13.冲刺串讲13-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:05:07

好，接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测试下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题，我们就准备开始了。呃，上次过程当中啊，我们刚好讲的这个，也就是昨天我们刚好讲到哪儿呢？其实就讲到这个多元函数的微分学这个板块内容。那么这个今天呢？我们还会继续跟着这个知识点呢，

继续往下来，那么在昨天过程当中，我们讲了这个第一个问题，多元微分学的这样的一个基本概念。里面当中包括几个事情呢？一个事情是二重极限，一个事情是二元函数的连续性，一个事情是二元函数偏导数的存在性。然后最后一个问题啊，是可微星那这个知识点对很多同学而言非常非常的关键。所以我们每年过程当中一定会出题的，有的时候会出一道，有的时候会出两道，那么像这个问题啊，我们在这个今天过程当中，

我们把这个后面反馈的东西啊，我们再跟同学们去梳理一下。然后相信这个知识点呢，你就把它当做成最后一遍，然后进行学习。那这个今天上午啊呃，我还专门的。因为最近私信比较多，然后这个今天中午啊，我稍微的专门抽出了一些时间，然后给很多同学回复了一下，然后稍微的话，近期就回复了这个呃，可能里面微博啦，还有这个小红书回复的比较多一点。

然后今天的话，我还专门转了一条，一个同学，他发的这个消息，我觉得非常好，有的人就回复说这个多元微分学啊，他觉得呃，每次这个模考都会出现问题。然后怎么办呢？他就进行去把这个基础的强化的，还有这里面当中习题当中啊，所涉及的多元微分选。你当然前提你得把知识点过关，然后再把这些东西统一的进去，去刷一下，

就是我一直给你们讲的刻意练习法。你把这个东西通关过去之后啊，哎，你相信这个知识点其实就没什么问题，那回到我们今天课程也是这样。你就把当这个知识点呢，当做成最后一遍去学习，对吧？你就当做成最后一遍，把每一个知识点呢，你学清楚。然后接下来怎么办？你就进行训练就行。而且这个训练啊，你一定要刻意训练。

那我相信到了这个最后一个阶段，你比如说我们到时候我们也去做模拟卷，你做模拟卷的时候你不可能说每一个知识点都有问题。你要每个知识点都有问题啊，你这个基础是不是有点问题啊？你不是基础问题，你是每个阶段都有问题，那相信你也没有投入多少时间。那这种同学我不相信啊，我不相信每一个板块都有问题。你可能是个别的知识点有问题，而且你通过磨了好多套卷子了之后啊，你发现很多部分知识点出现了共性的问题。对吧，共性问题，

比如说我就是定积分的应用出现了问题，你就把这些点呢，你自己好好重点的进行去突破。比如说我觉得诶，这里面当中的极值和拐点的问题，有问题你就把这个知识点呢，做重点突破，这就是我们最后一个阶段的意义啊。你错了多少，其实是无所谓的，好了，不多说了，我们接下来继续，我们再来看看下一个问题，那么先来看看二重极限。

那么，首先我们先看第一个问题，二，重极限表达的意义是什么呀？那非常简单，只要见到一个二重极限，就相当于见到了无数多条曲线方式，能听懂我的意思吗？所以说你要想清楚，我只要见到这个二重极限呢，我就能看到有无数多条趋向往这个点跑，对吧？有无数多条趋向？那么这里面你要想清楚一个问题，你比如说x趋向0y趋向零应该是xy不同时为零。

但是某一个人呢？他是可以等于零的。我有一个人可以等于零，另外一个人不为零就行，所以说这个东西啊，它叫做什么？它这个东西不是说这个都不能为零，叫做不同时为零。能理解吧，好这个知识点呢，你把它讲清楚。然后讲完了这个东西了之后啊，我们又讲了一个问题，你看当我们见到了一个二重极限，如果这个二重极限等于70，

应该是每一条趋向线都会等于70。没问题吧，然后我们再来看看下一个问题，你发现上节课我们讲的一个重点内容就在这儿，如何判定一个二重极限不存在呢？你在这里面当中操作啊，你可以这样找到一条趋向不存在。或者怎么办？找到两条趋向不相等。你找一个方向不存在，那就不存在，你或者找到两条方向不相等，那也会不存在，但是这个问题啊，你其实你发现。

所有的问题回到什么呢？回到这个尝试上可能就会稍微的难一点点了，你自己下去啊，多进去去把它磨一磨。好了，这个问题啊，我们就不多说了，那么接下来我们就继续，我们再来看看这个今天部分内容。那么，上次过程当中，我们刚好讲的这个问题，还剩下一个知识点叫做如何进去去求二重极限问题？那这样吧，我还是在这里面。

还是给同学们一个题，我们再来练一下啊。好了，那么接下来我们继续，我们再来看一个问题。比如说这里面当中啊，我们来出一个题呃例一吧。呃，上次过程我们基本上就进行去处理了，这些问题，比如说我们再来看一个s趋向0y趋向零。然后这个部分呢，我们写了一个x方，加上y方。然后这个人的平方。

然后再来比上一个xy，你看这个二重极限等于多少？你想清楚一个问题啊，有些同学可能看到了，说什么上面这东西是四阶，下面这东西是二阶。他就会觉得这个结果它是等于零。你注意这个不对。这个可未必等于零。因为你要想清楚，二重极限是没有阶的，一重极限才有阶，二重极限没有阶。你不要在这里面当中认为哦，这是四阶，

这是二阶，这连一比就是零，这不对。二重极限没有解。但是我们想清楚一个事情。我一看上面是四阶，你下面是二阶，当我去取什么东西呢？当我去取一次函数的时候。它是不是还是二阶四阶比二阶啊？同学们告诉我对还是不对？我这句话没问题吧，当我进去去取什么东西呢？当我进去去取一次函数去向的时候，你还是这样。

