10.冲刺串讲10-3

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:02:35

那么，接下来我们继续吧，我们再来看看下一个问题，你们这都开始讨论这个考完了之后干什么了吗？也行啊，至少是一个动力。好了，我们继续吧，我们再来看看这个下一个问题啊呃，刚才过程当中啊，我们刚好讲了这个定积分的这个计算那么直接性的方法，我们讲完了。然后再来看看这个技巧性方法，我们讲了这个几何意义呀，还有对称区间呐，

你要注意这个类型问题的，这个出题呀。它其实呃，有的时候会出一道。有的时候有两道。然后你在学习后面的时候，你比如说求面积，求体积。这块东西啊，也会涉及什么？也会涉及这个定积分的计算。所以你要注意，这一节是非常重要的一个基础。就是如果你铺开讲，那基本上三到四道题都会跟这个知识点有关，

你能理解吧？就是我们比如说我们后面，我们去做一个旋转梯体积。对吧，旋转这个表面积的问题，弧长的问题都会涉及这几个点好了，那么接下来我们继续吧，我们来看看下一个点啊。那刚才我们讲到这个问题，然后还有一个东西呢，我发现这几年没有怎么考，那就是周期性。的性质。那周期性的这个性质啊，我们稍微进行看看核心重点有两个。

核心重点有两个。我们先看看第一个。那第一个是谁呢？第一个是这个人。就是零到n倍的周期。请注意其中什么东西呢？其中fs。以t为周期。啊，以t为周期。这个人那fs这个人以t为周期零到n倍的周期的这个积分。就会等于多少n倍的一个周期的积分。啊，就这个点，所以如果你看到这个ifs是以t为周期。

然后从零又起到n倍的周期，那就等于n倍的一个周期，这个很好理解吧，因为周期每一每一段都是一样的嘛。好，这个问题那最重要的是下面这个人。下面这个人呢？你就看看你理解的深不深刻了？a到a+t。ds与a无关。只要出现这个问题，我们其实就可以说明fx这个东西啊，以t为周期。啊，以t为周期。

那么就说，如果fs以t为周期的周期函数，那a到a+t肯定跟a无关。a到a+t跟a无关，我也可以说明这个东西啊是。是以t为周期的周期函数。就像这种问题。那这种点呢，我觉得涉及两个信息。我们先看第一个。第一个人其实就是会考计算题。啊考计算题。那计算题的话，这个人你稍微看看。那这个部分它其实就是这样。

你a到a+t。你与a无关，但是不要胡来。我发现有些同学这个做题呀。比如说你要有个题。三到三加派。啊，然后的话，这是e的t加这个什么，比如说s in tdt。他说诶三就没有了，为什么与三无关？那不胡来吗？你有没有进行去检验这个东西是否以t为周期的周期函数啊？它未必是啊，

你万一这个东西不是以派为周期的周期函数，你怎么能用啊？你别胡来啊。诶，有同学说那二派呢？你问我，我还想问你呢。二派对不对？对不对？你这怎么行呢？二派对不对？怎么去判断周期性呢？同学们。怎么判断周期性？判断周期性就是这样。

你把x加这个人。带到这个函数里面。你发现他纹丝不动，他就是以他为主心。你如果把。t+2派代进去，这是不懂，但这懂了呀。你这个动了呀，你动了它就不是，它不是以这个人为周期的周期函数。能理解吧，好了，我们再看，如果这个fs是以t为周期的周期函数，

跟a无关，那这人是不是又等于零到它？你跟a无关，最重要的一个a是应该是取多少取负的二分之t？大家有没有发现一个规律？如果这个被积分函数是以t为周期的周期函数。上下限的长度是周期。他们就会相等。就是这样的一个特点。所以说如果你见到什么，你见到被积分函数是以t为周期的，周期函数只要你上下限的这个长度。等于的周期的倍数是一样的，你们就会想到。所以说碰到这种题啊，

