15.冲刺串讲15-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:06:51

我们准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请用回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们准备开始了。那么今天我们就继续开始我们的冲刺救命班的课程，那么今天啊，还是这个第一个片段的课程叫做冲刺大串讲。那么，在上次过程当中，我们已经把高等数学当中啊，核心问题全部讲完了，那可能在后面还剩下一些边边角角内容，

比如说我们在这里面当中的一个经济学应用的问题。比如说这里面当中的中值定理的问题，对吧？像中值定理啊，你必须要掌握住一些定理，他怎么说的？那避免会出现一些什么？出现一些这个定理当中的直接性考察的问题。那当然，还有一些呃小型知识点呢，比如说我们在多元微分学当中还有这种偏导数的反问题，全微分的反问题，你像这种小细节的点。我们将会放到这个最最后一次课程呢，我们放的一点东西，

把这个全部的边角知识点呢，全部给同学们串一遍，那这个内容基本上就结束了。那么，从今天开始啊，我们将会正式的开始看第二篇内容叫做概率论。我们是先上这个概率论，然后再上这个线性代数，因为这个概率论呢，跟我们这个高等数学挂钩度啊，非常密切。因为这个学习的概率论呢，它就要使用到微积分的内容。对吧，我们就要使用这个东西，

所以我们才学完这个微积分呢，我们接下来我们就直接进入到这个概率论，我们学习这个问题。但这个点呢啊，其实很好拿分那么首先我们先来看看这个第一件事情考题形式。我们在这里面当中总共考几道呢？那么在概率论当中啊，我们总共是考七道题，然后这个七道题啊，每个题两分，那总共是14分啊，这是这门。这个版块的课程，然后在这里面，我们来看看总共考哪些东西呢？

我们来看看考点内容。如果从考点上，我们总共其实有三章内容，那么这里面我们先来看看第一章。那第一章叫什么呢？第一章那第一章叫做随机事件及其概率。啊，这个问题那么随机事件及其概率啊，一般会出题啊，应该是会出两道啊，在这里面概率公式的一个应用，我们会考虑到。然后紧接着还有一个什么，还有一个东西有可能是这个几何概型，有可能是这里面当中的古典概型，

就这个版块内容，他可能会出一道。所以有的时候会出两道题，然后第二个第二章，第二章叫做随机变量。及其分布。啊，这个问题那么在这里面总共会学哪些内容呢？有一维随机变量，有这个二维随机变量，那从考点的角度上而言。有分布函数。有一为离三，有一为连续。然后这里面还有常见分布。

然后紧接着是一维。函数的分组。然后最后一个事情是二维离散问题，所以从考点的角度上而言，我们总共就是这些内容，对吧？这是我们在第二个片段当中，我们将会学习到的。好，我把这个换个颜色呃，换一下吧。好了，这是第二章，然后接下来我们再来看看最后一章，那么最后一章我们将会学习什么？

第三章那第三章我们将会学习两个问题，一个是期望的求解。一个是方差的计算。好，这个问题。所以说从这个概率论角度上啊，这门课程呢，稍微会简单很多，那么在这里面我们提几个点，因为这两天有些同学可能问题的问的比较多一点。我记得在这个呃，最近两天回答了一个问题，有些同学可能是在这里面啊，学的有点糊涂了，东西比较多了。

你在基础班的时候，我们一定会把每一个考点呢，非常详细的进行去讲，那么强化班的过程当中，因为我们的时间还比较长，所以。所以说在每个题型当中，我们都会啊，这个相对而言非常非常的详细，跟同学们去说，但是到了这个今天呢，我们来谈一点这个考试策略的问题。那这门课程呢？其实你发现非常好拿分。哎，

好拿分，就是有些同学，他根本就没有学透，但是你发现一个事情，这个东西的做题啊，他会做题。又根本就没有学会，但是你发现仍然在做题上没有任何问题，因此在这里面我想强调一个事情，我们到了这个冲刺阶段了。有些同学可能说，哎呀，这里面当中我理解了多少次了，我在这里面当中还是没有这个非常细致的进行去理解。那么在这里面，

我给你提示一下，你就记住每种题型怎么做，你在这里面当中，你都能拿分，因为这门课程套路性非常明显。对吧，套路太强了，你基本上就是套路，你比如说我们学到第二章，从第二章开始，尤其是这里面当中分布函数。你就记住哎，这个分布函数这个函数怎么定义的？这个函数就是这样定义的，这个函数有什么性质？

这个函数就这四个性质。你要判断这个人是不是他，你就验证这四个点。然后通过这个分布函数，怎么去求概率？哎，我知道怎么去求概率，然后一为离散型就这个人。那这个人什么叫分布率对吧？分布率怎么去求？怎么通过分布率求分布函数，然后这个东西的概率密度函数？对吧，给的概率密度函数说里面有个参数，怎么去求？

那就归一性。然后这个东西怎么去求分布函数？分布函数怎么去求它？然后这个东西哎，如果是一维连续的话，分布函数什么特点？就这个东西的话，到了最后包括常见分布，常见分布的话，比如说我们二项分布，泊松分布均匀，分布指数分布正态分布。哎，每一个分布，如果说了这个分布，

它告诉了什么东西，所以说这门课程有的说啊，老师好多东西啊，你想想这是一本书哎。我们在这里面高等数学学了多久？我们高等数学应该是学了14次课。学了这么久，但是你发现我们这个板块的概率论呢，我三两句话就说完了，然后这个期望和方差。你就记住每一种类型问题是怎么进行计算的，每一种类型问题方差怎么算，所以说这门课程套路太明显了。就是如果到了最后，有些同学在这里面，

你实在还是不理解。你就没有理解你在这里面当中掌握住套路，你也会做题。对吧，你就会做题，把它分的清清楚楚的，有每些部分的题型，然后怎么去处理，然后最后啊，你把这个分答满。就这个板块的分，如果说这个。这门课程呢啊，就这个板块，这个板块有些同学可能会丢分呐，

应该是会丢在这个古典概型这块。哎，古典概型。所以一会儿我们在上课的时候，我会重点来提这个古典概型的问题，但是其实你发现我们基础班把古典概型的方法也教给你了。我们强化班把古典概型的方法又给你复习了一遍，但是有些同学仍然在这里面当中，你其实还是不太会。就是原因点在何处，你自己多独立自主的进行去做几个题。啊，做几个题，把常规的模型的题啊，掌握清楚就够了。

把常规的题掌握住就够了，尤其是摸球问题，会摸就行了。然后如果再考到别的题啊，可能性不是特别高。如果在考场当中见到非常繁杂的这个古典概型的题，题目又非常的长。那些题目非常的长，只会发生在你平时做的这个练习册当中。然后最后真题当中的这个题啊，其实你发现也不会考的那么的难。你就算去年的考研真题也没有见考那么的难，所以说这门课程呢，有些同学可能在古典概型当中。你就把常规问题掌握清楚，

轻装上阵，如果在最后的考场当中遇到这个问题，如果这个题目你发现。一两分钟还没读懂，你先把它跳过去。等你最后的话，有时间了再回来租啊，就一道题影响不是特别大。所以因此啊，你在这个类型问题当中，你一定要注意这门课程怎么学，我觉得别的部分呢，尤其这里面当中其中六道题套路都非常明显。如果在这里面呃，你可以丢分，

你就丢到古典概系那块。但是古典概写呢，其实我们在考试当中考的也没有那么的难。你再怎么变，其实就是那几个模型好了，那么接下来我们就不说了，可以了吧？所以这门课程呢，你尽可能拿满。啊，这门课程比那个高等数学简单到哪去了？有些同学可能概率论做的不好，你做的不好的话，其实。呃，