第一次函数趋向你还是四阶比二阶，那这个时候是什么呢？那这个部分的话，当s趋向零的时候，你发现是四倍的s四次方比上这个平方哦，这是零。那就说明沿着这个一次函数去向的时候啊，它会是零。但是你能说所有去向都是零吗？那我们还得看那在这里面当中，我们再来看看这个曲线，比如说y=sk次方。那k次方趋向的时候，当s趋向零，你自己瞅一下，

然后这是s的k+1次方，然后这个部分呢是？是x方加上x的2k次方，这能平方那同学们想想一个事情。你这是二次方，你这是2k次方2k，这个人呐，很容易就超过了二。没问题吧，你这个2k啊，很容易就超过了二。你很容易超过了二，最后而言何取DJ谁说的算呢？是前面说的算，所以说前面这个人呢，

应该是四次方说的算，下面这个人呢，应该是k+1次方说的算。大家想想这个k+1有没有可能有一天超过这个字？那当然可能了，你想想如果这个k+1超过了四。我就取这个k等于几呢？我就取k=4，所以说这个时候你想想，如果我取的就是四次方，那这个时候它其实就变成了当s趋向零。s的五次方，然后这是平方，再加上s八次方的这个平方，同学们想想上面这个人的核心重点是几次方？

是二次方是四次方，那低阶比高阶是不是无穷大？所以说这个二重极限呢，是不存在的。要跟上这个事情，我找到一个方向，不存在就不存在，或者我说找到两个方向不相等，它也是不存在。所以像这种问题啊，有些同学学到这个二重极限，还用接着思想进行去判定呢，这是有一个问题的。这是有问题的，你一看这是四节，

你一看这是二节，你就说这个结果是零呢，这是个大错特错的一个点。绝对不对，你用起来，你这个知识点学的不扎实，比如说四阶二阶，结果是零，这不对。那只能说什么东西呢？如果你看到四阶和二阶，你只能说当我去取什么，我去取一次函数的去向的时候。取一次函数的去向的时候，它还是四阶比二阶，

这是零。你要听清楚哦，如果一判定哦，这是四阶比二阶，我只能说什么一次函数的去向的时候还是四阶比二阶，它是零。我一看这是同解，我知道一次函数去向的时候，它还是同解存在，但是跟k有关，它就不存在了。能理解吧，如果这是第一阶比高阶取一次函数的去向的时候，还是第一阶比高阶，这是无穷大。

想清楚把这个问题啊，你琢磨清楚就行，过去了可以吗？好，这是我们讲的这个第一个问题啊。那么，接下来我们再来看看下一个知识点如何进行去求解二重极限呢？那这个问题啊，其实算一个难点，一个小难点。那通常性的这个计算方法有哪些呢？我们把这个东西啊，我们稍微跟同学们进行去梳理一下好吧，我们来总结一下。那么，

首先我们先来看看常规的第一种方法。方法一啊，当然呢，我们还会进进行定型的，你只要碰到极限呢。你肯定是先定型后进行定吧。一定是这样，定型再定法，它肯定是这样的一个思路，但是你要想清楚。我们在通常的考题当中，我们已经不是一个基础班同学了，我们已经到了这个冲刺班。那你想想我们在这个定型的过程当中，你看了这么多的题，

其实你基本上定下来都是什么未定式？所以你你大致的看一下就行了，我们不把这个东西写到这儿，那么首先第一种方法你可以怎么办？你是否可以使用等价无穷小代换呢？是不可以，你是可以做等价无穷大代换的。如果这个人趋向零，我为什么不能代换呢？好了，这是第一种，然后我们再来看看第二种，那还有什么呢？你比如说我们碰到一些题。比如说我们碰到这个什么这个limit项目不管了，

然后这是s in多少x方加上y方，然后这是一减去多少cos x方加上y方。同学们，想想这个x方都是x方，加上y方，你能不能把x方加上y方换成u啊？你可以啊。那怎么办？整体带宽。化为移除极限。对吧，这样的一个方式，所以这个操作它也是可以的。然后在这里面当中，我们继续看，

其实这个方法还有一件事情更重要，然后第三个事情。方法三无穷，小乘以这个什么有界变量。等于多少呢？无穷小。这个方法更重要。所以这里面当中会涉及有界变量的问题，所以在这里面当中啊，我们把这个东西啊注到这儿。如何？如何？判定一个。有界变量。你怎么去判定呢？

如果我这个人是个有界变量，我怎么进去去判断这个人是个有界变量呢？那这个点呢？很重要，写成我喜欢的绿色。你怎么判定的？那是这样判断一个人有没有戒啊？其实就是看看这个人能否被两条线给夹住。你到底能不能被两条线夹住？如果你能被两条线夹住，你就有解。所以我们通常性的方式啊，其实这样就是把这个量。加个绝对值。如果加个绝对值之后，

它小于等于个数，我就说什么东西啊，我就说这个东西啊，唯一一个什么东西呢，唯一一个有界变量。好，这个问题，所以在这里面当中啊，就会牵扯一些不等式的放缩性问题。那么，在这里面，比如说我们来看看第一组。你像这里面当中，如果遇到了x方，x方加上y方这个人。

有没有接呢？你可以很容易看呐，你看这是x方，然后这是x方，加上y方。你可以怎么办？把这个y方不要了，因为下面这个人是大于零，你把下面不要了，下面变小了，结果就变大了。然后这个东西是一。你绝对值小于等于一啊，它就有界，然后还有一个事情，

