13.冲刺串讲13-3

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:05:30

好，接下来我们继续吧，我们再来看看这个后面部分内容呃，接下来的问题啊，倒不是说特别难了。但是接下来这些问题啊，你得信心去啊，你要喜欢酸。你要多算你像这种偏导数的，这个计算性问题啊呃，尤其是很多同学说这个老师，我觉得我的运算能力不是说特别好。我觉得我这个计算能力非常的差，其实就是一个问题，就是你只要保证一个事儿，

你将来做的每个题啊，稳扎稳打的算到最后。扎扎实实做，因为很多说老师，我觉得我这个速度不是说特别快，那个没有关系，你慢慢练这个速度啊，越做越快，越做越快。那其实我觉得这个考试上的一些问题啊，你可能做最近一段时间，可能做模拟卷，对吧？很多同学可能做不完，觉得这个里面当中啊，

难度系数太大，运算量太大，其实你注意啊，如果是真题。就算去年的考研真题。你比如说这个二零二三年的真题。对吧，就这一年的这个真题。也不是说每个题都那么难。你要是每个题都那么难，这有点夸张了，你像去年的话，有些题这个第一个题，第二题你很快就把它做做完了。而做模拟卷有一个特点呢，

基本上它很多话这个。你尤其是不进心去研究这个三九六的这个真题啊，可能出了很多这种题有点儿。嗯，不是我们的这种出题的，这种风格每个题啊，出的这个计算量都非常非常大。出的非常非常的狠啊，这个其实啊，就有点偏差，但是注意啊。如果你做这个模拟卷，你可不能这样想。你如果做的话，你不要老是说啊，

这个卷子不行，那个卷子不行，你既然选择了这个卷子，你就认认真真的把它做完。如果做错的题，把它改正过来，这才是一个良好的学习态度。你不要做，做错了之后啊，卷子不行，那个做完卷子不行，这个做完题不行，不要有这种想法，一旦有这种想法，就算他卷子不行。

你有这种想法，也会影响你的复习，你能听得懂我的意思吗？所以一个方面就是你要认识清楚，有些模拟卷呢，它可能这个运算量太大了。有些的话他没有把握好你，所以说这里边当中每个题出的太狠，你所以你做起来稍微的压力大很正常。如果出错了，不要受打击。把这里面当中的问题改正过来，提高自己，那这是一个，然后另外一个方向不要走，

另外一个极端就是哎呀，如果做的不好啊，都是这个题的问题。你这样也不行，所以不要走两个极端，听得懂我的意思吗？不要走极端，就像我原来这个。呃，基础阶段强化阶段一样，有些同学问说老师，我觉得我还学有疑虑，我觉得我还可以想再做一些这个呃，三九六配套的这种习题，我应该做什么？

我每次我回答都是你做谁的都行。这是无所谓的，你做谁的都行，你只要你选了这个东西，你把它认认真真做完，这才是终点。你只要在中间的时候不要受影响，你明显做这个习题，然后明天看到哦，人家说啊，这个习题不行，那个习题好好把这个东西扔了，然后去做那个。然后做过两天做那个之后，哎，

是那个习题好，然后把这个东西整了再做那个，你这其实摇摆不定，这不行，你发现他。太容易受到一些东西的影响了，就是。只要你做哪个把它扎扎实实做完就行，你听得懂我的意思吗？就这样就行，好了，不多说了，我们继续开始，我们看看下一个问题。那么，

首先我们先看看第一个考点对吧？第一个问题，一般的多元函数，偏导式计算。其实啊，我们原本这个标题的名字叫这个叫简单的多元。函数偏导数计算。啊，就这个问题，哎呀。计算啊，就这个问题。叫简单的多元函数的偏导数计算啊，简单的那么简单的多元函数的偏导数计算，原来这个标题的名字啊叫这个。

啊哎呀，别逗别逗我了，好这个东西的特点是什么？就是简单。啊，简单的就是简单，像这种题基本上是送分题，那考的话就是你就算就行了呗。所以我们先来看看这里面当中的第一个问题啊，我觉得比较关键的第一个事情，你要分析清楚。你一定注意，它是个起源函数。这个事儿很重要。你比如说我举个例子，

我这里面当中它是一个二元函数z，是因变量xy是自变量。那这个时候我对s进行求导y就是个常数，对y求导s就是个常数。但是如果我们进行求的时候，比如说一个题啊，它是个u，然后这个x这是y这是z这三个都是自变量嗯三元函数。你对s求y和z都看成常数。所以一定要分析清楚这个东西到底是个几元函数，把它分析清楚，对某一个自变量求导。其他的次变量均看成常数。一定注意是自变量，中间变量呢？

如果是这个人呢？那不一定。所以对某一个自变量求导，其他的自变量都要看成常数。把它想清楚好，我们来看两个题吧，先来看看这里面当中的第一个题。啊，这种题啊，不是说特别难，就是你要喜欢算。你要敢去算。而且我昨天。晚上讲那个数一数二数三同学的这个真题课的时候，我也说了这个问题，

