06.冲刺串讲6-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:00:09

不行了，感觉跟你们在说这个暗语一样，对吧啊？能看懂吧啊，有同学问这个石涛轩为什么是八词啊，然后我写了个八+2。有人说这两次什么意思？这两次就是这两套啊，这个最近两年没有这一套，因为这套比较简单啊。啊，这两套好了，那么这个事儿我们就说到这儿吧啊，能理解吧，你自己做好你的这个相对的安排，

我觉得这个模考的这个量已经够了啊。你自己呃，其实我觉得这个做模考卷你能做上这个十来套卷子啊，其实效果已经非常的好了。你就是关键点而言，还是要把这些东西啊，你要吃透对吧？好了，那么接下来我们就继续吧，我们来看看下面一个问题啊。能能听懂我说话吗啊？啊，好了，我们继续吧，我们来看看这个下一个问题。

那么这个人呢？他给了一个椭圆啊，这个椭圆这个东西啊，你最起码还是要知道，这是最起码的问题啊。这叫常识，这都不叫知识了啊。那么，在这里面当中，给一个椭圆。然后这个椭圆当中啊，这是y这是零，然后这是s这长轴焦点，这是短轴焦点啊，这个。

呃，椭圆面积是多少？你知道吗？椭圆面积是派AB能理解吧？你把这个a和b相等，如果a和b相等不就变成了圆了吗？圆不就变成了派a方了吗？啊，这多简单的事情啊，派AB啊。那么，这个如果a和b相等，它就变成这样。这个这是个常识啊。好了，

我们继续吧，我们来看看这个下一个问题。来吧，让我们去求解这个人呢，在这个点处的切线方程啊，这个切线呢非常好记，你高中的时候你们老师应该会讲的。还有这个双曲线呢，你在一个点处的切线，我讲一下这个，然后下面一个东西，我就直接给你写了，我不会再推了。然后这时候怎么办呢？你看第一个事情。

你首先这个事情啊，这个点你肯定会在这个人上面。对吧，你这个点肯定会在这上面，这是没有任何问题的。然后第二件事情，我们要进行去求这个点处的导函数。因为你想想，你要求这个点处的切线，你比较重点的话，其实就是这个点导函数。那这边导函数呢？你求一下，你给这个这是个隐函数吧，隐函数方程两边同时求导。

对吧，方程两边同时求，那就是多少a方分之二，然后这是x，然后再加上b方分之二。然后这是多少二倍的这个y？然后这个中间变量再求导，这是y导等于零。所以说这个时候你稍微的进行整理一下，这是b方，你不要写二了，你就写一。然后这时候等于负的a方分之x。好写成这样的一个问题，那么所以我们这个时候就出来了。

移过去移过去了之后的话，这就是a方分之b方。然后这是x再来进行比白好，这个结果。能理解吧，因此的话，你发现在这个点处的导函数，它就等于多少呢？它就等于。把它带进去a方分之b方，然后是x0y0能接受吧？好，这个情况把这解出来，那么解出来之后的话，这个切线我们就可以写了。

好，这是这个问题，那么切线怎么写呢？那切线这个人就等于y等于多少呢？y等于这个y0。然后再加上导函数a方分之b方x0比上y0，然后再乘上x-x零。你可以自己进行去整理啊，自己整理，这其实就是切线，但是我觉得它不够精彩。你知道最后这个切线就会整理成什么样子吗？它就会整理成这样子，就是x你看你对准上面写。你这不是a方分之x嘛，

它就变成a方x0x，然后再加上b方，你看就写成了y0y。然后等于一那这个东西啊，它其实就是它的一个切线啊，切线情况。这不会整理呀。这有什么整理的，你把这个东西给我沉过去不就行了吗？你两边同时乘一个这个人，这不会整理去问你小学的表弟，初中都有点多了啊，问你小学的表弟，你小学表弟肯定会。你两边同时乘上个y0嘛，

这不就是y×y零，这不是y0方吗？然后两边再同时乘上个a方嘛，那移过去就这有这有什么难不要懒呢，你懒你怎么样都做不出来啊？好了，这是这个事情会做了吧？你发现他写这个东西啊，是非常容易的，然后第二件事情我们再来看。啊，住在这儿。那x方比上a方减去y方比上b方，这是零这个东西叫什么？这东西叫双曲线。

双曲线呢，它这个人在一个点处的切线是多少呢？它在这个点处的切线，为你看非常简单，那么这个切线就是。把一个x写成x0x。然后b方分之把一个y写成y0 y=1。贼有意思。好记吧，记不住都见鬼了啊，这个人。那双曲线会画吧？我们稍微的复习一下啊，因为这个这是个潜在的一个常识。双曲线的话，

其实就是一个耳朵呗，就这样。啊，然后这个焦点这是。负的负a，然后这是a。好了，这个问题啊，我们就讲到这啊。你可以自己去求一模一样的，所以这个切线方程呢，我觉得大家记起来还是比较简单的啊。容易吧。椭圆的切线。还有这个双曲线的，

这个切线方程啊，非常非常容易。好了，这是这个问题吧，我们就讲到这，把这个相对问题好好处理，处理好切线方程，法线方程，我们就讲到这。这不是一个特别大的难点，我希望大家还是要把这个事儿把它做好，好了，这个事儿我们就讲到这儿过去了，可以吗？啊，

这常识问题啊，就这个点。行吧，那么接下来我们来看看今天的黄金重点内容，当时凹凸性和单调性。那这是一个重点问题，你要注意我们的考研，贼喜欢考这个人，你没发现吗？我一会儿把这个东西所涉及的所有考点，我今天给你整理完。你就把这个东西给我吃透，然后这个点呢，你将来就剩下了一点点运算能力了。所以这个东西一会涉及的考点我全给你讲了，

凹凸性的性质定义怎么定义？用割线定义切线定义中点定义。阿达玛不等式，然后如果二级导数大于零，小于零，函数值在零处等于零，他们将会得到一个什么结论？这三个类型问题，你把它想清楚，你所以说你发现我们这两年的话考题啊，它有点不讲武德定义可以考。对吧，然后的话，你发现衍生出来考的一些点呢，还挺难的啊，

我们来看看下一个问题。那么，首先我们先来看第一个事情单调性。那单调性这里面我觉得有几条内容，我想讲讲。首先，我们先来看看第一条内容。啊，第一条。你想想我如果在一个区间内。大家注意。你们听就行了，不要写哦。听就行了，我在一个区间上。