你比如说y方这个人，他也是有界这两个东西啊，都是个有界变量。跟得上吧，好了，我们继续看，你再看，如果这里面当中我们写个什么写个x，这是根号下x方，加上y方有没有接呢？那这个人也可以啊，你看我给他加个绝对值，加个绝对值了之后，我把这个y不要了，你下面变小了，

结果变大了。所以说这个结果就变成了这样子，然后它是一那这人是不是也是有机啊？你同理而言y这个人呢？这是一样的对称的嘛？也是一个有界变量。那么，其实像这种问题啊，还有一些对吧？其实非常多。那么，剩下像这种点，我们可以总结出来，非常的简单。那还有一些稍微麻烦一点东西呢，

我们就会设计一些，比如说我举个例子，我写一个。你看这个人。这个人有没有解啊？有见没有见。你看这个人，那这种情况怎么办呢？我们来看看，这是sy。有没有进？没有接吗？你稍微进行看看。不是我没有让你求极限，你看有些人都没看懂我在干嘛？

这是一个极限题吗？不是，这怎么能看得出来他是？它是一个不存在呢，你们在干嘛呢？不是，你到底在干嘛？我没有求极限呐，我极限的符号在哪？我没有让你说x趋向0y趋向零求这个人极限，我没有让你在做这个极限。我再让你去看看这个函数是不是一个有界变量，你把这个方向性都搞搞错了。那照你这样说的话，这第一个人的话就是不存在呀。

我没有让你做极限，我让你看看这个东西是不是有界的？哎呀，你这好好听课对吧？你这下午没睡醒吗？你清醒一下啊，你清醒了吗？你注意一下，再过这个呃，两个月这个点儿你一件事情，要不这个这一天呢？你在考英语。你要不然再怎么办？考专业课。难道你要睡觉吗？

你可不行啊，来我们继续看，我们可以用一个不等式放错呀，你像x方加上y方这个东西是大于等于二倍的xy吧？是不是这个情况，你绝对不会打他。其实你也是比这个绝对值大的。这没问题的。你想想我比什么东西呢？我肯定比2 sy在进行大呀，我也比什么东西呢？我也比这个负的2 sy大呀。这不一样的吗？能想清楚吗？所以我可以放啊，

我一放是什么放成多少呢？我就把这个sy放成了这个s方，加上y方，然后再乘上多少？二分之一。能想清楚吧，我一放就放成了二分之一，我放成了二分之一，有没有界啊？绝对值小于个数，那当然是有界的，你看这个人。也是个有节的。你像这种问题啊，它就稍微的难一点了。

你需要怎么办呢？你在这里面当中进行去调节量，然后进行去把它进行放松，像这种点呢，稍微会难一些。好了没？好了，这是有界变量，跟得上吧，你下去多想想。啊，常见的有界变量。其实我们考研考的这些形式啊，你基本上就喜欢考这些人。好，

这个问题。你总结一下，我问一下，因为我们已经学了这么久了，尤其是很多同学这个基础打的还挺好，我问一个问题啊。为什么我们喜欢就考这类的机械呢？为什么我们为什么喜欢考这类的机器人？很简单，因为我们将来的话，判断什么东西啊，可微你下面是不是要比上一个x方加上y方啊？是不是你判断可微，下面比上这个人？比上这个人有可能上面也有个根号，

下x方加上y方下来了，它就变成了x方加y方，如果没有就是一个根号。所以我们就其实啊，考研的时候就喜欢考这些人，你把这些人研究清楚了之后，我们基本上考题的部分东西啊，不就出来了嘛。不是说不然两分钟内做不出来，胡扯。这叫什么理由啊？你看你还没有打通，因为考研的点，他就喜欢考这个，我们这个东西的最重要的作用就是为了判断后面的可为性。

你要注意啊，判断可微信经常就会题目当中出现这些点。你自己研究一下，你就知道了啊。好了，这是我们讲的这个问题，还有这里面当中的方法四。还可以，什么加b准则？啊加b。加倍准则啊，也是一个非常好的方式。就是你把这个东西啊，加一下。你放大了之后的极限是零，

你缩小的极限，结果如果也是零，它就是零，所以我们通常使用加倍准则，怎么用呢？我们喜欢这样用。直接进行放松的时候非常的麻烦，我们喜欢这样办，你听好了，我们喜欢给它加上绝对值。把这个东西加上，绝对值了，之后我们然后把它放大。放大为什么加上绝对值放大好办呢？因为加热绝对值之后，

它就是正的，你正的之后放松非常简单。然后我把它放缩成一个东西。然后这个东西的极限将会是零。通常考这个操作。那你想你这半边儿是零绝对值又大于等于零，所以说这个绝对值的极限是不是零？能听懂吧，我问一下。绝对值的极限是零，本身的极限是不是零？是不是当然是绝对值的极限是零，本身是零，我们说如果这个极限是a绝对值的极限是a的绝对值不能回推。只有一种情况可以回推，

就是等于零的时候可以回推。所以这种加逼准则这个方式啊，也是喜欢考的，就是我给你加个绝对值，然后把你放大，放大了之后这个人的极限是零。而你又大于等于零绝对值的极限，就是零绝对值极限是零本身极限就是零，所以很喜欢考，那我又问一个事情，为什么喜欢考零呢？为什么你不琢磨你的真题，你不琢磨你那考法，你在这里面当中，你肯定很难学进去啊，

为什么？为什么喜欢考林？可危可危，我跟你讲一个事情，我们学了这一节最重要的作用，其实就是为了后面的可危性的判定。后面的可悲，我们其实判定呢，核心重点就两个结果，你要不然是零，你要不然不是零，你是零，你可悲，你不是零，你不可悲。

