02.冲刺串讲2-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 16:58:22

那我们继续吧，我们再来看看这个后面的问题啊，那么在刚才过程当中，我们其实讲了一些七种微粒式的极限计算。那么，其实像这种问题啊啊，你把这些核心重点的内容把它吃透，每种方法的东西会用，我觉得问题点不大，那基本上就会出一个题，那这种题啊。大概率事件吧，那报到了这个今年去年其实考的是这个人。对吧，今年的话，

这个大概率事件仍然是这个人一的无穷大或者是零比零，你这还有一个人的话，要不然就是无穷大减无穷大。这三个人的出题几率啊，是最高的，一定要把它拿下来好了，我们继续吧，我们再来看看这个下一个问题，那除了这种考点之外，还有一个考点。其实就是左右开工法求极限问题，那这个内容是什么呢？他这样说的，就说如果这个limits趋向这个点。你的极限是a。

那你的充要条件是什么呀？你趋向于这个点的极限，是a你的充要条件，当然是趋向于这个点的右极限。还有趋向于这个点处的左极限。然后这个部分呢，它们都等于。就左右极限都存在，都等于。然后接下来我们再看第二事情，就是如果x趋向无穷大，你的极限是a，那这个人的充要条件呢？那这里面当中包括两个人。一个人是正无穷，

一个人是负无穷。那这俩人他的极限呢？都得谁？好，这种情况。所以说你要想清楚。但是不是说每个题啊，它都需要进行去分成左右极限的。那这个东西的重点是你什么时候需要分成左右极限？对吧，我什么时候需要把这个左右极限分开来算？所以这里面当中，你就必须要掌握清楚一个事情有哪些常见的情况，是我需要分成左右极限的呢？并不是说每个题都需要分好了，

那么接下来我们来看看这个人，我们把这个东西啊掌握清楚。需要分成左右极啊，这个什么分左右极限的常见情况？好，这个人其实我们在这个考研真题当中，我们需要重点掌握的其实只有四个人啊，把这四个人呢拿捏下来就行。第一个人e的头顶往无穷大跑行好，这第一种，然后第二人就是阿尔克探正体，后面往无穷大跑行。好，这第二人。把这两个东西啊，

你要重点把它看看，因为这两个东西其实考的比较多，那么这里面当中稍微复习一下吧e的s的图形走向情况。哎，把这个图像看看。看一下这个图像，那这个图像是这样。你发现往正无穷跑的时候，它是正无穷往负无穷跑的时候，它是负无穷。但是你一定要听清楚一个事。不是说长成一亿的什么就要分是一亿的头顶，必须是无穷大才要分。对吧e的正无穷是正无穷e的负无穷是零那比如说我们举个简单例子，你发现如果s是趋向零。

然后有e的s分之一分不分。你看这个人，那这个人就要分，为什么呢？因为e的头顶是无穷大，它就要分，所以说这个时候分成什么情况呢？我们看看。如果这人趋向林真。临阵的话，这个人就是正无穷一的，正无穷就是正无穷。如果s是趋向零负，你正是负穷e的负穷是零。所以这个情况他就需要分。

但是有一种情况，你比如思考一下，如果这是s趋向无穷大，这个人分还是不分呢？分不分？如果我这个人是趋向无穷大。我有意这个人，我还要分吗？啊，就不分了，为什么呢？因为这个头顶是0e的，零是一，你无论是左右它都是一，你这个人就不用分了。

因为它的左右极限是不一样，我才需要分。好，这是第一个人，然后再来看看这个arctangent题。那这个人的图像，你也要把它给我记清楚。好，我们来看看这个人图像，阿尔克t an ENT。那真人图像长什么样子呢？它有两条渐近线。它的上渐近线，还有它的下近线啊，有两条近近线，

那这两条近近线的话，你看这个人。它图像是这样。就正无穷往二分之派，然后负无穷呢，往负二分之派跑。啊，就是这个上下的话，这个间接线这二分之派，这负的二分之派。所以说这个时候如果它的后面是无穷大，我就需要分。那比如说我们来看看，说s是趋向多少呢？比如说趋向无穷大有阿尔克碳正体分布法。

他当然分。因为你的后面就是往无穷大跑，如果往正无穷呢，你这个人其实是往二分之派跑。如果这个人是往负无穷跑，你这个阿克坦正奇这个人呐，你是往负二分之派跑。所以说这个东西啊，它就需要分一定是阿尔克坦镇的后面往无穷大跑才需要分，然后第三种情况。其实就是绝对值。绝对值，但是是绝对值，所有人都要分吗？不是的。

绝对值你都知道。它里面是正的，我这个东西就是本身，如果里面是负的，我就会等于相反数。所以说这个里面它一定是。大于零和小于零的分界线。先是，大于零和小于零分界线，往往这个东西得往零跑。你比如说举个例子，说如果是s趋向零有绝对值分不分？哎，这个东西要分。如果这个东西是趋向于多少呢？

零帧我这人就大于零。我这人大于零呢，绝对值等于本身。如果这个东西是趋向零负，你这个人就小于零小于零的话，绝对值等于相反数。你看这两个表达式。这两个东西的表达式就不一样。你表达式不一样，我当然要分呐，如果你表达式是一样的，我就不需要分了。好了，这是我们讲的这个第三个点有绝对值，而且绝对值里面呢，

它是需要分正负的。好，这种情况要分，所以通常情况下是屈向林，他会分政府。好了，这是我们讲的第三种，还有最后一种就是分段函数。哎，分段函数。那一个分段函数，你在分段点两侧极限不一样叫分。你比如说举个例子，我们来看一个人。你这是fs，

你这是gs。然后这是s大于s0，你这是s小于等于s0。大家想想，你把这个东西啊，我拉条线来看看。你比如说我们这个分段函数要在这个点处求极限，你大于的时候，你是对这个人求你小于的时候是对这个人求。你发现大于和小于求极限的对象一样，还是不一样不一样，当然要分。所以说是分段函数，在分段点左右两侧的函数表达式不一样，在分那如果左右两侧的表达式是一样，

要分吗？不要分我举个例子，比如说这个人。你看这个人，我在邻处求极限要分吗？要不要？不要。如果你去求零处极限，你左半边是s方乘上sins分之一，你右边还是s方乘sins分之一，你这就是同一个人就不用分了。所以通常需要进行区分的，往往会分成以下四种情况，那个取诊呢？其实我们考的非常少。

