12.冲刺串讲12-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:03:18

好，现在可以了吗？现在可以了吗？好，可以听到声音吗？现在声音怎么样了？可以的是吧？好，现在还有这个。好了是吧？好，那么接下来我们就继续呃，上次过程当中啊，我们刚好讲到这个定期分应用，那后面过程当中还有一个。

旋转体体积的后半程还有这里面当中的求弧长问题，求旋转侧表面积问题，那么这两点呢哎，都是比较重要的。呃，我这声音你们都觉得怎么样？我害怕再调大一点。好了没有？可以了是吧？嗯，好了，那么接下来我们就继续开始吧啊。呃，上次过程当中的内容呃，还是比较重要，

尤其是我们学习的这个定积分应用部分内容，你像求面积。求旋转体体积，求弧长，求旋转表面积，这四个问题啊，出题点的这个几率都是非常高的，而前三个东西啊，我们都出过。只有这个旋转侧表面积啊，没有出过题，所以说今年过程当中，你稍微的进行去注意一下这个问题，那么接下来这样我们其实在上次过程当中学的这些问题啊。核心重点在干嘛呢？

其实你发现落脚点到最后啊，还是在记公式。对吧g公式。公式，然后是什么套公式？啊，就这两个事情，你把这个公式记住，然后再把这个公式啊，你会套那这个问题基本上就解决了。然后剩下的这个东西啊，其实就是我们的定积分的，这个计算能力了。所以你发现记住这个公式，然后会套这个公式，

原来我们在基础班的时候，我们要进行去怎么办？推这个公式。对吧，到了这个强化班，有些部分的东西我们还是推了一下，但是你发现到了这个最后一个点，还是这个事情，你其实就是把这个公式给记住。比如说求面积的公式有哪些？求旋转体体积的公式有哪些？把这个公式啊，记住，然后遇到的一个具体的问题，你把这个公式啊，

你去套一下。这个题目就出来了，能理解我的意思吗？所以你发现你把这两个核心重点你掌握清楚就行。好了，那么接下来我们就继续开始吧，我们来看看这个里面当中的第一个问题啊。呃，这样你每次啊你都要看一下这个课表，对吧？你有些同学的话，你你都不知道哪次课程在讲什么？你其实你发现你这课表上数学的课程，你自己去看看这个课表啊。好了，

那么接下来我们就继续吧，我们来看看这个下面一个问题，求面积问题，那求面积问题啊，我们稍微把这个公式啊，我们稍微带着同学们回顾一下啊。回顾一下这个求面积的公式。那么，首先我们先来看看直角坐标，那直角坐标公式啊，其实就是从a到b，然后这是y=fs在ds。那如果是两个人呢？你就是大的减小的对吧？用大的这个人减去小的这个人，

如果是这个极坐标呢？其实是二分之一。从阿尔法到贝塔阿尔法DC塔。如果这是参数方程呢？那参数方程的第一个事情，你先写这个直角坐标，然后再怎么办呢？把这个x啊换成t。对吧，你一换你一换了之后的话，你发现你这个y啊，它也等于yt，然后这个部分就是s对t求导dt。而你换元要换仙，然后这个东西啊，

就变成了t的上下限，对吧？核心重点这几个公式啊，你会套就行。尤其比较重要的是这个人。你像直角坐标，我觉得基本上你只要稍微学习一点定积分，那这个类型问题的在考试当中出的题啊，难度系数都不大。那核心重点还是个极坐标，极坐标你要记住了，是二分之一r方DC塔。好了，这是这个问题，然后接下来我们再来看看旋转梯体积，

那其实我们学这个旋转体体积啊，学的比较多。那这是一个重点，你基本上是年年必考的内容。那么考这个东西，虽然我们学的什么，绕着这个一般轴转，绕这个转绕那个转，但是你其实你发现落脚点最后呢，其实还是x轴和y轴转。你只要把x轴和y轴转的东西啊，搞清楚，那这东西就结束了，那么所以说首先我们先来看看这里面当中的第一个问题。对吧，

如果这个人的给的这个积分区域图对吧？你比如说先画一个草图，我画一个草图，我发现它是这样的一个积分区域图。好，我要进行去求解的这个区域啊，是这个区域，那么在这里面当中给的这个区域图是这样的一个图，我们把这个图叫什么这个？这个图叫x形图。能听懂吧，什么叫s形图呢？你就是这样，你喜欢往下投啊，这叫s形图，

那s形图的话。如果这条边我给的是什么呢？我给的是这个y=fs。那这时候我们来看看绕着x轴旋转一周呢？绕着x轴旋转一周，你取一个条的话是这样转。对吧，是一个圆饼模型，所以说就是派倍的y方ds，然后再从a积到谁积到b这个部分就出来了。没问题吧，如果你竖着进行去取的，然后你横这个绕着y轴转呢，是一个空心筒，那空心筒的话，

其实就是二派s。然后再乘上ds这底面积，你再乘上这个高，然后这里面当中从a7到b，然后这个vy就出来了。能听懂吗？所以说你去套这个公式当中的y啊，它是这样子的，你这个公式里面当中的y它对应的区域是这个y跟x轴之间围成的这个区域。你要想清楚，就说我进行去套这个公式，这个y是什么呢？这个y是与x轴之间围成的这个区好，这是我们讲的这个第一个信息点。过去了，

可以吗？那我们继续，我们再来看y型区。那如果这里面当中，我们再给一个。你发现这是y，然后这是零，然后这是s，然后你这里面当中给的这个区域是什么呢？你给了一个这样的一个区域。好，我们这个区域那这个区域的话很明显是x=fy。是这个情况，然后这个部分是c，然后这个部分是d，

