05.冲刺串讲5-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 16:59:32

行，那么接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测试声音啊，能听到声音，而且后面没问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们就准备开始了。那么今天我们就继续开始我们的冲刺救命班的课程，那么上次过程当中啊，我们核心重点讲了这个导数定义，那么导数定义啊，是我们在每年过程当中啊，一定会必出题的点。对吧，

无论是我们在上节课讲的这种抽象函数的这个极限计算问题，还是凑这个导数定义，或者是利用导数定义啊进行去求极限的问题。那么，像这种问题啊，其实都是我们在考研当中的重点呃，声音小。你们稍微调一下吧，这个我害怕，我这块儿调了之后啊，跟那个跟那个声音的话又起伏非常大，然后昨天晚上我就稍微的调了一下这个啊。啊，你们那调一下，不然的话，

这个一会又平衡不了。好了吧，那么接下来我们就继续开始，那么今天我们的核心重点其实有两个事情，一个事情是微分的定义，一个事情呢是导数计算。那这两个点呢啊，每年考研的时候我们三九六同学的出题啊，都是非常重要的呃，我稍微在这个正式上课之前呢。聊几个事情吧，因为在最近段时间，我们的核心重点其实是这个第一个阶段叫做冲刺大串讲。那么，像这个问题啊，

可能跟我们的强化部分的东西啊，稍微的重合度会稍微的会大一点，有些同学如果听到强化，那第一个事情你要进行去复盘。当然，你也可以根据着这个冲刺的这个部分呢，然后进行复盘，然后另外一件事情，可能这个已经进入到这个十月份了。那十月份的话，很多同学，我们在这个呃，可能见到很多同学做了一些模拟卷，做了一些模拟题，我希望同学们一定要认识清楚一个事情。

你做的东西啊，一定要稍微的稳一点，我记得这两天很多同学问了一个题，我不知道你是在哪个卷子里面做的这个题。给了这样的一个题啊，这个给了一个什么这个根号下x怎么样？这个根号下x怎么样？对吧，这个情况。那这种题的话，其实你发现呃，我忘了这个开几次方这种题比较简单。你看这个人，你这两个东西的话，一看的话，

你发现核曲DJ它的核心重点是不是这个人啊？你所以说这个东西是个什么？你这个人是二分之一节，你这二分之一节的话，跟这个人的话，重点还不是后面这个人吗？那所以说这个整体其实是四分之一节。那四分之一阶的话，然后跟这个人合取，这阶又是后面这个人，然后开个房，所以这种题你就看看有些同学没有把这个深层次理解清楚。那如果你学到现在啊，你见到这个东西的话，鸡的感觉你像这种题很快就把它处理清楚了。

所以说还是一个问题吧，你一定要做的稳一点，对吧？你做题一定要稳一点，就是我们把该学的这些东西啊，做的扎扎实实的。然后接下来再进行双模拟卷，那么今天的话是这个。今天是六号，对吧？今天是六号，然后的话，这个周的周末，我看看这个时间啊。八号哎，

八号呃，八号我们看看吧，我看看明天的话，这个情况，因为明天是上班，然后的话，这个明天呃公司他们上班了之后，我跟他们说一下这个事情。我们可以安排这个模考，所以说这个呃模考的这个时间呢，八号如果不进行的话，我们就是下周三或者周四好不好？所以你们不要着急，这个事情那么接下来我们有几套卷子呢？有这个二零二一年的这个真题，

二零二二年还有二零二三年，然后中间还有我们两套模拟题。所以中间还有五套模拟题，然后紧接着就是我们的石涛娟，所以你不用着急，这个事情你把该学的东西啊，你做扎实就行，不是说你这个。你总会被别人推着走呀，别人刷了什么，你就要怎么的，别人怎么怎么样，然后你要怎么样，你每天的话，你这个呃状态啊，

或者是你这个节奏感，老是被别人打断。所以我觉得这个到了后期啊，之前不跟你说过吗？你找几个战友对吧？我觉得在这个复习过程当中，呃组一个小组，那后续过程当中的这个模考，你可以督促你们的小组里面的每个同学，然后积极的去参加。然后另外一件事情的话，就是每天该进行去复盘的任务啊，多进行去督促一下，我觉得这就非常好，好了，

那么接下来我们就正式开始吧，不多说了，我们来看看今天的核心重点。那么，在上次过程当中，我们讲了这个题对吧？前天讲了这个题，我说这个题你下去的时候。你可以进行去思考一下，还有没有别的方法可以把这个题快速做出来的呀？这个题啊，那上节课讲了第一种方法呀，方法一。就严格的推演。对吧，

你严格的推演，那推演完了之后的话，这个题还有没有方法？当然有，我们可以举例子。对吧，取反例。那这个举反例啊，你可以举多少呢？人家说的是二级导数存在。那么像这个人，有些同学可能举这个人。我取一次函数，一次函数就不好，为什么一次函数进行去取完了之后，

你二级导数的话，这个部分是等于零。你倒一下是一，再倒下是零，你发现这个abcde这几个选项好像都符合。所以说这个时候你这样进行去选呢，选的这个例子就不好，你选多少呢？你可以在这里面当中啊，你举一个人。你取多少呢？我就取这个fs啊，它等于x方对吧？你可以取这个人，你取这个人了之后，

我把它带上去。你看这个h趋向零，然后这是二倍的多少fs 0，然后再减去多少呃，这是二倍的s0呢，它其实就是s0的这个人平方。然后接下来的话，这个人其实就是s0，再加上多少h这个人平方，你再减去s0-h这个平方比上这个人。那然后接下来把这个东西啊，稍微整理一下就迅速就出来了，你看这是二倍的s0的方，然后减去后面这个。那后面这个人是多少呢？

你后面这个人其实是这个人，加上这个人。那这里面当中就有两个s0的，方有两个h的方。然后这个部分是二倍的，这两个相乘，这是减，这是加，那就没了，所以说这俩东西约掉h方，然后得到负二。那这个得到负二的话，你看你导一下是2s，你再导一下是二，所以说我们知道这个人在s0处的这个二阶导数啊，

肯定是多少肯定是二。因此，这个结果就等于多少，它就等于负的这个s零处的二阶导数，那既然是负的，你看这个负二分之一不对。你这负二不对，你这二倍不对，你这个人不对，你排除这几个人，你只能选题。能理解吧，你可以通过这种方式啊，把它迅速做出来啊，这个题。

所以像这种抽象函数的极限，有的时候我未必要直接进行去推演，你可以通过这种举例子的方式做起来也非常的快。你看这个题过去了可以吗？来我们接下来继续，我们再来看看下一个问题，41题啊。看一下这个题。呃，这个题啊，是我们三九六同学二零一六年的考研真题。虽然说这个二零二一年之前的真题啊，有些部分的这个价值量不是说特别高，但是有一些题啊啊，它的质量还是可以的。

你比如说看这个题，他说这个函数在这个点的某领域。啊呃，你们不用着急，我下次课程我会把接下来的所有的这个模考的时间表。我然后给你整理成一张表，然后全部发给你。可以吧，这样的话，你就不用尽情去担心这个事儿了啊。好了，那么接下来我们来看看这个人，他说什么事情呢？他说在这个点的某领域内连续哎，同学们想想。