我在这个区间上导函数大于零，我是不是在这个区间上单调递增啊？没问题吧，你要想清楚一个问题，你这个区间呐。哎，这这这个太基础了。那么，接下来我们来给一个区间。你比如说你这个区间。好，我们看看你这个区间，你可以是a到b呀。这个区间你也可以是一个什么是一个点的邻域啊。这叫不叫区间？

也叫区间呐，你也可以是从负无穷到正无穷啊，这叫不叫区间？你比如说你在这个范围内导函数大于零，是不是单调递增？你在这个领域这么这么小的一个范围，内导函数大于零，是不是也是单调递增，你从负无穷到正无穷都是导函数大于零，是不是还是单调递增？所以我们在意的一个事情就是你在一个区间，什么叫区间，区间就是有长度。你在这个区间内导函数大于零，单调递增，

你在这个区间内导函数小于零，单调递减，这是我们从高中一直学到现在的，只要注意一个问题就行，区间。对吧，不能是一个点。一个点叫区间嘛。不行，一个点不叫区间。区间是有长度的。有长度才叫叫区间，所以一个点导函数大于零，那是不行的。这是要切记的，

必须是区间。能说不清楚吧，好了，我们这几个知识点呢，我们一条条过好听明白了，给我回复一。能听懂给我回复一。好了，听清楚给我回复一。可以了吧，来我们继续，我们再来看看第二条内容。那么这个人他说。如果在这个区间内导函数大于等于零呢？他叫什么？

你先不要看后面。你就告诉我个事情，如果是大于等于它叫什么？叫什么也就说诶，这个东西叫单调不减。大家注意，不一定对应好。大于等于零。它就叫单调不减吗？一看就没学到位。那么，我们在这里面当中看两幅图。等于零导函数等于零，它是个平缓端。所以说你看如果是这样条件。

你看在这一小端。一，小端。一个子区间段。在这一小段横为零，它就会停摆。这段是增，这段是增，但这段不增，所以我们把它称之为叫做单调什么？把它称之为叫做单调不减。好这个人，但是你想想有等于零就叫单调不减嘛。你比如说举个例子y=x三次方。y=x三次方，

你在这个点处是不是也等于零啊？你看它的导函数，它导函数是三倍的x方，有没有大于零有有没有等于零也有？有一个点处等于零。但是这条线叫单调不减吗？这条线叫单严格的单调递增，我一直往上跑，我没有停呐。所以还是叫严格的单调递增。因此，你要想清楚。你如果导函数大于等于零，要想叫单调不减，应该怎么说？

有一此期间段，记住这个字儿，这我不不不用记住这个字儿，理解这个字儿，数学是靠理解，不是要背的。有一小段横为零，就是我在这一段的时候，我会停，我这叫单调不减，能理解吗？那如果它的线是这样。你看我增上去诶，这个点等于零，我继续增上去。

然后这个点等于零哎，我继续增上去，然后这个点等于零。那同学们想想一个问题，你告诉我这种情况叫什么呀？这叫什么？这叫严格的单调，递增还是单调不减？这叫什么？虽然在这些点处等于零，但是我的线是一直往上跑的。能想清楚吗？还有一些同学说啊，这个单调递增不是不是不是属于你，这还是个冲刺班同学。

你学到今天，你居然认为这两个东西的概念，这两个概念就是个独立的概念，你就把它进行独立的学就行了。你不要进心去想这两个东西包含于谁？不要老这样，所以说这个时候你想想一个问题。我们这个人呢？它没有一个子区间段零点嘛，零点就是让这个人等于零的点嘛。没有一小段，让我恒为零，只有一些点，能让我等于零，这些人呢？

我仍然是单调离子。能听懂吗？所以说不要说我看到导函数大于零，导函数大于零，当然是单调递增，但是导函数大于等于零，不要说单调不减。因为它有可能只是个别的点，我增上去，这个点等于零增上去，这个点等于零增上去，这个点等于零，我仍然是一直往上跑的呀。你能听得懂我的意思吗？好学清楚给我回复一。

不是看它有没有等于零？是看它有没有一小段横为零。你要只有一个点增上去，一个点等于零增上去，一个点等于零增上去，一个点等于零，我也是单调递增啊。能学清楚吗？所以说这个时候我们第三条我就最好而言还是带着同学们写一下。因为这个内容啊，是一个易错点，大家想。如果x属于一个区间好，这是个区间。如果在这个区间上，

导函数大于零，请告诉我，我们这个函数在这个区间内是什么情况？在这个区间内，叫做严格的单调递增。啊，严格的单调递增。能听懂吗？你导函数大于零，你肯定在单严格单调递增，但是同学们单调递增的话，一定都是大于零吗？一定吗？不一定吧，我单调递增有没有可能哎，

我增上去这个点等于零增上去这个点等于零，我也叫严格单调递增。不一定说永远都等于啊，这个什么大于零，应该是什么这样说，如果这个什么？这个函数。在这个区间内，严格的单调递增。那这个时候推出的是对于任意的s属于这个区间导函数是什么情况？导函数是。大于等于零。可以有个别的等于零，比如说y=s三次方。我严格单调递增吧，

你看我有等于零，你说我一直都大于零，不对吧，你看我有一个点等于零，应该是大于等于零。记住这两条。你严格大导函数大于零，你肯定单调递增，但是单调递增也有那种情况，就是我增哎等于零增等于零增等于零这种情况。对吧，我也是严格单调递增。要理解。行吧，那么这条内容我们就说到这，

你要学会这个考点，把这个内容一定要梳理清楚啊。过去了，可以吗？行，那么接下来我们再来看看下一个问题。把下面一个点呢，我们还要讲讲，所以上面这几个问题有没有梳理清楚？大于零，大于等于零，到底是不是严格单调递增，就看看有没有一段恒为零。就这么简单。大于零肯定单调递增，

但单调递增也有可能是个别点等于零这种情况。那么，接下来我们再来看看有一个非常注意的一个问题啊，非常注意的一个问题。那么说什么呢？说如果有一个点的导函数大于零，请注意啊，只有一个点。他就告诉我们什么呢，他说你只有这一个点导函数等于零。呃，大于零就只有这个点，导函数大于零。那能不能推出这个函数，在这个邻域内单调递增呢？

这件事情是不行的，记住这个问题，一点导数的正负性，不决定领域内的单调性。就说我这一个点导函数大于零。我能不能说这个区间内单调递增啊？不行，你只有说这个区间内导函数大于零，你才能说单者例子，你这一个点你是无法说明这个区间单者例子的。我刚才一跟你讲导函数，想判断出来单调性必须是个区间，我可以举个例子。这个例子啊，比较麻烦一点，