大家想想，如果是这样的一幅图啊，你绕着什么轴呢？如果你绕着s轴转。你取的时候的话，你肯定是横着取，然后绕着s轴转，其实就是跟我们上面这个东西绕着y轴转是一样。所以把上面那个人绕着y轴转的东西改一下，你是二派s，我就二派y，然后你是ds，我就是dy，你是y，我这是s，

然后是c到d。然后接下来我们再来看看vy你横着去绕着y轴转呐，哎，你发现是一个圆饼圆饼的话，其实就是上面这东西绕着s转。那其实多少呢？是派倍的y方，我就是派倍的s方，你是ds呢？我就是dy从c到d。能听懂吗？好了，这些东西你有没有把这个页面记住啊？这个页面在我们考试过程当中考的这个几率是非常非常高的。一定要想清楚啊，

如果是套这个公式里面当中的y对应的区域是y跟x轴围成的区域。如果是套这个公式，这条线呢，应该是跟y轴围成的区域，要想清楚啊，套上面的公式一定是跟下面围成的区域。套下面这个公式一定是跟左边这个y轴围成的区域，把这东西啊，想清楚，这非常简单。已经学到最后啊，难度系数说实话不大，但这里面我还是有点不放心，所以说我觉得这个今天呢，还是希望把这个内容我们再讲讲。

那么，在这里面，如果是绕着任意轴旋转呢，一定要会用微元法。那就是两个事情，一个事情是圆饼模型，一个事情呢是薄壁空心筒模型，把这两个东西拿捏下来，问题点一点都不大。我上次说了啊，虽然这里面当中有古尔经定理啊呃，这个内容嗯，不是我们需要学的。你像如果的话，你是考这个数一数二数三同学，

你可能这里面当中啊，你需要进行去掌握一下，但是如果我们进行去考这个。三九六同学，你就不需要了。那在这里面当中，如果是绕着一般轴，你用二重积分呐呃，确实快，但这里面当中你要用二重积分又很麻烦。我们没有必要这样的做。好了，那么接下来我们继续回来，我们回到这个事情上。那这个圆饼模型怎么去处理呢？

来操作一下这个事情，你发现你看我这里面当中给了一条线。好了，这是a，然后这是b。那么，接下来我们要进行求解什么呢？我们要求解这个区域绕着x轴旋转一周的体积。你怎么求呢？这非常恶心，你这不好求啊，你这个转一周怎么去求啊？不好求，那我怎么办呢？我把这个人切切切，

你想看更详细的，你去看基础班，基础班基本上。推的极其的详细。那我就把它切成很多份。我让第一份来转一周一个体积，第二份转一周体积，第三份转一周体积，第四份转周体积，我再把这些体积加起来。那你积分其实就是能相加呀。所以我怎么办呢？我就取出其中一个代表性的东西，叫做微元。所以你做题方式就是我在x轴。

x处取一个长度为ds的端。因为这个底端长度实在是太小了。你就近似把上面这个东西啊，看成品的。所以我就得到了这个区域。对吧，就得到这样的一个条，你底端太小了，你上面可以看成平的，然后这个条绕着x轴旋转，一周转出什么呢？其实就赚出了这样的一个圆饼。好，这个问题我们就转出了这个圆饼，你一旦转出这个圆饼，

你看你这个部分的高度是多少呢？你这个部分的高度其实就是y。然后这个厚度是多少呢？是ds，所以说这个微原体的体积是多少？微原体的这个体积。其实就是派倍的y方是底面积，再乘上厚度，然后最后总的体积啊，其实就是从a到b。派倍的y方ds。所以这个内容是非常简单的，你看这个y其实就是上面这条线的y把这个y啊用x来表示。把这个y套进去就对s积分就行。好了么？

同学们，这第一种问题圆笔模型，因为这个厚度非常的薄，哎，你这个人一转一周转出这个情况。然后再来看看第二种情况，薄壁的空心筒模型，那还是这个问题，我们再来看。比如说这里面当中，我们还是给这样的一个区。然后这里面当中对应的是a点，然后这个部分对应的是b点。那么现在干嘛呢？我们要求解这个区域啊，

绕着谁旋转一周呢？绕着这里面当中的y轴旋转一周。但是你这个绕着y轴旋转一周，因为这个边呢，弯弯曲曲的不好求，那我怎么办呢？我还是把它切切切成很多份。能理解吧，切成很多份每一个人。就是你这个部分呢，是这个样子，我切切切啊，我切成很多份儿，你第一个人。转一轴第二人，

转一轴第三个人，转一轴第四个人，转一轴。你让每个人转一周，每个人转一周都有个体积，然后把这个体积啊给加起来就行，所以现在我们来看看这个事情，我们就取个具有代表性的人。你怎么取呢？你就在x处取一个厚度为多少？厚度为ds的端，你注意啊。这个厚度是ds。大家想想，虽然这个厚度写的是ds，

但是这个厚度你应该认为这个厚度基本上是没有的。能理解吧，就是你要认为这个厚度基本没有，因为ds是趋向零的，因为很小，所以上面看成平的。好就对应成这个人，那对应成这个人了之后，我们来看看这个条，它绕着一周，它的体积是多少？那么，接下来我们来看看你这个部分转一周，我们来对应一下，你看这里面这个部分，

然后我们再来看看这里面当中的外面这个部分。好，基本上是这样。然后接下来我们再来看看这个对应下来，它其实是这个部分。好，那么接下来我们来看看这个部分。所以说最后啊，赚出了这个东西。你转出了这个东西，其实你发现你转的这个人呢，不就是那个红色条吗？红色条其实是对应的这个部分。啊，这是这个红色条。

所以说是这样的一个条啊，它赚了一种，但是你一定要注意这个条的厚度是ds，基本上是忽略不计的。你这个厚度太小了，然而在这里面，我们可以对应一下，你看这个半径是多少x？这个半径是s跟外面的半径是s，其实基本差不多。外面的半径也可以认为是s，因为它们中间的厚度是ds是趋向零，你要注意这个ds是非常非常小。小的基本上忽略不计，所以说这个时候你发现这是y。

