08.冲刺串讲8-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:00:46

我们就准备开始今天的课程了吧？首先我们先测点儿声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请给我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们就准备开始了。呃，那么今天我们还是继续开始我们的这个啊，冲刺大串讲的课程，那么至于这个今天上午啊，我们做的这套模拟卷呢啊，明天上午的过程当中，我们再跟同学们进行去讲。呃，

明天上午啊，我们会针对这套卷子，然后跟同学们进行去分析一下呃，这套试卷当中的这个出题模式，然后另外一件事情还会跟同学们进行去讲一下啊。啊，每一个类型问题啊的处理性的方法，包括我们在复习过程当中需要注意的问题呃，这里面我还是简单提一下吧。因为很多同学一直问这个事儿，因为有些同学可能没有这个跟这个冲刺救命班的课程，尤其是很多同学强化打的非常好，你没有跟这个课程呐。呃，如果是你的战友，

你可以把这个你发给他，我记得上次我们是有一张的话，那个所有的模考的这个时间的安排表。你还记得吗？我把这个再给你们看一下啊。就这张呃，一张是这个呃，所有的这个模考的这个时间安排表，把这个东西啊，你可以给你的同学们，然后把它发过去，对吧？呃，你的战友啊，把它发给他。

因为有些同学可能没有跟一直不知道这个模考，所以说这是第一个事情，然后第二个事情呢，我简单谈一下我们这个模考的一些情况。因为这个今年的话呃，单独又出了这个四套，所以说这个量非常的大啊，这个昨天呢，实在不好意思，因为这个昨天。晚上是因为那个郑州大学那个校团委那边儿呃，可能是有一个邀请，然后让我们去跟做一个这个。考研数学相关的这样的一个分享，所以说昨天的那个下午呃，

原本是昨天下午想发过去，然后的话从那个有些同学可能知道从那个。河南财经政法大学一直到这个到那个郑州大学中间呃是有50分钟的这个车程啊，接近50分钟，然后路上一直在堵。所以我到那边儿的话，就差不多是六点半的样子，然后因为那个电脑在那个旁边那个宾馆，所以我到了之后的话就赶紧跟同学们发过去了。啊，这个。呃，当然，有些同学可能会理解这方面的事情，但是有些同学确实啊，

我这边儿昨天的话，这个卷子啊，发的稍微的晚一点，那今天上午的话继续去考呃，还是不要影响你自己的复习的，这样的一个心情。啊，你好好进行去备考好了，那么接下来不多说了吧，我们在这里面当中啊，简单跟同学们去提示一下呃，几个这个。我们后续的一个模考的事情，因为这里面当中啊，可能会分成呃几类的，

一些同学有些同学可能是这个基础才完成完。然后跟着这个冲刺救命班的同学，有些同学可能是这个只完成的基础啊，然后接下来要进行这个强化课程，或者这个冲刺救命班的课程。那么，这些同学我建议啊，你可以把这个这个部分的这个卷子就这个卷子，然后把它放到哪呢？把这个卷子给我们放到这个呃，到时候的第一轮的这个复习结束了之后，然后再去做，那么今年为什么把这四套卷子啊，又多出四套？其实有些同学这个。

今年编的题太多了啊这个编题的量呃，这总共是14套卷子，然后14套卷子的话，这里面当中的这个题还有这个今年当中的一个800题。呃，前面当中还有这个决战300题，今年的话，这个题目啊出的确实比较多，所以说这个这四套卷子为什么出呢？主要是照顾的话，有些同学可能是这个。强化意识，跟着这个同学。啊，就是这批同学，

还有这个冲刺救命班，只跟冲刺救命班的同学，因为呃，我们这个中间原本是我是希望这个冲刺满分十套卷。是我们所有的同学一起进行去模考，能理解我的意思吗？因为有些同学可能这个现在正在进行这个冲刺，救命班还没有进行过一轮强化，或者是这样一轮的这种题型的训练。那这样的话，你要再进行去呃，做这个十套卷，我们现在只要考了，我们就能讲，我们只要考了就要进行去讲，

那这样的话，你后面你没法进行去跟这个直播的部分内容，我觉得效果不是特别好。所以说在这里面，我们就专门给同学们再加了四套卷子，那多出这四套卷子啊，我们这四套卷子是不会出版的，作为我们内部的考。那么，基本上我们把这四套卷子考完，然后是二二年和二三年的考完，那么这样的话，我们就基本上可以一起进行去模考，这个冲刺满分的十套卷。能理解我的意思吗？

好了，这个事情我们就简单说到这儿。呃，所以说这个关于这个冲刺模考，我们就先说到这儿，因为很多同学一直问这个问题啊，你们自己要清楚，这样的一个时间的安排。因为只要进行冲刺，满分十套卷的时候，也就是我们的这个第一轮的这个冲刺救命班的课程呢，全部结束。好支持这个事情。那么接下来我简单说一下，这个今天的这个模考吧，

因为呃，其实应该是放到这个今天讲啊，但是的话，这个今天实在时间有点儿来不及，我刚才。呃四基本上是两点两点五十呃，这个两点半到北京，然后的话刚好三点多我才回来，然后。然后的话，这个今天来不及，因为晚上还有一节课啊，不光是我们这个三九的课，还有这个数一数二数三同学的这个真题课程。那么在这里面呃，

但是我这件事情我必须要今天讲，那放到明天讲，有些同学可能这个呃心理上的这个落差就会大很多。呃，今天呢？考完了之后啊，里面当中的卷子啊，不乏有难度系数的点，你自己可以进去去看看我们这套卷子的这个出题。感觉或者这个风格很像去年二零二三年的考研真题，我不知道同学们有没有这种感觉，尤其是里面。可能前几个题哎，简单一点咔的一下哎，难度系数可能会大一下，

然后过两个部分的题啊，难度系数又降低一点，然后咔一下难，所以说这个东西的话这个。你自己得控制。能理解我的意思吗？就说如果你在考试的时候，你遇遇到这些问题，你自己怎么进行平衡？这个非常重要。所以说这些事情呃，希望同学们你可以提前进行去做的时候，把这里面当中的一些点呢，把它呃，一个是锻炼你自己的考试能力。

这个很重要，然后另外一个事情考试的过程当中呃，无论是怎么样，任何一套模拟卷，任何一次考试。它的核心目的都是为了提高，你不是来打击你的，你一定要建立出来，这样的一个方向性，任何一场考试。就是我们只要不是最后这场考试，任何一场考试他都是为了进行去提高你的，只要你做的题，你就要进行去分析，我自己里面当中哪些点出现的问题？

里面当中哪些知识点掌握的不是特别好，我的短板在何处？对吧？把这些问题自己要细细心的进行去分析一下，不要考完了就结束了。考完不会是结束，考完了之后把它进行改正过来，这才是模考最大的意义呃，今天呢？我记得应该是12点钟，我发了条微博。对吧，因为有个同学的话给我发了一条那个信息啊，我我我觉得我非常非常感动这个事情啊，我感觉非常开心，

因为一定要做一个积极的人。就是只要它不是最后一场考试，你一定要自己进行去，发现自己的问题去改正这个问题，这才是最重要的，好不，同学们？好，这个事情我们就讲到这，然后另外一件事情呃，最后一个阶段，不要影响自己的这个心理的，这样的一个状态对吧？复习的过程当中一定要沉稳一点。每次你做的事情一定要稳扎稳打的来，

好不？同学们好，那么今天啊，我们就不多说了，那么继续吧，我们再来看看下一个问题。那么，上次过程当中，我们刚好讲了这个凹凸性拐点这个问题，那么其实在我们的考研当中比较重要的是几个问题呢？比较重要的是凹凸性，单调性极值的问题，拐点的问题啊，其实在考研当中啊，它没有考的那么的难。

