14.冲刺串讲14-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:06:35

行，那么接下来我们继续吧，我们再来看看这个题有分析清楚吗？啊，分析清楚最重要。你看这里面，我们再来说一遍啊。如果你上下同时把t约掉。你是不就会得到y跟x之间的一元函数关系？所以说在这个方程当中y跟s是有关系的，y是一个s的函数。如果上下同时把这个什么把这个这个人约掉，你就会得到一个t跟x之间的关系。所以，当我们进行去把s看作成自变量的时候，

你这里面当中的y是一个s函数t，是一个s函数。你要想去求这个y对ts进行求导，你就方程两边同时求来求。2s，然后这是2y。y对s进行求导，然后这是2 TT再对s进行求导，然后这个结果是零。能想清楚啊，你可以把这个系数给约掉。然后再看你这个部分呢，两边同时求这是三。四倍的这个y对s求导，然后再加上六倍的什么t再对s求导，

你要注意这个t中有s这个求导是零。好了，这些东西分析会的，求导会的，请给我回复个一。会分析了吧？慧球倒了吧？然后这个时候的话，你发现你可以稍微进去去整一下，就是y倍的这个dy比dst倍的dt比ds。然后这东西等于负s。然后这是四倍的dy比上ds 6倍的dt比ds，然后这东西等于负三，你看这不就结束了吗？然后让我们继续求这个y对s求导，

你就用一下这个克拉莫法则系数矩阵的行列式。要求第一个人就把第一个人给替换掉。这多快啊，这个速度是最快的，然后这个部分是6y。减去4t。然后这个部分是负3s，加上3t。好了没哎，这是这个情况。呃，你可能是线性方程组出现问题，你去复习一下那个卡拉莫法则那个东西吧。克拉曼法则的东西啊，是非其次线性方程组的问题。

非其次线性方程组。好了，谢谢这个。嗯哦，这是六啊，不好意思。好，这个人非其次线性方程组的问题，那么刚才我们在这儿呃，出这个的时候啊，我们再来看。你可以进行去计算一下x=1。t=1的时候的结果。那这时候我们来看看，当x=1。

t=1的时候。你往里面一带的话，这是九，然后这个y是不是也是等于一啊？往这里面一带。一代的话，这个最后出来一个结果是多少？那这个时候上面就是二，上面就是负三诶，还挺不错的。你看这个题还很挺好的，一个题负的二分之三，你看这个题目。就是我们给你这个方程组，然后去算，

我觉得这里面当中啊，比较关键的就是研究清楚它们之间的关系。要会做这个导数计算，要会解这个部分的东西，这三个事情呢，是非常关键的，你这样做这个速度会更快一点。啊，这个人。好了，这是这个问题啊，算了吧，我还是把这个东西复习一下吧，我觉得有点。有些同学啊，

这个东西给忘完了。这个我们复习一下吧来。感觉不分。我我真的是彻底的疯了，对吧？你不分析，你咋知道万1y是一个常数呢？不是你不分析，万1t是一个常数呢？y是一个xt的二元函数呢。我把这个题改了啊，我把它改了一下。我都不知道您怎么去想的。你咋知道t里面当中有s啊？你想清楚这个事啊。

就是你如果的话，你这个t里面没有s你这个如果t比如说我y是一个s和t的函数。y是一个s和t的二元函数，你对s求那t就是个常数，那这怎么可能会有这一项呢？然后这个分析这个东西，我这节课是不是花了很长时间在讲这个东西，你们自己要亲自动手去想一下比什么东西都有用。啊，这个事儿我们就不说了，你自己下去琢磨一下吧。你咋知道谁当自变量，然后这里面当中到底有没有它这个很重要？好，我们来讲讲克拉姆法则。

啊，把这东西啊，我们稍微复习一下，因为这个。很多东西给忘完了。那么，请同学们告诉我，这个克拉默法则这个东西啊，它重点而言是解什么呢？它是写非其次线性方程组的。对吧，它是解非其次线性方程组的。而且要要求。非其次线性方程组系数矩阵为方阵的时候。啊，

它是为方阵的时候才可以这样做。你要注意一下这个事啊，也就是这个同学说的未知数的个数等于方程的个数，其实就是一个方阵的情况。好了，这个点。然后这个非线方程组啊呃，它写我们写三个人吧。比如说你发现看你这a一一，这是x1a一二，这s2a一三，这s3。然后这东西等于b1a二一x1a二二x2a二三x3。等于这个b2，然后是a三一s1a三二s2a三三x3。

然后这东西等于b3。好，这个情况能看懂吗？好，这个人啊，然后接下来我们去计算，你看你要解的是这个未知数s。好，我们要继续去解x1，怎么去解啊？s1非常简单s1这个东西是这样，就是系数矩阵。把这个系数矩阵的这个行列式。我们就把它叫做什么？把这东西叫做呃叫做d吧。

好叫做d那这个时候的话，其实就是a一一a二一a三一a一二a二二a2a三二。然后这是a一三。然后这是a二三，这是a三三好，这个情况那么同学们注意，我们接下来要进行去计算什么？然后这里面当中定义第一，怎么定义呀？第一第一的话，其实就是用这个尾缀这三个人。进行去替换它的第一列，把它的第一列替换呢，这个就叫做第一。这个行列式，

所以说这个时候我们的第一个未知数，其实就等于换掉了之后，这个行列式比上这个行列式。然后第二呢？第二，其实就是我们在这里面当中换掉谁呢？好，我们继续看。如果是第二，那其实就是换掉第几个人换掉这里面当中的第二列。好，这个情况。那这是b1B2B3。那所以说最后的这个结果就等于d2这个行列式比上d，然后同理第三个未知数呢，