主要原因有些同学可能做一些这个习题集啊，挫败感比较明显，因为里面当中啊，就没有把你当做成三九六同学来考。啊，里面当中每个题都非常的繁杂，每个题说的这个东西的话呀，说的这个都不说别的，一两分钟做出来的，有些人一两分钟都没题，都没读懂，你说怎么做？比你的逻辑还逻辑。好了，那么接下来不多说了，

所以这门课程呢，我们接下来正式开始。相对而言呢，这门课程的话，拿分还是非常明显的啊，拿分还是相对而言比较容易的好了，那么接下来我们一起来看看这个事情。首先第一件事，我们先来看看这个第一章啊，第一章叫做随机事件。随机事件及其概率。好吧，随机事件及其概率。那么，接下来我们来看看这个板块。

那么，随机事件及其概率啊呃，是我们比较大的一章。其实这个大的章节啊，你发现我们考研的时候有可能会在这里面当中啊，会出两个题，你要把你的重心放在两个事情上。一个事情备注概率公式会利用概率公式去求概率啊，这个是常考题，然后另外一个事情其实就是三大概型的问题，那么在这里面当中我们要学习的东西啊。呃，其实包括三个人，一个叫做随机事件。的运算。

关系与运算。所以这里面我们在这个板块当中啊，他到底在学什么呢？我先讲讲。啊，我先讲讲这个问题。你发现在这一章的时候，我们学习的这个问题点的话，它是这样的一个东西。什么叫随机事件呢？我们通常这个事情具有随机性。我们通常用这个大写字母表示，比如说a这个字母b这个字母这个大写字母表示。它具有随机性，我刚不说过这个问题吗？

来晚了吧？我刚讲完这个事情啊。你还加一呢，你也来晚了，你俩都来晚了。啊，好了。那么，接下来我们来看看这个第一个问题啊，随机事件，随机事件就是这个事情啊，它具有随机性。对吧，比如说我掷色子，我也不知道我在我在掷之前我也不知道掷到哪个点，

所以它具有随机性，具有随机性的事件就叫随机事件，就这么简单。既然这个事情具有随机性，然后我才怎么办？我才要进行去求解它的概率。你具有随机性，我去求你的概率，所以大家想想我们一会儿要进行去求的这个概率。这里面这个东西是什么？里面这个东西就是个随机事件，能理解吧？哎，你看我里面这个东西就是个随机事件。比如说这是加和事件。

我要对随机事件进行求概率，所以你发现这里面当中的第一个问题啊，求的是前奏。什么前奏呢？我们其实现在我们这个第一个板块内容研究的是什么？研究的是这里面的这个情况。能理解吧哎，在研究这个里面，把这个里面东西研究清楚了之后，然后接下来怎么办？我们再研究随机事件的概率。那么，这个版块内容最终问题是记公式。g公式，套公式。

就这个问题。就是我们在这里面，如果见到加和你就想加法公式，你见到减法，你想减法公式，你遇到乘法，你想乘法公式，你见到什么你就想什么。你记公式套公式这个板块内容，这是个送分题，这应该是学习概率论当中啊，很多同学最喜欢学的一些没有之一。啊，最喜欢学的一节好了，这个问题学完了之后我们再来看看第三个事情就是随机事件，

这是可能会考的。随机事件独立性的检验。独立性。怎么进行去检验随机事件的独立性啊？两个事件，比如说我给了一个a事件。我给了一个b事件，对吧？你这两个东西独不独立呢？怎么去检验？所以我再来强调一遍，你如果这个问题啊，有些同学一直在想一个事情，说这个东西为什么叫独立？学第二章的时候，

为什么叫分步函数？它为什么要叫概率密度函数？我一直给你强调这个事情，你是学习这个问题，有些同学就因为这些事情影响了一年的复习。人家前人在定义这个东西的时候，就把它定义成了分布函数，你就今天学的时候，你要注意我们有考纲，我们在学那个问题，你就记住这东西就是分布函数。这分布函是怎么定义的？你用它就行了，你一直在天生反骨，对吧？

你这一生反骨怎么进行去学习啊？你想超越他也行，你把所有的问题都学清楚了之后，你站在前人的脚步上，你去修正他好了，那么将来问问题当中，我们就可以在这里面当中。啊，这个学习你的东西了。所以不要这样，有些东西啊，有些同学这个概率论学的不不是特别好，主要原因就在这儿，一直在想这个问题，哎呀，

为什么要叫概率密度函数？那为什么这个东西叫分布？为什么这个东西叫分布率？你先接受它呀，对吧？能理解我的意思吗？所以你先接受它，你接受它，把它用好。用好了之后，它自然就变成了你内化的一个部分，然后你就你就相当于同化它了。好了，这个问题啊啊，所以你就记住人家这个东西就规定了，

这就叫独立，怎么检验的，检验的话就乘积的概率等于概率乘积。所以简单一点，你简单一点，反而学的更好一点，你轻松一点。是不是这个事情，所以我我觉得这个事啊，有些同学可能呃，你别小看的话，这种这是意识的问题，意识问题啊，有的时候是不容易解决的。你有可能话会听到别人的一句话，

你就把它解决了，有些同学可能这个意识的问题啊，一直而言都解决不了好了，这是第一个问题。然后接下来我们再来看。然后在第一章当中啊，有一个难点，有一个难点就是三大概型啊，三大概型。这三大概型呢？其实我们重点学两个，一个事情是古典概型，一个事情是几何概型？然后还有一个伯努利时间。伯努利事件这个问题啊，

我们将来会学零一分布。我们将会学二项分布。所以说这个内容我们放到第二章讲。能理解吧，放到第二章讲我们在第一章当中的重点一个事情是古典，一个事情是几何古典这个东西啊。不要太为难自己。我觉得你把常规的这个模型掌握清楚就行，也就说老师我能不能把所有的东西都学完，其实你发现你这一年学的常规性问题全部给你讲完了。然后这个古典概型的题，你是做不完的。你做不完，我稍微换一下，你今天是摸球，

我明天怎么办？我明天打靶。你今天摸球，我明天摸箱子。对吧，你今天摸球，明天我怎么办？这个掷色子我稍微换，其实你发现内容点它没有变，但是有的人他会看不出来。那所以这里面当中更多的问题啊，跟很多人这个语文问题有点关系了。好吧，这个事我们就说到这。对吧，

就是这个，你看原来我们讲这个过红绿灯的这个问题，那也是这个人呐。所以你要把它读清楚啊，这个读题能力很重要。好了，那么这个问题啊，我们就讲到这，你放心吧，考研真题当中，最后他考的不会说特别难，我给你看看这个去年的考研真题。你去年的，你看这个问题。回到最后还是在摸球。

对吧，其实你发现回到最后还是在摸球，你不要放弃哦，考的都不难。考的没有那么难。你看去年考那么难，你发现这个到了最后还是在摸球，那摸球的话你还不好摸吗？有放回你看。这这这什么，这不是模型吗？这玩意儿有放回啊。有放过的摸三次这题你不会呀，你发现你都对不起自己啊，好这个题。

那么，这点我们就讲到这。所以常规的问题，把它把握清楚就行啊，考最后而言的话，他还是考这个事情，你不用把它想的太过于繁杂，有些太繁杂了，那确实不是两到三分钟内做出来的。有些东西可能看到呃，做了很多这个习题集里面题，我原来见过有同学给我发过一些，那明显这是数一数二数三同学当数二同学不考。数一和数三同学历年真题当中那种12分的大题，11分的大题，