我记得上次课程呢，我们也说了这个问题。你学了一年。学了一年，有可能在那个知识点上，你花费了十几个乃至20多个小时的时间。你最后就为了破那一个题。你上了考场的过程当中，你跟我说哎，这个题我不想算。那你前面的二三十个小时，你就白搭了呗。一点意义都没有。好了，那么接下来我们就继续，

我们看看这个人怎么做the sun吧。那这个人写的话，这不就s偏导数吗？那你就要算s偏导数。你算y的偏导数，这一看是二元函数。你对s求导的话，这个y这是个常数，那s函数s函数乘这个什么除法求导下面部分的平方。上面求导乘下面。减去下面求导乘上面。好，这是第一个人。然后再来看看对y进行求变动。对y求偏导的话，

这个es这个人就是个常数。这是个常数的话，就是一个人分之一，求导。一个人分之一求导，其实就是这个人的平方分之负一。然后这个中间变量再对y求导，那这个部分又来了一个负一。啊，就这个结果，所以说这个人其实就是es，你很明显这两个东西加一下比较简单。两个人如果一加呀，你这个部分就没了，一加的话其实就是x-y^2。

对吧，然后这个部分的话是es倍的x-y。所以说这个结果其实就是s-y倍的es。好，这个人那这个人是谁呢？这人不就是f吗？所以两个人一加呀等于f。好，这是第一个人。很简单吧，好再来看看第二个题。继续哦，我们看看第二题。呃，第二题啊，

其实运算量挺大的啊，这个题但是这种运算量虽然说大呀，其实在考研当中也不算什么运算量。那么，接下来我们看看这个人。那这个题的话，我们要算什么？在一一处的x偏导数和y的偏导数二元函数嘛？那二元函数的话，你首先看第一件事情。我对s求的话，这是s函数，那这也是s函数，两个都是s函数，那所以说是幂值函数，

你先做幂值转换。所以这个人呢，你就做成了这样。你做成了这样了之后，你就直接进去去求s偏导数就行。那就是先对这个中间变量进行求导。然后这个中间变量再求。中间变量再求的话，这是s函数，这也是乘法求导，那乘法求导的话，前导的话是这个人，后面这人怎么办？后面这人不倒。然后再加上前面这东西不导，

后面来导，后面来导的话，其实就是这个人分之一，然后这个中间变量再对s求导呢，就是y分之一。好，这个人那么接下来我们继续，我们再来看看偏z偏y好这个人。好想求极限考研给你考35个极限题。你怎么可能来再来看这个人？继续先对中间变量进行求导。然后中间变量再继续求导。那这个部分再对y求导的话，这个x是一个什么常数？然后这个人y分之一求导，

其实是y方分之负一，然后这个人后面这个人怎么办？不等你再加上前面这人不等。后面来导，后面来导，先对中间变量求导，就是这个人分之一。然后这个中间变量再求导呢s是个常数，然后是y方分之负一这个人。那接下来这个问题啊，我们就算完了，那算完了之后，我们把一带进去。你带到这里面，我们来带一下。

一代的话，这个人是一，这是l2。那你想这个是e的，这个l二一约的话肯定是二。然后这又是录音儿。然后这是一这是一，然后这个部分是二分之一。好，这第一个人，然后再来看前面这个人是二。然后这个部分呢？这个部分是负的路由。然后这是一，这是一，

这是负一，这是负的二分之一减二分之一。那所以说最后结果就是二倍的ln 2，再加上一再乘以一个ds，然后这是二倍的ln 2。然后再加上一负的注意是负的负的，这个人在d呗，两个一加就是这个结果那所以说我们把这里面当中的东西提出来。二倍的ln 2加个一提出来，其实就是ds在减dy。那所以说这个结果立即出来了ds-dy二倍的ln 2选c。好了，这是我们讲的这个第一个题。能学会吧。好，

这是这个第一个点，你要注意我们学习的这门课程呢，你猜一下它为什么叫微积分呢？它咋不叫极限呢？极限仅仅是个开篇。真正比较重要的是微分学和积分学。现在我们学的这个东西啊，是多元函数的微呃微分学。好了，我们继续，我们再来看这个题。那这个题你发现个事儿，还有什么方法吗？来再来看这个人。还能怎么处理啊？

你当然还可以用第二种方法，但其实啊，对这个题而言。第一个方法其实就可以了。那这里面我们来看看这个事情是一加上s这个人，然后这是y分之s，你也可以先带后求啊。那首先我们先来看你把这什么？你先把这个y等于一带进去y等于一带进去的话，一加s分之s。然后我们再来看第二个人，你也可以把这个x等于一带进去x等于一带进去的话是一加y分之一，然后这个y分之一。好，这个结果那接下来我们就可以算了呀，

你发现这是s倍的ln多少一+s？你就可以直接算，你直接算的话，就是先对中间变量进行求导。中间变量再求导，就是前导后不导。然后再加上前面不导，后面来导一加s分之一。然后我们再来看看这个人，你还要幂值转换呃y分之一倍的ln多少，一加y分之一好了，我们算一下。先对中间变量求导好，这个结果，然后中间变量再求导你前导的话是y方分之负一。

