03.冲刺串讲3-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 16:58:41

那我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测试声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们就准备开始了。那么今天我们就继续开始我们的冲刺救命班的课程，那还是第一个阶段冲刺大串讲，那么在上次过程当中啊，其实我们核心重点应该是讲了两个问题。一个事情啊，其实我们讲了这个无穷小的一个替换性问题，那其实就是无穷小的这个定阶性问题，这是第一个点。

然后第二事件我们其实又讲了一个重点内容，其实就是函数极限计算性问题，但是这个点呢，难度系数不是说特别大。无论是函数极限计算，还是已知极限求解，其中的待定参数的问题，那么像这种类型问题啊，它的核心重点都是求极限。那求极限，无外乎三个事情，先定型后定法，定法之前先四化，所以说你要掌握清楚常见的这个东西的化解方法。你而且要掌握住常见的处理极限问题的处理性方式，

把这些内容你都要拿下来，所以接下来我们就继续吧，我们再来看看这个今天的重点内容。那么今天这几点呢？可能是很多同学的痛点。因为一旦谈到这什么谈到这个问题的，这个定义了，谈到这种性质了，都是很多同学可能在处理过程当中啊，处理的不是说特别好的点。所以像这些内容，你得好好听，把这些问题啊，好好拿下来好了，那么接下来我们就正式开始吧，

我们先来看看第一个问题点。你们这个网速怎么样？有没有卡顿呢？这个昨天晚上上课的话，这个网速实在是太差了，上初我这个心里有点心理阴影了。有没有还可以是吧？好的好的啊。呃，国庆呢？我觉得这个阶段还是比较重要，所以说这个好好的进行去备考一下，因为这个在最近段时间呢，其实我们还剩下了这个80多天的这个时间。每一天都比较正规，

所以说这个国庆节啊，你们就好好进行去，把相对的问题好好处理处理，尤其是自己啊，有些短板的地方好好进行去补一补。啊，这个国庆节啊，它基本上每天也都有课啊，所以说我觉得大家的话有任何的问题啊，我们都可以进行去好好进行沟通啊。好了，那么接下来我们就正式开始吧，我们先来看看这个第一个问题，函数极限的这个定义。啊，

这个定义，所以说这个定义啊，其实最重要问题就是理解你，光把这个东西背过，我觉得这个问题啊。其实你也不不会说把考研真题当中的那个题啊，处理的很好，你光背过这个定义，其实做起来也不是说特别好。那么，在这里面当中，最重要的问题是什么？你要深层次的进行去理解一下这个定义。当中每一句话所。交代的问题。

所以说这个定义最重要的定义是什么呢？最重要的定义就是x趋向于s0，然后这个极限结果是a。这个定义，所以说这个定义啊，一定要重点进行去理解好了，那么接下来我们来看看这个定义，这个定义啊，里面当中其实有四句话。但是我们简写一下，其实只有三句话，我们先来看看这里面当中的第一句话，这就是俗称的伊布斯龙德尔塔语言。啊，就是这个定义，

那么接下来我们来看看这个伊布索隆德尔塔语言是怎么说的，然后这里面当中的第一句话他是这样说，他说对于任意的伊布索隆大于零。大家想想，只要大于零就行。零点一会大于零零点零，一会大于零零点零零，一也会大于零零点零零零，一也会大于零。只要你是大于零就行。其实这句话的中文解释是什么？你只要能大于零，我很小，我也是大于零，所以说这个部分问题啊，

他说的是这个事情。他说的是无论你有多么小。对吧，无论你有多么的小好，这个人有电流声吗？好，现在可以了吗？好了没？现在可以了吗？啊，是那个空调的声音啊，我把它关了。行吗？好了，这是第一句话，

他说的事情是无论你有多么的小。其实对于任意的一不从容大于零，它其实我们只在乎什么东西呢？你只要能大于零就行，它应该说的是那个很小很小的部分。无论你有多么的小，然后这里面当中说的最后一句话说什么说的是我和他之间的距离比你还小。哎，我和你之间的距离比他还要小，哎，那这件事情你去理解一下，别管你两个，你这个东西有多小？我们两者之间挨的这个程度啊，比你还小。

那说的是什么问题呢？哎，说的这个东西啊，它的极限就是它。能理解吧，哎，这个人的极限就是他，因为别管你多小，我俩的爱的这个程度比你还小，就说了我这个人的极限是他。那什么时候你的极限是我呢？人家这样说的，说当x趋向于x0的时候，你的极限是我。所以说这个时候我们连着进行去读，

连着读就是这样。无论你有多么的小当s，趋向于s0的时候，我和他之间的距离比你小。也就说，当s趋向s0的时候，fs的极限就是a。能理解吧，哎，这个东西啊，其实就是我们常说的这个e普松龙德尔塔语言，有人说老师只有伊普松龙德尔塔在哪呢？好了，那么接下来我们对这个定义啊，我们进行一个深层次的理解。

好了，我们先来看看第一个问题，好这个点把这几个东西啊，要深层次的进行去理解理解好，先来看第一个事情。那么，在定义当中，这个e步送的这个作用是什么？这个作用其实只说明了一个问题。他就想在刻画什么东西，他就想刻画你的极限是他。是吧，它的作用就是这个，它就想说明fs的极限是a。所以说这个伊布斯罗，

他这里面当中说，无论你有多么的小。然后我和他之间的距离比你还小。是不是这个问题？那什么时候你的极限是我呢？当x趋向于x0的时候，你的极限是我。那这个时候同学们，你想想一个问题，如果我把这句话改了，我改成这个东西是属于零到一，你告诉我行不行？我说，对于任意的一不送，是属于零到一，

那这件事情有没有说明它很小？他有他也可以说明很小，因为零到一当中的这些人呢，他都能取得一些非常非常小的，这是没有任何问题的，然后这个时候说我和你之间的距离比。比他还小，没有任何问题，那如果这个人呢？我们在这里面呢，看当x趋向于多少x0的时候。但是这人呢？如果我改一下，我说这个一不送了，属于一到二还对吗？

哎，这人就不行了，因为我想说的是，无论你有多么的小，这个一布斯龙一定要保证它能取到非常非常小的量。你这里就取不了，所以说这个东西啊，它就不行。然后接下来我们再来看，如果这个题目我把它再改，我改成这样，我改成这个东西是属于零到一，然后当x趋向于x0的时候。然后这个部分呢，它是fs-a的，

这个绝对值小于二倍的一普西龙头对不对？你看这个人。对还是不对？那这个时候我改成二倍的伊普西龙没有问题吧？为什么呢？因为你想想二倍的伊普西龙，那这个人的话我就可以写成二倍的伊普西龙是不是属于零到二啊？我把二倍的e步速度用e步速度一撇来表示，你说对于任意的一个东西属于零到二，然后我和你之间的距离。比它还小，没有问题吧，你看这样一改也对。那如果这里面当中，我再进行去改改。

我怎么进行改呢？我把这个东西写成小于等于这个东西还对不对啊？也是对的，为什么呢？你琢磨一下，因为小于等于这个东西，其实就是小于二倍的一不足。没问题吧，然后这个时候你就可以写，对于任意的2倍的e步速度属于零到二，然后怎么怎么样，总有我和你之间的距离比这个二倍的e步速度小。你把这个东西记作成一不送一撇，不还是它吗？所以说这个定义啊，

也是可以的，因此在这里面当中，你注意。那这个e布斯姆只要能保证取到非常小的人，他就可以了。一定要取到，非常小，所以那个零那个附近的人呢？你是一定要把它取到的好了，这是我们讲的这个第一个事情，能听懂吧？它刻画的其实就是我fs接近于a的事实。然后第二件事情我们再来看，那这里面当中的x趋向于x0是什么意思呢？好，

我们再来看看x趋向x0。就是这里面当中x趋向项，然后这个人的极限，结果是a那这里面当中的x趋向于x0什么意思啊？那首先我们先来看第一个问题，趋向于这个点，到这个点了吗？没有到这个点，所以首先第一件事情你趋向于这个点，你是没有到这个点的。然后第二件事情又在这个点的附近。对吧，在这个点的附近趋向于这个点，没有到这个点，又在这个点的附近，

