16.冲刺串讲16-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:07:18

好，接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测试声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们准备开始了。那么，今天我们还是继续开始我们的冲刺救命班的课程，还是第一个阶段冲刺大串讲呃，上次过程当中啊，我们刚好讲到这个概率论。第一章过程当中的内容还剩下最后两个知识点，一个事情叫几何概型，

还有一个东西啊，叫做全概率公式和这个贝叶斯公式，那这两个东西讲完了之后啊，我们这个第一章就全部结束了。那么今天呢，我们的重点呢？其实应该是第二章呃，所以说在这个正式上课之前，我先简单跟同学们去讲一下这个后续还有几次课程的一个安排。因为有些同学比较关注这个问题呃，不知道你们今天的这个课表里面进行修改了没有，然后今天是。11月1号。对吧，今天是一节课，

那么今天的过程当中，我们的核心重点，我们是讲解概率论啊的第二讲。呃，这是第二节。对吧，这个部分。这是概率论，然后到了这个11月3号。啊，这天我们基本上11月3日就这一天讲完了之后的话，我们基本上应该是。讲解这个概率论。的第三讲啊，就结束了。

所以说这个概率论呢，其实非常的快啊，里面当中的内容啊，今天是最核心的啊，今天的东西啊，非常多，你把这个今天的内容攻克下去。第三部分呢，我们就结束了，然后紧接着11月。四号啊，这天我们讲解线性代数。第一个部分，那这个部分的话，我们应该是去讲这个第一章，

然后这个是11月6号。六日。然后是线性代数的第二个部分，然后是11月的八日。啊，我们就基本上结束了，所以说核心重点其实就这三个板块啊。好，后续的话，这个串讲部分内容啊，全部结束了啊，所以说所有部分的东西基本上就到这儿，所以后续啊，还有这五次课程应该会进行去增补的。所以你们不用急心去担心这个问题，

好了，讲到这个10月8号，我们这个线性代数啊，就全部结束了，你可以看得出来这个。现代和概率部分的内容啊，其实没有说那么的多，尤其而言的话，这个概率的部分呢呃，东西是最少的，这门课程呢，应该是提分最快的一个板块。你要是这个板块的东西啊，学的不是说特别好，你就有点尴尬了，

对吧？你这个分数很难上去好了，那么接下来不多说了吧，我们就直接开始。然后这个明天呢？明天。呃的，上午我们应该是有这个第四次模考啊，这个明天明天有第四次模考，因为这个卷子啊，我们基本上已经弄完了，然后刚才在审。啊，审了一下，一会儿的话，

基本上我们下课了之后应该五点钟吧，就给你们传过去，你们晚上可以把它进行去打印一下，如果你想进行去参加明天的模考，你可以进行。然后这个十套卷的话，我也基本上呃审了好多遍了这个。排已经排出来了啊，当然的话，最后不是这个颜色啊，因为这个出版社的排版都是这个颜色，然后最后的话印刷可能要换颜色，所以里面当中的东西啊呃，基本上也都。全部都。

巧合了好几遍啊，然后的话，这个问题点应该不大啊。好了，那么这个事我们就说到这吧啊。那么，接下来我们就继续吧，我们再来看看这个下一个部分问题，我们先来看看这个上次过程当中讲的知识点呢？古典概型呢？下去把它好好看看。对吧，古典概型那么在古典概型里面当中其实最重要问题是摸球问题，你把那几种情况一定要会摸球。对吧，

把这个摸球这个东西啊，一定要会摸好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看几何概念，那几何概念啊，也是个重点。啊，这个内容也是个重点，非常容易出题。那么，在这里面当中，什么叫几何概型呢？他说，我去求解这个a这个概率啊。它就等于a的这个人的度量比上这个什么总的度量。

那这个度量可以是什么？可以是这个长度也可以是面积，那至于到底是长度还是面积呢？你就要看看有几个变量。对吧哎，最终问题有几个变量的问题。你比如说我们只有两个变量，两个变量的话，其实你发现你x在变。你这个x在变，你这个y在变，那同学们告诉我个事情，那这个时候是什么之比啊？那这个时候其实就是面积之比了。对吧，

这是面积之比，如果你有三个度量，这不太会考，对吧？对吧，比如说这是x这是y这是z那三个度量呢，你其实发现就是体积问题了，所以基本上核心重点应该是谁呢？应该都是面积问题。考一个度量太简单。考三个度量太麻烦，所以说我们的大部分的事情啊，其实考的都是面积的问题，那么接下来我们来看个题吧。我们来看看这个。

下面一个题目，我们来看看幺六七这个题。好，来看看这个题呃，这个题啊，其实你发现有些同学在高中当中啊，都做过这个题啊，那么接下来我们看看这个事情。他说什么在这个区间内啊，我们取两个数，然后说两数之和小于四分之五，两数之积大于四分之一。那同学们想想一个事儿。你这个问题是什么呢？你总的是什么情况？

总的情况其实就是我取两个数。对吧，所以说你发现一个事情，这个全集空间是什么？全集空间就是取两个数，第一个数是多少？第一个数位于零到一之间，第二个数位于零到一之间，而且这两个数啊，没有什么关系。你要求谁的概率呢？你要求这个概率，你要要求这两数之和小于四分之五两数之积大于多少四分之一？所以说这里面当中你要求的这个度量是什么？那就是俩人相加小于四分之五，

然后是俩人之积。然后大于四分之一这个人。所以说我们最后要进行求解的就是这个人，那你看有几个度量，有两个人，有两个人，其实就是面积问题，那么因此我们在这里面当中啊，我们来画出这个图。你就来进行去画个图就行了，来画一个二维的迪卡坐标系，你发现这个全局空间呢，其实就是零到一的这样的一个正方形区。啊，这样的一个区。