你后面这个东西不倒一加y分之一，然后是前面这人不倒，后面来倒，那其实就是一加y分之一分之一。然后中间变量再取到y方分之负一好这个结果。那算完了之后把这人带进去，一带的话，这个人还是一个二，然后这是l2加个多少呢？加一个二分之一好这个结果。然后再把这个一带去了之后的话，这还是二，然后这是负的ln二，然后再减去二分之一。好，

这个结果是不是一样的？其实你发现这个操作性方法还可以吧，对这个题而言，你直接算也行，你或者先代后求也行，好正确答案选几啊选c啊？可以了吗？好，这是第一个问题，把它想清楚，那么在考研的时候啊，我们其实非常喜欢考的是这种第二个核心考点。那非常喜欢考什么喜欢考这个人。就叫做多元的复合函数的偏导数计算，非常喜欢考这个人。

哎，这个东西。一旦在题目当中出现了复合函数。那在这里面一定会有中间变量的。要听清楚。只要在这个题目当中出现了复合函数。一定会有中间变量。所以我们的做题方法是什么？我们做题方法就是先对中间变量求导。中间变量再对自变量求导。我先对中间变量求一下，中间变量再对自变量求一下。但是这里面当中，你要想清楚。每一个中间变量都要求一遍。

你如果是一个中间变量呢，比如说我们这里面当中u到这一个人，然后再到后面，你就对这个中间变量，中间变量再求导。那如果有两个中间变量呢，你先对这个中间变量求导，中间变量再求导，你再对这个中间变量求导，中间变量再求导，反正你就记住一个事情，不用进去去画那种什么树形图，那都非常的慢。操作性的方法非常慢。你的核心重点就是这样，

我就是先对中间变量求导，中间变量再求导，能想清楚吧，我先对中间变量求导。中间变量再求导，如果它有一个中间变量求导，那我就是对中间变量求导，中间变量再求导呗，如果有两个呢？你要先对第一个中间变量求导，中间变量再求导，然后再对第二个中间变量求导，中间变量再求导。所以这个方式啊，你别看我刚才说的这句话，

有人觉得非常绕，其实万变不离其宗就是一个事儿。我要对中间变量求导，中间变量再求导。好，就是这个问题。所以这里面我们可以进行去看两个东西，你稍微进行去尝试一下。你比如说我们来看一个题。你先看第一个题。比如说我们写了一个指什么z=x^2，加上呃减去y方吧。好，这个我们来算一下。那么，

请同学们告诉我，这是几个中间变量？你发现z这个人，他直接到x方减y方，然后这个到s到y。树形图的末点是自变量。所以说两个自变量。但只有一个中间变量。只有一个中间变量，所以我只需要对这个中间变量求导，中间变量再求导就行。两个自变量二元函数，那肯定是偏导数来跟我怎么做，那就直接来。先对中间变量求导。

这个人，所以你就求一下，对中间变量求导，中间变量再求导。好了，这个结果，然后再来看看偏z偏y这个人，你继续那还是先对中间变量求导？中间变量再求导负二倍。结束了吗？你这就是这个操作，那所以非常的简单。就是先对中间变量求导，中间变量再求导。那如果在这里面，

我们去算什么？算x的两阶怎么办？你就继续呗。它只有一个中间变量，我只要对中间变量求导，中间变量再求导就行，这个节奏把它做完就行了。那如果两个中间变量，你还要再算两次。好，我们再看，如果再对s求偏导呢，那这个部分就是s函数s函数前导前导的话就是。再对中间变量求导。中间变量再求导，

后面不导，然后再加上前面东西不导，后面来导是二。没问题吧？好，这个结果，然后我们再来看，如果这个人对y进行求两极呢？是这个人。那其实前面是y的函数，后面也是。先对中间变量求导，你再求一下两撇儿，中间变量再求导负200，后面这人不导。

然后再加上前面这个东西，它不倒。后面来导它，刚好是负二。这个能听懂吗？好了，这个东西听明白了，给我回复一，它是不是就是跟我们高等数学上册是一样的呀？只不过是对s求导的时候，把y看成常数就行，对y求导的时候，把s看成常数就行，那是一样的。好了，

这里面我们再算一个，如果他让我们去算这个人呢？这个人叫混合偏导手。混合偏导数的意思就是对s求了之后再对y求，你这个人要对y求。你对y进行求的话，这个2s就是个常数。那就是前面这个人怎么办？你再对y进行去求导。y这个人再求导是多少负二倍？好了，这个东西啊，我们就讲到这儿，所以说像这些问题你都要会做，你都要会求啊，

这个非常重要啊。一定要学会它跟得上吗？行，这是我们讲的这个第一个问题。然后接下来我们再来看一个题，比如说我们再来看看例二。我们说这里面当中有个z。z等于多少呢？z=fuvw。啊，然后这个uvw是谁呢？是x+yx-yx×y。好，这个人那么接下来我们要进行去算什么？我还是要算偏z偏s怎么办？

