09.冲刺串讲9-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:01:24

好，接下来我们继续吧，我们再来看看这个呃，做怎么样呢？能复现出来吗？等我一下，我充个电，一会儿没电了，刚才有同学提示我了，我给忘了。怎么样？还可以吧啊，其实你发现有些东西啊，它的一个操作性方法掌握清楚了之后，你就尽心去算就行了。

那剩下的部分其实就是你的运算能力了。这个运算能力怎么培养？我之前就跟你讲过。接下来就这么长的时间段内，每一个题稳稳当当做到最后。就无论这个题怎么样，你把它算到最后，你多算一算这个能力啊，自然就上来了啊，一定要喜欢去算。好了，那么接下来我们继续吧，我们来看看接下来这些不定积分计算。那么，我们先来看看这里面当中啊，

第13题你们提前做了没有？有没有提前做呀？呃，是这样吧。这几个题你下去自己先做，我下节课再讲。可以吧啊，做了是吧？好做了，我就讲。哦，那可以，那我们就直接来来先看看这个第一个。第一个题啊，这个作为二零一七年的考题啊，

这个题还是比较简单。到底做了吗？那要不这样吧，把这个积分运算留到你下节课去做吧，你下去自己做，你做完之后我们下节课再讲吧。一个事情是这个75题好吧，一个事情是75题，还有这个第三问。啊，不影响，我觉得你做了的话，我们这个这种东西啊，你其实要激出来就出来了，没有激出来就激不出来。

那就就是这样的啊。行吧，你下去做吧，你做完了，我下节课再讲这种运算性的东西，你听再多吧，你其实都不如什么呢，都不如在这里面当中，你稳稳当当算一道。这个题啊，我来讲讲好看一下二零一八年这个题。呃，这个题啊，其实是二一年之前呢，出的水准很高的一个题。

那么，这个题其实是可以作为二一年之后的一些出题的点的。那我们来看看吧，他说这个函数是这个人的原函数，当x大于等于零的时候，这两东西相乘是它。然后已知f0是零，这个人大于零。让我求解这个人。你怎么做呢？首先你先看第一句话。他说这个东西是这个人的什么原函数？那既然这个东西是这个人的原函数，你会立即想什么？我们立即会想到你的导函数就是我。

没问题吧，所以说你其实就是我的导函数，因此这个人呢，马上出来，那就说明我的导函数。和我相碰好同学们，你还记得吗？这是经典问题啊，爹跟儿子碰一起会怎么办？立即想到二分之一平方的导函数。所以说这个东西赶紧进去就转，想都不用想把这东西转过去，然后这是二倍的一+s平方。那所以说fs这个平方就等于多少？那这个二就约掉了，

我导函数等于你，我不就等于什么，我不就等于这个人的不定积分吗？所以说这是x+1平方的不定积分。好，这个结果。跟得上吗？好做成这样。那做成这样，你把这个分析出来，它不就结束了吗？那关键就是这个分。那其实这个分呢，它考的比较经典一点，你来看这个东西是一个什么平方？

那平方分之一，我会想到这个凑分。一个人平方分之一的凑分是负的，这个人分之一。那还记得吗？所以说这个时候我们就先把这个人给凑到后面去，你在后面可以加个一。把这个平方分之一凑到后面去，就变成了这个人分之一负的。然后接下来使用分步积分法，其实就是两项相乘减去，就变成加上两项调换位置。调换位置，这个整体就跑到后面去。跑到后面去就要求导，

那求导就是前导后不导前不导，后来导提出一个es之后。你马上会发现这是x+1 ds约掉它，所以说这个结果就等于负的x+1 s倍的es。加上es积分就是它。好，这个东西出来了。跟得上我的意思吗？所以你看这样的一个问题点呢，非常非常的清楚。好了，这是这样的一个问题，那这个人出来之后又告诉我f0是几？f0是一，你把零带进去，

零带进去的话，这是一+c。f0是一一的，平方是1c就是零啊。那因此，这个fx这个人的平方就等于多少等于负的x倍的esx+1，然后这是es后面是零。然后又说了这个人是什么零呢？他是大于零大于零的话，你就直接开呗。那就是这个结果。能琢磨清楚吗？好，这个问题。其实吧，

我问一个事情。我把。这个东西啊，给的是多余的。你应该把这个条件，这就是一八年之前的题，就是这个二一年之前的题，老头子就生怕你做不出来。那就这种感觉，我问一个事情，我把这个抹掉，这个答案是多少？没有这个正负了。没有这个正负的话，现在这个人的平方是它。

没有这个正负这个人，答案是多少？是正负这个人开方吗？大家告诉我前面有没有振幅？我现在没有告诉他大于零。你告诉我这个答案填多少？有没有政府？有还是没有？绝对没有。写正负了这个答案就错了。为什么大家想想？你这个函数。是不是一定要满足这个初值条件啊？你求出来的这个函数一定得满足什么，把这个零带进去是一不信你试一下。

如果按照你这样求的话，这是零，这是一，你开方是一，你这是正负一啊。你不对，没有这个正负号就是正的。把零带进去，求出的结果必须是一。所以说这个人呢，他只有正好。这就是以前考题，他就生怕你把这个东西写错了。就生怕这个同学没有注意到这一点，把最后的答案填错了，

就害怕你做错，所以他在这提示了一下，他说哎，这个人大于零，你看你就不会写错了。这就是以前老头子太仁慈了。就生怕你做不出来，生怕你在这一步当中没有考虑到位，把它做错了。现现在呢？现在这个使劲的让你做不出来啊。好了，这是这个问题，你所以想清楚啊，就是这样的一个点，

就是你无论怎么样，你得保证把这个零带进去，它必须是一。好，这个结果那么这是我们在这里面当中啊，考虑的这个第一个点问题。能想清楚吗啊，其实毕竟是统考嘛，统考都会这样。就跟有些这个专业课呀，我不知道你们的专业课应该还好吧，有些学计算机的这个专业课，比如那个四零八那专业课那个统考。这个。包括现在的话，

那个教育学的这个三三三啊，这个统考了之后，它的难度系数基本上就会上来了。好了，我们继续吧，我们再来看看下一个问题。啊，下面一个点那么再来看看这个76题这种题。来，继续看。那么，76题这个题考的是什么呢？他考的是这个问题。分段函数。哎，

考这个人。考这个人的什么东西呢？考这个人的不定积分怎么做？也就说，分段函数的什么积分呢？不定积分。对吧，分段函数的不定积分。我想问一个事情。分段函数的不定积分。不定几分，其实在求什么？求原函数。不定积分在找跌呢。不定积分不就是求原函数吗？

你求这个函数的原函数。我想问一个事情，原函数可导吗？可不可导啊？找d找原函数，原函数可不可导？肯定可倒啊。原函数导数不就是你吗？儿子都有了，你说对吧？你能理解我的意思啊。所以说这个东西就是这个意思。肯定磕倒啊。那说这这这个什么这个儿子都有了，对吧？

肯定可能。好，这个问题啊，我们就说到这能想清楚吧啊，这个点。所以说这是我们讲的这个事情，原函数肯定可导。它必然可导可导，必连续，所以说原来这个什么原函数，它肯定也是连续的。那么，接下来我们来看看这个问题，你怎么操作呢？来解。

好，我们来处理一下。那这个人你就直接做呗，你的核心重点就是我想找一个函数。找到这个函数怎么了？找到一个函数，这个函数的导函数能够是你。对吧，我要找一个函数导函数是你。你想想一个问题，怎么进行求导会是你呢？那分段函数求导时，分段函数啊。那我们在什么呢？小于一的时候。

