04.冲刺串讲4-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 16:59:08

好，接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们就准备开始了。那么今天我们就继续开始我们的冲刺救命班的课程，那么在上次过程当中啊，我们已经把函数极限计算的所有的问题我们全部讲完了。包括在这里面当中，我们讲了一些概念性的问题，包括这个函数极限的这个定义和它的一个性质，包括这里面当中的数列极限的定义和它的性质。

那么，今天过程当中，我们还是来把这个最后一点东西啊，尤其是数列极限的这个计算，我们把这个内容啊做一定的补充。好了，那么接下来我们来一起来看看下面一个问题，那么在昨天呢？应该是前天对吧？我们下课之前呢？我们跟同学们进行去补充的几个问题。那第一个事情就是数列极限的定义，那数列极限定义啊，我们讲完了这个事情说，如果这个数列的极限是a。

他应该是保证什么？只要从一个人开始之后，你后面的所有人都接近为a，那他这个人的他的极限结果就是a。所以对于这个类型问题啊，一定要深层次的进行去理解，包括这个人的性质，大家有没有发现保号信的性质是非常重要的。如果我这个人的极限，我是大于零，我从一个大n开始之后，所有人都大于零，如果我的极限是小于零。从一个人开始之后，所有人小于零，

我大于a，小于a，大于一个极限，小于一个极限，它都是这样的一个类型问题。但是这里面当中啊，还有一个东西叫做家贸保护性。对吧，一个人叫去冒一个人家，冒一个家，冒保护性，说从一个人开始之后，所有人都大于零极限，是存在最后，这个极限是什么零？

大于等于零。所以像这种类型问题的概念性的题啊，我不希望同学们出错，对吧？最起码而言，如果碰到这种概念性的题，很快就把这个东西啊处理清楚了。那好了吧，那么这个问题我们就讲到这，那么接下来我们把这个数列极限的这个计算呢，还是跟同学们做一个重点的补充。因为这个类型问题，其实这个第一个点。这个点呃，不会是在我们考研过程当中考多么狠的题，

为什么呢？因为这个点呢，我们没有考大题。我们所有的题都是选择题。为什么说这样一句话呢？其实有些题啊，你发现有些同学没有把这个数列极限连续化成函数极限来做。但是最后题也是做对了。对吧，也把它做对了，所以说这个类型问题啊，不会是影响很多同学们取得高分的这样的一个原因，但是这里面当中啊，有一个问题就是定积分第一。定积分定义这个点呢，

还是需要同学们重点来看。因为这个板块内容，我们在去年的过程当中有一个重点的考察，所以一会我们把这个类型问题啊，所有涉及的内容来跟同学们进行一个串联。那这个板块内容我们就全部讲完，所以我相信呃，就算你以前过程当中这个定积分定义啊，学的不是说特别好。你一会好好进行去听这个板块内容，我相信这个板块无论它怎么处理啊，都没有什么问题，所以相信今年的过程当中处理这个点呢啊，问题点不大。然后剩下两个问题，

一个事情是加逼准则，一个事情是单调有借必有极限，这两个东西怎么去学习呢？你只需要知道内容就行。对吧，把它夹住两边极限存在，且相等中间极限存在。就这样的一个类型问题就行，还有单调递增有上界单调递减有下界极限是存在，所以我们学清楚了这些点呢。呃，我相信这个数列极限呢问题点就不大，所以重点而言还是去看定积分定义。定积分低是非重要的好了，那么接下来我们一起来看看第一个问题，

连续化处理什么叫连续化处理呢？他这样说。说如果s趋向正无穷，我这个人的极限结果谁？对吧，那这个函数极限结果是a，那这个时候你就会发现立即可以推出什么n趋向无穷大fn的这个极限。也是a，那为什么呢？其实这件事情啊，非常好理解，如果在这里面当中，你画一个二维的迪卡坐标，系你画一下这个坐标系。然后接下来我们来看看这条曲线，

说这个函数当x趋向于正无穷的时候，你的极限结果是a。好，我们来看看这个问题。你看这个点。如果s趋向正无穷，你这个人的极限结果是a，大家想想，这是一条曲线吧，这条曲线当s趋向正无穷的时候，无限的bga。那你琢磨一个问题，你这上面的点呢？你这上面的点当这个n趋向于无穷大的时候，是不也会接近于a呀？

啊，这是没有任何问题的，所以说这两个点呢，完全应和我们在这里块学习的内容。就说你这个线。对吧，你做当s趋向正无穷的时候，都接近于a你这上面的点，当然也会接近于a啊，而上面的这些点，其实就是fn。好，这个内容那什么时候我们会用这个事情呢？其实就是这样的一个内容。你发现诶，

我要考一个数列极限。结果发现，这个数列极限不好做。没法做，但是函数极限可以做，我就把这个n换成了x，我就把这个无穷大改成了正无穷。我去求这个函数极限，结果发现这个函数极限是多少，我就得到了这个数列极限，它是多少能理解吧？所以这样的一个类型问题啊，把它想透彻就行，所以我觉得这个。到了这个阶段呢，

我们学习啊，一定注意，有的时候知识点学会了之后做题要果敢一点，你不要怕，也不要怕出错。你就果敢一点做，没有任何的问题的，所以说这里面当中我们来看看这个事，就说你这个函数极限是多少，我们这个数列极限多少？那同学们想想什么时候会选择这种方法呢？第一种事情就是数列极限，无法使用洛必达。注意数列极限。波克洛必达法则。

啊，不能使用洛必达法则，如果这个题你想使用洛必达法则，你就得把它换成函数极限。所以我很害怕出那种题，当然出那种题的几率不是说特别大，比如说我给你abcd四个选项啊，五个选项abcde五个选项。我们说什么问题呢？说诶，这里面当中。下列当中，运算当中出错的是谁？对吧，运算当中谁是出错的，

比如说举个例子，我们在这里面当中说n趋向无穷大。然后这是n分之ln多少一加n比说这个人，然后有个同学的话是这样做，说n趋向无穷，大使用了洛比达法则n加一分之一等于零。请告诉我这个步骤对不对？这个步骤当然不对，为什么呢？因为这个数列极限是不能使用洛必达法则的。为什么呢？因为数列是离散的，不连续肯定不可导，所以说这个问题啊，如果给了一个数列极限，

它是这样写诶。做错了对吧？你看这个步骤是错的，那真正应该怎么做呢？你应该这样做，先把这个n改成x。无穷大改，成正无穷，然后这是n改成多少呢？改成这个x，然后这是多少ln 1+x？这个时候呢，你就可以使用洛必达法则了，一落是多少x加一分之一等于零。那这个时候这个函数极限结果是零，

那我就得到这个数列极限结果，它就是零。能听懂吧，就是你避免清楚这样的一种考题就行。啊，就避免这样一个点，然后第二件事情请注意数列极限。对吧，竖列极限。只能n趋向于无穷大，而且这个无穷是正无穷。也就说，数列极限，它只有一种取向，我只能往哪跑呢？

我只能往正无穷跑，不像函数极限。函数极限的话，它可以趋向于零呐。趋向于零正呐，趋向零负啊，这些东西它都是可以的，但是你要注意数列极限，它只能趋向于正无穷方向。好了，这其实就是我们为什么要进行去连续化处理？两个非常必要，要掌握清楚的事情，就是你想洛必达了，你想换元法了，

你就得把它换成函数极限。好了，这个点呢，我们就讲到这儿就行，其实吧，我刚才就跟你说了。就是我们考的题都是选择题。就算你没有连续化，你就这样做了，你最后也选对了。你选对了，最后你也考上了。就是这样的一个问题。但是我们就避免清楚一个问题，就是我刚才所说的下列abcde几个选项当中做题。