我们做题的第一步是干嘛？我们做题的第一步就是把你的上限和下限做个差，看看是不是等于n倍周期？如果是这样子的一个情况，那这题就结束了。为什么呢？如果你的上下限的长度等于n倍的被积分函数是以t为周期的周期函数。如果你的上下限长度是n倍的周期，他这个人呢？就会等于这个人。为什么呢？因为被积分函数是以t为周期nt也是周期，这上下限长度n倍tn倍的t。是不是一样的，然后这个时候你发现零到n倍的t=n倍的一个周期的积分？

现在的上下限的长度是一倍的周期。那如果我在考题当中设置什么呢？设置这个被积分函数又是个奇偶性的函数。奇函数或者偶函数，那这时候呢，它又可以变成了负的二分之t到二分之t，你看这个人是他。所以立即就变成对称区间，变成对称区间，就可以用奇偶性了。所以你记住这个规律，什么规律呢？就这一面，当中有这样的一个特点。就说只要你的上下限的长度等于n倍的周期。

我这个定积分永远都可以变成对称区间下的定积分。倘若这个被积分函数还是一个奇函数，那就一定会等于零。你记住这样的一个特点。这个特点很重要。所以我们在这个做题的时候，我们经常会遇到这个事情，你比如说我来看一个题。比如说这是零到四拍。然后这是sins。然后这是一+coss^2 ds。你看这个题。那这个题等于多少呢？你先观察一下。零到四派，

我看到四派。你回答我这个被积分函数是一起为周期的周期函数。肯定是二派。那为什么呢？你把x+2派带进去。x+2派代进去，这个不同。s+2派代进去，这个不同，所以它是以二派为周期。有的说是派。派带到这里面当中肯定不懂，但是x加派带到这里面当中多了一个负号，那纯属胡扯了。所以它的周期是多少？

二拍哎，那这个时候我一看你的上下限的长度是几？你的上下限的长度是等于两倍的周期。两倍的周期的话就等于二倍的一个周期。好了，现在这个上下限长度是一个周期。然后我又看到了你这个人是个奇函数。你发现扔一个负s进去，这个不动，这个多一个符号奇函数，那奇函数我立即可以变成对称区间。我从负派到派这个上下限长度还是一个周期。那对称区间奇函数等于几等于零本题结束。好了，这是这个问题点吧，

我们就讲到这儿。嗯，所以在这里面它的一个什么情况不是最小公倍哎呀。不要不要那样攀。你就你去看看这个人周期，他周期是派二派，这个周期是派你就塞一个x加这个人进去看看他动不动，只要不动就是以他为周期。能学会吧，好了，像这种问题，这是第一种考法。能学会吗？第一种考法。那么接下来我再给你看一个题。

呃，在去年的这个冲刺讲义上啊，这个这个是去年数一数二数三同学的冲刺讲义上。我在这里面当中。我们有一个这样的一个题。今年我发现有好多试卷，里面当中居然出现了这个题。让我觉得很惊讶。这是也真是会来，这是去年二零二三年数一数二数三同学的这个卷子上的一个题。我给你看看啊。所以说这个问题啊，它这个。你看这是去年那个题。所以这里面当中这个今年我看到。

你看这个这时间啊。那么，接下来我们继续回来。我把这个点呢，我给你讲讲。因为这个题有些同学看不懂。那么在这里面，我们来看看这个事。他说这个函数在零到正无穷上连续。我其实想说的一个什么问题呢？这个这是出题，真把你们当成数一数二数三图就来了。啊，真把咱们当这种考法，但我觉得这个题啊，

唯一的可取之处就是这句话，这句话我们肯定得知道。后面的话就说不得啊，其实要绕一下，也不是说特别难。啊，那么所以说就像我们看它这里面当中有句话说，这个积分与a无关，什么意思啊？这是必须要知道的。什么叫做这个积分与a无关呢？有的人就会想到说。a到a+t与a无关。所以我知道后面这个人是他的周期。周期是b呀。