如果在考研当中，我们的抓住重点其实就这四个人。一个人是亿的，头顶是无穷大，一个是阿尔克坦镇的，后面往无穷大，一种是绝对值，里面往零跑。一种是我们这个分段函数在分段点两侧极限不一样，我们需要分能掌握清楚吧？好了，这四种情况你得记到脑子里面啊。一定要把它记清楚。那么，接下来我们继续，

我们来看看这个问题。看几个点吧，先看这个题。你们选几啊？这个题选几啊？提前应该做了吧？选几啊？哎，非常好，非常好。可以可以可以。那我们来看看吧，那这里面当中就是趋向临阵。趋向零负趋向零正趋向零负。那趋向临阵的时候。

你x分之一就趋向于正无穷了。那e的这个x分之一，它不就趋向多少？那e的正无穷，就是正无穷。那e的负I四分之一呢？那这是正无穷，添个负号就负穷e的负穷是零呐。然后你再来看，如果趋向零负。你x分之一就趋向负无穷。那e的负无穷就趋向多少趋向零了e的负的s分之一呢？就是e的正无穷e的正无穷趋向多少e的正无穷？就是正无穷。你看这个人。

所以接下来我们来定一下型，你看第一个人趋向于廉政。那趋向零阵的话，这个e的s分之一是正无穷，你想想。无穷大加，一是无穷大。无穷大分之一，这是已定式还是未定式啊？当然是一个已定式。一定是那既然是一定是的话，这个极限结果就是零啊，那所以说这个人呢，他是对的。然后再来看看第三个人啊，

第三个第三个的话，上面这个东西是无穷大。然后再看这个人，那这个人是无穷大。然后这个东西是谁呢？这个东西是零，所以说这是无穷大，我可以怎么办？我可以抓大头。那这东西抓呢？你这个东西是无穷大，这趋向零抓没了，那不就是一吗？所以也对着。好这个人，

然后再来看看趋向零负，那趋向零负的话e的x分之一是趋向零啊，这是趋向零。上面是一，下面是一，一定是未定式，一定是。那七种未定式的话，我们需要进行处理，如果除了那七种啊，基本上都是已定式，已定式我们就代入了，那就是一样对着呢。你再来看最后一个人，如果趋向零负，

那趋向零负的话，这个人是零，这个零，这是无穷大。所以说最后而言的话，零减无穷，大是无穷，大这是零，那这个极限是已定式还是未定式啊？那当然是已定式啊。那这个东西其实就是零乘无穷，大五分之一，那其实就是零乘零，那当然是零呐，对着呢。

好，这个结果。所以说，正确答案选几啊？正确答案选d。那这里面当中的四个人呢，都是正确的好，这个基本问题下去好好想想21题。再来看看下面一个题吧，22题。看一下这个人。好，继续吧，再看这个题。呃，

这个部分应该是个x分之一。当然的话，我们不能改题，对吧啊？我们就不改了，你先不改吧，我们。这个不能老是这样，我们先看这个题。你看看你们做出来是多少，你就比如说这个题目就是这样，我们看这个题是多少来做一下吧。那么，首先第一件事，我们先来请。

那当s趋向零的时候。那这个时候的话，他是趋向无穷大。那这个趋向无穷大，它就需要分呐。他肯定要分。然后是趋向零的时候，有绝对值，肯定要分。所以说这时候就要分成临阵。还有这里面当中当s趋向零负。然后这个第一个人的话是a倍的arctangent x分之一，然后继续，然后这个是零正的话，绝对值等于本身。

这个s好看，这个人，然后去向零负的话，我们继续，这是a倍的。arctangent x分之一，然后这个时候呢，因为趋向零负绝对值，就会等于相反数。因为x趋向零负x会小于零，绝对值肯定等于相反数，所以说这是一减x的x次方。好，我们来坐下。那么先看看这个第一个极限吧，

第一个极限等于多少？你先观察这个人。那这里面当中，你就稍微进行去分析一下。因为这个x是趋向于零正，那这是正无穷。那这是正无穷arctan的正无穷，这是二分之派啊，所以这是二分之派a。然后再来看这个人，你去定一下型。那这是一的零次方一的零次方是已定式还是未定式啊？当然是已定式。那既然是已定式的话，这个人就是一样。

所以说这两个极限都存在，就是二分之派a+1。好，再来看看第二个人。当s趋向零负零负分之一是负无穷。那阿尔泰林的复数是负二分之派。那负二分之派的话，这个人就是负的二分之派a。来再看这个人，那这个部分趋向一，这是零一定是，所以这也是一，因此这个结果等于负的二分之派a+1。没问题吧？那这个结果最后等于多少呢？

就要让这两个东西相等二分之派a等于负的二分之派a那a等于几零？行吧，这是这个题，如果这个题啊，你就按着这个东西做，你就是这个结果。能想清楚吧好，这是这个题，那其实这个题啊，确实有点敲的有问题哦。这里面当中啊，缺了一个分之一啊，这个东西是这样。好，我们再改一下。

改成这个题啊，我们再来做做。好，先来看第一个事儿。那首先还是要分成左右极限。先看右极限，右极限是a倍的arc tangents分之一，然后再加上这里面当中是零正的话，这就是s。x分之一次方。然后再来看第二个事情，那其实就是limits趋向零负零负的话，这是a阿尔克tan四分之一。然后接下来我们继续。因为趋向零负绝对值，

这个人等于相反数一减s的四分之一。可以了吧？好，我们来做一下这个题，你先来看看这里面当中的第一个人。那第一个人的话，我们刚才其实已经分析了。你趋向于零正零正分之一是正无穷。那阿尔丹正无穷呢，那这里是二分之派，所以说这个部分的极限呢，是二分之派a，这是负的二分之派a。没有问题，我们现在专注点做第二零几件。

那其实这个极限存在已经可以拆了，你专注点做第二极限，那第二个极限呢？其实有些同学记住过重重要极限。那这个东西就是重要机器。好，这个人如果你不记也行，那这就是一的无穷大答案，等于e的极限符号照抄。头顶照写敌减一就是e的一次方。然后再来看第二个人当s趋向零的话，这是一减s的s分之一。当s趋向零的话，这是一一的无穷大答案，等于e的极限符号照抄头顶照写d- 1，

这是负s。e的负一次方。那所以这是e，然后这是e的负一次方，那这个极限是二分之派a+1，然后这是多少？负的二分之派a+e的负一次方。好，这个结果，然后接下来呢，这两人得相等。你相等的话，这里就是二分之派a+1等于负的二分之派a，然后加上e的负一次方。那所以说这个人其实就是派a=e的负一次方减一。