你听得懂我的意思吗？所以说你看我们在讲的时候啊，讲这些东西一定要跟我们的题目进行挂钩，我们要知道我们怎么去用。所以说你要听清楚，我在上课过程当中啊，说的这些问题好了，这几个点呢，我们就讲到这儿可以了吧？好，你要想清楚啊。所以接下来我们再来做几个题吧。来看几个。呃，上节课刚好做到什么呢？

就做到这个。啊，就做到这里面当中的。第三题做了对吧？然后剩下的题还没有完成，我们把这几个题啊，我们再来做一下。好，我们先来看看这里面当中的第一个人。第一个简不简单？第二个简不简单。第一个简单吧，第一个你怎么写？你就把这个人写成x乘上平方，比上x方加上y方。

那这个人其实就是著名的有界吧。然后前面这个人极限是零无穷，小乘有界无穷小极限，结果是零。这个已经做过了，这上节课讲的不存在啊，我不讲了。然后再看这是不是经典的有界啊？无穷小乘又借无穷小极限是零吧。好，这个结果。然后接下来我们再来看看第三个人啊，第四个人，第四个人怎么做呢？第四个人的话，

你稍微进行去整理一下，里面是不是零阿尔克摊这里框立即等价无效框，所以说这个结果就做成了这样。然后这个时候怎么办呢？你可以稍微进行去品一下，你当s趋向0y趋向零的时候，这个人不就是我们这里面当中的第一个人吗？你可以写成x乘上x方啊。是吧，然后这个东西可以写成y乘上y方啊x方加上y方，然后这个结果你去看看。这个部分是不是有界的？这个部分是不是有界的无穷小乘，有界无穷小无穷，小乘有界无穷小就是零+0，

这个结果是几啊是零？你所以说这个结果是零。所以你多做做这种题，对吧？它的结果是零或者不存在，其实重心方向就要放到这上面，因为后面的判断的可威性的重点其实就是在这。好了，这个点呢，我们就讲到这儿多去分析啊。你多分析分析，你就可以了，你再加上上节课讲的这些东西啊，你足以处理我们考研当中的这些题啊，它不会考到非常非常的麻烦。

好了，这是我们讲的这个第一个事情，然后接下来我们再来看第二个问题连续性。连续性问题。连续性呢，首先我们先看第一个点。连续性最重要的问题就是如何判断连续性。大家告诉我怎么判定连续性啊？连续性怎么判定呢？如何判断连续性，利用定义吧，所以说我们看看连续的定义。二元。函数连续的定义。啊，

这是第一个问题。那什么叫连续呢？连续非常简单，连续就是极限等于函数值。只不过现在而言的话是几冲极限呢？是二冲极限。趋向于这个点。大家都知道极限跟这个点处的值没有关系吧？你极限，我们趋向这个点没有到这个点吧，极限跟这个点处的值啊，没有关系，一旦这个极限等于该点处的值啊。我们就可以说什么，我们就可以说这个函数怎么了？

这个函数在这个点处啊，是连续的。所以说它就会得到这个点处，它是个连续的问题。是非常简单。就是极限等于函数值，如果从理解的角度上而言非常简单，这个理解的角度上而言，你看我上节课其实做了一半工作。为什么说简单呢？因为上节课做了一半儿，这节课怎么办？你只需要把这个东西跟函数值进行挂钩起来就行。那么，接下来我们来看看这个事儿，

比如说你发现这里面当中有一个点。对吧，这有个点假设这个点是多少？这个点是x0y零点。那首先第一件事情。如果连续极限肯定是存在的吧。函数值肯定是存在的吧，它们是相等的啊，这件事情跟一元函数是一样，那你想如果趋向于这个点处的极限是存在的。它应该是个什么情况？比如说我们这幅图。好，大家来给我看，你请告诉我这幅图的极限存不存在？

存在不存在，就这幅图。极限存在吗？这个点是掏空的点哦。你存不存在？当然存在啊，你沿着这条线往它跑，它就顺着这个人跑到了a，你沿着这条线往它跑，它就顺着这条线跑到了a。你沿着这条线往它跑，你就顺着这条线跑到a，你从四面八方往这点跑。那这个时候怎么办？我就从四面八方聚集为那我这个极限就是a啊。

你要想连续的话，极限得等于函数值，说明这个点处的函数值必须是a这个点处的函数值是不是补住了这个洞啊？能听懂吗？所以掏空了这个点极限，肯定是存在的。然后函数值补助这个洞，它就导致了连续，那连续是什么一元函数的连续就是在这个点处不断。二元函数的连续就是个面，说明在这个点处，它也不断。能理解吧，你看在这个点处啊，它没有端。

好了，这个问题啊，我们就讲到这儿跟得上吗？连续就是极限等于函数值。只要你极限等于函数值，它就是连续的。那么在这里面，我们就要想清楚一个问题，你要想清楚它的理解，二元函数连续的理解性问题，好，我们再来看下一个问题。第二点二元函数连续的理解。那么，首先我们先看第一个问题。

你想想二元函数这个连续啊，它是这个意思，它说我这个起冲极限呢，同学们。这是一个几重极限，这是一个二重极限吧。它说这个二重极限等于函数值。根据我们上节课讲的这个连呃，这个什么二重极限的理解，那二重极限等于函数值，那就说明每一个方向都得等于函数值啊。是不是你每一个方向都得等于函数值啊？所以这个时候我们其实就要发现，你看我来画一个二维的d卡坐标，系我在这儿给一个点。

假设这个点这是s0，然后这个点是y0。你看这个点，他要想在这个点处连续他每一个方向都连续，因为二重极限等于函数值。这个方向是不是得等于函数值？这个方向是不是得等于函数值这个方向，这个方向，这每一个方向都要等于函数值。每一个方向都要等于这个点函数值。那同学们想想一个问题，你看。这里面当中的这个方向。如果是这个方向xy就有关系了。xy 1旦有关系，