零到一的正方形区，然后第二个事情的话，其实就是两个人相加啊，小于四分之五，你要注意，这是一啊，这是一。你小于四分之五的话，这条线它其实刚好就是一条直线。对吧，就刚好是这条直线，就这个样子，然后这个部分交点是多少？这个交点刚好是四分之五。那么然后是两人之积啊，

大于多少四分之一，两个相乘大于四分之一，其实你发现你研究的是这个第一象限。第一象限是正等，其实就是x分之四分之一。那这是一个反比例曲线。而且这个点是多少？那这个点刚好是四分之一，然后一这个点，然后这个点是多少？这个一然后四分之一这个点。两人刚好交到这两点，因此啊，它就是这样的一个情况，对吧？

就是这样的一个情况，那么如果是这种情况的话，其实我们就研究什么？研究这个人的上面研究那个人的下面啊，就这个区域，那就是研究这个区域占了总面积的多少，你就求解呗。好了，我们接下来求一下这个a的这个概率。那总的面积是一乘一呀，然后这个部分面积多少？把这个东西啊对应下来，然后这个部分是四分之一。你可以用这个大的梯形，就是上底加下底，

你乘以高高是多少四分之三，然后再除以二。好，这个梯形你再减去下面的空白，就是从四分之一到一，然后是x分之四分之一ds。把这东西一算呢，它就出来了，可以了吧？我们就讲到这这个式子列出来之后会算吧，你看这个积分非常简单。啊，非常非常容易。所以像这个几何概解呢？我们在考研当中啊，

也是个重点内容。啊，就是我们很喜欢这样考，就是最重要问题就有几个度量，你要进去去看看对吧，这个全局空间是什么？你问的这个问题求的是哪个范围？你把这个东西标注出来，然后进行画个图就出来了，比较简单好了，那么接下来我们继续，我们再来看看最后两个问题。一个东西啊，叫做。行，

我给你算吧，这这种自信心得有对吧？好了，这个东西是四分之五啊，这是四分之几四分之五，然后八分之五，然后是四分之三啊。你得有这个三十二分之多少，三十二分之十五。你这种魄力都没有，你这这这怎么办？好了，我们再减去这个四分之一，然后这是lns，我们把四分之一和一带进去。

好了，那么接下来我们继续，我们再看。然后这是三十二分之十五，然后再减去四分之一呃，四分之一一带进去是零。然后这是luins啊，这是负负得正luins四分之一，因此这个结果它等于三十二分之十五，然后再减去多少四分之一倍的luins。当这个结果你发现，你也可以这样写，那有的时候这个答案说，哎呀，老师这里怎么没有答案？

你四是多少二的平方？把二移出去就二分之一倍的ln二。好了，像这个问题啊，我们就讲到这。可以了吧，这分不会算呐，你问我也没有用啊。啊，那说实话，这个。问题就相当大了啊，你这个分不会算好了，这个题啊，我们就讲到这，

那么接下来我们再来看看下一个问题，我们来讲讲全概率公式的问题。呃，这个知识点呢？其实不是热门知识点。你考了这几年过程当中，也不怎没有怎么进行去出过这种题，全概率公式，但是在今年出题的时候啊，它还是一个重点。所以接下来我们一起来看看这个事情，全概率公式的问题，首先第一个点完备事件组。什么叫完备事件组呢？完备实践组就是这样一个事情，

其实你发现你看你这是个全局空间。对吧，全局空间。你把它分成什么分成，互相不交叉的n个部分。什么意思呢？就是说你这是个完备事件组，我把它分。比如说我就分成了四个部分a1a2a3a4，你看这四个部分。那么，同学们告诉我个事情，你这四个部分两两交叉吗？两两不交叉。对吧，

你这每一个部分的话进行去相交。我们每个部分进行相交，你这个人是个空姐。而且所有人并起来就是个全集，所以我们这样进行去谈这个问题的时候，其实非常麻烦你，比如我举个例子。呃，举几个例子，比如说你去植硬币，植出正面和反面是不是一个完备实践组啊？是不是那当然是啊，两个人肯定不会交叉呀，而且合起来就是所有情况，那当然是。

如果去植色子植出一这个点植出二这个点植出三这个点植出四这个点。直出五这个点直出六这个点，这是不是个完备事件组啊？那也是因为你看每个部分不会交叉。你直出一就不会是二，你直出二就不会是一，所以说这些人不会交叉合起来就是个全局空间啊。所以大家一定要听清楚，这其实就是个完备时间组。啊，不像对立对立的话，其实就是里只有两个人。完备事件组就是把一个完整的空间分成了很多部分，你可以说像，但它不是那样好了，

这个问题啊，我们就说到这，所以什么叫完备事件组？你必须要把它想清楚，然后第二件事情我们再来看，那这里面当中我们就来看看全概率公式到底是个什么事情？那全概率公式啊，它其实是这样的一个问题。什么叫问题呢？就是一个事情的发生啊，要依赖于另外一个人。对吧，你要依赖于别人。所以像这种类型问题，你光进行去背这个定理啊，

我觉得感受啊，不会说特别深刻的，我经常在上课的时候讲这个例子。比如说我们把这个例子，我们再来讲讲。我们来出一个例题。比如说我们说什么东西呢？有两个箱子。有一号。和二号。两个箱子。好，我们这块有两个箱子。有两个相似，或者是有一号，

二号，三号。哎，三个箱子这样更清楚一点。有这三号三个箱子对吧？一号箱子，二号箱子，三号箱子有三个箱子。而且第一个箱子。箱子中有五个红球。五个白球。然后二号箱子当中。有三个红球。两个白球。然后是三号箱子中。