分段点外直接求小于一的时候，求导不就是你吗？那在这一段的时候，求导就是你啊。那谁求到是你呢？不就是这一段的不定积分吗？所以说这个时候其实就是二倍的x- 1，这个人的不定积分。没问题吧，谁求到是你不定积分，然后再来看看那x大于一的时候呢？那我们接下来看看这一段是谁呢？那这一段的话，我们来看，那肯定是这一段求导是这个人呐。

那谁抽到是loin呢？那loing的不定积分不就是它吗？你就求谁对这个什么s求导是罗音，不就找原函数吗？所以说首先第一步分段点外先直接记忆。你这个上面这段积分是多少？那很明显是is- 1^2。然后再加上个c，然后下面这个呢两项相乘。你再减去两项调换位置，跑到后面求导，所以说这个积分结果是谁？是x。没问题吧？哦，

这个情况，然后这个人呢？你也得加c。就是分段点外，你这个人呢？你的积分是这样。然后这一段积分呢，它是这样，你都得加c。你都得进行加c的时候，你要想清楚一个问题，这两个c同步。同步还是不同步？你想想这个人加个c，这个人加个c，

两个c同步还是不同步？同步吗？当然不同步。因为你想你的积分是你，你的积分是你啊，你需要什么同步呢？不同，但是我们又知道这两个c肯定有关系，为什么因为我们刚才说原函数一定是可导的，原函数一定在这个点处连续。所以说这个人呢，他一定会在一处是什么连续的？那既然连续呢，我们就可以用了，所以说这个左极限把一带进去就是c1右极限，

把它带进去是负一+c二。那这个时候两个人有关系，你就可以怎么令c 1=c一？对吧，把这个c1另成c，那这个时候我们就可以看，那这个时候就是x- 1^2，那c1这个人是谁？然后这是s倍的lns- 1，然后c2是多少呢？是一加上这个c，然后这个时候是s小于一，这是多少呢？这是s大于一。因为在这个点处是连续的，

你就可以随便挂了，你现在是连续你挂上面行不行？挂下面是不是都行？那现在我们要知道这个人的一个原函数，你就把这个c赋个值就行。那根据这个选项，很明显把这个c负几呢？你c负零的话，你看这是零，你这是零，那上面这个东西就是s- 1平方。然后这是s倍的lns- 1，再加个一那所以下面这个东西啊，你看这人不对对吧，你这必须加个一，

它是可以的。然后这是加法，它不对，然后这人不对，你这人不对，选几啊选d？好了，这是我们在这里面当中啊，讲的这个题。所以在操作的信的时候，其实它的方法根本性的方法就是分段点外直接击分段点上用连续。分段点外直接机分段点商用连续。所以这个类型问题啊，你把它想清楚，把它总结一下。

点y直接积分。分段点上。用连续。好，这是这个问题，请注意，这是第一种问题，它叫做不定积分的考题。他的做题的方法论其实就是这样的内容。分段点外直接级分段点上用连续。好了，这是我们讲的这个第一件事，那其实我们既然讲的这个问题啊，你把这一堆内容你自己下去想想。对于分段函数的第二个考点。

那第二个考点其实就是分段函数的定积分。或者是分段函数的求导。计算那这个人计算的话怎么做呢？就是分段点y直接求。直接求分段点商用定义。是不是这个问题，然后再来看看这个第三个事情。如果是分段函数的定积分。那定积分怎么算呢？好，我们来看看，如果是定积分的话，你就要进行去划分区间段了。那这个东西我们后面我们再讲。对吧，

我们在后面再讲，所以说这个定积分的这个计算呢，比如说我们有好多这个呃，比如说我们是。小于一的时候是一个函数，大于一时候是一个函数，我让你从零记到二零记到一就是这个人，一记到二就是这个人。但是不一样的。那还有这个分段函数的什么分段函数的，这个变现函数的计算。分段函数的变现函数计算。所以涉及变形分段函数啊，核心重点其实就这几个人，你看也很喜欢考。

你包括的话，在这个去年的这个真题里面也会涉及这个分段函数的，这个什么你求导你求导了之后的话是不是会有极值的问题啊？你去年真题里面当中就考了这个事情，所以要小心一下这个点啊，分段函数。好了，这个问题啊，我们就讲到这，自己下去好好梳理一下，分段点外直接积分段点上用，连续一定要区分分开。不定积分和定积分是不一样的。不定积分是找谁对x求导数，我的这个事情我我找我的原函数就是找谁对x求导数我呀。

定几分呢？定几分x轴上方的这个部分是针对面积，下方是面积相反数。这两个问题是窘然不同的两个问题。不要到了这个今天呢，还把这两个东西啊混为一谈。好了，这是第一个事情。其实作为我们76题这个题啊，这个题我们其实讲过好多遍了。我记得应该是基础班，就讲过一次强化班，又讲过一次，到了这个今天这个冲刺的时候，我们又讲过一次，

那讲了三遍了。那么，这个人既然是做不定积分。对吧，找原函数，你要想清楚原函数，它肯定是可导的，所以原函数肯定是连续。那原函数在这个一处，肯定是连续那连续的话，你看你这个左极限是零啊？当x趋向零的时候呃，趋向一的时候，这是零，这是负一。

那所以说这个部分是负一啊。你就会发现这两侧的极限不一样，肯定不连续。然后在趋向一的时候，这边是零啊。你趋向一的时候，这是零那这个部分是二啊，两侧不一样，你看不连续。然后我们再来看看这个人当s趋向一的时候，这是零那这是一。然后趋向一的时候，这是零那这是负一负一加个一呢，那这是零你看不连续。然后再来看这个人，

你这个人的话，这个极限是零，然后当s趋向一的时候的话，这是一。然后这是呃l一是零，这是一一减一是零连续的。然后的话，这是零当s趋向1 ln 1是零，这是一负一+1，这是零，这两个是连续这两个东西不同的点在何处呢？这两个东西不同的点，一个是加，一个是减，而怎么去区分呢？

它不就是loong的积分吗？那loong的积分是加还是减呢？我们都知道luins这个人的积分，他其实就是两项，这个人相乘，再减去两项调换位置lu in跑后就求导。所以说这个人是s倍的lns，那是减s+c啊。那所以说这个部分它一定是什么？一定是减。那既然是减的话，这个人就不对了，那所以说这个加不对答案选d。好，这个题啊，

我们就讲到这。所以这是我们在这里面当中操作这个问题啊，当然这个点呢，它不是热点。他不是那么热的脸，这这几年都没出过。所以只能作为一个这个什么啊，潜在的这样的一个可疑点。这是你要注意的，就是这个不定积分的，这个原函数求解，它没有说那么的热，但是你要注意这种问题，你要学会它。对吧，

这个原函数怎么做分段点y直接积分段点上肯定连续啊这个问题？好了没？行吧，那么这个点我们就讲到这儿。过去了，可以吗？来，我们再来看看下一个问题，我们接下来我们来讲讲这个定积分的这个问题。那不就是预测点吗？它不是非常非常的这个热的点，你看看这几年的出题啊，他都没有出过这个东西。但是你不要觉得这个东西不会考。就像数一数二数三同学的这个历史当中。