就不是二重极限了，因为你的y就可以用x替换了。你还记得吗？比如说我沿y=s把y都替换成s，就变成一除以几。每个方向都是一冲极限。每个方向都等于函数值，这个方向等于函数值，这个方向等于函数值，这个方向等于函数值，这个方向等于函数值。每个方向都等于函数值，说明每个方向都是几元函数连续啊。每个方向都是一元函数，连续吧。

所以你要想清楚，二元函数连续的这个理解是什么？我们就住到这儿。它的要求是每个方向都连续。每一个方向都连续。而且每一个方向。方向都是一元函数。的连续好注意这个问题。所以我们这里面当中其实就有要求，你要是个二元函数连续啊，你每个方向都得等于函数值，你每个方向都等于函数值，每个方向都是一元函数连续。所以要想清楚你这个二元函数连续啊，应该是这个点的每一个方向都连续好学简单一点。

二元函数连续怎么判定？判定非常简单，就是极限求加等不等于函数值。然后怎么去理解呢？每一个方向都连续就行，每个方向都得到函数值，可以了吗？同学们好，这个点呢，掌握清楚给我回复一。第一个问题。那么，接下来我们就来看看今天的重点，我们的考研呢，一定会考这个知识点。

100%会考，所以说像这个偏导数的这个定义啊，你不会写简直就是一个bug，所以我们先来看看这里面当中的第一个问题。偏导数的定义。好，我们先看第一个问题。偏导数的定义。好，先看第一个问题。那偏导数是怎么定义？我们基本上学的是什么？我们学的二元函数。学习会二元函数的偏导数定义就行。所以这是我们要学习的第一个问题，

然后第二件事情我们再去理解偏导数的这个几何意义，我们先看定义吧。什么是偏导数？首先第一件事情，我们先来看一个表达符号的问题。你自己注意了。我们这个东西就像基础班一样了。你看我们写一个这个二元函数。对as偏导数是不是可以这样写啊？对as偏导数是不是也可以这样写啊？对as偏导数是不是也可以这样写啊？这三个人都是一样，你写成最简二元函数的样子z对sf对s，然后是偏z偏s是一样的。都表示了z对s的偏导数。

那如果这里面我给你一个二元函数。假设是这个人。那请告诉我，我们这个东西怎么写呢？你看我可以写这样。偏z偏s这个人。它在x=x 0 y=y零处的值。可以这样写吧，你这样写的意思跟我这样写的意思是一样的。跟得上吗？s偏导数在s0y0处的结果，这两个东西是一样的。那么，接下来我们看看这个偏导数是怎么定义的呢？偏导数是这样定义的。

你看看他怎么写的是这样写？limit定义当中就是这样说的。说什么呢？说fx wedding。减去fx 0。比上s-s 0s趋向s0。大家学会了吗？什么意思呢？你可以这样看大家想想。这里面当中是不是把y就代成了y0呢？把y代成了y0 fs，减去fs 0比上s-s 0s，趋向s0。这个东西是什么意思啊？这个东西的意思的话，

其实你发现是几元函数求导。是一元函数吧，第一步先把y代成了y0。然后第二步我们再去求什么呢？我再去求这里面当中的这个一元函数。在什么东西呢？在x=x零处的导函数结果。就是这个人，所以说这个结果的话，他是怎么算的呢？他是这样算。其实就是我先把这个y0带进去，告诉我这是个几元函数，一元函数求导，那当然是用d。

然后对s求导，在x=x零处，结果好了，同学们告诉我这个页面听懂了吗？能否听懂。好，掌握清楚给我回复一。能理解吗？哎，所以说你发现这个部分东西啊，你学到今天，如果你不会呀，这就有点尴尬了。你肯定会的。所以说我们在做题的时候，

你发现有第一种问题的方式。对吧，第一种情况。第一种情况，比如说我可以怎么办？我可以先带后求啊。那么，第一种方法就是先带后求。比如说在这里面当中，我们出一个例题，你假设这种例题。我们就以去年的例题为例。啊，稍等一下，我找一下。

我们就以这个题为例。好，我们先看第一个事情。假设这里面当中，这是例一。好，这个人那这个人如果让我们去求解临处的偏导数，你可以怎么办呢？你可以进行去回到这个偏导数的根本上。你偏导数的这个定义就是什么呢？你要想继续求x什么的，你求x偏导数在零零处的值。还有求y的偏导数在零零处的值。你可以这样摆，我可以如果去求x偏导数的话，

是这样，我先把y=0带进去。y=0，一旦代进去，它其实就是2x。那所以说这个时候你就会发现x这个人的偏导数。对吧，你这个人的偏导数其实就等于多少呢？你在y=0处的偏导数，其实就是这个人在对x求导。对吧，你再对s求导，你就要求这个人在什么在x=0处导数，这个人在x=0处导数其实就是零零处的偏导数。那等于几啊，

等于二。跟得上吗？好，这个问题，然后接下来我们就继续，我们再来看你要求第二个人呢，你就把什么s=0带去。s=0带进去的话，这两项没了，它是3y。所以说我们要求的是什么？我们要求的y的这个偏导数其实就是这个人。这个人再在y=0处的导数。它在y=0处，导数等于几啊等于三。

所以这个方法就叫什么，这个方法就叫先带后求的方法。你发现等你把它带入了之后。这个函数可以直接求导，那就直接求导。就是你代进去了之后，这个函数可以直接求导，那就直接求导。那么，接下来我们再来看。那如果像这个去年的真题当中的这个题呢？你比如说我们再来拼。好，我们继续，我们再来看这个人。

