03.冲刺串讲3-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 16:58:55

啊好，我们再来看看这个题型六啊来再来看看下面一个问题。然后这个数理极限呢，以后我们会做补充啊，这个点呢，你不用着急，这个事儿我们先把函数部分内容我们全部讲结束。那么，接下来我们再来看看这个连续和间断当中的这个第一个问题。连续的问题。那连续那首先第一件事儿，连续的判定方法，这绝对是这个经验当中的一个重点内容。啊，一般会出一道这个啊，

其实基本上就是出一道题，然后的话说连续的判定或者这个间断的判定。那么，接下来我们先来看看这个第一个事情，那连续怎么判定呢？如果它不需要分成左右极限，那它的核心重点其实就是我在这个点处的这个极限结果。它就等于这个点处的函数值。大家想想。那这个部分的内容是不是就延续了？我们刚才极限的那个板块内容。你想一个问题，我们刚才过程当中做这个几千。我们说极限的存在性跟这个点处的函数值有没有关系啊？没有关系，

你极限存在性跟这个点有什么关系啊？比如说我现在这个极限，我极限是a好，我这就是a啊。没有什么关系，但是如果谈到连续呢，你这个极限就要等于函数值了，所以这个点处的这个结果它。它就要等于这个点函数值。能理解吧，你就要补住这个洞，你极限要等于这个点函数值了，所以什么叫连续呢？连续就是极限等于函数值。如果需要分成左右极限，

那么我们其实就是所极限。等于右极限等于这个点处的函数值，那这个问题点的话就是你什么时候需要分成左右极限呢？哎，我们需要分成左右极限的，只需要怎么办？控制住我们上节课讲的左右开工法那几种情况就行。好了，这个问题，所以要想清楚就说，如果连续其实就是极限等于函数值，你学过的极限。前半拍补上这个函数值，后半拍。对吧，

就让极限等于函数值就行，会求极限，让它等于函数值就出来了，如果分左右是左右极限都存在，都等于函数值。好了，这是个连续的问题。然后接下来我们来看看这个连续的理解啊，连续大家想想。如果这里面当中说这样的一个事情。说这个函数在这个点处。连续哎，如果这个函数在这个点处连续，什么意思呢？如果这个函数在这个点连续，

它的意思其实就是。极限等于函数值。极限必须是存在的吧？然后第二事情函数值必须是存在的。然后它们必须是什么？必须是相等的。好，这个问题，所以说其实而言，最后得到的问题其实就是极限等于函数值。所以将来我们比如说一个题目当中说了一个事情，说什么说这个函数在这个点连续极限存不存在存在。如果说这个函数在这个点连续。那该点处的值存不存在存在？其实啊，

不光这个点处的函数值存在。大家想想。来看一下这个问题。这是I四零。如果这个函数在这个点处连续。这个点的函数值是不存在。没有问题，如果这个极限存在，根据我们刚才讲的极限存在的必要条件，如果极限存在。趋向过程当中，函数值是不是也要存在？没问题吧，所以其实的话，你发现最后我们就能保证，

如果这个函数在这个点连续。这个函数在这个点的邻域内。啊邻域内均有邻。好，这个人能想清楚吧，不光是去心领域，领域当中都有领域。所以说这其实就是我们这个内容，如果说这个函数在这个点连续哎，极限肯定存在。如果说这个函数在这点连续，该点函数值肯定存在，不光该点函数值，邻域内的函数值都是存在的，然后它们是相等。

好了，这是连续的理解。那么，接下来我们再来看看间断点，那么其实间断点的核心重点都是求极限。对吧，间断点那间断点的重点就是求极限，你要知道间断点的分类，那间断点分成第一类间断点和第二类间断点。那第一类间断点当中，包括两个人，一个人叫什么间断点，一个人叫可去间断点，一个人叫什么跳跃间断点。那什么叫可去间断点呢？

