15.冲刺串讲15-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:07:02

接下来我们继续吧，我们再来看看这个后面部分内容呃，刚才这些点呢，其实还好，就是遇到什么公式写什么公式，遇到什么东西啊，去写什么东西。所以你在做的时候稍微的坦然一点，放轻松一点啊，那么接下来我们来看看这个下面一个问题，那么再来看看下一个核心重点内容叫做事件的。独立性的问题。好，我们再来看看这个内容。啊，

随机事件独立。大家首先第一件事，你要区分开这几个名词，对吧？那么我们这里面当中有互斥。互不相容对吧？互不相容还有对立，还有独立啊，其实就只只有这几个名词。这几个名词你可能听起来啊，感觉很像，这像啥呀？那就算考这个名词解释的话，如果真的是，我觉得怎么样才能让很多同学学的更好呢？

来一道对吧？来一道名词解释，你给我解释一下这什么名词？什么叫互斥啊？互斥跟互不相容是一样的，两个东西的交集不能有交集，然后这个人呢？你交集是空集，并且是全集。那么，接下来我们再来看看这里面当中最重要的是，当然是独立啊，独立最难。那我先来看看第一个问题，什么叫独立啊？

我们先看第一个问题。随机时间。然后与随机事件b独立。那这两人独立，稍等一下啊，换一个。新罗马嗯。好了，这两个独立，那这两个独立什么意思啊？我们俩是独立注意，如果独立啊，它的定义是这样说的，叫做发生无关。随机事件。

a与b。发生无关。我俩东西没啥关系，有啥关系啊，你发生对我发生有什么影响吗？我不知道。啊，你发生了，我也可以发生，你发生了，我也可以不发生，就我我俩发生没有关系。你发生跟我发生没有什么关系，所以这叫独立，独立的定义就是这样说的。

那定义这样说了之后，最后我们怎么进行去判定呢？根据这句话，我们其实就可以推出来了。那也说你对我没有关系的话，你发声的时候我发声。跟你不发生的时候，我发生这有什么影响吗？这没有什么影响，你发生的时候，我发生你不发生的时候，我发生这是一样的。所以你用一下条件概率，这是PA分之pab。然后等于多少这PA拔其实就是一减PA。

BA把就是b-a，然后b的概率减去AB的概率。跟得上吗？然后对角线乘一下a的概率，乘上b的概率再减去a的概率，乘上多少AB的概率？然后这个人就等于pab的概率再减去多少PA的概率，乘上pab的概率，这是不是约掉了？那约掉了之后，最后就得到了一个重点。真正比较重要，怎么判定呢？最后都落到这儿了，就是我们乘积的概率等于。

概率的乘积。那所以将来我们就知道怎么进去去检验两人独立啊，你就进去去检验沉积的概率等不等于概率沉积？那如果我们知道了他俩人是独立呢，我们知道了独立，我也能得到什么，我也能得到我们沉积的概率等于概率的沉积。能想清楚吧，比如说以这样的一个为例。比如说我们说这样的有个箱子。对吧，这个箱子有三个红球。五个白球。那三个红球，五个白球，

然后这里面摸两次。每次。摸完。后我会放回。你看有同学开始打点都没听停，就开始打点了。好像这里面当中这个简直这这这个只要看到这些词儿，一看到摸球心里就开始抖起来了啊。啊，你就别别这样啊。我还没开始讲呢，这是干嘛呢？他没讲这个问题啊。好，我们来看看。

那如果说每次摸完了之后，你发现一个事情，我们放回。这个词你要想清楚。我如果摸完了之后，我去放回，那说明什么问题啊？说明每次是不会影响的。你琢磨下是不是？你第一次摸跟第二次摸有有什么区别吗？这就不影响，所以说这个时候其实就互不影响，互不影响两次。是独立的。能理解吧，

两次独立，那这个时候我问。两次。都是。红球的概率是多少？那你想两次都是红球的概率，那就是第一次红，第二次也是红。那第一次红的话，假设我们看第一次红，第二次也是红，那乘积的概率是不是等于概率乘积啊？那就等于八分之三乘上八分之三。跟得上吗？好，

这个问题独立的嘛。好了，这是这样的一个点，我们就说这样事情，一会我会重点谈，我出了一个简单的题，我就想跟你讲这个事情。因为我们两次之间是独立的呀。我们说可用二项分布来做。看样子好了，那么这个事儿我们就说到这啊。也可以用二项分布可以，但有点儿。有点折腾了吧啊。有点有点折腾了。

可以用他说的，没有问题，说二项分布说的很好，就是有有点儿折腾，那你能转过去也行，好吧？好，这个事儿我们就讲到这儿，所以说你要想清楚一个问题，摸量词每次放回每次放回来之后的话，它两次是独立的。啊，乘积的概率等概率乘积。好了，这是这个问题吧，

我们就说到这那么，而且的话，这里面还有几个充要条件。那充要条件的话，你发现你a与b独立，你a与b拔呢也会独立，所以这两个乘积的概率也会等于概率乘积。那a把与b呢？这俩人呢？也会是独立的，然后第三个人呢？然后这是a把。与这个什么臂把也是独立的。好了，这几个人能听懂我的意思吗？

好，这个点。所以我们在这里面几个事情，你把它想清楚啊，跟得上吗？所以我们再说一遍，你只要看到两个人是独立的，我怎么去检验两个独立呢？我就进行去检。乘积的概率等不等于概率乘积？如果已经知道他们独立呢，我就能得到乘积的概率等于概率乘积，所以所有的独立性的问题啊，你都往这个上面进行转。独立的检验方式就是沉积的概率等于概率乘积，

