06.冲刺串讲6-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 16:59:58

同学们，行！那么接下来我们就准备开始今天的课程了。首先我们先测试下声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们就准备开始了。那么今天我们就继续开始我们的冲刺救命班的课程，那么今天啊，我们就继续开始，那么在上次过程当中，我们刚好讲到这个导数的计算。那么，

我们讲了各种类型的导数计算，那么像这里面当中的复合函数，隐函数，分段函数，那所以说像这些类型问题啊，你都需要把它进行去重点的回顾一下。呃，在上次过程当中啊，我们跟同学们去讲一下，因为很多人对这个我们三九六同学的后期的这样的一个安排啊，有些同学不理解。那么所以说在这里面当中，我专门给大家做了一个呃，这样的一个时间的，这样的一个整理，

你可以把这张图啊，你给截一下。然后后续过程当中，我们全部都按照这样的一个时间的安排，然后来走好吧呃，刚才过程当中，我已经把它传到这儿，我不知道你截图了没？你可以把这个东西啊写一下，我稍微说一下，然后你心里当中啊，你就知道要做些什么事情了，那么前面这个这些天呢？那么这几天我们会有四套内部卷，我们先测这四套，

然后这四套卷子，每次我们在这个呃考试之前的两三天，我会把这个东西啊。传给的这个传到这个APP上，然后你进行去测，你测完了之后啊，把这四套卷子测完了，其实我们这是今年额外多出的。哎，多出了这个四套卷，那出了这四套卷呃，你们想排名？也是可以的。然后这个第一套可真来不及了，然后是从这个第二套和这个第三套第四套。

那么，这个我们可以做一个这个内部排名啊，这个也可以，你可以进行去参加好了，这是这个，然后就多出了这个四套卷子，所以这个今年出的这个卷子比较多一点。然后这个东西出完了之后，你可以去考，你也可以不考呃，我想想吧，你们先我们先不把这个事情定下来，因为这个东西还得进行去呃，操作得整理。好吧，

我们这个事情我们先不说了，反正这个东西啊，有四套卷子，然后这四套内部卷我先提前讲一下。如果你强化班复习到位了。呃，你可以进行对吧？这四套卷子的模考，你可以进行参加。那如果说这个你才是进行去听这个冲刺救命班的课程，然后你的基础才完善到位，你觉得这个部分的东西啊，你还没有串完。那这四套卷子啊，你可以不抹，

我觉得没有任何问题，所以说这个四套卷子，我们就算额外增加的，然后的话呃，基本上到了这个这个月的月底。我们就能把这个冲刺救命班的第一轮的课程呢，全部结束，那么结束了之后，然后你进行我们进行去考这三套模拟卷。对吧，这三套真题卷把这三套真题卷呢？我们考完了之后是11月12号，然后接下来就是我们的冲刺满分的十套卷。这个时候啊，也就说如果你只听了三九六的这个啊，

这个冲刺救命班课程的同学，你可以只进行去参加这些部分的模考。那么，前面这些模考你可以去选做对吧？你可以选做，然后的话，如果你一直跟着这个课程走，然后这个强化也复习的非常到位，你觉得这些板块内容你可以进行模考了，然后这些东西你都可以模。所以说我们在这里面当中，基本上每周都有一次模考，然后这个冲刺满分的这个十套卷，我们到时候会给大家进行寄送啊，这个是在高校教育出版社出版的，

这个正式的图书。然后这个部分呢，出现了之后呃，然后接下来的话就是基本上我们是总共八次，八次磨完了之后啊，也就是到了12月的这个第一个周。因为这个十套卷里面当中是八+2对吧？然后的话，这有八套的话，这个真呃，这个是八套的话，我们的模拟卷，然后两套是二二年和二三年。因为二一年比较简单，我也没有把它放上去，

所以是八+2，所以这里面当中总共有八套这个模拟卷，我们刚好考到12月的第一个周。12月的第一个周，你接下来就所以最后啊，有一个考前点金课程，然后这个考前点金课程也就只有四个小时的课程，所以。所以说基本上到了这个12月份的第一个周之后啊，你就可以进行去系统的进行去复盘了。把这一年所有的部分内容走一个大回顾，我觉得这个数学就像画了一个完整的圆了，我说清楚了吗？好了，这个事情我们就讲到这，

所以说这样的话，到时候我们进行去这个冲刺满分十套卷的这个模考，每一个同学你们都可以进行参加。对吧，这个时候我们无论是你只跟了三九六冲刺，就我们班的同学，我们呃，这个第一轮的课程也走结束了，我们系统性的完成了一遍。你可以进行去模考，然后接下来的话，这个呃，还有这个真题的卷子，然后这个真题的卷子，你们也可以进行模，

我们基本上到了这个十月底啊，我们这个第一个阶段的部分的课程呢。那就结束了。能理解吧，所以说后续啊，你就重点做这些事情就行，我觉得这个如果你每天的话，这个数学投入的话，这个昨天晚上我们还专门。开了一场直播进行去讲这个事情，就十月份的这样的一个备考规划，如果到了这个阶段，你每天你还要花费七八个小时的数学时间，我觉得这样是非常不好的。啊，

所以说这个为了进行去把这个只听冲刺救命班的同学，还有之前的话，我们强化完成的非常到位的同学，我们两个事情做一个平衡。所以在这里面当中啊，我单独的又出了四套卷子啊，所以说这样其实我们就呃规划起来其实非常清楚了。你后续就做这些事情，只要考的卷子，然后在当天或者是第二天的这个上午或者下午，我一定会给你安排这个课程进行去讲的。所以你不用着急这个事情啊。好了，这个点我说清楚了吗？那现在没有什么疑虑了吧？

就这两天一直有同学问问这个事情，你要清楚一个点呐，不是说你做了多少模拟卷，你就怎么样？啊，稍等一下。所以说这里面当中啊呃，不是说你做了多少模拟卷，然后你会怎么怎么样啊，所以这里面当中啊，有一个重点的事情，无论到了哪个阶段，你的复盘是不能停的。你能理解吧，就是你欠缺了哪些知识点，

你就好好进行去补一补。你比如说我的方程根和零点做的不好，你就要重点看这个东西。你如果说我的这个积分，这个板块内容做的不好，你进去就重点看这些内容，比如说我的这个旋转体体积的内容做的不好，我就重点看这些东西。能理解吧，所以说你要稍微的话，把这些东西啊，好好进行去整理整理，然后到时候进行去做这个模考卷呃，有些部分呢，运算量也会稍微的大一点点。

题目的难度系数也会稍微的高一点，那都没有关系，只要出错了，我们每一次课程我都会影响，所以说我觉得今年的话，这个三九六。你你数一下，这里面当中有多少次，一次两次三次四次五次六次七次，然后再加上八次有15次。然后15次的话，也就是三个小时额外增加的这个模考的部分啊，所以说这个这个课时量啊，给你保证的非常的充足。有人说那老师我都需要听嘛，

你可以重点听，你自己不会的题，那就行了。能听懂我的意思吗？就是你自己，比如说我这次模考，我就想听这个第一题，第五题，第八题，那你就听第五，第一题，第五题，第八题，那别的题目的话，你就进行去。

呃，别的这个题目你不想听的话，你就进行完自完成自己的事情就行，反正我会把这个东西讲完，你未必说每个题都要进行去听。啊，然后这个冲刺满分十套卷里面是没有逻辑和写作的。好吧好了，这些事情啊，我就给你讲到这儿，所以说这就是我们非常清晰的一个三九六同学，我们后续的这样的规划。你觉得你的强化复习的非常到位，那没有事干，你就进行复盘，

然后每周五有一次模考，你觉得你的周内啊，你觉得你还想再模，那你市面当中的这个卷子，但是不宜过多啊。适量为止，只要这个题目当中出现了问题，你就好好的进行去把它攻克下来，不要说我做了这套模拟卷了之后，我错了十来个，我觉得我就没有希望了，也不是这样说的。模拟卷当中出错的问题，他会帮着你进行去找到自己的痛点，然后要精准的去打击你，