然后稍微的改一下，把它改成选择题，出成两分题。这是人吗？对吧啊，这这这种情况那肯定不行啊。所以你就会发现啊，怎么那么的难，但是给你十分钟你就会做了。对吧，给你十分钟，你发现你就会做。好了，这个点呢，我们就讲到这啊。

那么，这是我们讲的这个第一个问题。那么，接下来我们就继续我们来看看下一个问题点啊。好，我们从这个第一个问题啊，我们开始我再来强调一遍，我们的第一个问题啊，学习的是这个随机事件之间的关系和运算。啊，随机事件的关系和运算啊，那倒不是。我在谈这个现象，这是跟这个没关系啊。好了，

那么接下来我们就继续，我们再来看考点一啊，然后随机事件之间的关系。啊，随机事件之间的关系，大家听好了。随机事件的关系，我们在学什么东西啊？我们在学习前奏。能理解我的意思吗？你要注意我们在学习前奏。啊，前奏前奏这个东西啊，其实我们就是重点而言，学习的是这个概率里面这个东西能听懂我的意思吗？

哎，概率你们你别给我乱扯对吧啊，你好好听课。好，这是这个事情，我们在学习这个里面就是这个概率的里面这个东西，那有的时候他会给你一个非常繁杂的式子，你需要把里面这个东西进行化简。里面这个东西化简，我们就要用到这个板块的知识点。首先第一个事情，随机事件的关系，而这些关系啊，我们都可以通过什么东西啊，有个东西叫做韦恩图的东西，

然后进行去把它表述。啊韦恩图。那么，接下来我们一起来看看这个问题。首先我们先看看有几个关系，那这里面当中的第一关系叫做包含关系。啊，包含关系。咳咳。啊，我看到那个怎么那那天有个。有有个学生真的是无语了，对吧？发给我一看了。嗯，

比如说我上课，我昨天晚上聊这个事情，我算一个矩阵乘法，比如说我刚刚写完，这是加号，我要把它改成减号。改成减号了之后的话，你发现他咔的一下把那个加号解掉了啊，这个说我们这个我们不改正啊。行吧，你说我连个矩阵的运算，矩阵的乘法我都不会做，我在这给你讲什么考验呢啊？好了，那么接下来我们就继续吧，

我们来看看这个下一个问题，第一个点呢，我们去讲什么？第一个点，我们去讲这个包含关系。啊，然后第二个东西啊，我们去讲什么第二个东西，我们去讲相等关系两个东西啊，是什么关系呢？两个东西是相等的。然后第三个事情我们去讲互斥关系，然后最后一个事情我们去讲对立关系。你要注意包含相等，互斥对立，

那这个东西考的这个内容点是什么呢？考的这个这个内容点呢，我们的重点而言的话，这个东西比较重要，就是互斥啊，互斥这个内容比较重要。就是我们在考研当中啊，互斥是经常会出现的，或者他会说互不相容，就那个题目当中，他会说这两个东西是互不相容。对吧，这个问题那么接下来我们就继续吧，我们来看看第一个点，你像这些问题啊，

都可以通过尾沿图的形式来画。因为其实啊，随机事件就是集合好，不讲这么多了，你别管了。对吧，其实有些人从基础班听你都能理解，有的人又在想，哎呀，为什么随机事件是及格？你就记住它具有随机性，那么首先我们先来看看第一个问题，包含关系，假设你发现这个第一个点呢，这是个全集空间。

好全景空间，然后这里面当中的这个第一个问题啊，你看这是一个a事件。好了吧a事件a事件这个东西有这么大的一个范围对吧？有这么大范围，然后接下来我们再来看看这个b事件。b事件有这么大范围？好了，这是b事件。那大家想想，我们可以怎么说？我们可以这样说，我们说b啊，包含于a或者a包含b啊，这个无所谓。

其实我们写出来最后而言的话就是b这个人包含于a。或者我们怎么说呢？我们就说这个东西啊，属于它能理解吧？哎，好好听课啊。哎，属于他啊，不要犯轴啊，我知道有些人说属于应该是元素之间的关系，不要这样，你就你就理解就行了，你能听得懂我说话就行。好，我包含于你，

或者我属于你，那这里面当中凸现成什么样子呢？你发现比如说这里面当中有一个元素出现了。这也有一个元素出现了，是不是就说明b事件发生了？那你很明显呐，如果这个b事件这个人发生了。那这个时候我是不是一定会导致什么a事件？这个人发生。好了，这个问题，所以说你要想清楚一个东西的发生会导致另外一个东西的发生，它就是包含关系。我再说遍一个东西的发生，会导致另外一个东西的发生，

你发现这两者之间是有关系的，哎，我会导致你。我的发生会导致你的发生，我们就是包含关系，你包含于我能理解吧，一定要想清楚就说，我会对你造成影响，我就包含于你。好了，这是第一个问题，包含关系，所以要想清楚包含关系什么意思，我的发生会导致你的发生，然后接下来我们再来看看相等关系，

那相等关系我们继续来画一个原因图。啊，这是全局空间，那全局空间的话，我们再来看那这里面当中如果给了个AA，这个范围是这么大。好了，这是a的范围哎，你发现这也是b的范围。那你发现你a发生了b就发生了，你a不发生b就不发生，所以这两个东西叫相等啊，就你发生了，我也发生，你不发生，

我不发生好了，这个东西没啥讲的。俩玩意儿是一个人，然后接下来我们再来看看最重要的互斥，那互斥是怎么定义的呢？互斥是两者之间的这个交集啊。是空气。什么意思呢？说互斥你这个a是在这好了，你这是a的范围，然后接下来我们再来看看BB这个人在哪b在这。好了，这是a，然后一个人是a，然后这是b，

好了，这两个人你发现你这两个东西没有交集啊。所以我们再来看看，如果说什么呢？如果是事件a与事件b两个人之间是互斥的，那互斥什么意思啊？互斥就说这俩人的这个交集。是一个什么解是一个空解。两人之间的一个交集是一个空集，那么我们两人之间是没有这个交集的，对吧？俩人之间是没有交集。如果两个人之间的交集是个空集，但这里面当中也能凸显出来意思，你有没有发现？

我们来看那说明。a这个人发声呢。你想想，如果a发生了，是不是这里面当中有一个元素出现了？你这有个元素出现了，这里面当中一定不会出现，所以说这里面当中一定会突出什么突出这个b不发生。哎，你发生了，一定会导致我这个人不发生，为什么我两个水火不容？哎，我俩不能共存水火，不容有你就没我。

那你发生了，肯定我不发生好了，这是这个问题，所以一定要想清楚这个事啊，这个互斥互斥这个人，然后再来看对立。你就记住什么叫互斥，所以我们现在在学什么，我们就在学名词解释，我们现在给你一堆名词，我们在这个里面当中定义了，哎，包含是什么意思？相等什么意思？互斥什么意思？

你注意啊，概率论呢，你一分都不要丢。这这门课程是最好学的好了，那么接下来我们再来看看对立那对立是什么呢？对立这里面我们来看看下一个问题，你再来看。那么，假设这个东西是个全集空间，那全集空间我就一分为二，一分为二，这是a，这是b。所以这个时候你会发现我两者之间就是对立。a与b是对立。

对立的意思，什么意思呢？不是你就是我，不是我就是你。但是你发现互斥呢，不是我也有可能不是你。你能听得懂吗？你不是a有可能在这儿啊，你在这儿的话，你发现你这个东西也有可能不是它。好了，想清楚对立那，所以说对立的话，这个人定义是什么呢？定义是我两人之间的交集，

这个人是空集。我俩人之间的一个并集是一个什么？并集是一个全集。好了，交集是个空集，并且是个全集，同学们想想我问一个事情，你这个人。是不是b的对立事件呢？你是b的对立事件，你也可以把它写成b吧。所以这个范围也叫什么？这个范围也叫做必拔。好了，这个问题能学清楚吗？

