11.冲刺串讲11-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:02:58

好同学们，行，那么接下来我们继续吧，我们再来看看这个下一个问题啊。嗯，保证好睡眠，但是。说有有自己的节奏，但是有的时候啊，你们这个出现问题及时要进行去改正，对吧啊？这个尤其有些同学做模拟卷的。我觉得最重要问题就是你，比如说你做模拟卷，你要把上面的一些问题啊，

你一个一个的改正过来啊，这个很重要，好了，我们继续吧啊。可以了吗？好，那么接下来我们来看看这个啊，不是特别热门的，这一点要不这样。我换一种，我们把这东西啊放到一块儿再讲啊，我们先来看重要的对吧，这个次重点我们都放到最后讲。反正我们可以这个就像这个，我们这次冲刺的救命班，

这个讲解一样，你看这个第一章的时候，你像那个数列极限，有些部分的这个计算，我们就放到这个后面。啊，当然定期分定义是很重要的。然后这个第二章，第二章的这个情况的话，你发现后面有几个点，我们又重点补充一下，要不这个我们等会儿再讲啊，我们先来看重点。先来谈谈定积分的几何应用。这个人呐，

这个可是必考点啊，那不不要我们不要每次听课，你一会儿听这个必考点，那个必考点，那这就是必考点，那没办法，对吧？所以啊，标上啊。对吧，这黄金重点两个事情。一个事情是求面积。一个事情是求旋转体体积。这两个东西的出题的概率是非常非常高的。啊，

非常非常高。所以接下来我们来看看接下来的题。呃，不要着急，这个事儿啊。你看我们周日这是一二三四，也就是到那个月初的话，我们还有这个七八次课程。你是把这一轮过完了之后啊，你再进行去呃，可以进行去好好的进行做模拟卷了。能能理解吧啊。好了，我们继续吧，我们来看看下一个问题。

好看一下这个梯形30。那么，接下来我们来看看这个里面当中的第一个问题，求面积。直角坐标求面积啊，是非常非常简单的。一个事情呢，你是把什么呢？你有可能把x作为积分变量。有一种情况，有可能是把y作为积分变量。就是你这个积分变量的对象，有可能是对x级，有可能是对y级。好，

我们先不说别的，我们先来说x这个人。对吧，我们现在来先进行去重点的看看，假设我这个东西是对x进行积分，同学们告诉我那么通常考试的过程当中有这个图吗？没有这个图。是没有的，所以说你在做考试题当中，你要学着进行去画草图。请注意是草图。那草图这个东西需要那么的详细吗？有些同学就在那瞄点进去，去画画的那么的详细，你画一个图两三分钟，

我们做一个题两三分钟。你这怎么考啊？所以你就画草图就行，我原来就跟你讲过。如果是这个定积分求面积，你非常在意的事情是什么？我非常在意的事情是。你一直都是正的吗？如果一直都是正的，你a到b的积分就是面积。如果你一直都是负的，我从a到b的积分是面积的，相反数。那还有一种情况，就是最害怕的是这种点，

就是你会跨过去。有个c，这个点。那这个时候的面积呢？就是这个定积分再减去这个定积分。所以我们往往要需要进行画草图，我非常在意你是横针还是横幅，还是一会儿正一会儿负这个问题，是我非常注意的一个点。那么，如果这个东西出来之后，你求这个面积怎么算？那不就是大的面积吗？大的面积就是从a7到b，然后对这个y2s积分。

然后减去小的面积a到byes积分。所以就是大的这个人呢，你再减去小的。好，这第一个人没问题吧，所以最后得到这个情况。然后接下来我们再来看看这个下一个问题，你再看这个。好，我们继续，我们再看这个人。那这个人积分呢？你这个人就要对y积分，你就是从c到d对这条线进行积分。对吧，

你是对y积分，所以你要把x解出来。写成y的函数从c到d对y进行积分。然后再减去这个小的c到d对这个什么x1进行积分，所以两个一减就行。就是你这个减呢，你永远注意它，永远都是大减小。你这是切记切记的。沿着这个方向，它会变大，所以这个x更大这个人啊，这个更小大的减小的。如果是往下投，你要看谁更高，

你这个更大，这个更小。好了，这个很简单啊，我觉得直角坐标求面积是最容易的。画出草图，然后你看看选一个积分变量。对吧，你选积分变量是选对s积分还是选对y积分呢？你看看那个图，你把那个图一看，你就知道是对s积简单还是对y积分积分？它是简单的好了，这是第一个人。然后再看第二个事情，

那是极坐标。啊，再看第二个问题，极坐标。第二点，那对于极坐标这个人呢？你发现。我们的积分的这样的一个公式是什么呢？是二分之一r方dct a。有人说啊，老师我见过。可以用二重积分求面积，这不是我们的考纲范围内。你也不会要二重积分呐。有人说那我学过，

那行吧，我们现在站在大部分的同学的角度上，我们考纲没有要求这个知识点。你就记住公式就行，那么这个人就是从他的起始边的夹角。起始边的夹角是阿尔法。中点边的夹角是a的。啊，起始边的夹角是阿尔法。中点边的夹角是贝塔，就从阿尔法到贝塔，然后对什么呢？对这样的一个斜边的极坐标方程。进行积分。所以就是二分之一。