好来，我们来看看这个体积，这体积多少微原体的体积？那这个体积其实就是底面面积就是二派s，这是周长。对吧，你发现这是周长。周长再乘上什么东西呢？你再乘上这个厚度。因为这什么呢？因为这个厚度是基本上趋向于零的，所以说周长乘上厚度就是这个底面积。这种算法只适用于什么东西呢？只适用于它非常薄的时候这样算。一旦这个厚度不薄，

就不能这样算好了，这是底面积底面积再乘上高这个部分，那就是体积。所以说最后啊，这个vy是多少呢？你再把这个所有的东西啊给加起来，你加起来的话，其实就是a到b。对吧a到b一个积分就行，那这是二派s再乘上y再乘上ds好了，这个问题啊，我们讲到这儿。而这种东西的算法呀，你如果想看的更详细，你去看看那个基础班，

基础班我是讲过的，当时我说中间用一个剪刀把它切一下一剪。一减一拉伸其实就是个长条。所以那样看呢，其实非常的简单，好了，这个问题啊，我们就不多讲了。能听懂吗？所以两种模型，一种是非常薄的，这种薄片儿转一周的薄壁空心筒。那还有一种什么情况呢？还有一种情况，其实就是这个长条，

长条转中是什么情况？是这个圆饼好把这两种模型给掌握清楚。只要你会了这两种模型，如果今年考什么？如果它考任意轴进行去旋转，你也会的。能听懂吗？如果它考任意轴进行去旋转，你就会了，比如说我绕什么s=as=b这种东西进行旋转，立即就会了。好了，这个问题那么接下来我们就继续吧，我们来看看上次过程当中啊，我让你做了几个题好，

我们先来看看第一个题。第一个题是这样。我们先来看看这个人。然后这是a啊，这是a，这是b。给了这样的一个区域。好，我们来看看这个人，然后让我们去求解什么，然后上面这条线是y=f 1s。你下面这条线是y=f 2s好了，这种情况，然后我们让我们继续去看看这个区域，就是这个阴影部分的区域啊。

它要绕什么呢？绕x轴转和y轴转的旋转体体积那么首先我们先来看看第一个事情，如果绕的是x轴转呢？s轴转呢，你告诉我这是s形图还是y形图啊？一旦用这个人套公式，其实就是这个人跟x轴围成的区。所以你发现我们先算这个区域，那这个区域的话，其实就是a到b派倍的多少f1s这个人的平方ds。对吧，然后接下来我们再减什么，你再减这个区域，这个区域的话，套这个公式的话，

其实就是这条线跟下面为乘派倍的f2s方。ds，好了，这是这个问题，然后接下来我们再来看看第二件事情，我们来看看y轴。如果考的是这个y轴呢？啊，这个东西啊，我一会儿跟你讲啊，一会儿跟你讲这个问题。然后接下来我们再来看看y轴，如果是y轴是什么情况？y轴你要注意，那这种类型问题如果是绕着y轴，

我们这是x型图。一旦用这个人套公式，就是这个人跟下面围成的区域，所以说这个部分是a到b2派x，然后再乘上f1 sds。然后我们再来看，那就是这个部分，然后再套这个人呢，其实就是他跟下面被乘的区域二派s乘上f2s，然后这是ds。能听懂我的意思吗？好了，这是啊，我们讲的这个第一个例题。然后这个同学啊，

其实问的这个问题啊呃，其实你去看看那个800题里面当中是有那个题的。哦，是有那个题的，我们来讲讲这个题吧，你既然提到了，我们来看看例二。利奥这个人呢？呃，我们来进行去把这个东西啊，我们就来求解一下，你来操作一下这个问题。你这个部分是y轴，然后这是零，然后这是s，

你不是说考了一个什么东西呢？考了这个是二分之三派吗？好了，假设是到这。好，这个部分那这个部分的话，你发现我如果绕着x轴转，其实是无所谓的。你想是不是绕着x轴转？你就是这个条线的平方和这条线的平方，那都是一样，所以如果是绕着x轴进行去旋转。你就进行操作了，你多少零到二分之三派，然后是拍。

那这条线是谁呢？这条线是s in派sin x这个人的平方ds。能听懂吧，这是无所谓的，因为你看你算这个区域转一周是派它的平方，这是不管正负性的。然后这一段呢，派它的平方，这是无所谓，但是你发现这个里面当中的难点，其实在y轴。y轴，你要小心，如果y轴的话，你看你套这个部分呢？

你这个部分你要，如果你直接进行去算，这是二零到二分之三派二派x再乘上这个s in ds，这就不对了。啊，这就不对了，你想想一个事情，我们在这里面当中啊，刚才我们进行有这个公式，有没有发现？我们说这个y是高，这个y是不是得大于零？是不是啊？只有这个人大于零的时候才能是什么才能做高嘛？你要是小于零呢，

应该是你的相反数做高吧。你能听得懂我的意思吗？你看这是高嘛？你只有这个y的话是大于零的时候才能做高，如果这条线在下方呢，你应该是相反数做高，你所以说这样进行去写，那这个题就废完了。那肯定不对了。那这个题怎么写呢？你应该这样写，你看这是零到派的时候是二派x，你再乘上这个s in。这是高吧？好，

没有问题，但是你发现如果是从派到二分之三派的时候，这是二派s。你这个时候的s in就不是高了，你加个相反数才是高。你应该是这样算。能听懂吧？所以说注意了，如果是那个二派x乘上y的那个人。如果它是大于零的时候，你发现它就是高，但是如果你小于零的时候，这个人的相反数才是高。你所以说在这里面当中要加个符号，它这个东西才是体积，