不要在这里面当中纯进行去考了。对吧，所以一定要听清楚这个事啊。什么问题？好了，这是这个事情吧，我们就讲到这，所以说你们好好进行去复盘，对吧？你复盘。复盘不能停啊，这是一定要做的事情。那行吧，那么这个点呢，我们就讲到这好吧，

后续过程当中我们再来说。呃，到了这个阶段，再组织这个复盘有点不是特别好了，对吧？因为每个同学的话，这个复盘这个进度啊，已经不是特别一样了，所以说就不要我这边安排了。你就自己进行去，然后进行去安排一下就行了，好吧？好，这个事情我们就讲到这，所以说你比如说你今天磨了一套卷子。

然后你错了十道题，你把这十道题整理下来，每个题对应的考点是什么？你要把这个部分的东西再找到强化讲义。或找到冲刺救命般的讲义，把这个部分的考点的题型，然后再整理整理，比如说我今天做了一个极值的题，哎，做的一团糟。那么接下来我就要进行去回顾一下，我在极致当中，我学了哪些东西极致的定义，极致的必要条件，第一，

充分条件，第二，充分条件，哪些东西出现了问题？你得把这些东西啊，好好进行整理整理，那后续过程当中，你把这十个漏洞补住了之后，你下次见到这个东西有可能就不会出错了。那么下次有可能会做的，这个错误量会更少一点，或者下次我还是进行错了七八个，然后我再把这七八个东西啊，然后进行整理整理。所以你一定要听清楚所有的模考都是为了提高，

你不是来打击你的。如果你觉得这个模考，你就为了进行去测自己的一个一个水平，我觉得这样不是这个模考最大的一个价值。如果这个东西出现问题，你就好好进行去整理整理，找到自己的痛点，把它改正过来就行，好吧，那这个事情我就讲到这儿。所以后续啊，我们今年的话，这个模考卷呃，准备的还是比较充足的。所以后续啊，

你们就好好进行去，这个有模考的这个部分呢，你就模考就行，把这张图截下来。这个时间不会改的。能理解吧，这个时间不会改的，我们现在安排到了11月12号，有双11前后，然后紧接着这个十套卷，我们再做安排。好吧，你截个图啊。好了，这是这个，

然后这个每次这个模考呃，上次的话，我们是在那个B站上会给你安排。这个模考的直播间。能理解吧，你想自己磨也行，比如说我15号对吧？15号考试的，我会提前两天就是十。10月13号给你，然后这个就是10月20号给你，这是10月27号给你，这就是十月这个11月。啊，这个11月这是没有一号，

这是一三，我这个是11月三呃，11月的这个30号，然后给你。能听见吗啊？10月31号给你，所以这样的话，我就会提前给你，你想自己磨就自己磨，但是一定要注意把时间扣准。你们做题的这个时间不要超过一个半小时，听懂我的意思吗？不要超过。就是你最好而言的话，就是八点半到十点半考十点钟考，

因为你从十月份开始培养这种感觉，每天上午的这种做数学。提的这种感觉，因为我们最后的考试的时间就是上午能理解吧，你考试的时间就是八点半。然后考到11点半，然后这个八点半到这个到这个十点钟的时间，你刚好是在做这个数学，那么上次我们是在这个B站当中，然后开了一个直播间。然后的话，我们在我们的这个APP上也开了一个直播间，因为这个微博不太好开，所以我们就不要开太多了。然后的话，

那个因为还有一个这个公众号的话，我后面看了一下，我好像没有。没有开通那个什么视频号，所以说那个东西我们当时也没有开，那么下次要不要开呢？我们再做通知，然后那个。呃，有些部分的话，你就在APP里面考吧，对吧？如果自己的同学的话，你就在APP里面考，我觉得都可以。

那这样的话也会相对而言的话，你自己而言的话也不会受到很多这个干扰，都是我们班级的同学好吧，那么这个事儿我们就讲到这儿可以了吧？不多浪费时间了，那么接下来我们就正式开始，我们来看看今天部分的内容啊。嗯，只要考试的那前一天你就会能看到这个课表，你就不用担心这个事情，你就把这张图截下来就行了。你今天去看10月15号哎，上午没有这个课呀，你不要管这个事情就行，能理解吧，

好这个事儿我就说说到这儿，你就把这张图截下来。啊，我把这个擦掉，你就截下来，你就按照这样的一个时间，然后进行去走就行了，好，我不说了，行不行？这是最后的这个数学的安排好了，那么接下来我们就正式开始，我们今天部分内容那么在上次过程当中啊，我们其实讲了很多内容。比如说我们讲的复合函数，

求导我们讲了这个隐函数，求导复合函数，求导和隐函数，求导是每一年考研过程当中的黄金重点内容。啊，这是非常重要的黄金重点内容。所以说这些问题啊，是我们在考研当中必考的知识点，那每年都会考复合函数，每年都会考隐函数，这是必然的。然后分段函数不是说每年都考，然后上次过程当中我们讲的这个分段函数分段点外直接求分段点上可以怎么办？用导数定义也可以用导数极限定理。但是你想用导数极限定理，

你必须要抠着要求做，如果你觉得你抠着要求做，做的不好，你就不要进行去用导数极限定理。你就统一的用导数定义就行，好不好好？这是这个事情，然后上次我们还讲了一些这个关于绝对值的这个人的，这样的一个规律。你还记得吗？绝对值的一些情况。我们还讲了，我应该是讲的那个题吧。我忘了呃，我们应该是讲了这个。

叫我看看啊。哦，我讲的这个题有一个规律是吧？就是这个人。就这个人有几节可导，几节不可导的，这个问题能琢磨清楚吧？好，这是这个知识点。过去了，可以吗？把这个内容你得把它补全，就是这样的一个问题，那么前面还讲了一个，如果s-s零，

我们都知道在s0处不可导。然后在前面配上了一个连续的函数，要想在这点可导，它必须要保证前面这个函数啊，在这个点处等于零，那么接下来我们来再讲一个问题。把这个绝对值的问题啊，我们统一讲完，那么接下来我们来看一个知识点，就这样的一个内容。好，那么今天我们来看两个函数，一个函数是这个函数。那还有一个函数是这个函数，那么接下来我们来看看这两个函数在一个点处导函数的关系。

我们来看看这两个函数能听懂吧，那么在这里面当中已知条件是已知fx怎么办？在x0处是可导的。好，这个人已经知道这个函数在s0处啊，它是可导的。然后且。写什么呢？写这个if撇s0它等于a。然后接下来我们来记记这个函数，这个函数谁呢？这个函数是这个人的绝对值。然后接下来我们来研究一下这两个函数，它的导函数之间的关系像这个问题啊，严格的进行去证明是非常麻烦的。

你想严格的证明做这种问题啊，是非常头疼的，所以说这里面当中怎么办呢？我们从图形走向上进行去理解是非常棒的。那么，接下来我来带着同学们稍微的进行去理解一下，好，我们先来看看第一个问题。这样我来画一下这个坐标，系你来给我看看第一幅图。还有这里面当中的第二幅图。来看一下，那么这里面当中啊，这假设是fx的图像。so y的d卡坐标系。

那么，在这个坐标系下，我们先来看看这个函数。你想想这个函数在这个点处可导，那这个函数在这个点处连不连续啊？那肯定是连续的呀。所以说接下来我们来研究一下，如果这个点大于零。哎，你先看，如果这个点大于零，那你告诉我在邻域当中，它是不是大于零？没问题吧，根据连续的饱和性，

我就立即可以知道哦，在这个领域当中，它大于零。为什么呢？因为这个函数在这个点处连续，所以我就知道了哦，在这个邻域当中啊，这个函数的图像就是这样。是吧，函数图像就是这样，如果这个点大于零，你看第一条。若什么呢？如果这个函数在这个点处是大于零。好，

我们来看那这个函数在这个点处大于零邻域当中，它就大于零，那你告诉我在邻域当中的绝对值的图像是什么？在邻域当中，绝对值的图像是不是还是这个人？没问题吧，因为在这个领域当中，它大于零，你函数跟这个绝对值不是一样的吗？都是正的，所以说这个时候你发现你看你这个函数可导你的切线斜率，假设是这样。你切线斜率是a，那这个绝对值的这个点处的切线斜率呢？是不是也是a啊？