有四个红球。六个白球。哎，是白球吧？好了，是这样的一个问题，所以接下来我们来看看这个类型问题的叙述，他就说有三个相似，然后中间的这段话是。是不是都是对这些箱子的里面当中的东西进行去做描述啊？你能理解吗？这些话都是在进行去描述，所以说现在你的重点的话其实是在前面。到这是个重心，然后我有这个什么三个箱子，

然后中间都是描述，然后现在问。我们现在问先摸。一个箱子。再在。箱子。内取一个球。问该球。是嗯，求。是红球的概率吧。红球的概率。好，我们来看看这个问题。所以现在你继续去品一下这个事情，

你刚才中间的这段话其实都是在进行去描述，你现在的一个问题就是我先要摸一个箱子。然后再在这个箱子里面摸一个球，这是你的问题，然后问这个球啊，是红球的概率，我就很想知道一个事情。你摸这个。你摸这个球。你要不要知道是哪个箱子？你要不要？你想在一号箱子当中去摸一个球，是红球的概率和二号箱子摸一个球，是红球的概率跟三号箱子摸一个球，是红球的概率。

是什么是不一样的，我肯定要知道什么先要知道是哪个箱子。但是你发现我在事先知道是哪个箱子吗？我不知道。我不知道是哪个箱子，所以说每一个箱子是不是都要算一遍啊？一定要注意，先知道箱子。再进行摸球。对吧，这样的一个过程，我们才可以做，但是我一开始我也不知道是哪个箱子啊，所以说每一个箱子都要算一遍。你发现没有，

没有依赖关系啊。当然有依赖关系，就是你问这个人是红球的概率对吧？你这个红球，你这个球一定要进行怎么办？一定要知道诶，是在这个箱子里面摸还是这个箱子摸？还是这个箱子摸？那另外一件事情，你想想这三个箱子是不是一个完备事件组啊？啊，是不是啊？那么，接下来我们一起来看看。现在我们的问题就是这样。

我们在这里面当中啊，有三个箱子，请问同学们这三个箱子是不是一个完备事件组啊？第一箱子，第二箱子，第三个箱子。那这不就是一个完备事件组吗？你摸到第一个箱子就不会是第二个，你摸到第二个就不会是第三个，但是只有这三个箱子，没有第四个箱子。所以这就是一个完备实践组，现在问什么呢？现在问，请问摸到红球的概率？

你想想这个红球是不是也有可能是在这儿，也有可能在这儿，也有可能在这儿啊，所以说同学们注意，我们现在要算这个b事件的概率。b这个人的话，你发现三个都有交叉，所以我们应该是先算你们共同的，然后再算什么再算你们共同的。然后再算什么再算你们共同的，也就说什么意思呢？我这个PB啊，它的计算应该是多少？应该是a1和b。然后是多少a2和b，

然后是多少a3和b？但是你发现a1和b你会算吗？不会我应该会算的是a1的时候是b的概率。是不是啊？所以我怎么办？我就用乘法公式把它给打打开，摸到第一个箱子，再在第一个箱子当中摸到球的概率。然后是第二个箱子再在第二个箱子当中摸到这个球的概率。然后是第三个箱子，再在第三个箱子当中摸到白球的概率。能听懂我的意思吗？好了，这是这个事情，所以说你发现这是全概率公式，

这不是贝叶死亡。你发现如果你学了好多遍，你理解到这儿，你还理解不清楚啊，你这都有问题啊，这不可能的。所以能理解我的意思吗？哎，这个方向线把它想清楚。就是我现在要想进行去求这个球，那就是第一个箱子，第一个箱子摸到这个球，第二个箱子，第二个箱子摸到这个球，第三个箱子，

第三个箱子摸到这个球。能听懂吧，所以说接下来我们就来计算了来，我把这个事情叫pv。那先摸到第一个箱子，只有三个箱子，第一个箱子的概率是多少？三分之一。那在第一个箱子当中摸到啊，这个红球的概率是多少呢？十个球，然后这是五。然后再摸到第二个球的概率是多少？第二个箱子的概率是这个人再在第二个箱子当中摸到红球的概率是五分之三。摸到第三个箱子的概率是三分之一，

然后总的这个是十十分之几十分之四好了，这其实就是我们的啊，全概率公式的求解。你发现没？也就说我要进行去摸球啊，必须要依赖，于是哪个箱子，而这三个箱子我也不知道是哪个箱子，所以。所以说都要把它算一遍啊，这种情况全概率公式能理解了吗？有依赖关系，你要算这个人呐，你怎么办呢？你在第一个箱子的情况，

第二箱子情况，第三个箱子情况。把这个东西啊，你要想清楚啊。好了，那么这是我们在这里面当中啊，我们说的这个第一个问题，那么接下来我们再把它改一下。我把这题改了。那么，同学们注意，他说我们这里面当中啊，有三个箱子。对吧，三个相似而且。

而且箱子。嗯，写摸到。取到箱子的可能性。比例为。呃，是一。比。四比五。好了，我们把这个东西改了，什么意思呢？就是说我们这里面当中有三个相似，你能摸到这个相似的概率，你比如说一号相似概率。

对吧，它其实就是十份，里面占一份，这十份里面占四份，十份里面占五份，然后中间是描述了这个箱子的情况，问你摸到一个箱子，再在这个箱子当中取到红球的概率。那么，同学们想想一个事情，你摸到这个红球依不依赖箱子啊？依赖吧，所以说，但是我也不知道是哪个箱子，我们就来求先摸到第一个箱子。

对吧，第一个箱子的话，你发现它的概率是多少？第一个箱子的概率是十分之一。再在第一个箱子当中摸到红球是十分钟。摸到第二个箱子的概率是多少？是十分之四，在第二个箱子当中，第二箱子五个球五分之三。再摸到第三个箱子，第三个箱子当中啊，它是多少是十个球，十分之几十分之四？你看这个情况是不是就立即出来了？哎，

