09.冲刺串讲9-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:01:11

那么，接下来我们就准备开始今天的课程了吧？首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们就准备开始了。那么今天我们就继续开始我们的冲刺救命班的这个第一个阶段的课程，也是冲刺大串讲，那么在上次过程当中啊，我们刚好把第二章全部讲完了。那么也就说，我们在这里面当中啊，一元函数微分学其实是每年考研当中的一个重点，

你去思考一下，我们在这个一元函数微分学当中导数的定义。导数的计算，这些内容都是必考的，什么切线方程，法线方程相切的问题，包括到了后面过程当中的极值拐点，凹凸性。对吧，这些类型问题都是一些重点内容，所以说第二章知识体量比较大，也是我们在这个复习过程当中非常重点的一章。那每年的出题点呢？呃，在这一章出的这个题的量有可能是六道到七道左右，

所以说希望同学们下去啊，好好把这个内容啊，再好好看看。好了，那么接下来我们就继续吧，我们再来看看这个下面一个部分问题，那么从今天开始啊，我们将正式的进入到一元函数的积分学。那么，一元函数积分学也是一张大章，那么，函数极限与连续一元函数微分学一元函数积分学多元函数微分学，那像这几章都是我们必考内容。我们在整个考研过程当中的总共是21个题，那这21个题啊，

基本上是这样，就是多元微分学出题啊，基本上是在五到六道。然后这个一元函数的这个微分学啊，在六到七道。然后这个极限部分呢，一般的话就在五到六道，然后剩下部分一元函数的积分学，所以这个出题的题量其实非常大。所以说这个昨天上午啊，有些同学可能机器就模考了，有些同学还没有模考呃，所以说这个无论模的怎么样？包括这两天呢，有些同学可能做了这个市面当中大量的模拟卷，

我记得在这个今年的基础班的时候就跟你讲，我说到了这个今天呢。就是如果到了这个阶段，就冲刺阶段，包括市面当中，我相信没有一套蒙卷是比较简单的。所以希望大家的话，如果你做错了，你就好好的改正过来，把这里面当中的东西啊，好好消化到位就行好了，那么接下来我们就继续吧，我们来看看我们的第一个阶段课程。我们再来看看下一张一元函数的积分区。一元函数积分学，

那么在这里面，我们来看看我们到底要学多少内容呃，这章啊，体量非常庞大。但是这一章部分内容有一些同学可能学起来呃，比上一章学的要轻松一些。你虽然上节上一章，其实而言的话，这个难度系数没有说那么的大，按理说这一章应该比那一章难，但是其实很多同学不喜欢学上一章。反而是喜欢学这一招，尤其是这个一元函数微分学的后半程，什么单调性呐？极值最值凹凸性这个问题，

这是很多同学的问题点。所以接下来我们一起来看看下面一个问题点。然后另外一件事情呃，我觉得你出错了，你就改正过来就行，无论你出错了多少，我觉得有一个问题啊，有些人这个复习方法是有点问题的。重复到极致就行了。就是你把这个强化部分，或者是这个基础部分，包括你做的这个习题呀，你把它进行去重复到极致。那这样的话，你就能复习的非常好，

我记得这个你可以进行去翻一下，我昨天呃，应该说是这个，我说呃，昨天晚上发了条微博，说这个明天。要进行去这个讲评，这套试卷下面一个同学分享的这个经验，你就是这样跟你原来的这个基础啊，没有多少关系，就是你把这些东西啊，重复到极致。你错了就改正过来就行，包括如果到了这个阶段呢，你可能见到这个。

你得扛得住，对吧？你得扛得住各种的话，这种市面当中的这种舆论性的这个压力啊，这是非常重要的。包括最近一段时间做模拟卷，你说很难啊，然后有些人说啊，贼简单。啊，其实有可能有些同学觉得很简单，但是你得在这里面当中，你发现问题改正过来就行，不一定说你最后一场考试一定会考到，不比他好。

所以希望同学们慢慢来啊，好不多说了，我们来看看一元函数积分学，我们到底要学多少内容？那么首先第一个事情不定积分的定义。重点。一般情况下有一道题，然后接下来到了第二个部分无定积分的计算。这个问题啊。一般其实很少出不定积分计算，喜欢出什么，喜欢出定积分计算。因为不定积分的这个计算呐，定积分计算本来就考了不定积分的计算，但是你发现这个不定积分计算呢，

因为往往因为后面有个c，有的说这个答案不是特别固定的。改卷子不好改。所以说定积分的这个结果呢，它是唯一的，所以希望大家注意，有的时候我们不喜欢考这个不定积分计算，反而是喜欢考这个定积分计算。但是啊，不定积分的计算是一个基础。然后接下来我们再来看看第三个点，那就是定积分，定积分的定义。一般会有个题，然后紧接着是定积分的性质。

你看这两天我们昨天呢，进行这个模考，有些同学把这个定积分定义当中，尤其是那两个比较经典的两个圆。所涉及的定积分呢，你都给遗忘掉了，那这就不行呐，你就得把这个东西给捡回来。能理解吧，你就把这个东西给捡回来。所以接下来我们就继续，我们再来看。可是选择题为什么不好改？我说的话理解不了吗？就是因为后面有个c你，

比如说举个例子啊，你计算出来一个，比如说是反三角函数，比如说你计算出来是阿克塞因怎么怎么样？然后这个人算出来是那个人怎么样？你发现有的时候这个你用这个方法做出来答案其实是对的，你用这个方法做出的答案是那个的也是对的。两个方法都是对的，但是你发现你有可能用这个方法，你在选择题当中啊，你找不到答案，但是我们在考研的时候，我不知道这个选拔性考试到底是选拔什么呢？他肯定是想选拔你，会不会做这个题？

但是定几分的结果就是个数，它就是个唯一的一个结果，能理解我的意思吗？好了，这个事情我们就讲到这那么，然后定期分性质啊，非常喜欢考的是定期分是个书，然后是比较定理这两个类型问题啊，是非常喜欢考。然后接下来我们再来看看第三个事情，其实就是变现函数，然后到了第六个人，其实就是我们的定积分的计算。啊，这个人，

然后第七个点我觉得还是要复习反常积分部分问题啊，你还是要做一点这个预备工作，然后最后一个事情是定积分的应用。那么这里面好几个东西啊，都是必考内容，你像定积分应用啊，一定会考的，不用去想，一定会考的。定积分当中去求面积，定积分当中求旋转体体积，包括这个求弧长问题，还有这个旋转侧表面积问题，这四个问题啊，你把该记的公式一定要学会了。

那除了这个旋转体体积绕着一般轴转，我需要会推。别的情况都是记公式，把公式记住了之后，见到这个题去套公式，然后把这个东西计算出来，那就结束了。能理解我的意思吗？所以说这个问题啊，希望同学们一定要把这个点呢好好进行去想清楚。所以这个一元函数的积分学，我们的核心重点就是这八个考点，但这八个考点呢，基本上出的这个题量，有的时候会出八个。

