04.冲刺串讲4-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 16:59:20

那我们继续吧，我们再来看看这个下一个问题啊，那么首先我们先来看看这个里面当中的第一种考题形式，那其实基本上我们所有的这个考点呢？都是在围绕着这个东西在走的好，我们先来看看这个里面当中的第一个问题啊。利用导数定义求这个导数。然后通常而言的话，其实就考这个点啊，导数定义求这个点导数或者是判断这个函数在一个点处的可导性。啊，就这个问题，那么首先我们先看第一个点。那么，第一种问题啊，

我们分详细一点。如果这个东西不需要分成左右导数。就是这个题啊，不需要分，你知道这个利用导数定义去求导数的场景吗？那么通常比如说第一种。比如说第一种分段函数，在分段点。对吧，分段函数。在分段点处的导数。好，这个事情那么这是我们通常喜欢考的分段函数，在分段点，但是你尤其还要注意几个事情，

我们一般见的那个分段函数是分段函数。那还有你像什么最大值这个人呐？最小值这个人呐，也是分段函数，尤其还有这个x-x零，这个人也是分段函数，它的分段点是谁呀？是x0。所以我们经常见到这个x绝对值啊，其实它的分段点是几是零啊？啊，怎么了？好，我们继续吧，我们再来看看啊。

所以说分段函数在分段点处的导数一般用导数第一。然后剩下还有一些呢。比如说我也不知道这个函数在这个点可不可导，让我进行去判断的问题啊，通常要用。对吧，通常会用这个。其实你发现我们哪能会考到这个点呢？一般考不到这个点。那么，还有一种问题是，抽象函数的极限，这是我们会考的，所以说这个问题啊，我们一会儿再讲。

听得懂吧，一会儿再讲，一会儿有一个专题的东西，我去讲我们今天啊，如果以前你对抽象函数，你还是把这个东西搞不清楚，我们今天看这节课。如果这节课你还是把它搞不清楚啊，我觉得就有点问题了啊，好了，我们来看看下一个点。啊，怎么了？别闹对吧，这个？

最近啊，一会儿再说吧啊。那么，首先我们先来看第一个点啊，如果这个题啊，它不需要分成左右倒数。啊，不需要分，我把这个擦掉了，可以吧？啊，这个擦掉了，不需要分。那么，通常分段函数在分段点，

如果两侧不一样，是需要分的。如果它不需要分，我在这个点处的可导是什么意思啊？其实你发现如果你在这个点处可导，其实就是你导数定义的这个极限存在。没问题吧？因为你可导嘛，你可导的话不就说明这个导数是存在吗？那这个导数存在不就是导数定义的这个极限存在吗？没问题吧？好，这是第一个事情，然后再来看第二点，有的时候它考的是这个增量形式。

那增量形式的话，其实就是这个导数定义的极限存在吧，而且其中。其中这个框啊，它是既能趋向零正，也能趋向零负的，这是要注意的。所以如果这个函数在这点可导，那么第一种充要条件就是这个导数定义的极限存在。那第二个的话就是这种增量的，这个导数定义啊，它的极限存在。好，要想清楚这个问题啊，这是第一种，

不需要分那么还有一种情况，它就是需要分左右倒数。如果你需要分呢，那么就是如果在这点可导，你要计算出来它的诱导数，计算出来它的左导数，左右导数的存在且相等。有没有问题啊？好了，这是这个点啊，就是通常情况下就是这两种，你需不需要分呢？你要分左右导数吗？你要分还是不要分？要分的话就要计算左右导数，

不需要分就是导数定义的极限存在好，这是这个点非常简单，然后接下来我们再来看，还有一个事情。能不能当做成最后一遍？如果到了这个今天呢？还是转不清楚啊，有点不好意思了，我们先看第一个点。啊，第一个人如果这个函数在这个点连续。这个函数在这个点连续不就是极限式存在。而且会等于这个点处的函数值是存在吗？没问题吧？好，

这是这个人那么，所以我们接下来我们就继续，我们再来看。那所以你看如果这个函数在这个点连续这个函数在这个点处存不存在？存在吧那而且如果这个极限存在，不就说明在趋向过程当中，它也存在吗？总的下来其实就是淋浴当中都存在。没问题吧，所以注意啊，我在这个点处连续我在这个点邻域内都存在，大家注意。领域领域包不包括这个点呢？领域是包括的去新领域，不包括要注意这两个词，

这两个词不一样嘛。好，这是第一个事情。如果连续一定能推出，他这个人在这个点的邻域当中都存在，那这个点肯定是存在。好，这是第一个问题。但存在能推出这个人，这个人存在能推这个人连续吗？不行。你听清楚吧，这是同一个人，有没有发现？我这个人在这点连续我这个人在这点存在。

我这个人在这点存在，可不能推出我这个人在这点连续好这个问题。然后接下来我们再来看看第二件事情，你看用可导的这种话说。你看看啊，你要想清楚，我在这个点处可导。我在这个点处可导。我在这个点处可导，我在这个点处连续。你这个人在这点可导，你这个人在这点连续，这就是谁可导谁连续，你在这个点可导。对吧，

你在这个点处连续。那么，接下来我们再来看看下一个问题，如果用存在的话说呢？你继续看，大家想想一阶导数存在。什么意思啊？一阶导数存在，其实是fs在这点可导。你不觉得吗？我fs在这点可导。我可以导，我不就导出你吗？所以如果一阶导数存在推的是fx连续。二阶导数可导，

二阶导，一阶导数存在推出fs连续二阶导数存在，推出的是一阶导数连续，这要低一些。用存在的话说是第一节，那么这里面当中要注意一个事情，就是你发现你在上课的时候，你一定。就是差一点东西就是这种语文能力，我上课的过程当中稍微不说，有些人又又想不出来了。我们今天把这个东西加到这来，我们来再看最后一条，老是有人问。你就告诉我，

人家说fx1阶可导，什么意思啊？什么意思啊？什么叫fs 1阶可导？它的语文意思就是fs可以导到一阶。fs可以导到一阶，不就是一阶导数存在的意思吗？那一阶导数存在，只能推出，谁连续啊？只能推出fx连续第一阶的连续。本阶连不连续？不连续。它不能推出一阶导数连续，它只能推出fx连续，

你看看。中文能力，你自己好好想想。啊，我们强化的说我们说用可导的这种话说，你自己好好想想，你说这两句话一样吗？一样还是不一样？你琢磨下这两句话一样吗？我在这个点处可导，我导出来的是一阶导。比方说fx 1阶可导，那不就是一阶导数存在吗？这与这这跟数学没有关系，你不你不用把它归归结到这个数学问题上。

这是个语文问题啊。我不讲了，那么这个事儿。你自己下去好好想想啊。能听懂吧好，这是这个事儿，走不清楚。来看看下面一个点。冲刺35。看这个题，他说这个人在零处可导，他在零处可导，其实就是什么零处的导数是存在的。那这个人你想想他在零处可导，让我们去求参数。

如果它在零处可导，首先第一件事情我一定可以用下这个函数，在这个点处怎么了？在这个点处连续。没有问题吧，它在这个点处连续需要分一下左极限，以右极限零带进去是b。函数值一好了，得到b=1，你看这第一个点。这是破题，这是一五年题，但是思想注意啊，简单题把思想做对，然后再看第20题。