所以说把这个东西当做成最后一遍做。因为我们这一轮学完了之后啊，我们紧接着就是啊，这个大模考的阶段了。然后这个。呃，第三次那个内部卷啊，我已经发过去了，然后的话有些同学可能这个你强化做完的同学明天可以测第三套卷子啊，有点难啊，你稍微慢慢。慢慢来啊。好了，这是这个问题。那么，

接下来我们就来看看对立问题，所以说这几个点呢，一个事情是包含关系。一个事情是相等关系，一个东西是互斥关系，然后最后一个事情呢，是一个对立关系。啊，最后一个东西啊，是对立关系，然后那个讲评的话是后天的那个上午讲啊，后天上午讲。好了没啊？你们都不看课表吗？而且。

我给你卷子的时候，我还。我就担心有些同学问啊。然后我在这里面。我在我在后面不是还专门给你标了，我说这个解析课的这个时间。我答案也给你了，然后的话啊。行吧，我们就说到这。所以说这是这几个问题啊，要想清楚随机事件之间的关系，第一关系是包含关系。相等关系互斥，关系对立，

关系要注意啊，不要题目当中告诉互斥，两人交集是空集，然后我们再来看看第二个问题。我们看看随机事件之间的一个运算问题。那么，既然谈到运算有哪些运算呢？我们这里面当中啊，有加法运算。有乘法运算，有这个什么东西呢？有这个差运算，但乘法运算我们用的是点事件。那么，首先我们先来看看第一个问题啊，

第一个点好了，别闹了啊。咋记这些东西记得那么快呢啊，好了，那么接下来我们先看看核事件，核事件什么意思啊，核事件的话就是a+b。或者是a并上b。说的是拟发生。对吧，你发生，然后怎么办？或者我发生。哎，你发生或者我发生。

那你发生或者我发生我们两个人，谁发生都行，那这个范者为应该是这个人呐，你看是不是相当相当于这两个东西加起来了？好，这个问题。能想清楚吧，就说你发生或者我发生好了，我们再来看看第二点基事件。基事件这个东西是什么呢？就是a×b。a×b也叫a交b。a交b的意思就是什么？就是a发生。然后是且b怎么办呢？

b这个人呢？也发生就是你发生，且我也发生，然后就是中间这个部分。能理解吧，然后再来看看叉事件，那叉事件是什么呢？叉事件这这个东西常考啊，考的非常多。喜欢考它，什么叫差事件呢？就是a-b。a-b的意思就是a发生。且必不发生。你发声且我不发声，

同学们告诉我个事情，中间是用的什么号啊？中间是不是用乘号啊？因为是且的关系嘛，你发生且我不发生，所以说就是a发生且b不发生的范围是不是这个部分？就是a这个人呢？把这个b这个部分呢？给剪掉就行，所以说我们在这个运算当中啊，其实就这几个人，你要会做这个事情。就是你看到这个a-b立即写成AB拔，你见到AB拔，你要会写成a-b，

这个能力非常重要。你要会写啊，一定要会做。好了，这是我们讲的这个第一个事情，过去了可以吗？来我们再来看看第三个事情，那随机事件之间既然有运算，那就有运算率啊。那么，我们说运算就有运算力呀，比如说我们的结合率什么交交换律对吧？这个分配律，所以我们现在看看。第一个事情交换律。

你发现a如果的话，是加上b跟b+a一样不一样。你a是这么大b是这么大a+b就是这么大，你加我跟我加你不是一样吗？然后是a交b跟b交a一样不一样一样啊，你教我，我教你，其实你发现都是这个范围啊。这是一样的，所以说它们之间具有交换律，然后接下来我们再看，如果是结合律a+b，再加上c。a加了b，那就是这个范围，

再加了c就是这个范围。那也可以，是什么呢？也可以是AB先加了c是这个范围，你再加上a是这个，这有啥区别呢？这没有什么区别，所以说这个人呢，你可以是先把什么b和c先先相加，这是一样的，你同理而言，乘法也一样，你ABC这些交，你也可以先把什么？你先把这两个东西交起来，

你再跟我交。所以像这个问题，一定要把它想清楚，你注意啊，这个人这不是矩阵呢，矩阵没有交换律。这个东西是有交换律的，这不是矩阵。然后我们再来看看第三个事情，我们继续看分配率，那分配率什么意思呢？就说我这个a并上，你看我b。我并上谁呢？并上b交c。

什么叫分配律a？先来给我并b。然后a再来给我BC两者之间一交就行，然后再来看看下一个问题，如果这是交，然后这是b并c这个考的很多啊。我们经常会用。然后这个人的话怎么做呢？你就是a你先交上BA，你再交上c，然后这两个东西怎么办？这两个东西一并。所以这样一做，它就出来了好了，这是这几个问题，

然后最后一个事考的更多对偶句。那对偶律什么意思呢？它是这个意思，就是你这是拔，然后这是a并b。对吧，把a拔一下b拔一下，把这个b改成交，然后再来看，如果这是a怎么办？a交上这个b呢？把这个人拔一下，然后把这个人拔一下，把这个交再改成b。好了，

这个人呢？他就写成这样，能想清楚吧？好了，这是这个问题，都有利，或者叫德摩根律，或者叫德摩尔根律。或者叫摩尔定律啊，都行，无论怎么叫你爱怎么叫怎么叫。有的人老是顾虑这个事情，你如果实在顾虑啊，你要实在顾虑的话，你发现你就叫自己的。

对吧，你就叫自己的名字，你想怎么叫怎么叫？你管他呢。对吧，你想怎么叫怎么叫，你把它学会了就行了啊，好了，这是这个问题，所以接下来我们再来看。那这个人的话，你要注意，有的时候我们是这样，但是有的时候我们碰到这个样子怎么办？你要会往前写，

你往前写的话，你发现这是a，然后这是交上这个b，那这个时候的话，整体一拔，然后把这个人是不是就改成这个样子了？所以说这个时候啊，你就把他往回来了，跟得上吧，哎，所以说你发现就交换律就结合律就分配律。具有对偶律，大家想想我们这半天都是在干件什么事情啊？我们这半天呢，都是在干这个概率里面的事情。

对吧，都是在干这个，要进行求概率里面这个人的事情。都是在求里面那个内容。所以像这个人哇，比如说我们来出个题。一会儿的话，我们就会做什么呢？对吧，你比如说我们一会要进行去求一个人的概率。那么，求这个人概率的啊，这里面这个东西啊，需要做一个运算，你比如说我举个例子。

那你想呃，这个人的话。呃，我们想想，比如说这是a把。b把。c吧，你这人怎么做？如果是遇到这个人的话，你是不是就可以写成多少？你这是交你是不是就可以写成并了？你是不是就可以写成b呢？好了，这个人如果这里面当中你碰到AB这个什么c拔你怎么写？你这把这个人看成整体嘛，

我发生且你不发生不就是我减你吗？这是要会写的，然后再来看第三个人，比如说这是a拔BC呢，这你怎么写？你这个东西可以改成呢BC a拔拔。那就是我发生，且你不发生，你把它写成bc-a，听得懂我的意思吗？所以你现在在做的这个工作，其实就是在做这个里面这个工作。所以还没有开始呢，因此你仅仅学这个部分的东西，你是拿不到分的，

这没有分，这叫什么？这叫预备知识。能听懂吧，这是你的预备知识，你就做这么多东西，你是没有分的，然后接下来怎么办？我们接下来要干的一个事情是对这些人进行求概率。所以说你只是在做前奏的问题。你要想清楚啊，好这个点我们还没有开始进行求概率呢。没有开始求概率了，所以有些同学在这里面当中胡来，他说哎，