对吧，这个东西是完全正确的是。那么万一的话，你这个步骤人家就考这个事情，你要把它想清楚好了，这个点呢，我们就讲到这儿。那这是第一种类型，那么接下来我们再来看看第二件事情，定积分定义好了，这个点呢，一定会出题，100%会出题。如果出题点呢，其实就是三个点，

一个事情是什么最一般的形式？一个事情是什么？最特殊的形式，一种情况是我们接下来有可能在那个特殊形式当中进行去延展。所以学清楚这三个问题就行好，我们先来看第一个事情，最一般的形式。那么，请问同学们定积分来源于什么背景呢？定积分来源于一个东西，叫做曲边梯形的绝对面积的东西，不是面积。上方的定积分是面积，下方的定积分是面积的，相反数能理解吧？

好了，先不管这个事，那么接下来我们来看看这个点。我们要进行去求解什么东西呢？诶，我要求解这个部分的面积。你怎么进行去求这个面积啊？那求这个面积啊，我们都知道现在不好算。那不好算的话，这里面当中我可以通过四步，第一步我们先干嘛？我们先进行去分割。把这个东西进行去分割，也就说什么意思呢？

我把它进行去等分成。n份等分成n份，每一份的底端长度是多少？就是n分之b减a。好了，这是第一步哎，我把它分成了n份，每一份的底端长度我都知道了。然后第二步干嘛？我们就进四。近似干嘛呢？我取出一个我取出这里面当中的第几分呢？我取出这里面当中的第I分。d if就是一个黄色条，大家想想我分的非常的大，

底端长度非常的小。上面这个东西能不能看成平的呀？就这个部分。可不可以完全可以我取出这里面当中的di分，因为分的无限的大底端长度，无限的小上面就可以看成品德。那这个部分其实就是一个矩形条。那这个矩形条的面积怎么算呢？当然是底乘高。底端长度就是n分之b减a，然后选一个点的函数值做高，那选哪个点的函数值做高呢？哪些点的坐标是知道的呢？我们来看看哎，你发现这个右端点的坐标，

知道左端点的坐标，知道所以对于一般式啊，你掌握到这就行了。那么，接下来我们来看看诶，也就说这个点的坐标我是知道的，那这个点的坐标是多少呢？你看起点坐标是a。然后每跨一个是n分之b减an分之b减a分之b减a那几个n分之b减a呀，刚好是挨个n分之b减a。你看是这个情况。所以我们就从a点跨过a个n分之b减a就是这个点。当然，这里面当中的这个左端点也知道，那就少一个呗，

那其实就是a加上多少a减一个n分之b减a，这应该会做吧？啊，这个非常简单。所以说这个时候我们就可以算了，我们来算什么？我先用右端点算这个黄色条的面积，还有左端点算这个黄色条面积。那这个黄色条面积等于多少呢？等于n分之b减a，这是底端长度，底端长度再乘上这个点的函数值做高，这是I倍的n分之b减a。好，这个人底乘高就是这个部分面积底乘高是这个部分的面积，

然后这个人出来了，当然左端点也行啊，这是底。用左端点的这个函数值做高I减一倍的n分之b减a好这个。底乘高就是这个部分面积好了，我们就把这个di个部分的面积算出来。然后干嘛呢？我们要进行求和。哎，求和。那总共有多少份呢？这里面当中有一份两份，三份n份，所以说这个时候我们就要把它进行去求和。那求和怎么办呢？

我就在这里面当中，让这个I从一加到n，然后我让这里面当中的I从一加到n。好求和那求和完了之后，其实就是所有条的面积，但是同学们想想所有条的面积就会等于这个曲边梯形的面积吗？不会吧，你看这中间是有误差的，所以最后一件事情我们再来取个极限。再让这个东西啊n趋向无穷大，再取个极限，所以说最后而言，我们再让这个n趋向无穷大。操作一下就行。好，

这个部分，所以说这样的话，我们就得到这样的一个面积，就是四步分割，近似求和取极限。但是通常而言，我们会这样办，因为你是对I进行求和，所以说这个部分是个常数，我就把这个部分怎么办？我就把这个部分呢？通常会写到这儿。所以最后而言，这个部分其实就等于a到b的这个定几分，然后这个人呢，

也等于a到b的fs ds的定几分。要注意啊，这种题是没有考过的。从来没有出过题。包括数一，数二，数三同学的真题，里面也从来没有出现过这种题。那因此，这里面当中是一个什么情况呢？你把它记住，那么前面有三剑客。有一个极限符号，有一个n分之b减a，有一个I从一到n的求和，

我把这个部分呢，叫做三剑客。好，这三个人那么这三剑客具备了之后，如果这个后面这个部分呢？是一个a加上a倍的n分之b减a的函数。或者是a加上a减一倍的n分之b减a的函数，那这个结果这个极限结果一定会等于a到b的定积分。能理解我的意思吧。所以说像这种点呢，没有怎么出过题。我们怎么去学呢？你把这个公式背过就行。能你能记住这个公式啊，完全就可以了，

来做个题可以吗？做一个吧，来看看这个题，这个题啊，在我们那个800题里面当中啊，是有的好，我们来看看这个题。那么这个题啊呃，一般是式子啊，取终点的这个几率不大，你你想想一个事儿，你把这两个东西相加除一个二，这个东西很难考。我们考的重点呢，都是零到一零到一，

它其实喜欢考什么，喜欢考那个重点。你要注意这个问题啊，我们现在在学一般表达式啊，把这个东西要学好好先来看看这个题。那这题怎么办呢？我眼睛一瞅发现。数列起先。而且具备求和形式。所以说这个时候怎么办呢？大家一定要注意一个问题，就是那个l。路印具有优良特性，是什么路印具有优良特性？是如果这个东西是乘法，

然后我就把这个东西变成加法。然后lin这个里面当中是除法，我就把这个东西变成减法。然后如果录音这个东西有个次方数，我就可以把这个次方数移前。好了，这是这样的一个问题啊，当然的话，你得保证这个a是大于零的，你想清楚。所以说这个人我们就可以写了，你这是I从一到n。然后这是lin多少呢？这是a加上。n分之b减AI倍的。

那这个人的多少次方呢？n分之一次方你就可以把这个n分之一啊写到这儿来。你把这个人写到这儿来之后啊，然后这东西就可以处理了，当n分之啊，这个是n分之一，然后这是I从几呢移到n的求和。然后这是lna加上多少n分之b减a再乘上a。好，这个人呢？做成这样。一旦写成这样了之后啊，然后我们继续看。你发现我们要缺这个三剑客了吗？一键可，

然后这个东西缺这个b减a，所以说在这里面当中，我们要写个b减a分之一。然后第三个事情的话，这个人有个求和你发现这个后面这个部分是不是它的函数啊？是它的函数啊，就是a加上n分之b减a再乘上I的函数。如果这个东西是那这个结果就等于几，其实就等于a到b，然后这个ln x的定积分。好，这个结果所以说你把这个定积分呢，把它积出来，那就可以了，因此我们来看看分部积分法一下就行。

两项相乘，然后再减去两项调换位置a到b，把这两个调换一下就变成了这样。所以说这个结果其实就是b减a分之一，你再看这是b倍的lnb减去a倍的lna，然后再减去b减a这个结果。那么这个人我们稍微整理一下，你看把这个东西跟这个人一乘，其实就是减一，所以说正确答案选几啊选a哦。好，这是这个题。所以像这种类型问题啊，从来没有出过题。有些同学可能只背过什么零到一的，

这个情况零到一的右端点，零到一的左端点，但是如果通常而言，把它取到这个一般表达式当中呢？有些同学可能把这个东西啊啊，有所遗忘，好注意啊，可能会考啊，这个点。那么，接下来我们继续吧，我们再来看看这个下一个问题，我们再看常考形式。那么，其实我们常考的这个形式啊，