那在这点处可导，你得进行去求左导数。诱导数。那你就求呗，当s趋向零负。零负的话是fs。减去f0是减一比上x- 0，然后再来看诱导数当x趋向零正，零正的时候是fx。减去f0是一比上s- 0。那这两个东西要相等，你看这个极限是一吧，那这个极限是一你两个相等的话，你不就推出了这个人也是一吗？是不也是一。

然后现在我们来看看这个b是几呢？因为这个b。当s趋向零正的时候，这个b是一啊，所以说这个人就变成了这样。那这样的话，其实就是x趋向零正的话，这是x+a，它等于减一，那就是零+a，等于1a不就等于一吗？好，这个题。所以你的结构非常简单，你先用一下连续性出来了，

然后再用一下左右导数存在，且相等一下出来了。好，这个题啊，我们就讲到这儿。不难吧。好，35题哦，过去了可以吗？来再来看看下面一个题。看一下这个题，那这个题啊，他又说了一个事情，他说这个fs是这个人，他在这个一处是什么情况？

那么，它在这个一处啊。分段函数在一处，我肯定要用导数定义。用导数定义的话，在这里面当中就要用左导数，还有这个右导数。我们来写倒数第一。limits趋向一负。limits趋向移帧。一负的话，我们就写fx-f一比上x- 1。fs-f一比上s- 1。那这个时候我们先进去去看看，你先看第一个人。

limits趋向一负。一父其实就比一小。比一小是多少呢？是三分之二倍的x三次方，你就告诉我个事情，同学们，你琢磨一个点。什么点呢？就说你这个题目当中的这个f1是谁呀？f一就是三分之二。所以说这个人的话，他减的是三分之二。然后你再来看看下面这人，这是limits趋向移帧。s减一比这个一大，

它是x方，但是你注意你这块减的一定是只能减三分之二。能听得懂吗？你只能捡这个人，然后我们再来看看这个题。那这个人一定型是多少？这一定型是零比零，所以洛比达一下，那就是二倍的x方，这是二。然后这个人呢，你再定一下，你下面是零，上面是三分之一，这就是无穷大。

所以左导数存在，右导数不存在答案选b。好了，这是36题，我们就讲到这。跟得上吗？所以说像这个问题的这个操作啊，你把它想清楚啊，36题。继续再来看看下面一题37题。再来看看这个人。好看这个题。那这个题啊。我觉得还是我们多讲讲啊，这个题还是一道非常好的题，

不要看是一八年的考题。也是，我们现在在考研真题当中也会出题的点啊，先看看这个人。那这个人是个什么情况？他说这个fs可导。然后说这个人。对吧，使它f0=0，是这个人在零处可导的什么条件？大家想想。零是这个绝对值的分段点吧。大于零和小于零，这里面当中是不一样的。所以一个分段函数在分段点肯定得用导数定义。

你用导数定义的话，其实而言，我们就可以做到。当s趋向零。当x趋向零的时候，我们就可以写那是fx减去多少f0比上x- 0？你如果可导，就是这个极限是存在。那这个极限存在的话，我们来看看这个极限，当I趋向零你走向。那这个极限存在的话，其实就是fs乘上多少一+sins的绝对值。那f0是多少呢？把它带进去，

其实就是小f0。对吧，减去小f0这个存在。所以要想清楚，如果这个函数在这点可导，它的充要条件是这个极限存在。那这个极限存在，接下来我怎么进行去求这个极限呢？我们再来看。诶，你发现这个部分是x上面有个小fs，我再来减个f0，你看这个部分。这个部分写完了之后的话，它其实就是x倍的fx，

加上这个人，我为什么会这样写呢？因为我知道。第一个部分的极限是存在的。为什么你看？这个人他不叫导数，这个人的极限叫导数。它的极限是导数，而导数是什么存在的？可导嘛？导数是存在的，所以加减法当中见到存在就拆开。你的极限其实就是零处的导数，把它拆出去，然后就加上了这个人。

好，我们来看看fx，然后这是x分之sins绝对值。那这个时候你想想，我们要进行看这个极限，这个极限肯定要分左右啊。所以我们来看看这两个人。一个事情是右导数，一个事情是左导数。好右导数，然后这个人是左导数。那么，其实诱导数而言的话，零阵零阵的话比零大。比零大的话s in比零大，

它其实就是这个量。然后趋向零负。零负的时候比零小。那s in就比零小S in比零小的话，这是负的s in。好，我们来看看这个人。那你告诉我上面这个人是f撇零八。回答我一个事情，这个极限存不存在？连续极限等于函数值，这个人呢？是一所以说就是加上f0。再来看下面，这是f撇零，

那你想这个人的极限存不存在？存在是f0。这是负一，所以说这个东西啊，就是减去f0。因此，这个人在这点可导的充要条件是什么？是这两个存在且相等。对吧，这个存在且相等。所以你要注意。它在这个点处可导的什么条件？充要条件。充要条件是存在，且相等不就是f0等于负的f0f0不就是零吗？

所以你要琢磨清楚，你看我可导的充要条件就是这个极限存在。这个极限存在的充要条件就是f0=0，因此这个人是个什么条件充分必要条件啊？能想清楚吧。你咳到的充要条件就是这个极限存在。这个极限存在的充要条件就是左右导数存在其相等。左右导数存在，且相等的充要条件就是f0=0，所以一直做的都是充要条件都能成立的。所以这个题啊，正确答案选a。那这是我们原来过程当中啊，其实讲过这道题，你今天在做的时候，

我相信还是很有感觉。但其实这个题啊，我们能做的更好一点，那么接下来我们把这个内容啊，我们稍微进行去重点来复习一下啊，就是这个连续性。可导性，还有这里面当中的这个什么极限的存在性，它们的四则运算性质，它具有什么样的一个相似性呢？来看看这个人。具有的相似性非常简单，我们刚才讲过。极限式存在加减，存在是存在。

存在加减不存在。是不存在的。然后不存在加减，不存在它是未知。然后存在乘以存在，这是存在。存在诚意不存在。那这东西是未知。然后第三个事情不存在成不存在这东西啊，也是未知。你想想一个事情。连续是什么？连续是用极限定义的吧？你连不连续就是看极限，等不等于函数值？

什么叫可导？导数存在导数一个点处的导数，本来就是用极限定义的，所以你要想清楚你这个人是用极限定义的。你这个人是用极限定义的，所以说你的性质是不是要跟着极限走啊，因此我们看连续加减上连续。那肯定是连续。连续加减上不连续不连续就是间断，那肯定是什么不连续，然后不连续就是间断。间断加减上不连续值间断，那这东西啊，是未知的，你后面呢一样的。

那就是连续乘连续连续连续乘上，不连续不知道不连续乘不连续不知道，然后可导性呢就是。如果你在这点可导加减上，你在这点可导可导加减可导可导。可导加减上什么加减上不可导，然后这东西是不可导。然后不可导加减，不可导位置乘法，乘法，乘法都一样。所以说这些东西啊，它们具有强大的这个相似性，这都是一样的，自己去写啊，