可去间断点是这样说的，就说我趋向于这个点处的极限。它是存在，但是你发现它不会等于这个点的函数值。能理解吧，就说你极限虽然是存在，但是你绝对不会等于这个点函数值，比如说我们来看看这个事情。然后这是一个x oy的迪卡坐标系，这是x0。那这个时候你想诶，我现在这幅图的极限存不存在啊？我这幅图的极限是不是存在我这幅图的极限是谁是a？但是你这个点处的函数值敢是a吗？不敢。

你们有可能在这，或者有可能该点函数值就没有。这就像一条线，把一个点给去掉，可去间断点。没问题吧？好，这是第一个事情。然后第二个问题，我们继续看，再来看跳跃间断点什么是跳跃间断点呢？他这样说，就说你在这个点呢？你的左极间。还有右极限，

你这是右极限存在，然后在这个点呢，你的左极限也是存在左右极限都存在，但是不相等。左右极限都存在，但不相等，我们来看看这个问题，那你想哎，我左边的极限，我这个人是a我存在吧？右边这个人极限，我是b，你看这人也存在吧，左右极限都存在，但是这两个东西不相等啊。

有没有发现在这个点处是不是有台阶的升降？是不是有跳跃啊？所以叫跳跃间断点。好了，这个问题。能想清楚吗？所以它的核心重点是干嘛？核心重点还是求极限？这个点是不是就失去了当间断点？如果定域是零到四，那这种情况是不能的。我给你看一下，因为这个。你要严谨数学这个方面，你必须严谨。

我们给你看看同济七版教材上的定义。你把这个定义啊呃，大致看看，一般不会出现这种情况，所以说有的时候你做起来你不用感觉到这个非常。担心这个事儿啊，我们来看看这个间断点，你看。那这是同济七版教材上的原话，他说如果这个函数你看这有前提，如果这个函数在这个点的去心领域内有定义。那你想想，你现在只有什么，你只有零到四。你零到四的话，

你这个点只有这半边，你没有这半边，你就没有去心领域，你只有右去心领域，你没有左去心领域。所以一切的这个间断点得站立在这个前提条件下，你必须要说清楚人家这个函数必须要保证这个点的去心领域内有定义。然后再去谈后面的事情，能想清楚吧？好了，这是这个问题哦，要严谨一点，你说的没有问题哦。那么，接下来我们再来看看第二类间断点，

那第二类间断点第一个人叫无穷间断点，无穷间断点怎么说？无穷间断点这样说。如果你的右极限是无穷大。或者是什么呢？或者是左极限是无穷大。只要有一侧的极限，结果是无穷大的，你就是个无穷间断点，不需要两侧，所以我们只需要保证有一侧的极限，结果是无穷大的。你就是一个无穷间断点，比如说这里面当中，我们来看看这个人。

好，这是s0，你发现这右边的这个极限是无穷大，但是左边的这个极限结果是a。你照样是一个无穷间断点。因为无穷间断点，它说的一个事情是，只要你有一侧的极限，结果是无穷大，你就是个无穷间断点。能理解吧，那什么叫震荡间断点呢？他说只要有一侧的极限，结果是不唯一的不存在，或者是震荡的不存在就行。

只要有一侧，你对吧？或者是什么呢？或者是s趋向s0负。只要有一侧是波，唯一的不存在，你就是个正倒计算点。好了，其实我们震荡间断点，你其实大致而言的话都考的是那几个人，比如说这个y等于sin x分之一呢，你看这个人他在s等于零处对吧，基本上考其实就考那几个人。s分之一在零处，cosines分之一在零处。

好了，这叫间断点。那么，接下来我们来看看下面一些问题，先看这个里面当中的第一个题，你看这个题。选几了，他说这个函数在这个点连续，则这个绝对值在这个点处连续的什么条件？你先告诉我，这叫什么条件？如果这个方向是对的，什么条件？你是他的什么条件？那这个人就是条件。

这个人就是结论。从条件推结论的东西叫充分性。能理解吧，我们来看看这条内容对不对？如果这个函数在这个点连续，我们就推出了这个函数的极限结果。就等于这个点处的函数值。然后这个时候我们根据绝对值的性质，如果这个人的极限等于什么等于这个人，那绝对值的极限一定是等于这个人的绝对值。没有问题，所以这个方向一定对的。对吧，这个方向一定对哦，你们是学逻辑好了，