不不不。我们上面写的是a到a+t吗？a到a+t与a无关。这是a到a×b与a无关。那所以这个东西你就要把它学透了，你这肯定不对呀。这不对呀，所以是只知其表面的内容，不知其本质。那么在这里面，我们就来重点来看看这个事。什么叫做a到a+t与a无关呢？我把这个事给你讲讲。不不不，你不会做的时候不要胡扯，

千万不要胡来。什么叫带个数进去看看就行了。行，你这样做，我给你半个点儿，你做你做出来的话，那也行。好！这位同学奋斗的小羊，我给你半个点！你就按照你的方法做，你说代个数。好吧，我给你半个点儿，你去做，

你下去试一下啊，你就按照你的方法做，你不要给我换方法啊，你就按照你的方法做，我给你半个点儿啊。好了，那么接下来我们就继续，我们来看看这个事。我们来讲讲这个问题，什么叫做a到a+t与a无关呢？我讲讲这个问题。大家想一个事情，这是a到a+t这个人。我想问你个事情。如果这个人是一个函数，

他是谁的函数？注意t是个常数t是周期吗？谁的函数你比如说我举个例子，我把这个改成三。完了，我当场疯了。这个人是个函数是x的函数。这个人是个函数是x的函数。我没有讲过吗？如果定期分享成为函数，只能是变现函数，变现函数自变量在上下限当中，这后面这人是什么？这是积分变量啊。这是积分变量啊。

怎么就对s矢志不渝呗？你自变量不是s，我就不会做题。你有一天你因变量，你要给我变成s，我疯了。你换成别的东西不好使，我就是不会做，你不会做怎么办？谁的函数a的函数？这不胡来嘛，对吧？a的函数。那a的函数，你想想a的函数原本跟a有没有关系？

有关还是没有关？有关吗？有关呢？我们在初中的时候，我们就学过你们初一的时候，你老师就告诉你一个函数跟自变量是有关系的，一个函数随着自变量的改变而改变，你听这些词儿。一个量随着另外一个量的改变而改变，就是函数那肯定有关呐。但是他现在说没有关是什么意思呢？非常的简单，原本你是a的函数，我会随着你的走动而走动，你现在的话，

你怎么动我不动，那常值函数嘛？原本应该是有关的，但是现在它没有关系嘛，所以说这个函数是一个什么？是一个长值函数吗？我写个三横，它是个长值constant对吧？常数。所以说这个时候你发现它是这样的一个问题。那我怎么检验一个函数是个常值函数呢？那非常简单，你检验它是个常值函数，你就对自变量进行去求导，等于零呗。

是不是这个事情？你就对你的自变量求导等于零呗，来我们对a求导上限移进去，上限求是一下限移进去，下限求这是零。所以它们相等，因此得到了fa+3=fa，是不是这个问题啊？那如果是t呢？t就t呗t就t呗，那说明这个东西跟它无关，那上限求导上限移进去上限求减去它，那说明a+t=a。a+t=a，那不就是以t为周期的周期函数吗？

这不破题了吗？是不是这个问题啊？所以说它就是以t为周期的周期函数。我讲清楚了吗？能学会这个事情吗？好了，听明白了给我回复一。哎呀，这这这可不行啊。这都这这忘忘忘完了，对吧？你把它全还给我了。我不要啊，你你你赶紧把它给我装回你脑子啊。好了，

这个那么所以说现在回到我们现在这个题，我应该怎么办呢？你看这个题。你怎么处理啊？你这个人跟a没有关系，你告诉个事儿，这个东西应该是谁的函数？来再告诉我谁的函数。你跟a没有关系，谁的函数？谁呢？很多时候呢？我把b写成那个简没法写的啊。跟谁这种触类旁通能力都没有。哎呀，