你去看看那个800题当中是有这个题的。我记得当时我们出过这个题，我应该是出了一个什么题呢？我出了一个ling这个题。lns这是e嘛，然后这是e，然后从e分之一到它，你去看看。我当时应该是出了一个e分之一到e，你看这个部分有负的，这个部分有正的，应该是有这个题啊。好了，这个点行吧，这是我们讲的这个第二个问题，

然后接下来我们再来看看第三个点。好，继续走，能听得懂吧？好注意啊，非常简单哦，没有说那么难，你自己推一遍，什么都清楚了，秒懂你这种题要丢分呢，有点儿不好意思。好了，我们再来看看例三这个人。那例三这个人如果这个人考了什么呢？我们如果考的是这样。

如果这块儿给了一个群。这是a点，然后这是什么？这是b点，那么现在怎么办呢？我们要进行去考这条线，绕着这条线旋转一周。绕着谁呢？绕着c旋转一周。你知道这个人旋转一周，这是s型区域吧？s型区域的话，你就竖着取条，你就在x处。取一个长度为ds的一个条。

因为底端非常短，上面看成平的就是这个部分。那这个部分的话，你看绕着这个人旋转一周是什么情况来，我们来看看。你这个人旋转一周啊，你是这个部分，然后这里面当中，我们再来旋转一下。好，我们来看看这个人。所以说这个部分对应下来，其实就转出了一个这样的一个情况。还是一个薄壁的吧。它还是非常薄。

那既然是非常薄的话，你告诉我一件事，你看这个厚度是多少？这个厚度是ds，你告诉我这个半径是多少？你看这个半径。大家要想清楚啊，你这个半径其实是从这个点到这个点吧，但是跟到这个点是没有什么区别的。因为中间的话，这个ds我们忽略不计的，你说你说半径是这个长度和里面长度都是一样，所以这是你要想清楚啊，这是c-s，你高度还是y？

所以说我们来看看这个DV它是多少二派周长，因为非常薄，再乘上厚度，你再乘上高，这是fs。所以说最后而言的话，这个体积我们再从a累加到b2派c-s×fs，你再ds就搞定了。能学会吧，好了，这是这个问题啊，一定要想清楚这个事儿，跟得上吧，好，这是例三。

然后接下来我们再来继续看，你再来看这个人。所以这里面你只要进行去，如果是x轴和y轴转，你就套公式。如果是x轴和y轴转，你考研的时候哈哈大笑，你就套公式就行，如果这个人是考一般轴转，你就立即怎么办？立即的话，取个微圆一转就出来了，你这这这个非常简单啊。好了，那么接下来我们继续看，

如果这个人绕着什么呢？绕着这个人旋转一周呢？那同学们想想你绕着这个东西旋转一周，我们来琢磨一下。你在这里面当中取条的时候是不是这样取x型都是这样取？好了，取一个厚度为ds的端，你取了这个部分。你取了这个部分的话，同学们想想。好，那么接下来我们来转，你转出一个什么情况呢？它应该转出了这个情况。好，

我们来看看。这个人呢，一转就转出了这个情况。好转出这个人。那这个东西。你发现是圆饼模型，还是薄壁空心筒啊？完了完了完了哦，后壁是吧？那不好意思。呵呵，那你说的还是挺准的，这就不是薄壁了。薄壁就胡扯了，这个壁一点都不薄，

那你想想你这个时候，你看你这是个中心点到这儿。你这个半径是多少呢？你这个半径刚好是c。对吧，你这个半径是c，你这个半径是多少呢？你发现总的这个部分的高度，它是fs。所以说这个时候是c-fs。你告诉我这个b薄吗？这b不薄。这个b的话，它的厚度是fs不薄，所以说这个部分这是ds，

因此这个体积只能怎么算？这个体积的话，它只能底面积乘高底面积的话，就是派c方，这是大的减去派，然后这是c-fs^2。是吧，那你发现大圆减小圆嘛？大圆减小圆的话，就是这个底边面积。你再乘上一个多少ds？那所以说最后而言的话，这个总的体积其实就是从a到b，然后这个派出去就是c方，然后再减去c-fx。

这个人的平方在dx。是不是这个事情？你当然可以把里面这个东西啊，你再整一下里面这个东西其实就是个平方，不要背啊，这一背就傻了，平方差。c减它其实就是fs。然后c加它呢，你发现就是2c再减去fs，然后这个东西啊ds。跟得上吗？你看这题就出来了。所以像这样的一个问题啊，无论它怎么考，

你基本上问题点一点不大，如果考的是x轴和y轴转。我就直接套公式，如果考的是什么东西呢？考的是一般轴转取一个微圆一转，这东西就出来就两个模型。好了，这个问题啊，我们就讲到这儿可以了吗？不难的哦，好了，下去过程当中好好想想，那么接下来我们来做几个题吧啊，把下面这几个题啊给灭掉。先看这里面当中的第一个题。

那这个题啊，这个题我上节课讲过吗？这题是求面积的题。我有没讲没讲，我们就来看来解。那这个题的话，你发现是极坐标，你极坐标让我们去求面积。那极坐标求面积，有极坐标方程有夹角，那这个面积就非常简单，来走吧，二分之一从阿尔法。然后到贝塔，然后这是r方。

然后再是DC塔。是不是做成这样？你做成这样了之后，一看对称区间偶函数吧，一个负塞塔扔进去，偶函数偶函数二倍。二倍跟前面干掉，然后这个东西啊，就变成了这个样子。DC塔，然后做成这样的之后啊，你如何处理呢？那其实你发现你可以直接做那第一种方法的话，遇到这个什么偶数次幂的话，我可以进行降幂二分之一加cosine多少？