这是这个事，对吧？这条内容肯定对，但是这个反方向还对吗？你看。这条内容就说的是fx算了，我们就直接画吧，就这条。你在这个点处是连续。然后接下来我们再看这个绝对值的极限等于绝对值的函数值，那这个人不就是绝对值的连续吗？然后这条能回去吗？回不去。所以说就是充分条件，但不是必要充分，

非必要正确答案选几选b。好了，这是这个问题哎，充分非必要31题。那么，接下来我们再来看看这个下面这个题32题啊，这种题啊，我们以前是考过的，所以这个题还是挺重要的。那么像这个题怎么做呢？他说这两个相加在r上连续。你不用进行去这样研究，说这个人在这个点处是连续那个人在这个点处是间断，你看这个人在这个点处间断怎么怎么样？不要这样做，

像这个题啊，如果它考察这个东西，你就直接把这个fs加上，这个gs算出来，这是我们以前考过的题啊。把它加起来。那么加起来之后，我们来看你怎么加呢？首先第一个事情小于负一的时候。我是多少呢？我是二减ax。然后你是多少？你是负一。没问题吧，然后接下来直接看我在负一到零的时候，

我是这个人，然后你仍然是小于零，你还是负一，所以s- 1。如果然后的话，再来看is大于等于零的时候，你是多少is-b，你大于等于零的时候，你是一。好这种题，所以说这种问题的话，你就眼睛进去去看就行了啊，或者的话，有些同学就说的是这个画两条线，看看这两个东西的交叉的部分。

那也是可以的。啊，这是一样的啊，这是我们原来强化是讲过这个题啊。你就是拉两条线。然后这拉条线，然后你下面再拉条线，这个非常简单啊，你看这个部分。那上面这个人的话，他按照零分，你这边是负一，这是一，然后这个东西呢，他是按照负一，

然后这是零，然后这个人，然后。然后这一段是二减as，然后这是s，这是s减b，所以说这个时候你这个范围的话就是这两个人。你这个范围就是这俩人，你这个范围就是这俩人啊，这个非常方便，好这个东西。所以就得到这个函数那么研究这个连续性重点，只需要研究。负一这个点还有零这个点好，我们先看负一处负一处的左极限是多少？

那左极限的话，就把它带进去就是一怎么办？一+a。负一处的右极限是多少？负一处右极限是负二，那该点处的值呢？还是在这儿就不管了，然后再来看零处？零处这个人的左极限是多少？左极限的话，把零带去是负一，左极限把零带去的是多少负b，然后加上一。所以说这个a就等于几a，就等于负三，

然后这个b是多少b，这个结果等于二。所以一个是负三，一个是二，正确答案选几选d？好，这个题啊，就立即结束了。你看这个32题，这个题哦，这个题还是很有意思哦，这个操作性呢，你还是把它想清楚啊，这个题32题。过去了，

可以吗？好，那么接下来我们就来看看下面一个问题，间断点的求解性问题。那么，对于间断点的求解性问题。这类目当中需要注意的问题，那么通常我们进行去做间断点第一步干嘛？第一步，你先进去去找函数的无定义点。还有分段函数的分段点。分段函数的分段点。我说一下，这两个。没有定义的点，

一定是间断点。听得懂吗？因为连续极限等于函数值，这个点处的函数值必须是存在。如果这个点是没有定义的点，你100%是间断点。一定是间断点，没有定义的点，必须是间断点，绝对是。好，这是第一件事，然后第二件事情分段函数的分段点是嫌疑人。有嫌疑的。有可能性的。

有嫌疑的这个间断点。能琢磨清楚吧好，所以说你要想清楚这个事，就说如果没有定义的点，必须是间断点，绝对是。分段函数的分段点是有可能是，然后第二步怎么办？找到这个没有定义的点，这些点了之后去求这些点处的极限。求极限，然后判定就行，所以就是两步走，找到没有定义的点，或者是找到分段函数的分段点，