那么，一六年之前呢？十几年都没考过。然后一六年之后啊，去年二零二三年考过，比如去年的这个数一数二数三卷子里面考了这个知识点。这是要学会的啊。也就说这算一个你在大纲要求的范围内的一个知识点，你不能含糊好，我们继续，我们再来看看题型实例。那题型16啊，我们再来接下来看看定积分的问题。定积分呐，跟不定积分呐不一样。

那么，首先我们先看看定积分，定积分的第一个核心考点就是定积分定义求极限，还记得吗？什么左端点呢？什么右端点呢？什么这个终点呢？你像这些问题，你必须都得会。那还记得吗？左端点，右端点，中点这些东西，你像定积分定义这个内容必须都会。好call点一。

那么，接下来我们继续，我们再来看看第二个点。但是这个内容我们已经讲过了。什么零到一零到二零到三，这些问题我们都会，你怎么考我们都没问题，所以我觉得这个点呢，你应该是很放心的，但是剩下的就是你做题的敏感程度了。我们虽然都交给你，有没有记到脑子里面呀？如果是个数列极限。如果具备求和形式，我们先想定积分定义，

那定积分定义能用，我们就是先写求和式，再提n分之一。对吧，提出来，然后最后一件事情再求极限一和二题三找项嘛。我不说这个问题了，可以吗？那么，接下来我们再来看第二点定积分的几何意义？求定积分，这也是个重点。啊，七合一。几何意义？

不光可以求定积分，几何意义也可以进行去比较大小。那么，先来看看这个几何仪。定积分的几何意义是这样，我们来在这里面当中啊，给出两个二维的迪卡坐标系。好，这里面我们来看看这个图形。第一卡组分析。那么，这里面如果给了一条曲线是这样。这是fs，然后这个点是a点，然后这个点是个b点。

那么，接下来看这个区域。这个区域的话。你发现这个面积是s1。既然位于x轴上方，我这个定积分呢，其实就是面积，我是相等的，那所以我是正的。那么，如果我这个。x这个人呢？位于下方的。你看我这个fs位于下方。你下方的时候就对应这个人。

那这个时候它还是面积吗？它就不是了。你这个时候的定积分。fs ds你看它的面积，面积是s2，我就不会等于面积，我等于是面积的相反数。所以说x轴上方的积分是面积x轴下方的积分呢？是面积的相反数。所以它是负的。因此，不要认为定积分就是面积，这是一个非常大的一个障碍。你不要老是说啊，定积分就是面积定积分，

不是面积定积分是绝对面积。上方的积分。是面积下方的积分，是面积的相反数啊，这是要注意的点。那么，接下来我们就继续吧，我们再来看。这里面那常考的两个人。我们这次的这个测试卷里面当中啊，你考过这个事情。那么，这次测试卷里面重点而言，其实就考了这个人。考了什么问题呢？

考了这两个圆的问题。这是高频重点啊。你不要没有看出来，然后在那还激半天。一个是这个人。还有一个是多少零到a根号下as-s^2？就这两个人，那第一个人的话，你要知道这个人是什么呢？这个人其实就是y等于根号下a方减x方。你移过去其实就是x方，加上y方等于a方。s方加上y方等于a方，其实就是圆心。在原点处，

半径为a的这个圆。这其实就是y等于根号下a方减x方。上半圆嘛。那上半圆的话，这个部分刚好是a，那你想想零到a不就是这个四分之一派a方这个面积吗？好这个人，然后再来看看第二个人。那第二任的话，这是y，然后这是零，然后这是s。那第二个人的话，这个部分y等于它y就等于根号下as-x^2。那这个人是谁呢？

这个人其实就是ix方，加上y方等于ax。你看这样的一个圆。这个圆叫做偏心圆。对吧，偏心圆那偏心圆的话，其实就是我在这里面当中继续去偏。我偏到什么？你这是as这就偏个a，不要进行去配哦。就是，尤其是x方，加上y方等于as了x方，加上y方等于by了啊，这个东西啊，

这是多少截距就是多少。那所以说现在而言的话，它就是这条线，你零到a的这个积分呢？注意没有下面，因为这个y是大于零的嘛。大于零就是上半圆，所以应该是二分之一派半径是二分之一的方。所以说这个积分呢，它也未必是零到a，它也可以考什么零到二分之一样。零到二分之一的时候就是四分之一元。没有问题吧，所以就会考这些东西。那么，

像这些还有一些人，我们也非常喜欢考，你发现在我们做题的时候经常会用到你把这些人给我记住。然后我们再来看。好，我们继续，然后这是y这是零这是x。你像这个人，还有一个什么，比如说我们这个腮。对吧s in这个人考的多吧？你要注意这个办公面积是一。对吧，这是咪那所以说这个人的话，他其实就是什么，

他就是零到二分之派。零到派这个三音。你其实就等于二倍的零到二分之二，不要背啊，脑子转一下就出来了，然后这里是几这是二。那么这个人他是这样啊，有的时候我们还会考这个cos，经常会出现。那么比如说那这个人也是一样。所以说零到二分之派cosine的话，这个人的积分他也是一样，很喜欢考，所以像这种常见的这个定积分呢，你都得把它记住。

那还有这个这次考试啊，也会考了这个人。伽马函数的推论当然的话，这这就是拓展了我多讲一点，那么像这一次啊，你发现又考了这个人，有的半天认不出来。脑子里面就记住一个伽马函数，就跟大学学习完一样，啥东西都不记得，脑子里面就装了个拉格朗日。提到柯西哦，我知道我学过它。提到这个什么泰勒哎，我知道他提到这个人对吧，

比如说提到牛顿莱布尼斯哎，我知道他那这个东西是什么什么东西都不知道。就记住了，哎，我知道这个人，那这个有个鬼用，对吧？你就像你将来读研究生了，以后你就会发现你比如说你是学经济的，你经济里面当中有好多模型，这个模型那个模型。难道你要把每个模型都把它给我背过吗？它不是这样子的，那你这样进去去写论文就不是一个非常漂亮论文。你要知道他建立这个模型里面当中的每个量到底代表什么意思，

然后怎么进去去找这个创新点，怎么进去修真？那这样你才能理解这个东西啊。你不说你就知道这个人，你知道这个人有什么用，你知道这个人只能装逼。对吧，所以别人一提，哎，我知道这个人。啊，动不动在在这个说话的时候里面进行操控了很多名词儿，其实你发现那个名词背后的这个本质，他根本就不知道这个东西是什么？你就跟有些呃说话里面当中啊，

总会带一些这个词儿说，我知道这个应用这个这个模型应用那个那个模型那个模型是啥？好了，这个点我们就讲到这。所以接下来我们就继续吧，我们再来看看啊，接下来。伽马函数伽马函数这个人呢？他是这样。真人等于n的阶乘，请注意这个n是属于。自然数不仅仅是正整数。所以像这个问题啊呃，这个内容它叫什么呢？这叫做伽马函数的推论。

推论啊，这是这个人，所以接下来我们来看看，这是零到正无穷，你也可以取零呐零的话，这是负s。零的阶乘是几啊？零的阶乘是一啊？是吧，然后的话继续，你还有这个零到正无穷，你s一次方负sds，你这人等于几一的阶乘呐，那是一啊。那还有零到正无穷，

你发现这是s方一的负sds，它等于二的阶乘呢？它等于二。同学们，你想想我们这次考试考过。什么时候喜欢考这个东西啊？在概率论当中。概率论当中就很喜欢考这个人，为什么？因为你没发现你看。这个东西是不是特别像指数分布啊？你像不像就很像指数分布啊？所以指数分布它只有零到正无穷有用，然后是s乘上什么你经常就会用到它。那比如说这里面当中，