其实是零到一。啊，非常喜欢，考的就是零到一零到一还是这样掰一起来看看下面一个问题。不要实在记不住，我们三九六同学哪有那么多时间啊，所以一定要保证每个部分的知点知识点呢，学的非常到位啊。好了，我们先来看看这个第一个点。那如果是零到一呢？好，我还是把这个东西分成多少份？分成n份。如果分成n份，

每一份的底端长度是多少？是n分之一。每一分的底端长度是n分之一，然后我取出其中的第几分呢？取出其中的第I分。大家想想这个黄色条，黄色条的底端长度是n分之一，哪些点的坐标是知道的？哎，我眼睛一瞅发现。这个点的坐标知道。你看起点的坐标是零跨一个，这是n分之一n分之二n分之三n分之四，那这是多少？这其实是n分之a。

然后这个点的坐标是多少？是n分之I减一，当然这个终点的坐标也知道。所以说这个时候我们来看看这个事，我就可以用右端点。还有左端点，包括这个中点，然后进行去求这个部分的面积，你怎么求呢？我们来看看。那这个底端长度是n分之一，右端点是用n分之I的函数值做高。如果是左端点的话，这是n分之一，用n分之I减一，

这个函数值做高。然后这个部分呢，是n分之一，然后这个人那这个终点是多少？我们来看看。那中点不就是二分之n分之I，再加上多少n分之I减一吗？左右相加除以二。所以说这人就是2n，然后这是2 i- 1。所以这个人立即做成这样，他的结果就是二n分之二I减一。这个去年呢，我们就考这个人。所以我觉得这个今年呢，

最放心的就是谁呢？最放心的就是终点。你就会发现这个就有这种现象。就说比如说。去年真题当中考了一个问题，考了措手不及的一个东西，你像现在在今年这个复习当中肯定是刻骨铭心啊。好了，这是这个点，然后接下来我们去求和那求和的话，其实就是让我们从I然后从一到n的求和，然后这是I从一到n的求和。然后这是I从一到n的求和。那这个人求和了之后，我们再来看。

因为这个求和是对I求和，所以说这个n分之一就是个常数，写到前面去。那写到前面去，最后而言的话，我们最后再取个极限。对吧，我们再来取个极限，让这个n趋向无穷大最后一件事儿，再取个极限，那这个人呢？他其实就等于零到1 fs的定积分。它就等于零到1 fs的定积分，它就等于零到1 fs的定积分好这个。所以像这个点呢，

把这个东西啊，就掌握清楚。你不要老是这样啊。你你到这个阶段最害怕的就是这种。他应该不会吧，其实你发现你就想得到我的一个什么一个回应罢了。啊，你就想得得到一个回应罢了，但是其实你得到这个回应，你还是会把这个东西复习到位的，是不是？心理学啊。应该不会考吧，我说可能不会考，你看你还是得复习，

你还是会把这个东西复习到位，你说你说这句话干啥呢啊？好了，这是这个问题啊，我们就讲到这儿跟得上吧，好一起来看看这个点。那么，这里面当中还是有个三剑客。有一个数列极限，有一个n分之一，有一个从一到n的求和，所以说这个人呢，其实就是我们经常讲的这个三剑客。有这三个人了之后，然后这个后面是n分之in分之I减一二n分之二I减一，

它这个东西啊，它都会等于零到一上的什么这个定积分。它全部都会等于这个人，所以说像这个问题啊，一定要把它梳理清楚。好了，这个点呢，我们就讲到这，那么接下来我们来看几个题吧呃，我们这块啊东西啊，考的题目不是特别多，所以在这里面当中啊，我找了几道数学，一数学，二数学，

三同学的这个真题，我们来做一下可以吗？可以吧好，我们一起来看看这个第一个问题啊。那这个题啊，两千一七年的考研真题。当年的十分题啊。奢侈极其的奢侈，你看这个题，眼睛一瞅，发现数列极限，眼睛一瞅，发现具有求和形式。如果碰到具有求和形式的什么数列极限？具有求和形式的数列极限，

我先想定几分题来凑三剑客一和二提，提个n分之一，他就有三剑客了。好提出来。一提的话，这个人其实就变成了n分之k，然后这是ln多少一加n分之k？你告诉我后面这个部分的东西，它是不是n分之k的函数啊？它是啊，你这不就是n分之k的函数吗？所以说它就等于零到一上把n分之k改成x。这个人的定几分，你看完全就套刚才的公式，那这个时候，

然后接下来我们去计算一下这个定几分？怎么做？把这东西是不是塞到后面去啊？然后这是ln多少一加s把这东西凑到后面去，是x方配二分之一。啊凑微分那凑微分了之后，然后直接分布积分法是不是啊？那分布积分法了之后两项相乘。然后再减去两项调换位置s方跑前，然后这是s+1 ds。好，这个人那么这里面当中的这个分怎么去算呢？你会发现这个部分的话，它是x加一分之x方，这是不是个假分式啊？

那这个甲分式我只需要怎么办？我在上面减个一加个一除下去就行。能听懂吗？假分式其实同学们这样做速度极其慢。水平点一点都不高，不要这样做。其实像这种类型问题，你只需要稍微在这里面当中注意一点点，你就可以做的非常的好。就是你在这里面当中，你稍微的减个一，这种思想是需要进行去培养的。你减个一了之后，你看如果这个部分是减个一减个一+1，这个东西是不是就约掉了？

平方差，你看这样做多好啊，这就是我们在强化的时候，我们经常讲的，既要瞻前，也要顾后。对吧，两个事情我们都顾到了之后，这个题就非常简单，那这是ln 1+s，你再乘上一个平方减一把零和一带去。然后这个时候是二分之一零到一把这个平方减一凑到这儿，然后这个东西啊x加一分之一。你看这个人马上出来了。把零带进去，

ln 1是零把一带进去，这个部分是零，所以说这个东西啊，马上就没有了，零到一。然后这个时候就是x减一x加一一约这个结果其实就是x减一ds，然后这是负二分之一，你这个积分呢？二分之一减一。所以这个结果等于四分之一。好了，这是这个题啊，这个题啊，哪像个十分题啊，它特别像我们的这个两分题。

你说这个题，我们直接考一道行不行？完全可以。它就不像一个十分题，它就像我们的这个考的这样的一个选择题的两分题就就是这种感觉。好了，这个问题啊，我们就讲到这啊。好了，那么接下来我们继续，我们再来看看第二个点呃，这里面当中我强调一下。不要只会列式子，你的定积分的计算能力也是非常重要的。所以慢慢要进行去想，

多进行去琢磨琢磨啊，来看看这个题。那这个题啊，还是这样，我眼睛一瞅，发现这个东西是具有求和形式吧。哎，这个东西是求和形式啊。那这个东西是个求和形式，而且数列极限，数列极限求和形式是不先想到定积分定义啊。定期分定义分成三步，第一步叫做一和。那一和这个人呢？怎么进行去写求和呢？

写求和非常简单。把它的通项写出来。它的通项是多少？它的通项是一加上cosine多少？n分之k派。能理解吧n分之一派n分之二派n分之三派n分之n派，所以说这个k从几啊k从一加到n。好，这个人眼睛一瞅，发现一剑客，两剑客，三剑客都具备了，这刚好是个n分之k的函数。所以说这个结果它就等于零到一，然后这个部分是一，

加上cosine多少派sds。好这个人呢，就做成这样。所以说这个东西啊呃，很多同学的话，把它做到这一步，但是这个定积分呢，又是限制住很多同学的这样的一个问题。这个积分怎么做？你怎么处理啊？经验吧。这种积分的这个经验非常的简单啊。你还记得吗？我们原来讲的，我们说如果cosine和一相同。

