16.冲刺串讲16-3

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:07:46

我们继续吧，我们再来看看这个后面部分内容啊呃，刚才过程当中啊，我们讲了这个第一个事情分布函数就是你要理解清楚。只要你是个随机变量，你都会有分布函数，所以这里面当中啊，我们把这个最后几个事情，我们稍微的进行去总结一下。你把这几个东西啊，你稍微进行去梳理。那么，首先针对于分布函数第一个事情，只要是一个随机变量。啊，

随机变量。都会有分布函数。那无论你是离散性随机变量还是连续性随机变量，还是既非离散也非连续性的，这个随机变量你都会有分布函数。然后第二件事情，大家注意分步函数的定义。函数的定义，这个事情就说你见到这个函数对吧？你是一个随机变量的分布函数，你就把这个人定义写出来。你是s的，就是s小于等于这个人的概率啊，就是你把这个定义啊，你要会写刚才讲了好多遍了，

然后第三个事情如何判定？啊，判定。是否为分布函数。分布函数那这个事情我们刚才说了，我们要检验四点，尤其比较重要的是右连续。一旦谈到这个图像，它是右连续。你想想一个事情，那就说明我从右边往这儿点跑。他一定得跑到这个点吧。他哪怕在这块不是这样。但是你发现在这个点，它一定是。

所以它一定这半边，也就是说我们如果这半边是x0，它一定是什么？你这块一定是b的。我从这个s1定到它，所以说这个部分呢，左闭右开。如果你将来看到一些东西，全部写的是左闭右开，它其实已经保证了这个东西的右连续。能听懂吧，所以分步函数。分段部分。写左闭右开。啊，

左边是b，右边是k，一定不会错。一定不会错。但是这件事情我们不考大题，那不考大题的话，所以在这里面我们不会牵扯这种问题，所以像这种有可能是数一数二数三同学他。他们需要在这里面当中呃，稍微注意一下就行，但对我们不是说没有意义。那判断一个题的时候，你看到这个分布函数，它写的就是左边右开，那我就不用进行去检验，

又连续了呀。它本来天然就保证了这个东西的右连续。好，这个问题。然后最后一个事情，利用分布函数。分布函数求概率。这个你要会。好了，像这个问题啊，我们就讲到这儿啊，你再把这个东西啊，你给丢分了，你就有点不好意思了，所以接下来我们再来看看这个里面当中啊，

第二考点。那么，接下来我们再来看看第二个部分内容，那其实就是离散型随机变量。离散型。随机变量。变量那离散性随机变量，大家都知道你这个人的取值是离散的呀。对吧，你只能去取，比如说我们刚刚掷色子，你就取一二三四五六。你是离散的呀。那离散的话，我只需要知道这种情况不就行了。

那在这里面我知道什么你，比如说你服从的分布。啊，就是我，比如说我取值，比如说我们刚才的话，那个掷色子。你掷色子的话，你掷出一这个点二这个点三这个点四这个点五这个点六这个点。我知道你只能去娶这些人呐。那我把每个点对应的概率把它求出来。那这样不就行了吗？那将来你要求什么？我在这里面当中查表查什么？那这不就可以了？

所以我们把这个东西叫什么呢？这个东西叫离散型随机变量的分布率。离散型随机变量的分布率。离散型随机变量的分布率啊，有两件事情，一件事情就是你的所有可能取值，你能取这个人，你能取这个人。能娶这个人。哎，它都是离散的。你能娶这些人，然后第二件事情。就是它们对应的这个部分的概率，你要会。

好，这个情况能想清楚吧啊，基本问题点啊。就是我在这里面当中把这个事情你想清楚就行，每个点对应的概率啊，取值是多少对应的概率是多少，那就可以了。然后第二件事情分布率，这就是什么？这就是离散型。要求解的分布。我们经常去讲随机变量及其分布，它的分布是什么？如果你是个离散型，随机变量，

你的分布是什么？你的分布就是你的分布率，你分布率就是你的分布。所以你要知道你求的这个这个字是什么意思？什么叫分布？分布就是求解这个人的分布率。好了，像这个问题啊，我们就讲到这。跟得上吗？那么接下来我们再来看第二件事情，利用什么东西呢？分布率。去求离散型随机变量。啊，

变量的分布函数。那如果我知道这个人的分布率，我的分布函数怎么求？我们把这个事情我们稍后进行看看。任何随机变量都有分布函数啊。比如说我们在这里面出一个题。我说这个人他是服从。它能取值负一。一三，这三个点。然后这个时候的话，这个概率是零点四，这是零点二，然后这是零点四。那接下来我们去求解它的分布函数，

同学们告诉我，求分布函数的第一件事情怎么办？你一定会有个函数，你的自变量选它。那就是这个随机变量小于等于这个人的概率加和。是吧，小于等于这个点的概率价和你在这里面当中，你就拉条数轴线，拉条数轴线的话，你点一下。其实我只有在这三个点处才会对应的概率啊，才会有概率。那这三个点才有概率，我们现在看看这个小S，你要算的是什么？

你要算的是从这个小S之后的概率。那这之后的部分。那你想如果你的小S在这儿，你后面的概率是几啊是零，如果你小S在这儿，你后面的概率是零点四。如果在这后面的概率是零点六，如果在这后面的概率是一。所以我们求的就是小于这个点，所有部分那先来看第一种就说，如果你这个s你看你在这。只要不到一到一就不行了，到一的话，这之后的话就是零点四了，就说呃不到负一。

只要我不到这个负一，我后面都是零。如果我s是在负一到几呢？到一没有到一没有到一的话，这之后的话就是零点四。如果我这个人是从多少一到解三，你这之后就是多少零点六，如果这个人大于等于三，那这是一。好，这个情况，所以说这样的话，你发现我一下子就做出来了，你听明白我的意思吗？把这个想清楚。

就是你发现如果知道了分布率，去求一个离散型随机变的分布函数是非常简单的，拉条数轴线。把它能曲直的点呢点到这，然后接下来后面后面它的后面啊，就是这个情况就行，跟得上吧。想清楚这个问题。那我还记得一个事情呃，应该是前两天的一个模拟卷吧，那模拟卷的话，最后做出来一个什么情况？比如说我举个例子。呃，那这个人的话是负一和一，