所以说这个时候我马上就知道哦，绝对值这个函数它。它在这个点处的导函数也是a好，这是第一条，然后再来看看第二条，如果这个点处啊，它是什么情况？小于零那如果这个点处小于零，你想想一个事情，我们现在来画一下。假设这个点处小于零好了，这个fx在在这个点处啊，小于零根据连续的饱和性。我们就知道领域当中啊，这个人就小于零，

不要看太大，你就只看领域。邻域当中都小于零，它图像就是这样。那么，现在这个加绝对值呢？如果进行加个绝对值，那这个人是不是翻上去了？能理解吧，所以说这个时候啊，他就在这儿，哎呀，你就我没有画抛物线。就有些同学就不理解我在干什么。我随便的画了一条线，

人家不是说了吗？这个函数在这个点处的导函数等于a这个切线斜率是a吗？没问题吧，我随便画的，我没有给你画抛物线，怎么就不理解我在干什么呢？好了，那么接下我们再看你发现，看你这个点处的切线斜率是a，那你告诉我对称上去呢？你这是绝对值的图像吧，那你告诉我对称上去是什么情况？对称上去就是这样。所以如果这是a，那这是什么？

那这个部分就是负a，因此啊，这个函数在这个点处的导函数是什么？是负a跟得上吧？好了，这是这个问题，听明白了给我回复一。所以说你要想清楚，你看如果这个点处是大于零，你是a，我也是a，如果这个点处小于零，你的导函数是a，我的导函数是负a。那其实最难的是谁呢？

最难的是这个人。如果这个点处的函数值啊，等于零。那等于零这件事情我们来进行去重点的研究下，你来看看这个问题。好，这是谁？这是yo x这个坐标系。然后现在我们来看看这个人啊，我们随便画一下。那假设这个点处是等于零。那这个点处等于零假设淋浴当淋浴当中的保护性还能保得住吗？就不知道了，你这个点等于零，你的附近有可能是正也有可能是负。

那么，同学们想想，如果这个点处的切线斜率是a，你看是不是a啊？好了，你的切线斜率是a。那你都知道这个函数，如果加上绝对值会是什么情况，我来画一下，用绿色画那加了绝对值，这半边不动。加了绝对值，这半边蹦上去。那你会发现这半边的切线斜率就是a这半边的切线斜率就是负a。没问题吧，

你想想你这半边的切线斜率是a，你这边是负a，如果要想可导左右导数得存在且相等。也就说你得保证这个a得等于负a，那你告诉我a就得等于几啊，只能等于零。能听懂我的意思吗？你只能是零，所以说这个时候你要想清楚就说，如果说什么呢？这个等于零，那这个fx这个人。它等于绝对值，它在什么情况？它在x0处可导。

它的充要条件是什么？充要条件就是这个人的导函数在这个点处啊，他必须等于零。我讲清楚了吗？这样一种理解性的方法是最简单的。所以说像这样的一个问题啊，我们就说到这，你能听得明白吧？这种证明方法可非常麻烦。你要是直接证明呐，说实话有点头疼。啊，有一点点头疼。那么，在这里面当中，

我们你看我这个出这个模拟卷里面当中有一个。啊，有一个这个题。那如果你直接进行证明呢，这就非常恶心了，你这两三分钟内你也做不完呐。你也做不出来呀，他其实就考了这个结论啊，就这个人什么样的一个结论呢，就说如果这个函数在这点可导。那这个人的导函数等于a，你记这是绝对值，如果这个人不为零。对吧，你看如果这个点处的函数值不为零，

你大于零的时候，我的导函数跟你相等，你小于零的时候，我导函数跟你相反。如果你这个点等于零，你要想可导呢，必须保证这个函数在这个点处的导函数啊，等于零。能想清楚吗？所以说如果这件事情转清楚了，你再看这个题就非常非常的简单了，能学会吗？好了，我再说一遍，如它取决于这个函数在这个点处的函数值。

如果是大于零和小于零，那这个绝对值函数一定是可导的，只不过是跟你相等还是相反，肯定是可导的。如果这个函数值等于零，要想可导呢，必须保证这个导函数在这个点处啊，等于零，那么同学们，你告诉我个事情，你把这个题给我描选一下，你选几啊？你看这个题，他说不可导的充要条件。你会选几啊？

不可导，这题很容易了啊，你想如果我是小于零，我肯定可导。如果我是大于零，我肯定可导。只不过就取决于我的导函数，跟你相等还是相反的，然后接下来我们再来看，如果这是大于零，肯定可导，如果函数等于零，要想可导，必须保证这个点处等于零。所以说如果这个点等于零，

你不为零肯定不可导答案，选几啊选b吧。嘿，有的人就盯到这个了，行行行，不说了，不说了，不说了，来来来，过去了。所以像这个问题啊，它就是一个经验。把这个经验掌握清楚了就行，所以说针对于这个绝对值啊，它就是三个问题，

第一个问题就是这个is-s零，在这个点处不可导。要想可导，必须保证前面配的这个在这个点处连续的函数，函数值等于零，然后第二件事情，这个函数在这个点不可导，如果配个N次方。它在这个点处n阶可导n+1阶不可导。能想清楚吧，好了，针对于绝对值啊，就这三个问题，把这个东西啊给我拿下来。好了没？

行吧，那么这个问题点我们就讲到这，那么接下来我们继续吧，我们再来看看高级导数计算。那么，在高阶导数计算当中，我们的核心重点还是以下几个问题，一个事情是公式法，一个事情是递归法。这个东西啊，不重要。啊，我们的重点是背一些公式。然后知道递归法，什么叫递归法呢？

你想进行去求n阶导数怎么办？我去求一阶，求两阶，求。求三阶，求四阶，一直求到n阶去，然后发现诶这个东西有规律，其实你发现求一下，求两下，求三下诶有规律了。总结一下就行了。能理解吧，这叫递归法，未必说我一定要求到n阶导啊，

求几下有规律，它就递归法了。那么，这里面当中，我们需要做的事情是什么？这些公式必须要背过。务必要背过。那么，一个是as加b分之一，它的n阶导数等于这个人的n加一次方a的N次方。负一的N次方n的阶乘好，这个第一个公式考的非常多。那这个公式你会了之后，其实你发现你就会了这个人。好，

你就会了这个人，你会了这个人的话，我们来看看他的n极导数怎么求啊？他的n极导数是这样求我可以怎么办？我先进行去求一下。然后再去求n- 1下，那么先进行去求一下就行，你求一下就变成了这个人，然后再来求n- 1下。那么请注意啊，这个a出去其实就是直接出去，不是n- 1次方听得懂吗？直接出局，为什么呢？因为每当求一个导，

这个系数是不动的。这不是n- 1次方，这是n- 1接导，这是不动的，所以说这个人出去啊，他就变成了as+b，然后分之一的这个人的。n- 1接到，然后接下来你去背公式就行了，那是多少as+b的n+1次方就是N次方。a的N次方就是n- 1次方负一的N次方就是n- 1次方，然后是n的阶乘就是n- 1的阶乘。好，这个人呢？立即出来了。

能讲清楚吧，所以说这个问题，那就说as+b的N次方a的n- 1次方负一的n- 1次方n- 1的阶乘一定要会啊。所以这两个人呢，是考的比较多的，然后一个人考的比较多的就是这个人，莱布尼茨共识。莱布尼茨公式啊，就特别像什么呢？像二项式定理公式，就说我们两个人相乘。我俩相乘的n阶导数，它就等于多少呢？它等于CN 0，我求零阶导就是我，

然后我再求n阶导。CN 1我求一阶导，你再求n- 1阶导，然后CNN我求n阶导，你求零阶导。好，这样的一个问题能理解吧，就说适合用于两个人相乘的情况，我们可以选什么？莱布尼茨公式好了，这个问题啊，你得把它记住啊。这有可能会考的。然后中间这两个人呢？哎，

其实你发现都是次重点了，你再看这个人，那这个人呢？其实就是sin as+b求导。那就是每次对中间变量求导，你在后面补一个二分之n派就行了。对吧，二分之n派，然后中间变量，每次求导都会多一个AA的N次方，然后cos OS in对中间变量求导，每次求导的话在后面补一个二分之n派。你求n次补二分之n派就行，每次中间变量求导多一个AA的它。好了，