这几条内容。琢磨清楚吧。所以说这个连续性。可导性还有这个极限存在性，它们具有强大的这个相似性，所以说这波内容如果掌握清楚了，你再进行去看这个题。来你能把这个琴秒了吗？我放过来。啊，来看第一个事情。连续这是连续，这是尖端。间断复合连续不知道。连续负荷间断不知道。

然后是连续加间断b间断没问题。连续承间断，不知道。这个东西就相当于gs去复合了，x方里面的x得到了gs方。而这个人是个间断，而这个人是连续间断复合，连续不知道，所以选c。你没发现吗？所以像这样的一个题啊呃，考的东西不是说特别难，都是这种结论性的问题。你结论性的东西啊，你把这东西掌握清楚啊，

内容点捋清楚它就可以了。好过去了吧啊，所以说贼简单的一个题。就是你掌握住这一波连续性极限的存在性可导性，它们之间的关系具有强大的这个相似性。你掌握到这儿啊，这个问题点就可以了。好了，这是这个题吧，我们就讲到这过去了，可以吗？好，我们就说到这儿来，继续吧，我们再来看看刚才这个题，

我们还想进行去讲讲这个题。嗯，哎呦。你说这咋办呢？有人说，哎，老师，我不记得你刚才举了一个例子吗？你举了一个例子的话，这个平方不就是连续吗？对吧，举了一个例子啊，连续举了一个例子，连续就连续啊。你你都不知道我在前面干什么，

这是多多可怕的一个事情呢啊。你想想一个事情，连续负荷间断，一般是不是都是间端？但是我又给你举了一个连续复合间断是连续的例子，那不就说明不知道了吗？间断复合连续是不是一般是间断哎？我又给你举了一个什么东西呢？一般是间断我又给你举了一个什么例子呢？我又给你举了一个间断复合连续是连续的例子，不就不知道了吗？这只是其中的一个例子。忒可怕了啊，这这这上课的话，你得好好听课，

对吧？好了，这事情我们就讲到这，那么接下来我们就继续，我们再来看看刚才这个题，那还有没有更好的方式呢？我们觉得有。因为这个操作性呢，它还有更简单的一个处理方式。你想想一个点。你所梦想。因为这个题你就可以这样写。你是不可以写成小fs这个人，再加上多少，再加上这个人乘上这个人呐？

是不是是这个情况？而你这个人在临处是可导的。那你想你要在这点可导。如果这个人在这点可导我可导，如果这个人在这点不可导，我肯定怎么办？不可导。那所以说你这个人在这点可导的充要条件是什么？肯定是后面这个人在这点可导。所以说这个时候啊，我们就定义了一个函数，定义了这个函数，所以说它的充要条件其实是什么？充要条件其实是。这个人在什么东西呢？

在零处可得。没问题吧，这个人在零处可导，你想分就分，你不想分就不分，你也可以分，你就分成什么诱导数？你就分成左导数。左右导数存在，且相等就行好，我们来分那一分的话，这个人就直接处理了。对吧，这个人那这个时候你一看诶。这个部分是fs。

先乘上这个人fs-f零呃，这个gs-g 0g零是零吧？比上s- 0。然后这是limits趋向零负，然后是gs。减去g0比上s- 0，那这个时候其实就是limits趋向零帧，然后这是fs，然后这是s in比s，因为是正的嘛。然后这是limits趋向零负，这是fs，然后这是s分之负sine 8。好，先看第一个人。

那这个连续极限等于函数值，然后后面是一。然后极限等于函数值，这是负一，你要存在且相等充要条件是它，那不就是f0=0吗？那其实就是你在这点可导的充要条件，就是你在这点可导，你在这点可导的充要条件，就是左右导数存在且相等。那左右导数存在，且相等的充要条件就是f0=0，所以说这里呢，这是个充要条件。好，

这个题啊，我们就讲到这。跟得上吗？你写这个人的导数嘛，就这个人减去它在零处值比上s- 0。这个非常好写啊，这个题。那么，接下来我们就继续，我们再来看一个题。好，再来看看下面的题。这个题啊呃，也是需要注意的一个基本考点。就会做了这个题，

可能会非常快，不会做这个题。呃，可能做起来就稍微的麻烦一点点啊，我们来看看这个题。那这个题啊，考了个结论。考了一个什么结论呢？考了一个这样的结论。大家想想。x-x零。它一般在。x=x零处可不可导？一般不可导。因为你想想这条曲线是怎么画的呢？

这条曲线要想画，你就先画x-x零。然后把这个什么负的翻上去，就得到了这样的一条线。好，这是这个人，这是x0。所以你看看这个人，你这半边这个导函数是一，这是负一，你很明显在这点不可导。对吧，它在这点不可导。但是如果现在我在前面配上了一个。配上了一个什么东西呢？

配上了一个这个人在这个点处连续的函数。好，配上那个连续函数。如果这个东西在这个点处连续。那这时候我们来看你，如果这个人在这个点处可导的充要条件，有没有可能可导呢？有可能。就有可能会变得可导。什么时候会可导呢？你可以进行去判断一下。对吧，你把这个人记作成大fx。那它可导的充要条件就是要分就是诱导数。左导数左右导数存在，

且相等，那我们来看。当s趋向s0正。那就是gs。减去7s零是零比上s-s零。然后这是s0负呢？你继续看，然后就是js这个部分。减去零比上s- 0。那么然后这个时候我们就会发现一个事儿，当s趋向s0正，你这是gs。你这个人比他大，这人就是本身。没问题吧，

然后这是limits趋向于x0负，然后这是gs比它小，其实就是相反数。好s这个人，所以说这个东西啊，其实就是gs 0。然后这个东西呢，等于负的gs 0。那么，你要想进行可导，这两个东西是不是相等？有没有机会可导呢？有就是这个人在这个点处的导函数啊，等于零。哎，

当然是有的，就是这个人在这个点处的导函数等于零，没有任何问题。所以遇到这种情况，你要会做。就说原本这个绝对值这个人呐，他在这个点处不可导。其实你想都能想得出来。你看看原本这条线是这样子的。你稍微进行去，加上了一个绝对值之后，你让这半边儿翻过去。对吧，因为原来这是一你翻过去这半边就是负一。啊，

这是一你翻过去负一就使得这个点处不可导。如果在前面乘上了一个连续的函数。怎么样让在这个点处可导呢？你在前面乘的这个函数，在这个点处必须是零。啊，必须是零。所以有了这个经验，你再做这个题的时候，其实也非常简单，它是一个模子的东西。我们再看这个题。好了，我们来看看这个事。那么这个时候你就会发现。

哪个在零处啊？我在研究x0处的导函数，不是零处的导函数。在x0处的导函数。谁研究零处的导函数，上课的时候注意力集中一点啊。按理说这是应该是基础班，你就能达到的这个基本水平啊呃，当然也没关系，你能补得回来，但是上课的时候一定要注意啊，集中点。不要走神。那么这个时候你看我们刚才说。这个人在零处可导，