互斥的检验方式就是交集式空集，对立的检验方式就是交集式空集，并且呢，是全集。所以一般不会考这个，一般都会考这俩人。对吧，都会考这点。那考这俩人的话，我们在这里面把这个东西啊，我们稍微做一下这个区分独立啊，和这个互斥。我们再来强调一遍，互斥什么意思啊？两者之间没有交集，

两者之间没有交集，就是我们的交集是空集。如果一旦产生了，我们俩之间的交集是空集，那你发生我一定会不发生，我发生你一定不发生。你能听得懂我的意思吗？好了，听明白了给我回复一。这是如果这两个东西是互斥的，那互斥两者之间的交集是空集啊，我们交起来是空的，那你发生了，我不就不发生，我不发生不就你就发生。

好了没？所以这个问题啊，它就出来了，然后独立呢，独立这个东西其实就是乘积的概率等于概率乘积，这是你的检验方式。互不影响，所以你有你的检验方式，我有我的检验方式。所以怎么去学习呢？你就即使互斥怎么判定消极是不空气独立怎么判定互不影响乘积的概率等于概率乘积。把这东西抓住，所以学到这个时候的话，你会发现这两者之间到底会不会有什么关系呢？那其实你发现一般情况下是不会共存的。

一般情况下，为什么不共存呢？你琢磨下这个问题。如果你互斥了。对吧，如果你互斥了。你互斥了之后，你发生我就不发生。哎，你听听这种感觉。你发生了。我就不发声。你影响我了吗？你影响了。你发生了，

我就不发生。所以如果我们在做一个什么问题呢？我们在做这个事情，就是如果你能发生。你要听清楚，如果你能发声，就是你这俩人都能发声。关键说你俩都不发生，你俩都是空袭，那我就不说了，你俩都能发生，不是空袭概率大于零。听得懂我的意思吧。好了，注意一下啊，

你大于零，且你大于零，你俩都这句话什么意思？你能听得懂我的意思吗？这俩人都会发生这两个东西啊，不会是空袭？你能琢磨清楚这意思吗？就是你发生了，我一定不发生。我发生了，你一定不发生，你会对我有影响。这两句话的意思就是我a的概率是零，我就是不会是空集b的概率大于零，我不会是空集。

就是我肯定能发生，我不会是一个空集，没有那种发生的可能性。好了，听明白了，给我回分，你注意啊，好好品一下你这每一个条件写到这，它都是有原因的，好了，那么这个时候我们就可以看。第一条那第一条很简单说，如果什么东西呢？你a与b互斥。你想想a和b都能发生。

都能够发生。那a发生了b1定不发生b发生了a1定不发生，有没有影响？有影响？有影响的话，这两个东西一定是什么？一定是不独立的。对吧，绝对不独立。跟得上我的意思吗？然后接下来我们再来看，如果这个a和b这个人独立了。这个人独立，如果这个人独立了怎么办？独立了之后，

我们来看看。我们这里面当中能不能推出这个人呢？推出这个互斥这个问题呢？我们来看看，如果独立了，乘积的概率就会等于概率的乘积。那这个时候两个人的概率都大于零，它就大于零，你想想AB的概率大于零，这个人一定不会是空集。那说明这个东西它一定不互斥啊，所以说a和b1定怎么办？不互斥。好了，这个问题。

呃，听过强化班同学，我觉得听这个内容毫无难度系数啊，如果只听了基础班同学，你要在这个知识点上，在基础班的这个节奏上一定要进行去补充。能听懂我的意思吗？这在基础班的这个节奏上，你是要进行补充的。你详细一点的讲，它就是这样的一个问题。这是非常细致的内容。好了，那么接下来我们继续，我们再来看，

这是第一个点。然后再来看第二点。啊，继续走那如果。你。或者我。有一个人可以不发声呢。那这个时候是什么情况？那这个时候我们先来看看第一条。说如果a与b互斥。a与b互斥，那a与b互斥AB的交集不就是空集AB的概率不就是零吗？而你发现a的概率乘上b的概率有一个人为零，他就是零，那这两个东西不就相等了吗？

所以说这个时候我是不是就可以推出了什么a和b又独立了？你看，所以你要分析的非常清楚。你们俩人都会发生，不是那种不可能发生事件，就是我这个人根本就没有什么发生的可能性。我们是有发生的可能性的，只要我们两个人都是有这种发生的可能性的，这种事情。互斥了，一定不独立，独立了，一定不互斥，这两个东西啊，水火不相容。

但是万一有一个人是个空集，就是你永远都不会发生，那这个时候互斥一定能推独立。互斥了就是独立了。这这这，注意啊。所以你要想清楚这个问题啊，这时候互斥能推独立，然后再来看，那这时候独立能不能推互斥呢？哎，这个独立能不能推出a与这个b是互斥的呢啊？这件事情不行，那为什么呢？我们来看看。

如果你们独立AB的概率就会等于a的概率，乘上b的概率，然后这人等零，但是概率为零。推不出来，这个人是个不可能发生事件的，所以说这件事情它是不行的。所以详细一点的讲，其实就是这样，我再来强调一遍。这个大前提是什么呢？这个大前提摆到这儿，就想说你们两个人呐，都不是那种空型。我这个事件呢，

不是不可能发生事件。我是有发声可能性的。只要我们这两个事件是有发生的可能性的。那互斥和独立不共存。只要有一个人是不可能发生事件。啊，或者说只要有一个人的概率是等于零。只要有一个人的概率是等于零，就是概率为零事件，那就是互斥，能推，独立，但独立推不了互斥。如果你想学的非常清楚，其实就是这个页面啊，