这是这个人，然后这个人求导更简单，你看每一次这个人求导的时候a的s love na。对吧，每次自己不动多一个lo una，你再求一次a的s lo una，再求一次a的s lo una，所以这里面当中总共多多少个多n个这个人？好就出来了。好了，这个页面呢，我觉得没有什么难点，你最重要的工作就是什么呢？你就是把这个公式给我记住。把这个公式记住，

如果考了这个题，你把公式给我套上去就行。能听懂吧，所以要小心一点啊，这是这个问题。那么其实我这个我今天下午的话，呃跟那边儿。跟高职生那边编辑啊呃聊聊，专门聊这个事情，你其实你发现呃，现在因为是作为统考。所以说这个。考题里面当中肯定会有一道两道，稍微会比较难一点的。你比如说去年二零二三年考研的那个，

就是那个凹凸性那个题，一会儿我会把凹凸性呢给你做系统性的这个整理。所以你把这个全方位的东西啊，你把它做到位，我们三九六同学最害怕的一个点是什么？就说这个内容不是说不会，而是说这个知识点我就不知道。你这就很麻烦了。好了，这个问题啊，我们就讲到这一会，我们再来总结凹凸性，凹凸性呢，每年都会考。凹凸性简直是我们的重点，

然后接下来我们来看看这个题吧，把这个题啊，我们来看看。那么，首先这里面当中告诉我们对吧？他给了这两个相乘的这个函数，然后怎么办呢？他说在这个点处。的n阶导数是多少？你在这个点处。那么，在这个点处的n阶导数是多少呢？我们来看看那这个题，它不就是什么？它是两个人乘法的导函数啊。

你看是乘法n极导。俩人乘法的n阶导数，我是不是会想到莱布尼茨公式啊？然后你去想想这个人。这个人呢，顶多求两下。零阶导，一阶导，二阶导，这都是有的，但是你发现求三阶导数就是零。没问题吧，所以说这个时候我就莱布尼茨，然后是CN 0，那先求这个人的临接导就是没有导。

然后是这个人的n阶导。然后再是CN 1，那这个人求一借到，然后这个人得多少？这个人的n- 1借到，然后是CN 2。那这个人呢？两极导这是二，然后这个人呢？n- 2极导。好这个人，然后接下来我们再来求三阶CN 3，如果CN 3这个人求三阶，这是几啊零？所以说同学们，

你后面这些人都是减，都是零就不管了。切记不要算了，然后为什么不要算呢？因为你这个题啊，你要注意我这个题只考了什么，只考了它在零处。零一代这个人是不是零零一代？这什么是零？所以说这个前面是多少？这是二分之n乘多少n减一？然后这是二。然后这个人求导的，每一次求导的是a的sl oun 2，然后多少个loun 2呢？

是n- 2个lou nr。然后再把s=0代进去，代进去了之后的话，这两个相乘是n×n- 1，然后这个部分呢，这个部分刚好是二的零次方，刚好是一。然后这是ln 2的n- 2次，方能理解吧好，这里面当中这个题啊，是我增补的一个题。我给你们增加了一个题，你把这个题啊，完善到位就行。好了，

这是这个问题吧，我们就讲到这可以了吧？你要学会它呃，里面当中的这些点呢，是怎么进行去操作的，你得把它想清楚。可以了吗？过去了啊，掌握清楚给我回复一，这是个次重点。那这个问题啊，它不是一个非常高频的重点，它是个次重点。好了没？过去了啊，

来我们继续，我们再来看看下一个问题啊。那么再来看看这个下一个问题，题型八微分第一，大家注意这个人呢，贼爱考。这个点是一个高频点。高频重点那这个高频重点一般都会考微分的定义。啊，都会考微分的定义，那是怎么考的呢？他这样考的就说如果这个函数。可为注意了，如果这个函数可为，那它就一定会有这样的一个式子。

什么式子呢？它有可能会写成第一个式子。它在这个点处的德尔塔y。它就会等于这个点处的dy，然后再加上德尔塔x的高阶无穷小，在德尔塔x趋向零的时候成立。哎，注意有以下这个式子。那么就说什么叫可微的定义呢？他这样说的，他说因变量增量。会等于自变量增量的线性关系，再加上高阶无穷小。能理解吧，你要知道什么叫可为。

什么叫可微呢？其实就是一个点处的德尔塔y等于微分，再加上自变量增量的高阶无穷小这个成立。你在deltas趋向零的时候成立，它就要可为。为什么呢？因为德尔塔x趋向零的时候，德尔塔x的高阶无穷，小更趋向零。这个时候的德尔塔y就会近似的等于dy。因此啊，因变量增量就会近似的等于微分这个人，所以微分可以进行去估算，因变量增量。好了，

这个第一句话能看懂吗？但是有的时候我们通常不是不是喜欢这样写，喜欢怎么写呢？他这样写把它写开哎，你发现你看。这个点处。比如说这个德尔塔s0，加上德尔塔s-fs零，是不是这个点处的因变量增量？好，这个点处音变了增量，然后就等于这个点处的微分，那这个点处的微分会怎么写呢？这个点处的微分就是这个点处的导函数。再乘上ds。

微分也叫线性主播。所以你要注意微分这个人。对吧，这个微分微分就等于自变量增量的线性关系，这个系数通常是导函数，然后我们都知道。四变量德尔塔什么就是d什么。要注意哦，所以你看因变量增量等于自变量增量的线性关系微分就是导函数再乘上德尔塔s。再加上这个人的高阶无穷小。好，有的时候会这样写，但是有的时候还会一般一点，那么现在告诉我这是谁出的增量？几处增量，

那这很明显是s处增量，那s处增量，那肯定是s处的微分就是s处的导函数，再乘上德尔塔s。加上这个人的高级无穷小。你要想清楚。所以说将来我们看到什么，我们只要看到因变量增量。它就会等于自变量，增量的线性关系，然后再加上这个人的高阶无穷小。能想清楚吧好，这是这个问题。所以说通常而言，我们喜欢这样考啊，

很喜欢这样进行去出题，这是你要稍微小心的一些点啊。过去了，可以吗？好靠点一。所以接下来我们来不妨来看一个题吧。呃，看一个题。但这个题。我稍微改一下，可不可以？因为我我们的这个真题当中啊，考的还稍微的少啊，然后的话这个。我改一下，

改一下了之后的话，来一道这个数一数二数三同学的这个真题，我改一下。啊，你看这个题这个题啊，我们考不了。哎，不会考给我们。让我想想啊，我看看怎么改？呃，这样把这个人改成f0=0。把这个人改成。改一下，改成。

一+1s分之它。好了，然后让我们求f1。那这个人怎么做呢？你看这样一改，其实就是比较好的一个题了，马上来看你发现这是什么呢？这是x处的，因变量增量。对吧，它就会等于什么呢？它就会等于微分，再加上高级无穷小，那这是微分，那微分的话，

这不就是导函数吗？所以说如果有些同学水平点比较高，眼睛漂过去，我就知道这既然是微分，那这就是x处的导函数。那s处增量s处的微分。对吧，你这就是x处的微分x处微分就是x处的导函数，再乘上德尔塔x好，这是第一种方法。当然，有些同学说啊，老师我觉得不好看，你不好看怎么办呢？你可以这样来，

你s加上德尔塔s，你减去fs。你可以给它的两边同时除一个德尔塔s。你除以了之后啊，然后这个结果就变成了这个样子。好，你除一下就变成这样，然后变成这样了之后，然后怎么办？给它两边同时取极限。取谁的极限呢？我取德尔塔s趋向零的极限。算了，我还是写一下吧。那么，

在这里面当中，我们取一个德尔塔s趋向零极限。德尔塔s趋向零的极限，你是一个常数啊，然后这个人是零啊。所以就做成这样，那么做成这样之后，你发现这不就是s处的导数定义吗？那s处的导数定义就是s处导函数就等于这个量。都行，两种方式都是可以的，你都能做出来，这个导函数等于它，你注意这种考题非常重要啊。那么，