只需要保证这个人在零处可导。那只要保证这个人在临处可导，我们来研究一下这个c。你看s in这个函数。cos塞因塞因这个函数，它是这样。你告诉我这个人，他在零处的导函数是多少？sine求导是cosine。它在cos 0是一，它在零处的这个导函数是一。对吧，零处的导函数是一。然后这个时候如果你把这半边翻了过去。你翻了过去，

你翻了过去，就会使得这半边的切线斜率是一这半边的切线斜率是负一。就会导致在这个点处不可导。能理解吗？所以说s in这个绝对值在这个点处啊。他这个东西怎么办？一对吧，这个人。原本这个人是一，然后你把这东西翻过来了之后。导致了这个东西在这个点处不可导。原本是可导的呀。但是你翻过来了之后的话，它导致这个东西在这个点处不可导。原本可导你现在这个人的切线斜率是几是一？

那么，这是一你翻过来是负一，那你这个点出的话肯定不可导。那不可导怎么办？我就在前面配上一个，在这个点连续的函数好配了一个，那你要在这个点处可导的充要条件是什么？磕到了，充要条件就是你配的这个函数，在这点等于零。所以选a好了，这是这个事情，所以你会发现这都是一个套路的题。你有了这个经验呢，你做这个题的话就可以秒选了，

你都不用进行去做了啊。好了，这是这个问题。来了再来看看这个38题这题。继续那么这个题的话，你怎么去处理呢？我一看看到这个绝对值这个情况。你首先的话，你看这个x方减x- 2，你这个东西其实就是x- 2 x+1。是不这个事，然后后面这个东西是三次方减s的话，其实是xx方减1 x- 1 x+1。好，这个人那所以这个时候我就可以写了，

你前面是x- 2，然后这是x+1。然后给这个人打绝对值的话，就是你的绝对值，你的绝对值，然后是你的绝对值。那么接下来我讲一个好吧，我讲一个剩下的东西，你其实都会看的非常非常的容易。那么，在这里面当中，我们就来看看这个人可以吧？或者吧，我们看最恶心的，我们看这个人。

这个人的话，他其实不应该这样写。它应该怎么写呢？叫做x-- 1。你来回答我一个事情，你先别看这个部分。这个人在负一处，是不是不可导？因为x-x零在x0处不可导，但是我现在再配上了一个在这个点处连续的函数。你是不是只需要保证什么？你只需要保证这一坨。它在什么东西啊？它在负一处的结果等于零啊。你在负一处的结果是不是零呢？

你刚好是零，所以说x=- 1可导。哎，这是可导，所以说你就是怎么看呢？你看这个人在负一处不可导，你就看看剩下的这个部分在负一处，等不等于零吧？那剩下的东西我就不讲了，来我们再来看看这个人。这个人是不在一处不可导。一处不可导，你就要看看剩下的这个部分，你看这个部分在一处不为零，这个部分在一处不为零。

所以说这个东西啊，马上得到一处，它是不可导的。对吧，然后接下来我们再来看看这个人，这个人应该写的是x- 0。x- 0的话，它在零处不可导，那么接下来我们就要看看剩下的这些人在零处等不等零？剩下的这些人在零处部位里呢哦，在这个点处它就不可导。能想清楚吧，所以说这个不可导点，有几个你注意它顶多只有这个分段点，这个分段点。

这个分段点只有三个不可啊，这个分段点只有三个分段点，顶多只有三个不可导点，怎么可能是四个呢？先把这个排除。因此这个题啊，正确答案选几啊，选ce选项。能听懂吧，好这个题。那么，接下来我们就继续，我们再来看看下一个问题。跟得上吧。哎，

问题点应该不大。那么，接下来我们再来看看这种题。哎，把这种题我们来看看。一七年这种题。这个题那么这个题啊，它说了一个事情，它说已经知道这个函数在这点可导。啊，已经知道可道。则f撇s0是谁？那么像这种题呃，我们等会再做这个吧。要不然的话，

我们先做一个这样的题。啊离。那么，这个东西是这样子，一个东西。说如果这是limit x趋向零。然后我们来看看一个事情，这里面当中告诉了x0，加上x。减去fx0-x。然后这个部分要不然这样吧。我们加上个ax。我们一股脑把所有的东西都讲了。比上x。如果这个极限存在。

请问能否推出f在x0处？存在导数存在。好，先看这个问题。那么，在这里面当中，我们今天把这个东西啊，系统的讲一遍，讲一遍，完了之后啊，这个东西我们就结束了。那么像这种题啊，有些同学可能是这样做的。说老师，我觉得可以。

你看你这是is 0+as。你这是s 0+BS，你看这俩东西一减是a-b倍的s，我就在这配个a-b。对吧，然后在这来个a-b。老师，你看吧。你这个人减这个人是德尔塔y。这是德尔塔s割线斜率它趋向零。所以说这个东西不就是a-b倍的f撇s0吗？同学们告诉我，对还是不对呀？对不对？不对。

你一定琢磨一个问题。什么叫做x0处的导函数？x0处的导函数是什么问题呢？x0处的导函数，这个点必须是个定点。然后现在s 0+as是个动点s 0+BS是个动点。它应该是动点减定点，你这是个定点吧？这是动点动减定才行。然而，这个题是用这个点减这个点。你用这个点减这个点，你是哪个点处的割线斜率啊？你是这个点处的割线斜率吧？但是当s跑的时候，

这两个东西都在跑啊，所以这就不行。双动点做差，其实就不行。能听懂我的意思吗？不要这样做，这是这有问题的。这不对，因为x是趋向零，这是动点动点双动点的题，怎么做？双动点的题，这样做。双动点的题，把它拆成。

动减丁。动减d。双动点的题要拆成两个来做。能听懂吧，所以说这个时候你在这儿个fx 0，你在这减个fx 0。所以说已达到什么情况？已达到它凑成了两个导数定义的目的。那这个时候你发现你看它的结构出来了，动点定点。动点定点。结构出来了吧？那结构出来再看看第二个人，你继续看。那么，

这个人加上as就要除以as在这不可以加上BS，这要除个b在这来个b。但是同学们，你要想清楚。它这个题告诉的是两个做差的极限存在吗？对吧，我来问你一个事情，你跟我想想。你就告诉我。如果第一个人的极限存在。叫不叫导数存在？这个极限叫不叫导数？只有这一个人。结构给它一个人配了一个这样。结构出来了，

然后这个人是屈向林。这一个人的极限，当然叫导数啊，没有问题。然后再来看看下面一个事情，你再看这个人。这个人不叫导数，你这个人叫导数吗？这个人不叫导数。这个人的极限教导说你去想那个结构，我跟你讲特别简单，你看s0加框减去fs 0比上框。当x趋向零的时候，框趋向零。只有这么多，

不多也不少，可能是多了个BB提出去呗，所以这个人的极限也叫导数。对吧，所以你要想清楚一个问题，你要琢磨清楚。就说你第一个人的极限教导书，你第二个人的极限也教导书。第一个人的极限存在导数存在，第二个人的极限存在也叫导数存在，但是现在很尴尬。题目告诉的是你俩做差存在。你俩做差存在，我们知道存在减存在可以存在，不存在减不存在，