我们出一个题，你今天必须要会了。我们说这是零到正无穷，然后这是s方e的负lambdas ds，你告诉我这能等几？你说这人等几你就凑啊，你这个人是不是像他，但是这个东西它明显不是x是lambdas，你就把lambdas作为整体。你就把这个lambdas作为整体，然后这一块也要来个lambdas，你告诉我，我用了几个lambda。这块来了两个，这块来了一个，

前面其实就是拉姆达的三次方，所以这个拉姆达是大于零。我不说了啊。假设这个lambda大于零。那这个时候其实你如果想直接看，那就出来了。你要是实在看不懂，你就把这人换成t，如果这人换成t0是零正无穷还是正无穷？能理解吗？你把这换成TT的平方e的负tdt，这不伽曼函数吗？所以后面直接是二的阶乘。所以拉姆达三次方分之二。好这个人，

所以像这种问题，你要算的非常快，你不要在那墨迹。那么像这个人，你比如说我们这个今天还考了一个零到正无穷，你就比如说一的负4s，你可以直接记，你也可以记快一点的。那这不是零到正无穷，你e到多少？你这是四x，你在这补一个减补个四，你前面是不是乘上四分之一啊？然后这个前面有一个多少四s的零次方，零次方不就零的阶乘，

那这结果不就四分之一吗？当然，你可以自己算。所以像这种问题一定要会做，那前面是一次方呢，你要会做好了，这个东西听懂了给我回复一。其实你的核心重点就是干嘛，你就是往这个公式上套，你还能干嘛吗？这没问题吧，你就往这个公式上掏，它长什么样子，我们就怎么来。这个非常容易。

好了，这是我们讲的这样的一个基本点。能会做吧，不要在那里面，你算算算半天啊，你要一定会处理这些问题好了，这就是我们讲的这个几何意义。啊，当然像几何意义，后面这个跟几何意义没有关系啊，多说了一嘴啊。好了，这个问题啊，我们就讲到这儿啊，刚好聊到这儿了，

我们就把这一波内容再跟同学们去讲讲啊，这也不属于这个推广，这算算反常积分那块内容。好了，这个问题啊，我们就说到这。来继续吧，我们再来看下一个问题，定积分是个数。这个考点呢，应该还是比较重要的。就是可能这两年没考这个，今年考定积分是个数的，这个几率还挺高。你定几分这个数？

你比如说这里面当中，我们通常会出这种题。有人说，已知这个fs。它等于根号下。2 x-x^2。然后再加上零到2 fs ds。然后这个时候，然后我们去求解这个fs等于多少？你看这个问题。那这个问题怎么做呢？你要求这个fs，你发现这个fs当中是不是只有你不知道？只有你不知道，你就把这个人设出来。

你切记哦。这个里面这个x跟外面的x不一样，这个里面这个s是积分变量，积分与变量字母的选取无关用x是给他面子。这是没有关系的，你就设什么东西呢？你就设这个定期分是一个数。这是定积分嘛，为一个数。那设完了之后的话，这个fs这个人就等于根号下2 s-x^2，你再加上这个数。那这个时候为了进行去得到一个循环，我知道fs的积分就是这个数啊，我再给这个人两边同时积分。

那这是根号下2 s-s^2 ds，你再减去多少？你再加上零到2 ADS。那这个时候这不就是个数吗？然后这个人呢？这是多少圆的面积吧？你现在会了吗？你把这个另成y，就是x方加上y方等于二，它就是这块是二，然后零到二呢，那就是四分之一。派半径是几啊？这是二分之一，不好意思。

是二分之一二分之一派一的平方，然后这个时候是多少a提出去，这是二所以说这个a呀。移过去是负的，所以等于负二分之派。那这个是负二分之派，那这个就出来了，你就把这个人带到这里面，所以说这个fs就等于根号下二s减s方，然后再减去二分之一派。能学会吗？那你想想这样的一个循环就出来了，你把这个数求出来是负二分之派，那这个函数不就等于你再减二分之派吗？好了没？

这是这个点。那么讲到这个信息啊，其实我就想多讲一点，同学们想想定积分是个数。极限是不是个数啊？极限是数吗？那极限也是数啊。那极限这个人当然也是一个数啊，比如说我们一个题。我们说已知这个fs。然后这个人等于多少呢？比如说这个人等于。呃，这是limit。nx趋向于一。

然后这是fs的这个极限。然后这个前面呢，来了一个x- 1，然后这是sin x- 1。然后再加上一个多少，再加上一个。e的s+1。好这个人，然后这个时候我们就来看。你求解一下这个人。s趋向于多少，让我们去求解这个函数。好，这个人那么接下来我们来看看这个题哦，随手编的。

啊，随手编那么给的这个人呢？你其实就是想给，如果在这里面当中去做吧，有人说那老师如果这个人是不存在是无穷大呢？你想想，如果这是fs。你都把这个人写出来了，你你你一定要品哦。它等于这个函数，加上这个人乘以无穷大吗？所以如果在做的时候做这种等式的时候，你要默认这个东西是存在。能能能理解我的意思吗？你把这一关先过过来。

那这时候我怎么办？我做题套路是一样的。我还是怎么办？我还是在这里面当中是趋向一，我设这个人呢，他是a。我设成a的话，之后的话，这是fs这个人未必说写出来就一定存在，你在做这个人，你就是这样。你听我讲，你就当做成存在来做。你最后做完了之后啊。诶，

这个人确实是存在的，那他不就存在的吗？你先你你先你先假设它是存在，你先这样做。你这个时候的话，就是es+1，你再乘上一个多少，你乘上a。那这时候两边同时取极限。那这时候s趋向一这个极限，那趋向1 limits趋向一，然后求这个极限。是吧，然后再加上多少你这个结果是几你这个结果是一+1倍的a。那这个结果的话，

我们就继续，你再往回走，你看你这个部分不也是a吗？然后这个极限呢？你这个极限的话，上面就等价乘它那这是一，然后这是多少一+1倍的a？所以说这个a就等于多少你移过去移过去，这是一然后移过去的话，这是负一那负一分之一，你就把这人带进去了。所以说最后的话，你求出来，这个人存不存在？你存在就跟我们做四则运算一样。

我想假设这个东西是存在的。是吧，我假设这个人存在，我先算啊，然后这个人的话，你发现这是x- 1，然后这是多少sins- 1？你加上一亿的s加个一，你再乘上多少，你再乘上一亿的负一次方。好了，这个问题啊，我们就讲到这。跟得上吗？啊，

这是这个事情。下一次。有一个考试题啊，就是这样。你稍微注意一下，我提前先说了下这个。然后第二套卷子。可能会有点难啊，所以说到时候你先提前做好这个相对应的这个准备啊。好了，这是这个问题吧，我们就说到这把这个点呢，好好进行处理一下啊。行吧，这是这个点跟得上我的意思吗？

好，那么接下来我们先看几个题，你先看看这个77题这个题啊。来继续吧，看看这个题。啊，没关系，我就模拟卷嘛，又不是最后一套卷子。你平时的时候你练到位了，之后的话，你最后是降维打击。没事吧，慢慢来，别着急啊。

