12.冲刺串讲12-3

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:04:52

哎呀，我家这个网吧真的太讨厌了，这这这怎么怎么老卡啊？老掉。好了没有？可以了是吧？好的好的，这个老掉线啊。可以了吗啊，然后把这个一带进去的话，这是五五的话，这个东西的话刚好是五倍的根号五。然后零代进去是一这个结果出来了。好了没？可以的话给我回复一。

可以的话给我回复一。这个部分好了。呃，其实这个题啊。你发现初二是最好的。所以初一的话，这开不进的吧，初二是最好的，你初二的话，这刚好是九就能开。所以这个题如果出题啊，出零到二是最好的。你会发现刚才那个算出那个结果，而且还是一个什么，还是能开出来的东西啊，

这个这个还就非常好。行吧，你下回自己品一品啊，这个基本问题。好了，这个呢，我们就讲到这。所以下去把这个相对问题啊，好好处理处理啊，这是第一个点，所以我们在这个定积分应用当中核心重点的求面积。求旋转体体积表面积弧长，这四大问题啊，你是一定要处理清楚的。那么，

接下来我们继续吧，我们再来看看这个下一个问题点，我们在这一章还有一个问题没有讲，那就是反常积分的计算。我们把这个反常积分的计算呢？我们把这个东西啊给讲完。那这是我们在这章遗留的一个问题，那么首先我们先来看看第一个点有两类反常积分。有哪两类返程积分呢？就是你发现这个东西啊，跟我们的正常的积分长得不一样啊，这就叫反常积分。好，我们来看看。用一下这个坐标系。

那么，首先我们先来看看第一类反常积分，第一类反常积分非常简单，就是你这个反常积分里面怎么了？你这个反常积分的里面当中啊，有正负无穷。啊，这就叫第一类反常积分。然后还有第二种反常积分叫狭积分。好，我们先来看看第一种反常气氛。第一种反常积分呢，比如我们以前是从a积到b，我们现在怎么办？我就从a积到什么东西啊，

正无穷去。你看这个部分。它是不是一个反常积分呢？它是一个反常积分。那还有一种反常积分，还有一种反常积分的话，其实就是我在这里面当中怎么了？有狭点。有狭点。好，这个部分这是第二类反常计分。所以第一类反常积分非常好，人就是你看这个人积分的话，写成a到正无穷fs ds。对吧，

这第一类反常积分，第一类反常积分，只要你的上下限当中有无穷大？你就是反常积分啊，这是第一类叫无穷区间的反常积分。但是最重要问题其实是第二类。第二类很难看，你看这个反差积分的话，是a到bfs ds跟定积分长的是一样。但是他是反常积分。那怎么能辨认出来这个人是反常积分呢？其实最重要问题要找到狭点。正是因为它有b这个点，而导致什么东西呢？而导致它是一个反常积分这个点呢？

叫做狭点。有狭点，它成为了狭积分。啊狭积分，它成为了第二种反常积分。那怎么样进行去判定这个人是狭点呢？大家告诉我这个狭点是这个被积分函数的什么点呢？什么点光没有定义的点吗？也不是它在这个点处的极限，结果得是无穷大。所以你看如果你这个点是被积分函数的狭点。它必须要保证两个事情，一个事情没有定义，第二事情我在趋向于这个点，你看b这个点的话，

只能趋向这个负。这个极限结果必须是无穷大。能想清楚吧。哎，注意它在这一侧的这个极限，结果必须是无穷大。要想清楚，也就说你如果是我的狭点，你是我的没有定义的点，而且我在你这个点处的极限，结果得是无穷大。一定要想清楚，必须极限结果，而且它也是无穷大。所以接下来我们来看看第二个问题，

那么经常我们会处理这种点。比如说我们在做一个反常积分的时候。有的时候会出现以下一种情况。好，我们再来看，那么有的时候我们还会出现这种问题。什么问题呢？就说你发现这个反常积分呐，中间是有加点。你比如说我们在这里面当中画一下。好，这是c点，然后这个点的话是a点，然后这个点呢是b点，然后这个时候你看这一段。

这一段那如果我们在这个积分的时候，你发现是a到b，你这个反常积分。你能直接算吗？你不能直接算，如果在中间的时候有狭点，你得把这个人给拆开算。你拆成a到c，然后再拆成多少c到b？你得把这东西啊，拆开计算。要注意，如果中间有狭点，一定要按照这个狭点把它拆开算，而且请记住，

如果拆成两个部分。按照可加性拆开。这是可加性吧？把这一段拆成了两端。一个发散就发散。只要其中有一个人是发散的，那就是发散的。就比如说我算出来这个人是无穷大发散的，那就是发散一个，发散就发散，注意啊，利用可加性拆开。把a到b这一条路拆成两条路，有一条路走不通，他就走不通。

好注意一下这个问题，然后接下来我们再来看第三个点，那有的时候我们还会碰到这种问题，反常积分的四则运算。当这种四则运算呢，我们考虑的是什么正负啊？这个什么加减的这种？那加减的这种。那加减的这种四周运算。开口的地方要考虑。你你肯定从来没有学过反常积分啊。我说的没有问题吧，你应该基础班也没学过反常积分吧？他哪有开口啊？正是因为有这个口，

导致他是反常积分，你在你在说什么呢？对吧？这这开口这口咋算呢？你应该是基础班，从来没有学过吧？你学过，我觉得你不可能说出这种话的啊。好了，这个问题啊，我们就不说了，来我们接下来继续，我们再来看下一个问题。反常积分的四则运算对吧？反常积分的四则运算，