大家可以听，这是个经典例子啊。s方sins分之一，我再加上个二分之s，你听就行了，你知道这个例子就行，然后当s等于零的时候等于零。好，我们来看这个例子，那么这个例子啊，我们继续去求个导。来求一下吧，那么求一下的话，你发现分段点y怎么求？直接求前导是2s倍的这个人。

前面不导，后面来导，中间变量再求导，所以说是减cosines分之一加二分之一有没有问题？没有问题吧？然后接下来我们要去求零处的导函数，得用导函数的定义来走fx。减f0比上s- 0。然后这两个东西你看。除掉一个无穷小乘以有界无穷小这样东西，除一个二分之一所以零处的导函数就是二分之一。跟得上吗？所以说这个点导函数等于二分之一好，我们一起来看啊，你看。

这个函数它在零处零处的导函数等于多少？零处的导函数等于二分之一大于零。那么，同学们告诉我，他想看看邻域内是否单调递增，我们就看什么，我们就看这个区间内的导函数的正负性吧。如果导函数在这个区间上，单导函数大于零，它肯定单调递增，所以我们就来看看分段点外的导函数。分段点外的导函数是这个人。好这个人，然后无穷小当x趋向于零的时候，你想看这个人的正负极吗？

去新领域不就是趋向里吗？你想看这个区间内导函数的正负性趋向零无穷，小乘有界无穷小，而这个部分是负一到一。而这个部分是二分之一，同学们想这个部分肯定是接近于零，而这个部分是在负，有些应该是在负一到一当中来回摆动的。你后面加个二分之一，是不是有些段能握持正，有些负有些段正，有些负有些段是正有些负啊？在导函数大于零的段单调递增，导函数小于零的段单调递减，那应该是一会儿单调递增，

一会儿单调递减。你来看吧。这个点处。导函数大于零，能不能说明邻域内单调递增啊？不能啊，你看这就是个经典例子，该点处导函数大于零。但是呢，在这个附近我是正当的，我没有单调递增，因此啊，一点导数的正负性无法决定领域内的单调性。听懂了吗？无法保证啊，

这个这个这个这是什么？这个淋浴的单调性。那么除非什么呢？增加导函数连续有同学说，其实增加函数连续不就行了，函数连续也不行，不行我们来看。你来看这个函数，在这个零处连不连续？这个函数在零处，就连续。因为它在这个点处可导可导，必连续。啊可导必连续。所以说这个时候它这个函数在这个点处啊，

它就是连续的。你来看吧。这个函数在这个点处是连续。这个点处的导函数大于零，但是在它的附近没有单调递增吧，我是震荡的，你说错了吧，你说加函数连续不行。你必须要加上什么？你必须要加上导函数连续。那么，请同学们告诉我，为什么导函数连续就可以了呢？其实非常简单，我们来看看。

那么，如果这是一个导函数的图像。好，我们来看看导函数。导函数它在这个点处大于零。而导函数是连续的。导函数是连续的，根据连续的保护性，那是不是在邻域当中，它都是大于零的？是不是你这个点大于零，根据连续的饱和性，你淋浴当中大于零，在一个范围内大于零，不就单调递增吗？

所以说这个时候他就决定了。能琢磨清楚吧，所以一定要记住一个点，导函数大于零，你能说明这个点的邻域内单调递增吗？不行，刚才那个例子就说明。那加上函数连续呢，不行，我刚才那个例子就是必须要加上什么导函数连续。啊，你这个点导函数大于零，你加上导函数连续，我就可以说明这个领域的单调性能说不清楚吗？啊，

这个非常简单啊，就说。你把这个问题点你写想清楚就行。好不好？行吧，对于这个问题啊，我们就说这几个点一个区间上导函数大于零，单调递增一个区间内导函数小于零，单调递减。不要见到大于等于零，就说单调不减。要注意，如果只有个别点等于零，我仍然是单调递增。如果在一个区间上，

导函数大于零，肯定单调递增，但是单调递增不妨碍有一些个别点处等于零。然后一点导数正负性，不决定领域单调性，除非导函数在这个点处是连续的，我们先看一个题吧。那么，先看这个题，这个题啊，我们今讲的时间是比较长的啊，这个基础讲强化也讲我们今天再看看吧。那么，现在看一些个事情，他说这个函数连续。

这个点导函数大于零。存在一个德尔塔。存在一个德尔塔从零开始过来，一个德尔塔。回去，一个德尔塔，这是不是什么？这是不是淋浴啊？那么先告诉我AB对不对？肯定不对。因为你要知道一个点导函数大于零，你能说明这附近单调递增吗？不能，你不能说。你怎么能说这个附近单调地增呢？

他说，函数连续我们要导函数连续，这是不对的。因为一个点导函数正负性，不决定领域单调性。然后现在我们想看什么，我们现在想看这个什么呃负德尔塔到零零到德尔塔这个东西其实就是趋向零。你想看这个范围内，这个fs和零那这个时候我们想你这个东西fs和零不就是在这个导数定义里面吗？我赶紧把这个导数定义写出来。那你想你这个导函数大于零，是不是这个极限大于零？那极限大于零，我们就知道了，如果极限大于零，

根据保号星，我们在趋向过程当中就是去心领域内。他这个人就大于零，所以说这个ifs- 0比上s肯定大于零，然后在这个范围s大于零。is大于零，下面大于零，肯定上面也大于零。然后这个范围内呢，你下面小于零，所以说上面这个东西啊，也小于零，所以fs小于f0。那因此，零到德尔塔的时候fs比f0大，

然后负德尔塔到零的时候，它比它小，这不对，这不对，正确答案选几选c？好了没？所以像这个57题这个题啊，我们立即就把它解除了。所以像这个问题的点呢，你把它把控住一点，导数正负性，不决定邻域单调性，除非导函数在这个点处连续能想清楚吧，函数在这点连续都不行。跟上我的同学们。

好听明白了，给我回复一。那么，这是我们在这里面当中啊，介绍的这个第一个信息点。那么，接下来我们再来看看第二个问题。那么，第二个问题啊，在这里面当中也是非常常考的，那么其实就是我们的函数的构造方法。那这个问题啊，我们来重点的讲讲。这个今年也是重点。啊，