或者它涉及的不是说特别多，但是你要作为一个重点内容进行复习，然后就是渐近线，这个东西渐近线呢？这两三年是没有怎么出过题的。所以它在考试过程当中，它不算一个热门考点，但是这个部分东西你必须要把它拿下来，因为你做模拟卷肯定会遇到。啊，当然的话，你到时候做那个冲刺满分十套卷里面里面当中啊，也会有一些这个间接线的题，那肯定是有的，你就包括我们讲的这个。

经济学应用的问题，那这些点呢？我们这两年过程当中没有出过题，但是不代表说这个东西就不会出题，你能理解我的意思吗？所以我们把这个考点的东西，它有几个方向，有些是热门考点，高频重点，那这些东西作为第一段位。然后第二段位的话，其实就是我们这个呃一些次重点的问题，当然这些东西你也得复习到位啊，好了，我们继续吧，

我们来看看下面一个点啊。那么，首先第一件事情，我们先来看看垂直渐近线对吧？我们先看垂直渐近线。呃，你不用担心这个事儿，一会儿我都会补的，你们好好听课就行了，对吧？所有的内容都有。那么，首先第一个事情垂直渐近线，那什么是垂直渐近线呢？我们来看看这个问题。

那垂直渐近线呢？它是这样说的，就说我趋向于这个点呢，无论是左极限还是右极限。只要有一侧极限，结果是无穷大，那么这个人呢？就是他的一条垂直渐近线。所以说接下来我们来看看这个人从图形走向上，他是个什么情况呢？我们看这个问题，你发现这是一个y轴，然后这是零，然后这个部分呢，它是个x轴。

那比如说我们这里面当中给了一个点啊，你假设你看我这里面当中给了一个x0这个点。给了这个点，那这个点如果它是一条垂直渐近线，它会是什么情况呢？我趋向于这个点处的极限，结果是无穷大。你看我这个函数，我这个函数啊，它是这样条线，当我进行去趋向于x0的时候，它的极限是无穷大，那同学们想我如果这半边是趋向一个a。那你告诉我，它算垂直渐近线吗？

算不算它算，只要有一侧极限，结果是无穷大，它就算一条垂直阶极限，你看这个紫色线。紫色线其实就是我的曲线，然后这个虚线就是我无限逼近的线。只要有一侧，你是无穷大，你就算一条垂直渐近线好了，这是我们的重点问题。那大家想想你这个垂直渐近线，特别像什么呀？特别像这个函数的无穷间断点。你像不像非常像这个函数的无穷间断点？

那么所以说这个无穷间断点，我们是怎么去处理的呢？那么首先我们先来看看这个第一步。那第一步啊，我肯定是干嘛呢？我先进行去确定函数的无定义点。啊，确定这个fs啊，无定义点。我先找吴丁一点。那么，这个人无定义点，这是我要第一步，然后第一步找到无定义点，然后第二步怎么办？

我再去求这个点处的极限。你求s0处的这个人的极限，这个极限结果是无穷大。那么这个人呢？他可以是趋向于s0正，也可以是趋向于s0负。只要有一侧极限，结果是无穷大，那这个人他就是一个无穷间断点。能理解吧，你只要有一侧，你是个无穷间断点，那这个x等于这个人呢？就是一条垂直渐近线好这个问题啊，我们就讲到这儿。

那么，接下来我们再来看看水平渐近线。那何为水平渐近线呢？他这样知道。说如果趋向于负无穷，是a或者正无穷，是a，那这个人就是他的一条水平渐近线，那什么意思呢？比如说我们先来看看这个第一幅图。好，这是y，然后这是零，这是s，那么其实你发现我们先看第一种，

因为我们经常会呃，这里面要小心一个点啊，因为我们有时候考试考的什么？它的渐近线的条数是几条？你要会数呢？那比如说它是这样的一幅图。这样一幅图，大家想想，如果它是这样的一幅图。那你告诉我。真无穷和负无穷的极限，是不是都是a？所以说y=a是它的一条水平渐近线，这算一条还是两条？这算一条。

你正无穷是a，你负无穷是ay，等于a就是一条水平渐近线，这算一条。那么有的时候我们还会碰到什么？我们还会碰到这种情况，就说你在这里面当中正无穷是趋向多少，然后这里面当中的负无穷又是趋向多少？你比如说这样。你看如果是这样条线的话，我如果真无穷的极限是a。正无穷的极限是ay=a就是正无穷方向上的水平渐近线。然后接下来我们再看，如果这个负无穷方向的极限是b呢？你看这个人那负无穷方向的极限是b，

那y=b就是负无穷方向上的水平渐近线。能听懂吧好，这是这个问题，所以有的时候啊，他需要怎么办？比如说正负无穷都一样，哎，这个人我就直接求了。如果正无穷是一个人，负无穷是一个人，那正无穷就有一条负无穷，也有一条好了两个事情。那么，这是我们讲的这个第一个事情呃，我们讲的这个水平渐近线对吧？

你有可能说两个方向是同一个人。有一个呢，是正无穷，一个人负无穷，一个人那么接下来我们再来看看第三个事情，我们再来讲讲斜渐近线。啊，再来看看这个人，那什么叫斜渐近线呢？斜渐近线就是我无限逼近的线，是一条倾斜的线。那么在这里面，我们来看看这是y这是零，然后这是s那这里面当中就是一条啊，倾斜的一条直线。

那倾斜的直线是y=as+b。那这个时候你想想，我如果fs是这种情况。那fs是这种情况，那这条线就是我无限逼近的线呐。对吧，你无限逼近的线是一条倾斜的线，所以说你这条线呢，就是一条斜渐近线，那斜近线比较关键的是两个人。一个是a，一个是b。那a怎么求解呢？a的求解就是用fs比上s求极限。怎么去求b呢？

就是用fs-as的极限，那就是b。能听懂吗？然后另外一个方向，你想清楚。有水平渐近线的方向是不会有水啊，这个斜渐近线的。你自己思考，比如说我在正无穷方向，哎，水平渐近线会走平。斜渐近线会走斜，所以说在同一个方向上水平渐近线和斜渐近线不会共存。当然有可能是这个方向的斜进极限，这个方向水平，

这是可以的，我们说的是同一个方向。所以说什么时候做企业渐进线呢？如果这个正无穷或者负无穷，哪个方向上没有水平？我这个方向再做斜。能听懂吗？如果这个方向上有水平，这个方向上有，比如说正无穷方向有水平，那个方向有水平，有水平渐近线的方向上不用做斜。所以因此这个求斜渐近线，这个人呐，他必须是先看水平渐近线，

哪个方向上没有水平，哪个方向在做斜。好了，这个问题啊，我们就讲到这儿跟得上吧，哎，思考一个问题会不会存在两条斜渐近线啊？有没有可能？有可能吗？有可能啊，比如说你看这条线这样。那这样的话，我就会存在两条斜渐近线。但是我们在求解的时候怎么做呢？你就这样做。

你尽管进去，去求a就行了，如果正负无穷，求出来a不一样。那我们就算两个人，如果正无负无穷，求出了a是一样，我就算一个人跟得上我的意思吗？好了，这个问题啊，我们就讲到这。过去了，可以吗？好，这是这个问题，

三种线垂直渐近，线水平近，近线斜近，近线好了，那么接下来我们一起来看几个题吧，我们先来看看这。这里面当中的第一个题，你有没有发现求渐近线的核心是在干嘛？求渐近线的核心呢是求近线。对吧，核心重点还是求极限好了，我们先来看看下一个问题。先看这个题吧。他说，这个人的渐近线的条柱。

你这个东西啊，可以稍微的整理一下，你看这是s- 1。这是s+1，这是s倍的s+1，我想问一个事情，你找无定义点的时候能不能把它约掉啊？约不了，绝对不能约，所以首先第一件事儿，我们先开始垂直。那垂直渐近线的话，首先第一件事没有定义的点。没有定义的点有两个，一个是一，

一个是负一。所以说有两个无定义点，那无定义点找到了之后，我们再去求无定义点处的极限就行，那么首先我们先来看看一这个方向极限。移这个方向的极限呢，我们其实重点而言是对这个人求极限。对吧，对这个人求。那么趋向于呀，那么其实你发现这个部分是非零的。所以说这两个东西啊，你就可以把它约掉。那然后下面这个部分是零，上面是一零分之一，

