10.冲刺串讲10-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:02:20

下面一个问题。好了，可以听到声音吗？现在可以了吗？哎呀，我也不太清楚这个，最近最近不知道是网的问题还是怎么问题？老是这个。老是这个掉线啊。好，可以了吗？可以了是吧？好了，我们继续啊，我们再来看看下一个问题，

我们来讲讲定积分的计算。定积分计算呢，我们在这里面当中的手法。它有两类，第一大类。方法一呃，我们就写第一大点吧。叫做直接法。就说我们在这个做题啊。79题。嗯。是是因为我是拿拿了，没办法，对吧嗯。上课。

我很难想象这是个冲刺班同学的这样的一个。这种状态对吧啊？你自己好好调整调整。然后我再多说一嘴吧，然后这个有些同学这个。刚才一个同学提了一个方式。可以这样做，你得动手。不要靠你的眼力。你光在那眼睛盯有什么用，这是数学，你得算那么这个人的话，你可以这样来，你就立什么呢？令x=lount那这个时候它是多少呢？

它不就是flountdlount嘛？所以说这个时候你就把这个lountflount换回去，那不t倍的lou NG多少一+t嘛？然后这个部分是t分之一dt嘛。把这个积出来。积出来之后，再把这里面当中的t。换成多少e的s行不行？这个方法可不可以？可以啊，那然后的话，你把这个t方。分之一凑到后面去，不就是t分之一负的t分之一，你分步积分法嘛？

好了，这是这个问题吧，我们就讲了呃，这有个同学，你非常混。非非非常混啊。这是s=1的题。你说的到底是哪个？你说这个是吧s=1的题。你说的是这个，还是右半边？你就说这个，你去领个必胜套装啊，你要说这个的话，那就打扰了。

行吧，好了，这个问题点呢，我们就说到这。跟得上吗啊？那是你好好学习啊。好，行吧，你去你去你去领个变身套装吧啊。哎呀，这个是是下午下午上课，大家都比较困吗？还是怎么了？那到到了这个。12月多份这个点呢，

这个时候的话，你这个你应该在考这个专业课呀。所以状态一定要稍微的好一点，不要晚上亢奋的不行。然后这个白天过程当中，上午的话，这个状态很不好，这这可不行。你要调整一下，我之前我记得三月份的时候跟你讲，我说前期的呃什么样的一个？就是就是，你在哪个时间阶段呢？你的状态好，那都无所谓。

那都没有关系。你说没没没关系，但是大家注意，我们说到了这个十月份。后期乃至到11月份，尤其是11月份，你就得该好好进行去调整了。你要是这个时候你不调整，你每天上午都没状态，上午都没状态，这可不行。有的时候那我一两天就调整过来，不要不要不要这样啊。好，我们继续吧。

我们再来看看这个问题来继续走。这是我们讲的这个第三个题。来继续吧，我们再来看看下一个问题，定积分的计算。大家一定理解啊，这个。是我们最后一轮的大串讲的课程了。基础班我们全部走过一轮强化班，我们全部提前走过一轮，今天这是最后一轮。你要注意这个冲刺班，这个板块内容，这是串的最后一轮。当然，

我们在12月份有个考前点睛课程，我会花上四个小时的时间，把这一年学习的所有课程课程的部分内容我再给你进行呢。你再串一遍。那还有最后一遍。所以同学们注意，这是最后一轮题型的大串讲。你就要有一个这样的纪念，就是这种题，我见到这种题，我就知道怎么做，我一定把这个东西记到脑子里面。能想清楚吧啊。呃，四个小时不是连续的分成两天。

好继续一天是穿高等数学。一天是串这个线性代数和概率论。啊，好了没？我们继续啊，我们来看看下一个问题。所以接下来我们先来看看这个直接法。啊，直接法。说什么鬼呢，今天就跟我上岸啊，明天我不想见到你啊。好吧，来我们继续吧。那么，

首先第一个事情直接法。第一事凑一分。啊。第一个事情凑微分。那么凑微分的话，其实就是非常常规的一个内容。你要会凑对吧？你见到这个东西，你去怎么凑？见到那个东西啊？怎么凑？然后接下来我们就继续，我们再来看看第二类换元法。还原法，大家一定要复盘，

你一定要复盘，其实你学的内容足以应对这些个考试题了。因为前两天有同学说这个做了一套呃，市面那套题啊，做的非常的不好，做的非常不好的话，然后发给我来看一看，我觉得其实还好吧，你这。主要的话，它有些题你可能运算量也还行，它主要是把那个运算量控制到两到三分钟内。你就算大了。你放到两三分钟内，其实就大了，