这个页面的话，我觉觉得大部分同学，你把这个点掌握清楚了之后。考这种概念题啊，其实就没什么意思了，非常简单了。哎，我记得强化班的时候，我们是不是做了一个题，是我手写的一个题？有同学。有同学看过吗？嗯，我找找吧。嗯。

呃，没有看过，没有看过同学，我们稍微说一嘴吧啊，说一嘴就行。哪去了呢？哦，在这儿。啊，说一嘴就行。那么你来看看这个题。呃，这个题啊，就比较简单了。你直接选吧。

这个书说有一个人的概率为零，互斥能推独立对着呢。然后接下来我们再来看第二事情啊。什么为什么是这样？啊，不是我没有听懂什么意思啊。哦，你说这句话是吧？然后接下来我们再来看下一个问题，如果乘起来的概率大于零。这两个东西啊，都会大于零。都会大于零的时候，你会发现互斥一定不独立，没问题。

然后独立一定不互斥，他说一定互斥，那这不对。独立一定不互斥啊，这个不会共存。如果AB独立且互斥。独立且互斥，互斥这个人是个空集。概率等于零。它就等于a的概率乘b的概率，这是独立它等于零。两人相乘等于零，你等于零，或者我等于零。所以有几个有三个。

好了没啊？这个出题点呢，把它想清楚。跟得上吗？所以这个这个题很简单，你听过刚才这个部分内容你进行处理这个问题，这非常简单。很好做，所以要想进去去检验这个人独立。检验这个人独立就进行去干嘛呢？你就进行去重点来判断成绩的概率等不等于概率成绩。互不知呢，那这个东西啊，其实就是沉积啊，这个a交b这个东西是不是空集？

你抓住这个重点就行。好了，那么接下来我们再来看看下面一个事情，多个事情。啊，多个时间那么同学们想想两个人。两个人说我们两两。对吧，比如说这是我。假设这是你，就我们俩人。说我们量量。我们聊聊。跟我们相互有区别吗？啊，

有区别吗？就俩人啊。是不是就两个人，有没有区别？有区别吗？就我们俩人呐。没有区别，我们俩人有什么区别？两个人是没有区别。咱俩人的话就是我们俩俩就就我们俩人嘛，相互也是我们俩人。三个以上是有区别。比如说ABC。a与b与c，然后怎么办？

是相互。独立那相互独立什么意思啊？相互相互的话就是。任意的俩人。任意的俩人。他们之间是独立的。任意的两个人之间是独立的。然后这三个人之间呢？也是独立的。要注意，所以说这个情况其实就是这个相互啊，相互这个问题。是如果是三个人，三个人的话，就是我们任意三个人之间独立，

两个人独立。如果四个人呢？任意四个人独立，任意三个人独立，任意两个人独立。而你发现这个部分的内容，它就叫什么？这个东西叫两两独立。两两独立。然后ABC都独立呢，其实就是乘积的概率等于什么等于概率的乘积。好，这个问题能说不清楚吧，所以我们在这里面一定要听清楚。把这个事情呢，

我们想清楚啊，这个点。来跟上啊，我这个东西推出的是什么？推出是这个所有。哎，推出这个所有就是我们相互独立啊。可以推出两两独立，然后再加上一个什么三个人这个情况。所以相互独立，能推两两独立。但是两两独立能推相互独立吗？你要想清楚，你只有这三个人能推过去吗？你推不过去，

只有这三个人，你再加上个这个条件才能推过去。好了，这个问题我们就讲到这。呃，所以说概念性的问题啊，不是说特别难啊，什么相互独立两两独立相互独立就是任意，比如四个人任意四个人独立任意三个人独立任意两个独立。你这三个人之间的话，任意两个独立，叫两两独立，你再加上三个人独立，你才能退回去。好了，

概念没问题吧，我们就说到这，这个是强化过程当中，我们重点讲过的问题，那么接下来我们再来看看古典概型。能不能把它当做成最后一遍听呢？这个破玩意儿。你就把它当做成最后一遍听。这个古典概型呐，简直是很多同学的痛中之痛啊。好，我们再来看看啊，三大概型。那么三大概型呢呃，难一点的东西啊，

其实就在这。啊，就这个最重要问题的一个点呢，其实就是读题能力了。真不能说，你把这东西做对，是靠这个运气。这也不行呐。就我跟很多同学讲这个问题，你不能把这个东西做成玄学了。它不是个玄学，你必须把它你做成一个玄学的感觉了。穿鞋那个题想了一个小时。好，慢慢品吧啊。

呃，学习这个东西啊，有几个基础？啊，有几个基础？来，我们来看看这个这个问题。第一个东西。呃，当然，这里面还有一个事情，其实就是什么呢？呃，一个是技术原理。当然的话，

我觉得几个问题。我把这个擦掉啊，我们来讲讲这个事。好，我们先看第一个问题。呃，第一个点呢，我觉得有几个重点的一个基础，第一个基础就是。咱至少会怎么办？就里面当中你进行去做的时候。来看第一个事情。第一个事情的话。我之前说过玩英雄联盟。我都不会玩英雄联盟，

我说啥玩英雄联盟？你在哪儿说过？好了，我们继续吧，我们来看看。第一个啊，排列数。排列数，第20。组合数。然后第三个事情全排列。啊，全排列。那么，接下来我们来看看这三个人啊，

就是你会发现。这这这几个人。排列数，组合数全排列。全排列这个东西啊，很好理解。啊圈好了，很好理解就是。你这里面当中有多少呢？比如说我有n个。对吧n个球。n个球，那n个球全部进行去排列，比如说或者这样吧，我们有五个数。