淋浴包不包括这个点呢？你看他说的是领域。包括这个点吗？哎，当然包括领域是绝对，包括这个点的，那去心领域不包括，所以说这个人呐，他在这个点处也是连续的。那么然后说给的这个极限，让我们去求f0和f撇零，那这个题比较简单的是什么呢？你眼睛一瞅你就会发现这个极限是几啊？它是一那既然是一的话，加减法当中见到存在就拆开你的极限是一，

然后是s分之fs极限，这是二。所以说就得到什么，就得到了s趋向零，然后这个人的极限结果是几是一。那做成这样，然后接下来看分母极限是零分子的极限就是零。那极限是零跟函数值是零一样不一样，当然不一样，那么又因为什么呢？又因为这个极限等于什么东西呢？它等于这个点处的函数值。所以说这个点处的函数值啊，它就是零。没问题吧，

然后紧接着我们怎么办呢？我们在这里面当中稍微的凑一下，你这是fs，既然这是零，我减一个。然后这个人减一个，所以说这就是f撇零呢，就是一因此这个题啊，它就得到了这个人是零。真实意义啊。好了，这是我们讲的这个41题，那么接下来继续吧，我们再来看看43题啊，这个题啊是一道非常非常经典的题。

啊，这个题的质量是很高的。那么，接下来我们来看看这个题目。那这个题说的是什么？他说这个人呢？在这个点的邻域内有定义，你注意了啊。人家只说什么，人家只说了是在这个点的邻域内有定义连续吗？不一定连续有定义，不一定连续极限，未必等于函数值。这是要注意的，这就是跟我们去年考研真题一样，

去年真题那个东西就说了，在这个点处是有定义。有定义，不一定是连续，所以极限未必等于函数值。然后告诉了个什么情况呢，说这个人的绝对值啊，小于这个人则这个函数在这个点处怎么样？那这个题怎么办呢？我们来想想。那根据abcd，这几个选项还有这个e这几个选项，你发现我们这个题的核心重点需要做两个事情。第一个事情，你要做的是连续性的问题。

对吧，连续性。连不连续的问题。连续性的话，同学们想想我需要做几个事情，我做的这个东西其实要做这个人，一个事情是s趋向零的极限。然后另外一个事情要求这个点处的函数值要看看这两个东西相不相等，所以我做以下几个事情。要求这个点处的值，要求这个极限。那这个东西怎么做呢？我们先看看该点值。那该点值，你想想也就说你这个式子。

在这个邻域内都成立。你在这个邻域内成立，你在邻这个点成不成立？你在零这个点肯定是成立的，所以我就把这个零呢带上去，那其实就是。f0的这个绝对值那小于多少呢？小于这个零。而绝对值本来就大于等于零，所以说绝对值啊，肯定是零。绝对值是零，不就说明这个人就是零吗？好了，这个人呢？

出来了。那么，现在的这个问题啊，那就转变成什么了？你现在这个点处的函数值已经是零，那我就要求这个极限了呀。那这个极限怎么做呢？你看看这个极限怎么处理？我这个题只知道绝对值的情况。而且我知道这个绝对值什么情况，这个绝对值是小于arctan x方的。那这里面当中，而且我知道这个人大于等于零。那这个人的极限是多少呢？这个人的极限是零，

这个人也是零。那这时候一+b，我就立即得到什么，我立即就得到绝对值的极限就是零。你看这个人那绝对值的极限是零，能不能推出这个人是零呢？当然是可以的，原来我们讲过这个性质。如果这个函数的极限是a绝对值的极限，是a的绝对值，但是这个东西推不回来，只有等于零的时候才可以推回来。所以说这个人呢，也是零。那既然是零的话，

这两个东西相等，那当然连续啊，所以说这个时候把这个东西啊就排除了，哎，这个不对。然后的话，连续的。那么，紧接着我们再来看下一个问题，我们就要看看可不可导？那可不可导的话，我们看看第二点可导性？那这个可导性怎么进行研究啊？人家这个函数只说了是有定义。你要进行去判断这个点处的可导性，

你是不是要用导数定义啊？你要用导数定义的话，其实就是s趋向0 fs-f零比上一个s- 0，你求这个极限。那这个极限的话，其实就是s分之fs极限，你要求这个零极限。那这个极限怎么做呢？我这个题根本就不知道这个。fs比s的情况。我这个题知道的条件都是绝对值啊。那怎么办？你可以这样办，你要求这个人，你不妨去求这个人的极限。

对吧，你可以去求这个人，因为我们这里面当中的这个fs啊，绝对值可以放松，我们这个上面这个东西它是小于arc tangents方。你就给它除一个绝对值。这不就行了吗？你就求这个人，然后这半边是大于等于零。然后我们一看你这个人的极限，结果是零，上面是个几阶啊，如果你去求这个你极限的时候，上面这个人等价无穷s方。上面这个人是二阶，

你下面这个人是几阶，你下面这个人是一阶高阶比低阶极限，结果也是几啊，也是零。高阶比低阶极限结果是零，那这时候一+b你这个极限结果是几啊？还不是零吗？所以我就得到什么，我就得到了这个人的极限，就是零。那这个人极限是零绝对值的极限是零，那这人极限呢？也是零立即出来了。所以说这个题啊，立即结束，

你看这个人不对吧？不对吧，不对吧，选d。好了，这个题啊，我们就讲到这，所以说这个题考了几个事情呢，一个事情是加倍准则，一个事情是连续性的判定。一个事情是绝对值的，这个人性性质啊，这都是非常棒，好了，这是我们讲的这个第一个点。

那么，接下来我们再来看看，那除了这种直接性做的方法，还有没有别的方法呢？我再强调一遍，任何的技巧法在学习的过程当中，必须要把直接法你要学会。好，我们再来看看还有没有方法呢？你看方法。那这个东西是抽象的呀。对吧，抽象的呀。那抽象的。谁跟你讲说c和d？

一定可以排除啊。啊哦c和d。这个排除啊。你这你这有问题吧？你这个逻辑。那我选c呢？你说c和e吧。这是e选项。你说的是这俩人是吧？啊，好了，这是这个问题啊。你说这两个。这个人和这个人的答案是一样的。选e了，

肯定要选c。对吧？好了，我们不说这个事了，来继续回来。所以像刚才这个问题啊，难度系数是不大的，对吧？直接法是不大的，你要知道我们在干什么？那么，接下来我们再来看这个题，除了这种方法之外，还有什么方法吗？我一看这个东西是个抽象函数。

那既然这个东西是个抽象函数，还有什么方法吗？当有我可以举例子。对吧，你可以举例子，你举多少呢？那这个人的话，有些同学可能取的是什么呢？你取的是arctangent的几次方？因为非常的靠近榆林。非常靠近于零的话，这个次方数越大反而越小。你可以这样举。有些同学可能取什么呢？举这个直接举arc tangents方也可以，

也是可以看出来的，但是你举的这些东西啊，都不够狠。我要是你怎么办呢？你直接一步过去，直接举多少举这个人横为零不就行了。哎，可不可以？你横为零的话，你想想这是零，你这个东西不就大于等于它吗？没问题的，你直接令这个东西你令完了之后，你发现连不连续啊？连续的呀，

可不可导？可导，而且导函数等于零啊，这不对呀，这不对呀，选d。好了，这个题啊，我们就讲到这。所以说像这个问题，你可以通过这种举例子的方式，然后来处理也是可以的。好了，这是这个点吧，我们就讲到这。