分段函数的分段点是可能性。可能是。这个间断点，但是没有定义的点，必须是间断点。那么像这个题怎么做呢？我们来看看。这题fs。那这个部分的话是x- 1x怎么办？加一，然后这是x倍的x- 1。然后再来看看这个部分是根号下一+s^2，然后根号s方是多少？根号x方不是x根号x方是x的绝对值，能理解吧？

你要注意这个问题，这种事情我们讲了好多。那么所以说这个人就做成这样，有些同学是这样做的，说老师你看这不就约掉了吗？说这个函数只有两个没有定义的点。做错了，有些同学更离谱，说这是x约掉了，说这个人只有一个没有定义的点，那胡扯。能不能约你？约了就做少了，我就很想知道一个事情，你这个一到底是有定义还是没有定义？

绝对的没有定义，这有三个没有定义的点哎，所以说无定义点呢，有三个点。它有三个没有定义的点。所以现在而言的话，我们就来一个一个的做，你现在进行做谁啊？我们现在进行去做这个一。呃，你先看这个。一趋向于一到一了吗？没有到一约掉。然后这个时候你告诉我，你看上面这个部分的极限是多少？

是根二下面这个部分的极限是多少？是二。所以说这个极限存不存在？存在那既然是存在，但是这个点有没有函数值没有，这就是可去间断点。好了没？一定是了吗？然后接下来我们再来看看这个负一。你再看第二个人。负一那趋向于负一的时候，跟负一挨得很近，那肯定是不等于一啊。趋向于负，一是在负一的这个人的附近，

那一离得远了去了。然后这个时候你就来看，那这个时候下面这个极限是多少？你下面的这个极限是不是零上面这个极限是负的根号二，所以说这是无穷大，因此这个人是什么？这是无穷间断点。没问题吧，然后接下来我们再来看看第三个人，你就继续做，然后最后一个事情的话是limits趋向零。那趋向于零的话，这两个东西约掉了。趋向零，这是非零因子淡化成一非零因子淡化成一，

告诉我有问题还是没有问题？非零因子能不能先算可以先算，所以说这个时候就要分你就分成了limit x趋向零帧。那这是x分之它limits趋向零负比零小，这是负s分之它。所以说这是一，这是负一，这两个东西怎么办？不相等两边都存在，但不相等，那这个人很明显是个跳跃间断点。因此这个人呢，没无穷间断点的个数是几只有一个选b。好了，这是这个题，

能琢磨清楚吗？要想清楚这个问题，点它的出题方式好33题。那么，接下来继续我们再来看看34题跟得上吧。噢，问题点不大好了，看这个题。那这个题啊，我们还是这样，其实这个题的话是比较简单的。因为这个题的话，他已经说了这个方向，他的没有定义的点肯定是零和一。对吧，

这个题这个题的话就比那种情况简单。它没有定义的点，肯定就是零和一。啊，这个情况零和一。所以说接下来我们来看看这个问题来解吧。来看这个人，所以我们先来做谁呢？你先来做零吧，零是最简单的。你去注意啊，有些同学把这种题做的非常的麻烦，我们说做极限要定型，要定型，有些同学也不定型了。

你稍微一定已定式就结束了。好，我们来看看这个人。上面是一吧。然后这是负一，这是零零除负一是零一的零是一。一减一是零，所以说这个部分是无穷大呀。那这个部分是无穷大，那这个人是什么？这个东西就是一个无穷间断点第二类，因此啊，第一类不对。第一类不对，连续点不对。

好了，这是第一个人，然后接下来我们再来看看第二个事情，我们再来做一下这个趋向仪。啊，再来看趋向仪。一那么趋向一的话，大家想想一个问题。如果是趋向于一，这是x，这是x- 1，你这个人趋向于一，这个人是不是趋向零，这是无穷大。大家想e的头顶往无穷大跑，

要不要分呢？你就要分，所以说这个题我们就得把它分成什么？分成这个左极限和右极限好了，左极限右极限要分。那么这个时候我们先来看看这个第一个人，哎，把这个第一个方向你想想当x进行去趋向于一帧。x比上x- 1，这是不是一正呐？然后这个东西是不是零正呢？能想清楚吗？这还麻烦。这是极限，没有做到位啊。