到十个左右，所以这一章出的这个题量是非常大的，接近20分呐，好了，那么接下来我们不多说了，我们今天的重点，我们应该是前。前四个内容啊。那么，今天的重点我们会去学习不定积分的定义，还有这个不定积分的计算，定积分的定义，还有定积分的性质。我看了一下这个青年。这个有些这个卷子啊。

出的有点太狠了吧，对吧？我觉我觉得这个有有把这这种题。我今天看了一个同学给我发了一个题啊。有点离谱了，对吧？这我觉得这要出啊，你不能不能瞎出，对吧？我给你大致看看。我不知道有的同学们做没做过啊，你做了之后的话，我给你看看一个卷子啊。你看到这个题了吗？就是把这个题原模原样出给我们。

这是二零一九年的考研数学试卷的题，然后改成那个定积分。这个题啊，是当年数学二同学的十分的题，然后改了一下，把它出成了定几分出给我们这个。这就没有必要了吧，我觉得这跟你你如果这个出的这个狠，而且这是近几年的真题，你看这是二零一九年数学二同学的真题。那我觉得这样出题的话，你肯定算不完的。那一般的话，这种题的话，我觉得是十分钟内计算的，

你这两分钟内算完，那你挺牛逼的啊。而且这里面当中有四个参数，四个参数的话，你这算半天好了，我不多说了，我们继续过来。那么，这是我们讲的这个第一个事情，那么首先我们先来看看第一个点不定积分的这个定义和这个性质，那么首先我们针对于不定积分的定义啊，第一个点。原函数的概念。对吧，这个原函数原函数这个概念呢，

是个非常重点内容。那么，我们通常而言，其实他在考试当中就用了一下。就用那么一下，就说我这个人是你的原函数，他是这样说的，就说如果你这个人的导函数。对吧，你这个人的导函数它等于什么呢？等于这个小fs，如果你这个人导函数等于他，那这时候我就说什么，我就说这个大fs。为这个小fs的一个原函数。

对吧，为这个人的一个原函数。一个原函数。那如果是全体原函数呢？全体原函数就加c就行，所以我们通常在题目当中出现这句话说a这个人呐。是be的这个人的原函数。那就说明a这个人的导函数就是他原函数就是d的感觉，原函数这个东西啊，要高一些。能听懂我的意思吗？你的导函数是它，你就是它的原函数。所以我们在考试当中啊，你只要见到原函数。

这三个字你立即反应清楚，一个事只要见到原函数，你就要想到比这个人要高一级，对吧？比这个人高级好。好了，原函数啊，我们就讲到这，你要清楚啊，只要见到原函数，你要知道这个人是他的一个导函数好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看第二件事情，不定积分的至高理解。那么，

其实在二一年的真题，还有二二年的真题啊，里面当中都有考过这个点，就是对不定积分的这样的一个啊，这个定义的一个理解。这是我们原来喜欢考的，只不过去年的真题啊，没怎么涉及，但是我觉得这个今年呢，依然这个部分是个重点。因为我们三九六同学很喜欢考定义。那我们来看看，不定积分吧，他这样说。他说如果这里面当中有个结构是这样说，

如果小fs对x这个人的积分是大fs。加上c你看吧，我见到这样的一个结构就是这个不定积分的，这个结构到底什么意思呢？就这个意思。你这个人对d后面的导函数是它，我这个人对d后面这个人的积分就是它。啊，就这三个位置，只要你听清楚这三个位置之间的关系，一个位置在这儿。一个位置在哪呢？一个位置在这儿，还有一个位置在哪呢？还有一个位置在这儿，

你注意这三个位置之间的关系。这三个位置的关系啊，它是这样，就是这个位置对它求导，是它这个位置对它积分是它。能听懂我的意思吗？好了，注意一下这三个位置，要知道这三个位置之间的关系就行，好了，能听懂我的意思吗？就说你现在这个问题啊，一眼漂出答案。啊，这是非常重要的，

好了，那么接下来我们继续吧，我们再来看能学会吗？啊，经常会考这个点啊，所以我们这里面我们先来看个题。先来看看这个题目。在讲这个题目之前呢，我们还是把这个经典的两类问题啊，我们还是再讲讲，因为这样你要非常的熟悉。那么，首先我们先来看看第一个人。考题一，大家想如果在考研当中我们知道了f撇s，

你能干嘛呀？就是我能知道这个人。导函数这个人什么意思啊？这个人的意思就是小fx对x求导是它。没问题吧？那所以说f撇s对s积分就是它。你只要知道导函数，我立即能求出原函数，那我这个人呢？来反着想。你对s求导是我，那我这个人对x进行积分就是你。你看吧，我对s积分就是你，所以只要知道导函数，

立即渴求原函数，你就记住它。把这个东西给记死，因为我们我觉得这个东西非常多了，但是你发现到了这个冲刺救命班的这个阶段呢，我们都是把这些核心重点，然后再来梳理。就是你一定要卡死我，比如说我今天看到考试试卷里面当中出现了f撇s，我立即能记住，哎，这个东西能求出fs。能听懂吗？然后接下来我们继续，我们再来看，

如果这个考题当中告诉什么，告诉这个人。他告诉了一个f撇框。那你告诉我这个人什么意思？那这个人的意思其实就是f框对框进行去求导是f片框。能理解吗？你对框求导是我，所以我对框积分就是你。我觉得有些同学这个做题速度慢呐。的一个原因点在何处呢啊？其实非常重要的一个问题还是没有形成一个定式思维能力，你对这个知识点呢？还是不够熟悉。就是如果你非常熟悉的话，你看我遇到这个什么，

我只要见到f撇框，我知道这个人对框求导是你，我立即可以怎么办？我立即可以求出框f框，那f框这个人呢？其实就等于if撇框对框积分。能理解吧，你对框求导出我，我对框记分是你好这个问题啊，把它想清楚。其实跟这个。做的多少我觉得也没关系。那还是复盘复盘的少。其实你对这个知识啊，你的印象不是特别深刻，

你做一个题两个题做三个题，人家的话，有些同学就做一个题，人家就把这个东西完完整整记住了。那这个点我只要下次过程当中见到这个东西，直接把它会干掉。那跟你做的这个题量，我觉得关系不大。你去看看吧，有多少同学做的这个题量非常的多，你看到了最后还是不会做题，那这样怎么解释呢？好了，不多说了，我们继续吧，

我们再来看看下一个问题，看一下这个题。那这个题啊，他说了一个事情，他说这个人的周期是四。你看这个函数的周期是四，然后是什么？然后它是一个可导的奇函数勾起来，你看奇函数考试非常喜欢考。如果它是奇函数，它在零处有定义，它在零处肯定等于零，所以说f0这个人呢，其实就是零。然后又说了一个事情，

这个人的导函数等于他在零到二区间，那在零到二区间，那你的导函数是我，那这时候怎么办？我只要知道导函数，我立即怎么办？我立即可以求出原函数，原函数就等于什么？等于这个导函数对谁积分是f撇s就对s积分。跟得上吗？知道f撇s求出fs知道f撇框求出f框你是f撇s对s积分。你是f撇框，我对框积分，你要形成肌肉记忆，对吧？