所以说这个范围叫做这个点的。去新领域。啊，这个事情。所以说这个呃，以前的一些考题啊，比如说二一年吧。你来看看这个二一年。我们来看看这个题。那么，在二一年的时候进行去出这个题啊，有些的话这个出题人呐，都害怕，也把这个题出的太难了。所以说这里面当中啊，

他就稍微的进行去改一下，你看他怎么说，他这里面当中就说的是在这个点的什么？你看他怎么说？他说在这个点的附近，你看这个人对吧？说在这个点的附近啊，其实就是这个点的。巨星领域。所以说这句话，他可以改一下，就是这个点的去心领域要理解哦，所以将来我们进行去谈，什么叫做s趋向s0呢？其实是没有到这个点，

又在这个点的附近，所以说就是这个点的去新领域，能想清楚吧好。好了，这个第一个点呢，我们就讲到这，然后接下来我们再来看看这个第二个问题，我觉得这个第二点呢会更重要。那么第二点呢？基本上就是考研的过程当中会设置的点了。首先，我们先来看看第一个问题，一个极限的结果跟这个点处的函数值有没有半毛钱关系？你想想这个事儿，我们这里面当中，

比如说x趋向于x0，我这个人的极限，结果是a。那你这个人极限，结果是a跟这个点处的函数值有没有关系啊？你首先要注意往这个点跑，是没有跑到这个点的。那比如说我举个例子，我们来看看第一幅图。那你想想这幅图的极限，结果是不是a啊？你看这个人。是不是那当然是啊，你看从左边往这儿跑，它顺着这个人跑到这儿左极限是a从右边往这儿跑，

顺着这个人跑到a。所以左右极限结果都是a，那极限就是a啊。没有任何问题，如果这个人的话，我们稍微进行去改一下，你再来看。那如果我把这幅图啊，我们这样进行改。好，我们调整一下，我把这个点处的函数值啊，我画在这儿。那你告诉我这个极限，结果是不是还是a呀？

没有问题吧，这个极限结果还是a，那如果我们再来看看这个第三个事情，如果这个点其实就是什么？你这个点的函数值就在这儿，是不极限还是a啊？所以说这里面当中一定要想清楚，这跟连续不连续没有关系，那么极限这个人存在，只要左边往这跑，右边往这跑就行。对吧，你那个点处的函数值没有关系，所以大家想我这个极限，结果是a我这个点处的函数值有可能就没有。

我这个点处的函数值有可能不等于a我这个点处的函数值有可能等于a，所以说你要想清楚你这个极限，比如说我说这个极限是三。对吧，我说趋向于4 fs极限等于二零二四。那同学们想想你这个趋向于四的时候，你的极限是二零二四，那这个四这个点处的这个结果怎么办？它跟二零二四有关系吗？没有关系。我这个点处的函数值可能没有定义，也可能有定义，有可能等于二零二四，也可能不等于二零二四。好了，

这是这个问题，所以你要想清楚这个点。好了，这是我们讲的这个第一个问题，然后接下来我们再来看看第二事情极限存在的必要条件。啊，这个必要条件也很重要，大家想想一个事儿，我们把这个定义啊，我们再来写一下。is趋向s0。如果这个极限结果是a。大家想想你的极限，结果是a，它必须要保证一个什么样的要求啊。

他得保证这样的一个要求，我们刚才讲过这个事情，如果你这个人的极限结果是a，你是不是得保证一个事情？保证在这个趋向过程当中，就是区心领域内。那去心领域当中的每一个函数值都要跟a无限的b近呢？是不是啊？你想想是不是啊？我们刚才定义就是这样说的啊，就说无论你有多么小，我和你之间的距离比他还小，什么时候呢？在这个去心领域范围内。也就说你的极限，

结果小是a，你得保证这个去心灵域范围内的所有的函数都要跟a无限的比近。那你想想也就说你这个范围内，你所有的函数都要跟a无限的逼近，那这个部分内容的函数是不是都得有定义啊？所以必须有定义。对吧，一定得有定义，因此这个人呢，马上就写清楚，如果这个极限要想存在。对吧，如果存在了，我们就可以说在这个趋向下，也就是这个去心领域当中这个函数。

处处有敌。处处有定义，其实就是有定义，不要抠字眼儿哦。就是有定义，就像说如果你这个极限存在，你这个去心邻域范围内，你这些函数啊，都得有零。那么你极限如果想存在，你先给我保证这个事情，你这个去心领域范围内，你这个函数得有定义，但是同学们有定义了，就一定存在吗？

不一定，这叫必要条件，就是你先给我构筑这个门槛，你先保证这个去心领域范围内，你先有定义你再说。你有定义了，你才能达到你是极限存在，有这么一点可能性的，这个基本要求。能理解吧，好了，这是这个事情，那如果在这个去心领域范围内，这个函数有一些没有定义的点，那这个极限呢，

一定是不存在的。因为这个东西啊，是个必要条件，你先构筑这个门槛，然后再进去看看你存不存在，如果连这个门槛都没达到，你肯定不存在。能想清楚吧，好了，这是我们讲的这个第一个问题，必要条件。所以说这是我们在这里面当中啊，讲的这个第一个点，那么接下来我们先来看一个题吧，先来看看冲刺28题，

这个题来看看这个题。那呃，那个骗子题我们就不讲了，没有什么意思，说明的话，这个因为我们三九六同学，其实你发现那种题对我们的考研其实帮助不是说特别大。啊，我们抓重点来看看这个题。那这个题啊，首先我们先看第一个事儿。他说，这个人的极限结果是a。然后则这个函数，大家想想你这个极限是a，

你在这个点处就一定有定义吗？不一定吧，我也可能没有定义。所以说这个人呢，他不对。你在这个点处，一定有定义吗？我也可能没有定义啊。所以我在这个点处怎么了？可以没有定义，我选c。你看这个人就出来了。然后接下来我们再来看看d选项，他说在这个人的去心领域范围内，这个函数一定都不等于a。

对不对呀？哎，大家注意这东西啊，未必。你要想清楚。在趋向过程当中这个人。它不等于s0，可不代表着这个人不能等原因，比如说我们举个例子不一定哦。你看这个人，比如说我们先来画一下啊，第一幅图。你来进行看看，那么这个里面当中，我们先来进行去看看，

比如说这是s0，我这个人的这个极限，结果是a。你看这个人。诶，大家想诶，这个人的极限，结果是a。但是在这个去心领域范围内，这些人确实是没有等于a没有任何问题，但是我们琢磨一个事情。你发现你这个x0，如果你的极限结果等于a好了，你这是a，但是如果我的图像是什么，

我图像能不能是这种情况？你看这种情况。是不是也是可以啊？我极限是a，但是我在这个附近当中是不是也可以等于a啊？所以这件事情你把它想清楚，就是这个极限呐。x趋向于s0我fs的极限是a，你要注意了。像这个部分。这个部分x是绝对不会等于x0的。但是这个人的极限结果是a，那这两个东西啊，有可能是相等的。要注意啊，

也就说这个趋向下s趋向s0是一定没有到s0的，但是这个人的极限结果是a，他是有可能会等于a的。好，这个问题，所以d选项它不对。然后我们再来看看这个e选项，他说在这个人去心领域范围内，然后这个人没有定义，不可能我们说过了，如果这个极限存在。这个被求极限函数一定得在这个去心领域范围内有定义，必须得有定义，所以这个人不对。好了，

这是我们讲的这个28题，能讲清楚吧？好，这个第一个点呢，把它把握清楚。所以像这种概念性的题啊，我们还是会考的，那上一次考是二一年。所以到了这个今年过程当中，我们出这种题啊，也是很有可能性的，把这个基本的概念一定要把它抠通。好了，这是我们讲的这个第一个事情，第一就讲到这，

然后接下来我们再来看看第二事情，我们讲讲函数极限的性质。如果在性质当中，它其实重点而言，考两个性质，我们说有四个啊，这个你说四个性质也行，你说三个性质也行，你说四个性质就是唯一性。保号性，有界性关系定理，你说三个性质也行，那三个性质就是唯一性保号性，有界性，所以说有些书写三条，