跟得上吗？好，这是刚才这个问题，我也没有说c和d他说的这句话是对的呀啊。这两个东西啊，你发现e选项肯定不选。为什么呢？你想想，如果选e了导函数等于一，那就说明可导导函数不为零。所以说这个题啊，你肯定不能选一。啊，这个人好了，这个题啊，

我觉得相对而言不是说特别的难啊，还是一种比较基础的题。这个题啊，你下去过程当中自己再看看吧啊，里面当中的内容我们都说到这儿。能想清楚吗？你肯定不能选e，但是你这两个人呢，说不清楚。啊，这两人。好行行行，没没关系没关系。好，这个问题。

可以了吧，这是这个问题，我们就说到这。什么这个题的解析多久发出来啊？嗯，极限的绝对值等于零，不是可以反推。好了，我们就讲到这儿，这这是这个内容啊，自己下去处理吧啊。你在说什么呀？什么解析呀？我我都有点煞解了，我都不知道你在说什么啊？

你说后面的真题的答案吗？你真题的答案不是已经有了吗？前半部分是没有解析的，你不用问我要啊。好了，这是这个，我们就说到这。那么，接下来我们继续吧，我们再来看看这个下一个问题，这是我们刚才讲的这个点，所以这个题如果直接做综合度还是有的。对吧，综合度是有的，里面当中你想想考了加b准则。

里面当中考了连续性的判定，里面当中考了导数的定义，而且考了这个绝对值极限和函数极限之间的一个关系。好，这个问题啊，我们就讲到这，那么接下来，我们继续吧，我们再来看看下一个问题，微分的定义。那这个内容我们一会儿再讲，你要注意这个内容的考研频率是非常非常高的。非常喜欢考微分的定义，导数定义微分的定义，导数的计算，

还有我们后面的切线方程。这四个板块的内容必出题。一定会出题的，你不用去想，肯定会出题的，点那么像这个问题点呢，我们一会儿再说题型八非常的重要。那么，接下来我们来看看下一个问题，我们先来讲讲导数和微分的计算。好吧，我们先来讲这个计算，一会儿我们再来看看那个定义的内容，那么首先第一件事儿，我们先来讲讲复合函数的求导问题。

那么，像这个问题啊，基本上是趋向于必考的，你去看看我们三九六同学的真题啊，那么像复合函数的求导我们在考研过程当中是非常非常高的一个频率。那么，这里面当中，希望同学们要稍微的进行去区分开这两个符号。你像这种直接性的这个计算呢，我从来不担心，我唯一比较担心的话就是这里面当中的这些符号的问题。好，我们来看看这个事。第一个事情。比如说我们这里面当中写了一个什么？

我写了一个x四次方，我这个人的导函数。这个什么意思？哎呀，我不知道这个。你是不是过滤型听我说话呀啊？你这样的话，听课是不是老是会缺这个做题？是不是老是缺胳膊少腿儿的？是不是经常会出现做题，出现一些问题啊？我发现我这个说话你老是过滤性的，听话啊。好了，我们继续吧，

我们来看看这个人。你看像这个事情，大家告诉我。如果给了这个函数。它的什么东西呢？它的中间变量。是s四次方。它的自变量是谁呢？它的自变量是x。好了，这是这个人，所以你发现一个是中间变量，一个是自变量。那么，接下来我们来看看这个人，

你想想，如果这个函数。我给这个函数直接打一撇儿。就是这个函数去求导，如果不说函数求导，肯定是对这个函数的什么变量求导是对这个函数的自变量求导。这是你要注意的。它其实对自变量求导。它对自变量求导等于多少呢？就等于对中间变量求导，中间变量再导。好了，这个人，然后接下来我们再看第20集，如果肩膀上打一片呢？

肩膀上打一撇的时候，其实就是这个复合函数对它的中间变量求导。对吧，对中间变量求导，肩膀上的一刀是对中间变量求导。那什么时候这两个东西是相等的呢？只有这个fs的时候。你看这个时候你对这个自变量求导，跟我这个时候对这个中间变量求导，这是一样的，中间变量就是自变量。那这个时候是一样的。如果这里面当中不是一个s，它肯定不一样，好了，

这个问题，然后接下来我们再来看看第三个点，你继续看。那么，同学们告诉我，这里面当中的这个f撇I四次方，你跟这个人有什么关系啊？这个人呢？就这个人。它们两者之间有什么关系呢？你看这个人。那么想进行去谈论什么东西呢？你发现四次方和这个人的关系，你知道？那这个人和这个人的关系，

你应该是一样的。因为你要清楚一个问题。这俩人是对应法则。这也是对应法则。能理解吧，所以说这两个之间是复合函数关系，我用四次方替换了，这里面s得到你，我就用四次方替换了，这个s得到你。两者之间呢，是复合函数关系。好了，所以说这个复合函数求导难度系数是比较低的，那么这里面当中我还是有点不太放心，

我们稍微的话找了些题，我们把这个东西啊，稍微的算算。啊，这个。没有难度啊。你就重点算一下就行了，我们快速来做一下，可不可以？然后另外一件事情，有些同学可能这个导数表啊，你记不清了，你得下去把它看看对吧，有各种函数的导函数的，这个结果是多少？

那么，接下来我们先来看看这个第一个人。来做一下吧，那这个人导函数等于多少？迅速算阿克塞因导函数等于多少等于根号下一减这个人的平方？那就要先对这个中间变量求导，那就一减这个人四次方中间变量，再求导是2s，这是一个高中题吧？好，这是第一个事情，然后再来看看第二个人，第二个人的话，这里面当中有一个人很喜欢考是这个人。那这个函数是个幂值函数，

那这个幂值函数我立即怎么办？我立即进行幂值转换，它就变成这样。然后这个结果它就变成了一+s^2。好这个人，然后接下来我们就来进行求导，你怎么办呢？先对这个中间变量求导。然后这个中间变量再求导乘法，求导前导是一后面不导前面不导啊，这个前面不导。后面来导是这个人啊，我不整理了，这样的话你能看出过程，然后这个人做呢，

先对里面求根号x的导函数。它就等于二倍的根号s分之一，那就先对中间变量二倍的这个人分之一，中间变量再求导是二s。跟得上吗？好了，这是个基础内容，然后我们再来看看第三个点。第三个点的话，你发现这个人进行求导，如果直接导稍微的会恶心一点，那我可以怎么办呢？我可以这样办。你把这个y啊，你把这个人的除法改成一个什么法改成这个人的减法。

对吧，这样那这样做的话，其实就非常简单了，你进行求导的时候就是你导，你导呢，等于这个人分之一。然后这个中间变量求导呢，是二倍的根号s分之一。能理解吧哦，这题要求二级的啊。那再来一下吧啊。好了，这是这个人，这也忒恶心了。瞬间不想求了，

来把这两个东西约掉，然后这个东西是s。来两个街道吧。那这个时候怎么办呢？那前面的话，这个人是先对中间变量求导，中间变量再求导的话，还是后面这个人？是吧，那就是平方。然后接下来的话，前面这个东西不导，后面来导，那后面的话来导的话，这个人其实是加一。