把这东西我们记一下eg的话，其实就是ix- 1，你在后面补一下，这是平方加上c。好，这个人呢？第一下就出来了，你的积分能力也很重要。有些同学这个七分七半天那也来不了啊，好了，这是零到二这个区间零包括吗？零包括零包括的话，把零带进去零。零带进去的话，这人刚好是一一+c，

然后这人等于几啊等于零，所以说这个c等于多少c=- 1，因此的话，你发现这个fs这个人呢？他马上出来。它就等于is方减去2s，然后加上一这个结果就是它。好，这个人呢？做成这样，那做成这样了之后，你难道要把这个七直接带进去吗？不是的。我们这个题啊f7它不在这个区间范围内，所以说你得利用周期性。

你在周期性一用的话，这个人减去个四，这就是三，然后再减去四，这是负一哎，你这也不行呐，我零到二啊。我又看到奇函数f负的它等于负的f它，所以说这个时候就可以带了一可以带呀，一减二这时是多少是负一，所以这个人是一呀。所以说这题正确答案选几选b。好了，这个题啊，我们就讲到这有印象吗？

你每一天呐，你一定要有这样的一种信念。你就绝对能考得好。什么样的信念呢？就是这个题我做完了之后，你是真的，我知道下次过程当中见到这种题，我就这样刚他。有这样种信念。这种信念非常的重要。所以有些同学做完了之后没有一点感觉，也触动不了你任何神经，你这就不行了，好了，这个题啊，

我们就讲到这。来继续吧，我们再来看。那么，接下来我们就继续，我们再来看看一个性质的问题啊，这个不定积分设计的性质。那么，在这个不定积分的性质啊，我们简单把这个东西啊，我们来稍微讲讲啊，其实也比较容易，你来看看这个问题。什么样的考点呢啊？这个非常简单啊，

我总结完了之后，你将来碰到这种题啊，非常非常好做。大家想我们来做做一个东西。这个人的积分等于多少？那这个积分很简单。谁对s求导是你呢？f撇s对s积分的话，就谁对s求导是它，那就是fs+c，你要注意结构是不是这样的一个结果？然后我们都知道撇s在ds呢，不就是dfs吗？那所以说这个结果还是他呀。能看清楚吧。

那我把这个东西做了一个横等变形吗？那看一下这个结果有没有发现？这个结果特别像什么呢？这是不定积分，这是微分。这两个符号像不像约掉了，最后留下了个它呀。像不像非常像，不是像它本来就是这样，微分和这个积分呢？在某种程度上，互为逆运算。对吧，微分和不定积分在某种程度上互为逆运算，也就说什么意思呢？

你遇到这两个符号，你就直接把它约掉。但是积分号在前，要加上c，如果是这两人，你就约掉，但是微分号是求导，你就不用加c。因为你都知道一个常数求导，那这人就是零。所以这个结果立即就做成这样了，能跟上我的意思吗？所以微分和不定积分呢，在某种程度上互为逆运，算那么接下来我们来再来看看这个题吧，

把这个题啊，我们来面一下。看看这题。那这题比较好做的。你首先你先观察一下，你看这个很好做，约掉了之后留下这个人。你还明显多了大不对。然后再来看这个人，这两个东西是不是约掉了，留下了这个人ds不用加c，你又多了个a，你看你又不对。然后这两个东西就可以约掉，你应该留下了这个人ds，

你后面少了ds，你也不对。你看这个结果，那么现在我们都知道这个a选项。a选项是f撇框。对x积分是这个人吗？不对。那我们都知道这个a选项应该是这样，应该是f撇框对框进行积分是f框。你还记得吗？是不是这个人？所以说这个人的话，这是f撇as+b，那应该是d多少？DAS加b，

所以说这块就来个a分之一，那这样的话，它才会等于多少？它等于a分之一倍的fas加b。你再加c好这个人，那所以说这个a选项它也不对。然后再来看c选项，那c选项这个人好做，那这个人的话，你可以这样写，你de这个人，你fas+b。然后这是ds，你这是ds，这两个东西约掉了吧？

约完了之后，这两个东西约掉了吧？你就留下了fas+b，那这个结果出来了，答案选c。所以像这种概念的新的题啊，你做起来一定要非常快，它就完全考了一个不定积分的概念，不定积分的定义。把这个事情你务必要想清楚好了没？好，掌握清楚给我回复一吧。这是我们讲的这个73题，这个题。好了没？

好了，这是这个问题啊，我们就讲到这，那么接下来我们继续吧，我们再来看看下一个问题，把这个补充的习题啊，我们来讲讲。这几个题啊，非常容易进行去考，就完全进行去考这个真题啊，都是可以的，那么首先我们先看第一个人。他说这个人是这个人的原函数，那谁是爹啊？真是爹。

要速战速决，那所以说这个人是一个原函数，马上就要想清楚，那这个fs这个人就等于多少？它就等于ln x加上一个根号下x方加上一这个人导函数，所以说最后这个结果它就等于根号下x方加一分之一。好，这个人你看这个人求出来了，然后有些同学说我把这个导函数算出来，不要这样。这是一个经验呢，你只要见到抽象函数的导函数，你比如说你见到什么，你见到一阶导数ds，不用去想，

赶紧凑到后面去积分。对吧，如果你遇到二阶导数ds，你赶紧怎么办？把它凑到后面去进行去积分。你都不用去想，所以说凑微分的过程是积分过程，只要见到抽象函数，导函数凑到后面去分步积分法。所以接下来我们来看看这个事情，你走那这是x往后面凑值是fx这个人。那这个时候就是两项相乘。然后再减去两项调换位置啊，这个结果那所以我们就可以把它带进去，那fs是根号下s方加上一这个人。

然后这个人是谁呢？这个人不就是求解它的原函数吗？它的原函数谁呀？它的原函数不就是lns加上根号下s方加上一吗？加上c能理解吧，好这个问题呃，我另外一件事情我说清楚，你的复盘不能停。就是你天天都要进行去回顾复习，那么因为我们在今年的时候啊，这个资料不要多了。所以你要选住一本核心的，这样的一本书，你可以是你的强化讲义，也可以是你的真啊，

这个什么冲刺的这个讲义。就是二者选其一，有一本主心骨的东西，天天看，说这知识点必须在脑子里面，你想想这次考试。给很多同学提了一个醒，有些东西你发现半天哎，这个题我见过，怎么我感觉原来这个上课过程当中讲过，好像我曾经在做做题的过程当中做到过。就是半天过程当中想不起来。你就是这样的一个问题，所以说选一本就行了，有好几本选一本，

但是我觉得是这样。衣板基础的。啊，基础的。然后再加上一本。强化。或者是冲刺。啊，是这样就行。所以说就是把基础的，还有这个强化和冲刺啊，二选一就行。能想清楚吧啊，强化这个基础部分的东西啊，因为当时讲的这个时间比较长啊，