如果cos和一相同，立即用二倍角公式干掉这个一二分之，这个方减一，然后这是多少？这是二倍的，这个s in方。因为一减这个三一方刚好等于它啊，用二倍角公式干掉这个一。那如果一和这个三印相碰呢，你还记得吗？我们是用平方和完全平方打开这个一。然后把这个东西写成二倍角公式，这都是非常非常简单的经验了，然后把这个东西啊写成完全平方式的样子，我相信很多同学应该是记得。

好这个人，所以这样一写啊，其实有一年的话，一道题就这样考的，说这个零到派根号下一，加上这个s in ds，这个人怎么做？哎，他就这样处理的。好注意这个问题。来，继续。那所以说这个题就好做了。把它记一下。那这是零到一，

这是根号下，那就是二倍的cos 2分之派s，这个人平方ds。那这时候我们就把它开一下根号，二零到一。那零到一这个部分，你对一个平方开方应该是这个人的绝对值吧？而我们都知道，这个x是从零到一。零到一的话，这个二分之派s呢，其实就是从零到二分之派零到二分之派的时候的cos是正的。所以说这个绝对值啊，加与不加都是一样cos 2分之派x，所以说这个结果马上出来补一下，

这是派分之二。s in多少二分之派s把零和一代，所以说这是派分之二倍的根号二，然后这个时候是。一带进去的话，是一零带去零，所以等于派分之二零号。好，这是这个题。所以像这个题目也不是说特别难啊，这就很有我们的这个你做题的这种风格。如果这个东西是个数列极限，如果它是求和形式，你先把这个东西怎么办？一和二题三找相。

呃，就是这三步先写求和再来进行去把n分之一提出来，凑出这三剑客，保证这个后面这个东西啊，是什么东西呢？保证这个后面这个板块。它是一个啊，就是这个后面这个部分是一个n分之I的函数就行。好了，这个问题啊，过去了。那么，接下来我们继续吧你，你发现没？你看这种考题，

这就是我们现在的题啊。这就是我们现在考研的这个真题，会出题的点了。怒拿两分，学了半天，怒拿两分好了，我们继续，我们再来看看下一个问题，我们再看这个题。好，这个题目那这个题啊呃，是这个2004年数学二同学的题哦，我们继续来看看这个题。那这个题跟刚才就不一样。这个题有l，

然后这个东西是个连乘的形式。那这题怎么办？如果是遇到罗音，非常好办。那这个人我们就可以用lin进行去把它处理一下。这是limit n趋向无穷大。然后这个部分的东西啊，它其实是这个人，它是多少呢？它是一加n分之一。一加n分之二一直乘到多少？一加n分之n。然后这个整体的多少次方呢？这个整体的N次方n分之一次方，然后把二提出去。

好，这是这个人那么做成这个样子了之后啊，然后接下来怎么办呢？我就把这个n分之二是不是放出去了？那放出去了之后，我们就可以看出来lna 1×lna二×l nan，那这人怎么办？louie这个人的乘法其实就是这个东西的加法，那就是这个人加上多少一加上n分之二，然后咔咔咔一直加到多少louie。一+n分之。好，这个人你发现没？又是一个求和形式，那既然是个求和形式怎么办？

我们来看第一步。先写求和，这是个n分之一。那怎么写求和呢？把这个通项写一下。那这个通项这个部分是一加n分之k，然后k从几开始啊，从一开始加到第几个部分，第n个部分？把通项写出来，从第一个人加到最后一个人，就是这个人，然后接下来继续看一键可两件可。三剑客具备，然后这个部分是谁？

是n分之k的函数，所以说这个结果它就等于零到一ln多少一加s。ds好，这个部分。就把这个东西啊，马上就做出来。对吧，这是个基本问题。然后接下来我们来看看这个答案，我发现。这个题呀，却没有什么答案，而且你要稍微注意一个问题啊。你告诉我个事儿。这个人跟这个人一样不一样。

这个人不一样。这个人的意思是录音，这个人打乒乓。然后这个人的意思呢，其实是二可以抛出去。诶，这两人不一样。但是这个题我看到答案当中都是一到二啊，而这是零到一啊，没有关系，我就把这个一+s换成u。或者把一+s换成t，换成t了之后的话，你发现如果s是零，这是1s是一，

这是二，然后这是ln 7 dt。然后最后一件事情，积分与变量字母的选取无关，换成这个人。然后我们一看那这个题的正确答案就选几啊选b吧。这个a不对。a是一个大骗子。这个人其实应该写的是ln x的平方，不是ln这个人平方，这是个大骗子。然后下面这个人一到二这个东西啊，它都不对。跟得上吗？啊，

这是个细节。所以说这个题啊，正确答案就选b。跟得上吗？好，我们这种题目的这个操作，这是一个呃2004年数学二同学的考题，这也像我们现在的考题。这不就是我们现在考题的这种感觉吗？好了，我们继续，我们再来看一个题，把这个题啊，我们再来做做。好，

这个题那么这个题我们继续来看，你发现还是一个数列极限。而且具备求和形式。数列极限求和形式，你会先想到什么？你会先想到定级分低，那你会先想到定级分低，然后怎么办呢？想到定积分定义的话，我们就先写求和。你怎么写？你就是n加上一分之一，二分之一，三分之一k分之一。然后这个部分你就写成多少n分之多少n分之k派？

n分之一派，n分之二派，n分之三派，最后一个人不是n分之n派吗？所以说k从一到几到n。好，写成这个样子了之后，然后接下来我们就继续看n趋向无穷大，你可以把这个n分之一提出来。提出来之后啊，他这个人其实就变成了一加上nk分之一，然后这是sinn分之k派。好，这个人是不是就写成这样了？那写成这样了之后，

我们来观察一下一剑客，两剑客，三剑客都具备了，然后这个部分的东西是不是n分之k的函数啊？是不是啊诶？结果这个东西啊，它并不是一个n分之k的函数了。那是不是n分之k减一这些人的函数呢？我发现也不是。但是我看了一下这个人的分子啊，我们就知道他很想进行去凑n分之k的函数，他很想，但他不是。很想，但不是那都怪谁不是呢？

哎，都怪这个人不是。都怪它。所以说这个时候啊，定积分定义就失效了，因此在这里面当中，我们就把这个东西啊，稍微的进行去总结一下。这其实就是我们在考研的过程当中可能会出题的第二种点。如果出这种题啊，就会稍微的会难一点点了。那么像这种题啊，叫做什么呢？叫做n项和式极限。对吧n项和是几型？

那么像这种问题，第一件事情先想定积分低，那就是一和。二题再来看看最后一个人是不是这个人的函数？诶，结果发现定积分定义失效，定积分定义失效，不用去想，立即转战假币准则。能想清楚吧，好了，这是这样的一个问题啊，把它琢磨清楚，这其实我们在强化的时候经常讲啊，能用定期分地用用，

定期分地没有用，定期分地我们可以转加币准则。所以说这个时候啊，我们就来进行去放缩一下，然后进行去加b，那么然后我们来看看这个部分。好，你来瞅瞅这个。那你瞅这个部分，我们刚才说都因为这个人导致我不能进行去使用这个什么使用定积分定义，我就把这个人补邀了。把每一个人的这个一啦二分之一啦，都不要了，都不要了，之后下面这个东西变什么了？

下面这个东西就变小了。下面这东西变小了，结果就变什么了。结果其实就变大了。所以说这个人他就立即变成了这样，那变成了这样的话，其实这个结果就等于n分之一，然后这是多少？sinn分之k派k从几呢k从一加到n。好了，那这个人的极限是多少呢？这个人极限我们都知道，对吧？如果求一个极限在前面来个极限符号，三剑客都具备了，

