东西啊，它就是个零一分布，你看这个东西，你所以一定要想清楚，他有时候骗你，你这一骗你就骗着了。你这可不行，

好了，这个点呢，我们就讲到这。跟得上吗？所以你看如果他这样写，那就进行了一次呗，那一次要不成功，要不失败不就零一分布了吗？好了，这个点我们就讲到这儿跟得上吧，所以你看二项分布这个人。那么，所以如果比如说我们看到一个题，比如说他进行了三次，你就把它列下三次的话，

你就列零次，一次，二次和三次。他要让你算这个部分，你就这个部分算这个部分，就这个部分，你算这个部分，就这个部分好了，这个点呢，我们就讲到这儿。跟得上吗？呃，我觉得模考非常的有意义。就是这个发现了这个问题，及时的改正，

你看有些同学我这两天。我今天是最开心的一天。啊，因为昨天的话刚好四套模考卷考完了。然后的话，这个今天我刚才呃六点多钟啊，然后我刚才还发了条微博，我今天啊，我觉得非常开心。因为我收到了很多同学的私信，不再是那么的消极啊，我前两天我看到有些同学这个一些心情呐。发的一些消息，我觉得这里面我看的很难受，因为很多人跟着我学了这么久。

我看你这个状态摇摆不定，我非常担心，但今天我觉得非常好，好多同学跟我发消息说什么说这个通过几次模考。我发现了一些问题，把这些问题我都进行去整理了，然后进行去把这些问题都解决了，哎，我觉得提高度非常高。有些同学给我发了一个消息，说错了很多，然后就进行去把这个强化，或者是这个基础系统的进行去复盘了。然后再进去去考诶，效果也很好，

非常好，对吧？这才是真正的最后一个阶段，面对这个考试的这样的一个方向。好了，这个事情我们不多说了，我们继续吧，二项分布。所以二项分布一定注意两个事情，一给了一个题，要读出这个二项分布的这种感觉。我进行了多少次？每次成功的概率是多少？问成功了多少次，然后另外一件事情，

这个人的分布率要会写。分布列的范围一定要把它写对好，这是这个事情，然后接下来我们再来看看第三个事情，泊松分布。好，这个人那泊松分布这个人呃，首先我们看看怎么去写的，他这样写叫做x服从p。坡松吧，然后的话，这是拉姆达啊，注意啊，这个拉姆达是大于零。那给了这个泊松分布啊，

你最重要问题啊，它对应的这个分布率，你要把它写出来。这个分布率的话，其实就是x这个人等于k。s这个人呢？等于k。然后的话等于k的话，它的概率是多少呢？等于k的阶乘。然后是拉姆达的k次方，然后是e的负拉姆达次方。那这个k从几开始呢？这k从零开始零一二三一直下去，这个东西怎么推的呢？

因为分布率，它具有归一性，这个东西怎么推呢？它这个东西超过了我们的考试难度，这个人从零加到正无穷。其实就是丛林加到无穷大。然后这个k的阶乘lambda k次方e的负lambda次方这个人等于一。好了，这个点呢，我们就不说了，因为这不是我们的考纲范围内，你当然可以做呀，你把这个东西移出去。然后你再把这个东西移过去。移过去了之后，

这个东西啊，其实就是什么就是es的泰勒展开式啊es的泰勒展开的话展到无穷。写成无穷级数的话，其实就是k的阶乘分之一，兰布达这个什么是s的k次方？你给这个s取上兰布达就行，这块儿你不用管了啊，不会考到这儿的。考到这儿，这也太不讲武德了，对吧？好了，这个点呢，我们就讲到这儿分布率。所以说第一件事情人家说了，

哎，我是服从这个样的一个坡松分布，立即把分布率求出来。对吧，立即把这个东西求出来。然后这里面当中比较关键的一个信息是泊松，分布是从零开始，你注意了啊。对吧，它是从零开始把这个点要注意，然后另外一件事情泊松分布啊，它具有可加性。哎，这个点那具有个什么可教性，这个东西没法争啊，

因为又是一个无穷级束内容，你就听就行了，他这样说。他说如果这个x啊，你是服从拉姆达一的这个坡送分布。y这个人呢？服从这个什么呢？服从这个拉姆达二的波层分布，而且这两个东西啊，它是独立的。那这个时候的话，你会发现这个x+y这个人呢，就服从多少呢？兰布达一加上兰布达二的服从分布。好了，

这是这个点，你就知道就行了啊，比如说题目当中要告诉你，哎，这个人是服从拉姆达一的播送分布，这是拉姆达二的播送分布。那这个两个人，而且独立，那这两个东西相加就服从加和的补充分布，这个东西没法证，你们证不了。所以你就把它记住就行，我们到时候做这个十套卷里面，里面当中是有这种题的啊，稍微注意一下，

当然这个点冷门考点。啊，冷门点。那重点还是给了泊松分布，要把这个人的分布率把它写出来。能听懂吧，把这个人的分布率写出来。那么，接下来我们再来看看第三个事情。二项分布，你想想一个事情，比如说。你把我我给你讲讲这个事情，还有正态分布，不要瞎整啊，

没有讲的东西不要胡用。千万不要糊弄。然后正态分布怎么叠加呀？正态分布式，如果你服从正态分布，我服从正态分布，且相互独立摆到一起服从二维正态分布线性关系，服从一维正态。所以你不用担心这个事儿，冷门的考点，一会儿我再给你总结。那么，至于这个什么二项分布有没有？那肯定没有。你想想一个事情，

比如说我举个例子。当然，如果在一种特殊情况下，它就有了。特殊情况下就有了，比如说我举个例子。它是服从二项分布。二分之一这种具有叠加性吗？没有，你想想哪有什么叠加性？啊不不不，四分之一有没有没有？因为你进行了几次啊，进行了五次，每次成功概率二分之一。

你进行了四次，每次成功概率四分之一，你这什么叠加性呐？但有一种特殊情况。比如说做的都是同一件事情。你必须得保证这两个人干的是同一件事。你干成同一件事情的话，而且还得干的是同一件事情。能想清楚吧，你这个人在干这个事，进行了五次，每次成功概率是他你这个进行了四次，每次成功概率是他，而且独立，那不就相当于进行了九次。