把这个问题啊，你要算清楚。会了吗？同学们。应该没问题了，我觉得这个这个难度系数啊，比较简单。好了，那么接下来我们再来看。如果把这个题啊，我们再稍微的进行去改一改，哎，不难的，而且我们没有说考的那么的夸张啊。然后接下来我们再来看。

如果把这个题啊，我们稍微再改改。说先摸一个箱子。啊，我们是先摸一个箱子，再在箱子当中啊，取个球。发现发现。该穷。是红球。when是第一个。是一号箱子中。取出的概率是多少？好，我们先来问一下这个事情。

你看这个点。那么现在你想想一个事情，他说什么？他说这样的一个问题啊，我们前面这个部分的东西啊，我们都没有改变。啊，都没有变。就说你现在已经知道这个球。是一号箱子的概率，同学们想想一个事情。你琢磨一下这个问题，就什么情况呢？到底是？知道一号箱子。

然后说问这个一号箱子当中取到白球的概率好求，还是知道是啊，是知道红球的，知道红球是一号箱子当中取出的概率好求啊。是不是顺序法呢？如果我知道是一号箱子，说一号箱子当中取红球，那太简单了。但是现在呢，现在说已经发现是红球。哎，我发现是红球，请问你11号箱子当中取出的概率是多少？这个顺序反了呀。所以说如果这个顺序反了，

那这个是什么问题啊？那这个东西啊，其实就是贝叶斯公式的问题。啊贝叶斯的问题，因为贝叶斯的问题啊，其实就是逆盖问题。就说反了。好了，那么接下来我们来看看这个事情。也就说现在我们问的是什么问题呢？说哎，我已经知道是摸到是红球，请你告诉我是第一个箱子当中摸出的概率。那怎么用贝叶斯呢？贝叶斯非常简单，

第一步先写条件概率。对吧，然后第二步你怎么办呢？你发现上面的刚才那个顺序反了，你把它给我调过来，我们就调成多少？是第一个箱子，再在第一个箱子当中摸到球的概率。然后下面这东西怎么算呢？下面这个东西不就是摸红球吗？你就算第一个箱子，第一个箱子当中摸红球。然后第二个箱子，第二个箱子当中摸红球。然后再是第三个箱子。

第三个箱子当中，摸到红球的概率。是不是全概率啊？所以同学们想想一个问题，这个贝叶斯公式到底是在求什么呀？你没发现吗？求的其实就是这种情况，占了总的情况的这个比例吗？你是不是这个问题就是这一项占了总的项的这样的一个比例到底是多少？能想清楚吗？所以说贝叶斯公式啊，不要背，其实就是两步，第一步干嘛？第一步先把这个东西啊。

写成条件概率。写成条件概率公式了之后，第二步怎么办？下面这东西用全概率打开，上面这个东西啊，用一下乘法公式做一个切换。那就可以了，记住这个思路就行，所以接下来我们来看看这个题你怎么做？那这个顺序的话，其实就是我们现在已经知道是红球问第一个箱子的概率，第一步先用条件公概率公式把这东西啊。你先写出来。然后接下来我们就来看看来下面这东西怎么求摸红球是第一个箱子，第一个箱子的话是十分之一。

第一个箱子的概率是十分之五。然后摸到第二个箱子的概率是十分之四，再在第二个箱子当中摸第二箱子五个球五分之三。然后是第三个箱子是十分之五，第三个箱子当中总共有十个球十分之四。没问题吧，然后上面这东西做一个切换，那就是第一个箱子，再在第一个箱子当中摸到球的概率。好了，这个人呢？我们就讲到这。所以说这个全概率公式啊，难度系数不是说特别大。你一定要想清楚啊，

全概率公式的问题。好了没呃，这里面当中啊，可能有一个难点。就是很多同学非常这个很难进行去理解的一个问题，其实就是我们在这里面当中啊，有一个抽签事件的问题。啊，就说已知一个箱子中。有十张卡片。其中。两张卡片。上写有。50万。啊，

这样的一个字眼。能听懂我的意思吗？好，这个情况。相当于说有一个箱子当中啊啊，有十张卡片，有两张卡片上面写了50万。然后怎么办呢？现在嗯，我们。每个人。每人取一张播放回来。啊，每个人呢？你发现一个事情，

每个人都取一张。不放回问第二个人。取到。抽到。50万的概率是多少？多少那么像我们这样的一个问题啊呃，其实有些同学做的非常的好，他就知道这个东西叫抽签时间。啊，抽签时间。那你想想一个问题。在这里面当中啊。我们把这东西算一下。第一个人。抽中这个人的概率是多少？

第一个人抽中的概率肯定是十分之二啊。五分之一没有任何问题，那第二个人抽中的概率是多少呢？第二任抽中的概率，很多同学说那是九分之一。你注意，这不对。大家注意啊，这不对。你这样的话，算法的话应该是这种算法。你注意你算的这个算法是每个人取一张不放回，已知第一个人。啊，以及知道第一个人抽中了。

问，第二人抽中这个人的概率，你看吧，你算的这个情况是这种情况。不是吗？你算的是已经知道第一个人已经抽中了。然后第二人抽中的概率。你能听懂我的意思吗？如果第一个人已经抽中了。那这时候里面当中肯定只有一张中的了，你能中的概率肯定九分之一。但是你发现一个事情，到底第一个人重还是不重，你知道还是不知道？是不第一张中第一个人有可能中也有可能不中啊。