又换第三列再出成这个样。会了吧你，其实这个东西克拉默法则，这是我们线性代数当中非常重要的法则要求啊。克拉曼法则。都是应进行去替换的，这个行列式去除以这个系数矩阵的行列式，你不是说这个东西啊，你从来不会是因为这个东西你给忘掉了。别再忘了。这我们讲过吧，然后的话，原来这个基础班讲这个东西啊呃，那个800题当中还有一道非常经典的题啊。好了，

这个事情我们就讲到这。行吧，那我们再来看看最后一个题型啊，最后一个部分内容。那最后一点叫做二元函数的这个极值问题，因为其实我们大纲写的非常的清楚，其实核心重点什么情况？核心重点就是来进行求极值。那二元函数的机制啊，它比较重要的其实就是无条件机制。无条件。那无条件机制什么意思呢？什么都不说，去求极值。那么，

首先我们看这种类型问题，它只会进行去考二元函数。这个版块内容去年已经出的很难了。所以我觉得这个今年复习的时候啊，你稍不禁心好好看看，那么首先我们先来看看第一个点。你请告诉我这个二元函数能够取极值的点有几种啊？有两种，第一种点它的名字叫做注点。第二种，它的名字叫做不可导点。啊，跟一元函数一样，那什么叫注点呢？注点其实就是x这个偏导数等于零。

而且这个y的这个偏导数也等于零。那什么叫不可导点呢？不可导点就是只要有一个偏导数不存在。对吧，你这个不存在，或者我这个不存在，它就叫不可导列。也就说，能够取极值的这个人呢，有两种，一种点叫驻点，一种点叫不可导点。啊一种点叫驻点，一种点叫不可导电。那注点而言，

两个偏导数都为零，才能叫注点。只要有一个偏导数不存在，它就叫不可导点。能学会吧好，这是我们讲的这个第一个事情，就说哪些东西哪些人容易进去去取的，只有这两种点。你要不是重点，你要不是不可导点。其实你都知道我们在考研的时候啊，大部分的考题都是什么都是重点，哎，大部分的考题。所以如果考研当中给的一个二元函数，

让我们去判断极值，你首先干嘛？你首先进去去想ABC判别法。所以首先进去去想这个方法，充分条件判别法。就是给了一个题啊，给了一个二元函数，说你这个东西啊，你给我判一下，在这个点处取不取极值首选什么首选这个ABC判别法？那么，接下来我们来重点讲讲ABC判别法。那什么叫ABC判别法呢？就是这里面我给一个二元函数。这个人那第一步干嘛呀？

第一步进行去找可疑点嘛。找到这里面当中的注点。让x偏导数等于零，让y的偏导数等于零。这个时候啊，我们就可以进行去解出注点了。这个时候我们能解出两个人都为零的点，这个注点。对吧，解出注点那有没有可能会存在这个偏导数没有定义的点呢？有没有可能？也有可能。偏倒数都为零的点是注点，它有可能有没有会存在偏倒数没有定义的点，我我觉得这个今年你得把。

各种情况都防住啊，他怎么出我都会。也有可能会出现这个偏导数不存在的点。会的，但是如果是偏导数不存在的点，你给我放在这用这个充分条件法是无法判定的。你记住了，充分条件法只能去判重点。它只能判断注点，它无法判断，不可导点。就是我先找到这个一阶导数为零。然后第二件事情，我们再怎么办？去求一下三个人的二阶偏导数。

还有这个YY这个人的了结，把这个注点带进去，把这个注点带进去，把这个注点带进去。带到第一个人当中，会出现一个数a数个b数c诶出来这个人。然后接下来我们继续去判定，然后这个b方减AC，你注意如果小于零呢，哎，这个时候我非常开心，是取的。而且a大于零极小值a小于零极大值，你看我们考研，我们考研的核心重点不就是在考这个人吗？

然后再来看，如果b方减AC是大于零，我赶紧说你在这个点处不去极值。如果这个b方减AC，这个人怎么办？他等于零，你请注意这个充分条件的方法就怎么了就。失效了，我们在去年的考研真题当中已经考到了这个水平。你要想清楚，作为数一数二数三同学的真题啊，跨越了30多年，去年而言才考了这个点。到我们去年的话，你发现我们今年这个去年的真题才经过两三年的这个改革，

就考了这个问题。你要稍微小心一下这个内容。好了，失效了。那么，这个失效了怎么办？如果是不可导点怎么办？这两件事情我们一会再说。哎，这是这个问题。能学会吗？好，这个点呢，我们把它想清楚。哎，

有些同学不动脑，对吧？你琢磨一下，如果a=0呢？b方。它是要不是大于零，要不是等于零。等于零是不是就失效了？大于零是不是就不取它会是小于零吗？不不不，你想想一个事情。你如果a=0的话，这个结果不就等于b方了吗？b方是大于等于零。大于零的时候不取，

等于零的时候不是失效了吗？你怎么可能会小于零呢？你就不用进去，在那想。你就进行去看这个具体的题。对吧，你如果a=0的话，它不会是这种情况的。你不用想太多，你一直在磨这个，你还不如用它继续去做这个题目。根据往年的一些情况，这个页面呢，我们就有两分题。注意啊，

这个页面两分儿。对吧，这个页面啊，做完了之后能拿两分，那么接下来我们来看几个题吧。我们先来看看这里面当中的第一个题幺零七这个题。那这个题给了一个二元函数。给了一个二元函数，让我们去判断这个点是不是极小值，这个点是不是极大值，你第一步干嘛？你先想充分条件法。充分条件法怎么做呢？我们在这里面当中的话就是x偏导数算一下。拿s偏导数的话进行算一下是四倍的x三次方，

然后再加上四倍的y的，这个三次方呃，这呃对s求啊。有s求的话，这个部分的话再减去多少，你再减去一个2s，然后对s求的话，这个人是2y。然后再对y进行去求对y求的话，这个部分是四倍的y的三次方，然后再减去一个2y，再减去一个2x，这个是。呃2 s- 2y。好了，