阿尔法导贝塔那条绿色线的阿尔法DC塔，所以二分之一阿尔法DC塔。二分之一r方dz塔记住它这个东西，今年考研的这个几率很高啊。二分之一r方DC塔。然后我们再来看看这个d4，这个面积，这个面积怎么求呢？你要想进行求这个面积啊，那很明显是大的减小的。你看这个大的怎么求呢？这个大的话，其实就是阿尔法到贝塔，然后是阿尔法方gz塔。你再减去这个小的小的是谁呢？

是二分之一阿尔法到贝塔是r一方DC塔。所以说这个结果就是二分之一阿尔法到贝塔是阿尔法减阿尔法一方，这个d塞塔。能学会吧，好了，这个结果注意是平方做差不是做差的平方是你的平方减我的平方。好，这个基本问题啊，把它想清楚。过去了，可以吗？所以说这个极坐标求面积啊，你是要回的。然后最后一个事情，其实还有一个人，

还有一个是叫做参数方程。我把这个参数方程呢，我们来稍微讲讲啊，还有最后一个点。第三个点。虽然这个考点呢，数学三同学不要求，但是三九六同学还是要会啊参数方程。确定曲线。求面积啊，这个问题。所以说接下来我们来看看这个问题啊，说实话，这个东西啊，它相对于上面这两个人更冷门。

如果考还是大概率事件，这个东西的概率更高一点好了，我们来看看参数广场。什么叫参数方程呢？它这样的一个问题。就是我们在这里面当中。给了一个函数曲线。请注意是y跟x之间的函数曲线。所以说这个曲线方程呢，应该是y=fx。但是这个y=fs啊，你想清楚。这一条线，它的函数关系就是y跟x之间的函数关系，是不知道的。

就说你这个y。跟x之间具体的这个关系是不知道的。它只是我知道x跟t之间的关系，这是知道的y跟t之间的关系知道。但是y跟x之间的具体关系啊，你是不知道的。最终确定了一个不知道y跟x具体函数关系的一个曲线。然后让我们继续去求解这个面积。好，我们来求解。那这个面积怎么求呢？你看这个面积，它是不是a到b？你照常写呗，不就上面这条线的y对s积分。

同学们想，如果这个红色线，你能把y跟x之间的具体关系写出来，它的s积分是不出来了？能理解吧，就是y跟x之间的具体关系是你知道，那你把它带进去，那不就是它的气氛吗？你就出来了。但是呢，很尴尬。我们这个线呢，我只知道什么呢，我只知道y跟t的关系。我只知道x跟t的关系，

我不知道y跟s的关系啊，所以我怎么办呢？我要把x换成t。所以你就记住，如果是参数方程进行去求面积，先写直角坐标，再把s换成t你换圆要换线。s是a，你是阿尔法，你是b，我是贝塔，然后这是y跟t是啊yt值是y嘛，是一样大的。然后is CT求导dt。所以你对应的是阿尔法，

你对应的是贝塔，这是t的范围。好了，你能听懂吗？那现在的话，你看这都是t的函数对t积分，这多简单。所以说参数方程求面积就是先写直角坐标，再把这个参数方程当中的x和t之间的关系给我塞进去就行了。相当于换元法。好，学会了给我回复一，不要再忘了啊，我最害怕的很多同学给忘了。你学了一整很多东西，

最后你学学学着学着学着这些东西都不记得了。好，这个问题啊，我们就讲到这。好了，这是我们讲的这个第一个问题，我相信直角坐标求面积还是比较简单的。那么，接下来我们再来看看这个第二个问题。我们把这里面当做来看看，87题这个题。那这个题啊，我们来多讲几个点啊，把这几个常规曲线我们来讲讲。因为在考研的时候啊，

其实很喜欢考这条曲线。啊，第一个人。他喜欢考什么？喜欢考新形线。没有出过题啊。从来没有出过题，新型线。新型线的方程呐，它有四个人。啊，有四个方程。那么有四个方程，我们现在来给你教一个。你教一个的话，

别的东西啊，你就会画。那么，在这里面当中的第一个人是a倍的一+cos theta？好，这个信息先。你学会了这条线的画法，别的线你就会画。那么在这里面，我们来看看这条线。来画出这个里面当中的x oy的d卡坐标系。大家告诉我。什么时候这个r最大呀？你最大的时候r最大，所以说theta为0度的时候r最大。

最大的时候等于2a。theta等于派的时候，你就是负一，你是最小，你最小就是零。所以沿着正方向是0度角跑2a的距离。哎，跑2a的距离沿着零反方向跑，它就在这儿，所以说最后而言它是这样。好了，他是这样的一个人。啊，不是圆，是这样的一个信息线。

所以你看你就会画了她，还有一些姊妹篇。对吧，还有一个r等于a一减cos theta。那还有一个是r=a一+sine theta。还有r等于a一一减s in西塔。那么，同学们，我们一起来看看这个事。那你想想一个问题。就这个人是往哪儿朝的呀？朝哪边儿？你这个人呐，你什么时候最大？啊，

