07.冲刺串讲7-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:00:35

行，那么接下来我们继续吧，我们来看看这个这道题做的怎么样？你看吧，就是一个无论它是一个多么繁杂的题。你看起来这个样子，无论他有多么麻烦。但是你要注意它的主体的部分东西啊，都是不会发生改变的。所以说去年的话，这个题啊呃，难度系数确实大，你像这个题呃，你在两三分钟内做完，我觉得压力非常大。

你做这个题的话，最起码而言应该给上自己啊啊，三到四分钟，四到五分钟这个样子。那么，接下来我们来看看这个题吧。你看做的有点难度，这个题你到时候我们进行去讲，这套套卷的时候我们再来讲这个问题来。来看看这个人。你要注意，你要进行求极值。你别管什么题。你说这个人是一个隐函数，你说这个人是一个分段函数。

是个显函数，是个非常复杂的函数，无论怎么样，别管你给了一个什么样函，函数你进行求极值。你的核心思路变不变都不变，你的核心思路的话，这个第一个点你永远都是干嘛？你要进行求导。对吧，你要求导，你要找两个人，一个是导数为零的点，一个事情是导数不存在的点。就不管怎么样，

你先要干这个事，这个题的定义域肯定是r，这没有任何问题，所以说你要进行求导，找到注点和不可导点。能听懂吧，你先看定义域，当然没问题啊，这是我们的意识嘛，你先看定义域，然后进行求导，找重点和不可导点，定义域是r啊。你上面可以比下面大，你上面比下面小部位零的时候等于零的时候零。

所以说我们现在要进行求导，那这个题的话，第一件事你看第一个问题。那如果是分段点y。我们就直接求。那分段点y直接求的话，你就直接上那把这个人移进去，就是根号s方，然后这是多少？这是二减去。这是lone多少呢l one x方？那然后上限还要再求导，这是2s。你看写成这样，那么写成这样了之后，

你还得是不是稍微可以进行去整理整理呀？你这个东西的话，一整理的话，这个是二倍的，这个x你这是s绝对值。然后这个部分你切记一个事情，就是这是有些东西做的不好的点。你ln x方你抽出去应该是二倍的ln x绝对值吧？所以说这个时候你把这个人写成二倍的loins，绝对值，然后再把整体的二抽出去，那这就是四，然后。然后这是多少一减去lns绝对值？跟得上吗？

所以说这个人呢，我们就立即求出这个人了，好，这是不为零，然后第二件事情我们再来看，当s=0。等于零的时候，你还得用导数第1 if撇0 if撇零的话，是limits趋向零。然后是fs 0到s方根号下这个t，然后这是二减去多少lnt，这是dt，这不算坑。这不叫坑比上s- 0，那这个题是个零比零型未定式，

肯定洛必达呀，一落的话当s趋向零。你要稍微注意。你看你计算的时候，你这个人求导，你就不要再算了，你这个人求导不就是上面吗？你下面求导是一，所以说其实就是这样的一个结果。然后这是多少一减去lns绝对值这个人。所以一下就写成这样，你写成这样，这个极限怎么走呢？你这又是一个问题，你这极限等于几啊？

其实这个极限你就可以分成两个人。当s趋向零的时候，这是4s倍的s绝对值减去4s倍的lns绝对值，这后面还有一个绝对值。那么，首先我们先看看这个人，那这个人极限很简单，这是零啊。然后后面这个极限呢，你要注意后面这个人还考了这个知识点。当x趋向零的时候，x倍的ln x绝对值值的极限是几啊？这个极限是不是也是零啊？你还记得吗？考了这个知识点。

啊，这个东西你要注意，这个部分是零，这是无穷大零乘无穷大经典的这个。极限题，这是非常经典的一个极限题啊，它证明方法就是把s放下去，洛必达就出来了，所以这是零，你后面也是零，所以这个整体是零。因此这个值呢？它就是零。那既然是零的话，那这个人导函数就出来了，

好，我多写一句吧，因为这样的话你能看得更清楚一点，那上面这个是4s倍的s绝对值。然后这是一减去lns绝对值，然后这是s不为零，然后s等于零的话是这个零，那么现在我们干嘛呢？我们要进行找注点和不可导点。那很明显啊，当s不为零的时候，这个人处处有定义，处处有定义。没有不可导的。所以只能找注点，

你找注点的话，我们先拎，你先拎上面，这个人等于零，你上面这个人等于零的话，这是这个人。是一减去lns绝对值，它这人等于零。你这个人等于零的话，这些人s是不为零，你肯定不能等于零，那其实就是这个人等于几他等于一。你等于一的话，那这个人是不是等于正负一啊？所以说这个时候写出了is等于正负一。

好了，正负一的时候都满足它等于零。然后还有一个人呢，还有一个人是零。所以说这个时候我们就应该是解出了三个注点，那三个注点，然后怎么办？你在你的大脑里面进行去看看，这个人正负性，你再求导就非常恶心了。你不要跟我说，我再要进行求二阶导数，我带进去疯了吧？我才不想求了，你再求一下，

你发现一个事情，我我感觉我就不想做了。我觉得现在而言还是非常顺畅的一个思路，你要再这样让我再求一下，我当场就疯了，我肯定不会做了，所以你要注意你的思维方式。然后这个时候这是fx那走，那就是负无穷到多少负一，然后这是负一，然后这是负一到零。然后这是零，然后这是零到一，然后这是ee到正无穷。那么，

接下来我们来看看这个问题，你说那么先看看这个比负一小比负一小，你要想清楚。其实这个函数啊，你只用判一半就行，为什么？因为这是偶函数。对吧，这是偶函数，然后这个人加个负号呢，加个负号，这是个奇函数啊，所以我们现在看吧，你现在发现小于负一的时候，这是正的。

这是负的。然后这个人的话，其实就是比一大比一大的话，这块比一大，你其实这是负的，你说最后而言正的，你不用看奇偶性啊。然后我们再来看第二事情，如果是负一到零呢，这是负的，这是正的，然后这个部分的话，它就比一小，那这是正的，所以总体来言是负的。