6c塔DC塔。对吧，你可以降密，你降密了之后的话，第一个人积分是二分之一，再乘上上限减下限，然后第二人的话，这是二分之一。补一个六乘上六分之一s in多少？六theta把零和六分之派带进去，六分之派带进去s in派是零s in零是零，所以结果等于多少？12分之派。好了，这个方法也是非常简单，

对吧？你怎么做都非常简单，那或者怎么做呢？我们再来看看第二种方法。那你想想，我一看到这是3c塔，然后这是六分之派。如果给六分之派乘上三倍，不就是二分之派吗？所以说这时候怎么办呢？我可以这样摆。我看到了这里面当中是3c塔，我就立即令什么令这个3c塔等于t，然后这样的话，一换的话，

你看你零是零。你这样的话就变成了二分之派。cosine t的平方，然后这个部分呢？是三分之一dt，因此这里面当中就可以点火点吧。二一二分之派结束。好了，这个问题啊，你下去好好想想，所以正确答案选几啊选c啊？好这题啊，不是说特别难，能学会吧，好了我们再来看看下面这个题，

那么下面这个题啊，他又给了。他说什么情况？他说你这里面当中给了一个cos这条曲线。然后我们来看看这条曲线cosine，这条曲线的话是从负二分之派到二分之派，就这个部分。然后他怎么办？绕着s轴转。你告诉我这些图是什么图啊？这个东西很明显是x型图，我一看到x轴，我哈哈大笑，所以说这个部分的体积是多少？来给我套多少？

v等于派倍的负二分之派到二分之派，然后是什么coss的平方ds？然后这个对称区间偶函数二倍，然后就是零到二分之派coss方ds，所以说这个部分是二分之派。二一二分之派，所以这个东西预约就是二分之一倍的排放，所以正确答案选几啊选c。好了，这个题啊，也不是说特别难，包括最近段时间我们考的这个宣传题体系啊，也不是说特别的难。好，我们再来看看90题，

这个题。啊，这个题。这个题啊，就是在这里面当中啊，稍微玩点花对吧啊，但是其实难度系数倒不大。你来看看这个人。他说这个函数在任意点处。任意点x处在x处的这个增量是德尔塔yn。当德尔塔s趋向零的时候，满足德尔塔y等于这个人乘上德尔塔s，加上这个高级无穷小，这什么玩意儿？德尔塔y。

等于一个什么呢？等于一个dy，再加上高阶无穷小吧。是不是这个东西啊？有同学没看出来，你没看出来，你好好自学哦。跟你基础班学的好坏没关系。跟你强化班学的好坏没关系，我们冲刺救命班，我们又讲了一遍，你要一点都没想起来，你根本就没复盘，你这问题很大，你得调整啊。

那这些东西我眼睛一瞅，我都发现这是谁出的增量？s处增量，那这个部分东西其实就是s处的微分s处的微分其实就告诉我们这个部分是什么？这个部分是x处的导函数。对吧，那所以说这里面我们就可以做了呀。你把这个东西你稍微操作一下，马上就知道ifs就等于多少，就等于这个人的不定积分e积分是多少e的负s+c。好这个人呃，这个题少一个条件吧。得得加强，你得加个条件。那不叫斜率哎，

行吧，你说斜率也行。好注意一下这个事，微分的定义。如果x处的增量。它就等于is处的导函数，再乘上德尔塔s，加上这个高阶无穷小。那么这里面我们来看看这个事。呃，消不掉。消不掉这个题啊，少了个条件，你加上。你加的这个条件零处等于零。

好吧，你加个条件。不然的话，这个。零处等于一。临处等一。你加个条件，零处等于一。所以说这里面当中啊，又因为f0=1，所以等于e的负x+c=1，对吧？这是一加上它。所以c是零，那c是零的话，

马上就知道哦，原来给的这条曲线是多少e的负x？好了，这是这个人，然后接下来他说这个曲线与iy=0和x正半轴所围成的区域。那么，接下来我们来看看这个区域，那这个区域是什么呢？你这是e的负s是什么样子啊？你是一个单调递减减下来的这条线吧？那跟y=0就是x轴。要注意是这个什么呢？y=0 x正半轴y=0 x正半轴不就是这个区域吗？y=0是x轴啊？s轴这个曲线正半轴不就这个区域吗？

那这个区域的话，让我们进去去求旋转体体积那你看。这个部分图形是不是s形图啊？s形图我哈哈大笑，绕着s轴旋转一周来走，零到正无穷派倍的这个人的平方e的负2 sds。然后接下来我们再来看vy vy这个人是零到正无穷，然后多少是二派s再乘上e的负sds。那直接套公式就行了，然后把这两个东西啊，你去计算一下，你先看第一个计算，第一个计算结果是多少？那这个计算也非常简单，你可以直接算呗，

那这人是拍。然后在后面进行去补一个多少负二，你前面就要乘上一个负的二分之一e的负二s，把零和正无穷算带进去。然后这是负的二分之派。那这个东西怎么办呢？你发现看e的这个正无穷带进去，这是正无穷负无穷e的负无穷是零。然后的话，这个e的零是一，所以说这个结果是二分之派。看懂吧，好，这是第一种方法，还有没有方法呢？

也有。你还可以这样做。我们都知道这个东西叫伽马函数的推论。这要记住啊x的N次方n是正整数xn次方，其实自然数也行x的N次方e的负s，这个人反常积分等于n的阶乘。那比如说我们先看第一个人。你看直接是e的负se的负s，其实就是零次方零的阶乘是几啊，零的阶乘是一。然后我们再来看看零到正无穷s一次方e的负sds，那其实是一的阶乘，那这也是一，然后零到正无穷的话s什么平方？一亿的负sds，