这次我们三九六同学经常会考的。好了，做成这样，那导函数等于它那这个人等于谁呢？不就等于这个人的不定积分吗？那等于这个人不定积分，这个不定积分怎么做？这个不定积分方法非常多。你可以上下同乘es，上下同除es也可以，怎么办？我们通常方法是我们加个es，我们再怎么办？减个es好这样做，然后这样一做的话就可以除下去，

除下去了之后是一加es分之es。然后这个部分呢，你再来ds。好，做成这样了之后，你发现第一个人第一个人积分是谁s，然后第二人积分是多少？我们不跳补。第二积分的话，你看你es是不是可以凑到后面去，你凑到后面去补成它，然后再来补个一，因此这个人就是x减去多少loe+es。然后再加上c。好，

这个人能听懂吧？那这个人做完了之后你再来看f零这个人呢？那f零这个人的话就等于零减去long long二加上c它等于零。所以说这个c等于几c就等于ln 2。那c既然等于lou ne 2，那这个函数就等于多少函数就等于is-lou ne 1，加上es，然后再加上lou ne 2。然后最后一个事情，我们再求f一那f一是多少一减去ln多少一加一，然后再加上ln二。好，这个题能行吧？你看这样一改，其实就是我们一道非常好的题了。

所以要注意啊，这是一个考点。会考的啊，这是一个考点部分的内容。就是考了微分的定义。那就说我看的这个因变量增量，然后这是自变量增量的线性关系，你再加上高级工效，这就是微分。微分到德尔塔前面是谁出的增量？谁出导函数？如果看不出来，你就用这个导数定义来做啊，这种题还是比较模式化的。可以了吧？

好了，这是我们讲的这个第一个人，然后接下来我们继续，我们再来看看第二点啊，所以说刚才的话，这个第一种考题形式啊，我们就讲到这。对吧，这是包装的方法，把这个什么函数进行去包装了，然后接下来我们再来看看第二种考法，你要注意微分也叫什么？微分也叫线性主步。啊，微分就是线性主播。

所以我们通常你看看那这个人不就是线性关系的主要部分吗？它是个线性关系，主要部分线性主步线性关系，主要部分线性主步那线性主步不就是微分吗？所以我们在题目当中看到的线性主播，其实就是微分。这是你要清楚的。好，我们来看一个题，比如说我们来看看45题，这个题你看这个人。那这个题怎么做呢？我们先来读一下。他说这个函数是可导的，然后谁呢？

是这个人。啊，这个人这个人当自变量x。在负一处取得多少呢？负零点一时。然后它的线性主步是零点一。谁的线性主播？谁的你要注意，我只要看到线性主播，我就像能看到微分，谁的线性主播，你的线性主播。就是你的微分，所以说这个时候我们就把这个人的微分算出来，微分等于多少，

微分等于导函数。对吧，对自变量求导，然后再ds，所以说这个微分就等于多少？先对中间变量求导，中间变量再求导ds。好，就写成这样，然后这个时候我们来想想。当它说什么呢？它说x=- 1的时候。德尔塔s等于负的零点一，然后这个线性主步等于多少零点一？那不是dy=0点一吗？

对吧，往那往里面带一带的话，你看这是零点一。然后把负一往里面带，这是一然后负一往里面带，这是负二，然后这个德尔塔s其实就是ds。注意啊，只要你是自变量。只要你是自变量，德尔塔什么就是d什么，所以说这个人呢，就等于负的零点一，因此我们这个f撇一就等于几啊，你约掉一下就。

就等于零点五，你看本题立即结束了正确答案，选几选d。所以说这个题啊，它的做题难度系数啊，就不是说特别大，对吧？我们从这个做题的角度上，你要知道什么叫线性主播。哎，你的信心主播就是你的微分。你的信心主播就是你的微分，这是你要扣词儿啊。好了，这两种考法你会了吗？

第一种考法就是用微分的定义把导函数包装起来，你找到这个导函数，然后把题做出来。第二种做题考点方式的话，就是我这个题当中的它的线性主播是谁？先行主步就是违反。跟得上吧，好这个考点呢，我们就讲到这。那么，这是我们在这里面当中讲的这个第一个事情，然后接下来我们再来看个题吧，来看看这个44题，你看一下这个题。来看一下。

他说这个函数啊可导，然后给的这个函数，然后求的是谁的v分呢？你要注意是这个人的位分。那微分等于什么呢？请注意，微分等于这个函数的导函数，然后再ds。那这个函数的导函数肯定是这个函数对次变量，求导。没问题吧，这个函数对自变量求导在dx好这个人。那它对自变量求导是多少呢？它对自变量求导，你可以这样写。

没问题吧，因为我们都知道这个导函数啊y对s求导，其实就是这个函数要对自变量求导。其实就是这个人求导。然后这个人求导也可以，怎么写呢？就是先对中间变量求导，中间变量再求导这三种写法是不是都行呢？这都是一样的。所以我们现在来看看。你发现这个第一个就不对，第一个少了es。然后第二个人对不对呢？你要注意，还有一种写法。

还有一种写法的话，就是f撇es，你这两个东西是不是可以凑个分呐？那这个时候你发现es ds不就是des吗？你可以这样写，所以b是正确的。然后再来看c选项，这就是对自变量求导，后面应该是ds也不对。然后再来看这个人，这个离谱。然后再看这个，这个离谱，你怎么里面跑了一个es呢？你这个东西不对。

好了，这个事情我们就讲到这。跟得上吧好，这是这几个点正确答案，选几啊选b哦。所以一定要听清楚我的这个什么微分是什么，微分就是这个函数对自变量，求导d这个自变量。我对自变量求导d，这个自变量。当然也可以是对中间变量求导d，中间变量，这叫全微分的形式不变性。好了，先不扯那么多了。

越扯越糊涂，就抓住一个点，微分是什么？我对自变量求导递自变量，然后你想往中间变量上靠你往回凑就行了。好了，这是44题，能想清楚吧？好，这个点呢，我们就讲到这，然后最后一个事情，我们再来讲讲微分的几何一。那什么叫微分呢？微分是什么？

微分是这个点处切线的增量。什么意思呢？我们来看看这个人。比如说我们给一条曲线。然后这里面当中给了一个点。s0给了这个点了之后，这个点有一个增量。好，我这个点增到这儿来了。我这个点有个增量。那你想想一个事情，这是圆曲线吧？然后还有一条线是这个切线吧。这是不是有两个线呢？这两个线都有函数值的增量。

那么，我们的起点是a点。我的终点是b点，这是曲线的增量。曲线的增量就是德尔塔y。德尔塔y1定是末点的函数值减去起点的函数值。好，这是delta y。然后你发现这个切线也是一条线呐，它也有增量，就是末点的值减去起点的值，这叫dy。能理解吧，哎，这个长度是德尔塔y，

这个长度就是dy微分，然后这两者相差的这个高度呢？这两个东西相差的这个长度其实就是德尔塔s的高阶无穷小。因为德尔塔y=dy，再加上德尔塔s的高级无穷小，是不是这个问题啊？好，你要想清楚哦，这个问题点。那么，其实原来我们在这个基础班就讲过这个题，比如说我们再来看看这个事儿。比如说我出一个题。我除以个德尔塔s，是小于零。

然后这是一个dy啊，然后一个条件的话，告诉导函数是什么？导函数是。大于零二阶导数是什么？是小于零。你看这是什么情况？那么，在这里面当中，我们来看看。德尔塔ydy和零之间的关系，它就会考这个题，你像这种题的话，好些年没考过了，我们来看看。

只要看到一级导数，立即想到单调性。只要看到二级导数，我就立即想到凹凸性，这是凸函数。又凸又增是这一段，所以说它的图像是这样子的。但是你要注意，我们给的一个点。好，我给的这个点在这儿，然后它的增量是往哪增呢？增量是往回增。想清楚啊，它的增量是往回增。

你看增完了之后跑到这儿。然后我们来看看。这是个起点，是a点。这是终点，这是b点。所以说这个高度就是什么？这个高度是德尔塔y，但是高这个德尔塔y是正的还是负的呀？一定是末点再减去什么，再减去起点。末点减去起点，就是b点减去a点。所以说这个人是小于零的。没问题吧，