是绝对的重点。那么，接下来我们来看看一个考研的高能点。函数的应该是常见的。函数构造方法。哎，常见的函数的构造方法。呃，在这里面当中，我们稍微的讲多一点，我再强调一遍。这种题不是会不会？是你看到这个东西，你就得知道。你如果看到这个东西，

你不知道反而是比如说你在听我讲课，你听我讲课的时候，你一听我说这个东西可以这样构造，你一听哦，原来可以这样构造啊。好，这不行，你考场当中就想不到，所以你像这个页面的话，必须是极其的熟练。你光是我会不会这这不行，你必须要极其的熟练，相当的熟练。所以我们来看看这个问题。那么，

像这种函数的构造方法，我们来看这个第一个点。第一个人爹跟儿子碰一起。好爹跟儿子碰一起，你会想什么？爹跟儿子碰一起，立即想到平方的导函数。不要有任何的迟疑。这是爹和儿子碰一起，大家想想，那这又何尝不是爹跟儿子碰一起呢？这是不是也是爹跟儿子碰一起啊？那你想你这是大fs，这不是也是导函数吗？好，

要想清楚，这也是爹跟儿子碰击啊。只要是爹跟儿子碰一起，立即写成二分之一平方的函数。学会了吧好，这是这样。爹跟儿子这样捧，那还有爹跟儿子这样捧。啊，对吧？他的父亲为他打下了深厚的这个基础。那这个时候怎么去想呢？你看跌在下面，这个时候你要想的是ln的导函数。但是你要想清楚，

有可能这个人小一点呢。你不妨在这加个绝对值也对。加绝对值也对。为什么呢？l对这个绝对值里面导函数就是这个零分之一，中间变量再求导吧。好，这是这个人。然后第三个事情就是你倒我不倒，然后再加上你不倒，我来倒立即想到什么，立即想到超。乘法去求导。好这个人，然后第四个事情你倒我不倒。

然后再减去你不倒我来倒。立即向导，除法求导。啊，除法求就是你除我的导函数。那么，上面求导乘，下面减去，下面求导乘，上面这要反映的非常快。然后接下来我们再来看看第五个点。就是导函数，再加上fs，还有导函数，再减fs，

我们今天把这个所有的问题我们都讲了。那么这个时候你就要碰到，你要想到e的s乘导函数，这是e的负s乘上导函数。因为我们不考微分方程。对吧，我们不学微分方程。如果学了微分方程，我讲数一数二数三，我就讲到这儿就差不多了。因为别的部分的东西都可以通过这个微分方程，如果在考研的时候，你看我讲的是什么，我讲的是常见的耶。是吧，

我讲的是常见的，那么如果碰到不常见的怎么办？我们说过了，肯定考常见的，如果在考研的过程当中没有考这些常见的。我可以现场推出来。那比如说我们在这里面当中啊，我稍微进行去讲一下，你最好把它记一下。啊，你把它记住，如果这是导函数。你再加上k倍的这个人。就这个部分。那这个部分你会想什么，

你就会想e的k sa fs的导函数。就前面有个系数，如果你碰到这个减法。你会想什么呢？你就会想到e的负的ks，你再乘上这个人。导函数那就是这样的一个问题啊，所以你想想，你看如果这个k是一，这刚好是负负s，如果这k是一，刚好是它。就是这是一般式。啊，一般形式。

你前面是多少倍？你这是多少？你这是负的多少倍？你这是多少？你所以像数一数二数三，我从来不让他背这个东西，因为如果考这个东西，你脑子一转就出来了，因为有微分方程的万能构造法。我们又去讲罗尔定理的时候，我们经常讲这个事情。所以但是对于我们而言，我们不考微分方程的，所以你必须把它记住。那还有一点，

你像这个今年的话，我相信很多同学做了很多习题集。那明显不考无穷级数，你这个习题集里老是蹦三九六的题，老是蹦无穷级数的题，我都不知道怎么想的。那么，这种题出的都是什么意思？然后的话，这个有同学啊来问我说啊，老师这个东西是不是我们没有讲那讲个鬼呀，对吧？那无穷级数你学吗？尤其是在概率论里面。那概率论里面当中，

我们讲那个什么离散性分布，那离散性分布它有有限多个，有的时候是无限多个，比如说泊松分布，泊松分布就是无穷多个。无穷多个相加，我们不会呀。那是个无穷级数的内容。所以像这种常见的，这种构造方法，你把它掌握清楚。好了，像这个问题啊，我们就说到这儿跟得上吗？啊，

基本问题点行吧，学清楚给我回复一。所以这个页面我再强调一遍，不是会与不会的问题。是你见到这个东西，你就要想到。我只要碰到这个东西，我立即能蹦出来，我只要见到这个人呢，我立即想到哦，这个东西是什么？所以像这个问题点呢，把它想清楚。好了，那么接下来我们来看看下一个问题点。

我们来做一个题吧。来先看这个题。这个题就非常简单了，有同学过去见了好多遍了，来吧，爹跟儿子碰一起。爹跟儿子碰一起，立即把它想到多少二分之一平方的导函数。是吧，立即想到二分之一平方的导函数。那所以这个部分的平方的导函数它大于零，那就说明这个人单调递增。这都不用想，爹跟儿子碰一起，立即想到二分之一平方导函数，

它大于零。对于单调递增而言，它的自变量越大，它当然越大是这样，但是平方大不能说，大平方大应该是绝对值大。所以说这个题啊，立即可以出来正确答案选c。好了，这个题啊，比较简单，过去了可以吗？来我们再来看看下一个问题，54。那么这个题怎么处理呢？

我们再来看。呃，这是我们原来的一道考研真题啊，考的还是比较精彩的一个题。那么他说这俩人在这个区间上均可导。而且这个函数值啊，和导函数值均是负的，你要注意了啊。说的是这个函数值。这两个都是负的。导函数值。这俩个都是负的。然后说你导我不导我不导你来导这个一减它小于零，则下面很成立的是。你告诉我，

你立即会想到谁呀？你倒我不倒，你不倒我来倒，我立即会想到。除法小于零。我就会想到这个人。所以说这个时候我就立即会想到这个点。我就会想到除法。那除法小于零，马上就出来，那就说明这两东西作比啊。它是单调递减。因为你发现你求导一下，下面是平方嘛，平方不会影响正负性，

它单调递减，那单调递减你现在这个x什么范围？你这个s是大于a小于b，那我们写那说明fa比ga。fx比上gs。FB比上GB。你越小反而越大，是这个人。越小越大。那么，然后接下来我们来看看这个人，他说这个fs比a大，你这人不对。然后这个fs比这个b怎么办？FB比这个人大，