那模拟卷又不是最后一张卷子，你这考考完了之后，你发现问题，你再把它改过来，那不就很好吗？那平时把你这个练得爽爽的，你这最后的话，你发现考试一下变难了，他怎么办？你得慢慢来啊。好了，我们继续吧，我们来看。那他说这个函数啊，他说了半天，

他说那这个人在这个负三到负二。对吧，负三到负二，然后二到三呢，它这个图形呢，其实是直径为一的，这个上下半圆。然后接下来我们就说他说在这个区间负二到零零到二当中啊，是直径为多少为二的，这个下上半圆。其实说了半天呢，就想说明这个图形这一块是个圆，这是圆，这是圆，这是圆，

就想说这个图形是圆。然后又给了一个什么给了这样的一个变上限函数，他说则下列当中啊，正确的是我们来看看这个人。那这个人他让我们去求的是什么呢？他让我们去求两个人。一个事情求f2那f2很简单，其实就是零到二。ftgt.积分与变量字母的选取无关，其实就是零到二这个fs ds就这个部分吧。那么所以说它其实就是这样的一个圆。位于上半部分呢，其实就是圆的面积二分之一派。然后我们再来看看这个f3f3其实是零到3 ftd t。

那f3这个人呢？零到三你发现你一定要记到这儿，你这半边是正的，你这半边是负的。所以说这个时候啊，我们的做题方式是上面这个圆的面积是二分之派，你要减去下面，你下面是二分之一派多少？二分之一的平方。所以说这个结果是八分之三派，这个能看懂吧？你零到二的话，它纯是上面嘛？零到三这个部分积分是正下面积分是负嘛，你说用减。

然后接下来我们再来说f负二。那f负二也能租，那f负二是零到负2 ftgt。但是请注意了。只有这个下限小于上限的时候才能用几何意义，所以说把这个负号你先变一个先，然后写成负二到零。这个时候才能使用记和忆。那使用几何意义了之后的话，这是负的。你来看看这个部分吧，这个部分从负二到零，这是负的那负的这个面积是负的二分之派。负负得正就是二分之派。然后你再继续去算零到负三。

对吧，你再算零到负三。其实如果你这样做就有点麻烦了。哎，有点麻烦。这里面当中啊，其实你可以做的更快一点。你怎么做呢？其实这里面当中有一个非常好的，一看你这个东西是个奇函数啊。你这是个奇函数，从零开始，这是偶函数，偶函数不就是这个部分是个偶函数，这牛逼吧呀，

偶函数。那这个人既然是个偶函数，那这事就简单了。那既然这是偶函数，那就说明你这个人跟负二是一样，你这个人跟负三是一样，这多简单。所以说我们来看看f3这个人跟f2之间的关系。f三是八分之三派，这是二分之一，那这是四分之三。所以说你只用找答案是四分之三的就行了，就这个人，因为负三跟三是一样的，所以正确答案选几选d。

跟得上吗？好，这个操作性呢，你得把它想清楚，要学会它。过去了，可以吗？好，第一个信息点。所以像这个问题啊，它完全考几何意义？你把这个几何意义进行去摸透，这个东西就出来了。来再来看看下一个题，78题。

78题啊，他说这个曲线段fs是这个人说fs在零到a上有连续的导函数来重点，我们来看这个人。你看到什么了？你是不是看到了抽象函数导函数？你会干嘛？凑到后面去分步积分法有没有问题？两项相乘减去两项调换位置有没有问题？没问题吧？那然后把零带进去就是零，那是a倍的fa再减去零到a fs ds。是不是做成这样了？那这里面当中的a倍的fa是多少呢？a是在这儿。fa是在这儿，

那这两个东西相乘是什么？这两个东西相乘是这个部分的面积。然后零到a这个人呢？零到a其实就是这个部分。这个部分的面积。所以说最后一减是多少呢？这是不是有个c呀c在这儿？所以说最后一点其实就是a cd的这个三角形的面积a cd，但是这是一个曲边三角形的面积，不是三角形。选c好了没？这是这个事情。所以你把这个点呢，你先想清楚。啊，

怎么去处理的？来，我们继续吧，我们再来看看下一个题。你再看这个题。呃，这种题啊，他非常喜欢跟阿达玛不等式进行去挂钩着考，那么现在这个人肯定不是，但是阿达玛不等式那个内容他也是考几何意义？你这是要记记住的。来，我们再来看他说这个函数在这个B区间上。fs大于0f撇s小于零，这些东西就是靠诉几何意义。

告诉几何信息就要画图，这人是正的，这人是单调递减的大于零，这个曲线是o曲线。有没有问题？所以又是正的，又减又凹又减又凹，只能是这一段。那因此这里面我们其实就可以画一个图像，然后进行来看看。你这是y，然后这是零，然后这是s，这个曲线是这样。那这个时候它是正的，

然后接下来我们来给一个a点。然后再来给个b点。先来看s1s1，其实就是这个部分面积。这是s1。s2是FB乘上一个b-a。FB是谁呢？FB就是这样。b-a就是这儿。所以说这个部分对应的是什么呢？对应的其实是这个部分面积。没问题吧，所以这是s2，你就是这个阴影，然后我们再来看看s3。

s3是什么呢？它是fa+FB就是上底加下底。上底加下底。然后再乘上b-a就是乘高。乘高除以二就是这个面积。那所以我马上出来，那这s3这个人明显比s1大，明显比s2大，所以应该是三一二三一二正确答案选几啊？就选b。好，这个问题这个不难吧？所以说这个东西啊，它对应的是这个梯形部分面积。而t醒呢。

比这个曲边梯形大，比这个人大。好这种题啊，不是说特别特别难。好了，这个信息啊，我们就讲到这，然后接下来我们再讲一个吧，这个呃，上节课有些同学可能会问的这个点。啊，这个穿针引线法的内容，比如说我们再来看一个题。所以说如果这里面当中给一个什么呢？比如说我们给一个这个是。

x- 1。的平方s- 2的三次方。x- 3的四次方。s- 4的五次方，你看这个人。或者就这样吧。那么，接下来我们来看看这个人，他与x轴所围成的面积怎么处理？我们来教一下同学们画这种图。但这个这种图吧，我们考的这个几率真不大。你要说这个有多少一个有多少拐点，有多少极值点，我们讲讲吧，

可以吧，我把这个内容我们做一个加强。那么这个人呢？它是什么东西呢？我讲讲这个问题。calling.这个内容叫做。多项式函数。画图问题。多项式函数。多项式函数画图，我们可以怎么做呢？这个东西啊，我们可以用穿针引线法。哎，

我们可以用穿针引线法。多项式函数去画图穿针引线法。那穿针引线法的核心是什么呢？他的方法论是这样说的。叫做奇函奇数。不是奇函数，叫做奇穿偶不穿。啊欺穿，偶不穿。什么意思呢？我想问一个事情，这个奇和这个偶指的是什么呀？这个奇这个人呢？他讲的是奇，指的是这个奇数次方。

不是这个焦点，是奇数次方，你说一这个点是穿还是不穿？不穿，我看的是二，不是看一，我看次方数，所以不穿，所以击穿，我不穿。那么，接下来我们呃，如果进行去求面积啊，这个就太简单了。你看我们继续去讲讲这个低配版的，

这这实在是太容易，你初高中学的这个东西啊，这这个比较简单。来你看看这个问题。那么，这个人如果是一般情况下的，他就这样来。好，我们进行一句话。那么这个画的话，你看它跟s轴交点的话，一二三也叫数轴穿根法。数轴穿根法的话，你就画呗。你首先的话，