什么时候最大你去想吧。c它等于派的数最大吧。三等于派的时候的话，你发现你这个人刚好等于多少？等于2a，所以应该是朝左。你这个时候什么最大二分之派二分之派的时候，你最大你最大是多少是2a是朝上？这个呢？是炒虾好了，我们不画了，你画一个就行。会了吗？好了，这个问题。

你记住它那么这个心形线的面积等于多少呢？来，我们走。s这个面积啊。它就等于二倍的一半的面积。对吧，二倍的一半儿。那这一半儿的话，那个边的话，你看看这个边。这个边的话，它很明显是以极坐标方程给你的。那所以说我们要用极坐标来二分之一。起始点夹角呢。起始点夹角，

这个夹角是多少0度角？这个呢？夹角呢？是不是从零走到派啊？所以说这是林道派。二分之一。阿尔法到贝塔阿尔法，阿尔法是a方一+cos塞塔的这个人平方d塞塔。好了，我们就可以写把a方提出去是零到派。然后这是一+2倍的cos塞塔，加上cos塞塔方d塞塔。好了，给我速算。第一个积分是多少拍？

这个积分多少？你cos这个人？林道派。你上跟下是不一样的。你上跟下是一样，这就是零啊。然后这个是零到派的话。平方你就翻上去了，这是二倍，那二倍是多少？二一二分之派结束了。能理解吧，你翻上去两个两个零到二分之派，二一二分之派。点火工是一家人吗？

会做吧？好，这题结束了。所以最后的结果啊，它是二分之三派a方。你看，这是第一个人。能学会吧，好，我们再来看看第二个人。哎利奥利奥这个人呢？其实就是双牛线。好，这个人双6000，这个人长什么样子呢？

它的方程是这样。是x方加上y方的平方等于a方倍的x方减y方。啊，这双钮线。那双扭线的话，它的方程是这样。然后你看你令x方等于y啊，这个什么极极值转换x方加y方，这是r方r方的这个人的平方。a方，然后这个部分呢s方是r方cos塞塔方。y是rs in西塔那r方s in西塔方。约掉一个阿尔法。然后这是a方cos西塔方减s in西塔方cos 2西塔。好了，

双扭线的极坐标方程，你是要记住的。然后接下来我们来看看这个人的图形长什么样子呢？你琢磨一下。喂，这是它。你回答我什么时候最大呀？那很明显，西塔等于0度。0度的时候，你发现它最大。那当然，还有。你这个人转一圈，他也能追到。

所以如果theta=0度的时候，你这个人r是不是刚好是a呀？而且同学们，你想想。我这个cos啊。这个人应该是从零到二分之派走，比如说我零到二分之派，我赚零到二分之派。零到二分之派往过进行走。对吧，零到二分之派往上走。嗯呃，没有没有，一会一会那个下课我再跟你聊这个事情啊。行吧，

时间还来得及，你你先先不要不要去想这个事儿。行吧，一会下课我们再给你说这个问题。感觉嗯，有有点焦虑的吧啊。好了，我们来看看这个问题，所以说你看你这个人。比如说我这个人从零到二分之派走。那sita这个人其实就是零到四分之派。因此这个人呐，他其实你会发现一个忘问题，他就这个情况，他这个人的线呢？

它不会超过这个45度。它也不会超过这个135度，你注意啊，有人说啊，老师，为什么你就把它给我记住就行了啊，然后这个人呢？他就是这样。扭了一个疤。好这个人，所以这就是双扭线，你这个点最长，这是a你这个点是负a这个夹角是45度。呃，这是45度，

它不会超过的。所以接下来我们来看看这个下一个问题，你看这个题，它就让我们求解这个人。对吧，你把这个人算一下吧，来求这个面积，这个面积等于多少？四个这个。四个这个区那四个这个区域的话差是多少二分之一，然后从零到四分之派。r方。斜边的平方，斜边的平方刚好是a方cos 2c塔DC塔，是不是这个人啊？

所以说这个结果他就转出这个人，哎，所以说这个人呢，他最后的话是二倍的a方零到四分之派。cos 2西塔d西塔这个分很好记哦。对吧，很好记那么所以说这个结果它是二倍的a方啊，对吧？它的a方是几是一？a方式一是二倍的这个人。二倍的这个人你选几啊？选这个人啊？啊，不是这个人选这个人。好了没？

行吧啊，这是这个问题点。琢磨清楚吧。还来得及我这这这。总总感觉这个又不是明天就要考研了，又不是下周就考研了。啊，慢慢来啊。好了，这个问题啊，我们就讲到这87题。可以了吧？哎，那么接下来我们就继续，我们再来看一看。

啊，再来一个呃，再讲一个。那我们考研，我先说个想。他不可能说。求心形线的面积。你注意他不会这样出题的。他怎么出题呢？他他不会这样出的。所以你不用担心这个事情，比如说这个题，他这样来。啊，我们通常这种这个题的话，