然后零到一呢，这是正的，这是正的，然后这个时候呢，这是正的，所以它是正的。然后再看e到正无穷呢，正的正的，然后这个时候比e大，那这是负的，所以这是负的，因此这是零这是零这是零。然后这是增这是减增减，因此你发现极大极小极大，所以说这个题啊，

最后而言有几个？总共有三个机制点好，这题就出来了。那正确答案选几选d啊？像这种题啊，一定要稍微的稳一点，你就算就行了，你要喜欢算其实现在而言的话，我们考研考的这个问题啊，它非常明显。他在这个考研当中的话，有些题的这个计算量说实话不是特别小。啊，不是说特别小，而且这个题啊，

也不是去年最狠的题。这种题都是常规题，你发现没？它只不过是把这个东西变得复杂了一点点。但是它的内核没有变，你们觉得吗？它内核变了吗？没有变呐。第一步还不是进行去看定义域吗？是吧，第一步还不是看地域吗？那第二步干嘛呢？什么情况？零存在啊。零是存在的呀。

别闹别闹，所以它的内核是不变的，我还是要进行求导啊，我要找注点呐，我要找不可导点呐。然后我要进行去判断正负性的，所以它的内核没有发生改变，只不过是什么呢？有些东西的运算量加大。所以去年的话，这个这张考试试卷呢，难度系数是比较高的。有些东西可能一做啊，错了六七个，错了七八个啊，

心态有点爆炸。确实，去年考的比较狠，我觉得错的这么多啊呃，有些部分同学的话，我觉得也是情有可原的，你把这些东西好好梳理梳理啊。行吧，那么接下来我们这个问题啊，我们就讲到这儿，不要再说李。零是有意义的呀。零不是无定义点，你怎么连无定义点都不会判断呢？零是有定义的呀，

零带在这里面的上下线相等也是零啊。而且人家说不为零零零初不是等于零零初是有定义的呀。好了，这是这个问题吧，我们就讲到这。你你不要再说鸡五年了。七五年有啥意思啊？你现在考这个数一数二数三几五年都不明显了，年年考的都不是说特别简单。啊，不要在七五年，你要谈七五年，人家都说偶数年难。以前是逢偶必难，逢机必简单，

那我们这是奇数年呐，你怎么意思啊？你说今年的话比这个还爆炸。应该不太会了。这样一套卷子出的已经够狠了。所以说我觉得这个今年的话，这个难度系数会稍微的会控制一点，但是这也是一种趋势。那为什么呢？因为我们经济学线毕竟高。毕竟这这么高，你要是再像那个，毕竟现在是统考嘛，不像原来的话，这个单独的考试统考肯定又有点统考的这种样子。

你要再像这个二一年之前一样的考试，有些同学这个备考还是按照那种情况进行备考，你很明显你要在这个现在这种考勤情况下，你要被淘淘汰掉了。你要是按照这个。呃，一四年一五年一六年之前的这种三九六的话，这个这个情况的话，你要进行去复习啊。我觉得你你要在现在这种考试当中，你肯定是适应不了的。你这就不是一个段位的，而且另外一个点呢？呃，如果的话，

这个再像以前一样，你发现最后的话，这个卷子考的都非常简单，人人都那么高的高分。那我就觉得这个考试啊，意义其实就不大了。好了，这个问题啊，我们就讲到这跟得上吗？嗯，但是我讲吧，肯定是一些难题，不是都难。不是东南去年的考勤情况，它是这样。

难能难到死，简单也能简单到死，你听懂啊，就是两极分化题特别明显。就去年的题，这比如说是中中间线。中间线是这样，去年的题是两级分化特别明显，你要注意啊，有简单的有简单的让你觉得这个这个题怎么可能会直接进行出题呢？有贼简单的，你看你像这种低级分。这有啊，有些贼简单的，你像这种题。

对吧，你再像这种题，你总会做吧，有简单的，你怎么办？你看这题这题不到一分钟就出来了。他让你去求这个人导函数，那就导呗，先对中间变量求导，中间有简单的，还有这个题。这题多简单啊。有简单的啊，还有第一个题，你发现那去它的难难到渣简简单的很，

就是这比如说。简单好，比如说先处的这种呃，就是极其舒服，飘飘然呐。咔的一下就下来了。然后难受的要疯哎，怎么又简单了，让我飘飘然呐。然后又来了啊，难受的要死，又飘飘然的。你注意还没结束啊，没有结束，然后继续难受的要死。

飘飘然呐。这样的一个呃，这样的一个情况，在去年的这个真题当中，这个思路啊，能有六到七次，你说这是人能干出来的事儿吗？所以说这这这样的来一两下就就可以了吧，你这是来这么多下，你想干嘛呢是吧？好简单啊，这个咔的一下贼难。又好简单，咔下贼难有六七四啊，这种情况。

你说来一两下就行了，对吧？来这么多下啊？好，不多说了，我们继续再来看看下一个问题。再来看看这个64题，这个题。看这个题目吧，你要注意啊，难都难。不是你难或者怎么样难都难，人难我难，我不畏难，人亦我亦我不大也，

你要做好这种准备，你都不会做，那肯定很多人都做不动啊。你就要复习到这种水平。你不要再说这个难，怎么样简单怎么样，你好好复习对吧？而且的话，这种考试的这种心态啊，你也要把它做到位。来那么接下来我们看看这个64题，这个题你继续吧，再看这个题。那这个题啊，他说了一个事情，

他说这个函数在零的某邻域内连续啊，这邻域算了，我不去。不改了，淋浴。淋浴淋浴包不包括这个点呢？领域是包括的。你请注意，淋浴是包括的，包括这个点。那么，接下来我们再来看看下一个问题，那然后说f0是零哦，这个点处等于零。然后让我们进行说这个极限等于啊，