你其实你学的东西已经够多的了。你就把这些内容都消化了，很多东西又问老师什么叫消化了，你看这就是我最近的时候我碰到同学的一些问题。这个今天。我是其昨天中午给同学们做了一个那个那个直播吧。是不是啊？昨天那个直播那我就就就不不理解这这到底怎么怎么回事了，对吧？你看很多同学他都没有没有七八月份的这个复习的复习的状状态好，问的都是啥问题？说老师这个东西我不会怎么办？不会你去学嘛，那还能怎么办呢？他说老师那个我积分积的不好，

那积分积不好，你就积呗，那那要不然方法都在基础班。你就把那些东西学会，你去多记一记不就出来了。他说老师我记不住东西，那我怎么办？我能把东西给你塞到脑子里面，那咱俩把大脑换一下不就行了。老师问我这种问题，我我没法解答。说老师，我这个东西我老是忘怎么办？那谁不会忘，谁都会忘，

那忘了之后你把这东西你再捡回来呀，人家那些同学也会忘，人家比你多复盘了一点呗。所以不要天天的话在这里面呃，天天进心去想这想那，你多做一点儿东西吧呃说啊，老师时间不够了，我怎么办？时间不够了，你才要抓紧复习呀。时间不够了，你天天在那想，时间不够了怎么办？好了，我们继续吧。

你清华了，怎么不会忘啊？你去找一个同学，谁不会忘？再牛逼的同学，他也会报。遗忘是个天性。遗忘是天性，哪有那么多的时候，过目不忘的。所以我觉得这个这个想法你要理解这个事儿，谁都会忘。只不过他在重复重复是对抗遗忘最好的方式。行吧，不多说了啊，

然后再来看分步计分法，然后最后一个事情尤里分式。分式积分好了，这四种。所以这个问题啊。我觉得你。你太过于相信这些东西了。所以说你就会被这个。肯定会有那种记忆力非常好的人。但是记忆力非常好的人也不是过目不忘的人。我我实在。哎呀，怎么办呢？来，继续。

没办法，好了，我们继续吧，我们再来看看这个事儿。呵呵呵，行吧，行行行好。好了，这是第一种问题，直接法啊，直接法直接法的话就有这个凑微分，有第二类换元法。有这个分布积分法，尤里分式积分。然后这里面当中啊，

有些问题的话，你要想清楚。这个分布及分法这个人呐，你要注意，通常会树碰在两类不同类型的函数相同。两类不同类型的函数相碰。那么，这里面还有一种情况的话，就是第二类换元法。其实这两年呢，考这个问题考的稍微的少一点。第二类换元法。第二类换元法当中，尤其是三角代换。对吧，

带环。那么，另外一件事情就是你碰到这个东西不好做，你就也可以把它换了。也未必说拘泥于这个第二类呃，这个三角带环它有很多。那比如说有些的话，这个。你比如说碰到这个积分里面当中碰到一些根式，你这个根式它非常不好做，你就把这个根式给换了。对吧，就把这个根式给换掉。然后你再做一些，比如说我再做一个，

这个什么，比如说这个积分里面当中都有x- 1，你可以把这个x- 1换了。不拘泥于形式，就是这个东西你觉得不好做，你就把它换了，但是注意啊，注意换元要单调。你想清楚，换员必须单调。如果这个换元，它不单调。那这题就废了。他必须单调。比如说举个例子，

我们来看看这个题。这个题我见过一些同学，他这样做的。你看看啊，是怎么样的？他说老师，我如果令sins=t。那这个时候我们换元要三换。我先换上下限。那x是零的时候，它是0x是派的时候是零，你中间无论怎么换上下线相等，这是零啊。同学们告诉我做的对不对？那不胡来吗？

纯属胡说八道。所以说像这个问题，你一定注意，你换元的东西必须单调。为什么我们在基础班就讲过？第二类换元法的这个人呢？他必须要是具有原函数的东西。它必须要具备原函数。就这个人，你能想清楚意思吗？就是这个东西，它必须要换元的，这个人呢？它必须单调，因为它必须要具有反函数。

不是说一次换整体换不不不，你还是没有抓住重点，你没有理解我在说什么？你看你做的这个换员的这个人。你现在是t等于多少？等于sins sins在零到派上单调吗？它不单调，它这半儿单调递增，它这半儿单调递减，它不单调。所以不行的，你如果真的想这样换，你只能怎么办？你只能把它拆成零到二分之派，再是二分之派到派。