这个今年的话，这个板块是非常细致的一个板块内容。啊，都可以，你选一个就行了。好了，这是这个问题吧，我们就琢磨到这，所以一定要天天看，当然习题呀，你也得进行去复习呀。你曾经做错的题，你一定要进行去把它好好看看，就是你做的慢，你做错的题，

你就天天进去去看，哎，这里面当中犯错误的点在哪？我是在哪个部分当中出错问题了，比如说我今天做这个题，比如说这个题啊，你可能不会做错，但是这个题假设你就做错了哦，原来如此，我忘了这个人的导函数等于这个人分之一。好，今天有经验了哦，原来我忘了原函数这个人导函数是他这种定势思维呢，赶紧把它复习哦，原来忘了这个抽象函数导函数凑到后面去分步积分法，

那这样的话你就会发现你就提高了。能听懂我的意思吗？所以说这个问题啊，只要你做过的习题。你听懂。这个习题啊，你要天天看对吧？就是你做你做过的习题，你有可能做的不是我们的习题。我觉得无所谓，你也不用觉得有什么，对吧？你做谁的都行。我也没从来没说你一定要，但是我们的习题是跟我们课程匹配的。

你可以做的是别人习题，那倒无所谓。那你只要学会了就行了，就是你只要花费了时间，你就要让曾经的这个时间有意义。你比如说曾经做错的题，你也不管不顾了，你就把这个东西你再来复盘，还是那个问题，你要学会对吧？这这才最重要。你想想，有些同学你做这本习题，你曾经花了多长时间？比如说你做了一本习题。

嗯，我们测算一下，你最起码有几个月吧？你加下来的这个时间也有好几十个小时吧。你花费了那么多的时间。你花了那么多时间在这上面，结果下次你碰到这个问题，你没有任何的收获，那你曾经那些时间不就没有意义了吗？所以我觉得这个把这个东西啊，因为资料太多了啊，东西太多的时候你就会发现很多同学容易迷茫。但是一定要有主心骨，天天复盘，天天复盘，

这是必须的。每天上午，该记的东西要记错题，一定要天天翻。你就做好这个事情，重复到极致就行。选一个主心骨的部分的资料，把它重复到极致，你就能取得好成绩，你看这次考试啊。呃，其实也给很多同学提了个醒，你看有些同学做的很快。包括的话，有些同学从这个三月份还是零基础的同学，

你学到现在，人家也依然做的非常非常的好。我们已经走过了这么长的时间了，但是很多同学这个区分度上来了，你可以去取取经呐。都是听同一个老师的课，也都是做这个资料，你最后的这个区分度为什么在这儿？你要把这个东西重复到极致，因为你太受东西的干扰了。你很多东西，你的话你就没有做，特别清楚好这个问题啊，我们就说到这啊。行吧，

那么这是这个问题，可以啊，把这个东西复盘完，然后进行去把你曾经做过的练习啊，你复习，然后进行去做卷子就行了。然后通过模拟卷，比如说我这次做模拟卷，我哪些题出错了？好，我把这个题啊，找到对应的这个知识点，对应的部分内容，然后再来复习，听得懂我的意思吗？

好，这个事情啊，我们就说到这啊，这这个问题。你可以不记啊。你可以不记笔记，你下去就复习这个手记就行了，还是那个同学们学会就行了，管你怎么学呢？好，这不重要，都到了这个阶段，但是我们其实还有很长时间。对吧，60多天，

还有两个月。我们其实这个你要知道，这个去年这个时候。去去年这个时候很多同学你才刚刚开始，你发现最后也有同学的话，考的这个成绩还不错，而且还站立在去年考的那么难的情况下。啊，有二战同学吧？你去你去问问他们去年去年那个冲刺救命班那课上的，然后有些同学这个基础真的是。呃，可能这个去年我们也没有开这种全程班，然后后来的话很多同学这个到了这个阶段复习的非常非常的不好。然后的话，

这个有的时候上课你发现问的一些问题，你知道很多同学这个你就觉得有点不可思议，对吧啊？好了，这个点吧，我们就讲到这，所以慢慢来啊，把这个该学的东西啊，你还是要保证充分啊，这个题讲过了。来继续吧，再来看下面的问题。再来看第二题。那这个题啊，我们来看看，

那这里面当中啊，给了一个这样的一个函数，然后让我们去求解这个函数。行吧呃，你每天的话，我觉得这个数学保质保量最重要，东西就那么多东西。只不过有些的话，你可能最近做的模拟卷，他这个出的模拟卷，他也控制不好。啊，但是如果你只要做了，你上面出错的问题，你把它改正过来就行了，

来继续吧啊。那这里面给了这个人。对吧，给了一个f框。然后让我们去求fs。所以这里面我们来看看这个事情。你给了一个f框，我就立即可以求出f框。f撇框我就能求出f框。所以说这个时候啊，它就等于if撇框，然后再对谁积分呢，你再对框进行去积分。是不是这个问题，所以说这个时候啊，

你就把这个东西送下去，这是一+s，然后d这个人呢，其实就是求导在了ds。然后这个时候它就变成了is分之一，加上一，然后再来ds，然后接下来我们来记个分，你一记的话，这是ln。你注意这一里面当中已经说明了s大于零吧。那大于零的话，就不用加绝对值了，这是x+c。那所以做成做成了这样，

那这是符合函数啊？那复合函数进行去求原函数，你把它换回去就行，所以说这个lns=t。所以说这个里面当中的这个ft啊，它就等于t，然后再加上e的t，加上c，然后这个函数跟这个。自变量字母的选取无关，你再换回去，那就可以了。所以说最后的这个结果啊，它就等于e的s，再加上c这个人。

好了，这是这个部分的题，那当然这个题啊呃，其实我们这个题我们应该是基础班讲的。你这个题还能怎么做呢？就是你这个题可以先把这个人呐，你这个人不就是复合函数吗？你也可以先把这个什么你就直接令这个ln x=t，然后这个x就等于一的t。对吧，这样。你把这人换成这样了之后，我们就得到了f撇儿，什么f撇儿t=1加上多少e的t？对吧，

你先换，你先换了之后的话，这个函数与自变量字母的选取无关，变成这样，那所以说这个fs就等于多少，你知道导函数立即就可以求原函数，然后这个ds。然后这是is+es，加上c是不是出来了？能听懂吧？好了，这是这个事情呃，这半个月啊，你还是跟我继续再努力吧。把这些全方位的东西啊，

你先把它梳理过去，有些同学可能没有走过一遍题型，把这个冲刺救命班的第一个阶段度过去了之后，你再开始模考也行。能想清楚吧，都学会了再去模考，你会顺畅一点。你要是有好多东西的话，你发现你都都给忘掉了，你去模考，你不是折磨自己吗？你考完了之后的话，你就感觉。那感觉有人说。这个怎么考的那么差劲啊？

你得把这些东西啊，你得梳理清楚，你想想，比如说我们这两天有些同学以前做这个方程根和零点的问题，做的不是特别好。那你想我们在上节课，我们就总结了，那么将来做方程根和函数零点的问题，我们第一步怎么样？然后再怎么样你再怎么样你再怎么哎，你看以后我再见到这种题不就会做了吗？是吧，要慢慢来啊。这是我们讲的这个第二个问题，然后另外一个点呢，