呃位置的话，应该是在16题左右，假设是第16题。我们求什么东西呢？我们求说求心呃，这个直接来心形线。呃，这是星形线。线的面积是多少？对吧，来个括号。然后下面abcde这几个选项不可能。啊，不会这样出的。不会这样的，

新息线是谁？你考研大纲，你又说这个信息线吗？数一数二数三同学也不敢这样说。信息念谁呀？让那不是大纲要求的见吗？所以你要想清楚，他肯定会给你。他不会这样说。它会怎么办？他说，已知曲线的方程为r=a倍的一+s in西塔。则该曲线所围成的面积是多少，它会这样出，它不会告诉你星期几。

你听得懂我的意思吗？你说刚才这种出的恶心哎，他这样换他也会恶心你。你听懂我的意思吗？他不会跟你说啊，这是星星星，怎么可能嘛？说已知曲线等于它，则它围成的这个面积是多少？好了，这是这个问题，我们接下来我们再来一个。啊，再讲一个。第三个人，

第三个人呢？我们再来讲一个。啊，它叫做星行线。啊，星形线那星形线这个人长什么样子呢？那他直角坐标方程就不用背了啊？是如果考研真的是考到这种程度了，那那真是没有意思了。数一数二数三也，30多年也没见考到这样。肯定会考新形线，那如果这个题的话，给你直角坐标方程，我还没见过啊。

所以我们直接来。s=a倍的cosin t。y=a倍的sint。那么，同学们告诉我这个是什么呀？哎，这是个圆。你听好了，这是个圆。哎，这是个圆。那这个圆的话，你发现它不就x方加上y方等于a方吗？圆半径是几啊？半径是a。

啊，是个圆。那这个圆的话。他这是圆，他不是信息线。它得在这来个三次方。那三次方的话，你注意这些点，它不会变的，因为你看t=0的时候，它是一一的三次方还是一？啊，所以它这些端点不会动的，但是你三次方以下你都知道cos是负一到一三次方以下肯定是变小了。beta I所以就这个型。

这个线呢，就叫心形线，那我们来求一下这个面积。啊，面积，所以这个人呢？你怎么做呢？你不用继续去担心，说老师我不知道这条限时信息线，我就问你个事情，咱把这几个字儿给抹掉行不行？今年考研就出了这样的个题。然后让你去求这个面积，你会做吗？会做吧好，

这是李三。那所以说这个人的话，他就是四倍的这s1。刚才教你去求这个，如果是参数方程，求面积怎么做？参数方程求面积第一步。你怎么办？你你你想算我们假设没有这幅图。有这幅图的好处，就是你知道了四杯。没有这幅图，你也信呐。那然后的话，你看就是从零到a上面这条线对y对s几分，

你先写直角坐标啊，零到a，然后这条线对s几分。然后怎么办？我就把这个x。再送进去。那把这个东西送进去了之后的话，你就会发现。那你会发现看。你s你s现在是零，你cosine多少等于零，你cosine 2分之派。你s是a那cosine=1那cosine多少等于1 cosine 0是一。不画图不行吗？那所以这个操作你看你就知道这个四倍的。

然后接下来我们把这个y带进去，这a倍的sint的这个什么？三次方，然后这个s进行求导是a倍的，来求一下。三倍的cos方。cosine再求导是负的s in tdt。然后继续两步操作，第一十二三移出去，这是12a方移出去负号出去变换上下限。然后是sint的四次方cost的平方dt。那因此这个结果只是a方零到二分之派怎么办？把这个东西写成一减。那是四次方再减去几次方六次方同学们告诉我是不是就可以点火了？点一把火就出来了，

然后这个人呢？他就是四三二一二分之派。六五四三二一二分之派。好了，这是这个结果。直接背答案，背结果那那那别别别你别这样学。你让我深深的想到了一件事情啊。我想到了件什么事儿呢？我给你看一个题。我每次遇到这种情况，我就感觉到无语啊。这是一道这个。我给你看一个题。有一年呐。

这个里面当中。二零一八年的时候，这个数一数二，这个是数二同学的题数一数二同学都能做。然后这个数学二同学考了一道这样的一个题。考了道什么题呢？他说这个东西由这条线，这是个摆线，一会我会讲这是个摆线。说这个东西有百线围城，让我们计算这个二重积分。你要知道有一个什么东西呢？有一个。我我说一嘴，你听不懂都没关系。

就是如果计算这样的一个二重积分的话。它就会等于你，比如说这个摆形假假设啊，假设这个图形在这儿。它就会等于多少呢？它就会等于这个图形的行星再乘上面积，这是一个高手操作方法。这比参考答案要快了N多倍。有一个非常强的这个方法就行星乘上这个面积。那我们比如说你发现还有一个y。y这个人呢，他就会等于y你听不懂没关系啊，你听我说。就是它等于y的这个行星层面积。然后你看比如说这是二，

我们知道这个人的对称轴在这儿，它的行星肯定在这儿，它的x行星坐标肯定是一，所以说这是一乘上面积。对吧啊，一乘长面积。所以那年的话，我们有这样的一个方法，有这样的一个方法了之后的话。你不知道的时候，你不要在那瞎说话啊。没有这些东西，你现在的通信，你现在做的所有的东西，我们还在这上课呢。