那其实是s分之一。然后这个人求导呢，除法求导是下面部分的平方。然后上面进行求导，乘下面。减去下面求导是多少？下面求导是根号，求导是二倍的根号分之一，中间变量再求导。上面不等。好了没有啊？就这样，你前面求导你先对中间变量，求导中间变量，再求导又是它，

那就平方。然后前面不倒，后面来倒，然后这个除法求导，你稍微整理一下就行。呃，另外一个问题啊，你放心哦，我们考研一般不会考这样的一个式子。一般都会考这样的式子，知道什么意思吗？一般都会考在一个点处的结果。你放心吧，他不会说让我进去，去倒一个式子很少，

一般的话会导出来，这个式子让你去求一个点处的结果。因为这样的话，选项当中啊，它会选好选啊。好了，这是这个问题吧，我们就讲到这儿跟得上吗？呃，我说一个问题啊，你如果这都不会算呢？这个问题就非常大啊。就很大。你可以抓紧进行去补一下这个复合函数的求导，这个问题点不是说特别的难啊。

你看这个还有同学的话，这个有问题对吧？其实我原本都不想出这个题。我觉得到了后期啊，还是来两个吧。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看。好，再来看下面一个。那这个部分就是这个人分之一。然后中间变量再求导是二倍的根号s分之一。然后继续再减去，然后先对中间变量求导，就是一减根号s分之一。

然后这个中间变量求导是多少？求导是二倍的根号，它分之一负的。好，这个人呢？整理清楚就行，你一定要喜欢算啊，这是我们最起码的一个基本能力。好，这个题啊，我们就说到这来，再来看看下面一个题。好来看下面。那这个题给了这个人。然后说这个东西是等于这个复合函数。

然后让我们去求解这个人在临处的导函数。对吧，你要求这个人在零处的导函数。你求这个人在临处的导函数，有人说那我先把这个人求出来。把这个复合函数算出来，我觉得稍微麻烦，不要这样做，这样做就麻烦了，你先把这人求出来。本来就非常复杂。你把这个人作为整体替换，这个s替换这这非常复杂，大家想想复合函数，你会求导吗？

复合函数你本来就会求导，你为什么要把复合函数变成一个显函数再求导呢？没有必要，我们就直接来。所以说这个基导是多少，那就是先对这个中间变量求导，然后中间变量再求导不就行了。你看这个问题。所以说现在我们要进行求出解，求出零处零处的话，你往里面待，那这就是f0。f撇零。然后我们来看看这个f0是多少，那很明显f0=-4。

所以说这个人就是f撇负四，你再乘上f撇零。那你求一下导函数呗，导函数这个结果就等于三倍的x方加上二。那这个时候就出来了，你把这个什么负四带上去。负四带上去的话就是四四多少呢？四四一十六十六的话，这是48，这是50。然后这个f撇零呢，这是二，所以这个结果刚好是100。要注意这个题的做题思路。你如果首先第一件事情，

你把这个人给解出来了，这是非常复杂的一个现象。不要先写出来，你写出这个东西再求导，麻烦直接按照复合函数的求导思路来做啊，这个题啊，我觉得你要稍微注意一下这个事儿啊。好，我们继续，我们再来看看下一个题，47题。看一下这个题，那这个题啊，也给了你。那说给了一个分段函数。

然后又给了一个复合函数。然后让我们去求导什么求什么，求这个复合函数的导函数。我问一个事情。你告诉我。这个人的导函数是不是这个人对自变量求导？这个人对自变量求导，跟这个人的导函数一样不一样。不一样，人家是ffs求导。当然有些同学呢，会想到一个什么事情呢？他说这样。我根据这个人。我根据。

这个复合函数分段函数复合分段函数，把这人求出来。把这个人求出来之后，然后再来求这个人。你注意啊，如果你这样做，你考三九六的时间基本上就没有了。注意这个方法太麻烦了。你想是不是？因为你要注意一个问题，一个分段函数进行去复合分段函数，本来其实就很麻烦。你这样做的话，这思路点呢？其实就不太契合我们三九六同学的考题。

你想想一个事情，根据刚才那个题的经验。你这个人复合函数，你会不会求导？我复合函数本来就会求导，我何需要把它变成一个显函数再求导呢？我就直接来。我就先对这个中间变量求导。中间变量再求导不就行了。然后另外一件事情，你要注意一个问题，你看。这个人呢？他其实就是个大骗子。你看这个人，

你不要这样写。你这样写求导麻烦。它不就是ln x的二分之一次方吗？它不是二分之一lns吗？那么，现在我们要进行求挤出。我们现在要进行去求益处。求异处的话，这里面当中就是f1。然后是f撇儿一。那fe是多少呢？应该往这儿带。fe这个东西往这里面一带的话就是二分之一。所以说我们其实就只需要算二分之一处导函数和一处导函数。谁求导呢诶？

恰好是我喜欢的这个绿色部分，求导。就他求同。它是谁呢？它是一个分段函数，而我求导的这个东西是分段点y分段点y。都是这个分段函数的分段点y。有没有分段点上没有？分段函数求导。它比较难的部分是分段点上，分段点外的求导是非常的简单的。所以说我就直接求，那这时候你看你大于一的时候直接求你小于一的时候直接求这个第一段直接求的是二s分之一，这段直接求就是二。你直接就可以直接算了，

你二分之一的话是往这儿，你这是二你大于一的话，你往这逮那二亿分之一，所以就等于一亿分之一啊。选几啊？选一。能听懂吗？所以要长这个经验，你这个复合函数你本来就会求导，你何须把这个复合函数变成一个显函数再求导呢？那这个思路就非常的麻烦。就直接按照这个复合函数来求导，那这样做是非常顺畅的。对吧，泥鳅，

然后这个东西就可以处理了。行吧，这个第一个问题啊，我们就讲到这。啊，那么接下来继续，我们再来回来。这是第一个问题，然后接下来我们再来看看第二点一元隐函数的导函数。你注意这个板块必出题。啊，不用去想。复合函数，它有可能不除。但是一元隐函数的求导必出题。

根据我们二零二三年的这个考情。基本上必须要会求到二阶导数在一个点处的值。以前过程当中，我们只需要会求到一阶导数就行，但是根据去年的考情，必须要会求到二阶导数。这是一定要会的这个东西啊，必出题不用去想，一定会有一道，那么接下来我们看看这个隐函数，求导怎么做？那么，首先第一件事。什么是一元隐函数呢？我们的考研题啊，

一般一张卷子里面会有一道一元隐函数，求导题会有一道二元隐函数的求导题。你去看看是不是？一般会有两道啊，一道的话是一元一函数，一道二元一函数。那么来看看这个人吧，一元隐函数的标志是什么？标志就是两个人的方程。对吧，这是几个人的方程呢？两个人的方程。两个人的方程，一个人作为因变量，他就能确定一个一元函数。

一个人作为因变量，一个人作为自变量，一元函数，这是标志啊，就说我们两个人的方程。确定的一个一元函数，就说一个一元函数由一个方程确定隐函数，这是这样，那做题方法呢？其实就是方程的两边同时怎么办？对s求导。哎，两边同时求导，但是你方程的两边同时求导，这里面当中的y是一个常数吗？

不是的。y是一个因变量y是一个s函数，所以你要注意y中有s就行。好了，这个点呢，我们来练习一下。练习两个人就可以。好来看这个题。呃，这种点的话是送分点的，我相信应该问题不大，你来读一下一个一元函数，由一个方程确定，立即回答我们。一元隐函数。