这个时候你就要想了。你这个时候的z。你能到x+y。你也能到s-y，你也能到s×y，你这个到s，你到y到s到y。到s到y。那么，同学们告诉我，这个人有几个自变量？两个自变量就是一个二元函数。有几个中间变量呢？有三个中间变量。这个时候，

他就要对第一个中间变量求导，中间变量再求导，对第二中间变量求导，中间变量再求导，对第三个中间变量求导，中间变量再求导，你是不是要求三次啊？这个时候你就要求三次了。所以说这个时候我们进行求的时候，你来看看我怎么求啊，我先对第一个人。你对第一个人求导的时候，你不能说上面，我就怎么办？我就说我这个上面进行去打一撇。

你这个打一撇儿，你是对谁进行求导呢？你说不清楚。因为我们要知道是对第一个人进行求导，那所以说在这儿打个角标。所以这叫做对第一个中间变量求导。但是如果一个题出现了多个中间变量的时候，一般这个式子会非常的长。所以我往往会把这个人缩写成这个样子。啊，这要缩写了。其实这个人的庐山真面目，可不是他庐山真面目，是f1撇儿s+ys-ys×y。你这是要想清楚的。

所以我们看先对第一个中间变量求导，中间变量再求导。再对第二个中间变量求导，中间变量再求导是一。你再对第三个中间变量去导，中间变量对s呢？这是y。好了，这是这个事情，能看得懂吧？这是缩写形式哦。那同理而言的话，这个人对y进行求偏导呢，继续。那求y进行对y进行求偏导的话，

就是对第一个中间变量求导，中间变量求导是一对，第二，中间变量求导，中间变量对y求导是负一。你再对第三个中间变量求导，中间变量对什么对y求导是x？能学会吗？好，这是我们讲的这个第一个问题，点把它学会了。那这个会了之后，你可以怎么办？我们可以继续啊，比如说我们再进去求x的两阶，

你会做吗？那s两阶其实就是这个人要再对s求。你再对s求的话，就是第一个人先求，但是第一个人是这三个中介变量。所以说这个时候求的时候就是我们来写了来，我们先看f1，先对它的第一个中间变量求导，再对s求导是一。f1对它的第二个中间变量，求导中间变量对s求导又是一。f1对第三个中间变量求导，再对s求导呢？这是y好了，这是第一个人。

没问题吧，然后接下来我们再看f2这个人是这个人的缩写。所以说接下来我们就要继续写f2，对第一个中间变量求导，中间变量对s求导是1f二，对第二个中间变量求导。中间变量对s求导是1f二，对第三个中间变量求导中间变量对s求导还是一。好呃，这个这个是第三个中间面对s求导值是y啊。好了，那么接下来我们再来看看第三个人，第三个人对于x进行求导y是一个常数。那y是个常数f三一撇儿，是这个人缩写，

你继续f3对第一个中间变量，求导中间变量对y求导是一。f3对第二个中间变量求导，中间变量对y求导是这个什么？这呃对s求导，对s求导的话，这是一。然后接下来我们再来看第3f三，对第三个中间变量求导，中间变量对谁呢？对s求导是谁？是y。能想清楚吗？所以你就记住一个事情，凡是见到多个中间变量的时候，

这三个人是地位等同的，要雨露均沾。对于这个人，求中间变量在求，对于这个人，求中间变量在求，对于这个人，求中间变量在求，所以综合下来其实就是一句话。先对中间变量求导，中间变量再对自变量求导。所以这样的一个链式法则是永远不变的。能学会吗？好掌握清楚给我回复一。好这个人，

所以说牵扯的形式，如果是单中间变量，那就是求一下，再求就行了，如果是多个中间变量，每个人都要求。所以在考题形式当中就会分成以下几种有单中介变量。你看是这个样子。它里面当中没有这个什么逗号。如果是多中间变量。哎，多中间变量里面有逗号。如果是单中间变量，你就是直接对中间变量求导，中间变量再求导就行。

但是你发现多中间变量的时候就会出现这个什么出现第一个第二个这种角标，所以这种情况下会出现角标。这种情况下一定是没有角标的，你要想清楚。好了，像这个问题啊，把它琢磨琢磨跟得上吗？好听明白了，给我回复一。这就是复合函数的偏导数计算，你像这个问题啊，不是说想象那么难。你知道怎么操作就行。可以了吗？来继续啊，

我们来看个题。来做一下这个题吧。眼睛一瞅，这是一个抽象的复合函数。这个抽象的复合函数是单中间变量还是多中间变量？这个抽象的复合函数，它是个单中间变量。没有角标的。所以我们来算一下这个人pn zpns。那这个y就是个常数。然后这个是is函数，这也是你前面s求导是负的s方分之一，后面不导。然后再加上前面不导，后面来导先对中间变量，

求导中间变量再求导。好，我们再来看看第二个人偏z偏y。偏y的话，这个x分之一就是个常数。然后这两个东西呢，乘法求导，那前导后不导。再加上前面不导，后面来导就是先对中间变量，求导中间变量对y求导呢，那是s。所以说这个人呢，就算成这样，跟得上吗？