真是。我真的是这是不行了不行了啊，我们再讲一会儿，今天我们就到这儿啊。行吗？谁的函数a的函数嘛？a的函数，但是跟a没有关系，那说明关于a是个常值嘛，导函数等于零嘛。能想清楚吗？原本跟a应该是有关系的，但是现在跟a没有关系，跟a没有关系，不就是关于a的常值函数吗？

对于a求导是零吗？那所以说上限移进去，上限对a求导是b减去下限移进去，下限对a求导是。咦，不就是这个情况吗？很多人说那是b呢，那BB的函数跟a没有关系，那这什么关系呢？a的函数跟a没有关系，我能说它关于a是个常值函数，那a的函数跟b没有关系，没有关系就没有关系嘛。我都不知道你是怎么理解的。好，

就这样。那么所以说我们就得到这样的一个式子。但是这个题让我们进去去求什么呢？让我们去求解这个函数的不定积分。那这个函数的不定积分的话，你想想我要求解这个人的不定积分，我不就要出现fes+1吗？那出现es+1，你就可以负啊，假设我负这个为es+1，我就负这个是一，你这是一，你这是es+1。结果你发现fes+1-fes+1=0，那就是零，

你这不行，你再换一下，假设我负b。b为多少呢？es+1我a是一，那这个时候的话，它不就是es+1吗？然后b是多少b是es+1，然后再减去几减去一=0，所以说这个时候fes+1就等于几啊？它就等于es加一分之一。是不是这个情况？你看不是出来了，所以说我要做你的不定积分，这是谁的不定积分又是他吧？

经典函数吧EX加一分之一，刚才一个同学说想不起来的同学，你应该想起来了吧？这就叫收获。睡觉没有听呃，这这没有白听，不是没有听。气糊涂了对吧？那加个es减个es 1+es ds，所以说这个时候把它除下去s减。减去多少一加es分之es，然后这个东西啊es，所以接下来我们就继续啊，这是一。那积分是s，

然后这是多少把它往后面凑ln多少，一+es+c。好本题结束。然后这里面当中，而且呃，这是不定积分，你去加c就行了啊，结束了。好了没？会了吗？这句话什么意思？体会到了吗？那如果将来再换一下呢？管你换成什么呢，什么a到a×ba到a÷b都行。

a到a方加2 a+b都行，你怎么改都行？听得懂吗？你怎么改都行，我跟你没关，我就是关于你的常值函数，我对你导函数等于零，那你变现函数求导呗，你对a求导b是个常数啊。好了，这个问题。行吧，这是我们讲的这个周期性的问题啊。你下次必须会，你下次再忘了我当场就疯了啊。

下次再忘我原谅不了你啊。我们这块不是有一个这个式子吗？啊，你让这个b为es+1。a为一，这不就是fes+1吗？我又没我一步都没有跳啊。这节课真逗。我跳了一步了嘛，我一步都没跳。我半步都没有跳。好了，这是我们讲的这个第三个点来，继续再来看看。为什么要这样复制？

为了做题。为了做题。他让我们去求他的不定积分，不是我说的，是他说的，他让我们要做题，不是我说的。不是我让你带这个人，是他让你带。哪有f1=1，这个条件不用你把这个人带成，这不是es+1，这不是es+1，这不是f1f1=1，这个条件哪没有用，

你写一下呀。我真的是爱呀。过去，过去，过去，过去。来再看第四个点。下面一个问题，点火公式。好了，我们继续吧，我们再来看看下一个问题点火公式这个东西啊，基本上是必考内容。很喜欢出题。所以在出题的时候啊，

你们当中很喜欢出这个点火公式，但是我们不仅仅要背会点火公式，我们要记住是点火公式的一家人。啊，点火公式的一家人，这一家人你都得把它记住，因为我们在考试做题的时候经常会用到这些问题。那么在这里面。我们来看看吧，我找一下就我看看。在哪儿哪儿好像都有，那我我找一下这个。你们注意力一定要。上课要集中一些，你是你说我都给你讲过去了，