这五个数进行去，比如说你进行排，你可以排一二三四五二一三四五。三一二四五，你可以这样排。有多少种排法呢？哎，这些人呢？所有的这种排列的这个方式是恩的阶乘种。好了，这个问题啊，就是你这几个数，你全部来排列啊，随便进行排，它总共有n的阶乘数。

然后接下来我们就继续，我们再来看那什么叫组合处呢？你高中的时候经常讲是吧？排列组合排列组合。所以有那那些年那首歌里面是不是排列组合？人家就发现这高中的青春呐，对吧？排列组合那排列组合什么叫组合数呢？组合数就是在n个里面。n个当中。我们进行怎么办？我们取。取m个。n个里面进行去取m个，你取上m个的话，

而且。且没有顺序。什么意思呢？你要想清楚就说，我在你这n个人里面，我取了m个人，我这个m个人，我就把它取出来就行了。你听懂我的意思吗？比如说我一二三四五。我在这里取了三个数，你这三个数有没有顺序啊？没有顺序，我这里面哦，我知道我取了三个数。

我取了三个数，我只知道我取了三个数，这三个数不会说，比如说我取了一二三啊，我不会说这三个数是一二三二三一。对吧，三一二它不是这样，就是我取出来就行了，我也我也不知道它没有什么顺序。所以我们把它叫做cnm。然后接下来我们再看，如果n个当中啊进行去取什么取m个球。而且这个东西啊，是有顺序的。好，

这个人就是什么意思呢？就说你应该是把这个什么，比如说我还是一二三四五。我取三个数。但这三个数的话，它是有顺序的。你取出来三个人的话，这三个人还是有顺序，比如什么一二三二三一三一二有顺序，它就叫an m。好了呃，这个东西的计算呢？呃，非常的简单。你看你进行去计算的时候。

你比如说。呃c7c七三你怎么算？呃七×6×5。三×2×1。然后a七三怎么算？就是七×6×5啊，就这个人会做吧好，所以说这个计算呢，非常的简单。这是我们讲的这个第一个问题，然后接下来我们再来看两大技术原理。加法计数原理。然后接下来我们再来看看第五个人啊，乘法计数原理。那么，

这个东西学完了。其实就是我们在这里面当中啊，学习的这个。排列数。一直学不明白。这需要你明白啥呀？他不是这样进行去计算的吗？你想说他为什么要这样算？又回到我们刚才这个问题了。你又不接受他了。对吧，你又不接受他了。是什么意思呢？就是你你心里你就在想啊n个里面取m个有顺序，它为什么是an啊？

它为什么要叫an m？对吧，他为什么要叫这个东西，他不知道不叫BN m。是吧，它咱们叫tnm，咱们叫FM，你转到这儿那那那就有的玩儿了。啊，那就有的玩了，你要继续去推导这个东西，那你给自己找不快乐。好了，那么接下来我们就继续吧，我们来看看这个下面一个点。

那么，首先我们先看第一个问题，加法计数原理。什么叫加法技术原理呢？加法与技术原理啊，我们是看类型。也叫分类。技术原理，你要注意每一类。都可以。完成这件事情。就这个意思，就这里面当中，你要注意，我们是分类技术原理，

就每一类都能完成这个事情。而你发现。这个东西叫什么？这个东西不叫分类技术原理，这叫分布技术原理。就是每一步。对吧呃，就是每一步都完成。才算完成这件事情。完成这件事情。这件。事情能理解吧，这每个人都完成才算完成这个事情啊，我们。我特别喜欢举的例子，

你还记得吗？我特别喜欢。呃，举这个例子啊，就是。就是那个坐火车的事情啊。别说了，我上次取的是从哪儿到哪儿？忘忘到哪儿？要不这样吧，我们还是比如我从北京。啊，然后回西安啊，回老家回西安。那么，

从这个北京回西安？那比如说我们这块有有高铁，有火车，有六趟。然后接下来我们再看还有什么呢？这个飞机比如说有武汤。还有这里面当中嗯。比如说这个自己开车。对吧，汽车你自己开汽车的话，比如说有六趟。那么想想一个事情。你发现我问你总共有多少种方法？那总共有多少种方法呢？你就会发现你总共有多少方法？

你看你这个人是不是完成了这件事情？你这个人是不是完成了这个事情？你这个人是不是也是完成了这个事情？所以说他的每一个类型都能完成这个事情。都能完成这个事情，那这个东西就是加法。哎，总共有17种。好，这个问题，那如果我们再来看。如果我们从北京。啊，然后到弦。假设那一天呢？

呃，直达的那个车没了，假设或或者就是中转一下吧。啊，因为你走京广线的话，是从北京到石家庄，然后到那个到郑州，然后再到武汉。然后再到这个长沙，然后再到这个广州，对吧？这是京广线，然后的话，如果呃走到一般的话，都是从从这个什么北京。

到石家庄到郑州，然后然后到西安，然后到成都是这条路线啊。好了，如果的话，我们比如说在中间中转一下啊，中转一下，我们从郑州进行去中转一下。那么，从这进行去中转一下了之后，我们来看看这个。那么，从这条路线假设我们来看看。诶，那这个人他从这个到这块儿。

对吧，你从这儿到这儿，你发现有火车的话，比如说六趟，然后的话，这个飞机这是五趟。然后的话，你发现这是有这个呃开车对吧？汽车有四套。那么，同学们想想一个事，你发现。从北京到郑州总共有多少种方法？总共有多少种？这每一个人都能完成这个事情吧，

每个人都能完成这个事情，所以说总共有15种。对吧，总共有15种。所以说这个时候你就会发现一个事儿，就是你从北京到这个郑州啊，我们总共有15种，但是你发现这是我从北京到这个西安当中的第几步？只是第一步。所以说北京到郑州，每个人都能完成，这就叫加法，但你只是第一步，那么然后我们再来看，然后从这儿到这儿。