应该没问题啊，然后接下来我们看这个部分要乘上x比y。这个人要乘上一把它加起来。那这个人乘上x比y，你把它加一下，我们看看这个第一个人。第一个人是多少呢？那这个y就约掉了，那第一个人其实就是负的x分之一，然后这是x分之一，这两东西是不是约掉了？然后这个部分的话是f1撇sy，再乘上一个y，你再加上下面这个人，你下面这个人又是y倍的f1撇sy。

s分之一约掉了嘛，所以说这个结果应该是两倍的y两倍的y这个一撇儿选a。好了没？不难吧啊，这是第100题。啊，还行哦，那么接下来我们再来看看这个下一个题，你下面这个题啊，我觉得比较关键了。那这个题你要进行看看。他说什么？他说是fuv。然后下面又给了这一坨，这一坨是不是u啊？

这一坨是不是v啊？你看你这一坨是u，这一坨是v，我就想问一下你这个f对这个u求导。其实就是f对第一个中间变量求导有没有问题？然后你这个f对u进行去求两项。其实就是我f对中间变量求量项。你同理而言，你f对v进行去求两项，其实就是对第二个中间变量，求两项是对这个整体求了两项。你赞同吗？好，这是第一个问题啊。能听清楚吧。

所以说这个题目其实告诉了什么f1撇撇f二二撇撇一加是一。你就这个结果就题目信息当中告诉了这个人。然后怎么办呢？这个题让我们去算。我们要算什么？我们要算这个鸡呀。对is进行去求两节对吧？然后这个人。还有什么对这个y进行求了解？好，我们先算一级。一阶的话，有两个中间变量，一个中间变量，两个中间变量来先s对第一个中间变量求导，

对s求导的话，这是y。然后对第二个中间变量求导，再对s求导呢，对s求导的话，这是x。然后再看对y对y的话，就是对第一个中间变量求导，对y求导是s。对于第二个中间变量，再对y求导呢？那这人是负y好，这个结果算成这样。那么算成这样了之后，我们再来算一下这个鸡的，

这个人的两节x，这个人的两节。两阶我们继续看y这个人是个常数。y这个人是个常数，然后这个f1撇是什么呢？f1撇这个人的话其实是xy。然后是二分之一x方减去y方这个人的缩写。那所以说这是f1这个人对第一个中间变量，求导你再对s的话就是y。f1对第二个中间变量求导，你再对s呢？那就是x。没问题吧？好这个人。然后继续你这是乘法求导，

后面求导是一前面不导，后面这人不导，前面来导那叫f2。那就是f2这个人对第一个中间变量求导，对什么对s求导，这是y。f2对第二个中间变量求导，对s求导呢？那这是s。好，这个情况会算了吧？好，第一波算完了，然后我们再来算一下这个对y进行求的话，两阶也就这个人在对y。

那x就是个常数啊。f1继续来，这是f1。那就是f1要对第一个中间变量求导，中间变量对谁求导，然后要对y，那就是x。f1对第二个中间变量，求导你这个人要对y你对y求导的话，这是负y。好，继续，然后再来看这两个是乘法求导，那后面求导是一前面不导，这是f2撇。

后面这人不倒f二一撇，再求导f二一撇，求导的话，其实就是这个人在求导。那这人求导的话，我们继续看那首先第一个人f2，先对第一个中间变量求导，那这人对y是sf 2，对第二个中间变量求导对y呢，那这人是负y。这个结果好，这个人会算了吧？好算清楚了给我回复一。就是刚才这些运算呢，你都没有问题的话，

给我回复一。这是最根本的，就是一个耐心。这个耐心非常重要，就是你计算这块题。而且啊，写的认真一点，你写的仔细一点，你不要写的乱七八糟的追求速度，然后最后这个东西啊，你把它做错了，那就崩溃了。然后接下来我们怎么办？把这两个东西加起来。好继续，

然后这两个东西一加是多少？一加的话，你看你这个部分就约掉了，然后这个部分是f1撇撇。那就x方加上y方。然后这两个东西约掉了。然后这个部分的话，你看这个部分。啊这这这里面当中这是正的sy-sy没了，然后后面这个部分是多少是f二二撇撇？然后是x方，再加上y方。所以说就是x方，加上y方提出来，提出来之后就是一撇撇二二撇撇这个结果。

然后这个结果是几呢？这个结果刚才算出来等于一题目给的是一，所以说这个结果正确答案选几啊？好了，这个题啊，我们就说到这跟得上吗？行吧，那么这是这个题呃，刚才有个同学说那个中间变量的问题，我再说一遍。后面的计算其实比较简单了，一定要喜欢转到中间变量。你看他说f对u求一下。那不就是说明f对这一坨求一下吗？没问题吧，