好，这个人那一元隐函数的话，接下来让我们去求二阶导数，你怎么做呢？你就给这个方程的两边呐。同时对s求导。那同时求导的话，就是2 s-y导，然后一求导是没了，然后是e的YY再来求导，为什么呢？y是一个s函数。好了，这是这个人。那有些同学说那我把一阶导数解出来，

千万不要解一解就傻了，因为我们考研的时候都喜欢考一个点出的结果。不要紧，继续来那继续倒的话，你发现就是这个是二，然后这是两阶倒，你看这个人呢？前导是先对YY再导，后面不导，然后加上前面不导，后面来导两阶导。30所以在这个式子当中啊，其实就有二阶导了，那这就是我们两步操作，第一步操作叫什么导？

倒对吧，倒两下倒两下了之后不要解出来，我们要呆。你要进行去求零处的话，首先第一件事当x等于几零的时候。当x=0的时候，要带到原方程当中解y往里面带，往里面带的话，这人就是负y+1=e的y。你告诉我y等于几的时候成立y=0的时候成立超越方程嘛，眼睛瞅一下就行了，所以这个y就等于零。然后紧接着把x=0 y=0带到谁里面当中呢？带到这个式子里面，你继续带。

继续带的话，这就是负y导等于多少一的零是1y导，所以说我们这个y导这个结果又等于零。好这个人，然后紧接着我们继续把这个什么s=0 y=0，然后这个y导等于零带入到谁里面呢？带到这里面。带到这里面当中，其实就是二减去y导导，然后这是零，然后这个部分呢e的零是一y导导。因此，我们解出来y倒倒在零处等于几等于一，所以这题啊，正确答案就选d好了，

这件事情做完，我们怒拿两分。这是你明显可以看到的，因为每年的时候我们一定会出一元隐函数。这不用去想，100%会出题，把这东西啊，想清楚。好了，这是我们讲的这个48。啊，这个点呢，我们就讲到这儿。过去了，可以吗？

啊，真的是怒拿两分啊。来继续吧，我们再来看看这个下面一个问题。嗯，上面。好，这个问题那么接下来我们再来看看下一个点分段函数。啊，把这个人呢？我们来重点讲讲分段函数求导。这个人那对于分段函数求导，这里面当中我们需要掌握的住的方法是什么呢？叫做分段点y直接求。如果我们在做分段点y的时候，

你就直接进行计算就行了。啊，如果是分段点y，你就直接算。直接算完了之后，重点而言其实是分段点上，我们通常分段点上怎么办？我们有两种方法。那么，第一种方法用导数定义。其实吧，我在强化班的时候就跟你讲过，你会了这种方法，其实就可以了，你就记死分段点外，

直接求分段点上用第一。对吧，可以这样做，但是除了这种方法之外呀，我们其实还有一种非常好的方法，就是利用导数极限定理的方式来做。所以这里面我把这个事情呢，我也跟同学们去讲一讲，对吧？讲讲这样的一个问题。把这个内容稍微的梳理一下。那么，在这里面当中，我们来看看这样的一个题。啊，

你看看这个点。什么叫导数极限定理呢？那么，在讲这个问题啊。嗯，先看一个题吧。或者我们直接。我先讲吧，讲完了之后我们直接来试一下啊。好，我们来看第一个。那比如说我们在这里面当中出一个函数。这个函数叫什么呢？叫做limit n趋向无穷大。然后这是x大于零。

啊，这个部分。然后我们出一个这个是。一一这个人。再加上x的N次方。然后再加上一个。嗯xn次方。让我琢磨琢磨啊。我随便出一个。这样，然后的话再出一个。二分之一s的N次方。平方的N次方好这个。那么来出一下这个函数，然后让我们继续去求一下这个函数的导函数。

对吧，这个人。那么，像这个问题，我们怎么去处理呢？你看，这是第一重点。你怎么做？我们要求这个结果。怎么处理？那你想想，你要进行求这个人。那求这个人的时候。首先，第一个问题，

你得把这个函数具体化了。这是不是考了我们一个非常重要的结论呢？只是n趋向无穷大。你这是开N次方一的N次方。然后的话，这是a的N次方。b的N次方c的N次方，然后这个结果其实等于多少等于这三个人之间的max？最大值ABC。那这个时候你必须得保证这个a是大于等于0b，是大于等于0c，是大于等于零。好，这个人那这个时候其实你就得到了什么，你其实就得到了这三个人的max 1啊x啊，

这个人的最大值。那么，所以我们在这里面当中就可以写了。你你别这样啊，你真别这样。一的N次方跟这个东西啊，这个你开N次方是吧？哦，那不好意思。送你个必胜套装吧啊，一战成书。好了，我们继续吧，我们来看看这个。所以说就得到这个人，

得到这个人的话，我们来接下来看看这个问题。啊来操作一下这个点。那这个点的话，它是怎么处理的呢？它这样来。然后这是y，然后这是零，然后这是x。啊，这个人那么做成这样了之后，你会发现你这是x吧？你这是二分之一x方法。然后你这是几呢？你这是一吧？

那所以我们在这里面当中就得到了这条线。这条线。还有这条线。而这里面当中的对应的点的话，这是一这个对应的点呢，是二分之x方跟x的交点，它其实是二。好，这个问题，所以我们最终得到的线呢，其实是有这条线，然后这条线，然后还有这条线。啊，这三条线那么所以我们就得到什么，

我们就得到了这个人，把这个函数具体化，这是一这是s。这是二分之一x方。那么然后的话，这是s怎么办？这是大于零小于一，这是s大于一小于二，这是s大于几啊大于二。好，这个人那这个人出来之后的话，你发现这个人随便挂无所谓。好，这种求法那么这个人出来之后啊，我们来试一下。

然后呢，进行去求这个导函数，导函数怎么算？你可以按照这种方法算。分段点y直接求这一段呢，求导是零。然后这段进行求导呢，它是一。这一段求导呢，它是s。分段点外直接球。然后这个分段点上呢，我可以用导数定义来做。没问题吧，倒数第一。

当s=0的时候。当s=0的时候，你可以进行去诶，这个是一的时候。不是零一的时候，我可以进行去求左导数。我也可以进行求诱导数。然后这个人其实就是limits趋向一副。这是limits趋向于帧，跟我们一起来写。一负的话就是比较。fs.减去f1。比上s- 1。一阵呢fs。

减去f1比上s- 1，这是零吧？这是一吧。所以两个东西不相等，肯定不可导吧。好，这是一种，然后再来看看第二种s=2的时候。那我可以进行去求二处的右导数，我还可以去求二处的左导数。好，我们先来看看诱导数。那诱导数的话，其实你要看这个函数，这是函数，

不要看下面了。那右导数怎么做呢？你发现比它大fx。减去多少呢？f2f2在这儿，那就是二。比上s- 2。然后我们再来看看，这是limits趋向二负。二负的话，这s- 2。比二小的话fs。减去f2，这是一，然后这个东西是个零比零。

零比零可以洛必达法则一下一落的话，当s取向二，这是s它的结果是二，你看这俩都相又不相等。能听懂吧，这两东西又不相等，所以说这个函数在一和二处啊，是不可导的。对吧，一和二处是绝对不可导的点。这是一种看法。能琢磨清楚吗？这是一种判断方法。还有没有判断方法呢？哎，