这个人。能跟上吗？嗯，对y求吗？这个部分，然后这是2s这是2y，那么接下来检验一下不要紧啊。我们的考题都是选择题。一一这个偏导数呢？这是零。然后一这个偏导数呢，也是零。然后再来看看这个负一负一这个人呢？那负一负一带进去的话，这个是。

负四负四的话，一加这个东西也是零。然后再看y这个偏导数呢，负一负一，这个东西也是零。那所以说都是注点，都是注点了之后，我们再来看看这个二节。二阶的话，这是12倍的x方减二，然后这是xy的，这个混合是12倍的y方再减二。然后这是诶，这是sy混合sy混合的话，对y求的话，

这是负二，然后这是YY两节。YY两极的话是12倍的y方再减二。好了没？这个可以了吧？这个东西做完了之后你就可以进行去带了，那么首先我们看这个点。啊，你在这里面当中，你就给我看这个点，我就不用不用静心写了。带的第一个人当中得到AA是几十带的，第二人当中等于b，这是负二带的，第三个人当中这是十。

值所以说这时候b方减AC什么0b方减AC小于零，而且这里面当中a是大于零极什么值。这个东西是一个极小值。没问题吧？好这个情况，然后我们再来看看这个点。把这个点记起来，你往这里面带，你带到第一个人当中的话，这是还是十带到第二人当中是负二带到第三个人当中是十？所以b方减AC这个人是小于零，而且这个人是什么？这个人还是大于零，所以说这个东西啊，也是个极小值。

所以说这两个东西都是极小值答案，选几啊选c。好做吧，如果真的考了这种题啊，难度系数不大。对吧，你要是真的考了这种题，你做起来呃，我觉得也不是说特别难，就这个问题。好了，像这个问题啊呃，自己下去过程当中好好看看。啊，这个题其实能出的很难，

你等会儿我们再来给你讲。这个题啊，我还要再给你改一下。这上面的有些这个题目啊，你操作性还是比较强的，等会我们再看啊，我还给你改一个非常难的。那么，接下来我们来看看这个一零六这个题。啊，这个题。那这个题的话，给列说二阶连续导数。然后这是fs大于零。然后f撇零=0。

然后说则这个函数。你发现这里面当中给的这个函数几元函数啊，这是一个二元函数。那这个二元函数的话，它在这个点处取什么值呢？取极小值。取极小值的这个充分条件。那当然是注点对吧？你先满足它是注点。第二件事情b方减AC要小于0a，这个人要大于零啊，这是我们的要求。所以我们现在来看z对s1撇的话，其实就是f撇s，这是lnf y。

然后再是z对y撇。fs这个东西fy分之一撇一下。那么，就像我们先算一下，那请告诉我这个人把零零带进去是几啊？零零往这里面当中一带刚好是零。然后y撇这个东西零零带进去的多少也是零，那所以说这两个东西啊，这个点是不是注点？当然是注点，那是注点的话，接下来我们再去算一下x的两节。好，你算的时候啊，要小心一点。

那这个人再对s求导的话，他倒不难。ss两阶lnf y。我们再来看看第二个人。我看大家的水平呢？你再对y进行求导，这是fs 1撇吧，你还算不算？不要算了，因为一会儿要把零带进去。这一项已经是零了，就不要再算了。一定要注意这个计算能力哦，多观察下这些初值。然后再来看你，

接下来这是fs这个人，你要对y求导，你对y求导的话，你想你前导后不导。你前面导一下，你后面不导，一会儿把零带进去，这项是不是零？所以说最后有效的话，其实就是前面不导，后面来导的这一项，大家学会了吗？你这样的话，你的计算能力会非常的快。你像这种小技巧性，

一定要把握住你这尤其对我们三九六同学是非常关键的，因为我就不算了，你算它干嘛，然后接下来就往这里面待。a这个情况。那a这个情况其实就是撇撇0 lnf 0。然后再往这里面当中一带，那这个结果是零。然后再往这里面当中进行代一代的话，这个c等于多少呢？你看这一项是零。然后这个f0和这个人约掉了，那这东西就是撇撇零。好了，这个情况。

所以你算出来，这样情况，我们现在要要求什么？要b方减AC是小于0a大于零。而现在的话，这个b是等于零，那其实就是负AC小于零，负AC小于零就是AC大于零。那这个时候综合下来而言，其实就是什么AC大于0a又大于零，那所以说这里面当中c也得大于零。能想清楚吧，好了，也就是说这个人要大于零，这个人要大于零，

这个人既然是正的。你震的话，这个人震的话，这个部分要大于一。所以说f0这个部分大于一撇撇，零大于0f零大于一撇撇，零大于零。所以答案选a。好了，这个题啊，掌握清楚给我回复一。就像这种类型，媒体的这个操作不是说特别的难啊。你要知道这个问题的，这个梳理你怎么去操作？

好了没？可以了啊，好这个题。那么接下来你们现在状态怎么样？啊，状态怎么样？非常好吧，我们来看个题。呃，其实这个板块最大的一个难点马上出来了。你困了。这还上课不到两个点儿啊。这状态怎么行？而且今天讲的这些东西，其实你说有那么难吗？

不就是一个偏导数计算吗？你这可不行啊。你这种状态怎么行呢啊？你其实都没有说那么的费脑子啊，这个点。好了，我不多说了，来我们继续吧。我们来看看最后一个点啊，最后这个内容非常能拉分。那么，接下来我们来看看这个页面，好好听啊。看这个部分。所以你要想清楚。