你这里面当中说的f对u球不就是f对这一坨球吗？而你对这一坨求导的话，不就是对第一个中间变量求吗？所以f对u求导。其实就是f对这个第一个中间变量求嘛。一定注意你这两个地位是等同的，你这个v跟这一坨地位是等同的。你不要，你不要说这个，这个人你就算我把这个人写成xy。你上面这个x也是跟下面这个xy地位等同你这个y也是跟二分之一x方减去y方地位等同。听明白了吗？我说清楚了吗？然后也就说你这个整体就是u你这个整体是v那你想你这个整体对v进行求一下。不就是这个f对这一坨求一下吗？

这不是第二个中间变量求导吗？能学会吗？好，这个事情我们就说到这。所以你一定注意哪个人跟哪个人地位等同把这个事情想清楚。好了，这是幺零幺，这个题可以了吧？来再来看看这个题。好，这两题啊，你要稍微注意一下。这道题代表了一个什么题型呢？这个题是这样的一个题。就是你发现。

这是一个什么东西啊？你可以说我们举个例子啊，这个。呃，在学高数上的时候，比如说一个题当中告诉了u+2。等于什么？然后我让你去求f撇s这什么东西啊？这叫复合函数。对吧，这叫复合函数。能听懂吧，复合函数。那就是知道这个复合函数求出原来函数嘛？能想清楚吗？

哎，复合函数求出原来函数。所以接下来呃，你这个你刚才。你这个要没有没有算好啊？你自己再看看吧。那这个。你计算呢，你自己要做扎实。好了，那么接下来我们看看那这种题的核心套路，其实就是什么？这种东西啊，叫做已知复合函数，求出原来函数。

只不过原来在学一元函数当中啊，只有这个x被替换了。但是二元函数有xy把两个人都替换了，这种题的考点叫什么？叫做已知复合函数。求原来函数。你就整体代换就行。对吧，你就代换就行，你把这东西一代换什么东西都出来了。好了，那么接下来我们看看这个题，这个题非常容易啊。一看这个二一年之前的题啊，考的都比较简单。

那这个题。那虽然说容易啊，你得把这个xy进行求出来，对吧？你得把原来的f sy求出来。那我们眼睛一瞅的话，发现你看这是s+y。你这是I减减肥，你怎么办呢？你后面这些东西不就是I减减肥，这是I减减肥。所以以前的题啊。它的考点确实是大到了。就是这个出题的这个方向确实是出好了。但是又有一个问题呢，

他出的太简单了，就很害怕你做不出来。你出个这样的有什么意思啊？你让他进行去转一转，画一画呀。你这样一做的话，我把这人当成u，我这人当成v，这不u成v吗？所以说这就是fx y，其实就等于多少x成本嘛。你对这什么s求导的话，是y你对y求导的话，是ss+y你选c。那么，

这种题它就没有什么难度，但是这个思想答得很好。那么，比如说我们来看看我们这个题。来看这个题，那这个题怎么去处理呢？你发现这个人让我们去求解f对u求导。f对u求导，这就是u，这就是v。f对u求导。其实可以看作成f对第一个中间变量求导。也可以看作成f对第二个中间变量去了，要不这样吧，我们其实如果能把fuv求出来，

那就非常棒了。我就怎么办呢？我就令x+y=u。y比s=v。你看这个情况，就是我把这个东西如果能把fuv求出来，那就太棒了。那所以我们来看看这个s等于多少？那这个时候y就x+x×v=u，那这人不是u比上一+v吗？y这个人等于多少y=s×VS×v就是uv比上一+v。好，这个人那所以说这个时候的话fuv这个人其实就出来了。对吧，那出来之后的话，

这个s方就是u方比上一+v^2。然后再减去多少呢u方v方一+v^2？然后你把这东西整理一下，这是这个部分的平方。你把这个u方提出来，就是一减v方。那所以说fuv就出来了。你约掉一个，你约掉一个加的，你还剩下多少？你还剩下一个减的上面平方差吗？那所以我们来算一下偏f偏u，那偏u的话，其实就是一加v一减v，这是常数，

然后二v。2u，然后接下来我们再来看看偏v这个人呢？偏v这个人的话，其实就是u方这个人是个常数。你下面部分的平方，你上面进行求导乘，下面你减去下面求导乘上面。所以这个结果，然后现在我们要怎么办？我们要算的是偏f偏u这个人在u=1。对吧，然后这个v也等于一处的值，你往里面带，这是零。

然后我们要算这个偏f偏v这个人在u=1 v=1处的值，然后你算。你下面这个部分是四，然后上面这个部分还留了个负二，那就是负二分之一，这个结果，所以这两个人是不是出来了？所以一个人是零，一个人是多少，一个人是负二分之一。所以，正确答案选几啊选d。你其实你发现一个事儿，你看这两题像不像？你像不像？

这不一样的吗？两个题考的是什么？考的内核是一样的。核心思想一样不一样不一样的吗？那这两个东西都给了一个，什么都给了一个复合函数。让你去求解原来函数的导函数。那这东西不就一样，它唯一进行在这里面当中进行增加的一个问题是什么？它唯一在这里面当中进行去增加的，增加的就是。上面这个题啊，一眼就看出来了。下面这个题啊，没有看出来，