这这这很像有去年那个样子，当s趋向零的时候，这是fs。你下面等降不小二分之s方。你把这个二分之一乘过去，你二分之一乘过去，这是一。那么，然后接下来他说这个函数在零处怎么样？你像这种题，你都不用去想。你这个题出现了极限，赶紧保护性，这就是我的水平呐，我管你三七二十一呢，

我来保一下，我一保的话，我马上就知道。哦，原来我在这个去新领域内。就在这两个范围内，就是这个fs怎么办？我比上s方都大于零，而s方又大于零，那你是说我这个人大于零？哦，原来如此。你在这个什么你左半边大于零，你右半边大于零，两半边都大于零，

那这个人怎么办？两半边是大于零，你这个点是等于零，你是最小的极小值。是把题选出来。好了，这样的话，你发现你很快的话，就把这个题做了。能想清楚吧，所以说这就是我们的速度，就是你做题的时候，你不用去想别的，你先把这题给我干出来。好了没？

那如果这个题你你想看看这个a选项和b选项，那a选项和b选项也很简单呀。然后我们来看看这个事儿，当x趋向零的时候，这是x方，这是fs 1比11，这怎么那么像去年考研真题的第二个题呢？那么看，但是我们这个水平点要更高一点，它在零处连续吧好走分母的极限是零分子的极限。一定是零，又因为连续极限等于函数值f0是零。那f0是零，然后让我们进去求零处的导函，数零处的导函数就可以写fs-f零不写了，

闭上它。那你想两个无穷小做比是一俩人是等价的，你这个人是个二阶无穷小，你这是一阶高比低是零啊。是不是出来了？你或者如果你这个速度你跟不上的话，你发现你就慢慢进行，凑你凑的话，但是速度慢呢，你比上x方再乘一个。你这是零对吧？你这这是一这是零一乘上零那这人是零啊？你说这个人他也不对呀。对吧，你这个人也不对呀。

好了，这是这个事情，我们就讲到这儿，你取极值的这个问题，你看了极限，想保护性呗，你这个点当然这样做。当然，像这种题，其实我们有更快的思路。你这样做，其实速度都很慢。你怎么进行操作呢？你这个题的已知条件告诉什么？已知条件不就告诉了我们这两东西之比是一吗？

而且还告诉了连续嘛，你随便举一下呗，你举多少你举狠一点，你就直接举平方。你直接举平方的话，你发现连不连续连续零处是不是零是零，然后这一笔是不是一是一？没问题啊，你看我都做到了，你都做到了之后的话，你看它在零处可不可导？那肯定可导，你在零处的导函数等于几零，你不对吧？然后这个东西是平方的话，

你发现它是一个这样的一个图形，你在这个点处指什么值极小值，你极大值胡扯，对吧？不许胡扯答案选d。我通过这个举例子，把别人都排除了，我只有一个d，那肯定是d对呀，立即出来了。所以像这样的一个操作性呢，你得把它想清楚。那么，如何进行处理的这个事情64题？能想清楚吗？

好，这题我们讲到这。跟得上吗？好说到这。那么，这是我们讲的这个这个考题来继续吧，我们再来看看下一个问题拐点的问题。我们再来看看下面考点拐点，那么接下来我们就来带着同学们把拐点的知识点呢梳理一下。其实你发现哦。呃，我们只说了一下，我们的大概率事件，但是我们在复习的时候还是要做到位，你要听清楚啊。

捋几个点，比如说。求导数，我们很喜欢考一阶导数。顶多到二级导数，三级导数不可能。所以说高阶导数如果考都是一些有规律的。然后在这里面当中考，比如说顶多喜欢考凹凸性，喜欢考单调性，喜欢考极值，但是拐点考的少。你没发现这种规律吗？这拐点考的很少，但是你你不能不复习啊，

你该做到位的东西你还是做到位，那么接下来我们来看看这个拐点的问题。拐点怎么学呢？拐点要模仿着我们的极值进行学，那拐点我们应进行学什么东西呢？那刚才学什么东西？我们现在要同理进行学什么东西？好，我们先看看第一个事情，我们要进行学什么？我们要学拐点的定义。好，这第一个问题，那然后接下来我们再看第20题，我们要进行曲拐点的可疑点有哪些点容易进行曲拐点？

我们要进行学第三个事情，如果找到了可疑点，我们要判定有第一充分条件。的判定，然后这里面当中还有第二充分条件的判定。那这就是我们在目前而言，我们学习拐点，我们重点学的第三充分点就是算了，那复习到这就差不多了，好了，我们的核心重点就是要把握住这几个事情。我们先来一个一个看，我们先看第一个人，我们先看第一。啊，

一个一个来。把这个梳理清楚，就在这一页。那什么叫拐点呢？拐点说的是曲线上凹凸性发生改变的点。啊曲线上那个凹凸性发生改变的点。你比如说我们现在画的是fs的图像。然后这个图像你看。这是什么？在这个点之前是凸的吧？然后在这个点之后就变成了although。你看这个点，这个点就是个拐点。你在前面是凸的，后面是凹的，

那这个点就是个拐点，拐点要写坐标，必须写x0y0这件事情对我们三九六同学不是一个事儿。为什么不用进行担心这个事情，因为选择题它说是一个坐标，就是坐标，它说什么就什么呢啊。好，这个问题，然后第二个事情能取拐点的人呢？只有两个人。两种点可以，要不然是二级导数为零的点，要不然是二级导数不存在的点。只有这两种点有资格。

所以就像刚才一样进行学。然后接下来我们再看第一充分条件，第一充分条件看什么？第一，充分条件看，这个说如果这个函数在这个点处连续啊，明天发哦。卷子明天发啊，明天下午吧，因为要排个版啊。明天排完了之后的话，我们先叫一下嗯，杜绝里面当中啊，有些这个错误，然后我们是周日考，

你应该是明天的话那个。你确保一下吧，你然后的话，明天晚上再去下载就行了，你也不用催这个事儿，我们周日上午考。能理解吧，好了，那么接下来我们继续，我们来看看这个人。好，先看第一个事情。那么，在这里面当中啊，这个问题那第一充分条件，