这是n分之k的函数。零到1s in派xds。能理解吧，哎，它的极限就是它。诶，这半边可以了，有人说那那就是它那不一定，你一定要想清楚加b准则是。放大是它，缩小是它，结果才能是它。所以必须要保证放大和缩小的人是同一个人，因此这个东西啊，我还得进行去把它进行怎么办？

把这人缩小。那怎么样进行去把它缩小呢？我们琢磨一下下面这个东西变大了，结果不就变小了吗？你看我把下面的东西都写成了n+1。那下面这东西变大了，这个东西就变小了，然后这个部分是多少n分之二派，然后一直加到多少？三亿多少n分之n倍。那么写成这样了之后，然后接下来看你就可以把这个n+1，你继续写成求和k从一到n。s in多少n分之k派。跟得上吗？

那这个人就写成这样了呀。那么n加一分之一踢出去，然后这个人。那你都知道这个人需要n分之一，那你就在这儿补个n。同学们，想想我求极限的时候，这个人的极限是几呀？一菲林因子，然后这个人的极限是多少？这个极限是不是就是定积分定义啊？所以这个部分它不又是趋向于多少零到1s in派sds吗？哦，完美原来放大是这个定积分，缩小是这个定积分，

因此啊，原式这个东西啊，它就会等于。这个定积分啊，这个人。那等于这个结果了之后，你在后面进行去补一个什么补一个派，然后这是派分之一负的cos派s，把零和一带去。然后这是负的派分之一，那cosine派是多少负1 cosine 0是几一，所以说这个结果等于派分之二。好了，这个点呢，我们就讲到这。

所以像这个题啊，它就完全考了一个事情，就是把定积分定义和加比准则一起来考。我两个东西一起考。你现在不是想要用定期分利，结果你用不了，我怎么办诶？我把它进行去。放缩我一放缩了之后诶，它就可以用这个题是我们强化过程当中啊讲过的原题。能琢磨清楚吧好，这是这个问题呃，这几个题啊，因为的话可能讲义上没有，你下去把它补一下可不可以？

你或者你不想补的话，你回头直接看那个电子版的嗯，我发的这个上课的这个笔记，你把它消化一下也行。好，这是这个问题，但是你注意哦。呃，学习的过程当中，要知道哪个部分是主，哪个部分是次主的部分就是零到一的左端点。右端点中点对吧？左端点右端点中点好这些人。那么这个问题啊，我们就说到这，

那么接下来我们就继续吧，我们再来看一个题啊，这里面当中啊，我们又给了一个题，你看看这个题怎么做？呃，这个点呢，打一个这个这么多年没有考过的盲点啊，我们来看看这个题。像不像啊？很像刚才那个题吧？其实你发现。我们如果没有这个部分。没有这个部分，就是n分之一，

然后k从一e的n分之k。n分之一n分之二n分之三n分之四n分之k。但是最后一个人是n分之多少呢？n分之二n。所以说这个人只不过是从一到二。对吧，这个问题我们先不管这个点。先不管这个点，你想想呃，算了吧，我们把这个点先讲了吧。啊，先讲这个事情。那么，这种题如果考零到二人怎么办呢？

因为我在强化的过程当中，我碰过好多同学。不要凭自己的感官认识。东西我们都讲了，它的每一项到底是什么呀？你得进行去稍微的进行去试一下，当然在平时过程当中，你就要把这个基础打好。那么，接下来我们来看看这个人。零到二。如果我把零到二。分成几份呢？我分成2n分。每一份的底端长度是不是二n分之二啊？

n分之一。所以每一份的底端长度，它就是n分之一。这是这个事情，把这个部分呢分成这么部分。那分成这么多份了之后，我们取出其中一份。取出其中的一份，你告诉个事儿。底端长度是n分之一，没有边。取出df哪些点的坐标，知道这两个点的坐标是知道。你告诉我这个点坐标是多少？变了没变？

有没有发生改变，我们就讲一个吧，讲完这个的话，另外一个人都是一样变了，还是没变？没有变，因为你想想你起点是零跨一个n分之一n分之二n分之三n分之四n分之a。所以说这个人呐，他就没有发生改变。那没有发生改变，这个部分怎么去写呢？底端长度再乘上这个点的函数值做高。底乘高就是这个部分的面积。那既然是这个部分的面积，然后再进行求和，

它有一份两份，然后乃至2n份。总共有2n分，我就要让这个I从一加到多少加到2n，然后最后再求极限。那么，既然对I求和把这个n分之一提出去，我们其实就写成了这样。然后最后一件事，再求一个极限。它就等于多少零到二？你有没有发现这里面当中的所有的内容都没变？第一个事情，这个没变。二剑客没变，

三剑客没变，只不过三剑客把2n改成了多少n，改成了2n。同理而言，这个部分改成了二。因此，你发现所有的东西都是一样。只要这个部分是2n，我就是二，这是3n，我就是三，我这4n，我就是四，就是这样的一个问题。能想清楚吗？

所以说希望同学们一定注意啊，不要凭着自己的感官认识来。它该是什么样子就是什么样子。它是这样子，你刚才说那老师我这里面当中，我觉得应该是二n分之I吧，不要你以为你要进行去试一下。数学这个东西啊，你还是要稍微的，你要尊重一下这个客观事实，对吧？好了，这个问题我们就讲到这。那所以说如果是这个人的极限呢，那这就太简单了，

就是零到二这个人的积分。那所以说这个题怎么办呢？它还是这样。那么，既然定积分定义啊，用不了定积分定义，用不了我就立即转战什么我就转战加b准则。好，我们来转一下。把这个人呢放松一下。那放缩一下，就是把这个部分这个部分这个部分都不要了，你下面变小了，结果就变大了，就是n分之一的多少n分之一。

e的多少n分之二，然后一直加到多少e的n分之二n？好，这个那这个时候做成这样了之后啊，然后把这个n分之一提出去，你看这就是e的n分之k。k从几开始呢？从一到2n。那这个人的极限是多少？这个极限不就是零到二一的sds吗？你看这个人，但是你光进行去缩放，大可不行，你还得缩小，你怎么缩小呢？

你把下面变大，结果就变小。怎么变大呢？都写成加一那这个人下面变大了，结果就变小，然后这是n分之二，然后一直加到多少一亿的n分之二n？没问题吧，然后这个时候你看你把这个n加一分之一写到这儿，这个人就求和他变化的东西是e的n分之k。k从一加到这个二n，你是不缺了一个n分之一补一个再来一个？那这个时候你一看诶，这个极限是一你一看哦，这个人的极限是多少？

这个人的极限是零到二。所以说综合起来都是零到2e的sds，所以说这个结果它就是等于零到2e的sds。积分也是1s把零和二代去就是一的，二次方减去一。那所以说这个题呢，正确答案选d，你看这个答案选项的设置啊，也是很贼的。那么，有些同学可能做着做着做嗨了，做嗨了怎么办呢？说零带进去是零，他选c了。你看这种就有点遗憾了。

然后有些同学的话可能说诶，这个东西是零到一，他没有注意这个东西是2n。没有注意这个东西是2n，它就选了b了。如果稍不注意这个东西带成零了，它又会选择a了，所以说这个选项设置的还是挺贼的啊，当然还有一个e选项，我们就不说了。答案选d。好了，这是这个问题吧，我们就讲到这。所以你要琢磨清楚，

就是像这种n项合适的极限怎么做，我们先看看定积分定义能不能做，如果定积分定义能做，我们就做，如果定积分定义做不了，我转战加倍准则。好了，这个点呢，就讲这么多。能学到这儿，他想咋考？你说他还能怎么考？你怎么考你都会了？所以像这个点呢，你必须把它拿捏清楚啊，