然后这是零点三，这是零点七，那么同学们告诉我这个人的分布函数，你会求吗？那这个分布函数能不能也用小S啊？可以啊，就是这个随机变量小于等于小S的概率嘛。拉条线，你这是负一，这是一，这是零点三，这是零点七。然后怎么办？小于负一的时候是零零到多少负一到一的时候是零点三，如果大于等于一的时候，

这是一。这会求吧，你这很好求啊。对吧，它的分布函数很多人说你的分布函数怎么用x你要注意谁的分布函数是用谁进行求概率跟这个自变量没有关系。我刚才用框表示，你还记得吗？好，所以说它的分布函数也可以是这样，但是你发现有些同学学东西啊，学的不透彻。然后那一天的话。我们最后求出来这个东西叫f1。然后这是一减f一。你别给我管翻译是什么？

f1这个东西是个数。能听懂吧？翻译那个人是个树。你管我是多少呢？那现在会修吗？那触类旁通能力得有啊。那小于负一的时候是多少？小于负一的话就是一减f一。如果大于等于多少呃呃呃，小于等于负一的时候，这是零。大于负一小一的时候是一减y一。如果大于等于一的时候，这是一。一样不一样，

能听懂我的意思吗？就是这件事情，你别管我怎么写啊，把这个事情琢磨清楚，能听得懂吗？那不就还是这样吗？你只不过说你刚才写零点三零点七。我现在写什么？我写了一个人，我和这个人这有什么区别呢？没有什么区别，一定注意，有的时候稍微变一下，其实它没有变，它的内核没有变。

你要琢磨清楚这个事情好了，这是分步函数。那么，接下来我们再来研究一下离散型随机变量的分布函数具有什么特征？你来看看这个分布函数，这个分布函数的特征非常明显，有没有发现？它的分布函数的每一段都是个常数啊。每一段都是个常数。好了，这是这个情况。那就说这个人的话是负一，然后这是一。如果我们在这里面当中进行去走的时候，你发现小于负一的时候，

这块都是零。负一到一的时候，这是零点四。一到三的时候的话，这是零点六，然后之后都是一。所以现在我们把这个点出来，这是零点四。这是零点六。然后这个部分是一。然后这个部分是三。好，这个情况你看每一段都是常数，而且这里面当中的这个点不取，这个人不取，

这个人不取。大家会发现这个人的图像是台阶中。但是有的时候他根本不会给你图像，他就没有不说，我一下子给你图像，我不会给你，不会给你，你也辨认。你发现每一段都是什么数常数？只要它是个分段函数，只要每段都是常数，它就是个离散性随机变量的分布函数，你听明白了吗？就是这样的个意思。所以这里面我们进行去总结一下。

哎，总结下这个问题，离散型随机变量的分布函数的特征。离散型随机变量。分布函数的特征。就只要你是一个随机变量，你都会有分布函数，你的分布函数具有什么特征呢？我们刚才说了，当然首先第一个事情你是否？分布函数。你听懂我的意思吗？啊，你是分布函数。你都不是分布函数，

你怎么会是离散性随机变量的分布函数？你是分布函数满足四个性质。好，这第一条。然后第二条他自己一个人的特征，他的特征是什么？每一段都是常数。从图像上。图像上。是台阶状。能想清楚吧，哎，从图像上它就是个台阶状，这是它独有的特征啊。你要是别的类型的随机变量，

它的分布函数，它就不会具有这个特征了，只有我离散型随机变量的分布函数才具有这个特征。而且除了这个特征以外，你还会发现。你在这个台阶的话，这个你有跨台阶。就这个台阶口啊。你看这个台阶口，台阶口是不是我的概率的取值点呢？那三个点负一一三不就是我的取值点嘛，所以说第三个特征。啊，它的。台阶口。

或者叫分段点。啊，分段点处。为概率的取值点。好，这个人。所以像这样的一个问题点呢，把它想清楚，晚上还有课吗？没有啊。今天不就是下午的课吗？啊，晚上没这个原本原本我们是那个昨天昨天的话有冲突啊，然后这两天。呃，

放那个课程呐，那都排的比较密啊。所以一般情况下，我们的课都在晚上。有的时候放到这个下午的时候，可能我晚上有一节课，要不然的话可能晚上呃会有别的课程啊，你们稍微的呃，注意一下，这个时间就行。好吧呃，这是这样的一个问题，所以把这个东西啊，把它梳理清楚，你看离散型随机变量，

你分布函数的特征。你就是在这里面分段点啊，就这个台阶口，这个阶梯口，你是我的概率取值。所以说像这个问题学清楚了之后，然后接下来我们其实就有第三个问题了。这最后一遍啊，把这个知识点呢，一定把它给我记清楚，那如果是什么呢？已知离散型随机变量的分布函数。我去求分布率。你怎么去求呢？你这个人也得会呀。

而且有些同学可能呃读题的时候他看不出来，你说如果分散成这样了，他又会了。那这个很简单。那比如说我们就像刚才这个题，我把这个分布函数我们拿过来。你就来跟我看这个分布函数。好，这个分布函数。这是这个分布函数。那这个分布函数，如果我们给成这个样子。然后让我们去求解什么，让我们去求解它的分布率。那这个很好求啊。

那这个考点的部分内容不就变成这样吗？首先第一个事情，台阶桩。阶梯口是负一一三。你要进去去求负一处的概率，怎么去求啊？不就是已知分布函数去求这个点处的概率吗？那就是小于等。就该点值。减去小于该点的左极限。该点处的值是零点四，该点处的左极限就是零=0点四，其实你就记住就是左减右。啊，就是有等于号那个部分减去，

没有等于号这部分。所以我们在这里，你看就是这个人减去零。啊，减去零那就是零点四。然后你再来算一下，比如说我们要进行算谁呢？你算一。那小于等于的话就是分布函数在这点值减去左极限。那就是这个人该点值减去左极限零点二，然后最后呢？一加是一零点几零点四。啊，这个情况。那另外一点呢？