它的要求说，如果这个函数在这个点处啊，是连续的。这个函数在这个点处是连续的，然后又说了二阶导数在这个点。区域性领域两侧以后。你看去心领域两侧一号。啊，去腥领域。那去心邻域，两侧异号，你发现如果左边是正，右边是负。如果是左边负右边正取不取取，这就是个拐点。

左边正，右边正，左边负，右边负不取。b部取。跟得上吧，好，这就是这个问题。那你想一个事情，你琢磨一下。这里面当中牵扯了趋向过程当中的去新领域。你想想牵扯了去心领域，它就有可能会牵扯到极限的问题。所以如果在题目当中看到极限，立即向饱和性，

不要跟我墨迹。你看到这个极限，赶紧保好心，我先想了。我先想保护型，然后看这个人征服型。能琢磨清楚吧，如果第二充分条件呢，他说的是如果在这个点处的二阶导数等于零。如果在这个点处的三阶导数不为零，然后这个人呢？我在这个点处就取得拐点。你看这个人二阶导数等于零三阶导数不为零，我一定会取拐点。能想清楚吧。

所以说，对于拐点的问题啊，就这样，就这几个信息，哪些人容易取呢？二级导数为零的点和二级导数不存在的点。我判定呢，我可以找曲线上凹凸性发生改变的点，一般不会考它。那重点而言，还是要判断二阶导数。在这个点，两侧的正负性变化不要看那个点，看这个点的两侧。然后要不然是二级导数为零，

三级导数不为零。能想清楚吧，好，我们来看看题，所以说你见什么东西，你要想什么东西好，我们先看第一个问题。那这个题当中啊，他说了一个事情，他说我给的是几阶导数的图像啊，我们给的是二阶导数图像。那既然给的是一个二级导数图像，你想想。如果这里面当中给的是二阶导数图像的话，我会选什么方法进行去判断拐点，

我会想。第一，充分条件。第一，充分条件就是看二阶导数在哪个点，两侧正负性发生改变。那个点的两侧。不要看那个点。能理解吧，你先找二阶导数为零的点可疑点，二阶导数不存在点可疑点，二阶导数为零的点可疑点。而这个点两侧没有变化，而这个点左边是正右边负变化了，这边是负这边是正变化了，

所以说这个人变化的有几个人呢？变化的有两个人。因此，这个人正确答案选几你选c。能想清楚吧，把这个问题啊，梳理清楚，你再看到这个时候，你又要速战速决好了，这是这个事情，过去了可以吗？来那么接下来我们再来看看这个题，66题这个题。呃，这个题啊，

可能会稍微的会难一点点啊，我们先来看看吧。它说这个函数连续。祈祷函数祈祷函数是几阶导数啊？谁啊？齐是谁指代的？是他吧？所以说这个人指的是一级老鼠。那这是个一级导数，然后让我们进行去判断什么一级导数，它让我们去判断这个极值。一切导数让我们进行去判断这个拐点。那么，接下来我们来看看一级导数。判断这个极值的话，

一阶导数判断极值怎么判断呢？一一接导数判断极值选d级充分条件。选第一，充分条件，脑子里面有货啊。看截值一阶导数，一阶导数在哪个点的两侧正负性发生改变？一阶导数为零的点，可以一阶导数不存在点可以为零的点可以等于零的点可以，这都可以。然后看第一个点，第一个点左边正右边负变了，第二个人左边负右边负不变，第三个左边负右边正变了，这是左边正右边正不变。

你就看看一阶导数在哪个点两侧正负心发生改变。你就要看这个点两侧的正负性发生改变。变了就是不变，就不是能想清楚吧。然后现在比较难的，所以说这个三个它都不对。比较难的其实是下面这个人。比较难的其实是拐点。拐点这个东西啊，难度系数稍微大。如果你是一个拐点问题，那拐点怎么判断呢？大家想想拐点，我们最少都得用二级导数判定吧。但是你给的是一阶导数啊，

没有关系，非常的简单。你看二阶导数在这个点。两侧的正负性发生改变。不就是一阶导数在这两侧呢，你是正我是增，你是减，我是这个是负，我是减，你是负，我是减，你是正，我是增。所以说你的正负性发生改变的点，其实就是我单调性发生改变的点，

哪些点呢？你看这个点改变了。这个是增加减改变了，只是减这是增改变了，所以说有三个点的这个什么单调性发生改变，其实就是有三个点左右的正负性发生改变。那就有三个人呐，正确答案选几啊，有三个拐点答案选b。能想清楚吧，把这个基本问题啊，把它梳理清楚，然后再来看看这个67题，这个题你看这个题。而且你没发现个事儿，

这个年年考试题里面有绝对值啊。你没观察到位吗？就是无论到了哪个部分的话，它一定里面当中有绝对值。你想想很多同学，他特别讨厌绝对值，但是你会发现考研就贼爱考绝对值。你这这这要想清楚这个事儿啊。这你越不喜欢的东西，他越喜欢出，他就知道你的痛点。你看这些人哦，就是他他知道嗯，你不喜欢我得看看你这个同学的come。打击能力，

我得看看你这个同学怎么了？在应对一个你自己不喜欢的东西的时候，你表现出来这种魄力。他也是很想考这个事情。那么像考毕竟是这个呃，选拔性考试，你们将来要进行去读研究生，要要进行做科研的，对吧？那有很多部分的一些呃，有些你不喜欢的东西，那然后的话，你在这里面当中怎么去做，对吧？呃，

最近段时间我其实觉得这个事儿也是很重要，不要每天的话都去想，做了一套模拟题，哎呀，不行了不行了，你看有同学弃考了。你看一气考，你又少了一个对手。所以说这个这个阶段我们还是在提高的。你一定要把那些东西把它克服过去，你说我不喜欢，算我在最近段时时间，我必须要喜欢，算我见到这个东西，我就喜欢算。