对吧，所以说你发现一个事情，每当一些人的话，进去去抽的时候，我原来跟你讲过这个问题，这是一个什么，这是一个心理学的问题。因为你老是会感觉啊，都会去，比如说我们这有十张卡片，两张中都会抢着进去去抽。实际生活当中都会抢着去抽，为什么他总感觉到哇，先抽的人肯定中的概率大。他一抽就中了。

所以我抽的中的概率只有九分之一了，我要是第三个人，我抽中的概率就是零啊，你要注意你这种情况战力在什么情况，你战力在第一个人一定抽中，他一定抽中吗？你也不知道他能不能初中。你能想清楚我这问题吗？所以说这种情况你要知道，每个人取一张不放回问第二张，那么其实第二人进去去抽的时候，第一个人有可能中也有可能怎么办？补种。所以这里面当中，你要进行去想清楚这个事，

哎，就是第二个人抽。你要知道第一个人有可能是钟。对吧，我们叫做a1也有可能怎么办？不中a1拔。有可能是这种情况，他说那我都是第二个人抽了我，我我还不知道第一个人抽中没抽中呢。如果你知道了你，你这叫什么？你这个你这叫上帝视角，我就懒得跟你聊了。你想想一个问题，第二个人抽的时候，

你知道第一个人抽中还是抽不中吗？你知道不知道？啊，你知道吗？我就问你个事情，你作为第二个人抽，你知道第一个人抽中还抽不中吗？很多说我知道啊，他一抽的时候他就会说啊，我没中，我不就知道。你这个同学逻辑又有问题了。你要注意，你如果都能知道第一个人能中还不中，你都会抢第一个人。

你要注意，这些事情都是所有人都还没有开始抽的时候，我们去想这个事情，你能听得懂我的意思吗？所以你要想清楚啊，就是我是我虽然是第二人抽，但是我也不知道我是第几个人抽，我就想看我作为第二个人抽，我的概率是多少？所以第一个人呢，有可能中也有可能不中。你要想清楚这个问题，所以我们来算第二个人的概率是多少？来，我们来算。

第二个人的概率就是那第一个人重。在第一个人中的条件下，我抽他的概率。还有第一个人补种。那第一个人不中的时候，我抽他的概率。那这个时候我们接下来，我们一起来看。啊啊，你自己想清楚这个问题啊，这是这个点。那接下来我们就继续，我们来看看这个事儿，那所以说你看第一个人，第一个人中的概率是多少？

第n中的概率是十分之二。如果你中了，我再中你中了的话，你发现只有几呃我，我抽的时候只有九张了，九张里面只有一张了。如果你不中，你的概率是十分之八，如果你不中的话，我九张里面的话，应该是还有两张。所以说最后而言的话，你去算一下，你把这里面当中的十分之二就提出来。提出来之后的话，

这是九分之一，然后这是九分之八，所以说一算呢，还是十分之二？一样的概率是一样的，所以这种问题啊，就叫抽签事件问题，也就抓抓事件问题。因此，我们每当讲这个事情呢，哎，把这东西啊，我们写到这。注意抽签时间。啊，

抽签时间。做到这。抽签事件。或者叫抓究事件这个字，我还真不会写啊。抓哈时间。那是公平的。要注意每个人呐，抽中的这概率啊，是一样的。能想清楚吧，这个人。所以以后啊，我们就怎么办啊，一定要怎么办讲究。

谦让啊。好了，能理解我的意思吗？这其实就是这样的一个问题，抓抓事件问题。好了，像这个点呢，我们就讲到这儿能跟上我的意思吗？那么接下来我们就继续吧，我们来看看这个幺六六这个题。啊，先来讲这个题目。好，先来看看这里面当中的第一个点。那这个题啊，

他是这样说的，他说。这里面当中有一二三四四个数，我任取一个数，我把它记做s再从。一到x你看，比如说这是二的时候，那就是一和二，如果这是三的话，一二三如果这是四的话，一二三四。那中任取一个数，即这个数为y那这个数啊，是二的概率是多少？那这个情况怎么办呢？

我们来算一下这个人。那你告诉我。你要进行去摸y的时候，你依不依赖于这个s啊？我当然依赖，我肯定会依赖这个s。x会控制我这个y抽出来的概率。依赖的。所以说这个时候你在这里面当中，这个x有可能是一二三四当中的任何一个。那这个题就是个什么题？这题就是一个全概率公式的题，你能拼出来吗？那就说如果我们抽出的x是几啊？你s是一s二s三四，

它其实就是一个完备时间组，如果x是一的时候一的时候的概率是四分之一。那一到一当中抽出二，那不可能它的概率就是零。你摸到二的概率又是四分之一。如果这是二和一到二当中的话，你摸出个二，那这是二分之一。你摸出这个概率的话，是四分之一。然后这是三一到三当中摸到二的概率是三分之一。你抽到这个人概率是四分之一。你再在这种情况下摸到什么摸到二的概率是多少？是四分之一。所以说这种情况你一算，

那这题就结束了。跟上我的意思吗？所以这个题啊，是一个全概率公式的题，因为你在这里面当中进行去摸y啊，你要依赖于这个人。对吧，就相当于如果你是这种情况，我们摸出的概率，这种情况摸出的概率，这种情况摸出的概率。能听明白吧？好了，这个题啊，我们就讲到这，

然后接下来我们再来看看幺六五这个题好，继续再看这个题。他说，有一批产品当中有一等品，二等品，三等品。占比是63%，十十，现在从中任意的取一间，结果不是三等品。取到的是一等品的概率。好同学们，你想想这个事情，那这个题是不是一个贝叶斯公式啊？是不是是不是贝叶斯公式啊？