每次成功概率是他吗？这脑子转一转就出来了。啊，这种东西不要背，千万不要背。离散型零一分布基础分布率二项，分布基础分布率那就可以了，泊松分布就记住分布率，知道这样的一个特性就行了。好了吗？同学们哎，这个点。所以你到底要学多少内容呢？你就把我讲义上呈现的这些东西，把它记住就行。

然后接下来我们再来看看这个第四个点几何分布。那几何分布？首先第一件事你要知道几何分布的问题，他这样问的，他还是什么？我独立重复的。进行了n次试验。哎，独立重复，每次是相互独立的，而且重复。然后每次成功概率是p，他问的是什么？他问的是d case你才成功。哦，

到第4 case你才成功，那这个分布率等于多少呢？他这样算，那么接下来我们看看这个事情。叫做x=k，这是最重要的。分布率才是最重要的，那就是什么？那说明前k- 1次都是失败的。而且还得保证最后一次成功。这两件事情要共同发生。对吧，你这个人。你这个中间乘法，因为的话，

这个是才算完成的这件事情。然后k从几开始呢？你不能是第零次才成功，第一次。第二次。第三次。然后这个人有可能一直成功不了啊，一直下去。好了，这个几何分布？所以离散型这东西啊，你就学这几个人。比较关键的。当然是这个人。还有这个一个人是二项分布，

你要会读出这个题目当中的味道。第二事情你要知道，这个泊松分布啊，说了之后你要会把这个分布率写出来。好了，这个点我们就讲到这，那么接下来我们再来看看连续性。连续性同学们告诉我，它的重点是什么？连续型的重点当然是知道它的概率密度函数啊。那么，首先我们先来看看第一个人均匀分布。区域分布怎么写呢？叫做I是服从。u然后这是a这是b。

有些的话，这个书籍当中也写的是什么？他写的是这样u，然后这样的一个笔。没有关系，为什么呢？因为你要知道一个事情好了，不要再说二维均匀。你又不会烤二维均匀。你在这里面不用老是这个，哎呀，所以说这个三九六的我们我们今年有些同学真的是我们被整的整的也是。老师进行去打一些这个擦边到这个数一数二数三部分的内容，老师擦一点擦一点。又不是说我们不会每次擦一点东西，

都是我们不要求的，这些东西一擦，我们不会做一擦，我们不会做，搞得人心态也非常的爆炸。好了，那么接下来我们就继续吧，我们再来看。所以这里面当中，我们来看看这个均匀分布。对吧s服从uab你要注意一个事情，你想想。大家一定要理解连续性，随机变量，连续性，

随机变量一个点处的概率等于几啊，一个点处的概率等于零。一个点处的概率等于零，你是B区间和开区间，这是无所谓的，那么接下来我们来看看，只要告诉你这个东西的连续性，随机变量。那这人呢？我们首先我们就知道它的概率密度函数，它的概率密度函数怎么写？概率密度函数可以去求概率。如果这个s是什么？位于这个a到b之间，它的概率密度函数就等于长度分之一。

然后接下来如果是外面的世界，它都是零。好，这个情况就是在这个范围内，你是这个人哎，长度分之一，你在外面的世界等于几啊，你就等于零。然后这里面当中，如果我们是个均匀分布，我们去求概率啊，有一个快捷的方法，那就是个长度之比。因为这个一维的这个均匀分布啊，其实就是个什么，

其实就是我们原来讲的那个几何概型的问题。能理解吧，古典概型几何概型就是讲的几何概型问题。所以比如说我们举个例子，我们说s如果这个人服从啊u你，比如说这个人是一，然后到十。那这样的一个情况，我们就在这里面当中啊，拉条线。对吧，拉条线有效区间段的话，其实就是一到十它就相当于往一到十上投十子儿的问题。那这个时候如果让我们进行求什么，比如说s求四，

然后到六这个部分的概率是多少？那四到六的话，其实就是这个部分四到六，你总的长度是几啊？是九，然后这长度是几是二？就是长度之比，如果这里面当中，我们再算，如果s怎么办？是大于五。你大于五的话，这个部分的概率等于多少呢？大于五的话，你发现五在这儿。

你这个部分有效，只有这么多。那所以说这个人的话刚好就是九分钟。你要算有效的。没有效的话，你就不用算了，如果s比如说小于零。你小于零的话，你这块儿就没有啊，你这概率肯定是零啊。所以大家直接一点要敢做敢做题。不要在那犹犹豫不定，摇摆不定，你见到这个东西说什么就干什么就行了，他说这个均匀分布，

我概率密度函数求出来。要求概率长度之比，你这就结束了，然后再来看第二事情指数分布。再来看这个。那么，如果这个题啊，它告诉什么说这个is服从什么服从这个参数为拉姆达的指数分布？那见到这个指数分布，我们就可以立即写出这个人的概率密度函数。它的概率，密度，函数等于多少概率，密度，函数等于这是拉姆达倍的e的多少负的拉姆达s。

如果s大于零的时候s小于等于零的时候，这刚好是零。那么其实这个人呢？他的分布函数也可以记一下。那么，同学们告诉我，连续型随机变量求概率可以怎么求啊？要不然是进行去积分，要不然是进行去端点做差，还记得吗？要不积分，要不端点错，查把知识点装脑子里面，一定要注意。对吧，

如果这块的话，你发现告诉分布函数多简单，所以我们在这里面当中可以把分布函数求出来。那分布函数是多少呢？是一减e的负的拉姆达ss是大于零s，这个人小于等于零的时候刚好是零。好了，这是这个问题，所以在这里面当中啊，你可以用这个积分来做，你也可以是用端点做差来做。好，这两个方向都是可以的，而指数分布我们在考研的时候非常喜欢考一个内容，叫做指数分布的无机异性。

那还记得吗？指数分布的无机异性。指数分布的无期疫情是什么内容呢？他这样说就说，如果你这个人呢？我们来看看这个部分。如果js服从参数为lambda的指数分布。而且这里面当中的m是大于0n是大于零。那这个时候我们就来看看这个问题。你如果想进去，去求什么呢？你就求这个概率。比如说ys是大于m。注意啊，连续性随机变量挂不挂等号无所谓，

你是大于m，大于等于m，这都一样，然后的话再去求什么？x小于m+n。好，这个部分或者而言的话，我们是这样，你s是大于m。然后的话，这是s大于m+n。哎，这都一样。那这个时候的话，你发现这个概率等于多少呢？