得换一下，哎呀，你你就你就会发现这就是以前的老头子，我为什么把这个题筛选起来？就是这个题的思想是考的很好的。你说做题一定要把它做到位，你想想以前的话，考的题，这老头子就明显会发现，哎呀，特别害怕你做不出来。做不出来，非常担心呐。所以能出成这样的一个破题s+ys-y，这s+y乘上s-y。

你看这种题。当然，我们像这个题啊，我们还有一个方法来做。那么，接下来我们就继续，我们再来看一个。还有没有呢？还有。那像这个题目，你就会发现。你这是不是就是有啊，但是刚才那个方法是直接方法。这个方法是直接性的方法。非常直接。

给了一个复合函数，我就把原来函数求出来。那还有没有方法呢？我觉得有，你看这个人。这不是u吗？这是v那f对u求导什么意思啊？不就是f对d1坨求导吗？对第一个坨求导的话，而且要保证第一坨等于一，第二坨等于一。然后第二个人呢，不就是对第二坨求导吗？要保证第一坨等于一，第二坨等于一。

是不是求出这个人？你能理解我的意思吗？我就要对这个真题求导。我要对你这个is+y求导。而且你s+y你要等于y比s要等于。是不是这个情况，所以说接下来我们看看那这里面当中可以怎么办呢？你这很明显是对中间变量求导，非常简单，对自变量求导就会经过中间变量求导。对自变量求导，就会经过中间变量求导，我让这两个人呢两边同时对s，先对第一个中间变量求导。中间变量求导是一再对第二中间变量求导，

中间变量y是常数x方分之负一。然后对s求导，这是二s，然后两边再对y求导f，对第一个中间变量求导y求导是一再对第二中间变量求导，这是s分之一。然后对y求导，这是2y。负2y那现在是什么情况？你现在你要注意你这里面当中的f1撇是x+YY。y比s缩写，你要想让这个人等于一，这个人等于一，你必须要令什么东西啊，你要令这个x和y都要等于二分之一。

你要令这里面当中两个人都要等于二分之一，你这样才可以，所以这样一带的话，这人是一，这是一。然后这个时候呢。你再来算一下这个部分。二分之一，这是负四，那这个东西负二f二撇儿一这个整，然后这是一。然后f1撇，这是一一，然后这个东西呢，就加上二倍的f2撇一一这个人，

它等于多少负一？所以把这两个东西一+1加的话，你就会发现这个人是零。然后这个人是零的话，它就出来了。如果你是零，这是负二分之一。所以一个结果是零，一个结果是负二分之一答案选d。可以吧，哎，这种问题啊，你这样做也是可以的。所以这样做，它也是一种非常好非常好的一种方式。

当然，像刚才的这种第一种方式啊，它比较直接，就是这个板块东西当中一定要区分开。中间变量还是自变量，你一定要把这个东西搞清楚了之后啊，它其实非常的简单啊。好了，像这种问题啊，第二个方法一定要去品一品。因为第二个方法会帮着你进行去细致的进行去理解，这里面当中操作。你要想清楚，反正你将来过程当中，你见到这个问题一定是这样诶，

我一看这是复合函数。你要是看不出来这个东西，复合函数这都不行，这两个方法都得会啊，你不要说第一个会，第二个不会，这两个东西都得会。你这第二个又没有怎么样？不要大脑里面呃，再也接受不了这种新鲜事物了，这可不行。我知道还有60天。对吧，你虽然还有这么多天的话，但是我觉得大脑里面当中一定每天都能有这种非常亢奋的这种状态，

继续去接受这种新的东西，这非常重要。这个也不难。只要你理解了，中间变量都好办。行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这。然后下节课我们肯定是把高等数学结束了。啊，下节课高等数学就结束了。那么，下节课的话，这个高等数学后面还剩下几个问题呢？我一个事情还会讲一个这种套娃形式的，

这种复合函数怎么去计算？这讲一个问题。然后是一个二元隐函数。然后是无条件起止。对吧，无条件极值。那么，这些问题讲完了之后，我们多元微分学就讲完了。然后紧接着我们去开始看概率。那么刚才说那个高等数学，后面还有几个问题啊，一个事情是经济学运用。一个事情是中值定理，你不要着急，

我会把这个部分的问题放到所有问题的，最后我们再来讲。你听清楚吧，我们调整一下这个状态，抓大头。能理解吧，抓大头你们就学就行了，这课程不是你们担心的事情啊。你们不用担心这个课，你每节课学的舒舒服服的。所以你们不用担心这个事情啊，这个后面的话，我可以加几节课程就行了。你不用担心这个问题啊。如果说你这个朝朝夕节把它讲完，

你每个点的话，你把它吃透嘛，对吧？这最后一个阶段了。还有一个事情，那个模拟卷我们会周五发，又没有答案，你提前你提前做了之后，你又对不了答案，你说你多难受啊。你就放到那个，到了那个周日，然后到了那个周日啊，然后再一起进行去模考，模考完了之后啊，