假设有火车啊，比如说这是五趟，然后在这里面当中飞机，比如说有六趟，然后的话，这个汽车假设有三趟。那这个时候你看从郑州到西安有多少种方法呢？你看火车可以完成，飞机可以完成啊，这个人也可以完成。总共有14种，但是这是你怎么办？你从北京到西安的第几步第二步？那因此我们总共下来的话，你看应该是15，

再怎么办？乘以14吧。能理解吗？看似简单，但是这里面当中的内容啊，大有乾坤。所以像这样的一个问题啊，你必须要梳理清楚，你就把这个点你好好进行去想清楚，它就这样的一个问题。所以你琢磨清楚，你看你北京到郑州这每一种类型都能完成这个事情，所以说它们中间是加法。但这只是我从北京到西安当中的第一步。然后第二步，

郑州到西安的话，这个每个部分它都是一种类型。然后这是第二步，两个相乘就行。好了，像这个问题啊，我们就说到这儿跟得上吗？你好好琢磨琢磨，那么接下来我们还是来摸球吧。回到最后啊。还是摸球？呃，就是这个摸球的这个问题啊，你必须把它算清楚啊，算清楚了之后，

一会儿我们再把那个去年那个考研真题啊，我们再来做做。好了，我们先来看看例题。啊零。我们看看已知。一个箱子中。有十个球。其中，红球。五个。白球三个。黑球。两个现在。从箱子中。

从箱子中。箱子中摸嗯。三个球可以吧？哎，摸三个球。摸两个球吧。如果在箱子里摸两球，每次不放回。摸完播放回。问问什么东西呢问？摸到。两个。红球的概率是多少？好，这是第一个问题。

那么，现在我们来进行去看看这个点啊。来先看第一个题。啊，一次一个。摸两个每次不放回。每次摸一个。摸一个，摸完不放回。那么，接下来我们看看这个题，这个题是最简单的。你这所有类型问题当中，它是最简单的。啊，

这是一个最简单的一个题。那你想想，首先我们先来看看这里面。啊，我们里面当中有的球的话就是这样的一个情况，这是我球的情况。然后现在这里面当中的重点是什么？我摸两次对吧？摸两个，每次摸一个，摸完怎么办？摸完不放回所把这个拉长。这是一个重点词，摸完不放回。就你每次摸完了之后，

你不放回大家想想每次摸完不放回说明什么？每次摸。独立的。你每次进行去摸它，肯定是个独立的。对吧，你是独立的，所以现在我们来看看这个事情。那你现在要进行算两个红球。但是两个红球，我就问你个事情，你在意的是这个结果吧？对吧，两个红球，你在意的是这个结果，

你在意的是一个结果，就是我这个结果是两个红球就行了。能讲究吗？两个红球，那两个红球的话，你告诉我你第一次是什么呢？啊，九分之二。好，我们先看两个红球，肯定是第一次是红球。而且第二次也是红球。对吧，你第一次是红球，你第二次也是红球。

你注意摸完了，是不放回的，你这这做做的不好啊。是不是这个事情，所以现在我们来看看这个事儿。那第一次红球，第二次也是红球，然后接下来我们来算算这个人。那你告诉我是多少？那很明显这个数是独立的，它就等于你的概率乘上你的概率。独立的嘛，所以说现在怎么办？第一次摸是多少九分之二？第一次是多少？

两个都是红球嘛？第一次摸多少二分之一？第二次摸多少二分之一？这你们是怎么算的？这这这么简单，你怎么算错啊？你你能告诉我怎你怎么想的啊？这真是弄这这弄的啥？哦，每次哦，放回放回，不好意思啊，怪我怪我不好意思，不好意思，是怪我，

我心里一直想的是放回我，却写成了不放回，不好意思啊，是怪我怪我怪我。好了，不好意思啊，是我打错了，因为我心里一直在想这个事儿，哎呀。行吧啊，我们一块抽两个必胜套装好吧啊，抽两个必胜套装。一个人送一个这个。啊，行吧啊，

摸完放回啊，不然的话我怎么会说这个每次摸独立呢？好了，这个。好了，这是这个能听懂吧？哎呀，行吧，但是这种只不过是每次看到这种人，哎呀，非非常难受吧，但是我感觉呃有有哎呀，这就是强迫症的一个坏处。强迫症的好。其实强迫症有好处吗？

强迫症的好处是什么呢？就是。呃，最后倒笔记的话，笔记会非常的完整啊，会非常的这个整齐。强迫症还有什么好处吗？我觉得强迫症也没什么好处了。反正每次强迫症非常严重。好了，那么接下来我们继续吧，我们来看看。那就是每次放回啊，你放回你放回了之后的话，你发现你摸完了，

你给我放回去，哎，这每次是独立的。好，所以说这个时候你会发现俩人是独立的，那独立的话你就会发现呃，这个人成绩的概率等于概率乘积，所以这个结果是四分之一。好了吧，这是这个问题。跟得上啊，好这个点。那么，接下来我们再来看看第二题呃，这个题是最低配版的题。

然后我们再来看看。然后接下来我们问摸到什么？一个红球。一个白球的概率是多少？好，我们再来看看这个问题。那么，它还是摸完放回，那说明什么？说明是独立的。啊，每次是独立的。好，这个问题每次是独立的。那么，

接下来我们就继续我们看，每次他都是独立的。然后他现在问我们什么一个红球，一个白球，你告诉我个事情，有几种可能性？啊，你分析一下。它是什么东西呢？他说我有一个红球，一个白球有几种可能性。有两种。两种可能性。因为你在意的是这个结果，你在意的结果是什么？