有些书写四条都是可以的。那么，在这里面当中比较重要的有两个人，一个事情是保和心。哎，这个内容那还有一个人是什么呢？还有一个东西就是有界性，这两条性质啊，非常的关键。我们先来看看同学们的这个基本水平怎么样？那么请告诉我保护心重点喜欢在哪考？一个事情就是我可以出一个保号性的一个知识点的题。还有一个部分，他喜欢在哪考？我们是个冲刺班，

同学也做过一些题吧。嗯，不是不是不是。喜欢在哪考？嗯，不是不是。对极值和拐点那块考。对吧，非常喜欢在极值和拐点那块考，因为极值的定义其实就是邻域当中最大。或者最小。对吧，有淋浴的这个感觉，我们可以用到饱和芯。那么，

接下来我们来看看这个脱帽保护性啊，保报保护性呢，有两个事情，一个东西叫脱帽保护性，一个东西叫家帽保护性。好，我们先来看看，第一个人叫做去帽，保护性也叫脱帽，保护性那脱帽保护性呢，你只需要掌握两个事情。一个事情呢，它不会等于零的。哎，这是第一个点，

绝对不能等于零，第二事情只能在什么，只能在局部进行脱毛。只能在局部，所以接下来我们来看看这个人，你看如果这个极限大于零。你想想，比如说我们举个例子，我们往这儿跑，往这儿跑的话，这个人的极限现在是a，他就大于零。如果你极限大于零，这身边的这些人是不会大于零，但是同学们这个点处是什么情况你知道吗？

我这个极限大于零，我这个点处的函数值有没有可能在这儿有可能，所以这个点处是保不住的。能想清楚吗？这个点是保不住的，你只能保住什么？你只能保住这个附近就是这个趋向过程当中。所以说这个人怎么去写的呢？你看这个人，所以这个点呢，这个细节是会考的。这个细节会考的你比如说有些这个骗子题，然后我们先来看看这个内容吧，他说如果这个极限大于零。就在这个点的去心领域范围内大于零，

有些题啊，比较贼一点，他把这个去心领域写成了什么说邻域内大于零，这就不对了。能想清楚吧，你看这种题就是骗子题，这就不对的，一定是去心领域那个点处，结果是不知道，我只能知道这个人的附近。我的身边哎，这个点是不知道的，所以灵域和去心领域啊，他还不一样。所以这里面当中，

我们先来看看第一个点。怎么进行去学呢？我原来给你讲过这个方法，你看如果这个极限大于零。想把这个帽子摘掉，就在你家里面摘掉，你家在哪儿？你家就是在这个趋向过程当中，就是这个去心领域当中大于零。如果这个极限小于零，你就可以在家里面去掉，就是这个去心领域当中小于零，你看这个事情。能琢磨清楚吧。灵域和去心灵域，

学到今天你还不知道。淋浴和去腥淋浴是不一样的呀。哎呀，这个学到这个，今天灵域是这个点的，附近包括了这个点去心灵域是不包括这个点的？这个基本的概念，你看有的人说某一领域，哎呀，这个。你知道为什么会说某一去信领域或者某一领域吗？因为我们都知道，你想想。我这个点的附近领域这么大，是不是领域？

这么大，是不是也是领域这么大？是不是也是领域？我只要有一个领域就行了。能想清楚吧，有一个去信领域就行。所以他说是某一，你不要这样学习啊，你这会害了自己的啊。还有空心领域和去心领域是一样的，哎呦我的天呐，那这怎么能这样来呢？不要这样啊，不要这样。你在学数学，

你不是学语文呢？这逻逻辑题是不是做多了啊？最近。注意一下这个事儿啊，你把这个事儿你要想清楚啊，好了，这个点呢，我们就说到这儿。所以接下来我们来看看，你想清楚，如果这个极限大于零。对吧，那我就可以在这个家里面包去掉帽子趋向过程当中，就是去心领域。想摘掉这个帽子去新领域当中摘。

好了吧，这是这个事情，所以如果极限大于零，去心领域当中大于零，如果极限小于零，去心领域当中小于零。你发现保不住，等于零吧。所以说这个部分当中啊，它绝对没有等于零这个事情。啊，所以说最近一段时间啊，一直有同学呃给我发私信说什么呢，说这个概率论呢的一些问题，我说你具体而言是哪些问题呢？

因为这两天。私信比较多，有的时候我看到一些同学的这个私信呐，我不知道的话，这个今天班级上的同学有没有因为这两天呃，有的时候。你发一个很长串的一个私信，因为我看到有些同学这个情绪也不太好，我每次看到这种私信了之后啊，我想回回过去了之后的话，我害怕你再回过来呀。因为这两天私信比较多，有的时候这个私信就把他埋过去了，我就基本上跟这个同学要一下这个电话，我给你打个电话过去。

因为有的时候这个你发一个过去，他又一个问题又一个问题，来来回回的话，其实就非常的麻烦，所以这里面当中啊呃，其实问了几个点，有几个同学，我觉得其实。说的非常明显，比如说有些同学说这个说概率论有问题。我说那个概率论当中就是我记得跟一个同学的话呃，聊这个事情的时候，我就说了这个问题，我说你概率论当中有问题是什么问题呢？大部分的同学都不是基本知识点，

也不是基础运算的问题，是什么问题呢？是语文问题。说见到这种题啊，不想读。见到这种东西啊，读不懂，其实读不懂，我觉得其实而言的话都不存在，你以这种问题的话，有的人就不想读，其实这个问题点其实就在这儿。啊，这是第一个点。哎呀，

别闹，我我我在我在说这个现象，我就说一下这个。行行行，我们过去了。所以这是我们在这里面当中啊，讲的这个第一个点啊，重点的内容其实就是说你这个文字这个东西啊，你要敢去读，然后另外一个事情你不要钻进去了。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看你，看你想摘掉这个帽子，你不能挂等于零。

你想摘掉这个帽子，你只能在这个家里面，什么叫家里面呢？你看这个limit下面就是这个点的去心领域。好了，我们继续，我们再来看看下一个问题，那再看如果这个极限是大于a。对吧，你这个极限是大于这个数，那我怎么办呢？我就想去掉这个帽子，你只能在这个家里面就是去心领域当中大于这个数。如果这个极限是小于这个数，我就在这个去心领域当中啊，

它就是小于这个数好了，这是这个问题，能做不清楚吧？所以就说如果极限大于零，我就可以在这个加里面啊，去掉这个帽子，如果极限小于零，我就可以在这个加里面去掉这个帽子。如果极限大于这个数，就可以在去心领域当中大于这个数，小于这个极限，小于这个数呢？去心领域当中小于这个数没问题吧？然后我们再来看看，最重要的，

如果这个极限比这个极限大，你看我就可以在这个家里面进行去掉这个帽子，你只能保住这个去心领域范围内的号。那比如说我举个例子。你看我这个极限是大于零的。你能说所有人都大于零吗？你看走很远，你走很远，这个部分是小于零的，你说不清楚，你只能说这个附近是大于零。好了，这是这个点，能想清楚吧？好了，

这个事情，然后接下来我们再来看看下一个问题，如果这个极限是小于这个极限。那这个极限小于这个极限，你发现我就可以在这个家里面去掉这个帽子，所以说就在去心领域范围内，我是小于一。所以大家想想一个问题点，就说你在这里面当中想摘掉这个帽子，两个事情有没有发现这六条内容当中没有哪一条当中他说什么事情呢？没有哪一条当中，它是有等号的，你没发现吗？都没有等号。对吧，

第一个事情没有等号，第二个事情只能在你家里面，你家是什么？你家就是在这个趋向过程当中。什么叫趋向s0？就是这个点的去心领域。好了，这是这个事，我们就讲到这。那么，这是我们讲的这个第一个问题，所以你要一定要扣清楚，你看这里面当中没有等号哎，一定没有。所以说这里面当中啊，

有一类重点的考题，这种考题啊，一定要拿下来。那么像这种题目啊，也是经常会出题的，我们来看看这个人，他说比较这一个趋向下两个函数的大小。就说我想比较在这个趋向下的大小，你怎么比啊？你其实用到的方法论是什么呢？你用到的方法论。其实就是这个方法论。这就是你的方法论。所以说你用到用到了这个东西的方法论，其实就是这个人。