那如果像这个问题呢？那这个题的话是分段函数在分段点上。你就算我们如果是先带后求的话，我们比如说把这个y比如说s=0带进去。你带进去了之后还是一个分段函数，而我们都知道分段函数在分段点上，不能直接求导，只能用定义。那这个时候怎么办呢？我就不要用这个直接求导了，我就直接写定义。你听得懂我的意思吗？所以分段函数在分段点上，你就直接用定义，所以这里面当中我就可以做了，

你发现我们要进去求什么呢？我要去求s偏导数在零零处，那这时候你跟着我一起来写那多少s趋向零。然后是多少fx0-f零零比上s-0？所以说这个时候的话，我们就来看看当s趋向零的时候继续来看。那这个时候你就会发现。你这一下往哪带呀？你y=0，但是s是趋向零。趋向零是没有道理。一个人是等于零，一个人是趋向零，不同时为零，你就要把y=0往这儿带。

把y=0往这儿带的话，一代是多少？一代的话是sin x方比上一个根号下x方。然后要比上这个s，所以说这个时候的话，当x趋向零，你发现你上面是不是等价无穷s方？所以说最后而言的话就变成了这个样。这个极限是存在还是不存在？这是不存在的，因为临阵的时候这是s比s0负的时候是s比负s，你不要跟我说看不懂啊。这不存在。好了，我们再来看，

然后接下来我们再去算一下这个y的这个偏导数。你就会发现当什么东西呢？这y趋向0y趋向零了之后的话是多少f0y再减去f零零？比上这个y- 0，然后紧接着我们就继续看。这个部分，这是y。那f零零是零，那在这里面当中，你s是零，但是y是趋向零，你是不是应该把这个x=0往这带啊？如果s等于往这带的话，这个结果是几这个结果就是零而f零零也是零，你上面这个东西就是零。

你下面这东西趋向零，那这个东西一比肯定是零了，你上面是实实在在的零啊。零除任何数都是零的那个零呐，所以说这个时候我们就出来了。因此s这个偏导数是不存在y的，这个偏导数存在等于零选c。好了，这是这个问题，你看看去年的考研真题，那去年考完真题像这种题啊，也不是说特别难。所以说，作为我们三九六同学的一套模拟卷。可以有个别的难题。

如果每个题都难呢，它不是这样子。会有几个难题，但是不是说每个题都难，每个题都难，那还了了得得。所以说这个就不会是说我们整个套卷子，你要求的那个时间卡的那么死。然后在这里面当中呃，时间又那么的少，你要每个题都难，它不会是这样。好了，那么接下来我们继续吧，我们再来看。

你也顺便跟着我把这个y的偏导数写出来吧，来我们一起来写。偏y，然后把s=s零，它在这个点处的偏导数。好，我们一起来看，那这个时候你就会发现这个y的偏导数x0这个y0。好，那么接下来我们继续，我们再来看。这个时候的话，你就会发现它是什么情况？它是我先要怎么办？你先要把这个x0带进去，

它就是fy。减去多少呢？fy 0比上y-y零，然后这是y趋向y0。所以说这个东西的做题方式就是这样，就什么情况呢？我先要把这里面当做的这个。x给代进去，代进去了之后得到了个y的函数，我要求这个y的函数在y=y零处的导数。好了没啊？跟上这个意思啊，把这个东西想清楚就行，偏导数定义这个内容必考内容啊。你这是考研必考知识点，

一定会考偏导数定义。我们就喜欢考定义啊。所以说像这种问题啊，概念一定要理解清楚。好了，这是我们讲的这个第一个问题，然后接下来我们再来看看第二个点。那偏导数的几何意义是什么呢？好，再看第二点。偏导数的几何意义。函数偏导数的几何意义啊？这个问题。那么，首先我们先注意一个问题。

住在这，如果说对于二元函数。二元函数，两个偏导数均存在。这个时候啊，我们就指的是二元函数可导。能理解吧，所以什么叫二元函数可导呢？二元函数可导的意思就是两个偏导数都存在。就叫二元函数可导，所以我们经常会讲，哎，这个二元函数是可导的，可导什么意思呢？就是两个偏导数都存在。

没有说要相等啊，你是一存在，我是五存在，我们也叫可导。俩人都是存在。那么像这个东西的理解啊，我觉得这件事儿还是得进行，就回到我们的这个基础班。因为这个基础班这里面当中，我们原来讲的非常非常的详细了，我把这个问题啊，我们稍微的进行去找一下。啊，有一张图，我们再来看看。

就这张图，这张图啊，非常好，你上课的时候你不用画，我们来听就行。来看这张图。那么，首先我们先看第一件事情，你看二元函数是什么？二元函数是三维空间下的曲面，就是这个阴影面呢，其实就是个二元函数。那么，首先我们先来看第一个问题，我们就来探讨一下x这个人的偏导数。

s这个偏导数的第一件事情干嘛？第一件事情，他说我先要把这个y=y零带进去。你的y啊，只能是y0。y只能是y0y只能是y0的话，其实就是这条线。你只能沿着这条线走，所以我们一刀切下去，也就说你这个函数只能是y=y零，就是这条线。你看这条线，其实就是x wedding x wedding，你听懂我的意思吗？就说你这条线，

它只能在这条线。好，这条红色线其实就是fx y0这个。然后第二件事情，我们要去求什么呢？我们要去求这个一元函数。在什么呢？在x=x零处的什么导数？一元函数在这个点处的导数不就是切线的斜率吗？所以说它其实而言就是这个切线的斜率。其实就是s偏导数。能听懂吧，就这条红色线的切线斜率就是s偏导数。因此啊，如果说x偏导数存在x偏导数存在，