你这个阶段做计算的时候啊，一定计算不能停。其实我可以跟大家呃我我多聊一嘴啊，有同学觉得我啰嗦了啊，我就说这一嘴啊，因为这个我觉得复习意识的问题。你们其实啊。都是局中人。比如说明天或者今天晚上。你就给自己留出一个小时之后，你跳出来。你就会发现你明天的时候有可能能复习的更好，因为你一直在钻一个事情，你就觉得啊，时间来不及了，

我得冲，我得冲，我得冲。你也对很多东西不管不顾了，但是你回想一个事情，我们无论学了多少个阶段，最后而言不就是学那么多东西吗？你最后要做的一个问题，就是把每一个点吃透就行了，因为你发现你不是这个。因为你自己想不通啊，你怎么都改不过来，谁谁说都没有用。因为有些同学实在是太着急了，太着急导致每一个知识点复习的也不扎实。

你最后而言的话，这个导致的这个问题啊。你其实每天的话，这个你你发现最近段时间有些同学的效率其实就没有暑假的效率高。原因点在何处呢？是暑假更从容。你这个时候有些同学更紧张，一紧张复习每个知识点呢，复习的毛毛躁躁的。你就把每天的这个时间分成很好几块儿，比如说我上午复习什么，我下午复习什么，我晚上复习什么？对吧，而且有些难的点呢，

你得在脑子里面，比如说你睡觉前，你就好好想想哎，我今天做了这个题，他是这样的一个思路哦，我应该下次过程当中我就注意了，第一步怎么样，再怎么样，然后怎么处理？这样的一些事情，他就会更好了好了，不多说了，可以吗？你自己下去好好想想，我相信你应该能理解我的意思。

好了，这个问题啊，我们就讲到这来继续吧，我们再来看看下一个问题，第三个点啊。那第三个点呢，其实是一个不定积分的计算问题啊，这个内容对吧？不定积分的计算，那这个不定积分计算呢，我们来把这个第二节啊，我们先来跟同学们去讲。讲完了这一节，然后我们再来看看下一个问题，不要说没劲了啊，

我很不喜欢这样。因为今年呃，我们班上人数比较多，这两天收到私信非常非常多，我看看今天下课吧啊，今天下课的话，有空的话我可以去。呃，去这个开个直播，跟大家一起去聊聊啊，聊聊聊这个复习的一些情况，我觉得都可以。你千万不要这样，你你你千你千万努力的，这几个月都在后面啊，

都在最后这一个月了，都这这两个月了。你先千万不要这样啊，那是我觉得。还是那句话，牛逼之人常赢在最后。不要每次做一些事情的话，临临考而言的话就复习的不好了。你就像有些同学，高三的时候，你其实原来高三之前复习的都很好，就在最后一两个月垮了，你最后高考表现的不是特别好。所以不要不要被这样越到最后越重要。考完了，

然后再休息，我最近强度也很大，每天的话。呃，今年你看我编编这个，包括写这个卷子，其实原来我觉得这个卷子有12套卷子的话，接近三四百个题，有些人觉得很少，你是编每个题啊。你其实都会花费一些心思，这个量很大，然后今年的话呃，我最近还有这个，还有几本的话，

这个明年的一些图书，它得出来。然后的话，这个暑期过程当中又写了好几本书，哎呦，今年的话，这个量非常大，我的我的想法就是等你们考完了之后狠狠的休息个几天。但我觉得这个，但是最后这个阶段，你好好加油啊，对吧？你不要老是临考临考了，你个状态不好了。你三月份你状态不好，

那没有问题啊，你四月份也不好，也没问题，但是你注意这个越到后期你状态必须好啊。积极一点啊，来继续吧。那么，接下来我们来看看不定期分析算这块内容，我先说一下方法论的东西，我可以讲。对吧，方法论的东西我可以讲，但是你注意一个问题。除了方法论之外，直接性运算的东西靠你做。

这种问题我讲的再多也没用，不定积分，我就算你今天来听课，你听了100道题，没有个鬼用。他都靠你自己算。尤其而言，是这种方法就这个人。凑一分学到今天，这个凑一分呢，我相信啊，你只要是来今天听这个课程，我不相信你是一点基础都没有。你要是一点基础都没有，你不可能坚持到这个提心15。

所以说你肯定是有一定的基础的，那么至于这个不定积分的计算呢，你可以去找一下我们基础那个800题。那个800题当中啊，有100道不定积分题，你去找一个50个题，就前50个题，我们把它做一做。把那前50个题。前50个题分配到十天，每天做五个练习一下。对吧，每天做十做个五个，然后练十天你就行了。所以说尤其是这个错位分，

你看学到今天，我相信很多同学能理解吧，我基础班讲这个事情，有同学说怎么会是这样？你现在见到一些题，你见到这个东西会凑到后面去，你见到这个东西就能把它凑后面去。那这是一种能力啊。我见到这个东西就凑到后面去啊，他们说为什么那不是显然的吗？所以说这个凑微分，你得自己去练练。然后至于这个第二类换元法，它无外乎就是有一个是三角代换。一个是无理根式换元。

对吧，什么样的一个情况换什么样的三角函数，什么情况做无理根式换元，你下去把它看看，那么这里面当中当然最重要的这个基础啊，就是你的积分表了。你的积分表务必要熟练，我现在说的这个事啊，你听清楚，你下去把那前50个题啊，每天做这个，每天做五个。每天做五个，每天保持手感，我今天讲这个专题，

我只能这样讲。我不可能说我们现在再去讲呃，积分表为什么是这样，然后这个凑约分怎么去凑第二类换元法怎么来？这太基础了，我相信到了这个今天，你最起码你会算点儿不定积分吧。这也是你考研的一个态度啊，然后考研当中比较关键的是这个人。分步积分法是非常重要的呃，算了，一会我给你画一下吧，可以吧？我一会给你画一下啊，我一会给你画一下这个。

这个800题当中的不定积分，一会儿我给你画去吧，你别着急啊。那么然后是分布及分法。那这个分布积分法呀呃，考研当中比较重要。尤其而言的话，我们在这个做题的时候，把谁凑到后面去分步及分法是非常重要的，尤其注意两个人。一个是对数函数，一个是三角函数。一个是反三角函数。这俩人你有没有发现你比如说我们一个题当中出现了一个lin什么东西？然后下面怎么样，

你肯定是把这个什么把这个对数函数之外的这个东西啊，把它凑到后面去。比如说我们这个东西是arctangent怎么样？你肯定是把这个东西的之外的东西凑到后面去，这都是一些经验呐，因为这俩人呐。你进去去凑分的时候是非常难凑的，所以凑的都是别人。所以这个对数函数和反三角这两个东西，见到别人的时候，你都会怎么办？你都会把这个东西啊，别人凑到后面去，然后分步计分法。然后另外一个事情，