这个三是四次方穿还是不穿？那这东西不穿？啊，这个这个这个东西啊，他肯定不穿，那不穿的话，你你就过去呗。然后二这个人穿不穿呢啊？二这个人穿了你就就过去呗，然后这个人穿不穿不穿你就这样。如果进去去求面积是非常简单的。那这个与x轴所围成的面积一到二，这个部分的面积呢？它等于多少负的一到二？然后这是is- 1的方is- 2的三次，

方is- 3的四次，方ds定积分的相反数。然后这个部分的面积呢，其实就是定积分二到3 is- 1^2 is- 2的三次方。x- 3的四次方点四，这太简单了。所以就是这样来，有同学又来了，说老师默认这个东西，它是从上画还是从下画这个，这个太简单。我我问你个事情，你们跳出来。你跳出来，你太钻这个东西了，

你要多思考，我就想问一个事情，你从上穿还是从下穿？你的重点是什么？你不就是想看看大于三的时候是正的还是负的吗？那你把大于三带进去，大于三的时候正的大于三，正的大于三，正的那不就是从高往低传吗？能想清楚吗？好，这是这个问题。能学会吗？那比如说有一天我们出题是这样出，我出成一个多少，

我是四减ss减五的平方。is- 6的三次方。那这种情况怎么做呢？这种情况你要化成我们一般的，你一定要写成x减什么x减什么x减什么？钱配富豪，然后这个时候怎么办呢？这个时候你就要进行去画这个人。对吧，你去画这个人。你画这个人了之后，我们来看看这个事儿，你就继续去教你焦点是四焦点是五焦点是六，你先画这个人。那从高往低画还是从低往高画呢？

大于六的时候，这是正的，这是正的，这是正的，所以说我们来看。首先六这个点是穿过去五这个点不穿过去，这个人穿过去。但是前面还有个负号啊，有一个负号就非常简单，有一个负号你就把它翻一下。啊好，就这样。能学会吧，或者你就直接从第一穿就行了，你就是带这个负号一画的话，

就是这是正的，这是正的，这正的前面一个负号负的，从下面往上画也行。啊，都行，怎么都行，你就直接画也行，或者是什么你翻一下也行，这都都行，这无所谓啊，这个我觉得影响不大。好了没？可以吗？但是啊，

我觉得讲到这儿啊，我就不仅仅讲到这儿哎，我们都仅仅讲。啊，这不是题吗？刚不是出了题了吗？你画图的时候用啊。你判断这个正负性要用啊。哦，我我不是讲了一个题吗？这不是例题吗？这不例题吗？说与x轴所围成的面积是多少？那就这样写啊。这不是一个题吗？

还有你要知道什么时候是正的，什么时候是负的吗？但是，同学们仅仅讲到这儿，有一种问题是不够的。那我问一个事。比如说你是这样画的吧？我问你个事情，有几个拐点呢？啊，有几个拐点呢？啊，你告诉我语句，什么叫拐点？拐点是曲线上凹凸性发生改变的点。

曲线上凹到凸发生改变的点是拐点，你告诉我这这哪是拐点啊？拐点是谁呀？你看不好看了吧？所以像这个，但是极值点能看出来。山谷是极小值。山峰是极大值，山谷是极小值，山峰是极大值，有四个。极致，非常好看。但是这个题你发现拐点不好看呢。所以这里面当中怎么做呢？

这个有些的话，这个方法论呢，他可以这样做，你如果是求拐点的话，他可以这样出题，他可以这样处理，用罗尔定理推论。但是那个我觉得对于三九六同学的这个拔高色彩不是特别强。有些同学可能看了一些这个视频，里面讲了一个结论，说如果是这样子，他的他会怎么样？扫一下，再扫一下，哎，

是几个？然后是那个样子，扫一下是就就知道这个结论，你说这个东西为什么呢？理解不透彻。所以今天呢，我们来进行去讲一下这个事儿，我们来讲讲加强版的。啊，加强版的穿针引线法。我们能把这个东西啊，画的非常非常的清楚。那么，首先第一件事，我们先来看看多项式函数。

它的特点是什么？对吧，我们看看这个人的特点。你不要感觉你最好听。你敢学到一知半解吗？所以我们在考要去考试啊，你稍微的稳当一点，我觉得这种重要的考试一定要做稳当一点。多项式函数的特点是什么？你就会发现这个多项式函数处处可导吧。你这个导函数肯定是可导你可导你可导，你可肯定可导的，哪来的不可导，你能不能把它导出来，你导二倍的s减一三倍的s- 2^2四倍的s减三四次方。

你肯定可导，所以说这个部分呢，你要想清楚，它必须是可导的。磕到的曲线就是光滑的。对吧，光滑。那么，接下来我们来看看这个类型问题，我来教你怎么画？怎么画呢？只要。把握住把握住零点处。的画法。即可破题。

那么这个人呢？你只需要知道零点处怎么画他就可以了。我来给你讲讲，你听啊，你好好听。比如说其实。接下来我要讲一下这个函数。啊，这个函数比如说这是y。它等于。x- 1^2。啊，这个是x- 2吧？s- 2^2呃s- 2 s- 3^2 s- 4的这个什么三次方？x- 5的四次方，

它不会考这么难的。它不会考这么难，但是我们先进行看看吧啊。如果进行去整体进行去画的话。你发现。如果直接化，我们先看看。这里面当中，这是y这是零这是s它这个交点是二它这个交点是三它这个交点是四它这个交点是五。我们在这里面当中，你要稍微注意一个信息点。你是从哪画呀？你是从高往低划，还是从低往高划？扔一个大于五大于五的时候，

你是正的，你是正的，你是正的，你是正的，肯定是从高往低画。但从高往低画是这样画还是这样画呢？也非常好看。大家给我听一下。我问一个事情。我导一下。这个东西是不是x- 2 x- 3 x- 4 x- 5的组合？是不是你导一下，不就是第一个导，后面不导第二导，加上旁边不导第三个导，

加上旁边不导第四个导，加上旁边不导。是不是它们的组合？你再求一下，是不是也是它们的组合？它们的组合在大于五的时候，什么零大于零，什么线o曲线？所以画法肯定是这样画的。跟得上我的意思吗？所以说你就记住，只要都是x减什么x减什么x减什么x减什么，那这个人肯定都是这样画的。能理解吗？要理解啊，

理解了这个东西才可以。所以接下来我们来看看这个问题。好，那么接下来我来教你怎么画？那么，接下来我们一个一个看吧。我们先来看看这里面当中的第一个人。我把这个擦掉。来，同学们认真听哦，刚开始。那这里面我们先来看看第一个人x等于几五处的时候。哎，五这个点。五这个点是怎么画的呢？

嗯，嘶，这个人怎么这么讨厌？这怎么就圈不住呢？等我想我这又有点难受啊这。s=5处。好，我们先来看看这个第一个人。五处怎么画呢？那五处的话，从高往低引肯定是这样。你先听啊。那么请告诉我。五这个处的次方数是不是超过了一？是不超过一。

我在求这个人的导函数的时候，我可以把前面另做成gs，然后这是四次方。然后你进行求导的时候就是前导，后面不导。再加上前面不倒，后面来倒有没有问题？然后把五带进去，导函数等于几？五处的导函数肯定是零。没问题吧，所以说如果这个次方数超过一。它在这个点处的导函数绝对是零。因此，如果是零，