它也不对。好，这是这样。然后接下来我们继续看。然后就变成了这个人，你发现看是你导。你乘上我。那如果你是交叉着乘的话，这是fsg bfs g，这肯定不对。你这是都是s的，都是a的，这都是s，这都是b的，这都s都是b的，

这肯定不对。是不是这个事情？那这个你怎么办？这还没想看，想看乘法。你先看乘法的单调性，你想看乘法的单调性，你就要继续去求乘法的导函数。乘法的导函数就是前导后不导。加上前面不倒，后面来倒。而这个题他都告诉了这些人是小于零，小于零，小于零，小于零，

都是小于零呢。那这不就小于零吗？那所以说这个人怎么办？单调递减那单调递减的话，我们就知道那fa ga。那肯定大于fsgs，那肯定大于FB GB。那所以这个题啊，那s比这个b大，它是对的，然后这个a比什么东西呢？它大它不可能。那很明显是a大，然后这个b比谁大呢？b比s大，

它不对正确答案选几选d？所以这其实就是我们原来这个啊，考点部分内容。嗯哪个哦哦，负负得正大于零，不好意思。大于零那大于零的话，这个人刚好其实就顺着这条线走，所以说这个东西啊，马上出来是b比s大，它对称。b比s小不对。然后这时x比a大。x比a大，这个也对是吧？

所以这个题选ce哦。好了x。比b小啊，行吧，你改一下。好了，这是这个题啊，所以说你发现这个之前的考题啊。真的叫做高开低走。啊，这个选项是我加的。因为以前的话，他们只考一个选项啊，不管。能会吧，

所以你发现你是负的，你是负的，这真的呀。你负的你负的，这是正的呀，所以以前的这个考题都是这样。他明显能出一个非常漂亮的题。不知道为什么到了最后啊，他的落脚点落的非常的菜。其实你发现这个题，你直接从这个导函数这个部分当中继续去把答案出出来。这是个最漂亮的选择。然而呢，它这个部分它不除。那明显你告诉这个条件就想考除法。

这个除法都不对。那就就想考这个乘法。然后还告诉都是小于零，哪有这样告诉条件的，把这东西也告诉的太简单了，全告诉你了。所以这是以前的考题。明显可以出很漂亮的题，然后最后怎么办？这个落脚点落的相当的菜啊，这个人。好了吧，这个事情我们就讲到这这54题。能学会吧，哎，

基本问题点呢，我们就说到这。那么，接下来我们就继续我们来看看这个下一个问题啊，这个凹凸镜这个题啊，等会我们再说。来，我们来看看下一个问题点，我们看看凹凸性的问题。呃，这里面呢，我把涉及凹凸性的这个考点呢啊，这个难重难点，我把它进行讲讲。可以吧，

好，那么接下来呃，注意啊，接下来这个片段非常的重要，你好好听一下，有点难。难度系数很大，所以说我接下来讲这个片段如果的话，这个我们先讲吧，一会我再说，如果你有些同学的话是这个。只看了强化，不想听这个冲刺救命班的话，你告诉一下他把这个板块就是接下来这个十来分钟这个片段把它听了。一定要把它停了啊。

好了，那么接下来我们就继续吧，我们再来看。那么，首先我们先来看看这里面当中的第一个问题。考点一不是黄金重点一。好，我们先看看这个设计，这个凹凸性的，这样的一个问题。啊，这个点。那么，这里面当中第一个考点，这是重难点啊，

涉及凹凸性。重难点。第一个事情，凹凸性定义。那么，这个我们经常会考，我们考研呢，考这个东西考的非常非常多。所以像这个每年的时候都会出现这种题，你看这几年呢？我们的凹凸性是一个黄金重点内容，我们作为三九六同学，你要你如果不知道，你就听讲。对吧，

你一一研究真题，你就知道这老头子在出题的时候，他的风格在哪凹凸性？那么，这个定义啊，我们先进行去讲old。好，我们先来进行讲一下o函数。比如说这个函数。那这个函数进行去，怎么进行？把它定义出来呢？那么，首先我们先看第一种定义方法。我们用割线进行定义。

啊，割线那割线怎么定义呢？就说我在这上面随便的取了两个点。我随便的机器去取两个点。我随便取两个点，我连线。那这条线比他高，那这个人就是哥的哥线，就说我随便的取两个点。我得到了一条线。这条线被我们称之为叫做这个函数的曲线的割线。如果任意两点的割线都比这个曲线高，那肯定是割的呃呃，肯定是凹的。这是一种定义方法，

那考试可以怎么出题呢？我把这个割线给包装起来。我给你一个函数，我让你看不出来它是个性，你自己看出来就行好，这是第一个问题，第二种定义方法就是。就是切线。那么切线的话，每个点处的这个切线都应该是在这个人下面。所以切线是要怎么办？切线是要比这个什么比这个曲线低的。所以说这个切线每一个点处的切线都在这个曲线的下面，它也是个凹的。然后第三个事情，

那就是终点。那终点的话，我们在这种当中给一个人。这点是多少？二分之a加b。那二分之a加b这个点呢？是f多少呢？你就会发现这是二分之fa加b。然后上面这个点的函数值呢？那这个点处的函数值它是多少？它是二分之fa加上FB。对吧，因为它是这个梯形的中位线嘛，等于上底加下底，除个二就行了。

那这谁大呢？你大。如果这个a和b有可能相等，那就是大于等。如果这个a和b永远不可能相等，那这个人呢？那这个人的话，他就比他大。能理解吧，所以如果我们考题的时候，你发现我们考这个o曲线可以这样考。第一种，如果这个人的二阶导数他大于零。曲线是o的。它的考法。

它有可能会考这个割线，有可能考切线，有可能考重点，你有没有发现这个东西经常出现啊？非常喜欢考。特别容易出现这个人。所以这个版块的内容把它进行看看好，这是第一种问题。那么，第二件事情，那如果二阶导数小于零呢？它的曲线就是凸的吧？那二阶导数小于零，它的曲线是凸的，那么跟这个人刚好是怎么办？

那刚好是相反的。所以我们来看看这个事情，那它的曲线就变成这样。那变成这样了之后，你随便在上面取两个点。我们取一个a点。我们然后再进行取一个b点。你取两个点了之后连起来。啊，连起来之后你就会发现。这个线那这个线比这个人低，那这个人就是图的，然后这个上面每个点处的切线都比这条线高，他也是图的。都一样，