是不是也能存在？所以说你想清楚，两个做差存在。第一个和第二个人的极限有可能是存在，也有可能不存在，那导函数就是有可能存在，也有可能不存在啊。因此这个东西啊，推不出来。能琢磨清楚吧，所以说通过双动点推导数存在的，一般不成立。双动点的做差的这种极限存在，你想推导数存在，这是一般不成立的。

能想清楚吧，好了，这是这个问题啊，把它琢磨清楚。这是我们在这里面当中讲的，这个第一个事情，但是我们来看看第二个点。那就是考点了。那么，如果这个人他是这样说说。如果我知道了这个点处的导数存在。其实也就说我知道了fx在这个点处可导。哎，如果我知道这句话。那么，

请同学们告诉我，你发现一个问题。对吧，你发现一个问题，那这个点极限等于多少？好，这个问题。等于多少呢？那么我们琢磨一下。你看我们觉得做题呀，你肯定还是这样做。怎么继续做呢？首先，我们眼睛一瞅，发现动点。

动点双，动点做长。那双动点做差第一步，我怎么办？我就可以把它拆开了。我想问一下，我们是不是也可以把它写成这样？又一次可以把它写成这样。好了，注意一下分析。没问题吧，我又一次可以把这个人写成这样。写成这样了之后你告诉我。这个人的极限叫不叫导数啊？刚才说了这个人的极限叫导数，

导数是存在的。这个人的极限叫不叫导数啊？叫导数，导数是存在的。那所以说这俩人的极限都叫导数，导数是存在的，都存在就可以拆a倍的，它的极限一个人加极限导数。然后呢，一个人加几线倒数，你看这个人。所以说就得到了什么情况，就得到了a-b倍的导函数的这个结果。是不这个问题诶，我们就得到了这个结果，

而得到的这个结果，你发现个事，它像不像什么呢？你来看看我们来研究一下这个结果。得到的这个结果，它怎么就那么像什么呢？像这样的一个事情，像我这个人，你看。我换一个颜色。换这个颜色。他就特别像你这个人减这个人。你看你这两个一减就是a-ba-b的话，我就给你补一个a-b倍的s，然后在这里面当中来个a-b。

它就怎么就那么像的话a-b倍的这个导函数呢？哦，原来可以，我可以通过这个方法把它怎么办？把它记住。注意，我们可以通过这个方法把它给我记住，但是你注意。这种如果从理解的角度上，它是错的。从背答案的角度上而言，它是对的。要注意啊，它怎么就那么像这样的一个结论呢？好，

所以说我们就通过这个方式把它记住。但是你注意这个问题，它有要求，它必须要要求什么呢？它的要求是这样，它的要求就是你必须要知道导函数是存在的。导函数必须是存在的。然后两f做差这种题。能听懂吧？所以你要分析清楚这样的一个问题，点那么接下来我们来看看下面一个点。那么所以说做这个题就非常容易了。你看这个题。对于第一个人。a选项。

a选项的话，这个人其实你看你就进行去凑凑推广定义来走s0加上框，你再减去fx 0。比上这个框，你很明显的话，你这个写反了，然后框趋向零配负号，那这个人不是导函数，这是负的导函数吧？所以你不对。然后再来看看b选项b选项的话，这个人是怎么办呢？这是limit来继续写。跟我一起醒来走x0，加上这个框。

再减去fs 0要比上这个框是负的，它所以前面要来一个负号。好告诉我，结构出来了吗？结构出来is 0加框减fs 0比上框，然后当dot x趋向零的时候，这个人就是趋向零。去向零的话就是负的f撇框，这不对。然后再看第三个人的话，你看s0加框应该除除以二倍的它。那x0加框减去fx 0闭上框，那框也是趋向零，所以这个人是等于二倍的，这个人所以答案选几选d？

为什么选d呢？你可以秒，你怎么秒用刚才的经验？已知这个人可导，那这个时候他就非常像什么，就非常像里面做茶。里面做差刚好是一倍，那这个人就刚好是零处的导函数结束了。是不是啊？所以说这种题啊，你要注意应用的条件，它应用的条件一定是这个函数必须要在这个点已经知道可导性了。再来用好了，那么接下来我们继续，我们再来看看下一个问题好了，

这个题啊，也跟着我一起来秒一下。好看看这个题。那么这个题啊，我们先来看看它怎么做的，这题非常简单，你看。这是一个动点吧。这是个动点吧。双动点的存在推导数存在，它肯定不对答案选一。好本题结束。双动点进行去推啊，肯定不对。那么，

接下来我们来看看这个前面这几个人。我们先看a选项。啊a选项。它说这个比值的极限是存在的。比值的极限是存在的，分母极限是零。分子的极限就是零。而我们又因为它在这个点处连续，连续极限等于函数值f0是零，对着呢。然后这个时候你发现你会看这个东西了，你就会看d选项。因为你发现你看如果这个人极限存在了f0是零。那既然f0是零的话，我就可以给这个fs比s，

我可以怎么办？我就可以给这个人进行去减一个f0f0是零嘛，比上s- 0，那这个东西就是f撇零那存在。你存在就是f撇，等于存在那这里是对的。AD都对。那么然后我们再来看看c选项。c选项这个人呢？也很好看。它的分母的极限是零则分子的极限是零。分子的这个部分相加的极限结果它就是零。然后接下来我们看，因为连续极限是存在的。因为连续极限等于函数值是存在都存在就可以拆第一个人的极限，

等于函数值第二人的极限，等于函数值函数值一代，它等于零。所以推出了f0=0，因此这个人当中的c选项也是正确的。那么，接下来我们再来看看b选项。b选项可以怎么做呢？你可以这样做。因为这个人极限存在，首先第一件事儿，分母的极限是零分子的极限是零连续极限等于函数值，函数值是零。那么，然后接下来我们要进行去求f撇0f撇零是x- 0 fx-f零比上s- 0。

那这个东西其实就是f0是零，确实变成了fs-x。你怎么做呢？你可以这样做，你就用已知极限进行去凑这个极限，已知的是BS方，你就除一个s乘个s，这能做到吗？然后这个极限是存在这个极限是零，那这个结果是解就是零。能听懂吧，这是一种做题方法，但不够快。最快的是什么方法？但是你要注意啊，

这个题你能求出f0是零至关重要。你如果f0不是零。你f0不是零，你就不能把这个东西给减掉了，你就不能胡做了。你这里面当中f0是零至关重要，只有f0是零呢，它才变成了这个极限，那还有一种方法严惩法。怎么做呢？你想你的极限是零，你的极限是零，你俩人的极限都是零，你俩人都是无穷小。两个无穷小的话，

你比上这个无穷小是存在，说明这个人是个几阶无穷小，二阶无穷小。那这个人是个二阶无穷小，一阶无穷小支比的结果不就是零吗？直接把他秒杀了。用无穷小进行比切的方式，然后来处理。但是这个题你进行去举例子说b是对的，那可不行，我们说过了，举例子只能去排除，举例子不能肯定。你这个例子说它对你能说所有人都说它对吗？这不行哎，