它在这个点处的切线就会是水平的。你想清楚，如果是零，它在这个点处的切线就一定会是水平的。如果是水平。你在这个点处就绝对不会变换凹凸性，你要变换这就完蛋了。你这半边的切线斜率这样，你这边切线斜率这样，你肯定不会可导的，所以说它肯定不会变换凹凸性的。所以说大家注意。如果。次方数超过一。而且在这个点处是不穿，

它会怎么画呢？关节点上就这样画。好了，就是这样，然后你把它延长就行了。啊，就这样画，所以说这条线呢，它就是从这儿一直下来的。关节点，它就是这样画。能学会吧，好了，这是第一个事情，然后我们再来看看第二件事情，

你继续看。我们再来研究一下哪个点呢？这是五这个点，然后是四这个点，我们再研究四这个点。那四这个点的话，你发现次方数超没超过一？他超过医生。s=4处。次方数超过一，不信你试一下，你把s- 4的三次方别人列成gs，你再求导你前导的话是三倍的s- 4^2，这个gs。前面不倒，

后面来倒，一代是零，这是零。是不还是零？你只要这个次方数是超过一，你在这个点处的导函数就一定会是零。你想想你导函数是零切线，是不是就是水平的？那你这里面当中，你去想想我这里面当中上去。那么你看你上去还要下来。下来想水平要穿过去，你要穿过去，你就不能这样，你这样的话，

切线就不可能水平。如果穿过去的腰水平，它只能这样画。他怎么画呢？他只能这半边这样。这半边这样必然是这样。你就记住，如果它是什么，它是大于零的，大于一的次方数是穿过去，你就得这样扭。必须这样扭，所以这个点绝对会变换凹凸性。能想清楚吧，好了，

我们再来看看第三个事情，那就是is=3处。is=3处来，我们继续看。好继续x=3处的话，这是五这是四，然后接下来这是三。三处这个人的次方数是不是超过了一？这个点处的导函数等于几？这个点处的导函数等于零。导函数等于零，但是是偶数次方穿不穿，不穿我们都知道它在下面，你看三在这，你下来的话，

你要过去。所以它肯定在下面，你下面的话，你发现你这个点处的切线是水平。他的画法是不是这样画的？没问题吧？哎，只能这样画，所以说再来看看第四个人就是is等于几is=2处。s=2处的话，这个点呢，你要稍微注意。二处如果是二处的话，你进行琢磨一下，那你把这个x- 2作为一个整体，

别人作为整体，这是一次方。一次方进行去求导的话，你发现前面求导是一，后面不导，前面不导，后面来导是这个人。你把二带进去了，这个什么把这个二带进去了之后，这一项是零，但是请切记一个事情。前倒后不倒，但是这个js在二处呢。它在二处，绝对不为零，

如果它在二处等于零，它肯定有一项归到前面去了。它绝对不为零，所以说你会发现一个事，如果这个次方数是等于一的。它在这个点处的导函数。一定不会为零，一定不会为零，怎么办呢？一定不会为零的时候，那在这个点处出去就出去了。它不会改变它原来的凹凸性。比如它在下面，它要上去对吧？你上去就上去了，

你直接出去，因为这个切线是什么就什么。听得懂我的意思吧，所以这个时候你就会发现，如果次方数是超过一的偶数，你就这样画次方数超过一的奇数，你就这样画。四方数超过一的偶数，你就这样画四方数等于一呢，就直接出去。不会改变。那所以说这种题我就会做了呀，那接下来我们来看看这个题。来走告诉我件事从哪开始传？从哪啊？

很明显是从高处穿，先来看五五这个点是什么呢？五这个点。它切线是水平，而且不穿是这样画，所以然后把这个东西延长就行了。对吧，延长，然后的话之后到了这半边四处呢。四处的话，你发现超过了一。那超过了一了之后，而且的话，你发现它是要穿过去，那这个时候你只能这样画。

对吧，所以中间部分呢，你把它连起来。啊，连起来，然后接下来的话，这个人下去下去要上来，上来之后的话，你继续看你这个点处的切线还是水平。你这个点处切线，因为你超过一样。你超过一又不穿，你超过一不穿的话，切线水平是这样，然后再把这个部分连起来。

然后最后一个事情的话，就继续你再看，然后二处呢是等于一，那就直接出去了呗。不会改变凹凸性。能听懂我的意思吗？好，那么接下来我们点点。有几个拐点呢？你看这半边都是凹的吧？都是凹的，然后要变凸一个。然后这是凸的吧？要变成凹的吧。两个。

然后这是凹的吧，要变成凸的吧？三个。然后这是凸的吧，变成凹的吧。四个，然后这是凹的变成凸的吧五个。然后这是凸的变成凹的吧，六个。所以说拐点有几个拐点有六个拐点。当然，从极值的角度就简单了。这是山谷一个极小值。离各其大之。一个极小值，

一个极大值，一个极小值。其实是比较简单的绘画了吗？所以说这个东西啊，它叫做加强版的穿针引线法。啊，加强版的。不会数。为什么每次每次都会出现这种问题，这就像别人给了你答案，你不会抄一样。你最后给我来了句话，图会画了，你不会说。我我没办法，

那那没办法。你就跟别人给了你答案，你说哎，我不会抄。那这有什么区别呢？你这是凹的，这是看不出来什么叫凹什么那什么凹什么不不，你去复习基础啊。因为你都不知道什么叫凹凸呗。你自己动一下手，什么东西都出来了。好了，这个问题啊，我们这里面。可以把这个东西啊，

我们来跟大家进行去。你要凹凸性，不理解你问题更大了。啊，这问题更大了。你看这个题。这个题我不画了，因为这个题的话，你发现。它就非常的简单了啊。来这个题。不要动手，直接给我写。你看四方数超过一。的七七数次方。

次方数超过一的奇数次方。它一定得这样画，凹凸性会发生改变。b是拐点选c。听得懂吧，不要花了。四方数超过一的奇数次方。次方数超过一的奇数，次方要穿过去。然后b会改变凹凸性，直接出来了啊。能学会了吗？好了，这是这个点啊。跟得上吧啊，

这种题。然后接下来我们再看看这个题。这个题的话，它还是让我们继续去看拐点。那这样的话，你就进去就画个图。s这是零这是y一个是一一个是三。所以首先第一件事你看都是x减什么x减什么，所以说从高望低。四方数超过一的，偶数次方就这样画。然后从上面下去，这个是次方数超过一的，偶数次方就这样画，中间把它连起来。

然后出去。所以现在我们进行去数这个拐点，你数一下吧，原本这一块儿是o的。然后把这个部分变成了to的。然后接下来我们再把这个东西变成了all的。那所以说凹凸性发生改变的点一个点两个点，你学会了吗？好，这样能看得懂吗？颜色颜色颜色哎，换三个颜色，那还不好意思，那那说明还是我讲的不到位，没有让你理解啊，

我刚才就应该这样画。我这样画，你能理解了吗？啊，那还是我的不是，所以我刚才应该给你标出颜色，你就看出来了。好了，这个点呢，我们就讲到这。所以说这个人呢？有几个呢？有两个。能学会吧啊，这两个。

那所以注意啊，这个这个拐点不在一和三处，有些答案写了一在三一和三处那不对。好了，这个问题吧，我们就讲到这。啊，所以说这个我看的时候我之前见过这个小红书，因为我们班的这些同学啊。这个同学会经常会分享这些东西啊，也是希望分享给很多同学，那么之前我看到过有同学分享这个方法。然后下面有些评论讲我初中就学过初中老师就讲过。要不然下半场我高中老师就讲过。你高中老师讲的是这个水平。