然后第三个事情就是终点。你终点的话，你看你可以这样。那这个点是多少？这点是二分之a加b，这是这个点处的函数值啊，这个是这个点的函数值，然后这个点是中位线。所以他该点处的中点函数值比这个中位线要大，他涂的好了，这个我们从基础班就讲了，这个我觉得没有任何的问题。所以有的时候考试当中涉及的重点。中点处的值和二分之fa，加上FB处的值，

你要小心。好了，这是这个问题，能琢磨清楚吧？这是这样的一个信息点，我觉得模拟卷里面当中，我出了一个我觉得很漂亮的一个题。你看它可以这样出。那我说一嘴啊。那如果。它出的是。这个人怎么办呢？啊，你怎么办？你怎么处理啊？

你看我这样出。那我们喜欢的是它俩相加，然后是二分之啊，我不喜欢这个平方。取个对数。那么就变成lin，它加上lin它。然后大于二倍的ln塔嘛。然后把这个东西除过去。那这其实就是个非常漂亮的题了，也没多难。你看你这不也是个终点吗？你看这fa FB，你只不过这是大fa，这是大FB。

这是大的这个人。好好好，我讲到这行行行。没有变多难吧。你自己就琢磨一下，这其实是一个很精彩的一个题啊。好了，那么接下来我们来再来看看这个第二个问题。第二点，阿达玛不等式。阿达玛不等式，这个人呢？你得记住。那么，这个阿达玛不等式啊，

我们把这个。呃，我们把这个东西给你啊。你看这个。呃，这个题啊。这有些的话，你要是光进行去听数三呢，你这个是你估计是很难进行去听到这个方向的进行去讲解的。因为数学三更多的话是这个用泰勒定理在中点处进行展开进行去证明，因为出的这个东西的方向不一样，我们来看看这个人。阿达玛不等式。那么，现在这个二阶导数怎么办？

好，这个人二级导数大于零。如果二级导数大于零，会有一个什么样的现象？那如果二级导数大于零，我这个人肯定是个什么？我这个人肯定是个order。没问题吧，我曲线肯定是个凹的呀。那么，所以接下来我们就来看看这个事情，比如说你的曲线是个凹的。那order的话，我们先看第一个事情。那你你把这个b-a，

比如说我把这个b-a乘过去，我把这个b-a乘过去，你来看看。你先看这个定积分。好，这是a。然后接下来我们再来看看这个。这是个b点。那么，首先我们先看第一个问题，你告诉我这个定积分是什么？你很明显呐，你这个。曲边的什么？梯形啊，

如果这个曲边梯形曲边梯形的面积是a到bfs ds吧？是吧，这是个曲边梯形好，这是这个人，他绝对面积是大。然后再来看第二事情。那这个人是谁呢？那这个人就很简单，你可以把这两个点连起来。你看这个梯形。这个梯形是什么呢？梯形他就刚好是上底加下底。成一高。除以二是不是这个梯形呐？那么其实你看我们现在这个梯形很明显比这个曲边梯形大，

这个没有任何问题，现在其实比较关注的一个问题就是。b-a再乘上这个终点，这什么鬼啊？很多说是这样。你这是二分之a加b，有人说那这是f二分之a加b，这是多少呢？这是b减a是这个面积，说这个面积比它怎么？你这咋能比得出来呀？你你这个不妨那那很明显，这个比它多呀，那不一定啊。你这这水平点没有达到位。

你看我怎么做？我们这样做，你可以过这个点做切线啊。你切线一定在下面吧，你切完了之后你再给我看看绿色部分的面积。你就给我看看。小绿部分的面积，我最喜欢的绿色。那这个面积你就琢磨一下，你看你这个时候你这个高度和这个高度。你不就刚好是这个f这个人的2倍吗？所以你上底加下底，除个二不就是多少，除个二不就是这个人吗？你能琢磨清楚吗？

就是二分之a加b。跟得上我的意思吗？所以你上底加下底，你除个二就是这个中中位线的高度，然后再乘上它的高b-a，这不是绿色吗？那很容易就进行得到你这个面积比这个面积大，比这个面积大，能听懂我的意思吗？好了，这是这个事。不要胡扯啊。举一个例子，说的对，那可不一定对。

你能给我举出所有的函数，都满足这个人吗？你怎么可能呢？所以说这个问题的点呢，这个东西的证明中值定理是证不出来的。这个东西的证明，这叫终点展开的魅力。从终点展开，从头击到尾啊，这个这个奇数项的话，它的积分为零的，这个这个不是我们的重点。啊，你把握清楚这个事儿就行了，如果你有兴趣，

等你考完了之后啊，我们再给你说啊，这个问题。行吧，这是这个点。你几分钟之内是震不出来的。所以这样的一个问题点呢，他就马上出来了。行吧，那么这个问题啊，我们就说到这哎，这是这个。所以你看。这个人比这个人大，比这个人大，

能不能把它记住啊？一定要把它记住。我们在考研的时候经常会考这个事情，你有的时候做题的时候你不妨把图一画图一画，什么都出来了。行，像这个点，你看设计这个凹凸性这个考题。然后接下来我们再来看看这个第三个人，其实就是我们去年考的。我们去年在考这个问题的时候啊，考的还挺难的，那么接下来我们来看看一个重要结论。不要拿来主义啊。我要是你，

我就画一个图，什么都出来了。为为啥都这么拿来主义呢？真的是把我们把所有的东西给你总结，如果是凸的。如果是凸的的话，你就会发现你自己去画个图。啊，一般我们画它会限定一下s大于零，你就出来了。所以我觉得不要那么的拿来主义，你有的时候你自己可以动一下手，你看我不是教你画图吗？你画一个凸的。对吧，

你把这个这是a点。然后这就是这个这个什么曲边梯形，你找到这个中点，你终点的话，这个这个中位线。是吧，这是中位线，中位线的话，你看比它高啊。那么就刚刚好这个事情，但是如果是凸字的话，它得加一个条件，必须是fs大于零，你看这个他就没有说fs大于零，但是我们考的题都很简单。

我们考的题都会在前面写一个fs大于零的时候，它用。能理解吧，一般我们的考题肯定会这样设置，你去画个图。一画就出来了，不要到了这个阶段，不要懒哦，你想想一个事情，数学我们只能把核心的东西总给你。你要是每当碰到一个题，你都能总结一个二次结论，每当碰一个题，总结一个二次结论，每当碰一个题，