这个东西啊，它就是无穷大。所以说这个人算不算他就算s=1啊是一条？然后接下来我们就继续，我们再来看看第二条内容，继续看，如果是s趋向于负一。你再看趋向负一。趋向于负一，应该是非常的接近于负一。对吧，非常接近于负一而不等于负一。那既然s是趋向于负一，不等于负一，那这两个东西能不能约啊？

那当然可以约啊。所以这个时候他就做成这样，那因此你发现这个人的话，他的结果其实就变成了limits趋向负一。x减一分之x。然后下面这个人极限是多少？是负二上面这个极限是多少？上面极限是负一，所以说结果等于二分之一，那很明显他不是啊。这个人就不是了，跟得上我的意思吧，好这个人。那么，这是垂直经济型，

然后接下来我们再来看第二事情，我们再看水平。水平渐近线，我们就要做无穷大方向的极限，你求无穷大无穷大的话，这是I次方减一，这是I次方加I，你求极限。那么，这个求极限的话，你想想。当我把s趋向无穷大，你是不是就可以抓一下？对吧，你就可以抓你一抓的话，

这个人的话，第一个人抓谁呢？第一个人抓平方，第二个人抓平方，这一抓这是一样。那你告诉我，这算一条还是两条？一条还是两条？请注意啊，这东西算一条渐近线，因为正负无穷的结果是一样的，所以说这个人呢，算一条渐近线y=1。那正负无穷，都有水平。

正负无穷，都没有写。所以说这样就做完了，最终而言的话，这个结果是几个最终结果选c。好了，这个题啊，不是说特别难啊，这应该是个比较简单的题，那么这里面我想提示一个事情，你要敢去做题。你要果断的敢算对吧？敢算敢练，这是个非常重要的问题，你见到这个题，

你要敢做，你不要在那墨迹，你见到这个题，你用你需这一年过程当中学习的所有手段，刚他就行了。好了，这是我们讲的这个第一个事情，再来看看下面一个题69题。好，继续。那这个题啊，我们继续来看。那首先第一件事儿，我们还是先进行去看什么？我们先进行去看垂直渐近线。

啊，第一件事情垂直渐近线。那垂直渐近线第一件事情是不是先找无定点啊？所以说这个人的无定义点是多少？无定义点你瞅一下，那很明显是零啊e的零是一嘛。所以它的没有定义的点，其实就是零。就这个点，当你把这个事情做完了之后，你去看看当x趋向零的时候，这是一加上e的负x次方，这是一减去e的负x次方。好，我们来看看。

当s趋向零的时候，这是一。所以说上面这个部分是二。然后下面是零。二比零这个结果很明显是无穷大，所以说这个人呢，他其实就是一条垂直渐近线。好，这是第一个人，然后接下来我们再看第二件事情，我们再看看水平间接线。水平渐近线，你的重点是什么？你的重点的话当然是s趋向无穷大求这个极限。好，

我们一起来看看这个极限是多少？如果s是趋向无穷，大也不知道是正无穷负无穷，但是平方一定是趋向正无穷。绝对是正无穷。平方是趋向正无穷，那这个时候e的这个负的平方呢？那负无穷e的负无穷是零。所以说你要注意这个部分和这个部分的极限，结果是零，因此啊，上面是一，下面是一，一定是这个结果是几啊？是一那两个方向，

这算一条还是两条？这还明显算一条两个方向都有水平，两个方向都没有斜。两个方向都没有写，那这个人就出来了，你总共下来有几条？既有垂直渐近线，也有水平渐近线答选d。好了，这是我们讲的这个69题，过去了可以吗？不是说特别难的，你做这个渐近线呢，难度系数还是不是特别高？来再来看看70题这个题。

好，再看这个题。那这个题啊，它给了一个函数，然后我们去求解这个渐近线的条数，那怎么去做呢？那么首先我们一起来看看。第一件事情，我们先来进行去看看。垂直渐近线。那垂直渐近线，首先第一件事情先找这个函数的无定义点。那么，同学们告诉我几处没有定义啊零处。邻处没有邻。

临初没有定义的话，我们来看看这个事。你来求一下这个极限。啊，求一下那么一求的话，这个人的话就是is趋向几趋向零。那趋向于零的话，你发现这是无穷大呀。一得零是一啊，那这是录音二啊。一个无穷大加上love 2，这是无穷大呀。所以说这个人算不算算一条s=0算一条垂直？这没有问题，然后第二件事情我们再来看看水平。

水平渐近线的话，你还是对这个人求极限，对吧？对这个人。但是对这个人呢，我们求的是什么？我们求的是无穷大方向的极限。因为你看到ese的正无穷是正无穷e的负无穷是零。所以说这个人呢，他必须要分成什么，你就要分成两个方向了，一个事情是我们的正无穷方向。还有一个事情是我们的负无穷方向。你是不是要分了，所以现在我们来看看这个机器。

你先瞅一下第一个人，那第一个人的话，无穷大分之一，这是零啊。一的正无穷，正无穷啊，正无穷加，一正无穷罗，罗正无穷正无穷，所以说这个极限结果是正无穷。那它是不是它不是啊？那很明显不是，然后再来看下面这个人，那这是零啊一的负无穷是零呐零+1是1l一是零呐哎，这个极限结果是几零？

他算不算？他算。它算负无穷方向上的一条水平间接线。好了，这是这个人，然后接下来我们再来看看第三个事情，我们再来谈谈邪剑这些。那么斜渐近线呢？我们这个求解，你就要求两个人了，一个事情我们是进行去求这个a。那当然的话，这个负无穷方向上有水平，就不用去求写了，正无穷方向才要看写，

所以说我把这个正无穷这个东西写到这儿。那就是s分之一，加上ln多少一加上es比上这个s。那这个时候我们再来做一下这个人当s趋向正无穷的时候，你这个人除下去，这是平方，然后这是s分之lone多少一加es。好，我们继续看，大家想想。你发现这一项的极限结果是零吧？我一看它的极限是存在的，存在的话我就可以把它拆开，先算没问题吧？好加减法当中，

见到存在就拆开。然后这个人就留下了这个人。es，那这个人怎么做？有些同学水平点高一点，知道lo one里面可以抓打头。es比e大的多，这个人就没有了。那所以说lines就是s，那就是一。但是我想说的是，你如果自己在这个抓的这个方面做的不好，你就别抓了，你就在这里面当中落下。遗落的话，

这是一加es分之一s，这个时候再抓它是一。能听懂吧，就是你如果在这里面当中抓大头做的不是特别好。你就洛必达。好了，这是我们讲的这个a，然后再来看看BB的话，当s趋向正无穷，你继续你写一个fs这个人。然后再减去多少，你再减去a倍的x，你减这个人。你捡这个人的话，我们眼睛漂一下。

e的正无穷，正无穷，这项是正无穷。这一项是正无穷，但是这一项是零零就可以把它抛开，所以说这个时候啊，把这个东西先算出去，然后这个题就变成了这个样子。那变成了这个样子，这个极限怎么做？无穷大减，无穷大。无穷大减无穷大，我可以通分，但是这个人呢，

很明显不好通。你一通的话，这个人非常麻烦，不好通。那不好通怎么办？我们在这里面当中可以倒代换，倒代换也不是说特别好。你这咋通分呢？你这咋倒带换呢？所以灵活度一定要高一点，那怎么办？诶，我观察出来l。loong具有优良特性，loong可以把减法变成除法，

所以说这个时候我们其实就把它变成多少loo nee+es。减去l多少es。好几个人，所以说这个东西啊，它就立即变成了什么，当s趋向正无穷ln多少呢？一+es比上es。好，这个那这个时候我们来看看你。当s趋向正无穷，你就会发现你看这一项。上面是无穷大，下面是无穷大，一抓这是一吧录音一，这个结果是几录音一，