然后a就等于多少派分之e的负一次方加一。好，这个题啊，立即结束。所以像这种考题的这个操作就是你最重要问题，就是你碰到一个题，你怎么知道这个题要分？这是很重要的，这个信息点在何处？你看这个题绝对值里面往零跑。然后这个arctan的后面往什么东西呢？往这个无穷大跑，我们就需要分好这个人出来了。好了，这是我们讲的这个22题。

不难吧。所以其实。这块内容是很多同学非常喜欢学的。所有学这个微积分啦，线性代数啦，还有包括我们这个学习的概率论呐，所有板块内容当中。你像这个极限的计算问题啊，是很多同学非常喜欢的点啊。这个内容行吧，那么这个问题点我们就讲到这。过去了，可以吗？来继续，我们再来看看下一个问题点叫做已知极限，

求解其中待定参数的问题。那这个内容也是个高频重点。非常高频的重点。就是我们在考研的时候是非常非常喜欢考这个内容，已知几千，求解其中的待定参数的问题。那么，这个待定参数啊，我们这里面当中有一些重要结论，把这个一般性结论呢，我们稍微进行去看看。那么，接下来我们一起来看看这个一般性结论。其实这里面当中很喜欢考的是这个内容。笔直极限是最喜欢考的。

如果这两个东西比值极限是存在。这种情况是最喜欢考的。喜欢考笔直接见。比值极限考察的话，这个第一个问题。他喜欢说，如果你这个分母的极限是零呢？你看这个极限。如果这个极限是零，你告诉我上面极限呢？你上面极限，如果不为零，你咔嚓一除就是无穷大，你想你下面是零，上面不是零。

你咔的一除就是无穷大，不可能存在的，所以上面这个人的极限也一定是零。好，这是第一条。然后第二条我们继续看。如果你这个下面这个什么，如果上面的极限是零呢？上面是零，你上面是零，这个东西得除。所以还得保证这个结果的不为零。那这个时候其实我们就得到了分母的极限，其实就是零，那这条内容是我们非常喜欢用的。

我们经常在考题的时候啊，用到这个结论。什么结论呢？就是比值极限是存在的，你下面是零，你上面的极限是零。你上面极限是零，你结果不为零，你下面的极限是零，所以这个结论我们考试的时候非常喜欢用，只要见到比值极限的时候。通常会用到这个性质。喜欢用，但是啊，你发现。

今天其实都不用卖什么官司了。因为这个内容我们其实在基础班。强化班，我们今天讲的非常多。这个内容，这就叫毛毛雨，对吧？像这个问题啊，我们究竟应该怎么去处理呢？我们有大招性的总结。只要你见到已知极限球其中的待定参数的题。像这种问题，我们总结过。如何进行破题啊？那么，

其实已知极限，求解其中待定参数的问题啊，它的本质是什么？本质还是求极限问题？还记得吗？它其实还是一个求极限问题，只要是求极限，我们永远都怎么办？我们要先定性。先定型。所以像这种问题，它还是个求极限问题，所以你处理的时候你就要先定型，先定型，后定法。

那定型的时候呢，我们说如果是未定式极限。就按照未定式来做。处理如果什么呢？如果不是未定式机械。未定式，它一定是未定式。未定式机器。所以说像这样其实就是我们的这个操作啊，有些同学可能第一次听到。啊，其实有些同学我们一直以来跟着我们课程走，同学的话，这个点呢，我们已经讲了好多遍了。

那这个内容其实就是这样，我换成红色。就是如果是一个已知极限，求解其中待定参数的题，它的本质还是什么本质？其实就是求极限问题。那如果这东西是未定式，那就按照未定式来做呗。如果这东西不是未定式，不可能它绝对是未定式。什么意思呢？尤其是这句话。等会加上我们喜欢的绿色。那为什么是这样呢？那将来我们去做，

比如说我一做题a，下面是零。上面等于一减a，你放心，你这个东西绝对是零。那比如说我们一做a，这是无穷大，这是一减a，你放心，这绝对是一。所以这里面当中，他肯定喜欢考七种未定式的极限。他肯定喜欢考这个人，所以像这个问题啊，这个七种未定式啊，

你得把它记清楚，到了这个今天呐，有些同学这个七种未定式，你还记不住，这不太好。来我们一起看零比零无穷比无穷零乘无穷大无穷大减无穷大一的无穷大无穷大的零零的零。你比如说我们再做一个题啊，有的经常会问这个，比如说人家一般书籍当中呀，这个部分是无穷大。人家就说前面的极限是零，通常会写两个字，显然那个人的极限是零，有人说哎，老师，

这个东西怎么就显然了？那本来就显然，人家又没有骗你，人家就是显然的让我们自己做，我们也会显然。所以像这种题啊，我们来看看。呃，这里面当中，我们先找一个题来看看吧。我们先来做一下这个题。啊，看看这个题。这个题啊，翻到我们那个讲义的第二篇啊，

这个讲义。讲义的定义。133页。翻到后面133页。啊，放到后面。133页。好，这个题呃，这个题啊。其实出的很有我们考题的风格。但是我们来拼一下。就这个题的话，你发现在这个二一二二年的话，这个二一年的考题。

他家又出过这个题。你看看嗯。这是。二二年的题。你看后面他又出过这种题。二年，所以后面的时候又出过这个题，但是我们来品一下就是什么叫做大纲之前什么叫大纲之后呢？你品一下这个人，所以我给你筛的题啊，都还算比较好的一些题，有些太菜的题我全给你筛掉了。你比如说有些题的话，那个。你像这个好多这种题，

我就没有要了，比如is趋向零呢？这种题像这种题，我们就没有了。这种题你想做的话，你就自己去做就行了，我们来品一下什么叫做同一个题，二一年之前和二一年之后，它都是什么感觉？你比如说这个题。那这个题叫什么叫做已知极限，求解其中的待定参数。那像这种问题的做题啊，已知极限，求解其中的待定参数的本质还是求极限，

我们要先定型。我一定下面是零，我再来定，那这是一，然后这个部分呢，其实就是减a+b。那根据一个情况是未定式就按未定式做，不是未定式一定是未定式，所以说这里面当中它是a-b这个人呐，他就等于一。所以，正确答案选。几a？你看这种题。好，

这就是二一年之前的考题。水吧相当的水。水都不像样了，那像这种题，它究竟应该怎么去出？他应该这样处。他都害怕考的难。那个时候的一些同学承受不住。那么，接下来我们怎么办呢？这个题其实可以考它，具体等于多少？啊，他是可以出的，但是他害怕有些同学接不住。

他都不忍心。所以接下来我们来看看这个问题。你看这个点。其实这个题啊，它可以进行去考，它具体等于多少，那可以往下考它一下就出来了。然后我们再说。那首先第一项你再定型，你一定型的话，这是零，然后这是一减a加上b，它等于零。所以说这个第一项是a-b=1，这是第一项。