你记住贝叶斯公式也是一种条件概率的问题。贝叶斯公式本来就是个条件概率。是不是贝叶斯？你就把这两个顺序换一下。比如说是一等品。而不是三等品的概率好求吗？它中间其实你发现其实就没有顺序关系。根本就没有顺序关系，我不知道你能理解吗？所以你别管什么情况呢，就是你这个人不是三等品。而你这个人是一等品的概率。如果在考研的过程当中，我们看这个问题啊，你注意，

如果在考研的时候，我们见到这种情况，第一件事情，我们先把这个人说的话，你先写出来。在这个条件下逆的概率。对吧，所以说这个东西我们就立即把它写出来了啊，等他们再说那个事情呃，这个那个100题很多都有啊。好了，这个情况，所以你先把这个公式写出来。你公式写出来之后的话，其实就是这样。

那在这里面，我们就是求什么求解a三八的概率分之多少？a1a三八的概率。是不是这个事情，所以说接下来我们来看看第一个情况什么意思啊？就是我取一间不是三等品。不是三等品的话，就这个部分，那就是十分之九。然后接下来我们再看我摸一件。是一等品，不是三等品。是一等品，不是三等品，那不就是一等品吗？

所以说这个一等品的概率就是十分之六，因此答案是九分之六，所以说是三分之二。能听得懂我的意思吗？好，这个情况，那这种方法的话，你发现还有没有别的方法来做呢？我觉得有。因为你发现我取出了一件。结果不是三等品。那你想想一个事情，如果这里面当中他已经知道了，不是三等品。这件事情发生了，

还是没发生？已经发生了。因为你发现一个事情，你已经不是三等品。那我可不可以这样认为？我就相当于在里面摸了一间，摸了一个没有三等品的区域，当中机器去摸一件呢。可不可以呢？那所以说也就是说我现在摸到这个全集里面，其实就没有一等品呃，没有三等品。没有三等品的话，其实就是九分儿摸到一等品的概率是六分儿，那不就是三分之二吗？

那这个方法叫做缩小样本空间法，同学们注意啊，你在品概率的题的时候，你一定要进行去品。这个事情是已经发生了吗？对吧？他说已经知道是已经知道不是三等品，那说明。我在这里面当中摸的时候，我就讲假设他就没有三等品，因为没有这个三等品的可能性，我其实就是在这里面当中摸。好，这个问题啊，把它想清楚啊。

好了，这个题啊，你下去好好品一品，注意贝叶斯公式啊。它其实也是一个什么，也是个条件概率，所以说碰到题的时候先把这个条件概率公式的这个样子先写出来。然后接下来继续去想，两者之间有没有依赖关系，有没有个前后顺序的依赖关系，这个很重要。好了，这个事情我们就讲到这不会考特别难的哦，你自己把这个方向性把它把握住就行。好了，

听明白了给我回复一吧。我们就讲到这儿，所以说讲到这儿，我们第一章啊，就全部讲完了。第一章部分，其实你发现核心重点会出题的有三个部分，一个事情就是概率公式的应用要会算概率公式。第二事情就是古典概型和几何概型。第三个事情其实就是我们在这里面当中考的，这种实际问题。啊，就讲到这，那么接下来我们继续吧，我们再来看看第二章。

第一章我们就全部讲完了。那么，接下来我们再来看看第二章啊，第二章有点不好意思啊，你们那个主标题上面好像弄错了对吧？好像弄了个什么常微分方程？好，我们来看看这个下面一个事情叫做随机变量。及其分布。啊，机械分布。随机变量及其分布。那么，接下来我们一起来看看这个下一个问题啊。没错是吧？

哦，那是我的错了是吗？你让我看看，我记得。是我这个错了吗？哦，就我的错了。行行行，好。好了，那么接下来我们继续吧，我们来看看这个随机变量及其分布啊，这个问题那么首先同学们，你要理解清楚一个事情。我们先来看看这张的框架。

有些同学可能走过了一遍啊，已经有框架体系，有些东西对于这章啊，它又没有框架体系，我们先梳理一会，我们再一个一个的讲。那么，首先这里面当中啊，会出现一个东西叫随机变量。你把这个东西啊，你跟着我读一下。具有随机性，我们才会求概率吧。比如说直筛词直出是一这个点二这个点三这个点四这个点五这个点六这个点七呃六这个点。到底是哪个点？

我不知道它具有随机性。而且这个东西是个变量。所以你要注意随机变量这个东西啊，它的最重要问题啊，我们就是能求概率。注意，一会我们会把这个随机变量用x表示用y表示，反正它是个随机变量。随机变量是可以求概率的。比如说你这个随机变量等于一，就是值出一这个点的概率六分之一。你这个人等于二就是直出二这个点的概率六分之一，能理解吧，你这个s小于等于二，那就是直出点数是一和二的概率。

一或者二的概率，那其实就是六分之二。能学清楚吧，所以你发现我们在学习这个人呢？这个人他具有随机性。他这个人怎么办？我可以求概率，所以注意随机变量是可以求概率的。如果你想不清楚了，你就用一个实际问题进行去代表它啊，比如说我这个s就是掷色子，我掷出一这个点二这个点三这个点。所以要想清楚。那么，在这章我们的核心重点是学习它的分布。

啊，学习分布。所以我们其实在整体的框架结构当中，它应该是这样的一个问题。就是根据这个随机变量，我们可以把它进行区分，有连续性随机变量。啊，连续性随机变量，还有离散性随机变量。随机变量嗯。变量。好，我们来看看这个事情。一种情况叫做连续性随机变量，

一种情况叫做离散性随机变量。所以我们有可能学习的这个什么，你比如说我们刚才植色子，你植出来这个点呢，它只能是一二三四五六。它就是个离散的。你比如说我们进行在一到二上，比如说我们在这上面进行怎么办啊，比如说我们一到五当中进行去偷石子。我有可能这个x能落到这一个区域呢。比如说我问你是二到三这个部分。它就是个连续的。我可以投到二到三这个点上的任何一个点。就是你发现我的落点，其实就叫大S。