你在意的结果是一个红球，一个白球，你在意的是这个结果。你这个结果让它是一个红球，一个白球，它可能性它有可能是什么？第一次是红球。对吧，假设你发现第一次是什么？第一次是红球。然后第二次是白球，我这样写可以吗？呃，第一次是红球，第二次是白球。

也有可能是什么？第一次是什么？白球第二次是红球，我这样写你能看得懂吗？好，这个问题，所以它有这两种情况，你告诉我这种情况。和这种情况是不是都可以完成这件事情啊？这两种情况都是可以完成这个事情，中间是用加法还是乘法？这是加法。所以我们这个时候我们就可以算了a1，这是a2吧？你再加上多少a一八a二八a2，

然后是独立独立就等于概率乘积。第一概率是多少？第一次是红球，红球是二分之一。然后这是白球，白球是十分之三。然后第一次是这个白球，白球是十分之三，第二次是二分之一，所以说这个结果其实等于多少？十分之三，能想清楚吗？好了，这是这个问题，你要跟得上，

你看我们这样进行去慢慢进行去品简单题嘛。你慢慢进行去品，其实你就是把刚才那个什么加法原理和乘法原理就想清楚了。能做问清楚吧好了，这是这个问题啊，你就会发现它里面当中的这个点，你到底是用加法还是乘法，它是它是有规则的。不要胡庸好了，我们继续看。那接下来我们就继续来看这个题，你们先不要抄，你来不及抄啊。好，我们再来看看。

摸完播放回。好摸完不放回默认给每个颜色的球标号了吗？哎呀，那你还是没有没有看懂这跟标号不标号的没有没有关系啊啊。好了，这是这个。你再品一品，那没有没有品出来的吧？这这个这感觉你再你再品一下啊。你至少的话，你发现你红跟白白跟红不一样。不是你，你是在这来学语文来了吗？从箱子里面摸两个，每次摸一个。

我是说我疯了对吧啊，你一会儿再看，就我要摸两次。我要摸两个球，我每次摸一个球，这这很难解释吗？不是我这，这是个数学课程呢啊，那那干嘛呢？好了，我们继续吧，我们再来看啊。十个球红球这个东西这个东西啊，然后接下来看摸完不放回。好了，

摸完不放回。摸完不放回我来问你两个红球的概率是多少？好了，我们继续看。那如果摸完了，不放回，这个时候还独立吗？他就不独立了。这时候你要注意，它不独立了。每次不独立了。不独立。但是我可以用古典概型来做。对吧，我可以用古典概型来做。

我用技术原理。它这个概率其实就等于。总的发生的情况。对吧，你这个事件发生的次数比上总的次数。你这个事件发生的次数比上总的次数，什么叫总的呢？总的是什么意思啊？总的就是摸了两个球。啊，摸了两个球。那摸了两个球的话，你看第一次摸有几种可能性？十次可能性。不放回第二次，

有几种可能性，九次可能性。这中间是用乘法还是加法？乘法这是第一步，这是第二步，才算摸了两个球。就这么简单，你看如果你把它抛弃的非常深刻，他就这样。好了，我们再来看，然后的话，这个什么这个na是什么意思啊？就是摸的话，你要摸两个球，

两个红球。两个红球的话，就是第一次红球。然后第二次红球，因为两个红球嘛，两个红球的话就是这样。第二次红球。那第一次红球有几种可能性？第一次红球有五种可能性。第二次红球就只有四种可能性了，它只有这种，而且这两个是乘法吧，这样的话它才算完成了这件事情。好了，学会了吗？

听明白的给我回复一。古典概情就是这个事件发生的次数比上总的发生的次数。啊，这件事情发生的次数比上总的发生的次数。好了，这个问题啊。然后接下来我们再来看。好摸到。一个红球。一个白球。我再强调一遍，如果我今天晚上讲的这几个题啊，你还是半知半解的，你没有达到非常非常通透那种感觉，我觉得都不行。

如果都这样的一个情况去讲，你还有问题，我这这没没办法了，你让我心想怎么去讲？你再换也没有用了。你要再换那那都都没有用，再进去去听更多，那也没有用。真没有用，因为这是最简单的模型了。好了，我们就继续，我们再看。然后接下来你发现他要摸到什么一个红球，一个白球。

那这时候我们进行去拼一下。你发现你在乎的是一个结果吧。你在乎的是个结果，我只要在这个结果当中是一个红球，一个白球就行，那么接下来我们看这个概率等于多少？这个概率等于一个红球，一个白球的次数比上总的次数。好总的次数就是第一次是十次，第二次是九次。好，这个问题，然后接下来我们看一个红球，一个白球有几种可能性，有两种可能性。

有可能是第一次是红球。第二次是白球。对吧，第一次是红球，第二次是白球，也有可能是第一次是白球。第二次是红球。是不是有这种可能性？因为你红白白红，那这时候最后都是一个红球，一个白球啊。那你告诉我，最后而言，这个东西是加法还是乘法？这是不是加法？

能理解吗？加法事件，所以我们现在看看你第一次摸到红球的概率是多少呃，这个情况有几种五种？白球有几种？白球只有三种。是不这个问题，然后这个白球有三种，红球有五种。你这是这个情况，所以说最后而言的话，我们这两个东西都完成了，才算完成了这个事情，所以应该是五乘上三。再加上三就是乘上二。

是不是结束了？你听明白了吗？这能理解吧。好，这个问题。那么，接下来我们再来看看下一个问题。这这这应该会啊，怎么转你都那都都没有问题，然后接下来我们再来看看第五个点。摸两个球，从箱子一次性。一次性。姓摸两个。求然后问。