你看半天都看不出来，那你说你自己去想的时候你怎么办呢？好了，我们继续，我们来把这个点火公式一家人呢，给同学们看看。好，这块儿有一个呃，放心，后面的话，那个考前21计肯定是有的。来看看这个人。这都要记住。那么，首先我们先来看看这个点火公式，

也叫华理式公式，或者叫瓦里式公式啊，华华莱士公式都行，你想怎么叫怎么叫？来，我们先来看看这个第一个事情，那这个点火公式啊，它是这样子的，它的根本公式，它必须要扣住了。它是零到二分之派。s in的N次方或者是零到二分之派cos的N次方。那这个点火公式，它就是从n开始n分之n减一，它是nn减一n减二n减三，

如果是偶数呢？偶数点到二分之一补二分之派。如果这里面当中是什么呢？是这个奇数，你奇数的话就是nn减一n加二n减三，一直点到几点到三分之二？所以注意偶数的时候点到二分之一，补二分之派奇数点到三分之二，这个东西很重要。好了，这是我们讲的这个第一个事情，然后再来看看零到派。林道派我讲过。零到派是这样。你看这是s in的图像嘛？

它关于二分之派对称。然后这是sin x的N次方图像吧。你N次方图像的话，你想。你这两个点，你这是零那你N次方也是零啊？你找两个对称点，你的高度是一样。你N次方不也是一样吗？所以说我找的这两个点，它也是对称的。你最后而言的话，它基本上还是个对称的。但是你要注意，其实这个高度它是小于一，

那pn次方一下更矮一点。所以说这个右边这幅图，它的两侧要矮一点，但是我不在乎啊，我在乎的是什么？我在乎你对不对称？你零到派的话，这个部分的积分不就等于二倍的多少零到二分之派吗？所以零到派的这个积分等于二倍的零到二分之派。能想清楚吗？然后再来看看cos in那cos in的话，这个人图像是这样。你看这样子。那如果是什么，我找两个对称点，

比如说这是二分之一，这是负二分之一。如果你是个偶数次方呢？你偶数次方就翻过去了。你比如说平方，你这个人是四分之一，你这是四分之一，所以它就翻上去了，那肯定是二倍的零到二分之派。如果这是奇数呢，你比如说三次方，这是八分之一，这是负八分之一还是一上一下又对称，那肯定是零啊。所以能记住吗？

零到派三的N次方，那肯定等于二倍的零到二分之派。零到派的cosn次方偶数的时候等于二倍，奇数的时候等于零。然后我们再来看看零到二派。这个也会考。零到二派的话，你想你s in这个人的话是两上两下。你cos这个人呢？你也是两上两下。那如果是偶数的话，就翻上去就是四倍的。你奇数呢？你奇数还长这样子，两上两下，

这是零。但是虽然是翻上去翻上去的话，两侧要矮一点点，那不用管，你只要知道图形是这个样子就行。所以我们来看。如果是零到二派，零到二派s in和n cosine的话是一样的，如果是偶数翻上去是四倍。四倍的第一象限，它们在第一象限又相等，是四倍的第一象限，然后如果是奇数呢？等于零。好了吗？

同学们。能记住吗？务必要记住。没有商量的。比如说我们来算一个。这都这样，考是肯定是不会考的。sins四次方ds。偶数吧，翻上去四倍的。零到二分之派的四次方。来点火吧，点四三二一二分之派。好了，这个问题啊，

我们就讲到这，你自己要会做。然后继续我们再来看最后两个东西，两个常考公式。高频公式。这两个公式啊。非常非常喜欢考。有的时候你会用的时候你在做题的时候，这个计算能力啊，其实就变高很多。来，我们来看看这个人，一个事情是谁呢？一个是零到二分之派。这个式子里面只有s in和cos的函数，