然后接下来我们再来看，然后你过这个点做一个切线。你做一个切线了之后，你再对应上去。你再对应上去，这个点是什么？你这个点是个c点。c点的话，这个切线也有个增量，就是这么高。这是dy dy是正的还是负的呢？你要用末点减起点，那这人也是小于零。那既然两个都小于零，越短越大呀，

所以说你这个人是比德尔塔y大，反而都是小于零。所以我们最后就得到了这样的一个不等式情况，应该做过这种题吧。好了，这种点啊，从来没有在我们的真题当中有所体现，从来没有考过。如果考你把这个东西拿捏下来。所以微分的定义，微分的计算，微分的几何，一怒拿两分，这是今年的高频点，每年都是有。

所以怒拿两分，你的整个的这个70分的构成呢？都是通过这一个两分，一个两分，一个两分的把它拿下来的。好像这种点，所以我再来总结一下，学到最后微分的这个东西的考点就是三个事情，一个事情。利用微分的定义包装了一个导函数，你把这个导函数立即找到好本题结束。第二种考题其实就是我们在这里面当中要了解到微分，其实就是线性主播。对吧，就是线性主播微分等于导函数，

再乘上一个ds就是这个函数的自变量，求导在ds。然后第三种考法其实就是微分的几何意义，你要注意微分这个东西是切线的增量。好，这个问题我们就讲到这就这三个事情包装。线性主播几何意义？这三个问题拿捏下来就行，无论怎么考，就这样来来回回这回事儿啊。好，这个点我们就讲到这儿，可以吗？就讲到这来，继续吧，

再看下一个问题。那这是我们在这个第一个点当中啊，出的这个问题点啊。来继续吧，我们再来看看下一个问题，导数的几何意义好这个问题啊，你在旁边标注一下这个内容必考。100%考，不用去想，肯定会出题。就这个问题，必出题，能想清楚吧？好，所以说接下来我们来看看切线方程和法线方程b出题啊两分。

你去看看我们的真题，哪一年不考这个？但是你去看数一数二数三呢，确实很少进行去出这种啊，单独出一个题比较奢侈。那么，现在看看这个切线方程和法线方程。那么，首先第一件事你要注意问题。我们现在考的这个切线方程呢，和这个法线方程我们来讲讲。那么，这里面当中。x然后这里面当中给一条线。比如说这里面当中给了一个点。

那么这个点处的这个切线方程怎么写啊？啊切线方程如何去写呢？这个切线方程就是这样。啊切线那么切线方程的话，其实就是直线点斜式，你看经过这个点，我们就写了y就等于。fx 0。加上f撇s0 x-s零好这个切线，然后第二件事情就是法线。那法线的话，其实就跟这个人相互垂直。切合法，相互垂直，所以说斜率之积是什么？

斜率之积是负一，你也经过这个点，然后就等于导函数分之负一，然后是x-s零。好，这就是切线和法线，那么接下来我们来看看怎么考？如何考。你想想一个事情。你看到这个切线呢，它一般会告诉你在哪个点处的切线吧，所以说这个东西是已知的。所以核心重点是求该点值，有的时候该点职业告诉你，核心重点是求导函数。

所以要想清楚。这个东西的核心重点是求导函数。要注意啊，核心重点。是求导函数。这是重点。那所以说怎么考呢？比如说第一件，第一件事情。它可以这样考，我们设置一个什么，我设置一个复合函数。那给了一个复合函数，那就设计复合函数的求导求概念值。然后第二件事情，

我可以考隐函数。对吧，第三件事情我可以考一个分段函数，在一个点处的导函数。所以这三件事情的考法，这是常规的，那么还有一种考法。第四件事情怎么把一个点处导函数藏起来呢？哎，我还可以用导数去定义。那么，导数定义怎么办呢？我把它藏到极限里面。好了，就这几种考法。

把这几种方法拿捏下来，问题点不大，对吧？有的人用复合函数，隐函数，这都非常普通的。对吧，然后这个分段函数的导数定义的，那这非常普通，比如说我们接下来我们来看看。你先来做几个题，你先看这个题。那么这个题啊，我们一起来看。呃，

但是这里面当中要稍微小心一件事情。小心一个点，就说你这个切线和法线一定是经过曲线上的一个点的切线和法线吧。你这个点必须是在曲线上啊，你经过的是曲线上的一个点的切线和发线。必须是曲线上。那万一有一天我害怕他太坏哦。但这个几率不大，你这样考就没什么意思了，我觉得。真是没有什么意思了。比如考这样。它在什么？它在这个点。嗯，

这个点是is 0y0。我过这个点做它的切线，我来讲一个事情，这种问题不是说会不会？而是说你能不能看得出来，你听得懂我的意思吗？不是说会不会就是你碰到这个题的时候，你有没有看出来它是这种问题？你不要考完了之后的话啊哦，这个点不在线上那拉倒。是这样一件事情。所以说我们怎么做呢？你就过这个点哎，你切过去当然了，老师那也有可能缺在这两边随便设嘛，

设一个点，这是无所谓的。好了，我们去设设置是x1y1。你把这个设出来。那么，就列两个方程，第一个事情y1和x1在这条曲线上。第二件事情，两点之间的斜率公式y1-y零比上s1-s零。那它就等于多少呢？它就等于这个点处的导函数，两个方程，两个未知数，一下子就把这个点解出来了。

而这种问题，我们考的还挺多。对吧，你就把这个点解出来了，两个方程，两个未知数，把这个点解出来，把这个点解出来之后啊，它就好做了。能想清楚吧，哎，两点之间的斜率公式。然后把这个点解出来，把这个点解出来之后啊，他就好看了。

那我问你，你怎么判断一个点在不在线上啊？啊，你怎么判断一个点在不在线上啊？你去问你初中老师，初中老师都会啊，这不不是初中老师都会，初中老师都讲过，我怎么能这样说话呢？能理解吧，别别别这样哦。好了，这是这个事情，你带进去不就行了，你比如说看这个题。

那这个题啊，我们来看看。那做这种题，稍微的小心一下，你看这个点你带进去带进去了之后，这是零这是零，然后这是零，满不满足满足啊，他肯定在线上啊。好，他就在那么在的话，你发现我们来看看切线，如果它在这个点上，它的切线方程怎么写y等于这个点？然后再加上这个点处的导函数x- 0。

好了，这是这个问题，然后这个东西啊，就做成这样，你要想把这个切线写出来，你的核心重点是把这个导函数算出来。而这个题给了一个什么，给了一个方程去求导，那不就是隐函数求导吗？你看两个知识点都考到了，所以他很喜欢这样考。那当然，这个方程它有可能怎么办？比如说我里面当中把一个东西出现一个变现函数也是可以的，比如说我们今年做模拟题啊，

里面估计会很多。啊，就说你这个方程里面当中还可以有变现函数啊，那含有一个变现函数的方程嘛，那一样的啊，那万变不离其宗。所以接下来我们来看看，我们要求导其中。那怎么办呢？两边同时求cosine xy。然后这个时候两个东西进行乘法求导，就是前导后不导前不导，后来导。然后再加上然后是这个部分分之一，然后就是y导再减去减再减去一，

然后这跟求导是一。好，这个问题能琢磨清楚吗？把这个事儿想清楚，然后接下来我们再把什么再把零和一带去。啊，带上去。一代的话，你发现cos 0是一，然后这是一+0，然后这是一不管了，再加上y撇减一等一。所以说这个y1撇儿，它在零处就等于几等于一。那既然等于一，

就把这个人带上去，带上去之后一输出y就等于多少y就等于s+1，所以正确答案选几选b。你看这个东西啊，立即出来了，对吧？52题这个题啊，它又结束了。能琢磨清楚吧。好，这是这个点，那么接下来我们继续，我们再来看。那这是这种考题，那比如说我们在去年的时候，

其实已经有考到了。那么就说我们告诉一个什么呢？我们告诉比较简单的，我们看看低配版的。比如说弱什么情况呢？若这个函数。它在什么x=0处连续这去年考过的题啊。连续，然后且告诉什么呢？且告诉了这样的一个事情s趋向零，然后x倍的fx- 1。它等于二，然后则什么情况呢？则这个fx在什么情况在零？f0处的切线方程为多少？