我们还上直播课呢。你可千万别这样啊。你你怎么能对得起你是个大学生，说出这种话呀，对吧？你就跟有的时候你去刷一些这个帖子呃，比如说你去看看那有些这种，尤其是读研读博了之后。你上课的时候，那很多的话，这种课程得英文上课一个方面的话，因为确实很多顶级期刊顶刊。对吧你，你就是我们都能听到的，就比如说自然对吧nature，

那么你基本上就是很多专业的顶刊。基本上都是其实都是在这个，咱也不是说崇洋媚外。很多一些词儿你你用中文翻过来，其实对应的不是那么的准确，比如说我举个简单例子，今年二零二三年。最新的期刊。你如果及时的有些的话，这个期刊的话，有可能的话，你及时的换这个中文，它找不到对应词儿，所以你就得学习这个东西，所以你看很多用这个英文上课，

想不成啊。怎么在中国还用这个英文上课？你注意，你们就不要想到这样的一个问题了啊。好，回到这个事情上。所以那一年考完了之后啊，我就觉得奇怪了。然后二零一八年考完了之后。诶，一九年的时候。咱们莫名其妙的市面当中，就开始总结什么呢？以前的话，我们只会讲摆线的什么图形，

怎么画？摆线的面积怎么去求解？我就觉得那年结束了之后，怎么那么奇怪啊？比如说这是百间好第一列面积，第二列x行星，第三列y的行星。啊，所有的东西都在这儿。然后接下来这一年的之后，有些的话这个讲这个题，你看你只要背住我这张表，这个题秒了我疯了，我觉得。还有这样子的。

那年考完了，你给我总结个这个，然后第二年说你给我背过这个东西，你就会做这个题，那什么玩意儿，对吧？那如如果今年呢？那二零二四年考完了之后我再给你总结一下，我讲给明年同学，我说你看。去年给我备注，你给我备注这张表，你给我秒了。这又什么意思？这叫学数学吗？

数学这个东西啊，一通百通好了，我不说了，回来。所以最重要问题就是你到底有没有把这个东西学会？对吧，你有没有把这个事情学会这个内容有没有掌握清楚？好，这个点呢，我们就讲到这儿，这是行星。能学会吧。好了，这个问题啊，我们就说到这可以了吗？

然后最后一个事情。摆线摆线，你不会画也行啊，然后的话第四个你留着下去自己做。如果一个题给了一个这个人。你试一下，你不会画图，你会做吗？这个你不需要绘画图。他会给你。就题里面里面当中啊，他就给这个什么，他说我给的这个人。来请告诉我它的面积是多少？不会画也没关系。

把这个题啊，留作作业。你不需要，明天再看一遍。你今天就把它给我搞懂，我没有讲什么，同学们。你为什么觉得多呢？你是因为新形线你不熟悉，你觉得这个东西是双扭线，你不熟悉，你是觉得这个是新形线，你不熟悉。但同学们，你跳出来我就讲了两个问题，

第一个事情，直角坐标极坐标怎么进行去求面积？参数方程怎么去求面积？有没有发现你只要会套公式，你这块儿就能拿分儿？你都会拿分，而且这几个例题都是冷门点，它不是高能这个热门点。热门点是什么？我给你一个常见的曲线，你把这个面积给我求出来。你去看看近三年的真题。好了，不多说了，你跳出来一定要自信一点。

其实就这几个问题。那么，接下来我们来看看今天的重点。来把这个内容。今天之后，谁再不会这个问题啊？这个内容你就有点不好意思了。说实话，有点不好意思了，你能不能有这种魄力，你安静一点，你这心情太复杂。心情太浮躁了啊。你在上课呢，你在想我还有好多题没做，

你在做题的时候，你说你政治还没背完。你在复习政治的时候，你说你哎，我还有好多专业课没背完。那那那你这这段时间的效率，你肯定不如暑假的。所以对吧，沉下来来，我们继续。旋转体体积。那么，接下来看看这个问题。好，我们看看旋转体体积怎么去求解？

那么这个问题啊，我先说一下这个事儿。第一个问题，你们考的大部分的内容，其实只有x。和y轴端。顶多绕着一般轴转，你要会推。对吧，绕着一般轴转，你要会推。所以这里面当中嗯。我大致讲讲可以吧？这个必考点。啊，

必考点来看看这个问题。必考点，那必考点呢？首先我们先看第一个问题啊，叫做绕着什么？绕着x轴。和y轴旋转的问题。那么像这个人呢，给我背公式就行了。就这么简单，背公式套公式就行，有人说啊，我以前学过二重积分，你不会二重积分呐？所以这个问题啊，

非常的简单。那么，所以首先第一件事儿，我们来看看这个问题。你在这里面，你就掌握住两个问题。呃，我先这样吧，我们先画。第一个人呢？他是这种图。好，我们先看那这个图形呢，它是这样的一个问题。y这是零。