尤里分式的积分。这个东西啊，你得会拆分我讲讲吧，因为今年的话，这个好多上面都有这种题，尤里分式的积分。你做很多参考书啊，我相信这个题啊，都会有为什么，因为去年二零二三年考了呀。那很自然的话，在今年的话，这个考研真题当中肯定会涉及这个问题，那么这里面我来把这个事情我们再来复习一下。几个问题呢？

第一个问题，两个基础。两个基础积分。哪俩人呢？一个事情是这个模型。下面这个东西是as方，加上BS，加上d上面是一。这种类型，那还有一种情况是什么呢？还有一种情况是as方加上BS+d。然后分之es+f这种类型，那种题不变态啊。呃，其实我们一般情况下能考两到三个未知数，

了不起了。三个未知数已经很了不起了，你考四个未知数的时候，其实就非常麻烦了，我们来看看这两种类型问题啊，怎么做？你先看第一种，第一种有万能的方法。万能的方法是什么呢？万能的方法是配方。啊，配方当然有些题啊，你可能会把这个二次啊，因式分解了，然后把它列项，

但是配方法是所有题都能做。但是有些题啊，你未必会因式分解，所以说你只要能想到配方，这就是万能方法。你比如说我举个简单例子，你假设是s方加上四s，你加上一分之一ds，你会怎么做？你立即怎么办？你就把这人进行配方is+2^2。你需要个几啊？你需要个三，你加个三就减个三，减个三，

把它写成根三的，这个人的平方，然后写一个x+2。是吧，这个时候你就要进行去套x方，减a方分之一的这个积分x方减a方呢？就二a分之一ln多少呢？这是x-ax怎么办？加a，然后这个人加上c啊，这是考过的哦。有一年考研题啊，他就考了这个人。当然没有考这么简单，那个题啊，

是这个二一年之前，然后的话，这个二一年之后啊，考过这样的一个题，就第二个人。能会做吗？当然，积分表的结果今天也提示一下，你下去把积分表看一看。好了，这是第一个人。然后接下来我们再来看看第二个人，你看如果是这种人怎么做呢？我们这种人是这样做。把这个分子分子是一次项式，

把这个分子写成分母，分母是二次项式。写成分母的导函数，你加上常数。就是这样做，把这个什么呢？把这个分子写成分母的导函数加常数，你就这样永远都能做，这是万能方法。就是我下面的导函数刚好是你那这样做的好处是什么呢？你第一项就可以凑分了，我们举个例子嘛，比如说is方加上多少你，比如说还是4 s+1。那么上面这个人，

我们写个is+6。我随便写的，那怎么做呢？你下面是二次，上面是一次，你怎么处理啊？那这个人是就是这样办，我把下面这个人。你求个导，你一求导是几？你一求导刚好是2 s+4。那2 s+4的话，你就要补一个二分之一二分之一的话，这就是2 s+12。12的话，

你就要加个四，再加上八。然后这是ds，所以说这个时候啊，你就可以把它分开了，分开的话，这是is方加上4 s+1。然后这是is方加上4 s+1的导函数ds。能听得懂吗？然后接下来我们再看你加上四倍的，然后这是s方加上4 s+1 ds。能会做吧，然后这个导函数凑到后面去，对吧？把导函数凑到后面去，

然后这个人的积分就是lin。好了，然后第二个人积分呢，其实就是刚才这个积分我不写了，行不行？一定要会做啊，这个基本问题。所以这是两类非常基础的积分。对吧，你要会做，然后接下来我们就继续，我们再来看。这是第一类问题。然后接下来我们继续，我们再来看看第二点继续走。

这第一个，然后第二点，然后如果给你假分式，它还没有这样出过。然后你永远可以把它变成真分式。假分式永远可以变成真分式，有些书籍当中啊，它是用这个短除法。你像这里面当中，我们不需要用这个短除法，比如举个简单例子，你在这里面当中写个x+4。然后这是x三次方加上五，我举个例子啊，你做题的方式是什么呢？

你做题的方式啊，就是永远进行去配分母。你配分母怎么配呢？你看这是个一次，你就把这个三次写成二次。你三次写成二次了，之后的话，你看你就可以写成这样这样。那写成这样了之后，你看出来x但是我要四啊，你就加个四减个四就是减4x方。4x方又写成这样，然后怎么办？我继续加个四。对吧，

加个四就要减个四四四一十六十六倍的s。然后继续再加个四，再减个四，减个四是多少？四六二十四那是六十四六十四再加五，那这是多少59？好了ds。所以说这个时候啊，你就做完了，你把这个除下去，这是四s，然后再加上十六，然后再减去x加四分之五十九，然后这个ds不讲了啊。会记吧，

每一个都会记，所以第一件事情两个基础积分要会。然后第二件事情假分式要换，会化成这个真分式。一个假的一定要会变成真的，然后第三件事情一定要会猎香。啊，一定要会拆分。那这个拆分呢，我们再把它讲讲。如何进行拆分？这才是重点。啊，真正比较重要的是这个人，你怎么去拆分？

那拆分这个人呢？我们先讲几个例题。啊，举个例子，那当然这个这个题你就不要算了好不好啊？就不用算它了，比如说这里面当中是。x+1。它的三次方is平方加s加一分之一。好了，同学们怎么拆呀？我们讲的第一件事情括号外决定项数。你这括号外是三次方，我就决定了你有三项。这个比如说这是二次括号外，

这个括号外两次，它就有两项。那所以说你看你这是三次决定的三项，我就要从一次写到二次，然后再写到几次啊，写到三次。你这是二次叫写就要从这个人的一次，然后写到这个人的几次啊，写到这个人的二次。能理解吧，所以第一句话括号外决定项数，你括号外是几次方就决定了这个人有几项？你括号外是几次方就决定了这个人有几项，然后呢，括号内决定多项式，

那这个人是几次一次上面写零次？这个人是几次啊？不是二次括号内决定多项式，括号内是一次你写b括号内是一次你写d。这是二次，你写一次es+f，然后这是二次，你就写多少gs+h？所以这样的一个问题啊，我就立即拆开了，你就会发现括号外决定什么，括号外决定这个人的项数。括号内决定什么？括号内决定次方数。能学会吗？

括号外有几次方，我就有几项。括号外有几次方，我就有几项，然后这个括号内决定这个什么，括号内决定这个人多项式。一定这样处理啊，两件事情把它想清楚，然后第二件事情务必要保证一件事，就是如果这个比说是x方减一。然后这是x+1，你怎么去拆啊？你千万不要直接猜，有人说这是二次，这是一次，

不要这样，一定要把下面这个东西啊写成最简单项式的相乘。呃，最简多项式的相乘，一定要把这东西要因式分解到最简，你就看看这个东西还能不能再进行因式分解？你有没有发现你这个前面还能写成x- 1 x+1，你还能因式分解，你就要继续因式分解，一定要因式分解到最简再来拆。所以括号外是一项。对吧，括号外二次方两项，两项就会从这个人的一次，然后到这个人的二次，

然后这是一次零次一次零次，这是二次吗？不是的，括号内决定。意思。一次就补零次好了，这个拆分呢，你一定要会做，能学会吗？把这样的一个基础问题啊，把它学会。那么，接下来我们来看看，讲一个例题吧。比如说我们来出一个简单的。