你去把答案一对，然后的话我看看是下午还是第二天，我就把它一讲。啊，你不用着急，每周我们现在测一次，然后等我们把冲刺救命班全部结束了之后，我们就是一周应该是三天会测一次。啊，三天测一次，这个状态就会更好了。能听懂吧，你先不着急，你先把每一块儿给我打扎实，每一块儿打扎实，

然后到了这个11月份呢。我们再进行去集中的进行去大模考啊，我相信这一个月下去之后啊，把自己不会的东西啊，查漏补缺什么东西都上来了。啊，不用着急，你先把每个点呢，你先做到位，然后最近一段时间我们都是一个周先测一次。好了，那么这个问题啊，我们就讲到这，所以说你得保证一个事情，要把这些问题啊当做成最后一遍进行学习。

一定要把这个东西啊，当做成最后一遍进行学习，所以等到我们把这个冲刺救命班的课程结束了之后。你心里一定要知道一件事情，你至少保证我们不说100%吧，80%的。题型的方法都是在脑子里面。然后再进行去集中的进行去模考，我相信这个问题啊，就不大了。好了，那么这个问题我们就说到这，然后下节课我们就会把高等数学的剩下部分内容我们全部结束，你结束完了之后我们就来看看这个概率论啊。这个部分内容。

那行吧，那么今天课程我们就讲到这。行吧呃，基本上是这样。呃，看看那个，到时候我们是那个十套卷吧，我其实是想这样，就是我们从八点半刚好模考到这个十点钟。模考到实践中啊，我们就呃，后面的话一到了。这个冲刺救命班的时候。的第二阶段，我们进行那个。

呃，到那个十套卷的模考的时候啊，就是那个第二个阶段。第二阶段的时候，我们进去就模考，从八点半刚好磨到这个十点钟，我就想从那个10点10分。开始讲怎么样？10点10分就讲到这个12点10分。啊，这样进行讲，就是你模考完，你赶紧进行去对一下答案，或者下午讲也行呃，我觉得可以自己进去去想一想，

想一想了之后，我们下午再讲一些。行吧，到时候我们再看吧。因为十套卷的答案是非常详细的。啊，到时候啊，那个呃十套卷的模那个那个答案是非常详细的啊，你们还要加逻辑和写作是吧？行吧，那那行。那我们就下午讲啊，反正的话，这个到十套卷呢，除非我当天的话，

那个课太满了。我有可能会放到第二天，一般都会放到这个下午讲。那行吧，那么我们就说一下。那行行行啊，有些同学可能想拼一下这个逻辑和写作，我们那个卷子里面只有这个数学。那行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这，先不着急啊，这个高等数学结束了之后啊，也就预示着我们的冲刺救命班的课程。快结束了。

你要知道后面的线性代数，还有概率论这个部分的东西啊，不是说特别多，尤其是概率论。概率论的东西是最少的。行吧，好了，那么今天课程呢？我们就讲到这儿，然后自己下去把相对的问题好好处理处理啊。那么今天课程呢？我们就说到这。十套卷是那个官方出版物？啊，那个是在高等教育出版社出版物，

你们都会收到那个不用进去去呃，可能现在那个淘宝啦，或者这个京东啦，或当当啦很多这种电商上面都有这个预售。你们不用买。能理解吧，你们不用买啊。不用买这个，你们就等着，到时候我们进去去发货就行了，你去看一下，之前我给你排的那个时时间表就在那个时间表之前呢，你会收到这个就行了。好吧，你们不用买哦。

那都是纸质的。好了，那么今天课程呢？我们就讲到这儿，我觉得今天比较关键的偏导数计算。还有这里面当中连续可导可维的问题。对吧，连续可导可微的问题，把这些东西啊，你好好进行去梳理梳理，我不希望同学们下次过程当中这种点还是问题点。行吧，好，那么今天课程呢？我们就讲到这，

我现在去导吧，我我上次我也导的很早，然后的话，这个助教可能他们在做实验。然后上次我把那个发给的这个教务啊，然后回头我问了一下教务，后来教务给传了一下啊。行吧，我现在去传吧，你差不多是半个小时。以后的话，你就差不多是半个小时的，这个时间你去下载就行。好，那么今天课程呢？

我们就讲到这行不行？好自己下去把这个相对问题好好处理，处理好下节课继续吧。哦，对了，还有一个问题啊，就是。我说一下那个。啊呃，上次有一个题啊，是这个题这个部分呢？是一个减号，后来改了一下，你下去把这个题再算一下。你自己再算一下。

可以吧，就上一套卷子，因为这里面当中的话，这个呃，这个他们敲的话，我其实我写的时候这是这个减号，你把这个东西再算一下，你把这页页截个图吧。截个图下去，你再把这个页面再算一算。没有参加模考的同学，你后面再做就行，如果参加模考的同学，你下去把这个东西啊，你再算一下。

那行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这儿，因为这个题很具有创新性，我们没有怎么进行去考过这种类型问题。好吧，同学们好，下节课见吧。

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