这个结果是零。所以说这个a是一。b是零俩人都存在，所以说这个渐近线存不存在？存在就是这个人。这是你要想清楚的，必须是两个人都存在。好，这是这个问题，跟得上吧？好b选啊b，这个当然，其实还有一个方法啊，我们原来讲过这个事儿。那么像这里面。

这里面当中还有什么操作呢？你看这个是个l。我们原来讲过这个无穷大减，无穷大的未定式，除了这个通分倒带换之外，还有一个什么方法？是不是可以提锚法呀？你可以提某啊，你把这个es给我提出来，那这就是e的负s，再加上一你再减个s。是不是做成这样了？那做成这样了之后，马上这个东西就出来当s趋向正无穷的时候，你发现loing这个人就是s。

然后这是lne的负s+1，你再减去s好了，这个东西是不是约掉了？然后这个东西约掉了之后，一亿的负无穷是零零+1是1 ln 1是减ln 1是零。你看这样做是不也行？所以说碰到无穷大减无穷大的位定式，我除了什么东西呢？我可以进行去通分，我可以进行去倒带换。如果这东西不行，我还可以提毛发啊，这也是一种非常好的一个思路。好，这个题啊，

我们就讲到这，所以总共下来这个人有一条水平啊，一条垂直，一条水平。一条斜渐近线总共有几条？总共有三条近近线好，这个人呢？就立即出来了，跟得上吗？好，我们继续，我们再来看看下一个问题啊。那么再来看看这个。这道题啊，它这个。

这个题考的很好啊，这个很有我们三九六同学的味道，就这种题。如果不能灵活知足。如果a唯一算出来。a为一不不不可能啊，不可能。极限存在，必唯一嘛。你要是这个什么东西呢？你a是存在的。你正无穷有个b负无穷，有个b那证明说什么东西呢？这个你正无穷的a和负无穷的a是一样，你正无穷和负无穷的b不一样。

那这算两条斜渐近线，怎么可能呢？你这个方向都有水平渐近线呢？你这个方向不会有斜近线的。啊，注意一下这个点啊，好了，我们继续，我们来看看这个71题啊，这个题。那这个题啊，你如果硬做也行，你就一个一个分析，你比如说我们来看看这个a选项。那a选项没有无定义点，

没有垂直渐近线。对吧，没有。那然后的话再来看看这个真无穷方向极限呢，真无穷方向极限，这是无穷大。然后这个部分的极限呢，它是位于负一到一，它应该是没有极限，因为趋向无穷大的话，这是正当的，但是它是负一到一。无穷大加上负一到一还是无穷大？所以没有水平，没有水平，

我们就来看鞋，你鞋的话，这是当s趋向无穷大用，这个人除个s，那就是一。再加上x分之一，再乘上s in。那这是无穷小臣，有界无穷小，这就是一。那这些人出来之后，你看a有我们还要看看b当s去向无穷大S，加上这个三音，再减去as是这个人，你看这个约掉了。

但是这个东西是什么？这东西是震荡的呀。对吧，你这个人是正当的呀，你正当的话，你发现这个人其实就没有。b就没有，所以说这个a选项，它就没有什么渐近线。但这种题如果硬着做啊，稍微的会麻烦一点。我们原来讲过，有一种非常讨巧的一种小技巧性。不知道还记得吗？那么这里面我们来把这个渐近线呢？

斜近近线，我们把它弄过来。把这个内容我们来看看。你看这个东西。那这个上面这条线。是我这个人的一条斜线进行。对吧，这个人那这条倾斜的线是这个人的一条斜渐近线。那既然你是我的一条斜进界线，我就想问一个事情，在无穷大方向上，我把这两个东西做个差。极限结果是几啊？是几啊，你就会发现你看你这个部分，

然后这个东西逼近它。是几啊，肯定是零吧。所以如果我减你的极限，结果是零，你就是我的一条斜渐近线。那这时候我怎么办呢？我可以这样办。我根据这里面当中，我们原来讲过一个关系定理。如果我的极限。我的这个人的极限结果是一个数，我就会等于这个数。再加上一个无穷小量。那也就说我把它移过去了之后，

其实就是as+b，再加上个无穷小量。这个无穷小量是哪个方向上的无穷小量呢？这个人呢？是无穷大方向上的无穷小量。比如说你是正无穷方向上的，比如说我这个函数，我这个函数可以写成直线，再加上正无穷方向上的一个无穷小量。那这个直线呢？就是正无穷方向上的斜渐近线。如果我等于这个人，再加上一个负无穷方向上的斜呃，这个无穷小量，那这个前面这个人呢？

就是负无穷方向上的斜近极限。能理解吧，所以他的这个操作状态就是这样。就是你这条直线，你加上哪个方向上的无穷小量，你正无穷方向的，你就是正无穷方向的斜进线。负无穷方向，那就是负无穷方向的。跟得上我的意思吗？所以说这个东西啊，它就这样，那么接下来我们就可以看看。这是一个直线，但是你发现s in这个人呢，

他是个正当的，他不是无穷小。但是这个人可以，这是一个直线。我这个函数等于一个直线，然后这个人呢，在无穷大方向上趋向解趋向为零，所以说y=s就是它的一条。接近一些。你看这个人，那就说老师那个，我觉得d选项也对呀，你看我等于x方加上无穷小，这就比较渐近线了。渐近线呢，

指的是直线。你这很明显是平方，你这是间取线，但是没有这种概念，我们是这个顺手说顺嘴说了一下，没有这个间取线。只有这个渐近线，渐近线必须是直线。所以你看这个题啊，立即就出来了。跟得上我的意思吧，哎，所以说这个操作性呢，你要想清楚。好，

这个问题啊，我们就讲到这儿嗯，我说一个问题啊。也是一种做题的思维。我举个简单例子。不要犯轴。切记切记，比如说我举个例子，我们在做一个什么？比如我们再做一道这个选择题，五个选项，然后每个人都是个概念题。我不知道你今天其实这种模考是必须要参加的，你模完了之后啊，你就会发现里面当中的一些问题。

你自己你看看。我来讲讲做题的这种思维方式。CD，然后这是一。你如果拿到这个题啊，你一般情况下，你看第一种方法。推演法我就不说了。推演法，推演法就是什么叫推演法呢？我们一般用的都是推演法，比如说我给了一个题。那给了一个题的话，你就推演呗，就是我们一般的话，

就是题目给什么我就算什么算算算诶，算出来了，选a好选a。好，这是一种，然后另外讲还有一些什么，比如说这种纯概念的题，你要一个个看。比如说我先看a选项，哎，看不出来，看不出来怎么办过，那就再看BB这些东西，看不出来，哎，

那再过看c。c还看不出来看d哦d对了对了，那我就选d呗。那他说那老师那个ABC怎么办？关他什么事？我做对了不就行了。你能理解我的意思吗？你不能说哎呀，我de选项都做对了，我非常100%的这个确定它是对的，我还要把e选项看一下。我还要把ABC看一下，那哪还有时间呢？能想清楚吧，好这个问题。

就跟我们去年那个考研真题那个样，你还记得那个题吗？就是那个凹凸性定义的那个题。就是fa+b大于fa+FB那个题，你还记得那个题吗？那个题我首先应该是先看什么，我先看那个就是那个f二分之a加b和fa加FB的二分之一。就是那个人对不对？是吧，就看那个题，就那个东西对不对？结果发现哦他不对，他不对的话，结果我根据这个凹凸性定义，我知道a是对的，

我就把a选了，有人说那老师那个bde怎么办呢？那bde贼难验证。你下去有没有试一下呀？有些同学估计去试了一下那个bde啊，不是特别好验证的啊，很麻烦的一个事情，所以说我们做题的这个思维方式。你注意速战速决。而且这种考试啊，我们今天是考的第一次。啊，这个如果你是只跟的这个冲刺救命班同学，你不用着急，这个事情你完完全全把这个课程跟完，

跟完了之后，然后我们再来进行去，回到这个做模考卷都行。就是你今天做模拟卷，我们今天是第一套，我们今年的话，其实呃给大家保证的还是一个非常充分的了。你自己去看看总共。总共里面当中有。八套这个卷子，那后面还有二一年，二二年，二三年三套题，然后再加上四套卷子。前两天的话，