呃，我多强调一嘴啊。那么，其实我们在考研的时候啊，我稍微多一岁啊。我们其实我们的考研不会考无穷级数。哎，不靠无穷技术。但是其实你会发现一个事儿，离散型随机变量。它的取值能不能是无限多个呀？能不能可以是无限多个吗？我住到这，能不能？可以的，

因为这个人的话，他的分布可以是无限度更你，比如说柏松分布。泊松分布就是无限多个。那无限多个的话，其实这里面当中就会牵扯这样一件事情。平那这里面你要想清楚，我们这些人的这个加和是几啊？我们在这里面当中有一个特性，就是你I从一到n，你把这些人进行加起来，你要等于一。它其实不是从一开始加，你要把这所有人进行相加它等于一。就是从一加到无穷大，

你要把这些人给我加起来，他一定要等于一。哎，必须等于，但是如果对于一个数列而言，我们其实不需要，需要写正，我们就写这个正。但这个知识点呢，是一个无穷级数内容。啊，就是无穷多项相加。无穷级数内容。那么，尤其是话考研当中啊，

你比如说我举个例子。比如说I从一到无穷大。所以这里面当中四分之一I次方，你怎么算？其实我们考研也只会考这个人。别的情况都不会考，别的情况如果考了，那都不可能的。顶多考一个这个人。考一个等比数列的无穷技数。顶多考这个人。顶多我考一个，哎呀，这是个等比数列等比数列的无穷技数。等比数列的无穷级数的话，

其实就是一。啊，这是四分之一的一次方。四分之一的二次方。然后这是四分之一的N次方。然后一直加下去。你怎么去求呢？你在这里面当中进行去求解一下。你去求前n项，你再让n趋向无穷大不就行了。前n项等比数列的话，一减公比首项乘上一减公比的N次方。你再让这个n。趋向无穷大就行。那所以说求一下极限，

这是四分之三。你发现这是一个。大于零，小于一的在正无穷方向，极限是零，那这四分之一所以就是三分之一。好了，像这个问题啊，我们把它注意一下就行了。但是啊，考的几率趋向于零。哎，不太会考，因为这里面也不是说没有题可出了。也没有说这个哪一年过程当中啊，

实在是没有意思，没有意思到这个点，那你大纲里面进去多考一下不就行了，你考到无穷级数，你想怎么出就怎么出。其实大纲你比如要求到无穷级数。那你想怎么考怎么考？还有这里面当中，你那么想继续去考二维连续性随机变量，那你就要求二重积分呗。你要求二重气氛，你想怎么来怎么来。所以啊，我们大纲里面当中就没有这些东西，你听一下就行了，

知道就行。好了，像这个问题跟得上我的意思吗？就是无穷多项相加嘛。无穷多项相加，你可以先加n项，你再让n趋向无穷大。对，如果真的是那个时候你还不如考数学三。那东西太多了。但是其实啊呃，这个前段时间。因为那那天下午有个同学这个心情，那个我看他给我发了好长好长私信，我看这个状态不对呀。

因为尤其到了这个后期，有的时候一些同学的话，你再走一个弯路啊，其实时间还来得及，你走一个弯路就来不及了。所以那天下午我看那个状态非常不对，而且我觉得他又复习的还可以，我就专门给他打了个电话。啊，就那天下午那个同学是今年是三战。啊，今年是三战，我看那个状态非常不对，但是我觉得今年比较可惜的一个点，它的前两年是考。

考的是三九六。然后今年是考数学三。啊靠数学站。所以我觉得因为这他这个今年的话跟我们。呃，今年跟着跟这块学习，我觉得状态都还很好。以前怎么复习的话，我们就不用管了。所以我当时看了一下这个事情，因为有时候非常着急，前两年考的三九六，今年考数学三。明显你就发现大家觉得这个听到很多这种消息啊，你自己学了你就知道了。

你不要听别人的口中去说。你学一下就知道，虽然我们现在学这个东西啊，学的还挺辛苦。这个辛苦不是说真题造成的，这个辛苦可能是模拟卷造成的。所以今年的模拟卷里面当中啊呃，考的广度考的也比较多。考的有些部分的深度啊，考的也比较多。所以你你你会发现你就觉得啊，这个东西很难，你真的进去去考数学三你就会发现这不是一个level的。真不是一个水平，也不是我，

因为我两个板块的课程我都教，无论数一数二数三的课程，还有我们三九六课程我都进行讲。你可以去对照一下，根本不是一个水平点。所以啊，我们其实这样的一个点呢呃，我们站到我们这个水平点，把这个东西啊，你学清楚就行，所以有的时候遇到问题把它解决就行了，不要每天的话在这抱怨抱怨那抱怨去。你抱怨完了之后，只有时间过去了，你最后你发现这个知识点，

你还是没有把这个东西啊，你复习到位。所以大家注意慢慢来啊。好了，像这个点呢，我们就讲到这。跟得上吗？当然了，我们其实觉得考三九六确实。呃，数学上确实简单比三呃，这个数学三呢要简单很多。但是其实你发现这个我们学的科目也够多的啊，好了，我们不多说了，

我们继续吧。所以把这个知识点呢，你就要注意到位。所以接下来回来。继续来看，对于离散型随机变量。要知道他说的这个分布是什么意思？就是求分布率。知道分布率，它的分布函数具有什么特征？它的分布函数每一段都是一个常数。啊，每一段都是常数，那知道这个分布函数去求分布率怎么去求解啊？这个事情把它把握清楚，

然后接下来我们来看看我们考研必考的部分内容。连续性随机变量。这个内容必考知识点呢，一定会出题的。不用去想啊，一维连续性随机变量。那么，首先我们先来看看第一件事情，一维连续性随机变量。连续性随机变量的标志是什么？连续型随机变量的标志啊，我们在这块会定义一个东西叫做概率密度函数。我们会定义一个这样的一个内容。概率密度函数。好，

这个人那么这个概率密度函数啊，它是个什么情况呢？它这样的情况。就说比如说我给这个随机变量，你要知道你是这个随机变量的概率密度函数。我给了一个概，这个随机变量。比如说我这个随机变量的分布函数怎么定义的？有一个函数，这个函数的定义是这个随机变量小于等于这个人的概率加和。对吧，就是这个东西啊，小于等于这个点的概率加和。但是其实你发现它因为是个连续性随机变量，我这有好多个人，