应该是一这个方向可导。对吧，一这个方向沿着一这个方向的导函数沿着一这个方向的切线斜率就是s偏导数。那y的偏导数呢？那y的偏导数不就是只能让s=s零吗？所以同理。什么叫y的偏导数呢？就是沿着这个方向的导数。沿着这个方向的切线斜率就是y的偏导数，理解了吗？因此，你要注意s偏导数，就是沿着s这个方向的切线斜率，沿着x方向可导y的偏导数，就是沿着y这个方向的导数。

沿着y这个方向的切线斜率。好，这是这个问题，那同学们想什么叫做可导呢？可导说的是，一和二方向可导。一和二方向可导，只能推出一和二方向连续。那你告诉我，现在还能推出连续吗？能不能显然不能因为刚才我们讲过，我们说如果一个二元函数连续应该是每一个方向都连续。你只能在这里面当中说清楚了，这两个方向连续别的方向连续吗？不知道，

所以说这件事情是不行的。连续推可导呢，哎，这个东西啊，肯定不行。好了，像这个问题，把它想清楚，两个方向都不行，可导也不能推，连续的连续也不能推，可导的在二元函数的世界里面。这是要想清楚的好了，可导性我们就讲到这儿不难吧，还算比较简单啊。

那么，接下来我们再来看看第三个事情，我们再来看看可微信。我就相当于把这个知识点呢，又给你讲了一遍，你就把它当做成最后一遍需要。好，我们再来看看第三个事情。可维系二元函数。可微定义。那么，像这个问题啊，我们在考研的时候肯定要考的可维性。考不到，可微信呢？

这就说明这个知识点呢，考的有点问题。一定得考到可违心，因为这个人最牛啊，可违心那么，所以这里面当中我们要学几个问题呢？第一个事情可。可微的定义。啊，这是第一个点。第二点，连续。可导可微之间的一个关系。好了，这是这个知识点，

然后第三个事，一个注意点。第四个事情如何？如何？判定二元函数。在一点的可微信。在一点处。的可微信。所以接下来我们就一起来看看这个问题。所以一定要把这个方向你把它捋清楚，这最后一个内容了。把这些东西卖过去，有些同学可微信没有听。如果可微信没有听前面学的这些东西都白学了，顶多拿到一道偏导数定义的题。

如果进行去考这个稍微综合一点东西啊，肯定就白搭了，前功尽弃了，也就证明这昨天。下午过程当中，这个下课前我们讲了20分钟，还有这节课，我们讲的这40分钟，这一个小时白搭了，没有任何用。所以千万不要不要到了这个最后最关键的点，你最关键的点，你要好好学好了，我们一起来看看下一个问题，可悲的零。

那什么叫可悲呢？二元函数的可微的定义啊，跟一元函数可微的定义啊，非常像。那你还记得一元函数可为吗？一亿函数可不一样，那你告诉我干啥呀？这才上才上课。哎呀，这是好了，那么接下来我们就继续吧，我们来看看这个下一个问题。你去呗，你告诉我干啥呀，对吧？

如果这是个一元函数。啊，一元函数。那一元函数的可位的定义是怎么说的？他说我在这个点处。对吧，我在这个点处。我有一个增量。我跑到这儿来了。对吧，我们跑到这来了。所以你看我在这个点，我跑到这儿来了。那这个时候，它的末点的函数值减去起点的函数值就叫什么？

末点的函数值减去起点的函数值，其实就叫做什么德尔塔y能理解吧。这一点函数值减，这一点函数值，这就叫德尔塔y。如果这个因变量增量。哎，如果这个因变量增量能够等于什么自变量增量的线性关系，再加上这个自变量增量的高阶无穷小，在这个趋向于零的时候成立。我就说啊，这个函数在这个点处可为。如果可为经过发现，这个a其实就是什么？其实就是这个导函数。

没问题吧，因为是微分嘛，微分其实就是这个点处的导函数，再乘上德尔塔s这个点处的微分，这个点处的导函数。好了，这个页面听得懂，请给我回复个一听不懂，请给我回复个二。好听明白的给我回复一，没有听明白的给我回复二。叫我看看哪些头铁的同学啊，你发现给我回复二啊。应该没有吧。你要是这里面当中这个问题都有问题啊，

你看看有还果然还有你这都听不懂，你这个冲刺修一般是怎么听的？你因为这个部分的内容，我们就当你这个基础怎么怎么样，我们强这个冲刺运动班又给你重新讲了一遍。好了，这个事儿我们就讲到这儿。所以接下来我们来看看这个二元函数可为的定义，那怎么说呢？它肯定这样来好，我们一起来看看。那二元函数的自变量就有几个？自变量就有两个了。二元函数自变量有两个。然后这个时候你发现你看它这有一个起点。

这是个起点，然后这个时候这个点是个终点。啊，然后这个点是个终点。那这个终点是多少s0加上德尔塔s，然后这是y0加上德尔塔y？好，这个点那这个点这个a点这个人呢？是个起点，然后b这个点呢？是个终点。然后接下来我们来看看这个问题。你会发现s有个增量德尔塔sy，有个增量德尔塔y。是不是这个情况，

所以接下来我们来看看这个问题点。好了，我们继续那这个时候你去发发现一个事儿，我怎么进行去定义这个可微信呢？他这样说。如果在这个点处的因变量增量，因变量增量是多少？是末点s0加德尔塔sy 0，加上德尔塔yn。然后再减去这个起点，这个东西叫因变量增量嘛。如果在这个点处，它的因变量增量。能够等于自变量增量，一个自变量，