我们继续去对你今年的话，这个三九六的课程课时量应该是非常大的。就是从头到尾。你这里面当中，这是有多少套？你可以去市面上进行去看，也有出这么多的卷子的，你看哪套卷子的话，完完整整的，从头到尾又给你进行每套卷子进行讲。所以我觉得呃，第一套没有关系，我们有通过这十几套卷子。十几套卷子，你把这个水平点列列上来。

啊，十几套卷子，所以我觉得这个。第一次考，没有什么感觉。今天有没有同学在模考的时候就模到那个题啊？哎呀，这个题不好做。那个题不好做，就完全就怼到这儿了，有没有这种同学？你要呃得调整啊，得调整就是这个中间啊，你也不知道在哪个位置，总有一两个题。

有点难啊，总有一两个题会比较难。但是中间的有些题呢，又很简单，是去年二零二三年的考研卷子啊，它就是这种感觉。但是你得进行去克服这种心理，而且在这个做这个数学的，整个一个半小时的时间内。你的心态一定要平稳。这也是一种能力。就是你做的每一个部分，你这个心态呀，你都要克服好，你不能做造，

反正做了一个小时算了，我不做了，那如果这是最后一套卷子，你敢不做了吗？所以不要这样，每个人你知道你不爽的时候，别人也不爽，你做的难的时候，别人也做的难。你做的非常恶心的时候，他也很恶心，这个时候就是心理战了。能理解我的意思吗？今天的话，这个。

呃，这个私信有做的非常好的，因为我们今年的话，我们班级的话，这个前期的话，很多同学的话，这个水平点练的还是非常好。这个今天的话，有一个同学说这个。我记得我还给他回了，我不知道正不正在听课这个同学啊。说这个原来这个基础不是说特别好，今天就错了一个。啊，错了一个呃，

觉得这个从头到尾的话，我觉得还是做的比较扎实的。好吧，这个事儿我们就说到这儿，你自己慢慢来对吧，我觉得不用跟别人比，不用比你现在错多少个都无所谓。对吧，你今天就算错了十个。你就把这十个当中所涉及的这个问题把它改正过来就行。能听懂我的意思吗？把这十个改正过来就行了。你不要这样说，不要说这个考这个什么的，咱要求低，

你可不要没有咱你你你就你就行了，你别咱了啊。你别带骗人啊。好了，这是这个。所以我觉得这个嗯。行吧，你别你别老咱啊。我们这个都是要求比较高的一些同学啊。我们从头到尾的话，这个这些点把这里面当中自己错的一些东西啊，你好好改正过来，你就非常好了，你一定要要求高，要求最后的这个。

就算次一点点水平点还是很高。你能理解吧。所以说这个最后一场考试肯定还会有一点这种紧张感觉，所以自己完完整整的把这个东西啊，好好训练，你看肯定会有很多同学这个呃。你不要沉溺于这个就跟去年的。我给你大致的看一下。你看这是去年那个考试分析，我给你看一个数据啊。你千万不要沉溺于自己的世界里面了就行。你看看这个，这是去年的这个官方的一个数据。他这里面当中说了一个什么呢？他说了这样的一个现象。

这怎么没有笔呢？哦，在这。你看一下这个。这是这个去年的。他说，约有18%的考生是缺考，这个我们就不管了。其实每一年呢，都会有8%到10%的同学是缺考的。这是每一年的情况，我说一个现象，你看看去年呢，大家都喊难，你看看这句话。

这数一数二数三的，但是我们没有考试分析这个三九六的，我觉得这这些考试院不知道他们怎么想的啊，也没有考试分析。啊，这所以说这个这这他这个也没有给这个官方的三九六的一些数据。然后说这个去年考完了之后啊。好多人说难啊，这个人说难，那个人说难，好多说难难难，你看平均分裂有提高。然后最后的话，这个数一和数二同学的平均分在70分，这还算挺高的了。

然后这个数学三的平均分在75分左右。所以说这个你你不要老是这个沉，你自己平时的话，你这个要求一定要高一点。你得对自己要求高一些，你最后获得这个结果可能会更好一些，你把老师这个啊，说说啊，无所谓的，对吧？你要注意这个模考比较，关键的是它不是说进行去怎么办？给你衡量一个最终的一个水平，不是这样子，你就在这里面当中，

你把出错误的问题点。把它给我改过来。你出错的东西把它改过来，一定要改，改完了之后下次不会出错就行了，这才是目的，那得过且过了，这还行。得过且过的今天好，我考了，我错了十个，哎，算了，我就错十个。一下子错八个哎，

那我错八个。那这这怎么行？你这怎么能提高？所以我觉得那你把模考这个阶段当什么？当你最终的这个考试成绩的测试吗？他不是的呀。他不是的。你看今天模考的时候，很多同学捡起了曾经遗忘的东西。模考完了之后，知道自己的薄弱点，知道自己在做题上的出现的问题。知道自己考试方法不对，这就是收获呀，好了，

这个点我们就讲到这说的非常好，就是这样。好了，这是这个吧，我们就说到这间接键呢，就讲到这。那么，接下来我们就继续，我们再来看看下一个问题。我们来讲讲这个方程根和零点的问题。那这个东西啊，它算一个，我们补充内容，但是这个内容基本上是趋向于必考的内容。啊，

趋向于闭口。方程根和函数的零点是每一年考研过程当中的重点内容。这三年呢，有些年他没有考，但是大部分年份当中啊，他很喜欢考这个。像这种题是非常非常简单的题。我可以明确讲非常非常的简单，它没有多少特别大的难度系数。那么，这里面当中，我们今天把它总结下来。总结下来，你要保证下次不会出错，有些同学就讨厌这种题，

你不能有讨厌的点。你一个点都不能讨厌，你每个点都要喜欢。那么，研究方程根和函数零点的问题，你看我们在强化的时候，我们讲研究这个东西可以有个数的问题，我们用什么单调性？我们用罗尔定理推论怎么怎么样，其实我们到了这个冲刺班的时候，我们就抓重点。你就抓重点，你的重点就是什么研究方程根研究函数零点，我们先看第一个事情。比如说同学们，

你想想我，比如说说研究什么呢？研究这个a这个人等于零。你来看看这个人。这是一个什么？你可以从两个方面谈第一个事情，那这个a这个人就是什么a这个人其实就是这个函数的什么？函数的零点啊。a是这个函数的零点。对吧，这个a是这个函数零点，然后第二个事情呢，还有一个事情a是这个方程的根。没问题吧，你发现a是这个函数等于零的点不就是零点吗？

a也是这个方程的根。那比如说我举个例子，我们比如说出这个五次方加上一个多少，我加上4a倍的x+4我，我举个例子啊。比如说我等于多少呢？呃，等于这个或者是这个人等于四。那研究这个方程的根。你就得研究是哪个函数等于零的点零点零点中文之华美，什么叫零点零点就是函数等于零的点。那哪一个函数等于零的点呢？五次方加上4 ax- 4，它等于零的点。所以这个时候你发现我们喜欢研究函数，

不喜欢研究方程。谁会喜欢研究方程呢？我们的重点是研究函数。函数我非常擅长研究，各种特性都非常简单，所以啊，中文之华美零点嘛，那就是把它移过去等于零的这个点，那就是研究这个函数的零点。所以接下来我们来看看第一个问题。研究这个人呢，他非常重要的是研究这个人的图形的什么性态。你要注意研究这个人图形的性态。这个图形什么时候增，什么时候减，

什么叫信态啊，我就知道哎，什么时候增，什么时候减，那不就研究单调区间吗？所以你就记住研究方程根和函数零点的问题，最重要的问题就是研究图像的问题，研究图像就是把单调区间研究清楚就行。那所以我们接下来就可以看了，那研究单调区间什么步骤啊？好，我们来看看这个人。就这一页，所以你把这个页面呢，你掌握清楚就行，