这个东西等于一减去a并b并c胡扯。纯属胡来呢，哪来的一？哪有一呀，概率是一，如果是在求这个人的概率的时候等于一减去这个人的概率。能听懂吧？概率的数是一，你这个东西怎么写呢？你这个东西应该是我用全集空间减去你。只能是用全局空间进行去减去这个部分，然后就是你这个部分能理解吧哦，这个没有求概率。其实就是。韦恩图韦恩图的这个部分，

我一剪不就是那个部分吗？好想清楚吧，好了我们再来看看这里面当中比较重点的一个问题啊，就这个人。好了，我们来看看吸收率，那吸收率这个人呢？他叫什么呢？就说如果这个什么a这个人是属于b的。那这个时候我们就立即可以得到一个事情，叫什么呢？马上可以写，我俩人相交。你比如说你看这是b，这是a，

我俩相交是谁a，我俩进行去并是谁？b的话就是加一加是谁？b所以说这句话叫做不是越教越小。啊，也可以这样记吧，也可以这样记。这叫做交取小并取大。交取小并取大。啊，交了之后是小的。并了之后取大的，你们一定要分分开哦，因为这个。学的这个东西啊，

你就是学学学乱了啊。你要注意是事件的关系还是概率的问题？交取小并取大。能理解吧，那比如说我们再来看，那你想我问一个事情空集是不是属于任何一个？集合呀，能想清楚吧，我属于任何一个集合。任何一个集合，你发现a跟这个人相交呢？交都取小，然后跟这个人进行并呢，并都进行取达。好了，

这个问题，然后接下来我们再来看，说如果这是a，然后属于什么属于这个全体空间？属于这个全局空间了之后，我们再来看，如果这个人继续去交呢，交取小，如果这个人进行去并呢，并就进行去答。大的是谁啊？是这个人。能理解吧，好这个问题啊，你要学会哦。

那么大家再来想想一个问题，我们住在这儿。你告诉我AB这个人跟a谁搭？谁大呀？AB大还是a大？原来a是这么大。比如说b是证，你交了就没了。如果b是证你交的就是我自己。反正你交了之后的话，一定要会变小的。所以说这个时候你应该是小于它。这有啥不一定的呢？你有可能忘掉了一个东西。这叫子集吧。

子集是可以相等的。不相等的一个东西叫做真子集。那个东西叫真死机。这个子集就是包括了有相当的部分，你还要让我去补高一的内容吗？你高一没学过吗？子集和真子集。啊子集，这个东西是是可以相等的。真子集是不可以相等的。你忘掉了吗？这你高一的内容啊。所以无论是这个人跟他相等，还是这个人变小，反正这个东西啊，

哎，是属于他。这没问题吧，然后接下来我们再来看你是a+b大还是a大呀？那你想a是这么大，我再多了一个部分，那肯定变多了呀，所以说这个时候病肯定变大了。交了之后是小的，并了之后是大的，能想清楚吧好，所以说之后我们来看看这个概率，那这个概率的话，你看。呃，

概率我们就不说了。所以说你记住这两个东西就行，这概率啊，我们一会再讲。反正就是。焦了之后就变小了。对吧，消了之后的东西是属于它，病了之后是变大的。好了没？可以了吧？好，我们就讲到这。呃，刚才讲的这几个问题啊，

都是我们即将要学习的，这个问题的前奏，我们要开始了，我们刚才做的所有的这个动作。都是进行去求那个概率里面那个部分，那么接下来我们就真正的开始求概率。那么，首先我们在这里面当中进行去讲，还是唠一嘴？什么叫概率啊？概率这个东西啊，谈的是可行性。可能性对吧？可能性可能性的大小。那比如说我们举个例子。

对吧，值个硬币，正面的概率是二分之一。那你值100次，是不是就有50次朝上啊？是不是啊？不是的。那这个东西讲的是什么呢？讲的是这个事情。叫什么呢？这个事情还没有发生，我做了个预测。你能理解吧。啊，做了个预测。

比如说这个事情发生的概率是90%，叫做可能性是90%。所以现在这件事情还没有发生啊，没有发生，我估计一下哦，这个事情它可能发生的概率是90%啊。啊，那就说明它发生的可能性非常大，我在做预测的时候，我就觉得哎呀，它应该很大的，这个情况下应该会发生。能理解吗？那你想如果有一个问题说我值了一个硬币。我直出正面，

你听好了。你注意啊，你品一下这两句话，你给我好好品啊，第一句话。值一枚。硬币对吧？只一枚硬币，请问。正面。出现的概率是多少？好，这个问题。就是我在这面当中只一枚硬币，你这个正面出现的概率是多少？

然后你再来看。我如果只一枚这硬币。市正面。然后说正面出现的概率是多少？你品一下。你到底在学什么问题？啊，你在学哪个问题？第二是多长。你注意这个时候你就能品出来了。就是你要想清楚一个问题，我们在这里到只一枚硬币，正面出现的概率是多少？你要注意这件事情。做预测吧。

什么叫做预测呢？你这个事情还没有干呢。你还没有干，我预测一下，我预测一下你的概率是多少，所以说我们求概率是做这样的一个动作。你不要小看这个事情啊。所以有些同学就是做那种条件概率啊。比如说缩小样品样本空间那种题，有同学就做不懂，说已经知道，比如说里面当中有红球，白球和黑球。我已经摸到了白球，然后再问你说摸两次嗯什么摸一次摸了一次白球，

然后再问你摸到这个黑球的概率。啊么不是白球问你是黑球的概率。能理解我的意思吗？比如说红球，白球和黑球，我说我摸了一次已经知道不是白球，问你是黑球的概率。你要想清楚，我们在做这个问题的，这个东西的这个预测。能想清楚吧，这是预测的问题，你这个事情的话，你发现已经是正面，你问正面出现的概率干嘛？

注意，这不是我们研究的问题。能理解吧，不是我们研究的问题。注意这个点。所以你一定要把问题点呢，你去想清楚，你想清楚了之后，你对这个概率的理解会非常的深层次。我就讲到这儿。跟得上吧，好了，这个问题。好了，这是这个问题吧，

我们就说到这，所以说第一个点，我们接下来再来看啊，求这个概率，这概率的话就是这个事情还没有发生，我们做一个预测。好了，那么接下来我们先看第一个事情概率的规范性。概率规范性怎么说的呢？他这样说就说，如果你发现。你a这个人呐，你是一个空集。也就说你这个东西是不可能发生事件。如果你是不可能发生事件，

你的概率肯定是几啊。林呗，你这还用想吗？你都不会发声。你都不会发生的话，你这个点概率是几？那肯定是零呐。然后接下来我们再看，那如果概率是零呢，你能推它是空集吗？能不能这肯定不行？为什么呢？你琢磨一个问题。你比如说我们举个例子，我们讲了很多遍了，

对吧？投石子的问题。其实你就要进行去推啊，这个出一个连续型随机变量就行。连续型随机变量在一个点的概率都会是零。比如说我在一到三里面投石子，我问你投到二这个点的概率是多少？投到这个点呢。你这个点的概率是多少？这个点的长度除以总长度那是零呐。但是你投石子，你真的就不会投到这个点吗？有没有可能就投到这个点呢？有可能，所以你看他投到这个点的概率是零，

但是我肯定会有可能会投到这个点的。我不是说我一定都不会投到这个点。所以退不回去，那同理这里面还是这个问题，你反着想。那如果a这个东西是一个全集。我们想问一下，能不能推出这个人的概率是一样？能不能这个东西啊？肯定是可以的，因为你必然发生，你一定发生，你一定发生，你的概率肯定是一样。但是我们来看看，