而这个大S到底落在哪呢？不知道它具有随机性，所以叫随机变量。能听懂我的意思吗？所以你要想清楚，就是我们综合起来分呢，就是两种，一种叫做离散性随机变量，一种叫做连续程序随机变量。就是我刚才给你讲这个事情。比如说我掷色子，我可以掷出一这个点二这个点三这个点四这个点五这个点六这个点。同学们告诉我，我掷色子这个事情具不具有随机性呢？具有随机性吧，

那至于这个大S到底等于谁呢？不知道。我这个随机变量，我到底取谁我不知道。但是我知道你只能娶一二三四五六这些人。所以它的取值是离散的，就叫离散性的随机变量。那比如说我刚才又举的这个例子。我说你可以怎么办呢？你可以在这里面当中进行投石子儿。我往这上面，比如说往零到五上面进行涂石子。你投石子的话，你发现你这个落点其实就叫x。哎，

我投到这个点。这个点就叫大S。那你想想这个大S是不是可以取零到五当中的任何人呢？我能取到任何人，我能取到任何人的话，你发现就是连贯的连续性随机变量。所以说从总体上而度呃角度而言，我们会分成离散性随机变量和连续性随机变量。就是那个随机变量，但但是同学们，你注意了。有些同学实在不理解，我们学轻松一点，一会儿我们在学习到某个问题的时候，你会套公式，

你会学会题型，你会做题，那也可以。你都到了这个阶段了，当然我还是希望你理解一下，如果实在理解不了，你就见到这个东西，你去写它的对应公式。然后一做就出来了，所以这块内容非常的简单，但是啊，我们在这个之前，我们会先进去先进行去啊，讲一个问题。那叫做分布函数。

那分布函数是什么？只要你是随机变量。啊，随机变量都会有分布函数。无论是离散性随机变量还是连续性随机变量，都会有分布函数，只要你是随机变量，都会有个分布函数。所以说这张这是只要你是个随机变量，你的一个特性函数。然后中间部分我们会进行去重点学两种随机变量，一种是离散性随机变量，一种是连续性随机变量。然后学完了这些东西啊，我们再进行去讲解，

常见的随机变量。对吧，常见的随机变量，也就是常见的随机变量的分布，我先不写了。所以这是我们在后面过程当中，我们要继续学的一个问题。把这个部分学完了之后，最后一个事情。你学会了x的分布那x，比如说呃，你进行去掷色子，比如说我掷色子直出的点叫做x。但是我问你，我说直出这个点的平方。

他等于这个人的概率是多少，所以我们还要学习他的什么函数的分布。好，这个问题。所以在这一章的时候，我们的一维问题就重点学这几个，当然我们在考研的时候每年都会考这个二维的问题。二维的离散性，二维连续性不会考，二维的离散性很重要，所以接下来我们就正式开始吧，我们先来看看第一个问题。一维随机变量的分布函数，首先你要明白一个事情，分布函数其实就是你高等数学当中啊。

学习的那些函数。就是你高等数学当中啊，你学过函数，你比如说我举个例子啊。我们原来初高中的时候没有学过变现函数吧，等你学了定积分了之后，哎，我们知道这个人叫做变上线函数。你看这是一个函数函数啊，对应法则是它，然后这个东西叫自变量，那今天我们也会学习一种函数。我们这个函数叫什么函数？我起了个名字，叫做分步函数，

所以你看我这个函数，我可以用x作为自变量。我这个函数可以用y作为自变量，我这个函数可以用t作为自变量，我这个函数可以用u作为自变量。行不行可以吧？好了，我们在这里面当中啊，学会了一个函数，它的名字啊，叫做分步函数。但这个分布函数是每一个分布函数都对应了一个随机变量，所以首先第一件事情我们来看看怎么定义的。对吧？分布函数的这个定义啊，

这个内容非常的重要，只要我们去求分布函数，先写分布函数的定义，这是今年可能会考的。你要注意分步函数。怎么定义的呢？他这样定义的。就是只要它是个随机变量，它都会有一个分布函数。那在这里面当中，我们来看看这个事情，比如说我们写一个人，那这里面当中我们分布函数，假设这个函数我选了自变量是小S。这是哪个随机变量的分布函数呢？

假设是大S。哎，大S那个随机变量的分布函数。那大S随机变量分布函数怎么进行定义呢？我要求这个函数在小S处的值，那这个值怎么求的呢？我就用这个随机变量小于等于这个部分呢，我去求这块的概率。这个概率是多少？那这个分布函数就在这儿等于多少？你听得懂我的意思吗？见到分布函数写分布函数定义。所以说大家注意，我们把这个东西称之为谁x这个人的分布函数。啊x，

这个人的随机变量的分布函数。这是它的分布函数。那同学们再来看我们，继续看。如果这里面当中，我能不能在这里面，你看x这个随机变量的分布函数，它的自变量能不能用t来表示啊？也可以啊，我这个函数的自变量用成t。反正这个函数怎么定义？我去求t处的值就是这个随机变量小于等于t的概率的加和。那你告诉我，这还是谁的分布函数，这还是x的，

所以它的分布函数怎么求它小于等于一个人的概率？那也就说什么意思呢，我们就知道了它。小于等于一个人的概率，就等于它的分布函数。在这个点处的值。能学清楚吧，你看它小于等于这个人的概率就是分布函数在这点处值，我们把这个函数的名字叫做分布函数，你不要再去想为什么叫分布函数啊，为啥不叫别的函数啊？你把它给我记住。对吧，都到了今天了，你其实原来我们已经解释了很多，