这种题怎么能说麻烦呢？这已经是非常简单的题了啊，你想清楚。好了，我们来看看这个事来做，这是一这是零。那一比零的话，这人是什么无穷正无穷。那这是正无穷的话，你想想那正无穷减，一是正无穷。无穷大分之一，这是零。然后再来看看x趋向一负。那么，

趋向于负的话，这是x比上x- 1。你是趋向于一，然后这是零负，这是负无穷。e的负数是几？e的负数是零？所以上面是一，下面是负一，这是负一，俩人都存在，但不相等，很明显是个跳跃间断点，因此这个人是第几类第一类间断点。答案选d要有一点点耐心哦。

你如果做题啊，你连这种耐心都没有，这是非常尴尬的一个事情，你这个数学每个题都需要冷冷静静的进行去分析。对吧，就是这样，你要喜欢算你要喜欢分析，你每天告诉自己你要喜欢算喜欢分析，你就是喜欢算，你不要骗我，对吧，你就是喜欢算。我觉得你刚才就是来骗我的。你就是喜欢计算这种问题。冷冷静静的进行分析，

慢慢来，不要急，不要老是觉得哎呀，你的背后有一个人在推你。赶紧做，赶紧做啊，没有人这样推你稳稳当当的，对吧？你就是喜欢算，你就是喜欢分析，你不要跟我说这个别的事，你就是喜欢啊。好了，这个点呢，我们就讲到这。

那么，这是我们说的这个第一个问题，所以第一章部分的内容，我们其实就讲到这。说实话吧，无论是考三九六数学还是考数一数二数三啊，这个部分的这个。你别别逗我啊，对吧？好了，别闹啊，别闹。好了，这是这个。无论你是考三九六还是考数一数二数三同学，

你如果不喜欢进行计算呢，那是没法考的。啊，你要是不喜欢计算呢？你说实话，这个部分你是没法考啊，你说实话怎么考都没法考。好了，这个点呢，我们就讲到这。唉，这是这个类型问题，那么接下来我们就继续吧，我们再来看看下一个点。那么，

这里面当中啊，我还是把这个数列极限呢，我们还是跟同学们进行去，稍微的进行去重点复习一下。那么其实啊，这个部分呢，不算是我们三九六同学的热点。我们三九六同学的话，数列极限呢，去年的考研真题当中也就简简单单的话进行去考了一个什么事情呢，考了一个定积分定义。也算作数列极限，所以这里面当中，我把这个部分内容我们一放到这里面，继续去重点来看看啊，

我们讲讲数列极限定义。好，这个事情。那么，数列极限的这个计算？对吧，这由于这个计算我放到定积分那块讲。到时候我继续去讲这个定积分定义的时候，我再给你重点进行讲。好了，那么接下来我们来看看这里面当中的第一个问题，数列极限的这个定义性问题。那么，数列极限的定义啊，那么在这里面当中的内容，

首先你要认识。这是一个数列。这个数列里面当中是有一个人还是一堆人啊？请注意这个数列里面不只有一个人。有一堆人。那比如说我们这里面当中一看到数列这个n就要动起来了n就要从一对吧，一直动到多少动到多少。动荡无穷多项。所以这里面当中有一堆人。一堆人数列极限，什么意思呢？他说，随着你这个角标。逐渐的变大。你这个人最后的极限，

结果是a。就是你这个n逐渐的变大，你最后的极限结果谁？一直变大，一直变大，最后你的极限结果谁？好，这是这样的一个问题。所以接下来我们来看看这个定义，它怎么说呢？大家想想第一句话和最后一句话会变吗？不会变第一句话都会说，无论你有多么的小。我和你之间的距离比他还小。所以说这两句话其实就说明了xn的极限是a这两句话不会编，

就是你稍微的理解，你也能理解到这儿。但是我觉得你还是要理解它，你光背这没有用。那这句话说的是x和a无限的逼近。但是你想想一个事情，如果xn的极限是a需要每一项都跟a无限的b近吗？需不需要你，比如说。我们这个部分呢，它的极限结果是a。对吧，你需要每一项都无限的逼近吗？不需要我们，只需要怎么办？