这样做可以零到二分之派，这段单不单调？单调可以换派到二分之派单，不单调，单调可以换，你得这样做。所以如果这个换人的这个人呢？他必须单调，这不是基础班内容吗？能做第二类换元法的人，必须单调，而且要三换换上下限，换背积分函数，换积分变量。好，

这个问题啊，我就说到这儿能想想你要注意这个细节点。尤里芬氏积分呢，我就不讲了。那么，接下来我们就继续，我们再来看看下一个问题。再来看第二点技巧法。那么技巧法呀，我们常考的有第一个事情。利用几何意义。利用几何意义确定几分。利用几何意义进行去求定积分，通常其实就喜欢考那两个圆。那两个圆是非常喜欢考的。

一个是谁呢？一个是这个零到a，然后根号下a方减s方这个圆。还有一个是零到a根号下as-s^2，这个圆特别喜欢考。这是要注意。圆心在原点处的圆偏心圆，如果遇到这两个问题啊，出题人的设置点呢，他其实就想让你干嘛呢？出题人的设置点就想让你你在碰到这个人的时候立即画个图就出来了，应该是几十秒钟的时间，但是你偏偏在这里面当中进行怎么了？你偏偏在这里面当中进行去换元啦。对吧，

你比如说这个东西做三角带宽，你可能做的慢呐。所以说这是运算上的技巧性，所以我觉得有人说我做题慢，你几个方面呢？一你方法运用不好。另外一个事情，你有可能题型不熟，第三个事情，你有可能话在这个运算能力上，你做的太慢了。第四个事情有可能你的考试能力不够高，你在个别题当中，你花费了大量的时间，你肯定做的慢呐。

所以你得把这些东西啊，你稍微的调整一下啊。好了，这是第一件事，然后再来看第二件事情。第一件事情是利用几何？一。利用几何意义之外，它还有一种情况。那还有什么？还有奇偶性。对称区间的定积分计算。对称区间。对称区间的定期分计算，它有三种，

第一种问题，利用奇偶性。对吧，第一种。第二种，你这怎么好意思打的出来呢？我要是你，我肯定答不出来。我怎么好意思，我说点火公式都能忘，点火公式都能忘。没人跟你共情啊。你得自驱啊，对吧？这都什么时候了？

好了，这是第一个问题。利用奇偶性第二个事情，利用经验公式。如果这样东西都用不了，那就直接算。那么，接下来我们来看看这个下面一个问题。啊，第一点奇偶性。那奇偶性这个人呢？他必须是个对称区间。那负a到a，这是fs ds。这个人那这个时候的话，

我们来看看，如果你这个人是个。这是奇函数啊。能听懂吧，这是奇函数，我没有七，我是着急，对吧？有些东西我甚至我都懒得说啊。你不要老是犯问题，你最后是要上考试的。你自己也是投入了这么长时间的，让他有点效率的。好了，如果这个奇函数，

那奇函数等于几啊等于零。然后这个时候的话，你发现如果这个人是个偶函数。对吧，注意是奇函数，然后另外一个事情是偶函数。那偶函数呢？那肯定是二倍。那怎么判断奇偶性还是那个事情塞一个负s进去？塞一个负s进去，看它动还是不动。如果这个人纹丝不动，就是偶函数，如果多了一个符号，就是奇函数，

谈了好多遍了。然后再来看第二事情，还有一个东西经验公式。如果碰到对称区间负a到a，你注意啊，这个还没怎么考过呢？这个在我们的真题当中是没有出现过的。如果这个时候你碰到这个人，你可以怎么办？你可以这样，你就直接等于零到a，然后这是fs+f负s。这个定积分。那么像这个人呢？它的证明方法比较多。

最简单的证明方法就是任何一个函数都能写成偶函数。再加上一个奇函数的样子。奇函数，这是个偶函数，这是个奇函数，奇函数是零，偶函数是二倍，把这个人干掉。所以他等于这个人。那还有证明方法什么区间在线换元法？对吧，区间在线换元法，你像这些方法都可以用。好，这些问题。

所以说要利用经验公式，也是一个非常重要的方式。看到对称区间想记，又心看到对称区间，如果用不了，你可以用经验公式。那如果这些东西还用不了呢？那还用不了，你就硬着钢。那没办法。所以这些问题啊。都要装到脑子里面，能不能把这个阶段的课程当做成最后一个阶段的课程来？千万不要给自己留有余地啊。好了，