那这个n等于第一加了之后的话，这是x趋向于负一，然后这是x+1，然后这是x方加上ax+b。大家琢磨一下这个题，现在是零比零了吧？我怎么做？我可以落笔答一下呀，我当s趋向负一的话，这一落这个人没了。然后这一落呢，只是2 s+a是吧？这个结果等于八，那这个结果等于八的话，其实负二+a=8。

所以a就等于几等于十，你看这个人，所以这个b就等于多少等于九能出吧。不就考成这样吗？所以稍微进行去一改二一年就出了一个这样的题，你看这个题。一个感觉吧。s+1，然后的话，这个部分你看下面也是s+1。他是套路都一样，你看他书都一样。就是在这里面呢，前面来来了一个几呢，来了个三，

你说这两个东西一样不一样。基本上是一样的。就以前出题的话，他就是他稍微考难一点都害怕，有些同学接不住，所以说他在这个。他就把这个东西。调的特别特别的简单，就是二一年之前的真题。啊，就这个问题。但是你去进行去看看，现在呢？现在他下手倒比较狠了啊。好，

这是这个题，我们就讲到这，所以像这个考点的部分内容，你下去好好进行消化一下。不是说这个二一年之前的一些真题啊，你确实的话都没有什么用，我们筛下来这些题啊，你还是好好进行做，做好了这个题啊，我们就说到这。那么，接下来我们来看看这个前面的这个冲刺23题，这个题继续吧。来看这个题。那这个题首先第一件事拿到一个已知极限，

求解其中待定参数的题，它的本质还是求极限。本质还是球心线先定型趋向零的时候，这是零，所以说这是一。然后这个三一零是零零分之一是无穷大一的无穷大未定式。e的无穷大未定式答案等于多少呢？e的这个极限符号照抄，然后这个头顶部分它是照写。你再来底部分进行减一一，加上碳整体一减去碳整体，我减个一。然后这个结果等于几呢？等于一的一次方。你既然是这个人，

我们就按照一的无穷大未定式处理呗，那这个头顶是多少sinks？然后这是一+tangent t上面减下面的，上面减下面是负二倍的tangent t，它等于一。好，这个结果那这个结果继续来做呢，你看上面上面这人等价无效负2s，这个人等价无效ks能看懂吗？在趋向里嘛，三个框等价物角框。然后这里面当中的这个部分是什么呢？你再看趋向零的时候，它是一非零乘除法，非零因子可以淡化呀。

所以说这个结果就等于k分之负二，等于k等于几啊k等于负二，所以正确答案选几选a啊。好了，这是这个题，如果它就是未定式，你就按未定式来做，如果它不是未定式，它一定是未定式。好，这个第一个点能出来吧？你再来看看这个第二题，第二题熟悉吧。第二题不就是我们前两天的话，这个模考的一道题吗？

原模原样的题来操作一下这个题。那这个题我们继续进行当x趋向零的时候，这是零这是零这是一零分之一是无穷大。那既然是e的无穷大，我们是未定式就按未定式来做走e的极限符号，照抄头顶部分照写。然后这是d- 1a被x方加上BS减个一，然后这个人等于一一就是e的零次方。好，这个人那所以说这个极限其实就变成了x趋向零，这是平方e的s+ax^2加上bx+1等于几啊？啊，这个减个一减个一就等于零。好了，这是这个情况。

那么，接下来这个题怎么做呢？我们如何处理啊？方法太多了。先来看看方法一吧。怎么做方法？一就是用洛必达法则来做。对吧，我们就使用洛必达。因为这个题下面是零。这是一零零一，那就是零，所以说这个人我们就落下了。当s趋向零的话，一落这是2s，

然后这是一的s，加上2 as+b。好，这人等于零。那么，继续看当s趋向零的时候，下面是零。对吧，这个下面是零。那么这个零的话，你看下面是零上面呢？上面是一+b，那上面肯定是零，所以说这个b就是负一，你看非常简单。

然后接下来继续，我们再来一次，这个题就结束了，当x圈完，这是二上面求导是e的s，然后这是2a。那这个极限结果不是零嘛，所以我们一推的话是二分之一加二a等于零a等于多少负二分之一？所以这个题啊，洛必达法则是非常非常简单的。那a等于负二分之一，然后b等于负一，对吧？这是负二分之一，负一正确答案选b这个题。

那这是这个点，那么接下来我们继续，我们看看那这个题还有没有方法呢？我们还有。像这个题的话，如果有些同学说诶。这个题目当中，既然的话。我们看方法二。你只要不这样做。我觉得我都忍了。有没有同学把1s和一进行等价的？你一等家，我当场就疯了。这不能等价。

因为这个时候你看你这里面当中是指加减法，而且AB的系数都不知道，你绝对不能等价。你绝对不能等价，你不等价我都都好说。还有第二件事情。你只要不把这个人算成了一。很多人说哎e的零不是一吗？一减一没了呀。你这样做题，我更疯了。所以这两种情况你不这样操作，剩下咱们都好说，你说你是使用洛必达，你说你是使用泰勒，

你说你是使用这个什么把它这个东西拆开。无所谓。只要你不是这两种做法，我觉得都可以。那么来说一下，为什么不能把这个东西先算呢？只有非零因子可以先算。这个人虽然非零，但不是因子，不能把它先算出来，注意这两种问题，那么接下来还有没有方法呢？其实，作为三九六同学。你如果泰勒公式能用，

你用也行，但是一般我们都放到后面用，一会我们再来进行去讲这个。讲这个泰勒公式吧，我们再来看第二种，第二种啊，就是用眼神进行漂。你发现下面是平方，上面是平方，我眼睛一漂，你都知道这一项极限怎么存在？那这项极限存在加减法中。只要见到存在就拆开，所以1e的x减加上这个BS，然后减去一，

这是加号吧？啊，是加号。好，这个人比上它，然后再加上的话，这个人的极限是a=0。所以说这个结果等于多少呢？这个结果等于负a。好，这个人那这个东西立即做成这样。那做成这样了之后，然后进行再看呢？你看这是个二阶，你比上一个二阶居然是个数，

说明上下是同阶。那我们都知道，在趋向于零的时候e的x要想是二减，肯定是减一减去x，刚好是二减。所以说这个时候我一猜我就知道你这个东西肯定是负一。你这个东西是负一的话，这人就等价无穷，二分之x方那a这个人其实等于负二分之一问题就出来了。这样做其实是速度最快的一个点。因为下面是二阶，不用想上面是二阶1 x- 1减多少x的话是二阶呢？就是减一个x。好，这个点那这个方法其实是最快的。