往回推。我就想问头在这个什么？除了二这个点的概率是多少？除了二这个点的概率，其实就是除了二这个人的长度比上总长度，那这是一呀。但是你一定投在除了二这个点吗？有没有可能投到二这个点？有可能你也不是说一定会发生。所以你要做区分啊，一定要做区分，你区分开一组概念。一个事情是什么？一个东西叫概率唯一事件。啊事件，

然后的话，这里面当中我们再来看看这个第二个问题。啊，第二个问题叫做。必然。发生事件。啊，必然发生事件，一个东西叫概率，唯一事件一个叫必然发生事件，一个东西叫概率为零事件，一个东西叫不可能发生事件。所以往往我们有一个这样的一个感觉，就是什么东西呢？你要建立这个概念啊，

从概率一般推不了时间。对吧，比如说一个题的话，它给的概率是多少？推事件是多少？一般都不成立。无法从这个什么无法从这个概率推这个时间。好了，想清楚了吧？啊，一般都不能从这个概率推这个事件，但是我想问一个小细节，我看你水平怎么样？说如果这个人事件的概率是大于零。我就说这个东西不会是空气，

对不对？对不对？那说老师不对？因为这个东西无法从这个概率推时间。真是学的太轴了，对吧啊？我说从这个概率推事件都不对，这个对着呢。这个东西是什么？这个东西是这句话的逆否命题吗？你想想我们来看看。假设什么东西？假设这个a是一个空集。那这个时候你的概率一定会是零。那很明显，

这件事情就发生了两个词儿矛盾了，你说错了。不对，因为你想想你假设这东西是空集，它的概率肯定是零啊，矛盾了呀。那所以说这件事情我们就知道，如果你概率大于零。你一定是不可能发生事件。注意了，把这个想清楚，你琢磨琢磨好了，这是我们讲的这个概率的规范性，然后接下来我们再来看看第二件事情，概率的不等式。

这是难得的概率，不等式非常难得概率的，不等式就只有两个。只有这两个。一个是什么呢？如果在做一个题当中出现不等式，就想这两个一个事情是概率大于等于零，小于等于一。这第一个人，然后第二个是什么呢？第二是如果这个a是属于b的。那这个时候你a的概率一定会比b的概率小。对吧，这是这个点。所以你发现如果我是在你里面，

我的概率一定会比你小。就是概率的不等式，只有这俩人。啊，只有这俩人就是我在你里面，我的概率肯定比你小，那这时候你去想想我们能出很多呀。大家琢么想AB这个人。是不是属于a呀？对吧，你发现我们都交一下的话，变小了吧，我的概率是不是比你小啊？然后在这里面当中，我们看呃这个这个这是显然的。

呃，这都不是弱了这油，然后的话由这个AB的话，你发现还属于b呢？那这时候的话AB的概率是不是小于等于b的概率啊？好，这个情况，然后再来看，由这个什么呢？由这个a这个人是不是属于a+b啊？那这个时候我们其实就知道你这里面当中的这个。a的概率是小于等于多少a+b的概率？所以你发现你交了之后的概率也变小了。你变了之后，你的概率会变大，

能想清楚吧，所以要想清楚这个问题啊，跟得上这个事，所以这里面当中的这两句话，它就非常像我们的知。这叫什么叫越沉越小？对吧，越乘越小。然后这个越加怎么办这个？那质就不对了嗯，加法就不对了。这质的加法是你俩相加的，这个质比这两个单独相加的要小。啊，这就不对了，

所以你就记住，如果你教一下你这个概率是变小了。如果你并一下，你这个概率是变大的，能想清楚吧？好了，注意一下这个问题，越越越小，越并越大。啊，但是这个东西你不要乱在那个概率当中的那个呃，那个那个线性代数当中的质啊，把它推广了。好，这个问题。

概率不等式，我强调一遍啊，有些同学可以可以就帮。对吧，之前的这个部分的东西啊，给忘完了，你可以忘，但是我想说一个问题，这一轮结束了，能不能不忘了？有没有这种魄力？我们不要谈以前了，对吧？老是进去谈以前以前给忘了怎么办怎么办呢？那都没有用了。

那已经过去的事情，你也无法挽回了。能不能达到这个魄力？这一轮结束了，不要忘了行不行？马上接近考试了，那考前把它忘完，那这怎么办呢？都几遍了。今年很多同学的话，我们基础班一遍，我们强化班一遍，我们冲刺班一遍，然后下一轮的模考当中，我们还能进行去查漏补缺，

你怎么考不好呢？这都几遍了，而且我基础班还带着你复盘了一遍，我强化结束，我让你去复盘了一遍，然后现在还要复盘一遍六遍呐。六遍了啊，这这有有点不好意思这个。好，这个问题。那么，接下来我们就继续吧，我们来看看下一个问题，下面这个点呢，比较容易这个东西，

你要会学，我觉得就两个事情。一个事情叫什么啊？就是记公式套公式就行。记住公式。遇到公式。套公式。啊，这不用写到笔记上，不需要。就是什么东西呢？你把公式记住。比如说我们一会儿谈到这个加法，哎，加法的公式长什么样子？

我们谈的减法，减法公式长什么样子？我们遇到乘法，乘法公式长什么样子？我遇到条件概率，条件概率公式什么样子？遇到公式，我套公式，比如这个题目当中，他就说乘法，那么就套乘法公式，我遇到加法，我先写加法公式。有可能写着写着哎，答案出来了。

对吧，写着写着答案就出来了。就是就是，有的时候你发现做这种题就是这样，你第一眼看过去，你好像我也不知道从哪突破口。所以大家都需要有一个字叫做是。那么，比如说我见到加法，我就用加法公式，我遇到减法，用减法公式做着做着做着诶，答案出来了。它就是这样。你自己仔细思考一下你，

你说这块的题是不是这样？你做这个概率公式的题，是不是这样？那不就是这样吗？他在这里面当中给了一些什么？比如说这个给了一些这些公式。你给的这些东西。你给了这些东西的话，然后操作一下。好了，这个问题。能想清楚吗？呃，这个11g啊，是下周。

呃，下周我们就会发啊，他们排版完了之后啊，我们就会发给你。呃，今年的话会稍微的修正了一点点，也会加一些东西嘛。因为这个这年当中啊，有些部分该修正的东西啊，我都放在这里面啊，然后的话你下周你就开始。可以开始进行去划分一下，每天该背的东西啊，该记的东西啊，你都要记一记啊，

这个东西是电子版，你自己去打印就行了。呃，十套卷呢，是双11之前吧，因为你去看看，我忘了上次我那规划那个时间表是几号，你去看看那个时间表。规划那个时间表基本上就是考试时间。好了没？出个带背。别别别啊，那多不好，数学还带背呢。这数学脑子一转就出来了，

有什么好带背的，对吧？脑子多转一转。好了，我们继续吧啊。我们先看第一个东西啊，我们先看看这个加法公式。对吧，下方。那加法这个公式啊，它是这样。就是你发现这是a+b这个人。这公式等于多少？这公式就等于a的概率。然后再加上b的概率。

然后再减去多少a×b的概率。好，这个问题。可以吧，就是a的概率加b的概率减AB的概率好这个问题，然后接下来我们再来看看三个人，你注意这都会考到。三个人，那三个人的话就是一个人是加。对吧？a+b+c。然后是两个人是减AB，然后这是AC，然后这是BC。然后最后第三个人是讲把这个公式啊，