这是这个事儿，你就硬着算。那没有办法了，那就硬着钢它呗，都用不了。所以这里面我们来看个题啊。不要继续去这个还推导，当然这个第二个事情它推导还有一个方法就是把这个负a到a写成负a到零。然后再加上领导力。然后负a到零那段使用负代换0 s=-t，然后最后就得到这个公式，所以你折腾了半天，其实就是那个公式。好，我们来看一个题吧，

你先看看这个题。把这题做一下，你看这个题怎么做？那这个题首先第一件事。你发现你扔一个负s进去对称区间嘛。那对称区间，我先想旧情。先向奇偶性扔一个负s进去。一个负s进去，你发现这个人纹丝不动。但是这个东西变成了e的s。所以说两者之间的关系啊，说不清楚。奇偶性没有，如果这个奇偶性没有怎么办？

我还可以这样摆。我就直接用公式，它就等于零到a。然后这是fx来把它写fx是这个人。然后再加上f负sf负s的话，这人变成这样cos负s还是coss？这个点是不是就写成这样？等你写成这样了之后的话，这个结果就变成了这样，不要问我这个公式是怎么来的？你要问我这个公式怎么来的？那这就崩溃了。所以把这个coss方提出来。提出来第一个式子，我们先不管第二式子是一加s分之一。

第一式子上下同时乘上es。就变成了这样。然后这一项是不是等于一=1了之后的话，这个结果就是零到四分之派cosine x方ds。那有人说那接下来怎么办？点火，心中一把火没有火啊，点个鬼火，你看来了吧？你看哪来的火？哪有火？零到二分之派才能点，你这点啥呀？别胡来对吧，这点不了。

点不了，我只能算偶数次方怎么办？降幂，然后把它写成二分之一减cosine多少？2s，所以一定要想清楚。就是你发现我们考研的时候经常考。那这是考点的一。你像cos in的N次方和s in的N次方怎么积分？如果这是偶数次方就降幂奇数次方，比如说三次方拿出一个东西凑到后面去分步积分法。好了，这是第一个人，第二个事情就是一和cos相相。我都会想方设法的用二倍角公式干掉这个一，

所以这是二倍的cos方啊，这个是二分之x方。然后这是多少？这是负的。二倍的s in二分之x方。好了，这是这个人吧，我们就讲到这能跟上吗？好，这个基本问题。所以说这个人呢，他就连不了，连不了我怎么办呢？我们就直接来。四分之派，

二分之一ds，二分之一零到四分之派。cos 2 sds。然后接下来我们就继续，我们再来看，这是二分之一，然后这是四分之派，你在后面怎么办？你继续补杆儿，然后前面是四分之一。s in 2s0到四分之派代进去可以吧？八分之派。然后这个时候你就继续，这是四分之一，然后这是三又二分之派是一，

这是零。好了，这个问题啊，我们就讲到这跟得上吗？同学们。会做吧啊，基本问题。好了，这是这个问题点吧。呃，这是一加啊，不好意思。一家好了，这是这个问题吧，我们就说到这。

啊cosine方，它等于二分之一加cosine二s。三元坊是二分之一减。所以说这个降幂公式这个点呢，你得会。行吧，这个问题我们就说到这。嗯哪个？哦，这是真的不好意思。好了，这是这个人，所以说这个降幂公式啊，你得把它记住，你比如说这个是三这个人降幂公式是二分之多少？

这是一减去cos二s。如果这是cos方，这个降比公式啊，是二分之一加cos二s。好了，把这个基本问题啊，你下去好好看看。对吧，这个这个问题啊，我们没有考过。对吧，没有出过这种题。从来在考试当中没有出现过这个，比如说利用这个公式直接处理的题。嗯，

所以说如果一半儿区间的换元呢，你作为三九六同学进行处理，这个点你就做的非常慢了。好，这是这个点，我们就讲到这儿。行吧，这是第一件事情，硬质酸。那么，接下来继续我们再来看一个问题。我是不是还没有休息，对吧？没有休息。嗯，

那休息会儿吧，可以吗？啊，休息会儿。哎呀，有有些同学这个我提一下，你这个下去你得好好来哦。你千万好好来。你要保证万无一失。这种大考你可不不要掉以轻心，一定要保证万无一失。行，休息会儿吧，一会儿我们继续。

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