好了，我们继续吧，我们再来看看下一个问题啊，最后一个点，我们再补充两个内容。好继续，所以刚才讲的这一波内容，说实话是怒拿两分啊。真的是怒拿两分好了，我们再来看看，补充一个下面的内容。叫做极限呐，存在性之间的一个关系啊，极限存在性的关系。那么，

极限存在性的关系啊，它是这样的个内容。我们先来看看第一步。那这里面当中有三个人。比如说有fs的极限。然后这里面当中有7s的机械。然后我们再来看第三个人，我们来看一下，如果知道这两个极限，那加减之后的极限是什么？到了今天呐，你记住就行了啊，好先看第一个点。那第一个点是什么？如果这个极限存在这个存在存在加减存在是存在，

然后再来。存在加减，不存在这个人呐，这个结果是不存在。然后第三个事情就是不存在，不存在加减，不存在这个极限呢，它是未知的。好，这是这个问题。然后接下来我们就继续，我们再来看下一个点是第二个内容。那第二个内容啊，那就是乘法，如果这里面当中我知道这个极限。

然后第二件事情我们就知道了，这个极限，这个gs极限。然后第三个事情呢，我们就知道什么呢，我们就知道这个fs再乘上gs的极限。好乘法。那这个乘法的这个内容是什么情况呢？它是这样，如果你是存在，你是存在存在乘存在是存在。存在乘以不存在呢，这个东西就是未知。我们会考的。那么，

经常在题目当中啊，这个选项当中出现这种问题。你存在乘上不存在就是未知，比如说零乘无穷大，它就是未知。然后第三个事情，如果是不存在乘不存在呢，这个东西啊，更是未知好这个内容。好了，这是这个问题。能琢磨清楚吧啊，你掌握住有界性的四次运算，不要别别别，千万别胡来啊。

因为这点，除非你推了你，你可不要不要，别把这个东西啊呃。有些东西乱乱推广啊。好了，这是这个点吧，我们就讲到这儿啊，这个存在性之间的关系，把这个东西啊梳理清楚，要记住啊，把这个东西啊，我们补充清楚了。然后接下来我们再来补充两个问题，还有一个事情叫连续的四则运算法则。

连续的四则运算法则，这个东西啊诶，等一会我们来讲。你不要着急，这个事情这个内容，一会我们再来说。其实你都知道，连续本来就是用极限来定义的。所以连续的四则运算法则，它要符合极限的四则运算法则。好，这个人呢？我们就说到这。那就不是一回事儿。哎呀，

你你可千万不要。胡学内容。啊，不要，千万不要胡学那种。极限存在了，它就有界吗？你别别别乱来啊，你千万别乱来。好了，这是这个问题吧，我们就讲到这，那么接下来我们再来看看啊，最后一个点。复合函数，

你这个人呢？我们在这个上次考试的时候是有一套这个题目当中啊，出过这个题的。你还记得那个大纲里面的这个样卷吗？啊，如果你去考了，你就到处去看看。如果你没有考你后面，我们再看啊，就是大纲里面有套样卷样卷里面讲的这个事情。那么，这个部分它是这样的一个内容。你注意。它应该是这样的一个点。就说如果什么呢？

我把这个东西我们先讲细一点好不好？那么，因为这东西是个复合函数。哎，这是一个复合函数。复合函数的里面这个东西啊，受控于x。外面这个函数受控于gs。能理解吗？受控于gx。所以他是这样说的。说如果这个gs。它在x=x零处连续。好，这个处连续。

你在x0处连续连续之后的极限是不会等于函数值啊。那外面这个人就要在这个处连续，而且。而且这里面当中的外面这个fx。它在什么东西呢？在这个gs 0处连续。能理解吧，好了，是这样的一个东西。就是你发现是这样的一个串了一个葫芦。你里面这个人受控于s0。你在这个点处连续连续出来，这个结果。然后外面这个函数呢？它就在这个整体处的连续。

那这个时候我们就得到了一个情况，连续复合，连续是连续，所以说我们就得到了这个复合函数。它在它的自变量，因为gs是一，那这个中间变量在这个什么自变量处就是连续。那么这个内容。我们有什么用呢？我们可以做一些概念的题。什么概念的题呢？就是连续的函数符合连续的函数。是连续的函数。所以这里面当中，我们来整理。

若fx是个连续函数。7s也是个连续函数。这张都是连续的，那么我就可以推出来。你们之间的复合函数。对吧，复合函数。连续就说一个连续函数。去符合一个连续函数。它是个连续函数。然后这里面当中，我们再来看，如果这个人是一个连续函数。然后这个人是个间断函数。或者是如果这个人是个什么？

这个人是个间断函数。间断就是不连续呗，然后这个东西也是有间断点的，有间断点的话就间断。那这个时候呢，你发现诶复合函数都是未知的。不知道，所以说这个结论其实帮着你啊，我觉得它不叫做结论，它叫做经验。只有一个连续函数去符合一个连续函数会连续。其他的东西都是不知道的。诶，都是不知道的。只有连续复合，

连续函数。它是个连续函数，其他都不知道，比如说我们来看一个问题。里那么这里面当中我们出一个函数。假设你看这是1x大于0x小于等于零的时候是负一。告诉我，这是个连续函数还是间断呢？连。连续函数还是间断函数？你想想连续还是间断呢？连续的吗？那么呃，这个这个是间断的吗？不是连续啊，

不好意思。间断了吧？零处间断，你看第一问。我们如果取了一个gs。它是个x方。那这是一个连续函数吧？好连续函数。我们用什么呢？我们用这个间断函数去符合这个连续函数。它不就得到了fx这个人的平方吗？而fx这个平方你无论是什么情况，这个人不都是一吗？哎，这是连续的呀。

所以这个时候你就得到这个情况。那这个人是个间断的，你这个人是个连续的。那这个时候的话，这个间断复合的这个连续你看连续了吧？不是间断的呀？好，我们再来看。如果我进行去取一个人。你看它大于零的时候是一，如果去复合的时候，我永远都是大于零的，比如说我是es。你看，永远都大于零。

那这个时候我怎么办呢？我用我进行去附和你。把这个东西作为整体往这里面的带。那么请告诉我这个es什么零大于零，是不只能往这带？你只能往这带，它是个只能等于一。所以说这个时候它只能等于一。那这个什么函数连续函数？所以你看我们就举出了例子。一个连续函数符合一个间断函数。一个间断函数复合连续函数，它最终都有可能是连续啊。能听懂吗？所以说像这样的一个问题点，

把它想清楚。诶，琢磨清楚好这个问题啊，我们就说到这。未知道，不知道，有可能是连续，也有可能是间断，所以现在啊，你再进行去看那个题。呃，就应该非常的简单了。我记得上次的话，我们在那个模拟卷当中，我们是讲过这个题。

啊，你今天的话，如果你不熟悉，你再看这个题。你看这个题，它说它是连续。它说它有间断点。那这时候用一个间断复合连续。不知道谁跟你说，一定有间断点，不知道。然后用连续负荷间断，不知道。连续乘上一个间断间断，然后的话，

这个你看再看e选项。e选项这个东西像什么呢？e选项这个东西其实就是用gs复合了x方用间断复合了，连续不知道，所以说先把AB。e排除掉。然后c和这个d选项，其实一会儿我们考那个四则运算性质，一会儿我们再说吧。好会了吧呃，就害怕考这种概念题啊，考这种概念题啊，我希望大家你还是要会做。如果考了的话，你要把它处理清楚就行。