就是你看你的眼神，你漂，只要你能漂的准，那这个题做的肯定是最快。那这里面当中，我们继续，我们再来看。那除了这个方法之外，有人说我想进行去使用泰勒，我也讲讲吧。啊，我们再来看看第三种问题。我们使用泰勒。展开好这个地方。但是我们三九六同学，

如果他的公式用的不是特别熟，你也能处理你们的考题。所以不用担心这个事情，那么像这个题啊e的s既然不能进行去等价泰勒公式就是首选。不能等价。泰勒公式首选，我们就来进行展一加上s，然后加上二分之x方，根据上下同阶原则，我就展到二阶。好，这个人a被s方加上bs- 1比上它。然后这个时候的话就变成了x趋向零。然后这个时候一就约掉了，然后剩下的话是一加b倍的s，

然后这是二分之一，加上a倍的s方，你再加上一个平方的高阶无穷小。好，这个是它等于零。那么，像这种结构，它是非常好做的。你想想一个事，这是一阶二阶比二阶高。你既然下面是二阶。你比一个二阶是零，你说明上面这个东西是什么？是二阶的高阶无穷小。你能理解吗？

因为你下面这东西是个二阶。说明上面这东西肯定是个二阶的，高阶无穷，因为你知彼是邻嘛。你要比上我等于一个数呢，你上面是个二阶的，同阶无穷小。所以这个时候的这一项肯定是零。比我低阶肯定是零，不然的话，一阶加二阶，加上二阶高阶等价到一阶了。然后另外一件事，我加上我的高阶肯定等价这个人，那这样东西之比是零，

那说明什么？说明这个结果肯定也是零嘛。那说明a这个人等于负二分之一b就等于负一，能听得懂吗？所以像这个人呐，比我低一阶的人肯定是零。跟我同阶的这个东西一比，它肯定是这个结果，那所以说这个系数也是零。好了，这个点我们就讲到这。跟得上吗？所以学清楚就行。24题。那么这个题目我们讲的方法也比较多一点，

你下去好好静心想想啊，这个内容。其实吧，这个题最快的方法是方法二。方法二就看你的眼神好不好？其实作为我们一直的话，从这个基础班你复习到现在呀，我觉得看这种题你这这砍瓜切菜一样啊，这非常简单的题。好了，这个点我们就讲到这，再来看看这个题吧，25题继续。你再来看这个人。那这个题啊，

我们继续这叫已知极限，求解其中的待定参数。已知极限，求解其中的待定参数的题，我们怎么办呢？哦，明天没有模考？呃，国庆国庆期间的话，我们就不安排了，国庆之后再安排。一般的话，如果模考的话，我会提前两三天的话，会给你们通知的，

好不好？好，我们继续，我们看这个题。那已知极限，求解其中待定参数的题啊，本质上还是求极限，所以说我们要先定型。来定一下，一定的话，你发现这个部分的话是无穷大。然后e的零是几呢？e的零是一无穷大乘，一是无穷大。然后e的零这个人是一。

所以说作为高手。和一个一般水平点的同学，差距就在这。差距就在这，有没有把这个东西给我抛出去？这就是高手和低手之间的一个非常大的一个区别。所以有些同学可能拿到这个题就直接通了，你发现做的非常麻烦。所以我们一定要注意，已知极限，求解其中待定参数的题，它的本质上是什么本质？还是求极限的题？我们要先定型那加减法当中，见到这个存在，

立即把它抛出去结束了。is分之一减去is分之一这个人那这个极限是a它是一。所以说这个人呢，就变成了s趋向于s分之一减一的s，那这人等于多少等于一，加上这个a。那一加上这个诶，这是加号是吧啊？加号加号的话，这是一减一。然后接下来我们继续，我们再看上面这些东西等价无效负s，所以说这个部分是负一一减a。那因此这个a就等于多少a就等于二？所以本题就结束了答案选c。

那这是我们在这块的考题，就是如果你在操作的过程当中，你能把这一步给我抛出去。这是这个题当中的点睛之笔，这是非常妙的一步啊。其实也不妙不行。所以已知极限，求解其中待定参数的题，本质还是求极限，只要是求极限。先定型。那定型的过程当中，你进行去看看他的一些情况。好了，这个题啊，

我们就讲到这来继续吧，我们再看26题。你看这个题。那这个题啊，跟刚才这个题啊。其实你发现风格是一样的。我们再来看那这个题还是叫做已知极限，求解其中待定参数的题。已知极限，求解其中待定参数的题，本质还是求极限，求极限就先定型as倍的它。必备的它，然后减去s好，我们继续定型，

你要注意这个x是趋向无穷大。无穷大分之一是零，所以有些同学一看又倒带换了，你还是没有定型。所以你要你要注意，你在这个做题当中的一些操作，你要培养这种，为什么你做的慢，你有的时候两三分钟三四分钟才做完？你要直接倒带换的话，然后进行处理，有的人说太麻烦，你先漂，然后这个部分是0e的，零是几e的，

零是一。所以说这个人的极限这块就是b。你再看这个人，这是无穷大乘一呢，这是无穷大，这是无穷大。所以这个人呢，把这个抛出去是这个题当中的点睛之笔，因此这里面我们就是s趋向正无穷。你就把这个as倍的e的s分之一减去s抛出去，抛出去之后，这个人是b他等于二。所以说这个极限呢，它就等于二减b。好，

这个人。这个情况你错到这儿，这个题就基本上结束了。你想怎么做就怎么做，你可以怎么办？那这个时候是无穷大减，无穷大能，通分就通分，通不了分就倒带宽。零s等于t分之一，那因此的话，这人就是t趋向零帧，然后这是a倍的t分之一e的t。减去一个t分之一好了，这是这个人。

然后这个情况的话，继续做limit t趋向零帧，然后这是t倍的a倍的e的t- 1。好它等于多少等于二减b。那继续定型啊。那继续定型的话，下面极限是几零，上面的话e的零是1 a- 1，你放心，这就是零，所以说a是一。那a如果这个人是一一的t减一就等价无穷小t，所以二减b这就是一b等几b是一。所以这题就出来了。你看这个题非常简单，

就是如果是一道已知极限，求解其中待定参数的题，你就要定型。你一定要去定，你定义完了之后，它是什么就是什么。对吧，你是无穷大减无穷大，我就按无穷大减无穷大来做，你是什么就是什么，如果你不是未定式呢，你还是未定式。好了，这是一种方法。当然，