所以说这个题啊，正确答案选一啊。好了，这是这个方式，能学清楚吧，所以说像这个问题啊，比值极限是存在。比值极限是存在下面极限零，上面极限是零，先把它干出来，干出来之后我们再来看。好了，那么接下来我们再来看看下一个问题e选项，你都知道你这个人凑一个导数定义，你这个人凑一个导数定义，

两个人凑一个导数定义。你的导数，你的导数一减是存在，但是不能拆呀。这个选项我们就不说了，双动点做差的问题嘛，你去试一下。好了，这是这个问题，那么接下来我们再来看看这个题。这个题啊，等一会儿我们再来讲，接下来我们来看一个重点的题。希望大家好好来跟我一起来品一下这个题啊，我们看看这个题。

那么这个题啊。我们先来瞅一下。这个题比较经典。但是同学们，我们不拘泥于做这个题。好不好？我们不拘泥于做这个题。我们到了今天，我们就把我们的理论的基础搭建好。那么，请同学们告诉我，这是一道什么题啊？抽象函数的极限题。抽象函数的极限题。所以说学这个问题之前呢，

我们先把洛必达法则的这个内容，我们先复习一下。我们在前面的话，我忘了我有没有把这个洛必达法则？我再跟同学们回顾一下吧。呃，是这样，我们把这个洛必达法则我们再带着同学们进行去回顾一下。好吧，因为洛必达法则非常容易出错。好，我们来看看洛必达法则。来看看这个人。洛必达法则。其实很多同学啊，

洛必达法则学的不是说特别好啊，洛必达法则。我们看看洛必达法则的内容。那洛必达法则。很多同学的脑子里面的洛必达法则就是这个人。其实，洛韦达法则没有这么的简单。说这个人知彼的极限，就等于导函数知彼的极限，哪有这么简单？不是的，洛必达法则有三个要求。第一个要求你这个人的极限是零比零，或者是无穷比无穷吧。所以说都趋向于零，

或者都趋向无穷。好，这是第一个要求。所以洛必达法则第一个要求谁都知道，如果连第一个要求都不知道的同学使用洛必达法则，那是纯属胡来。然后第二要求你想想你是不是给这俩人进行求导了？你这两个求导，你是不得在这个趋向过程当中得可导同学们想想什么叫趋向过程当中啊？这个趋向过程当中是什么意思？这个趋向过程当中的意思就是趋向于这个人，其实就是这个点的什么？就是这个点的去新领域。所以说首先第二个要求，那第二要求就是你在这个人的去心领域当中，

你这个人得可导吧。你肯定得可导，你不可导怎么行？所以这是第二个要求。也就是第一个要求的话，你必须是零比零或者无穷比无穷，你要求导你保证这个去新领域不需要领域啊，不需要那个点。去薪领域当中得磕到。然后接下来我们再来看看第三个事情。林比无穷也能用。是无穷分之心儿就能用。啊别别别。是你要不不不肯定的东西啊，当然无穷分之零也能用啊，

无穷分之仙儿都能用，那是推广系统，我们先不谈这个事儿，这都不重要，这不是最重要的。然后第三个事情。第三个事，洛必达法则。这个内容。你不能说落完了就结束了。你们两个东西到底相不相等？是由谁说的算呢？是由后面说的算。然后第三个要求要检验。如果后面这个人算出的极限结果是数或者无穷大，

你们才能想到。能听得懂吗？所以洛必达法则到底成不成立？要检验三个要求。第一个要求，你是不是零比零无穷比无穷啊？你是不是去新领域当中可导啊？对吧，你们相不相信？相等，你要看看落完你落完了之后，你要看看这个极限，结果是不是一个数或者无穷大，如果落完是震荡的。那就不对了。

注意洛必达法则成立要检验这三个要求，零比零无穷比无穷去薪领域当中得可导，然后落完了之后的人。决定我们相不相等。落完了之后，哎是无穷大或之数，我们落队了，落完了之后是这个正当的，你做错了这个诺贝达法则就不成立了。你要想清楚。好了，这其实就是我们那些年学过的洛必达法则。这才叫真正的把这个定理啊，学透了。那么，

定理必须满足这三个要求，才能下这一个结论。那么，接下来我们一起来看看这个题。好，先看这个题，这个题啊，我们有很多种方法干掉这个问题。那么，首先我们先来看看第一个点啊，我们讲讲这个事。那么，这里面当中啊，这个函数在这点可导来告诉我一件事情。这个函数在这点可导。

只能推出，谁连续啊？请告诉我一个点可导跟淋浴当中可导一样不一样。一个点连续跟附近连续一样，不一样哦，我们先解决一下这个事情。这个事儿呃，强化我们讲了，你记住这个结论就行，我们不会不会进行去考这个东西的证明的，你这个大可放心。你看一个点连续没办法推出这个点的邻域内，也连续就是这个点连续，你附近也连续吗？不是。

你这个点可导，你附近也可导吗？不是。注意能能想清楚吗？但是我问你，如果这个点连续，那附近是存在对不对？附近存在是对的吧？我们刚刚讲到，如果在这点连续它附近是存在存在跟连续不一样的。好了，那么接下我们看，如果这个人在这点可导，只能推出这个人在这个点处。连续那么首先告诉我抽象函数的极限，

首选洛必达法则。那你告诉我能落吗？能不能撸？当然落不了。你想我都无法保证这个去心领域当中是可导的。你这个点可导，你都没办法推出去，心领域当中可导，你肯定不能录啊，你就算检验出来零比零又怎么样，不能。绝对不能落，那绝对不能落，这个题怎么办呢？我们来看看。

这个东西是个动点，这个东西是个动点，双动点，如果不能洛必达，我就来凑倒数第一。因此，当s趋向零的时候，双动点除下去，那就是fs比上谁x- 2倍的多少。fx三次方比上个三次方好，这个人。那么，这个部分做成这样了之后啊，然后接下来我们继续看。你就会发现这个人是多少fs-f零比上s- 0。

因为f0是零嘛，随便解。然后第二个人呢，继续凑倒数，第一凑倒数，第一就是零，加上三次方减去f0。比上个三次方。没问题吧，你凑倒数第一。那么，请同学们告诉我这个人的极限是不是导数？这个人极限当然是导数，而人家都说了，在这点是可导的，

导数是存在的。那么想想这个人的极限是不是导数啊？这个极限也是结构出来了三次方是趋向零的。那这个极限是导数，而极限是存在的啊，那就可以拆，听得懂吗？它的极限是导数，不是说它是导数。能拆的话，你的极限零处导数，你的极限二倍的零处导数等于负的零处的导数，所以正确答案选几啊选b啊？这个地方那么这是我们讲的这个42题。能琢磨清楚吧，

好这个题目把它想清楚，这是第一项凑倒数第一诶。如果我把这个题啊，我们改一下呢？再来看改编一下。我看你水平怎么样？那改编一下，我说了这个函数在这个点邻域内可导。淋浴淋浴的意思其实就是这个点，淋浴就是这个附近。都可导，那你想想当s趋向零的时候，下面是零。这是极限是f0，这是零连续极限是f零零零比零能不能落呢？