这能看得懂吗？就这一类里面当中啊，只有s in或者cos。然后呢？你就把sine换成cosine cosine换成sine，这个东西不动。轮换对称。所以说零到二分之派只有s in和cos的函数，它们是具有轮换对称性的。这是要知道的。然后再来看第二点。第二个人最重要，林道派即死了。是一个x，然后乘上一个s in的函数，

这怎么证明呢？都是用区间在线证明的，那是个基础班内容，我们就不说了。然后x就不要了，补上二分之派。这个公式。重点啊，把这东西给我记死。零到派s乘上s in的这个积分等于二分之派。然后是林道派，然后这个人。能学会吗？你比如说我们随呃出一个题。y=3 s的六次方。

然后这是is从零到拍。然后这是什么？y轴。一周旋转体体积是多少？好了，如果旋转体体积不会做的同学，你就看计算过程，等我们讲完了旋转体体积的这个计算。你再回过头来看这个题，听得懂我的意思吗？没有关系，你也能把这东西学好。来告诉我，绕着y轴旋转，一周的旋转体体积公式是多少？

零到拍。二派s。再乘上这个函数ds。对不对？没问题吧？然后这是零到拍。然后这是六次方好了。如果不会做旋转体体积公式的同学，你就看这个步骤，接下来这个过程怎么算？要直接算的同学那疯了。那你这考三九六的话就没法考了，你做半天你都做不出来。然后怎么办？零到派x乘上三的函数x不要了，

补二分之派零到派。sins的六次方不要下去，又问因为基础班就有同学问说老师哎，这一步到这一步，这二分之派哪来的？20分之派，哪能拿来的，不就这样来的吗？我记得我在基础班的时候。我比如说我写了一个题。比如说这个题啊。我当时答案我害怕有些同学还看不明白。我就在下面，又把这个东西写上了，我是这样写的。

然后这是二分之派零到派sins六次方ds 2分之派零到派，然后的话这个ds。我就这样进行去写，有些同学都看不懂。这就像考研试卷当中，把答案给你了，你不不不会抄一样。所以不要乱来。好了，这个东西做成这样，因此这个人其实就是派方。然后这人怎么做来零到派是二倍的，零到二分之派。好，这个结果因此等于二派方点火，

六五四三二一二分之派结束。好了，这个题啊，我们就讲到这儿，所以这种东西经常会出现在运算里面。你运算的技巧性，你运算的操作性呢，你必须摆高。好了，像这个问题啊，你下去自己做做。好了没？那么今天我们就说到这吧，然后你下去把这个什么把这个定积分计算的这些题啊，把它做了。

定积分计算的这几个题啊，都比较难。啊，都会比较难。那么，其中这个38题难度系数较高。39题三第三题还好。第三题啊，一和三一相同怎么办？一和cosine相乘，用二倍角公式干掉这个一一和3e相乘，用平方和打开这个一用二倍角干掉这个3e。好了，这是这个，然后第四个题我先提前讲一下，

这几个运算题啊，运算量都比较大。啊，运算量都比较大，都不好做。你下去提前做一做，把这几个运算题做了。把这几个做完了之后，然后变现函数这一节，下面这两个题啊，你都可以做。所以说下次课程做到哪呢？下次课程一直把这一章全部做完，我下节课我会把这一章给结束掉。能听懂吧？

下节课我们会结束这章。所以下节课它的比较重点呢，第一件事情带着同学们做这个定积分的计算。你得算你不要在这里面当中，你看我算你如果下节课提前呢，你没有算你对自己太不负责任了。你不要上课，看我算哦，是这样嗯，是那样，那都有什么鬼用？你有的时候你在考试当中有没有发现做数学题就这样？有一个人能在旁边点你一下，你其实就顿悟了。但是有的时候最重要的问题就是那一家。