那这里面当中还有一个事情，他说我在这里面当中有十个球。一次性就摸出了两个红球的概率是多少？好了，那么接下来我们看看这个概率是多少？好，我们来瞅瞅这个人。那这个东西一次性摸到摸出两个红球。那么，现在我们还是用这个条件概率来算吧，呃，不是条件概率算，就是用这个古典概型的这个事件来算吧。好同学们，这是一次性摸两个。

一次性摸两个，你在乎的是一个结果吧。那你就在十个里面取两个不就行了吗？要不要顺序啊？要不要不要我？我的问题问的是我有两个球就行，你摸出两个球就行了。你摸两个球就行。然后再怎么办？两个红球就是在红球里面摸两个球了就行了。你想这个很简单，十个里面摸了两个球呗好，我摸了两个球，我这两个球要什么顺序？我在乎的是两个球，

我又不在乎，说这两个球红红红。什么玩意对吧？那就在五个球里面，再摸两个球呗。所以说最后你算一下，这是五乘四二×10乘九二×1把，那个二×1就约掉了。能想清楚吧，好了，这个问题。这是我们讲的这个第一个点。然后接下来我们再来看。第六个，一个红球。

一个白球。对吧，一个红球一个白球的概率。这是不是在这个结果？你在这个结果的话，我们继续算。你发现我现在的话就是一次性。十个里面摸了两个球。一次性摸两个，然后说一个红球，一个白球，那你就在红球里面取一个白球，里面取个不结束了吗？要不要顺序？你不就两一次性摸两个吗？

红球里面一个白球里面一个，那不就结束了吗？这不就是一个红球一个白球吗？我又没有一个什么红白白红没有。因为我一次性摸两个你红里面一个白里面一个，这不是这不就是一个红球一个白球吗？所以说这个时候你就会发现你算一下。十乘九二乘一五乘上三，它不就是十乘九五乘上三乘上二吗？能理解吧，所以说你就会发现一个事情，你看你这个结果的这个答案就是一这个答案。你这个答案跟哪个答案就一样呢？你这个答案就跟这个答案是一样。是一样的，

然后你这个答案跟哪个答案一样呢？就跟这个答案是一样。所以我们说啊。摸了好多次。每次不放回跟一次性摸一个呃，摸n个是一样的。所以我们注的是。摸n次。播放回。对吧，跟一次。摸n个。是一样对吧？跟一次性摸n个，这是一样，

所以你注意这个问题。它就等于一次性摸n个，那所以我们刚才在做第三个题的时候，每次摸一个，摸完不放回音。每次摸一个，摸完不放回，所以我们将来看到这句话的时候，其实你就品出来了，对吧？我摸两个，每次摸一个，摸完不放回，这就跟一次摸两个一样。那跟一次性摸两个一样的话，

你就速战速决，你就直接算了，那不是十个里面取两个？然后两个红球，五个里面缺两个，这个一样吗？然后再来看摸两次不放回对吧？摸两次，每次摸一个不放回，那其实就是一次性怎么办？十次里面十个里面摸两个。五个里面取一个，三个里面取一个，这不就结束了吗？好了，

这个所以如果是不同的类型都能导致这个结果，中间是加法。如果你是一系列的步骤才会完成那个事情，那这个东西怎么办？哎，这个东西啊，它其实就是一个乘法。把它想清楚。好了，这是这个问题吧？你看有同学还是不理解这个东西，为什么有顺序？他是一次摸一个。第一次摸和第二次摸，它肯定不一样。

你第一次摸到红球，第二次摸到白球，算不算一个红球？一个白球。你第一次摸到白熊。第二次摸到红球，算不算一个红球，一个白球？你品你给我好好品，这句话不行，把它给我变成我喜欢的绿色，你给我品。你使劲的给我品这句话。他在意的是一个结果，我就问你一个红球，

一个白球，我我就看这个结果，你第一次红，第二次白，你第一次白，第二次红，那不是还是一个红球，一个白球，这没有什么区别啊。你好好品啊，对吧？你认认真真的品。这块内容我们就说到这。好了，那么接下来我们把这个去年这个题啊，

我们把它做了。看同学们的情况。来看看这题。好来做一下这个题吧。呃，我给你。一到两分钟。啊行吧，动手吧。做完了告诉我一下答案。如果刚才说那个东西你还晕呢，你得好好进行补一补了，这这这个最低配版的这个点了啊。那还学不会，这都多少遍了啊？

嗯，有同学说非常好啊，非常好，非常好。嗯，可以呀，对吧？你看其实放到最后的话，这个摸球啊，也没有说那么难。来，我们来看看吧。你注意这个问题。我们说的是每一次都放回。我一看到我贼开心。

放回啊。放回不是独立吗？每次我都放回去，每次放回去独立的呀。然后说这个s表示摸到了红球个数，有同学说那老师不对吧？红球只有一个，那么最多只有一个吗？这不不不是这样。我第一次摸到红球，我扔回去，我第二次摸到红球，我再扔回去。你告诉我总共有多少，最多能摸到几个？

有可能摸到零个。有可能摸到一个，有可能摸到两个，有可能摸到三个。是不是这种情况就是我有可能的话，第一次没摸到，第二次没摸到，第三次没摸到，我有的第一次摸到，第二次摸到，第三次摸到。所以现在我们要算这个，这不好算，我怎么办？我算反着算，

我就算多少，我就算x=3的时候。三次都是什么？我给你写细一点，第一次红的，第二次红的，第三次红的，是不是独立？那独立这个人是不是等于概率乘积？你看其实都不用写算了吧，我给你写的能看明白吗？是不是这个事情第一次第一次的话，这个红球的概率是多少？四分之一第二次多少？四分之一第三次多少？