行，那么这个问题啊，我们就讲到这。第一章啊呃，就讲到这儿吧啊，东西的内容还是比较重要啊，很多部分的东西的这个操作还是很重要。我觉得到了这个阶段，一定要自己多动手啊，多练习一下，还有一些事情你做一些这个卷子啊，如果做的不是说特别好，没有关系。你一定要把那个什么把那里面当中的错误的题啊，把这个东西每一个题好好进行去分析，

把它做透。这样才是可以的，所以我们在这个考试的过程当中啊，就是模考，不要以测分为目的。有些有些同学的话，这个。不理解你是怎么想的？就说你如果在这个对吧？你这个考考试啊。你这个这个考完了之后呃，考的不是说特别理想，你最后的成绩又不是这样的一个成绩。所以你得把里面比如说我错了，第一个题，

第三个题，第五个题好了，我错了，这几个题错了，这几个题啊，我们来看看诶。这个题是涉及哪个考点的呀？是不是这个考点有问题啊？这个东西是涉及哪个考点呐？是不是我这个考点掌握的不好啊？这个题是涉及什么内容啊？我为什么出错了哦？原来是因为计算出错了哦，原来是因为这个公式给忘了。哦，

原来是因为这个题型方法给忘了哦，原来是我们在基础或者在冲刺救命班当中讲的这个。呃，类型问题的处理性方法，我们上课讲的这个东西啊，他给忘了，那你就把这个东西捡回来呗。对吧，把这东西捡回来呗，把这东西捡回来呗，有一种同学，你一定要不要做这种同学？有些同学一测，今天一测嗯，50分不理想。

我是想考到60，比如说我只想错两个，我想考到64分以上的同学不理想，好再测一道。52分有点进步，我再测。48分。哎，不行，我再测54分，哎，还是不行，我再测46，哎，这怎么回事？

不行，我必须测啊，考了56分。啊，这个终于做做做了一套卷子哦，68分爽了。舒服了，对吧？直到做到这套卷子做到68分的时候爽了，那有什么用呢？就跟有些同学做那个什么做那个阅读理解一样啊。我估计有些同学共情了，对吧啊？是吧，有些东西估计共情的啊，

我不知道你在这个事情上理解，比如做那个阅读理解啊，错了一个错几个。然后不行哦，我再做啊，再做再做咦，可以啊，没有错，我厉害厉害啥这有啥用？你不是为了进行去，你要注意这个东西出错了，这个问题点在哪？你得把它给想清楚，你把这个东西解决清楚。你就能提高了呀。

所以这现在而言呢，这个有些同学做一些模拟卷。我们还有这个80天的时间，80天的时间呢，你还能减很多东西。有人做一套模拟卷，哎呀，好难，不知道不做了，不是这样的一个态度，你做的不好，说明这套卷子里面打中了你很多痛点。你得把这个东西你好好剪一剪。啊，行吧，

这个问题啊，我们就说到这啊，不多说了，我们再来看看下一个问题。那这样，我先把导数定义。的基本的内容，我们先复习一下。把导数定义的东西啊，我们先基础的部分的东西，概念性的东西，把这个内容复习到位。复习完了之后，然后接下来我们再来进行去讲每一种题型是怎么处理的？你要注意，

这个板块必出题，有的时候会出一道题，有的时候会出两道题，反正这个板块的内容，它必出题。那么，接下来我们来看看这个题型，七部分内容。呃，这个周的周末呀，我们先不测了。但是我觉得这个很长时间也没有测了，对吧？那么呃，六号这一天呢？

到周日这一天一元函数的微分学肯定能讲完。所以说下周的这个应该是周几啊，反正周一周二的话，我们能进入到这个积分群。所以说进入到这个积分学那么高等数学积分学结完结束完了之后，那这个部分的东西啊，它就结束了。对吧，基本上就结束了，然后还剩下了一个多元微分学，所以这个周我们先不测，我们可以放到这个下周。下周我们可以测一套模拟卷。注意啊，下周下周的话，

我看看是周三还是周四，我会提前给你们讲的，反正这两天呢，我们都有课。所以希望大家的话，这个提前进行去呃，知道一下这个事。呃，另外一个事情啊，就是那个真题我不知道你做了没有，然后的话，这个真题的这个答案解析啊，因为我把它叫了一遍啊。里面当众。可能有几个题呃，

里面当中有两个题吧。因为这个工作量其实不小啊，所以说这个。一个是106题，那个题是二零一二年的真题，标成了二零一一年，然后幺零九和幺四幺幺四，这个题重复了啊。还有这个幺四九这个题。呃，有几个题，要不这样吧，你们先把它给改一下好不好？稍等一下啊，您把这个东西改过来，

你就可以提前做了，然后的话，这个一会儿下课我就会把这个传过去，因为这个。题还挺多的，很难敲的你你有同学敲过这种公式的话，你都知道这160多个题很挺难敲的，你就算这个题简单。你把这东西整理出来，这样的一份答案，那时间其实这个效率还算还算可以了啊，好了，那么接下来我们把这个。呃，有几个的话，

你们不用买那个十套卷。你不用买。然后有几个呢？一个是。106题。啊幺零六。呃，这是个小问题。它不是个大问题，这个题是二零一二年的真题，不然的话，有些同学可能你在找的时候啊，这个。啊，这是这个题，

然后幺零九和幺幺四。啊幺零九这个题。和幺幺四这个题重复了，重复我们就不说了，反正就做呗啊，然后。呃，有一个题是幺四九这个题。其实我觉得刚才那两个细节的话都没有什么问题啊。然后的话，这个幺四九这个题。幺四九。这个不是六，这是sigma方。好注意啊，

这不是六的方，这sigma方。好不好？好这个人。呃，十套卷你们都不需要买啊？呃，只要你你们是这个全程班呢？或者这个冲刺救命班的同学，我们都会。配上这个资料的，我们之前都跟你讲过了，你不需要进行去额外再买更多的这个资料，除非你不够做啊。好，

这是这个吧？行吧，那么这是这个不是六啊，是sigma方。所以其实也也不影响。说实话，不影响你也能把这题做出来。这题不影响这个。好了，这是这个吧，我们就说到这，然后呃这个题啊，一会儿一会儿我下课的时候我把这个部分的东西啊，然后给你们传过去。知道这个题吧，

因为拿到这个讲义啊，你都不知道这个后面还有还有一堆这个题。这是第二篇，这个冲刺救命班讲义当中的第二篇优质真题的这个选集啊，这个部分。好了，那么这一点呢？我们就讲到这儿啊，把这个东西啊，你自己该做的东西，你去做一做啊。好了，那么接下来我们继续回来，我们再来看看倒数第一。啊，

到树林开个头啊，我们先把这个东西稍微熟悉一下，然后呃，我们就稍微休息会一会，我们继续啊。好，再来看看这个里面当中的这个梯形七。啊，这个点那么这里面当中啊，考了倒数第一，每年的过程当中啊，是一定会考倒数第一的。对吧，一定会考，一定会考导数定义，

大家一定注意什么叫导数呢？导数其实是一个点处的切线斜率。是一个点处的瞬时变化率。所以说到了这个今天呢，我们再进行去回复这些概念的时候，其实就叫复习了。那么，对于这样的一条，比如说条曲线，我们在这个点处的导函数什么意思呢？这个点处的导函数啊，其实就是这个点处的切线斜率，那么怎么做呢？研究的是哪个点呢？研究的是这个点，

那这个点就是个定点，我们讲究一定一动。动逼近于定点，就这两个事情，所以说然后怎么办呢？我就在这上面再取一个点。再取一个点x。那再取一个点x，这个点是什么点呢？这个点是个动点。好动点那动点，然后怎么办呢？我们来定义一个人，你用fs-fs零。比上s-s零，