我们的大概率事件的题都是这样走的。那么，首先第一件事情看函数定义域吧，这是很多同学不会看的。早都把这个东西给过去了，要看这个函数的定义域。这第一步，然后第二步呢？求导我们三九六同学的题啊，一般导一下就出来了。这这这种就很简单。就是你求导完了之后。等你求完导数了之后，我发现这个导函数啊。它等于零的点，

我能看出来不可导点，我能看出来，我知道这个函数在哪儿，正在哪儿负。就是这些情况，我倒一下都出来了。出来之后啊，你就根据这些点划分区间，你判断每个区间的正负得到单调区间就行。能理解吧，就这样，但是有一种比较难的。有些东西是比较难的。难的东西是在哪呢？是倒一下，

他出不来。如果是这种问题，你记住他的研究方法是这样。我倒一下。倒一下了之后，我发现。什么时候正什么时候负看不出来。等于零的点个别能看出来，但是我未必能把所有的求出来。就说你一阶导数，我看不出来在哪正在哪负那怎么办呢？你就进行去求二阶导。如果二级导数看不出来，那你就缺三级导，我不相信，

我实在不相信。如果哪一年的话，我们三九六同学的题出到三级到。有意思吗？这到底在干嘛？对一道三阶倒，你发现最起码二一道是道大题啊，不会这么狠的。对吧，你要怼到三阶倒我都我都不知道他这个出题，他想干嘛？是存心不想让我们做出来吗？那这个东西就不是两三分钟内做出的题了，我觉得吧，倒了一下出不来，

再倒一下，我们就忍了。你下试试。你如果倒一下，哎，这个人出来我就忍了。比如说我导完了之后。导完了之后，我发现诶，这个人是大于零或者小于零。那这个时候你想想，如果二阶导数，我的单正负性出来，那是不是一阶导数的单调性就出来？一阶导数的单调性出来，

我就知道在哪增在哪减，那我就要怎么办？再进行去找上一级为零的点。我比如说举个例子啊。举例子。那怎么做呢？你看假设。假设我这个人是大于零一阶，导数是不是单调递增，然后赶紧去找让它等于零的点？假设这个点等于零。那这个人单调递增上去就是这样，我就知道在这个点之前是负这点，之后是真。这个部分是负的，

那函数就单调递减。这一段是正的，我函数就单调递增。跟得上我的意思吗？所以注意一下这个事儿就非非常容易，就是你就记住我们的大概率事件，还是这半边儿。我为什么没有把这个东西敲出来呢？我敲的东西核心重点还是在这儿，就是第一步先看地域，求导你求导之后把这个注点和不可导点找到，然后划分区间看正负性，这不高考内容吗？但是要注意一个点，你还要进行去确定端点情况。

另外一件事，一定要把这个端点的情况把它看看。把这个端点的这个情况进行去，好好进行瞅瞅。为什么呢？比如说我举个例子。我知道负无穷到零是单调递增，我知道这块是单调递减，你看这个时候它没有，那万一是这样子呢，它有两个，万一是这样子呢，它只有零个啊，只有一个。所以你还要看端点情况，

因此总结下来，其实就是看求划定。能理解吧。我现在想了好久，这个这这这样的一个步骤就是看，然后再求对吧？求导，然后再划分区间段，然后看端点。那么，接下来我们来一起来看看吧，下面一些问题啊，比如说我们看看这个题。看一下这个题，那这个题啊，

他说这个方程有三个不同式根。然后k的范围是什么？那么像这种题啊，里面当中其实有k。最简单的方法其实就是分离参数法。所以说，对于这种含餐的问题啊，尤其是能够分离的时候把它分。分开分开了之后的话，这个k其实等于多少等于5 x-x五次方？所以我怎么办呢？我就来研究这个函数的图像，注意研究图像就是研究单调性，看定义域，求导划分区间，

然后再判断点。能记得住吗？所以我们赶紧拎拎一下这个函数，这个函数等于多少5 s- 5倍的I呃，这个什么s的五次方？好，这个人那么，然后进行求导，这个定义域肯定是r嘛，不用写了，然后是五减去五倍的s四四次方。然后五提出去，那其实就是一减s方，一加s方。没问题吧？

好了，然后这个人其实是五倍的一加s方，然后这是一减s方。那来看看正负性出来了吗？出来了，它等于零的点是几啊？它等于零的点其实就是正负一。政府一样。而且这个东西前面这两个东西它都是正的。只有这个人，他是个倒扣的抛物线。所以你就在你的草稿纸当中，你轻描淡写的把这个写下，负无穷到负一负一负一到一一一到正无穷，这多清晰啊。

所以这个时候你进行求导，那两边的时候都是负的，这一块是正的，所以这是减，然后这是增，然后这是减，然后这个部分是零。那这个东西是极小值，这是极大值好了，同学们单调性出来了吗？知道怎么跑了吧，所以说这个单调性出来之后，我们来立即来看看这个事儿。看看这个人，你发现这个函数。

好，这是负一，这是一。那这个时候我们要知道我们是先减，我们从哪减呢？你从负无穷，所以我们首先第一件事儿，我要进行去求负无穷的极限。你告诉我负无穷的极限是多少？这两个人的极限呢，要依赖于最高次幂。你们到底是什么样子？我说的算。负无穷的五次方是负无穷添个负号，那这个人是正无穷。

所以说它从正无穷而来。第二件事情，我们还要看看负一这个点减到负一那负一这个点代进去，它前面是负五，然后再减去多少，那这个人的话又加上个五。它就是零，所以说它这个函数图像，它就是从天而降，降到这儿。那降到这了之后，然后我们再升上去，升上去就不用管了，那所以说一肯定是大于零，但是减下去呢，

你要是这种情况和这种情况是不一样。你还得进行去看看，正无穷。那正无穷的话，这是五倍的正无正无穷，五次方正无穷，那肯定你牛啊。应该是你决定，那这是正无穷添个负号负无穷，所以说走你下去。那这个时候我们还要进行去看看，一处的值，你把这个一处的值进行去求一下。一处的直径先求下来之后，刚好是五减一就是四，

所以说这个部分是四。能理解吧，然后接下来你用k进行解，什么时候有三个就是这个时候就有三个。对吧，这个时候有三个，你有三个的时候k是什么？你k这个人肯定是比零大比四小。零到四这个范围进去去解的时候刚好有三个焦点。是吧嗯，怎么了？零到四。哪个是负四？哪个人呢？f负一是吧？

哦f负一，这是负。然后这是多少？这是加个一是吧？嗨完了完了，没分了。哼，算了个寂寞，对吧啊，这半天那是搞啥呢？来我们看看这是副词。那这个时候我们来看看。哼。这个先下去。增上去，

减下来。好了，这是这个那所以说我们在这里面当中啊，进行去焦点，你焦点有几个啊，我们进行焦焦点的话有三个焦点的时候就是负四到四。所以说这个k啊，它就是大于负四小于四。好了没？啊，这个出来了，所以正确答案选几啊，正确答案应该选d啊。呃a选项你肯定看得懂，是四到正无穷a选项和b选项，

你这个负无穷到负四都能看懂那这个人。是什么意思？这什么意思？这是集合。这个集合里面只有两个人。这个集合里面当中只有负四和四这两个人。就说哎，你这个k只能要不是等于负四，要不是四。是不这个事情好了，这个问题。行吧，那么这个题我们就讲到这，那么再来看看这个今天考试试卷这个题吧，把这个题啊，

我们今天呃刚好来讲讲。讲了之后啊，明天的话，可能我还得进行讲，因为有同学只只听那个模考卷的课程啊。好，我们把这个题啊，我们来看看。那这个题别在那胡扯那扯啥呢，对吧？呵呵，来继续吧，我们看看这题。那这个题让我们去研究这个方程的实根个数。十根个数其实就是研究这个函数等于零的情况。