当然也有。那有些同学比较聪明，他就看这两个点。这两个点呢，它不光滑。我们原来讲过，如果这条曲线不光滑，那这个点肯定不可导，或者你这样看。你发现这半边的切线斜率是几啊？是一呃呃，这是零这半边的切线斜率是零。这半边的切线斜率是一。所以你在一处，你看这半边的导函数是零，

这半边导函数是一，那肯定不可导。你再来看看这个点。这个点的话，这半边的倾斜斜率是几是一，然后这个部分是二分之x方。二分之一x方，它的导函数是x在二处的话，这个切线斜率肯定是二，你再看。这半边的左导数是一，右导数是二。所以说这个时候在这个点处啊，肯定不可导，能想清楚吧，

所以怎么进行去判断呢？你用手进行去摸。哎，摸的话，这个点它怎么办？你发现它不光滑啊，你发现它就不可导，这是一种方法。它完全符合我们在这里面当中的求导的内容。能想清楚吗？好，这是一种方法。那么，接下来我们再来看看下一个方式。你注意下面一个判断方法。

那么，下面这个方法，如果你用不好，请你不要用。用不好就不要用。啊，切记这个事情我要讲，但是你用不好就不要用，你就用第一。你宁可稳一点慢一点，你也不要出错。所以我们来看看这个第二种方法。那第二种方法叫做导数极限定理。怎么一回事呢？他这样说的。

如果这个函数它在这个点处连续。注意要求导的这个函数在这个点处是连续的。这是非常重要的要求。这个点外面是可导的，我就不说了。这叫去腥淋浴啊，你看上面来了个圈儿，叫去腥淋浴啊，这是这个意思，就是这个点的外面。它是可导的。在这个点处是连续的。而且导函数的这个极限是数或者无穷大。这两个要求。这个时候啊，

该点处的导函数就等于导函数的这个极限。这个什么意思呢？它是这这样的一个意思。同学们，想想一个事儿啊。你琢磨一下，我就问你个事儿。这个点处的导函数。一般跟这个点处的导函数的极限。会相等吗？一般相等。相不相同？哎呀，不要老晕呢，我还没开始讲呢，

老是晕晕晕的，见到弟弟都这样啊。那这读完了，我不解释了，那你要我干嘛呢？那就自己做题去了啊。那么，同学们告诉我，一般这个东西相等吗？一般不相等。你这怎么会相等呢？一般都不会相等。同学们，想想什么时候会相等？什么时候会想到？

如果导函数连续的时候。他肯定想到。导函数连续当然会相等啊。但是我想想说，导函数连续这个条件太硬了。能不能这个条件弱化一点呢？能理解吧，一般不会相同。我说的是有的同学啊，你这个。你听话你你听吧啊。能理解吧，如果导函数连续的时候，它会想到。但是这个条件太强了，

能不能弱一点呢？那我如果能判断导函数的连续性，我求求该点导函数，那肯定这样做太简单了呀。那那么弱一点呢？当然可以，它可以这样弱。它弱到哪呢？他只需要。怎么了？你要求导的这个函数。在这个点处连续就行。注意啊，你要求导的这个人在这点里面去。我不需要导函数连续，

我只要要求导的这个函数连续，但是有些同学说老师你这不对吧，那肯定不对呀。仅仅这是条件一。这条件肯定不对呀。导函数连续跟函数连续，那肯定不一样。那么来看看，还需要加上什么条件呢？来，我来推导一下。大家告诉我这个点处的导函数。它是不是会等于？导数定义啊。好倒数第一。

那么，接下来我们就继续，我们再来看你，看这个点处的导函数等于导数定义吧，那么接下来。使用洛必达法则得检验洛必达法则的三个要求。第一个要求下面部分是零。第二个要求嗯，然后再看上面，因为连续极限等于函数值，所以说上面是零第一个要求满足。第二个要求人家已经说了，在去腥领域当中是可导的，就是在这个去腥领域当中可导就是分段点，外面是可导的。

好吧，我们因为我们要考分段函数嘛，我们研究分段点，外面是可导的。好，第二个条件也满足，然后接下来我就可以落下。我一落我不就落成了这样吗？你看同学们这两个东西是不是就相等？但是大家想想。你这两个东西一定会相等吗？你别在那胡扯，你要不知道的事，你就要听，你不要干扰别人。

啊，行不行？你没有连续的，你没有这连续的这个条件，你怎么能保证上面的极限是零呢？你别胡来哦，有有的时候你这个你不要太太自信了，对吧啊这个点。能理解吧，所以说，但是你这样就相等了吗？不是的，你而且得保证落完了之后的这个极限是数或者无穷大。只有这个极限是数或者无穷大哎，你们两者之间是不是就相等了？

能听懂吧，所以说我们这里面当中一定要进行去满足要求。第一个要求就是这个函数在这个点处要连续。第一个第二事情，你这个导函数的这个极限呢，你只能是数或者无穷大，千万不能震荡。只要满足了这两个要求，那这个时候啊，你该点处的导函数就等于导函数的极限听得懂吧？分段点外面可导。我不说了啊。好了没？所以说这个问题啊，它就是这样的一个点，

你有把这个条件加上就行了。这是这个问题，能琢磨清楚吗？这是导数极限定义。那么，接下来我们就来看看这个事情，我把下面这几个点呢？我们来看看。来继续来操作一下刚才这个题。你要不会用，如果觉得用不好啊，我们做两个题吧。你要用不好的话，你就不要用。我们来看看这个方法。

来看一下这个事，回答我。这个函数在零处的这个极限是一，这是一。要求导的这个函数在一处连不连续啊？连续二处这个极限是二，这个极限是二，在二处连不连续啊？连续要求导的函数在一和二处是连续的。那么这个时候你发现我去求一处的左导数的时候。是不是就可以用导函数的左极限来做呢？你来看看。导函数的左极限。导函数左极限的话，这个人左极限是几零，

而且不正当做对了。然后再来看看一处的这个诱导数呢，能不能用导函数的右极限呢？哎，这个时候我们要看看右极限的话，这个人正不正当，他是一不正当。也对了，连续而且导函数的极限不正当，那么它们就相等了。能理解吧，好了，我们再看二连续再来看第二事情。我要求二处的左导数，我是不就可以用导函数的左极限来做？

导函数的这个左极限是多少呢？左极限是一不正当诶，用对了。然后再来看看这个第二个人，那就是limits趋向多少二帧？二震的话，你就会发现诶，这个部分二震，它的极限是多少？你在二处极限，它是二不震荡用对了。所以说这两个导函数不相等，这两个导函数不相等，不可导。能听懂我的意思吗？

所以导数极限定理啊，它的要求是什么呢？你要求导的这个函数必须要在这个点处是连续的。第二事情，你导函数的这个极限千万不能震荡，你是数或者无穷大。你可以用双侧的导数极限定理，你也可以用单侧的导数极限定理，你看这时候我们就用了单侧，这个单侧就等于这个点导函数，这个单侧就等于这个点导函数。对吧，你这是个数或者无穷大，只要不震荡就行了。这个人能听懂我的意思吗？