这是什么东西啊？那这个东西不就是这条割线的斜率吗？是不这个线你f它减去f它比上s-s零就这个线？那这个割线斜率，但是这个割线斜率等于这个切线斜率吗？大家想想，如果你这个点更近一点，你这个点更近一点，这个点更近一点。最后是不是逐渐的逼近于切线的斜率啊？所以大家注意，它是这样的一个过程。我相信应该是能理解这个事儿啊，就什么问题呢？你现在这个东西是个割线斜率，

你这个割线斜率怎么样才能进行去逼近这个事儿呢？你想如果这个动点在这儿哎，你是这条线斜率，你这个动点在这儿这个线斜率，你动点在这儿斜率。动点在这儿斜率，所以只要你这个点，你逐渐的逼近于这个点，其实就是让x逼近于x0，最后其实就是切线斜率。是不这样的一个问题，所以这样的一个事情呢？我们其实把它想通了。那最后一个点不就是什么情况，我们就要让这个x怎么办？

逼近x0。如果这个s在趋向于s0，那这人怎么办？那这个极限其实就是这个点出的什么导函数啊，就是这个点导函数。把这个极限就叫做这个点导函数。我再强调一下。这俩人是同一个人，你能理解吗？这个极限，它就是这点导函数，这点导函数就是这个极限。你计算这个点导函数，你就计算这个极限，这个极限存在导数就是存在这个极限，

不存在导数就不存在。所以就是两个问题，移动减一定动点逼近于定点，我们把这个定义啊，叫做计算性定义，其实我们在这一年复习的过程当中。经常用到的定义不就是这个定义吗？对吧，经常用到的定义就这个定义，然后第二事情我们再来看看单侧导数。那什么叫做单侧导数定义呢？那非常容易。你看，这是一个倒数零。那导数定义如果是什么呢？

我如果从这半边逼近。那这个时候就是这个人倒数，如果从左侧逼近，那就是这个倒数。那这个时候如果是正呢，我们把这个东西叫做诱导数。啊，诱导数。如果是这半边呢，这个东西叫做左导数。好，这个问题，那你想左右极限存在，且相等极限存在，导数就存在，

因此这里面当中就得到了。如果这个点处的导函数等于a的充要条件是什么？导函数等于a就是这个极限，等于a这个极限，等于a其实就是左导数和右导数，它都存在。都要等于零，没问题吧？所以如果这个点处导函数等于a的充要条件，其实就是这个。左导和右导存在，且相等都等原因好了，这是这个问题，然后接下来我们再来看看，最重要的一个定义就是推广定义，

很喜欢考这个人。非常喜欢考这个啊，考这个推广定义，那么这个推广定义啊，我们来看看这是一个怎么回事呢？它是这样的一个问题。那么刚才我们讲过，我要研究哪个点出导函数，我要研究这个点导函数，这是个定点。那么，然后接下来我怎么办？我就在上面取一个动点。那这个动点可以是什么动点可以是x0+1个框？你管我加什么呢？

我不管。那么然后动点的这个什么y2？减去这个y1y2-y一比上x2-x一这个东西呢？这个东西其实就是。这个点处的割线斜率吧，就这个斜率。然后什么时候它这个东西其实就是切线斜率呢，就让这个东西逼近于它这个东西逼近于它，只要保证这个框趋向零就行。只要这个框能趋向零，那这个极限其实就是这个点处的导函数。能理解吧，但是有时候啊，你其实你发现不要这样写。不要管limit下面怎么样，

你只要能保证这个部分，它是趋向于零的就行了。能听得懂我的意思吗？所以要想清楚。就是只有这样的一个结构。它的极限下，这个部分能趋向于零，它就叫做导数。但是这类目当中有一个事情就是你要小心两个问题。如果这个东西只能趋向零帧。就是这个框只能从正方向往它跑，那只有那半边的斜率，这叫右导数，如果只能趋向零负叫左导数。所以说这里面当中啊，

它其实包括了两个人。哎，包括两个人。一定要细节一点就说。就长这个样子，不多也不少。你听得懂吗？就只能涨这么多。你再多一点也不行，比如说你这里面当中再多一个式子，你再少一个式子都不行，不多也不少。刚刚好就是我减你比上它。加一个极限就这么多，不能再多了。

只要这个极限结果像这个框能趋向零，它就是导数，所以我们经常讲叫做什么，一来凑这个结构。二来看这个框到底是不是趋向零。如果凑出这个结构，这个框就能趋向零，那这个部分就是导数。能理解吧，比如说这里面当中，我们稍微看两个事情。比如说看来离。那么，这个例一这个人呢？比如说我们这里面当中写一个事情x趋向零。

然后这是。f这是一加上多少sin x方？然后再减去f1。比上s方。那这个部分是导数吗？那么就来看了，那第一步干嘛先凑结构要刚刚好？当x趋向零的时候，这是多少一+s in方？你再减去f1。那一加框，你看一加框减f一一定要比上这个框啊，被解勾，但是你发现这个东西不是我就除一个，我再乘一个。

然后这个时候的话，你就会发现这个极限是一，因此我们其实而言，一是个非零因子，我们其实就算在这儿了。结构出来了吗？来背。s0加上框减去fs 0比上这个框。然后单独的加了一个极限，只有这么多，不多也不少，然后结构出来了，再看趋向零，再看零。当x趋向零的时候，

但是你发现平方只能趋向零阵呢。所以这个部分不是导数，它只能代表什么代表一处的诱导数。好学清楚。这就是我们经常讲的一凑结构二刊例。对吧，一凑结构二看理论。好，一定要想清楚啊，这个基本问题。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看。比如说看第二。零二这个事情好，

我们再来看。那么这个题我们这样说。说如果这里面fx。fs我就在x0处。磕头，大家注意。诶，我就在x0处可导。我已经磕到了。那么这个时候请告诉我一件事。limit.x趋向零。然后这是fx 0。算这个题，等会再讲吧，

不然的话有点混。这个题等会再说。啊，这个题等会再说。你写了就写了，你先放在这，我一会会讲这个题，因为这个题很重要，我们很喜欢考这个人。那么有一个非常重要的一个结论呗。好，所以说就是一凑结构，二看零以后我们都会讲到。这些部分的内容我们都会说的，一凑结构，

二看你好了，我们稍微休息会儿，你在课间休息的过程当中。把这三个导数定义把它掌握清楚。一个事情，我见到这个导数，它就是这个定义，我见这个导数就是这个定义。如果这里面当中有增量，它的增量不是x的时候，那这个东西就是框我们凑这个点一凑结构二看零。葛先只能加上一个极限帽子，只有这个结构，只有这个结构，它才叫导数，

就是一凑结构而看零。好了，这是这个事情好，那么我们稍微休息会儿吧，一会儿我们继续啊，一会儿我们再来看看下面一些重点的问题。啊，一会儿来看看第一个点。要不这样吧，你先截个图，然后在课间休息过程当中，你先品一下这些事情，你先把它看一看。啊，你先看看这个东西，

你能否进行去理解？好，你可以把这个页面呢截个图。把这个页面呢呃，截个图，下课的过程当中啊，去理解一下。好了没有？可以的话给我回复一。你下课的时候我品一品啊。好，如果这个东西你能品完，你再把这个东西。你再截个图，因为这个东西啊，

我一会儿还会讲。我建议你提前先看一下。这绝对是哎呀，我还不敢这样说，我觉得后面我还得再讲一遍啊。我觉得我还得再讲，就这个东西，你还是转不透啊，这个就有点不好意思了。行，我们稍微休息会吧，然后在课间休息的时候把这个东西看一看。好，那么这个问题啊，我们就说到这一会继续吧，

好休息会儿吧。

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