什么叫无机异性？我讲讲这个问题。好，我们来看看，那么它有一个起点。它有个起点是m。然后的话，在这个起点的过程当中，然后算比如说它是大于m，然后再算什么，你算小于m+m。大家想想什么叫没有记忆性呢？这个东西是没有用的。没有记忆的，没有记忆的话，

其实你发现只跟什么有关。你其实你发现从这一块走了多少走了n。所以说这个时候它这个概率就跟什么一样。它的本质上其实就是小于n的概率。为什么呢？跟这个m没有关系，你就可以把这个m变成零。也就说你从一开始走，从二开始走，从三开始走，没有关系，其实就相当于从零开始走。我只做完。然后这个部分是一样，无论是大于还是小于，

你这是大于n，那其实就是从x直接走了一个大于n就行。能理解吧，那就是跟你这个起点没有关系。所以这就叫做指数分布的无机异性，我可以给你震一个。来证明一下吧。我就震这个人。那可以吗？那这个时候的话，我们来看看这个概率。那这概率的话是is小于m+n。然后这是is大圆。这概率等于多少？这概率就等于x大于m。

这个基础上，然后的话是什么是x？如果是大于m。而且小于m+n这个概率。那就是这个情况，然后这个时候我们要进行去算概率。大家告诉我用什么算比较简单，那当然是用分布函数做差最简单。大于m就是正无穷，是一再减去分布函数在m处置。那这其实就是分布函数在m+n处的值，再减去分布函数在m处值。能听得懂吗？然后把这个分布函数我们放下来。那这个分布函数的话，

你看它就在这来，我们来算一下m+n是大于零，往哪带往这带？往这带的话，你发现就是一减去e的负的，然后是兰姆达m加n。好，这个结果，然后再减去一减去。e减去的话，这是e的负的拉姆达多少拉姆达m？然后这是一减去一减去e的负的拉姆达m。好，这个结果，所以说这个时候我们就把它做成这样了，

你做成这样了之后的话，你去约一下。来走一下。这是e的负的拉姆达m。是e的负的拉姆达倍的m+n，然后是e的负的拉姆达m，这是加号，这是减号。那所以说我就可以把这个东西约一下，约一下了之后的话，这是这是减号，这是加号，一除的话是一减去e的负的拉姆达n。好了，这个结果。

那这个是什么？这不就是分布函数在n处的值吗？你分布函数在n处的值不就是什么东西呢？x小于什么小于n的这个部分概率吗？一样不一样的呀。所以说这个东西它最重要问题就是什么，我只跟这个什么跨过的这个长度有关，我跟你起点没有关系，你所以像这条内容我们太喜欢考了。好喜欢烤。这就是指数分布的无机异性。你从m开始。然后小于m+n，其实就是可以把这个m变成零，就是s小于n。

你从m开始，然后大于m+n，其实跟m没有关系，就是大于n。所以这里面当中的这个问题啊，把它想清楚就行。那么，接下来我们再来看下一个问题，那下面一个点呢？最重要，我们再来看看正态分布。那正态分布是考研当中的黄金重点内容。那么再来看看正态分布。那么，什么叫正态分布呢？

正态分布的话，就是is服从n，然后第一个参数是缪，第二个参数是sigma方。那么，这就是正态分布，我们来看看它的概率密度函数，只要会写哦。这一定要会写，然后这是根号下二派，然后这是sigma e的负的2倍的sigma方。然后是x-mu的这个人的平方。然后这是x，它是大于负无穷，小于正无穷。

好了，这是它的概率密度函数，注意这个人是在头顶上。好了，这个e的，然后这么多次方数，一定要把它会写会，那么接下来我们来看看这个人的图形吧，我再来教一遍。我希望你跟着我来画一遍。然后这个图像的性质就出来了。因为的话，这个今年的话考这个图像的性质啊，我觉得还是比较关键的一个问题，模拟卷里面也有，

你到时候会做到。我再教一遍，你怎么去画这个人？那么，首先我们看看。这个图你会画吗？我不会画。不会画的话，你发现我至少会画这个人吧。这也不会啊，那就拉倒。e的负I次方的话是这个样子，然后的话是偶函数对称过来。那这个会画了之后，你发现e的x-mu的这个平方我是不会画了。

根据左加右减，我可以把这个人呢向右移动六个单位。所以说这条对称，这是明。那这个会画了之后，你发现这是e的2倍的sigma方x-mu^2。你下面来一个系数，其实就是做这个什么伸缩变换。伸缩变化的话，有可能这个线啊，这个这个你你得确定的话，那个那个系数它有可能变大了，有可能这个变长了，变短了，这个无所谓。

好了，做成这样，那你告诉我这个点的高度值是几？这是一吧，因为e的零是一嘛好，这是一那么，然后前面来了个系数呢，哎，来了个系数，你就把这个什么？就把这个系数往上拖。那所以说最后而言的话，这个结果其实就是那个系数。根号下二派sigma。然后最后我们这条图形呢，

就出来了。好，就这样一个图形。好，这个图形那么这个图形呢？它就立即结束。这条对称轴就是明。那么，所以我们在这里面能看出很多信息。你要记住这个人。那你想比如说我们说这个图像的最大值是多少？这个图像的最大值啊。概率密度函数的最大值是不是等于根号下二派sigma呀？然后这个人的对称轴是多少？这个人的对称轴其实就是MU。

所以一定要进行去看，我们将来比如说我不告诉你这个人。我可以说什么呢？我说。已知这个人的最大值等于多少，等于根号下二派分之一。那不就相当于告诉了sigma=1吗？我说这个人的对称轴是对称轴是二，那不就相当于告诉了缪是二吗？我是不是相当于把这些信息告诉你了？所以这些你都得会的，对吧？这是个最基本问题，我就可以这样说呀，我藏起来，

我把这些信息点完完全全给你藏起来。然后另外一件事情我们再看。这是概率密度函数，这个sigma肯定得大于零。sigma=0小于零都不行。然后第二件事情，这个缪是对称轴，它可以随便来，缪是属于r的。没问题吧，你可以随便来，然后接下来还有一件事情，你发现你这里面当中。这个x。我大于零。