好了，那么接下来我们看淋浴内可导，淋浴内可导的话，那很多人说那我们可以落好，那么接下来我们落下。哎，我就不落了，落笔达呀，你肯定会啊，我这里面刚好落完了。好了，那么接下来我来落下。你说这个东西可以落好，我来落下，因为淋浴内科到了嘛。

来一落落成了这样。我们一落，但是这个东西落完了之后，我就想问一个事情。你琢磨一下这个点。你刚才说洛必达法则应该符合三个要求啊。零比零。下面是零，上面是零，复合。去心邻域当中可导符合，但是第三个要求呢？你告诉我。fs可导是不只能推出fs连续啊？导函数连续吗？

导函数不一定是连续。导函数不一定连续，我就想问你个事情，这个人的极限是谁呀？啊，你导函数不一定连续你这个导函数的极限不就说不一定等于函数值吗？导函数的极限不就不一定存在吗？有没有可能正当？有可能吧。你想想是不是啊？因为你发现你落完了之后，导函数不一定连续啊。你落完了之后，你不一定连续你的极限，不一定等于函数值。

不一定等于函数值你极限，有可能不存在啊。有可能震荡，所以说同学们注意你这个洛必达法则是不做错了。因此，这个题还是不能落必答。绝对不能使用多比达法则。不行的，所以像这种问题啊，你不能落我怎么办？我还只能凑倒数第一，因此这个题的做题方法跟刚才是一样。只能凑倒数第一。听懂吧，所以你的做题答案跟这个答案是一模一样啊，

还是选b？那同学们想我把这个题再改一下，你看改成这样。改成这样，改成这样了之后，同学们，我们再看它现在告诉的是导函数连续。你要注意哦。导函数。在这个点处。连续。导函数在这个点处连续，那么请同学们告诉我，导函数在这个点。的附近存不存在啊？

存在当然存在啊，我们说了，你在这个点连续你在这个附近就是存在的。所以满足了第二个要求。然后他又是零比零满足了第二个要求，那同学们告诉我这个题能不能落呢？我们来看看这个事。那我们就录。那这个人是个零比零型。它的附近又是可导的，我落一下。我落完了之后怎么办呢？你来看看这里面当中的第一个人。s趋向零，然后这是三分之二x分之fx，

然后再加上三分之一f撇s。然后再减去多少减去二倍的f撇x三次方。好，这个人那这个时候你发现导函数连续你的极限是存在的，等于函数值。导函数连续极限是存在的，等于函数值。所以说这个人就可以拆了。而第一个人呢？第一个人的话，你发现你可以凑一下导数定义。你凑一下导数定义的话，你在这减个f0比上s- 0。那第一个人的极限是谁？第一个人的极限是f到零。

所以说这是三分之二倍的f撇零。加上三分之一倍的f撇零，减去两倍的f撇零等于负的f撇零。你看这个人正确答案是不还是选b啊？虽然说这几个题啊，你就会发现，如果你刚才做这个改编一和刚才这个题啊，你使用了洛必达法则。其实你也做对了。你都选b了。但是其实你发现每个人的话，这个理论性其实不一样的。所以在这里面当中啊，我们把这个东西总结一下，我希望同学们你把这个东西啊掌握清楚。

就说如果将来我们遇到什么？我们遇到抽象函数的这个极限问题。如果遇到抽象函数的极限。我怎么办呢？我先想洛必达法则。一般这个东西落笔达到哪呢？落笔达到抽象函数连续的那节。你不要说友好也不友好，你看去年不就坑人了吗？啊，好注意，一般会落到连续的那一节。为什么呢？你看刚才落完了之后的这个人不一定连续极限，就不知道有可能震荡，

他就用不了。但是你落到这个人是连续他的极限，就是存在诶，落完了之后是存在洛必达法则不就可以吗？能听得懂我的意思吗？所以说你要想清楚这个事啊。因此，你琢磨清楚。因此，像这个人呢一般可以洛必达法则到什么，洛必达法则到抽象函数什么，洛必达法则到。抽象函数连续的那一些。听得懂我的意思吗？哎，

洛必达法则到连续的那一节，当然的话，有些的话，同学可能看到一些什么呢？可能进行去看到了一些这个嗯，参考书啊，当然参考书一般没有你看到市面当中一些野题，我们三九六我就不讲那个题了，我前段时间讲那个数一数二数三同学的这个真题啊，我还讲了那个题。我们就不用讲了，讲那个东西有点浪费我们的时间。你就记住一般地。对吧，总有钻空子那种题诶，

你不是落连续了一节吗？但是连续了之后的话，这个人还有可能知道我不管了。所以一般落到连续的那些，那么接下来我们看看这几个题。那你告诉我42题，这个题它说fs的连续是不是一般落到fs啊？然后这个人是什么fs连续是不一般落到fs啊？然后这个人是导函数连续，是不是一般落到导函数？我说的一般地。这个一般地的话，在我们的考研真题当中啊，它是完全适用的。所以说这个人呢，

他落到什么落到一阶导数没有问题，你学会了吗？同学们。像这种抽象函数的这个极限，你怎么办？你可以使用洛必达法则加导数定义，你先落落到连续那一节落不动了，然后我们再来使用导数定义。好了，这是这个问题嗯，有些同学你不要老是是费啥呀，这个破玩意儿，这已经是我讲了N多遍了。如果这个东西你还是学废了，我觉得那是真废了啊。

好了，那么接下来我们就继续，我们再来看。有些同学。说不管，反正我凑到数第一。我记得我们800题当中啊，有一个题。就这个题。我今天再讲最后一遍，我们今天速速把它秒杀啊，冲刺班了。你迅速一点，把他秒杀，怒拿两分啊，

你看这个题。好了，他说这个人怎么了？这个人二阶导数存在推。一阶导数连续。啊，一级导数连续。那么这个题我是对谁求极限？看帽子，帽子很重要，帽子说了我的谁是主角，我们在这场战役当中，我们在这场。求极限的过程当中，求极限的这场战役的过程中h我是主角。

那h是主角的话，你看h趋向0h趋向零，下面是零当h趋向零，这是fs 0，这是fs 0。两个fs零一减，这是零。有人说，老师，我直接凑导数题，你去试一下吧，你这个人凑一下导数题，应该处于一个h。但是这是两个h，你只能除一个h，

再乘上h分之一h分之一是无穷大能做的出来吗？你无脑导出定义，你无脑不出来呀。所以说这个题啊，我们怎么办诶？这个题你还只能录。走一阶导数连续，我可以落到一阶，请大家告诉我一件事，我再来写到这，我害怕很多同学看不懂。我们对谁求导？我们对h进行求导，听得懂吗？对h求导，

那这人是什么数常数没有了？那对h求导的话，先对中间变量求导，中间变量再求导是一。再减去再对中间变量求导，中间变量求导是负一。好，这个人下面求到2h。然后这个东西我们就不做了，凭借着我们今天的话，这个超强的这个水平，你自己想想一个事情，这是x0-h，这是fx0，加上h同学们告诉我哪种模型？

双动点做差吧。二阶导数存在，其实就是这个人接下来的这个人的导函数存在，接下来的这个人导函数存在，不就可以用里面做差的情况来做吗？里面做差的话，你看里面做差是多少？里面做差是负二一时，你就在这补个负二，你补个负二的话，这个你这要乘一个负二，那这人就是负的。所以说这个结果它就等于负的撇撇x0，那正确答案选几选d？所以说，