那么，另外一件事情我做了套模拟卷，虽然做的不好，但是我把它改正过来了。那么不像有些人这个这个稍微来一点点啊，有点扛不住了。所以你一定要想清楚这个事儿哦。那么，接下来我们就继续，我们再来看看67题啊，就跟我前两天我跟你说的那个数据一样。呃，我上次给你看过这个吧？你看，这是官方数据啊。

你看这个去年。其实也不是疫情的影响，我上次给你看过呀，你看这个。是吧，能弃考那么多。好，那么接下来我们看看这个67题，这个题。其实每年都有一批。你别看这个。400多万人。400多万人，里面有些的话，也就是有有这种还挺多呢，

就去报个名。试一下，你现在这么简单状态下，你那试一下，你根本就试试，也跟没有试是一样的。然后还有这个每年的话，考到最后的话，有同学又没有上考场的。那都还挺多，所以好好加油。好了，那么接下来我们继续，我们看看这个67题这个题。来做一下这个。

那这个题怎么做？你想想让我们去判断零。然后是不是极致是不拐点？哎，我看了一下这个函数。这个函数图像好画吗？啊图豪华嘛。土豪华。你注意这两年的趋势啊。很喜欢考定义。他非常喜欢考定义。就包括那个无条件机制当中那个b方减AC那个事情。你看去年的时候已经考到什么，我们都知道，如果这个人是驻点b方减AC小于零，

取大于零，不取等于零，未知等。等于零就尴尬了。是吧，等于零就尴尬了。所以说这个。那去年已经考到这个等于零，那等于零怎么办？你等于零只能用定义法。所以现在这个人图像好画，我们就稍微的看看。你看一下这个人。你或者怎么办呢？我教你怎么进行去盯啊？

你看这个函数是这样。这是s绝对值，然后这是一减s绝对值，你听一下。你告诉我。当x=0的时候。它是不是0 s=0是零啊？然后在x0的附近。趋向零，趋向零就是部位零。趋向零其实就是这个零的去心领域。这附近那这附近是什么情况？你这附近的话，这人是真的。而这个人零的附近这个人接近于一是正的，

所以说附近的时候都是正的。你看这个点是不是最小？所以说它就是个极小值。这种进行去判断极值的方法，你必须要会。我去求一下这个点处的值，我去看看附近处的值的正负性。然后用它来进行判断机制，这是我们这两年考研的热点呐。我们很喜欢考定义，我们喜欢考凹凸性的定义，我们喜欢考极致的定义，我们喜欢考不定积分的定义，我们喜欢考定积分的定义。然后到了后面，

我们还喜欢考什么？我们还喜欢考多元极值的这个定义，我们喜欢考偏导数的定义，你发现这是我们出题的风格。这跟数一数二数三同学的出题的风格是窘然不同的。我们就喜欢考定义，你像这种定义性的概念性东西啊，你必须要梳理清楚，有同学就想哇，定义概念，这简直是我的痛点。你要琢磨清楚，有些定义它未必就是那种纯文字的题。你要是真把数学考这个名词解释，我估计这个分数线又能高一截儿啊。

但实际上不是啊。图好画，我们来看看。那先画谁呢？绝对值的图形都是先画这个人。那这个人的话，这个人是一。所以说这个时候它其实就是一个倒扣的抛物线。那倒扣的抛物线，你加上绝对值呢，你加上绝对值啊，之后这个东西得往上翻。好，这是往上翻。所以说这个时候我们来看看这个点，

那这个点的左边呢，你看比左边小，比右边小，这是个极什么值？极小值。然后左边是凹，右边是凸，这个人是个拐点，因此既是极值点，也是拐点选c。嗯，你们注意啊，我刚才说的那几个事情，你下去好好想想。极值的定义。

拐点的定义，导数的定义啊，极限的定义，其实考的稍微的少一点，你看从导数的定义，微分的定义。极致的定义，拐点的定义，然后是不定积分的定义，定积分的定义，然后是多元函数的偏导数的定义。是吧，然后到了这个可危的定义。然后紧接着是我们的这个多元函数机制定义，你不要小看这件事情，

我跟你说的这些话，你要听进去。所以我觉得这个有些的话，你不进去去研磨，我们三九六同学的这个真题啊，有的时候你你发现这种感觉，其实你出不来。所以说如果你没有这种感觉，你就听你听我上课讲，所以你去看看，哪怕是去年考的这么变态的这套试卷。对吧，这样这套试卷，所以里面当中它考了很多这种，你想想看。

理解起来这个题其实还好。对吧，导数定义每年必考。对吧，还有不定积分的定义，每年必考定积分的定义，很喜欢考这些事情，所以我觉得。哎呀，三九六同学，我们其实我们出的题啊，你一定要下去把这些点不行，我忍不住啊，我把这个。我给你敲起。

我给你梳理一下。你看看吧，这破35个题，大概率事件都是这样。那么，从第一个事情，你看肯定有函数极限计算移到。啊移到，然后是无穷小比级。以及或者找等价的问题。等价已到，然后紧接着你再来看你下面一个问题，哪怕我们上课说我们说这个要学会学一些这个什么？这个定义性的内容，我把这个冷门性的东西我们写到这儿。

函数极限定义数列极限的定义。说我们上课进行去讲这个定义和性质啊，其实你发现它是冷门的，它不要函数极限计算。对吧，无穷小比借无穷小整等价，你去看看每年基本上有道题。然后紧接着我们再来看你下面，然后走到下面，连续于间断不行，它也是个冷门，它不是说年年必考。但是有的时候会考，我们把它加过来连续。与尖端点的求解，

你告诉我，如果你做了这么多的真题，嗯，有可能有些同学没有做，你猜一下吧。你觉得连续重要还是间断重要？连续重要，我们考很多情况下，喜欢考连续，所以你你看看这个风格，但是不能说间断不重要，间断也重要好了，第四个事情不用去想导数定义。重点内容，然后接下来微分定义一定重点微分定义，