我大于等于都行啊，连续性随机变量一点概率是零，这个部分的概率都是二分之一吧。大于它和小于它都是二分之一。那比如说我们告诉我说大于一个人的概率是二分之一，那就是对称轴啊。好了，这是这个题。所以你要想清楚。我记得这个上一套卷里面当中考了那个题，有些人做的非非常可惜。我还深深的记得这个第四套卷子。但有些东西没有没有做，你回头做一下就行。有一个题考的如此之简单。

但你发现这个做的不是特别好，你看就考了个这样的题。又见到这个题，疯了。它说s小于sigma。比x大于sigma大。那这个人的话，你发现他是一个正态分布，他的一个什么，他这个人的图像应该是这样。它是关于这个缪对称。那关于这个缪对称的话，你发现你小于这个人比大于这个人大。你小于这个人比大于这个人大，那sigma肯定要偏向这半边。

在这个缪这条线上，左右两边是一样的。你只能在这半边儿。你在这半边的时候，我小于的部分比大于的部分大。因为你大于的部分的话，只有这么多了。这样才可以，所以说这个时候的缪就比这个人小，你这一比不就小于一吗？所以选a啊。这种题难度一点都不大，你最终问题你就理解一下，很快对吧？你做出来之后的话，

几秒钟就出来了。不做的话，在这看半天，有些同学就是。非常讨厌这种题。啊，见到这种题就不想做，你这也不行好了，那么接下来我们继续吧，我们再来看看这个下一个问题，我们再来讲讲标准质态分布。那标准正态分布，我们来看看标准正态分布的话，就是s服从多少？n零一。

好了，这是标准震态分布。那这个人是个标准正态分布，其实我们就让这个人的缪等于几了零。sigma方等于一，其实就是sigma=1，因为它是大于零。那这个时候你看它的概率密度函数长什么样子，我们来写一下这个事情，这个人的概率密度函数，他就等于根号下二拍。然后这是e的负的多少二分之x方，然后这个s是属于r的。好，这个问题，

所以说这个人的概率密度函数曲线呢，它就出来了。你从概率密度函数的这个图像上呢？它的图像的话，其实就是完全的关于谁呢？关于这个y轴对称。那你想它的概率密度函数曲线，现在的缪是几啊？缪是零。所以它的图像就是这样。完全的关于这个y轴对称。对吧，这是它的图像，然后接下来我们再来看看这个人的分布函数。你要注意这个人的分布函数，

通常用这个人表示。大fs具体题具体看他会说到那这个分布函数，其实就是。我如果你是服从标准正态分布。小于等于x的概率。它也会等于从负无穷到到这个什么到这个x，对这个概率密度函数进行去积分。但是同学们想想一个事情，你这个东西能激得出来吗？你记不出来，所以说这个东西不要尝试着记这个分，不要记它。意思一下就知道，就知道这个东西什么意思？比如说我这里面当中的话，

你看我要进行去求f什么？f零就是标准正态分布，这个人小于等于零的概率，那等于几啊二分之一。比如说我要继续去求fi什么fi 1就是标准正态分布，这个随机变量小于等于一的概率。能理解吧，你就掌握清楚这个事情就行好了，那么接下来我们再来看一般正态分布，我们只要看到正态分布，要想到标准正态化。那这里面当中的内容是什么呢？说如果这个随机变量，它是服从这个缪，然后这个sigma方的。

那这个时候我们就只得到得到什么东西呢？得到这个x-mu比上sigma这个随机变量。服从n零一。能想清楚吧。就是你这个人服从正态分布，那这个时候s-m比上这个人呢，就服从n零一。好了，就服从这样的一个标准正态分布。那这样的话，你发现如果你们都是标准正态分布，你们是不是就可以比较了？所以像这个问题啊，就出来了。已知它服从n零一，

那不就是求求AB，不就是标准这段话吗？那这就很简单。你比如说我举个例子，你看刚才那个问题。你说的这个什么说？若这个什么呢？若这个s服从，比如说这是n一四。你写什么东西呢？写这个as+b。你服从n零一。你则这个AB等于多少？那这很容易了。那你就会发现这个is- 1比上注意一下，

这是sigma方啊，比上sigma它不就服从n零一吗？那这个时候的话，这个结果的话不就变成了二分之一s减去二分之一不就服从n零一吗？那a不就是二分之一吗？那b不就是负二分之一吗？好，这个结果好了，这是这个问题吧啊，这个答案没有问题。你自己再看看那个题。所以说这就是标准正态化，那标准正态化是我们在这里面当中比较关键的一个问题。对吧，你如果不是一个标准正态分布。

对吧，不是标准正态分布，我就可以把你进行标准正态化。把你进行标准正态化，多个人之间就可以比较了。我们很多个人之间就可以可以来进行去比较了呀，来比较一波。所以说你发现一个事情。那这里面我把这个东西总结一下。注意一下定式思维。对吧，如果说什么如果我们遇到。多个正态分组。遇到不同的正态分布。需要比较大小。

比较式。立即。标准正态化。立即进行。标准正态化。化为。同一个。正态分布。来研究那这个东西的话，思想其实非常简单。你是服从那个正态分布，我是服从这个正态分布，那我们怎么比较？你图像跟我的图像都不一样，你说我们怎么比呀？

所以像这个问题的话，我们原来呃也做过这个相对应的这样的一个问题啊，经常我们会遇到，所以接下来我们来看看这个事情，稍等一下。就是薄了，换个颜色。呃，做一下那个题可以吗？我找一下吧，因为那个题比较经典的一个题。我们找找那个题。哎，我们来看看这个题，二零一三年。

好，我们来做一下。呃，把这个思想你要研究清楚啊。咦，二零一三年。怎么是这个？稍等，我想。好，我们来看看这个啊。我们来做一下这个类型问题的题目。来看一下这个题。啊，把这个题啊，

我们来品一下。来操作一下。那你想想一个事情，首先我们来看看这个题。你眼睛稍微进去去漂一下的话，你发现一个事儿，他们其实是个什么？它是不同的。这样的一个正态分布。因为你想想一个事情，你看。我们就看题目。他们都要研究负二到二。那你进行去比较这个问题的时候，有人说那老师我就直接画图了。