两个自变量，自变量，增量的线性关系，然后再加上自变量，增量的高阶无穷小。大家想想你这个增量很小，这个人未必很小，你这个人很小，这个人未必很小，要想保证这两个东西都很小，就是斜对角线。所以这里面我们就加上一个。斜对角线的高阶无穷小。好这个所以如果这个点处的因变量增量能够等于自变量增量的线性关系，我们把这个线性关系啊。

就叫做什么东西呢？就叫做权微分。所以如果在一个点处，它的因变量增量能够等于这个全微分，然后再加上什么呢再？再加上这个人的高阶无穷，小在什么时候成立呢？当德尔塔s和德尔塔y这个人怎么办？趋向于零零点的时候成立。成立我就说什么，我就说这个函数啊，在这个点处是可悲的。跟得上吗？所以如果在这个点处的，因变量增量。

如果在这个点处的因变量增量。如果在这个点处的因变量增量，它是可为的，因变量增量等于自变量增量的线性关系，再加上高阶无穷小乘立。我就说他在这个点处啊，你发现这是可悲的定义表达式。好了，学清楚了给我回复一。要理解清楚就说，如果因变量增量能够等于自变量增量的线性关系，然后再加上这个人的高阶无穷小成立。我就说在这个点处可谓。能想清楚吧，把这个点呢，

一定要琢磨清楚，你看还有很多同学，我估计你应该没有上过这个基础班吧。你听过一点基础班，你都不会问这个定义的问题。为什么是这个row的高级无效？毫不解释。好了，这是口碑的定义。所以接下来我们来看看下一个问题，那连续可导和可微之间的一个关系是什么关系呢？我们把这个点呢？我们来讲讲。你想清楚它这个关系是这样，对于一个二元函数而言。

连续。然后这是可导。然后这是可为。这三个人之间到底是具有一个什么样的一个关系呢？它是这样的一个情况。好，我们一起来看看这几个人。那首先看第一个问题。呃，先来讲讲吧，连续什么意思？连续就是在这个点，每个方向都连续可导，什么意思？可导是这两个方向可导？

可危是什么意思呢？你记住了，这件事情超过了我们三九六同学的要求。这个东西是数一同学学的。如果在这个点处，可为每个方向的方向导数都存在。所以说这个问题点是什么呢？就说如果在这个点处可为。如果在这个点处，可为在这个点的每一个方向都可导。这个方向，这个方向，这个方向，这个方向，每一个方向的切线斜率，

每一个方向都可导。这就叫可悲。能学会吧，所以说这个时候我们来看看。那请问连续能推可导吗？这不能，这刚讲的可导能推连续吗？这不能，我们刚讲的。那看可微，能推可导吗？当然可以啊，每个方向都可导，这两个方向肯定可导。但这两个方向可导，

能推出每个方向都可导吗？这不行，然后再看，可为能推连续吗？反正连续推不了，可为。可微能推连续吗？每个方向都可导，每个方向都连续，这不就是我们要的连续吗？可以的，可微是可以推出这个连续的。好了，这个问题。想清楚吧。

其实这里面当中还有一个人，但是这个东西啊，不用证明，证明非常麻烦。原来基础班我就说过这个问题啊，当然到了这个今天呢，你就记住你就不用证就行，还有一个东西就是一阶的偏导数。连续这个人。一阶偏导数连续不是它的二阶偏导数。什么叫一阶偏导数连续呢？就是一阶偏导数这个人连续。你看这个人。还有这个人。这俩人他都要在这个点处连续，

那也就说都要在这个点处的极限，等于这个点处的还。函数值一阶，偏导数的极限等于一阶，偏导数的函数值，那这肯定是二重极限。二，重极限。二，重极限。所以一阶偏导数这个极限，等于这个点处的函数值，那这个时候就是一阶偏导数连续。一阶偏导数连续啊，肯定能推可为，

可为推不回来，因为这是个充分条件。好了，像这个问题啊，你想清楚哦，你琢磨一下这个问题，这个之间的关系必须要想清楚。好了，像这个问题点呢，自己下去好好琢磨琢磨。跟得上吧，好了，这是这样的一个页面，那么接下来我们来看看一个注意点。这个注意点呢，

自己下去好好进行去深刻的进行去想象。这个事儿啊，我把。呃，冲刺救命班当中的话，那个我们把这个强化班。叫我看看。当时我们写过一个东西，我们把这个东西啊，我们再看看。好了，最后一波啊，把这个问题啊，你想清楚。最后一个知识点。

来看看这个问题。看这个内容，你要想清楚。比如说一个题啊，它是这样说的。如果这个题你求出了x偏导数是三。你y的偏导数是四，你能说在这个点处的全微分等于三倍ds 4倍dy吗？这是不行的。因为你要想清楚，这两个偏导数都存在，它只能叫什么？它只能叫可导。对吧，这只能叫可导。

可导是推不出来，可为的。但是这件事情在一元函数当中肯定可以，因为一元函数的可导，能推，可微，可微，也能推，可导。所以这件事情是不行的，这是错误的，只有当这个函数是可微的时候，它的权威分才会等于偏z偏s。ds偏z偏ydy。你要想清楚，

只有这种情况下才可以，所以一定要进行去琢磨清楚这个问题。只有这个函数在这点可悲的时候。那这个时候它的偏导数是存在可导吗？这个时候它的权威分才是偏z，偏sds，偏z，偏ydy。这件事情一定要注意，这我们特别喜欢考。你发现比如说我们里面当中说下列这个说法正确的是。你算出来这两个偏导数，一个是三，一个是四，然后后面就有个选项，

说这个点处的全微分等于三倍ds 4倍dy，那肯定有问题，你还要判断可为。可悲的时候才可以。

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