我上次讲了包装。对吧，线性主播还有几何意？这三个问题的考点，这三个考点拿下来，它就没有问题了，两分到手，怒拿两分。然后紧接着切线方程。法线方程，这是必考，不用去想，必考100%一定会出一道这样的题，然后接下来是求导数。求导数的当中的复合函数，

隐函数，还有这个分段，这三个人是老大。这三个人分段函数都不未必说是必考，但是的话，你其实你发现这两年的出题啊，很喜欢出，我未必说直接进行出这个分段函数求导，我可以出道别的题，你就像刚才出了个极致的题。所以这三个人是老大复合函数一般有道隐函数一般有道，然后这个参数方程都是弱化的考点。你们能理解我在讲什么吗？我这上面没有写的东西，不是说不考。

我再给你讲大概率事件，你能听得懂吧？你要想清楚，然后继续往下升。然后是单调性与凹凸性。哎呀，无论是这个定义还是这个理解，这是重点内容，你看去年考了两道。然后紧接着是极值单调区间的问题，凹凸区间的问题，你看这个人。重点内容啊，有的时候会来一道，然后第十个点方程根啊。

方程根。根。零点问题一般来看。然后紧接着我们再来到第11个继续往下顺，然后是不定积分的定义，一般来一个，然后是12。是不定积分。有的时候经常的话，其实你发现喜欢考定积分计算性的问题，然后是第13个点。13个点，然后是定积分定义，其实从去年已经是一个预告点了，它应该是一个热点内容即将要开始了。

然后这个定积分计算，有的时候的话，你发现这个定积分计算不光出一道，有的会出两道。还有一个事情，定积分的性质。喜欢考什么性质？喜欢考两个。一个事情是考数，一个事情是考比较，你看这两个人，然后第15个点，你继续看，你看是不是啊？这这你自己都能想清楚，

他这个大概率事件，我这个感觉，我把这个您不能发出去啊，也就是看到这个出题的风格都知道怎么出了。你这个研磨好久的话，你才能把握住这个东西啊，然后继续我们再来看你，再往下走，其实就是求面积有一道。对吧，然后是求旋转体体积。体系。这是b处的啊，求面积，求旋转，

体体积，这个东西是b处的。那有可能二者选其一处。然后紧接着才会有弧长的问题，表面积的问题，这都是侧重点。表面积的问题，然后紧接着是17点。然后再接下来，你看16个题，你自己想想16个题，16个题刚刚好考到我们的一元函数积分学结束，然后五道多元函数微分学的题。这就是个非常漂亮的一个三九六的试卷呀。我们的21个高等数学题。

对吧，21个高等数学题，刚好16个题得到这个一元函数v呃，这个什么积分学的解说？然后紧接着多元微分学，那多元微分学一个事情是偏导数的计算，这个必考。一般会出两道。那一个是复合来的。然后是。二元隐函数，偏导数计算。来一段，然后再来看看19题。啊，

你再来看，然后紧接着。后面还有几个题，有的时候会出两个，你没发现偏导数的定义出题人非常大方。我们的出题人很大方。它有的时候在偏导数的定义，还有最后一个是可微信的。就是连续可导可微的那种问题，当中他会出一道他很他很喜欢考，就是这个点他出两道，比如说。我偏导数的定义，我出一个。然后到了后面我再出一个，

我们出一个什么连不连续啊呃，偏导数等于多少呀，然后这个时候比如说偏导数x，偏导数是1y的，偏导数是三呐。那这时候它的权威分是不是一倍的ds+3倍的dy啊？哎，这个情况那还要看看可不可为？是不是这个问题，然后紧接着是到了这个21点？虽然我们在强化复习的时候，我们说你要把这个什么拉格朗日乘数法，还有这个什么呢？这个呃，还有这个B区域的这个最值的问题也要看看，

但是其实你发现你去看看我们的考纲，考纲明确。说的是二元函数的极值，所以说无条件极值的问题。那就是b方减AC判别法。啊，那第一个事情直接做做的问题，还有一个事情如果失效了，用定义怎么做？你看就这个问题，所以21个高等数学题就在这儿。这其实就是我们每年的话，这个高等数学难的点，你看在这儿好，我们继续吧，

来把它说完，然后22题。那紧接着你看有几个热点，一个事情是行列式的计算。这个行列式的计算呢，它有可能会有性质的问题，它还有这个什么展开的问题就说，比如说我给了两个行列式，我说它相等，比如说去年的考题。说这两个行列式相等，那这个时候里面当中有未知参数xy，我就会得到一个等式，我说有多少种这种xy好这个情况？然后接下来我们再来看下面的事情，

还有代数余子式的线性和没发现，这是重点吗？然后紧接着我们再来看下一个问题，那么所以说这个性质我们就放在这，然后你注意还有一个矩阵的运算。这一般会有个题，比如说有的时候我们考一个什么伴随矩阵的逆矩阵等于多少？如果说什么什么的行列式，它等于多少对吧？那就就比如说a的行列式，再乘上一个伴随，再加个行列式就是矩阵的运算，它会考一个。然后紧接着25个点算了，我把这个东西你得放在这里啊，

你比如说有腻啦，还有这个伴随啦，对吧？还有这个什么？嗯，还有这个性质啦。一般会来到，然后紧接着你自己猜还有什么，还有就是初等矩阵。初等变换，一般会来到吧，比如说我乘一个证人怎么进行去变换，然后紧接着到了26题。呃，这是我们在这里面当中，

这是几个了？这是四个了，然后我们再看矩阵的，这里一般不会单独出。矩阵的制一般很难单独出。一般矩阵的制度怎么办？你看线性相关性。一般有一道法，然后紧接着是方程组。解的判定。判定会有的。那么，这个线性，相关性还有一个是线性表出的问题，会来一个，

其实这个线性表出的问题，其实跟这个方程组解的这个判定有关。对吧，就是方程组呃，我们把这个敲一下，它有可能考解的判定它有考基础解析的个数。解析中向量的个数对吧？或者是怎么办呃？含参数的问题。那么像这个点。所以你看你数一下，这是几个了，这是六个了，那还有一个题呢？你看去年的话，