总结一个，你是总结不完的。你这样越学的话，你发现你学的越痛苦，你要注意哪些东西是根呐，然后我们再来看看一个。重要定理。这个有点难。这个难点是我们去年二零二三年的，这个部分的考研真题，我们把这个事情啊，跟同学们去讲讲。呃，稍等，我想我把这个问题啊，

我们稍微说一下。你看像你像的话，如果是数一数二同学的话，他们数一数二数三同学，他们进行做这个题啊，你看就是在终点进行展开。然后怎么办？从头积到尾，它这个魅力好了，这个事儿不是我们要看的。那么，接下来我们来看看我们在这里面当中会涉及的一个信息点啊。好，我们来看看这个定理，这个定理啊，

我在强化的时候，其实已经证明过。那么，接下来看看这个事情吧。怎么挣呢？所以说这个去年有点不讲武德。我下午还跟那个编辑聊，我俩因为在定稿啊，定稿的时候我还吐槽这个事，我说忒忒不讲武德了，这去年考那个题扔给数一数二数三同学都是贼难的题。我做了个测试。我上个周的话进行去讲这个冲刺课的时候，我就把我们三九六同学去年二零二三年考的那个题啊，我扔给好多数一数二数三同学做。

都没有做出来。不信你可以扔。哪怕已经复习的非常非常好的同学，做起来压力都很大，更何况让我们两到三分钟做呢？所以贼不讲武德，去年那个题考的太难了。那么，接下来我们来看看这个定理啊，出现在一道这个数一数二数三同学的一道这个真题里面。是一道证明题。那么，这里面当中说了什么？它有一个非常重要的条件，这个条件不可或缺。

注意，它一定会要有f0=0，这个条件必须要有，没有f0=0，这个条件这是不对的。然后说如果二阶导数小于零，对于任意的s 1+s二一定会有这个东西，你怎么进行看呢？那么，其实如果从我们呃作为三九六同学的这个理解上，最好还是用图像的方式进行去理解呗。那么，接下来我们来画一个这个二维的迪卡坐标，系你进行看看。那么，

这个图像因为它要求的这个什么？它要求的这个f0=0。那f0=0的话，它必须过这个点，然后的话，它是一个什么二阶导数小于零，它是个凸的。好凸曲线。二阶导数小于零，不光是凸的，而且还能得到一阶导数。导数单调递减吧。对吧，它是一阶导数的导函数嘛，一阶导数单调递减，

然后这里面当中给的几个点。一个点是x1，这个点。我也不知道s1s2谁大，我随便写了。然后又给了一个x2，这个点。然后又给了一个什么，又给了一个x 1+s二这个点。好给的这几个点，那怎么进行去理解这个事情呢？那么其实你发现如果你进行做的时候，哎，你看你这个人的长度跟这个人的长度是一样。那所以说我把这两个点怎么了？

把这两个点连起来。然后我把这两个点连起来。那你告诉我这两个点的斜率谁大呀？那很明显是前面大呀。所以说这个时候我们就得到了f1-f零。比上x1-0，这是它的斜率，然后是y2-y一。比上s2-s一，它比它大。那这个人比他大了之后，分母就约掉了f这个人是零，所以说fx 1+x二。这个人呢？就比这个s 1+s二要大。

所以这个人呢，我立即就证明完了。能听得懂吧，你看就证明清楚了。如果你想严格的震呢，你得使用拉格朗日终值定理来震。对吧，你想严格的镇，你就在什么呢？如果你想严格的镇，你就得镇在这两个点当中进行去拉一下。一拉的话，这个人就得到了f撇可赛1x一。然后的话，这个是x 1+x二。

你再跟x2之间拉一下，它就等于f撇cos 2，然后这两个一减，这是x1。然后这个时候这个可赛一这个人呢，是介于零和s1之间，这个可赛二这个人介于x2和x 1+s二之间。那你发现这个人肯定大呀，我们二阶导数小于零，他越大对吧？如果这个东西越大。而且的话，你发现这个越小。所以上面会更大一点。行吧，

如果你想严格的证明，你就这样整，但是我不建议你这样整，我们三九六同学最重要的问题是理解，不是证明。我没有答题啊。我们没有证明题，我们只要通过这种几何意义理解了这个定理，把这个定理会灵活的使用到我们的做题能力上，我们就达标了。所以说如果你想真，你就用这个方法真，但是你最好是理解这个事情。所以因此你看我们就要记住这个定理，这个定理啊，

其实是在数一数二数三同学里面当中能够把它记住。对吧，你能把这个东西给记住，所以说有的时候我们碰到这个题你会做，但是一般谁没事干进行去背这个定理呢？连刚才那个阿达玛不等式，我们也懒得背，我们只要出现这个东西，我们知道要不人用几何意义，要不然直接进行证明了。啊，如果数一数二数三同学的话，你们当中更多是这个证明。所以记住它。二阶导数小于零，

必须有一个要求f0=0，这种题目要想出，它必须要控制这个要求。然后是两你看他这个二阶导数怎么办？二阶导数小于零，记住这个问题。二阶导数小于零，越来越矮。越来越矮的话，你就会发现那两个相加不如各自相加。但是如果你把它改一下。大于零是这样。这个时候的x 1+x二的函数值就比两个函数值相加要更大一点。这个时候这个方向就换方向。听懂我的意思吗？

如果改成大于交换方向。好，这三个定理。所以涉及这个凹凸性的这三个问题啊，你必须把它拿捏下来。凹凸性很喜欢考。当然，最常规的是这个人，我只要见到这个信息点，我立即想到凹凸性，想不起来都是没有做到位的表现。我见到中点和两函数值做啊，这个什么见到这个端点的平均值，我立即想到凹凸性，然后见到这种情况，

我会想到凹凸性。还有这个问题。所以说像这个点呢，哎，怒拿两分。啊，这个题，所以这件事情去年的考研真题我们就不讲了啊，下次我们进行去模考的时候我们再说，你讲到的话，我觉得呃，不如到时候我们进行模考，你们再来做，看你能不能想得到？这已经出了好几年了。

我们今年模拟题里面很多啊，很多这种题。所以希望同学们好好进行去处理，尤其是话我在这个我应该是在第一套里面当中。啊，里面当中啊，就有这种题。你看第一套这个题，我觉得编的，当时我觉得有一天晚上我编编完之后是是是相当的拍案叫绝。当然不是这个意思。就感觉这个题啊。很不错啊，还可以。好了，