如果充分条件失效的时候。我怎么办呢？如果充分条件失效的意思就是如果这个b方减AC咔的一看等于零失效了。那么这个时候我们怎么办？我们要用定义法来进行判定。得用定义法来判定。如果这个偏导数不存在的点偏导数为零的点是注点，注点得进行去用ABC判别法来判定。那如果是偏导数不存在的点怎么办？我们可以用定义法。哎，我们可以用定语法，你这块好好听，这块有点难哦，这个难度系数很大。

但是这是拉分点。那么，首先我们先来看，那像这两种问题的话，核心重点我们是不是要用定义法？定义法判断二元函数的极值怎么去判定呢啊？这块内容你先不要写了，你先上课听。我先来讲讲什么叫机制啊？何为其止啊？极值这个东西，它不就是一个邻域的概念吗？你想想是不是啊？我来看看，这不是有三维的坐标系。

这个坐标系怎么那么丑呢？对吧？好了，那么接下来我们看那如果在这里面当中这块有个点。啊，这个点。哎呀，这个这这这坐标系不好看看的，我这跟个平面的一样。好，我们来看看。好三维坐标系。那如果这里面给了一个点。啊，我们给了一个点。

这个点是x0y零点。好，这个情况大家告诉我。这个点呢？如果是个极大值。是个什么意思？什么叫做？极大值。如果你不要逗我，对吧？你好好听课啊，你甚至。来好好听课，什么叫极大值？极大值是领域概念。

对吧，这是我这个点的邻域。邻域跟这个点挨得近不近？非常近。淋浴。那如果这个点处的函数值。你看看这个点处的函数值。比附近都大。如果这个点处的函数值比附近都大。它就是个极大值。如果这个点处的值比附近都小，它是个几小时？但是其实我们不喜欢画三维图了。我们喜欢画平面图。那既然喜欢画平面图，

我们就来看看你重点在研究什么呀？你这是x这是零这是y吧？你就研究这个点的函数值，跟邻域内的函数值之间的大小关系吧。是不这样的一个问题。就比较这个点跟邻域内的函数值之间的大小关系，其实就这个点跟这个邻域当中，不看这个点就是去心领域。是不是这个事情，所以我们的做题方向非常简单来了。那它的重点就是我要比较这个点处的值。还有这个点抛开了之后的这个领域，就是去心领域内函数值之间的大小关系好，我们来瞅一下。其实啊，

你的重心就是在干这个事儿。那这里面当中有这个点。好有这个点。我们要比较什么呢？我要比较这个点的函数值。跟什么呢？跟这个。去新领域注意，这是个个领域挨得非常的接近。就是我的重点，其实就是这样。我要比较这个点处的函数值。还有什么呢？还有这个。区域性领域内的函数值之间。

大小关系。能想清楚吗？所以说我们做这个题，你务必要进行去知道两个事情。一个事情就是这个点处的函数值，第二事情这个附近的函数值。这个附近就是跟这个点挨得非常接近。想得清楚吧，好了，听明白了给我回复一。注意啊，听明白的给我回复一。就是你要知道在干嘛，我就要比较这个点处的值，跟这个去心领域当中的函数之间的大小关系，

到底谁搭？我问第一句话。如果这个点处的值比邻域当中的人都大，就是去心邻域当中的都大，它是个什么值？这个点比附近都大。及什么值？极大值，如果这个点比附近都小呢？比附近都小呢。比附近都小，那这个人就是个极小值。那我想问你。如果在这个领域内。有比你大，

也有比你小的，怎么办？取不取如果是极大值，就是我这个点比你都大极小值都比你小，那有的比你大，有的比你小的。肯定不取，这是绝对的不取。听明白了我的意思吗？你要听清楚这个事儿啊，一定要听懂。那么，接下来我们来看看吧，这个。我给你找一个题啊。

找一个题啊，我们来稍微的进行去瞅一下啊诶，刚好在这一页那这就巧了。上次啊，我其实想出这个题的。但是我们三九六同学的题啊，他就不会这样出。三九六同学的这个题。设函数。啊是。设这个函数。是它，然后什么东西呢？这个人在零零处。会是个什么情况？

这应该有个逗号。设这个函数是这样，则它在这个零零处a选项取极大值b选项，取极小值c选项，不取极值d选项无法判定。再来个选项，说不是重点，那个东西就是送炮灰的。你听懂我的意思吗？那东西就是送炮灰的。他肯定有五个选项嘛，他这个得把它填满。那么，接下来我们看这个题，你怎么做再解？

那么，首先我们先看第一个事情，你要去求你求一下这个x的这个偏导数。那么，前面对s是多少？这是负2s，你后面这个东西不等。你其实最好把它给我打开，打开是最简单的，打开的话，这个人就乘一下，这是y方减去个x方y。然后再减去二倍的s访问。诶，这是吧，

二倍s方倍，然后再加上四倍的s四次方，所以说这个函数其实就是y方减去三倍的s方倍。加上四倍的I四次方。那这个时候怎么办呢？我去求一下s偏导数，那这个部分的话，其实就是负6 xy，再加上多少？16倍的s三次方。然后接下来我们就继续嗯。哪个呀？这个。哪哪个部分？二倍的。

最后一个哦，这是二啊，不好意思。好了，那么这是这个人，然后接下来我们去求对s对s的话，这是多少负六倍的sy+8倍的s三次方？然后对y求的话，这是2y再减去三倍的x方。好，这个结果那么这个时候你做完了之后，我们来看看这个事情。你发现不用继续去看，直接把这个人带进去，那这一带就是零，

然后这个y撇这个东西啊，一带这个结果是零。好了，这是这个情况，能理解吧，都是零，你看注点，所以那个送炮灰的那个东西肯定不对，我当然是注点。如果你想把这个选项出的更丰富，你就a选项是这样出a，不是注点b，是注点，但是两个偏导数。不为零。