我加不出来，我怎么办？我可以用积分呐，所以说这个时候我就定义了一个函数。你不是要求这一段你不要求什么，你要尽心去求，从这个负无穷。对吧，你一直要求到这个点的概率嘛，你不是要从负无穷求到这块儿的概率吗？那我怎么办？我就来定义一个函数。我让这个函数从负无穷积到这儿，对它进行去积分，已经用了s不能用，

再用s你换个t。我从负无穷到s对这个人积个分。那这个时候也能求出这个概率，也能求出这个分布函数。那我怎么办呢？我就把这个函数叫做概率密度函数。所以说你想想概率密度函数是用谁来定义的？概率密度函数是用分布函数来定义的。注意概率密度函数是用分布函数来定义的。那么，接下来我们再来看看第二件事情。是谁都能做概率密度函数定义啊，如果写你写分步函数，你把它给写，你就是从负无穷期到谁第二件事情。

谁都能做概率密度函数吗？不是的。不是说谁都能做，那在这里面当中，我们来看如何判定？一个函数。是否。是否为概率密度函数。这第一种问题。那你给我判断一下。你判断一下这个东西到底是不是概率密度函数或者？已知。一个函数。是概率密度函数。求其中。

参数问题。那这两种问题啊，其实我们在考试当中考的非常多。你给我判断一下是不是概率密度函数，或者说哎，我知道这个人就是概率密度函数里面当中有个参数，这个时候你要回到两个问题上。一个事情概率密度函数的第一个特性。就是回复性。非复性。恢复性第二事情归一性。归一性。恢复性归一性。那这个人非负性归一性，你要注意这个概率密度函数，

只需要保证这两个点。你只要能保真。你这个人。是大于等于零矩形。你只要能保证你是从负无穷到正无穷，你的积分为一就行。能听懂吗？只要保证非负就行。只要能保证归一就行。那第一个点。我想问你概率密度函数。要求小于一吗？要不要求？不要求注意。我只需要你是大于零就行，

你可以在这里面当中，你不小于一。没有关系的。然后第二点。我问一下概率密度函数。可以间断吗？能不能间断？那么，在这里面当中，我就来给你讲讲这个问题。你听清楚了。你要是一个概率密度函数。对吧，比如说你是个概率密度函数。你只需要满足两个点。

一个点，你是在这个x轴的上方。另外一个点，你这个部分的积分啊，比如说我们随便来。你必须第一件事情，你在s轴的上方，第二件事情，你这个部分的这个什么这个积分，这是个反常积分。你必须要保证这个部分的面积是一。就说你能保证清楚这两个事情，那就可以了，一个事情你在上方，一个事情你能保证这个面积是一就行。

那你想我如果万一有一天我把这个点给挖掉了呢？我把这个点挖掉，我在这儿点一个点。行不行可以的？没有问题啊。我是不是在x轴上方？我是不是保证了这个面积是一没有问题的？所以它走的是定积分的存在性，定积分存在性说连续的肯定存在有界，且存在有限个第一类间断点，那仍然存在。那万一出一个什么这种概念性的题呢？说概率密度函数一定连续，那就说错了，我可以间断的。

没有任何问题，我只要保证我在上方。我这要保证什么东西啊，保证我这个积分的话，这个人等一就行。好，这个问题就是给你概率密度函数，这个情况你要会操作。然后第二件事情我们再来看。再来看第三个点。第三个问题。连续型随机变量。随机变量。分布函数。有什么特征？

那连续性随机变量，你的分布函数有什么特征呢？那么，首先我们先看第一个事情，你既然是分布函数。首先，你是一个分布函数。你是分布函数就要满足四点。这是第一件事情。第二件事情。那除了这四点以外。还有没有它独有的呢有？因为你发现它的分布函数的定义啊，是从这个积分开始定义的。那这个定义的话，

它是这样进行定义的，我们来看看这个事。你看这个定义。我们原来讲过。里面是连续的，外面是可导肯定连续。里面不连续，只要是有限个第一类间断点，外面仍然连续。所以它就不仅仅是右连续了。对吧，不仅仅有连续。右，连续。而且是连续的。

什么意思呢？什么叫连续？连续就是左边跑到这个点，右边跑到这个点，既左连续也右连续。所以我们加一个。右，连续不仅仅右连续，而且左连续g是连续的。能听懂我的意思吗？所以说这个人的分布函数，他的特征是什么？我不仅仅右连续我，而且左连续。对吧，

也就说它的分布函数的特征就是我的分布函数是连续的。这是你要注意的分布函数是连续的。那如果分布函数是连续我们接下来就好办了。所以啊，它在一个点处的概率啊，它就会等于零。住在这儿。连续型随机变量。随机变量一点的概率等于几呢？等于零。一个点的概率。那为什么一个点的概率就会等于零呢？那刚才我们讲过，你比如说我要算a处的概率，我怎么求？

小于等于该点值，小于该点左极限。原来未必左连续左极限，未必等于函数值，所以说这两个东西可以不相等。但是现在左连续左极限一定会等于函数值，现在一减咔的为零。所以啊，他就比原来的这些东西啊，要做的强了。就说我在一个点处的这个概率啊，等于几呢等于零。哦，连续性随机变量一个点处的概率，它会等于零。

那既然有这样的一个问题，那么接下来我们再来看看第四个事情。连续性随机变量如何去求概率呢？如何？求概率，那这件事情我们在原来的话，这个复习的时候啊。我们重点讲。你不要做题的时候又给忘了。我们先来看看。连续性随机变量如何求概率呢？一，利用分布函数。分布函数。分布函数就是跟概率挂钩，

它可以求概率啊，还有一个事情用概率密度。密度函数。那么，这里面当中，两者之间的一个区分呢？你想清楚。你琢磨一下。你比如说我们现在进去去求。比如说我们是小于a。跟小于等于。一样表以前一样表。以前不一样。以前一个点处的概率不一定等于零啊，以前不一样，