把它记住。那么在考研考啊，顶多考三个人，考了三个人就了不得了。哎，三个人，但是你要注意这句话说的是什么意思啊？这句话说的意思是ABC。至少有一个。发生对吧？哎，至少有一个人发生。就是你发现一个事儿，这个东西一定要想清楚。它说的是ABC，

至少有一个发生。那其实意思就是a发生。或者什么必发生。或者什么？c发生。能理解吧好，这是这个问题。那有的时候它会考反方向。比如考反方向的话，你想想它的对立呢？对立是什么？你想想三个人，要不然三个人只有一个发生，两个发生，三个发生，

要不然一个都不发生。所以现在至少有一个发生是这一块，它对立是什么？对立是一个都不发生。一个都不发生。没有一个东西是发生的，没有一个人是发生的。能听懂吧，没有一个是发生的。好，这个问题点呢，我们就讲到这。那这个东西啊，是个加法公式啊，两个人的加法。

三个人的加法加法公式。跟得上我的意思吗？所以这个东西啊，你要会那么题目当中说什么话，你具体去用什么词？然后再来看看减法公式。减法公式啊，你就会来。那这个部分的东西就是这样，是a-b。对吧a-b。那a-b的话，我们来看看这个人，那a-b的话，其实就是这个时候有时候不写a-b，

他写的是AB吧？a发生且b不发生，所以这个概率是多少呢？这概率是a的概率再减去多少a×b的概率？好，这个问题那么接下来我们就继续吧，我们再来看看第三个事情条件，概率条件概率啊，是个难点。那么，而且我们考研的时候啊，如果考概率公式的计算呢，一般都会考条件概率。所以说你要小不要小，看这个事这个东西啊，

是个重点。我们去考那些概率公式啊，一般都要把它给扯上。扯上它了之后啊，考的东西就变多了。所以我们先来看看第一个问题，它说a发生的条件下b发生的概率。大家想想a发生的条件下b发生的概率，我们怎么写的呢？我们是这样写的。你发生的这个条件下，我再发生。是在你这个条件下，莫再发生同学们想想一个事情。这个东西跟pab一样不一样。

一样不一样，你琢磨琢磨，这是a发生。且必发生。这是在a的条件下b发生。他说那在a的条件下b发生，那不也是a发生且b发生吗？是有这种感觉。肯定有这一层次，但不是完全这一层次，它是在这个人的条件下你发生。这不一样啊，这不一样，这两样东西更多是什么呢？这俩东西有前后的关系。

这个东西应该是个并列的关系啊，不不不，这样讲不这样讲，因为这样讲多了，有时候混了你轻松一点啊，你简单一点。这个东西说的是在你这个条件下，我发什么？这东西说的是你发生，且我发生。好吧，能理解吗？好了，这个问题啊，我相信用中文能力来理解。

啊，这脑子多转一转，这个这个很简单。然后这个东西呢，说的是在b发生的条件下a发生。那遇到这个东西怎么算呢？见到条件概率立即写条件概率公式，使a的概率分之。a×b的概率。所以说你想想一个事情，大家琢么想？这个概率一般情况下会比这个概率怎么了？啊，这个概率一般会比这个概率怎么了？一般这个概率是什么？

是小于一。所以说这样东西的话，一除它是怎么办？哎，这个东西会变大。能想清楚吧。你要想清楚啊，这东西，所以说这个东西啊，一般会比它大。这你要都分不清楚我，我觉得没有办法了。因为你下面这东西是什么？你下面这个东西是小意嘛，所以说这个东西一除肯定是比这个原有的这个东西大呀。

我说一般。那如果下面这个概率是等于一，那两个肯定相等了。但是要注意这个概率，我们站立的前提条件是这个概率大于零的时候。能理解吧，大于零的时候也就说明你不是空集的时候。你一定要发声，你不能不发声，哎，这个前提条件下转的出来吧，然后这东西等于b的概率分之AB的概率。这一定要站立在什么？站立在b的概率大于零的条件下。一定要保证这个东西啊，

不是空集啊，不是空集。学清楚了吗？基本问题啊，好琢磨琢磨。好了，这两个条件概率那有这样的一个条件概率公式，我就可以立即写出乘法公式了。这个乘法公式啊，我们在考试当中啊，经常用。你想想，其实就是两条对角线呗。一条对角线，一条对角线的话，

其实就是a的概率，再乘上a发生的条件下b。然后这条对角线呗，它就等于b先写b了，之后b就在发生的这个位置，这个人。然后都会等于谁？都会等于AB。但这个公式站立的前提条件，站立的前提条件也得保证这两个东西的概率都大于零的时候才能用。好了没？所以这就是著名的乘法公式，乘法公式用的非常多，就说a这个概率啊，再乘上a发生的条件下b。

b这概率啊，再乘上b发生的条件下a你看你这个是b就跟这个东西约掉了，你这是a跟这个东西就约掉了。然后他们都会等于AB，我们经常会用这个人。有的时候这公式一长串写过去，里面当中的很多项就出来了，一下就破题了，这公式很好用啊。乘法公式能想清楚吧，所以我们在这里面当中学习了这么多公式，然后后面还有两个。一个东西叫什么呢？一个东西叫做乘法啊，这个乘法公式我们刚刚讲了，

然后我们再来看看这个性质，把这个性质啊，我们稍微说一下。然后后面当中还有一个全概率公式和贝叶斯公式，一会我们再来讲。好，我们再来看性质。那性质这个人呢？呃，也比较容易，你想想我问一个事情，如果在你的条件下，空姐的概率事件。是零吧。啊，

是不是啊？在你发生的条件下，全集发生的概率是几啊？是不一呀。然后再来看在你发生的条件下b的概率，它不就等于一减去在你发生的条件下。不发生的概率。是不是这个问题？好了，这三个事儿把它想清楚啊，在这个发生的条件，空气发生概率那肯定零，你发生的时候全体发生概率肯定是一。都是在你发生我发生的概率和不发生的概率，那一家肯定是一。

是这个很简单吧。好，我们再来看，一起再来写一下乘法公式吧啊，再来写一遍，如果这是AA，就要在后面。留下了AB，如果这是b，然后这个b就要在后面前面留下了个a，然后最后一个人呢他。它就会等于AB这个人。好了，这个结果我们就出来了啊，这个公式啊，

叫做乘法公式。啊，乘法公式能学会吗？应该可以吧啊，这个问题点不大。因为我们刚讲的怎么出来的也在这。所以这节课我再强调一遍，你这个板块内容你学的不好。其实是不是有点懒？你去把公式记住了之后就非常好做题。好了，像这个点那么一会儿，还有一个全概率公式，还有一个贝叶斯公式啊，对于很多同学而言是第一章的难点，

我们一会儿再来说。我们先来看看后面的一些问题，可以吧？我们来做几个题。那么，首先我们先来看看这里面当中的幺六一这个题。那你先看这个题，那这个题啊，我们先来读这个题目当中说了件什么事呢？他这样说。说在这个a和b同时发生的时候，拟发生。同时发生什么意思啊？你发生且我发生叫同时发生。那你导致的这个东西，

你是不是属于它？然后看到属于又看到了这样的一个概率，我们立即可以得到了一个概率不等式。是不是这个问题，我们得到这个情况。然后再来看看abcd这几个选项，你发现出现了a+b，出现了a和出现了b，所以说这个时候你立即想什么，你注意啊，你做题的时候看着这个选项来做。那出现什么我就用什么，我可能会想到什么，我可能会想到加法公式。那加法公式的话，