你看这两个选项是不是送炮灰的？对吧c选项在这点取极大值d选项，在这点取极小值e选项，在这点不取极值五个选项。能理解吧，所以你看我们的那个题，它就是这样出的呀。你要知道怎么除，然后接下来我们就继续，我们再来看。ss两节，然后这一算的话，这是负6y，加上24倍的s方，然后这个东西是sy的，

这个两节。那这个对y的话，这是负6x，然后这个东西再是YY的两节，那这个东西是二。好，这个情况这东西是二吗？叫我看看。嗯，这个东西是。嗯，好是二啊，对没有问题，然后a这个东西是0b，这个东西是0c，

这个东西是二。然后你发现这个b方减AC这个人什么等于零尴尬了。尴尬了吧，你看这个东西一做b方减AC=0。失效了。其实，这种选项最好出一个什么无法判定，有些同学就选无法判定。就是这个题最好的方式就是极大值极小值，不取极值，然后是无法判定，有些同学就选无法判定了。你能听懂我的意思吗？就是有的同学选无法判定了。那这个东西就疯了，

这不是无法判定，如果b方减AC=0的时候，这个东西说明充分条件法失效。我们得怎么办？我们得进行换方法，我们来看看怎么办？第一步先要知道自己在研究什么。我们要研究的问题就是来走，我们要研究的问题是这个点处的值。跟这个点的去心领域去心领域，跟这个点挨得非常的近。要比较这个点处的值，跟这个去心领域内函数值之间的大小关系。然而，同学们，

你来发现一个事情。你看这是y-x^2。我们先看看f零零这个人，我我要换成我喜欢的绿色f零零这个人已经是零。你看这个点已经是零了。对吧，这个点已经是零了。那我就想进行去判断一下，这个附近的情况。那判断这个附近的情况怎么办呢？你就不知道看正负吗？这个点是零，如果附近都大于零极小值。附近都小于零，你最大极大值附近有大于零，

有小于零，那这人就不娶我，不就要看看正负吗？正负而你发现这个东西，它不是依赖于y跟s方y跟2s方。y跟x方的话，你发现是这个人。y跟2x方的话是这个人。你能听懂吧，你这条线是y跟2x方更陡一点嘛，这是y跟x方。好了，大家跟我看。你给我瞅一下。我就问你一个事情，

这个范围是正的还是负的？这个范围啊。因为你发现这个时候y比2s放大y比s放大，这两个东西都是正的，是不是正的？是正的，然后接下来我们再来看你，给我看看这个部分。这个部分是正的还是负的？那这个部分呢？这个部分是y比x方大，但是y比这个人小。那这东西是什么是负的？大家告诉我是不是可以得结论了？可以得到吧。

如果这个点是极大值，你应该比四周都大。你是几小只比四周都小。我四周有比邻大，有比邻小，这是什么？这叫不确定。这叫什么？这叫一定不取。所以说这个时候你要想清楚，我们选答案了，一定不取。一定不会取得。好了没有？这是这个题。

把这个方向性一定要梳理清楚。然后接下来我们再来看一个题。我们刚才的这个题，你还记得吗？幺零七这个题这个题啊，没有往狠的出，我给你看看这个题。再来跟我进行去看这个题。这种东西你只能去试哦。好，我们再来看。则这个人在零零处。它什么情况？零零处。零零处的话，

你发现我们刚才这些偏导数我们都算过。刚才都算过零零处都算过的话，你发现我们带到这个零零的话，这是零这是零是注点。是注点往这一带，这是负二往这一带，这是负二往这一带，这是负二往这一带的话b方减AC刚好等于零。嗯，你看完了吧？是注点啊。零零往这里面带都是零啊。然后你发现邻方这一带，这是负二负二负2b方减AC=0啊，失效了吧，

你看这才是这个题啊，能够考到非常高水平的一个点。考刚才那些问题啊，这都是温柔之出题呢。温柔着出题的话，你发现都出来了。那失效了怎么办？这题有点难。这个题啊，我给你好好进行分析一下，大家认真听哦，这个片段。那么，如果在进行去判断的时候。不是画图，

不是每个题都能画图。一般都画不出来图，刚才那个题太特殊。那么你要知道，你要把握的方向。你要把握的方向，其实就是。第一个事儿。该点处的值。那该点处的值等于多少呢？我的方向就是要比较零零处的值和xy在趋向于零零的时候。的函数值。能想清楚吧，好这个问题。就是你发现你看这个类型问题的点。

那该点处的值是几啊？该点处的值是零。啊，该点处的值是零。该点处的值是零，然后让我们进行去比较零，跟这个附近的大小关系。那这个附近怎么进行去判判断呢？你来给我看看这个f这个题有点难。然后这个部分是四次方。这个是y的四次方，然后后面是不是x+y这个人的平方？能理解吧，那这个时候你要进行去评判。你想趋向于零点。

趋向于零零。这个东西你能告诉我是四阶吗？不能当我们去取一次函数的时候，它是四阶，你还记得吗？当我去取一次，所以说你我们经常就会取一次函数，当我们取一次函数的时候，这是四阶，当我们去取一次函数的时候，这是二阶。告诉我，在趋向于零的时候是二阶大还是四阶大？谁占优势啊？就是如果去取一次函数。

我如果取一次函数。谁大对？当然是二阶，所以说你告诉我这个时候它是正的还是负的？是不是由后面这个人决定它是负的？也就说你看我现在随便的去取一下。不要让它消掉，我就是取这条线。取这条线的时候，它是一个x的四次方二倍的减去四倍的s平方。在趋向于零的时候，趋向于零的时候，等价的是这个人。能理解吧，所以说沿着这条线，