你今天把这个东西你要接受它，你接受它才会用它。所以我们将来知道哦x这个随机变量，它的分布函数就是x这个随机变量小于等于这个点的概率。能想清楚吧，好了，比如说我举个例子。里那这里面比如说我们这个x这个随机变量。它能取值呢？这个随机变量能取零，能取一，能取二，取零的概率是零点四。取这个概率是零点二，取这个概率呢是零点四。

那么，接下来大家告诉我，只要看它的分布函数，我们怎么办？只要是你的分布函数，我把自变量选小x，选小y，小t都行。这个无所谓啊，你的分布函数就是你这个人小于等于这个点的概率的加和。那也就说你想想一个事情，我要去求这个分布函数在一处的值，那其实就是你这个随机变量小于等于一的概率加和。小于等于一的概率加和是多少？那就是零点六。

那在这里面当中，我们来看，比如说我要求求十，他说那取不了十，你别管是自变量。这是我这个函数，函数的取值。那么，这个函数的话，你发现我们再来看。那这个十这个部分怎么进行求呢？那这个时候其实就是我这个随机变量小于等于十的概率，那都小于十啊，那就是一。反正你就给我记死，

能记住我吗？就是这个人的分布函数就是这个人小于等于一个人的概率，你求奇数的值，我就是小于等于谁的概率？把这个gs。这个非常简单，就是分布函数的定义非常你接受它能接受吗？这有一个随机变量。我们可以进行求概率。我定义了一个函数，我要求这个函数在s处值，我就什么东西呢，我就让这个大S小于等于这个人的概率。那所以说你会发现你这个小注意这个大S跟小S啊不一样。你发现你这个随机变量，

你只能去取几个值啊，你只能取零一二，这是随机变量。但是你发现这个小S呢，是这个函数的什么变量？是这个函数的自变量。它的定义域是多少？是r。你上面这是随机变量，你这是什么自变量？把这个接触了，接触了就非常简单，你在你的笔记上好好写一下。我要求这个函数在这点处值，我就计算我随机变量小于等于这个人的概率。

我要算三处值小于等于三的概率，我小于五处值小于等于五处概率，你把它给我记住，什么东西都结束了，这个非常简单啊。这个必考内容。好了没？就非常容易一个事情。那如果有一天同学们告诉我，我要求这个随机变量的分布函数怎么求？啊，它的分布函数怎么求？它的分布函数在这点处指就是我这个随机变量小于等于这个概率。我能不能取自变量是小S啊，我也可以取自变量是小S啊。

我能不能取四边呢？是小y也可以用小y啊，我能是小t可以小t啊，小w可以啊。都是可以的。所以它的框架，你把它想清楚就行，你在挤出值就是你小于等于这个概率。所以同学们，你想想一个事情。那也就说谁的分布函数就是用谁来进行去算概率吧。听得懂吧，所以将来我去看你，这是谁的分布函数？就是谁进行去算概率？

哎，谁去算概率？这个函数就是谁的？你y算概率y的分布函数，你x算概率s分布函数。对吧，你是w算概率w的分布函数。这是要想清楚的。跟得上我的意思吗？把它琢磨清楚。好了，这是分布函数，然后接下来我们再来看第二件事情。如何判定。如何判定。

一个函数是否为。分步函数。那么今天的话，我在这个最后一轮的这个讲课呃，跟以前过程当中我写的东西肯定不一样啊，这个标题啊，你理解清楚就行。不是说每个函数都是一个随机变量的分布函数，我分布函数不是说你谁都能做分布函数。对吧，不是谁都能做分子函数。你必须给我满足四条。第一个事情微复兴。第二，事情规范性。

对吧，规范性。然后第三个事情又连续。又连续。也就说，只要你是个分布函数，它都会是右连续。但是如果将来你是一个连续性随机变量的分布函数，你就牛逼了。你就不光又连续你，而且还是连续的，所以第四个事情还有一个叫做单调不间隙。对吧，单调不减刑，哪有那么多的单调不减刑，

基本上都是单调，什么递增的？哪有那么多的单调不减性啊。所以说接下来我们就继续吧，我们来看看下面一个问题。那所以说首先第一个事儿非负性。我们将来拿到了一个函数，哎，拿到就像高等数学一样，我见过的一个函数。你这个函数是不是分布函数啊？你想想你如果是一个人的分布函数，其实就是这个随机变量小于等于这个人的概率定义的。你概率是大于零小于一的，所以说分布函数必须是什么大于等于零小于等于一。

那如果这人是正无穷呢？你看正无穷。你想想我如果是小于正无穷的概率是多少？我小于正无穷的概率肯定是一样。我小于负无穷的概率是几啊？小于负无穷的概率肯定是零啊。能理解吧，好了，然后是右连续右连续什么意思呢？右连续其实就是你在一个点处的右极限。啊右极限那么通常而言的话，我们可以这样写，叫做x0怎么办？加个零就叫右连右连续右极限。右极限必须等于该点处的函数值。

能想清楚吗？啊，这叫右极限。然后最后一个事情叫单调不减性，单调不减性，其实理解非常的简单。好，大家琢磨下。你这是一个什么？你这是一个分布函数。你这是零，你这是x。或者而言的话，我们进行去简单看看。啊，

这个分布函数啊，它怎么定义？那也就说是这个意思说，如果你这个x1你比s2绝对的小。那你告诉我fx 1什么意思啊？其实就是这个随机变量小于等于x1这个点的概率。你在x2处指呢，就是这个随机变量小于等于x2的概率。那也就说我在这里面当中大致的进行去看一下这个图。你看一下这个人。那这个部分是x1。你这是s2。你fs 1的话就是这个后面的概率。你fs 20就是这个后面的概率。那你告诉我一件事，

谁的概率大概率是正的吗？

		自动登录	找回密码
密码			立即注册