那么接下来这个。这是什么呀啊？这个还有搜索。然后这个你看这个题。我也编了一个这个题。然后答案当中啊，我稍后的话也重点给你们写了，我也是按照我们三九六同学的这种考勤的方式啊，我再给你写的。然后这个里面当中，我把这个东西也给你们进行写的。所以像这个问题点呢，你下去把它好好进行处理处理行吧，像这三个点把它再做一做都会有所涉及啊。凹凸性的这个人的定义。

对吧，这个人的定义，所以说这个人的定义啊，比如说他的定义性的怎么定义的，然后这个部分的阿达玛不等式。还有这个人行吧，那么这个问题啊，我们就说到这，然后剩下的一些题，我们下节课再讲好不好，然后中间空的有几个题，我们下节课再说。行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这儿51题是哪个题啊？

哦，这个题没讲是吧？来来来，把这个题讲了啊，讲了讲了讲了再下课吧，来看看这个题。灭了他，那么他说这个抛物线呢，在这个点处的切线与x轴夹角是45度。同学们告诉我。切线跟x轴之间的夹角是45度。说明这个切线的斜率是几啊？斜率是几？那就是tan 45度，这是几啊？

不就是一嘛？那所以说这个人导函数就出来了，导函数的话就是2 s- 2，它导函数要想是一那s只能是几？s只能是这里面当中的这个移过去就是二分之三，所以答案选几c。好了，这个题啊，我们就讲到这儿，这不难哦。这个题没有，我们有一个题。我记得有一个题，我有一天晚上变了一个题，我记得。

变得还可以，你看这样我们写的是两个曲线，在它交点处的切线的夹角是多少？是吧，这个哎呀，你这。你高中老师听到这种话，他得多难受啊你，你说是不是？为啥不是负一？人家说x轴的夹角一般说的是跟正方向的夹角，你一定要读懂这个题，有人说那老师。你这也叫x轴的夹角，这不叫x轴，

它一般说这是135度。如果它不说啊，它肯定说的是正半轴的夹角。你要想清楚啊，你你你学了这么多年数学，你应该能理解的。s轴夹角，它一般说的是正方向的夹角。那如果是负半轴的夹角，它会说与x轴负半轴的夹角，如果它不说，它肯定是正半轴的夹角。能想清楚吗？当然，我们知道两条两条线之间的夹角是零到90度嘛。

如果两条线之间的夹角，那肯定是取锐角。限制点夹角是锐角，但是你要知道这个x轴是有方向的。所以说这个时候一般说s轴夹角都是跟s轴正方轴的，正半轴的夹角，如果他不说，那应该反方向，其实是不怪你，你问的问题很好。这都怪这个题出的不严谨，你看这个二一年之前这种破题出的。从这个理论角度上而言，他应该说的清楚一点，说与x轴正半轴的夹角，

你问的很好。这不怪你，这怪这个题，你说实话，这个题他出的不好。这不怪你啊，说实话，不怪你，这是他提出的不严谨。啊，能想清楚吧，不好意思啊。那不怪你啊，怪这个题他说实话，这个题出的不严谨，

你看这这么做了这么多年的题的，你说。跟x轴夹角，他肯定会这样说啊。你还挺喜欢二一年之前的题。好了，这个问题啊，我们就讲到这，那行吧，那么今天课程我们就讲到这，我现在去导笔记，因为那天的话不是晚上去赶车嘛，结果也没赶上啊。没有赶，没有赶上了，

然后呃那那天的话忘忘了传了，然后我现在去传好吧？行，同学们好，那么今天课程呢？我们就讲到这，自己下去把这个相对问题啊，好好处理处理行吧，那么今天我们就说到这。然后今天部分的东西需要重点整理，那么下节课会更重要，下节课我们讲这个极值啦，拐点啦，还有这个。呃，

我们讲的这个后面的还什么渐近线的问题，对吧？曲率的问题，方程根的这种问题好下去啊，把它好好处理处理。好，那么今天课程呢？我们就讲到这。呃，不要再那么从今天开始之后，能不能不要再问这个模考了？如果这个模考都在这个页面上好不好？不要再问这个模考的时间了啊，不要不要这样，每次让我说好多次啊。

都在这个页面上。如果你不清晰了，你就进去去看这个页面就行了，你截个图吧，你截个图的话，回头你想进去去看哪个，你就重点看看。那行，那么今天课程呢？我们就讲到这。好不好？今天我们算把这个事情给你规划到位了。一直到12月份，一直到你的考前，我都说清楚了，

行不行？好，那么今天课程我们就讲到这。好吧，同学们好，下节课继续吧。这不是课吗？这个第一个阶段结束了之后不就模考了吗？你都马上考试了，你要那么多课干嘛？这一节，两节，三节，四节，五节，

六节，七节，然后这是八节，15节课，30个小时课。哎呦嗯，而且都都快还有多少天呢？你最后一个阶段不就是模考了吗？十套卷为什么有八次？我再来讲一遍，这个十套卷里面当中是八+2，其中这两套是这个部分。不要让我再说了啊，好不好？行了吗？

有这两套真题没有？二一年，因为二一年太菜。它会影响我们的一套模拟题，所以就没有它。说清楚了吗？不要再问了，我说讲好多遍了。这种问题。行吧，然后的话，那个二一年的优质真题的话，等我把这个第一个阶段讲完了之后啊，我们再来进行讲，然后那个呃二零二一年之前的那个。

那个真题上面有些刊物，你去把它看看，因为的话，原本我让助教的话，这边儿给敲一下，因为我基本上呢，有的是这个写出来的，然后的话这个敲。不可避免的话，有这个问题，你们就把那个你就把那个部分进行去看一看，对吧？有些部分的话，我敲了，有些部分助教敲的可能敲的比较着急，

上面也有些问题。然后的话呃，但是我在前天的时候，我们分配给每个助教，让每个助教，然后进行去审查，然后现在上面的这个答案已经全部给你看出来了，你最好把它对照一下。可以吧把最后的对照一下，你去下载那个最新版的，最新版的这个问题啊啊，没什么问题啊。行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这儿，

送你一个必胜套啊。怎么突然这个了？行，下次课程我们再讲吧，好，那么今天课程呢？我们就说到这，自己下去把这个相对问题好好处理处理。行吧，那么今天课程我们就讲完哦，这个今天又拖了好久，你下去整理一下吧，然后下次我们再继续好下一个见啊。

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