你琢磨一下这个事，你看第一个人。第一个人是n零一。第一个人的概率密度函数曲线是这样。这第一个人。第二是n零二方哎，它的概率密度函数曲线有可能更胖一点。然后第三个人的话是n五三，它的对称轴是在五。那这是五。我们都要进行去研究什么东西呢？我们都要进行去研究这个。负二到二。对吧，你负二到二，

你这个什么负二到二，你这咋研究？你发现三个人的话，这个图像不是不是一个人？就不是同一个图形，那这人就没法比较，你这能比较吗？你这三幅图。所以没法做，那这时候我们怎么办呢？我们就这样办。啊，怎么了？好了，那么接下来我们再看那这个人的话，

我们可以这样办，那我们就进行去统一的话，进行去标准化一下。你把这个人变成多少？你看这是n零一，然后第二个人呢s2-0比上这个二，他就服从多少n零一，你看这是同一个分布。然后这个时候的话，其实就是I3，我再减去五，然后比上三，然后这人也是个n零一。对吧，这仨人都是n零一。

诶，你这三个人都是n零一，那你的概率密度函数和你的概率密度函数和你的概率密度函数一样不一样。一样，你们三个人的概率密度函数都是这幅图。都是哪幅图呢？都是这个n零一这幅图。你们三个人的概率密度函数曲线哦，这个时候是一样的。那这个时候你们三个人的概率密度函数曲线一样，那么接下来我们来看注意啊，这个第一个人我们就可以求了。嗯p1这个人。它其实就是x1，这个人大于等于负二，

小于等二。那这就是x1的概率密度函数曲线，所以说你的这个概率其实就是这块的面积。然后我们再来看看第二个人，那第二个人的话，其实就是s2大于负二小二，那这不行，这不是x2的概率密度函数。是s2比二这个人，所以就大于负一小于的一。是不是这个问题那所以说你这是负一到一，我是负二到二，谁大呀？那肯定p1比你大。然后接下来我们再看第三个人，

那第三个人的话，这个结果就是多少，这其实就是I3I3要减五除以个三。负二减五除个三是负的三分之七，然后是二减五除它呢，这是负一所以下面这个人的话就是多少从。从负的三分之七到它。那你想想，你看你这个人的概率密度函数去红色先，那你的概率不就是这块的积分吗？然后的话，这个人的概率不就是这块的积分吗？那这个p这个什么p2肯定会比这个p3大呀。为什么我这个更长一点，我更高一点，

我肯定比你这个p3大呀。所以就是一二三正确答案选a。好，这个题呃，刚才一个同学说的非常好，就是统1度量衡。我们是不同的正态分布，我们还要进行去比较，那你这个时候的话，你只能化成同一个分布来比较，我们都化成n零一，我们的曲线都是红色这条线。那这个时候我们研究这个概率啊，你就好做了。好了，

这是这个问题，那么接下来我们再来看看第四条，还有一个正态分布的一个特性，把这个特性呢，你要学会。就说我们如果这个x我是服从n零一的。注意这个人服从n零一，那么这个时候我们看看第一条内容。你是服从n零一，而且。它的分布函数是这个人。能听懂吧，它的分布函数是这个n零一这个随机变量小于等于s的概率。好，这个问题能想清楚吗？

哎，就是这个人n零一这个人小于等于s的概率。那么，现在我们来看看这个人啊，他的处理。这是它的分布函数。来吧，那么接下来我们来操作一下。第一个人，那第一个人的话，我们先看第一个问题，那请告诉我。你这个人，你在a处这个人。跟负a这个人。

之间什么关系啊？你想如果是phi a，是不是这个部分的概率啊？是吧，如果是f负a不就是这个部分，这个部分就等于这个部分了。两者一加等于几等于一。好这个人，所以说你要想清楚，不是对称的，别别别胡来不对称的。分布函数是小于它的部分的概率。所以要想清楚，如果你是服从标准正待分布，你的分布函数叫fs。

你在a处的概率就跟负a处的概率，刚好这个人怎么办？加起来是一，然后接下来我们再看，如果这个随机变量。它是服从标准正态分布的。它小于等于a的概率是多少？小于等于a的概率其实就是这个部分概率。那这个部分的概率其实就是。fa这个人。减去f负a。phi负a又等于一减phi a，所以等于二倍的phi a减一。啊，这个人好了，

这两条内容把它想清楚就行，好这个问题啊，我们就讲到这儿，如果一个标准正态分布。它这个人的绝对值小于等于a就等于二倍的标准，正态分布的分布函数在a处置减个一。能学会吗？好了，这就是我们常见分布的所有部分内容。你需要实际的部分，你需要记忆的部分都在我们今天的这个笔记上。好了吧，这个点我们就讲到这，那么接下来我们来看看这个下面一些题吧，来开始做，

先来做一下幺八幺这个题。啊，今天打乱了，不进去去讲一个做一个题，讲一个做一个题，那没有什么感觉了。那比如说我们刚讲了这个二项分布，马上做个题，有同学说都不用去想，肯定二项分布这都没啥意思了，谁在考试告诉你这个人是二项分布啊？没人告诉你，都是你自己把它看出来。好了，那么接下来我们一起来看幺八幺这个题来解吧。

那这个题啊，他说了说这个s是服从这个人y这个人是服从这个人。你看两个不同的正态分布。两个不同的人还想进行去比较，你想比较这个人，那肯定要化成同一个分布啊s这个人减去MU。注意再说一遍，这是sigma方啊，所以说这人是四。那这个人他就服从了多少n零一这个值，然后这个y这个人减去MU比上这个五，然后他就服从了。n零一现在这俩人呢？他的图像都是一个这俩人的图像都是谁呢？这俩人图像都长这样。

这俩图像都长这样。那么，接下来我们看看这个p1p1这个人是谁呢？你要把这个缪减过来。然后除以个四，然后小于等于负一，你才能用到这条红色曲线上。然后再来看P2P2，这个人是y这个人减去这个缪除以五，然后就是大于等于一。那么所以说第一个人求的是什么？小于等于负一这个部分面积，第二人求的是什么？求的是这个大于等于一这个部分面积。那所以说这两个东西怎么这两个东西相等，

所以选c。好了，这是我们讲的这个第一个问题，跟得上吧？幺八幺，然后接下来我们再来看下一个问题，我们看看幺八二这个题。读题哦，他说三次独立的事件。三次独立，我进行了三次，三次独立的事件，每次发生的概率是p，然后a至少发生了多少次，你看。