它有可能考的是矩阵方程，那也是方程组，我们就说了，那还有一个点。还有一点，其实捋不清楚，因为它这个点可以打很多，比如说我举个例子，比如说同解的问题。对吧，铜解的问题当然也可以，考质的问题。对吧，他在这里面当中还可以考极大无关组的问题，就是这这几个点，

所以说这个这个题的话说不清楚，他怎么出都行啊，他有可能。它就出到这，然后前面比如行列式，再多出一个都行，你能理解我的意思吗？对吧？还有等价的问题。你就这个点好了，所以说这是我们中间的部分的线性代数，你看线性代数一般考的七个题诶，怎么敲不出来了呢？好了，这七个题。

所以说这样的话，你数过去，这就是我们的线性代数的中间部分。然后紧接着我们再来看看29题。那我们看概率论，我看你怎么样了？一般是概率公式的应用。一般会遇到。古典概型待定。所以我把它敲到上面去，古典概型。概型直接使用的问题，古典概型的问题。好，这个有可能会遇到，

有可能只有一个概率公式，所以说有的时候是两道，有的时候一道，你能理解吧，然后到了下面，比如说。连续性随机变量概率密度函数。分布函数这必考啊，不用去想，然后可以给你一个什么给一个分布函数去求一个点，那积分呗，或者给一个概率密度函数用一个什么归一性呗。对吧，考这种问题，它一定会考啊，

有的时候还会考一个给你一个这个分布函数，说它是不是，然后接下来常见分布。常见分布。这个很大方，一般是一到两道。很大方，非常大方啊，然后32点是二维离散分布，一般会有。然后是33点，那就是我们的期望，一道和方差，一道期望考一道，然后是34方差考一道。

然后还有一个题呢，待定。这个东西啊，他就说不清楚了，他有可能会考什么呢？呃，比如说我们从这个你前面讲，比如说我们可以考一个这个。呃，但是这两年因为随机变量的函数分布没有怎么考？你要你要想清楚啊，就说我知道这个人是连续性随机变量，我知道他的函数，他的分布一般没怎么考。这个东西一般不会考，

就函数分布这几年都没有怎么进行考过？二维连续那有点儿扯了啊，二维连续你会吗？你会二重积分吗？没有那么扯的，你只有你做的那些习题那么扯啊，剩下的考试没那么扯。比如有些有的同学看了一些那个题目里面当中还有无穷级数的题都来了。还密集数求和呢，好家伙，我们有那个功夫，还要把密集数求和求一下，那是你见到的习题集里面那么离谱。真题可没那么离谱啊。那这是这个问题，

其实有的时候你看这有可能是一到两道，所以说我们把这个多占一个空。这是32，这是33啊，然后这是34，这是35。基本上就是这样的一个考题形式。好吧，我们就说到这。所以经济学啊，那它这两年还是没怎么出题，我在跟你讲，我在跟你讲什么，我在跟你讲大概率事件嘛。你能想清楚吗？

我在跟你讲这个事情呢。所以你自己要心中有数。先把核心的东西给我拿下来。然后再给我修修补补，听得懂我的意思吗？要这样复习。这些重点必须给我渗透到脑子里面，我见到这个东西，我就会我见到这个东西，我就会我见到这个东西反应的贼快。你建一个破极值的题，我有定义，我第一充分条，第二充分条件，那么第一充分条判一级老师两侧正负性变化，

二级导数在一级老师零，二级导数在这个点处不为零。我可以点，要不等于注点，要不不可导点，我这个知识点我掌握非常熟练，我见到这个东西我就会处理。我见到一个破隐函数，我会求导。我见到凹凸镜，我知道怎么判。我见到方程根，我知道先看定义域，对吧？或者设方程根，

或者零点先设函数。看定义域，然后求导找驻点，不可导点，然后进行画表，然后看这个人单调性，再研究端点好出来了，就是我要快准狠。我先把核心的东西先拿下来，然后再修修补补啊。等一下放过来。这不就好看了吗？所以说我觉得这个你要先拿这个核心点。先把核心。拿下核心就是大概率事件考点。

再进行修修补补。你能理解我的意思吗？所以你就会发现这个，说实话，这个三九六我们的出题的这种风格吧，它是在这。吃这个。这这个点啊，行吧，你们截图自己看吧，这个那发过去了有些。那别人也会出题了，对吧啊？好了，这是这个吧？

你看你不精心去研究你，比如说我们拿出一套卷子的话，精心去看看。你看你不精心去研究啊，你说实话，这个。很难进行，看你看函数极限，这其实也涉及函数极限的题，也涉及无穷小的题，除了这个题跟单调性有关的概念题。对吧，你看切线方程必考符合函数必考，然后这是隐函数，然后这个东西是零点的问题，

凹凸性的问题，然后定积分原函数，这不定积分的定义吗？然后求面积的题，然后是定积分的计算计算，然后这是求旋转体，这是求什么？求它的面积，前面这个是旋转体体积的问题，对吧？然后的话你继续看，你看这个定积分的比较，然后定积分的定义。然后是这个人对吧？这是极值的问题，

然后你看考了一个什么偏导数的定义的题，然后是多元函数，复合函数，偏导数计算二元隐函数。这是一个什么二元的话，这个无条件极值的问题，然后又考了一个什么连续可导可位的定义，然后这是可逆性的问题，方程根的问题，两个行列式相等怎么样？然后这是一个矩阵方程的题，也是个方程组的题，然后线性相关性的题代数余子式线性和矩阵的运算，你发现这是。呃，

概率公式的使用，然后这是二这个是。二维离散型啊，这个东西考了一个古典概型，然后这个东西考了一个什么？分布函数的定义考了一个常见的分布，然后考了一个期望的求解，考了一个方差求解啊就是。啊，你你我再给你看一套卷子。你光看这个。呃，这是这是高教育部考试院的官方卷子啊，所以说任何一跟我们这一套卷子就是我现在打开的这个卷子，你所看到的市面的真题有区别的，