这个题除了这种操作之外啊，我们还有没有别的方式呢？我觉得还是有我们继续看。当然，这种题目的这个操作性的方法就比较多了。哎，方法二无穷，大减无穷，大未定式，你除了什么东西呢？你除了这个倒代换之外，你是不是还可以提出后者呀？呃，提出最大项。你最大的部分是不x，

所以说这是e的x分之一，乘上a那是a倍的e的x分之一。再减去个x，它等于这个人。那继续定吧，一定的话，你前面的极限是无穷大，那这个极限呢？一的零是一，那就是a减去多少？诶，这是这是一哦。一所以说这个时候我们继续来进行定义，一定的话，你看这是零一的零是一一的零是一的话，

你把这东西一定的话，这就是a- 1。那同学们想想。你这个东西是无穷大乘上它，那我们都知道你不是未定式，你肯定是未未定式无穷大乘上谁的未定式，只能是乘上零。所以说这个时候a样一定是一。如果这个a是一的话，你看下面一步当x趋向无穷，大正无穷，然后这时候的话是e的x分之一减减一。那这个时候就变成了is趋向正无穷，这是se的框减，一是框，

这是一=2-b，所以说这个b是多少？必就是一样。因此，这个AB都是一所以做到这一步，你想怎么做怎么做，你像无穷大减无穷大不一定是。你说能通分通分通不了，分倒带换提毛法都是一样的，所以这个操作不会在这种情况下拉开你多少秒的时间都是一样的。你要抓住的点是，如果碰到这种题，我们要先定型，如果它是未定式，我按未定式来做，

如果它不是未定式，它一定是未定式。你就记住这个操作，把这个点要练通。好，继续吧，我们再来看最后一个题。27题，这个题。你再看这个人。告诉我第一步干嘛呢？来赶紧告诉我这种题啊，我觉得比较好做。来看一下这种题的第一步干嘛？哎，

非常好，非常好，副代换。啊，学会了啊。那所以说首先这里面当中的第一件事情，我立即令s=-t，我先做一个负带宽。我一个附带换进去了之后，它这个t就变成了正无穷，以后再做这种题的时候，它就没有什么干扰了。那这个时候它就变成了，你把后面这个人写前面去a倍的t方，然后加上BT，

然后加上个一，你再减去个3s。它是等于二分之一的好，我们看这个题。诶，这是三题。好了，然后怎么办？这种题啊，可以肃杀。一定可以肃杀。那么，首先我们先来看看这个无穷大减，无穷大。这种题好这个。

那么，这个无穷大减，无穷大。无穷大减，无穷大。你告诉个事。如果是这个人。第一项，第一项的带头大哥是谁？老大是谁？谁带着他们俩走啊？你注意第一个人是他牵引着走。你决定了第一个人的权重。是不是啊？你是老大，

第二个人呢？你是老大。好了，这是a，这是b两个老大。这个最大的这个结果不看小d。看老大那看老大的话，你想想。如果这个老大比这个老大大的多，你告诉我这个事情，这个结果会是二分之一吗？你想想，比如说举个例子，你这是三倍的它，你这是四倍的它。

因为我们在定型的过程当中，可以大致的看看这个趋势，因为前面的第一项你到底往哪跑，是由第一个人决定的。如果第一个人是四倍的，第二个人是三倍的，这两个意见肯定是无穷大，你能琢磨清楚吗？那如果第二第一个人是二倍的，这是三倍的，这个意见呢？你比我小的多，那这个时候的一减，你肯定还是无穷大。你不可能是二分之一的。

所以说像这两种情况。你注意这个问题啊，你这俩人相减，要想是个数。说明这两个无穷大。是差不多的。对吧，阶级是差不多的。所以说这个第一个人的话，他是由谁决定？第一个人是根号下三倍的t方决定，然后第二个是3t决定，这两个肯定是一样的。能想清楚吧啊，这是AB。

这是一样的。所以说这个a啊，它只能是几a，只能是九。这个非常简单，眼神一漂就出来了啊，这个结果。这第一项。漂出来这个人呢，是你水平功力的第一项。所以说这两个无穷大，它的阶级肯定是一样的。然后这个时候它就变成多少呢？它就变成了九倍的t方，加上BT+1再减去3t。

怎么做无穷大减无穷大会这事我不相信你不会哦，你刚才做了一个这样的题，你会怎么处理啊？你说你提毛法，其实都没有什么东西的，没有这个有理化快吧九倍的t方加上BT+e。然后再怎么办？加上3t。然后第一个平方是9t方，加上BT+1减去第二平方是9t方，所以说这两个9t方就约掉了。啊，这个人，然后接下来我们怎么办？我们抓个头对吧？

抓这个人抓这个人，所以说这个时候抓大头。limit多少t趋向正无穷，然后这是BT，然后是根号下9t方，然后加上个3t，这t是大于零。所以说这个时候这是三三这六分之b六分之b等于二分之一b等于几啊b等于三。好了，这个题啊，我们就非常简单，我觉得比较关键的一个问题就是这一步。这不是这个题最妙的点。啊，最核心的点，

所以将来我们碰到这种题，眼神都可以去漂，一眼瞅过去a出来了。但是我觉得还是非常重要的一个问题是。你的第一步有没有学会这个附带换，这又很重要吧？所以像这种题，第一步一定要先进行一个负代换，把这个负的变成正的。附的是坑。是吧，那还想还想骗我，还想忽悠我，你想让我跳坑，哎，

我才不会管这个事，我见到这个富雄，我赶紧变成正无穷，你就没有坑了。所以碰到这个负无穷，先把它变成正无穷，这个题首先第一个事儿没有坑了，然后第二件事情你这个a是要会漂的。一眼漂出这个a，两个无穷大相作差。你还能是个数，说明这两个无穷大的阶数，这个阶级是一样的。对吧，大致的这个量级是差不多的。

你不能比我大很多，你也不能比我小很多啊，这个人。好了，这个题啊，我们就讲到这。所以说这题的正确答案选几，一个是九。一个是三选a。好，这个题那么接下来我们再来讲一个题啊，再来看看下面一个题。看看这个题吧，你再翻到那个第二篇，把那个二零一九年的这个真题啊，

我们再来看看。啊，看一下这个题，讲完这个题啊，我们今天课程呢，我们就讲到这。所以说下节课我们肯定会把第一章就结束了啊，所以说这个进度啊，这个速度还是可以的，因为第一章的内容还是比较多。啊，多一点。那么多元微分学的东西可能会少一点。所以你按照这个进度来，那么像我们讲的这个呃冲刺班呢，