这就是你的方法论。你想我想比较什么？比如说这个去心领域，其实就是虚像过程当中。我想比较这个趋向下，你俩人的大小，我就比较这两个极限的大小。能理解吧，你的极限比我的极限大，在这个趋向过程当中，你就比我大，你的极限比我的极限小，你在趋向过程当中啊，你就比我小。当然，

这里面当中你比如说有s趋向什么s0正一样不一样，还有s趋向s0负一样不一样。还有I趋向无穷，大正无穷负无穷，一样不一样都是一样的，所以这里面当中它其实重点而言比较的是什么？比较的其实是这个极限的大小。所以说这里面当中，我们来看看一个事情，比如说我们来出一个题李。那么这个题啊，我们来这样进行出，比如说。在x。充分大的时候。

充分大使。有我随便出的。我们看a选项。那a选项当中，它就这样说。它说x分之一。然后再乘上sins。它是比这个什么比这个x分方分之一sin x分之一大。好，这个b选项，然后继续看s分之一sins分之一，它就比e的什么负s这个sins分之一大。c选项，然后再看，然后这里面当中出一个什么呢？

这个你叫我想想我们怎么去写，如果这个s趋向无穷大，这是四次方加上一个。x加上一，然后这是平方加上一，然后这个东西啊，比x分之一sin x大，然后d选项。然后说说这是x方加上一，这是x平方加上四，然后这个东西啊，比这个x分之一大。然后这个e选项说这个。三次方加上四，然后平方加上一比这个大，

你告诉我哪个选项对啊？那么这个题啊，我觉得最重要问题其实就是你要把握清楚这个题在考什么？那你来想想，那么它说的是什么？它说的是充分大。什么叫充分大呀？充分大其实就是s趋向于正无穷。想比较这个趋向下两个人的大小，就比较这两个人极限大小，你告诉我第一个极限是多少？那很明显，第一个事儿当x趋向这个人呢，他这个人的极限是几无穷小，乘以有界是无穷小极限是零。

然后再来看当is趋向于这个无穷大的，这个无穷大。然后去向无穷大的话，这个平方再乘上s分之一极限是几零，这两个极限是相等的，能保得住号吗？保不住。所以就说不清楚了。那同理，这是无穷小乘又界这个极限是零。当s趋向正无穷的时候e的负无穷是几e的？负无穷是。0e的负无穷是零，然后就无穷小乘有界是不是也是无穷小？那这两个极限又是相等，

又保不住。然后再看你看这个极限。那这是无穷大，然后的话比无穷大的未定式，你抓大头，你是不是可以抓它抓它呀？那这个时候的话，这是零。然后你这个极限是零，你这个极限是零，两个极限相等又保不住。然后再来看d选项d选项的话，这个人就是limits趋向于多少无穷大，然后这是三次方加上四平方加上一。那这个下面比上面大的多零，

那这个时候这个极限是零无穷小乘有界无穷小，你极限相等保不住啊。那么，只能进行去看这个人嗯，当s趋向多少无穷大的时候，你发现这是平方加上四，然后这是平方加上一。那这个时候的极限结果是多少？你抓一下平方，这是一哎，你这个极限是一，你这个极限是零，我的极限比你的极限大，在趋向过程当中，我是不是就比你大？

什么叫趋向过程当中呢？趋向正无穷的时候，其实就是什么充分的注意啊，这块是正无穷。必须写正无穷。好自己去想。好了，这个题啊，正确答案选几选d能想清楚吧，所以像这种东西的这个操作性的方式，你必须要把它把握清楚。对他说的这个问题点就是我想比较这个趋向下，你俩谁大我就比较你俩的极限。你的极限比他的极限大，我在趋向过程当中就比你大好，

这种考题啊，一定要把它拿捏下来。那么，接下来我们再来看一个题吧，来看看这个题。来做一下这个题。把这个题啊，我们来看看。那么，首先这里面当中告诉了一个事情，说存在了一个德尔塔，然后s- 0，然后这个什么呃，这里面当中的这句话是什么意思呢？我们来把它解读一下。

这句话的意思就是存在了一个德尔塔大于零，然后x和零之间的距离啊，比德尔塔小。比零大，那这个东西其实的意思就说我这个人呢？来看看这个事情。这是零吧。我和零之间的距离。比什么东西呢？哎比零大比德尔塔小，所以说这个范围其实就是什么这个范围其实就是去心领域。这个范围。我和哎零之间的距离就是比什么东西呢？比零大，那说明我和你之间的距离不能在这儿。

然后又比德尔塔小，所以说就指的是这两个范围，这个范围叫什么？这个范围叫零的附近就是零的去心领域。能想清楚吧，好了，这个人所以说这个东西啊，你一定要会进行写，其实一般情况下他是这样写的，我把这句话给你写一下，不然的话有些同学。下去的时候又有问题。其实x趋向于x0，你怎么去写呢？x趋向s0，

它的意思其实就是这个点的去心领域。好，我们来看看，就是这个点挖掉。然后它的附近，这就叫做它的去心领域。那你附近有多长呢？比如说我零点一这个米哎，也是我父亲零点零一米，也是我父亲。所以说大家注意这个东西啊，只要说我的身边有地界就行了。就说你这个长度。你只要有就行。比如说你有这个存在，

比如说你存在是零点一哎，这叫附近啊。你存在是零点零一哎，这也叫附近呀。你存在是零点零零一哎，这也叫负极呢，所以说这就叫做去心离语。所以他的意思就是说你存在那个德尔塔，我过来一个德尔塔，我回去一个德尔塔。能理解吧，好了，这个范围我怎么把这个范围用这个什么用数学语言写出来呢？就是存在的一个德尔塔大于零。我x和x0之间的距离，

我是比零大比德尔塔小。所以就这样写，所以我们作为三九六同学，我们的最重要问题是什么呢？我们如果考试当中。你要注意一个题目，当中出现这个事情，你能把它读懂。对吧，他说这句话把它读出来哦，我知道了这句话是什么意思，那就可以了。能说不清楚吧，他说这句话你知道什么意思就行，这句话就说的是零的趋形领域趋向零。

好了没？好了，掌握清楚给我回复一啊，这是第一个事情，你要知道这句话说的什么意思就行，来我们来看题。那么，这个题它考的是什么呢？说我的极限是a。然后相比较趋向于零的时候的大小，告诉我件事情其实就比较什么东西啊。就只需要比较极限的大小，你看这个人这个人的极限是谁大a，但是我们都知道，当x趋向零的时候a-x的极限呢，

后面是零，那这个人也是大a。然后接下来我们再看BB的话，当s趋向零的时候，这个a+s这个极限呢，也是大a。那这个时候你发现你的极限是大a，你的极限是大a，你前面这个人极限是大a，你这个极限也是大a，你极限就相等，保得住吗？保不住就说不清楚了。好了，这个人，

然后接下来我们再来看看这个cde好，继续来看c选项d选项，还有这个e选项。那么，这个人的话就要比较什么呢？它其实进进行去比较你的极限，你的极限，你的极限和这个人极限，这个人极限，这个人极限，而这三个人的极限是个数吧？它就是本身。你能理解吗？所以我们最重要的问题就是我要知道x趋向零的时候，绝对值的极限到底是多少？

那么，这里面当中其实又考了一个知识点，把这个知识点呢？我们要做重点的复习，考了这个内容说，如果说limit x一个趋向未必是趋向s0，也可以是趋向无穷大都行。如果你的结果是一个数。那这个时候你告诉我绝对值的极限，是不是这个数的绝对值啊？是不是没有问题？如果你的极限是a绝对值的极限，是a的绝对值，但是这件事情能不能回来呢？不能回来。

我不证明了，因为这个东西是一个基础班证明的东西。但是这里面当中有一个特殊情况，谁呢零？如果你这个人极限是零。那这个时候我们就可以说明这个绝对值的极限就是零的绝对值。那么这个情况，它是可以回去的。所以说在所有的这个特殊情况当中，只有零这个情况是最特殊的。能想清楚吧，所以我们就得到了哦，原来如此，你这个人极限是a的绝对值啊。那么，

这个a又不为零，这个绝对值什么零大于零？能理解吗？大于零。所以说这个时候我们来看看你，发现前面这个人的极限，结果是a的绝对值，这是三分之a的绝对值，你的极限肯定比你的极限大。你的极限比你的极限大，你在趋向过程当中就比它大，所以这人就不对。然后你的这个极限是a，你肯定是比二分之a的绝对值大，你的极限比你的极限大，