这两个部分的东西都是负的。然后你再来看那同学们想我能不能把这个东西给消掉，因为你发现这个东西非常好看，我如果能把这个部分消掉的时候。你看我就取负x那这个东西刚好是二倍的x四次方，那这个部分大于零漂亮，我又知道了，当你沿着这条线的时候。这两个部分，它又是大于零。你能听得懂我的意思吗？所以说沿着什么情况呢？沿着这条线的时候它是什么？它是负的，沿着这条线的时候它是正的。

所以说我而我们中间的这个点呢，我们中间的这个点是等于零，你这个点等于零，你旁边的人又比我大又比我小，这个时候一定是怎么办？剥去的。听得懂吧，好了，这种题我们去年已经考到了这个水平了。你要想清楚。呃，如果你身边的话，有听我们的课程同学。就是这个呃，听了强化班，

然后到这个部分的东西啊，让他去听一下啊，告诉一下你的同学。能听懂吧啊，无论的话，这个只要他听过这个课程呢，你是你的同学的话，你可以告诉他把这个部分的东西啊，你去看看啊。好了，这是这个事儿，跟得上我的意思吗？所以说这个时候你就得进行去超强的这个水平进行去看。一定要继续去看。你发现越靠近于零，

你不能说这是四节，但是当取一次函数的时候，这是四节。一次函数的时候是二阶，二阶说的算，那这是负的。然后接下来因为我们讲过二重极限，没有接的感觉。当我取一次函数的时候是可以的。能听懂吧，好这个情况哎，你们怎么这样呢啊？好了，这是这个吧，我们就说到这。

然后接下来我们再来看个题。啊，你要注意哦，我看的是这个邻域内的征服性。林玉跟这个人挨得非常非常的近。你注意，我刚才在讲课的时候给你讲怎么去想那个部分才是最重要，你光把这个答案记住这个这个没有没有什么。任何的意思。好了没？你要注意趋向于零点的时候，你不能说这是四阶，这是二阶，因为二重极限没有阶。当我去取一次函数的时候，

它是四阶，它是二阶，二阶说的算，而二阶是负的就是负的，那我就取一个一次函数，哎，负的。但是我六取一个一次函数的时候，你发现这一项可以没有，那这又是正的了。好了，这是这个问题啊，你要想清楚。然后接下来我们再来看个题。那你想想，

还有一种考法。我要比较这个点。跟这个去新领域那去新领域不就是极限吗？所以说这个时候，比如说我们来看一个问题，如果这个fx y它是连续。而且这里面当中告诉我们一个极限。s趋向0y趋向零。那然后你这里面当中，这是fx y，你这是x方加上y方，你比如说等于几等于负一。那这个时候你告诉我个事，你这个函数在这个零零处是什么情况？这个内容啊，

你一定要好好品呢，我觉得你下去多花点时间。这个东西就通关过去了。什么情况？好了，这个问题嗯，这有同学的话，这个二重极限的东西，你要把它再再看看啊，我们二重极限讲了很多。好了，再看这个问题。那这个问题的话，你想首先我们这个题的话，你肯定没法进行去求偏导数嘛。

偏导数是没法求的，那偏导数没法求，但是我们怎么办？我可以回到定义啊。定义不就比较零零和这个去心零域内的大小关系吗？零零和去心领域。好，我们要先求零零。先球临临的话，就是分母极限是零。则这个分子的极限一定是零。分子极限是零，连续极限等于函数值，立即告诉我们，所以这个点处的函数值。

它就是零。好，这个情况。然后接下来我们再看，你要想知道去新领域，我是不是会想到保护性呢？因为这个极限小于零。去掉这个帽子，就是去心领域，在去心领域的时候，它就小于零。那去心灵域当中的话，这个之比小于零。而下面又是震荡，你只能说这个函数是小于零。

那我就想清楚了。在这个去心领域当中，都是小于零，这个人等于零，他是不是最大的？所以说这个点呢，是一个。极大值。好了没？这是这个题啊，你下去品一品，但是这个题比较简单。这个题是一道比较简单的题，你还想拔高一下吗？你想不想我都得拔高一下？

我觉得今年的话，你看这节课我给你演示了好几个刻意练习法。你像那里面，比如说我们刚才讲的那种套娃的题，套娃的题怎么进行学，你把这东西学会了之后疯狂的进行去演练一下就出来了。二，刻意练习法。然后接下来我们再来一个，把这个最后一个题拔完，我们这个板块内容我们就说到这，然后是下节课，我们先继续去讲概率论。然后至于后面的话，还有一个什么这个经济学应用，

我们把这东西放到最后啊，高频的东西啊，我们先讲完。那么，接下来我们再来拔一下。然后再来看个题，但这个题真的很难啊，这个题很难。来看看这个题。呃，如果你有同学的话，这个这个板块他没有听，你跟他讲一下，把这个板块的听一下。好了，

那么接下来我们来看看这个题啊，这个题的难度系数啊，有点高哦。没有朋友。行行行，你这是。好，我们来看看这个。来看一下这个题。所以我发现这个因为很多书也选了这个题，选了这个题的话，你发现这个题是一道这个考研真题。然后接下来我们来看看这个题目。好，来看看这个人。

那这个题怎么做呢？你发现你操作一下，你试一下。你直接做不好做的。我们这个人进行去比较。好，我们来看看。这是y这是零，然后这是x，那接下来我们来看看这个问题。你要干嘛呢？我只能用定义吧，你这个人又无法进行去求导。只能用定义的话，你要比较什么呢？

我要比较的人呢，其实就是。这个点处的值。对吧，这个点处值这个点处的值的话，你想想。比值极限是存在的。分母极限是零。然后这个人的分子的极限，它就是零，所以说就是fx y再减去xy这个极限，结果是零。而又因为这个东西是连续邻域，是包括那个点的连续，连续极限等于函数值去心领域，