它就等于二的阶乘，所以说等于二。能理解吧，按这样做，那你还可以怎么进行处理这个题呢？你发现你看你这派倍的，你这是零到正无穷吧？然后这个部分是e的，负的多少2s？然后你就在这里面当中补一个二补一个二，前面乘个二分之一。你看清楚吗？那这个人是不是整体啊？那这个看成整体的话，换成TT也是从零到正无穷。

e的负tdt那这个东西不就是我们刚才讲的这个第几个人不就是讲的这个第一个人吗？零的阶乘不就是一吗？二分之派，能想清楚吧，但是你要补完哦，你看这是e的负t，然后dt。然后t也是从零到正无穷。能学会吗？好，这个问题非常简单，然后我们再来看看这个人，你这个人的话，你也可以进行去补一下，你看这是二拍。

你怎么做到会速战速决呢？你看这个人，我们这块儿是不是少了一个二，然后这是诶，这个是。负s那这个部分的话，刚好是s倍的e的负sds，那这里是不是就直接出来了？那这个人是多少一次方一次方的话，这个结果是多少那一次方这个结果刚好是一的阶乘刚好是200。那其实它套的公式啊，就是套这个公式，所以现在让我们去进行求什么VS比vy，那这里面当中的VS。比上这个vy，

那不就等于二分之派比上二派嘛，就等于四分之一。所以说这个题啊，正确答案等于多少选d？好了，这个题啊呃，这个题是我们编的一道题。你看其实里面当中的综合度还是可以的。难也不难。考了一个微分的定义，考了一个绕x轴和y轴的旋转体体积公式，然后这里面当中还考了一个伽马函数的，这样的一个。啊，使用的问题，

所以我觉得这几个点呢，都是比较重要的，把它好好看看。好了，这个题啊，我们就讲到这，那么接下来我们再来看看91题，这个题来继续吧，再看这个题。那这个题啊，首先我们先来看看这个人的积分区。那么在这里面，我们还是来给他一个区域，能画就画，画不了就算了，

那这人呢？他给了一个什么？他说a倍的这个s in这个人。那其实就是零到二分之派。是这个情况，然后他说跟这个y=0，就是s轴s=2分之派，所以说围城的这个区域其实是这个区域。同学们告诉我什么星图啊，很明显s星图那s星图，他说绕着s轴转和y轴转，我哈哈大笑。那你想绕着s轴转不就来了吗？零到二分之派派倍的，然后这个人的平方a方。

sins方ds你看出来了，然后接下来我们再来看看第二个人绕着y轴转呢，零到二分之派，然后这是二派s。fs是a倍的，这个s in ds你是不是这个事情，然后接下来就计算呗，你计算完了，让这两东西相等就行。你先看第一个人，这是派倍的a方，这点火公式吧，二一二分之派，所以说就是四分之派方，然后这是a方。

好，这是第一个人，然后再来看看第二个人，第二人的话就是二派a，然后这是零到二分之派，然后这个部分是多少x倍的？这个s in。ds，那这个结果就做成这样，有人说那我把s抽出去补二分之派不对，那这个上下限是二分之派。不行，你只能直接算你一算的话，就在这里面当中，这是零到二分之派，

你就把这个s in补到后面去，你破一破一个负号。然后这是二派a两项相乘，把零和二分之派带进去，然后这个时候你再变成加上二派a两项调换位置。零到二分之派cosines跟得上吗？然后再来看看二派n。那二派a的话，我们先零带进去，肯定是零了，然后这个部分的话，一带只是二分之派cos 2分之派，它又是零，所以说前面这个东西啊，它就没有了。

这个就不算了。然后重点其实就是在后面二派a，这个积分是sins in 0是0s in 2分之派是一，所以这个结果。然后他说什么，他说这两个东西相等四分之派方这个人，他是等于二派什么二派a，那你就约一下呗。你约一下这个人，你约一下这个人，你约一下这个人，你约一下这个人，所以说这个a就等于多少就等于派分之八结束了。那派分之八是哪个答案正确？答案选d。

好了没啊？这个题啊，我们就讲到这91题。不难吧，好基本问题。所以说考研当中啊，考的这个旋转梯体积啊。我们能够进行出题的这些点呢，我相信你都能处理的很好，把这些东西啊，该算的东西啊，把它做到位就行。不难吧。好，这是这个问题，

过去了，我们继续，我们再来看看下一个问题，求解曲线的弧长的问题。我觉得吧，这个内容就是我原来一直在强化班，还说的这个这个知识点呢，对于很多三九六同学。比这个什么东西呢？比这个求面积和旋转体体积学的都好。为什么呢？因为这个点二一年，很多人觉得说超纲啊。因为觉得这个东西是超纲。导致了后来很多同学都这个学这个东西啊，

学的都非常好。啊，其实对我们三九六同学也没有说什么超纲，因为我们的大纲啊，本来说的就含糊不清啊。好了，那么接下来我们来看看这个问题，你操作一下吧，然后我们去求解一下这个弧长。那求解这个弧长啊，首先最重要问题啊，你就要记住弧微分。只要你能记住胡微分后面的东西都非常简单。所以接下来我们来看看这个问题。那在这里面当中啊，

它是这样的一个问题，这是一个is轴，这是个零，然后这是个y轴，然后这里面当中啊，给条曲线。给了一条曲线，你发现一个问题。如果在这里面当中啊，给条曲线，我在这条曲线上取一个v圆的长度。这个长度啊，就叫弧微分。弧长的微分就叫弧微分。就是在这个曲线上取了一个非常短的v圆长度，

就叫弧微分，对这个弧微分进行积分就是弧长。所以我们要记住，三种互为分，那首先第一种直角坐标系下互为分，我不推了，基础班我都推过，但是你是呃冲刺班，其实都没关系，你背过你就会做题。一+y对s求导，它的平方ds。能理解吧，如果是极坐标呢，它是这样是r方加上r2对theta求导的平方d theta。