那么接下来我们来继续来看，那么在上次课程当中，我们其实也讲过了一个题。我再强调一遍，你用不好，你就不要用。如果用不好就不要用。因为极其容易出错。但是如果你会了你这个操作性又很强。比如说你看这个题。这个题目那这个题目啊，有些同学又来了。说老师教过了导数极限定理，那我可以怎么办？先去求分段点外的导函数。

然后这个东西等于多少二倍的s方大于一的时候是2s？然后老师就讲过了，说一处的左导数就等于导函数的左极限。左极限的话，你发现这个求这个人极限是二不正当诶，我用对了。然后再来看看诱导数，就等于导函数的右极限。右极限的话，你发现这个人极限是二诶，不正当，我又用对了。所以说啊，他说这两边的导函数存在，且相等选a了，

同学们告诉我做的对不对？你纯属胡扯。你如果不喜欢抠条件，你就不要用我一直给你讲一个事情，我们说我们学数学就是在学一个规则。比如说你打游戏，你要放一个技能。这怎么怎么，你要进行去放这个技能，你要进行这样操作一下和那样操作一下，这个技能才放出来。你结果你发现人家明显有两个要求，你只按了一个开关，另外一个开关，你不按，

你说这个东西你能用出来。所以你就不要胡来，这其实是我们数学过程当中啊，非常重要的事情。你想想你这个函数在这个点处的极限是三分之二，你在这个点处的极限是一，你连不连续啊？要求导的函数得连续，你看刚才一个同学说不需要连续，你看。你坐吧，栽坑了吧，所以一定注意这个问题，要严格的控制这个这个要求啊。这不能用啊。

这是这个问题，所以希望同学们一定要关键把握清楚这个事儿。一个事情要求导的函数得连续。导函数的极限不正当。导函数的极限是个数或者无穷大能，想清楚吧，好了，这是这个问题，点那么在这里面当中，我们再来看一个事情。呃，这个点。我们很需要那道真题，所以说我们就先把它讲了，我觉得不影响。

我们再来诶，这是这是哪一年？这是二一年，不好意思，二二年。那么，我们来把这个题啊，我们来讲，因为我们很需要这个题。嗯。好，这是这个问题。那么，接下来看看这个题目。那这个题目这叫诱导书。

这叫导数的右极限。导数的左极限。这是函数的右极限，这叫左导数。那么，这个题当中，我们来看看这个事儿。你发现最简单的当然是d选项。d选项最简单。d选项是趋向于零正，零正的话就对谁求极限，就对一减cosine求极限。那当然是零了，所以说d是正确的。这个人是最简单的。

然后接下来就是右导数，还有左导数，然后接下来是导函数的这个极限，那么接下来我们先看看吧。我们先进行去求一下诱导数。诱导数的话，可以用这个什么用导数定义，那就是fs fs是这个人。f0是谁呀？f0在这儿永远只能等于一。比上s- 0。没问题吧？那这时候等于几？这时候我们算一下它的结果。你看这个人。

零正x分之负cos 0分之，它是无穷大。所以说这个人不对，赶紧选a。好了，这个事情。然后再来看看左导数，我们把这题讲了limits趋向零负。零负的话fs是多少？是一+s^2 f0是它比上s- 0。所以说这个时候就是is趋向零负is方比s，这是零。好，这是这个部分，所以你看这个人是正确的。

那么然后是导函数的左右极限，导函数的左右极限跟那个点没有关系，所以说我只用去求分段点外的导函数。分段点y的话，这是2s分段点y的话，这是三。然后这个时候你会发现我们要进行求什么，如果要进行去求导函数的右极限。右极限是对谁求极限呢？右极限是对这个人求极限，那这人是零呐。然后接下来我们再来看，还要求什么导函数的左极限。导函数的左极限的话，其实就是我们要去求零负零负对2s求极限，

那这是零的。所以说这两个东西啊，都是零。没问题吧，但是你来看看这个事，那这个题的你看诱导数跟导函数的这个极限一样不一样。不一样，这个题就不能用导数极限定理。当然的话，它其实可以用弱化的，我们就不讲那么多了啊，不讲那么多，你就扣刚才那个问题就行，你来看看这个题能不能用导数极限定理呢？当然不能用。

因为这半边的极限是一。然后当s趋向零的时候，这一边的极限是零，你两边的极限不相等，你不连续，你用什么导数极限定理啊？所以这两个东西啊，它未必相等，你看这个地儿。跟得上吗？所以说有些同学就做了这俩人。说什么东西呢？哎，这个诱导数等于什么呢？说这个人极限等于诱导数，

这是周老师上课讲的，这个人等于左导数，这是周老师上课讲的，所以说AD都对，那我们排除法只能选1d。我疯了，对吧？你可千万不要这样来哦，我可没给你这样讲，你不扣条件，你不要再胡做。你千万不要胡用。一定不要胡来，第一个事情。这个函数必须是连续第二事情导函数的这个极限呢，

它必须不正当，如果你用不好，你就直接用定义就行。记清楚这个问题啊，如果用不好，你就直接用导数定义，就这样。跟得上我的意思吗？所以我就把这个方法给你讲到这儿，因为我害怕它会考到这个定理当中涉及的一些问题啊。行吧，那就是这样，所以无论怎么样，如果你不喜欢用，你就用倒数第一，

就这样说好不好？好，这个问题。这是我们在这里面当中啊，讲的这个点啊，当然呃，我提一个事情。截止到今天呢？我们还有78天的时间。我们的时间呢，还可以，没有说马上迫在眉睫，要考试了。你不要脑子里面已经无法再进行去增加东西了，这是一个非常可怕的现象。

这是个非常非常可怕的现象。时间还可以，所以对于数学的这个学习啊，还来得及。但是你不要过于的急。其实你做好几个事情，就是你就把这个讲义的东西好好吃透，然后跟着我们把模拟卷刷透。就可以了，所以我希望大家的话，你不要脑子里面哎呀，我时间来不及了啊，对吧？我们讲一个东西说哎呀，算了，

无所谓那个东西。算了，不行我们就那样就行了，得过且过是非常可怕的。所以如果你到了这个时候，你的脑子里面实在不想进行去增加额外的东西，这是个非常可怕的现象。无论是你的哪门课程，你的专业课也好，你的政治也好，你的这个英语也好，如果你脑子里面实在不想。不敢继续去承受一些东西的时候，非常的着急。这样的话，

其实你发现你是很难进行学好的。那我相信在很长一段时间内，你的效率是非常的低的。就算你把这些东西你做到对吧？你就把比如说你要做哪个题，你把它做了，我相信得到的这个效果也不是最好的。你这是一定要切记切记的事情。所以很多同学到了这个时候。心里已经不想进行啊，每次我们讲心都哎呀，算了，你没有那种求知欲了，这这这是很可怕的现象啊。好了，

这个点。所以这个问题啊，我们就说到这儿啊，所以有些这种复习上的一些问题还是希望大家好好进行，品一定要把一些东西吃透。你做透一个题，比做好多题都有用。你不要看到这个今天的话，这个人啊，刷了那个题，明天这个人刷了那个题啊。没关系，你坐稳一点。如果你实在你觉得哎呀，我们是两天一次课程，

你觉得这个今天的话，你有时间，那你就进去去做一套模拟题就行了。一般老是活在这个活在别让别人老是影响的状态，我不是一直跟你讲，还调整不过来。好，这是这个事吧？说到这。呃，还有个事情。模拟卷啊，做的不好没有关系。就看你怎么进去去看待这个事了。很多人模拟卷一考考考的不好，