你就研究这个函数的零点呗。所以说这个时候我们把这个fs抽出来。三倍的s四次方，然后四倍的s三次方减去六倍的s方，加上12倍的s- 20。那然后接下来我们就来看看这个人，求导。你求导的话，这是12倍的s三次方，然后减去12倍的s方，减去12倍的s，加上12。好，这个人好，别闹了啊，

这这这是。我咋不知道这个事儿呢啊？好了，这个人把这个人一做的话，他就变成了s三次方减去s方减去s+1。那这个人就做成这样了，那做成这样了之后怎么办呢？学生坐在这儿坐不动了，这这这个最基础的数学能力了。你在这个前面，你提一个平方出去，是不是s- 1？你在后面的话，这是刚好是s- 1，你把这个s- 1抽出去，

刚好其实就是s方减一。所以说这个时候我们就来看看它的结果是多少是x+1 x- 1的，这个人平方。好了没？这是这个人那么，所以我们接下来看看，这不可能啊，这个肯定能判断出来。好了，这个人做成这样，你做成这样了之后找等于零的点，有几个等于零的点，一个是一，一个是负一，你求二阶导就做，

麻烦了。你求二级导找这个上一级为零的点的时候有俩就特别麻烦。你就做到这儿了，其实你看很多同学这个思路都出来，其实也没有那么的难。好这个人，然后接下来划分区间段，那负无穷到多少到负一，然后是负一。负一到一一一到正无穷。然后这个时候的话，这是y到这是y。你看这个人，那这个人负无穷到负一。那负无穷到负一的话，

它是什么情况？你这个部分永远是正的。只有这个人研究这个正负心，而这个人的话，他穿过去刚好是负一这个点，所以在负一之前是什么负一之前是负的？负一之后都是正的。然后这个部分是减，这是增，然后这是增，然后这是等于零，这是等于零，这是极小值，这个人不许。能想清楚吧，

好这个人把这东西做成这样了之后，然后进行去画一下这个人图像。继续看哪个呀？好了啊。你没跟上吧，我我这迈了一步。我多来了一波。你看准一点，我把这个又因式分解了。好了，所以说我们来看看这个事情s这是零，然后这是f撇s。那这个时候这个部分是负一，然后这个部分是一，那么接下来我们去研究一下这个端点，

那你告诉我正无穷的数是多少？正无穷的时候，你老大那是正无穷。负无穷的数是多少？负无穷你老大那还是什么？正无穷。能听懂吧，因为趋向无穷大的时候，你是老大，我们看最大私密，那两个人都是正无穷。然后现在我们还要看看负一处。那这个f负一是多少呢？f负一这个人的话，这是三，

然后再加上四，然后再减去六。然后再加上一个12，再乘上负一就是减12，然后再减20。把这些东西一算呢。是这样子吧。好，这是这个一算负的31。那负的31的话，它是这样，它是一个负的。那从正无穷减下去，然后一路高歌猛进。走到正无穷，

所以最终有几个有两个零点选c。你可以看到这个，其实今天这套卷子啊啊，当然的话，这个因为模拟卷还是比较关键。所以说这个这两分钟不够做啊。你不要钻进去了，这两分钟绰绰有余。这绝对的绰绰有余，你去做一下去年的考研真题，你就知道了。你可别这样哦。这绝对绰绰有余，没有任何的问题。另外一件事情，

你在考试的时候，你一定要保证自己稍微平稳的一点的心态。你你不要做每个题都这样想啊，这怎么能有人那样，这有时间能做出来，那个人这没有去年的难。你去看一看去年的考研真题。那去年考完真题，里面当中有好几个难度系数非常的高。说实话，去年出出的稍微会比较狠很多。那我们继续吧，我们再看这个人。你再看我另外强调一个事情。你这个题啊，

因式分解的基础能力得具备。这太基础了。端点是那个？怎么求的正无穷。就这个意思，你看你去求这个极限。当s趋向于正无穷的时候，你求极限。那你这个人比这些人都大得多呀。所以说我重点看第一个人就行了。把正无穷不往这一带，这是正无穷。他说，正无穷，那我们走，

我们就是正无穷。当s趋向负无穷，也是无穷大无穷大的话，第一个人比后面大的多，你说的算。负无穷带进去四次，方是正无穷，那就是正无穷。听得懂吗？好这个人呢？要跟上其实看老大就行，这种题呢，考了好多。好，这个题目那么继续吧，

我们再来看看这个下一个问题，我们还是把这个去年这个真题讲一下。我再讲一下啊，这个这题有些同学听过啊，有同学可能没有听过。你求医嘱干嘛呢？你这后面都是单调递增啊，那你求呗，你求了之后的话，你随便，反正你单调递增我，我最后走，你老师说那老师万一小一点小一点怎么了？那还不是这样吗？哦，

大于零，那还不是这样吗？哦，等于零，那还不是这样，这有啥区别呢？这没有什么区别。啊，听得懂我的意思吗啊？你你自己画一画，你画一画，什么都出来了啊，好好来吧。我没有说不不求二阶，我一阶就出来，

我求二阶干嘛？一阶就出来了，我不用求二阶。你说个清楚吧啊。你可以求到二阶，你求二阶，你求呗。但我一阶出来了。你要求二级的话，你还要研究二级导数的这个单调性，再进去去研究一级导。好了，我们继续吧，我们再来看看这个下一个题，把这个题我们再讲一下。

因为这个题啊呃，很多同学在这个做的时候啊。也做的不是说特别好，你看这个题，你对标一下。那这里面我们先看看这个题目。在这里面当中给了一个函数。给它它有两个零点，那还是研究零点的问题，你就不用进行去想别的了，如果你不会想别的方法的话，你就直接刚他。那怎么办呢？赶紧来那首先第一步定义域是r第二件事情，求导求导前导是多少？

2 s- 3。乘上多少es，然后再加上x方减去3s，加上3 es，然后再减去x方，加上x。很多同学。他连这个导函数他都不想进行去求下去。这简直是没法在这种，因为我们三九六现在是统考，它统考肯定要有统考的感觉，这种运算量不叫运算量。你一定要迈过心里那杆秤，不要老是说哇，这么大的运算量还要考给我们。

我们不会考这么大的运算量，你千万不要有这种感觉哦，你一定要喜欢算，这都不算运算量，你稍微进行整理一下。你把这个es整理一下之后，你发现。这里面当中的这个x方留下来了。然后再减去个x。三和三约掉了，然后这个部分呢？是x方刚好是减s，你把这个es这个减一就是它。然后这个东西提出去就是s倍的s- 1。好一阶导数出来了吗？

出来了，那我们继续去找，没有不可导点，只有等于零的点，第一个人等于零的时候是零。第二人等于一的时候是零，所以说这个时候的x走负无穷到零零零到一一一到正无穷。没问题吧？好这个人，然后这个时候的话，你继续去看导函数，再看它，你发现这个人。这个人如果小于零的时候，你是比一小，

这是负的。你看这负的这负的b这个人的话，他的焦点是一你在一之前都是负的，所以三个负的是负的。然后零到一的时候超过零，这是正的，这是正的，然后这是负的，你说整体还是负的？然后第三个事情的话就是大于一大于一的话，这正的这正的这是正的，所以说这是正的，因此啊，减减。增对吧，

这是零这是零这不管我们这是个极小值。所以说现在这个人的单调区间出来了，没单调区间出来之后你就画个草图呗，来我们来画一下。fs这是零，然后这是s这是多少？呃，这是零，然后这是一。那么，接下来我们要干嘛？你想你从负无穷一直减到一。你负无穷，一直减到一，你不想看看负无穷吗？

所以说我们现在来看看，当x趋向负无穷。那趋向负无穷的极限是多少？大家来给我撇一下，有些人看的不够快啊，你看这个人。如果求负无穷的极限，这是x方减去3 x+3，你把它摆下去。摆下去，这个人是不是就是正无穷？上面是不是也是正五穷？摆下去了之后，你听清楚啊。如果趋向负无穷，