不包括。f0是零。好了没？学清楚了吧啊，这个人。好了，这是第一个问题，能掌握清楚吧？好听明白了给我回复一。所以说这个f零零这个点呢，它是零。注意这个点是零。然后有同学说，哎，老师，

我这里面当中可以想到保豪心可以，你保吧来我们来看。你这个人大于零。极限大于零，在去心领域内，你就大于零，而分母大于零。其实就是这个人大于零，听得懂吗？好听明白了，给我回复一。那也就说这个人大于这个人。但是这个东西。你能说清楚吗？你说不清楚啊。

因为你发现第一象限的时候x×y是大于零，你比零大。第二象限的时候x×y是小于零。x×y小于零的时候，你比一个负的大，比如说你比负五大，你比负的大的话，你有可能是正的，也有可能是负的呀。对吧，你有可能是正的，也有可能是负的啊，有的说哎，在这里面当中无法判定不是这样子。那是你没法判定。

能理解吗？你在这门当中啊，你根据所出的条件无法判定，你就选d了。这不就叫无法判定，这叫你无法判定啊。你没有判出来，不是说这个题就判不出来，你别别乱来啊，所以说如果是这样的话，你应该选d。所以这个题究竟应该怎么办呢？我们来看看。所以说这个题啊，难度系数较大。

我们来看看方向。但是你琢磨一个事情，我刚才的理论有没有问题？理论有没有问题？没有问题，我就要比较这个点处的值。跟去心领域内的函数值之间的大小关系。我就要比较这两个大小关系，但现在比不了啊，还有什么方法吗？我们今天刚讲的是不可以反解啊。知道这个极限，它等于一，我们就知道了，当xy趋向于零点。

的时候，这不就是我要要这个范围吗？这是万能的方法吧，你就可以把这个范围内的函数给解出来。那这个时候他这个人。就会等于这是x方加上y方这个人的平方，等于一再加上个无穷小。能听懂吧，也就是说哦，我知道了，这个范围内的去心离域当中的函数都是这个样子。能想清楚吧，好了，然后我们把它解一下，那这fx y-sy，

它就会等于x方加上y方的这个人的平方。然后你注意我一个无穷小，再乘上这个无穷小，其实就是比这个人高阶的无穷小，这个没问题吧？无胸小陈无胸小是比你更高级吗？所以说这个人我们就立即做成这样了。好了，比这个人更高阶的无穷小。好了，这部分内容听明白了吗？然后我们就知道了哦，原来在这个去心领域范围内，这个函数是这样子。原来如此，

去心领域范围内是这样子啊。然后来看这是二阶，这是四阶，这是比四阶高合取第一阶是最低阶，对不对？有些同学这样做，说这是四阶，这是二阶，这比四阶高，何取第一阶是它，然后这个人在第一象限是正的，第二象限是负的。那所以说旁边有比他大，也比他小。恭喜你，

你考上了。但你这个水平点非常差。我讲过二元函数有阶的概念吗？没有啊，二元函数没有解，我们上节课是不证明过？我证明过这个题吗？自己去翻。我们证明过这个x方，加上y方这个人比上他，他的极限等于零吗？我讲过这个题啊。这个之比的极限，它不是零。这个之比的极限，

他不是零。是吧，不是零。是不存在。所以你不是他的高洁。但是很多同学啊，做到这一步的时候。你更多的方向的话，比如说你去看了更多的书，你可能更多的方向放到这个东西，它是错误的方向上。但是我们要进行去想。它容易对的方向。这是二阶，这是四阶，

这是四阶高。二阶，四阶，四阶高，你喜不喜欢这样子？我喜欢由你说的算的。所以我们都知道，当我去取一次函数的时候。你取一次函数的时候。它这个时候是二阶。四阶，四阶高八。由谁说的算？在去心领域范围内，是不是由你说的算？

大于零哦，明白了，原来如此，在这个范围内，它大于零。对吧，一旦变成一冲极限，变成一冲极限的时候，它的阶就是这样。那接下来我们再来看，我还是不破坏，接不破坏接的话就取一次函数。不破坏接取一次函数还是由第一个说的算，只要能让第一个人小于零，他就小于零，

我再去取负x。我取负s的时候，这是负s方，这是四倍的s次方，这是四次方的高级无穷小。是不是由你说的算，然后这个人又小于零，你小于零就小于零，所以说这个时候我们再来看看这条线。这条线的这个范围内，它是小于零哦，原来如此，你中间的这个点什么零，你这个点是。等于零你旁边有大于零的，

你旁边也有小于零的，所以说这个题的正确答案选几啊选a哦。好了，你看看这个水平。所以我原来给你讲过二阶，四阶，四阶高二重极限，没有这个阶的概念，但是当我去取一次函数的时候就是这样。一次函数的话是由第一阶说的算，所以说我去取一次函数，我取一次函数x的时候由你说的算。取这个负s的时候由你说了算。好了，这是这个部分难度系数有点大。

所以说这个情况你一定要去想清楚。你看二阶，四阶，四阶。如果跑到了一重极限。跑到了一重的时候，就由你说的算，所以说我就取一次函数是正的，你说的算是正的一次函数是负的，由你说的算，那是负的。好了，像这个问题啊，你下去好好品啊，但是二重极限没有解。

二重极限没有阶去取一次函数的时候，它就是二四比四大，有第一阶说了算，你取到正的，它是正的，取到负的，它是负的，那说明旁边有正的也有负的。不去好了，这个题有点难，难度系数算这种类型问题啊，顶高的这种。啊定高这种这节课一定要好好看。啊，一定要好好看，

所以希望同学们下去啊，好好进行梳理梳理行吧？呃，也恭喜大家。我们的高等数学所有的核心问题啊，我们就全部讲完了，那么在这块我们也不进行去这个跟那个基础班强化班一样啊，这个恭喜大家了。因为马上的话，我们要进行去学这个概率论，那么把这个东西的问题点讲完了之后啊，你再进去去看这个概率论呢？概率论其实相对于这个部分呢，要简单的读。啊，