你看这种题。所以说像这个人呢呃，他比较简单。那么你想想一个事情，他不就是给了一个极限，而且知道了连续你想进行去求这个切线。你求这个切线的，这个主体不就是f 0+f撇0 x- 0，你的核心重点不是求这俩人吗？能理解吧好，这是这个事儿，所以说你发现你看我们就这这两个事情。对吧，我们就求这两个人，一个事情是求f0，

一个事情是求f撇零，我有没有教过这个经验呢？抽象的比值极限存在，且连续求该点怎么求？怎么求该点来分母的极限是零？分子的极限是零，我给你写慢一点，其实你都不用写这些事儿，你这个人的极限是零。而因为连续存在的极限等于函数值，它等于零，所以马上知道f0是一。那么，所以第一件事情先用一下分母极限是零，分子极限是零，

把这个什么东西呢？把这个人做出来。然后第二件事情怎么办？我再进行凑导数定义，而这个题的话太容易了，你发现这个一不就是f0吗？所以说这个东西不就是f撇儿零吗？那就是二啊，因此这个人就结束了y就等于多少y就等于一+2倍的s。好，这是这个人。能听懂啊，这是这个事情。但是像这种事情呢，我可以把你怎么进行去改这个题呢？

你改这个题的话，你可以这样来，那如果进行去改这种题。你就应该是从这个上面进行去着手。你从这个上面，比如说我把这个极限呢，变得更加的恶心一点。比如说稍微啊贱一点的人啊，稍微的话怎么改呢？比如说我在后面加一个sin x方。对吧，你加个这个人，但是你发现一阶加二阶其实是没有用。这就是把一个题目稍微的变复杂一点，然后让你去看看。

对吧，这样记清楚。那么，另外一件事情能理解我的意思吗？然后接下来我们就继续。然后还有一种呢，你比如说我还可以这样摆。啊，我们稍微进行去把这东西改一下，比如说我们可以这样改，我在下面再加上一个三音呢。你看这个人，那这个时候的话，其实你就知道了，我们都知道当x趋向零的时候x+s in。

你进行等价，你等价的最简形式，等价的最简形式，这两个东西消得掉吗？消不掉对吧？消不了，可以等。所以说这个时候一等价，然后把这东西啊，它不就是2s吗？等价成2s对吧？你等价成这个人。把这个二乘过去，还不是这种题吗？所以说你要想方设法的，

你要知道他怎么进行去出这个题啊他？它的一个重点是什么呢？它的重点其实就是把这个极限呢？把它给改麻烦。能想清楚吧，或者而言的话，有的时候我觉得这个式子还是太简单，你比如说我这里面当中可以怎么办？我可以这样除。你觉得还是太简单的话，你可以把这个极限呢，你这样改。你在在这里面当中，你稍微进行去补一下，比如说我在这里面当中补一个什么呢？

补一个lin 1+s。你看这个极限不是一吗？你就把这个人给拆出去了。对吧，就是这个人极限，加上这个一，然后等于这个人那，所以说这个人极限等于几啊，等于一，所以说你要想清楚就是。它只会增加这个极限的复杂性。啊，但是还是在我们的可控范围内，不就是那些破极限的做题吗？难度系数不是说特别大，

你知道怎么考了吧？注意这种问题的考法，他就这样来。哎，我们有这么多种的话，这种问题的考法，你要想清楚。那么，接下来我们就继续，我们再来看，那还有一种问题，那其实就是两个函数在一个点处的相切，你注意这个问题是必考点哦。这一定会出题的，100%的都不用去想的好，

我们继续。再来看两个函数，在一个点处相切，这是y，然后这是零，然后这是x。那这个时候你发现我这一类目当中给了一个函数。比如说你两个函数，要想在这个点处相切。这两个函数在这个点处相切，跟这两个函数在这个点处具有公切线是一样的。你要想相亲，你首先相碰吧。你先碰着再说。你碰都碰不着，

切个鬼呀。首先先碰着，那碰着的话，它就得保证一个事情，你两个点处的函数值得一样。好，这是一个问题，然后第二件事情，你要想像切这个点处的导函数的一样，因为你具有公切线。斜率是一样的。没问题吧，所以说要记住，就说两个函数在一个点处相切，必须要保证两个事情，

一个事情是函数值相等。一个事情是导函数值相等。好了，这个问题啊，把它讲清楚啊。所以我们下次再做这个问题的时候，你必须要把这个点呢，把它梳理清楚。好了没？可以了。那这是我们在这里面当中啊的这样的一个方向性问题，就是你的重点就是第一个点，我们这个切线方程和法线方程要注意求的是曲线上的一个点的切线和法线。然后怎么去求它的核心，重点还是求这个导函数，

然后第二件事情就这个人，那么接下来我们来看个题吧，比如说你看看这个题。好，我们来做一下，那他说了一个事情，他说这两个人在这个点处具有公切线，你看来了吧？它考点就是这个东西。那么所以说你这两个人在这个点处具有公切线。那么，接下来我们来看看这个方法一。两个人在一个点处具有公切线，第一个事情那函数值不就相等吗？那f1就等于它在一处，

那不就是多少？它在一处是零。第二事情，你在一处的导函数呢？一处的导函数等于多少？你在一处导函数是几？你在一处的导函数是零？诶，这是一处一处是零导函数是多少？导函数是2 s- 1是负一。所以说这个时候啊，你把这个你看函数值相等导函数值也相等。所以说这两个函数啊，你发现函数值相等和导函数值相等，我就得到两个条件，

一个事情是函数，一个事情是导函数。那么，接下来我去求这个极限怎么做？大家想想这个极限怎么处理啊？好了，不要再打问号了。你就不能稍微的等那么一下下吗？哎呀。好了，这是这个问题，那么接下来我们看看这个极限，然后这个极限怎么做？怎么处理啊？那你想给了一个极限求导数，

给了一个导数求极限，所以说这里面当中我们就可以考导数定义啊。那这个时候你要把你的浑身解数往什么进上面来呀？那么，在这里面当中，你肯定要怎么办？往一的导数定义上来。能听懂吧，往一的导数定义上来。哎，这是一是吧啊？那么，往一的导数定义上来的话，那么接下来我们来看看。那么，

既然要往一的导数定义上来，你这个括号里面。是不是得出现一的增量啊？对吧，你肯定得出现一的增量。所以说这个时候要出现一的增量，你想想我们凑一的导数定义是一加上什么减f1比上什么一加上什么？对吧，一加上什么的话，我得有就得要一那怎么办？怎么出现一呢？你给上面加杆儿，你减杆儿。所以说就是变成了这样。对吧，

你就把这个人呢写成了一加上什么，然后你要减f1f1是零随便减。但是你加上这个人，你还要除以这个人，你除以这个人就要乘以这个人。然后你前面有个x，你把这个s写到这儿。大家听懂了吗？好听明白了，给我回复一啊这个事情。所以像这个考点呢，你先做对吧？这就是一个题目条件信息，然后凑个导数定义啊，这是我们通常的一种考法。

然后做成这样了之后，你发现这个极限是多少？你这个极限是负二啊，不为零，所以说这个东西就是个非零因子。那么，既然是个非零因子，我们就可以把这个东西给抛出去了。那就是负二倍的它。好，那么接下来我们来背一下，你看x0加框减fx 0比上框。那么请告诉我这个框趋不趋向零啊？当x趋向正无穷。然后这个部分就趋向多少趋向零，

然后加个负号，其实这个东西趋向零负。应该是个左导数。但是没有关系，你都知道导数，如果存在左右导数存在都相等，都是一。那所以说这个东西啊，你就直接写什么，你就直接写一个一处的导函数就行，然后这个一处导函数是它，那就是负二正确答案选几。选a呀好了，这是一种方式。那么其实这个题啊，

你能不能做的更快一点呢？我觉得可以。因为你想想。你这个题的题目条件信息是不是这两个？你的题目条件信息只要满足了f1是0f撇，一是一就能保证这两个函数在这个点处具有公切线。所以这是你的题目条件，然后让求这个极限抽象函数，我是不是可以举例子啊？我在这边要取什么呢？很多人问我取说录音也可以。注意不要这样。你举的例子要越简洁越好。有些同学取的那个例子塞进去那个极限都不会做了，你还取那个例子呢？