然后这个部分呢，它是x。然后这块。有一个。这曲线。好了，这个问题。那么，接下来我们来看看这个事儿啊，等会儿我们再敲吧啊，你先听我讲那么，首先第一件事儿，我们想绕着x轴旋转。第二事情我想绕着y轴旋转。我问一个问题。

你琢磨一下。你想想绕着s路转。如果让你去取微圆的时候，你是竖着取还是横着取啊？竖着去吧。就竖着取个条呗。哎，能听懂我的意思吗？你你想清楚，我肯定是对我竖着取个条。那如果是。图是这样子的。那如果是这样子的话，你怎么取啊？你横着取吧。

你这取个条。所以我们现在来看看这个问题。如果是绕着s轴转。那s轴转怎么办呢？你就这样。我就在x处。取一个长度为dx的条。这个条就叫微圆。记住这个思路。在x处取个ds的条，大家告诉我ds是什么？ds是趋向于零的。贼小小到无，基本上就没有，这俩都跟挨到一起一样。

你比如说我举个简单例子。这个我举个例子。你看假设这张这张纸，这张纸其实有两层。这个两层，你看这这张纸的话，有两层，这这两层挨着小不小？非常小，你这张纸有两层，你其实这两层之间有没有距离有距离呀？你如果说这两层没有距离，不可能。这两层之间肯定有距离。但是这个距离比你所看到这两层贴到一起的那个距离还要小。

就是虽然有距离，它已经是基本上就趋向于零了。你听懂我的意思吗？趋向你了。那么，接下来我们看，因为你下面太小了，我就把上面看成了平的。那么这个时候你琢磨一下。我们这里面你就可以看第一个事儿。怎么回事呢啊？来我们进行看你如果绕着什么绕着x轴转。它是不是就是这样？对吧，那这时候你看你这个柄，

你这个高度是这个是多少？你这个是x处的高度。你这个厚度是ds。所以说这个微原体的这个体积是多少是派？fs就是y派y的平方在ds。派y平方底面积，这是高，然后这是微原体的体积。微原体的体积让它从a到b累加一下，就是体积，所以微原体的体积出来之后，你就来进行去积个分。那就是多少a到b，然后这是派y方ds。好了，

这个问题啊，我们就讲到这。跟得上吗？能听懂吗？好了，这个问题我们就讲到这会了吗？这是第一种模型，叫圆饼模型。它是个丙。圆饼模型。原笔派y方点s。然后接下来我们再来看看第二个人。算了吧，我把这个画在这。你下去思考的时候，

你也可以深层的思考一下。但到了最后啊，你直接记住公式就行。这is处的高度，这就是y，这是ds。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看那这个人绕着y轴转呢？你绕着y轴转，会转出什么情况？那么，接下来我们来看看。好，我们来瞅瞅。

那这个人呢？你要让这个条绕着y轴转。你会赚出什么？你会转出一个这样的东西。那这个人一转的话。好，那么接下来我们来转。一转能转出这样的东西。那转出这样的一个东西啊，你要想清楚。它是个非常薄的。这是个空心筒。它的中轴线在哪儿？它的中轴线在这儿。它非常非常薄啊，

极其的薄。那极其的薄的话，我们来看看这个上面。你看这个距离。你这个距离是什么呢？你看这就是这个条。这是这个部分的条。算了，我把它对应上去。你看这就是这个条。所以说这个时候你看你这个是半径的话，其实就是这个距离是x。你这个厚度是ds，你高度是y。能理解吧，

那这个时候这个面积怎么算？你要想清楚这个厚度还有没有啊？厚度基本上没有了，厚度没有了，底面积怎么算？就用周长乘上这个厚度，这就是底面积。再乘上高。这叫薄壁，这个厚度基本上没有，就是这个圆环的厚度基本上没有了。基本上没有，就是周长乘厚度。就这样算，只有这个非常小的时候才能周长乘厚度。

你学到这个今天了，我我们觉得已经不是第一轮了啊，所以你想清楚。那这个时候你就会发现。你应该不是第一轮学吧？啊嗯。很担心的。你已经我我记得应该是我在班上看。你这老同学了，你怎么今天还会在这个上面有问题？你怎么你怎么能对得起自己这么长时间复习这个内容啊？好了，我们继续吧，我们就只算这个条转一周的这个人。对吧啊，

只算这个条转一周等于。那所以说这是微原题。那因此的话，这个v这个总的体积是多少？总的体积的话，你就要从a积到b。那然后从a到b一个累加就行了，二派x×y在dx。好了，这是这个问题，跟得上吗？所以记啊，是非常非常容易的。脑子能转出来吗？啊，

就两个方向，如果阴影部分竖着转。它就是派倍的y方，对吧？派y方是底面积再乘上厚度，再来记一部分。如果这个阴影部分调绕着y轴转，y轴转的话就是二派s是周长乘上厚度，你再乘上高度，然后再来积分。记得住吧，好了，这个东西非常非常简单，你一定把它记住，就当做成最后一遍，