我们只需要当n趋向无穷大的时候逼近就行。对吧你，比如说你看你这一项这一项，这哪逼近呢？这没有逼近。我们只是最后这些人，你看最后这些人都靠近a。所以说我们只需要n很大的时候，毕竟就行，但是这里面当中怎么去写这个事情呢？什么叫n很大呢？他这样说。存在了一个很大的数。当我这个人比你还大的时候。你只要能保证这些人都逼近就行，

所以说这个人呢，我们说的是从这个人开始之后。所有人都逼近于a。所有人都逼近a你的极限，就是a。能听懂吗？所以说，数列极限的这个定义啊，它的理解应该是怎么理解呢？比如说你的极限结果是几？你的这个极限结果你是a？你的极限结果，比如说是三，我们就说从一个人开始之后。所有人都接近于三。

大家想想从哪开始，在不在乎？从一个人开始之后。从这个人开始之后，所有人。都都就是均啊都。接近原因，你在不在乎从从哪开始？我想问一个事，你从这开始行不行？我这个n在这儿行不行？我也保证了，从这个人开始之后，所有人都接近于洋。你从这行不行？

行不行？我只要从一个人开始，这件事情就叫什么？你们能不能给我想一个非常好的成语？我想了好久了。就是从一个人一个人开始，后面所有人都接近。这个这个东西叫什么呢？就是只要从一个人开始之后。啊，只要只要从这个人开始之后，后面所有人都结晶。那就那其实你都极限就是它。行行行，好了好了好了，

行行行啊。这都是啥呀，对吧？好了，这个人就是什么弱水，3000只取一瓢，这是想啥玩意呢？我要让你尽心去想清楚这个事，只要从一个人开始之后的所有人都接近。哎，这是这个事情。行，我也想不出来啊，好了，这个点我们就说到这。

说的这个点就这样啊，只要你从一个人开始之后，那后面所有人都接近你，就是一个很棒的人。他其实就是这个呃，有有个人之前是混蛋啊，从有一刻的话开始之后改过自新，后面只要你从哪一天改过自新无所谓。只要你改过自新，你就是个好人，能理解吧好，这是这个。那么，这是我们在这里面当中啊，讲的这个事情能想清楚吧，

所以接下来我们来看看啊，这里面当中啊，这个有几个非常重要的结论，把这个东西看看。好了，没那么接下来我们来看看这里面当中的这个第一个问题啊，有几个重要结论第一个事。大家想，如果n趋向无穷大。SN的极限是a你的充要条件是什么？如果你这个极限结果是a。我们先来看看一个事件。你来告诉我。这个n。谁是谁的此处理啊？

谁是谁的子树林。下面是上面的，你上面这个人的话，你看一二三四，我这有好多，然后这个人取一的时候是二。四你只能进行取我的偶数项。所以说这个东西啊，你是我的偶子数列。对吧，我们只能取偶数项，偶子数列。所以这个人的极限是a，我应该怎么说呢？他这样说，

如果你极限是a从一个人开始之后，所有人哎呀，这块所有人都接近于a。那你想所有人都接近，比如说这个红色表示了奇数。这每隔一个就是奇数，这所有人接不接近？接近那这些人都接近，那我就可以说明什么说明哎，这个奇数列的极限结果就是a。因为从一个人开始之后，你的所有人都接近a你的极限就是a。那你的身边是不是就是偶数？身边就是偶数，那从一个人开始之后，

所有的偶数列都接近于a那偶数，这个人的极限是不是也是a？好出来了，所以另外一件事，如果奇数和偶数都接近，也就能保证从一个人开始，之后所有人都接近。好，这个问题啊，我们就讲到这。所以说如果一个数列极限是a，你想证明它是a，你可以去看偶数列的极限是a，奇数列的极限也是a。这是一个充要条件，