但现在一样，一点概率等于零。都会等于分布函数的值。呃，很多人说那还有一个左极限，左极限也等于该电池，因为我现在我而且是左连续的呀，以前未必左连续嘛，你要注意这个问题，它独有的特征。能想清楚吧。那么再来看，那如果是大呢？那跟大于等不是一样吗？所以你就记清楚我们到底怎么做，

你比如说还有。大于等于a，小于等于b。跟大于a，小于b一样不一样。你看这个情况。这个情况以前是b点值减a点值，或者是b点左极限减a点左极限，或者是该点只减去左极限。现在都一样。现在都是端点做长。都是b-a。而这个东西可以看作成什么？可以看作成正无穷减a。因为内侧是正无穷嘛，

而正无穷的结果是几呢是一？而你后面这个东西，你可以认为成什么，你可以认为成。a点处值再减去负穷值。负穷值是零吗？所以分布函数是什么呢？分布函数就是端点坐差。做差有两个端点，就是两个端点，做差没有两个端点，两个端点就是正负无穷。要想记住，永远都是端点走查，或者呢，

用这个人进行去积分。你像第一个人，我小于a呢，那就是从负无穷极到a对概率密度函数积分。如果第二人呢？就从a机到正无穷，对概率密度函数积分，如果是这个人呢？从a机到b对这个人进行积分。能听懂我的意思吗？好这个人。所以你想想一个事情，我们是用端点做差的方式来做一个事情，是用积分的方式来做，你喜欢谁呀？

你觉得谁简单？你喜欢积分还是喜欢做差呀？你说你喜欢积分。那就没办法了。你喜欢积分呐。如果这个题既有分布函数，也有概率密度函数，你喜欢谁？我肯定是喜欢我带值多简单，我把值带进去和积分，你觉得谁简单，那肯定带值简单啊。所以俩人都有的时候，那端点做差肯定简单。如果只有概率密度函数呢，

那你就积分。这个情况，所以吧，这几个问题啊，我们就梳理到这。所以说，对于连续性随机变量而言，它的核心重点就这样。如果给了一个概率密度函数，哎，我要去求参数，这是经常会考的。然后的话，这个人的连续性随机变量的分布函数是连续的。能想清楚吗？

自己下去列一下，这是知识点特别少。所以现在我们就来回来。再来看一个题。你来看看这个题。来抽象。看一下这个题。那这个题是不是分布函数呢？你可以直接检验。如果这个人的图像好画，你就画个图。那我们先看看是不是分布函数？那首先第一件事，他从这个人他克尔都是零。然后零到一的时候是二分之x。

大于一的数是一。所以说这个部分是一。然后这个部分不取。好了，这个情况诶，这块取。这块儿敲错了，对吧？如果按照是把它改一下。哎，这题敲错了。啊，是这样。把它给我改一下，其实这个零这个点无所谓。

一这个点很重要。把它改一下。好是这个样子。把它给我改一下。可以吧，把它改一下，是大于等于一这个情况左闭五开。那么，接下来我们看看是不是分布函数呢？那正无穷是一负，无穷是零。而且这个人是单调不减，一直往上跑。然后是位于零和一之间。只有在这个点，

你看这个点处，它是右连续。所以它是不是分布函数？它是分布函数。那是的呀，那是离散型随机变量的分布函数吗？那不是离散型随机变量分布函数每一段都是常数，你不是的，而且台阶状。那你是连续性随机变量的分布函数吗？不是的，连续性随机变量的分布函数是连续的，他说老师不对呀，你刚才讲了，它不是可以间断吗？

那是概率密度函数。你把它给我分清楚。概率密度函数可以间断。但是它的分布函数是连续的。那所以说这是谁的分布函数，指的是既非离散，也非连续这个人的分布函数。想清楚啊，幺六九这个题。所以像这种题目，它的操作形式啊，我们把它学会了。跟得上吗？它只能是既非离散，也非连续这个人的分布函数。

好了，这是我们讲的这样的一个第一个问题，那么接下来我们继续，我们再来看几个题。你再来看看这个幺七三这个题。好，这个人那这个人叫做什么呢？这个人叫做已知分布函数。叫做已知分布函数。求概率密度函数。是不是这一段？所以接下来我们来看看这个事情，那分布函数跟概率密度函数之间的关系是什么？分布函数跟概率密度函数之间的关系啊，是这个人。

这个分布函数，它是从负无穷到s，然后这个ftd t。我们说过一个事情，如果里面是连续的。那外面就是可导的。而且你的导函数等于五。而分段点外就是连续的呀。所以说这个人做题方法就是分段点卖，直接求。啊，分段点y直接求。直接求。哎，直接求解。

然后接下来我们再看那分段点上怎么办？如果你说分段点上用定义，那你就是没有一点学过概率论的这个思想。那可不是用定义那分段点上怎么办？我们刚刚讲过概率密度函数在一个点处，有没有意义啊？没有意义，随便挂。只要大于零就行。只要恢复就行，这样严谨一下。只要恢复即可。所以这就是他的操作方法，分段点外直接求分段点上随便挂，我想怎么办怎么办？

对吧，你只要这个东西恢复就行，所以接下来我们来看看这个事情。这种题啊呃，直接出的这种可能性比较低。好，我们先来看看这个，第一个人来解。那概率密度函数呢？就求呗。这一段求导是多少？这段求导的话就是前导后不导。再来是前面不倒，后面来倒负负得正一的负s。然后s大于0s小于零的时候，

零求导是零。那等于零怎么办？随便挂你就挂在下面吧啊，一般我们都挂在零那块，所以说这个结果就是s倍的e的负x。s大于0s，小于等于零的时候，这就是零了。好了，这个题啊，非常的简单。好了，我们再来看看这里面当中的第二题，你继续，你再看这个题目。

你看一下它给了一个分布函数。但是你要注意它是谁的分布函数？连续性随机变量的分布函数正无穷，是一负无穷是零。而且的话是大于零小于一，不光右连续，而且左连续，这是它的特征，所以正无穷就是一负无穷就是零，这都没啥看的，那就看连续。连续的话，首先我们先看看零处。零处的话，这半边的右极限是几右极限是零？