凭借着我们今天的这个超强的这个水平呢，你就这样做，但是同学们，我再来问一嘴，你落到这了，还能再落吗？不能一阶倒数，连续只能给我落到一阶倒。就这个简单啊。会了吧，再不会就有点对不起人了。说实话，这种题你再不会，这有点对不起人了啊，这个问题。

那么，接下来我们其实还可以再次看看刚才这个题。好，再来看。其实吧。这种题啊，这样做都慢啊。有点慢，你想想一个事情。这个东西是。抽象函数哎。抽象函数做的那么辛苦干嘛？选择题啊。那抽象函数我可以举例子啊。我就在这里面当中进行去直接举，

有些同学比较狠，说老师我直接举这个fs是零不就行了。fs是零，它肯定可导f0是零啊，但是你一代的话，你看这是零，这是零一，除是零。但是你发现abcde都符合这没有没有排出来，你这取的不好。你AB你举的这个例子abcde都对你能说都对吗？不行我再换，我举多少举一次函数，我就举个x。举个x它当然满足在零处可导，

当然满足在零处是零呐，然后接下来我们就来看看当x趋向零的时候，只是x方再乘上x。再减去二倍的，这个三次方代进去三次方，然后比上三次方，你发现这个结果等于几啊？等于负一。等于负一的话，你就会发现这个人的导函数等于几呢？他等于一这个导函数在零处等于几呢一？这个人在零处的导函数就等于负的零处的导函数。那负的零处的导函数，你看你不对吧，你说错了吧，

你说错了吧，你说错了吧，那只有我b对。你们都说错了，那我就对没有说谁例子会不会举的？你天天在那问说啊，我不会举例子，不会举例谁在这里面当中一下就会的呀，举例子这个东西你只能去试。难道你在做所有题之前，你就知道所有的例子吗？那纯属胡说八道啊，所以像这个问题啊，你只能进行去慢慢试，不要老是说啊，

这个东西我不会那个东。做呀。对吧，你要继续去做呀，这个事。好了，这是这个问题，能想清楚吧啊零的那个那个无所谓。零就有点狠了，你举举出零呐啊。好吧啊，零的那个就无所谓了，零的那个举完了之后你发现abcde都对。我再说一遍啊，你们是学逻辑的。

举出一个例子对。你能说这个人对吗？能不能啊，举出例子对你能不能说这个人对？你肯定不行的。你这个人对你能说他对吗？肯定不行。但是同学们，你想想这个事。举出一个例子，错它肯定是错。这没问题吧？好，这是这个点。你像刚才这个题啊，

你也可以进去去试一下。好，这个题啊，我给你流程思考题，你下去好好想想，你看这个二阶可导。你能不能进行去取一个，然后进行去看看呢？啊，你去试一下这个题。如果是不好，我我再强调一遍啊。比如说举个例子。你要进行去取考场当中。这是一种意识，

你能听得懂吗？这是一种意识。他这种意识非常重要，这是一种意识。你如果在考场当中，你想到它，结果你举例子举了三到四分钟都没有举出来，你适可而止哦。对吧，你适可而止。能想清楚吧。你取了半天都没取出来，你在那在那还在那取，还在那取，你都没有取出来，

你在那愣它干嘛？你赶紧换方法做呀啊。好了，这个问题啊，我们就讲到这啊。行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这啊。这个今天的这个问题点，我们说到这啊，东西还比较重要，把这个题再想想，然后上面是不是还有一个题啊？你去把这个41题再做一下啊，你看看有没有什么一些方法进行去处理？

好了，然后还有这个43题。那么，在下节课之前呢？我建议同学们呃，这个最起码而言。你应该把这个什么东西呢？把这个呀。哦，不好意思啊，这个我没有看时间，我以为是八点四十呢。啊，九点四十了。哦，

不好意思啊，这个拖了40分钟的糖啊，行行行，你下去好好进行消化消化。好了，那么今天课程呢？我们就说到这啊。行吧，那么今天我们就不好意思啊，不好意思，实实在拖的时间有点长了，你们下次提示我一下啊。好，那么今天课程呢？我们就说到这啊，

这个自己下去把相对应的问题好好处理处理，一定要把这个东西的逻辑感呢，把它梳理清楚。那么下次课程我们的重点而言呢，我们是进行去讲这个呃微分的定义导数的，这个什么计算这个问题？每年导数计算肯定会出题，微分的定义也会出题。啊，这是这个事情，还有后面的时候，我们还会讲的这个什么导数的，这个应用也会出题点啊。唱歌叫我想想啊。行啊，

那这个。也给你们鼓鼓气儿哈。那我最近没有学什么的，我记得以上次我唱过一个那个。嗯。那个那个算了，那个那个我真不会啊啊，那个我还真不会，我看看啊。呃，唱一首那个生如夏花吧，可以吧？呵呵，好了，这个我们唱首这个生如夏花吧，

然后下去呃，建议同学们还是好好先把这个东西啊。你先该整理的整理，因为我们这个部分的内容啊，讲的其实这个时间已经比较长了啊，所以说这个内容点呢，还是好好消化一下啊。不知在黑暗中究竟沉睡了多久。也不知要有多难才能睁开双眼。我从远方赶来。悄悄，你们也在耶？你留恋人间。我为她而狂野。我是这遥远的瞬间，

是划过天边的刹那火焰。我为你来看，我不顾一切，我相信也永不能再回来。我在这里呀。就在这里呀。青红一般短暂，像花一样绚烂。寂寞来祝福你哦，我让你给我来一首。这是一个多美丽又遗憾的世界。我们就这样抱着笑着还流着泪。我从远方赶来。抚你一面之缘。痴迷留恋人间。

我为她而狂野，是这遥远的瞬间。只划过天边的刹那火焰，我为你来看，我不顾一切。我将熄灭，永不能再回来。我在这里呀。就在这里呀。青红一半一半短暂。如夏花一样绚烂。行吧，就唱这么多。行，那么今天课程呢？

我们就讲到这儿啊，自己下去好好梳理梳理吧。呃，这个东西啊，我觉得到了这个。冲刺了对吧啊？这个内容点你自己一定要下去，把相对的东西啊呃，自己有问题的东西好好重点处理。一定要抓住自己的薄弱点，有的时候你某一个部分的东西啊，你老师经常忘，你要经常进行去复习啊，好了，那么今天课程呢，

我们就讲到这儿。然后的话，这个今天的东西啊，也会稍微的会比较重要一点，因此因此啊，这个导数定义这个部分呢，因此你下去把相对应的点好好处理处理，因为这个点呢，很多同学的痛点，尤其是那个东西能不能使用洛必达法则？你不要想着说我们三九六同学都是选择题，因为去年的二零二三年的那个考研真题的第二个题，他其实就打了这个点，比方说像。下面有一二三四四个选项，

哪个选项啊？正确的个数有几个？你步骤做错了，他肯定选错了呀，好那么今天课程我们就讲到这好吧，同学们好，我们后天继续吧，好下节课见啊。嗯。

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