你下次再做不出来，你有点不好意思了。好了，这个问题。所以说这个人我们就这里面，你就把他想清楚这个事儿。啊，这是这个问题，所以啊，这是第一个点。s中。y轴好，这是第一个人。好，我们继续吧，

我们再来看。那么，接下来我们继续，我们再来看看这个下一个问题，那如果是这种图呢？好了，我们继续吧，我们再来看。哎呀我我我是真的是这个。这你都还理解不了吗？我今天讲的，你如果这个理解不了，你去看基础班，你听得懂我的意思。如果这东西你理解不了，

你去看基础班，基础班我讲的贼慢，在这个部分。啊，如果你这个东西你都看不懂。你而且不是贼清楚的，看得懂你就去看基础班。你听懂我的意思啊。好了，我们继续吧，我们来看看下一个问题。而且如果这样的你都有问题，你应该为自己极其的担心。啊，你自己下去，

你多自驱一点，不然这个问题会非常非常大的啊。好了，我们继续，我们再看这个点。那这个人的话，你想想我是怎么去取呢？我是横着取。哎，横着取那横着取的话，这个部分它是从y当中取了一个dy。那横着取的话，你想想我如果绕着x转。它是不是就是刚才照歪转，所以说其实就是这个公式，

这公式多少？c到d啊，假设c这是d。c到d把里面当中二派s就改成y，然后这是x这是dy。如果这个人绕着y转，就刚才这个绕s转来，把这个人换了。a到b，然后这是派y方是派x方dy。好，这个结果好，这个页面其实就是我们在基本上你今年会考察的点。我们没有那些大题。所以有些同学可能以前按照这个数学三同学复习啊，

在这里面当中讲了很多二重积分的。那当然了x轴和y轴转，你就直接套公式了。如果绕着一般轴转呢，你古古古尔经定理啊，肯定很快。对吧，因为古尔基地理很快。但是这里面我们在考研的时候，其实没有那么多幺蛾子，就是几个问题x轴和y轴转依然是重点。把这个内容把它拿下来。然后第二个问题其实就是如果是一般周转，你要会推。好了，

这个问题啊，我们就说到这。然后布置两个作业。理啊理呃，刚才听得非常懂的同学第一个题就不用做了。第二个我建议啊。如果你似懂非懂的同学，我建议你推一遍。自己推一遍。什么都清楚了。推一遍了之后，把它给我气死。啊，自己推一遍。如果你发现冲刺的这个部分的东西，

你没有听得懂。你连我画的这个图都听不懂，你去看基础。你听懂吧，就把这个知识点干掉。怒拿两分，这是必考内容。能听得懂我的意思吗？就说你如果的话，你听的不是说特别懂，你把它给我推一遍，你推一遍，把它给我气死。如果你觉得这个东西你还看不懂，我还给你个方案，

你去把基础班的找到，这一节把它好好听一下。问题一点一点不大。好了，第二件事情。再来看，然后你注意，这是非常简单的问题啊，它不难。然后接下来我们再来看。你自己下去。给我做一下这两个题。这都是原来讲过的。然后第一个题就是这是y=fs这个人。然后这是a，

这是b。那么请告诉我，然后这是y=gs这个人。你告诉我第一个事情。它绕着x轴。转一周的体积怎么算？第二，事情绕着y轴转一周。它的体积等于多少？好了，这是这个第二题。然后接下来我们再来看看第三个题。第三个点。那就是如果这里面当中。我给你一个。

这个图，这是a。这是b，然后这是y=fs这个人。我要让你去求解什么呢？我让你去求解。这个人绕着。曲线外的这个什么区域外当中的一条线，你旋转一周。有人说，那我学过二手积分，那你用二手积分推推就推了啊。然后再来看看下一个事情例四。然后这个东西啊，你绕着什么？

你绕着这条线。啊，你绕着这条线，你旋转一周。好了，你自己下去把这几个题做了，我觉得问题点就不大啊，就这个内容。所以这个东西啊。全部都问题点就结束了。能听懂吧啊。那第一个问题。把这东西不会我明确讲不会。不会啊。你咋不进去去学那种极坐标，

绕着这个什么极轴转呢？真的是把我们三九六同学当什么呢？当数学竞赛的同学进行去准备嘛。这些点已经考的非常的稳了吗？我实在是不知道，如果考那个东西，他到底是想考什么呢？他到底是想让你上，还是不想让你上？这叫选拔性考试吗？那也不叫选拔考试啊。所以在这里面，你就把这些问题做到位就行了。你是看到了太多的这个数，一数二数三同学部分内容吧？

而且数一数二数三，从一九八七年到现在。虽说我们在平时训练。一九八七年呢？一直到二零二三年的所有的真题。就算数一数二数三同学的话，这个部分内容你发现虽然我们平时的训练。对吧，平时训练我们会练很多，绕着s轴转y轴转，一般轴转我们都会练一练。但是到了最后的考试。你去看看，基本上都是x轴和y轴。能理解吧，

所以说你把这个方向性啊，你想清楚。哎，这个人好了，这是这个问题吧？跟着上吧，把这个东西啊，你自己截一下。好，这个还有这个。所以去推一下这几个问题。呃，当然，我相信肯定是嗯。你你注意啊，