肯定是他错了。能理解吧。啊，好了，这是这个，所以你看极限的问题，对吧？这个是也是一个这样呃，也算一个极限题连续的问题，无穷小的问题，只不过这个人考了一个长度的，这这一个问题。考了一个导数的定义，复合函数的偏导数，分段函数，

隐函数极值的问题，还有这个是呃，考了一个变现函数。啊，这也是个导数计算问题，然后这是一个定积分的，比较定积分计算，然后这几个点对吧？这是一个定积分的计算。然后求旋转体体积。行吧，我们不多说了，所以你下去你好好进行，把这个问题啊，你再看一看，

所以我觉得这些点呢，你要先把这些点先拿下来。所以我想说的一个事情是什么？你下去要做的一个问题点就是你每当就是你，我们刚才所说的这些核心知识点。你脑子里面必须要有非常清晰的架构。就每个东西，你不是熟，你要非常非常熟。你就算然后剩下的就是运算了，这个点的话，你得赶做，我觉得加上这两个事情就行了。你要敢算敢练，不要怕，

对吧？把你的这个运算能力练好，然后把核心的东西拿下来，那这不就是60分吗？那这就是60分呐，60分再赶一赶啊。好了，这个问题啊，我们就说到这。行吧，那么今天呢？我们就不多说了啊，刚好讲到这个凹凸性那渐近线的问题啊，我们下次课程我们再来讲，所以说下节课我们要做的事情是。

我们会把第二章做结束，那么第二下节课。前半部分。是冷门性考点讲渐进线讲曲率，这是冷门性考点，但是后面有一个非常非常重要的内容。我们可以进行去补。一个事情是方程根和零点的问题。方程根和零点。这个很重要。然后还还有一个东西啊。是不等式的证明的题，这两个点是我们下节课要重点打的。如果你之前呢？你做这些东西做的不是说特别好，

那么下节课我们再来讲，你把这些问题啊，你要梳理清楚。我觉得今天也跟很多同学想提示一个事情，你要想清楚，我们是去考试，我们基础班讲的东西太多了。我们是按照大纲，只要它涉及的点方方面面，每个部分对吧？无论是哪一块，我们都讲到了。强化班题型已经是非常的到位，很全，但是到了最后你要知道在这么多个题型当中。

他只会抽出35个题，然后进行去考。所以哪些部分是更加重要的点，你要作为一级的顺序把它复习到位，然后把这一级的东西复习到位了之后，我们再把边边角角的东西，然后进行往里面加。这样的话，我们就能取高分，你不要到时候的话，你复习的成这样子，你说核心考点没有复习到位，边边角角的东西也复习的不咋样。那就废了。那说实话就费完了。

因为有些同学拿到一个一这个，我们三九六的一本儿书，或者你拿到一个东西的时候，你一看哇，怎么那么多东西，我有好多东西没有复习。我这么多的内容，我怎么能复习完？一看废了。但是你要先把主要。东西先拿下来，你这是要去考试的呀。这是不是啊？行吧，这个点我们就讲到这儿。

那如果哪一天的话，考研的话，考考成这样大纲要求的，每个考点各考一道题，那你就一个一个点来就行。行吧，那么这个事儿我们就说到这啊，你自己进心去看看那个考点部分内容啊，所以说我刚才我觉得马上下课了。刚好的话，也不用往下面讲了，所以我就跟你多唠了一会儿这个东西啊。所以你下去好好进行梳理一下自己的复习问题行不行？好，那么今天课程呢？

我们就讲到这，然后另外呃通知一个事情，因为我周六那天呢呃上不了那个课程。然后我们放到周日。啊，我周日下午上课。能听懂吧，把周六晚上的课放到那个周日的下午。好注意一下这个事情，然后周日考试的时间啊，考试的那套卷子啊，我放到。周一。讲考试卷。好注意啊，

注意一下这个事情，然后的话，那个周六的那个课程，我们放到周日的下午上课，然后是周日考试的那个。我放到周一继续去讲这个卷子好不好啊？行吧，那么今天课程呢？哦，周一就有课程，那行吧，反正讲卷子嘛，讲卷子你你听你自己不会的就行了。好不好？好那么今天课程呢？

我们就讲到这。那要不放到周日就直接讲完了。我们先看吧，周日的下午的两点钟上课。上完了之后，你觉得有状态我就不讲了，行吧，我们到时候看吧啊。行，那么今天课程呢？我们就讲到这啊，反正那个讲卷子你只需要听自己有问题的题就行了啊，好了，那么今天课程呢，我们就讲到这自己下去把这个。

相对问题，好好处理处理，我觉得后续啊，你需要做的事情就是我们上节课的那个安排，一个事情是。复盘不能停，你可以复盘你的强化或者复盘这个冲刺救命班的讲义都行，二者选其一。然后另外一件事情，我们剩下的这个模考的时间安排就这样，所以我们最后的两个动作一个事情就是冲刺救命班的一轮复习的课程。你或者你就是自己复盘，然后再加上这应该是。这是七次，八次，

15次考试啊，这里面当中有15次考试，我觉得这个量已经够大了。啊，15次考试。那这个内容的东西已经非常到位了。呃，剩下的东西你得自己好好把东西放到脑子里面。知识点都要放到脑子里面，都要记到脑子里面。好了，那么今天课程呢？我们就讲到这。好不好下去过程当中好好复习一下，把这个今天的一些点呢，

好好处理处理，尤其今天的一些问题，我觉得前面的凹凸性呢？呃，那些点呢？还有这个机制的问题啊，都比较重要，好同学们行吧，那么今天课程我们就讲到这儿，你们还可以稍微的再复习一会儿，然后晚上早点儿休息注意。呃，最后啊，还是注意这个心态。心态很重要，

注意心态，而且的话也自己不要强度绷得太紧啊，适当的话放松放松，有可能效率会更高一点。好了，那么今天课程呢？我们就讲到这好，同学们好，下节课我们继续吧，下节课见。

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