然后是参数方程。那参数方程呢？是这个s对t求导的平方，然后再加上y对t求导的平方，然后这个部分在dt。好了，你把这个东西给记住，然后就可以做题，所以做起题来就非常简单，记住这三种互为分。然后怎么办呢？会套公式就行了，而且这个套公式啊，比那个原来过程当中去求面积还简单。你求面积的时候，

比如说参数方程，我至少写出直角坐标，还需要换圆，对吧？相当于换进去这个不用。这个直接套就行，你看这里，比如说我们在这里面当中给了一个直角坐标。这个曲线，然后它的x是从a到b。你看这个人弧长怎么办？这个弧长就是来写啊，对弧微分进行积分直角坐标系下的弧微分就是。一+y对s求导的平方ds。那后面这个东西是s上下限就写x的范围，

而且一律是从小的写到大的。下限小，上限大，下限一律要小于上限，为什么呢？你想想这个被积分函数是不是永远都是正的？永远都是正的。根根号嘛，永远正的长度，长度会是负的吗？有些同学因为学了这个数学，导致了很多同学你发现客观事实都不遵从了。你想一个问题，我们要进行去求这个长度，这个长度肯定是大于零的。

那肯定没有问题，绝对的大于零，所以说这个部分呢是正的，因此它的下限一律比是啊，这个什么上限小？所以套公式非常简单，你就最后而言就是从小写到大，哪有什么换元呢？好了，这个问题，然后接下来我们再来看看参数方程。那参数方程如果给的是什么s跟t之间的关系？y跟t之间的关系，然后又告诉我这个t啊是？是从阿尔法到贝塔。

我们来写了s等于多少走根号下s对t求导的平方，然后是y对t求导的平方。然后这是dt，然后怎么办？从小的写到大的就行，好这个问题，然后再来看看极坐标。极坐标就是r2和c它的关系。然后这个theta是从多少呢？从阿尔法到贝塔，你看你去套公式，那is等于多少来走极坐标就是阿尔法。然后是r对c塔求导的平方DC塔，从小的写到大的结束了。所以很简单，

就是套公式求弧长套公式，你要注意下限，一律小于上限就行，所以这种题就是送分题，你背过了之后就是定积分计算了。没有那么难。好了，这个点呢，我们就讲到这儿可以了吧？好，第一个问题啊，就讲到这儿。那么，接下来我们就继续吧，我们来看看这个下面一个问题，

我们把这个下面有个题啊，把它讲了看一下92题这个题。啊，这个题目。他说了一个事情。给了一条曲线，然后让我们去求解它的弧长。这什么坐标？咋了，变现函数不认识了？什么坐标？直角坐标。那直角坐标直接套空式呗，来弧长等于根号下。一+y对s求导的平方ds，

从下限小的写到上限大，如此之简单。然后在这里面当中零到多少四分之派，这是根号下一，加上这个y对s求导y对s求导不就是t an ENT吗？这个平方ds。是不是这个情况，然后怎么办呢？你继续啊。一+tangent地方，这个东西是second地方，我不给你跳步了。second地方而second这个人是多少呢？是cos OS in分之一，那cos in在零到四分之派是正的，

那正的的话，你发现一开就直接开了，不需要加绝对值。好，这个人这个积分结果是多少？是ling second，然后再加上多少tangent把零和四分之派带进去？如果你second不会呀，你就把这东西啊写成cos in分之一。好了，我们先来看看第一个人。那首先四分之派cos in，四分之派是二分之根号，二一番是多少？一番是根号二。

tan 4分之派，这是一那是这个人。然后再看cosine 0是一，所以说第一项是一，这是零。零+1是一，ln 1是零，这个结果，所以这个题的正确答案选几啊选a。好了没啊？非常容易。就是你给我什么曲线，我就怎么做对吧？给直角坐标套直角坐标给极坐标套极坐标给了参数方程套参数方程，所以这一节啊，

非常非常简单。你一定要喜欢定积分应用。一般情况下，我们在考研当中有可能会出两道题，也有可能会出三三道题，出四道不可能，对吧？要不然就是两道题。一般情况下，出一道求面积的题，出一道求旋转体体积的题啊，是比较常规的。那在这里面也有可能怎么办？你出三道题也有几率啊，所以把这个事情做清楚，

然后我们再来看看最后一个点。最后一个点，从来没考过。那么就害怕我们在这个今年出题当中啊，它出这个问题叫做旋转侧表面积。注意旋转侧表面积那么像这个问题啊，你只要记住侧表面积的这个微圆就行了。那这个侧表面积的微元是什么意思呢？我们来看看这个事情。我在这里面当中啊，给了你一个二维的d卡坐标系，然后这里面当中给条曲线。好，这是a点，然后这是b点。

好，这个人那这里面当中对那个区域我要求什么呢？我要求这个区域啊，绕着这个x轴旋转一周。它这个表面积你都知道，旋转一周旋转出来一个什么，你旋转出来大致是这样子的一个东西。啊，你旋转一周，你旋转一周，我们只用进去去求那个表测表面积，你这怎么办呢？哎，你求这个测表面积啊，我们是这样做还。

还是用微元法。那就是在x处。取一个什么东西呢？取一个ds端。你在这里面只需要知道一个事儿就行，就是这一段可以看成品看成值的。但是不能看成品德，这一段是胡微分就行。你就记住，只要你能记住什么呢？你只要记住旋转侧表面积取得这个微圆的，这个部分是弧微分就行。然后最后把它转出来，什么情况它就一转就转出来个这样的一个情况。你看我这样进行去一转，