你这是s倍的s加一，然后这是s加二分之一ds，你这个人怎么拆呀？我们来讲讲这个事情，把这个问题啊，我们做一下可能做的非常非常快，你能做的非常好，那么这种问题你就拆呗。你的重心而言的话，其实就是你要把这个东西拆开，你现在这个东西不好做，无法在因式分解，最简单来依次。这是遗像。然后这个东西啊，

它也是一项，然后这是一次不零次，一次不零次，一次不零次。那所以说这个时候你就把这个人怎么办？你把这个人再通一下。把这通下，那是a倍的x+1，你要敢写对吧？疯狂的算起来就行，然后这是BS倍的x+2，然后这是d倍的s倍的x+1。你就疯狂的写起来。把这个写起来之后，同学们，

你给我看看这个时候你就会得到一个现象，得到了这样一件事情是。是不是这个分子，这个东西就相等啊？好了，我们来看看这个事，所以我们就得到了这样的一个问题。对吧，分子这个东西啊，它就完全相等，我们怎么做呢？其实我就不写了吧，不写这一部了。你就应该看得出来这一项就等于它。不要打开，

打开就没法烤了。我们如果三九六同学，你把这个人整理出来，你说二次项等于零，一次项等于零，常数项等于一，那没法考了。你这个题时间肯定是不够，我们用赋值法，你要注意，无论何时何腰，这个人永远等你。你怎么付呢？丑注分母为零的垫付。盯住分母为零的人进行符，

你听得懂我的意思吗？他说，那分母没有定义啊，注意我只让分子相等。所以说第一个事情我负的分母为零的人零。零的时候成立，零的时候成立的话，左边是一来把零带进去，这两项没了，然后零带进去的话，这是解这是二，所以说2 AA马上出来。a就等于二分之一。然后接下来我们就继续，我们再来零零s=- 1。

那负一的时候继续往里面塞，那负一往里面塞的话，左边是一那负一这个人没了，负一这个人没了，然后这是负一，然后这是多少？这是一，所以说这人等于负b。那因此，这个b等于多少？b=- 1，然后再来看第三个事情，继续零零s=- 2。那负二的话，左边还是一。

那负二的话，这个人一代没了，这一代没了，然后这是负二负二，这是负一那，所以说这人是多少，这是二d，因此这个d等于多少d等于二分之一。能想清楚吧，那所以说这个结果马上出来了，原是这个人就出来，那就要做这个分。这个积分是多少？二分之一倍的lns绝对值。然后再做这个分。

那这个人的话就是减减去多少呢？减去ln倍的x加一的绝对值，然后再记这个分d是多少二分之一在后面补杆ln x加二的绝对值。加上c，能学会吗？好了，这样的一个问题啊，我们就清楚了。所以最重要的问题其实就是要把这个人拆开，你只要会拆这个东西啊，它就出来了。好了，这是这个问题吧啊，无论什么情况你都可以做啊，复制法你也不用继续去看什么这个流束法，

流束法的话，基本上这个原理性的内容是一样的。你就这样处理。好了，这个点呢，我们就讲到这儿，所以说我们已经不是这个第一次进行去讲这个问题了，要不这样吧。我给你讲一下这个二零一九年这个题。要要听听吗？但是这个题啊，考给我们就有点狠了。我想想。这题的运算量。就有点大了。

啊，倘若哪一年的话，我们三九六真的这样出题的话。那说实话。那真的没有啥意思啊，我觉得那那还是这个这种选拔性考试吗？而且这是二零一六年之后的数一数二数三同学的卷子的大题。来那么接下来我们看看这个题来解吧。那么，首先第一个点。那这个东西啊。是一个真分式还是假分式啊？那很明显是个真的。对吧，这是个真分式，

它不是个假分式，那所以就不用变了，而且已经因式分解到的最简形式，那这是x方，再加上多少？x再加上一。然后这个东西是3x，加上六，你把它拆开，那拆的话，你发现括号外的话是平方两项，从这个一次项。然后再加上多少，你再加上这个平方，这个人那，

所以说这是一次这是零次，这是多少一次这是零次？然后接下来我们再来看看这个人，你这是is方，再加上s+1。那这个人是二次，所以说我们就写个ds+1不要写c。啊，但是没有关系，对吧？那这个人做到这了之后啊，我们就继续，我们再来看那，所以把它稍微的进行去整理一下，一整理的话只是x- 1的这个平方。

x方再加上x再加上一。然后继续我们看你这个人呢，你就得进行去乘上一个s- 1，然后是s方加上s再加一。然后这个b这个人呢，你就要继续去乘上x方，加上x再加一。然后第三个人呢是dx+e这个人，你要给他乘上x- 1^2。好，这个人能听得懂吧？所以说这样一做你就知道哦，原来这个分子啊。分子这个东西，这个分子的这个东西，

它就等于这个人，我先说一下，我没有干嘛？首先第一件事情拆到这儿，你肯定会。下面这东西就是通个分，我没有干嘛扔给你小学的表弟，他也敢通分，所以说你一定会敢通分，你把它通起来。然后怎么办呢？我们去赋值。这里面有四个人，你得赋四个值。第一个事情，

丁这分母为零的颠覆，一是最简单的。你先进去就负一的话，这边是九。你负一这人没了，你负一这人没了，所以说这留下了个三三b，马上把b出来b这个人等于几b这个人等于三。好，这是第一个人。然后第二类呢，我们继续来说。没有分母为零的点了呀。没有分母为零的点，你去选什么你就去选一些简单点零了一了。

负一了，如果都不行的话，负二了，负三有同学问老师为什么要选一？啊，那为什么选负一那你选负100也行呐，没人拦住你啊，所以简单一点嘛，你在干嘛？你在做题越简单越好。所以我们在负零把零负进去了之后的话，你看你这边边是六。零的时候这是解负一，然后这是一，所以说这是负a，

然后这个人是多少？你这人是b。然后接下来这是d，然后这是多少啊？这是e，所以说再加上个多少，你再加上个一。好了没啊？这是这个人，那这人解不出来啊，我们就继续，我们再来看你，再来拎多少，你再拎零负一。那负一的话，

这边边是三。那负一的时候，这个是多少？这是负二。然后这是负一的话，这是一所以说是负2a。如果这是负一的话，这是加b。如果这是负一的话，这是几呢？那这是四，然后这是多少？那这个部分是e-d？啊，加上四倍的e-d。

好了，这个人那这个付完了，还没有出来啊，你还得继续付一个，你再来付多少？那这没有了，你再来负一个几，你再来负个二。你覆盖二的话，之后这边是12。你覆盖二的话，这人是几这是一，然后这是多少？这是四四这一加是六，然后这是七七a。

然后我们来看看这是几？那这个部分也是七，然后再加上7b。然后最后一个事儿，我们继续看那这个部分是一一的话，这是多少？这是2 d+1。好这个人，然后接下来。你就可以把这通过这三个式子，然后把这里面当中的a什么ade解出来就行。好，这种问题。所以说从这个题的这个运算上，你就会发现这个运算量是有的，