其实就是a的概率，加上b的概率再减去AB的概率。好，这个问题。然后这个人是比他小，添个负号就比他大。添个负号就比你大的话，而我们这种当中要PC啊，要PC就非常容易，那就a+b的概率。它就会等于多少a的概率，加上b的概率，你要把这东西往PC上转。PC上转的话，是不是就变大了？

所以说你发现那这个人就大于等于减PC。好了没？就是这个东西你变成PC这个人不是变大了吗？变大了就变小了呀。好跟得上吗？你发现负的他比你大嘛，所以负的他比你大嘛。好了，然后这个时候我们再来看，但是这里面当中有a有b有c，还有一啊，没有a+b啊，哎，我知道这个人小于等于一。那小于等于一的话，

这个人就立即出来了，那其实就PC移过去就大于等于a的概率，加上b的概率。然后再减去一那所以说这个题的正确答案选几啊，就会选b。你看这种题啊，所以像这种问题，有的时候的话，你发现还挺难的。想不到的时候，不动手的时候，你发现无从下手，所以说这里面当中像这种题，我想说两个字，一个字叫是。

一个字叫涛。啊，就是你得敢尝试，然后见到什么公式去套什么公式，我见到加法公式，我套加法，我见到减法，我套减法，我见到乘法，我套乘法。对吧，我见到什么套什么，我见到什么东西，我去干什么，所以这个题啊，

其实做到最后都是一个简单题了。对吧，做到最后啊，我相信大部分同学应该是能把这个题拿出来的。所以这个题目我们就讲到这得盯着这个选项来做，你见到什么东西啊，你去想什么，我见到这个加法，我去想加法公式，我见到减法，我立即把减法公式写出来。你不写你什么东西都看不出来，所以说这一块的题啊，要动手。你不是说我拿到这个题，

哎呀，这个题无从下手，抱着个手，我在想怎么想怎么想，注意都出不来，就是你拿到这个题的话，你发现不好，想我看到这里面当信息，比如我看到加法，我把加法公式写出来。写出来再分析。你不写什么东西都白搭。好了，这个问题啊，我们就说到这，

我们再来看看这个题。啊，这个题目。这个题啊，是个简单题啊，这个题是绝对简单题，因为你发现我们刚才讲过了。你乘了一下，小了你小了之后的话，你比它的概率小。你沉了一下之后，你变小了，你小的概率比它小。所以说这个时候我立即就可以推出来了。a×b的概率应该是比二分之这两个东西相加的概率啊，

你要小的。所以答案选几啊选c。好了，像这个问题跟得上吗？幺六二这个题。然后接下来我们再来看看幺六三这个题。你再看这个题目。那这个题目没有什么事情，就是见什么东西写什么，见到加法，我立即把加法公式写出来a+b这个人。它就会等于a的概率，然后再加上b的概率，你再减去这个AB的概率。然后这个时候的话，

这个概率是一，然后这个人是二分之一，然后这人是二分之一，我立即就可以推出来了AB的概率其实是零。那既然AB的概率是零，同学们告诉我AB的概率是零，能否推出AB是个空集啊？大家注意，这件事情是绝对不可能的。而且你发现a并b的概率是一，能不能推出这是全集啊？这不行，这刚讲过的。所以我们现在怎么办？我们再来看看这几个选项，

这几个选项的话，你就碰到什么用什么公式呗，你先看c这个人。c这个人两个都拔来拔一起把这东西并改成交，就是这个人。所以说这个人就变成了一减去AB，一减去AB的话AB的概率是几零？那这是一诶，你是对的。然后再来看看d选项d选项的话，这是减法，那就是a的概率再减去AB。a的概率是二分之一AB的概率是零，那是这个这个这这东西不对，它不是零。

好，我们再来看看这个e选项e选项，哎呀。哦，那这是对的。好，这个题可以了吧？呃，这个题啊。可能敲敲错了吧，应该是a×b。好，这个题啊，我们就讲到这。呃，

你听明白了就行了，你学会就行啊，把这个相对应的问题啊，梳理清楚。好，这是幺六三，所以说见什么东西啊？说什么话见到什么东西啊？做什么事就行。好接，接下来我们继续，我们再来看看幺六四这个题。那这个题啊，他又说了，你看这里面当中说了句话，

说这两个东西互不相容，赶紧秒互不相容的意思就是两者之间的交集是空集。然后这个AB这个概率是多少？AB的概率是二分之一，然后c的概率呢是三分之一，我说一个问题啊。你要注意，如果这个AC这个人是空集AC的概率是不是零啊？是不是这个你永远注意一个事情，你看你a的这个人的概率，我们都说越交越小嘛。你肯定比AB的概率大，你肯定比ABC的概率大。你肯定比这个什么abcd的概率要大。是不是这个问题？

但是你要注意，你再大你也会有个底线的，你的底线是谁？你的底线是零。你再往上走，你也有个顶线的，你的顶线是一。你赞同吗？你再怎么变？你有个底线，你有个底线。它就是这样的一个问题，那你想一旦我在中间有一格，它变成了零。那我就把你压到了地平线上，

我立即就可以推出来，这些人是不是都是零？能理解吗？好，这个问题那如果在中间，我比如说我看到这个人等于一。那就说明前面这些人不就都是一吗？好了，所以说这个人的话，你一定要想清楚，他有个底线是零，他有个底线是一，那比如说我看到这个两个人相乘的话都是零了。那在比我更小的这些人肯定也是零，所以像这个问题啊，

你一定要梳理清楚，把它琢磨一下。好好想想。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看那这个人呢？你见到什么东西去写什么呗？那这东西是AB。然后这东西是c8，然后怎么办？见到条件概率写条件概率公式。好了，然后是ABC把好，我们先看下面，下面是一减去PC。

你这个人，然后上面这个人是怎么写啊？注意这个人，我们来看你看里面这个事情吧，刚才我们讲了，那就是你发生。且我不发生不就是减吗？不就是减的话，其实就是你这个人的概率再减去这俩人。共同发生的概率。所以说这个时候我们其实就看，然后这是PC PC，这个人是三分之一AB，这个人是二分之一。你都已经是零了，

对吧？那比你更小的这个人，他是不是也是零呢？能想清楚吧，因为你发现我再多交一个b，让它b在中间有交换律吗？我再交一个b，我就会变得更小。你都是零了，变得更小的人，肯定也是零，所以说这个结果它是多少三分之二，那就是四分之三本题结束。听得懂吧，这不难呢。

毫无难度系数。你要想清楚，你这是AC。你这是AC，我再交一个b，你不就变得更小了吗？你变更小，那我的概率比你大，我的概率都是零呢零比你大，你最小都是零，那你只能是零。好，这个方向把它梳理清楚呃，这个点呢，你自己下去好好梳理梳理。

可以了吗？幺六四。行吧，这个题啊，我们就说到这。嗯，稍微休息会吧。可以吧啊，休息会，一会我们再来看看这个后面的问题。啊，稍微休息会，一会我们再来计算，再来看后面的题。所以这个第一章啊，

其实有的人说那个难点还没开始，难点的东西啊，其实就是那个呃，可能更多的方向是在那个古典概型那块儿。还是在摸球？还是在摸球，一定要会摸球就行了，只要把球摸好，什么东西都好算。好，这个点呢，我们就讲到这。呃，行吧，我们稍微休息会儿啊，

这个课间呢，你也不需要做题了，这个课间呢，你就稍微的放松放松啊。调整一下这个状态，一定要把这门课程拿下来，因为很多同学一直在说概率难，概率难，你心里要种下了这颗种子。这非常可怕。那每当的话，你见到这个概率的话，你就说啊，这个太难，你最后学到最后哪难呐，

是你心里当中告诉你这个事儿。好了，我们稍微休息会吧，一会我们继续。行吧，休息会儿。

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