左极限也是零，该点值也是零啊，这个没有啥看的了。所以我们就来看一处。一处的右极限是几一？左极限是几？左极限是a该点值是一，所以说立即得到a是一怎么这么简单呢？这题。好了，这是这种方式，然后接下来我们再来看看概率密度函数，那就求导呗。这段求导是零，这段求导是零，

只有这段求导，那这段求导是多少？这段求导是2s大于零，小于一。然后其他部分求导都是零那分段点上呢，你就挂在这，这就出来了。然后第三件事情我们再来看。然后我们求这个概率。这个概率你可以去积分。你就是从五分之一到三分之一，对这个人积分那可以，那么其实最简单的话，其实当然是做差呀，分布函数在这块值。

分布函数在这块值，你直接带值就行了。你在三分之一处置职能。三分之一处，只往这带。九分之一，五分之一处，只往这带。二十五分之一。果然这个以前的考题是真够简单的，对吧？你看这个一二年这破题，这还大题呢。这大题也没什么挑战性啊。好了，

我们再来看看下面这个题幺七五这个题。好，先看这个题。那这个人呢？他说这个人是个连续性随机变量，他的分布函数。连续型随机变量的分布函数一定是什么？一定是连续的吧。它不可能间断。那这是离散型随机变量的分布函数。那么，一定是可导吗？那不知道，我们只能说是连续，所以答案选几啊？

选d有这破题。其实吧，你这两年考的概率也差不多都这样。你你去看看那个概率题，这两年的过程。这概率的话，不是说特别难，你就是把这些基础的知识点都找不清楚了。都吃透了，非常容易。你再来看这个题。第一件事，那这里面当中给的这个概率密度函数。对吧，给了概率密度函数，

然后让我们去求常数。概率密度函数当中含有待定参数，非负没啥用，我们就直接归一。归一其实就是负无穷到正无穷。对这个人积分是一。那负无穷，到正无穷，其实只有负一到一这块积分，它是有效这根号下一减x方这个积分。那所以说这个结果等于二c倍的零到一，这是根号下一减s方ds。这积分等于多少？这个积分不就是阿克塞因吗？零和一那这二分之派啊，

所以等于派c=1。好，这个情况，那这个出来之后的话，马上来看这个c就等于多少派分之一？好第一问，然后再是第二问，那第二问的话，这个人你只能怎么办？那没有分布函数，你不能说把分布函数求出来再做差，那直接积分就行了。人机那直接机的话，负二分之一到二分之一都在这个范围内，所以就是负二分之一到二分之一，

然后是c是派分之一。根号下一减x方ds。那然后接下来是二倍的派分之二。那就是零到二分之一，这是根号下一减s方ds。然后这是派分之二，这是多少？这是阿克塞因，然后把零和二分之一带去派分之二。那这个时候的话，这个二分之一代是多少？你s in多少等于二分之一六分之派，那这是零所以说这个结果三分之一啊，这题这个题还能再考。就现在我们还可以再出这个题。

这个题可以再考啊，就是原模原样的话，考一个这个题没有问题，说已知概率密度函数是它则这个概率是多少？可以考啊，这是幺七六这个题。然后再来看看幺七七这个题。这个题就简单了。所以以前过程当中这些题啊，不是说都没有质量，那现在的话，那些题其实概率部分考的也不是说特别的难。来，我们再来看这个人给了这样的一个概率密度函数第一问，然后去求解这个常数c那有位置参数归一性呗。

那这个归一的话，其实重点而言从哪归一啊？就从二到四归1 CS这个积分。所以说这就是二分之多少c，然后呢，平方就是16，然后再减去个四，那就六倍的c=1。c等于几啊？c等于六分之一。然后第二问让我们进去求这个概率，那求概率的话，这个人就直接积分就行了。所以就是三到正无穷，对概率密度函数积分。

那三到正无穷，也有个极限呐，也就是到四那四就是顶线了，六分之s进行积分，所以说这是十二倍的s平啊，这个平方。然后把三和四一带出来。那最后的结果就是多少12分之多少一四四一十六啊，这是七。好了，这是幺七七这个题啊，这个题啊，你发现大题考的也不难。来吧，我们继续，

我们再来看下面一题。这题啊，求了期望我们再说吧，这题你别小看这个。你没发现这个这种题其实就是现在的吗？就给了一个概率密度函数，里面放了一个未知参数，说啊，这个人的期望等于多少？你就包括的话，去年的话那个。二三年的考研真题。它经常就就这样，你比如说我们看看去年的真题。那去年真题不也这样吗？

你看。诶，这个题。你看这个题。那这个题是他。然后你再来看看这个去年这个题。那不就是他吗？是吧，就给一个概率密度函数，里面放了一个参数来归个1a出来了，求个齐王。来给了一个概率密度函数，里面当中有个未知参数，来归一个一，然后把a求出来之后来求个方差。

不就这个破题嘛，所以你发现这个呃，大部分这是去年的真题。哎，能想清楚吗？就是以前的话，他可能会出一道大的，但是现在而言的话，这个部分的东西啊呃，基本上出的这个小题的概率比较高。好了，那么接下来我们继续吧呃，这个题啊，我们先放到这啊，到时候我们再求，

到后面我们再说，你自己把它算一下。让我们再看看。这个题啊，重复了就不做了，幺八零这个题啊，就不管了。这题跟刚才的重复了。好了，那么接下来我们把时间呢放到最后一个题。把这个题啊，我们来讲讲。这个题目那这个题目考了什么呢？就是给的概率密度函数，让我们去求分布函数。

对吧，求分步函数。所以这个考题是我们在这个当中啊，最后一种。已知概率密度函数。让我们去求什么？求分布函数。啊求，这个分布函数你怎么去求？那么，接下来我们看看那这东西怎么办？就是用定义。你就直接用定义就行。所以做题的套路其实非常容易，我在这里面当中，

我先写出分布函数的定义。负无穷到x。ftd t.就是在这里面，你怎么办呢？你第一件事情，你把那个数轴啊改成ft。把数轴改成ft。就是你做题方式的话，就是你拉条线。然后把这一端。写成ft。然后你让什么东西呢？你让一个人。始终从哪开始走呢？