你得把它进行看看。好了，这是第一个问题，第二事情就是我们在刚才过程当中讲过这个问题，如果SN的极限是a1，我立即可以推出什么？我立即就可以推出绝对值的极限，是a的绝对值。好这个人他不能回推。绝对不能回来。然后这里面当中只有一个特殊情况可以回来，谁呢？就是零零处是可以回来的。然后这个n趋向无穷大绝对值的极限是零的绝对值啊，这个可以回来。

好了，这是这个问题，然后第三个事情有两个特殊极限，把它看看在n趋向无穷大的时候，比如说我给一个大于零的数开N次方的极限是多少？这个n是一吧，然后第二件事情在n趋向无穷大的时候，我给n开N次方的极限是几是不是也是一？所以像这些特殊的这种问题啊，你必须要把它梳理清楚。好了，这是数列极限的定义。所以数列极限呢，你在这个定义的角度上，你必须要把它数列清楚，

你就知道，比如说我的极限是三，我只要从这个点开始之后，所有人的极限结果都是接近于它。它就是可以，所以这里面当中我能给你举一个非常有意思的例子。对吧，比如说当我们这个n。我们趋向于我们不能写十二点二四，我们只能写幺二二四。因为它得趋向一个整数点。好了，然后的话，这个部分，然后这是你的成绩，

然后接近70分，大家想想。你在之前。就算比如说这是我们的什么零基础的阶段，比如说这是我们的基础的三月份到六月份阶段。然后这是七月份到九月份阶段，比如说这是我们的十月份阶段好了，这12月份对吧？你在之前的部分。比如说我这才考了多少好，我就考了两分，无所谓对吧？我这才考了四分，无所谓考了一张卷子，就没有几个题能做出来，

没有关系。你在基础班的时候，你发现结束了之后，你也只能考到30，没有35，比如说你只能考到40分，也没有关系。你强化的时候的话，你发现一个事，我只能考到这个啊，这个比如说我只能考到60分也没有关系，或者而言的话，你比如说这才30分，这才能考到40分，也没有关系。

对吧，你这个点也是没有关系，你只要从什么从一个点开始之后啊，从这个人开始之后。比如说这个点对吧？就是你的11月1号对吧？就从一个点开始之后，只要你能从一个点开始之后，你发现你都接近于这个你最后的极限也是它。哎，就是这个意思，能听懂吧，所以这个数列极限的这个意思就是你只要能从一个人开始，之后你后面的所有人都接近于他，你的极限结果仍然是他。

能听懂我的意思吗？好，这是这个问题，所以你进去去琢磨这个事情，它里面当中所叙述的这个点呢，它其实就是这个问题。好，这个内容我们就讲到这。因此啊，这句话我觉得我之前就跟你讲过，叫做牛逼之人，常吟在最后越到最后啊。我觉得这个。越重要。你说你三月份复习的贼好，

没有什么用，我们看的是最后一场考试，那没有办法这种这种。这种选拔性的，这种考试它就是这样，我们就看最后一场考试。你说你五六月份你复习的非常好，你突然间十月份十月份你的状态不是特别好，那也不行，也没有什么用。对吧，你说你呃之前的这个部分复习的，你还非常棒，但是过段时间你忘了也不行。那么，

就算我们之前的话，有些部分的东西还没有达到非常的好，但是我们通过修修补补变得很好，我们只要有这种状态就行了。所以啊，我觉得这个后期的这个复习是非常非常关键的。这才是最关键的。所以说一个事情是心态的问题，一个事情是你的复习方向的问题，越到最后越重要。我们这复习的辛辛苦苦的，一年就看最后的这几天了。所有的事情都看都看，最后那场考试了。对吧，

有些同学在十月份没有复习的多好，但是你发现到了这个最后一个阶段，他确实能复习发挥出很好的水平，那非常棒。所以到了后期啊，你的心态一定要积极一点，对吧？你的复习的方向一定要有方向。你包括的话，最近一段时间很多同学容易受到很多人的这个影响。所以我觉得越是影响别人，你越少这个什么少受到这些影响，那这样的话，其实你在这个方面你又提高了很多。所以我觉得这个这个这个非常重要啊，