就是我进行了三次，每次成功的概率是p，然后问这个次数的问题，那肯定是二项分布，那么来告诉我二项分布。参数进行了几次啊？三次每次成功的概率是p。那么，如果是三次，它有几种取取法呀？它有可能是成功了零次，成功了一次，成功了两次，成功了三次。那么，

现在问，至少进行一次，是不是问这么多？那至少进行一次，你还不如算这个人，所以说我们来看这个x=0，这个部分的概率。那其实就是三次里面取零次p的，零次方一减p的，这个人三次方等于一减就是二。二十七分之八。那所以说前面这个人呢，都是一一减p这个人。开一下三分之二，所以说这个p等于多少三分之一？

是不是出来了？好，这个题比较简单一点，你不要小看这个，我能选的上来还是有出的这种可能性。好了，那么接下来我们继续，我们再来看看下面这个题。那像这种题啊，我们这两年还会考，我们这两年也考过这个事情，你发现这是一个正态分布，然后告诉了这样的一个区域的概率。然后让我们去求小于零，你这里面当中这种做题啊，

你在这里面稍微进去就画个图，什么东西都出来了。你发现这个部分啊，它是这样。它这个部分的对称轴是几啊？它对称轴是二。然后告诉我们二到四这个部分二到四的面积是零点三，那这个部分面积零点三。那两边是对称，那这个部分肯定是零点二。那所以说这个题就出来了，小于零概率多少零点二啊？这个非常简单。然后再来看看这个下一个题啊，有些题啊，

说实话很好做。你再看这个题。好，我们来瞅一下。因为这个人是服从制啊，这个注意啊，这个绝对值他打错了。它在这儿啊，它在这儿。那么，接下来我们来看看这个问题诶式子，就看s-b啊，在这儿。打的有问题，把它改一下。

那么所以然后让我们去求解的什么让我们去求解x-mu？然后小于什么小于sigma。来，我们来看看这个部分。那么，同学们想。我都看到x-mu了。那就让它减MU呗。除以sigma就服从了n零一啊。那所以说这个时候我们其实就得到了，你就把这个什么sigma除过去sigma是大于零，它就小于一。那我们都知道你这个部分是服从什么？你这服从标准正态分布的，有些同学都知道这个结果。

你如果是服从标准正态分布。你是服从标准正态分布你小于一，绝对值小于一的概率等于二倍的fi什么一减一？二倍的翻一减一。或者你可以这样看。标准正态分布的概率密度函数曲线是唯一的吧？因为你想想它等于根号下二派分之一e的负的二分之x次方，它肯定是唯一啊固定的呀。那固定的，你让我去求什么？你求这个负一到一的话，这个部分的概率这是固定的呀。所以它不会变的答案选d。好了，这是我们讲的这个幺八四这个题，

这不难吧？来再来看下一个题。你看看这个题。那这个题啊，他说我是服从什么？我是从服从n一一。那n一一的话，这个人他的这样的一个概率密度函数曲线对称轴肯定是一样。所以说这个部分是对称轴。啊，这是一那所以说这是偶函数就不对了。你大于零和小于零的概率肯定不一样。然后这个大于一和小于一的概率一样不一样哎，这是一样。然后这个时候它的负is=1减负，

注意这个东西成立的范围必须是什么？关于y轴对称的时候。对吧，就是你如果是一个服从n零一的人，你才会有这个情况。它的分布函数在这个点处值等于一减去f负的这个值。还记得吗？你刚才我们讲n零一的时候，它是这个情况。所以这不对。好了，那么接下来我们继续，我们再来看，再往下走。你看这个题。

呃，这个题是个经典题。我们先看告诉了x的概率密度函数，能干嘛？能求x部分的概率。y表示。进行了三次独立的重复。观察中这个人出现的次数。你看这个人。所以他问的是什么？我进行了三次独立的观测。然后最终问你成功的次数，什么叫成功就是这个事件出现就叫成功，观察你的次数肯定是你叫成功。那所以说我们来看看那x小于等于二分之一的概率是多少？

那就可以用它的概率密度函数去积，那概率密度函数有效区域是零到一就是零到二分之一，对这个积分。那这是多少四分之一？那我知道我进行了三次观测。然后最后它出现的次数呢？我们把这个出现的次数。制作成大白。哎，这是次数，那这个次数的话，你就发现是不是服从二项分布？清醒了三次，每次出现的概率是四分之一。那这就是它的次数。

那所以现在让我们去求解什么，让我们去求解y等于二的部分的概率，那就是三次里面去两次，每次成功概率四分之一平方。然后失败是四分之三，那所以说这个结果是六十四分之几，这是九。c三二是三嘛，这是九，所以正确答案选几选c？你看这个题。就是你发现你这个人可以求x概率，你要注意y表示什么？y表示，进行了三次啊，

我们看我进行了三次，然后问呢，这个人出现的次数。你出现一下不就叫成功，每次你出现的概率是多少？进行了三次，最后成功的次数多少？能学会吧二项分布，所以一定把这个事情你好好琢磨琢磨。问题不大，过去了可以吗？来继续啊，再看下面一题。那么下面这个题啊，这就非常简单了，

来秒了他吧，那么这个东西的话，你发现二大于二小于二是一。答案选b。好，这个题这个题非常容易。灭了过去了，可以吧来再看下面一题。那这个题啊，跟刚才那个是一样。他说这个人是什么服从这个人，这个部分的概率是多少？然后让我们去求那个部分概率是多少？你就画个图就行。因为我们这个人怎么办？

哎，它是关于什么呢？关于这个三对称的。然后这个三到四这个部分呢，它的概率是多少？这个概率是零点二。然后让我们去求什么，求小圆儿。啊小于二，所以说这个部分呢，也是零点二。那零点二的话，这个两边还有零点六，所以零点六的话，这个部分是多少？

这个部分呢？肯定是零点三。选b好了，这是这个情况哦，大于二那不好意思，那就是零点七。失误了好了，这是这个事情，让我们去求大于二大于二就是零点七哎，这个什么零点七？能想清楚吧，这个人。那这个部分它也是多少？这两边都是零点三嘛？好了，