你摆下去，这个人不就是正无穷？能理解吗？那我指数函数的正无穷，比这个人大，所以说这个极限是零啊。这种趋向要会看，你要看的非常快。能听懂吧，这个极限是零，所以说最后的最大项是由谁说的？算由你说的算。那负无穷的时候的三次方是负无穷，添个负号呢？那这是正无穷这个。

好了没？这是这个事情啊。我们就讲到这。所以说这个人在负无穷的时候，他是这样啊，从正无穷开始走，然后一直减到零零，还要往下减。对吧，零还要往下减，那我就只用看一了，零就不用看了，你看一的时候你发现你一带的话，这是一一。然后这是多少呢？

这是一的时候，这是三分之一，这是二分之一，那就是六分之一，然后加阿尔法。然后再来看看正无穷limits，正无穷告诉我，正无穷由谁说的算？那这是正无穷，你这更是正无穷，肯定有你说的算呐。那所以说还是正无穷，同学们看得懂吗？大致瞅瞅正无穷，所以这个时候你要想一路减到这儿，

你要想有两个，你必须要保证这个点小于零。你小于零的时候，它就有两个，所以说这个人就立即出来了。那因此啊，这个人的话就是一加六分之一，加上阿尔法小于零就行，所以说这个是阿尔法这个人呢，应该是。小于负一减六分之一。或者是这个阿尔法加e啊，阿尔法加e小于负的六分之一选a。跟得上吗？好这种考题。

所以也没有想象那么难。你发现其实。我们考的一阶导，其实都还好，对到二阶导的话，这个。一般出题的这个几率不是特别高，这种题啊，两分钟内肯定是能做完。就这个题，两分钟内是绝对能做完。因为只要你敢倒塌一下。它就非常分明了。只要你敢捣他一下，这东西就出来了，

费时间，其实费在这儿。啊费时间费在这儿，其实这个题的极限呢我只是给你写了一下，你脑子稍微的转一转就出来了。我没开玩笑吧。你比如说你现在进行去看。你看这个人。我这个人怎么了？我在负无穷的时候，那负无穷的时候，你看你把这个人往下一坐一坐的话，这个人是正无穷，你正无穷比这人大的多，这人没了。

然后这是负无穷，那负无穷，加上一个负号正无穷，所以负无穷的是正无穷，正无穷的是你，正无穷，你正无穷，那你老大，你正无穷。能看到吗？好了，这是一个问题。所以啊，不要怂对吧？要敢去写敢去练，

那么见到这个东西，你去怼他，这是一种能力。而且这种能力是一种非常非常重要的能力，你见到这个东西，你敢要做，你不见到这个题，你不敢写这这个，这个非常麻烦。要赶出。你需要呃，我觉得还有一个月的时间可以进行去培养。如果到11月份的这个下旬，你还是这种题你不敢做。你不敢做的时候，

这这这就有点麻烦了。我们还有一个月的时间可以培养。如果到了11月份的下旬，这种东西你还是见题，你不敢写，你见到东西你不敢酸。不敢做跟做错是不一样的，不敢做比做错还恶劣。你如果我们还有这一个月时间，如果你这一个月的时间，你发现你还是不敢这样写，还是不敢继续去练？这这太麻烦了。你说他怎么我们上课就是这样总结的，我我给同学们稍微梳理一下心理的状态呀。

这个心理状态什么？就是你要知道我们在上节课。我是不是在下课之前给你讲过几个问题，我给你讲过这个大概率事件的问题。你要知道那些东西就是大概率事件。而且它的出题的点呢，我们在上课的时候就是这样讲的，比如说我们在平时训练说方程根和零点的问题，看定域求导找重点，不可导点划分区间段，然后再看端点哎。哎，我就是这样做的呀。那为什么上了考场当中见到这个题，你不敢这样做呢？

你想在上考场的时候进行去，怎么办？创新吗？那我平时的复习的意义在何处呢？对吧，那平时的复习的意义，那就没有意义了呀。就是我经常会碰到这些同学，那平时就是这样练的呀，你比如我见到极致的问题，我看这个什么找重点不可导点，我要不如果告诉一级导，我就判断两侧的正负性，如果二级导数，我用第二重分。

那平时就是这样练的呀，你考试的时候要干嘛？你要创新吗？对吧你，你哪有这个创新的时间，所以大家一定注意这个问题啊，就是你要敢去做。你平时这样练怼他呀，为什么叫推演法呢？就是这样的事情要敢做，一定要敢做。好不好？行吧，我们就说到这。呃，

这个呃，大部分同学都是从头到尾跟着我们学到这个今天同学。我希望大家这个最后一程呢，一定要保证好。所以还好，我们的课程都是直播课程。每当遇到问题，我上课会跟你讲，每当出现一些现象，我都会上课跟你说。你没发现这种意识的问题太重要了，有的时候有些同学在这个复习的时候心情的问题被别人影响的这种问题。对吧，我觉得这这些这些点你得克服好了，不多说，

我们再做一个题。来再来看看这个题，那这个题是什么呢？那这个题的话，它的方程对吧？哎，这个方程这个方程的话，它还是让我们去研究方程根。来告诉我怎么做，赶紧怼第一步，把函数给我设出来。这个题讲义上没有，然后这是五次方，然后再加上2 as三次方，你加上3 BS，

你加上4c。这个人出来之后赶紧进去去求导。你求一下，一求是五倍的s四次方，你加上6a倍的s次方，然后再加上3b好这个东西啊，求到这儿。求到这儿啊，你先要看看这个东西能不能出来？实在是不能出来了，你再进行往下求，不然的话，有些同学还要求导你，不信你想想你导到三阶。你不会因式分解也白答。

你还得再倒。所以就有点麻烦，那么这里面我们来看看题目当中是不是告诉了个3a方减5b？这个东西如果这样写。这又何尝不是一个一元二次方程呢？开口朝什么？开口朝上。s方的开口朝上，而且你来看看这个德尔塔。德尔塔等于b平方。减去4 AC。好了，所以说这个人是多少呢？这是36倍的a方。啊，

36倍的这个a方，然后再减去20，然后这是60倍的这个b。对吧，60倍的b。所以说这里面当中啊，你就把它提一下。这里面当中我看的是三，所以说我就提一个12。12刚好是a方减去5b。而这个东西什么零小于零。那这个东西小于零，你想想你以x方，你这个开口朝上德尔塔小于零，没有交点，

那是不是说明这个人永远大于零？马上出来了，永远大于零，永远大于零，那就说明什么？那就说明我们这里啊，这是三。那么，这个永远大于零，我们就出来了，我们就说明这个函数永远是单调递减的。不是没有零点。是这个，这是导函数的图像，你听得懂吧？

导函数图形。导函数图像永远是正的，那说明我这个人是单调递增啊，那单调递增的时候你只需要进行去研究什么？我从负无穷，走到正无穷，最后一步是干什么？还不会最后一步。看什么看端点呐，来给我瞅去向负无穷，看你五次方负无穷。看正无穷的时候，你发现看你那还是正无穷那走你呗。那这里面当中有什么有唯一的十根呐，正确答案选b。

套路吧，完全都是套路。所有的这个东西走来走去都是套路。你看这个题有多难呢？所以下去啊，你好好进行，把这个东西啊，想想那么接下来这个题啊，那这个题我强化的时候应该是把这个东西讲了，对吧？呃，明天有课，明天上午的时候会有一个那个解析课，然后明天晚上的时候我们还会有一节正课。能听懂吧啊。

呃，这个冲刺救命班的这个第一个阶段呢，我们基本上会在这个月底之前呢，会把它结束掉。对吧，就在这个月底，我们刚好还有半个月的时间，那么这个东西的一轮复习啊，完完全全是可以的。把这东西讲完了之后，剩下的11月份，我们所有的这个阶段的工作都是做模考。所有重点的东西都是在做模考。好了，我们再来看看这个题。

那这个题啊呃，我们休息会儿吧。可以吗？我们休息会儿，休息会儿了之后，然后的话我们嗯，你下课休息的时候，你可以把这个题再做做。好不好啊？好，我们稍微休息会儿吧，一会儿我们继续啊。

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