那就在趋向过程当中，我就比你大，所以正确答案选几。选c。所以你看这个题立即就出来了。所以像这种问题的，这个操作性呢，还是非常强的，对吧？这个理论的这个点把它拿捏住。好了没？好做吧？哎，很好做，你要是如果再进行去看看二一年那个题啊，

你就能开心死啊。那个题啊，比这种题考的简单多好了，这个问题啊，我们就讲到这。好了，这个问题啊，就说到这来继续，我们再来看看下一个问题，那么这个点呢，其实还有一个东西叫家貌保护性。哎，家貌饱和型，来看看这个人。这个人那么家冒保护型呢？

这里面当中，我们看看加帽子是怎么加的？那首先第一件事，他说的是如果我在去心，你注意不是去帽子是假帽子。我在去心邻域当中，我是大于零。哦，你在那个身边都是大于零。然后你的极限，而且还是存在你的极限是什么力？你的极限未必是大于零，那比如说举个例子，我们来看看。你来看一个例子。

比如说y=s^2这个人。那你想这个x方的这个人的曲线的话，它是这样的一个曲线。哎，你看看你这个身边。对吧，你在这个去心领域当中。那去心领域当中，你一直都是大于零啊。然后这里面当中又告诉了我，在趋向于零的时候，这个极限是不是存在的，我极限是大于零吗？我极限是等于零。你看你说错了吧。

所以说这个问题啊，它就出来了。如果在去心领域当中，我一直都是大于零我极限，而且是存在我这个极限是什么？零我极限是大于等于零。要注意哦，一定是大于等于零，你在去心离域当中一直都是大于等于零，你极限存在你的结果也是大于等于零。所以说这个知识点呢，你得把它记清楚，就害怕考这种知识点。所以说就是考这种概念的题，也没有什么难度，

就是你知道了这个知识点，你就做对了。能想清楚吧，好这个问题。我看你水平怎么样，那么接下来我们来写个例题。比如说写一个人。例那么这里面当中我写这句话，我说在x=1。去心领域内。零与零我fs一直都是大于四。而且我这个人的极限结果趋向于一的时候，我的极限。我这个极限是什么？我这个极限。

是存在的。那么这个时候告诉我，我这个极限什么零什么四？你想想这个人。什么四啊，也就是说我在去心领域当中。这个附近物一直都是大于四。而且我在趋向的过程当中，我这个极限还是什么存在的？我极限什么四？我极限是大于等于四。这就是家貌保护性。能理解吧，你加上这个帽子，你一直都是大于四哎，

你极限存在你极限这个东西啊，是什么词啊？是大于等于四。好了，我们就写这个。当然的话，这个有些题啊，他说的也比较贼，这种题就没有什么意思啊，比如说一个题说如果我在去心领域当中，我一直都是大于零。然后则这个极限是大于等于零，对不对？不对，因为这个极限有可能不存在，

所以说这里面当中啊，这有些题是真没有意思啊，它就在这个概念当中啊。疯狂的给你去去条件。对吧，就给你去条件，我把这个条件去掉了之后，你发现这个问题点它就很麻烦了。所以说就是我在这个趋向下。我这个人一直都是大于零，我这个极限也是存在我这个极限是大于等于零。好了，这个事情啊，我们就讲到这可以了吧，这是第一个问题点，

有一个去冒保护性，有一个加冒保护性，我就害怕考这种概念题啊。这种概念题你要稍微注意一下。啊，碰到它，你要完完整整把它拿下来，好这个题目我们就讲到这。那么，接下来继续吧，我们再来看看这个下面的问题，有戒心有戒心是个重点，来看看这个人。这个题目那么有界限，这个人呢？

首先第一件事情局部。哎呀，这个我有点难受。局部。有戒心啊。行吧，哎呀，这这太难受了。好局部有戒心。这个人那么接下来我们来看看这个局部有界限的东西，什么叫有界啊？比如说我这个函数。我想说你在这个范围内有些。那这个函数在这个范围内，你的图像一定能被两条线夹住。

能想清楚吧，一定是能被两条线夹住的。如果你能被两条线夹住，你就是有劲，我没有带键盘，这个今天的话，我没有在这个没有在北京，所以这个。没有拿键盘就不好敲好这个人。所以说这个东西啊。如果你有接，你能被两条线夹住。既要有上解，也得有下解。对吧，

既得有上解，也得有下解，所以说有些的话你光说有上解。这东西不一定对吧？不一定有减，你光说有下减也不一定。所以说这个问题点呢，它就不对啊，既要有上解，也要有下解，行行行。你们这个听了一次课，怎么比我还有强迫症？我感觉我就是强迫症晚期了。好了啊，

这个人。那么，接下来我们来看看这个局部有捷性。那么，首先这里面当中，我们来看看这个问题，它这样说。说如果在这个趋向下。我的极限是存在的。你想想，如果这个趋向下，它的极限是存在。你琢磨一下。如果往这跑，你的极限是a。

那就说明你身边的人是不是就非常的接近于a啊？比如说你的极限是三。你身边的人就非常的接近于咱。那你至少而言，能被二和四夹住啊。没问题吧？哎呀，这个可以了，可以可以可以了。你别纠结这个点啊。好了吧好，这是这个。所以说如果你的这个极限是三。那就说明我附近的人就接近于三，我就能被二和四加住啊，

那被二和四加住，我不就是有界吗？那肯定的，但是你告诉我。你只能说哪个范围内有奖？你只能说。这两个范围内是有界的。能听懂吧，你只能说这两个范围有界。很远处的人有借吗？哎，很远处的人，未必有劫，那不一定，你只能说去新领域，

你看这个点说不清楚。因为这个点的话，它有可能在外面。啊，所以说你要注意一下这个问题，应该是去心领域范围内，它是有界，不能说领域是去心领域。所以说这个时候啊，我们就可以推出来了。就说当什么情况当s趋向于s0的时候，就是去心领域当中，你这个人呢？你是有节的。好，

这个第一个问题。那么，然后接下来我们再来看看这个第二条，你极限存在了，你在去心领域当中就有捷，那如果你这个极限是无穷大呢？你去薪领域当中还有阶吗？这时候去薪领域当中一定是没有阶的。啊，一定没有为什么呢？因为你看如果你往这个点跑，你的极限是无穷大，你身边的这些人就接近于无穷大。那就没有界了。所以说这个人呢，

你要想清楚。极限是存在的，你在这个去心领域当中是有解你极限是无穷大，你这个趋向过程当中一定没有解。但是我想说一下，这两条内容能回来吗？都不能回。都不行，所以我们经常讲无穷大量是无界变量，但无界变量不一定是无穷大量。怎么进行去举这个例子呢？我们有两个非常经典的例子，好，我们先来看看这里面当中的例一。第一个例子其实就是这个人。

你告诉我这个人有没有接？这个人当然有节，因为这个人的函数图像，他就介于负一和一之间呐，他本来就是有节，所以说这个人他必须是有节的。因为这个人的图像的话，他这个上限的话是多少？他上限这个部分他是一。然后它的下限这个部分是多少？它下限这个部分呢？它是负一。好，这个人那所以说这个范围内它是有节，那么接下来我们来看看你，

看你零处没有定义啊。然后的话，这个哎，越靠近零上下摆动越摆动啊，来回震荡来回震荡来回震荡。出来就还好了。那所以说这个人呢，我们就来看看这个事情。那对于这个人有没有接呢？有接你看这个人是有接。但是的话，我们来发现当x进行去趋向于零的时候，你趋向于零的时候，这个人的极限呢？你这个极限是不存在的。

是正当的，不存在的，那肯定就不对呀，所以有界的未必能说明在这个趋向过程当中，它的极限是存在的。然后再来看第二事情，如果没有解，能说明这个趋向下它的极限是无穷大吗？也不行，我们再来看看第二个例子。这个经典例子吧。那这个人呢？我觉得是非常经典的。你不要说这个东西啊，你画不出来啊，