你始终从负无穷开始走。那就行了，你就走呗。啊，你发现我这个人。我走诶，腿断了，等等等一下。这个很讨厌的，腿都起不来了啊。那我们来走啊，走着走着，你发现你看。哎，我一直走，

我一直走，对吧？哎，走到这儿都是同一个人，那你发现一个事情，我们就对答题。万一跨过了一个之后的话，你发现变样了啊，对不同的人群，你再换就行。什么意思呢？我们来看看这个事情。那么，接下来我们来看看这里面当中的幺七九这个题。来看一下这个啊。

来看这个题。那这个题啊，你做题方式的话，他让我们去求这个人分布函数。啊，你求这个人。那其实就是负无穷到x，然后是ftd t，我们要对它几分。那做题方式的话，其实就这样，我们先来拉条竖轴线。他说我大于零的时候是二分之一，不要写x啊，是t的三次方e的负的二分之t。

t的平方。这个人小于零的数，这是零。那这个时候我们进行去走的时候，你就会发现。它会有几种情况？两种情况。你发现如果我这个人继续去走，我一直走一直。我一直走一直走一直走，你要我一直走。我只要在这个临之前。我是不是一直走过去都是对他挤啊？能听懂我的意思吗？只要我不跨过零。

我跨过零的话，我就要对它几张，所以只要我走到这个路线的话，你看我说我走到哪，我走到这。就是我一路上走，我只要我走到这条路线，你看这是我走的路程，我这个走的这个这个这个情况。我只要这个s不超过这个零，我永远都是对顶级。但是你发现你看，如果你走着走着走着走着哎，你看你跨过的它，你一跨你就要变了。

不是你变了，是你积分的这个对象变了。那所以这个时候我们其实就会分成两种情况。第一种情况，它就是负无穷，到这个s1路上都是对顶级。第二种情况是负无穷，到零的时候对顶级，然后是零，到x的时候对谁对二分之一t的三次方。一亿的负的二分之t方，然后进行解。能想清楚吧，然后这个时候x是大于零，这是x小于零，

连续性随机变量的分布函数是连续的。如果是右连续写左闭右开，如果是连续的随便来无所谓。不会管的，你想怎么样啊？这只是小于不好意思。随便来，我想怎么样怎么样，这无所谓的。那么，就像我们提一想，这段是零呐。你下面这段呢？那这段也是零你重点记这个分就行。那这个分的话，

你就可以把这个人稍微的进行凑一下，这是零到s。你把这里面这是二分之一，你这是t平方。你把一个什么东西呢？把这个呃t进行凑到后面去t凑到后面去，刚好是二分之t方。是e的负的二分之t方d，二分之t方。好，这个结果那么现在怎么办呢？我们要进行去算啊，算一下这个人，其实你可以换呐。你把这个人也写成二分之t方。

你想换元的话也行，那这时候换成uu倍的e的负udu。啊不不不，这不是伽马函数，不不不没没没有，不是伽马函数。伽马函数是个反常积分。伽马函数一定是零到正无穷的反常积分，不是的不是不是的。那所以说零是零，然后s带进去的话就是二分之一x的平方。好，这个情况，所以现在我们要进行去分步积分，那这个时候我们来把它记一下吧，

那其实就是u乘上e的负u底用。然后这是ude的复用负的负的u倍的e的复用，然后的话加上e的复用。所以说这个时候其实就是负的u倍的e的复用。减去e的负一，然后把这个零和二分之x方带进去就行。好了，这个情况我们就写成这样。那么写成这样了之后，我们把它往里面送。第一个人是二分之x方一亿的负的，二分之x方减去一亿的负的，二分之x方。好这个人，然后把这个零带进去的话，

刚好是负一，那就是再加个一。所以说最后的结果就是一的负的二分之x方。然后这个人是。诶，这个整体都是负的。对吧，俩人都是副导。是这个人。再减去个x倍的，这是二分之x方倍的。e的负的二分之x方，你再加个一就行了。好，这个题其实我很喜欢这个题。

因为这个题。看起来运算上让人恶心那么一下。我觉得很好。对吧，不然的话，这个题呃，从核心部分的东西当中啊，毫无价值。就是如果运算的时候的话，你你就注意这个点，从这记到这分情况就行，你会分就行，所以说这种情况的话，最重要的问题就是什么呢？你又会分类。

哎，这个事情。你要会分类，然后剩下就是积分，我这个积分还来那么一下，这都不算恶心，这这这破积分。那毫无难度系数的就是稍微的让很多同学提高一下耐心。对吧，不要稍微算一下就毛躁了。有些人就不喜欢那种稍微里面当中，哎呀，如果要进去去凑一个符号，心里非常难受。稍微进去就凑一个分之一，

非常难受了。就喜欢那种完完整整的，比如说就喜欢这种样子，哎呀，这一下就凑到后面去了des。那是你喜欢的，不是出题人喜欢的。哪有都都都像这种样子的，那这考考啥意思啊？这期末考试都懒得考了。稍微磨一下。不要抽一个符号，哎呀，难受了。大家都知道，

凑一个符号了之后，分步积分法前面是负的，后面负负还要得正。对吧，你凑一个东西不是简单运算的，磨一下性子。好了，这个题啊，我们就讲到这。这这种问题。所以像这种点呢呃，不是说特别的难对吧？包括去年，其实这个概率的题啊。你看这个题考的也很简单。

它给了一个概率密度函数。然后的话，它直接让我们进去去求这个二。你求这个二不就是负无穷到二，然后这个fs进行积分吗？一下就出来了。你看考的这个题。然后你看看这个题。标准一点。然后第二问呢呃，你就用概率密度函数积分就行了，或者用分布函数做差。那么，在这里面当中，其实就是四处的值。

再减去负二处的值。而且四处的值等于几呢？四处的值等于零，直接把谁呢？把四处的啊？这个负二处值等于零。那就是这个人，你带就行。把那个四啊往这里面一呆，这题结束了。啊，不讲了。不可能，不会算吧。带职业不会了，

四四一十六这是负八。四一代的话，这是二一的负八加个一。一减去e的负八次方。一减去e的负八次方。好，这个结果所以下去啊，把这个类型问题好好梳理梳理，你看这个点呃，操作起来倒还是可以的。把一些重点的部分东西啊，你好好看一看。然后下节课，我们将会在这个。呃，