那么有的时候我们还会出现这种问题，比如说a到正无穷。然后这是fs加减上这个gs。你想想原来我们在算定积分的时候定积分呢，它肯定能按照四则运算把它拆开呀。那就拆成了你的反常积分，再加减上我的反常积分。啊，你的反常积分，你再加减上我的这个人的反常积分。所以说这个时候你发现你a到正无穷啊，然后这两个东西相加减，你就可以拆成这两个人。但是你发现这是反常积分，反常积分还一定成立吗？

那不一定，因为我原来讲过。反常积分其实也有极限的色彩。对吧，你这个东西也跟极限的色彩是一样。就说你这个反常积分里面其实带有极限的。那你想加减法的极限等于极限的加减法吗？不一定应该是什么都存在才可拆。只有这两个反常积分都收敛的时候，你才能按照四则运算把它拆开。对吧，你才能够按照四则运算把它拆开，但是问题的关键点在何处呢？问题的关键点说，如果这个东西你不能拆怎么办？

那考点就在这儿，如果。四则运算。加减法。不能拆开的时候怎么办？如何处理。你怎么办呢？如果这个人不能拆，你就不要拆，你就按照啊，统一进行计算。按照整体进行计算，此时啊，应该按照整体。进行计算。

你注意按照整体不要拆开，把这两个人呐的原函数都找到。按照这个整体求出原函数，然后再统一带入a统一的进行去求正无穷方向的极限。听懂我的意思吗？就说如果你拆不开，你就按照整体把这个原函数找到，然后a带进去，然后再整体进行去求极限。好，这个问题，所以这里面我们就可以进行去归纳一下反常积分的计算思路。那么请告诉我，如果在考研当中，你拿到一道反常积分，

第一步会干嘛？你会干这个事情？我们首先第一件事儿，我要看。中间有无狭点？注意是中间，我只在乎中间。如果是端点处有狭点，我不会管的。比如说我从a7到BA是狭点，我不会管的，我只在乎中间有没有狭点，就是你从a7到b的时候，你这个一路上中间有没有狭点？你要有啊，

我就会怎么办？如果有，我就要把狭点暴露出来。我就要按照这个狭点，比如说这个狭点是c，这个点我就要让这个狭点暴露出来。一定要按照这个狭点把它拆开。如果这个人没有狭点呢？没有狭点是最简单的。你原来怎么算就怎么算，你原来这个积分你按照定积分一样的算。对吧，你按照定积分的牛来公式来计算。找到它的原来这个原函数，你就正常算呗，

定积分怎么算我就怎么算，只不过你要注意。你比如说我们原来把这个零和一带进去，就零和一带进去，但是现在比如说把狭点带进去，把正负无穷点带进去，不是带进去，是带入的时候求极限。好注意，如果把正负无穷点，还有这个狭点带进去，相当于求极限。这是你要想清楚的。对吧，你如果带入这些东西啊，

你相当于求极限，这个问题很重要。好返程积分呢？计算思路当然一旦暴露出来了之后，你又可以这样算了。对吧，基本问题点你想清楚。好了，那么接下来我们先来看看这里面当中的第一个题啊，冲刺86题，这个题来做几个吧。那都做了吗？有没有做呀？这几个题不难哦，你应该都做，

我先讲一个吧，讲一个再说好，我们先来看看这里面当中的第一个题来解吧。你怎么处理啊？你先来看第一个事情，这是武道正无穷。那这个人是不是可以因式分解啊？你因式分解的话，这人是减一，你这人是减三。这没问题吧？然后这个东西可以怎么办？然后这个东西可以裂开。对吧，可以把它裂开。

那这个东西裂开了之后的话，其实就是下面小的反而大。下面大的反而小。把这东西裂开。列完了之后的话，你发现看你这是s减一，你这是s减三比一减三多了个二。前面这个部分呢，来个二分之一。那么请告诉我件事，现在是四轴运算吧，能不能拆开呀？能不能能拆开？还是不能拆开？你可以检验一下，

你发现你如果这是x- 3这个人。五道正无穷，进行去积分。这个积分的结果应该是lns- 3把五和正无穷带去，五带去是个数，这是无穷大。那很明显发散呐，所以同学们注意这个东西啊，绝对不能拆。一旦拆开这题就废完了。所以如果在这里面当中不能拆开怎么办？不能拆开非常简单，我按照这个整体找它的原函数。就不要拆找这两个的原函数，做这个整体的不定积分，

那第一个积分的话是lns- 3的绝对值。第二个是多少lns- 1的，这个绝对值你加上c。所以说这个时候怎么办呢？我按照这个整体而五到正无穷，这个绝对值就不要了，你要写成x- 3。减去多少x- 1请注意，这是整体吧，整体代入。一定要按照整体代入。而且这个时候我不光对吧？我不拆，而且你发现loin的这个减法，我还把它合起来了呢。

你再统一的代值。然后接下来我们继续看，把正无穷带进去，相当于去求正无穷方向的极限。这个极限可以抓大头，一抓是1 ln 1是零。那所以说这个第一个部分是零，然后是ln多少四分之二二分之一？那二分之一是二的负一次方，除去二分之一倍的ln二。跟得上吗？二的负一次方负一出去就这个结果。所以这样一下，这个第一问呢，它就出来了。

跟得上吗？嗯，这样的一个计算不是说特别难的啊。哎呀，你们不要说卡了，你一说卡了，卡的我有点慌，对吧啊？好了，这个题。呃，休息会儿吧，我们课间休息会儿，然后的话没有做的同学啊，你课间休息的时候把第二题和第三题啊，

把它做一下。啊，把这两个题啊，你去完成一下，一会我们再继续吧。好了没？把第二题啊和第三题啊，稍微进行去重点完成一下。好，我们稍微休息会儿吧，一会儿我们继续吧。

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