你应该会画图像吧？我们来教一下同学们这个人，那这个部分它是y，然后这是零，然后这个部分是x，那这里面当中的这个x分之一乘上sin x分之一。就跟a倍的s分之一，这是一样，这俩东西都叫振幅。那振幅是什么呢？振幅就是我这个人的巅峰值会达到多少x分之一？我低谷会达到多少？会达到负的x分之一？好这个人呢，他就叫政府。

没问题吧？那所以我们现在来看看这个人的图像，这个图像长什么样子呢？零处没有意义。越靠近零的时候摆的越快，你发现是要从负无穷摆到正无穷，负无穷摆到正无穷，负无穷摆到正无穷，来回的摆，来回的摆，哎，出来的时候都还好了。是不是这个事情出来都还好？所以现在我们来看看一个事情，你看趋向于零的时候有没有界啊？

零的附近零的附近，我这个注意啊，这两个部分不是它的图像，它的图像是这个颜色的部分。啊，他是从负无穷到正无穷，肯定是什么？你肯定没有借啊。那么你都负无穷，到正无穷，哪来的解啊？没有解，但是我们来看看。limits趋向零这个极限存在吗？不存在因为趋向零的时候在震荡，

可能说是无穷大。不是的，你到负无穷了，一会儿还在走，你到正无穷了，还在走。你要是正无穷，一直到正无穷，它是在正荡，所以说这个极限是不存在，而且是正荡的不存在。对吧，正当的不存在。所以说现在你看我在这个零的这个附近没有解，但是我在这个点处的这个极限呢，

是无穷大吗？不是的。是什么呢？是不唯一的不存在，是正当的不存在。所以像这个内容啊，你把它把握清楚就行啊。但是学到今天呢，老师进行去抠这个内容，我觉得也不是一件特别好的事儿。你的重心就是如果往这跑，对吧？这个极限是存在我在这个趋向下，我就是有节。如果这个极限是无穷大，

我这个趋向下是没有界能把握清楚吧，所以它叫局部有界性极限存在，只能说这个趋向过程当中有界还是没有界。能说不清楚吧，好了，这是第一个问题，那么接下来我们来看看下面一个重点问题，考研都考哪儿，考研都考这个问题啊？来看这个点。那么，开区间有界性的这个判定性问题。一个开区间的有界性判定。那么，开区间的这个有限性的这个判定呢？

我们怎么进行处理呢？你要知道闭区间有界一呃，这个什么闭区间连续一定有界，但是开区间连续我先问一个事情，连续什么意思啊？连续的意思就是这个图像。不断没问题吧？你的图像没有断。那如果在开区间连续，它就有界吗？这东西未必。你比如说我们来看看一个人。y这是零这是x，你就看看这个x分之一这条线。你告诉我零到一这个开区间连不连续连续啊？

没有断呐。那这个人是连续，然后接下来的话，这个人在这个开区间内就有界吗？这东西未必。啊，未必是有节，你发现这个人呢，他就没有节。为什么没有解呢？其实这半边都还好。对吧，你这半边的话，它的极限是一。那所以说至少而言的话，

这半边是往一跑的。都怪这半边这半边趋向无穷大了。所以都怪着你的端点，那么怎么样才能保证有界呢？这个东西啊，叫控制住端点就行了，也就是我们经常讲的这个扯面定理，对吧？控制住这个单端点，那你想这是a点，这是b点，如果往a点跑诶，你看我跑到a。如果往b点跑哎，你看我跑到b，

所以说这里面当中啊，就加了两只隐形的手，把它拽住了。你这半边跑到a那边跑到b，虽然我取不到a取不到b，但是我是往a跑往b跑，这就像两只手把它拽住了。中间的线又不会断，中间的线不会断，对吧？你无论怎么跑，你无论有多高多低，你都会回来的。是吧，拽住两个端点，

然后有一条面扯面甩甩起来，这个面肯定有高处。你肯定能甩到最高，你肯定能甩到最低，那你不就是有界吗？所以说这个问题啊，它就是这样。就说如果你是开区间连续，你必须要保证端点处的单侧极限存在。一定是单侧，单侧极限存在，它就有解。能想清楚吧，好了，这是这个问题啊，

你把它琢磨清楚就是，如果你是个开区间连续你这条线不断，它就是一条面一个面。对吧，一根面不断，然后你拽住端点，就是要保证端点处的这个极限是存在，就是两个人在两边拽住这个拽住这个，两边甩起来。好了，我友尽。能想清楚吧，哎，一根面他不断的，然后这两侧的极限存在，

怎么甩都行，他肯定是有钱好了，这个问题啊。完美啊呃，这是我们讲的这个第一个点，哎呀，不要别别别再谈吃的了啊。我也饿了。这个一般一般上晚上课，我基本上下午下午一般都不吃饭。因为这个每次下午吃完饭呢，这个晚上上课容点容易困啊，容易困没有没有什么状态。然后这一下课就非常的饿啊。好了，

这个点呢，我们就讲到这，所以说这个人如果是个开区间连续，必须要保证这个什么端点处的，这个极限是存在。啊，必须要保证这个事情。来继续吧，我们来看看接下来这个问题啊，然后我们来看看这里面当中啊，我们来总结一下这个基本的问题的方法啊。这个人呃，其实刚才这个人的理解也非常的简单，你可以如果换成这个数学的方式的理解也非常简单。你比如说你看。

你可以这样理解。你这不是a点吗？你这不是b点吗？你如果这里面当中保证了你趋向于a阵的极限存在。对吧，这个极限存在，我们就保证了这个去心领域当中是有界的。然后我们再来看，如果这个人趋向于b赋，你这个极限存在，你就保证什么呢？你就保证了这半边儿。它是有界的，对吧？然后剩下的这个中间这个部分是个什么区间？

这是个B区间。如果B区间连续，它一定是有界啊，这个人本来就有有界B区间连续必有界嘛。是必须间连续函数的四个性质好了，这个人能做不清楚吧，你保证这个端点，你这个极限存在诶矩阵。局部有界限，这个极限存在局部有界限，然后中间本来就有界限，好了，我们来看看下面一个重点问题。考研考基本上就考这个问题了。就是一个初等函数。

你在你的有界区间的一个求解方法。那首先这里面当中面临的这个第一个问题，我们一般见到的这些函数啊，基本上都是初等函数。但你不要犯轴哦，你一犯轴我就疯了啊，那么其实如果谈严格的定义就是有基本初等函数经过有限次的加减乘除或复合而来的函数。函数角初等函数用一个式子来表达。所以这个初等函数我们一般见到的都是。那么来看看一个初等函数，它有一条重要的性质。初等函数的性质是什么？一个初等函数，它在定义区间内都连续。在定义区间内。

内连续。也就说我在这个什么呢？在这个胡说八道，这出出你不知道的时候，你要听课，你你可不能这样对吧？你这这。今天学习了。初等函数在这个定义域内都有界，那我还学它干嘛呀？那我就不总结了，我还讲这个什么扯面定理，我扯个鬼面呢，对吧？我扯面呢啊。

我啥都不想扯啊。我在这胡扯呢。来那么接下来我们继续。一个初等函数在定义区间内都是连续的。所以说这个时候我怎么办呢？我第一件事情我先找到这个初等函数的无定义点。对吧，我找到这个人的没有定义的点，你想想一个事情。假设这个人没有定义的点是a点，没有定义的点是b点。大家想想这两个点没有定义。那如果这两个点没有定义，大家告诉我，从负无穷到a，

这是不开区间连续。a到b是不是开区间连续b到正无穷？是不是开区间连续大家能理解吧？因为一个初等函数在定义区间内都连续。所以说这个时候你看你这两个点没有定义，剩下的东西都有定义啊，你这一段有定义，连续这一段有定义，连续这一段有定义，连续。能想清楚吧，好了，这是这个问题。所以说我们就找到了连续区间，找到了连续区间呢之后怎么办呢？

如果开区间连续，然后马上使用扯面定理。来，接下来你就进行去跟我扯面就行了。扯什么面呢？你就继续去求一下这一侧极限，求求一下这个a负的极限a正的极限b负的极限b正的极限正无穷的极限，你就求一下这个极限。如果两侧极限都存在，那肯定是一个有界区间啊。能想清楚吧，好了，这就是这个问题。所以说一个初等函数，你在什么呢？