四分之一？那所以说这个结果不是选它吗？没多难吧，说实话，考的没那么难。就是这个问题啊。嗯，摸完了，你扔回去，摸完了，扔回去，摸完了，扔回去。那有可能第一次摸到没摸到，第二次没摸到，

第三次没摸到，第四次嗯嗯，没有第四次。独立，这是关键点，那这个模型是哪个模型呢？这个模型不就是我们刚才讲的最简单的这个模型吗？最简单，这种题就是摸完了之后，怎么你给我放回去，你放回去就独立了呀，一定不要混。还是那个问题，不要把这种题做成玄学的题了。对吧，

你要注意，你要做成玄学的题了，我觉得就没什么意思了，你头脑要清楚。那这有什么，你今天做对，明天做不对了，明天做对了，后天又做不对了。过了两天又做对了，然后过两天又做不对了。这这能测算出来吗？你算出一个规律。啊，算一个规律。

发现每平均两天，我能算对一次。每平均两天能算对一次，从今天开始看，然后的话啊，算到12月24号。你看看，如果的话，这个中间呢，需要空一天，那那一天你就不要做对吧，然后刚好那天你就做对了。什么鬼呀，别这样，别这样，

别别别这样。啊标定。对，这就非常荒谬了啊，别乱扯。好像这个问题啊，你下去好好看看这摸球问题啊，好好摸啊，这个不是说特别难。那行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这啊，东西比较多啊，但第一章的时候其实呃，核心重点的话，

随机事件之间的关系。运算运算力，纯靠背理解，对吧？把它背过，把它理解了，然后概率公式一定要把它记住，然后是独立性，怎么去检验？然后最后一个事情，古典概情这几个东西啊，好好再串一串。好吧，好好再串一下，然后下节课我们的这个重点呢，

这一章还有两个问题，一个是几何概型？一个事情是我们在这里面当中讲的这个呃呃，全概率公式和贝叶斯公式一讲完这章就结束了。结束了之后，然后我们就来看看这个第二章，第二章是大章。行吧，我们来抽这个抽三个必胜套装吧啊。抽错题本儿还是必胜套装行吧，你自己去回复去呃，你想要错题本儿，你就要错题本儿啊，你想要必胜套装就用必胜套装。我觉得那是不是错题本儿更在你这个目前而言的话，

是不是更有用一点啊？好回复一个。考研加油吧。考研加油。考研加油。啊，我数的十啊。好嗯，可以了吧？因为它这个老抖啊。一二。三四。五六。七八。90。

好了，我们来看看。这几个同学，这同学不知道是谁了啊，我们来一个两个。三个同学。行吧啊，恭喜这三个同学。呃啊，这个小跟班同学啊。然后这个同学这这个这个ID我不太不太。啊，那行吧，我们就说到这。啊，

没关系，没关系啊。呃，行吧，那么这个问题啊，我们就说到这，而且其实你发现那么在刚才我们讲的这个问题当中啊，你也可以继续把这个梳理一下。你其实你可以再进行去瞅一瞅，你看这里面当中的排列数。同学们，你再看你看这个排列数排列数什么意思啊？排列数有顺序吧？排列数不就是。我先从n个里面摸了m个。

然后再怎么办？把这m个进行一个全排列。是不是然后进行一个全排列，你告诉我这个东西是乘法还是加法？这东西是乘法。对吧，这是第一步，先摸第二步再排是要先摸后排。是不是这个事儿，所以你自己计算这个东西，你也可以是啊c七三啊三的阶乘，那刚好是上面这个人。一样的行吗？呃，那么这个点呢，

我们就讲到这，哎呀。别别别闹啊，好好复习，我这考上了比什么东西都重要啊。等你考上。我天天给你签都行啊。那都没有问题。好好复习好，那么今天课程呢？我们就讲到这，自己下去把这个呃几个内容好好处理处理，因为今天的东西啊。呃，还比较多，

那么学到第二章可能有些人觉得难，但是第二章套路太明显了，第二章纯考这个东西的套路的问题。那行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这，其实第一章啊，比较难的，还是在这个古典概型，你下去多多摸几次好不好？哎，该摸的这个东西啊，把它多摸一摸。好，那么今天课程呢？

我们就讲到这，然后。呃，因为这两天出的题比较多，然后看看呃，可以给同学们再多出几道这个古典概型的题，你们多进行去做一做。c五二跟五×4有什么区别？你这你这不太好吧，你你。c五二等于多少？五×4比二×1啊。不你你你这不太好，你这你你这这什么时候开始复习的？好了，

我我我不讲了啊，你自己你自己下去好好复习一下。对吧，五×4是a五二，不是c五二。行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这，自己下去把这个相对的问题啊，好好处理处理啊，比较重要的。呃，其实都很重要，对吧？比较难的可能是古典概型下去慢慢品啊，

一定把这个东西啊品出来就行好，那么今天课程呢，我们就讲到这儿。然后的话是呃，今天是周六，然后我们是下周一，下周一的话，我们刚好把这个概率啊的第二章我们要进行下去。对吧，进行到第二章，然后基本上我们应该是上三次多一点的课程，我们这个概率就结束了，所以你看高等数学结束了之后，后面就非常快了。可能线性代数比较浪费时间的，

也不是浪费时间，应该就花上更多时间，应该是在那个第三章和第四章。香料那张。还有这个方程组那一章对吧？很多同学这个一些一些问题啊，还是没有梳理清楚，到时候我们再看。好，那么今天课程呢？我们就讲到这儿，好好进行去，把这个概率的东西啊，好好梳理清楚行，同学们好，

下节课见吧。

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