这是这个情况吧，幺八八。过去了，那我们继续，我们再来看下一个题泊松分布。那这个人我只要看到泊松分布，我立即可以写出它的分布率。它的分布率就是is=k的时候。它的取值是多少？是k的阶乘拉姆达的k次方e的负拉姆达k1定是从零开始。那这个人等于一的时候呢，一的时候带进去一的阶乘是一拉姆达一次方一的负拉姆达。二的时候呢，二的阶乘拉姆达的二次方，一的负拉姆达。

所以说这个时候这两这两个东西就约掉了。约掉了之后再约掉个lambda，lambda大于零，所以lambda等于几等于二。那因此的话，这个x=3的这个概率是多少？那三的概率我就可以往里面带，然后这是三的阶乘。然后是二的三次方e的负二次方。三的阶乘是六，这是八e的负二次方，所以说等于三分之四倍的e的负二次方。这个好了，这是这个问题哦，等于二倍。

嗨，是。哦，二倍二倍二倍。那如果是二倍的话，这两个预约它就等于一。等于一的话，那这个结果的话，那就更简单。所以说等于多少呢？三的阶乘。一的话就不写了，一的负一次方就等于六的一的负一。好，这个题过去了可以吗？

好幺八九这个题。来继续吧，我们再来看。那么所以说这个点呢，我们就讲到这自己下去好好串一串。长线分布不难吧？所以常见分布这个板块内容，它的核心重点就是。给了你这个分布离散性的，赶紧把分布率写出来。连续性的赶紧把概率密度函数写出来。好了，这个方向，所以如果再进去就出错你就有点不好意思了，这很多同学这个题都读不懂，

那是最尴尬的。你去看看这考了，这几次你考了，这几次的话，你发现常见分布啊啊，这个倒不难，然后呢，接下来我们继续，我们再来看下一个问题。二为离散型随机变量。然后至于随机变量的函数分布，你不用着急这个事。这个东西啊，也是个边角性的考点。他也不是一个热门口令。

那么，等到我们最最后一节课，我会把这些。呃，不是特别热门的考点，像高等数学当中的经济学应用。像高等数学当中的中值定理。像我们在这个里面当中啊，这个随机变量的函数的分布，这些点我给你放到啊，这个差不多一个小时的这个课程当中，我再来给你重点来讲。能听懂吧？好了，这是这个问题，

你不用担心这个事情，那么接下来我们再来看看这个考点二。那么，考点二呃这个42这个问题啊，可是相当的重点。这个内容是必考内容。这就是老头子特别不讲武德的地方。那其实你在那里面当中明确的要求是一维随机变量，但你二维随机变量都没怎么要求，但是年年考。每年一到。啊，这你都能看出来这个套路。那么，接下来我们来看看什么叫二维随机离散型呢？

就是你这是一个离散型。你这是个离散型，我研究两个离散型。啊，研究两个离散性。你比如说我们说这个袋子里面。有白球，有红球。对吧，我们说摸出白球的个数是s摸出红球的这个个数是y。那你如果你只问x的话，那这是个一维的问题，你只问红球的话，这是一个一维问题，但是我问。

红球和白球什么情况？所以有的时候我们在实际问题当中一个你要进行去估计的一个人，你要求概率的一个人，他有的时候他他不是一个人。它有可能是两件事情。能想清楚这个问题吧，哎，两件事儿，所以说我们还要进行去考虑二维离散性。啊，两个离散型，那二维离散型呢？那既然是两个人，两个人呢？他就会出现三种事情。

我们一起去干一件事。我们单枪匹马干件事。我们两个人之间到底是什么关系啊？是不是这三个问题？两个人呢？两个人的话，你看。我们一起去干一件事儿是什么样？你去干一件事儿，或者我干一件事儿是什么呀？我们俩啥关系啊？所以三个问题一起去干一件事情。把这个问题叫联合。如果是你发现单独干一件事儿，我们把这东西叫边缘。

那么，第三件事情，我们之间是什么关系？能听懂吧唉，这是这个问题。那么，接下来我们先来看看第一个点啊。二维联合分布率。联合分布律啊，其实就是一起去干件事。那么，它在这里面当中，联合分布率就这样，你就画个表。对吧，

我们在这里面当中，我们要知道x有哪些取值。我要知道y有哪些取值。比如说我x可以取x1，取x2我能取到xn。我们就选有限格，如果y这个人可以取y1取y2，我能取到多少ym？你有这么多取值，我有这么多取值。好了，这是这两个情况，你有这么多，我有这么多。那什么叫联合呢？

联合这个事情呢？是我们进行去考虑，共同去求一个概率，什么意思呢？就是说。你要求出x=xi。且大y=yj的概率。我把这个概率啊，叫做pig。能理解吧，就是我们要继续去求你发生，且我发生的概率。啊，这中间是个且的关系，你注意啊，

这是联合分布率，所以求联合分布率非常简单，怎么做呢？第一步。求出x和y的取值。对吧，确定x和y的取值，然后画张表，那么就在这里面当中，我们来画张表。那画张表了之后，你发现看这是x这是y这是s取值s1s2。s3s4，然后一直下去，这是xn。

对吧，我确定你的取值，然后的话，这是y1y2这是多少呢？这是ym。啊，确定取值，然后再干件什么事情呢？我们去求一下共同发生的概率。那你就要继续求求这个什么x等于它y等于它的概率哎，把这个概率求出来，你x等于它y等于它的概率。x等于它，y等于它的概率，把这些概率怎么办？

你都要把它填完，但是这个东西啊，你可以不用把它说成这是个矩阵的。能理解吧，好了，这是啊，它们共同发生的概率。它们共同发生的概率，然后的话，这是它们共同发生的概率。好了，然后这是这个情况。共同发生概率，然后这是多少n1啊n2，我就说我今天弄这张表的时候列这么多干嘛，

对吧？nm好了，这是我们在这里面当中啊，讲的这个人联合分布率。那你就要确定x的取值，你要确定y的取值，你要求出共同发生的概率。好了，这个人看我写的很辛苦是吧啊？好了，这是这个人。所以说这个二维啊，联合分布率啊，我们就说到这，那么接下来我们再来看看边缘。

边缘是什么呢？边缘这个东西啊，你一定注意。是一个人。一个人的事情。所以说这个时候的话，你发现一个事儿，我们就来看看下面一个点。一个人，比如说我就想知道x。等于xi的情况。对吧，比如说我就想去求出x=x一的情况。那你会发现。你在这一排，