你就把这个东西给我记住，哎，我一看初等函数求有限区间吗？好，我现在进行求定域。求出这个定义区间，我就知道这个是连续区间，连续区间只要保证端点处的这个极限存在，它就有界，所以非常的简单。把这东西啊，当做成模式化套路，然后进行来处理就行，那么接下来我们来看看一个问题。来做一下这个题。

看看这个题。冲刺30题，这个题啊，我们来做一下这个人。他说这个函数。在下列哪个区间内是有界的？你在哪个区间内邮寄啊？对吧，哪个区间内有结？你告诉我它是不是初等函数？来回答我第一步干嘛？啊，第一步。先找这个函数的，无定义点没有定义的点是零，

没有定义的点是一，没有定义的点是二。那么所以你告诉我件事儿，我们就可以怎么办？拉出一条线，然后把零给挖了。把一给挖了，把二给挖了。然后我们接下来看看那负一处有没有定义，有定义连续三处有没有定义连续。所以说这个人呢？他这个人应该是负一到零。零到一。一到二，二到三是这个范围，

我想问一个事情，这个负一处还看不看？不看了，因为这个点有定义，就连续连续极限是等于函数值是存在的，所以这个部分的东西不看了。能听懂吧，这个点不看了。因为这个点是有定义的点，它本来就连续连续极限是存在的，这个点他也不看了。我们要重点看的是这个零，所以现在而言的话，我们就要进行去求这个人的极限。你先来看看我们先进行求什么，

我们先进行求一下这个零负的这个极限。好先来进行求一下这个极限。那么，首先第一个事儿，我们先来进行看limits趋向顶负。零负的话，这个部分是不是负x那如果这个部分是负x的话，那么你想想如果是负x这个东西就不要了。然后前面配个符号。然后这个时候我们就继续来看看。你下面这个人是负四，你上面这东西是s in负二，一定是未定式啊，一定是一定是的话，这人是。

四分之s in二。这是负的，存不存在？存在就行，如果你存在哎可以，所以说这个人呢，有界区间是什么是a？好了，这是我们讲的这个第一个点。然后接下来我们再来看看第二个人。我们再来看看零帧。零帧零帧的话，这个部分的话，它就是x它跟这个东西就约了，约了之后，

然后接下来我们就继续。负一和三，哪来的负一和三？是出题人给你的。啊，出题人那天说哎，我心情很好，我来了个负一。对吧，哪来的呢？从天掉上来的。那天的话，这个出题人心情非常舒服，他就来了个负一。比如说我今天我心情很爽，

我把它改成负四行不行？我把它改成3000行不行？你想要多少三万行不行？你管我给多少呢？所以你发现这个。学的还是不够深刻。啊，不够深刻。很不深刻啊，这个点。那么，接下来我们看这个东西就没有负号，它其实是四分之三e二。所以就存在。好，

这个人存在。那这个人存在的话，这步测试可以，然后接下来看一。你告诉我，其实这一侧应该看一负，这看一正那同学们告诉我这个一。对吧，一的话也不需要分，我就不分了。然后你来看看下面这个部分是零，上面这东西不是零，这是无穷大呀。好吧，那是无穷大的话，

它肯定没有接你都到无穷大了，哪来的接啊？然后我们再来看看二。如果趋向二的话，你继续看当x趋向二。趋向二的话，这个s in框立即等价无效，框约掉一个。啊，约掉一个。那这个时候马上就出来了，下面这个人是零，上面不是零，它又是无穷大哎，你看这个时候没有解没有解？

你无穷大的话，肯定没有解。因为我们根据局部有界限，我们都知道极限存在，肯定有界局限无穷大，肯定没有界，那所以说这个人他就没有界啊。一测没有解就没有解，所以正确答案选几选AR更胡扯。好了吧，这是这个问题，我们就讲到这。行吧，那么这个题啊，我们就说到这。

跟得上吗？同学们。我们就说完这个事情，那么然后接下来呃，再来看一种题，我很担心会出这种题。因为这个去年二零二三年这个出题人呢，他就有点不讲武德了。他就考了一道，这个就是去年最难的那个题。去年最难的那个题啊，考了一下这个九几年的时候，这个数一数二数三同学的一道证明题，出题的选择题贼难。很难，

难度系数很大。所以接下来我们来看一个问题，我把这两条定理啊，我给你们进行讲讲。第一条如果什么呢？如果一个导函数。它在一个有限区间。注意下这个问题，它说的是必须是有先。什么叫有限呢？什么叫优先？有限就说你这个东西的这个长度是可控的，对吧？你这个长度不是无穷大有限区间。你在一个有限区间内有接。

好，那这个时候我们就立即可以推出来这个函数。在有限区间内右键。好，这个人就说，如果导函数在这个有限区间内有截，那这个函数在这个有限区间内也是有截。好了，这是这个人。啊，这是这个，那这是一条定理，把它给我记住。你们想不想震呢？正我也可以给你正一下啊，

我稍微正一下可以吧？稍微震那么一下。那么，接下来我们来看看这个事吧，不会证也没关系啊，不会考这个证明的。啊，那么同学们琢磨一个问题。它说的是导函数在这个区间内有间。他想推出这个函数，在这个区间内有解。那你告诉我个事儿。把导函数跟原来函数进行挂钩，你会想到什么？有的人可能会想到不定积分，

你这个人是积不了的，所以说纯属胡扯。你会想到什么？我们会想到拉格朗日终止定理。那么所以说这个点呢，其实就有点超过这个东西的难度系数，你看去年那道考研真题，它也是拉格朗日数值定理。所以这里面当中啊，我们来看看这个人，我们想到这个人，我就在这里面当中取两个点。哎去，这两点。取这两个点，

你看导函数肯定是存在那闭区间，连续开区间可导。所以说这个时候我们就可以在这个区间内进行去拉下。fs-fs零。它就会等于中间有一个点可塞if撇，可塞s-s。所以说这个时候啊，我们就在这个区间当中啊，进行去拉一下。哎，中间有一个可塞点。我一拉的话，你再来看你这个时候的话，这个fs你就等于fx 0。然后再加上一个f撇可塞x-x零。

好，我们一起来看，我们先通过大白话的方式进行，给你讲清楚，然后再用严格的数学证明，再给你证明。两件事情我们都会讲到。大白话的讲解其实非常简单。你告诉我这个人有没有戒？它说的是这个导函数在这个区间内都能被两条线夹住。你这个点你肯定是能被两条线夹住，所以说这个人肯定是有界，不是我说的，是题目说的，能理解吧？

题目说导函数是有界。那么，然后接下来你看这是一个树吧。哎，这是个数，这个人有没有界呢？有没有界就看这个人的绝对值是不是小于一个数，你加上绝对值。这两个点之间的这个长度。怎么可能会超过b和a之间的长度呢？那肯定是有界。因为你们两个之间的长度不会超过这个b-a这个数，所以说你仍然被夹住，哎，你也有界有界臣有界。

是有机。有界乘有界，是有界把有界函数上下平移，是不是还是有界？你把3e上下平移，它还不是有界，所以我们就得到这个人有界。因此这个人就出来了导函数，如果有界，那么这个原来函数在有限区间内一定有界，为什么一定要有有限呢？因为你这个人的长度不能是什么，你不能到无穷大去了，所以一定要保证有限区间，这是个重点哦。

所以像这个命题啊，我们就害怕考。如果真的考了，那这里面当中你这个问题点就非常麻烦。好，这个事情如果你想做严格的证明也非常简单，那题目当中说导函数有界导函数有界，它是不是会绝对值？是不是会小于等于一个数啊？那你现在进行怎么办？你想看这个人有没有接你就看这个绝对值是不是小于等于个数，然后这个绝对值的话就等于这个人。然后再加上这个部分。能理解吧，然后再根据我们的三角不等式，

你都知道x加减y的绝对值会小于x绝对值，加上y的绝对值。好，这三角不等式，把它放缩一放缩的话，这是fs 0绝对值，然后再加上f撇儿可赛，这个人绝对值，然后是s-s零的绝对值。然后接下来你就可以继续放，你看你这是fx 0绝对值，然后这个东西小于等于一个数，这个东西小于等于b-a。是不是所以说这个时候你就会发现这是什么？这不就是个数吗？