你不要举那个例子。例子要举的越简单越好，然后方便你的做题，不是说你把例子举出来，你就牛逼，那不是的。你举出了一个例子，结果你不会做极限了。那这有什么嘞意思呢？你要注意，为了下一步还要服务呢，所以我举什么通常举例子啊，先从幂函数开始着手。对吧，先从幂函数。

先从幂函数进行着手的话，你想想。这是一的时候是零。对吧，一的数是零导函数，一是一那你就取个s导函数是它那一处是零啊，你得减个一。你想是吧，你看1s的导函数就是一嘛，因为一导是个常数，然后它要想在一处是零减个一。你举个这个人，你一旦举这个人了之后，我们就可以把它塞进去，你塞进去这是x，

然后是f它的话，这是x+2再减一。然后这个时候就变成了s趋向正无穷，然后这是s+2，然后上面减下面负二负2s，这个极限是多少？这是负二。那么，我举了一个例子，它等于负二，你说等于负一，你看没有等于负一吧，你说等于没有等于一吧，你说零没有等于零吧，没有等于你吧，

你看你们几个人都不对，那我对。所以我原来一直跟你讲举例子啊，你举对了，你不能说它对。你举的说他不对，是可以的，你不能说他对你举了一个例子，对那这个人不行，所以做这个题啊，最快的方式当然是这样来。好了，这事情我们就讲到这。可以了吧啊，这是53题，

这个题把它想清楚啊，要知道怎么去处理？好了，没那么这里面当中啊，我们还是。稍微保证一下啊，保证这个复习工作，我们是万无一失的，那么接下来我们在这里面当中，我们再来看看一个问题。那还有一个点。那如果是参数方程呢？对吧，你要想清楚，如果这里面当中给了一个参数方程。

如果是个参数方程，我想去求切线，发现怎么做呢？就这里面当中给了一个人，他说s是一个t的函数y是一个t的函数，然后我确定了一个函数，我确定了这个函数。我确定了这个函数，我想求这个函数，它在一个点处的切线和法线，你怎么做呢？同学们告诉我。你做的是一个什么坐标系下的切线和法线啊？什么坐标系？是yo x坐标系。

要注意是这个坐标系是这个标有红色部分的，这个坐标系。不是x ot，不是yo t，是x oy坐标系。上的这个函数，它的切线。就说我是在这个坐标系下是x oy坐标系下的这个曲线，它的一个切线方程。那你想想你在乎几个事情啊？我在乎的第一个事情不就是你这个点的x等于多少吗？你在乎的第二个事情不就是你这个点处的y等于多少吗？第三个事情，你这个点处的切线，你的切线斜率是什么？

你这个切线斜率不就是y对x的导函数等于多少吗？在t0的时候。所以说你的目标就是三个事情，把这个人求出来，把这个人求出来，把这个人求出来。所以在一个具体题目当中，你就做这个事情，把什么呢？把这个人求出来，把这个人求出来，把这个人求出来。所以说我们这里面当中的这个切线怎么写啊？你看切线就是这样，就是y=y零，

再加上导函数乘上x-s零。然后这个导函数是多少呢？导函数是y对s求导，其实就是y对t比上x对t，不要被这个。这个不要背。掌握清楚你的方向就行，你的目标就是三个人，我要求出这个点处的x，我要求出这个点处的y，我要求出这个点处的y对s，求导。求出这个人呢，你切线方程会做了，然后这个人的法线方程呢，

我也是会做了。好这个，所以像这个问题啊，就非常非常的简单。能跟得上吗？会做了吗？要做一个题吗？来试一个可以吗？我找一道，因为我们我们真题里面当中是没有这种题的。呃，我们真题里面没有的话，我来找一个。好，来看看这个题。

来做一个吧。那么这个时候让我们去求的是什么？让我们求的是x。等于零，你看这是x0。y0。对吧s0y0还有y对s求导。那么，现在这个题的主旨是什么？主旨不就是y对x求导吗？y对s求导，其实等于多少，它就等于y对t比上什么x对t嘛。是不是这个人，然后这个y对t是多少呢？

就是前导。后面不倒。然后再加上前面不导，后面来导，后面来导是一减t方分之负二t。好了吧啊，这不用打点这个非常简单，然后紧接着我们要求x对t求导。你x对t求导，你看x自变量是t里面当中没有t标准型来对t求导。上限移进去。上限再求导，负一没了。所以就是这样，但是现在关注点，

我们要求这个此时的这个t等于多少呢？那非常简单，你就让这个人等于几啊x=0。你is=0的话，你发现被积分函数是正的，只能是上下限相等，只能是一。能听懂吧，你被积分函数永远是正的，你只能上下线相等，所以我们现在把什么把这个t=1带进去。t=1带进去了之后，你发现这个。一旦去。t是几？

t是一。这个题是不是敲错了呀？就看看。哦，这是二啊，不好意思。这个书上是对的。那这是二，所以说这个上面这个人，我得再求一下hi。来求一下，那前导是他。后面不倒。二减t方，然后再加上前面不导，

后面来导是二减t方分之负二t。是吧，是这个人。所以现在我们就来看看这个事情，你把这个一带去一带去的话，这人就没了。然后一代进去的话e的零是一，这里就没了，下面有个负一。然后一带进去的话，这个部分是一，然后这是一，上面是负二，下面是负一两一，除是二。

能想清楚吧，好了，这是这个点。所以说这个时候我们来看看你，发现这个导函数就出来了。那么，这三件事情是不是出来了？x0等于几零，y0等于几零，然后这是什么y对s进行求导？在t=1的时候，它等于二。好了，那这个时候求导出来之后的话，这个切线y就等于零，

再加上二倍的s- 0 y=2 s。好了没啊？就害怕这种题，但这种题比较简单，这种题还没有刚才的题啊，有水平呢。这个题就是我知道了t0的时候，我要把x求出来y求出来y对s求导出来，把这三个人求出来，我就出来了。好了没掌握清楚，给我回复一。那这是这样的一个信息点。然后再来看看考点二。那如果是个极坐标呢？

对吧，如果是个极坐标呢？极坐标，你要注意，如果他告诉了一个极坐标方程。你就把它给我写成参数方程。只要这个题目给的极坐标方程，你就把它写成参数方程x就等于r。cos theta.y就等于r。s in西塔不要想方设法的把这个极坐标写成直角坐标。你要想把这个直极坐标写成直角坐标，那就有点尴尬了。所以说你只要见到极坐标，你就把它写成参数方程。

啊，这个非常简单，就说x就等于rcos西塔y=rs in西塔对吧？你把这个r这个部分呢？你作为这个前面这个部分。它就出来了，那参数是c塔吗？所以说你现在比较在乎的是什么？你比较在乎的就是在theta=0的呃theta 0的时候。你的x等于多少？你的y等于多少？你的y对x求导是多少？对吧？就是这三个事情跟刚才一样过去了啊。好了，

这是这个问题，然后接下来我们再来看一个题。那么这里面我给你一个什么？我来给你一个椭圆。a方分之s方啊，上面那个东西我们就不给提了啊，非常的简单，你随便给一个参数方程，你都把它写成s，等于它y倍的它。那然后就变成了一个参数方程了，这非常简单，我们不讲这个题了。然后接下来我们再来看我们给一个椭圆。那这是个椭圆吧？

我们就想求一个事情。这个椭圆呐，你在x0和y0处。你的切线是多少？好，这是这个问题。那么就说我们在这种当中给了一个什么，给了一个椭圆。我想求这个点处的切线。你怎么做？要不这样吧，我们课间休息会，然后你把这个事情你给我求一下。哎，把这个东西求解一下。

好不好好？我们稍微休息会儿，然后。呃，课间的过程当中啊，你把这个题完成一下。行吧，把它求一下。行吧，我们稍微的休息会儿，然后另外一个事情，一会儿课间休息的话，你可以看到你的屏幕上有这个冲刺大模考的这个时间安排。你可以把这个东西啊，截个图啊，

然后的话，我们最近段时间的话，这个模考的这个安排，你就按照这个东西进行走就行了。行吧，好了，我们稍微休息会，一会我们继续吧。

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