我们就转出来，这样情况。然后这个时候这个人是多少？这是y，然后这个部分呢是ds，然后让我们去求的是什么？求的是这样的一个。面积所以说最后而言，它的这个测表面积啊，其实就是二派y。在ds好了就可以了。一定要记住。就这个人，只要你脑子里面把这个东西记住，问题点就不大。

能想清楚吗？就是这个二派y，你在ds。啊二派y在ds。怎么这个上课？不带这样的啊。你就自己也会算呐。你看刚才有同学说啊，那个题没有讲吧，你都讲完了之后，你都不知道我讲的哪个题嗯，你这个可不太好，上课注意力集中一点哦。好了，这是这个事儿，

所以说你要注意，就是二派yds。啊，要注意二派yds，把这个记住。所以说如果你记住这个人了之后啊，那么将来继续去求表面积的问题啊啊，基本上都是送分题，那这个送分题的点呢？考的是什么呢？你其实你发现就考这个问题。那操作啊，其实就是这样，如果给你一个直角坐标呢？比如说我在这里面当中给了一个直角坐标。

我说的这是s大于a，小于b。那你想你这个面积怎么去写啊？那我们套二派y。ds是多少是根号下一+f对s求导的这个平方ds后面直接是s没有牵扯到换元，直接写a到b就行。你从小写到大。你要注意啊，这个部分呢？这个部分如果它是大于零的，它才能做高。对吧，才能做那个半径，如果这个人是小于零的，你添个符号就行了，

所以说这个上下限一律是从小写到大。上下限永远是从小写到大。你记住这个问题。能听懂吧？好，这个问题。如果这里面当中给了一个参数，方程s是t的，函数y是t的，函数你直接套公式就行了，然后这个t是从多少？阿尔法倒贝塔，然后接下我们写走。二派y。你看出来了，

然后dss对t求导的平方，然后这是y对t求导的平方，然后这部分dt上下限写，从小写到大。第三个人呢？不可能考的。啊，基本上不会出到这个点，如果出也会你写一下r和theta之间的关系，那theta这个人是大于等于阿尔法，小于等于。小于等于v的，然后怎么写呢？来走二派YY是多少rs in西塔？这就是y，

然后这个部分是DC塔d，这个这是ds ds是r方加上r对c塔求导的平方。然后这是DC塔，你写c塔是从小到大好出来了。能听懂吗？好，这个问题。所以说下面这三个公式啊，不要背。你不用记这三个公式，你记住这个人就行了啊，反正一转二派y，然后ds 2派yds，你后面这个部分就套这个ds就行。所以非常的简单，

如果考旋转测表面积啊，也基本上是个送分题。能学会吗？行吧，那么这个点呢，我们就讲到这。要不然我们求一个吧。可以吗？来个题。哦，我原本我也说让四点钟上课。结果这个给我排到了这个时候。呃，那么接下来我们来一个吧，比如说y等于根号s。

你这个s是大于等于零，小于等于一，我们来看看这个旋转侧表面积你怎么算？可以吧，然后接下来我们来看看这个问题，那这个is等于多少哦？四点有英语是吗？来吧，先看第一个事。这是多少走？那这是二派y？然后这里面当中再ds。ds是一加上y对s求导y对s求导是二倍的根号s分之一，这个平方你再ds。从零记到一。

能想清楚吗？好，这个问题。把这一算的话，这是零到一，然后这是二派根号s，你看看这个人。这个人的话，其实就是如果你这个部分你开一下的话，其实是这个部分。没问题吧，因为你这个部分是四s分之一，再加个一嘛。然后最后的话，这个部分的话，

开方里面其实就是4 s+1 ds。好了，这个结果。那这个结果了之后的话，我们就可以把这个东西约掉了，零到一零到一的话，这个一约的话就是根号下4 s+1 ds。是不是这个人呢？然后这个人怎么算呢？你这个人的话，你只能做无理根式换元呢？零四s+1开方等于t。然后这个s就等于四分之一t方减一。然后换元叫换仙。你把这个零你送进去。

对吧，连送进去。这刻刀得哪儿密了啊？我都不知道我上了几节课。不都是两两次课程一次吗？两次课程一次，其实这个东西也可以不用换的啊，直接出来出来就行。啊，直接凑也行。我们不是两两次，两天一次课程，不就是周末考了一个试嘛，那考了个试不就把那个卷子给讲了嘛？那你如果卷子做的还挺好，

那你可以不用呃，全听都行啊。好了，我们接下来继续，我们再来看零到一这根号下多少4 s+1 d多少4 s+1。然后这个补一个多少四分之一，然后这是四分之派，然后二分之一，二分之三，三分之二，然后这是四s加一的二分之三次方。把这个零和一带去好这个。那么，接下来我们就继续，我们再看那这东西预约的话，

这是六分之派。你把这东西操作进去。那这个操作进去把这个一代进去的话，这个部分是几呢？这是九，然后这个部分是27，你再减一。所以说就是六分之派，再乘上多少二十六，所以说就是三分之十三这个派。可以了吧？好，这个问题啊，我们就讲到这。跟得上吗？

所以你看看这个旋转侧表面积啊，你要会所以非常简单，你只要记住什么，你只要记住那个是二派。y然后ds只要记住这个东西啊，你就会套公式就行，所以如果考这个问题啊，这也不难，那最后最后剩下的就是你的定积分计算能力。但是我这件事我要说。你没发现你这个定积分的计算能力。又很重要吗？你说你会列式子。你什么东西都能做的很好，你就是不会算，

那也拉倒。你这个东西的计算又要追寻到不定积分的计算吧？你说你会列式子，然后这个东西啊，你这个算不对，这也不行哦，这是。二分之三啊。好了，这是这个点吧？嗯，怎么了这是？指数是几啊？哦，这是四是吧？

你说哪个东西啊？补了一个汤。二分之一，二分之三。三分之二，你说哪个呀？

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