你这个绝对值小于等于个数，你这个人不就能被两个人进行夹住吗？你不就有界吗？所以说这个问题啊，它马上就出来了。好，这是这个点，所以说这个题啊，我们就证明清楚，如果一个导函数在一个有限区间内有界，那这个函数一定会在有限区间内有界。必须是有限区间，不能是无限区间，你比如说这个区间的话，它写什么写无这个什么写到这个a到正无穷，

这就不对了。好了，这是这个点吧，我们就讲到这。跟得上吗？所以这个方向性，你要把它摆正清楚，然后另外一个事情，一个命题的逆否，命题必正确吧。那你告诉我上面这些东西的逆否命题怎么去写啊？逆否命题。那逆否命题的话，把这个人逆过来，你就要去写这个fs。

我们就去写fx。在什么在有限区间内没有井？然后这个时候我们就可以怎么办？推至这个人。啊，然后就可以说明这个导函数在这个有限区间内。没有接好这个人。所以像这个问题啊，非常好记啊。记忆方法是非常简单的。他的记忆方法的话就是你，你能想象出啊，在有限区间上课，周老师证明过是用使用拉格朗日中值定理的方式。中值定理的方式的话，

你发现只要导函数那个部分，他是有界前面这个部分呢，他一定也是有界。好了，这个问题啊，我们就讲到这。过去了，可以吗？所以像这个点呢，我就害怕会出题，要不想想不想看一道。也出过题啊，就考研这个真题当中啊，它是出过这种题。来看一段啊。

呃，就看这个题就行。好秒了吧。选几啊？这种题没有什么意思啊，是不出来了？他这个真题就考了这个事情，所以这种真题是最简单的。就这种真题的话，它的特点是什么呢？就是你知道你就会做的贼快，你不知道的话，你发现你半天都做不出来。就这个题，它就是这样。

所以接下来我们来看看。他这个人怎么？那首先直接秒选呗。对吧，你方法一的话。啊，你就可以怎么办？你就可以直接进行选。啊，直接选。那我们都知道导函数在有限区间内有界，这个函数一定在有限区间内有界。好这个人，那如果什么呢？你不知道怎么办呢？

对吧，我不知道这个结论呢，你不知道就说明没复习到位呗，还不知道。那如果就是没有复习到位，我考场当中能不能做呢？哎，我们来看看这个事情。怎么去处理啊？大家想想。臭香啊。抽象函数，那么抽象函数。我们进行去操作的时候怎么办？拉格朗日那真是疯了。

对，我们可以举例子。那么同学们，你告诉我连续好举还是有借好举啊？连续好举还是有界好举？好，你你先不要说电量了，你先听课啊。连续好取还是有借连续？连续就是连续，好句不断的都是连续，你随便画，你只要不断，它都是连续。怎么去举例子啊？

我原来有没有跟你讲过，有些同学举例子就天马行空的举，然后今天举出来，明天举不出来，后天又举出来，大后天又举不出来。举例子，我讲过这个事儿，举例子也叫做举反例。取反例。举反例干嘛呢？举反例唱反调做反的事情。哎，举反例，唱反调。

这个时候你就应该用用这个什么具有一一副天生的这个反骨，你就能做的很好。你要一定要进行去反着想，你看他怎么说？对，这个时候就要做杠精啊，我们来看。他说，如果导函数在这个连续，他一定有解，那我们就去想想。没有界对吧？我能不能出一个东西没有界的，但是导函数也连续呢，那这时我们稍微看看。

这个没有线，比如说x分之一是不是没有线？s分之一没有解，s分之一没有解，然后这个负的s方分之一，它不是连续的吗？它没有断呐。路印是不是没有接？louie没有接的话，但是is分之一呢？louie是这样子啊。你给我上去啊。诶，到这儿。他就没有接，

那这个人没有接的话，但是你看s分之一s分之一连不连续s分之一是这条线连续着呀？所以这是这个人啊，他不对。好了，这是这个第一个人，你看他不对。来再来看看第二个。继续啊，唱反调。说这个函数连续这个人有节，你就去想，没有节你看。这人没有接，但是我连续吧这人没有接，

但是我连续吧，你说这个太好举了啊，这个人。所以这是这个事情，然后我们再来看看d选项啊。d选项很多，说那c选项怎么举例子？那疯了吧？c选项是正确答案呢？哪来的例子啊？你要把一个正确答案。通过举反例把它给干掉，你不是做错了吗？好了，那么接下来我们看看d选项。

那d选项这个人，他说了一个事情，他说如果这个函数在这个区间内有阶导函数，则也有阶。那么，这里面当中我们看看。你能不能出一个导函数没有解，但是函数有解的例子啊。大家注意这个问题，我们来看看幂函数就非常棒。幂函数我来给你讲讲幂函数。幂函数。比如说零到一。你这个次方数等于零，有没有解？

右键，你这个次方数大于零，你比如说是一。这三条线有没有截？这都是有截的，它都能被两条线夹住。但是大家注意，唯独有一件事情像这种线，它是没有接的。没有问题吧？这种线是没有界的，也就说你看你这个阿尔法等于零是有界，你阿尔法大于零也是有界，你阿尔法小于零就没有界。那大家想想一个事儿，

你每当求导一下，你不就要少一个次方数吗？对吧，你求导一下就要少一个次方数。求导一下，少一个次方数。我能能不能让一个大于零的次方数，通过少一个次方数，然后变成负的呢有比如说。你就取根号x有没有接有接它一抽到变成二倍的根号x分之一就是没有接好例子。你不光取二分之一二分之三三，这个什么二分之三不行三分之二。对吧，四分之三也就说，只要你取得这个次方数是大于零小于一，

它都会非常好，所以这题啊，正确答案选d啊。这种题啊，我比较担心的是我就害怕他考了原结论。哎，我就害怕你考了原结论，你半天看不出来。就说如果考了这个原结论呢，你能把它秒选了，我觉得这是个水平。好，这种问题啊，我们就讲到这，所以我就害怕我们三九六同学，

他在这里面，当初题他又不讲武德了。我就考了这两个结论。考这两个结论的话，你发现它怎么去处理？就像我原来我上节课还讲过这个事情，是这个题。那这个题考的贼难。但是这个题如果你知道这个结论，它就非常简单。你要不知道这个结论，就算你知道这个人的函数是什么？是凸函数你也做不出来，是凹函数你也不好做。就这个题。

这个题你就证明出来，这个人的凹凸性，接下来的话你也选不对答案，这是去年最难的一个题，这这个题贼难。下去扔给这个数一数二数三同学，让这个你有些同学的话，让他做一下。你看这个题，他做的怎么样？然后你给他限制一下时间，我们规定两到三分钟内要把它做完哦。你看吧，而且就算是复习数一数二数三同学，他也做不到这个事情。

为什么？因为这种题很难进行出选择题，如果在数一数二数三同学的考纲要求的过程当中，我们的更多的重点。是把这个东西放在证明题的思想上。就是我们更多的重点，我们是希望进行去考证明题，你证明出来这个结论就行了。我没有说你这个东西，你会怎么去用这个人怎么怎么样？好，这是这个事儿。就跟这个，我原来也跟你讲过这个事情，比如说我给你看看。

比如说你看看这种题。这个题印象深刻吧。应该是印象深刻的，就这个题。呃，算了，直接看吧，就这个题。对吧，阿达玛不等式。但是如果按照数一数二数三同学的思维方式，最多而言的话，最重要问题是把它证明了，当然这个几何意义也是需要理解的。但是很多同学可能看这个部分的时候，

他更多的方向是放在这个证明上了。行吧，稍等一下，不敢讲了啊，一会儿没有电了，等我一下啊。好，这是这个。所以说你能理解这个事情吗？你说这个考的这个方向性是什么啊？这个点。行吧，我们就继续回来。行吧，那么这个今天的这个问题啊，

我们就说到这啊，把这个问题啊，你好好想想行吧，我们稍微休息会吧，一会我们再来继续来再来看看这个。题型六，这个部分内容好不好？同学们行吧，我们稍微休息会儿，一会儿继续啊。好，休息会儿吧。好，一会儿继续啊。

		自动登录	找回密码
密码			立即注册