但是这是一道十分的题啊。其实这种十分的题在如果真的是出在数一和数二数三同学的这个卷子上哈哈大笑。贼开心。极其的开心，因为如果能考试当中能考到这种题，那太开心了，至少我能做，而且贼简单。一点都不浪费时间。这种题在数一数二数三同学当中绝对的简单题，如果考那太开心了。那什么样的题是恶心的，你见到这个题你一笔都动不下去。但是这种题如果我们考四个未知数出给我们三九六同学，那就没有意思了。

那我就觉得不是不是为了进行出一张卷子，那是纯属为了恶心你呢？那么你想想这种题，你怎么来？你能在两到三分钟，我给你有可能给五六分钟，六七分钟，你未必都能算完。所以这是这个事，而且另外一件事情，你就算把AB这几个人求出来之后，你这个人积分简单，这个人积分简单，那这个人积分你还要再算一下呀。能想清楚吧，

好了，这个题啊，我就讲到这儿有兴趣，你可以继续往下做了。能听得懂吗？我们能拆到这儿就行了，其实你发现尤里分式积分的难点就在这儿。它的难点其实就在于你要会拆分呐。你要会拆分呐。然后你要会赋值啊，你的难点就在这，要不这样，我把去年的考研真题我给你看看。好，我们看看去年。

你就会发现人家难呢。人家也不是那样难的。我们看看去年的考研真题。虽然人家去年的这个题啊。他也出成了这个。但也没有，也没有像那样考啊，来看看这个题。好出了一个这样的题目。那首先第一件事，你发现这个下面这个三词，你要会进行去因式分解。那这个人你稍微进去看看，你可以提个平方了之后，这是仁慈的部分呐，

这是s+2。然后前面这个部分呢，你提一下的话，这是2 s+2。所以说这个时候我们来看看这个问题，你就把这个下面这个人呢，你就可以把他提出来，你就把哎这个什么。这是2 s+2。嗯，提一个二只是2 s+1。然后这个提一个多少呢？x方这是2 x+1。那么所以说接下来我们来看你把这个2 x+1提出去。提出去了之后就变成了I次方加二，

然后分之一。你看就做成了这样啊，这是四s减哎，四减s，你就做成这样。所以说这个时候你把下面这个人呢，你一写你写成这样，那么接下来我们来列最简形式了吧，你一列的话，你发现这是二x加一分之一，这个什么a？然后接下来的话，这是x方加二分之多少，这是BS+d。那么，

所以我们稍微的进行去整理一下，你这是2 x+1，然后这是x方加二，你是a倍的x方加二，然后这是多少bx+d，然后再去乘上多少？2 s+1。那这个时候我们就知道你发现这个上面这个人就是这个部分，那还有谁呢？还有这个部分他们是相等的。那这两个相等啊，那这两个相等你就可以利呢来挑分母为零的点一挑是负二分之一。你挑负二分之一的之后，这半边是二分之九，你负二分之一，

这块没了，然后这是多少四分之一？四分之一加二，这是四分之一加二，那这是多少四分之九？然后这是a所以说这个a等于几a就等于二，然后现在没有了，那你就负零，你把零负进去了之后的话，你看你这半边这是四。你把零负进去，这是2a。你把零负进去，这是一零负进去，然后这是d。

所以说这个时候d是几d是零。然后接下来我们再来负，那就没有了，你就负一呗，你负一的话，这边是三，你负一的话，这是3a，你负一的话，这是b+d。然后这是一的话负一，这是三。那所以说这个时候我们来解，那这时候就是a+b+d，然后等于一，

然后这个时候a是二，然后d是零。所以说这个时候b是多少b是负一？好了，这个人呢？你就做成这样，所以我相信这一波操作应该得两分钟。得两分钟了之后，原式这个积分结果就出来了，那第一个事情它什么积分，它定几分来零到一零到一，第一个人是二x加一分之a，这是二ds。然后第二个人呢？第二个是零到一，

然后是x方加二分之，这是多少负x这是ds？那么然后这个积分结果呢？往后面凑，这是lone多少lone这个2s加一直接是正的就行，零和一带进去。然后这个部分你得凑一下，你在这一凑凑一个二分之一，然后再补个二，那其实就是l多少x方加上二这个人，你把零和一带去。那这个题就结束了，你算一下这个人，那这是多少ln三零带进去零，然后再减去二分之一把一带进去呢ln三。

把零带进去呢，再减去二分之一倍的录音儿。呃，这个是ln二啊，前面二分之一在这儿零代取ln二，所以说最后这个结果就等于二分之一倍的ln三，然后再加上二分之一倍的ln二。然后这一整两个一乘，那就是ln六二分之一倍的ln 6，所以正确答案选几选b啊？所以你看这个题啊，它虽然难，但是它其中核心重点的计算，它是控制的。它是收着处的。

那是不是收一收二收三，他就不会收了，他使劲的发散的给你出。这就是这种题目的一个区别。你要注意这种题啊，它不是难点。如果学到今天，你还觉得这个题难呢？我觉得就不好意思，这是个基础班的水平呢。你注意这个题是个基础班水平。就考这种题，这这实在是没有什么难度。你会不会拆？你会拆了，

然后赋值呗，你去计算就行了，你这有什么难度啊？所以这种题。你如果其实学到这个今天呢，你还有问题，你下去把它好练，你看我都给你回顾了一遍。那两个重要的积分怎么做？然后这个假分式怎么变成真分式？怎么拆分啊？这个点。好了，这个问题啊，我们就讲到这可以了吗？

你下去好好做做做这个题吧，把这个相关的内容好好算一算。那行吧，同学们，我们稍微的休息会儿，你在课间休息啊，把这个题看看，我再说一遍啊，不定积分，不要看我做。看我做我上课的时候，我会给你进行去讲讲这个东西的方法，你怎么做的更快速，你听好了。如果作为三九六同学，

我看过市面当中还会这样说的，这种问题，如果你作为三九六同学。你这种题是把二次项整理到一起，一次项整理到一起，常数项整理到一起，然后是待定系数法对应相等，那这题就废了。没法考了。那真的是没法考了。你要是这样做啊，对于我们三九六同学这种题，你就不用做了。五六分钟，六七分钟，

估计都很麻烦。所以你把这个打开的话，其实又很恶心复制法。对吧哎，赋值法。行吧，这样吧，你课间休息的时候，你把这题你自己算一遍。刚好课间休息的时候呃，我们休息五分钟啊，你自己把它算一遍。你就抄一下这个题。然后自己做一遍。把里面的这个过程呢，

你自己梳理一下。行吧，好了，我们稍微休息会儿啊，一会儿我们继续，你不用看我做这个，最重要还是你要做啊，还是你得做？行吧，我们稍微休息会儿，一会儿我们继续可以吗？好课间休息的时候把这题你抄一下吧。抄完了给我回复一。好，抄完了给我回复一。

11题好，我们休息会吧，一会我们继续啊。

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