这确实今年还比较卷，因为我们今年班级上人数也比较多，我们基础班呢，到这个强化班很多同学有些人打的非常的扎实。你可能看到有些呃，还有一些好点的同学的话，这个他也没有听这个冲刺班，他可能进行去复盘。对吧，那所以我觉得你得你得做扎实。你得把这个相对应的东西做做好，有些东西可能这个呃冲刺救命班才是你的，你的强化课程。那这些同学的话，你就稳扎稳打，

把这些东西做到位。你缺什么东西，你要补什么，这是非常重要的，不要每天说啊，我时间不够了，怎么怎么样，时间不够了，怎么怎么样。你要做啊，对吧？所以我我觉得一个问题，第一个事情。如果你是基础班才听完，然后听的冲刺救命班，

你就把这一轮稳稳当当的学完。扎扎实实的学完，不要受别人干扰，扎扎实实学完这上面的每一个知识点，你都会的，那我们就能保证在12月24号当中取得好的成绩。能理解吧，然后如果是强化过程当中有些同学没部分东西没有消化到位，然后听冲刺救命班的这个课程。就把它当做复盘。也稳稳当当的把每个考点当做成最后一遍，都记到脑子里面学扎实，我们也能考的非常好。如果是强化的同学复习的很好，而且想还想进行听这个东西，

对吧？这个部分的同学，你在听课的同学。那你就把这个部分的东西当做成复盘了，也把它消化到位，一定还能考的非常好啊。然后再来看第四个，如果的话，就算我们强化复习的非常好，我现在在做模拟卷出错的问题，把它改正过来。改正过来就行了。比如说我这个题出错了，找到强化讲义，找到强化讲义，

这个题型我把它梳理清楚哦，公式忘了，把公式记住哦，这个东西计算出错了，下次注意。这个题型哦，原来我从来就没有把它学那么透过，好通过这个东西找到讲义，把它复盘型，这不就结束了吗？对吧，那你还能怎么样？你就做呗。保证好自己的一遍，至少至少有一遍题型是要把它做到位的。

我们的这个冲刺满分的十套卷还没开始呢。最近几次考的都是内部卷啊，这个十套卷还没开始呢。那个十套卷也是我们呃，今年所有的同学我们都会在一起进行去模考的，这样的一个卷子。但是另外一件事，凡是你做的，务必要有收获。都务必要有收获。凡你做的务必都要有收获。就是你做的这些东西的话，你比如说我做的好模具，哎呀，我错了十个十个改过来呀，

每改一个就提高一倍，每改一个就提高一倍。你把这东西你你放了不要了，那可不行啊。好了，那么今天课程呢？我们就说到这，然后下次过程我们再来。啊，讲解后面部分内容，那后面还有两个问题，一个是弧长问题，一个是。旋转侧表面积啊。行吧，

那么今天东西啊，我们就说到这。呃，我觉得我相信大部分同学。还是很好的。那如果有个别同学的话，你特别焦虑，你得调整。嗯，得调整了，把状态调过来。希望那么今天课程呢，我们就讲到这儿。注意！这怒拿两分。

周日那套卷子的话，我是当天下午讲两点到四点钟，我讲那套卷子。4点10分到6点10分，我们再讲下一次的课程。能听懂吧，你去看课表，以后不要再问这个了，你去看课表就行，你课表上都有。对吧，你去看你课表都上上上这么久课程了啊？所以那天下午啊，有些这个卷子啊，你只想听自己的错题，

你可以看回放。可能那天下午呃，时间比较长一点，因为因为我觉得拉着拉成两天的话，一会儿这占你占你半天，那占你半天。那还不是一下午，我们就把这个东西给搞完。然后你自己的时间，你可以合理安排。好了，这个问题我们就讲到这可以了吧？所以希望同学们下去好好把这个相对问题好好处理处理。呃，强化没有听概率和现代。

有一点问题。啊，你可以到了后面，你再一起模考也行，这个都无所谓，你想试试的话，你也可以继续去呃试一下，这个考试都可以。好了，那么今天课程呢？我们就讲到这儿好吧，同学们自己下去把相关问题啊，好好处理处理。行吧，好了，

那么今天部分的内容我们就讲到这今天东西啊，有几个问题很重要，变现函数。定积分计算，还有刚才过程当中，我们求面积，求旋转体体积的这个事情能理解吧？这不是鸡汤。这不鸡不是鸡汤，我从来不熬鸡汤。因为这叫策略。这是复习的策略。也是最后一几个阶段，你复习的魄力。这个很重要啊。

好了，那么这个问题啊，我们就讲到这儿。可以了吧，你下去把这个相关的问题啊，好好进行处理处理。好同学们呃，最后一个阶段非常重要，我一直跟你谈这个事情，你前期你前期复习的所有的东西都为了最后场考试啊。好好加油，好同学们。行，那么今天课程呢？我们就讲到这儿，

下节课继续吧，好下节课见啊。还有注意周日。上午那场模考啊，注意这个时间啊，模考时间好，同学们好，下一个继续啊。

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