这个冲刺救命班，它这个节奏感。东西的这个更加的凝练一点，它是比这个强化班的部分的东西，你所以说可以二者选其一来听都是可以的。你消化一个部分都可以，你最重要问题是要把这些东西给消化到位，好，我们来看看这个题吧。告诉我第一下会干嘛？这个题应该不是趋向零，你改一下，这应该是趋向无穷大。趋向零就不做了。啊，

这个题啊。是趋向无穷大肯定的，这不不用去想，这肯定趋向无穷大不是趋向零。改一下趋向无穷大，但这个题没啥做的了。趋向零，趋向零，这是一，这是这是零，这是b，那b是一，那做做它干嘛呢？a是任意的呗。啊，

来看一下这个题，第一件事干嘛先把b抛出去，你看你在做第一个部分的极限的时候。你想看这个人何去何从，就单独求这个人极限，你发现抓一下，这是无穷大。这无穷大，这是个b，先把它抛出去，所以把这个人抛出去，这是第一步，因此留下了一个x+1。x方加一减去个ax，这个人呢？

等于b。那然后这个人的话，其实就变成了s趋向无穷大，那这人是s+1，这是s方加一，你减去多少as方减？减去as。所以说这个人的话，我们可以稍微整理一下s趋向无穷大，这是s加一，然后这个数是一减a倍的x方减去as加上一等于b。那告诉我事情，首先第一个问题，你这一项敢不敢不为零呢？我再强调一遍，

这个题不是无穷小的题，这是无穷大的题，一定要会转换观念。无穷大的题肯定是抓大头。你如果这项不为零抓的就是你，你抓的就是他。那这个时候两者一除，还剩下了一个s送你去向无穷大，那怎么可能会是个数呢？不可能。所以说这项一定为零。一定为零呢，那这个时候抓到头就是你了，那说明负ax这个人和这个人对吧？和这个一这个人作比，

它是b。然后第一个人呢e-a这个部分，它等于零。好了，这两条。所以把这个东西啊，你想清楚，因此这个a是1b是多少b是负一？好，这题就结束了，你这个题的话，我们也会考。那今年的话，把这题稍微改一改的话，又出了一道我们的考题，

那没有任何问题啊，这题完全可以作为我们今年的考题的。好像这种题。所以二一年之前的真题啊，不是道道都猜，也不是说每个题都非常的菜啊，没有什么可做的，有些题还是可以的。好了，像这两题。呃，刚才的话，这个第六题只做这个题，那肯定是没有什么意思，你要看看就是这个，

如果现在进行出题，他会怎么改？啊，你怎么去处理？他肯定会让你去把AB都求出来，你这样直接考试一下，考的太。太无聊了，所以这个。以前出题啊。就是非常害怕你做不出来。好，那是极其害怕你做不出来。但有的哎呀，我这个题其实也没有难，

一点都不难，你就害怕哎呀，这个这个同学他会不会做不出来呀？很担心。所以你要把这个题对吧？稍微的改了一下。啊，改的这么简单，现在有些题啊啊，这个出的还是稍微的会比较狠一点啊。然后的话，里面当中。你作为三九六同学的这个考情，有些题出的还是比较变态的。你比如说去年考那个题。

考那个我们讲过那个用拉格朗日中值定理。然后进行做的那个题。对吧，就这个题。所以去年考这个题啊，这个题还是很难的。你不信你把这个题扔给一个数一数二数三同学做，你让他两三分钟得做。还是做不出来。所以去年考的这个题考的还是挺难的。这个二零二三年的这道题。难度系数比较大，这不是大，这是非常难的题啊，我觉得在考场当中最好的一个选择就是把这个题跳过去。

啊，代入法，你有是代入法吗？代入法，我给你十分钟，你你你去带一下，你未必能带那么准。啊，所以你你做了之后你才进行选择，你不信你去带吧。你代几啊？这个a和b都是大于零，你看你代几？你不要光说代入法，其实我们每个同学都知道可以举特例，

对吧？把这个a和b就说给这个a进行取一个b取一个，哎，这个东西不对。啊a取一个b取一个a，这个不对，但是你不信，你去取两个，你去试一下，我给你十分钟，你只要稳稳当当的取。对吧，连续这五个人把他给我取出来，那你很厉害。你可以去试一下吧，

这个题。所以有些方法的话，你得放到这个实际上的这个问题上来进行做。好了，这个点。那这个题的考点内容其实就考了这样的一个定理。啊，这个内容这个题最好的方式就是你记住了这个定义。这是最简单的。所以到时候我们在冲刺班的话进行去讲，这个凹透镜的时候，我们会把这一波内容我们给你做一个最重要的一个总结。啊，这些内容。行吧，

那么今天课程呢？我们就讲到这。所以像像这个题，这个题考的难度系数还是挺大的。行吧，那么这个问题我们就说到这，你不要这样去想。不要这样想。有人经常想说，那呃以前考去年考了，今年今年还会考吗？那这两年出了之后，这两年不会出了吧？你不要这样去想，那如果是这样的话，

我们做这个真题已经没有什么价值了。为什么呢？因为它考了呀，那今年不会考了？不要这样想，你可千万不要这样来。经常会出现这种问题，你去年考下给你来个开胃菜，回头给你立马拦下来一道，经常会出这种问题。千万不要这样啊。还有一些事情，我给你举个例子。我发现有些同学这个这个这个考试思维这不对啊，我记得我经常以前呢。

呃，当然三九六的同学没有没有啥进行去总结的，我就谈一下这个数一数二数三。我以前的话，我说我会把这个部分每个板块的内容，对吧？什么东西？政治嘛，这这背背背不了这数学课，那么当时的话，你发现这个你比如说这个点。我当时每次继续去讲，这个时候我都会说，我说我们把这个零八年到二一年所有的真题我们做了一个分类切片儿。然后这里面当中，

我们最后会进行去观察的事情，如果不好看，我们来看看，我给你总结了一下这个考点清单，当然我们三九六的同学没有，没看我就说一个现象。比如说我说。你们有些同学可以开始才开始复习的时候，都按照同济七版教材复习，然后复习里面当中啊呃，比如说我们会复习到函数极限的，这个什么定义和性质？你看看14年的考题，只考了一次。就只考了一次。

我说如果你从复习的角度上而言，你应该重点进行去复习这个呀，你看14年考了14次，你应该重点复习这个呀。这才是你的重点的复习啊，然后有些同学心里想，哎，老师不对吧，那以前重点考了，那今年的话，万一不考了呢？那以前的话，这个不考，那今年肯定是重点考，我真的懒懒得跟你说话，