那当场疯了对吧啊？说我就这样了。那你还不如不做那套模具。为什么呢？你做模拟卷之前。我觉得你还是积极的。无论是从数学上。呃，这个方面的积极性，你的专业课，你的别的东西，你还是非常积极的。对吧，你是非常积极的一个心态。但是你考了这个东西了之后，

你错的东西你又不改正。你就得到了一个效果，我怎么学的不好？对吧，我这个东西怎么办？你就得到了这样的一个效果，我觉得这种模考是没有任何的意义。有的时候真的是出错了，之后的话，我们是应该是把上面的东西好好进行去改过来，然后处理清楚。让我们下次过程当中处理问题，处理的更好。那按理说应该什么事情呢？比如说我这个题举个例子，

第一题做错了。我就找到第一个题所涉及的知识点。是不是我这个考点忘了呀？好捡回来。如果我做到这个第四个题，哎，做错了哦，原来我这个公式我都给忘了，或者我原来背这个公式都背错了，捡回来。如果这个东西的话，你发现第五题做错了，那怎么办？你找到这个问题啊，找到强化讲义或者找到我们的这个专业课呃，

这这什么专业课呢？别别别干扰我。找到我们的这个冲刺讲义，找到这个部分的内容，对吧？找到这个点，把这个考点哎，比如说这个考点没做出来，把这个考点的东西啊整理清楚。是不是这个事情，所以我就觉得你怎么看待这个事儿会最后啊，对你的这个复习是非常非常重要的，你别看这个事儿啊，这不是个小事儿。不是一个人讲这考研呐，

哪是仅仅进去去考这个考这个知识啊，哪是仅仅进去去考你这个东西学的怎么样？他还考你的应考能力，他还考你在这个复习过程当中，你这对抗焦虑的这种能力。还在进行去考，你在这种我一直讲这叫什么呢？这叫面对人生一场非常重要的大考所展现出的非凡的魄力啊。当然，也有一点运气。选择题嘛，也有点儿运气，但是啊，我相信啊，你的越努力吧，

你肯定会越幸运啊，是这样好，不多说了，回来吧，回来回来回来撤。扯多了，回来回到我们第四个点。那么，接下来我们就继续吧，我们再来看看下一个问题点啊。那么，下面这个部分的内容啊，我们要考一个参数方程。那么这样吧，我们把这个后面有一个这个什么？

呃，这个里面当中这个分段函数。我觉得还是可以出一个题。那么这个题目啊。你其实可以考这种题，我给你说一下，我多说一嘴啊。说一嘴的话，你这个你就可以处理清楚。比如说你还记得原来做过这个题吗？这个题啊呃，这个题。嗯，不是特别好嗯。我来再找一个我们暑期强化的当中的一个题。

比如说这个题。啊，这个题这个题的话，你比如说这种题，我看你你怎么怎么样啊？这种题的话，你比如说我举个例子，我记这个什么？我记这个大fs为这个人。我要考什么东西呢？我要考这个大fs啊，它在这个什么嗯，比如说在一处的这个导函数。对吧，你考这个人。

这种情况怎么做呢？这种情况你是不是要先把它求出来呀？其实这是障眼法，我们已经刚才讲过这种题。如果你直接把它进行求出来，你就进行去做到这些东西了，我觉得麻烦。对吧，麻烦那你这个人的导函数的话，不就是奇这个人的导函数？然后再是这个人的导函数吗？呃，是不是啊？然后你把一进行代进去了之后的话，这个g撇的话，

这个f1。这是f1。那这个f1是多少呢？你f1的话是这个人。是吧，是负一就是一撇儿负一。f1撇一。然后这个时候的话，你这个g撇儿g撇儿的话，在负一处的导函数是分段点y，这个导函数是负一。这个在一处的导函数是分段点y，那这导函数是负一。那这个结果等于哎，这个题还挺好，

你别说。你能理解吧，所以你就这样做，因为考的都是分段点呗。能想清楚吧，哎，都考的是这个人。所以我们在做的时候，你没有必要这样进行去把这些东西都进行处理了。那如果稍微的换一下，你比如说我们考什么呢？哎，我可以考零处，这就稍微的贱一点了，哎呀，

这个这个题编的真好。如果这个东西我们考零处考零处的话，这个是基片。那这是f0，那f0是几呢？f0是零？呃，这个题啊，我觉得得换一下。你看我出一刀。稍微进行去看看我这个题能编一个非常漂亮的题。等我一下啊，那么这个时候写什么东西呢？且这样，且这里面当中的这个大fs，

我们刚才做的是什么？刚才做的是gfs。我们做一个fgs。则什么情况呢？则这个f撇零等于多少？好，这个题那这个题的话，你发现一个事儿，你你做一下，你看我不会直接进行去处理。我先把这个算一下，我算一下了，之后的话就是先这个对中间变量求导，中间变量再导。然后这个时候我把这个零带进去。

零代进去了之后的话，这个是机零。七零等于多少呢？七零这个人等于二。对吧，七零=2的话，这是f撇儿二，然后这是七撇儿零，有没有发现一个事情，这个东西考的是什么？分段点y。这个东西考的是什么分段点上这题不错啊，不错，你想想我们这个题就比原来的一些真题啊，考的还要妙。

那这个人的话，这个分段点外，你就可以直接求了，你这个分段点外求导是多少？你分段点外求导是负一，所以这是负一。然后这个分段点上呢，你得用一下这个导数定义，你继续求一下这个分段点处的导函数。但是唯一美中不足的点是什么呢？你叫我看看啊。呵呵，这个题这个题不好啊，但唯一美中之不足的地方是这个人在邻处不可导啊，很尴尬。

唯一美中不足的点的话，是这个函数在这个零处不可导行吧？呃，你听懂意思就行了。听懂我意思就行。因为你看看你这不是连续的吗？你这边儿倒数负一，这边儿倒数是一，所以说你左导和右导不相等啊。对吧，你看你这个是连续嘛，根据导数极限定连续这边导函数负一，这边导函数一左右导数不相同。呃，我下去琢磨琢磨，

我觉得这个题应该是能出一个非常漂亮的题啊，能出一个非常精彩的一个题。我下去设置一下。哎，能理解吧，好，我把它擦掉了啊。它是能出一个非常漂亮的题，因为你去看看这个呃，你看一下二二年的一道考研真题，当时的话他就出了一个这样的题。这个题的话，给了一个分段函数，这是分段点上的导函数，这是分段点外的导函数。

是不是啊？哎，分段点上导函数分段点外导函数分段点上用定义分段点外直接求。啊，刚才这个题啊，我们也打了这个点，把这个点打到了，而且比这个题啊考的我觉得要更丰富一些。好了，这是这个事。行吧，我们这个内容啊，我们就讲到这儿行吧呃，今天的话。我只能讲到这个九点钟啊。

可以吧，今天我们不会拖堂，因为我这个晚上我看看一会儿那趟车能赶上吗？赶不上的话今天晚上。今天晚上得。今天晚上一点多钟的高铁。这票太难抢了。一点多钟高铁，然后晚上3点55分才能到北京，那是真是的。行吧，我们就说到这吧。可以吧，把这个东西好好整理整理。好，

那休息会，一会我们继续吧。

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