说实话，要监督，所以把这个板块的东西，今天晚上的后半程一定要好好看。如果你有同学对吧？他没有看这个部分，跟他讲一下，把这个板块的东西去看看就行了，就是从哪呢？就是从这个部分的东西之后去把它看看。行吧，把这个部分的之后的东西你去看看。跟他们去讲讲。用二重极限不同虚像。不是它的根本，

其实就是你所要问的问题，就是在这个页面，我要比较什么比较这个点和去心领域内的函数之间的大小关系。这个点比附近都大，我记大值，这点比附近都小记小值。好吧哎，这是这个问题呃，我们最后讲现代，你不用担心这个事。线性代数和概率。概率论呢，这个讲解的时间中间差不了几天。啊，差不了几天的。

概率很快的啊，概率的东西是非常小啊，非常小。好了，这是这个问问题吧。嗯，你可以举啊，这个题举例子也行啊。能取出来就行了。但是关键点举哪个例子呢？这个不好举啊。你取多少呢？取x方加上y方，再加上xy你举那个例子可以？啊，

可以啊，可以。可以取啊，就是你去取多少呢？你去取。fxyxy跟那个约掉，然后这是x方，加上y方的这个人的平方。啊，这是可以的。这时候刚刚好，对吧？这刚刚好，所以把这东西就处理清楚了，然后的话，

这个时候你发现。它在零零处，它等于零。然后你再去取，你就去取x，你去x的时候，这是x方加上四倍的x四次方，由你说的算大于零。你取负x的时候，这是负x方加上四倍的x四次方，由你说的算小于零，那旁边有正的也有负的。啊，有正的也有负的，那说明什么情况？

说明这个东西不行诶，还可以啊。这个很好。非常好，取得很棒。好了，这是这个题，能听明白吧啊，其实意思的核心思想是一样。呃，既然的话，这个东西是不取它是不取的话，你说取BC肯定不对，你说无法判定，那也不对，

我举了一个例子，能判定的，那说明的话，你看你d也不对。我把这几个选项排除了，我就选a选项了。好了没哎，这是这个点。行吧，那么这个问题我们就说到这，自己下去好好处理一下啊，这个核心的问题，然后的话，后面还有一个导数的，因这个。

经济学应用啊，经济学应用啊，我们放到这个最后再讲啊，最后一个问题，我们把它补充一下就行。可以了吗？好，这是这个问题，点你下去把相对应的问题好好梳理梳理。所以这是我们在这一章当中的一些重点内容啊，这几个板块东西啊，出题是非常非常高频的，你希望大家下去好好把这个相对问题啊，你再处理处理。好了，

这个内容呃，有条件，其实这些东西的边角的内容我们都会放到这个最最后一次课程。我再给你讲，我们先抓大头。啊什么有条件，其实这个出题基基本不太可能出，因为我们大纲其实上面说了一个什么东西呢，说的其实就是。无条件禁止，我们只能最做到最后，以防万一，你先把核心问题给我们抓住啊。该抓的东西啊，你要把它抓住。

行，那么今天课程呢？我们就说到这啊。嗯，今天先不唱了吧啊？等到那个概率论结束吧，行吧？我去，我去准备一下啊，准备一下。好了，这是今天问题呃，今天的东西啊呃，内容点后半程比较难啊，后半程有点难度。

但是我们总算把高等数学这么多东西啊，卖过去了，后面的东西啊，其实都还好了好了，那么今天课程呢，我们就讲到这吧。啊，主要我看看啊，我看看。主要我最近。行啊，那你们要好好学，累了也行，我看看啊。呃，

唱一首这个。那个苏打绿的无与伦比的美丽吧。可以吧。平生风轻彩天下。他这个调怎么那么高？等我等我一下啊，等我一下我再找找。阳光站在天上。天上风筝在天上飞，地上人儿在地上追。你若担心你不能飞，你有我的蝴蝶。天上风筝。它这个它这个调太太太高，我找找。

要不下次吧啊，这这这个。有低一点的吗？呃，我直接唱吧可以吧？天上风筝在天上飞，地上人儿在地上追。你若担心你不能飞，你有我的蝴蝶。天上风筝在天上飞，地上人儿在地上追。我若担心我不能飞，我有你的草原。嘿嘿，你形容我是这个世界上无与伦比的美丽。

黑夜黑夜，我知道你才是这世界上无与伦比的美丽。这这个不行，下下下次啊，下次我这个调我有点找不到了啊。呃，下次吧，下下次这这。这调太高太高了，行吧，我们今天就唱到这儿啊，这个是唱的不好，有点儿丢人的啊。哈哈，好，

那么今天课程呢？我们就讲到这，自己去把这个后面的问题好好梳理梳理吧啊。呃，好好加油，然后的话，下节课我们去讲这个概率论呃，概率论的部分的内容啊，一般情况下应该是有呃三次课程，然后第一次课程的话，我们的重点是随机事件及其概率。那么，重点的话，理论当中啊，概率公式比较重要，

然后古典概型的这个计算呢，也比较重要呃，这是两个问题，然后到了这个第二章当中，其实就是随机变量及其分布。啊，这个问题讲完了之后，第三次课程的话，我们会去讲二维随机变量及其分布，然后再加上一个这个。呃，期望和这个方差的问题好吧，同学们好，那么今天课程呢，我们就讲到这儿啊，

自己下去好好梳理梳理今天的东西的三个板块。一个是无条件极值，一定要把它拿下来，然后还有一个事情，其实就是我们在这里面当中套娃形式的这种偏导式的，这个计算问题。行吧，那么今天课程我们就讲到这儿好，下节课见了。

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