一点点一点点的话，这个这些话送给我们每个同学好了，这个问题啊，我们就讲到这。能理解吧好，所以说这个事情把它好好琢磨琢磨。那么，这是这个点内容，我们就讲到这，然后下节课我们再进行去补两个点。一个事情是，这个极限存在性之间的关系，那还有一个事情啊，其实就是连续的四则运算法则，还有我们后面的过程当中会讲的这个什么？

讲的这个呃，间断点呢？连续点呢？它的呃，有间断连续的函数，它们复合的一些情况。好，我们下节课，我们再重点来看。行吧，那么今天呢？我们就说到这啊。行来抽两个同学吧。呃，因为昨天我一会儿卡顿了，

就不要怪我，因为这个网不是特别好，我们这样吧。呃，抽四个同学吧。哎，抽四个同学。抽四个同学，我们呃抽四个什么呢？这样吧，我觉得错题本错题本更有用一点好吧，我们错抽四个错题本。日历是吧？日历我不知道有还有没有，这个我不能不能保证的啊。

行不行？因为日历有可能这个呃印刷的那个量上次送的不太呃，送四个或者是必胜套装吧行吧，你们自己去选吧。啊，这个二者选齐。行，我们抽四个同学呃，这样吧。回复我，我觉得还是这样。嗯，稳定心态，考研必胜好不好？稳定心态考研毕生。

稳定心态考研必胜。好，我数到五可以吧？数到五。一二。三四。五啊，我们这个同学啊，这就没有了。一二三四行吧？哎呀，吵不吵我这旁边太吵了，这个因为。这两天的话，刚好在在这个呃来开封的两天，

这个这边儿有点儿太吵了嗯。好了，这是这个呃，我们抽这个抽这几个同学吧。啊，这个同学。这个同学啊，这个同学好，这个同学好，这四个同学啊。好了没好那行吧，那么今天课程呢，我们就讲到这啊，所以说希望大家的话，这个呃好好进行去调整一下自己的状态，

我觉得尤其这两天呢，这这这个。呃，可能很多同学的这个心态的波动非常的大，所以我觉得你按部就班的来，你让他们去影响心情去，让他们影响这个心态去。所以我觉得这个你只要在这一场，这个尤其是中后期的这种克服这个焦虑的，这场也算一场考试。这场焦虑的这种克服当中你赢一点点，这也算成功啊。是不是啊诶？所以说这是这个点。行吧，

那么今天课程我们就讲到这儿，自己下去把这个相对应的这个问题啊，好好去处理处理行不行？同学们。好，那么今天课程我们就讲到这儿呃，行吧，那么上次啊，这个可能导的这个稍微的晚啊，我现在就给你导，然后的话你一会儿插。差不多呃，应该是20多分钟之后啊，你就可以进行去下载这个笔记了，那么第一章很快就结束了，

那么下节课我们的重点而言是进行去讲第二章。一元函数的微分学好不好？好了，那么今天课程呢？我们就讲到这。行吧，好好加油好不好啊？这个呃，希望大家的话，这个好好调整状态啊，不要老是这个焦虑焦虑，你天天想这个事儿，想那个事儿，其实你发现。你你只有在在这件事情当中只有一个事情在流失，

就是时间在流失，其实你发现能力方面也没有什么，就进行增长。好好进行去调整状态啊。好了，那么今天课程呢？我们就讲到这好不？同学们好，我们下节课继续吧，好下一个见啊。呃，截到你的头像框了是吧？那个同学。也送你一个好不好？还有这个同学。

行吧，那么这个我们就说到这是哪个同学呢？啊哈哈哈。不行不行，不不不能这样玩，不能这样玩啊。啊，主要主要这这是这是这是哪个同学呢啊？好好好，不不不能这样吧，行吧，下次下次吧，下次下次啊，可以吧，因为这个就是实在是看不到，

如果如果遮一点的话，我们再再送给你，行行行。好了，那么今天课程呢？我们就讲到这，那行吧，算了算了，嗯，那这这这看不看不完整啊？好了，那我们今天课程呢？我们就讲到这啊，下次我们继续好下节课见吧。

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