不信你去看嘛。你高中老师讲的是这个水平，鸡穿藕不穿谁不会呀？谁还不会西穿偶不穿呢？你这画完了之后的告诉我一个事情，你画完了之后你告诉我你有几个拐点，你能看得出来吗？硬生生在那装个逼，对吧？就说啊，我曾经学过，你能看出几个拐点？谁还不会击击穿不那就画呗，对吧？那这你你这个人怎么办？

比如说这个这个这是不穿过去穿过去那？那几个拐点呢？所以这个内容啊，你要一般的这个点呢，你还真看不出来这个拐点有几个，那拐点是没法看的。好了，这个问题啊，我们就讲到这可以了吗啊，所以说下去把它好好看看，你们学会就行了，我觉得无所谓这这。这是人人多了，对吧啊？这这这有些总总有这些人啊，

你不不用管，你们就好好学，然后学会了之后考上了就行了啊。好了，这个点呢，我们就讲到这。那这是这样的一个问题吧，所以下去啊，把这个相对的点好好处理处理，那么今天呢，这个问题我们就讲到这，然后我把800题当中的不定积分呢。我稍微给你进行去画一下，你把那个不定积分。呃，

回头进行去把有些东西啊去做一做啊，因为我觉得这个运算还是很重要的。从幺六三。嗯，我想想啊。这个不想做了，你就不做了。这都是一些话境啊。然后。啊，全做吧，全做吧，啊，全做。你就把这些不定积分呢，

你自己分一下，分成呃，几天的话，你专门去做一做啊。可以吗？你把这几个因为我呃我我我给忘了，对吧？我给忘了我们这个800题是筛选过了的。对吧，这个800题是我筛选过了的，原来的话，那个数一数二数三的话呃，这个因为有些题是一样的，我们里面好像是我当时加了40多个题。加了40多个题的话，

然后里面当中的话，这个呃，有些部分的东西我已经筛过了，筛到后面的话，我们其实都能做。好，这个在哪看这个题？我一会让助教把这个部分整理一个文档发过去，可以吗？有些东西是这个冲刺救命班的同学，你可能这个以前没有做，你就下去把这些不定期分栏去做一下啊，我让让让。让这个助教把呃，这些部分呢，

然后的话整理到这个文档里面，然后你们自己回头进行专门做这些题就行。行吧，那么这个点呢，我们就说到这儿，所以下去把这个计算能力还是要提高一下，但不要一天做太多。我们的意思是什么呢？你就算那个讲义发过了啊，那个发过了。你就算这些东西。你做的好。你说这些题的话，你做那些真题的话，部分内容你一定会做吗？

这也未必。就是这个东西是一个基础。你有的时候我们比如说我们在做定积分的时候，需要用到这个人。比如说我们做的定积分应用的时候，列出式子需要用这个人。比如说我做到这个部分的时候，我需要用到这个人。能听得懂吧，不要一天做太多。十个就差不多了。你不用做太多，你或者做五到六个也行啊，每天做五六个也是可以的。就每天有这种最基础的这个手感。

哦不不不，你们不用做那个核实实践真题啊，我就选了个别的题，你不用做啊，那那那你没有必要花这个时间。你去看看这个，其实大量的这个题跟我们其实。根本不会考察到，因为这个。这个何止十年真题的话，里面大部分的题，其实我们基本上都都不会进行去考的。你里面当中这种题他也不会出啊，这个对吧？你像这种题。

行吧，那么这个问题啊，我们就说到这可以吗？好吧，那么这个点就讲到这。所以下去把这些题做做，然后做完了之后去把定积分的那些题啊，你把它再算一算。所以我觉得这个呃基础的这个运算能力啊，你得多做，每天保持一个手感啊，每天要赶做。用自己最舒服的状态，最开心的这个样子进去去做。不要每天这个复习完了之后垂头丧气的，

你这才不好。对吧，有些同学可能呃，这今年的模拟卷啊，大部分同学其实都觉得难，这是个很正常的现象。因为我其实在你们自己回想一下，我在零基础提前学的时候就给你讲过这个事儿。就什么问题呢？就说这个，因为去年考的难。所以今年的模拟卷一般模拟卷都是这样。所以它可能会就会变得很难一点，那这个时候它就会出现一些问题，有些东西就被这个。

被这个摧残的，然后的话，这个非常的丧气。效率极其的低下。然后甚至有些同学都不想考了。你这简直你还不如不模考，你不模考，你发现你还能认认真真的复习，开开心心复习，最后还能取得一个更好的成绩。但是有些同学这个模考完了之后反而变得这个啊，各种这种丧气没有一点的话，这种自信心了，复习效率极其低下。极度的影响了自己的复习，

你还不如不不模考，对吧？你这还不如不模考，因为你不模考，对你最近段时间的复习帮助可能会更大。所以一定注意这个模考出错的问题，你把它改过来，你要这还是积极的面对。那这次错八个，你下次错七个，然后再一次的话，你这个错六，那这个还有这么多天呢？两个月时间还挺长的，这个每每越到后期啊，

可能我们这个东西会比较多一点，但时间。时间方面的话还是有啊，所以说你慢慢做对吧？把这些点。行吧，那么这个点呢，我们就说到这啊，自己下去把这个相对问题好好处理处理，还是积极一点就出错了，你改过来。但是有一个问题。痛点，你一定要痛。你下次你才能你才能记清楚，

你不要今天说积极面对，然后说改正过来，改了就过去了。你要多复习错的东西要多看啊。好了，这个问题啊，我们就讲到这可以不同学们啊，然后的话这个。嗯，然后每天的话，这个弦不要绷太紧啊，给自己一定的时间继续去调整。啊，有些同学可能这个。呃，

运动运动啦，跑跑步啦，是吧？去健健身啦，我觉得都还挺好的啊。好，那么今天课程呢？我们就讲到这呃九点半了。叫我小小。嗯，周一就看看明天。明天晚上有一节课。嗯，稍等，我想我看看这个安排吧。

嗯，明天吧，可以吗？明天要不然的话，这个明天中午。怎么样啊？明天中午，明天中午的话，我呃开个这个直播进行去聊聊啊，定一下吧，因为的话。这个不然太晚啊，有些同学可能都不知道我们这个有这样呃，跟大家进行去直播进行去聊，这样的一个问题啊。

明天中午12点吧。明天中午12点。啊，明天中午12点，然后我明天通知吧啊，12点。行，那么我我我去看看吧，我看看哪块私信多私信多的话，我就在我在那块开一下，因为最近很多同学的私信我可能没有来得及回啊。你们也不要不介意，有的时候回复私信呃，是这个今年的话，这个东西太多啊，

有的时候这个。确确实，最近尤其是今年私信量格外的大，比往年的话，我感觉都大了五六倍都不止。那行吧，那么今天啊，我们就说到这。可以吗？好自己下去把这个相对的内容好好处理处理，明天中午12点。啊，明天中午12点，明天中午12点的话，我们就把这个。

呃，明天我们就定一个平台吧，不用不用多多平台的话，这个两方面的话，我基本上都顾不过来。好，那么今天课程呢？我们就讲到这好，同学们好，明天继续吧啊呃，明天的话没有课程，明天你就好好复习，后天呢，我们就继续，然后再把这部分内容继续往下来。

好同学们，那么今天课程呢？我们就讲到这好，后天见吧。

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