重点的部分内容，我们将会去讲常见分布。所以下节课一次课程，我们将会把这个所有的问题啊，给全部结束了。那也就代表着我们的概率论部分呢，我们就全部能讲完。那下节课有几个重点，一个事情。是啊。负几16。负九什么哦，这前面是负的是吧？负的e的负八减去二倍的e的负八加一。哪一块？

我们代讲。all.你说说哪个部分呢？哦，这是平方对吧啊？好一代就行了。行吧，这个这个前面有个平方。啊，这是所以说这个是八负九啊，负九倍的e的负八次方。啊，最后答案是负九倍的一的负八次方加一。好了，这个问题啊，

我们就讲到这。然后下节课一个重点就是我们的常见分布，那么常见分布在考研的过程当中，考的是非常关键的。那这块类型当中啊，一般会出呃一到两道题吧？反正一定会出题，所以说像这个板块内容，这是个必考点。啊，必考点。呃，模考的话，建议我没有建议，我原来就跟你讲过这个问题，

因为每个同学擅长的部分是不一样的，你也不用进去去问别人。你做几次你就知道了。你考个多少次对吧？考个几次了之后，然后你自己再进行去感觉。啊，能听懂吧？行吧，那么这个问题啊，我们就讲到这，那么今天的这个重点内容，你们自己多看看课表啊。课程的部分呢，你就进去去看课表就行了。

好了，那么这个部分呢？我们就说到这，然后下次我们的重点而言呢，我们将会进行去呃突破这个最后一个部分。常见分布。那常见分布里面呃，尤其是正态分布。还有我们喜欢考的波松分布，还有我们喜欢考的指数分布，这几个人呢，考的很重要。所以下下节课我们肯定会把这个部分呢给结束掉。常见分布我们应该会讲这个30分钟到40分钟。然后紧接着我们去讲一维随机变量的函数分布。

二维的离散性随机变量还有最后的期望和方差啊，不是说特别的难，你自己稍微的进行去注意注意。行吧，那么下次课程呢，我们再来继续去讲下面一个部分内容。啊，提前呢，把这些该做好准备的东西啊，你先做好准备，然后这里面当中我给同学们一个提前呃预习的一个任务。你这都不算预习了，就要复习，把长线分布啊，离散性的分布率要背过。

连续型的概率密度函数要背过，这是一定要记住的。嗯，概率标准化的题求方差。标准正太。不会啊，不会不可能。你标准正态化了之后，你用出来那个那个结果都是固定的。不会的不会的，他他不会是他不会有很多答答案的，他期望和方差是个数，他肯定是固定的。唯一的结果。啊v1结果。

你可能套公式是不是套错了？或者是出现了什么问题啊？21季的话，叫我看看排今天昨天排一天两天。看看周五能拍完吗？周五排完的话，我们周五就发了，周五没排完的话，估计得周日。好呗啊，今天部分我们就说到这。那么今天课程呢？我们就讲啊，一般的话，他们哎呀，

他们我我是我控制不好，他们有的时候速效率非常高。有时候效率效率相当的慢。我有一天的话，我去跟去跟那个出版社排版，就改一个什么呢？改了这个序号。就把这个序号改成这个样子，你们别看这个答案了。就是这个，这个序号就是前面这些序号，把它改了一下。改了个序号，改了一天，我都觉得这种工作我也想想上，

对吧啊？改一天把这个括号从这个改成了什么，改成了这个。这种工作。无比的幸福，对吧啊？就把这个东西改成了这个东西，给我改了一天，我从上午的这个呃，他们应该是九点钟上班，九点钟上班呢。我就跟他们进行去调这个东西，调调调对，还调了一个东西。还调了一个，

就是把这个边框，你看那个虚线的边框下面加了一个阴影哈对下面。下面还有加了个阴影。阴影好，这两个工作改了一天，从九点钟改到下午的五点多钟哇，真的是啊。行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这，自己下去把这个相对问题好好处理处理啊，今天东西啊还比较重要，对吧？东西还比较多。所以下去把这个有些有些相关的一些东西啊呃和操作啊，

把它好好梳理梳理。行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这。可以了吗？自己下去好好进行把呃，这些点该记的东西啊，记到脑子里面，这就是最后一遍。啊，这就是最后一遍，不要再进去，想说我下一遍怎么怎样怎么样？卷子难不难？还行，

中档啊，还可以，但是有有几个题啊，我可能你自己做吧，你自己做，你自己去自己去感受吧。因为其实也不好说里，因为里面当中有几个题。嗯，行吧，自己做吧，自己做。嗯。第三套。应该没有第三套难啊。

应该啊，你自己做吧，你提前嗯，是不是都把这些东西告诉你了，你模模拟的这个效果不是稍微的会差一点点。那行吧，那么今天课程我们去讲到这呃，一会我把这个部分呢，我给你传过去，然后呃，明天考试的那套卷子啊，会在明天下午就给你们讲。我最近课程非常多，所以说这个时间呢，有的时候呃，

因为我们只能放到下午，因为我晚上还有一节课程。所以明天下午我们就把这套卷子我们给讲了。好，那么今天课程我们就讲到这儿，自己下去把有关问题啊，好好处理处理，然后明天上午还是那个呃八点半，然后到十点钟你们自己准时准点的进行去模考一下。好吧，同学们好，那么今天课程呢？我们就讲到这儿好，下节课继续吧。刚换三九六五。

呃，刚换三九六的话，你以前是按照数学三复习的话。你可以先做模拟卷，你觉得想刷一个系统的的话，你可以继续去做那个800题就行了。啊，可以做那个部分就可以，好不好？如果你觉得时间不是说特别够，你可以继续去呃。做做做模拟卷也行，它也是个系统性的完整的东西。哦，这个卷子。

现在是四点。叫我看看，稍等我一下。嗯，十五十五分钟，15分钟之后你去下载，你别看答案了，对吧？你别看。15分钟之后，你去下载啊，因为基本上我们叫叫声差不多15分钟之后，你可以晚上的时候你把它打印一下。好，那么今天课程呢？

我们就讲到这儿好，同学们好，明天见吧。

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