你看这都算x=x一啊。你就把这一排怎么办？你加起来填到这儿。然后s=s二，你就把这些人加起来。啊，然后你填到这。能想清楚吧。所以说我们就把什么东西呢？你把哎呀，这个。这一排加起来。填到后面。今天吃了大亏了，这个表啊。

来是这么多，把它加起来，然后s3的时候把这些人加起来。is的时候把这些人加起来。然后SN的时候把这些人加起来。能听懂吧好，然后的话你发现看s3的时候这个概率s4的时候这个概率，然后的话SN的时候这个概率。那所以说这个时候你就发现你看。ss 1的时候是这个人。s2的时候是这个人s3的时候是这个人s4是这个人s5啊，这个SN是这个人。所以说我们最后啊，我们就在这个表的最后啊，多来一点。

多来一点，把它记成多少呢啊？一般你可以不会写，不会写都行pi点。啊pi点这个东西啊，就叫x的边缘。啊s边缘，然后接下来我们再来看看下一个问题。那我要进行求y呢？对吧y这个人。那y这个人的话，你想想我们这个人的话，这就是y=y一的概率。y=y二的概率。这都是y=ym的概率，

所以你就把这些人加起来。那这个东西啊，其实就是叫做p点j。啊，这个人的边缘。能想清楚吗？啊，你就注意这个问题就行，所以横着一家，其实就是x的，纵着一家，其实就是y的。然后这个拐角是一。你会发现这些人相加是一这些人相加是一整个表盘相加都是一。能学会吗？

好了，听明白了给我回复一。我把这个擦掉了。所以你在做表的时候啊，你就多进去去看看啊，你把这个东西进去去稍微瞅一下，就在这一块多加一点。你这块多加一行，然后这块是一。能学会吗？然后第三个事情，如果是独立的话。哎，独立什么时候独立呢？独立是。

联合。x=xi。y=yj。你都要等于什么东西呢？都要等于各自的概率的乘积。好，这个情况要注意每一个人。每个点的联合都要等于边缘乘积。所以说如果是这种情况，你就会发现。你比如这个点。这个点的联合，它必须要等于这两个边缘的乘积。你比如说这个联合它必须要等于这个两个边缘的沉积。你说这个联合你必须等于这两个边缘的沉积，

每个点都要这样。每一个点，你这里面当中有多少个点你都要进行去完成这个事情。你比如说举个例子。零我们说如果这个x是服从。一二三，然后这是二分之一，这是。不行，就这样。太多了，然后的话，这个人是零一二。然后这是四分之一。四分之一二分之一。

那么这个时候你会发现我们且什么？切，独立哎，两个人是独立的。那你发现你看你这个人是个一维的离散。一味的离散，你且独立且独立的话，现在我们要知道进行去求这个人的联合，你怎么求啊？你就画张表，你就画张表，这是x所有的取值，这是y所有的取值。而且你会发现你s取这个零的时候，这是四分之一，

这是四分之一，这是二分之一。啊，这个情况，然后这个部分呢？是二分之一，这二分之一，因为这个题当中告诉了一个信息独立。那既然是独立，你这个联合就等于边缘的乘积八分之一，边缘的乘积八分之一，边缘的乘积四分之一。八分之一。八分之一四分之一。你要注意啊，

如果没有告诉你独立，你可不敢这样做，必须是要求了这个独立才能这么办，不要胡做啊。只有这两个东西独立的时候，联合才会等于边缘成绩，只有独立的时候，联合才会等于边缘成绩。你想清楚这个问题好了没？好了，这个点呢，我们就讲到这，所以你看二维随机变量，要知道什么叫联合分布率，你的取值。

我的取值共同的概率要知道边缘竖着一家竖着一家竖着一家横着一家边缘。要知道什么叫独立，独立的话，你发现其实就是联合要等于边缘的诚信。能学会吗？好听明白的给我回复一。掌握清楚给我回复一。我们来做一个题吧，看看这个题。啊，看一下这个题目，那么首先我们先来看看这个啊，这个题目。他说什么？他说这里面当中给了一个给了这个人。

这是个联合分布率，说xy独立的时候。AB等于多少？那这个题怎么做？首先我们看看这个联合分布率，整个表盘相加等于1 a+b肯定等于多少零点四？对吧，这等于零点四然后呢？他说独立啊。你怎么处理？像这种题到到处都是啊。怎么做？你看看这个人。怎么处理？把这个边缘写出来吧。

把这个边缘写出来吧。把这个边缘写出来吧。把这个边缘写出来。所以现在每一个位置的联合都会等于边缘的沉积，所以说你你就稍微用一下，你用哪个点呢？你就用这个点。那这个点的话就是零点四就会等于零点六乘以多少a+0点四？然后零点二这个位置就会等于多少等于零点六乘上b+0点二。因为这个题人家告诉了你独立，这是最重要的信息。一下就出来了。所以说这个时候你解一下。你除一下这个部分是多少？那这个部分除过去的话是三分之二。

然后这是多少五分之二？15分之多少呢？呃，15分之这个是四。然后再看这个人，那这是三分之一，再减去五分之一，所以说这个b等于十五分之二。这个结果，所以像这个题啊，你把它想清楚啊，这就是我们现在可以出的这种两分题。以前的大题它都这样啊。好了，像这个幺九幺这个题啊，

我们就讲到这儿，所以操作的时候你要把它把握住，然后接下来我们再做多做几个。我再来找几个。好，你来看看这个题。稍等一下。我多截几个。多截几个的话，你们再做一做。这是二零一一年。稍等一下，我找几个你们课间休息的时候把它做做。我把这个东西稍微改一下，哎呀，

你你等我一下，等我一下。别闹立。让我们去求。求什么东西呢？求这个。s.相温。等于二的概率。看看等于几呢？等于一的概率吧。这是这个，我们课间啊，再把这两个题啊，把它做掉。

行吧，把它烧的。截个图，然后的话，一会我们再来把这两题讲了。课间坐下，这非常简单的题，就这道题。好了，这几个人。可以吧，把它做做。行吧，我们稍微休息会儿，一会儿我们继续啊，

把这个类型的东西啊，你一定要把它做完整。好了没？截完了给我回复一吧。好截图，截完了给我回复一。好，我们休息会儿吧。

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