对吧？没法聊了，对吧？所以你这个这个想法就有点问题，你这个这个思维方式我都不知道你怎么想的，你大概率事件肯定是大概率事件去考啊。所以先要进行去抓住这个东西的重点，你老是去想啊，以前是重点，万一今年不是重点了呢？以前的话都没怎么考，今年肯定是中完了完了完了啊，你没有考试思维啊？说实话，好了，

这个问题啊，我们就讲到这，所以说你要注意你这个做题的，从我们复习的角度上而言，它的这个方向性你得把握把握清楚。好，这个内容我们就说到这。啊，行吧，那么今天的这个点呢，我们就说到这啊，你放心吧，不会说比那个去年还要难，去年已经贼恶心了。你只能朝着这个什么你从复习的角度上，

你就按照去年的这个方向性进行去复习就行。以去年的这个真题的这个标准，然后进行复习。去年的题啊，我已经讲了好多遍，它不是说都难。他是做两道咔的，来一道难的，做两道咔的，来一道难的。你要是如果。我给你看一看。这个去年的这个真题啊。去年这个真题的特点呀，完了完了完了完了。

看不了，等一下。我特别害怕这个，这个word。你你你们是不知道这个，你可能这个看到有些这个英语老师，政治老师，他其实我这个电脑配置我买的还每次买的还挺高。有的打开打开几百页都没什么问题啊，大概七八百页的话，这个非常流畅，因为这个数学你都知道，这里面当中每一个部分都是个公式，它其实是一个插件。其实有的时候你200多页，

你的配置不是特别高，打起来其实就非常非常的困难。所以有的时候我这个。我一听到这个电脑，这个声音，我就非常慌。啊，极其的慌这个。呃，我来说一下这个事，你比如说去年的真题啊。如果是这样进行编排，我相信去年的话，这个分数啊，能高不少。

一个事情的话，就是把这个题往后放，就这两个题。就去年的考研真题是。从这个第一个题啊，哎呀，非常的简单。你看这个第一个题等价无穷小的替换啊，就这个题。然后第二题啊，其实去年有的时候有些同学可能被吓了一跳。但这个题经常做的时候，我觉得还好，然后第三题啊，其实就是纯属的话进行去你画一个图像就出来了，

这个题不要简单啊，这题非常简单。你看这个第一题，第二题啊，第三题，四题，第五题，你看这第五题也非常简单，你这种题就非常简单。所以像这种题还好，一旦做到这个第七题和第八题。咔的一下碰了两道，非常难的嗯，来不住了，说怎么会出现这种题呢？

你说来一道非常难啊，算我跳过去，我做下一道吧，结果还非常难。当场就不想做了。然后紧接着a哦第九题还好了。哎呀，第十题哎，也还行，对吧？11题咔的一下来了一个大运算量的题。瞬间疯了。这题运算量很大，就这个题，包括一个事情，

不是运算量大，去年有些同学压根就没有复习，有理分式的积分，或者是有理分式的复习积分呢。这个积分的话也复习过，但是到了后面的话说，哎呀，肯定不会考这么恶心吧，肯定不会考吧，结果把这个东西给忘了。然后咔的一下又难了。对吧，那那跳过吧，哎，再做两道哎，

还行还行还行，咔的一下15题。那这个题为什么恶心呢？是因为有些同学根本这个知识点都没复习到这个终点展开的这个问啊，这个什么不是终点展开，是这个终点的。这个定积分的，这个定义的题。所以又很恶心了，然后今天咔的一下这个题啊，也还挺恶心的，就瞬间不想考了。然后再做两道还可以，还可以，还可以，

结果做了后面的这个题呢，又不想考了，这就这个现象。所以说他呃玩心理战。这个这个点其实去年最简单的还是概率论啊。行吧，我们就不说了，所以如果去年的话，这个题目的编排的话还是呃，从简单到难的这种排列顺序，我相信去年的话，这个分数还能更高一点。行吧，我们不讲了，但是这个教育部啊，

考试中心的话，因为我这两天。这是大纲。哎，不见了。就是每年的话，这个大纲还有一本书的话是这个。啊，就这个。我这个很早了，这是一一年的，还有一本儿叫考试分析啊，这个。考试分析。但是我们三九六的话，

它一直没有什么考试分析，我这两天的话，他高教授那边给我寄了一本，哎，我放哪去了？因为我这两天我经常我一直在看这个。哦，在这呢。就是有一本考试分析，我们三九六的话，这个金综啊，还没有这个考试分析。所以这个里面当中它这个。考试分析啊，其实我每年的话很喜欢看，

很想看的话是这个前面这句话就是这种考生作答的情况。你看这个里面当中有些现象，就说这个去年的话，疫情的影响，二零二三年的缺考现象非常的明显。去年约有。18%的考生是缺考的。这是官方数据。去年，18%的。考生缺口。但是这个对我们呃，这个缺考的话，这个。这有什么不信的呢？

这是教育部官方出的数据。这种点没有什么嫌疑。你自己去看看他这个。你看这个第一行二零二三年的缺考现象更为明显，有18%的考生缺考。所以这个是我发现你这老叛逆嘛，他妈是一身反骨嘛。说啥呢？说这个。嗯，说一个东西，你不信，说一个东西不信。那你相信什么呢？一身反骨。

好了，那么这个点呢，我们就说到这，自己下去把这个相对问题啊，好好处理处理，但我们三九六没有这个考试分析，所以说里面当中没法进行去。呃，说明一下去年的话，这个最后的这个考试的一些情况。那行吧，那么今天呢，我们就讲到这，不多说了啊，然后自己下去把这个相对问题好好处理处理，

那么下节课我们就把第一章全部结束。那后面还有函数极限的定义，对吧？连续和间断的问题，我们再把。数列极限的部分问题啊，给同学们复复习一下，然后另外还有一些点。就是有些概念性的问题，我们下节课做一个重点的加强，把第一章结束掉，所以说这个第一章啊，我们是三次课程。相对而言的话，比这个强化班课时量少了多得多得多。

原来，强化班第一章的话，我们其实就上了很久的时间。所以这个强化课程呢呃和这个冲刺课程呢，你自己可以选择着听，如果时间不是说特别够，你可以重点来听这个冲刺救命班的课程就行。好了，那么今天课程呢？我们就讲到这可以吧？同学们把这个相对问题啊，好好处理一下，然后明天的话是国庆节，然后大家如果最近段时间复习的特别累啊。你可以休息一天也没有关系的，

也不一定说把那个弦绷得那么的紧，稍微的调整一下状态，然后再出发，有可能效果会更好一点。好了，那么今天课程呢？我们就讲到这好吧，同学们好，我们下节课我们就继续好下节课见吧。

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