那下太重要了。比如说我碰到这个题，我说诶，你可以用这个公式嗯哦，对，可以用这个公式，但是你怎么想到用这个公式呢？它又很重要，所以下节课提前先把它做做下节课的重点任务，有三个人。第一事情其实就是我们。要把这个定积分的计算，把这个内容给你讲完。带着同学们把定积分的计算，然后做好。

然后第二部分变现函数，变现函数涉及的求导的问题，把这个东西再分析一下，然后第三件事情。反常积分的计算，我们得梳理一下。最后一件事情最重要，定积分的应用。所以说这几个问题啊，是我们在这里面当中，你需要把握住的非常重点的内容，我们下节课会把一元函数的基。积分学给全部结束。然后多元函数的微分学其实就是两次课程。然后到了就到了，

我们接下来我把这个东西讲完，马上进行去讲概率论。我们先讲概率论，概率论讲完了之后，我们再去讲线性代数。因为高等数学概率论两个东西挂钩的还挺密切的。然后概率当中有些同学比较有问题的点，还是一些公式的，对吧？没有记好有些东西的这个理解没有做到位。所以我们所有的这个课程呢，将会在这个这个月的月底到十月的这个月初顶多不超过五号。这个左右啊，我们就讲完了。能想清楚吧，

就这个问题。那么，其实就是这一块儿啊，内容啊，我们基本上在11月的月初，你要记清楚，这就是最后一轮。你要把这个东西当做成最后一轮，把它学完。那这个结束了之后，然后接下来就是我们的大模考。啊，把相对应的问题啊，好好做一做。行吗？

同学们好了，那么今天课程呢？我们就讲到这。呃，也体现出来有些同学啊，你自己。遗忘的知识点呢？你每天早晨能不能把公式的东西去记一记？你可以不用记公式的话，你不是说单独记公式，你就把那个基础讲义或者是强化讲义，你从头到尾的，你要再复复盘呐。我看有些同学非常好，你看那个第一次啊，

考完了之后下面不是有些同学也考的还挺好嗯。考的很好，你找一些好的同学，你去取取经，看人家是怎么做的？都听同一套课，你看人家是怎么样进行复习的？所以一定要复盘，你得保证下次过程当中见到这些东西不能有问题。好，再坚持一把，我知道最近呃，大家都比较累，这个到了最后这一程了。你把这一段你坚持过去，

你坚持过去，明年。嗯，想怎么休息怎么休息，那是明年的事情了，不然的话，到了明年你又会要做很多重点的一些选择，就很麻烦了。好吧，同学们，那么今天课程呢？我们就讲到这儿。但是还是那个问题，我上课说到了一些点，老是出错的点，

你不要下次还问犯犯问题，你再犯问题啊，有点对不起自己了。你都不需要对不起我，你首先要对不起你自己。来来回回出现问题。好了，那么今天课程呢？我们就讲到这好吧，同学们下去好好先整理。不要把我这个东西抄过去，你未必是抄你自己，哪怕在这个笔记上画就行了啊，这个会的嗯，这个会的对吧？

就画就行了，然后这个公式诶，我自己能写出来哦，我见到这个东西我能写出来。把更多的东西放到理解上，思考上，不要把更多的东西放在这什么，把这个抄笔记上。把我写的东西抄过去，把我写的答案能投一遍，你干这个事情干嘛？这事情不是我们需要进行去干的，我们需要的是把这东西学会。好，那么今天课程呢？

我们就讲到这儿好，我现在去导吧，因为这个。呃，我回头我跟那个助教我看看。呃，第两个助教发这个笔记吧。因为有一个助教，今年可能是这个研三的啊，然后压力压力比较大一点，有可有时候在做实验。行吧，我然后发给公司的教务，让他们及时上传吧，好这个。

那行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这儿，把这个相对应的点好好做一做行吧？好，那么今天课程呢？我们就讲到这啊，下节课继续吧。呃，下节课提前呢，把东西一定要整理到位。切记切记，一定要整理到位啊。好，下期再见。

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